Моделирование электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Келлер, Юрий Александрович

• Келлер, Юрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Келлер, Юрий Александрович

Введение.

1. Модификация метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на структуре, состоящей из диэлектрического тела и тонких проводников.

1.1. Формулировка задачи.

1.2. Модель рассеянного поля и определение значений неизвестных дипольных моментов и токов.

1.3. Моделирование электромагнитного рассеяния на структуре из конечного числа тонких проводников.

1.4. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

1.5. Описание компьютерной программы.

1.6. Основные результаты.

2. Исследование влияния параметров моделирования и геометрических размеров рассеивателей на точность моделирования.

2.1. Влияние взаимного расположения вспомогательных поверхностей на точность моделирования.

2.2. Влияние чисел элементов тока и точек коллокации на проводниках на точность моделирования.

2.3. Влияние плотности размещения диполей на вспомогательных поверхностях и точек коллокации на поверхности диэлектрического тела на точность моделирования.

2.4. Исследование зависимости нормы невязки граничных условий от длины проводника.

2.5. Влияние волновых размеров диэлектрического тела на точность решения задачи.

2.6. Основные результаты.

3. Использование моделирования для анализа закономерностей рассеяния электромагнитных волн на диэлектрических телах в присутствии тонких проводников.

3.1. Сравнение результатов расчета распределений тока и характеристик рассеяния с результатами других авторов.

3.2. Влияние тонких проводников на бистатические сечения рассеяния диэлектрических тел.

3.3. Влияние неосесимметричности диэлектрического тела на бистатические сечения рассеяния.

3.4. Влияние диэлектрического тела на распределение тока вдоль проводника.

3.5. Взаимное влияние тонких проводников на токовые распределения и бистатические сечения рассеяния.

3.6. Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников»

Данная диссертация посвящена моделированию рассеяния стационарного (гармонического) электромагнитного поля на структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких непересекающихся проводников. Под тонким проводником подразумевается идеальный проводник круглого сечения, диаметр которого мал по сравнению с длиной волны и длиной проводника. Предполагается, что геометрические размеры диэлектрического тела и длины проводников сравнимы с длиной возбуждающей волны (резонансная частотная область). Диссертация включает в себя изложение разработанного численного метода и алгоритма моделирования, описание соответствующей компьютерной программы, а также результаты их использования для исследования рассеянных полей и распределений тока вдоль проводников конкретных структур.

Задачи рассеяния электромагнитного поля на структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников, возникают в различных областях науки и техники, например, в антенной технике и радиолокации. Тонкие проводники часто используются в качестве передающих и приёмных антенн. При расположении таких антенн вблизи диэлектрических тел возникает проблема оценки влияния диэлектрических тел на параметры антенны, решение которой требует решения поставленной задачи рассеяния. В радиолокации при оценке радиолокационной заметности сложного объекта часто возникает ситуация, когда часть объекта - это диэлектрическое тело с расположенными вблизи него тонкими проводниками. Расчет сечения рассеяния такой части объекта также требует решения поставленной задачи.

Спецификой электромагнитных процессов в структурах из нескольких тел является то, что вторичные токи на каждом из тел структуры наводятся не только возбуждающим (первичным) электромагнитным полем, но и полем вторичных токов всех соседних тел, т.е. вторичные токи всех тел структуры оказываются взаимосвязанными. В этом заключается суть электромагнитного взаимодействия тел структуры. Если тела структуры находятся настолько далеко друг от друга, что влиянием полей вторичных токов соседних тел можно пренебречь, распределения токов на телах структуры будут близкими распределениям токов соответствующих одиночных тел. В этом случае поле, рассеянное такой структурой, можно рассматривать как наложение полей, рассеянных одиночными телами, т.е. для построения поля, рассеянного всей структурой, достаточно знать решения задач рассеяния того же падающего поля на одиночных телах, из которых образована структура.

Если расстояние между телами структуры много меньше длины волны возбуждающего поля, взаимодействие между рассеивателями становится существенным фактором, определяющим рассеянное поле структуры. В этом случае совокупность тел структуры необходимо рассматривать как единое целое и решать граничную задачу для всей совокупности тел (в полной электродинамической постановке). Если структура состоит из диэлектрического тела и идеально проводящих проводников, эта граничная задача формулируется следующим образом: при заданном стороннем возбуждении найти решения уравнений Максвелла во внешней среде и внутри диэлектрического тела, удовлетворяющие граничным условиям как на поверхности диэлектрического тела, так и на поверхностях всех проводников, а также условиям излучения на бесконечности во внешней среде.

Анализ опубликованных работ показывает, что для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких тел по-существу используются те же методы, что и для моделирования рассеяния на одиночном теле.

Для строгого решения задачи рассеяния на нескольких телах используется метод разделения переменных [1]-[3]. При применении этих методов выбирается система координат, в которой координатные поверхности совпадают с граничными поверхностями тел. Далее в выбранной системе координат находят решение однородного уравнения Гельмгольца. Рассеянное поле представляется в виде рядов по найденным решениям первоначально в локальных системах координат, связанных с отдельными рассеивателями.

Переход к глобальной системе координат и получение системы линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов рядов осуществляется с помощью соответствующих теорем сложения. Условиями применения метода разделения переменных являются, во-первых, возможность сведения векторной задачи к скалярной, во-вторых, — разделение переменных в полученных скалярных уравнениях. К сожалению, эти условия не выполняются для рассматриваемых в диссертации задач, поэтому для их решения метод разделения переменных не применим.

