Моделирование и адаптивное управление динамикой транспортных потоков в условиях крупного мегаполиса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Алексеенко Андрей Евгеньевич

• Алексеенко Андрей Евгеньевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Алексеенко Андрей Евгеньевич

Введение

Актуальность темы и степень её разработанности

Цели и задачи

Научная новизна

Научная и практическая ценность

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Публикации автора по теме диссертации и его вклад

Соответствие специальности

Глава 1. Методы моделирования дорожного движения

§1.1. Фундаментальная диаграмма

§1.2. Макроскопические модели

§1.3. Микроскопические модели

Глава 2. Разработанная макроскопическая модель дорожного движения

§2.1. Обзор макроскопических моделей

§2.2. Уравнение состояния на дороге

§2.3. Модель перекрёстка

Алгоритм численного решения

Результаты расчётов

Заключение

Глава 3. Адаптивное управление

§3.1. Принципы адаптивного управления

§3.2. Граничное управление

§3.3. Управление через правую часть

Постановка задачи управления

Проверка алгоритма управления на модельном кольце

Проверка алгоритма управления на внешнем кольце МКАД

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и адаптивное управление динамикой транспортных потоков в условиях крупного мегаполиса»

Актуальность темы и степень её разработанности

Стремительное развитие средств транспорта в XX-XXI вв. оказало крайне сильное влияние на современное общество, являясь одним из первых инструментов глобализации. Из всех видов пассажирского транспорта, автомобильный является наиболее распространённым. Например, в США ежегодный объём пассажироперевозок личным автотранспортом составляет более 5,8 триллионов пассажиро-километров, что в 6 раз больше, чем у второго по объёму вида транспорта - авиационного; подобная ситуация наблюдается и в других частях мира, включая Евросоюз и Россию [1].

При этом, если подавляющая часть воздушных, водных и железнодорожных транспортных средств являются коммерческими и следуют заранее созданному расписанию или, по крайней мере, имеют диспетчерское сопровождение, то большая часть автомобилей на дорогах являются частными, и дорожные службы могут лишь опосредованно влиять на ситуацию.

Высокая популярность автотранспорта в современных мегаполисах, дорожная инфраструктура которых зачастую крайне трудно поддаётся изменению, приводит к необходимости оптимизировать использование этой инфраструктуры.

В этой связи, математическое моделирование транспортных потоков имеет несколько различных применений: предсказание ситуации на дорогах, динамическое управление существующей дорожной системой, оценка предполагаемых планов развития транспортных систем.

В 1913 году на заводе «Хайленд Парк», принадлежащем промышленнику Генри Форду, впервые был использован сборочный конвейер, что позволило сократить время сборки шасси Ford T более чем вдвое. Уже через год конвейер использовался на большинстве этапов сборки, что позволило снизить необходимое для выпуска время с 12 часов до двух и менее. Радикальное упрощение и удешевление процесса производства принесло Генри Форду титул пионера автомобилизации.

Другая фигура, менее известная, но не менее тесно связанная с автомобилизацией -Роберт Мозес. Будучи градостроителем Нью Йорка начиная с 1920х годов, именно он сформировал инфраструктуру города, сосредоточенную на предоставлении преимущества владельцам автомобилей, а не общественному транспорту. По его проекту было построено первое полностью платное шоссе Meadowbrook Parkway в 1934 году [2]. С 1930-х по 1960-е года под его руководством были построены более десятка шоссе в Нью Йорке. Несмотря на то, что личность и взгляды Мозеса имеют неоднозначную репутацию [2], трудно отрицать его влияние на современное градостроительство. И если Генри Форд сделал автомобиль доступным, то Роберт Мозес закрепил роль автомобиля как основного городского транспорта.

Первые попытки математического анализа дорожного движения были предприняты американским экономистом Фрэнком Найтом, который в 1920-х годах выдвинул идею установления равновесия при наличии нескольких путей доставки грузов. В 1952 году Джон Уордроп развил идеи Найта, сформулировав два принципа дорожного равновесия [3]: «Время на поездку на всех используемых к данному моменту путях всегда будет не больше, чем время на поездку по путям неиспользуемым; каждый из участников потока независимо от остальных в каждый момент времени пытается выбрать наиболее оптимальную траекторию движения» (пользовательское равновесие) и «В равновесном состоянии среднее время поездки будет иметь минимально возможное значение» (данное распределение соответствует так называемому «системному оптимуму»). Данные принципы похожи на идею равновесия Нэша [4], однако были разработаны независимо.

Вскоре начались и экспериментальные исследования. В 1933 году Брюсом Грин-шильдсом была опубликована работа по определению основных характеристик движения транспорта с использованием кинокамеры [5]. В его работе были впервые введены основные численные характеристики транспортного потока: средняя скорость движения автомобилей u [м/с], плотность автомобилей на метр дорожного полотна р [АТС/м], а также интенсивность потока автомобилей Q [АТС/с]. Также

Гриншильдс установил соотношение между ними: Q = ри, по аналогии с подобными соотношениями в гидродинамике.

