Моделирование и анализ режимов сложных электротехнических систем на спектральных моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.02, доктор технических наук Степанов, Анатолий Владимирович

• Степанов, Анатолий Владимирович
• доктор технических наук
• 1995

Оглавление диссертации доктор технических наук Степанов, Анатолий Владимирович

Введение

Глава 1. Постановка задачи и методы анализа режимов сложных электротехнических систем при воздействии возмущений.

1.1. Постановка задачи исследования режимов сложных электротехнических систем.

1.2. Обзор методов моделирования режимов сложных электротехнических систем.

1.3. Дифференциальные преобразования и спектральные модели.

1.4. Выводы.

Глава 2. Дифференциально-комплексные преобразования и моделирование переходных процессов.

2.1. Представление переходных процессов в комплексной области.

2.2. Конформные отображения переходных процессов на комплексной плоскости.

2.3. Прямое и обратное дифференциально-комплексные преобразования.

2.4. Спектральные формы дифференциально-комплексных преобразований.

2.5. Преобразование дифференциально-комплексных спектров.

2.6. Локальная ошибка методов дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований.

2.7. Моделирование качаний ротора синхронного генератора.

2.8. Выводы.

Глава 3. Численное моделирование переходных процессов на дифференциально-спектральных моделях.

3.1. Дифференциальные изображения нелинейных функций.

3.2. Аппроксимация нелинейных характеристик сплайн функциями.

3.3. ДТ-схемы численного интегрирования.

3.4. Аппроксимационные ДТ-схемы численного моделирования.

3.5. Вычисление параметров переходных колебательных режимов с использованием эллиптических функций Якоби.

3.6. Выводы.

Глава 4. Математические и дифференциально-спектральные модели электротехнических систем.

4.1. Модель синхронного генератора.

4.2. Модель асинхронного двигателя.

4.3. Модель трансформатора.

4.4. Модель линии электропередачи.

4.5. Уравнения режимов электротехнических систем.

4.6. Консервативная модель электроэнергетической системы.

4.7. Выводы.

Глава 5. Анализ переходных процессов и динамической устойчивости прямым методом Ляпунова.

5.1. Функция Ляпунова энергетического типа многомашинной электроэнергетической системы.

5.2. Оценка запаса динамической устойчивости.

5.3. Анализ динамической устойчивости с использованием вектор-функции Ляпунова.

5.4. Вычисление множества положений равновесия электротехнических систем.

5.5. Определение критических значений функции Ляпунова.

5.6. Выводы

Глава 6. Программная реализация и компьютерное моделирование электротехнических систем при больших возмущениях.

6.1. Структурные компьютерные модели элементов электротехнических систем.

6.2. Расчет и моделирование трехфазного КЗ на шинах синхронного генератора.

6.3. Анализ динамической устойчивости двумашинного и трехмашинного эквивалента электроэнергетической системы.

6.4. Анализ и оценка запаса динамической устойчивости многомашинной электроэнергетической системы.

6.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и анализ режимов сложных электротехнических систем на спектральных моделях»

Актуальность проблемы. Создание сложных электротехнических систем для решения ряда глобальных задач в области энергетики, транспорта, связи, экологии является основой развития современной высокоинтегрированной экономики. К сложным электротехническим системам могут быть отнесены автономные электрические системы, системы электроснабжения на транспорте, крупных промышленных предприятий, крупномасштабные электроэнергетические системы. Сложные электротехнические системы состоят из большого числа различных подсистем, связанных для выполнения поставленных целей в единую многоуровневую иерархическую структуру. Управления сложными электротехническими системами вызывает особые трудности вследствие большого числа возможных состояний, различных возмущающих и управляющих воздействий. Например, в электроэнергетике одной из основных задач деятельности системы оперативно-диспетчерского управления согласно закону РФ "Об электроэнергетике" является «обеспечение надежного энергоснабжения и качества электрической энергии, соответствующих требованиям технических регламентов и иным обязательным требованиям, установленных иными нормативными актами, и принятие мер для обеспечения исполнения обязательств субъектов электроэнергетики».

Сложность управления режимами электроэнергетических систем связана с тем, что такие системы представляют собой многомерные нелинейные объекты, описываемые математическими моделями в виде систем нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений большой размерности. Многомерность, многосвязность и нелинейность являются характерными особенностями этих систем.

Для обеспечения устойчивого функционирования такого типа электротехнических систем в окрестности некоторого устойчивого положения равновесия, называемого рабочей точкой, необходимо исследовать переходные процессы на большом множестве различных возмущающих и управляющих воздействий. При устойчивом функционировании системы фазовые траектории локализуются в области, называемой областью динамической устойчивости, содержащую устойчивое положение равновесия,. Предполагается, что в окрестности положения равновесия может существовать множество особых точек, определяющих фазовый портрет системы [4, 28, 29, 37, 44, 68 - 72], что затрудняет анализ динамической устойчивости таких систем.

Надежность функционирования и живучесть электротехнических систем при воздействии различных возмущений обеспечивается качеством управления режимами и наличием запасов динамической устойчивости. Под динамической устойчивостью электроэнергетической системы понимают свойство системы возвращаться к послеаварийному устойчивому положению равновесия системы под действием больших возмущений. В электроэнергетике нарушение устойчивой параллельной работы синхронных генераторов в энергосистеме может быть вызвано различными причинами: отключением элемента сети, однофазным или многофазным коротким замыканием (КЗ), отключением генерирующих мощностей или крупного потребителя. Вследствие возмущения в системе возникает аварийный режим, который должен быть ликвидирован средствами противоаварийной защиты и автоматики или действиями оперативного персонала. После отключения возмущения система переходит в послеаварийный режим. Под действием возмущения в послеаварийной системе возникает переходной процесс, который может привести к нарушению динамической устойчивости и асинхронному ходу генераторов.

Динамическая устойчивость многомашинной энергосистемы зависит от интенсивности возмущающих воздействий и времени их отключения, от параметров нормального (доаварийного) режима, конфигурации системы и параметров послеаварийного режима.

Исследованию процессов в сложных электротехнических системах, разработке моделей, методов их анализа и их применению к решению практических задач посвящены работы многих ученых, как в странах ближнего (СНГ), так и дальнего зарубежья. Это, прежде всего такие исследователи, как: В.А. Веников, Н.И. Воропай, А.А. Горев, П.С. Жданов, В.И. Идельчик, А.А. Мартынюк, В.М. Матросов, И.П. Норенков, Г.Е. Пухов, В.А. Строев, J1.B. Цукерник, JI.O. Чуа, Lj.T. Grujic, М Ribbens-Pavella, и многие другие [1, 2, 4, 18, 20, 22, 27, 28, 34 - 36, 38-40, 42, 44, 46, 50, 51, 54, 57, 58, 61 - 63, 67-72, 76 - 78, 84, 87 - 89, 100, 103, 105, 106, 108, 111, 117 - 130, 141, 147, 150, 153, 187-189, 195, 201, 206, 209]. Ими получен целый ряд важных фундаментальных результатов.

Традиционно задачу исследования динамической устойчивости электроэнергетической системы решают методами математического моделирования, при этом вычисляется траектория движения роторов синхронных генераторов при воздействии на систему возмущения [2, 34, 52, 61, 88, 150], после которого возможно изменение структуры системы, переменных состояния. Несмотря на управляющее воздействие для отключения возмущения, фазовые траектории могут покинуть область притяжения послеаварийного положения равновесия. Произойдет нарушение устойчивой работы системы. Таким образом, чтобы оценить область динамической устойчивости системы необходимо произвести численное интегрирование аварийной траектории, а затем послеаварийной траектории, причем это необходимо сделать для достаточно большого набора возмущающих и управляющих воздействий. Вследствие этого, для качественного анализа динамической устойчивости системы необходимо производить многовариантные расчеты траекторий движения, требующие больших вычислительных затрат. В то же время методы численного моделирования позволяют использовать достаточно подробные математические модели системы, учитывающие особенности электромагнитных и электромеханических процессов в системе и получать достоверные фазовые траектории движения.

