Моделирование и численное исследование динамики колебательных химических реакций полунеявными методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, кандидат наук Икрамов Рустам Джамолович

• Икрамов Рустам Джамолович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Икрамов Рустам Джамолович

1.5. Постановка задачи

Глава 2. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

2.1. Модифицированный алгоритм решения прямой задачи колебательной реакции на основе АВС-схем с действительными коэффициентами

2.2. Алгоритм решения прямой задачи колебательной реакции на основе метода Розенброка с комплексными коэффициентами

2.4. Алгоритм решения обратной кинетической задачи для колебательных реакций

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПОЛУНЕЯВНЫМИ МЕТОДАМИ

3.1. Решение прямой и обратной задач полунеявными методами на примере гомогенной колебательной реакции Белоусова-Жаботинского

3.1.1 Вычислительный эксперимент на примере классической модели Орегонатор

3.1.2 Вычислительный эксперимент на примере модели модифицированного Орегонатора

3.1.3 Вычислительный эксперимент на примере сокращенной модели Филда-Кереша-Нойеса

3.2. Решение прямой и обратной задач полу неявными методами

на примере гетерогенных реакций

3.2.1 Вычислительный эксперимент на примере модели Чумакова-Слинько

3.2.2 Вычислительный эксперимент на примере модели Пескова-Слинько

Глава 4. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

CHEMOSCILLATOR

4.1. Функциональное назначение программного комплекса и его

4.2. Структура, интерфейс и основные этапы работы с программой

4.3. Описание основных модулей, процедур и функций программного комплекса

Заключение

Литература

Приложение I. СВИДЕТЕЛЬСТВА О РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА

Приложение II. ФРАГМЕНТЫ ТЕКСТА ПРОГРАММЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и численное исследование динамики колебательных химических реакций полунеявными методами»

Актуальность темы исследования.

Химические превращения протекают, как правило, по многостадийным схемам. Изменения концентраций исходных веществ и промежуточных продуктов во времени не всегда описываются возрастающими или убывающими функциями, характеризующимися участками очень малого изменения концентрации того или иного компонента. В сложных химических процессах при наличии обратной связи вдали от состояния равновесия могут наблюдаться периодические изменения концентраций реагирующих веществ во времени, что влечет появление периодической зависимости скорости реакции от времени. Такие реакции называются колебательными или периодическими.

Изучение колебательных реакций остается актуальной задачей химической кинетики, поскольку оно имеет огромное значение для понимания сути явления катализа, а также для формулирования принципов использования периодических процессов в химической технологии.

Трудность решения задач, описывающих колебательные процессы, обусловлена необходимостью обеспечения правильных значений амплитуд и фаз на протяжении многих периодов. Это связано, прежде всего, с большой жесткостью и размерностью систем дифференциальных уравнений их математических моделей. Поэтому при выборе метода численного интегрирования системы дифференциальных уравнений следует учитывать её тип и характер, который может меняться в процессе интегрирования.

Классические явные схемы при решении прямых задач колебательных химических реакций чаще всего не демонстрируют ни численных, ни качественных правильных результатов в связи с их малой областью устойчивости. При решении некоторых жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применение неявных методов также дает неудовлетворительные результаты. Поэтому, наряду с неявными методами, разрабатывают специальные явные и полунеявные методы, пригодные для решения жестких задач. К таким методам относятся: метод Розенброка, класс (ш, к)-методов, АВС-схемы, которые обладают широкими областями устойчивости, хорошим соотношением скорости, эффективности и точности.

Одна из основных проблем при моделировании химических процессов сводится к поиску неизвестных констант скоростей, то есть решение обратной задачи. Во многом процесс поиска неизвестных кинетических параметров, его скорость и сходимость, зависит от выбора метода решения прямой задачи. В случае систем с нелинейной, хаотичной динамикой эта задача идет к нетривиальному решению, так как неизвестные кинетические константы иногда различаются на порядки.

Имеющиеся в настоящее время программные комплексы и пакеты, используемые для моделирования и анализа нелинейных моделей, как правило, рассчитаны на исследования простых систем. Очевидна необходимость создания программного обеспечения для исследования реальных химических процессов, что влечет за собой разработку специальных методов и алгоритмов, достаточно устойчивых для моделирования сложных нелинейных систем.

Целью работы является разработка алгоритмов для численного исследования динамики колебательных химических реакций на основе полунеявных методов.

Задачи исследования:

1. Разработка алгоритмов численного решения прямой задачи химической кинетики для колебательных реакций.

2. Численное исследование моделей гомогенных колебательных реакций (реакция Белоусова-Жаботинского) и моделей колебательных гетерогенных реакций (модель Чумакова-Слинько, модель Пескова-Слинько) на основе построенных алгоритмов. Нахождение амплитуд, периодов, режимов колебаний и фазовых портретов.

3. Разработка алгоритмов численного решения обратной задачи химической кинетики по определению параметров колебательных систем. Проведение вычислительных экспериментов по поиску кинетических параметров на примере модели Орегонатора и модели Пескова-Слинько

4. Создание программного комплекса, позволяющего проводить вычислительные эксперименты на основе разработанных алгоритмов, визуализировать результаты решения прямых и обратных задач, находить параметры колебаний, строить фазовые портреты моделей.

Научная новизна

лунеявного метода АВС-схемы и метода Розенброка с комплексными коэффициентами.

2. Создано программное обеспечение на основе разработанных алгоритмов, позволяющее осуществлять поиск решения прямой и обратной задач химической кинетики, определять наличие колебаний в системе, находить параметры колебаний (период, тип, амплитуду), строить фазовые портреты моделей.

3. Проведены вычислительные эксперименты по решению прямой и обратной задач с использованием разработанного программного комплекса на примере моделей гомогенных и гетерогенных колебательных реакций (гомогенная реакция Белоусова-Жаботинского, гетерогенная реакция окисления водорода на никелевом катализаторе, гетерогенная реакция восстановления азота Ы20 + Н2), построены кинетические зависимости и фазовые портреты, проанализировано поведение систем во времени.

4. Проведен сравнительный анализ различных реакционных схем, описывающих концентрационные колебания в реакции Белоусова-Жаботинского. Продемонстрированы изменение типов колебаний с учетом и без учета протекания реакции в реакторе.

Практическая значимость. Разработанный программный продукт «СЬетОвсШа^г» позволяет решать прямую и обратную задачи для колебательных моделей химических реакций. Программный продукт имеет дружественный интерфейс и зарегистрирован в Федеральной Службе по Интеллектуальной Собственности (РосПатент) и в Объединенном фонде

электронных ресурсов «Наука и образование» (ФГБНУ ИУО ОФЭРНиО).

Личный вклад автора состоит в разработке алгоритмов решения прямых и обратных задач колебательных реакций, разработке алгоритмов для исследования параметров колебаний, проведении вычислительных экспериментов решения прямых и обратных задач, проведении анализа полученных результатов, подготовке результатов исследования к публикации в научной печати.

Достоверность результатов обеспечивается использованием в качестве основы моделирования фундаментальных законов математики, химии, физики, выбором теоретически обоснованных численных методов, а также подтверждается удовлетворительным согласованием результатов проведенных расчетов с опубликованными данными других исследователей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на следующих Международных, Всероссийских и Региональных научных конференциях:

• Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2014; Москва, 2015);

•

дых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2013, 2014, 2015);

• Международной конференции «ПМТУКТ» (Воронеж, 2014, 2015);

моделирование процессов и систем» (Стерлитамак, 2013, 2014, 2015);

тальпые исследования процессов синтеза, модификации и переработки полимеров» (Уфа, 2014);

жения и приложения современной информатики, математики и физики» (Уфа, 2013);

ученых «ВНКСФ» (Ижевск, 2014; Омск, 2015);

моделирование на основе статистических методов» (Бирск, 2015);

лодежные инновации в машиностроении» (Ишимбай, 2014, 2015);

физико-математического факультета СФ БашГУ (руководители -профессор С.А. Мустафина, профессор В.И. Кризский).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий ВАК РФ, 3 статьи в журналах, индексируемых в SCOPUS, 2 зарегистрированных программных продукта, статьи и тезисы докладов в материалах конференций различного

уровня. В совместных работах постановка задачи принадлежит профессору С.А. Мустафиной. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 181 страница, включая 93 рисунка, 5 таблиц.

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, аргументирована научная новизна, показана практическая значимость полученных результатов, представлены сведения об апробации работы.

В первой главе проведен литературный обзор по тематике исследования. В ней рассмотрены и систематизированы работы, посвященные математическому моделированию колебательных химических реакций, численным методам решения прямых, обратных задач химической кинетики а также популярным программным и математическим пакетам.

Раздел 1.1 посвящен истории колебательных реакций, также в нем выделены основные классические модели колебательных химических реакций.

В разделе 1.2 выделены основные работы и обзор подходов к решению прямых задач химической кинетики.

В разделе 1.3 рассмотрены основные работы и подходы к решению обратных задач химической кинетики.

