МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАНТОВОГО ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В РАЗВЕТВЛЁННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ С ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат наук Цуриков Давыд Евгеньевич

• Цуриков Давыд Евгеньевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Цуриков Давыд Евгеньевич

Введение

Глава 1. Размерное квантование в полупроводнике

1.1. Низкоразмерные структуры

1.1.1. Основные приближения

1.1.2. Классификация

1.2. Двумеризация носителей заряда в плёнке

1.2.1. Постановка самосогласованной задачи

1.2.2. Расчёт уровней энергии носителей заряда

1.2.3. Позиционирование уровня Ферми

1.3. Выводы

Глава 2. Электронный транспорт в низкоразмерных структурах

2.1. Моделирование разветвлённых низкоразмерных структур

2.1.1. Специфика электронного транспорта

2.1.2. Методы расчёта матрицы рассеяния

2.2. Рассеяние электрона в квантовой сети

2.2.1. Соглашения и обозначения

2.2.2. Постановка задачи

2.2.3. S-матрица узла квантовой сети

2.2.4. S-матрица квантовой сети в терминах S-матриц её узлов

2.3. Квантовый электронный транспорт

2.3.1. Потоки вероятностей и S-матрица

2.3.2. Электрические токи

2.4. Выводы

Глава 3. Электронные наноустройства на основе низкоразмерных структур

3.1. Эффекты размерного квантования в наноэлектронике

3.1.1. Трёхполюсный баллистический узел

3.1.2. Трёхполюсный баллистический переключатель

3.1.3. Логические элементы

3.2. Двумерная квантовая сеть из Q-, I- и Y-узлов

3.2.1. Проект сети

3.2.2. Расчёт S-матриц узлов сети

3.3. Логический элемент NOT в двумерном электронном волноводе

3.3.1. Проект устройства

3.3.2. Оптимизация параметров

3.4. Двухузловой переключатель в двумерной полупроводниковой структуре

3.4.1. Проект устройства

3.4.2. Оптимизация параметров

3.5. Логический элемент XOR в двумерной полупроводниковой структуре

3.5.1. Проект устройства

3.5.2. Оптимизация параметров

3.6. Выводы

Заключение

Приложения

Приложение A. Средняя длина волны де Бройля носителей заряда

Приложение B. Граничные условия рассеяния в квантовой проволоке

Приложение C. S-матрица квантовой сети в терминах DN- и ND-map

Приложение D. Примеры расчёта S-матриц по сетевой формуле

Приложение E. Гексагональная квантовая сеть в одноканальном приближении

Приложение F. Адаптированный формализм Ландауэра-Бюттикера

Приложение G. Особенности численной реализации

Приложение H. Основные обозначения диссертации

Статьи автора по теме диссертации

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАНТОВОГО ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТА В РАЗВЕТВЛЁННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ С ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ»

Актуальность темы

Движущим фактором развития современной вычислительной техники является полупроводниковая наноэлектроника. Наноэлектроника занимается созданием и исследованием приборов, состоящих из элементов, размеры которых сравнимы с длиной волны де Бройля носителей заряда. Для таких систем становятся существенными эффекты размерного квантования, определяющие их транспортные свойства.

Электронный транспорт в низкоразмерных полупроводниковых структурах открывает широкие возможности для создания принципиально новых устройств. Его численное моделирование базируются на квантовой теории рассеяния и квантовой статистике носителей заряда. На сегодняшний день данной тематике посвящено множество работ, однако при реализации нетривиальных расчётов на ЭВМ возникает ряд трудностей. Их частые причины - это необходимость адаптации того или иного метода к конкретной задаче, а также, в известной степени, оригинальные обозначения в различных работах. В связи с этим совершенствование схемы расчёта квантового электронного транспорта по-прежнему является актуальным. Удобная схема вычислений позволит эффективно моделировать транспортные свойства низкоразмерных полупроводниковых структур, а также проектировать на их основе наноэлектронные устройства.

На сегодняшний день особый интерес представляют наноэлектронные устройства на базе двумерного газа носителей заряда. Это связано с высоким уровнем развития современной планарной нанотехнологии. Процесс двумеризации носителей заряда в планарной структуре является самостоятельной вычислительной задачей. Поэтому, помимо расчёта транспортных свойств низкоразмерных структур, актуален комплексный численный анализ процесса их формирования в полупроводниковых плёнках.

Степень разработанности темы

В связи с широким кругом затрагиваемых задач настоящая работа разделена на три самостоятельные, но логически взаимосвязанные главы. Обзор современного состояния исследований проводится в каждой из них в соответствии с её предметной областью.

Цель и задачи

Цель настоящей работы - совершенствование методики численного моделирования квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах. В её рамках центральной задачей является разработка объединённой схемы расчёта элек-

трических токов в модели квантовой сети. Работоспособность схемы проверяется в проектировании наноустройств на базе двумерного электронного газа. Предварительно для этого рассматривается процесс двумеризации носителей заряда в полупроводниковой плёнке.

Научная новизна

Научная новизна полученных в работе результатов определяется согласно поставленным задачам численного моделирования.

1. Двумеризация носителей заряда. В рамках моделирования процесса двумеризации носителей заряда в полупроводниковой плёнке сформулирован быстрый алгоритм квантового самосогласованного расчёта области пространственного заряда.