Основным инструментом для моделирования электромагнитного рассеяния в резонансной области частот являются численные методы. Их можно разделить на две группы. К первой группе относятся так называемые конечные методы, основанные на решении соответствующей краевой задачи в дифференциальной форме. Самыми используемыми из них являются метод конечных элементов [4]-[8] и метод конечных разностей [9]. Технология применения этих методов одинакова как для одиночного тела, так и для структур, составленных из нескольких тел. В обоих методах вычисления распространяются на всю рассматриваемую область пространства, которая должна быть дискретизирована. В методе конечных элементов в пределах каждого элемента дискретизации неизвестная функция аппроксимируется полиномом с неизвестными коэффициентами. Далее эти коэффициенты находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений, которая строится либо из условия экстремума соответствующего функционала, стационарного на решении рассматриваемой краевой задачи, либо методом взвешенных невязок. В методе конечных разностей в пределах элементов дискретизации значения неизвестных функций предполагаются постоянными. В этом предположении дифференциальные уравнения аппроксимируются уравнениями в конечных разностях. С их использованием с учетом граничных условий осуществляется расчет неизвестных функций на каждом элементе пространственной дискретизации. В силу отмеченных выше особенностей конечных методов они, во-первых, требуют искусственного ограничения рассматриваемой области, и, во-вторых, приводят к системе линейных алгебраических уравнений очень высокого порядка. По этим причинам эти методы для решения краевых задач электродинамики стали применятся относительно недавно [10]-[13]. В последние годы интерес к конечным методам как к способу решения краевых задач электродинамики существенно возрос [14]-[16]. Привлекательность этих методов обусловлена тем, что условия их применимости не накладывают ограничений ни на геометрию рассеивателей ни на их материальные параметры. Однако эти методы обладают рядом существенных недостатков, которые обусловлены содержанием этих методов. Одним из таких недостатков является необходимость искусственного ограничения открытой области. На данный момент известно достаточное количество способов ограничения открытой области, однако данная проблема до конца еще не решена. Еще одним недостатком конечных методов являются ошибки в расчетах рассеянных полей, связанные с пространственной дискретизацией задачи. Величины этих ошибок зависят от геометрии рассеивателя и его материальных параметров. Данные ошибки невозможно предсказать до получения решения задачи. И, наконец, еще одним недостатком этих методов является большая размерность системы линейных уравнений. Поэтому исследователь должен обладать достаточно мощной ЭВМ.

Ко второй группе относят методы, сводящие решение рассматриваемой граничной задачи к решению интегральных уравнений [17]-[24]. Общим преимуществом методов интегральных уравнений является то, что используемые в них представления для рассеянных полей удовлетворяют условиям излучения на бесконечности, поэтому при их использовании не возникает проблемы искусственного ограничения открытой области. Известны различные варианты методов интегральных уравнений.

Наибольшее распространение в электродинамике получили поверхностные интегральные уравнения. Основой для их получения являются интегральные соотношения, которые связывают значения векторов поля в рассматриваемой области со значениями этих же векторов на границе области. Наложение на эти соотношения граничных условий на поверхностях тел приводит к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений относительно эквивалентных токов на поверхностях тел. Наиболее часто используемыми являются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Теория интегральных уравнений достаточно хорошо разработана, и теоремы Фредгольма [24] гарантируют существование решений соответствующих граничных задач при условии, что это решение единственно. Необходимо заметить, что эти решения будут устойчивы, т.е. малым изменениям входных данных будут соответствовать малые изменения искомого решения. Этот момент является очень важным для построения численных алгоритмов.

Получить аналитические решения интегральных уравнений, как правило, не удается, поэтому решение интегральных уравнений обычно сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с помощьюГ проекционных методов, которые в зарубежной литературе имеют название метода моментов (The Method of Moments) [25]-[26]. При использовании метода j моментов вводятся две системы функций: система базисных функций, по которой представляются в виде рядов искомые неизвестные функции, и т система весовых функций. Полученные таким образом ряды подставляются в" рассматриваемое интегральное уравнение и вычисляются скалярные произведения весовых функций с результатами подстановки рядов в интегральное уравнение. В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений искомых функций по системе базисных функций. В общем случае элементы матрицы системы выражаются в виде двухкратных интегралов по поверхности. Первый поверхностный интеграл появляется за счет исходного интегрального оператора, а второй — по определению скалярного произведения.

Различные варианты реализации метода моментов отличаются друг от друга выбором систем базисных и весовых функций. За счет соответствующего выбора базисных и весовых функций можно упростить вычисление матричных элементов путем сокращения числа поверхностных интегралов в них.

Например, если в качестве весовых функций выбирать 8 - функции, то в итоге будем иметь метод коллокаций [27]. При таком выборе весовых функций в выражениях для матричных элементов остается один поверхностный интеграл. Разбивая поверхность тела £ на п подобластей = 1,2,.,«) и вводя кусочно-постоянные базисные функции, получим представление матричных элементов системы линейных алгебраических уравнений в виде интегралов по элементам поверхностей от ядра интегрального уравнения [20]. Но даже в таком простейшем случае, когда граничные условия удовлетворяются методом коллокаций, а для представления токов на поверхности рассеивателя используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи рассеяния на основе метода поверхностных интегральных уравнений сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, элементы матрицы которой определяются двумерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений. В случае, если структура состоит из нескольких тел произвольной формы, не обладающих симметрией вращения, размерность полученной системы линейных алгебраических уравнений является достаточно большой, и процесс расчета элементов матрицы системы линейных алгебраических уравнений занимает очень много машинного времени и требует значительной мощности аппаратного ресурса. Если тела обладают симметрией вращения, то используя свойства осевой симметрии, можно значительно уменьшить размерность решаемой системы линейных алгебраических уравнений. Именно по этой причине метод поверхностных интегральных уравнений получил широкое распространение при решении осесимметричных задач [25].

Помимо интегральных уравнений Фредгольма второго рода для решения задач рассеяния часто применяются интегральные и интегро-дифференциальные уравнения первого рода. В частности, уравнения первого рода широко используются для решения задач рассеяния на тонких проводниках [19], [28], а также на структурах, содержащих тонкие проводники [2 9]-[32]. В большинстве этих работ для описания рассеяния объемных тел используются интегральные уравнения второго рода, а для описания рассеяния тонких проводников — интегральные уравнения первого рода.

Метод интегральных уравнений может быть применен для моделирования электромагнитного рассеяния на рассматриваемых в диссертации структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников, но поскольку эти структуры не обладают симметрией вращения, будут иметь место все отмеченные выше трудности, связанные с применением этого метода к неосесимметричным телам.