Раздел 1.4 посвящен основным математическим и химическим пакетам, позволяющие проводить численное моделирование реакций, а также решать обратные кинетические задачи. Продемонстрирована их несостоятельность на примере колебательной модели.

В разделе 1.5 представлены цель и задачи диссертационного исследования.

Во второй главе разработаны и построены алгоритмы решения прямых задач химической кинетики на основе АВС-схем и методов типа Ро-зенброка с комплексными коэффициентами.

В разделе 2.1 построен алгоритм на основе АВС-схем второго порядка точности. Приведен пошаговый алгоритм разработанного метода и основные рабочие формулы.

В разделе 2.2 построены алгоритмы на основе Ь-устойчивого метода Розенброка с комплексными коэффициентами второго порядка точности. Приведен пошаговый алгоритм метода и основные рабочие формулы.

В разделе 2.3 приведен алгоритм на основе полуаналитического подхода для решения прямой задачи. Продемонстрировано его применение на примере модели колебательной химической реакции.

В разделах 2.4 приведен алгоритм на основе комбинированного метода конфигураций и АВС-схем для решения обратной задачи химической кинетики. Приведен пошаговый алгоритм метода.

Третья глава посвящена апробации построенных алгоритмов и проведении вычислительных экспериментов на примерах моделей гомогенной колебательной реакции Белоусова-Жаботинского и гетерогенных колебательных реакций окисления водорода на никелевом катализаторе и реакции восстановления азота с помощью водорода. Построены зависимости изменения концентраций реагентов от времени и фазовые портреты. Проведен анализ полученных результатов. Определены типы и параметры колебаний.

В разделе 3.1 проведен вычислительный эксперимент по решению задач колебательной реакции Белоусова-Жаботинского.

В разделах 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3 проведены вычислительные эксперименты на различных моделях реакции Белоусова-Жаботинского, а именно, на моделях классического Орегонатора, расширенного и модифицированного Орегонатора, сокращенной модели Филда-Кереша-Нойеса. Построены зависимости изменения концентраций реагентов от времени и фазовые портреты. Проведен анализ полученных результатов. Определены типы и параметры колебаний.

В разделе 3.2 проведены вычислительные эксперименты по решению задач гетерогенных колебательных реакций. Построены кинетические зависимости, фазовые портреты, определены параметры колебаний.

В разделе 3.2.1 проведен вычислительной эксперимент на примере модели Чумакова-Слинько реакции окисления водорода на никелевом катализаторе. Проведен анализ полученных результатов. Определены типы и параметры колебаний.

В разделе 3.2.2 проведен вычислительной эксперимент на примере модели Пескова-Слинько реакции восстановления азота с помощью водорода. Проведен анализ полученных результатов. Определены типы и параметры колебаний.

В четвертой главе приведено описание структуры, основных модулей, процедур и функций программного комплекса, созданного на основе разработанных алгоритмов. Для разработки использовался язык Object Pascal в среде визуального программирования Embarcadero Rad Studio Delphi XE7.

В разделе 4.1 описаны структура программного комплекса, его функциональное назначение, минимальные требования для работы с программным комплексом, а также средства разработки.

В разделе 4.2 приведены структура и описание интерфейса программного комплекса и этапы работы с ним.

В разделе 4.3 приведено описание основных модулей, процедур, функций программного комплекса.

В приложениях приведены фрагменты исходного текста программного комплекса, свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной Службе по интеллектуальной собственности (РосПатент), свидетельство о регистрации программного комплекса в Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (ОФЭРНИО) Института научной и педагогической информации Российской академии образования Государственной академии наук.

Глава 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР 1.1. Классические примеры колебательных реакций

В начале ХХ1-го века в связи с бурным развитием компьютерных и информационных технологий вновь возник интерес к нестационарным и нелинейным явлениям в химической кинетике, называемых критическими [7]. Они характеризуются, в основном, множественностью стационарных состояний и автоколебаниями. Автоколебательными системами, в свою очередь, называются такие системы, проявляющиеся, во-первых, в незатухающих колебаниях вне зависимости от начальных условий, во-вторых, в их устойчивости по отношению к отклонениям от стационарного режима. Таким образом, в автоколебательной системе устанавливаются и поддерживаются незатухающие колебания за счет сил, зависящих от состояния системы [69].

Среди гомогенных реакций наиболее широко известна автоколебательная реакция Белоусова-Жаботинского. В гетерогенных каталитических реакциях критические явления обнаружены Г.К. Боресковым, М.Г. Слинько [6].

Интерес к изучению колебательных химических реакций начался с развитием термодинамики и химической кинетики во второй половине XIX века. В 1910 г. А.Д. Лотка на основе анализа системы дифференциальных уравнений предсказал возможность существования затухающих колебаний в химических системах. Впоследствии в работе [98] А.Д. Лотка предложил систему с двумя автокаталитическими реакциями с незатухающими колебаниями:

§ = к1х - к2 ^ = к2ху - кзу,

где х У _ концентрации промежуточных веществ, к1? к2, к3 - скорости химической реакции.

Несмотря на то, что данная система дифференциальных уравнений описывает лишь некоторую гипотетическую химическую реакцию, она послужила толчком к созданию теории колебаний и развитию химической кинетики.

В 1921 г. У. Брей опубликовал статью [88], в которой достаточно подробно описал первую колебательную жидкофазную реакцию:

5НО + 12 = 2ИЮз + 4Н2О,

(1.2)

5Н2О2 + 2Н1Оз = /2 + 5О2 + 6Н2О.

В 1930-х годах, основываясь на модели А. Лотки, Д.А. Франк-Каменецкий предложил упрощенную математическую модель колебательного горения углеводоров [79],[80]:

А + X % В + 2X,

X + У % В + 2У, (1.3)

А + У % В,

где А - исходные вещества, В - конечные продукты реакции, X - радикалы

У

Данной схеме реакции (1.3) соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

которая в точности совпадает с моделью Лотки-Вольтерры «Хищник-Жертва».

Решающий вклад в открытие колебательных реакций внесли Б.П. Белоусов и A.M. Жаботинский [63]. В 1951 году Б.П. Белоусов открыл и экспериментально исследовал химическую реакцию окисления лимонной кислоты броматом при катализе ионами церия в сернокислотной среде. Возникающий в ней периодический режим с колебаниями окраски стал классическим примером колебательных реакций. Статья Б.П. Белоусова не была принята к публикации «ввиду теоретической невозможности» описанной им периодичности химического процесса. В 1955 г. И.Р. Пригожин показал возможность существования в открытой системе химических колебаний около стационарного состояния, при этом достаточно удаленного от термодинамического равновесия. И лишь 1970-х - 1980-х годах было официально подтверждено открытие нового класса автоколебательных процессов.

Работы И. Пригожина, Б. Белоусова и др. ученых позволили выявить следующие результаты:

1. Показано, что в неравновесной химической системе стационарное состояние может потерять устойчивость, в результате этого появится несколько стационарных состояний или концентрационных колебаний.

2. Определены типы взаимодействия, ведущие к химической неустойчивости: автокатализ, перекрестные катализ и ингибирование.

мических реакций.

4. Открыто множество колебательных реакций, идущих в гомогенных и квазигомогенных системах в жидкой и газовой фазах.

5. Разработаны подходы, позволяющие направленно создавать химические осцилляторы из неколебательных реакций.

6. Показано, что в химических системах имеют место все мыслимые типы сложного динамического поведения.

7. Открыты химические автоволны и автоволновые структуры.

Наиболее полный математический анализ различных вариантов реакций класса Белоусова-Жаботинского и их колебаний и моделей в дальнейшем был проведен A.M. Жаботинским в работах [27]-[29], Дж. Мирр и [46], К. Шоуолтером [107], [108], [109], [111]. Моделирование и исследование реакции Белоусова-Жаботинского на различных катализаторах описаны в работах [104], [110]. Поверхностный анализ различных колебательных моделей гипотетических реакций описан в работах [16], [97], [102], [103]. В работах [96], [109] были предложены модели реакции Белоусова-Жаботинского, модифицированные с учетом протекания реакции в реакторе идеального смешения и периодического действия соответственно.

Реакция Белоусова-Жаботинского и ее модели нашли свое применение в различных областях науки. Так, С.Г. Уляхин показал в работе [77] использование динамических режимов реакции в обработке изображений. Сама реакция может демонстрировать поведение волновых фронтов, сходных с фронтами в твердых телах, геоматериалах и геосредах [30]. Так-

же с помощью этой реакции можно моделировать формирование спиральных волн в миокарде, которые связывают с фибрилляциями и различными аритмиями - опасными сердечными заболеваниями [68].

Анализ различных моделей класса реакций Белоусова-Жаботинского также проводился в работах российских исследователей Л.А. Прокуди-ной [66], В.К. Ванагом [9], [10], О.В. Носковым [53], Ю.Я. Бобыренко [3], А.Б. Рыжковым [70] и др.

Наиболее подробный анализ механизма временных колебаний в реакции Белоусова-Жаботинского был проведен Ричардом Филдом, Эндре Кёрёшем и Ричардом Нойесом в 1972 г. Хотя механизм Филда-Кереша-Нойеса был и модифицирован, уточнен и расширен, он все ещё широко принят, как, в основном, правильный и полный [28].

