Моделирование диссипативных структур в стохастических реакционно-диффузионных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Желнов, Юрий Валериевич

• Желнов, Юрий Валериевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Желнов, Юрий Валериевич

Содержание

Введение

Глава 1. Аналитические методы исследования стохастических пространственно распределенных моделей типа «реакция-диффузия»

1.1. Постановка задачи

1.2. Метод моментов

1.3. Приближение среднего поля

1.4. Обобщенные уравнения Гинзбурга - Ландау для усредненных амплитуд неустойчивых мод

1.5. Уравнение Фоккера - Планка для параметров порядка

Глава 2. Численные методы исследования стохастических пространственно распределенных моделей типа «реакция-диффузия»

2.1. Метод переменных направлений Писмена - Рэчфорда

2.2. Метод численной оценки энтропии информации на основании матриц вхождения

2.2.1. Энтропия информации

2.2.2. Матрицы вхождений

2.2.3. Численная оценка энтропии информации на основании матриц вхождений

2.3. Комплекс программ «Исследование статистических характеристик стохастических систем «реакция-диффузия»

Глава 3. Исследование стохастической пространственно распределенной модели Шеффера

3.1. Модель Шеффера

3.2. Аналитическое исследование модели Шеффера

3.2.1. Уравнение Гинзбурга - Ландау для параметров порядка в модели Шеффера

3.2.2. Уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения

вероятности критической моды в модели Шеффера

3.3. Численное исследование модели Шеффера

3.3.1 Моделирование динамики образования диссипативных структур в модели Шеффера в зависимости от интенсивности внешнего шума

3.3.2. Шумоиндуцированное параметрическое возбуждение солитоноподобных структур в модели Шеффера

3.3.3. Исследование зависимости динамики образования диссипативных структур от радиуса корреляции внешних полей на основании численной оценки энтропии информации

Заключение

Приложение А

Приложение В

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование диссипативных структур в стохастических реакционно-диффузионных системах»

Введение

Шумы различного происхождения являются неотъемлемой частью окружающего нас мира. Во многом именно шумы отвечают за разнообразие наблюдаемых явлений. В пространственно распределенных системах шумы приводят к возникновению пространственных структур [8; 14; 15; 61; 65; 72; 87; 139] и фронтов [71; 88], резонансных структур и индуцированным шумом фазовым переходам [20; 32; 81], явлениям захвата частоты [42] и разделения фаз [28], пространственно временной перемежаемости [89] и пространственно временному стохастическому резонансу [13; 22; 50], бегущим и конвективным поддерживаемым шумом структурам [70; 83], шумоиндуцированной синхронизации [10; 58; 77] и т.д.

В последние десятилетия интенсивно разрабатываются и исследуются математические модели, предназначенные для описания, предсказания и объяснения представленных выше феноменов. Одной из них является модель реакция-диффузия с включенными в нее мультипликативными и аддитивными шумами:

дх 1

а( ^

+ Гк(г.1) + ОкЧ\, (1.1)

где £=1,2,3,..., хк - функции состояния системы, Рк(х{,..,хк,у), СлД.г,.....л-А.-/) -

функциональные зависимости, определяющие взаимодействие и эволюцию компонент хк в пространстве и во времени, йк - коэффициенты диффузии компонент, _ вектор, компоненты которого являются управляющими

параметрами, описывающими воздействие на систему внешнего окружения, / -число флуктуирующих параметров, Хм - их пространственно-временные средние, Д,(г./) - мультипликативные и Рк(г.1) - аддитивные шумы с заданными статистическими характеристиками, причем /д,(гл) = 0. ^(г,/)=0.

Детерминированный аналог системы (1.1) применяется для исследования многообразных явлений в различных областях знаний: физике [34; 94; 97; 103;

120; 159], химии [154; 157; 158; 163; 168], медицине [169], экологии [5; 17; 18; 19; 43-49; 76], экономике [92; 93; 115; 118; 144; 155].

Исследование эволюции стохастических пространственно распределенных систем може1 быть проведено различными методами. Одним из наиболее распространенных подходов является приближение среднего поля (МРТ) [16; 28; 41; 81; 87]. Этот подход позволяет предсказать существование шумоиндуцированного перехода «беспорядок-порядок-беспорядок». Однако он разработан только для однокомпонентных систем. Получаемое с его помощью уравнение Фоккера-Планка (УФП) имеет неявный вид и требует дальнейшего численного решения. Шаг получаемой при дискретизации непрерывного пространства системы (1.1) решетки выбирается подходящим образом, чю подразумевает некоторый произвол при применении МРТ. Подход дает удовлетворительное количественное соответствие с численным эксперименюм вдали от точки бифуркации и может быть использован только в определенной области характерных пространственных и временных масштабов шумов. Еще один подход для изучения эволюции систем (1.1) в окрестности точки бифуркации основан на выводе обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау (ОУГЛ) [24; 38]. Но получаемые в результате ОУГЛ являются также сюхасгическими и требуют дальнейшего сложного математического анализа. Подход, использующий методы динамических ренормализационных групп, применяется только для одномерных однокомпонентных систем [16; 20]. Анализ моментов функций состояния систем (1.1) и их структурных функций [15, 81], как правило, проводится численно, или при аналитическом исследовании дополнительно используются другие приближения: корреляционное, МРТ и др. Для системы (1.1) может быть записано функциональное УФП [24; 34]. Однако нахождение его решения представляет значительную сложность, если вообще это возможно. Разрабатываются и другие методы, применяемые для исследования стохастических пространственно распределенных систем, моделируемых интегро-дифференциальными уравнениями [27].

Представленные выше аналитические методы результативны в определенной области значений параметров задачи или имеют ограничения на число компонент или размерность пространства системы. Поэтому актуальным является разработка новых методов, позволяющих исследовать состояние систем (1.1) в более широкой области значений параметров самой системы и шумов или распространение известных приближенных аналитических методов для изучения многокомпонентных многомерных систем (1.1).

По причине значительной математической сложности аналитических методов, применяемых для изучения эволюции систем (1.1) и того факта, что большинство из них дает качественное соответствие с численным или натурным экспериментом, возникает необходимость дальнейшей разработки численных методов и алгоритмов для таких исследований.

Все вышеизложенное определяет актуальность темы исследования и позволяет сформулировать следующие цели и задачи исследования.

Цель диссертационной работы

Развитие аналитического подхода, основанного на обобщенных уравнениях Гинзбурга-Ландау, разработка и реализация численных методов и алгоритмов для исследования состояния многокомпонентных реакционно-диффузионных систем в присутствие внешних шумов и их применение к изучению динамики пространственных структур, возникающих в конкретных системах рассматриваемого типа.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Получить УФП для параметров порядка и с его помощью изучить зависимость плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума.

2. Изучить динамику формирования диссипативных структур (ДС) при различных значениях радиуса корреляции внешнего случайного поля.

3. Повести численную оценку энтропии информации состояния пространственно распределенной системы (1.1) при процессе формирования ДС, что позволит судить о мере беспорядка в поведении системы.

