МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СЖИМАЕМЫХ ДВУХФАЗНЫХ СРЕД В ДВУХСКОРОСТНОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сорокин Константин Эдуардович

• Сорокин Константин Эдуардович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Сорокин Константин Эдуардович

Введение

Глава 1 Математическая модель

1.1 Двухскоростная модель, неравновесная по давлению

1.2 Двухскоростная модель, равновесная по давлению

1.2.1 Уравнения переноса

1.2.2 Учет присутствия примеси

Глава 2 Вычислительный алгоритм

2.1 Базовый метод численного анализа

2.1.1 Уравнения движения

2.1.2 Решение СЛАУ

2.1.3 Дискретизация уравнения переноса энтропии

2.1.4 Поправочное уравнение для давления

2.1.5 Учет сжимаемости

2.1.6 Процедура SIMPLE

2.1.7 Критерии сходимости

2.2 Двухскоростная неравновесная по давлению модель

2.2.1 Уравнения движения

2.2.2 Дискретизация уравнения переноса энтропии

2.2.3 Поправочное уравнение для давления и параметра q

2.2.4 Учет сжимаемости

2.2.5 Адаптированный вариант процедуры SIMPLE

2.3 Двухскоростная равновесная по давлению модель

2.3.1 Уравнения движения

2.3.2 Дискретизация уравнения переноса энтропии

2.3.3 Дискретизация уравнений переноса количества включений и концентрации примеси

2.3.4 Поправочное уравнение для давления

2.3.5 Учет сжимаемости

2.3.6 Аналог процедуры IPSA

2.4 Комплекс программ

Глава 3 Постановка задач и результаты моделирования

3.1 Верификация

3.1.1 Свободная конвекция

3.1.2 Напорное течение

3.1.3 Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником

3.2 Численное моделирование

3.2.1 Свободная конвекция

3.2.2 Напорное течение

3.2.3 Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником

3.3 Прикладные задачи

3.3.1 Фильтрационное течение литосферного флюида в проницаемой зоне

3.3.2 Влияние импульсного воздействия на свободную конвекцию

3.3.3 Напорное течение дисперсной смеси с примесью

Заключение

Литература

А Односкоростная модель

В Обезразмеривание

В1 Односкоростная модель

В2 Двухскоростная модель неравновесная по давлению

В3 Двухскоростная модель равновесная по давлению

С Детали построения вычислительного алгоритма

С1 Расчетная сетка

С2 Дискретизация уравнения неразрывности

С3 Дискретизация уравнений движения

С4 Интегрирование конвективных слагаемых

С4.1 Схема против потока первого порядка

С4.2 Схема ИЬРА

С5 Метод переменных направлений

С6 Вывод поправочного уравнения для давления

С7 Критерии сходимости

Б Постановка модельных задач

Б1 Свободная конвекция в замкнутой области

Б2 Напорное течение в канале

Б3 Импульсное воздействие, генерируемое малым конечным источником

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СЖИМАЕМЫХ ДВУХФАЗНЫХ СРЕД В ДВУХСКОРОСТНОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ»

Введение

В настоящее время интерес к математическому описанию нестационарных неизотермических процессов в гетерофазных средах крайне высок. В первую очередь, он связан с необходимостью решения разнообразных технологических задач: описание гидродинамики различных суспензий, эмульсий, аэрозолей, гранулированных и сыпучих смесей и составов различной структуры, участвующих в производственных циклах; разработка новых гетерофазных сплавов, неоднородных и композитных материалов для промышленности и строительства; проектирование и эксплуатация сложных систем охлаждения и теплообмена для энергетических и обрабатывающих предприятий. Кроме того, интерес к математическому моделированию гетерофазных сред возникает при рассмотрении разнообразных задач описания техногенных систем: моделирование процессов в нефтяных скважинах и приповерхностных пластах, оптимизация процессов добычи полезных ископаемых; а так же при описании эндогенных процессов и при решении связанных с ними задач геодинамики и рудообразования. К числу последних можно отнести задачи гидродинамического описания процессов эволюции различных типов мантийно-коровых флюидных систем (фильтрационных течений литосферных флюидов в проницаемых зонах, процессов конвективного тепломассопереноса в глубинных магматических очагах, динамики флюидных гидротермальных систем и т.д.), решение которых является необходимым этапом при описании динамики развития крупномасштабных рудообразующих структур в рамках единой согласованной модели эволюции системы, включающей верхнюю мантию, мантийную литосферу и земную кору [Шарапов и др., 2007; Шарапов и др., 2009]. При математическом описании указанных геологических и технологических процессов и систем используются разнообразные математические модели гетерофазных, в частности, двухфазных, сред, где, в качестве основных объектов моделирования можно выделить: течения в пористых и гранулированных средах (хладагенты в системах охлаждения, течения грунтовых вод, процессы в прискваженных зонах, фильтрационные и конвективные течения литосферных

флюидов), течения газожидкостных и двухжидкостных смесей (процессы в кипящих и пузырьковых жидкостях, гидротермальные потоки).