Механизм Филда-Кёрёша-Нойеса состоит из 11 реакций между 15 различными соединениями (табл. 1.1.), причем концентрации соединений достаточно сильно изменяются в ходе колебательного цикла. Поэтому кинетика реакции может быть описана системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, полученных применением закона действующих масс к каждой стадии, чаще всего решаемых численно. Для исследования колебаний, бистабильности и бегущих волн аналитически необходимо сведение полной модели к более простой. Р. Филд и Р. Нойес первыми показали, что механизм Филда-Кереша-Нойеса может быть упрощен до поддающейся анализу математической модели [90]. Однако эти упрощенные модели могут привести к очень сильным количественным и качественным расхождениям с данными экспериментов [28]. Ими были выбраны пять наиболее важных реакций: R3, R5, R2, R4 и ре-

Таблица 1.1. Механизм Филда-Кереша-Нойеса

Номер реакции Реакция Константы скоростей

(Ш) ИОВг + Вг- + И+ ^ ВГ2 + И2О к: = 8 • 109Моль_2 •сек-1, к_1 = 102сек-1

(К2) ИВгО2 + Вг- + И+ ^ 2ИОВг к2 = 2 • 109Моль_2 •сек-1, к_2 = 5 • Ю^Моль^сек-1

т ВгО_ + Вг- + 2И+ ^ ИВгО2 + ИОВг к3 = 2Моль_3 • тек-1, к_3 = 104Мол ь^сек-1

т 2ИВгО2 ^ ВгО_ + ИОВг + И+ к4 = 4 • 107Моль-1 • тек-1, к_4 = 1 • 10_10Мол ь_2се к-1

т ВгО_ + ИВгО2 + И+ ^ 2ВгО_ + И2О к5 = 104Моль~2 • тек-1, к_5 = 2 • 10_7Моль^сек-1

(Щ ВгО_ + Се3+ + И+ ^ ИВгО2 + Се4+ к6 = 6 • 105Моль_2 • тек-1, к-6 = 5 • 107Моль^сек-1

т ВгО_ + Се4+ + И2О ^ ВгО- + Се3+ + 2И+ к7 = ь-1 • тек-1, к_7 = 5 • 10_5Моль^сек-1

т Вг2 + СИ2(СООИ )2 ^ ВгСИ (СООИ )2 + Вг- + И+ = к8[И+\[МК ], к8 = 10_2Мол ь-1 • тек-1

(Щ 6Се4+ + СИ2(СООИ)2 + 2И2О ^ 6Се3+ + ИСООИ + 2СО2 + 6И+ ^ = к9[Се4+\[МК \, к9 = 0.09се к-1/(0.5Моль + [МК \)

(Ш0) 4Се4+ + ВгСИ (СООИ)2 + 2И2О ^ 4Се3+ + ИСООИ + Вг- + 2СО2 + 5И+ ^ю = к1о[Се4+\[ВгМК \, к10 = 0.025сек_7(0.2Моль + [ВгМК \)

(Ш1) Вг2 + ИСООИ ^ 2Вг_ + СО2 + 2И+ ^11 = кп[Вг2\[ИСООИ\/[И+\, к11 = 7.5 • Ю^сек-1

акция регенерации Вг_ и Се3+ - Я9 + Ш0 + 2Ш1. Обозначая последнюю суммарную реакцию за </, а её скорость за ку, их модель можно записать следующим образом:

^ = к3И2ЛУ - к2ИХУ + кБИЛХ - 2кХ2, ^ = -кзИ2ЛУ - к2ИХУ + НкуВ^, (1-5)

§ = 2къИЛХ - ку

где к - константы скоростей механизма ФКН соответствующих реакций, Н - число ионов Вг- освобождающихся на один ион Се4+, расходуемый во

время окисления органических веществ, A = [BrO-], B = [органические соединения], H = [H+], X = [HBrO2], Y = [Br_], Z = [Ce4+]. Полученная система (1.5) была названа Орегонатором [28]. Японские ученые К. Томита, А. Ито и Т. Ота предложили другую модель для описания поведения реакции Белоусова-Жаботинского, названную «Киото». В работе [113] они выделили реакции R2, R3, R5, R8, J как самые важные в механизме Филда-Кёрёша-Нойеса:

dX = кзН2AY - k2HXY + ksHACX(C - Z),

d¡- = kgHB + kjBZ - k3H2AY - k2HXY, (1.6)

§ = ksHAC-1X (C - Z) - kj BZ,

где C = [Ce].

С. Шмидт и П. Ортолева [105] полагали существенными реакции R1, Я2, Я3, R4 R5 R8 J в механизме Филда-Кёрёша-Нойеса. Их модель получила название «ИУатор»:

<Ш- = -kiHWY + 2k2HXY + k3H2AY + k4X2,

= -klH W Y + 2k2HX Y + k3H AY + k4x

dX = -k2HXY + k3H2AY - 2k4X2 + ksHAX,

dt = -kiHWY - k2HXY - k3H2AY + kgHB + hkjB,

§ = 2k4HAX - kj BZ,

(1.7)

где Ж = [НОВг].

В. Гайзерлер и Г. Фёльнер предложили модель, являющуюся сильно упрощенной моделью механизма Нойеса-Филда-Томпсона (НФТ) [92]. являющейся подсистемой механизма Филда-Кёрёша-Нойеса (реакции Я1-

R7):

^ = -к2НХУ + кзН2АУ - 2к4Х2 + квНАХ - коX, ^ = -к2НХУ - кзН2АУ + ко (У0 - У), (1.8)

§ = -2квНАХ + ко(^/0 - Я'), где И = [Св3+], Z/0 - концентрация Се3+ в растворе, втекающем в систему, к0 = ^/У, где V - скорость притока, V - объем реактора. Данная система по существу является моделью Орегонатора с к В = 0 и добавленными членами, отвечающими за проток.

Теоретические и экспериментальные исследования реакции Белоусова-Жаботинского по своему объему и числу превосходят все то, что сделано в отношении любой другой колебательной реакции. В силу того, что динамическое поведение реакции чрезвычайно разнообразно, а число её вариантов велико, механизм реакции всё же полностью не изучен.

1.2. Обзор методов и подходов к решению прямых задач химической кинетики

Математическое моделирование химической кинетики при исследовании разнообразных химических процессов приводит к уравнениям, в простейшем случае представляющим собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений [87]

dC = f (о, <1Л>

c(0) = c0, (1.10)

где с = (С1,С2,... , Сп) - вектор концентраций реагентов реакции, /(с) = (Л(с), /2(с),..., /п(с)) - вектор правых частей уравнений, которые строятся по заданной схеме реакции.

Решение задачи, характеризующееся колебательным поведением, имеет собственные значения вблизи мнимой оси и представляет собой колебательные процессы с медленно изменяющейся амплитудой. Трудность решения систем, описывающих колебательные процессы, обусловлена необходимостью обеспечения правильных значений амплитуд и фаз на протяжении многих периодов [71]. Это связано, прежде всего, с большой жесткостью и большой размерностью систем вида (1.9).

Определение 1. Задача Коши (1.9) называется жесткой па некотором интервале I С [Ь0,Ьк], если для г € I имеет место

1. Яв(Аг) < 07

2 шах^^ Де(-А^) 1

где А{, 1 ^ г ^ - собственные числа матрицы Якоби вычисленной на решении у (Ь) [47].

Задачи, приводящие к решению жестких систем вида (1.9), сводятся к определению собственных значений матрицы Якоби, имеющих большие отрицательные действительные части.

( дЩ дЩ

дЩ \

дх1 дх2 ' ' . дхп

/ (а) 5/2 (а) 5/2 (а)

дх1 дх2 ' ' . дхп

д/т(а) д/т(а) д/т(а)

(1.11)

Эхо

Поведение численных схем для жёстких задач принято исследовать на задаче Далквиста [45]:

У () У(), (1.12) £> 0,у(0) = 1.

Решением задачи Далквиста является у(£) = ехг, которое стремится к нулю при £ ^ го, когда Яе(Х) < 0. Для любой линейной схемы переход па следующий временной слой при решении задачи (1.12) имеет виду/ = Я(£)у, где Я(£) называется функцией роста или функцией устойчивости, зависящей от £ = Хт.

Определение 3. Схема называется Л-устойчивой, если | Я(£) 1 при, Яе(£) ^ 0.

Л

решения жестких задач.

Определение 4. Схема называется Ь-устойчивой, если она, Л-устойчивая и Я(£) = 0.

Определение 5. Схема называется Ьр-устойчивой, если она, Л-устойчивая и Я(£) = О(£_р) при | £ 0.