Бум автомобильного транспорта во многом совпал с созданием электронных вычислительных машин и сопутствующим развитием методов математического моделирования. Хотя изначально численное моделирование использовалось для нужд военно-промышленного комплекса, разработанные методы и подходы были применимы к намного более широкому кругу задач.

В 1950-х годах возникли первые динамические модели движения транспортных потоков. Тогда же возникло и разделение между двумя подходами к моделированию транспортных потоков: макроскопическим (гидродинамическими), рассматривающим движение транспорта как поток баротропного газа, и микроскопическим, отдельно описывающим движение каждого транспортного средства.

Хотя на сегодняшний день разработано большое число разнообразных моделей для математического описания автомобильных потоков, в том числе в парадигме макроскопического подхода [6-14], проблема образования предзаторных и заторных ситуаций еще до конца не изучена [15]. Это подтверждает то, что разные коллективы, использующие различные модели транспортных потоков (начиная от модели Лайтхилла-Уизема-Ричардса и заканчивая моделями, в которых каждый водитель характеризуется своим вариационным принципом), получают примерно одни и те же результаты для похожих режимов движения [16].

Помимо вопросов точности самой модели не меньшим препятствием на пути успешного применения методов математического моделирования к управлению городской транспортной сетью является низкая точность и неполнота данные о текущем состоянии транспортной сети. Данные о поведении транспортной системы в виде GPS-треков автомобилей совместно с данными транспортных детекторов позволяет контролировать и тем самым, уточнять параметры, разрабатываемых моделей и некоторых их важных свойств. Имея информацию о том, как двигаются

транспортные потоки, можно получать количественные оценки параметров используемой модели на дорогах транспортной сети. Тем не менее, такой способ по-прежнему остается крайне чувствительным к точности (полноте) входных данных.

В данной диссертации предлагается макроскопическая модель дорожного движения и проведено её сравнение с существующими, широко применяемыми на практике, моделями [17,18]. Предлагаемая модель записывается в виде системы гиперболических уравнений, соответствующих аналогам законов сохранения «массы» и «импульса» для транспортного потока. Благодаря диагональной форме матрицы Якоби системы уравнений, возможно использование эффективных численных методов, что сокращает время моделирования по сравнению с другими макроскопическими моделями второго порядка, при этом обеспечивая сравнимую с ними, и превосходящую в сравнении с моделями первого порядка, точность.

Также разработан метод для определения параметров модели на основе данных со стационарных детекторов транспортного потока и агрегированных данных о ОРБ-треках автомобилей [17,18]. В отличие от ряда существующих методов (например, [19-22]), разработанный алгоритм полностью автоматизирован, и объединяет как «временные» (сведения о средней скорости и интенсивности транспортного потока в месте установки детектора), так и «пространственные» (сведения о координатах и скоростях отдельных автомобилей в потоке, полученные из ОРБ-треков) данные. Полученная параметризация была проверена на совместимость с предложенной моделью и другими популярными макроскопическими моделями транспортных потоков, и показала хорошее согласие между результатами моделирования и эмпирическими наблюдениями.

Другим направлением работ, которое представлено в данной диссертации, было исследование применимости макроскопических методов моделирования дорожного движения к описанию движения на регулируемом перекрёстке. В настоящее время, наиболее популярным инструментом для описания движения на дорожных перекрёстках являются микроскопические модели (см., например, работы [23-26]). Представленный нами в статье [27] метод построения топологии дороги, а также

обобщение одномерной системы уравнений на двумерный случай, позволяет использовать макроскопические модели транспортных потоков для описания движения на регулируемых перекрёстках двух дорог, Т-образных перекрёстках, и перекрёстках с круговым движением.

Ещё одно применение макроскопических моделей, представленное и опубликованное в сборниках трудах конференций [28,29], касается задачи адаптивного управлениями въездами на автостраду, на примере МКАД. Традиционно используемые для моделирования въездов микроскопические модели оказываются непозволительно медленными, когда возникает задача моделирования полной протяжённости большого шоссе. Использование одномерной системы гиперболических уравнений второго порядка с управлением через правую часть позволяет нам провести моделирование полного кольца МКАД, определить оптимальный режим светофорного регулирования въездов на МКАД, а также оценить эффективность светофорного регулирования в отношении поддержания свободного движения на МКАД и минимизации длины образующихся очередей на въездах.

Цели и задачи

Целями данной работы являются:

а) анализ существующих макроскопических моделей дорожного движения и разработка обобщённой гидродинамической модели;

б) создание метода для автоматической параметризации различных макроскопических моделей для описания участков автомобильных дорог;

в) анализ применимости макроскопических моделей для описания движения на перекрёстках и к задачам адаптивного управления транспортными потоками.