4. Разработать комплекс программ для моделирования эволюции систем вида (1.1) и расчета статистических характеристик их функций состояния.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Получено уравнение Фоккера-Планка (УФП) для параметров порядка двухкомпонентноп стохастической системы реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации Тьюринга с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ и в отсутствие аддитивных шумов в системе. Найдено в явном виде стационарное решение полученного УФП для маргинального состояния. Это решение дает возможность установить наличие фазового перехода «беспорядок-порядок-беспорядок» в конкретных системах.

2. Предложен численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия. На основании полученной оценки и численного исследования дисперсии функций состояния изучена эволюция ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума. Показано, что при приближении радиуса корреляции шума к одному из характерных пространственных масштабов системы наблюдается явление существенного замедления процесса формирования ДС.

3. Разработаны подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия, полученное с точностью до слагаемых третьего порядка малости в ОУГЛ и в отсутствие аддитивных шумов, и его стационарное решение для маргинального состояния. Результаты аналитического исследования зависимости плотности

стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды от интенсивности шума.

2. Численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия. Результаты численного исследования эволюции ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума.

3. Подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия", позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической системы.

Научная и практическая значимость

Разработанные методы и алгоритмы могут применяться при исследовании стохастических реакционно-диффузионных систем, а также в учебном процессе при подготовке магистров прикладных физики и математики, специализирующихся в области нелинейной динамики и статистической физики.

Достоверность результатов диссертационной работы определяется их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии), сравнением с известными теоретическими результатами и расчетами по другим алгоритмам, адекватностью полученных результатов и согласованностью с современными представлениями о предмете исследования.

Связь с государственными программами

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ в рамках государственного задания Минобрнауки РФ вузам на 2012-2014 гг., № 2.560.2011 и гранта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. №14.ВЗ7.21.0767.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих Всероссийских и Международных конференциях: V международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках»

(г. Тверь, 2009г), XVI международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Москва, 2009г.), XVII международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 20 Юг), VI международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 20Юг), VII всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 20 Юг), V международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза 20 Юг), VII международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика в естественных науках» (г. Тверь, 2011 г), XLII международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (г. Санкт-Петербург, 2011 г), XVII международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2011 г), 16 научная школа «Нелинейные волны-2012» (г. Нижний Новгород, 2012г), XX международная школа-конференция «Биофизика сложных систем. Анализ и моделирование» «МКО 2013» (г. Пущино, 2013г).

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программ, 13 трудов Международных и Всероссийских конференций.

Авторский вклад. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке алгоритмов решения задач и их реализации. Автор осуществлял проведение численных экспериментов, обработку, анализ и интерпретацию полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы составляет 115 страниц. В работе приведен 21

рисунок. Список цитируемой литературы содержит 171 библиографических ссылок.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, описаны защищаемые положения.

В первой главе диссертации представлены аналитические подходы к изучению состояния систем вида (1.1).

Здесь приведен обзор наиболее широко распространенных аналитических подходов, обсуждены их достоинства и недостатки. Подробно описана процедура получения обобщенных уравнений Гинзбурга - Ландау для амплитуд неустойчивых мод системы (1.1) [123].

Последний раздел главы посвящен выводу уравнения Фоккера - Планка для параметров порядка с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ. В явном виде получено его стационарное решение для критического случая, когда неустойчива одна мода (маргинальное состояние).

Полученное решение позволяет исследовать поведение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды в зависимости от бифуркационного параметра задачи. В зависимости от того является она бимодальной или одномодальной можно судить в каком состоянии (порядок или беспорядок) находится стохастическая система (1.1).

Преимущества развитого подхода заключаются в том, что он применим к многокомпонентным многомерным системам. Стационарное решение УФП для критического параметра порядка записывается в явном виде. Этот подход применим к широкому классу нелинейных функций. Предложенный подход не содержит произвола, связанного с дискретизацией непрерывного пространства системы, что имеет место в МП\ Он может быть использован и в случае шумов с конечными характерными пространственными и временными масштабами.

Вторая глава посвящена разработке численных методов и алгоритмов для исследования состояния систем (1.1).

В разделе 2.1 представлена разностная схема для численного моделирования эволюции систем реакция-диффузия с мультипликативным шумом, основанная на методе переменных направлений и спектральном методе моделирования случайных полей с заданной функцией корреляции.

Под действием внешних шумов поведение системы (1.1) может стать сильно неупорядоченным. Чтобы иметь возможность судить о мере беспорядка в состоянии системы, необходимо уметь оценивать его энтропию. В разделе 2.2 приведено описание разработанного способа численной оценки энтропии информации состояния системы (1.1), базирующегося на методе, широко применяемом для анализа текстуры изображений [90]. Пространственные распределения функций состояния систем (1.1) в каждый момент времени можно рассматривать как изображения, значения яркости пикселей которых пропорциональны значениям функций состояния в данной точке пространства. Тогда для каждого момента времени можно рассчитать энтропию информации состояния системы с помощью матриц вхождения и получить ее временную зависимость.

Сложность применения данного подхода к вычислению энтропии информации состояния системы, заключается в том, что вместо интенсивности пикселя, принимающей целочисленные значения, рассматривается значение функции в каждой точке пространства, а эти значения в общем случае вещественные. Для того чтобы присвоить им целочисленные значения, предлагается нормировать весь диапазон изменения функции состояния так, чтобы некоторому небольшому интервалу ее изменения соответствовало определенное целое число. В данной работе этот диапазон нормировался к 128. Нормировка к 256 приводила к тем же качественным результатам, однако существенно увеличивала время расчета.

В разделе 2.3 представлена структурная схема и описана работа подсистем разработанного комплекса программ (ПК) «Исследование статистических характеристик стохастических систем «реакция-диффузия»», основными функциями которого являются: 1) моделирование эволюции конкретных систем

типа «реакция-диффузия» в поле внешних флуктуаций; 2) расчет статистических характеристик систем; 3) оценка энтропии информации состояния систем; 4) расчет собственных чисел задач; 5) расчет статистических характеристик параметра порядка систем; 6) ввод-вывод, проверка и контроль данных; 7) визуализация исследований.

В разделе 3.1 описана изучаемая модель, определяемая следующей системой уравнений:

^ = -V, (1 - -V,) - ^ (1 + /2 (>% г)) + V.

д г /•„ (1 + Лл-,)

а{ х ,х, /н0 ... .. с с!, .

—- = --(1 + ]2{г,т)) — ~ —---0 + У,(/ .г))л-2------- ~ + -" У-л-2.

дт г0 (1 + А.т,) г0 г0(1 + /гл-;) с/,

Здесь л"1, л*2 - плотности биомассы популяций микроорганизмов, с1\ и с12 - их коэффициенты диффузии, параметры г0, а(), Ъ, т0, g, И, / подробно описаны в [45; 76]. Случайные однородные изотропные поля /(/"V) определяют пространственно временные гауссовы флуктуации параметров и имеют корреляционный тензор /О^О/Дг'.г) ' = ^(г-г'\)д((-т)5ц (/,у=/,2) и нулевые

средние значения. Функции определяют пространственную зависимость

функций корреляции. При этом <5-коррелированность во времени фактически означает, что время корреляции случайного поля гораздо меньше всех характерных времен задачи.