В последние годы для моделирования электромагнитного рассеяния все более широко используется метод вспомогательных источников. Основные положения метода представлены работах [33]-[34]. На текущий момент в зарубежной литературе этот метод называют GMT (Generalized Multiple Technique) или ММТ (Multiple Multipoles Technique). Суть метода вспомогательных источников заключается в следующем. Рассеянное поле в исследуемой области строится в виде линейной комбинации полей элементарных источников, расположенных вне этой области и излучающих в безграничную однородную среду с параметрами исследуемой области. Эта линейная комбинация удовлетворяет системе дифференциальных уравнений задачи в рассматриваемой области и условиям излучения на бесконечности. Коэффициенты линейной комбинации определяются путем удовлетворения граничным условиям. Качественное отличие метода вспомогательных источников от метода интегральных уравнений состоит в том, что не требуется вычисления интегралов при расчете матричных элементов соответствующей системы линейных алгебраических уравнений и при расчете компонент полей в рассматриваемых точках пространства, что позволяет существенно снизить трудоемкость решения задачи и сэкономить расходование аппаратных ресурсов. Данный метод позволяет также осуществлять контроль точности получаемого решения путем оценки невязки граничных условий на поверхности рассеивателя.

В работе [33] метод вспомогательных источников предложен для скалярных и электромагнитных задач дифракции. Была доказана линейная независимость и полнота системы фундаментальных решений уравнений Максвелла для граничных задач с пространственными идеально проводящими и диэлектрическими телами, ограниченными поверхностями достаточно общей формы. На свойства этих поверхностей накладываются только определенные условия гладкости. Изначально метод вспомогательных источников был применен для численного решения двумерных [35] и трехмерных [36] скалярных задач. На данный момент имеется большой опыт решения двумерных внутренних и внешних задач электродинамики на основе метода вспомогательных источников [37]-[38].

В работе [39] были приведены первые численные результаты, полученные с использованием метода вспомогательных источников для трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн. В этой работе основные идеи метода В.Д. Купрадзе [33] были реализованы в виде конкретного вычислительного алгоритма решения задачи дифракции электромагнитных волн на осесимметричном идеально проводящем теле. В дальнейшем работами Еремина Ю.А. и Свешникова А.Г. (с учениками) был внесён существенный вклад как в развитие теоретических основ метода вспомогательных источников, так и в разработку конкретных вычислительных алгоритмов. В качестве примеров можно отметить развитие схем обоснования полноты используемых в методе вспомогательных источников функциональных систем [40]-[41], использование источников, расположенных в комплексной плоскости [42], использование сопряженных уравнений [43]. Указанными выше авторами введены в рассмотрение новые функциональные системы - системы расположенных на оси рассеивателей электрических и магнитных диполей [44]-[45], а также мультипольных источников [46]-[47], ориентированных в соответствии с поляризацией возбуждающего поля. Использование этих функциональных систем позволило их авторам создать высокоэффективные вычислительные алгоритмы и соответствующее программное обеспечение для решения задач дифракции электромагнитных волн на осесимметричных телах различной природы, расположенных как в однородной безграничной среде [44]-[51], так и в присутствии однородного полупространства или многослойной среды [52]-[5 5]. В большинстве данных работ за счет выбора специализированных систем вспомогательных источников удается перейти от аппроксимации граничных условий на всей поверхности тела вращения к аппроксимации граничных условий на образующей тела. Эта аппроксимация выполняется в соответствии с методом коллокаций. Число точек коллокации, как правило, выбирается больше числа неизвестных коэффициентов; вектор неизвестных коэффициентов определяется как нормальное псевдорешение полученных таким образом переопределенных систем для гармоник Фурье. В последние годы Н.В. Гришиной, Ю.А. Ереминым и А.Г. Свешниковым методом вспомогательных источников решаются также задачи рассеяния на неосесимметричных телах [5 6]-[5 7].

Большой вклад как в развитие теоретических основ метода вспомогательных источников, так и основ его численной реализации внесен также работами А.Г. Кюркчана. В работах данного автора показана фундаментальная связь теории аналитического продолжения волновых полей с методом вспомогательных источников. Основной результат исследований заключается в том, что вспомогательная поверхность, на которой размещаются источники, должна охватывать множество особенностей аналитического продолжения рассеянного поля внутрь рассеивателя [58]-[59]. В работах [60]-[62] предложен способ аналитического продолжения (локализации особенностей поля), определено местоположение особенностей волнового поля для ряда конкретных рассеивателей [60]-[61], выполнены вычислительные эксперименты с целью исследования последствий игнорирования взаимного расположения особенностей волнового поля и носителя множества дискретных источников [62]. Было установлено, что в случае, когда вспомогательная поверхность (контур) не охватывает все множество особенностей поля, могут наблюдаться такие явления, как неработоспособность вычислительного алгоритма при увеличении размерности решаемой системы линейных алгебраических уравнений. Достаточно высокая точность решения может быть получена только в том случае, если вспомогательная поверхность охватывает все особенности рассеянного поля, аналитически продолженного внутрь рассеивателя. В противном случае с помощью различного рода регуляризирующих процедур можно построить те или иные псевдорешения, которые позволяют удовлетворить граничным условиям лишь с конечной погрешностью.

В работах А.Г. Кюркчана, А.П. Анютина и других авторов [63]-[66], посвященных методу вспомогательных источников, предложен метод аналитической деформации. Данный метод применяется для определения положения вспомогательного контура расположения источников. В указанных выше работах получены решения задач рассеяния для двумерных случаев.

В странах дальнего зарубежья метод вспомогательных источников получил свое развитие в работах Уаэиига К., 1кипо Н. (Япония), Найпег СИ. (Швейцария), Ьеу1а1ап У. (Израиль) и других.

Из работ [67]-[68] следует, что основы метода вспомогательных источников применительно к двумерным граничным задачам были опубликованы в Японии Уаэиига К. практически одновременно с работой В.Д. Купрадзе [33]. В качестве функциональной системы в различных модификациях метода Ясууры [68] используется система цилиндрических мультиполей, локализованных в начале координат. Амплитуды мультиполей определяются из условия аппроксимации граничных условий в норме пространства Ьг. Соответствующая дискретизированная задача наименьших квадратов решается с использованием методов ортогональных разложений. Как правило, метод Ясууры используется для решения двумерных задач рассеяния. В работах [69]-[70] этот метод обобщен на случай тел вращения, а в работах [71]-[72] была сделана попытка обобщения метода на идеально проводящие неосесимметричные тела. В этих обобщениях цилиндрические мультиполи заменяются на сферические мультиполи с источниками в различных точках, и поэтому в трехмерном варианте этот метод очень близок обсуждаемому ниже методу многократных мультиполей.