Задачи работы:

1. Разработать гидродинамическую модель транспортного потока, и эффективный численный метод для её расчёта. Реализовать данную модель и ряд существующих моделей в рамках единого программного пакета для моделиро-

вания движения по автострадам и городским улицам. Сравнить точность разработанной модели и известных ранее моделей на реальных дорожных данных.

2. Разработать метод и его программную реализацию, позволяющие в автоматическом режиме получать фундаментальную диаграмму для заданного участка дороги (как отдельно по каждой полосе, так и агрегировано для всех полос многополосной автодороги) на основе данных со стационарных детекторов дорожного движения (предоставляющих сведения о средней скорости и интенсивности потока в месте установки датчика) и данных, полученных из анализа ОРБ-треков автомобилей (сведения о средней скорости потока на участке автодороги). Провести сравнение результатов моделирования с известными эмпирическими данными о скорости и интенсивности транспортного потока.

3. Создать робастную математическую модель для использования при макроскопическом моделировании движения на регулируемом перекрёстке. Разработать численный метод для эффективного расчёта данной модели, и провести её верификацию на известных эмпирических данных с регулируемого перекрёстка.

4. На основе полученной модели разработать алгоритм адаптивного управления транспортными потоками при въездах на автострады. Оценить его эффективность через математическое моделирование движения транспорта на МКАД.

Научная новизна

Несмотря на то, что первые фундаментальные работы по исследованию транспортных потоков появились в 50-х годах XX века, проблема полноты математического описания дорожного движения пока далека от решения. Предлагаемая в данной работе макроскопическая модель [17,18] дорожного движения обладает точностью, сравнимой с показателями других гидродинамических моделей второго порядка [6,7,10,11], при этом имеет более простой вид, позволяющий использовать более эффективные численные методы. Это позволит проводить моделирование глобаль-

ных транспортных сетей без увеличения вычислительных затрат. Ещё одним преимуществом разработанной модели является то, что при её выводе не делалось предположений о конкретной форме уравнения состояния (фундаментальной диаграмме) дороги.

Также в процессе разработки модели было проведено обобщение существующих макроскопических моделей Пейна-Уизема [11,30] и Эйва-Раскла-Жанга [6,7] на случай произвольного уравнения состояния (фундаментальной диаграммы) дороги

[17].

Чаще всего для описания перекрёстков используются микроскопические модели, или же упрощённые макроскопические модели, которые не учитывают реальную топологию перекрёстка или алгоритмы работы светофорной сигнализации [31-36]. Однако, именно перекрёстки чаще всего являются «бутылочным горлышком» транспортной сети, поэтому использование их упрощённой модели может привести к невозможности корректно описать многие наблюдаемые явления. В данной работе предложен подход [27] для макроскопического описания регулируемого дорожного перекрёстка, полностью учитывающий топологию перекрёстка, движение по полосам, и различные фазы светофорного регулирования. Эта модель верифицирована на реальных данных с перекрёстков г. Москвы.

Широкое внедрение мониторинга транспортных систем предоставляет большое количество актуальной информации о состоянии транспортной сети, однако далеко не всегда позволяет эффективно её использовать для управления дорожной ситуацией, или даже оценить достоверность получаемой информации [37-39]. Таким образом, для успешной параметризации математической модели необходимо не только уметь построить фундаментальную диаграмму по данным с датчиков, но и делать это с высокой достоверностью в условиях зашумлённых (или откровенно ложных) данных. Предлагаемый подход [18] позволяет надёжно отсеять ложные «выбросы» при обработке данных со стационарных детекторов транспортного потока, тем самым решая проблему ненадёжности датчиков, и дополняет данные со

стационарных детекторов данными о ОРБ-треках автомобилей, что позволяет более точно описать движение в заторной фазе - наиболее важной для моделирования и при этом обычно сильно зашумленной на данных со стационарных датчиков.

Используя разработанную модель и метод параметризации для неё, мы применили их к тестовой задаче адаптивного управления въездами на Московскую кольцевую автомобильную дорогу [28,29]. Предлагаемый метод адаптивного управления позволяет регулировать количество машин, въезжающих на автостраду, и благодаря получению актуальной информации с детекторов, не допускать возникновения заторных ситуаций при движении по ней.

Научная и практическая ценность

Развитие интеллектуальных транспортных систем и «умных городов» подразумевают сбор всё большего количества данных о состоянии и загруженности дорожных сетей, однако сама дорожная инфраструктура современных мегаполисов - часто трудно поддаётся развитию, что создаёт потребность в оптимизации при её использовании. Математическое моделирование транспортных потоков здесь необходимо для решения следующих задач: создавать оперативный прогноз дорожной ситуации, осуществлять динамическое управление существующей транспортной системой с целью повышения её пропускной способности, и осуществлять количественную оценку планов по развитию дорожной сети. В данной работе затрагиваются все три аспекта.