Раздел 3.2 посвящен аналитическому исследованию динамики модели (1.2). В разделе 3.2.1 представлен вывод обобщенных уравнений Гинзбурга -Ландау для амплитуд неустойчивых мод системы (1.2), согласно процедуре, описанной в первой главе.

В разделе 3.2.2 на основании полученных в разделе 3.2.1 ОУГЛ записано УФП и его стационарное решение для плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды системы (1.2). Представлено изменение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды этой моды с увеличением интенсивности шума при переходе через точку бифуркации детерминированной системы. Полученное изменение

плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды позволило рассчитать границу шумоиндуцированного фазового перехода «беспорядок - порядок - беспорядок». Следует отметить, что при приближении к детерминированной точке перехода, даже очень малые флуктуации будут способствовать потере устойчивости неоднородного состояния и вызывать неупорядоченное состояние.

Раздел 3.3 посвящен численному моделированию динамики системы (1.2) в области бифуркации Тьюринга.

В разделе 3.3.1 представлены результаты численного моделирования с помощью описанного в разделе 2.3 ПК динамики образования пространственных структур в зависимости от интенсивности внешнего шума. Эти результаты подтверждают теоретические выводы, сделанные в разделе 3.2.

В разделе 3.3.2 с помощью численного метода оценки энтропии информации, представленного в разделе 2.2, была исследована зависимость динамики образования диссипативных структур в модели (1.2) от радиуса корреляции внешних полей.

Для исследуемой системы были построены зависимости энтропии информации ее состояния от времени при разных значениях радиуса корреляции г. При образовании структур увеличивается степень порядка в системе, что приводит к уменьшению энтропии информации. Для случаев /->1 хорошо видна тенденция к увеличению времени образования структур при увеличении радиуса корреляции. Чем больше радиус корреляции, тем больше время выхода энтропии на статистически стационарные значения, что означает большее время образования структур. Сделанный вывод так же подтверждается численными расчетами дисперсии функции состояния системы (1.2), усредненной по пространству. Образование структур сопровождается возрастанием уровня флуктуации (дисперсии) до макроскопических масштабов, и при увеличении радиуса корреляции момент образования структур смещается в область более поздних времен. Таким образом, показано, что для случая г>1 увеличение радиуса корреляции приводит к увеличению времени образования структур.

Более сложная ситуация при /• < 1. Здесь не удалось выявить однозначной зависимости динамики системы от радиуса корреляции. Отметим отдельно случай /■ = 0.2 (значение г = 0.2 совпадает с характерным пространственным масштабом системы (1.2)), который характеризуется значительным увеличением времени выхода в стационарное состояние.

Заметим, что при г<0.05 происходит формирование структур с меньшим характерным пространственным масштабом (длиной волны), что приводит к увеличению числа «впадин» на заданной площади поверхности (более упорядоченное состояние). Это естественным образом приводит к увеличению статистически стационарного уровня флуктуаций, что и было подтверждено в ходе численного расчетов.

В заключении перечислены основные результаты, полученные при выполнении данной диссертационной работы:

1. Получено уравнение Фоккера-Планка (УФП) для амплитуд неустойчивых мод (параметров порядка) двухкомпонентной стохастической системы реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации Тьюринга с точностью до слагаемых, имеющих третий порядок малости в ОУГЛ. Найдено в явном виде стационарное решение полученного УФП для маргинального состояния. Это решение дает возможность установить существование фазового перехода «беспорядок-порядок-беспорядок» в конкретных системах.

2. Предложен численный метод оценки энтропии информации состояния стохастической системы реакция-диффузия.

3. На основании полученной оценки и численного исследования дисперсии функций состояния изучена эволюция ДС в конкретной системе в зависимости от значений радиуса корреляции внешнего шума. Показано, что при приближении радиуса корреляции шума к одному из характерных пространственных масштабов системы наблюдается явление существенного замедления процесса формирования

дс.

4. Разработаны подсистемы комплекса программ "Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия",

позволяющие провести анализ и моделирование эволюции биофизической

системы.

Глава 1. Аналитические методы исследования стохастических пространственно распределенных моделей типа «реакция-диффузия»

1.1. Постановка задачи

Многие макроскопические системы могут быть описаны с помощью набора параметров состояния (динамических переменных) {.\-А}, удовлетворяющих эволюционным уравнениям вида

д(

где .V(?.[) и /,{х(Г,/)) - векторы, компонентами которых являются соответственно параметры состояния хк и функциональные зависимости, определяющие эволюцию компонент х^ во времени и в пространстве. Эти зависимости, как правило, нелинейные, содержат дифференциальные операторы по пространственным переменным и сами определяются набором управляющих параметров, описывающих вместе с граничными условиями воздействие на систему окружающей среды.

В работе исследован важный частный случай таких систем - распределенные двухкомпонентные системы реакция-диффузия

^ = /к (.V, л) + А V2*, ,к = 1,2, (1.3)

д[

имеющие широчайшую область приложений.

Исследование систем типа (1.3) будет проводиться при следующих условиях.

Полагается, что модель (1.3) описывает макросистемы. Для таких систем внутренние флуктуации допустимо считать пренебрежимо малыми. Это позволит исключить влияние внутренних флуктуаций на особенности исследуемых явлений.

Изучаются системы, для которых отсутствует обратная связь с окружающей ее средой. Это означает, что характерные размеры среды существенно превышают характерные размеры системы.

Среда считается однородной и изотропной, не претерпевающей систематических изменений. Это допущение необходимо для исключения эффектов, обусловленных систематической эволюцией окружающей среды и означает, что характерное время изменения состояния среды значительно больше времени наблюдения за системой.

Внешний шум присутствует в системах любого типа. Поэтому возникает необходимость уточнить модель (1.3) так, чтобы в ней можно было учесть эффекты, связанные со стохастическим характером среды.

Влияние среды на свойства системы описывается с помощью набора параметров // = (2",,...,//,,...,/д). Если система находится во флуктуирующей среде, то некоторые из этих параметров (или все) становятся случайными величинами. Учитывая два последних условия, эти параметры можно представить стационарными однородными изотропными случайными полями /;(/%/), которые удобно разложить на две составляющие //(/■',/) = //„ + /(г./). Здесь //„ пространственно временное среднее для //, соответствующее среднему состоянию среды, поле /0\/) описывает флуктуации параметров относительно среднего значения, = 0. В весьма обширный класс феноменологических

уравнений, встречающихся в приложениях, внешний параметр входит линейно.