Наряду с численными методами расчета переходных процессов [12, 16, 23, 74, 107, 111, 131, 195] в электротехнике получили широкое распространение операторные методы на основе интегрального преобразования [33, 75, 85]. Эти методы позволяют получить решение в аналитическом виде, однако операторные методы на основе интегральных преобразований применимы только к линейным системам. Разработанный Г.Е. Пуховым [120 - 125] операторный метод дифференциальных преобразований, в отличие от операторных методов на основе интегральных преобразований, позволяет получить решение в аналитическом виде не только в линейных, но и в нелинейным системах. При анализе фазовых траекторий кроме их вычисления целесообразно получить качественные оценки переходного процесса для заданного возмущения в системе. Это направление, развиваемое рядом авторов [93, 95, 98, 110], анализа нелинейных систем основано на теории устойчивости динамических систем и прямом методе Ляпунова. Основными проблемами при разработке методов анализа динамической устойчивости сложных электротехнических систем является построение адекватных моделей и функций Ляпунова, а также разработка эффективных методов их анализа.

Вместе с тем, несмотря на полученные исследователями существенные результаты, сложность задачи анализа переходных процессов и динамической устойчивости электротехнических систем с множеством положений равновесия делает актуальными развитие и разработку специальных и эффективных методов математического моделирования, ориентированных на современные средства компьютерного моделирования и информационных технологий. Развитие методов математического моделирования сложных электротехнических систем должно касаться следующих аспектов:

- исследований в области построения и анализа математических моделей (с точки зрения их точности и адекватности);

- разработки эффективных методов математического анализа нелинейных систем, в плане развития операторных методов моделирования нелинейных систем;

- разработки качественных методов (прямого метода Ляпунова) для анализа и оценки запасов динамической устойчивости.

Разработка методов решения этой задачи позволит более эффективно выбирать управляющие воздействия для повышения надежности и живучести электротехнических и электроэнергетических систем.

Особенностью развиваемого в работе подхода является совместное использование методов численного моделирования и методов качественного анализа для исследования переходных процессов и определения наиболее тяжелых возмущений. При этом для расчета переходных траекторий используются современные операторные методы математического моделирования (метод дифференциальных преобразований) и более сложные модели, позволяющие учитывать особенности электромагнитных процессов в электротехнической системе [143, 145]. Для качественного анализа системы (оценки запасов динамической устойчивости) используется метод функций Ляпунова [3, 80, 81, 184] и упрощенные консервативные модели системы. Вычисленные с помощью метода дифференциальных преобразований динамические траектории используются для определения седловых точек и критического значения функции Ляпунова энергетического типа [3]. Функция Ляпунова используется для определения наиболее опасных направлений движения роторов синхронных машин и оценки наиболее тяжелых возмущений [3]. Также разработана приближенная методика оценки запасов динамической устойчивости для определения наиболее тяжелых возмущений [80, 81]. Методика основана на аппроксимации функции Ляпунова в окрестности положения равновесия квадратичной формой. Проведенные исследования показали, что гибридный подход позволяет получать наиболее приемлемые с практической точки зрения оценки запасов динамической устойчивости, и применим к системам большой размерности. Эта методика предполагает вычисление на более точных моделях системы фазовых траекторий и оценку запасов с использованием упрощенной консервативной модели системы. Реализация развиваемого подхода, к решению задачи анализа динамической устойчивости, ориентирована на использование современных средств вычислительной техники и информационных технологий.

К задачам решаемых в данной работе относятся:

- развитие метода дифференциальных преобразований, применительно к моделированию переходных процессов в электротехнических и многомашинных электроэнергетических системах, описываемых системами нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений, в плане уменьшения вычислительных затрат при получении математической модели в области дифференциальных изображений и вычислении дифференциальных спектров;

- развитие аппроксимационных методов для более эффективного описания характеристик нелинейных систем и вычисления дифференциальных спектров с использованием полиномов и сплайн-функций;

- разработка на основе дифференциально-спектральных моделей нелинейных систем новых эффективных операторных методов моделирования нелинейных систем, с использованием представления динамических процессов в комплексной области;

- разработка методов моделирования колебательных процессов в нелинейных системах с применением спектральных моделей в области дифференциально-комплексных изображений;

- разработка методов расчета параметров колебательных процессов по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби;

- построение аппроксимационных численных методов и численных схем моделирования динамических процессов при различных возмущениях на основе спектральных моделей систем в области дифференциальных изображений;

- построение спектрально-дифференциальных моделей электротехнических систем в области дифференциальных изображений;

- разработка и усовершенствование методов анализа и оценки запаса динамической устойчивости для электротехнических и многомашинных электроэнергетических систем с использованием скалярной и векторной функций Ляпунова.

Целью работы является развитие теории и разработка новых методов математического моделирования и анализа динамической устойчивости сложных электротехнических систем при различных возмущающих воздействиях. Поставленная цель достигается посредством разработки способов представления и аппроксимации сложных процессов, формализованных методов построения дифференциально-спектральных моделей систем, применением операторных методов на основе дифференциальных и дифференциально-комплексных преобразований, методов скалярных и векторных функций Ляпунова.

Диссертация выполнена в соответствии с планами научно-исследовательских работ по темам «Альфа», «Базис», «Тейлор», «Сигма-1» в ИПМЭ HAH Украины и программой фундаментальных исследований ГКНТ Украины < раздел "Информатика", шифр темы "Дельта").

Методы исследования. Методологические основы работы составляют: теория обыкновенных дифференциальных уравнений, качественная теория дифференциальных уравнений, теория аппроксимации функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, теория эллиптических функций, теория дифференциальных преобразований, теория устойчивости движения, метод функций Ляпунова, теория систем, методы интервального анализа, методы вычислительной математики и математического моделирования, теория электрических цепей и электрических машин, теория электромеханических и электроэнергетических систем, теория устойчивости электрических систем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Рассмотрены возможности метода дифференциальных преобразований применительно к моделированию переходных процессов в нелинейных системах. Отмечено, что наиболее важным моментом, ограничивающим практическое применение метода является трудоемкость процедуры получения дифференциальных изображений нелинейных функций. Исследованы различные методы вычисления дифференциальных изображений нелинейных функций. Наиболее эффективным является вычисление дифференциальных изображений на основе представления нелинейных зависимостей эквивалентным дифференциальным уравнением.

2. Разработаны методики оптимальной аппроксимации нелинейных характеристик систем полиномами и сплайн-функциями, что позволяет повысить эффективность построения спектральных математических моделей нелинейных систем в области дифференциальных изображений.

3. Предложен метод дифференциально-комплексных преобразований отображающий переходные процессы в комплексную область. Дифференциально-комплексные преобразования основаны на прямом преобразовании, которое позволяет перейти от действительных функций времени (оригиналов) к комплекснозначным функциям (изображениям). Рассмотрены возможности конформных отображений изображений на комплексной плоскости и исследованы их свойства. Разработаны методы обратного преобразования, перехода от изображений (комплекснозначных функций) к оригиналам (действительным функциям аргумента ?)•

4. Получены дифференциально-комплексные изображения ряда основных функций: степенных, экспоненциальных, гармонических, эллиптических функций Якоби. Исследованы конформные отображения различного вида изображений переходных процессов представленных кривыми на комплексной плоскости.

5. Получены спектральные формы прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования в области дифференциальных изображений. Спектральные формы позволяют с помощью дифференциальных спектров вычисленных по спектральной модели системы определить дифференциально-комплексные изображения, такой подход существенно упрощает выполнение прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования.

6. На основе дифференциально-комплексных преобразований построен численно-аналитический метод моделирования переходных процессов использующий спектральную модель в области дифференциальных изображений.

7. Рассмотрены дифференциальные преобразования эллиптических функций Якоби и разработан метод вычисления с использованием спектральных моделей параметров колебательных процессов в нелинейных системах. Вычисление параметров колебательных процессов производится путем приравнивания дифференциальных спектров эллиптических функций Якоби и спектра полученного по спектральной модели системы.

8. На основе разработанного метода, использующего эллиптические функции Якоби и спектральную модель системы, получены аналитические выражения, позволяющие вычислить параметры колебаний (амплитуда, частота) ротора синхронной машины при различных возмущениях.