Из-за сильной неустойчивости решений модельных уравнений (при достаточно больших плотностях), описывающих транспортные потоки, задача получения достоверного прогноза загрузки транспортной сети по имеющимся данным на час вперед сродни задачи получения достоверного прогноза погоды на неделю вперед [40]. Помимо точности самой математической модели, существенной проблемой при моделировании транспортных потоков является большая чувствительность описываемой реальной транспортной системы к входным данным (характеристики источников и стоков автозмобилей) и трудность получения достаточно полной информацию о текущей дорожной

ситуации [40]. Предлагаемый метод для параметризации фундаментальной диаграммы позволяет в автоматическом режиме получить необходимые для моделирования данные, характеризующие существующую дорожную сеть.

Макроскопическое моделирование уже давно заняло одно из ведущих мест среди методов для прогнозирования дорожной ситуации. Гидродинамические модели первого порядка, несмотря на всё ещё широкое распространение, достаточно плохо описывают переходные процессы, такие как образование пробки, что снижает качество прогноза именно в тех ситуациях, когда он наиболее важен. Различные модели второго порядка, в особенности анизотропные модели, например модель Эйва-Раскла-Жанга [6,7], лишены этого недостатка, однако являются более требовательными к вычислительным ресурсам. Представленная в данной работе гидродинамическая модель второго порядка позволяет разделить при численном решении уравнения для плотности и скорости транспортного потока, благодаря чему можно использовать более простой алгоритм численного решения. Это позволит моделировать более протяженные участки транспортной сети.

Также нами разработан метод применения макроскопических моделей для детального моделирования регулируемых перекрёстков - задачи, которую обычно решают с помощью микроскопических моделей. По сравнению с микромоделированием, использование гидродинамического подхода позволяет автоматически учитывать существующие особенности перекрёстка, основываясь на данных с детекторов транспортного потока, и существенно увеличить скорость численных расчётов.

Решение задачи адаптивного управления дорожным движением необходимо для повышения эффективности использования имеющейся дорожной инфраструктуры. В данной работе разработан метод адаптивного светофорного регулирования въездов на автомагистраль, и протестирован на примере Московской кольцевой автомобильной дороги. Показано, что данный алгоритм регулирования позволяет снизить, а в ряде случаев и полностью избежать возникновения пробок на основной

автомагистрали, путём некоторого увеличения очередей на её въездах. Таким образом, за счёт существенного повышения средней скорости движения, общее время водителей в пути, несмотря на ожидание при въездах на магистраль, сокращается, что положительно сказывается на экономических, экологических и социальных аспектах жизни города.

Методология и методы исследования

Разработанная гидродинамическая модель автомобильного потока является обобщённой версией моделей А. Эйва, М. Раскла [7] и М. Жанга [6]. Для решения составляющей модель системы дифференциальных уравнений в частных производных используется сеточно-характеристический метод, предложенный К.М. Маго-медовым и А.С. Холодовым. Алгоритм для автоматизированного определения фундаментальной диаграммы использует наработки из области компьютерного зрения и вычислительной геометрии. Модель автомобильного потока на регулируемом перекрёстке основывается на разработанной модели движения по шоссе, но расширяет её на случай движения в двух измерениях; для численного решения также используется сеточно-характеристический метод. Предлагаемый алгоритм адаптивного регулирования въездов на автостраду основан на методе характеристик. Программный комплекс для расчёта написан на языках Python и C++. Разработанные математические модели и результаты расчётов проверены на решении тестовых задач и путем сравнения с данными экспериментальных наблюдений.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана гидродинамическая модель второго порядка, а также эффективный численный метод для решения получающейся системы гиперболических уравнений. Данная модель выведена из модели Лайтхилла-Уизема-Ричардса, но не опирается на конкретный вид уравнения состояния (фундаментальной диаграммы). Модель была протестирована на корректность с использованием реальных данных, полученных с детекторов интенсивности и скорости автомобильного потока на автотрассах в России и США. Благодаря диагональному виду системы гиперболиче-

ских уравнений, лежащей в основе полученной модели, её использование при численном моделировании является менее вычислительно-затратным, чем использование классических гидродинамических моделей второго порядка.

2. Разработан метод для автоматической параметризации фундаментальной диаграммы для произвольного участка дорожной сети на основании данных со стационарных детекторов транспортного потока и агрегированных данных о GPS-треках автомобилей на интересующем участке. Корректность получаемой параметризации проверена через её применение для численного моделирования заданных участков автострад. Метода относятся устойчив к большому числу ошибочных данных и точно описывает заторную фазу и фазу синхронизированного потока благодаря использованию GPS-треков.