Если в каждом из уравнений (1.3) флуктуирует один внешний параметр, тогда, учитывая вышеизложенное, система (1.3) примет вид

С7Х л

с1

^ = О(л-|,лч,/710..У7/)+/;(/-,+ + (1.4)

01

Здесь л-|, л*2 - динамические переменные, /]... Ц\... ;/, - параметры задачи, /ш, ;/И) - пространственно временные средние соответствующих параметров, коэффициенты диффузии компонент, Р, О, Р' и ~ нелинейные функции, описывающие взаимодействие подсистем. Здесь также учтено воздействие внешних случайных сил, имеющих аддитивный характер, и описываемых случайными полями /) с нулевыми средними значениями.

Если под влиянием внешней среды флуктуирует несколько параметров, то стохастическая двухкомпонентная система типа реакция-диффузия имеет вид:

дх к

"л"= -Хк0-Х„) + ,-Х„) + + ДУ2Л-,.

^ = № тХ^Пну-Пю-П,) + (Г,0№ • л-2, Пм ) + + Д.?2*,. (1.5)

^ (=1

Модель (1.5) может быть также легко обобщена для случая многокомпонентных систем.

Определим статистические характеристики случайных полей в соответствии со свойствами среды.

В работе [168] приводится обоснование того факта, что для большинства реальных систем, имеющих немарковское поведение, хорошим приближением для моделирования флуктуирующей окружающей среды является, так называемый, цветной шум. В этом случае будущая эволюция системы зависит лишь от ее состояния и состояния среды в данный момент времени, которое является марковским (при этом предполагается, что начальное состояние системы не зависит от шума). Это означает, что любое предсказание будущей стохастической эволюции многомерного процесса, описываемого переменными системы и случайным внешним источником, основанное на информации о состоянии в данный момент, является наилучшим из всех возможных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Желнов, Юрий Валериевич, 2013 год

Список литературы

1. Afanassieva L. G., Popov S. Yu., Fayolle G. Models for transporation networks // Journal of Mathematical Sciences. - 1997. - 84(3). - P. 1092-1103..

2. Amritkar R.E., Rangarajan G. Spatially synchronous extinction of species under external forcing//Phys. Rev. Lett.-2006.-№ 96(25):258102. - P. 1-4.

3. Baccelli F., Chaintreau A., Vleeschauwer D. De, McDonald D. R. HTTP turbulence // AIMS Network and heterogeneos media. - 2006. - 1 (1). - P. 1 -40.

4. Baccelli F., Lelarge M., McDonald D. R. Metastable regimes for multiplexed tcp flows // In Proceedings of the Forty-Second Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing, Allerton House, Monticello, Illinois, USA, University of Illinois at Urbana-Champaign. - 2004. - P. 1005 - 1011.

5. Baurmann M., Gross Th., Feudel U. Instabilities in spatially extended predator-prey systems: spatio-temporal patterns in the neighborhood of Turing-Hopf bifurcation // Preprint submitted to Journal of Theoretical Biology. - 2006. - 18 P-

6. Boudec J.-Yv. Le, McDonald D. R., Mundinger J., A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects // 4th International Conference on Quantitative Evaluation of SysTems, September 16th-19th, 2007, University of Edinburgh, Scotland, UK. - 2007. - 13 p.

7. Bray M.-A., Lin S.F., Aliev R.R., Roth B.J., Wikswo J. P. Experimental and Theoretical Analysis of Phase Singularity Dynamics in Cardiac Tissue // Journal of cardiovascular electrophysiology. - 2001. - V. 12. - № 6. - P. 716-722.

8. Buceta J., Ibanes M., Sancho J.M., Lindenberg K. Noise-driven mechanism for pattern formation // Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. - 67(2 Pt 1). -2003.-8 p.

9. Ebeling W., Molgedey L., Kurths J., Schwarz Entropy U., Complexity, Predictability, and Data Analysis of Time Series and Letter Sequences // The science of disaster: Climate disruptions, heart attacks, and market crashes, Eds. A. Bunde, J. Kropp, H.-J. Schellnhuber. - Springer Berlin/Heidelberg. - 2002. -P. 2-25.

lO.Elson R.C., Selverston A.I., Huerta R., Rulkov N.F., Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I. Synchronous behavior of two coupled biological neurons // Physical Review letters. 1998. - V. 81 (N25). - P.5692-5695.

1 l.Fenton F. H., Evans S. J., Hastings H. M. Memory in an Excitable Medium: A Mechanism for Spiral Wave Breakup in the Low-Excitability Limit // Phys. Rev. let. - 1999. - V. 83. - № 19. - P. 3964-3967.

12.Fraser D. F., Gilliam, J. F. Nonlethal impacts of predator invasion - facultative suppression of growth and reproduction // Ecology. - 1992. - № 73. -P. 959-970.

13.Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Reviews of modern physics. -1998. - 70 (1). -P. 223-287.

14.García-Ojalvo J., Hernández-Machado A., Sancho J.M. Effects of external noise on the Swift-Hohenberg equation // Physical Review Letters. - 1993. - № 71. -P. 1542-1545.

15.García-Ojalvo J., Sancho J.M. External fluctuations in a pattern-forming instability // Physical Review E - 1996. - № 53. - P. 5680-5689.

16.García-Ojalvo J., Sancho J.M. Noise in Spatially Extended Systems. - SpringerVerlag, New York, 1999. - 307 p.

17.Garvie M. R. Finite-difference schemes for reaction-diffusion equation modeling predator-prey interactions in matlab // Bull. Math. Biol. - 2007. - № 69. -P. 931-956.

18.Garvie M. R., Trenchea C. Analysis of two generic spatially extended predator-prey models // Preprint submitted to Elsevier Science. - 2006. - 16 p.

19.Garvie M. R., Trenchea C. Optimal control of a nutrient-phytoplankton-zooplankton-fish system // SIAM J. Contr. and Opti. - 2007. - № 46(3). -P. 775-791.

20.Genovese W., Muñoz M.A., Sancho J.M. Nonequilibrium transition induced by multiplicative noise // Physical review. E, Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics. - 1998. - № 57(3). - P. 2495-2498.

21 .Gilad E., Hardenberg J., Provenzale A., Shachak M., Meron E. Ecosystem engineers: From pattern formation to habitat creation // Phys. Rev. Lett. - 2004. -№ 93(9):098105. - P. 1 -4.

22.Gosak M., Marhl M., Perc M. Spatial coherence resonance in excitable biochemical media induced by internal noise // Biophysical chemistry. - 2007. -№ 128 (2).-P. 210-214.

23.Greve W. The 1989 German Bight invasion of Mugggiaea-Atlantica // ICES J. Marine Sci. - 1989. -№ 51.-P. 355-358.

24.Haken H. Synergetics. Introduction and Advanced Topics. - Springer, Berlin, 2004.-758 p.

25.Hassel M.P., Lawton J.H., Beddington J.R. Sigmoid functional responses by invertebrate predatars and parasitoids // J. Anim. Ecol. - 1977. - 46. - № 1. -P. 249-262.

26.Holling C.S. The functional response of predator to prey density and it's role in mimicry and population regulation // Mem. Entomol. Soc. Canada. - 1965. -№45.-P. 1-60.

