Моделирование колебательных спектров кристаллов с вакансиями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Корзов, Константин Николаевич

• Корзов, Константин Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корзов, Константин Николаевич

Введение

Глава 1. Основные формулы и алгоритмы моделирования динамики решётки и локальной атомной структуры дефектных кристаллов

1.1. Формулы и приближения в динамике решётки кристаллов

1.2. Динамические модели

1.2.1. Модель короткодействующего парного потенциала (КПП).

1.2.2. Модель оболочек

1.3. Рекурсивный метод

1.4. Моделирование локальной атомной структуры дефектной области

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование колебательных спектров кристаллов с вакансиями»

Большинство исследований в области физики твёрдого тела посвящено изучению свойств реальных кристаллов, содержащих различные дефекты. Наличие дефектов определяет ряд важных свойств твёрдых тел. Например, проводимость полупроводников может целиком зависеть от ничтожных количеств примесей [1] . Люминесценция и окраска многих кристаллов также вызвана имеющимися в них дефектами. При наличии примесей и дефектов в твёрдых телах могут быть значительно ускорены процессы диффузии.

Одним из простейших точечных дефектов в кристаллах являются вакансии. Хорошо известно, что дефекты вакансион-ного типа играют важную роль в различных диффузионных процессах [2, 3].

Многие свойства (оптические, диффузионные и т.п.) кристаллов с вакансиями определяются особенностями колебательных спектров кристаллической решётки. Информацию о динамике решётки дефектных кристаллов можно получать как экспериментальным, так и расчётным путём. Однако зачастую численное моделирование является единственным источником информации о колебательных спектрах кристаллов при наличии в них различного рода дефектов.

Наличие в кристаллах дефектов может приводить к появлению щелевых, локальных и резонансных колебаний. В дальнейшем будем объединять их общим термином - локализованные ■колебания, т.к. щелевые и локальные колебания локализованы в реальном пространстве, а резонансные - в пространстве частот. Одним из наиболее перспективных методов определения плотности колебательных состояний и частот локализованных колебаний является рекурсивный метод. Его эффективность по сравнению с другими методами отмечается, например, в [4].

В дефектных кристаллах атомы (ионы) смещаются относительно узлов идеальной решётки в новые равновесные положения. Очевидно, что для корректного описания свойств кристаллов с дефектами необходима информация о новой равновесной структуре атомов в дефектной области.

Для расчёта релаксации кристаллической решётки вблизи дефектов, наиболее широкое применение нашли различные численные методы, такие как метод Монте-Карло (МК) и метод Ньютона. Метод МК требует значительных вычислительных мощностей, что приводит к необходимости создания сложных компьютерных программ для распределённых вычислений. В данной работе использовался метод Ньютона, оптимизированный нами для достижения максимальной скорости вычислений, с целью определения смещений атомов в дефектной области, содержащей большое число атомов.

Несмотря на существенное влияние локализованных колебаний на различные физические процессы в реальных кристаллах, число работ, посвященных исследованиям локальной атомной и колебательной структур кристаллов с вакансиями, ограничено. Вероятно, это связано с большими экспериментальными и расчетными трудностями проведения таких исследований. При расчетах локальной атомной структуры и колебательных спектров кристаллов с вакансиями возникает ряд принципиальных вопросов, связанных с корректным выбором модели межатомного потенциала взаимодействия, выбором метода моделирования локализованных колебаний и определением вклада локализованных колебаний в наблюдаемые свойства и процессы. Кроме того, для ионно-ковалентных кристаллов существенным является построение корректных моделей вакансий, захвативших один или два электрона.