3. Разработан метод для использования макроскопических моделей транспортных потоков для описания движение на регулируемом дорожном перекрёстке. Предлагаемый метод применим для описания как регулируемых, так и нерегулируемых перекрёстков произвольной конфигурации. Также метод позволяет использовать в своей основе широкий класс различных гидродинамических моделей. Метод проверен путём сравнения его результатов с данными, полученными с датчиков транспортного потока на заданных перекрёстках г. Москвы.

4. На основе разработанной макроскопической модели предложен алгоритм для адаптивного управления въездами на автостраду. Целью работы алгоритма является поддержание беззаторного движения (или, если это невозможно, минимизация заторов) на основной автомагистрали путём ограничения въезда на неё со второстепенных дорог. Алгоритм адаптивного управления протестирован на модельной системе с двумя развязками, а также на упрощённой модели МКАД с 36 въездами/выездами. В обоих случаях продемонстрирована его эффективность.

Степень достоверности и апробация результатов

Высокая степень достоверности результатов работы подтверждена корректностью использованного математического аппарата и сравнениями с данными реальных

наблюдений. Результаты диссертации доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и научных семинарах:

Семинары кафедры информатики и вычислительной математики МФТИ (Москва, 2015);

IV Международная научно-практическая конференция «Современные проблемы безопасности жизнедеятельности: Интеллектуальные транспортные системы» (Казань, 2016);

12th World Congress on Computational Mechanics and 6th Asia-Pacific Congress on Computational Mechanics (Сеул, 2016);

Семинары лаборатории интеллектуальных транспортных систем университета Ин-нополис (Иннополис, 2016-2017).

Международный конгресс ITS European Congress (Страсбург, 2017).

Публикации автора по теме диссертации и его вклад

Результаты диссертации опубликованы в шести статьях [17,18,27-29,85], четыре из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [17,18,27,85], одна в издании, Все результаты диссертации и соответствующие им части публикаций получены лично соискателем. Реализован программный код для моделирования дорожного движения на перекрёстке [28] и на однополосной дороге с использованием различных макроскопических моделей [17,18], для моделирования движения на автостраде с учётом адаптивного управления [28,29], и для автоматического определения параметров уравнения состояния дорожного потока на основании эмпирических данных [18]. В [28] предложена математическая модель движения автомобильного потока на регулируемом дорожном перекрёстке, и проведена верификация этой модели путём сравнения полученных с её помощью результатов с экспериментальными наблюдениями на трёх перекрёстках г. Москвы. В группе статей [17,18] предложена обобщённая форма гидродинамической модели дорожного движения по однополосной дороге, а также метод автоматической параметризации этой модели (и её частных случаев); проведена апробация обоих методов путём

сравнения их результатов с данными транспортных детекторов на участках Московской Кольцевой Автомобильной Дороги (МКАД) и междугородних трассах Калифорнии, США. В [28,29,85] разработан метод адаптивного управления въездами на автомобильную трассу, и в [28,29] проведена оценка эффективности его применения с использованием реальных данных с МКАД.

Соответствие специальности 05.13.18

Работа содержит все необходимый компоненты специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

1. Математическое моделирование: Разработана математическая модель дорожного движения на автостраде, алгоритм её параметризации, а также метод, позволяющий использовать разработанную модель для моделирования движения на регулируемом перекрёстке

2. Численные методы: Разработан эффективный численный метод решения лежащей в основе предлагаемой модели системы гиперболических уравнений в частных производных и основанный на методе характеристик метод для адаптивного управления въездами на автостраду.

3. Комплексы программ: Предлагаемые численные методы, алгоритмы для параметризации и адаптивного управления реализованы в виде компьютерных программ на языках C++ и Python, а корректность работы численных методов проверена через сравнение с неявными TVD-схемами, реализованными в пакете Clawpack [41,42].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексеенко Андрей Евгеньевич, 2017 год

Список литературы

1. EU transport in figures. Statistical Pocketbook. Luxembourg: Publications Office of the European Union, 2012. 36 p.

2. Wallock L. The Myth of the Master Builder: Robert Moses, New York, and the Dynamics of Metropolitan Development Since World War II // J. Urban Hist. 1991. Vol. 17, № 4. P. 339-362.

3. Wardrop J.G., Whitehead J.I. Correspondence. Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research // Proc. Inst. Civ. Eng. 1952. Vol. 1, № 5. P. 767-768.

4. Васин А.Л., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. Москва: МАКС Пресс, 2005. 272 c.

5. Greenshields B.D. The Photographic Method of Studying Traffic Behavior // Highway Research Board Proceedings. Washington, D.C, 1934. Vol. 13. P. 382-399.

6. Zhang H.M. A non-equilibrium traffic model devoid of gas-like behavior // Transp. Res. Part B Methodol. 2002. Vol. 36, № 3. P. 275-290.

7. Aw A., Rascle M. Resurrection of "Second Order" Models of Traffic Flow // SIAM J. Appl. Math. 2000. Vol. 60, № 3. P. 916-938.