2. Квантовый электронный транспорт. В рамках моделирования квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах предложена специальная схема расчёта. Она основана на объединении адаптированных методов в эффективной системе обозначений. Помимо удобства в реализации на ЭВМ, схема обладает наглядностью, что упрощает моделирование низкоразмерных структур со сложной геометрией.

3. Двумерные наноустройства. В настоящей работе предложены три модели полупроводниковых устройств на базе двумерного электронного газа. В модели логического элемента NOT в двумерном электронном волноводе была достигнута равная 97% вероятность рассеяния электронов из 1-й подзоны размерного квантования во 2-ю. При проектировании двухузлового переключателя установлено, что эффективно изменять направление токов в двумерной структуре можно с помощью латерального затвора, предшествующего области ветвления. Моделирование логического элемента XOR продемонстрировало выполнение логической операции напрямую за счёт квантовой интерференции. Исходя из аналогии с искусственными нейронными сетями, на примере данного устройства установлено, что низкоразмерные полупроводниковые структуры способны к обучению.

Научная и практическая значимость работы

• Научная значимость работы состоит в совершенствовании методики численного моделирования квантового электронного транспорта в низкоразмерных полупроводниковых структурах.

• Практическая значимость работы состоит в том, что предложенная схема расчёта упрощает моделирование всевозможных наноэлектронных устройств.

Методы исследования

Методы исследования, используемые в данной работе, определяются конкретной задачей численного моделирования (табл. 1).

Таблица 1. Основные методы численного исследования в диссертации

глава задача методы решения

1 квантовый самосогласованный расчёт области пространственного заряда метод последовательных приближений

расчёт расширенной матрицы рассеяния узла квантовой сети граничные условия рассеяния, МО-тар

2 расчёт расширенной матрицы рассеяния квантовой сети формула объединения, сетевая формула

расчёт электрических токов через квантовую сеть формализм Ландауэра-Бюттикера

3 оптимизация параметров электронных наноустройств генетический алгоритм

Каждый метод из таблицы 1 сформулирован в виде, оптимальном для программирования на ЭВМ, и его реализация раскрывается в соответствующей главе. В её основе всюду лежит программный код на языке С++, способный взаимодействовать с внешними вычислительными пакетами. Поэтому для расчёта расширенных матриц рассеяния методом МО-тар также были разработаны процедуры в специализированном пакете ЕгееБет++. В целом за счёт специфических особенностей С++ (указатели, наследование, виртуальные функции и пр.) была создана гибкая и универсальная реализация предложенной в работе схемы расчёта квантового электронного транспорта.

Достоверность результатов

Достоверность развиваемого в работе подхода подтверждается посредством моделирования наноустройств на базе двумерного электронного газа. Предварительно для этого с помощью квантового самосогласованного расчёта изучается процесс двумеризации носителей заряда в полупроводниковой плёнке. Достоверность его результатов подтвердилась вычислениями дифференциальной ёмкости плёнки [А4]. В пределе малых поверхностных потенциалов квантовая ёмкость совпала с классической.

Предложенная схема расчёта квантового электронного транспорта в совокупности с проведённым анализом процесса двумеризации носителей заряда в плёнке позволила спроектировать следующие наноэлектронные устройства:

• логический элемент NOT в двумерном электронном волноводе;

• двухузловой переключатель в двумерной полупроводниковой структуре;

• логический элемент XOR в двумерной полупроводниковой структуре.

Для всех устройств можно отметить реалистичность предлагаемых конструкционных решений, протекающих через них электрических токов и оптимизированных напряжённо-стей электрического поля. Контроль ошибки расчётов осуществлялся параллельно двумя способами. В основе первого способа было сравнение вероятностей рассеяния, полученных на основе оригинальной схемы и путём триангуляции всей структуры. В основе второго - выполнение закона сохранения заряда. В обоих случаях погрешность оставалась на приемлемом уровне.

Применение результатов

Результаты диссертации были использованы при выполнении проекта «Разработка методов создания и исследования тонкопленочных и слоистых структур и наноструктуриро-ванных материалов перспективных для использования в электронной технике и энергетике» в 2010-2014 гг.

Апробация результатов

Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях.

1. Tsurikov D., Pavlov B., Yafyasov A., Semenikhin I. Scattering on a Junction: Analytic Perturbation Procedure and Direct Computing; Poster: Conference, Amherst, USA; 10-082007 - 10-10-2007; in: "Proc. of IWCE". 2007. P. 74-75.

2. Цуриков Д. Е. Дифференциальная ёмкость многослойной полупроводниковой структуры. Тезисы конференции «Физика и прогресс». 2007. С. 106.

3. Tsurikov D. Combining formula for calculation of quantum network S-matrix. Conference Abstracts, International Student Conference "Science and Progress", St. Petersburg. 2010. P. 106.

4. Tsurikov D. The "closed-channel" property of extended current S-matrix of junction. Conference Abstracts, International Student Conference "Science and Progress", St. Petersburg. 2011. P. 126.

Защищаемые положения

1 Алгоритм квантового самосогласованного расчёта области пространственного заряда в однородно легированной полупроводниковой плёнке.

