Моделирование и алгоритмы исследования бифуркационных явлений в негладких динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Халилова, Мохчехра Шавкатовна

• Халилова, Мохчехра Шавкатовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Халилова, Мохчехра Шавкатовна

Оглавление

Введение

1 Моделирование и явление бифуркаций в динамических системах

1.1 Динамические системы: вспомогательные сведения

1.1.1 О динамической системе

1.1.2 Гладкие динамические системы

1.1.3 Компьютерное описание(дискретность) динамических систем

1.2 Бифуркационные задачи: постановка, история вопроса, примеры

1.2.1 Бифуркации в различных (линейных.нелинепных)системах

1.2.2 Стационарный эффект бифуркационных решений

1.2.3 Бифуркация периодических решений Андронова,-Хопфа

1.2.4 Сведение об основных бифуркационных теоремах

1.2.5 Дополнительная информация о собственных значениях и собственных векторах матриц

1.3 Приближенное исследование задачи о бифуркации

1.3.1 Чиеленное(приближенное) исследование бифуркации стационарных решений

1.3.2 Числе1пюе(11риближеииое) исследование бифуркации Андронова - Хопфа

1.3.3 Негладкие динамические системы

2 Исследование бифуркаций негладких динамических системах

2.1 Динамические системы с негладкими нелинейностями

2.2 Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических систем

2.2.1 Математическое описание задачи

2.3 Модели фазовых переходов в физике

2.4 Негладкость двумерных систем с малым возмущением

2.4.1 Негладкость двумерных систем с параметром под модулем

2.4.2 Пример: груз на транспортере

2.5 Исследование устойчивости состояния равновесия негладкости динамических систем

2.5.1 Бифуркации в разрывных системах

2.6 Бифуркационные явления со елабоосциллирующими параметрами негладких систем

2.6.1 О бифуркационном поведении решений при слабой осциляции параметров

2.6.2 Негладкие бифуркации

2.7 Доказательства основных утверждений

2.7.1 Доказательство теоремы 2.7-2.8 . '

2.7.2 Доказательство теоремы 2.9

2.7.3 Доказательство теоремы 2.10

2.7.4 Доказательство Леммы 2.1

2.7.5 Доказательство теоремы 2.11

2.7.6 Доказательство теоремы 2.12

2.7.7 Доказательство теоремы 2.13-2.14

3 Приложение

3.1 Метод Рунге - Кутта

3.2 Алгоритмы и пакет программ

3.2.1 Операторное описание алгоритма

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и алгоритмы исследования бифуркационных явлений в негладких динамических системах»

Введение

Актуальность темы. Модели с негладкими эффектами имеют важное значение в различных областях науки: в физике и механике (теория фазовых переходов, электричество, магнетизм), в инженерных задачах, в задачах теории управления, в экономике, биологии и др. Модели негладких систем включают в себя дифференциальные уравнения с негладкими, релейными, гистерезисными нелинейностями. Примерами являются динамические модели с сухим трением, модели с перескоками, модели с релейными нелинейностями, возникающие при изучении систем автоматического регулирования температур, напряжения и др.

Многочисленные приложения стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений с негладкими и разрывными правыми частями5. Широкое использование различных переключателей (реле) в системах автоматического управления привело к необходимости построения теории уравнений с релейными нелинейностями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы в работа.х многих авторов6,',8.

Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения при изучении динамических моделей является задача о качественном изменении фазового портрета системы при изменении ее параметров в окрестности критических значений. Основным математическим аппаратом, используемым при изучении таких задач, являются теория бифуркаций и теория ветвления решений нелинейных уравнений. У истоков этих теорий были такие ученые как A.M.Ляпунов,

A.Пуанкаре, А.А.Андронов, Л.С.Понтрягин. Существенный вклад в развитие современной теории бифуркаций и теории ветвлений внесли

B.И.Арнольд, В.В.Вайнберг, Н.К.Гаврилов, Дж.Гукенхеймер, Д.Джосеф, Ю.С.Иляшснко, Ж.Йосс, Ю.А.Кузнецов, М.Мак-Краксн, Дж.Марри,

"'Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной частью.

f> Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика". 2000. 368 с.