9. На основе припасовывания дифференциальных спектров построены схемы численного интегрирования переходных процессов с использованием спектральных моделей системы в области дифференциальных изображений.

10. Разработаны модификации (для случая использования полинома Чебышева и полинома Лежандра) аппроксимационных ДТ-схем численного интегрирования, основанных на спектральных моделях системы. Этот подход позволяет повысить точность при аппроксимации решения степенными рядами.

11. Построены спектральные модели основных элементов электротехнических систем в области дифференциальных изображений, позволяющие получить дифференциально-спектральную модель электротехнической системы и вычислить дифференциальные спектры переходных процессов при воздействии различных возмущений. Получены спектральные модели для расчета режимов электротехнических систем.

12. Исследованы возможности анализа динамической устойчивости электроэнергетических систем прямым методом Ляпунова. Отмечено, что наиболее значимые с практической точки зрения результаты получены использованием функции Ляпунова энергетического типа, сохраняющей структуру сети.

13. Предложена методика анализа динамической устойчивости, основанная на декомпозиции системы и применении векторных функций Ляпунова, использующая аппроксимацию нелинейностей системы полиномами. Аппроксимация полиномами позволяет формализовать процедуру декомпозицию системы на подсистемы. Однако проведенные исследования показали, что метод векторных функций Ляпунова приводит к получению существенно заниженных оценок области динамической устойчивости, которые не имеют практической ценности.

14. Разработана методика анализа переходных процессов и оценки запасов динамической устойчивости в электротехнических системах с использованием фазовых траекторий. Фазовые траектории вычисляются с помощью спектральных моделей в области дифференциальных изображений. Запас динамической устойчивости определяется с использованием функции Ляпунова энергетического типа для консервативной модели системы.

15. Разработан метод приближенного определения критического значения функции Ляпунова. Критическое значение функции Ляпунова вычисляется с применением прямой заданной параметрическим уравнением. Эта прямая проходит через устойчивое положение равновесия и точку локального максимума потенциальной составляющей функции Ляпунова на фазовой траектории, вычисленной для заданного возмущения.

16. Предложена методика для приближенного определения критического значения функции Ляпунова. При поиске критического значения используется аппроксимация квадратичной формой функции Ляпунова в окрестности положения равновесия. Далее вычисляется собственный вектор матрицы квадратичной формы соответствующий минимальному по модулю собственному числу, который используется для поиска критического значения функции Ляпунова. Эта методика позволяет локализовать поиск критического значения функции Ляпунова в некоторой области фазового пространства и предназначена для сокращения вычислительных затрат при определении критического значения.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты позволяют:

1. Повысить эффективность методов математического моделирования сложных электротехнических систем, описываемых нелинейными системами алгебро-дифференциальных уравнений. Это достигается развитием операторных методов основанных на дифференциальных преобразованиях и использованием спектральных моделей электротехнических систем.

2. Повысить точность и адекватность моделирования процессов на основе использования аппроксимационных ДТ-схем численного моделирования на спектральных моделях электротехнических систем в области дифференциальных изображений.

3. Повысить эффективность моделирования колебательных процессов в нелинейных электротехнических системах путем использования предложенного метода дифференциально-комплексных преобразований и эллиптических функций Якоби.

4. Расширить возможности прямого метода Ляпунова при анализе динамической устойчивости многомашинных систем путем использования предложенной методики основанной на вычислении фазовых траекторий и функций Ляпунова для оценки запаса динамической устойчивости.

5. Упростить и повысить эффективность методов определения критического значения функции Ляпунова в сложных электротехнических системах с применением аппроксимационных методов.

6. Уточнить оценки областей устойчивости для многомашинных электроэнергетических систем на основе методов скалярной и векторных функций Ляпунова.

7. Увеличить быстродействие, надежность и достоверность методов анализа устойчивости крупномасштабных электроэнергетических систем при воздействии различных возмущений.

8. Более обоснованно производить планирование режимов и выбор управляющих воздействий для обеспеченья надежного функционирования электротехнических систем.

С использованием предлагаемых методов и алгоритмов разработан комплекс программ для моделирования процессов и анализа устойчивости сложных электротехнических систем.

Апробация работы. Основные положения диссертации апробировались на конференциях и семинарах: На международном симпозиуме по вопросам рационального управления энергетикой и широкое распространение опыта в этой области в центральной и восточной Европе (г. Киев, 1994 г.). На международной научной конференции "Эффективность и качество электроснабжения промышленных предприятий" (г. Мариуполь, 1994г.), на Всесоюзных конференциях "Проблемы нелинейной электротехники" (г. Киев, 1981, 1984, 1992 г., г. Черкассы, 1988 г.). На Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (г. Ташкент, 1987 г.). Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование в энергетике" (г. Киев, 1990 г.). Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы моделирования динамических систем" (г. Кишинев, 1988 г.). На Республиканских школах семинарах "Теоретическая электротехника, электроника и моделирование" (г. Львов, 1981, 1983, 1987, 1989, 1993 г.). Республиканских школах семинарах "Дифференциальные преобразования и их приложения" (г. Житомир, 1985, 1987 г., г. Киев 1989, 1991, 1993 г.). Республиканской научно-технической конференции "Проблемы автоматизированного моделирования в электронике" (г. Киев 1893 г.), научных конференциях Института проблем моделирования в энергетике НАН Украины, 7-й научной конференции Московского технологического университета «СТАНКИН».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 43 работы. Основные научные результаты работы изложены в монографии [186].

На защиту выносяться:

1. Операторный метод дифференциально-комплексных преобразований. Методика отображения процессов во временной области в комплексную область. Спектральные формы прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования. Методы восстановления переходных процессов во временной области по дифференциально-комплексным спектрам.

2. Методы численного моделирования на основе дифференциально-комплексных преобразований.

3. ДТ-схемы численного интегрирования ОДУ, построенные на основе формул припасовывания дифференциальных спектров.

4. Аппроксимационные варианты ДТ-схем численного моделирования электротехнических систем.

5. Методика определения параметров колебательных процессов по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби.

6. Методики аппроксимации нелинейных характеристик электротехнических систем сплайн-функциями.

7. Методика анализа и оценки запасов динамической устойчивости электроэнергетической системы основанная на вычислении фазовых траекторий и их анализе с использованием функции Ляпунова энергетического типа.

8. Методика определения критического значения функции Ляпунова для консервативной модели электроэнергетической системы использующая квадратичную форму, аппроксимирующую функцию Ляпунова в окрестности положения равновесия.

9. Методика оценки областей динамической устойчивости сложных электротехнических систем на основе метода вектор функций Ляпунова.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждена численными экспериментами, проведенными при выполнении плановых НИР Института проблем моделирования в энергетике НАН Украины, сравнительным анализом с результатами, полученными в известных работах других исследователей, а также необходимыми математическими доказательствами.

Совокупность полученных в диссертации результатов можно квалифицировать как новое достижение в развитии перспективного научного направления по разработке методов моделирования и анализа переходных процессов и динамической устойчивости сложных электротехнических систем на спектральных моделях.

Разработанные методы, алгоритмы и программы способствуют значительному совершенствованию методов анализа сложных электротехнических систем, позволяют повысить надежность и живучесть функционирования электротехнических систем при выборе режимов и управляющих воздействий.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теория систем, теория автоматического регулирования и управления, системный анализ», Степанов, Анатолий Владимирович

223 6.5. Выводы

1. Проведенные исследования позволили разработать программы и построить структурные компьютерные модели, реализующие разработанные методы для моделирования и анализа запасов динамической устойчивости сложных электротехнических систем. Разработанные структурные компьютерные модели основных элементов электротехнических систем используются при моделировании системы, вычислении фазовых траекторий, вычислении и исследовании функции Ляпунова. Разработанные программы и модели позволяют вычислять фазовые траектории углов роторов синхронных генераторов, определять неустойчивые положения равновесия, производить анализ и оценку запасов динамической устойчивости при воздействии больших возмущений.