Как правило, в работах, посвященных моделированию физических свойств кристаллов с вакансиями, приводятся данные расчетов релаксации решетки в дефектной области и энергии образования вакансий с использованием различных потенциалов. Использование ряда потенциалов является не корректным, т.к. построенные на их основе дисперсионные кривые идеальных кристаллов существенно отличаются от экспериментальных данных. С другой стороны, во многих работах, при моделировании динамики решетки кристаллов с вакансиями релаксация решетки совсем не учитывается. Кроме того, в литературе отсутствует сравнительные исследования влияния вакансии на колебательные спектры кристаллов с различным типом химической связи. Также, до сих пор не проводились исследования локализованных колебаний, индуцируемых вакансиями в различном зарядовом состоянии в ионно-ковалентных кристаллах.

Несмотря на то,, что в реальных кристаллах вероятно существование комплексов вакансий (дивакансии, тривакансии и т.д.), информация в литературе о колебательной структуре кристаллов с такими комплексами еще более ограничена и в основном касается расчетов локальной атомной структуры и энергии образования вакансионных комплексов в металлах .

Таким образом, целью работы являлось изучение влияния вакансий в различном зарядовом состоянии и их комплексов на локальную атомную структуру и колебательные спектры кристаллов с различным типом химической связи.

Научная новизна работы: а) Впервые на основании расчётов симметризованных резонансных колебаний, индуцируемых вакансиями в кристаллах инертных газов Аг и Кг, дана интерпретация изменений колебательных спектров этих кристаллов при введении вакансий. б) Впервые с помощью рекурсивного метода проведены расчёты локальных колебательных спектров кристаллов Си с вакансиями на основе парного потенциала взаимодействия, полученного из теории резонансного модельного псевдопотенциала. Выделены симметризованные -резонансные колебания, определяющие особенности колебательных спектров кристаллов с вакансиями. в) Впервые на основе рекурсивного метода с учетом симметрии проведено моделирование динамики решетки кристаллов МдО с вакансиями в различном зарядовом состоянии в модели оболочек. Получены данные о частотах резонансных и локальных колебаний различных типов симметрии, индуцируемых вакансиями. г) Впервые с помощью рекурсивного метода в модели оболочек выполнены расчёты динамики решетки кристалла а-А1203 с вакансиями в различных зарядовых состояниях. д) С помощью разработанной компьютерной программы определена равновесная структура кристаллов Аг,Кг и Си с вакансиями и дивакансиями. е) Впервые в рамках рекурсивного метода рассчитаны колебательные спектры кристаллов Аг, Си и KI с нейтральными дивакансиями с учётом искажения кристаллической решётки вблизи дефектов.

Практическая ценность работы: а) Разработана программа для расчётов плотности колебательных состояний и энергии кластеров с большим числом атомов (до 100000 и более), что соответствует диаметру исследуемых частиц до 20 нм. б) Получена численная информация о локализованных колебаниях решётки в ряде кристаллов, представляющих практический интерес.

В первой главе представлены основные формулы и приближения, которые используются при моделировании динамики решётки кристаллов. Предложен упрощённый (модифицированный) квазиньютоновский метод для расчёта релаксации кристаллической решётки вблизи точечных дефектов.

Вторая глава посвящена моделированию динамики решётки кристаллов инертных газов и металлов в модели короткодействующего парного потенциала. Приведены результаты расчетов для кристаллов Аг, Кг и Си с моновакансиями.

В третьей главе представлены результаты моделирования динамики решётки ионных кристаллов с вакансиями в различных зарядовых состояниях. Приведены результаты расчётов для кристаллов KI, МдО и а-А1203.

Четвёртая глава посвящена изучению структуры и динамики решётки кристаллов Аг, Си и KI с дивакансиями. Равновесная структура кристаллов Аг и Си определялась модифицированным квазиньютоновским методом. Релаксация решётки вблизи нейтральной дивакансии в кристалле KI была получена с помощью метода молекулярной статики.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Корзов, Константин Николаевич

Выводы к главе 4.

1. Установлено, что во всех рассматриваемых кристаллах, независимо от типа химической связи, наиболее энергетически выгодной является дивакансия, образующаяся при удалении из решётки двух ближайших атомов.