В подходе, предложенном Хафнером и получившем название "обобщенный метод мультиполей" (GMT), или "метод многократных мультиполей" (ММТ), которому посвящены работы [73]-[76], в качестве вспомогательных источников используются системы сферических мультиполей. Каждая из таких систем имеет свою точку локализации. Точки локализации расположены в пространстве в определенном порядке. Амплитуды мультиполей определяются путем решения методом псевдообращения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений, полученных методом коллокации. Метод в своей основе предназначен для решения трехмерных задач. Однако существенными для метода являются вопросы о выборе мест локализации систем мультиполей, количестве мультиполей, помещаемых в каждую точку локализации, и точек коллокации. Удачное решение этих вопросов приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений, что определяет успех применения метода. Для трехмерных тел это не является тривиальной задачей, что ограничивает класс рассеивателей, к которым метод действительно может быть применен. В известных на данный момент работах в качестве примеров приводятся решения задач рассеяния на телах вращения: на конечном цилиндре со сферически-скругленными торцами, на двух конечных параллельных цилиндрах, на сфероиде, на полусфере и на структуре, состоящей из конуса и сферы.

В работах Левиатана [77]-[79] метод вспомогательных источников рассматривается как конечномерная аппроксимация метода вспомогательных токов, для определения неизвестных постоянных используются системы линейных алгебраических уравнений метода коллокаций с квадратной или прямоугольной матрицами, для решения которых рекомендуется метод исключения, обращения (псевдообращения) матрицы или сингулярного разложения. Такой подход был успешно применен для решения большого класса двумерных задач, а также некоторых задач рассеяния на телах вращения.

В качестве примеров приводятся решения задач рассеяния плоской волны на идеально проводящих сфере, конечном круговом цилиндре со скругленными торцами, а также на диэлектрической сфере и диэлектрическом сплошном сфероиде.

В рассмотренных выше работах, касающихся применения метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния, за редким исключением, речь идет либо о двумерных задачах, либо о трехмерных задачах, в которых рассеивателями являются тела вращения. Существенный вклад в развитие метода вспомогательных источников применительно к моделированию электромагнитного рассеяния на существенно трехмерных телах, не обладающих симметрией вращения, внесен работами научного руководителя данной диссертации [80]-[87]. В этих работах в качестве носителей множества дискретных источников используются вспомогательные поверхности, подобные в смысле гомотетии поверхности рассеивателя; в качестве дискретных источников выбраны электрические диполи, размещенные на дискретном множестве точек вспомогательных поверхностей. В каждой выбранной точке вспомогательной поверхности помещаются два диполя с неизвестными дипольными моментами, ориентированные тангенциально к вспомогательной поверхности. Определение неизвестных дипольных моментов сводится к нахождению псевдорешения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений, полученных из граничных условий методом коллокаций; псевдорешение определяется итерационным методом сопряженных градиентов. Этот подход реализован в виде комплекса прикладных программ для решения задач электромагнитного рассеяния на одиночных телах различной физической природы в форме трехосных эллипсоидов, конечных цилиндров с эллиптическим поперечным сечением, а также в форме куба. В работе [88] численный метод, предложенный ранее в работах [80]-[81] для моделирования электромагнитного рассеяния на одиночном неосесимметричном идеально проводящем теле, обобщен на структуры, состоящие из конечного числа идеально проводящих тел, часть которых является тонкими проводниками. В этой работе для моделирования электромагнитного рассеяния тонким проводником использован вспомогательный источник в виде электрического тока, непрерывно распределенного вдоль оси проводника.

Актуальность проблемы

Основываясь на приведенном выше обзоре, можно сделать следующие выводы.

В известной литературе имеется много работ, посвящённых моделированию электромагнитного рассеяния на одиночных диэлектрических телах вращения и одиночных тонких проводниках. Имеются также работы, в которых рассматривается рассеяние электромагнитных волн либо на нескольких диэлектрических телах вращения, либо на нескольких проводниках. Однако не обнаружено ни одной работы, в которой рассматривалось бы электромагнитное рассеяние на структурах, состоящих из неосесимметричного диэлектрического тела и тонких проводников, расположенных от диэлектрического тела на расстояниях, много меньших длины волны. Так как задачи рассеяния на таких структурах часто возникают при решении различных научно-технических проблем, связанных с электромагнитными полями, актуальными являются разработка численных методов для моделирования электромагнитного рассеяния на обсуждаемых структурах, а также исследование их характеристик рассеяния.

В принципе, для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из диэлектрического тела и расположенных вблизи него проводников, могут быть использованы любые из указанных выше методов: конечные методы, методы интегральных уравнений, метод вспомогательных источников. Но эти методы сохраняют свои недостатки и для рассматриваемых структур. Для конечных методов такими недостатками являются необходимость искусственного ограничения рассматриваемой области, ошибки в расчетах рассеянных полей, обусловленные искусственной границей и пространственной дискретизацией задачи, чрезвычайно высокие (достигающие нескольких миллионов) размерности получающихся систем линейных алгебраических уравнений. В методе интегральных уравнений исключена необходимость искусственного ограничения внешней области и снижена размерность пространства, в котором ищется решение. Однако применение этого метода к рассматриваемым структурам также является достаточно громоздким. Применение метода интегральных уравнений к рассматриваемым структурам приводит к системе интегральных уравнений, размерность которой определяется числом проводников в структуре. Даже если рассматривается простейший случай, когда граничные условия удовлетворяются методом коллокаций, а для представления токов на поверхностях тел структуры используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка, элементы матрицы которой определяются двумерными или одномерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений. Процедура расчета интегралов занимает большую часть компьютерного времени, необходимого для решения задачи. Кроме того, по отношению к полю в дальней зоне этап определения токов на поверхностях тел структуры является промежуточным. Для нахождения характеристик рассеяния необходимо вычисление интегралов от функций, содержащих поверхностный ток.

Метод вспомогательных источников избегает проблем, свойственных конечным методам, связанных с необходимостью ограничения и дискретизации рассматриваемого пространства, а также проблем, свойственных методу поверхностных интегральных уравнений, связанных с необходимостью вычисления двумерных интегралов при формировании матрицы системы линейных алгебраических уравнений и расчете характеристик рассеяния. По этим причинам представляется целесообразным использовать именно его для моделирования электромагнитного рассеяния на рассматриваемых в диссертации структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников. Дополнительным аргументом в пользу такого выбора является накопленный ранее опыт использования метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на одиночном диэлектрическом теле и тонких проводниках.