1

Для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений обычно применяют неявные методы, которые обеспечивают устойчивое интегрирование с большим размером шага. К таким методам относятся методы типа Рунге-Кутты третьего порядка [59], [67], четвертого порядка [58], [60], схемы и эффективность которых исследованы В.И. Пин-чуковым. В работе [31] предложен новый класс безитерационных схем, повторяющих свойства лучших неявных жестко-точных методов Рунге-Кутты. Однако авторами [31] подчеркивается, что основным недостатком предложенных ими схем является высокая степень обусловленности решаемых линейных систем по сравнению с традиционными методами за счет умножения матриц Якоби. Современные методы решения жестких задач используют декомпозицию матрицы Якоби системы уравнений с выбором главного элемента по строке или столбцу, а иногда и по всей матрице. При большой размерности исходной задачи декомпозиция практически полностью определяет общие вычислительные затраты [52].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Икрамов Рустам Джамолович, 2016 год

Литература

1. Асанова Н.В., Волчков В.М., Стяжин В.Н., Шишкин Е.В. Обратная задача химической кинетики при больших энергиях активации // Известия Волгоградского государственного технического университета. 2011. Т.9. №11. С. 5-10.

2. Белоусов Б. П. Периодически действующая реакция и её механизм // Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 г. М: Медгиз, 1959. С. 145.

3. Бобыренко Ю.Я. Модифицирование модели Орегонатора применительно к реакции Брея-Либавски // Вестник ЮУрГУ. 2009. №23. С. 26-29.

4. Бондарчук И. С., Курзина И. А., Бондарчук С. С. Методология решения задач физической химии инструментом Solver MS Excel // Высшее образование сегодня. 2014. №9. С.22-24.

5. Булатов М.В., Тыглиян A.B., Филиппов С. С. Об одном классе одно-шаговых одностадийных методов для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т.51, № 7. С. 1251-1265.

6. Быков В. И. Моделирование критических явлений в химической кинетике. М.: Наука, 1988. 345 с.

7. Быков В.И., Цыбенова С.Б. Нелинейные модели химической кинетики. М.: Ком-Книга, 2010. 350 с.

8. Вайтиев В.А. Двусторонние ограничения решений прямых и обратных задач химической кинетики: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2014. 151 с.

9. Ванаг В. К. Волны и динамические структуры в реакционно-диффузионных системах. Реакция Белоусова-Жаботинского в обращенной микроэмульсии.// Успехи физических наук. 2004. Т. 174. №. 9. С. 991-1010.

10. Ванаг В.К. Исследование пространственно распределенных динамических систем методами вероятностного клеточного автомата. // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. №. 5. С. 481-505.

11. Ващенко Г. В. Параллельный алгоритм явного трехстадийного метода типа Рунге-Кутты для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2011. №. 3. С. 96-97.

12. Ващенко Г. В. Параллельные явные одношаговые методы для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи современного естествознания. 2011. №. 1. С. 7576.

13. Ващенко Г.В. Разработка параллельных одношаговых методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики и биологии: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2012. 21 с.

14. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 2001. 382 с.

15. Вшишков В.А., Черных И.Г., Снытников В.Н. Использование современных информационных технологий для численного решения прямых задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование. 2005. Т.6. С.71-76.

16. Гарел Д., Г ар ел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. 148 с.

17. Гиззатова Э.Р. Обратные задачи химической кинетики для кинетически неоднородных реакций полимеризаций: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Уфа, 2015. 268 с.

18. Губайдуллин И.М. Информационно-аналитическая система решения многопараметрических обратных задач химической кинетики: Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Уфа, 2012. 243 с.

19. Губайдуллин И.М., Линд Ю.Б. Информационно-аналитическая система решения задач химической кинетики на основе современных высокопроизводительных вычислений // Вести. Ом. ун-та. 2010. №4. С. 137-146.

20. Губайдуллин И.М., Линд Ю.Б., К.Ф. Коледина Методология распараллеливания при решении многопараметрических обратных задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т.13. С. 28-36.

21. Губайдуллин И.М., Карпенко А.П., Нурисламова Л.Ф., Савелов A.C. Двухкритериальная идентификация кинетических параметров реакции гидроалюминирования олефинов алкилаланами // Наука и образование. 2013. №.12. С. 431-456.

22. Губайдуллин И.М., Карпенко А.П., Селиверстров Е.Ю., Тихонова М.В. Параллельный метод роя частиц в обратных кинетических задачах // Труды международной конференции «Научный сервис в сети Интернет-2011: экзафлопное будущее». М.: Изд-во МГУ. 2011. С. 244248.

23. Губайдуллин И.М., Рябое В.В., Тихноеа М.В. Применение индексного метода глобальной оптимизации при решении обратных задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т.12. №.1. С. 137-145.

24. Джанунц Г. А. Компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к моделилированию автоколебательных реакций: авто-реф. дис. ... канд. техн. наук. Таганрог, 2012. - 23 с.

25. Ерандаева Ю.В., Воробьев Е.С., Воробьева Ф.И. Расчет скорости химической реакции в MS EXCEL // Вестник Казанского технологического университета. 2011. №11. С. 88 - 91.

26. Егерев Д.Ю., Горбаченко В.И. Экспериментальное исследование нейросетевого алгоритма решения коэффициентной обратной зада-

чи // Известия Пензенского государственного университета имени В.Г.Белинского. Физико-математические науки. 2011. №26. С.392 - 398.

27. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974. 179 с.

28. Жаботинский A.M., Отмер X., Филд Р. Колебания и бегущие волны в химических системах. М.: Мир, 1988. 720 с.

29. Вавилин В.А., Жаботинский A.M., Ягужинский Л.С. Исследование зависимости поведения колебательной химической реакции от концентрации исходных реагентов. I. Реакция окисления малоновой кислоты. // Труды Всесоюзного симпозиума по колебательным процесса в биологических и химических системах. М.: Наука, 1967. С. 181 - 198.

30. Макаров П.В., Смолин И.Ю. и, др. Нелинейная механика геоматериалов и геосред / Отв. ред. Л.Б. Зуев. Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2007. 236 С.

31. Зубанов A.M., Ку тру хин H.H., Ширков П. Д. О построении линейно-неявных схем, LN-эквивалетных неявным методам Рунге-Кутты // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т. 4. №3. 0.483496.

32. Икрамов Р.Д., Мустафина С.А. Численное исследование моделей реакции Белоусова-Жаботинского на основе двухстадийного метода Ро-зенброка с комплексными коэффициентами // Системы управления и информационные технологии. 2014. № 2. С. 11-14.

33. Икрамов Р.Д., Мустафина С.А. Численное исследование моделей Орегонатора с использованием двухстадийного метода Розенброка с комплексными коэффициентами // Информационные технологии моделирования и управления. 2014. № 3. С. 211-217.

34. Икрамов Р.Д., Мустафина С.А. Численное исследование модели модифицированного Орегонатора методом Розенброка с комплексными коэффициентами // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. VII междунар. конф. «ПМТУКТ-2014» / под ред. И.Л. Батаронова и др. - Воронеж: Издательство «Научная книга», 2014. С. 165-168.

35. Икрамов Р.Д., Мустафина С. А. Алгоритм поиска констант скоростей колебательной реакции на примере реакции Белоусова-Жаботинского // Башкирский химический журнал. 2015. Т.22. №1. С.87-91.

36. Икрамов Р. Д. Программный комплекс «ChemOscillator»: Решение прямых и обратных задач на примере моделей Лотки-Вольтерра и Орегонатора / Икрамов Р.Д., Мустафина С.А. // М.:ФГБНУ ИУО РАО ОФЭРНИО, 2014. - №20583 от 04.12.2014.

37. Икрамов Р.Д. «ChemOscillator» моделирования колебательных химических реакций / Икрамов Р.Д., Мустафина С.А. // М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности (Роспатент), 2015. -№2015618213 от 03.08.2015.

38. Калиткин Н.И., Пошивайло И.П. Обратные Ls-устойчивые схемы Рунге-Кутты // Доклады Академии наук. 2012. Т. 442.№ 2. С. 175-

39. Кафаров В.В., Ветохин В.Н., Воярипов А.И. Программирование и вычислительные методы в химии и химической технологии. М.: Наука, 1972. 360 с.

40. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1976.

41. Кнауб Л.В., Новиков А.Е., Шитов Ю.А. Применение метода Рунге-Кутта-Мерсона для решения дифференциальных уравнений химической кинетики // Вестник КрасГАУ. 2010. № 2. С. 19-25.

42. Кнауб Л. В. Разработка эффективных явных методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики умеренной жесткости: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2009. - 20 с.

43. Коледина К.Ф., Губайдуллин Н.М. Программный комплекс для решения обратных задач химической кинетики и его реализация в виде виртуального испытательного стенда // Наука и образование. 2013. Ш. С. 385-398.

44. Коробов В., Очков В. Химическая кинетика. Введение с Mathcad/Maple/MCS. М.: Горячая линия - Телеком, 2009. 384 с.

45. Лимонов А.Г. Разработка двухстайдиных схем Розенброка с комплексными коэффициентами и их применение в задачах моделиро-

вания образования периодических наноструктур: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2010. 110 с.

46. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. М.:Мир. 1983. 399 с.

47. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997. 195 с.