"di Bernardo iVl..Budd С.. Cliampneys A.R.. Kowalezyk P...\'ordmark А.В.. Olivar Tosí. G.. Piirioiicn P.T. Bifurcations in nonsmooth dynamical system. SIAM Rev., 200S. vol. 50. 4 pp.629 - ful.

аЦыпкии Я.З. Релейные автоматические системы. М. Наука. 1974. 576 с.

Дж.Марсден, Ф.Такенс, М.Т.Терехин, В.А.Треиогии, Ф.Холмс, Л.П.Шилышков и др. Эти теории особенно хорошо и подробно разработаны для систем, описываемых гладкими дифференциальными уравнениями.

Значительно меньше исследованы вопросы о бифуркациях для динамических систем, содержащих неаналитические, негладкие (модульные) или разрывные нелинейности. Методы негладкой теории разрабатывались в трудах А.А.Андронова, Б.Д.Гельмана, М.А.Красносельского, А.Ласоты, R.I.Leine, А.В.Покровского, Я.З.Цыпкина, А.Ф.Филиппова и др. Большинство работ, посвященных исследованию таких моделей, имеют прикладную направленность, а предлагаемые в них методы часто носят эвристический характер. Это, в частности, относится к исследованию локального поведения систем в окрестностях неподвижных точек. Здесь почти отсутствуют аналоги известных методов исследования динамических систем с гладкими нелинейностями. Следует отметить, что исследование стационарного состояния динамической системы имеет важное значение. В практически важных случаях именно стационарные состояния оказывают основное влияние на структуру множества движений.

Задачи исследования бифуркаций в негладких динамических системах, как правило, достаточно сложны, и поэтому при их исследовании эффективным представляется применение численных методов исследования. Здесь особо важна разработка алгоритмов и программ. Представляется та,кже важным, чтобы эти численные методы основывались на качественном исследовании данных моделей.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию различных аспектов бифуркационных задач в ряде неклассических ситуаций, характеризующихся нарушением гладкости правой части системы. Эти исследования, примыкают к работам М.Г.Юмагулова и И.Д.Нурова. Основное внимание в настоящей работе уделяется вопросам разработки методов исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнения второго порядка и которые содержат модульные или кусочно-линейные функции.

Как известно, исследование моделей многих динамических систем приводит к дифференциальному уравнению вида

х'= f(x, А), xeRN, (0.0.1)

которое при некоторых значениях параметра А имеет стационарные решения. f(x, А) является негладкой или даже разрывной в окрестности

точки х = х*. Таковыми, например, являются, модели систем, содержащих релейные нелинейности различных видов, системы с гистерезисом и некоторые другие модели.

Большой интерес представляет ситуация, когда параметр Л медленно меняется по периодическому закону в окрестности точки бифуркации Ао, что как правило имеет место в прикладных задачах.

В этом случас уравнение (0.0.1) примет вид:

х' = /(ж, А(г)), Ж е Ям.

В настоящей диссертации рассматриваются некоторые специальные классы динамических систем с разрывными и кусочно- линейными нели-нейностями, для которых предлагаются методы исследования их бифуркационного поведения в окрестностях неподвижных точек.

Стационарное решение х* при одних значениях параметра может быть устойчивым, а при других - неустойчивым. То значение параметра, при которых происходит переход от устойчивого к неустойчивому состоянию равновесия, называются бифуркационными.

х' = Цх,Х) (0.0/2)

или

хп+1 = /(Жп,А), п = 0,1,2,... (0.0.3)

Система (0.0.2) или (0.0.3) может иметь состояние равновесия х*, которое при изменении параметра А может изменять характер устойчивости. Как следствие, в окрестности точки х* могут возникать новые положения равновесия, нестационарные периодические или почти периодические колебания малой амплитуды. Указанные явления изучены в теории бифуркаций динамических систем.