2 Расчёт расширенной матрицы рассеяния узла квантовой сети с помощью граничных условий рассеяния в интегро-дифференциальной формулировке.

3 Формула для расширенной матрицы рассеяния квантовой сети в терминах расширенных матриц рассеяния её узлов.

4 Квантовая сеть из гладких Q-, I- и Y-узлов как основа для моделирования полупроводниковых наноустройств на базе двумерного электронного газа.

5 Модели полупроводниковых наноустройств на базе QIY-сети, выполняющих следующие функции:

• логическую операцию NOT за счёт инверсии потоков вероятностей в каналах с помощью латерального затвора в I-структуре;

• переключение электрических токов в Y-структуре с помощью латерального затвора в малой области перед ветвлением;

• логическую операцию XOR за счёт управления проводимостью гексагональной структуры с помощью латеральных затворов.

Публикации автора по теме диссертации

Материалы работы были изложены в шести статьях рецензируемых журналов, рекомендованных перечнем ВАК, а также представлены на четырёх конференциях.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, восьми приложений и списка литературы. Она содержит 32 рисунка и 27 таблиц, её объём составляет 155 страниц. Список литературы включает 73 наименования.

Глава 1. Размерное квантование в полупроводнике

Полупроводниковая наноэлектроника занимается созданием и исследованием электронных приборов, составные элементы которых являются наноструктурами. В основе их функционирования лежат квантовые эффекты. В данной главе будут даны основные понятия, связанные с размерным квантованием носителей заряда в полупроводниках (раздел 1.1). В разделе 1.2 будет предложен оригинальный алгоритм квантового самосогласованного расчёта области пространственного заряда полупроводниковой плёнки [А4]. При этом он будет применён в задаче позиционирования уровня Ферми в энергетическом спектре двумеризованных носителей заряда.

1.1. Низкоразмерные структуры

Объектом теоретического исследования в данной работе являются кристаллические наноструктуры. Всюду будут рассматриваться наноструктуры, для описания которых применима зонная теория макроскопического твёрдого тела.

1.1.1. Основные приближения

Для описания твёрдого тела из первых принципов без учёта эффектов спин-орбитального взаимодействия [1] следует решить многочастичное уравнение Шрёдингера. Его точное решение затруднено из-за большого числа переменных. В связи с этим, используется ряд приближений, составляющих основу зонной теории твёрдого тела [2].

1. Адиабатическое приближение. Приближённая факторизация волновой функции системы электронов и ядер на две компоненты, соответствующие движению электронов в медленно меняющемся поле ядер, и движению ядер в усреднённом поле, создаваемом электронами.

2. Приближение Хартри. Приближённая факторизация волновой функции электронной подсистемы на компоненты, отвечающие движению отдельного электрона в самосогласованном поле остальных электронов и ядер.

3. Идеальный кристалл. Строго периодическое расположение ядер в пространстве, учёт свойств симметрии кристаллической решётки.

Результатом этих приближений является одночастичное уравнение Шрёдингера с неизвестным самосогласованным потенциалом. С помощью формализма вторичного квантования [3] можно перейти к описанию электронной подсистемы твёрдого тела в терми-

нах квазичастиц: электронов и дырок. В итоге большинство внутренних взаимодействий системы будет содержать в себе один параметр - эффективная масса носителя заряда. В свою очередь, для совокупности квазичастиц часто применимо приближение квантового идеального газа.

В рамках приближения квантового идеального газа всевозможные термодинамические характеристики системы квазичастиц можно найти, зная её плотность одночастичных состояний

8(Е) :=£5(Ем -Е) (1)

м

где 5 - дельта-функция Дирака, Ем - энергия одночастичного состояния М, М - муль-

тииндекс (совокупность квантовых чисел), однозначно идентифицирующий состояние. Поскольку М часто содержит в себе квазиимпульс, расширим стандартное определение: закон дисперсии - зависимость энергии одночастичного состояния системы от мультиин-декса состояния (энергия как функция мультииндекса: {Ем }м ).

Закон дисперсии в идеальном газе электронов и дырок зависит от материала и геометрии полупроводниковой наноструктуры. От размеров наноструктуры зависит применимость к её описанию зонной теории твёрдого тела. Также они определяют её специфические свойства. В связи с этим вводится понятие низкоразмерной кристаллической структуры.

1.1.2. Классификация

Низкоразмерная кристаллическая структура - кристаллическая структура, размеры которой сопоставимы с характерной длиной. В зависимости от типа характерной длины существенными в описании структуры будут те или иные факторы (табл. 2).

Таблица 2. Характерные длины (Т = 300 К)

обозн. название порядок (й) существенные факторы

1 длина свободного пробега носителей заряда 10-7 -10-8 механизмы рассеяния

X длина волны де Бройля носителей заряда 10-9 размерное квантование носителей заряда

К, постоянная решётки 10-10 неприменимость зонной теории

Согласно таблице 2, минимальный и максимальный размеры рассматриваемых в данной работе систем Цтт и Цтах соответственно можно определить как

Ц* « ~ Я (2)

Ц* « 4-х < ^ (3)

Условие (2) обеспечивает применимость зонной теории к описанию наноструктуры, условие (3) делает доминирующим баллистический электронный транспорт через неё. Также для структур, удовлетворяющих свойству (2), является существенным размерное квантование носителей заряда.