2. В случае кристаллов инертных газов и металлов, в суммарных колебательных спектрах не обнаружено локализованных колебаний индуцируемых дивакансиями.

3. За счёт существования в спектре идеального кристалла KI щели, дивакансия приводит к возникновению щелевого колебания на частоте 2.8 ТГц. Данный пик возникает в результате смещения в длинноволновую область, колебательного спектра атомов К с координатами (-0.5, -0.5, 0.0); (-0.5, 0.0, -0.5); (-0.5, 0.5, 0.0); (-0.5, 0.0, 0.5). Спектр других ионов из ближайшего окружения дивакансии также смещается в длинноволновую область, но не выходит за пределы t спектра идеального кристалла.

4. Установлено, что резонансные и щелевые колебания, индуцируемые дивакансиями в ионно-ковалентном кристалле KI, связаны существенным образом с кулонов-ским дальнодействием. ш

93

Заключение

1.Реализован новый алгоритм поиска минимума полной энергии кластера (до 100000 атомов и более) в модели короткодействующего парного потенциала. Данный алгоритм по приблизительным оценкам является в 5+10 раз более производительным по сравнению со стандартным квазиньютоновским методом.

2. Впервые проведены расчёты симметризованных резонансных колебаний, индуцируемых вакансиями в кристаллах инертных газов Аг и Кг. Установлено, что индуцируемые вакансией резонансные колебания обуславливают увеличение (в среднем на 17+20%) локальной плотности колебательных состояний в области 1.4 - 1.8 ТГц для кристаллов Аг и в области 1.1 - 1.3 ТГц для кристаллов Кг.

3. Впервые с помощью рекурсивного метода проведены расчёты локальных колебательных спектров кристаллов Си с вакансиями на основе парного потенциала взаимодействия, полученного из теории резонансного модельного псевдопотенциала. Получены численные значения частот резонансных колебаний, индуцируемых вакансиями, для различных типов симметрии в кристаллах Си. Установлено, что индуцируемые вакансией резонансные колебания обуславливают увеличение (в среднем на 12%) локальной плотности колебательных состояний в области 5.3 - 6.4 ТГц.

4. Впервые проведены расчёты локальной колебательной структуры ионов вблизи анионных вакансий в различном зарядовом состоянии в ионно-ковалентных кристаллах. Показано, что изменение функции распределения электронной плотности в дефектной области приводит к качественным изменениям (различному числу резонансных колебаний) в колебательных спектрах кристаллов.

5. Получены новые параметры модели оболочек для кристаллов сс-А1203. В отличии от имеющихся в литературе, наши параметры удовлетворительно описывают не только упругие и диэлектрические, но и колебательные характеристики идеальных кристаллов корунда. С использованием полученных параметров, впервые с помощью рекурсивного метода в модели оболочек выполнены расчёты динамики решетки кристалла а-А1203 с вакансиями в различных зарядовых состояниях.

6. На примере кристаллов МдО и а-А1203, с использованием формализма эффективного взаимодействия вакансии в различном зарядовом состоянии с ближайшим окружением дана качественная интерпретация изменений колебательного спектра дефектных кристаллов в переходе по цепочке: нейтральная вакансия—^вакансия захватившая один электрон-^вакансия захватившая два электрона (Va->F+->F центров). В случае вакансии эффективное взаимодействие значительно уменьшается по сравнению с идеальным кристаллом. В результате этого плотность колебательных состояний значительно возрастает в низкочастотной части спектра. При захвате вакансией электронов, кулоновское взаимодействие возрастает. Следовательно, эффективное взаимодействие усиливается по сравнению с нейтральной вакансией, и спектр сдвигается в высокочастотную область.

7. С помощью разработанной программы проведены расчёты равновесной структуры кристаллов Аг и Си с дивакансиями . С учётом полученных искажений кристаллической решётки, впервые рассчитаны колебательные спектры кристаллов Аг и Си с дивакансией.