27.Hutt A., Longtin A., Schimansky-Geier L. Anesthetic-induced transitions by propofol modeled by nonlocal neural populations involving two neuron types // J. Biol. Phys. -2008. - 34(3-4). - P. 433-440.

28.1banez M., Garcia-Ojalvo J., Toral R., Sancho J.M. Noise-induced phase separation: mean-field results // Physical Review E. - 1999. - 60. - P. 3597-3605.

29.Jeltsch F., Wissel Ch., Eber S., Brandl, R. Oscillating dispersal patterns in tephritid fly populations // Ecological Modelling. - 1992. -№ 60. - P. 63-75.

30.Johnson C.R., Boerlijst M. C. Selection at the level of the community: the importance of spatial structure // Trends Ecol. and Evol. - 2002. - № 17. — P. 83-90.

31 .Jung P., Mayer-Kress G, Spatiotemporal stochastic resonance in excitable media // Phys. Rev. Lett. - 1995.-74(11).-P. 2130-2133.

32.Kawai R., Sailer X., Schimansky-Geier L., Van den Вгоеек C. Macroscopic limit cycle via pure noise-induced phase transitions // Physical Review E. -2004. -69(5).-8 p.

33.Kay A.L., Sherratt J. A. Spatial noise stabilizes periodic wave patterns in oscillatory systems on finite domains // Siam J. Appl. Math. - 2000. - V. 61. -№. 3.-P. 1013-1041.

34.Klyatskin V.I. Stochastic Equations through the Eye of the Physicist (Basic Concepts, Exact Results, and Asymptotic Approximations). - Elsevier Science, New York, 2005.-538p.

35.Kuchinskii Ё. Z., Nekrasov I. A., Sadovskii M. V. "Destruction" of the Fermi surface due to pseudogap fluctuations in strongly correlated systems // Письма в ЖЭТФ. - 2005. - 82. - P. 217-222.

36.Kuchinskii E. Z., Nekrasov I. A., Sadovskii M. V. Pseudogaps in strongly correlated metals: Optical conductivity within the generalized dynamical mean-field theory approach // Phys. Rev. B. - 2007. - 75. - 11 p.

37.Kumar S., Massouli'e L. Integrating streaming and filetransfer internet traffic: Fluid and diffusion approximations // Queueing systems. - 2005. - 55 (4). -P. 195-205.

38.Kurushina S.E., Maximov V.V., Romanovskii Yu. M. Spatial pattern formation in external noise: Theory and simulation // Physical Review E. - 2012. - 86. -P. 011124-011140.

39.Lehman J. Т., Caceres С. E. Food-web responses to species invasion by a predatory invertebrate - Bythotrehes in Lake Michigan. Limnol // Oceanog. -1993.-№38.-P. 879-891.

40.Lewis M. A., Kareiva, P. Allee dynamics and the spread of invading organisms // Theor. Popul. Biol. - 1993.-№43.-P. 141-158.

41.Linder В., Garcia-Ojalvo J., Neiman A., Schimansky-Geier L. Effects of noise in excitable systems // Physics Reports. - 2004. - 392. - P. 321-424;

42.Liu Q.-X., Jin Zh., Li B.L. Resonance and frequency-locking phenomena in spatially extended phytoplankton-zooplankton system with additive noise and

periodic forces // Journal of Statistical Mechanics: Theoiy and Experiment. -2008.-P. 05011 -05023.

43.Liu Q.-X., Sun G.-Q., Li B.-L., Jin Z. Emergence of spatiotemporal chaos driven by far-field breakup of spiral waves in the plankton ecological systems. // Cornell University Library. - 2008. - 11 p.

44.Ma S., Feng Z., Lu Q. A Two-Patch Ecological System with Nonlinear Transfer Rate and Noise Effect//Dynamics of PDE. - 2008. - V. 5.-№.3.-P. 281-298.

45.Malchow H. Motional instabilities in prey-predator systems.// J. theor.Biol. -2000.-№204.-P. 639-647.

46.Malchow H. Spatiotemporal pattern formation in nonlinear non-equilibrium plankton dynamics//Procc. R. Soc.Lond. B. - 1993. - № 251. - P. 103-109.

47.Malchow H., Hilker F.M., Petrovskii S.V. Noise and productivity dependence of spatiotemporal pattern formation in a prey-predator system // Discrete and continuous dynamical systems. Series B. - 2004. - V.4. - №3. - P. 705-711.

48.Malchow H., Hilker F.M., Petrovskii S.V., Brauer K. Oscillations and waves in a virally infected plankton system. Part I: the lysogenic stage // Ecological Complexity. - 2004. - № 1. - P. 211 -223.

49.Malchow H., Hilker F.M., Sarkar R.R., Brauer K. Spatiotemporal patterns in an excitable plankton system with lysogenic viral infection // Mathematical and Computer Modelling. - 2005. - № 42. - P. 1035-1048.

50.Marchesoni F., Gammaitoni L., Bulsara A. R. Spatiotemporal stochastic resonance in a cp4 model of kink-antikink nucleation // Phys. Rev. Lett. - 1996. -V. 76.-P. 2609-2612.

51.Martin A.P. Phytoplankton patchiness: the role of lateral stirring and mixing // Progress in oceanography. -2003. — № 57. - P. 125-174.

52.Martinoli, K. Easton, and W. Agassounon. Modeling Swarm Robotic Systems: A Case Study in Collaborative Distributed Manipulation // Int. Journal of Robotics Research. - 2004. - 23(4). - P. 415-436.

53.Medvinsky А. В., Petrovskii S. V., Tikhonova I. A., Malchow H., Li B.-L. Spatiotemporal complexity of plankton and fish dynamics // SIAM Review. -2002. -№44. -P. 311-370.

54.Meinhardt H. The Algorithmic Beauty of Sea Shells. - Berlin, Heidelberg, New York. Springer-Verlag, 1999. - 280 p.

55.Mobilia M., Georgiev I., Tauber U. Phase transitions and spatiotemporal fluctuations in stochastic lattice lotka-volterra models // J. Stat. Phys. - 2007. -№ 128(1).-P. 447^183.

56.Morozov A., Petrovskii S., Li B.-L. Bifurcations and chaos in a predator-prey system with the Allee effect // The Royal Society. - 2004. - № 271. -P. 1407-1414.

57.Murray J.D. Mathematical Biology. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. -576 p.

58.Neiman A., Pei X., Russel D., Wojtenek W., Wilkens L., Moss F., Braun H.A., Huber M.T., Voit K. Synchronization of the electrosensitive noisy cells in the paddlefish // Phys Rev Lett. - 1999. - V. 82. - P. 660-663.

59.Nilssen К. Т., Grotnes P. E., Haug, T. The effect of invading harp seals (Phoca-Groenlandica) on local coastal fish of North Norway // Fisheries Res. - 1992. -№ 13.-P. 25-37.

60.Owen M.R., Lewis, M. A. How predation can slow, stop or reverse a prey invasion // Bull. Math. Biol. - 2001. - № 63. - P. 655-684.