2. Проведен анализ переходных процессов и запасов динамической устойчивости двухмашинного и трехмашинного эквивалентов электроэнергетической системы при воздействии возмущения в виде трехфазного КЗ на одной из линий. Анализ динамической устойчивости проводился для различных длительностей отключения КЗ. Полученные результаты подтвердили эффективность предлагаемых методик анализа и оценки запасов динамической устойчивости при воздействии различных возмущений. Проведенные исследования и вычислительные эксперименты подтвердили возможность использования консервативной модели системы при оценке запасов динамической устойчивости.

3. С использованием предлагаемых методов в работе приведен пример расчета многомашинный электроэнергетической системы, получены оценки запаса динамической устойчивости для различной интенсивности возмущений. Вычисления проводились для возмущения в виде короткого замыкания на одной из линий. Интенсивность возмущений варьировалась путем изменения проводимости шунта при постоянном времени отключения возмущения. Проведенные исследования запасов динамической устойчивости многомашинных электроэнергетических систем показали, что такая методика повышает эффективность и достоверность получаемых результатов по анализу и оценке запаса динамической устойчивости сложных электротехнических систем. На практике использование предлагаемых методов позволяет обеспечить большую обоснованность принимаемых решений при выборе режимов и управляющих воздействий для повышения живучести и надежности функционирования сложных электротехнических систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований разработаны методы анализа динамической устойчивости сложных электротехнических систем, в которых возможно существование множества положений равновесия (как устойчивых, так и неустойчивых). Особенностью предлагаемых методов является совместное использование операторных методов и качественных методов - метода функций Ляпунова при анализе переходных процессов и динамической устойчивости сложных электротехнических систем. При этом разработаны методы, основанные на спектральных моделях системы в области дифференциальных изображений и на качественных методах анализа (оценки запаса динамической устойчивости) - методе функций Ляпунова. В диссертационной работе были получены следующие основные результаты:

1. Исследованы возможности операторного метода дифференциальных преобразований применительно к моделированию переходных процессов в нелинейных системах.

2. Предложен метод дифференциально-комплексных преобразований, основанный на представлении переходных процессов комплекснозначными функциями действительного аргумента.

3. Получены спектральные формы прямого и обратного дифференциально-комплексного преобразования в области дифференциальных изображений.

4. На основе дифференциально-комплексных преобразований разработаны методы численного моделирования переходных процессов в нелинейных системах на спектральных моделях в области дифференциальных изображений.

5. Разработаны методы вычисления дифференциальных изображений нелинейных функций с использованием аппроксимации нелинейных характеристик полиномами и сплайн-функциями.

6. Разработаны и исследованы методы численного интегрирования переходных процессов на основе спектральных моделей в области дифференциальных изображений. На основе уравнений связи между дискретами дифференциального спектра на смежных интервалах и метода припасовывания разработан подход и построены как явные, так и неявные методы численного интегрирования.

7. Построены аппрокснмационные варианты ДТ-схем численного моделирования с полиномиальными нелинейностями электротехнических систем.

8. Разработана методика расчета параметров колебательных процессов в нелинейных системах на основе эллиптических функций Якоби и использованием спектральных моделей в области дифференциальных изображений.

9. Рассмотрены математических модели основных элементов электротехнических систем (синхронного генератора, асинхронного двигателя, трансформатора, линии электропередачи) и на основе метода дифференциальных преобразований получены их спектральные модели в области дифференциальных изображений.

10. Предложена методика анализа динамической устойчивости на основе прямого метода Ляпунова, использующая для оценки запаса динамической устойчивости функцию Ляпунова энергетического типа и фазовые траектории, вычисленные на основе спектральных моделей.

11. Предложена методика оценки запаса динамической устойчивости, основанная на экстраполяции зависимости критического значения функции Ляпунова от интенсивности возмущения (проводимости шунта, времени отключения возмущения и т. д.). Методика позволяет уменьшить число вариантов при расчете фазовых траекторий и получить приближенную оценку критического значения функции Ляпунова.

12. Предложена методика анализа динамической устойчивости на основе метода векторных функций Ляпунова и исследованы ее возможности.

13. Разработана методика приближенного определения критических значений функции Ляпунова, основанная на аппроксимации ее составляющей Щ8) квадратичной формой, что позволяет сократить вычислительные затраты при определении критического значения функции Ляпунова.

14. Полученные в диссертационной работе результаты внедрены в Научно-производственном объединении «Электроавтоматика» (г. Запорожье), а также использованы в Белорусском теплоэнергетическом научно-исследовательском институте при исследовании динамической устойчивости многомашинных электроэнергетических систем.

Разработанные в работе теоретические положения, методики, методы и алгоритмы, использующие для решения задачи динамической устойчивости траектории движения, вычисленные с помощью операторного метода, и анализ этих траекторий на основе функций

226

Ляпунова позволили по сравнению с известными методиками существенно снизить вычислительные затраты при анализе динамической устойчивости. Использование прямого метода Ляпунова для консервативной модели системы дает возможность определить запас динамической устойчивости сложных электротехнических систем при воздействии различных возмущений. Кроме того, при вычислении траекторий движения используются модели, более адекватно отражающие процессы в элементах системы, а при анализе динамической устойчивости прямым методом Ляпунова более простая консервативная модель. Такая методика повышает достоверность получаемых результатов по оценке запаса динамической устойчивости. На практике предлагаемые методы обеспечивают большую обоснованность принимаемых решений при выборе режимов и управляющих воздействий для повышения живучести и надежности функционирования сложных электротехнических систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Степанов, Анатолий Владимирович, 1995 год

1. Абраменкова И.А., Воропай Н.И., Заславская Т.Е. Структурный анализ электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1990. 224 с.

2. Авраменко В.Н., Степанов A.B. Определение запаса динамической устойчивости энергосистем прямым методом Ляпунова. Техническая электродинамика, 1999, №5. С. 55-58.

3. Адонц Г. Т. Расчеты установившегося оптимального и несимметричного режимов электрической системы. Ереван, 1984. 256 с.

4. Алберг Дж., Нилъсон Э., УолшД. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 316 с.

5. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986.320 с.

6. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд. Иностр. Лит., 1963. 360 с.

7. Андронов A.A. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

8. Арзамасцев Д. А., Рудницкий М.П. О применении эллиптических функций для анализа динамической устойчивости синхронных машин// Изв. Вузов «Электромеханика». 1965. №3. С. 291-299.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. 368 с.

10. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.304 с.

11. Бабушка И., Прагер М., Витасек Е. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 314 с.

12. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

13. Бари Н. Теория рядов. М.: Физматгиз, 1961. 236 с.

14. Баулин Н.И., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1986. 288 с.

16. Бейкер Дж., Грейвс-Морис П. Аппроксимация Паде. М.: Мир, 1988. 504 с.

17. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е. Ступенчатые изображения и их применение. Киев: Наук, думка, 1983. 216 с.

18. Биленко В.И. Аппроксимационный метод решения интегральных уравнений типа Вольтера-Урысона с полиномиальными нелинейностями// Журн. Вычислительной математики и мат. физики. 1989. 29, № 10. С. 1577-1591.

19. Блакъер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

20. Бордовицина Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

21. Бондаренко В.М. Вопросы анализа нелинейных электрических и электронных цепей. Киев: Наук, думка, 1967. 159 с.

22. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980.208 с.

23. Брумберг В.А. Небесно-механические методы проведения буквенных операций на ЭВМ. Томск.: ТГУ, 1974. 115 с.

24. Валеев КГ. Линейные дифференциальные уравнения: Расщепление решений. К.: Изд. Общ. «Знание», 1978. 48 с.

25. Вайиберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

26. Вайман М.Я. Исследование устойчивости в "большом". М.: Наука, 1981.254 с.

27. Варайя П., Чханъ Жунлян Прямые методы анализа динамической устойчивости энергосистем: Новые результаты. ТИИЭР. 1985. 73, № 12. С. 8-22.

28. Васин В.П. Интеграл энергии для уравнений переходных процессов электроэнергетической системы при учете нагрузок статическими характеристиками. Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974. № 6. С. 26-25.

29. Васин В.П. Структура области существования самоустанавливающихся режимов электроэнергетических систем в пространстве активных мощностей// Изв. АН

30. СССР. Энергетика и транспорт. 1981. № 1. С. 6-18.