Цель работы

Целью диссертации является математическое моделирование электромагнитного рассеяния'в резонансной частотной области на структурах, состоящих из диэлектрического тела и расположенных вблизи него тонких проводников, с помощью разработанной модификации метода вспомогательных источников.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Обобщение вариантов метода вспомогательных источников, разработанных ранее для моделирования электромагнитного рассеяния на одиночном диэлектрическом теле и на структурах, состоящих из объёмных идеально проводящих тел и тонких проводников, на случай структур, состоящих из объёмного диэлектрического тела и расположенных вблизи него тонких проводников. :

2. Исследование влияния параметров моделирования на точность моделирования и возможностей разработанной модификации метода вспомогательных источников для анализа закономерностей рассеяния конкретных структур.

Методы исследований

В ходе разработки и исследования модификации метода вспомогательных источников применялась теория дифференциальных уравнений в частных производных, аппарат теории матриц. Для решения задачи минимизации функционала невязки системы применялся метод сопряженных градиентов.

Достоверность

Достоверность результатов диссертации обеспечивается теоремами единственности решения задач рассеяния и проверяется контролем точности по критерию невязки граничных условий, а также совпадением полученных результатов в частных случаях с результатами других авторов, полученными иными методами.

Научная новизна работы

1. Впервые разработана модель поля, рассеянного структурой, состоящей из диэлектрического тела и тонких проводников.

2. В результате исследования влияния тонких проводников на бистатические сечения рассеяния диэлектрического тела установлено, что с помощью одного и особенно двух параллельных проводников, располагая их на соответствующем расстоянии, можно существенно уменьшить сечение обратного рассеяния диэлектрического тела.

3. Путем исследования влияния отклонений формы диэлектрического тела от осесимметричной на бистатические сечения рассеяния структуры, состоящей из диэлектрического тела и тонких проводников установлено, что даже небольшое отклонение формы тела от осесимметричной оказывает существенное влияние на сечение рассеяния в выделенном направлении.

Теоретическая значимость работы

Разработанная модификация метода вспомогательных источников может быть обобщена на случай более сложных структур, состоящих из нескольких диэлектрических тел в присутствии тонких проводников.

Практическая ценность работы

1. Создана программа для расчета характеристик рассеянного поля и контроля точности получаемых результатов.

2. Результаты анализа влияния объемного диэлектрического тела на распределение тока вдоль тонких проводников, расположенных вблизи тела, представляют интерес для специалистов в области разработки вибраторных антенн, предназначенных для работы вблизи диэлектрических объектов различной геометрической формы.

3. Результаты исследования влияния тонкого проводника на бистатические сечения рассеяния диэлектрического тела позволяют оценить изменения сечений рассеяния тел, которые возникают при размещении вблизи них проволочных антенн.

На защиту выносятся следующие положения

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Келлер, Юрий Александрович

Основные результаты данного раздела могут быть сформулированы следующим образом.

1. Наличие тонких проводников оказывает существенное влияние на бистатические сечения рассеяния диэлектрического тела. В общем случае, зная положение этих проводников и их длину, без решения соответствующей граничной задачи, предсказать характер влияния этих проводников на бистатические сечения рассеяния диэлектрического тела, а тем более конкретные значения бистатических сечений диэлектрического тела в присутствии проводников, не представляется возможным. В ряде случаев удается выделить секторы углов, в которых влияние проводников является наименьшим. Например, для эллипсоида с параметрами кеа = кеЪ = Ъ, кес = 4, е11ее= 8, //,///е = 1 присутствие одного или двух параллельных проводников длиной 0.9Я, расположенных симметрично относительно эллипсоида на расстояниях, меньших ОЛЯ, в наименьшей степени влияет на сечения рассеяния в направлениях 0° < 0 < 90°, прилегающих к направлению прямого рассеяния.

2. Если проводники в структуре располагаются на одной линии на незначительном расстоянии друг от друга (много меньше длины волны Л), то бистатические сечения рассеяния такой структуры близки бистатическим сечениям рассеяния структуры из эллипсоида и одного проводника, ориентированного вдоль той же линии, длина которого равна сумме длин проводников и расстояния между ними.

3. Значения сечений рассеяния в некотором выделенном направлении зависят от количества проводников, их расположения относительно диэлектрического тела и от расстояния между проводниками. Это позволяет регулировать значения сечений рассеяния диэлектрического тела, используя проводники, расположенные на определённом расстоянии от этого тела. Например, с помощью одного и особенно двух параллельных проводников, располагая их на соответствующем расстоянии от эллипсоида, можно на 10 и более децибелл уменьшить сечение обратного рассеяния эллипсоида.

4. Установлено, что при наличии вблизи диэлектрического тела тонких проводников даже небольшое отклонение формы тела от осесимметричной оказывает существенное влияние на сечение рассеяния в выделенном направлении. Это говорит о том, что при вычислении бистатических сечений рассеяния некоторой структуры нельзя заменять сложные тела структуры ближайшими по форме осесимметричными телами.

5. Показано, что наличие диэлектрического тела оказывает существенное влияние на величину тока и характер его распределения. Токовые характеристики зависят от расстояния между эллипсоидом и проводником, а также от расположения проводников по отношению к возбуждающему полю. Установлено также, что распределения токов на проводниках, расположенных на одном и том же расстоянии со стороны падающего поля и в "зоне тени" качественно отличаются; величина тока на проводниках, расположенных в "зоне тени", меньше, чем на таких же проводниках, расположенных со стороны падающего поля. Для структуры, состоящей из эллипсоида и двух параллельных проводников, обнаружено, что если расстояние между проводниками меньше 0.1/1, то несмотря на такое малое расстояние, распределения токов на проводниках имеют качественно различный характер и существенно отличаются от распределения тока на таком же одиночном проводнике.

6. Показано, что если вблизи прямолинейного проводника находятся другие параллельные ему проводники, то распределения токов вдоль проводников существенно отличаются от распределения тока вдоль одиночного проводника. Если структура состоит из двух проводников, то распределения тока на обоих проводниках одинаковы. Если структура состоит из трёх параллельных проводников, то распределения токов на крайних проводниках структуры одинаковы; распределение тока на среднем проводнике при том отличается от распределений токов на крайних проводниках. Однако, несмотря на существенные различия токовых распределений систем близко расположенных параллельных проводников от распределение тока вдоль одиночного проводника, бистатические сечения рассеяния одиночного проводника и структур из двух и трёх параллельных проводников отличаются мало. Это говорит о том, что по отношению к рассеянному полю структура из близко расположенных параллельных проводников эквивалентна одному проводнику. Если проводники рассматриваемых структур находятся достаточно далеко друг от друга (в рассмотренном случае на расстоянии 8 = ЗЛ), то распределения токов вдоль проводников близки к распределению тока вдоль одиночного проводника. В этом случае можно считать каждый проводник независимым рассеивателем, и рассеянное поле, следовательно, является суперпозицией полей, рассеянных каждым проводником, т.е. имеет интерференционную структуру.

