Моделирование формирования и динамики переходных слоёв в двумерных задачах "реакция-диффузия-адвекция" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Грачёв, Николай Евгеньевич

• Грачёв, Николай Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грачёв, Николай Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ» И «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-АДВЕКЦИЯ».

1.1. Формулировка математической модели.

1.2. Формирование резких переходных слоев.

1.2.1. Оценка времени формирования контрастной структуры.

1.2.2. Оценки производных.

1.3. Движение переходных слоев в задаче «реакция-диффузия».

1.4. Асимптотический анализ задачи «реакция-диффузия-адвекция».

1.4.1. Асимптотика фронта.

Основные результаты Главы 1.

ГЛАВА 2. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА С АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ.

2.1. Численное исследование уравнения «реакция-диффузия». Формирование переходного слоя.

2.2. Численное исследование уравнения «реакция-диффузия». Движение переходного слоя.

2.3. Численное решение уравнения «реакция-диффузия-адвекция».

2.4. Численное решение уравнения локализации фронта.

Основные результаты Главы 2.

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ «РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ» И «РЕАКЦИЯ

ДИФФУЗИЯ-АДВЕКЦИЯ».

3.1. Фазовое и компонентное разделение в биологических мембранах.

3.1.1. Биологические мембраны, их состав, роль процессов фазового и компонентного разделения.

3.1.2. Экспериментальные исследования биологических мембран.

3.1.3. Существование фазового и компонентного разделения на поверхности мембран.

3.1.4. Форма мембран.

3.1.5. Математические методы описания фазового и компонентного разделения, формы биологических и модельных мембран.

3.1.6. Уравнение реакции-диффузии.

3.2. Формирование и динамика внутрипластовых фронтов при нефтедобыче.

3.2.1. Основы разработки месторождений углеводородов.

3.2.2. Описание компонент, присутствующих в пористой среде.

3.2.3. Термохимические методы.

3.2.4. Математические модели термохимических методов.

3.2.5. Гидродинамические симуляторы.

3.2.6. Описание формирования и динамики фронта окисления при помощи уравнения реакции-диффузии-адвекции.

Основные результаты Главы 3.

ГЛАВА 4. ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.

4.1. Сравнение аналитических результатов и моделирования внутрипластового горения на симуляторе CMG STARS.

4.1.1. Гидродинамические симуляторы.

4.1.2. Модель инициации горения.

4.1.3. Движение фронта окисления.

4.2. Моделирование фазового и компонентного разделения в биологических мембранах.

4.2.1. Оценка времени формирования фазового разделения.

4.2.2. Многочастичная модель липидной мембраны.

Основные результаты Главы 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование формирования и динамики переходных слоёв в двумерных задачах "реакция-диффузия-адвекция"»

Рассмотрим нелинейное параболическое уравнение типа «реакция-диффузия-адвекция» s2(Au-u, — v(x, j>)Vw) = f{u, x, у, t). (1)

Уравнения этого вида описывают различные физические, биологические и химические процессы. К ним, в частности, относятся задачи массо- и теплопереноса, процессы фазового разделения, задачи химической кинетики и другие. Во многих таких задачах s является малым параметром. В таких случаях принято называть уравнение (1) сингулярно возмущенным. Физическая природа параметра s может быть разнообразна. Для задач массопереноса, к примеру, множитель е2 является коэффициентом диффузии.

Задача (1) при нулевой адвекции v(x, .у) = 0 является моделью фазового разделения, описываемого уравнением Алена - Кана (Allen - Cahn) [1]

2 дер 2 л 9F б — = е к(р--. dt дер

Здесь (р - параметр порядка, величина, непрерывно меняющаяся от -1 до 1, причем -1 соответствует неупорядоченной (жидкой) фазе, а 1 -упорядоченной (твердой). Величина F - известная функция переменной (р, называемая плотностью свободной энергии. Для задач фазового разделения типичным является наличие у плотности свободной энергии двух минимумов, что как раз и означает возможность устойчивого сосуществования двух фаз.

Уравнение (1) также можно применять при моделировании образования и движения фронтов внутрипластового горения при нефтепромысле. В связи с истощением месторождений с легкодоступными запасами нефти, ведущие нефтегазовые компании мира вынуждены переходить к разработке месторождений с трудноизвлекаемыми запасами. Возникает необходимость добычи углеводородов из сложно построенных 4 коллекторов, с низкими пористостью и проницаемостью, высоковязкими нефтями. В связи с вышесказанным, актуальной задачей является разработка и совершенствование методов увеличения нефтеотдачи (МУН).