48. Новиков Е.А. Аппроксимация матрицы Якоби в (т, 2)-методах решения жестких задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т.51. №12. С. 2194-2208.

49. Новиков Е.А. Максимальный порядок точности (М, 1)-методов решения жестких задач. // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2011. №3. С. 100-107.

50. Новиков Е.А. Исследование (т, 2)-методов решения жестких систем // Вычислительные технологии. 2007. №5. С. 103-115.

51. Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования жестких задач с помощью явных и неявных методов // Известия Саратовского университета. Новая Серия. 2012. Т. 12. С. 19-27.

52. Новиков Е.А. Численное моделирование модифицированного Оре-гонатора (2,1)-методом решения жестких задач // Вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 281-288.

53. Носков О. В. Численное исследование сложных колебательных режимов в реакции Белоусова-Жаботинского: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1993. - 24 с.

54. Пантелеев A.B. Метаэвристические алгоритмы поиска глобального экстремума / A.B. Пантелеев. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. 160 с.

55. Пантелеев A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах / A.B. Пантелеев, Т. А. Летова. М.: Высш. шк., 2005. 544 с.

56. Печёнкин A.A. Мировоззренческая роль колебательных химических реакций. // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. т. 2005. С.20-35.

57. Печёнкин A.A. Реакция Белоусова-Жаботинского как аргумент в дискуссии о сути бытия // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. Ш. 2012. С.28-40.

58. Пинчуков В. П. О неявных абсолютно устойчивых схемах Рунге-Кутты четвертого порядка // Вычислительные технологии. 2002. Т.7. №1. С. 96-105.

59. Пинчуков В. П. Сравнение неявных схем Рунге-Кутты // Вычислительные технологии. 2002. Т.7. №5. С. 44-57.

60. Пинчуков В. П. Эффективность неявных схем Рунге-Кутты четвертого порядка в задачах газовой динамики // Вычислительные технологии. 2003. Т.8. т. С. 70-79.

61. Подвальный С.Л., Велянин А.М., Плотников A.B. Методы решения прямой и обратной кинетических задач в зависимости от сложности

химической системы // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т.8. №5. С. 18-21.

62. Потапов В. П. О бифуркациях в динамической системе Чумакова-Слинько // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. 2011. №2. С. 146-155.

63. Полак Л. С., Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М.: Наука, 1983. - 286 с.

64. Пригожин П. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: ИЛ, 1960. - 150 с.

65. Пригожин П., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск: Наука, 1966. - 510 с.

66. Прокудина Л.А. Диффузионная неустойчивость в системе бромат-церий-малоновая кислота // Известия Челябинского научного центра. 1999. №2. С. 22-26.

67. Пинчуков В.П. О неявных схемах типа Рупге-Кутты третьего порядка аппроксимации // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. №2. С. 5973.

68. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. 560 с.

69. Рубин A.B., Пытъева, Н.Ф. Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. Учебное пособие. Изд-во Моск. ун-та. 1977. 330 с.

70. Рыжков А.Б. Исследование сложной динамики химических систем методами математического моделирования: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2000. 130 с.

71. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы Рунге-Кутты для жестких и колебательных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51, № 8. С. 1434-1448.

72. Слинько М.М., Слинько М.Г. Автоколебания скорости гетерогенных каталитических реакций // Успехи химии. 1980. Т.49. №4. С.561-587.

73. Тихонова М.В., Рябов В.В., Губайдуллин И.М. Методика агрегирования обратных кинетических задач с применением параллельного индексного метода глобальной оптимизации // Вестник УГАТУ. 2012. Т.16. т. С. 113-119.

74. Томилов И.Н., Шорников Ю.В., Достовалов Д.Н., Раздобреев М.М., Корсакова А.А., Петрова Л.О. Предметно-ориентированный анализ прямых задач химической кинетики // Наука и мир. 2014. Т.1. №6. С. 76-78.

75. Тропин А.В., Масленников С.П., Спивак С.П. Новый подход к решению нелинейных систем дифференциальных уравнений химической кинетики // Кинетика и катализ. 1995. Т. 36, № 5. С. 658-664.

76. Трубецков Д. П. Феномен математической модели Лотки-Вольтерры и сходных с ней. // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 2. С. 69-88.

77. Уляхин С. Г. Сложные динамические режимы реакционно-диффузионных сред типа Белоусова-Жаботинского и обработка изображений: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, 2006. 122 с.

78. Филиппов С.С., Тыглиян A.B. АБС-схемы для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Инженерный журнал: Наука и инновации. 2012. № 4. С. 161-165.

79. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. 502 с.

80. Франк-Каменецкий Д.А., Сальников И.Е. О возможности автоколебаний в гомогенной химической системе при квадратичном автокатализе. // Журнал физической химии. 1943. №17. С. 79-83.

81. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 685 с.

82. Чадов С.Н. Реализация проекционного явного метода решения жесткой системы ОДУ на графическом процессоре общего назначения // Вестник ИГЭУ. 2013. №4. С. 79-82.

83. Чумаков Г.А., Слинько М.Г., Беляев В.Д. Сложные изменения скорости гетерогенных каталитических реакций // ДАН СССР. 1980. Т. 253. №3. С.653-658.

84. Шорников Ю.В., Заркумова Р.Н., Абденова Г.А. Использование инструментального средства ИСМА для моделирования экономических процессов // Сибирская финансовая школа. 2007. №4. С. 46-50.

85. Шорников Ю.В. Имитационное моделирование билиарной системы средствами ИСМА // Опыт практического применения языков и программных систем имитационного моделирования в промышленности (ИММОД 2003): Всерос. науч.-практ. конф. (Санкт-Петербург, 23-24 окт. 2003 г.). СПб.:ФГУП «ЦНИИТС», 2003. №4. С. 142-147.

86. Шорников Ю.В., Новиков Е.А. Особенности компьютерного моделирования кинематики сыпучих сред в системе ИСМА // Вестник Крс-ноярского государственного университета. 2006. №10. С. 77-82.

87. Кнорре Д.Г., Эммануэль Н.М. Курс химической кинетики. М.: Высш. шк, 1974. 400 с.

88. Bray W.C. A periodic reaction in homogeneous solution and its relation to catalysis // J. Amer. Chem. Soc. 1921. V.43. №1. P.1262-1267.

89. Field R.J., Koros E., Noyes R.M. Oscillations in chemical systems. II. Thorough analysis of temporal oscillations in the bromate-cerium-malonic acid system //J. Am. Che. Soc. 1972. Vol. 94. P. 8649-8664.

90. Field R.J., Noyes R.M. Oscillations in chemical systems. IV. Limit cycle Behavior in a model of a real chemical reaction //J. Chem. Phys. 1974. Vol. 60. №5. P. 1877-1884.

91. Field R.J. Limit cycle oscillations in the reversible Oregonator //J. Chem. Phys. 1975. V.63. №6. P.2289-2296.

92. Geiseler W., Follner H. H. Three Steady Stile Situation in an Open Chemical Reaction System. Part 1. // Biophys. Chem. 1977. Vol. 6. P. 107.

93. Gillespie D. T. Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions // J. Phys. Chem. 1977. Vol. 81. №25. P. 2340-2361.

94. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations. Wiley, London. 1971. 306 pp.

95. Gray R. Casey An Analysis of the Belousov-Zhabotinskii Reaction // Undergraduate Math Journal. 2002. Vol. 3. Issue 1. P. 1-15.

96. Johnson B. R., Scott S. K. , Thompson B. W. Modelling complex transient oscillations for the BZ reaction in a batch reactor // American Institute of Physics. Chaos. 1997. Vol. 7. №2. P. 350-358.

97. Jun Li The Design and Manipulation of Bromate-Based Chemical Oscillators. A Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy. Windsor. 2013. 203 p.

98. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. Baltimore: Williams & Wilkins Company. 1925. 460 p.

99. Mari Carmen Lemos, Antonio Cordoba Sinusoidal Perturbation of the Oscillatory Kinetics of the N20 + H2 Reaction on Ir(110) // Catal lett. 2008. Vol. 121. P. 121-130.

100. Martin T. Scot Employing Complex Kinetic Diagrams to Understand the Belousov-Zhabotinskii Reaction // The Mathematica Journal. 2001. Vol. 8. Issue 1. P. 114-125.

101. Peskov N.V., Slinko M.M., Carahineiro S.A.C, Nieuwenhuys B.E. Mathematical modeling of rate oscillations in N20 reduction by H-2 and

CO over the Ir(llO) surface // Catalysis Today. 2005. Vol.105. №.2. P.223-233.

102. Rajeev Singh Brusselator As a Reaction-Diffusion System. A thesis for the degree of master of Science. Chennai. 2008. 96 p.

103. Rastogi R.P. Introduction to non-equilibrium physical chemistry. Towards complexity and non-linear science. Elsevier. 2008. 357 P.

104. Russo T. Modeling of a silver Ion Pertubed Belousov-Zhabotinskii Oscillator //J. Phys. Chem. 1990. Vol. 94. №10. P. 4120-4122.