Теория бифуркаций хорошо и подробно разработана для гладких динамических систем, т.е. в динамических системах вида (0.0.2) или (0.0.3) с непрерывно дифференцируемой правой частью /(х, А).

Существенно слабее изучено бифуркационное поведение негладких динамических систем, хотя и здесь имеется ряд интересных и важных результатов.

Цель работы. В математических моделях, описываемых с использованием аппарата теории динамических систем, провести исследование эффекта бифуркации в случае нарушения гладкости правой части системы в окрестности состояния равновесия, разработать алгоритмы и программы приближенного исследования некоторых важных с теоретической

и практической точек прения соответствующих бифуркационных задач. Для негладких двумерных моделей, содержащих модульные и кусочно-линейные функции, провести качественное и численное исследование фазовых портретов в основных бифуркационных ситуациях, доказать теоремы о признаках локальных бифуркаций. Выявить бифуркационные точки (особые точки), исследовать качественные эффекты негладкостей в бифуркационных явлениях.

Методы исследования. Используются методы математического моделирования. теории нелинейных колебаний, малого параметра, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории управления, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

- Разработан новый метод аналитического и численного исследования бифуркаций в системах, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции, позволяющий строить фазовые портреты для основных типов негладких (модульных и и кусочно-линейных) динамических систем.

- Получены расчетные формулы для бифуркационных решений, возникающих в окрестностях состояний равновесия систем, математические модели которых содержат модульные и кусочно-линейные функции:

- Разработан пакет программ компьютерного моделирования бифуркационного поведения негладких (модульных и кусочно-линейных) динамических систем.

Практическая и теоретическая значимость. В работе предложен и обоснован метод аналитического и численного исследования бифуркационных задач в динамических системах с негладкими (модульными и кусочно-линейными) правыми частями. Предлагаемый метод может быть использован при исследовании систем управления с релейными нелиней-ностями, моделей с сухим трением, с перескоками, автоматических систем с гистерезисом и т.д. Полученные результаты доведены до расчетных формул и алгоритмов; они программно реализованы в среде МАТЬАВ с использованием возможностей языка С++.

Публикации и личный вклад. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Теоремы 2.7 и 2.8 получены совместно с И.Д.Нуровым.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва-

лись на периодических семинарах в Институте математики АН Республики Таджикистан (2009-2012 гг.); апрельских конференциях Таджикского национального университета (2010-2012 гг.); VIII Всероссийской научно-практической конференции "Современные информационные технологии в науке, образовании и практике"(г. Оренбург, ОГУ, 2009 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика Бойма.това К.Х. (г. Душанбе, 23-24 июня 2010 г.); Международной научной конференции, посвященной 70-летию члена- корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (г. Душанбе, 28-30 июня 2011 г.); Международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (г. Уфа, БашГУ, 4-5 апреля 2012 г.); Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан ИТабозова Мирганда Шабозовича, (г. Душанбе. 29-30 июня 2012 г.).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, и трех глав. Главы разбиты на параграфы. Список литературы содержит 91 наименование.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Халилова, Мохчехра Шавкатовна, 2012 год

Литература

/I/ Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. // Об устойчивости периодических движений. ПММ. 1958. т.22. №6. с. 750-758.

¡2] Андронов A.A., Burrim А.А.,Хайкин С.Э. // Теория колебаний.-М.: Физматгиз, 1959.

]3\ Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. // Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. - М.: Наука. 1967, 488 с.

(4/ Андронов A.A.. Понтрягин Л.С. Грубые системы. ДАН СССР 14, №5, 1937.

\5\ Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, - Москва-Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. - 400 с.

/6/ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 368 с.

[7] Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.5. Динамические системы V.//M.: - ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

[8] Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций.

-М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 368 с.