Одним из МУН являются термохимические методы, которые основаны на способности пластовой нефти вступать в реакции с нагнетаемым в пласт кислородом, сопровождающиеся выделением большого количества тепла — внутрипластовым горением. Согласно экспериментальным данным [2] и результатам модельных расчетов [3], в пласте при определенных условиях возникают резкие переходные слои по температуре, концентрации окислителя и нефтенасыщенности. Образование и динамика таких фронтов может быть смоделирована при помощи задач типа «реакция-диффузия-адвекция».

При помощи асимптотических методов [4] могут быть аналитически исследованы резкие переходные слои, возникающие в решении уравнения (1), получены оценки времени формирования контрастных структур, динамические характеристика фронта и другие важные результаты.

Характерной особенностью контрастных структур является наличие резких переходов решения из окрестности одной части семейства решений вырожденного уравнения (то есть уравнения, которое получается из исходного обнулением малого параметра) в окрестность другой части этого семейства.

Впервые существование контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений было доказано в работах А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [80-83]. Существование двумерных контрастных структур типа ступеньки доказано в публикации П. Файфа (P. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [84]. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [80]. Для одномерных задач это проделано в [80-83, 77], для некоторых двумерных задач - в [85,86]. Обзор литературы по этой тематике находится в [77].

Эффективным способом доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений является асимптотический метод дифференциальных неравенств, принадлежащий H.H. Нефёдову [85, 86]. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения формируются путем модификации формальной асимптотики. Рассматривая эллиптическую задачу как стационарную задачу для соответствующего параболического уравнения, этим методом можно также доказать устойчивость по Ляпунову и локальную единственность решения исходной задачи.

Перечисленные обстоятельства показывают актуальность создания и развития методов моделирования процессов формирования и динамики фронтов, возникающих в нелинейных задачах типа «реакция-диффузия-адвекция».

Цель работы состоит

• В исследовании сингулярно-возмущенных параболических уравнений с малым параметром при старшей производной в пространственно двумерных областях, моделировании формирования и динамики переходных слоев в двумерных задачах «реакция-диффузия-адвекция»;

• в создании и исследовании новых численных алгоритмов и математических моделей, основанных на асимптотическом анализе сингулярно-возмущенных задач «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция»;

• в разработке комплекса программ, реализующих эти алгоритмы;

• в разработке и использовании комплекса программ для моделирования задач фазового разделения и динамики внутрипластового фронта окисления при термогазовом методе увеличения нефтеотдачи и сравнении результатов с данными, полученными на основе б существующих моделей (термогидродинамические симуляторы, метод прямого многочастичного моделирования Монте-Карло).

Научная новизна диссертации. В основу диссертации положены работы автора по изучению уравнений реакции-диффузии и реакции-диффузии-адвекции, а также посвященные математическому моделированию фазового разделения, процессов формирования и динамики фронта окисления в пористой среде, и работы по прямому многочастичному моделированию мембранных процессов в биофизике живой клетки, в которых впервые:

• Получена оценка времени формирования контрастной структуры в уравнении типа «реакция-диффузия», исследуемого в пространственно двумерной области;

• Предложено уравнение движения резкого переходного слоя, возникающего в уравнении типа «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее эффективно описать динамику фронта в задаче РДА;

• Аналитические оценки сопоставлены с численным решением уравнений РД и РДА методами конечных разностей;

• Аналитические результаты применены для определения времени формирования фазового разделения в биомембранах, периода инициации внутрипластового горения и описания динамики фронта окисления в геологических структурах при нефтедобыче.

Практическая ценность работы состоит в том, что созданные математические модели позволяют сделать ряд аналитических оценок и оценить динамические характеристики фронтов, возникающих при фазовом и компонентнов разделении в различных физических системах.

Построенные в диссертации алгоритмы являются простым и эффективным способом численного расчета формирования и динамики резких переходных слоев - фронтов в разнообразных прикладных задачах.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Асимптотическое исследование двумерных математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция», позволяющее качественно описать основные структурные особенности моделей на предварительном этапе математического моделирования.

2. Теорема о времени формирования переходного слоя (фронта) в решении двумерной задачи «реакция-диффузия» и результаты асимптотического анализа математической модели РДА, позволяющие качественно исследовать динамику фронта.