105. Schmidt S., Ortoleva P. Electrical Field Effects on Propagating BZ Waves. Predictions of an Oregonator and New Pulse Supporting Models // J. Chem. Phys. 1981. Vol. 74. P. 4488.

106. Schmitz R.A., Graziani K.R., Hudson J.L. //J. Chem. Phys. 1977. V.67. P.3040.

107. Showalter K., Noyes R.M., Bar-eli K. A modified Oregonator exhibiting complicated limit cycle behavior in a flow system //J. Chem. Phys. 1978. Vol. 69. P. 2514-2524.

108. Showalter K. Trigger Waves in the Acidic Bromate Oxidation of Ferroin // J. Phys. Chem. 1981. Vol. 85. P. 440-447.

109. Showalter K., Gaspar V. Period lengthening and associated bifurcations in a two-variable, flow Oregonator. //J. Chem. Phys. 1988. Vol. 88. №2. P. 778-791.

110. Showalter K., S. Kadar, T. Amemiya Reaction Mechanism for Light Sensivity of the Ru(bpy)2+-Catalyzed Belousov-Zhabotinsky Reaction // J. Phys. Chem. A. 1997. Vol. 101. №44. P. 8200-8206.

111. Showalter K., Epstein I. R. Nonlinear Chemical Dynamics: Oscillations, Patterns, and Chaos // J. Phys. Chem. 1996. Vol. 100. №31. P. 1313213147.

112. Svetlana A. Mustafina, Rustam D. Ikramov, Vladimir A. Vaytiev Semi-analytical approach to the fixed systems of differential equations solution on the example of the oscillating model of the Belousov-Zhabotinsky reaction // International Journal of Applied Engineering Research. 2015. Vol. 10.№7.PP. 18357-18361.

113. Tomila K., Ito A., Ohta T. Simplified model for Belousov-Zhabotinskii Reaction //J. Theor. Biol. 1977. Vol. 60. P. 459.

Приложение I. Свидетельства о регистрации программного

продукта

СВИДЕТЕЛЬСТВО

и государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2015618213

«СпетОасншог» моделирования колеоатслъных

химических реакции

Правообладатель: федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Башкирский государственный университет» (кV)

Авторы: Икрам о в Рустам Джамолович (7?£/>,

Мустафина Светлана Анатольевна (кV)

Заявка № 2015614801

Дата поступления 05 июня 2015 Г.

Дата государственной рег истрации

в Реестре программ для ЭВМ 03 августа 2015 г.

Врио руководителя Федеральной службы

по интеллектуал ьнои собс твенности

1.Л. карий

íK) Информации»™* ^iifi г.i A111 i

Still loo.Kiimfl

ilftUcp, .i;lI1i

1'1'tl ItHliClinipiluiH ik"il:P <M I I

ЙКАП Ö 7ÏÎN ..........

Í0

M>S№-

5'I.ÍÚ HnOfTOpllitB

ItCUCp

BjjllHt _

" J.: ' 11-■ i i. nt-p.-: . 11:

S' ' 1 IlItlJI'jV'Clli.L II.HU-.- I Ih

■fH IH < I Kfkllim i Jit IMiMiltL

Pínunut*

IV mí h IV".

I .u.irm

S ÎJÎSÏ

■JQIVÍ íJ:h IIIOKIi^lklL-l I. ПО

■i(\ яропиицщкмвдгл»

íí fTínCi ирогрлчи Ком и. 1С/1 iqnrfHtUH

"Sí-I :i|Mi раним

T|],~?Oiuijli|I[C программы T9¡(OiMCiiM<it ирн«кчяии Tí тц PTO

7.1 I'.iiÍ'JiIhíi ju i püljklMil SI I Я pllMÉI I Л* ЕЦС ИИ п 5| npWptHMIttlfl МШиККЧ IS I (иф^рг 4|INI|IUV* Cip^K^'Pi Прочее

(vliji il ¡i-111 Ч Ii? im

'mojwwKhiíKi

(Töj-tu

Tüö Српк ' iK-.'-мчj < ¡laipiOoiitM

■("'?■(' РасправipjM^iibií ПГ1 Jí OpfíioiMiwiii-fWtipftíloi'inf © OyfiWi litutOL ицушт 4>Af t

45] I Ссртмфнынлч

j.l í"'i|ii:ni|'iiii]i|K>;'.hH,!

1 lotcpirlii.H рЦ.......

t"Bc;icniiii <ifi mi leiaitim, и jpcrc tu ил н i«il(r iL AlMI nu lili I'll Ц 1 ¿í7 I^'.i 10 ■;: í L ii-ci t J7ÍJ I íimj

[■"rílMi'lJH^S

[ÍJ3 ndHHiikmanift н-ниисшрстм^гедршст»m 2<W3 Kn.a HI IÎ1U L

МнИОЁртСЕуКИ POCÏHH

1\ 51 [ 1 iVllHLf-- 1 .111 V.L'H .' 1 .11 IM 1 ipr lUll 1 LI И 1 II

Ol tp.ui IJ1Ï1JIÏÎ kiiii i¡]IIJ;1i¿jI фиерШЛЧЧИ <i I«ïJílptlí^íillWfв finiлЛ1г 1 iiftl i) uii|ü liïiq le.lb Hütil учрСМЙНЫ JlUCHierfl fi |ч?<)кч;г ичиа. i tum и wj^ji щщшгн "^ьлшкнрщгй 1 otyiiipfi uihimfl щцчч'ч; Kl С r», CnfpNii perHüInVii. hul-сгглслсИнс OiP'JPIfjiU

13 JS Г окрп IHÏH4J e il ;i iiimi khhhshí i i|ii ■ и hi i ниш HÍ5 ViPTb Up lililí IJLj'.N

СФ Еа шГУ. I'd <№ )Р I liiO-C1 bf рлн i шх

JÍ.40Í. Р<е1|у6нмк* Eauitoptttt-Ji'i. г Счрммш«. nf«в, Леннни JÍ

С и г » и * об <||И il II h HI It M tt'|) Il IpJifttM 4 il k-t

ÍJIHJ JHtS8-ííi í?l d|t|IJl1 J4ILK

111? i ЬинСийМЙиС opmnjlliiiill

Сгфл m и u о koi im фиЦШ федерИыюш notyflnptnitNiio™ н"иплд>; TiiMOiíSfHlúiiiciiuidnJ j ч pvjn.it нич iwii crû Прй||>«г|Ю|1111ШМ»ГО Oisp.l'l H.'l ИЯ - lijnmi^tnill [ооущрл IkHllllll yjlHIKfCIITC 1

j s is t '..■ kju цен i юс i lUHJueiHMinu ■ ipi jjih млн1

2t>ïï Ащкб it,- мм 11 Нчин

L4ldil:l'y

4531Ф], ^ейдСпнфЕьдцршспи! г Стермплмак, <p|»lji. Лепит, -tV

61 Ï1 Лмори (ре j|Kiâ(ï)4iira ПС) ИкртН! П.Д., M^Linijuim СЛ

LJÍHS 1J;IIIULMII)EIII:IIIC мризрлчии

Проушины Ii n(phii il"--. (Qkrat>»tlJBl(w»: Решение лрщ un и U i ЯПриясрс Höecjitli Лткн-Цельтсрра л

QpWMiglOpi

IT F'Hi-iUi

\nuH4iî«l( lipcnpjuculLllH [l|knСkaiLtl. КПП lip:uili;i<>, ILil .4Util H%rН"1|1МЬ ГЧСМЛЧ Klt*ÖKINPI KV'IIILCHTp.mHII МСХОЛНИ^ lU'llK'C "I II irp<>Uf*yni4l°i|* Кр0лу*гт0> nu TipíUtHLI aiLJk'ND Ite КСГ.ТПОПКГЫИЗЮП'! ЮИрЛСТЭКЧДНЧШ шц^инюицши h'p IEELM и - могут 1ибл кщл i ií ч уча спи г№пинспв H.'iii нпыат шмгиеши) коищлггртии tmv ИЛИ HUCK О

кешгиикиш. кримШ t iifjitr pifxm. Дспи*тм нсслелопищ h iihgt i -i kii hidalij.ií дрдинщ» fним lxili. чщ iipn ц.ишмш

|||.>1>;||||иГ[ L и ¡i i ii,ui.i4 с с ришймпт щицлжин ли щнкиипише кцлгйм «i;.....m рщкчип-пернЬш'кпкн: вимрдтгашк-н_пи

yUCItUllCflUC хСпщсрп pnijiili «tliulö m ИЧШКИИМ nu фсчыт. Ilpi 4lKDtb№l ИССЖДОяКИИ «ОЛсйятоЛйШЯ релкипВ

ГОЗИНКИТ ирпй ll'M.I pl'MH'PH" ЖКшЛ LHCTLHIH 0б|.ШИОЯ!|ЩМК "M'f'l^pOUiLII.I ll.hll. \ ypjHJlCJIIIfl. ДЛЯ pCIIJL'lllia ii>H'|4ili

njhjöxojuimo иСподьтоиптъ tfteiiuLiniiiHir мсголм, ociicpimmiiiiIC из ненинил pieu:iiiuí ciniu, JUiilihij мдограммч

l^cmmwtja ДД4 ДОЦСЛ11рОВ|иН|1й Kii.k-:i,iii:.l'rliu\ npoweun, .1 HIHHH4 MQlfHH Орякнвдгорф п p.i L^L'piniii hl eñ(HtWCiwofl' форм« и MOjijí.'III: Jtfi I iíii ■ II4Ï.9I11 L']nji 1.1