Размерное квантование носителей заряда определяет тип структуры [4] (табл. 3).

Таблица 3. Квантовые структуры

разм. название 4 Цу Ц р М

ОБ квантовая точка К ~ Я Цу ~ я Ц ~ Я - М = {яп}

1Б квантовая проволока Цх » Я Цу ~ Я Ц ~ Я р = Р х М = {япр}

2Б квантовая плёнка Цх » Я Цу >> Я Ц ~ Я Р = {Рх, Ру } М = {япр}

3Б объёмный кристалл Цх » Я Цу >> Я Ц >> Я Р = {РХ, Ру, Рг } М = {^р}

В таблице 3 Ьх, Цу, Ц - размеры структуры вдоль осей X, У, X соответственно; р -квазиимпульс; ^ = 1,2 - спиновое квантовое число; п - квантовое число, отвечающее размерному квантованию. Размерность структуры - число направлений, в которых движение носителя заряда не ограничено. Размерность структуры равна размерности вектора квазиимпульса в мультииндексе одночастичного состояния М .

Применительно к системам в таблице 3 в литературе также используется термин «ква-зинизкоразмерная структура» [5]. Это актуально в случаях, когда математическая модель физической системы имеет размерность меньше трёх. Целесообразность такого приближения определяется спецификой конкретной задачи. Например, для квазиодномерной физической системы (квантовой проволоки) могут использоваться одно-, двух- и трёхмерные математические модели. В данной работе, в названиях структур приставка «квази-» опускается, а размерность модели конкретизируется в соответствующих разделах.

Каждую квантовую структуру в таблице 3 характеризует свой закон дисперсии и плотность одночастичных состояний. В качестве примера приведём данные характеристи-

ки для изотропной электронной подсистемы с квадратичной зависимостью энергии от квазиимпульса, взяв за начало отсчёта по энергии дно зоны проводимости (табл. 4).

Таблица 4. Характеристики электронной подсистемы квантовых структур

разм. закон дисперсии плотность состояний

0Б ЕМ = Еп 8 (Е) = 2£*(Еп - Е) п

Ш Е = Е 1 Рх Ем = Еп + 2те 8 (Е ) = ^ ПТ £ (Е - Еп)-1/2 ■[ Е > Еп ] п

2Б Е = Е + Рх2 + Р2у Ем = Еп + 2те 8 (Е ) = П' £ IЕ > Е ]

3Б 2 2 2 Е Рх + Ру + Р2 Ем 2те 8(Е) = (^) ^[Е >0]

В таблице 4 {Еп }п - уровни размерного квантования энергии электрона в структуре,

те - эффективная масса электрона, выражения записаны в нотации Айверсона [6, с. 42]:

скобки с утверждением равны 1, если оно истинно, и равны 0, если оно ложно. Поскольку здесь не учитывается спин-орбитальное взаимодействие, и отсутствует магнитное поле, в законе дисперсии нет явной зависимости от спинового квантового числа. За счёт этого суммирование по нему при вычислении плотности состояний согласно определению (1) даст дополнительный множитель 2. Суммирование по квазиимпульсу заменяется интегрированием, так как он принимает непрерывный ряд значений.

Из таблицы 4 видно, что за счёт размерного квантования меняется закон дисперсии носителей заряда. Это, в свою очередь, ведёт к изменению плотности состояний и, следовательно, к изменению термодинамических характеристик структуры.

На сегодняшний день особо актуальны низкоразмерные структуры на основе двумерного газа носителей заряда. Это связано с их перспективностью для наноэлектроники на базе планарной технологии. Данные системы также интересны возможностью их описания в рамках двумерных математических моделей, что существенно упрощает расчёты. Двумеризация носителей заряда в планарных полупроводниковых структурах является самостоятельной задачей и требует отдельного рассмотрения. Поэтому в разделе 1.2 данный процесс будет рассмотрен на примере квантового самосогласованного расчёта области пространственного заряда полупроводниковой плёнки.

1.2. Двумеризация носителей заряда в плёнке

Современные технологии позволяют формировать полупроводники с практически идеальной поверхностью (однородной, без поверхностных состояний и дефектов). В совокупности с высокоточными измерениями электрофизических характеристик это даёт возможность детально исследовать явление размерного квантования в области пространственного заряда (ОПЗ). В связи с этим возрастают требования к точности сопровождающих эксперимент расчётов.

История расчетов ОПЗ полупроводников с учетом размерного квантования носителей заряда насчитывает более 40 лет [7-18]. Исторически первый метод модельных потенциалов [7, 11-13] прост в реализации, но имеет низкую точность. Поэтому он малопригоден для количественного анализа результатов современных экспериментов. Для этих целей предпочтителен подход, основанный на самосогласованном решении уравнений Шрёдин-гера и Пуассона [8-17]. Однако его применение в режиме реального времени, в частности, при автоматизированном измерении проводимости в зависимости от поверхностного потенциала, имеет ряд трудностей. Они связаны с низкой скоростью расчётов и с неустойчивостью схемы в широких диапазонах значений параметров задачи. Для решения этих проблем нужны специальные алгоритмы вычислений на основе оптимальных численных методов.