3. Уравнение локализации фронта для задач «реакция-диффузия-адвекция» в форме, обеспечивающей эффективную алгоритмизацию и многократное ускорение счета движения переходных слоев в двумерных областях.

4. Результат сравнительного анализа поведения фронтов в решениях полных систем уравнений, описывающих сложную кинетику с преобладанием процессов диффузионного типа (термическое окисление нефти при закачке воздуха в пласт), на стандартном промышленном симуляторе с решениями задачи РДА и уравнения локализации фронта.

5. Результаты апробации разработанных программ совместно с существующими системами и методами моделирования (термогидродинамические симуляторы и метод прямого многочастичного моделирования).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Грачёв, Николай Евгеньевич

Основные результаты Главы 4

В Главе 4 предложены аналитические зависимости, позволяющие оперативно оценить время формирования фронта внутрипластового горения и его толщину при закачке воздуха для нефтедобычи.

Представлена математическая модель, описывающая формирование фронта внутрипластового горения, основанная на уравнении реакции-диффузии-адвекции. Построена модель нефтеносного пласта в термогидродинамическом симуляторе CMG STARS, при помощи которой исследовано влияние величины коэффициента диффузии кислорода на толщину и время формирования фронта горения. Полученные результаты сопоставлены с теоретическими зависимостями.

Применение рассмотренной математической модели позволяет достоверно описать процессы формирования фронта внутрипластового окисления и при этом существенно сократить вычислительные затраты.

Вторая часть Главы 4 посвящена математическому моделированию липидных мембран при помощи методов фазового поля и Монте-Карло. Приведена оценка времени формирования фазового разделения на поверхности мембраны. Результаты Главы 1 по асимптотическому анализу уравнения реакции-диффузии применены к задаче, сформулированной при помощи теории фазового поля. Проведена калибровка теоретической зависимости по экспериментальным данным.

Для определения условий возникновения фазового разделения методом Монте-Карло были исследованы двумерные модели одно- и двухкомпонентной мембраны. Полученные фазовые диаграммы систем показали существование латерального фазового и компонентного разделения в моделях мембраны.

В результате можно сделать вывод, что использование методов и алгоритмов асимптотического анализа для математических моделей «реакция-диффузия» и «реакция-диффузия-адвекция» позволяет крайне эффективно исследовать вопросы формирования и динамики резких переходных слоев в решениях указанных задач и описать ряд важных практических задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем наиболее важные результаты, полученные в диссертации:

1. При помощи асимптотических методов получен ряд аналитических результатов, таких как оценка времени формирования резкого переходного слоя и уравнение локализации, позволяющих создавать эффективные вычислительные алгоритмы.

2. Для всех рассмотренных математических моделей разработаны алгоритмы численного расчета на основе конечно-разностных схем.

3. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ, при помощи которого исследованы формирование и динамика переходных слоев в задачах нефтедобычи и биофизики.

4. Результаты диссертации могут найти применение в прикладных задачах нефтедобычи и биофизики. Рассмотрены приложения полученных аналитических и численных результатов к вопросам формирования и динамики фронта внутрипластового горения в нефтедобыче и фазового разделения в биологических мембранах. Оценены времена формирования расслоения и инициации горения, ширина фронта. Исследованы численные многочастичные модели липидных мембран при помощи метода Монте-Карло. Рассмотрены одно- и двухкомпонентные липидные слои, в которых наблюдалось фазовое и компонентное разделение, получены фазовые диаграммы.

Автор хотел бы поблагодарить всех, кто своими знаниями, дружеской помощью и советами способствовал тому, что эта работа стала возможна.

В первую очередь, автор выражает свою огромную, глубокую благодарность научному руководителю диссертации доктору физико-математических наук, профессору Нефёдову Николаю Николаевичу за проявленное терпение, детальное обсуждение постановок задач, переданные навыки и знания и многое-многое другое.

Руководителем дипломной работы автора на кафедре математики физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова был кандидат физико-математических наук, доцент Волков Владимир Тарасович. Автор благодарен ему за полученные знания, всегда доброжелательное отношение и постоянный интерес к работе.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить и весь коллектив кафедры математики физического факультета и её школы по сингулярно-возмущённым задачам, возглавляемой профессорами Васильевой А.Б. и Бутузовым В.Ф.