8. Aw A. et al. Derivation of Continuum Traffic Flow Models from Microscopic Fol-low-the-Leader Models // SIAM J. Appl. Math. 2002. Vol. 63, № 1. P. 259-278.

9. Siebel F., Mauser W. On the Fundamental Diagram of Traffic Flow: Statistical Mechanics; Physics and Society // SIAM J. Appl. Math. 2006. Vol. 66, № 4. P. 11501162.

10. Siebel F., Mauser W. Synchronized flow and wide moving jams from balanced vehicular traffic // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, № 6. P. 66108.

11. Payne H.J. Models of freeway traffic and control // Math. Model. Public Syst. 1971. P. 51-61.

12. Papageorgiou M. Some remarks on macroscopic traffic flow modelling // Transp. Res. Part A Policy Pract. 1998. Vol. 32, № 5. P. 323-329.

13. Lighthill M.J., Whitham G.B. On Kinematic Waves. II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads // Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. 1955. Vo l. 229, № 1178. P. 317-345.

14. Richards P.I. Shock Waves on the Highway // Oper. Res. 1956. Vol. 4, № 1. P. 4251.

15. Гасников А.В. и др. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / Под ред. Гасникова А.В. М.: Физтех-Полиграф, 2010. 360 с.

16. Fan S., Herty M., Seibold B. Comparative model accuracy of a data-fitted generalized Aw-Rascle-Zhang model // Networks Heterog. Media. 2014. Vol. 9, № 2. P. 239268.

17. Холодов Я.А., Алексеенко А.Е., Холодов А.С., Васильев М.О., Мишин В.Д. Разработка, калибровка и верификация модели движения трафика в городских условиях. Часть II // Компьютерные исследования и моделирование. 2015. Т. 7, №2 6. С. 1205-1219.

18. Алексеенко А.Е., Холодов Я.А., Холодов А.С., Горева А.И., Васильев М.О., Чехович Ю.В., Мишин В.Д., Старожилец В.М. Разработка, калибровка и верификация модели движения трафика в городских условиях. Часть I // Компьютерные исследования и моделирование. 2015. Т. 7, № 6. С. 1185-1203.

19. Wang H. et al. Logistic modeling of the equilibrium speed-density relationship // Transp. Res. Part A Policy Pract. Elsevier Ltd, 2011. Vol. 45, № 6. P. 554-566.

20. Dervisoglu G. et al. Automatic Calibration of the Fundamental Diagram and Empirical Observations on Capacity // Transportation Research Board 88th Annual Meeting. 2009. № January.

21. Phegley B., Gomes G., Horowitz R. Fundamental Diagram Calibration: A Stochastic Approach to Linear Fitting // Transportation Research Board 93rd Annual Meeting Compendium of Papers. Washington, DC, 2014.

22. Qu X., Wang S., Zhang J. On the fundamental diagram for freeway traffic: A novel calibration approach for single-regime models // Transp. Res. Part B Methodol. Elsevier Ltd, 2015. Vol. 73. P. 91-102.

23. Tolba C. et al. Performances evaluation of the traffic control in a single crossroad by Petri nets // IEEE Conference on Emerging Technologies and Factory Automation. IEEE, 2003. Vol. 2. P. 157-160.

24. Bull L. et al. Towards Distributed Adaptive Control for Road Traffic Junction Signals using Learning Classifier Systems. 2004. P. 276-299.

25. Doniec A. et al. Dealing with Multi-Agent Coordination by Anticipation: Application to the Traffic Simulation at Junctions // Eumas. 2005. P. 478-479.

26. Yatskiv I., Yurshevich E., Savrasov M. Investigation Of Riga Transport Node Capacity On The Basis Of Microscopic Simulation // ECMS 2007 Proc. Ed. by I. Zelinka, Z. Oplatkova, A. Orsoni. 2007. № September 2016. P. 584-589.

27. Холодов Я.А., Алексеенко А.Е., Васильев М.О., Холодов А.С. Построение математической модели дорожного перекрестка на основе гидродинамического подхода // Компьютерные исследования и моделирование. 2014. Т. 6, № 4. С. 503522.

28. Алексеенко А.Е. и др. Оптимальное светофорное регулирование при въездах на автостраду // Современные проблемы безопасности жизнедеятельности: интеллектуальные транспортные системы / Под ред. Миннинханова Р.Н. Казань: ГБУ «Научный центр безопасности жизнедеятельности», 2016. С. 20-31.

29. Alekseenko A., Kholodov Y., Kholodov A. The optimal traffic light control for highway on-ramps // Proceedings of WCCM XII & APCOM VI. Seoul: Korean Society for Computational Mechanics, 2016. P. 581.

30. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York: John Wiley & Sons Inc., 1974.

31. Herty M., Klar A. Modeling, Simulation, and Optimization of Traffic Flow Networks // SIAM J. Sci. Comput. 2003. Vol. 25, № 3. P. 1066-1087.