Í1ÍÍ

Фачилин, инициалы Дллжшхтр. SnL-nïi.iij.ïiiiÉij [liairici. Ml I

1 \ мНИ'.И 1 Г. tipi ЛИ II UU. '■i 1 1 .-ÏCUIMIIHIUM' Л Al 1 t J[llpL'KI<1p 6210* 1.H.. inm^iKuip cm

РукОНДИТ рВр,(ФЛТИ (illa МугтфИРвС.Л. fil i1 II Jül. НфСДРОА ni№Kiii»ianif i " IL" 1 мр1 miLMbI I ÄI3I л.ф.-ч.н.. m

5Щ Hhiucvl'u уда 74,U Ля ra TflOft Пмшпирн hi

IÍ11.JM кшИпкки.ч pyÜpiLK

3I » 15 • 27 # * * * * * m »

564.1 ICjbotcböc слово

Kpdk 1к iei.l и и Mci ili ч Ki-ijidjiiHUí, h'.irfuirï.'iiHMi pL'ímiiiM. лк1- k* и irpi 1L1.1 и пг*, ............... НОЦЫь лОпп'р-ЬилЛйррм,

KHIIinWhKJdK XHilncTnuTu

f Г О С У Д Л I1 С Г В Е H H А И Л К Л Д Е M И Я LI Л У К

РОССИЙСКАЯ Л К Л Д L M И Я О Б Р A 3 Ó В Л И 11 >1

It H CT ПТУ 7 И Л У Ч f Ю il H H H Д Л I OfК Ч ВСКОЙ 1111-И] РМЛ и и и

ЦГЬЕДИНЕННЫЙ ФОНД ЭД РЕСУРСОВ "НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ

[.ЁТЕЛЬСТВО О РЕГИСТРАЦИИ К Т Р О H tí О Г О РЕСУРСА

№ 20583

МННГМРАО

Директор IDJHVÜ! 1'АО ftrt.ll Jipd^lïWtFp /

Pyti 'lKVCinUJEL (.№ >И IllO, Ill N lUTIky**

pLtíannlt ..........................t7!Ûi -; fc

Приложение II. Фрагменты текста программы

Листинг 1. Модуль main.pas

'A ■B ■C

procedure TChemOscilator.UpdateLabel; begin

A_rozen_re.Caption B_rozen_re.Caption C_rozen_re.Caption h_rozen_re.Caption tMax_rozen_re.Caption dx_rozen_re.Caption := alpha1_re_rozen_comp.Caption alpha1_im_rozen_comp.Caption alpha2_re_rozen_comp.Caption alpha2_im_rozen_comp.Caption betta1_re_rozen_comp.Caption betta1_im_rozen_comp.Caption betta2_re_rozen_comp.Caption betta2_im_rozen_comp.Caption A_re_rozen_comp.Caption A_im_rozen_comp.Caption C_re_rozen_comp.Caption C_im_rozen_comp.Caption h_rozen_comp.Caption := tMax_rozen_comp.Caption dx_rozen_comp.Caption := end;

+ Form4.A_rozen_re.Text; + Form4.B_rozen_re.Text; + Form4.C_rozen_re.Text; Шаг метода: ' + Form4.h_rozen_re.Text; = 'tMax: ' + Form4.tMax_rozen_re.Text;

'Точность призводной 'Alpha1.Re 'Alpha1.Im 'Alpha2.Re 'Alpha2.Im 'Betta1.Re 'Betta1.Im 'Betta2.Re 'Betta2.Re

= 'A.Re = 'A.Im = 'C.Re = 'C.Im Шаг метода:

' + Form4.dx_rozen_re.Text; + Form5.alpha1_re_rozen_comp.Text; + Form5.alpha1_im_rozen_comp.Text; + Form5.alpha2_re_rozen_comp.Text; + Form5.alpha2_im_rozen_comp.Text; + Form5.betta1_re_rozen_comp.Text; + F orm5.betta1_im_rozen_comp.Text; + Form5.betta2_re_rozen_comp.Text; + F orm5.betta2_im_rozen_comp.Text; + Form5.A_re_rozen_comp.Text; + Form5.A_im_rozen_comp.Text; + Form5.C_re_rozen_comp.Text; + Form5.C_im_rozen_comp.Text; + Form5.h_rozen_comp.Text; = 'tMax: ' + Form5.tMax_rozen_comp.Text; 'Точность призводной: ' + Form5.dx_rozen_comp.Text;

function Min(A, B: integer):integer; begin

if A < B then Min := A else Min := B; end;

function TChemOscilator.f_inverse(y0: VecN; n_eq: integer;params: VecP;model_index: integer;t_exp: VecExp;y_exp: MasExp;y_ch_index: VecP2;y_count: integer;izm_count: integer;period: real;period_count: integer):real; var

i, j, k: integer; s : extended; A, B, C, h: real; time, tMax: integer; dx: real; st: string; begin

s := 0;

A := StrToFloat(Form4.A_rozen_re.Text);

B := StrToFloat(Form4.B_rozen_re.Text);

C := StrToFloat(Form4.C_rozen_re.Text);

h := StrToFloat(Form4.h_rozen_re.Text);

tMax := StrToInt(Form4.tMax_rozen_re.Text);

dx := StrToFloat(Form4.dx_rozen_re.Text);

tMax := trunc(tMax / h);

for j := 1 to y_count do

for i := 1 to izm_count * period_count do

begin

t_exp[izm_count + i] := t_exp[i] + period; y_exp[izm_count + i, j] := y_exp[i, j]; end;

for time := 1 to tMax do begin

y0 := Rozenbrok(y0, n_eq, params, time, model_index, h, A, B, C, dx); for j := 1 to (izm_count * (1 + period_count)) do if (abs(time * h - t_exp[j]) < 0.0000001) then begin

for i := 1 to y_count do

s := s + abs(y0[y_ch_index[i]] - y_exp[j, i])/y_exp[j, i];

end;

end;

Result := sqrt(s);

end;

procedure TChemOscilator.Inverse(n_par: integer;n_eq: integer;y0: VecN;params: VecP;model_index: integer;n_ch_par: integer;params_ch_index: vecP2;params_ch: vecP;params_order: vecP;y_count: integer;y_ch_index: VecP2;izm_count: integer;t_exp: VecExp;y_exp: MasExp;period: real;period_count: integer); var

i, j, sum: integer; eps, a, l: extended; x_prev, y, x, t, k, d: vecP; eps2: extended; val, f1, f2 : extended;

begin

if (model_index = 5) then model_index := 10; if (model_index = 6) then model_index := 9; eps := 0.001; y := params_ch; a := 2; l := 1; x := y; i := 1; t := y;

for j := 1 to n_ch_par do d[j] := 1;

f1 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count); while (true) do begin

Application.ProcessMessages; t[i] := y[i] + d[i];

for j := 1 to n_ch_par do params[params_ch_index[j]] := t[j] * params_order[j];f1 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count);

for j := 1 to n_ch_par do params[params_ch_index[j]] := y[j] * params_order[j];

f2 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count); if f1 < f2 then

y[i] := t[i]

else begin

if (y[i] - d[i]) > 0 then t[i] := y[i] - d[i];

for j := 1 to n_ch_par do

params[params_ch_index[j]] := t[j] * params_order[j];

f1 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count);

for j := 1 to n_ch_par do params[params_ch_index[j]] := y[j] * params_order[j];

f2 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count);

if f1 < f2 then

y[i] := t[i]

else

t := y; end;

if (i = n_ch_par) then begin

for j := 1 to n_ch_par do

params[params_ch_index[j]] := x[j] * params_order[j];

f1 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count);

for j := 1 to n_ch_par do

params[params_ch_index[j]] := y[j] * params_order[j];

f2 := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count);

if f1 > f2 then begin

x_prev := x; x := y; for j := 1 to n_ch_par do y[j] := x[j] + l * (x[j] - x_prev[j]); t := y; i := 1;

end {if f(x_prev) > f(y) then}

else

begin

sum := 0;

for j := 1 to n_ch_par do if abs(d[j]) > eps then inc(sum);

if (sum <> 0) then begin

for j := 1 to n_ch_par do if abs(d[j]) > eps then d[j] := d[j] / a; y := x; i := 1;

end {if (i <= n) then}

else

break;

end;

end

else

inc(i);

for j := 1 to n_ch_par do

params[params_ch_index[j]] := x[j] * params_order[j];

val := f_inverse(y0, n_eq, params, model_index, t_exp, y_exp, y_ch_index, y_count, izm_count, period, period_count);