]9] Басов В. В. Бифуркация положения равновесия в системах с нулевыми корнями характеристического уравнения // Математические заметки. 2004. 75. №3. С. 323-341.

¡10] Бахвалов Н.С. Численные методы. Издательство "Наука", М., 1973 г.

¡11] Бобровски Д. Введения в теорию динамических систем с дискретным временем. - Москва,- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая дина,-мика", Институт компьютерных исследований, 2006. 360 с.

¡12] Бобылев H.A., Емельянов С.В., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах. - М.: Магистр, 1998. 660 с.

¡13] Богданов Р.И. Версальная деформация особой! точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. // Труды семинаров им. И.Г. Петровского. 1976. Вып. 2. С. 37-6-5.

¡I4¡ Борздыко В.И. - Дифференц. уравнения, 1990, т. 26, №10, с. 1671-1678.

¡15] Боровских A.B., Пет,ров А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований , 2003. 336 с.

¡16J Бутенин Н.Б., Неймарк Ю.И.,Фуфаев H.A. Введение в теорию нели-нсйных колебаний. Издательство "Наука", 1987,382 с.

¡17] Байнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М: Наука, 1969.

¡18] Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания динамические системы и бифуркации векторных полей. - Москва-Ижевск:Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.

¡19] Даймонд Ф., Юмагулов М.Г., Матвеенко Н.И. Анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика. 1999. №9. С. 3-12.

¡20] Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. Издательство "Мир "Москва с. 189, 1973 г.

¡21] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967, 472 с.

¡22j di Bernardo M.,Budd С., Charnpneys A.R., Kowalezyk P. Piece - wise smooth dynamical system Appl. Math. Sei., vol. 103. London: Springer. 2008. 183 pp.

¡23] di Bernardo M.,Budd С'., Champneys A.R., Kowalezyk В.,Nordmark A.B., Olivar Tost G., Biirionen В.T. Bifurcations in nonsmooth dynamical system. SIAM Bev., 2008, vol. 50. 4 pp.629 - 671.

[24] Ибрагимова JI. С. Приближенные методы исследования бифуркационных задач с простым вырождением // Вестник Башгосуниверситета. Уфа. 2006. №2.

[25[ Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М. Ижевск: НИЦ "Рс-гулярная и хаотическая динамика". Институт компьютерных исследования, 2011., 304 с.

[26[ Иванов А.П. "Бифуркация в системах с трением: основние модели и методы".Нелинейная динамика, 2009, Т.5. №4, с.479 498.

¡27] Иванов А.П. "Исследование разрывных бифуркаций в негладких динамических системах ".Нелинейная динам., 2012, Т8, №2, с. 231Ц247.

/28[ Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -A4. : Мир, 1983, 304 с.

[29] К amo Т. Теория возмущений линейных операторов. -A4.: Мир, 1975. 740 с.

¡30] Каток A.B., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. - A4. : МЦНМОб 2005.-454 с.

¡311 Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады АН СССВ, 1980. Т. 254. №5. С. 1061-1064.

¡32] Колмагоров А.И., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981, 543 с.

/33/ Красносельский A4.А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений. - A4.: Наука, 1966, 332 с.

134[ Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - A4.: Наука, 1975. 512 с.

¡35] Красносельский М.А., Кузнецов H.A., Вачинский Д.И. Нелинейная бифуркации Хопфа //Доклады ВАН. 2000, Т. "372, №4. С. 455-458.

[36] Красносельский M. А., Кузнецов H.A.. Ю магу лов М.Г. Фупкциопа-лизация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996. Mil. С. 22-28.

[37] Кроновер P.M. Факториалы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000, 352 с.

¡38] Кузнецов H.A., Юмагулов М.Г., Матвеенко Н.И. Признаки суб- и суперкритичности в задаче о бифуркации Хопфа и задачи односторонней бифуркации. // Автоматика и телемеханика. 1998. №12. С. 51-59.