32. Coclite G.M., Garavello M., Piccoli B. Traffic Flow on a Road Network // SIAM J. Math. Anal. 2005. Vol. 36, № 6. P. 1862-1886.

33. Garavello M., Piccoli B. Traffic Flow on a Road Network Using the Aw-Rascle Model // Commun. Partial Differ. Equations. 2006. Vol. 31, № 2. P. 243-275.

34. Haut B., Bastin G. A second order model of road junctions in fluid models of traffic networks // Networks Heterog. Media. 2007. Vol. 2, № 2. P. 227-253.

35. Costeseque G., Lebacque J.P. Intersection Modeling using a Convergent Scheme based on Hamilton-Jacobi Equation // Procedia - Soc. Behav. Sci. 2012. Vol. 54. P. 736748.

36. Garavello M., Piccoli B. A Multibuffer Model for LWR Road Networks. 2013. P. 143-161.

37. Zhang J. et al. Data-Driven Intelligent Transportation Systems: A Survey // IEEE Trans. Intell. Transp. Syst. 2011. Vol. 12, № 4. P. 1624-1639.

38. Faouzi N.-E. El, Leung H., Kurian A. Data fusion in intelligent transportation systems: Progress and challenges - A survey // Inf. Fusion. 2011. Vol. 12, № 1. P. 4-10.

39. Ilarri S., Delot T., Trillo-Lado R. A Data Management Perspective on Vehicular Networks // IEEE Commun. Surv. Tutorials. 2015. Vol. 17, № 4. P. 2420-2460.

40. Морозов И.И. и др. Численное исследование транспортных потоков на основе гидродинамических моделей // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, № 4. С. 389-412.

41. LeVeque R.J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. 580 p.

42. Ketcheson D.I. et al. PyClaw: Accessible, Extensible, Scalable Tools for Wave Propagation Problems // SIAM J. Sci. Comput. 2012. Vol. 34, № 4. P. C210-C231.

43. Greenberg H. An Analysis of Traffic Flow // Oper. Res. 1959. Vol. 7, № 1. P. 7985.

44. Drew D.R., Dudek C.L., Keese C.J. Freeway level of service as described by an energy-acceleration noise model // Highw. Res. Rec. 1967. № 162. P. 30-85.

45. Edie L.C. Car-following and steady-state theory for noncongested traffic // Oper. Res. 1961. Vol. 9, № 1. P. 66-76.

46. Cassidy M.J., Bertini R.L. Some traffic features at freeway bottlenecks // Transp. Res. Part B Methodol. 1999. Vol. 33, № 1. P. 25-42.

47. Kerner B.S. The physics of traffic // Phys. World. 1999. Vol. 12, № 8. P. 25-30.

48. Kerner B.S. Empirical macroscopic features of spatial-temporal traffic patterns at highway bottlenecks // Phys. Rev. E - Stat. Nonlinear, Soft Matter Phys. 2002. Vol. 65, № 4. P. 1-30.

49. Kerner B.S. Three-phase traffic theory and highway capacity // Phys. A Stat. Mech. its Appl. 2004. Vol. 333, № 1-4. P. 379-440.

50. Kerner B.S. Introduction to Modern Traffic Flow Theory and Control. 2009. 271 p.

51. Chanut S., Buisson C. Macroscopic Model and Its Numerical Solution for Two-Flow Mixed Traffic with Different Speeds and Lengths // Transp. Res. Rec. J. Transp. Res. Board. 2003. Vol. 1852. P. 209-219.

52. Soyster A.L., Wilson G.R. A stochastic model of flow versus applied to traffic flow on hills // Highw. Res. Rec. 1973. № 456. P. 28-39.

53. Wang H. et al. Stochastic modeling of the equilibrium speed-density relationship // J. Adv. Transp. 2013. Vol. 47, № 1. P. 126-150.

54. Tang T.-Q. et al. A Stochastic LWR Model with Consideration of the Driver's Individual Property // Commun. Theor. Phys. 2012. Vol. 58, № 4. P. 583.

55. Li J. et al. Analysis of LWR model with fundamental diagram subject to uncertainties // Transportmetrica. 2012. Vol. 8, № 6. P. 387-405.

56. Daganzo C.F. Requiem for second-order fluid approximations of traffic flow // Transp. Res. Part B Methodol. 1995. Vol. 29, № 4. P. 277-286.

57. Helbing D., Johansson A. On the controversy around Daganzo's requiem for and Aw-Rascle's resurrection of second-order traffic flow models // Lect. Notes Math. 2013. Vol. 2062, № 4. P. 271-302.

58. Reuschel A. Fahrzeugbewegungen in der Kolonne // Osterr. Ing. Arch. 1950. Vol. 4, № 1. P. 193-215.

59. Pipes L.A. An Operational Analysis of Traffic Dynamics // J. Appl. Phys. 1953. Vol. 24, № 3. P. 274.

60. Forbes T.W. et al. Measurement of driver reactions to tunnel conditions // Highw. Res. Board Proc. 1958. Vol. 37. P. 345-357.