Memo1.Lines.Add('Значение функционала F = ' + FloatToStr(val));

for j := 1 to n_ch_par do

Memo1.Lines.Add('koef[' + IntToStr(params_ch_index[j]) + '] = ' +FloatToStr(x[j] *

params_order[j]));

end;

Memo1.Lines.Add('***** Решение обратной задачи найдено! *****■); for i := 1 to n_par do

Memo1.Lines.Add('koef[' + IntToStr(i) + '] = ' + FloatToStr(params[i]));

Direct(n_eq, y0, params, model_index, 0);

end;

procedure TChemOscilator.Direct(n_eq: integer; y0: VecN; params: VecP; model_index: integer;

method_index: integer);

var

time, i, j: integer; A, B, C, h, dx: real; tMax: integer;

a1, a2, b1, b2, A_comp, C_comp: TComplex;

y1, y2, y3: VecN;

y_temp : real;

ln_check : boolean;

aperiods: array of array of real;

periods, maxc, minc: array of real;

period: real;

inc_bool, dec_bool: boolean; count_inc, periods_count: integer; k, pr_period: integer; countpointsmax: integer; period_acc: real; T1 : TDateTime; MS: Integer; begin

Chart1.Series[1].Visible := true; ListBox1.Items.Clear; for i := 1 to n_eq do

ListBox1.Items.Add('График ' + IntToStr(i));

{ *** Определение параметров *** } A := StrToFloat(Form4.A_rozen_re.Text); B := StrToFloat(Form4.B_rozen_re.Text); C := StrToFloat(Form4.C_rozen_re.Text);

a1.re := StrToFloat(Form5.alpha1_re_rozen_comp.Text); a1.im := StrToFloat(Form5.alpha1_im_rozen_comp.Text); a2.re := StrToFloat(Form5.alpha2_re_rozen_comp.Text); a2.im := StrToFloat(Form5.alpha2_im_rozen_comp.Text); b1 .re := StrToFloat(Form5.betta1_re_rozen_comp.Text); b1 .im := StrToFloat(Form5.betta1_im_rozen_comp.Text); b2 .re := StrToFloat(Form5.betta2_re_rozen_comp.Text); b2 .im := StrToFloat(Form5.betta2_im_rozen_comp.Text); A_comp.re := StrToFloat(Form5.A_re_rozen_comp.Text); A_comp.im := StrToFloat(Form5.A_im_rozen_comp.Text); C_comp.re := StrToFloat(Form5.C_re_rozen_comp.Text); C_comp.im := StrToFloat(Form5.C_im_rozen_comp.Text);

{ *** Очистка графиков *** } for i := 0 to n_eq - 1 do

(Chart1.Series[i] as TLineSeries).Clear; { *** Определение параметров *** }

case method_index of 0, 4, 5: begin

h := StrToFloat(Form4.h_rozen_re.Text); tMax := StrToInt(Form4.tMax_rozen_re.Text); dx := StrToFloat(Form4.dx_rozen_re.Text); end; 1:

begin

h := StrToFloat(Form5.h_rozen_comp.Text); tMax := StrToInt(Form5.tMax_rozen_comp.Text); dx := StrToFloat(Form5.dx_rozen_comp.Text); end; 2:

begin

h := StrToFloat(Form4.h_rozen_re.Text); tMax := StrToInt(Form4.tMax_rozen_re.Text); dx := StrToFloat(Form4.dx_rozen_re.Text); end; 3:

begin

h := StrToFloat(Form4.h_rozen_re.Text); tMax := StrToInt(Form4.tMax_rozen_re.Text); dx := StrToFloat(Form4.dx_rozen_re.Text); end; end;

{ *** Определение количества точек интегрирования *** } tMax := trunc(tMax / h); { *** Подготавливаем прогресс бар *** } ProgressBar1.Max := tMax; ProgressBar1.Min := 0;

{ *** Если стоит галочка логарифмируем результаты *** } if (CheckBox1.Checked) then ln_check := true else ln_check := false; Memo2.Lines.Clear; T1 := Now;

for time := 1 to tMax do begin

case method_index of

0: y3 := Rozenbrok(y0, n_eq, params, time, model_index, h, A, B, C, dx); 1: y3 := RozenbrokImpl(y0, n_eq, params, time, model_index, h, a1, a2, b1, b2, A_comp, C_comp, dx);

{2: y3 := rozenbrok3(y0, h, params, time, model_index, n_eq, 0.00000000001,

0.435866521508459, 0.435866521508459, 0.435866521508459, -2.116053335949811,

0.435866521508459, 0.4782408332745185, 0.0858926452170225);

3: y3 := Gir(y0, n_eq, params, time, model_index, h, A, B, C, dx, y1, y2);}

2: y3 := Gir(y0, n_eq, params, time, model_index, h, A, B, C, dx, y1, y2);

3: y3 := Euler(Y0, n_eq, params, time,model_index, h);

4: y3 := RKM(y0, n_eq, params, time, model_index, h);

5: y3 := mkklass(y0, n_eq, params, time, model_index, h);

end;

if (time mod 1500 = 0) then

Application.ProcessMessages; ProgressBar1.Position := time; for i := 0 to n_eq - 1 do begin

y_temp := y3[i + 1];

if ((ln_check = true) and (y_temp > 0)) then y_temp := ln(y_temp); (Chart1.Series[i] as TLineSeries).AddXY(h * time, y_temp);

end;

if (method_index = 2) then begin

y0 := y1; y1 := y2; y2 := y3; end else y0 := y3;

end;

T1 := Now - T1;

Memo2.Lines.Add(FormatFloat('0.00', T1*24*60*60));

for i := 0 to n_eq - 1 do begin

Memo2.Lines.Add(,Максимальная концентрация ' + IntToStr(i + 1) + ' компонента = ' + FloatToStr(Chart1.Series[i].MaxYValue));

Memo2.Lines.Add(,Минимальная концентрация ' + IntToStr(i + 1) + ' компонента = ' + FloatToStr(Chart1.Series[i].MinYValue)); end;

{*** Определение периода версия 2 ***} count_inc := StrToInt(Count_points_period.Text); if CheckBox2.Checked then

count_inc := trunc(2 / h); inc_bool := false; dec_bool := false; countPointsMax := 0; periods_count := 0;

if (checkBox3.Checked) then for k := 0 to n_eq - 1 do begin

inc_bool := false;

dec_bool := false;

countPointsMax := 0;

SetLength(Periods, countPointsMax);

SetLength(MaxC, countPointsMax);

SetLength(MinC, countPointsMax);

period_acc := StrToFloat(Period_acc_edit.Text);

Memo2.Lines.Add('***** График № ' + IntToStr(k + 1) + ' *****■);

for i := count_inc to Chart1.Series[k].Count - count_inc - 1 do

begin

inc_bool := true; dec_bool := true; for j := i - count_inc to i do

if Chart1.Series[k].YValue[j] <= Chart1.Series[k].YValue[j - 1] then inc_bool := false; if (inc_bool = true) then begin

for j := i + 1 to i + count_inc do begin

if Chart1.Series[k].YValue[j] > Chart1.Series[k].YValue[j - 1] then dec_bool := false;

end;

if ((dec_bool = true) and (inc_bool = true)) then begin

period := (Chart1.Series[k].YValue[i] - Chart1.Series[k].YValue[i - 1]) / dx; if Period > period_acc then begin

inc(countPointsMax); SetLength(Periods, countPointsMax);

Periods[countPointsMax - 1] := Chart1.Series[k].XValue[i];

Memo2.Lines.Add('Пик в точке ' + FloatToStr( Chart1.Series[k].XValue[i] ) + ' = ' + FloatToStr( Chart1.Series[k].YValue[i] ));

SetLength(MaxC, Length(maxc) + 1);

Maxc[Length(maxc) - 1] := Chart1.Series[k].YValue[i]; end;

end; { if ((dec_bool = true) and (inc_bool = true)) then } end; {if (inc_bool = true) then} inc_bool := true; dec_bool := true; for j := i - 5 to i do

if Chart1.Series[k].YValue[j] >= Chart1.Series[k].YValue[j - 1] then inc_bool := false; if (inc_bool = true) then begin

for j := i + 1 to i + 5 do begin

if Chart1.Series[k].YValue[j] < Chart1.Series[k].YValue[j - 1] then dec_bool := false;

end;

if ((dec_bool = true) and (inc_bool = true)) then begin

//Memo2.Lines.Add(,Минимум в точке ' + FloatToStr( Chart1.Series[k].XValue[i] ) + ' = ' + FloatToStr( Chart1.Series[k].YValue[i] )); SetLength(MinC, Length(MinC) + 1);

Minc[Length(Minc) - 1] := Chart1.Series[k].YValue[i]; end; { if ((dec_bool = true) and (inc_bool = true)) then } end; {if (inc_bool = true) then} end; {for i := count_inc to Chart1.Series[k].Count - count_inc - 1 do} if (Length(Minc) > 0) then begin

A := MinC[0];

for i := 0 to Length(Minc) - 1 do begin

if MinC[i] < A then A := MinC[i]; end;

end;

if (Length(Maxc) > 0) then begin

B := MaxC[0];