61.Parrondo J.M.R., Van den Broeck C., Buceta J., de la Rubia F.J. Noise-induced spatial patterns // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1996. -224(1). - P. 153-161.

62.Pearce I.G., Chaplain M.A.J., Schofield P.G., Anderson A. R.A., Hubbard S.F. Chemotaxis-induced spatio-temporal heterogeneity in multi-species host-parasitoid systems // Journal of Theoretical Biology. - 2006. - 241. - № 4. -P. 876-886.

63.Pekalski A., Droz M. Self-organized packs selection in predator-prey ecosystems // Phys. Rev. E. - 2006.-№73(2):021913.

64.Petrovskii S., Li B.-L., Malchow H. Transition to spatio-temporal chaos can resolve the paradox of enrichment // Ecological Complexity. - 2004. - № 1. P. 37-47.

65.Riaz S.S., Dutta S., Kar S., Ray D.S. Pattern formation induced by additive noise : a moment based analysis // Euro. Phys. J. B. - 2005. - 47. - P. 255-263.

66.Robinson J.V., Wellborn G.A. Ecological resistance to the invasion of a freshwater clam, Corbiucula luminea: fish predation effects // Oecologia. - 1988. -№ 77.-P. 445-452.

67.Royama T. A comparative study of models of predation and parasitism // Res. Pop. Ecol. - 1971.-№ l.-P. 1-81.

68.Sadovskii M. V., Nekrasov I. A., Kuchinskii E. Z., Pruschke Th., Anisimov V. I.. Pseudogaps in strongly correlated metals: A generalized dynamical mean-field theory approach // Phys Rev. B. - 2005. - 72. - P. 155105.

69.Sagures F., Sancho J. M., Garca-Ojalvo J. Spatiotemporal order out of noise // Rev. Mod. Phys. -2007. - V. 79. - P. 829-882.

70.Santagiustina ML, Colet P., San Miguel M., Walgraef D. Walk-off and pattern selection in optical parametric oscillators // Optics letters. - 1998. V. 23 (15). -P. 1167-1169.

71 .Santos M.A., Sancho J.M. Noise-induced fronts // Phys. Rev. E. - 1999. -59( 1). -P. 98-102.

72.Sanz-Anchelergues A., Zhabotinsky A.M., Epstein I.R., Munuzuri A.P. Turing pattern formation induced by spatially correlated noise // Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. - 2001. - V. 63 (5 Pt 2). - P. 056124.

73.Satnoianu R.A., Menzinger M. Non-Turing stationary patterns in flow-distributed oscillators with general diffusion and flow rates // Phys. Rev. E. - 2000. -№ 62(1).-P. 113-119.

74.Satnoianu R.A., Menzinger M., Maini P.K. Turing instabilities in general systems //J. Math. Biol.-2000.-№41.-P. 493-512.

75.Sayama Y.-Y. H, Aguiar M. A. M., Baranger M. Interplay between turing pattern formation and domain coarsening in spatially extended population models // FORMA.-2003.-№ 18.-P. 19-36.

76.Scheffer M. Fish and nutrients interplay determines algal biomass: a minimal model // OIKOS. - 1991. - № 62. - P. 271-282.

77.Segev R., Benveniste M., Shapira Y., Ben.-Jacob E. Observations and Modeling of Synchronized Bursting in 2D Neural Networks // Phys. Rev.E. - 2001. - V. 64. -P. 011920.

78.Sherratt A.J., Agan B.T., Lewis M.A. Oscillations and chaos behind predator-prey invasion: mathematical artifact or ecological reality? // The Royal Society. -1997.-№ 352.-P. 21-38.

79.Tinnakornsrisuphap P., Makowski A. M.. Limit behavior of ecn/red gateways under a large number of tcp flows // In Proceedings IEEE INFOCOM 2003, The 22nd Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Societies,San Franciso, CA, USA, March 30 - April 3. - 2003. - 11 p.

80.Van den Broeck C., Parrondo J.M.R., Toral R. Noise-Induced Nonequilibrium Phase Transition // Phys. Rev. Lett. - 1994. - V. 73. - P. 3395.

81.Van den Broeck C., Parrondo J.M.R., Toral R., Kawai R. Nonequilibrium phase transitions induced by multiplicative noise // Physical Review E. - 1997. - 55 (4). _ p. 4084 - 4094.

82.Wang H., Zhang K., Ouyang Q., Resonant-pattern formation induced by additive noise in periodically forced reaction-diffusion systems // Phys. Rev. E. - 2006. -V. 74.-P. 036210.

83.Wang J., Kadar S., Jung P., Showalter K. Noise driven avalanche behavior in subexcitable media, Phys. Rev. Lett. - 1999. - 82(4) P. 855-858.

84.Wang M.-E., Kot M. Speeds of invasion in a model with strong or weak Allee effects//Math. Biosci. - 2001. - № 171.-P. 83-97.

85.Washenberger M.J., Mobilia M., Tauber U.C. Influence of local carrying capacity restrictions on stochastic predator - prey models // J. Phys.:Cond. Matt. - 2007. -№ 19(6):065139. - P. 1-14.

86.Yates С, Erban R, Escudero C, Couzin I, Buhl J. Inherent noise can facilitate coherence in collective swarm motion. Proc Natl Acad Sci USA. -2009. -106. - P. 5464-5469.

87.Zaikin A.A., Schimansky-Geier L. Spatial patterns induced by additive noise // Phys. Rev. E. - 1998. - 58(4). - P. 4355-4360.

88.Zhou L.Q., Jia X., Ouyang Q. Experimental and numerical studies of noise-induced coherent patterns in a subexcitable system // Physical review letters. -2002.-88 (13): 138301.-P. 1-4.

89.Zimmermann M.G., Toral R., Piro O., San Miguel M. Stochastic spatiotemporal intermittency and noise induced transition to an absorbing phase // Phys. Rev. Lett.-2000.-V. 85: 3612.-P. 1-5.

90.Zucker S. W., Terzopoulos D. Finding Structure in Co-Occurrence Matrices for Texture Analysis // Computer graphics and image processing. - 1980. - V. 12. — P. 286-308.

91.Абакумов, А.И. Неопределенность данных в математической экологии / А.И. Абакумов // Дальневосточный математический журнал. - 2000. — № 1. — С. 38-42.

92.Аганин, Ю.И. Хищник-жертва. Экономические приложения / Ю.И. Аганин // Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании вып.4. Прикладные аспекты моделирования и разработки систем информационно-аналитической поддержки принятия решений. -Екатеринбург: УГТУ-УПИ. - 2008. - С. 10 -17.

93.Амироков, С.Р. Математическое моделирование в задачах прогноза социально-экономических систем [Электронный ресурс] / С.Р.. Амироков, И.Э. Наац // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». - 2006. - № 2. - 5 с. - Режим доступа: http://www.ncstu.ru.

94.Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах / B.C. Анищенко. - М.: УРСС, 2009. - 320 с.