31. Васин В.П. Граница области существования режима трехмашинной электрической системы// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1982. № 2. С. 40-47.

32. Ващенко-Захарченко М.Е. Символическое исчисление и применение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. Киев.: Киев. Университет, 1982. 92 с.

33. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1985. 536 с.

34. Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами на ЭВМ. Киев.: Наук, думка, 1978. 292 с.

35. Винер К, Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. 268 с.

36. Воропай Н.И. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1981. 110с.

37. Вулъф A.A. Устойчивость параллельной работы электрических станций. JL-М.: ГОНТИ, 1938. 160 с.

38. Вульфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968. 282 с.

39. Гаврилов Л. П. Аналитический метод расчета электрических цепей с применением ЦВМ. М.: Изд. Моск. уняверситета, 1975. 202 с.

40. Гамм А.З. Методы расчета нормальных режимов электроэнергетических систем. Иркутск: Изд. ИПИ, 1972. 342 с.

41. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1986. 552 с.

42. Гелих А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

43. Головкин П.И. Энергосистема и потребители электрической энергии. М.: Энергия, 1979. 205 с.

44. Голубенцев А.Н. Инженерные методы в динамике. Киев: Техшка, 1967. 350 с.

45. Горев A.A. Введение в теорию параллельной работы электрических станций. Л.: КУБУЧД935. 205 с.

46. Горев A.A. Переходные процессы синхронной машины. Л.: Наука, 1985. 502с.

47. Горюнов Ю.П., Смоловик C.B. Математические модели элементов электроэнергетических систем и исследование их динамических свойств. СПб. Гос. Тех.Ун-т, Санкт-Перербург, 1992. 80с.

48. Гребенников Е.А., Рябов Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 431 с.

49. Груйч Л.Т., МартынюкA.A., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев.: Наук.думка, 1984. 306 с.

50. Гуревич Ю.Е., Либова Л.В., Окин A.A. Расчеты устойчивости и протиаварийной автоматики в энергосистемах. М.: Энергоатомиздат, 1990. 390 с.

51. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений// ДАН СССР. 1953. 88. № 4. С. 601-602.

52. Данилов Л. В. Ряды Вольтера-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987. 224 с.

53. Дзядык В.К. Введение в теорию приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 427 с.

54. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев.: Наук, думка, 1988. 304 с.

55. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974. 464 с.

56. Долбня В.Т. Топологические методы анализа и синтеза электрических цепей и систем. Харьков: Вища школа, Изд. При ХГУ, 1974. 145 с.

57. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. 458 с.

58. ДэбниДж., Хартмаи T. Simulink® 4. Секреты мастерства/ М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 403 с.

59. Жданов П. С. Вопросы устойчивости электрических систем. М.: Энергия, 1979. 456 с.

60. Жданов П.С. Устойчивость электрических систем. М., Л.: Госэнергоиздат, 1948. 399 с.

61. Жуков Л.А., Стратана И.П. Установившиеся режимы сложных электрических сетей и систем. М.: Энергия, 1979. 357 с.

62. Завьялов Ю. С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

63. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высш. Школа, 1979. 400 с.

64. Зубов В. И. Методы функций Ляпунова и их применение. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1957. 239 с.

65. Зуев Э.Н., Строев В.А. Математическое описание элементов электрической системы. М.: МЭИ, 1983. 83 с.

66. Иделъчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. М.: Энергия, 1977. 189 с.

67. Иделъчик В.И. Пример анализа существования и единственности решения уравнений установившегося режимов/УЭлектричество. 1983. № 6. С. 56-59.

68. Иделъчик В.И., Крумм Л.А., Тарасов В.И. Экспериментальное исследование неоднозначности решения уравнений установившегося режима// Труды ИПИ. 1971. № 72. С. 27-47.

69. Иделъчик В.И., Лабезник А.И. Аналитическое исследование существования и единственности решения уравнений установившегося режима электрической системы// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1972. № 2. С. 51-59.

70. Иделъчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. 287 с.

71. Картвелишвили И.А. Задачи устойчивости энергетических систем, как задачи общей теории устойчивости// Второй метод Ляпунова и его применение в энергетике. Труды семинара-симпозиума. Часть 2. Новосибирск, 1966. С. 122-150.

72. Ковалев Ю.З. Тригонометрические функционалы для построения численных методов типа Рунге-Кутта// Сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983. 14, № 1. С. 61-75.

73. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М.: Наука, 1964. 328 с.

74. Копылов И.П., Ковалев Ю.З. Расчет переходных процессов электрических машин при автоматизированном проектировании// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. № 3. С. 7-12.

75. Костюк О. М. Элементы теории устойчивости энергосистем. Киев: Наук, думка, 1983. 296 с.

76. Костюк О.К, Соломаха М.И. Колебания и устойчивость синхронных машин. Киев: Наук, думка, 1991. - 200 с.

77. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

78. Кузовкин В.А., Степанов A.B. Оценка запаса динамической устойчивости энергосистем прямым методом Ляпунова. Электричество. 2002. № 1. С. 2-8.

79. Кузовкин В.А., Степанов A.B. Исследование запаса динамической устойчивости электротехнических систем прямым методом Ляпунова с использованием системы MATLAB. 7-я Научная конференция МГТУ «СТАНКИН». Сборник докладов, М.: 2004. С. 180-183.

80. Лаврик В.И., Фнлъчакова В.П., Яшин A.A. Конформные отображения физико-топологических моделей. Киев: Наук, думка, 1970. 252 с.

81. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961.524 с.

82. Лебедев С.А., Жданов П. С. Устойчивость параллельной работы электрических систем. М., Л.: Энергоиздат, 1934. 387 с.

83. Левинштейн М.Л. Операционное исчисление в задачах электротехники. Л.: Энергия, 1972. 357 с.

84. Ленг С. Эллиптические функции. М.: Наука,1984. 312 с.

85. Литкенс И.В., Пуго В.И. Колебательные свойства электрических систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. 216 с.

86. Лукашов Э.С., Калюжный А.Х., Лизалек H.H. Длительные переходные процессы в энергетических системах. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985. 197 с.

87. Лукашов Э.С. Введение в теорию электрических систем. Новосибирск: Наука, 1981. 173 с.

88. Малкин ИТ. Теория устойчивости движения. М.: Издательство «Наука», 1966. 532 с.

89. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978. 418 С.

90. Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. М.: Наука, 1979. 56 с.

91. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения. Киев: Наук, думка, 1983.248 с.

92. Мартынюк A.A., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наук, думка, 1979. 271 с.

93. Мартынюк A.A. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973.187 с.

94. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наук, думка, 1975. 352 с.

95. Матросов В.М., Анаполъский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980. 479 с.

96. Матросов B.M.K теории устойчивости движения. ППМ. 1962. 26,6. С. 9921000.

97. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. Под ред. A.A. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.

98. Молчанов A.A. Моделирование и проектирование сложных систем. К.: Вища школа. 1988. 359 с.

99. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения. К.: Наук, думка, 1988. 343 с.

100. Морошкин Ю.В. Функции Ляпунова для математических моделей электрических систем при учете переходных процессов в контурах ротора. Электричество, 1977, № 10. С. 13-19.

101. Нагорный Л.Я. Моделирование электронных цепей на ЦВМ. Киев: Техника, 1974. 360 с.

102. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. 437 с.

103. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М.: Высш. Школа, 1980. 311 с.

104. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 336с.

105. ОртегаД., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с,

106. Орурк H.A. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. М.-Л.: Наука, 1965. 207 с.

107. Осипов В.М. Основы метода изображающих векторов. Томск.: Изд. Томского университета, 1983. 426 с.

108. Павелла М. От общей теории Ляпунова к практическому прямому методу анализа динамической устойчивости энергосистем. Электричество. 2000. № 6. С. 14-26.

109. Петренко А.К, Власов» А.К, Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. К.: Вица школа, 1977. 200 с.

110. Попов Б.А., Теслер Г.С. Приближение функций для технических приложений. Киев: Наук, думка, 1980. 352 с.