7. Для структуры, состоящей из взаимно перпендикулярных проводников установлено, что при падении плоской волны таким образом, что вектор Ё0 падающей волны направлен вдоль центрального (первого) проводника структуры и ортогонален второму и третьему проводникам структуры, при малых расстояниях между проводниками на втором и третьем проводниках имеют место токи, величина которых имеет такой же порядок, что и токи на вертикальном проводнике. По мере удаления боковых проводников от центрального токи, наводимые на боковых проводниках, уменьшаются. Несмотря на то, что боковые проводники существенно возбуждаются ближним полем центрального проводника, они оказывают очень малое влияние на распределение тока вдоль центрального проводника. При наклонном падении падающая волна возбуждает как центральный проводник, так и расположенные рядом перпендикулярно к нему боковые проводники. В этом случае при малых расстояниях между проводниками (8 < 0.2Л) токовое распределение на центральном проводнике зависит от расстояния, однако при расстояниях 8 > 0.8Л токовое распределение на центральном проводнике структуры мало отличается от распределения тока вдоль такого же одиночного проводника. Токовые распределения на боковых проводниках отличаются от распределения тока вдоль центрального проводника и отличаются между собой. Бистатические сечения рассеяния рассматриваемой структуры отличаются от бистатического сечения рассеяния одиночного центрального проводника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной диссертационной работе рассмотрен широкий круг вопросов, связанный с моделированием электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из диэлектрического тела и расположенных вблизи него тонких проводников, и анализом характеристик рассеяния таких структур.

Основу такого рассмотрения составляет предложенная в работе модификация метода вспомогательных источников. В этой модификации в качестве вспомогательных источников используются элементарные электрические диполи и непрерывные электрические токи, в качестве носителей множества вспомогательных источников выбраны вспомогательные поверхности, подобные поверхности диэлектрического тела, а также осевые линии проводников. Неизвестные дипольные моменты и распределения токов определяются из системы линейных алгебраических уравнений, полученной из граничных условий на поверхностях тел структуры методом коллокаций. В частных случаях предложенная модификация может быть использована для моделирования электромагнитного рассеяния на одиночном диэлектрическом теле и на структурах, состоящих только из непересекающихся тонких проводников.

Разработанная модификация метода вспомогательных источников реализована в виде компьютерной программы. На данный момент времени эта программа позволяет моделировать рассеяние на структурах, состоящих из диэлектрического трёхосного эллипсоида и прямолинейных проводников, число которых не превышает трёх, а также на структурах, состоящих только из тонких прямолинейных проводников, число которых также не превышает трёх. Однако эта программа может быть легко обобщена на случаи, когда диэлектрическое тело имеет любую другую форму, а число тонких проводников больше трёх. Кроме того, разработанная программа может быть обобщена и на случай структур с криволинейными проводниками.

С целью достижения максимальной точности решения при наименьших затратах компьютерного времени и компьютерных ресурсов исследована зависимость нормы невязки граничных условий на поверхностях тел структуры от параметров моделирования: от взаимного расположения вспомогательных поверхностей, от числа элементов разбиения осевых токов, от плотности размещения диполей на вспомогательных поверхностях, а также от чисел точек коллокации на поверхностях диэлектрического тела и проводников.

Возможности моделирования на основе предложенной модификации метода вспомогательных источников продемонстрирована на примерах её применения для исследования влияния тонких проводников и неосесимметричности эллипсоида на его бистатические сечения рассеяния, влияния диэлектрического эллипсоида на распределения токов вдоль проводников, а также взаимного влияния тонких проводников на распределения токов и бистатические сечения рассеяния. Установлен ряд новых закономерностей рассеяния. В частности показано, что с помощью одного и особенно двух параллельных проводников, располагая их на соответствующем расстоянии от эллипсоида, можно на 10 и более децибелл уменьшить сечение обратного рассеяния эллипсоида.

В целом, полученные результаты свидетельствуют о плодотворности применения метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из диэлектрического тела и расположенных вблизи него тонких проводников.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Келлер, Юрий Александрович, 2008 год

1. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. - 582 с.

2. Cooray M.F.R., Ciric I.R. Electromagnetic scattering by a system of two parallel prolate spheroids // Can. J. Phys. 1990. -V. 68, №4-5. - P. 376-384.

3. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах // Радиотехника и электроника. — 2001. Т. 46, №2. - С. 180-185.

4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-541 с.

5. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир,1977.-349 с.

6. Hughes T.J.R. The finite element method. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall,1987.-803 p.

7. Jin J.-M. The finite element method in electromagnetics. New York: John Wiley&Sons, Inc., 1993. 753 p.

8. Volakis J.L., et al. Finite element method for electromagnetics. New York: IEEE Press, 1998.-344 p.

9. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-735 с.

10. McDonald В.Н., Wexler A. Finite-element solution of unbonded field problems // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techn. 1972. - V. MTT-20, №12. -P. 841-847.

11. Xingchao Yu., Lynch D.R., Strohbehn J.W. Coupling of finite element and moment methods for electromagnetic scattering from inhomogeneous objects // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1990. - V. AP-38, №3. - P. 386-393.

12. Cangellaris A.C., Lee R. Finite element analysis of electromagnetic scattering from inhomogeneous cylinders at oblique incidence // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1991. - V. AP-39, №5. - P. 645-650.

13. Bahrmasel L.J., Whitaker R.A. Convergence of the finite element method as applied to electromagnetic scattering problems in the presence of inhomogeneous media // IEEE Transactions on Magnetics. 1991. — V. M-27, №5.-P. 3845-3847.

14. Webb J.P. Application of the finite-element method to electromagnetic and electrical topics // Rep. Propag. Phys. 1995. - V. 58, №12. - P. 1673-1679.