8. Впервые проведены расчёты колебательных спектров кристаллов KI с дивакансиями с учётом искажений решётки вблизи дефекта. Показано, что в спектре данного кристалла существует щелевое колебание, возникающее в результате смещения в длинноволновую область, колебательного спектра атомов К с координатами (-0.5, -0.5, 0.0); (-0.5, 0.0, -0.5); (-0.5, 0.5, 0.0); (-0.5, 0.0, 0.5). Спектр других ионов из ближайшего окружения дивакансии также смещается в длинноволновую область, но не выходит за пределы спектра идеального кристалла.

9. Установлено, что резонансные и щелевые колебания, индуцируемые вакансиями в различном зарядовом состоянии, в ионно-ковалентных кристаллах связаны существенным образом с кулоновским дальнодействием.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корзов, Константин Николаевич, 2005 год

1. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. М.: Физматгиз. 1963. - 696с.

2. Flynn С. P. Point Defects and Diffusion (Clarendon Press) 1972.

3. Doyama M., Yoshida S. Progress in the Study of Point Defects (University of Tokyo Press) 1977.

4. Кислов A.H. Исследование колебательных свойств ионных дефектных кристаллов рекурсивным методом: Дис. на соискание учёной степени канд. физ. мат. наук. Екатеринбург, 1992. 124с.

5. Gupta N.P., Garg Р.К. Dispersion of Phonons in Molecular Solids by an Anharmonic Rigid—Atom Model // Ann. Phys. 1975. Vol.95. №2. - P.281-294.

6. Aziz R.A., Chen H.H. An accurate intermolecular potential for argon // J. Chem. Phys. 1977. Vol.67. №12. - P.5719-5726.

7. Catlow C.R.A., James R., Mackrodt W.C., Stewart R.F. Defect energetics in alpha-A1203 and rutile Ti02. // Phys. Rev. 1982. Vol.B25. №2. - P.1006.

8. Lam N.Q., Dagens L., Doan N.V. Calculations of the properties of self-interstitials and vacancies in the face-centered cubic metals Cu, Ag and Au. // J. Phys. F. 1983. Vol.12. №13. - P.2503-2516.

9. Бётгер X. Принципы динамической теории решетки. -М.: Мир. 1986. 391с.

10. Heine V. Electronic Structure from the Point of View of the Local Atomic Environment, in Solid State

11. Physics Vol.35. ed. Ehrenreich H., Seitz F., Turnbull D. Academic Press. New York. 1980. P.1-127. И.Борн M., Кунь X. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ. 1958. - 488с.

12. Cowley R.A. The Lattice Dynamics of Ionic and Cova-lent Crystals. // Proc.Roy.Soc. 1962. Vol.268. №1332. - P.109-120.

13. Weaire D., Taylor P.C. Vibrational Properties of Amorphous Solids, in Dynamical Properties of Solids. Vol.4, ed. Horton G.K., Maradudin A.A. North-Holand. Amsterdam. 1980. P.1-62.

14. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В. Динамика и термодинамика кристаллической решётки. М. : ИздАТ. 2002. -384с.

15. Richardson D.D. Shell Model Calculations of Point Defect Formation Energies in Cubic Ionic Crystals // Сотр. Phys. Commun. 1982. Vol.28. - P.75-101.

16. Dennis J.E., More J.J. Quasi-Newton Methods, Motivation and Theory // SIAM Rev. 1977. Vol.19. - P. 4 689.

17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука. 1970. 664с.

18. Leibfried G., Breuer N. Point Defects in Metals. Vol.1, (Springer-Verlag) 1978.

19. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL: 4.1. М. : ДИАЛОГ-МИФИ. 2000. - 448с.

20. Guse М.Р., Kunz А.В. Vacancy Relaxation and Phonon Band Calculations for Solid Argon. // Phys. Stat. Sol. B. 1975. Vol.71. №2. - P.631-639.