1391 Куракин Л.Г., Юдоеич В.И. О бифуркациях равновесий при разрушении кососимметрии динамической системы // Сибирский математический журнал, 2004. Т. 45. №2. С. 356-374. 1.

¡40¡ Kypoui А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.- 431 с.

¡41] Ланкастер П. Теория матриц. -М.: Наука, 1983, 328 с.

[42] Leine В,Т.. Van Campen D.H.- European Journal of Mechanigs A/Solids 2006 25,pp.595-616.

¡431 Локшин A.A., Лопатчиков С.А.. Саакин A.C. Метод сжатых отображений в симметричной проблеме собственных значений. -М.: Изд-во МГУ, 1995, 143 с.

\44[ Ляпунов A.M. Собрание сочинений. - М.-Л.: Гостехиздат, 1956. Т. 2.

1451 Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. - М.: Едиториал УРСС, 2004, 2000. 336 с.

[46[ Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику.-М.: Эдиториал УРСС, - М.: Наука, 2000,336 с.

[47[ Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Едиториад, УРСС, 2004. 432 с.

[48] Мардсен Дою.. Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. - М.: Мир, 1980, 362 с.

[49] Maree G.I.M. Slow Periodic Crossing of a Pitchfork Bifurcation in an Oscillating System. Nonlinear Dynamics 12: 1-37, 1997.

[50j Мухамадиев Э.М. О вычислении индекса особой точки конечномерного вектора, поля. Доклады АН Тадж. ССР, т. №10,3,1967, с. 6-9.

[51] Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, Главная редакция физико - математической литературы, 1972 г. 472 с.

[52] Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях 1,11. // Дифференциальные уравнения 1987. Т. 23, Вып. 12. С. 2060 - 2067; 1988. Т. 24. Вып. 2. С. 226-233.

\53\ Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования.// Автоматика и телемеханика. 1993. №3. С. 101-108.

[54[ Нуров И.Д., Юмагулов М.Г. Импульсно-частотные характеристики в бифуркационных задачах. // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 34-40.

I55j Nurov L.Yumagulov М. - Italian Journal of Pure and Applied Mathematics.,2003, КПЗ,pp. 71-81 (in Italian).

[56] Острейсковский В.И. Анализ устойчивости м управляемости динамических систем методами теории катастроф. - М.: Высш. шк., 2005.

[57] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва "Наука", 1982, 334 с.

[58} Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука., 1977. 304 с.

¡59[ Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М,- Л.: ГИТТЛ. 1947, 392 с.

[60] Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971, 288 с.

¡61] Сабиров Т.С. К вопросу об устойчивости малых периодических решений. ДАН СССР, 1966, 167,4, с. 755- 757.

]62\ Самойленко A.M. О локальных интегральных многообразиях в окрестности периодических решений систем дифференциальных уравнений. Труды семинара по математической физики и нелинейных колебаний. Института математики АН УССР, 1, К.(1963), 60-87.

163] Симо К., Смейл С., Шенсине А. и, др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002г.

]64] Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука, с. 207, 1980г.

165j Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. - М.: Мир, 1985. 254 с.

¡66] Филипов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. A4.: Издательство ЛКИ, 2008. - 240 с. 2.

[67] Филиппов А. Ф.Дифференциальные уравнения с разрывной частью. -Матем. сборник,1966,51,РЖМат, 960,317 с.

j68j Fisher М.Е. Phase Transitions and critical phenomeana, в книги "Contemporary Physics. Triesbe Symposiym 1968", Vol. 1, IAEA, Vienna, 1969 p. 19.

[69j Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. 720 с.

[70] Харн Р.,Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989. 655 с.

[71 [ Хэссард Б.. Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. - М.: Мир, 1985, 280 с.

[72] Шильников Л.П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва - Ижевск.: Институт компьютерных исследований,2004. 416 с.

[73{ Юдович В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости. //ДАН СССР, 195(1970). №2. С. 292-295.