95.Анищенко, B.C. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / B.C. Анищенко, А.Б. Нейман, Ф. Мосс, Л. Шиманский -Гайер // УФН. - 1999. - Т. 169. - № 1. - С. 7-38.

96.Асташкина, Е.В. Флуктуации в процессе самоорганизации. / Е.В. Асташкина, Ю.М. Романовский // Математические модели в экологии. -Горький: Изд-во Горьковского ун-та. - 1980. - С. 74-82.

97.Ахманов, С.А. Введение в статистическую радиофизику и оптику / С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, A.C. Чиркин. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.-640 с.

98.Ахромеева, Т.С. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, A.A. Самарский // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж. - 1986. - Т. 28. -С. 207-313.

99.Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А. Д. Базыкин. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. -180с.

100. Бакалов, В.П. Цифровое моделирование случайных процессов / В.П. Бакалов. - М.: Сайнс-ПРЕСС, 2002. - 88 с.

101. Белинцев, Б.Н. Физические основы биологического формообразования / Б.Н. Белинцев. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.-256 с.

102. Васильев, А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А.Н. Васильев. - Изд-во Петербургского института ядерной физики (ПНЯФ), 1998. - 773 с.

103. Васильев, В.А. Автоволновые процессы / В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

104. Волькенштейн, М. В. Энтропия и информация / М. В. Волькенштейн. -М.: Наука, 1986.-193 с.

105. Гардинер, К.В. Стохастические методы в естественных науках / К.В. Гардинер. - М.: Мир, 1986. - 528 с.

106. Гаузе, Г.Ф. Борьба за существование / Г.Ф. Гаузе. - Москва-Ижевск: Изд. РХД, 2000. - 234 с.

107. Годунов, С.К. Разностные схемы (введение в теорию) / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. - М.: Наука, 1977.-440 с.

108. Головинский, П.А. Инновационное управление системами с неограниченной конкуренцией / П.А. Головинский // Управление большими системами. - 2007. - № 18. - С. 30-40.

109. Громова, Л.И. Уравнения взаимодействия незатухающих мод и численное моделирование диссипативных структур пичкового типа в поле флуктуаций в модели Гирера - Майнхардта / Л.И. Громова, С.Е. Курушина // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. —

B.6.-С. 1070-1071.

110. Гудыма, Ю.В. Неравновесные фазовые переходы, индуцированные внешним шумом, в распределенных системах / Ю.В. Гудыма // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - В. 4. - С. 91 -95.

111. Димова, С.Н. Численное исследование нестационарных тепловых структур / Димова Стефка Николаевна // Автореферат дисс. ... докт. физ.-мат.наук. - Дубна. - 2004.

112. Еленин, Г.Г. Диффузионная неустойчивость в трехкомпонентных системах типа реакция-диффузия. Реакция (NO+CO)/Pt( 100) / Г.Г. Еленин, Е.С. Куркина // Математическое моделирование. - 1994. - Т.6. - №8. -

C. 17-32.

113. Желнов, Ю.В. Исследование влияния радиуса корреляции внешних шумов на процесс образования пространственных структур на основании численной оценки энтропии информации / Ю.В. Желнов // Тезисы XX международной школы-конференции «Математика Компьютер Образование. Биофизика сложных систем. Анализ и моделирование». - М. -2013.-С. 170.

114. Желнов, Ю.В. Численная оценка энтропии информации в пространственно распределенных стохастических системах реакционно -

диффузионного типа / Ю.В. Желнов // Нелинейные волны - 2012. XVI научная школа. Тезисы докладов молодых ученых. - Нижний Новгород. -2012.-С. 48-49.

115. Занг, В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. / В. Б. Занг. - М.: Мир, 1999. - 335 с.

116. Калиткин, H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М.: Наука, 1978. -512 с.

117. Капцов, О.В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений / О.В. Капцов // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7. -№3. - С. 107-115.

118. Карпова, О.В. Попытка построения математической модели социально-экономической системы: исследование на примере чувашской республики / О.В. Карпова, В.В. Андреев // Вестник Чувашского университета. - 2008. -№ 1.-С. 385-390.

119. Кернер, Б.С. Автосолитоны / Б.С. Кернер, В.В. Осипов // УФН. - 1989. -Т. 157.-В. 2. - С.201-266.

120. Кляцкин, В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах / В.И. Кляцкин. - М.: Наука, 2000. - 337 с.

121. Курушина, С.Е. Аналитическое исследование и численное моделирование контрастных диссипативных структур в поле флуктуаций динамических переменных / С.Е. Курушина // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2009. -№6. - С. 125-138.

122. Курушина, С.Е. Моделирование динамики пространственно-распределенных систем типа «реакция-диффузия» с внешними флуктуациями: дисс. ... докт. физ.-мат. наук / Курушина Светлана Евгеньевна. - Самара, СГАУ, 2010.-190 с.

123. Курушина, С.Е. Стохастические уравнения и уравнения Фоккера -Планка для параметров порядка в исследовании динамики шумоиндуцированных пространственных диссипативных структур / С.Е.

Курушина, Л.И. Громова, B.B. Максимов // Изв. Вузов. «ПНД». - 2011. - Т. 19. - №5. - С. 3-17.

124. Курушина, С.Е. Численное исследование статистических характеристик системы хищник-жертва в случайной среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов // Материалы 5 Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках». - Тверь. - 2009. - С.34-37.

125. Курушина, С.Е. Математическое моделирование динамики двухкомпонентных систем реакция-диффузия во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, Л.И. Громова, В.В. Максимов // Материалы Семнадцатой Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) 25-31 мая 2011 г. Алушта, Крым. - М.: МАИ-Принт. - 2011.-С. 577-579.

126. Курушина, С.Е. Образование диссипативиых структур в двухкомпонентных системах типа «реакция-диффузия» во флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2010. - № 1(20).-С. 143-153.

127. Курушина, С.Е. Индуцированные шумом уединенные диссипативные структуры в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, Л.И. Громова // Материалы 6 Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках». - Тверь. - 2010. - С. 99-103.

128. Курушина, С.Е. Шумоиндуцированное возбуждение структур Тьюринга в докритической области в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, Л.И. Громова // Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара: СамГТУ. -2010.-4.2.-С. 156-158.

129. Курушина, С.Е. Влияние мультипликативных флуктуации на эволюцию спиральных волн и траекторию дрейфа кончика спирали в экологической модели Шеффера / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, И.Г1. Завершинский, В.В. Максимов // Труды V Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирование естественнонаучных и социальных проблем». - Пенза: Приволжский Дом знаний. - 2010. - С. 12-14.

130. Курушина, С.Е. Эволюция спиральных волн в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба с флуктуирующим окружением / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". - Самара: СамГТУ. -2010. - 4.2. - С. 158-160.

131. Курушина, С.Е. Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция-диффузия / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов,

A.A. Иванов, В.В. Максимов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2013610753 от 09.01.13.

132. Курушина, С.Е. Моделирование тьюринговых структур и спиральных волн в системе фитопланктон-зоопланктон-рыба с флуктуирующим окружением / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, В.В. Максимов // Материалы 6 Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках». - Тверь. - 2010. - С. 167-171.