111. Потемкин ВТ. Вычисления в среде MATLAB. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2004.720 с.

112. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 392 с.

113. Пупков К.А., Копалин В.П., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. 448 с.

114. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982. 150 с.

115. Пухов Г.Е. Комплексное исчисление и его применение к расчету периодических и переходных процессов в системах с постоянными, переменными и нелинейными параметрами. Таганрог, 1956. 362 с.

116. Пухов Г.Е. Избранные вопросы теории математических машин. Киев: Наук, думка, 1964. 248 с.

117. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Киев: Наук, думка, 1967. 568 с.

118. Пухов Г.В. Преобразование Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. Киев: Наук, думка, 1980. 418 с.

119. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразование функций и уравнений. Киев: Наук, думка, 1980.419 с.

120. Пухов Г.В. Дифференциальный анализ электрических цепей. Киев: Наук, думка, 1982. 496 с.

121. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов. Киев: Наук, думка, 1988. 180 с.

122. Пухов Г.Е. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применении дифференциальных преобразований. Киев: Наук, думка, 1988. 216с.

123. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев: Наук, думка, 1990.184 с.

124. Пухов Г.Е., Ронто H.H. Об одном неявном методе интегрирования дифференциальных уравнений повышенной точности//Докл. АН СССР. 1980. 251,№ 3. С. 554-557.

125. Пухов Г.Е. Возможное обобщение классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях// Техническая электродинамика. 1990. № 5. С. 3-14.

126. Пухов Г.Е. Метод основных и дополняющих составляющих в теории нелинейных электрических цепей// Elektroteknika. 1990. № 3-4. С. 275-276.

127. Пухов Г.Е. Векторные тригонометрические преобразования и применение их для моделирования переходных и периодических процессов// Теоритическая электротехника. 1984. Вып. 37. С. 3-18.

128. Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Чериоруцкий Н.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

129. Ракитский Ю.В. О некоторых свойствах решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений одно шаговыми методами численного интегрирования// ЖВМиМФ. 1971. 11, № 6. С. 947-962.

130. Расчет сложных электрических цепей /Методические рекомендации/сост. Козорез Г.А., Корчинская К.Я., Семагина Э.П., Степанов A.B. Киев.: Наук .думка, 1981. 61 с.

131. Решение и исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций с гибкой структурой// Сб. науч. труд. Под ред. Проф., д.т.н. Куликова Н.К., авт. Куликов Н.К., Кузьменко З.В., Миронова A.A., Некрасова О.Н. и др. М.: МТИПП, 1974. 208 с.

132. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. Киев: Наук.думка, 1989. 623 с.

133. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 с.

134. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа, 1976. 180 с.

135. Семагина Э. П., Степанов A.B. Способ определения тейлоровских изображений нелинейных функций// Электрон, моделирование. 1981. № 5. С. 97-99.

136. Семагина Э.П., Степанов A.B. Моделирование электромеханических процессов в энергосистемах при малых возмущениях// Электронное моделирование. 1993. 15. №3. С. 3-9.

137. Семагина Э.П,. Степанов A.B. Анализ устойчивости многомашинных электроэнергетических систем//Электрон. моделирование. 1994. 16. N 5. С. 23-31.

138. Семагина Э.П,. Степанов A.B. Анализ электромеханических процессов в энергосистемах при малых возмугцениях/ЛГезисы докладов 4-й научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники». 1992. С. 15-15.

139. Сенигов П.H. Переходные процессы в синхронных машинах. Челябинск: ЧГТУ, 1993.-44с.

140. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов.радио, 1976. 606 с.

141. Симак Л. А. Дифференциальные преобразования на основе производных дробного порядка// Электрон. Моделирование. 1986. 8. № 4. С. 54-60.

142. Синицкий Л.А. Элементы качественной теории нелинейных электрических цепей. Львов: Изд. Львовского государственного университета, 1975. 152 с.

143. Совалов С.А., Баринов В.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. М.: Энергия, 1990. 440 с.

144. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. /Редакторы Дя. Холл, Дх. Уатт. М.: Мир, 1979. 312 с.

145. Справочник по проектированию электрических сетей. / Под редакцией Д.Л. Файбисовича. М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. 320 с.

146. Стахив В.Г. Анализ динамических режимов в электронных схемах с многополюсниками. Львов: Вигца школа, 1988. 237 с.

147. Степанов A.B. О кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники», часть 3, Киев: Наук. Думка, 1981. С. 63-65.

148. Степанов A.B. Оптимальная сплайновая аппроксимация характеристик элементов вентильных цепей//Сб. Математическое и программное обеспечение автоматизированного проектирования и исследования устройств электропитания на ЭВМ. КПИ, Киев. 1982. С. 161-168.

149. Степанов A.B. Аппроксимация нелинейных характеристик элементов электронных схем гладкими равномерными сплайнами//Тезисы докладов «Третьего республиканского совещания семинара по машинному проектированию электронных схем». Львов, 1983. С. 68-69.

150. Степанов A.B. Анализ резистивных цепей с нелинейными характеристиками представленными сплайнами//Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Проблемы нелинейной электротехники». Часть 1. Киев: Наук, думка, 1984. С.117-118.

151. Степанов A.B. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных характеристик с заданной абсолютной или относительной погрешностью// Сб.

152. Вычислительная техника и моделирование в энергетике. Киев: Наук, думка, 1984. С. 93-99.

153. Степанов A.B. Оптимальная аппроксимация аналитически заданных функций гладкими параболическими сплайнами//Электрон. моделирование. 1984. № 4. С. 9-13.

154. Степанов A.B. Аппроксимация таблично-заданных характеристик элементов электронных схем гладкими равномерными сплайнами/ЛГеоретическая электротехника. 1984. Вып. 37. С. 43-51.

155. Степанов A.B. Некоторые вопросы Т-анализа нелинейных электрических цепей. Препринт/Институт проблем моделирования в энергетике АН УССР. № 10. Киев. 1986. 54 с.

156. Степанов A.B. Аппроксимационный вариант неявной Т-схемы численного интегрирования/Теоретическая электротехника. 1985. Вып.39. С. 123-126.

157. Степанов A.B., Носач В.В. Метод математического моделирования в физическом эксперименте. Препринт /Институт проблем моделирования в энергетике АН УССР. N 36. Киев. 1985.25 с.

158. Степанов A.B., Семагина Э.П. Интегро-алгебраические уравнения в ДТ-анализе электрических цепей//Тезисы докладов 2-й Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании», ч. 1, Киев, 1988. С. 210-211.

159. Степанов A.B. Анализ электрических цепей с использованием аппроксимационных ДТ-схем численного интегрирования//Тезисы докладов 1-й Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике. Ташкент. 1987.1. С. 161-162.

160. Степанов A.B. Анализ нелинейных электрических цепей А-устойчивыми ДТ-методами численного интегрирования//Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Проблемы нелинейной электротехники». 1988. С. 71-73.

161. Степанов A.B. Об аппроксимационных вариантах неявных ДТ-схем численного интегрирования//Электрон. моделирование. 1988. № 3. С. 8-12.

162. Степанов A.B. Анализ нелинейных систем с полиномиальными нелинейностями, аппроксимационными ДТ-методами численного интегрирования//Теоретическая электротехника. 1989. Вып. 46. С. 52-58.

163. Степанов A.B. ДТ-схемы численного интегрирования ОДУ полученные на основе условий гладкости//Сб. «Гибридные вычислительные машины и комплексы». Киев: Наук, думка, 1989. № 12. С. 7-11.

164. Степанов A.B. Восстановление переходных колебательных процессов в электрических цепях по дифференциальным спектрам//Электрон. моделирование. 1989. 11. №6. С. 103-106.

165. Степанов A.B. Восстановление переходных колебательных процессов по дифференциальным спектрам//Управляющие электрические цепи и электромагнитные поля. Сб. науч. Трудов. Уфа. УАИ. 1989. С. 8-12.

166. Степанов A.B. Аппроксимация колебательных процессов подифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби //Elektroteknika. 1890. 9. N 3-4. С. 355-363.