1.2.1. Постановка самосогласованной задачи

Исходные уравнения

Рассмотрим однородно легированную полупроводниковую плёнку, предполагая отсутствие поверхностных состояний, полную ионизацию примесей и омический контакт с металлом на тыльной стороне (рис. 1). Приложенный к её лицевой стороне электростатический потенциал У8 формирует в ней ОПЗ с поверхностной плотностью заряда

0 :=\^р{2) (4)

Р(2) = е0па - е0па + е0п+ (2) - е0П (2) (5)

где р - объёмная плотность заряда; е0 - элементарный заряд; пй, па - концентрации ионизованных донорной и акцепторной примесей соответственно; п± - концентрации носителей заряда, здесь и всюду ниже в разделе 1.2 верхний индекс «-» отвечает электронам, «+» - дыркам.

a

0 1юр §а1е

front side

^2

rear side

Рис. 1. Схематичное изображение полупроводниковой плёнки. а - плёнка в структуре с верхним затвором: 1 - металл, 2 - диэлектрик, 3 - полупроводник. Ь - расположение системы координат в плёнке, Ь - толщина плёнки.

Используя классическое приближение для описания движения носителей заряда в плоскости плёнки, выражения для их концентраций запишем в виде [10]

n

да

(z) = n-El PL,(z) |2 ( -Ec -E-n]/[k0T])

n=1

да

n+ (z) = n+El P-n(z) l2 ^0 (( -Ef -E-n]/[koT])

(6)

(7)

n :=-

m±koT nh2

(8)

где т± - эффективные массы носителей заряда в плоскости плёнки, к0 - постоянная Больцмана, Т - температура кристалла, к - постоянная Планка, Е0 - интеграл Ферми-Дирака порядка 0 (см. приложение А), Ер - уровень Ферми, Ес и Еу - энергии краёв зоны проводимости и валентной зоны соответственно. Волновые функции носителей заряда и их уровни энергии Е^ можно найти из уравнения Шрёдингера:

2m

-д z + U ± (z)

р- (z) = 0,

P-(z) = E-(- (z), z е (0, L) z е{0, L}

U± := ±е(Г

(9)

(10)

где - эффективные массы носителей заряда перпендикулярно плёнке, V - электростатический потенциал.

b

1

n=1

Согласно (6)-(10), п+ неявно зависят от V . Его можно найти из уравнения Пуассона:

V"(2) = --!-р(7), 7 е (0,Ь)

ее„

(11)

V (0) = V,, V (Ь) = 0

где е - диэлектрическая проницаемость плёнки, е0 - электрическая постоянная. Потенциал является самосогласованным, так как он определяет пространственное распределение концентраций носителей заряда в плёнке и при этом зависит от него.

Самосогласованный расчёт потенциала V осуществляется следующим образом. На первой итерации задаётся потенциал V1, как результат численного решения уравнения Пуассона в классическом приближении [19]. На основе V1 вычисляется объёмная плотность заряда р1 согласно (5)-(9). Следующие итерации организуются по схеме

V = IV + V )

* п+1 2 4' п+1 /

С(*) = —~е~Рп(2), 2 е (0,Ь)

ее0

^(0) = V,, ^(Ь) = 0

(12)

(13)

Интегрируя правую часть уравнения (13) с учётом граничных условий, получим

^+1 (2) = V, + [£ (21) - V, ] Ь - £ dzl8n (21)

Еп(2) := -*т (21)

ее0 ^

(14)

(15)

Специфика квантового самосогласованного расчёта

Перед квантовым самосогласованным расчётом ОПЗ найдём уровень Ферми в плёнке

из уравнения электронейтральности:

0 = 0, V, = 0

(16)

С учётом (4)-(7) и нормировки волновых функций

(2)|2 = 1, п е N

поверхностная плотность заряда примет вид

ад

0 = в0 ( - па ) Ь + е0п+ £ Е0 ([Е - ЕЕ - Е+п ]/ [к0Т])

п=1 (18)

ад х у

- е0п- £ 4 ([Е - ЕС - Е1п ]/ [к0Т])

Согласно (18), уравнение (16) является самосогласованным: при V, = 0 потенциал в плёнке отличен от нуля. Это приводит к изгибу зон [7] и отклонению уровней энергии (Е_±п }ад=1 от уровней энергии прямоугольной потенциальной ямы:

Е1п := ^(пп/Ь)2, п е N (19)

Как показали расчёты, на положение уровня Ферми этот эффект влияет слабо. Поэтому, полагая Е^п « Е^п, с учётом (16), (18) и (19) для поиска Ер можно использовать приближённое уравнение электронейтральности:

ад

0 = е0 (( - па ) Ь + е0п+ £ Е0 ([Е - ЕЕ - Е+п ]/ [к0Т]) -

п=1 (20)

ад

- е0п- £ Е0 ([ЕЕ - ЕС - Е1п ]/ [к0Т]) п=1

Оно позволяет повысить скорость вычислений в силу отсутствия самосогласования при поиске уровней энергии.