15. Volakis J.L., Ozdemir Т., Gong J. Hybrid finite-element methodologies for antennas and scattering // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -1997. V. AP-45, №3. - P. 493-507.

16. Ильинский A.C., Кравцов B.B., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1991. 222 с.

17. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики.

18. Киев: Наукова думка, 1986. — 278 с.

19. Вычислительные методы в электродинамике // Под ред. Митры Р. М.: Мир, 1977.-485 с.

20. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

21. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ, 1987. 165 с.

22. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986. — 542 с.

23. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.-311 с.

24. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений: учебник для государственных университетов. М.: Наука, 1965. 127 с.

25. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. 270 с.

26. Harrington R.F. Field computation by moment methods. Piscataway, N .J.: IEEE Press, 1993.-229 p.

27. Коллатц JT. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-447 с.

28. Miller Е.К., Poggio A.J., Burke G.J. An integro-differential equation techniquefor the time-domain analysis of thin wires structures. I. The numerical method // J. Comput. Phys. 1973 - V. 12, №1. - P. 24-48.

29. Newman E.M., Pozar D.M. Electromagnetic modeling of composite wire and surface geometries // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1978. — V. AP-26, №6. - P. 784-789.

30. Hwu S.U., Wilton D.R., Rao S.M. Electromagnetic scattering and radiation by arbitrary conducting wire/surface configuration // Proceed, of AP-S Int. Symp. Syracuse, New York, June 6-10, 1988. V. 2. P. 890-893.

31. Hodges R.E., Rahmat-Samii Y. An iterative current-based hybrid method for complex structures // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1997. -V. AP-45, №2. - P. 265-276.

32. Poljak D. Electromagnetic modeling of wire antenna structures. Southampton, UK; Boston: WIT Press, 2001.-162 p.

33. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики //

34. УМН. 1967. - Т. 22, вып. 2. - С. 59-107.

35. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978.-351 с.

36. Поповиди Р.С., Цверикмазашвили З.С. Численное исследование задачи дифракции модифицированным методом неортогональных рядов // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, №2. - С. 384-393.

37. Гапоненко A.JL Об одном численном методе решения трехмерных задач дифракции // ЖВМ и МФ. 1977. - Т. 17, №1. - С. 267-272.

38. Поповиди-Заридзе P.C., Каркашадзе Д.Д., Ахвелидиани Г.З., Хатиашвили Д.Ш. Исследование возможностей метода вспомогательных источников при решении двумерных задач электродинамики // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26, №2. - С. 254-262.

39. Кобылинский Ю.В., Попова Т.Л., Слепян Г.Я. О методе неортогональных рядов для численного решения задач математической физики // ЖВМ и МФ. 1988. - Т. 28, №2. - С. 237-246.

40. Еремин Ю.А., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Метод неортогональных рядов в задачах дифракции электромагнитных волн // ДАН СССР. 1979. Т. 247, №6.-С. 1351-1354.

41. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Обоснование метода неортогональных рядови решение некоторых обратных задач дифракции // ЖВМ и МФ. 1983. -Т. 23, №3.-С. 738-743.

42. Еремин Ю.А. Построение полных систем для исследования краевых задач математической физики // ДАН СССР. 1987. - Т. 925, №6. - С. 1351-1354.

43. Еремин Ю.А. Представление полей в методе неортогональных рядов черезисточники в комплексной плоскости // ДАН СССР. 1983. — Т. 270, №4. -С. 864-866.

44. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Использование сопряженных уравнений в методе вспомогательных источников // ЖВМ и МФ. 1988. - Т. 28, №6. -С. 879-886.

45. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Численное исследование задач дифракции нателе вращения методом неортогональных рядов // Изв. вузов. Радиофизика. 1980.-Т. 23, №8.-С. 1006-1008.

46. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Развитие метода неортогональных рядов и исследование задач дифракции на диэлектрических телах // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. - Т. 25, №5. - С. 762-781.

47. Еремин Ю.А., Лебедев O.A., Свешников А.Г. Использование мультипольных источников в методе неортогональных рядов в задачах дифракции // ЖВМ и МФ. 1985. - Т. 25, №3. - С. A66-A1Q.

48. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Модифицированный метод мультипольных источников в задачах дифракции электромагнитных волн // Радиотехника и электроника. 1992. - Т. 37, №9. - С. 1572-1581.

49. Свешников А.Г., Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Исследование некоторых математических моделей в теории дифракции методом неортогональных рядов // Радиотехника и электроника. 1985. Т. 30, №4. - С. 697-704.

50. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Развитие методов вспомогательных источников в электромагнитных задачах дифракции // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2, №12. - С. 52-79.

51. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: МГУ, 1992. 181 с.

52. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Анализ рассеяния волн на нескольких магнитодиэлектрических телах методом дискретных источников // Радиотехника и электроника. 1994. - Т. 39, №5. - С. 740-748.

53. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Свешников А.Г. Анализ сложных задач дифракции на основе метода дискретных источников // ЖВМ и МФ. — 1995. Т. 35, №6. - С. 918-934.

54. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математические модели дефектов сложных структур на основе МДИ // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. - Т. 4, вып. 3. - С. 889-903.

55. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Компьютерная технология анализа задач рассеяния методом дискретных источников // ЖВМ и МФ. 2000. - Т. 40, №12. -С. 1842-1856.

56. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния электромагнитных волн // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. - №10. - С. 3—40.

57. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Анализ методом дискретныхисточников рассеивающих свойств неосесимметричных структур // Математическое моделирование. 2000. - Т. 12, №8. — С. 77-90.

58. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математическая модель несферической оксидной частицы на подложке // Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. - Т. 7, №6. — С. 4-11.

59. Кюркчан А.Г. О методе вспомогательных токов и источников в задачах дифракции волн // Радиотехника и электроника. — 1984. — Т. 29, №11. — С. 2129-2139.

60. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Использование априорной информации об аналитических свойствах решения в задачах электродинамики и акустики // Радиотехника и электроника. 1996. - Т. 41, №2. - С. 162—170.

61. Кюркчан А.Г. Об аналитическом продолжении волновых полей // Радиотехника и электроника. 1986. - Т. 31, №7. - С. 1294-1303.

62. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. М.1. МГУ, 1990.-207 с.

63. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Особенности продолжения волновых полей // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166, №12. - С. 1285-1308.