167. Степанов A.B. Об аппроксимации колебательных процессов в нелинейных системах эллиптическими функциями Якоби // Техника средств связи. Сер.: Системы связи. М., 1991. Вып. 1. С. 39-48.

168. Степанов A.B. Аппроксимация эллиптическими функциями Якоби колебательных процессов по дифференциальным спектрам. / Препринт. Ии-т проблем моделирования в энергетике АН УССР. Киев, 1991. 50 с.

169. Степанов A.B. Анализ нелинейных систем при периодическом внешнем воздействии по дифференциальным спектрам с использованием эллиптических функций Якоби // Электрон, моделирование. 1991. Т. 1., № 5. С . 58-63.

170. Степанов A.B. Дифференциально-комплексные преобразования функций при моделировании сложных динамических процессов по дифференциальным спектрам // Тезисы докладов 4-й научно-технической конференции «Проблемы нелинейнойэлектротехники». 1992. С. 15-15.

171. Степанов A.B. Восстановление динамических процессов в комплексной области по дифференциальным спектрам // Электрон, моделирование. 1992. Т. 14. № 5. С. 18-19.

172. Степанов A.B. Дифференциально-комплексные преобразования и моделирование сложных динамических процессов // Электрон, моделирование. 1993. Т. 15. N 1.С. 14-19.

173. Степанов A.B. Моделирование сложных процессов в комплексной области с использованием спектральных моделей динамических систем // Теор. электротехника. 1995. №52. С. 43-52.

174. Степанов A.B. Анализ запаса динамической устойчивости многомашинных энергосистем прямым методом Ляпунова. Вестник МГАУ. Электротехнологии, электрофикация и автоматизация сельского хозяйства. М.: 2005. 3(13). С. 51-57.

175. Степанов A.B. Выбор и расчет параметров математических моделей синхронных генераторов. Вестник МГАУ. Электротехнологии, электрофикация и автоматизация сельского хозяйства. М.: 2006. 3(18). С. 151-157.

176. Степанов A.B. Дифференциальные, дифференциально-комплексные преобразования и анализ сложных электротехнических систем. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008. 166 с.

177. Стратан И.П., Неретин В.И., Спивак В.П. Расчет и анализ режимов электроэнергетических систем. Кишинев: 1990. 100 с.

178. Строев В.А., Шулъженко C.B. Математическое моделирование элементов электрических систем. Курс лекций. М. Издательство МЭИ, 2002. 56 с.

179. ФазыловХ.Ф. Теория и методы расчета электрических систем. Ташкент: Наука, 1964. 98 с.

180. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наук. Думка, 1972. 743 с.

181. Хайрер Э., Нерсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

182. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. 400 с.

183. Чебан В.М., Ландман А.К., Фишов А.Г. Управление режимами электроэнергетических систем в аварийных ситуациях. М.: Высшая школа, 1990. 147 с.

184. Черепенников В.Б. Метод функциональных параметров в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1983. 113 с.

185. ЧуаЛ. О., Пен-Мин Лин Машинный анализ электрических схем. М.: Энергия, 1980. 640 с.

186. Шипилло В.П. Операторно-рекуррентный метод анализа электрических цепей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1991. 312 с.

187. Шокин Ю.И., Калмыков М.А., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1988. 224 с.

188. Шокин Ю.И., Калмыков С.А. Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1988. 224 с.

189. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. 451 с.

190. Эроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986. 243 с.

191. Aylett P.D. The energy integral criterion of transient stability limits of power systems. // Proc. IEE. 1958. P. 1132-1141.

192. Bailliful J., Byrnes C.I. Geometric critical point analysis of lossness power systems models // IEEE Trans. Circuits and systems. 1982. 29. № 11. P. 703-711/

193. Bellman P. Vector Lyapunov function // SIAM J. Cont. 1962. Ser. A. № 1. P. 32-34.

194. Bergent A.R., Hill D.J., Marcot C.L. Lyapunov function for multimachine power systems with generator flux decay and voltage dependent loads // Inter. J. of Electrical power Energy systems. 1986. 8. № 1. P. 32-34.

195. Chao K.S., Lin D.K., Pan С. T. A systematic seach method for obtaining multiple solutions of simultaneous nonlinear equations. // IEE Trans. Circuits and Systems. 1975. Vol. 22. № 9. P. 248-253.

196. Caprio U.Di. Accounting for transfer conductance effects in Lyapimov transient stability analysis of a multimachine power systems // Int. J. of Electrical power Energy systems. 1988. 10. №4. P. 232-246.

197. Chua L. O., Ushida A. Aswitching-parameter algoritm for finding multiple solutions of nonlinear resistive circuits. // Int. J. Cicuits Teory and Applications. 1976. vol. 4. №3. P. 215-271.

198. Dahl O. G. C. Power system stability. // Electric Power Circuits. Vol. 11, New York: McCraw-Hill. Inc. 1938. 521 p.

199. Fouad A. A., Vittal V. The transient energy function method // Int. J. of Electrical power Energy systems. 1988. 10. № 4. P. 233-247.

200. Grujic Lj.T., MartynyukA.A., Ribbens-Pavella H. Large-scale systems stability under structual and singular perturbation. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 366 p.

201. Lee S.M., Chao K.S. Multiple solutions of piecewise-linear resistive networks // IEEE Trans Circuits and systems. 1983. 30. №2. P. 84-89.

202. Magnusson P.C. Transient energy method of calculating stability. // AIEE Trans. 1947. Vol. 66. P. 211-223.

203. Morgan A.P. A method for computing all solutions to systems of polynomial equations. // ACM Trans. Mathematical Software. 1983. vol. 19. № 1. P. 1-17.

204. Pai M.A., Vittal V. Multimachine stability analysis using Vector Lyapunov functions with inertial center decomposition // Int. J. Electrical power energy systems. 1983. Vol 3. P. 138-144.

205. Ribbens-Pavella M, Evans F.J. Direct methods for studying dynamics of large-scale electric power systems-a survey // Automatica. 1985. 21. № 1. P. 1-21.

206. Shilling H.H., Yamakawa M.H. A graphical solution of transient stability. // Electrical Eng. 1940. Vol. 59. P. 159-167.

207. Xue Y., Wehenkel l, Delhomme R., Rousseaux P., Pavella M., Euxibie E., Heikbronn B., Kesigne J.F. Extended equak area criterion revisited. // Trans, on Power system. 1992. vol. 7. № 3. P. 1012-1021.1. Описание программ

208. FLp процедура вычисления функции Ляпунова;

209. К=6; число учитываемых дискрет дифференциального спектра;tshunt=0.1; время отключения КЗ;

210. Го г кш=1 :па1оас! п71=р8аЫ(кт,1); ¡Г п/,1 -=пЬа1р8аЫ(кт,1)=п; е1&е!Г пг1==прзаЫ(кт, 1 )=пЬа1; епс! епс) епс!п21=пи/0(пЬа1);пг2=пиг0(п); пиг0(п)=п21; пи2()(пЬа1)=П72;

211. Angd=zeros(l ,ngen); Ang=Angd;

212. V,W,Vg.=FLp(n,ngen,nload,naload,psg,psld,psald,. mc,cnuz,YdO,YluO,Sld,Sald,. Angs,Angd,U,Us,Ws,signL) Ws=W;

213. Wt=zeros(l,100); Wmax=0; signL=2; for kt=l:it for km=l:n1. U(km)=Ut(km,kt) ; endfor km=l:ngen

214. Ang(km)=An(km,kt) ; Angd(km)=And(km,kt); end it

215. S(km)=U(km) * conj (S (km)); if ksgn(km)==01. Sd(km)=-S(km); else

216. Sd(km)=S0(km)-S(km); end endfunction U,An,And,Tt,itk.=transient(n,ngen,nload,naload,. psg,psld,psald,mc,cnuz,Yd,Ylu,diag,lsparse,usparse,nrow,ncol,.