21. Agrawal T.N., Gupta R.K., Gupta G.L. Lattice Dynamics of Rare-Gas Solids by Kihara's Potential. // Phys. Stat. Sol. B. 1975. Vol.68. №1 - P.307-317.

22. Kanzaki H. J. Point Defects if Face-Centered Cubic Lattice I. Distortion Around Defects. // J. Phys. Chem. Solids. 1957. - Vol.2. №1 - P.24-36.

23. Aziz R.A., Chen H.H. An accurate intermolecular potential for argon // J. Chem. Phys. 1977. Vol.67. №12. - P.5719-5726.

24. Fujii Y., Lurie N.A., Pynn R., Shirane G. Inelastic neutron scattering from solid 36Ar. // Phys. Rev. B. Vol.10. №8. - P.3647-3659.

25. Burton J.J., Jura G. The relaxation energy of vacancies and impurities in a molecular lattice. // J. Phys. and Chem. Solids. 1966. Vol.27. №6-7. -P.961-974.

26. Glyde H.R. Vacancy in solid argon. // J. Phys. and Chem. Solids. 1966. Vol.27. №10. - P.1659-1665.

27. Karasevskii A.I., Holzapfel W.B. Influence of vibrational anharmonicity and vacancies on the thermodynamic properties of rare gas crystals. //Low. Temp. Phys. 2003. Vol.29. №9-10. - P.711-715.

28. Skalyo J., Endoh Y., G. Shirane Inelastic neutron scattering from solid krypton at 10 K. //Phys. Rev. B. 1974. Vol.9. №4. - P.1797-1803.

29. Glyde H.R. Free Energies of Vacancies and Rare-Gas Crystal Mixtures. //Phys. Rev. B. 1971. Vol.3. №10. - P.3539-3546.

30. Yamamoto R., Haga K., Doyama M. Lattice Vibrations around a Vacancy in Cubic Crystals. // J. Phys. Soc. Japan. 1980. Vol.48. №1. - P.341-342.

31. Lam N.Q., Dagens L., Doan N.V. Calculations of the properties of self-interstitials and vacancies in the face-centered cubic metals Cu, Ag and Au. // J. Phys. F. 1983. Vol.12. №13. - P.2503-2516.

32. Scholz A., Lehmann C. Stability Problems, Low-Energy-Recoil Events, and Vibrational Behavior of Point Defects in Metals. // Phys. Rev. B. 1972. -Vol.6. №3. P.813-826.

33. Baskes M.I., Melius C.F. Pair potentials for fee metals. // Phys. Rev. B. 1979. Vol.20. №8. -P.3197-3204.

34. Girifalco L.A., Weizer V.G. Vacancy relaxation in cubic crystals. // J. Phys. Chem. Solids. 1960. -Vol.12. №3/4. P.260-264.

35. Rautiaho R.H. A Pair Potential Calculation of Vacancy Formation and Migration Energies for Aluminium and Copper. // Phys. Stat. Sol. B. 1983. Vol.115. №1. - P.95-103.

36. Erkoc S. A New Class of Empirical Many-Body Potential Energy Functions for Bulk and Cluster Properties. // Phys. Stat. Sol. B. 1992. Vol.171. №2. -P.317-324.

37. Fang J.-Y., Jonston R.L., Murrell J.N. Potential-energy Functions for Cu, Ag and Au Solids and their Application to Clusters of these Elements. // J. Chem. Soc. Faraday Trans. 1993. Vol.89. №11. -P.1659-1665.

38. Foiles S.M., Adams J.B. Thermodynamic properties of fee transition metals as calculated with the embedded-atom method. // Phys. Rev. B. 198 9. Vol.40. №9. - P.5909-5915.

39. Land P.L., Goodman B. Localized vibrations at vacant sites in cubic crystals. // J. Phys. Chem. Solids. 1967. Vol.28. №2. - P.113-136.

40. Кислов A.H., Мазуренко В.Г., Корзов К.Н., Расчет колебательных спектров кристаллов меди с вакансией. // ФТТ. 2003. Т.45. Вып.4. - С.582-587.