В численных расчётах для концентраций носителей заряда вместо выражений (6) и (7) используются

пК

пК

(2) := п-£| (Р1п(2) |2 ^0 ([Ер - Ее - Е-1п]/[^Т]) (21)

п=1

(2) := п+ £ | <Р1„ (2) |2 ^ ([Еу - Ер - Е+п] / [к0Т]) (22)

п=1

Верхние пределы суммирования находим, удваивая К , пока не будет выполнено условие

|0К- ОК/2 ^¿еШК/21 (23)

ОК := ±е0 ¡^К (2) (24)

где 5о - заданная относительная погрешность вычисления поверхностной плотности заряда. Конечное значение К может быть различным для электронов и дырок. Это связано с особенностями расположения их уровней энергии при данном потенциале. Предложенный подход позволяет ограничиться расчётом только тех уровней энергии, которые сущест-

п=1

венно влияют на заряд в ОПЗ. В результате выражение для объёмной плотности заряда в (15) примет вид

Р ~ - Па ) + е0П+К- е0ПК

(25)

По аналогии с (23) запишем условие выхода их самосогласованной процедуры:

I Ом - Ом-1< $вШм-11 (26)

где Ом - поверхностная плотность заряда, рассчитанная на М-й итерации.

1.2.2. Расчёт уровней энергии носителей заряда Безразмерная задача

В основе самосогласованной процедуры расчёта лежит численное решение задачи (9). Запишем её в безразмерном виде. Введём безразмерную координату и толщину плёнки

£:= г / Ьп, Л:= I / Ь0 (27)

где Ьв - длина дебаевского экранирования [19], энергию и потенциал

8 := 2т^% 2 ¿2вЕ+±, и(£):= 2т\ Г2 Ь2ои ± (ЗД,

(28)

волновые функции щ с нормировкой

гл |0

= 1

Из (17), (27) и (29) получим

Согласно (27) имеем

(г) = г / Ьа)

д г = ¿Ь^

(29)

(30)

(31)

Тогда безразмерная задача на собственные функции и собственные значения примет вид

\[-ё\ + и(£)М£) = ещ(а (0,Л)

щ(£) = 0,

{0,Л}

(32)

Задачу (32) будем решать методом стрельбы [20]. Он состоит в решении задачи Коши, поставленной на одном конце интервала (0, Л), и поиске таких значений 8, при которых выполняется граничное условие на другом конце. Потенциал в (32) является монотонным.

Стрельба со стороны его максимального значения umax := max и(%) в сторону минимального umin := min и(%) даст лучшее выполнение граничного условия. Перед переходом от (9) к (32) применим правило смены системы координат

Г z, ±VS < 0 z ^ \ ' S (33)

[L - z, ±VS > 0

Тогда потенциал в (32) всегда будет возрастающим, и стрельба будет из точки % = А в точку % = 0 (справа налево).

Численное решение задачи Коши

Рассмотрим состояния носителя заряда с энергией umin < s < umax. Их волновые функции под потенциальным барьером быстро спадают и вблизи точки % = А могут оказаться пренебрежимо малыми. Организуем алгоритм формального смещения правой границы и выбора на ней значения производной волновой функции в задаче Коши. Это позволит повысить скорость и устойчивость расчётов.

В основе подхода лежит аппроксимация волновой функции в интервале под барьером [%+ , А], где %+ - правая точка поворота: и(%+) = s, s - начальное приближение к собственному значению s . Для оценки её скорости спада усредним нулевое квазиклассическое приближение [21]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цуриков Давыд Евгеньевич, 2015 год

Литература

1. Winkler R. Spin-orbit coupling effects in two-dimensional electron and hole systems. Berlin: Springer-Verlag, 2003. 194 p.

2. Цидильковский И.М. Зонная структура полупроводников. М.: Наука, 1978. 328 с.

3. Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел. М.: Наука, 1967. 492 с.

4. Borisenko V.E., Ossicini S. What is What in the Nanoworld. Weinheim: Wiley-VCH, 2008. 522 p.

5. Biswas Sett S., Bose C. Field emission from finite barrier quantum structures // Phys. B. 2014. V. 450, P. 162-166.

6. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998. 703 с.

7. Константинов О.В., Шик А.Я. Плазменные поверхностные состояния в полупроводниках // ЖЭТФ, 1970. Т. 58, С. 1662-1674.

8. Stern F. Iteration methods for calculating self-consistent fields in semiconductor inversion layers // J. Comput. Phys. 1970. V. 6. P. 56-67.

9. SternF. Self-consistent results for n-type Si inversion layers // Phys. Rev. B, 1972. V. 5. P.4891-4899.

10. Stern F. Quantum properties of surface space charge layers // Crit. Rev. Sol. St. Sci. 1974. V. 4, P. 499-514.

11. PalsI.A. Quantization effects in semiconductor inversion and accumulation layers // Phil. Res. Repts. Suppl. 1972. V. 7. P. 84.

12. Андо Т., Фаулер Ф., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. М.: Мир, 1985. 416 с.

13. Овсюк В.Н. Электронные процессы в полупроводниках с областями пространственного заряда. Новосибирск: Наука, 1984. 254 с.

14. Yafyasov A., Ivankiv I. Self-consistent quantum calculation of space charge region for accumulation and inversion band bending // Phys. Stat. Sol. (B). 1998. V. 208. I. 1. P. 41-49.