217. UO,AngO,AngdO,Us,Angs,signBL,T,K,signM,EmaxT) % Расчет переходных режимов if signBL==0ns=n-l; elsens=n; end

218. Задание массивов Angk=zeros(ngen, 10); Pgk=zeros(ngen, 10); uu=zeros(ngen, 10);

219. Ack=complex(uu,uu); % дифференциально-комплексный спектр Ack 1 =complex(uu,uu);

220. Вычисление задающих токов генераторов ank=0; for kt=I:ngen if psg(kt,12)~=10 nz=psg(kt,l); for ktl=l:k+lank(kt 1 )=Angk(kt,kt 1); end

221. Angk(kt,k+3 )=((HA2) * ph)/((k+1) * (k+2) * psg(kt, 10)). -kdP=Angk(kt,2);end end

222. Вычисление дифференциального спектра скольжений if naload>0 for kt=l :naloadnz=psald(kt,l);un=psald(kt,3);upd=psald(kt,10);upz=psald(kt,ll);r=psald(kt,7);xk=psald(kt,8);sn=psald(kt,2);a=(sn*upd*r)/(un*upz);for ktl=l:k+l

223. Angk(kt, 1 )=Angk(kt, 1 )+Angk(kt,kt 1+1 ) ; if ktl>l

224. Angk(kt,2)=Angk(kt,2)+kt 1 * Angk(kt,kt 1+1 ) ; end end endelseif signM==2 for kt=l :ngen for ktl=l :K-1

225. Aek(kt,kt 1 )=Angk(kt,kt 1 )+((h(kt) * kt 1 )/H) * Angk(kt,kt 1+1 ) * i ; endur=Ack(kt,l); for ktl=l:K-l

226. Ack(kt,kí 1 )=Ack(kt,kt 1 )/ur; endfor ktl=l:K-l ifktl==l

227. Ack 1 (kt, 1 )=log(Ack(kt ,1 )); end

228. Ack 1 (kt,kt 1+1 )=Ack(kt,kt 1+1 )/Ack(kt, 1 ); if ktl>l url=0; for l=l:ktl-lur 1 =ur 1+(l/kt 1 ) * (Ack(kt,kt 1 -1)/Ack(kt, 1 )) * Ack 1 (kt,l+1 ) ;end

229. Ack 1 (kt,kt 1+1 )=Ack 1 (kt,kt 1+1 )-ur; end end url=0;for ktl=l:K-lur 1 =ur 1 + Ack 1 (kt,kt 1 ) ; endur2=ur*exp(url); Angk(kt,l)=real(ur2); Angk(kt,2)=H * imag(ur2) ; endelseif signM==3 for kt=l:ngen for ktl=l:2

230. Ack(kt,kt 1 )=Angk(kt,kt 1 )+((h(kt) * kt 1 )/H) * Angk(kt,kt 1+1 ) * i ; endur=Ack(kt,l); for ktl=l:2

231. Ack(kt,ktl )=Ack(kt,ktl )/ur; end

232. U(kt,kpointl )=Uk(kt, 1); endfor kt=l :ngen if psg(kt,12)~=10 An(kt,kpoint 1 )=ang(kt); And(kt,kpoint 1 )=angd(kt)/H; else

233. An(kt,kpointl)=0; And(kt,kpointl)=0; end end

234. Tt(kpointl)=t; itk=kpointl; end elsefor kt=l :ngen

235. Вычисление дифференциального спектра функций sin, cos Sk=zeros(l,10);

236. Ck=zeros(l,10); Sk( 1 )=sin(ank( 1)); Ck( 1 )=cos(ank( 1)); if k>0 for 1=1 :k

237. Sk(k+1 )=Sk(k+1 )+(l * Ck(k-1+1 )* ank(l+1 ))/k; Ck(k+1 )=Ck(k+1 )-(l* Sk(k-1+1 )* ank(l+1 ))/k; end end-------------------------------------------------------------------------------------------------function psk.=pgspect(k,U3,U4)

238. Вычисление спектра активной мощности генераторовu=zeros(l,l);1. U=complex(u,u);psk=0;for 1=1 :k+l

239. U=U+U3 (k-1+2) *conj (U4(l)); endpsk=real(U);-------------------------------------------------------------------------------------------------function pad.=palspect(k,r,xk,uc,s)

240. Y(k 1 )=(ur 1 -ur2)/x( 1); endpad=y(k+l);-----------------------------------------------------------------------------function mad.=malspect(k,al ,a2,s)

241. B(kr)=B(kr)-lsparse(kc)*B(icol); end end endfor kr=l:n

242. B(n-kr+1 )=B(n-kr+1 )/diag(n-kr+1); kl=nrows(n-kr+l); kh=nrows(n-kr+2)-l; ifkh>=kj for krl=kl:kh irow=ncol(krl);

243. Vn=mgen(kg,3); % номинальное линейное напряжение

244. Pn=mgen(kg,4); % номинальная активная мощность со sfi=mgen(kg, 5);

245. Sn=Pn/cos(cosfi); % полная мощность fn=mgen(kg,6); % номинальная частота p=mgen(kg,7); % число пар полюсов

246. Vf=l; % номинольное напряжение возбуждения обмотки ротора (в pu)wen=2*pi*fn; % номинальная угловая частота токаwmn=wcn/p; % номинальная угловая скорость ротора

247. J=mgen(kg,8); % момент инерции кг*мА2

248. H=(J*wmnA2)/(2*Sn*1.0e+6); % постоянная инерции в сек.

249. Vb=sqrt(2/3)*Vn; % базовое напряжение Ib=sqrt(2/3)*Sn/Vn; % базовый ток

250. Rrq=xrq/(wen* Tsqo); Trq=Tsqo;case 2 Tsqo=(Tsq*xq)/xsq; Tpqo=Tsqo; Rrq=xrq/(wen* Tsqo); Trq=Tsqo;case 3 xrql=xrq;a=(xmqA2) * (xsq-xq-xrq 1 +2 * xmq); b=xsq*xrq 1 -xq*xrq 1 -xmqA2; xrq2=a/b;xprq=( 1 -(xmqA2)/(xq*xrq2)) * xq;

251. B=Rs 0 0 xq xmq; 0 Rr О 0 0; 0 0 Rrd 0 0; -xd -xmd -xmd Rs 0; О О О 0 Rrq.; Binv=inv(B);al=xd/wen;a2=xmd/wen; a3=xr/wen; a4=xrd/wen; a5=xq/wen; a6=xmq/wen; a7=xrq/wen;

252. A=al a2 a2 О 0 0; a2 аЗ a2 О 0 0; a2 a2 a4 О О 0; ООО a5 аб аб; О О 0 аб a7 аб; О О О аб аб а8.;

253. Tsqb=xsq*Tsqo/xq; % case 2 % we have Tq", we need Tqo" xa=xl;1. Tsqob xq*Tsq/xsq; %case 3 % we have Tqo',Tqo", we need Tq',Tq" xa=xl;

254. So=Tpqo+Tsqo; Po Tpqo*Tsqo;

255. A=xq*xq*xsq -So*xq*xpq*xsq xpq*xsq*Po*(xq+xsq)-xq*xsq*xsq*Po.; TQ=sort(roots(A)); if(imag(TQ(2))~=0) Tpqb=Tpqo*xpq/xq; % Tpq=abs(TQ(2)); else1. Tpqb=TQ(2); end

256. Tsqb=Po * xsq/ (xq* Tpq) ; case 4 % we have Tq',Tq", we need Tqo',Tqo" xa=xl;

257. Wg=Wg-(e*u*cos(ag-au))/xg; end end

258. Вычисление узловых напряжений U для определения критического значенияu=zeros(l ,п);1.=complex(u,u);ns=n;if signBL==0ns=n-l; endfor ku=l:ngen ifpsg(ku,12)~=10 nz=psg(ku,l); yg=l/(psg(ku,3)*i); di ag(nz)=diag(nz)+y g; end end

259. Вычисление вектора задающих токов

260. УХВЕЩДД!) Замдиректора по научной работе» к.т.н.

261. Акт об использовании результатов научной работы

262. От ИПМЭ HAh Украины От предприятия

263. Зав. отделом Начальник отделе1. Семагина Э «Iisст.н.сот-р1. Зав.сектором1. Степанов Ä.B1. ТимовскиЙ А.К-Д11ректср<-В©лоруесксго

264. Завлечение о возможности использования результатовдиссертационной работы А.В.Степанова ■ &