41. Корзов К.Н. Мазуренко В. Г. Моделирование локальной атомной и колебательной структуры кристаллов ot-Fe и Си с вакансиями. //Научные труды I отчётной конференции молодых учёных ГОУ УГТУ-УПИ. 2001. С.330.

42. Корзов К.Н. Мазуренко В.Г. Расчёт упругих и энергетических характеристик меди. // Научные труды II отчётной конференции молодых учёных ГОУ УГТУ-УПИ. 2002. С.278.

43. Dagens L. The resonant model potential: II. Total energy: Theory and application to copper, silver, gold an calcium. // J. Phys. F. : Metal. Phys. 1977. Vol.7. №7. - P.1167-1191.

44. Moriarty J. A. Total Energy of Copper, Silver, and Gold. // Phys. Rev. B. 1972. Vol.6. №4. - P.1239-1252.

45. Antonov V.N., Milman V.Yu., Nemoshkalenko V.V., Zhalko-Titarenko A.V. Lattice dynamics of FCC transition metals: A pseudopotential approach. // Z. Phys. B. 1990. Vol.79. №2. - P.223-232.

46. Upadhyaya J.C., Dagens L. Dispersion Relations for Noble Metals in the Resonant Model Potential // J. Phys. F: Metal Phys. 1979. Vol.9. №11. - P.2177-2184.

47. Nicklow R.M., Gilat G., Smith H.G., Raubenheimer L.J., Wilkinson M.K. Phonon Frequencies in Copper at 49 and 298°K. // Phys. Rev. 1967. Vol.164. №3. -P.922-928.

48. Капинос В.Г., Осецкий Ю.Н., Платонов П.А. Исследование энергий образования и структуры вакансионных комплексов в меди и а-железе методом машинного моделирования. // ФТТ. 1986. Т.28. №12. - С.3603-3609.

49. R.M.J. Cotterill and М. Doyama Lattice Defects and Their Interactions (Gordon and Breach Science, 1966) p. 1.

50. Вайнштейн И.А., Кортов B.C. Температурное поведение полосы 6.05 eV в спектрах оптического поглощения кислород-дефицитного корунда. // ФТТ. 2000. Т. 42. Вып.7. - С.1223-1229.

51. Bauerle D., Hiibner R. Isotope Spliting of the F-center In-Gap Mode in KI and KBr. // Phys. Rev. B. 1970. Vol.2. №10. - P.4252-4262.

52. Buisson J.P., Taurel L. Experimental Study of Raman Scattering by KI containing F-centers. // Phys. Stat. Solidi. B. 1974. Vol.63. №1. - P.k81-k84.

53. Glynn T.J., Hayes W., Wiltshire M.C.K. Raman Scattering of F-centers in SrF2. //J.Phys.C.: Solid State Phys. 1977. Vol.10. №1. - P.137-143.

54. Haridasan T.M., Govindarajan J., Nerenberg M.A., Jacobs P.W. Phonon Resonances associated with a Vacancy in CaF2. //Phys. Rev. B. 1979. Vol.20. №8. -P.3474-3480.

55. Taurel L., Buisson J.P., Ghomi M., Lefrant S., Sados A., Chapelle J., Billardon M. Study of Raman Scattering by KI, Nal and CsBr doped with F-centers. //J. Physiq. 1976. Vol.37. Coll.№7. Suppl. №12. -P.106-108.

56. Catlow C.R.A., Diller K.M., Norgett M.J. Interionic Potentials for Alkali Halides. // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1977. Vol.10. №9. - P.1395-1412.

57. Dolling G., Cowley R.A., Schittenhelm C., Thorson I.M. Normal Vibrations of Potassium Iodide. // Phys. Rev. 1966. Vol.147. №2. - P.577-582.