133. Курушина, С.Е. Эволюция пространственных и пространственно-временных диссипативных структур в системе реакция - диффузия во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, A.A. Иванов, В.В. Максимов // XVII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 25-30 янв. 2010г. Тезисы. - 2010. -

B.17.-С. 149.

134. Курушина, С.Е. Уравнение Колмогорова-Фокера-Планка для параметров порядка системы реакция-диффузия / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, В.В.

Максимов // Седьмые Курдюмовские чтения «Синергетика в естественных науках»: Материалы Международной междисциплинарной научной конференции с элементами научной школы для молодежи. - Тверь.: Твер. гос. ун-т.-2011.-С. 143-146.

135. Курушина, С.Е. Фазовый переход «беспорядок-порядок-беспорядок» в стохастических системах реакция диффузия / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов,

B.В. Максимов // Материалы XLII международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость». Control Processes and Stability (CPS'И). - СПб. - 2011. - С. 158-165.

136. Курушина, С.Е. Влияние нелинейной трофической функции на устойчивость статистического положения равновесия системы хищник-жертва в случайной среде / С.Е. Курушина, Ю.В. Желнов, В.В. Максимов // Труды XVI международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам. - М.: МАИ-Принт. -2009. - С. 296-298.

137. Курушина, С.Е. Диссипативные структуры в системе реакция-диффузия в поле мультипликативных флуктуаций / С.Е. Курушина, A.A. Иванов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2010. - Т. 18. - №3. -

C.85-103.

138. Курушина, С.Е. Автоволновые структуры во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, A.A. Иванов, Ю.В. Желнов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Известия Самарского научного центра РАН. - 2010. -Т. 12(36). - №4. - С.41-50.

139. Курушина, С.Е. Моделирование пространственно-временных структур в системе хищник-жертва во внешней флуктуирующей среде / С.Е. Курушина, A.A. Иванов, Ю.В. Желнов, И.П. Завершинский, В.В. Максимов // Математическое моделирование. - 2010. - Т.22. - № 10. С. 3-17.

140. Кучинский, Э.З. Обобщенная теория динамического среднего поля в физике

сильнокоррелированных систем / Э.З. Кучинский, H.A. Некрасов, М.В. Садовский//Успехи физических наук. -2012. - Т. 182. -№4. - С. 345 -378.

141. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах / П.С. Ланда. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. - 320с.

142. Ланда, П.С. Нелинейные колебания и волны / П.С. Ланда. - М.: Наука. Физматлит., 1997.-496с.

143. Марри Дж., Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / Дж. Марри. - М.: Мир, 1983. - 397 с.

144. Маценко, A.M. Эколого-экономические принципы моделирования циклических колебаний в экономике / A.M. Маценко // Вестник СумДУ. Серия Экономика. - 2007. - № 1. - С 103-110.

145. Михайлов, A.C. Индуцированный шумом фазовый переход и перколяционная задача для флуктуирующих сред с диффузией / A.C. Михайлов, И.В. Упоров//ЖЭТФ.- 1980.-Т. 79. В. 5(11).-С. 1958 - 1972.

146. Михайлов, A.C. Критические явления в средах с размножением, распадом и диффузией / A.C. Михайлов, И.В. Упоров // УФН. - 1984. -Т. 144.-В. 1 .-С. 79-114.

147. Недорезов, Л.В. Эффект насыщения в модели системы «хищник-жертва» / Л.В. Недорезов, Ю.В. Утюпин, С.П. Утюпина // Сибирский журнал индустриальной математики. -2001. Т. -4. -№ 1.-С. 150-164.

148. Неймарк, Ю.И. Динамические модели теории управления / Ю.И. Неймарк, Н.Я. Коган, В.П. Савельев-М.: Наука, 1985.-378 с.

149. Нещадим, М.В. Законы сохранения для системы типа реакция-диффузия / М.В. Нещадим // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. -Т. П.-№4(36).-С. 125-135.

150. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис, И. Пригожин. - М.: Мир, 1979. - 512 с.

151. Пахт, Е.В. Метод учета неопределенности данных в моделях для биологических сообществ / Е.В. Пахт // Дальневосточный математический журнал. - 2004. - Т. 5. - №2. - С. 38-42.

152. Петров А.П. Асимптотическое исследование контрастных структур в нелинейных математических моделях : автореферат дисс. ... докт. физ.-мат.наук: 05.13.18 / Петров Александр Пхоун Джо. - М., 2009. - 32 с.

153. Петров, И.Б. Волновые процессы в нелинейных активных средах / И.Б. Петров, А.А.Полежаев, A.C. Шестаков. // Математическое моделирование. -2000.-Т. 12.-№ 1,-С. 38-44.

154. Полак, JT.C. Процессы самоорганизации в неравновесных физико-химических системах / J1.C. Полак, A.C. Михайлов. - М.: Наука, 1983. -283 с.

155. Пугачева, Е.Г. Самоорганизация социально-экономических систем / Е.Г. Пугачева, К.Н. Соловьенко. - Иркутск: БГУЭП, 2003. - 172 с.

156. Ризниченко, Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Описание процессов в живых системах во времени / Г.Ю. Ризниченко. - М.: РХД, 2002. - 232 с.

157. Романовский, Ю.М. Математическая биофизика / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. - М.:Наука, 1984. - 304 с.

158. Романовский, Ю.М. Математическое моделирование в биофизике (Введение в теоретическую биофизику) / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. - Москва-Ижевск, ИКИ, 2004. -472 с.

159. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику / С.М. Рытов. - М.: Наука, 1976.-496 с.

160. Самарский, A.A. Устойчивость разностных схем / A.A. Самарский, A.B. Гулин. - М.: УРСС, 2004. - 384 с.

161. Самарский, A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

162. Свирежев, Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии / Ю.М. Свирежев. - М.: Наука, 1987. - 366 с.

163. Свирежев, Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

164. Стратонович, Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика / Р.Л. Стратонович. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1985. - 480 с.

165. Трубецков, Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры / Д.И. Трубецков. - М.: УРСС, 2004. - 235 с.

166. Формалев, В.Ф. Численные методы / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников. -М.: Физматлит, 2004. - 400 с.

167. Холодниок, М. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. - М.: Мир, 1991. - 368 с.

168. Хорстхемке, В. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии / В. Хорстхемке, Р. Лефевр. - М.: Мир, 1987.-400 с.

169. Чуликов, А.Л. Пороговая активация свертывания крови и рост тромба в условиях кровотока / А.Л. Чуликов, A.B. Николаев, А.И. Лобанов, Г.Т. Гурия // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - №3. - С. 75-96.

170. Шмидт, A.B. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия / A.B. Шмидт // Вычислительные технологии. - 1998. - Т. 3. - № 4. -С. 87-94.

171. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение в теорию диссипативных структур / В Эбелинг. - Москва-Ижевск, ИКИ НИЦ РХД, 2004. - 256 с.