61. Pignataro L.J. Traffic Engineering: Theory and Practice. Prentice-Hall, 1973. 502 p.

62. Helbing D. Traffic and related self-driven many-particle systems // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73, № 4. P. 1067-1141.

63. Gazis D.C. Traffic science. New York: Wiley, 1974. 293 p.

64. Ni D. Lecture Notes in Traffic Flow Theory: A Unified Perspective. Amherst, MA, 2013.

65. Newell G.F. Nonlinear Effects in the Dynamics of Car Following // Oper. Res. 1961. Vol. 9, № 2. P. 209-229.

66. Newell G.F. A simplified car-following theory: a lower order model // Transp. Res. Part B Methodol. 2002. Vol. 36, № 3. P. 195-205.

67. Treiber, Hennecke, Helbing. Congested traffic states in empirical observations and microscopic simulations // Phys. Rev. E. Stat. Phys. Plasmas. Fluids. Relat. Interdiscip. Topics. 2000. Vol. 62, № 2 Pt A. P. 1805-1824.

68. Gipps P.G. A behavioural car-following model for computer simulation // Transp. Res. Part B Methodol. 1981. Vol. 15, № 2. P. 105-111.

69. Wiedemann R. Simulation des Strassenverkehrsflusses. Karlsruhe: Institut für Verkehrswesen der Universität Karlsruhe, 1975. 85 p.

70. Panwai S., Dia H. A reactive agent-based neural network car following model // IEEE Intelligent Transportation Systems. IEEE, 2005. P. 326-331.

71. Khodayari A. et al. A Modified Car-Following Model Based on a Neural Network Model of the Human Driver Effects // IEEE Trans. Syst. Man, Cybern. - Part A Syst. Humans. 2012. Vol. 42, № 6. P. 1440-1449.

72. Rosales R.R. Simplest Car Following Traffic Flow Model. MIT OCW, 1999. P. 22.

73. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Москва: Издательство «Наука», 1998. 280 с.

74. Zhang H.M. Anisotropic property revisited—does it hold in multi-lane traffic? // Transp. Res. Part B Methodol. 2003. Vol. 37, № 6. P. 561-577.

75. Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9, № 2. С. 373-386.

76. Edelsbrunner H., Kirkpatrick D., Seidel R. On the shape of a set of points in the plane // IEEE Trans. Inf. Theory. 1983. Vol. 29, № 4. P. 551-559.

77. Eddy W.F. Convex Hull Peeling // COMPSTAT 1982 5th Symposium held at Toulouse 1982. Heidelberg: Physica-Verlag HD, 1982. Vol. 5. P. 42-47.

78. Leutzbach W. Introduction to the Theory of Traffic Flow. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1988. 204 p.

79. Bradski G. The OpenCV Library. Dr. Dobb's Journal of Software Tools, 2000.

80. Canny J. A Computational Approach to Edge Detection // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1986. Vol. PAMI-8, № 6. P. 679-698.

81. Hough P.V.C. Machine analysis of bubble chamber pictures // 2nd International Conference on High-Energy Accelerators and Instrumentation. 1959. Vol. 73. P. 554558.

82. Matas J., Galambos C., Kittler J. Robust Detection of Lines Using the Progressive Probabilistic Hough Transform // Comput. Vis. Image Underst. 2000. Vol. 78, № 1. P. 119-137.

83. Холодов Я. А. и др. Моделирование транспортных потоков — актуальные проблемы и перспективы их решения // Труды МФТИ. 2010. Т. 2, № 4 (8). С. 152162.

84. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический Сборник. 1959. Т. 89, № 3. С. 271306.

85. Алексеенко А.Е., Холодов А.С., Холодов Я.А. О задачах граничного управления для квазилинейных систем уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56, № 6. С. 927-942.

86. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. Москва: Наука, 1965. 474 с.

87. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 11. С. 1517-1534.

88. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, С 137-138.

89. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Граничное управление радиально-симметричными колебаниями круглой мембраны // Доклады Академии наук. 2003. Т. 393, № 6. С. 730-734.

90. Никитин А.А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны // Доклады Академии наук. 2006. Т. 406, № 4. С. 458-461.

91. Боровских А.В. Формулы граничного управления неоднородной струной. I // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 1. С. 64-89.

92. Боровских А.В. Формулы граничного управления неоднородной струной. II // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 5. С. 640-649.

93. Андреев А.А., Лексина С.В. Задача граничного управления для системы волновых уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2008. Т. 1, №2 16. С. 5-10.

94. Zhang H.M., Recker W.W. On optimal freeway ramp control policies for congested traffic corridors // Transp. Res. Part B Methodol. 1999. Vol. 33, № 6. P. 417-436