15. Yafyasov A.M., Ivankiv I.M., Bogevolnov V.B. Quantization of the free charge carriers on InSb at room temperature // Appl. Surf. Sci. V. 142. P. 629-632.

16. WangL., AsbeckP.M., Taur Y. Self-consistent 1-D Schrodinger-Poisson solver for III-V heterostructures accounting for conduction band non-parabolicity // Sol.-St. Elec. 2010. V. 54. I. 11. P. 1257-1262.

17. EdmondsM.T., Pakes C.I., Ley L. Self-consistent solution of the Schrodinger-Poisson equations for hydrogen-terminated diamond // Phys. Rev. B. 2010. V. 81. I. 8. № 085314.

18. Davies J.H. The physics of low-dimensional semiconductors. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. 438 p.

19. ЦуриковД.Е., Яфясов А.М. Дифференциальная ёмкость полупроводниковой плёнки // ФТП. 2010. Т. 44. В. 10. С. 1336-1340.

20. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

21. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 704 с.

22. Levinshtein M., Rumyantsev S., Shur M. Handbook series on Semiconductor Parameters. World Scientific Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1999. V. 2. 200 p.

23. MikhailovaA.B., PavlovB.S., ProkhorovL.V. Intermediate Hamiltonian via Glazman's splitting and analytic perturbation for meromorphic matrix-functions // Math. Nachr. 2007. V. 280. I. 12. P. 1376-1416.

24. Pavlov B. A Solvable Model for Scattering on a Junction and Modified Analytical Perturbation Procedure // Operator Theory. Advanced and Applications. 2009. V. 197. P. 281-336.

25. Datta S. Electronic transport in mesoscopic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. 377 p.

26. Лесовик Г.Б., Садовский И.А. Описание квантового электронного транспорта с помощью матриц рассеяния // УФН. 2011. Т. 181, № 10. С. 1041-1096.

27. Wulf U., Kucera J., Racec P.N., SigmundE. Transport through quantum systems in the R-matrix formalism // Phys. Rev. B, 1998. V. 58. I. 24. P. 16209-16220.

28. Racec P.N., Racec E.R., Neidhardt H. R-matrix Formalism for Electron Scattering in Two Dimensions with Applications to Nanostructures with Quantum Dots. Trends in Nanophys-ics, Engineering Materials. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010. P. 149-174.

29. Berthod C., Gagel F., Maschke K. Dc transport in perturbed multichannel quantum wires // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. I. 24. P. 18299-18311.

30. Mizuta H. Three-dimensional scattering matrix simulation of resonant tunnelling via quasi-bound states in vertical quantum dots // Microelectron. J. 1999. V. 30. I. 10. P. 1007-1017.

31. HeinzF.O., SchenkA. Self-consistent modeling of longitudinal quantum effects in nanoscale double-gate metal oxide semiconductor field effect transistors // J. Appl. Phys. 2006. V. 100. I. 8. № 084314.

32. Adamyan A., Pavlov B., Yafyasov A. Modified Krein Formula and Analytic Perturbation Procedure for Scattering on Arbitrary Junction // Operator Theory. Advanced and Applications. 2009. V. 190. P. 3-26.

33. Bagraev N.T., Pavlov B.S., Yafyasov A.M. Resonance quantum switch: search of the working parameters // International Conference on Simulation of Semiconductor Processes and De-

vices. September 3-5. 2003. Boston. USA. «Modeling and Simulation Issues in Strained Si MOSFET's». P. 275-278.

34. BagraevN.T., MikhailovaA.B., PavlovB.S., ProkhorovL.V., YafyasovA.M. Parameter regime of the resonance quantum switch // Phys. Rev. 2006. V. 71. P. 165308-165324.

35. Mello P.A., Kumar N. Quantum Transport in Mesoscopic Systems: Complexity and Statistical Fluctuations. Oxford: Oxford University Press, 2004. 401 p.

36. Smrcka L. R-matrix and the coherent transport in mesoscopic systems // Superlattices and Microstructures. 1990. V. 8. I. 2. P. 221-224.

37. Fraenkel A.A., Bar-Hillel Y., Levy A. Foundations of set theory. Elsevier Studies in Logic, V. 67, Ed. 2, revised, 1973. 412 p.

38. Hatano N. Distribution of Resonant Eigenvalues of Quantum Potential Scattering // eprint arXiv:0909.2463. 2009.

39. XuH.Q. Electrical properties of three-terminal ballistic junctions // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 78. I. 14. P. 2064-2066.

40. Shorubalko I., Xu H.Q., Maximov I., OmlingP., Samuelson L., Seifert W. Nonlinear operation of GaInAs/InP-based three-terminal ballistic junctions // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 79. I. 9. P. 1384-1386.

41. XuH.Q. A novel electrical property of three-terminal ballistic junctions and its applications in nanoelectronics // Phys. E. 2002. V. 13. P. 942-945.

42. Xu H.Q., Shorubalko I., Maximov I., Seifert W., Omling P., Samuelson L. A novel device principle for nanoelectronics // Mater. Sci. Eng. C. 2002. V. 19. P. 417-420.

43. Csontos D., Xu H.Q. Quantum effects in the transport properties of nanoelectronic three-terminal Y-junction devices // Phys. Rev. B. 2003. V. 67. I. 23. № 235322. P. 235322123532210.