[74] Ю магу лов М.Г. Траектории автономных систем в окрестности бесконечно удаленной точки. // Доклады АН Таджикской ССР. 1982. Т. 24, Ml, С. 648-651.

[75] Юм,агулов М.Г. Метод функционализации параметра в приближенного расчета малых автокалебательных режимов // Автоматика и телемеханика. 1988. №10. С. 76-84.

¡76] Ю магу лов М.Г., Матвеенко Н.И. О операторных в задаче о признаках бифуркации Андронова - Хопфа. // Известия РАЕН, серия МММИУ. 2000. Т. 4. №1. С. 170 - 198.

/77/ Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л. С. Фупкциопализация параметра, и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 2007. №4. С.3-12.

¡78j Юмагулов М.Г., Вышинский А.А„ Нуров И.Д. Моделирование бифур-цирующих решений к- параметрических динамических систем. // Доклады АН Республики Таджикистан. 2007. Т. 50. №5. С. 409-416.

¡79] Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Музафаров С.М., Нуров И.Д. Бифуркация Андронова - Хопфа со слабооциллирующими параметромн. // Автоматика и телемеханика. 2008. №1.С. 36-41.

[80] Юмлгулов М.Г..Нуров И.Д., Шарафуддинов И.В. Алгоритмы исследования периодических решений в задаче о бифуркации Андронова - Хопфа. Труды Второй Всероссийской! научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB". Москва: Институт проблем управления РАН, 2004, с. 578 - 583.

j81] Yu Shu- Xiang Bifurcation of bounded solutions of ordinary differential equations depending on a parameter// Rocky Mount. Y. math.2004.34.3. P. 1191-1196.

[821 Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М. Наука, 1974, 576 с.

[83] Назарова Х.Э., Нуров И.Д., Халилова, M.LU. "Пакет программ численного построения бифуркационных явлений нелинейных систем". ДАН РТ , Том 52, №8, Душанбе 2009, С. 586-592.

[841 Нуров И.Д.,Халилова М.Ш.Моделирование бифуркационных явлений в негладких динамических системах. ДАН РТ, Том 53. №10, Душанбе 2010, С. 752-758.

[85] Нуров И.Д.,Халилова М.Ш. Исследования устойчивости состояния равновесия негладких динамических систем. ДАН РТ, Том 54, №10, Душанбе 2011, С. 815-820.

[86/ Нуров И.Д., Халилова М.Ш. "Моделирование бифуркационных явлений со сложными нелинейностями". VIII всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. Современные информационные технологии в науке, образовании и нрактп-ке.Оренбург 2009г. Стр. 177-179.

¡87/ Нуров И.Д., Халилова М.Ш. "Исследование бифуркационных явлений в негладких динамических системах ". Материалы международной конференции посвященной 60-летию академика Бойматова К.Х. Душанбе 23-24 июня 2010г.стр.77-78.

¡881 Нуров И.Д.,Халилова М.Ш. "Об условиях устойчивости бифуркационных явлений в негладких двумерных систем". Материалы международной научной! конференции, посыященной 70-летию члена - корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (Душанбе, 28-30 июня 2011 г.) стр. 96-98.

[89] Халилова М.Ш., Нуров И.Д. "Об итерационных процедурах численного исследования бифуркации малых колебаний и анализа их устойчивости". Материалы международной научной конференции, посыященной 70-летию члена - корреспондента АН Республики Таджикистан Мухамадиева Э.М. (Душанбе, 28-30 июня 2011 г.) стр. 128-130.

/90/ Халилова М.Ш., Нуров И.Д. Бифуркационные явления со слабоос-цилирующими параметрами негладких систем. Известия АН РТ №1, (146), 2012, с. 32- 39.

¡911 Халилова М.Ш., Нуров И.Д. "Компьютерный анализ б}-1фуркаций в негладких динамических системах".Материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан Шабозова Миргапда Шабозовича, (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.) стр. 173-175.