Выражаю свою благодарность также коллективу Всероссийского нефтегазового научно-исследовательского института имени академика А.П. Крылова, где была выполнена работа, в особенности кандидату технических наук Соломатину Александру Георгиевичу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грачёв, Николай Евгеньевич, 2010 год

1. S.M. Allen, J.W. Calm, Acta Metal. 27, 1085 (1979)

2. Burger J.G., Sahuquet B.C. Chemical Aspects of In Situ Combustion: Heat of Combustion and Kinetics, SPEJ 3599 (1972).

3. Айзикович O.M., Булыгин М.Г. Тепловой эффект реакций окисления в процессе влажного внутрипластового горения. Нефтепромысловое дело и транспорт нефти. 1985 г., №11, с. 4-6.

4. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, Фундамент, и прикл. матем. 4, 799 (1998).

5. Р. Теннис. Биомембраны: Молекулярная структура и функции (Мир, Москва, 1997).

6. Singer S. J., Nicolson G. L. The fluid mosaic model of the structure of cell membranes// Science. 1972. T. 175. C. 720-731.

7. S. Mukherjee, F.R. Maxfield. Membrane domains, Ann. Rev. Cell Dev. Biol., V. 20, P. 839-866 (2004).

8. L.A. Bagatolli, E. Gratton. Direct observation of lipid domains in freestanding bilayers using two-photon excitation fluorescence microscopy. Journal of Fluorescence, Vol. 11, No. 3, (2001).

9. T. Baumgart, S.T. Hess, W.W. Webb. Imaging coexisting fluid domains in biomembrane models coupling curvature and line tension, Nature, Vol. 425, p.821 (2003).

10. A.E. Нас, H.M. Seeger, M. Fidorra, T. Heimburg. Diffusion in two-component lipid membranes—a fluorescence correlation spectroscopy and Monte Carlo simulation study, Biophys. J. V. 88, P. 317-333 (2005).

11. Albertsson P.-A. A quantitative model of the domain structure of the photosynthetic membrane // TRENDS in Plant Science, T. 6, - № 8, c. 349354 (2001).

12. Whitmarsh J., Govindjee. The photosynthetic process // Concepts in Photobiology: Photosynthesis and Photomorphogenesis. / Под ред. G. S. Singhal, G. Renger.

13. S. К. Sopory, K.-D. Irrgang, Govindjee. New Delhi, Narosa Publishers, 1999. c. 11-51.

14. A. Borodich, I. Rojdestvenski, M. Cottam. Lateral heterogeneity of photosystems in thylakoid membranes studied by brownian dynamics simulations. Biophysical J., Vol. 85, p. 774 (2003).

15. Simons, K., Vaz, W.: Model systems, lipid rafts, and cell membranes. Annu. Rev. Biophys. Biomol. Struct. 33, 269-295 (2004).

16. X. Wang, Q. Du, Modelling and simulations of multi-component lipid membranes and open membranes via diffuse interface approaches, J. Math. Biol., 2007.

17. W. Helfrich, Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible experiments. Z. Naturforsch. C, 28, pp.693-703, 1973.

18. Juelicher, F., Lipowsky, R.: Shape transformations of vesicles with intramembrane domains. Phys. Rev. E 53, 2670-2683 (1996).

19. B.JI. Гинзбург, О науке, о себе, и о других: статьи и выступления (Наука, М., 1997).

20. Ramachandran S., Laradji М., Kumar Р.В. Lateral Organization of Lipids in Multi-component Liposomes, J. of the Physical Soc. Of Japan, V. 78, N. 4, (2009).

21. А.А. Попов, Фазовые превращения в металлических сплавах (Металлургиздат, Москва, 1963).

22. F. Drolet, K.R. Elder, M.Grant, J.M. Kosterlitz, Phys. Rev. E 61, 6705 (2000).

23. K.R. Elder, F. Drolet, J.M. Kosterlitz, M.Grant, Phys. Rev. Let. 72, 677 (1994).

24. A.A. Wheeler, G.B. McFadden, W.J. Boettinger, Proc. R. Soc. Lond. A. 452, 495 (1996).

25. W.J. Boettinger, J.A. Warren, C. Beckermann, A. Karma, Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 163 (2002).

26. Долматов JI.B. Анализ нефти, ее классификация и прогнозирование качества получаемых на ее основе топливных компонентов, Уфимский государственный нефтяной университет, 2006, 40 с.

27. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980, 478 с.

28. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. М.-Ижевск: ИКИ, 2005, 544 с.

29. Kuhn, C.S. and Koch, R.L.: In-Situ Combustion—Newest Method of Increasing Oil Recovery, Oil & Gas J. (August 1953) 52.

30. Grant, B.F. and Szasz, S.E.: Development of Underground Heat Wave for Oil Recovery, JPT (May 1954) 23; Trans., AIME, 201.

31. Gates, C.F., and Ramey, H.J. Jr. Field Results of South Belridge Thermal Recovery Experiment, Trans., AIME (1958), 213, 236.

32. Gates, C.F., and Sklar, I. Combustion as a Primary Recovery Process— Midway Sunset Field, JPT (August 1971) 981; Trans., AIME, 251.

33. M. Prats, Thermal Recovery, SPE Monograph Series SPE of AIME (1982).

34. T.C. Boberg, Thermal Methods of Oil Recovery, An Exxon Monograph Series (1988).

35. Бурже Ж., Сурио П., Комбарну М. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. -М.: Недра, 1989 г., 422 с.

36. Т. Teramoto, Н. Uematsu, К. Takabayashi, Т. Onishi. Air-injection EOR in highly water saturated light-oil reservoir, SPE 100215 (2006).

37. Боксерман A.A. Результаты и перспективы применения тепловых методов воздействия на пласт. В кн. Тепловые методы воздействия на пласт (Материалы межотраслевого семинара, г. Ухта, 5-8 октября 1971 г.), ВНИИОЭНГ, Москва, с. 10-16.

38. Ямбаев М.Ф. Основные результаты численного исследования технологии термогазового метода увеличения нефтеотдачи. Диссер. на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М.: 2005 г., 153 с.

39. Нестационарное распространение пламени, Под ред. Дж.Г. Маркштейна. -М.: Мир (1968).

40. К.О. Сабденов. К вопросу нахождения постоянной Маркштейна, Известия Томского политех, унив. 307, №3, 21 (2004).

41. Сабденов К.О. Теплофизические и гидрогазодинамические эффекты при горении газов и ракетных топлив, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (2007).

42. O. Zik, Z. Olami, E. Moses. Fingering instability in combustion, Phys. Rev. Lett. 81, N 18,3868(1998).

43. C. Lu, Y.C. Yortsos. Pattern formation in reverse filtration combustion, Phys. Rev. E 72, 036201 (2005).

44. M. Myllys, J. Maunuksela, J. Merikoski et al. Effect of a columnar defect on the shape of slow-combustion fronts, Phys. Rev. E 68, 051103 (2003).

45. M. Kardar, G. Parisi, and Y.-C. Zhang. Phys. Rev. Lett. 56, 889 (1986).

46. P. Gordon. Quenching and propagation of combustion fronts in porous media, (2006).

47. P. Gordon. Recent mathematical results on combustion in hydraulically resistant porous media, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 2, No. 2, pp. 56 (2007).

48. I.Y. Akkutlu, Y.C. Yortsos. The effect of heterogeneity on in-situ combustion: propagation of combustion fronts in layered porous media, SPE 75128(2005).

49. I.Y. Akkutlu, C. Lu, Y.C. Yortsos. Insights into in-situ combustion by analytical and pore-network modeling, SPE 97927 (2005).

50. A.P. Aldushin, B.J. Matkowsky. Instabilities, Fingering and the Safman-Taylor Problem in Filtration Combustion, Combust. Sci. and Tech. 133 (1998).

51. D.A. Schult, B.J. Matkowsky, V.A. Volpert, A.C. Fernandez-Pello. Forced Forward Smolder Combustion, Combust, and Flame 104, 1 (1996).

52. Benham, A.L., and Poettmann, F.H. The Thermal Recovery Process—An Analysis of Laboratory Combustion Data, Trans., AIME (1958), 213, 406.

53. Mamora, D.D. Kinetics of In-Situ Combustion, Ph.D. dissertation, Stanford University, Stanford, CA (1993).

54. M.K. Dabbous, P.F. Fulton. Low-temperature-oxidation reaction kinetics and effects on in-situ combustion process, SPE 4143 (1974).