64. Кюркчан А.Г., Суков А.И. Метод вспомогательных сплайн-токов в задачахдифракции волн // Докл. РАН. 2000. - Т. 372, №4. - С. 480-483.

65. Кюркчан А.Г., Минаев С.А., Соловейчик A.JI. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракции поля // Радиотехника и электроника. 2001. - Т. 46, №6. — С. 666-672.

66. Анютин А.П., Кюркчан А.Г., Минаев С.А. Модифицированный метод дискретных источников // Радиотехника и электроника. 2002. - Т. 47, №8. -С. 955-960.

67. Ikuno H., Yasuura К. Improved point-matching method with application to scattering from a periodic surface // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1973. -V. AP-21, №5. - P. 657-662.

68. Окуно Ю., Икуно X. Метод Ясууры для решения граничных задач уравнения Гельмгольца в однородных средах // Радиотехника и электроника. 1992. - Т. 37, №10. - С. 1744-1763.

69. Ikuno Н., Nishimoto М. Numerical analysis of three-dimensional scattering problems by the Yasuura method // IEICE Trans. 1989. - V. J72-C-I. - P. 689-696.

70. Ikuno H., Gondoh M., Nishimoto M. Numerical analysis of electromagnetic wavescattering from an indented body of revolution // IEICE Trans. Electron. 1991. -V. E74.-P. 2855-2863.

71. Kawano M., Ikuno H., Nishimoto M. Numerical analysis of 3D scattering problems using the Yasuura method // IEICE Trans. Electron. 1996. - V. E79-C, №10. - P. 1358-1363.

72. Hafher Ch., Ballisti R. Electromagnetic field calculations on PC's and workstations using the MMP method // IEEE Transactions on Magnetics 1989. -V. M-25, №4. - P. 2828-2830.

73. Hafher Ch. On the relationship between the MoM and the GMT Em theory.// IEEE Antennas and Propagation Magazine 1990. - V. AP-32, №6. - P. 12-19.

74. Hafher Ch. The generalized multiple technique for computational electromagnetics. Boston: Artech House, 1990. 297 p.

75. Ludwig A.C. The generalized multipole technique // Comput. Phys. Commun.1991. -V. 68, №1-3. P. 306-314.

76. Leviatan Y., Boag A. Analysis of electromagnetic scattering from dielectric cylinders using a multifilament current model // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1987. - V. AP-35, №10. - P. 1119-1127.

77. Leviatan Y., Boag Amir, Boag Alona. Analysis of electromagnetic scattering using a current model method // Comput. Phys. Commun. 1991. - V. 68, №1-3.-P. 331-345.

78. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И. Об одной модификации метода неортогональных рядов для решения задач электромагнитного рассеяния на произвольных гладких идеально проводящих телах // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33, №3. - С. 449-455.

79. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И. К развитию одного численного метода решения трехмерных векторных задач рассеяния // Радиотехника и электроника. 1990. - Т. 35, №2. - С. 438-441.

80. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И. Модификация метода вспомогательных источников для решения трехмерных векторных задач рассеяния // Радиотехника и электроника. 1991. - Т. 36, №5. - С. 1032-1036.

81. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на трехмерном магнитодиэлектрическом теле произвольной формы // Радиотехника и электроника. 1995. - Т. 40, №6. - С. 875-880.

82. Дмитренко А.Г., Мукомолов А.И, Фисанов В.В. Численный метод решениязадач электромагнитного рассеяния на трехмерном киральном теле // Радиотехника и электроника. 1998. - Т. 43, №8. - С. 910-914.

83. Дмитренко А.Г., Корогодов С.В. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на идеально проводящих телах в магнитодиэлектрической оболочке // Радиотехника и электроника. — 1998. Т. 43, №12. - С. 1463-1468.

84. Дмитренко А.Г. Численное решение задач электромагнитного рассеяния на неосесимметричных телах методом дискретных источников // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Томск, 1999. 337 с.

85. Дмитренко А.Г., Колчин В.А. Численный метод исследования электромагнитного рассеяния структурами, содержащими тонкие проводники // Радиотехника и электроника. 2003. - Т. 48, №5. - С. 545551.

86. Келлер Ю.А. Рассеяние электромагнитных волн на тонком проводнике // Наука и образование. Труды IX Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых 25-29 апреля 2005 г. — Томск: Изд-во ТГПУ,2005.-Т. 1,4. 1.-С. 55-62.

87. Дмитренко А.Г., Келлер Ю.А. Компьютерное моделирование электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких тонких проводников // Вестн. Томского гос. ун-та. 2006. — №290. - С. 150-157.

88. Келлер Ю.А. Исследование электромагнитного рассеяния структурами, составленными из нескольких непересекающихся проводников // Изв. Томского политехнического ун-та. 2006. - Т. 309, №4. — С. 15-20.

89. Дмитренко А.Г., Келлер Ю.А. Компьютерное моделирование электромагнитного рассеяния на структуре, состоящей из перпендикулярных проводников // Изв. вузов. Физика. 2006. - №3. Приложение. - С. 298-299.

90. Келлер Ю.А. Компьютерное моделирование электромагнитного рассеяния структурами, составленными из нескольких тонких непересекающихся проводников // Вестник ТГПУ. 2007. - Вып 6(69). - С. 16-21.

91. Дмитренко А.Г., Келлер Ю.А. Численный метод решения задач электромагнитного рассеяния на трехмерном магнитодиэлектрическом теле при наличии вблизи него тонких проводников // Вычислительные технологии. 2008. - Т. 13, №2. - С. 20-34.156 ) ¿Xf s

92. Sarkar Т.К., Siarkiewicz K.R., Stratton R.F. Survey of numerical methods for solution of large systems of linear equations for electromagnetic field problems // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1981. - V. AP-29, №6. -P. 847-856.

93. Марков Г.Т. Антенны. JI.: Госэнергоиздат, 1960. 535 с.

94. Harrington R.F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. New York: McGraw-Hill, 1961, Ch. 3.

95. Rother Т., Schidt K. The discretized Mie-formalism for plane wave scattering on dielectric objects with non-separable geometries // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1996. - V. 55, №5. - P. 615-625.

96. Дмитренко А.Г., Келлер Ю.А. Моделирование электромагнитного рассеяния на трехмерном магнитодиэлектрическом теле при наличии вблизи него тонких проводников // Электромагнитные волны и электронные системы. 2008. - Т. 13, №2-3. - С. 74-81.