58. Gavartin J.L., Catlow C.R.A., Shluger A.L., Varaksin A.N., Kolmogorov Yu.N. Calculation of adiabatic barriers for cation diffusion in Li20 and LiCl crystals. // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 1992. -Vol.1. №1. P.29-38.

59. Sangster M.J.L., Peckham G., Saunderson D.H. Lattice dynamics of magnesium oxide. // J.Phys.C: Solid State Phys. 1970. Vol.3. №5. - P.1026-1036.

60. Billz H., Kress W. Phonon dispersion relations in insulators. // Springer ser. In solid-state sciences. 1979. Vol.10. P.241.

61. A. M. Stoneham and M. J. L. Sangster. The diffusion ions with multiple valence the oxidation of transition metal alloys. // Phil Mag B. 1985. Vol.52. №3. - P.717-727.

62. Lewis G.V., Catlow C.R.A., Potential models for ionic oxides // J Phys C: Solid State Phys. 1985. -Vol.18. №6. P.1149-1161.

63. Стоунхэм A.M. Теория дефектов в твёрдых телах. Т.1.(2.) М.: Мир. 1978. 569с. (357с.)

64. Huges А.Е., Henderson В. Color centers in simple oxides. In: Point defects in solids. Plenum Press. NY. 1972. Vol.1. P.555.

65. Klein B.M., Picket W.E., Boyer L.L., Zeller R. Theory of F centers in the alkaline-earth oxides MgO and CaO. // Phys. Rev. B. 1987. Vol.35. №11-15. -P.5802-5815.

66. Pandey. R., Vail. J. F-type centers and hydrogen anions in MgO: Hartree-Fock ground states. // J. Condens. Matter. 1989. Vol.1. №17 - P.2801-2820.

67. Eglitis R.I., Kuklja M.M., Kotomin E.A., Stashans

68. A., Popov A.I. Semi-empirical simulations of the electron centers in MgO crystal. // Comput. Mater. Sci. 1996. Vol.5. №4. - P.298-306.

69. Bialas H., Stolz H.J. Lattice Dynamics of Sapphire (Corundum). // Z. Physik. B. 1975. Vol.21. №4. -P.319-324.

70. Kappus W. Lattice Dynamics of Sapphire (Corundum). // Z. Phys. B. 1975. Vol.21. №4. - P.325-331.

71. Foiles S.M., Adams J.B. Thermodynamic properties of fee transition metals as calculated with the embedded-atom method. // Phys. Rev. B. 1989. Vol.40. №9. - P.5909-5915.

72. Kazuaki I. Lattice Dynamics of Corrondum. // Phys. Chem. Minerals. 1978. Vol.3. №1. - P.1-10.

73. B.C. Динамика решетки кристаллов корунда с вакансиями в различном зарядовом состоянии. // ФТТ. 2003. -Т.45. Вып.9. С. 1696-1699.

74. Kislov A.N., Mazurenko V.G., Korzov K.N., Kortov V.S. Interionic potentials and localized vibrations in A1203 crystals with vacancies. //Phys. B. 2004. -Vol.352. №1-4. P. 172-178.t

75. Dienes G.J., Welch D.O. Shell-model calculation of some point-defect properties in a-Al203. // Phys. Rev. B. 1975. Vol.11. №8. - P.3060-3070.

76. Catlow C.R.A., James R., Mackrodt W.C., Stewart R.F. Defect energies in a-Al203 and rutile Ti02. // Phys. Rev. B. 1982. Vol.25. №2. - P.1006-1026.

77. Masuda K. Vacancies and small vacancy clusters in BCC transition metals: calculation of binding energy, atomic relaxation and electronic and vibrational densities of states. //J. Physique 1982. -Vol.43. №6. P.921-930.

78. Johnson R.A. Point defect calculation for copper. //Phis. Chem. Solids 1965. Vol.26. №1. - P.75-80.

79. Ong С. К. Dipole Force Tensors of fects in a-Iron. // Phys. Stat. Vol.111. №1. P.331-336.

80. Vacancy-Type De Sol. B. 1982.