55. Matalón, M. and Matkowsky. B.J. Flames as Gasdynamic Discontinuities, J. Fluid Mech. 124, 239(1982).

56. P. Pelee. Dynamics of Curved Fronts, Academic Press (1988).

57. Schult, D.A., Matkowsky, B.J., Volpert, V.A., and Fernandez-Pello, A.C. Forced Forward Smolder Combustion, Combust, and Flame 104, 1 (1996).

58. Penberthy, W.L., and Ramey, H.J. Jr. Design and Operation of Laboratory Combustion Tubes, SPEJ (June 1966) 183.

59. B.S. Gottfried. A mathematical model of thermal oil recovery in linear systems, SPE 1117(1965).

60. U.K. Acharya, W.H. Somerton. Theoretical study of in-situ combustion in thick inclined oil reservoirs, SPE 7967 (1979).

61. Эммануэль H.M., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. — М.: Высшая школа, 1984, 463 с.

62. Штиллер В. Уравнение Аррениуса и неравновесная кинетика. М.: Мир, 2000, 176 с.

63. Beckers, H.L. and Harmsen, G.J. The Effect of Water Injection on Sustained Combustion in a Porous Medium, SPEJ 231 (1970).

64. Armento, M.E. and Miller, C.A. Stability of Moving Combustion Fronts in Porous Media, SPEJ 423 (1977).

65. Zik, O. and Moses, E. Fingering Instability in Combustion: An Extended View, Physical Rev. E 60, 1518 (1999).

66. I.Y. Akkutlu, Y.C. Yortsos. The dynamics of combustion fronts in porous media, SPE 63225 (2000).

67. C. Lu, Y.C. Yortsos. A pore-network model of in-situ combustion in porous media, SPE 69705 (2001).

68. I.Y. Akkutlu, Y.C. Yortsos. The dynamics of in-situ combustion fronts in porous media, Combustion and Flame 134, 229 (2003).

69. H. Fadaei, M. Quintard, G. Debenest, G. Renard, A.M. Kamp. How in-situ combustion process works in a fractured system: two dimensional, core and block scale simulation, SPE 117645 (2008).

70. W.M. Schulte, A.S. de Vries. In-situ combustion in naturally fractured heavy oil reservoirs, SPE 10723 (1985).

71. J.R. Rodriguez. Experimental and analytical study to model temperature profiles and stoichiometry in oxygen-enriched in-situ combustion, Doctor of philosophy dissertation (2004).

72. C. Lu, Y.C. Yortsos. AIChE Journal, Vol. 51, No. 4, (2005).

73. J. Xin. Front propagation in heterogeneous media, SIAM review, Vol. 42, N. 2, pp. 161-230(2000).

74. Kolmogorov A.N., Petrovskii I.G., Piskunov N.S. Etude del'equation de la chaleurde matiere et son application a unprobleme biologique, Bull. Moskov. Gos. Univ. Mat. Mekh. 1 1 (1937).

75. B.T. Волков, H.E. Грачев, H.H. Нефедов, A.H. Николаев. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях реакция-диффузия// Журн. выч. матем. и матем. физики, т. 47, № 8, с. 1356-1364 (2007).

76. В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов, K.P. Шнайдер. О формировании и распространении резких переходных слоев в параболических задачах, Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия, №1 , с. 9 (2005).

77. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, H.H. Нефедов. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах, Фундамент, и прикл. матем. 4, 799 (1998).

78. P.C. Fife, О. Penrose, Interfacial dynamics for thermodynamically consistent phase-field models with nonconserved order parameter, Electronic J. of diff. equations 1995,No.l6, 1-49 (1995).

79. Я.И. Каннель. О стабилизации решений уравнений теории горения при финитных начальных функциях, Т. 65, №3, стр. 107 (1964).

80. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

81. Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.

82. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Математические заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831-841.

83. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

84. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103-131.

85. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

86. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719—722.

87. CMG STARS User's Guide Version 2009.

88. С. Ченцов. Общая цитология (Изд-во Московского Университета, Москва, 1995).

89. Нефедов H.H., Божевольнов Ю.В. Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия // Журн. выч. матем. и матем. физики, 2010, т. 50, №2, с.

90. Moore Р.В., Lopez C.F., Klein M.L. Dynamical Properties of a Hydrated Lipid Bilayer from a Multinanosecond Molecular Dynamics Simulation// Biophys. J. 2001. v. 81, P. 2484.

91. G.J.Schutz, G. Kada, H. Schindler, The EMBO Journal 15, 892 (2000).