44. Wallin D., Shorubalko I., Xu H.Q., Cappy A. Nonlinear electrical properties of three-terminal junctions // Appl. Phys. Lett. 2006. V. 89. I. 9. № 092124.

45. Irie H., Diduck Q., MargalaM., Sobolewski R., FeldmanM. J. Nonlinear characteristics of T-branch junctions: Transition from ballistic to diffusive regime // Appl. Phys. Lett. 2008. V. 93. I. 5. № 053502.

46. Meng F., Sun J., GraczykM., Zhang K., Prunnila M., Ahopelto J., Shi P., Chu J., Maximov I., Xu H.Q. Nonlinear electrical properties of Si three-terminal junction devices // Appl. Phys. Lett. 2010. V. 97. I. 24. № 242106.

47. Palm T., Thylen L. Analysis of an electron-wave Y-branch switch // Appl. Phys. Lett. 1992. V. 60. I.2. P. 237-239.

48. Palm T., Thylén L., Nilsson O., Svensson C. Quantum interference devices and field-effect transistors: A switch energy comparison // J. Appl. Phys. 1993. V. 74. I. 1. P. 687-694.

49. Wesström J.-O. J. Self-gating effect in the electron Y-branch switch // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. I. 12. P. 2564-2567.

50. ForsbergE., Wesström J.-O. J. Self-consistent simulations of mesoscopic devices operating under a finite bias // Solid-State Electron. 2004. V. 48. I. 7. P. 1147-1154.

51. Heigl A., Wachutka G. Simulation of quantum-ballistic nanoswitches // J. Comput. Electron. 2007. V. 6. P. 97-100.

52. Jones G. M., Yang C. H. Quantum steering of electron wave function in an InAs Y-branch switch // Appl. Phys. Lett. 2005. V. 86. № 073117.

53. Reitzenstein S., Worschech L., Hartmann P., Kamp M., Forchel A. Capacitive-coupling-enhanced switching gain in an electron Y-branch switch // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. I. 22. P. 2268041-2268044.

54. Hartmann D., Worschech L., Hofling S., Forchel A., Reithmaier J. P. Self-gating in an electron Y-branch switch at room temperature // Appl. Phys. Lett. 2006. V. 89. I. 12. № 122109.

55. Palm T., Thylén L. Designing logic functions using an electron waveguide Y-branch switch // J. Appl. Phys. 1996. V. 79. I. 10. P. 8076-8081.

56. Forsberg E. Reversible logic based on electron waveguide Y-branch switches. // Nanotech-nology. 2004. V. 15. I.4. P. S298-S302.

57. Reitzenstein S., Worschech L., Hartmann P., Forchel A. Logic AND/NAND gates based on three-terminal ballistic junctions // Electron. Lett. 2002. V. 38. I. 17. P. 951-953.

58. Xu H.Q., Shorubalko I., Wallin D., Maximov I., OmlingP., Samuelson L., Seifert W. Novel nanoelectronic triodes and logic devices with TBJs // IEEE Electron Device Lett. 2004. V. 25. I. 4. P. 164-166.

59. Wallin D., Xu H.Q. Electrical properties and logic function of multibranch junction structures // Appl. Phys. Lett. 2005. V. 86. I. 25. № 253510. P. 1-3.

60. Blakemore J.S. Semiconducting and other major properties of gallium arsenide // J. Appl. Phys. 1982. V. 53. № 10. P. r123-r181.

61. Хайкин С. Нейронные сети. Полный курс, 2-e изд. М.: Вильямс, 2006. 1104 с.

62. Kim R., M. Lundstrom. Notes on Fermi-Dirac Integrals // eprint arXiv:0811.0116. 2008.

63. Цуриков Д. Е., Яфясов А. М. Границы применимости асимптотических выражений для кейновского интеграла // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2006. Вып. 2. C. 20-28.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Теоретическая физика: в 10 т. Т. 5. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 616 с.

65. Цуриков Д. Е. Графическое правило для термодинамических величин // Вестн. С-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2010. Вып. 1. C. 161-163.

66. ГуртовВ.А. Твердотельная электроника. М. 2005. 492 с.

67. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 791 с.

68. Цуриков Д.Е., Яфясов А.М., Павлов Б. С. Эффект Рашбы в полубесконечном цилиндре: точное решение, спиновое вырождение // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2008. Вып. 2. C.17-26.

69. Цуриков Д.Е., Зубкова А.В., Яфясов А.М. Эффект Рашбы в кольце: структура энергетического спектра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2010. Вып. 1. C. 51-55.

70. Ларман К. Применение UML 2.0 и шаблонов проектирования. Практическое руководство, 3-е изд. М.: Вильямс, 2013. 736 с.

71. Страуструп Б. Язык программирования C++. Специальное издание. М.: Бином, 2011. 1136 с.

72. РутковскаяД., ПилиньскийМ., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечёткие системы. М.: Горячая линия - Телеком, 2006. 452 с.

73. Липпман С.Б., ЛажойеЖ., My Б.Э. Язык программирования C++. Базовый курс, 5-е изд. М.: Вильямс, 2014. 1120 с.