Различают подходы к моделированию двухфазных сред, связанные с построением односкоростных и двухскоростных гидродинамических моделей [Нигматулин, 1978]. В первом случае гетерофазные свойства отражаются либо в значениях кинетических коэффициентов и термодинамических параметров среды либо в уточнении управляющих уравнений за счет добавления слагаемых, учитывающих наличие других фаз. Во втором случае предполагается моделирование двухфазных сред через рассмотрение совместного движения и деформирования обеих фаз с учетом механических и термодинамических эффектов, возникающих из-за несовпадения скоростей фаз. Односкоростные модели, в рамках которых двухфазные среды рассматриваются как однородные и характеризуются некоторыми средними значениями плотности, температуры, взаимной деформации и скорости, широко распространены в приложениях в связи с относительной простотой их построения и численной реализации. Основные идеи односкоростных моделей двухжидкостных смесей были сформулированы при исследовании ударных волн в пузырьковых средах на базе баротропного уравнения состояния [Taylor, 1954; Ляхов, 1959] и получили дальнейшее развитие, с привлечением более сложных многочленных уравнений состояния, для газожидкостных [Murray, 1964; Кутателадзе, Стыриков, 1976; Накоряков и др., 1990; Суров,1998] и многожидкосных смесей [Wackers, Koren, 2005; Суров, 2008; Кучер, Прокудин, 2010].

При описании гетерофазных течений, развивающихся в условиях, когда обязателен учет различного поведения фаз, взаимодействия фаз между собой и возникающих при этом механических и термодинамических эффектов, возникает необходимость построения многоскоростных моделей. Анализ литературы, посвященной моделированию многофазных и, в частности, двухфазных сред, показывает разнообразие имеющихся подходов к данному вопросу, как в отношении общих принципов построения системы управляющих уравнений модели, так и при конкретизации совместного деформирования фаз и при

определении величин, описывающих межфазные взаимодействия. Концепция, являющаяся отправной точкой в многоскоростной механике гетерофазных сред, согласно которой в каждой точке среды одновременно присутствует каждая из составляющих её фаз, характеризующаяся своей плотностью и скоростью, была введена еще в работах A. Fick и J. Stefan [Fick, 1855; Stefan, 1871]. Однако обобщенные динамические уравнения и термодинамические построения появились намного позже. Развитие теории привело к формированию нескольких различных методологических подходов: методы осреднения, вариационные методы, метод законов сохранения.

Методы пространственного осреднения и осреднения по времени при моделировании гетерофазных сред основаны на понятиях функции вероятности (пребывания в точке среды частицы первой или второй фазы) и весовой функции (радиус которой определят область осреднения), и на учете микропроцессов, связанных с взаимным сопротивлением движения фаз и эффектами поверхностного натяжения на границах раздела фаз, посредством ряда осредненных параметров, подлежащих определению [Франкль, 1953; Телетов, 1958; Anderson, Jackson, 1967; Soo, 1967; Нигматулин, 1976]. Подход, основанный на применении методов осреднения при построении динамических уравнений, позволяет преобразовать базовые концепции механики движения точки в континуальную модель гетерофазной среды. Одной из проблем методов осреднения является сложность корректной постановки условий на межфазных границах. В работах [Нигматулин, 1976; Drew, 1983; Bedford, Drumheller, 1983] детально разобраны многие вопросы применения методов осреднения, вопросы о необходимости учета эффекта присоединенных масс и о геометрии границ раздела фаз, а так же представлен широкий обзор литературы.

Системы уравнений ряда двухскоростных моделей, построенных с применением методов осреднения, оказываются негиперболическими [Рахматулин, 1956; Крайко, Стернин, 1965], что приводит к некорректности задачи Коши. Применение вариационных методов и метода законов сохранения позволяет естественным образом получать замкнутые модели гетерофазных сред,

характеризуемые гиперболическими системами уравнений в обратимом приближении, и модели, характеризуемые системами уравнений смешанного типа при рассмотрении необратимых процессов.

Идея методов, основанных на вариационном принципе, заключается в минимизации функционала (лагранжиан), как правило, представляющего собой действие по Гамильтону. Основы применения вариационного подхода к описанию сплошных сред детально изложены в монографии В.Л. Бердичевского [Бердичевский, 1983]. Вариационные методы нашли успешное применение при моделировании различных типов гетерофазных сред [Био, 1963; Николаевский и др., 1970; Халатников, Покровский, 1976; Bedford, Drumheller, 1978]. Трудности метода заключаются в выборе лагранжиана из-за невозможности однозначного разбиения энергии гетерофазной системы на кинетическую и внутреннюю вследствие зависимости последней от модуля скорости относительного движения фаз. При этом построение гиперболической системы уравнений возможно, например, на основе обобщенного принципа Гамильтона и требования выпуклости внутренней энергии по искомым переменным [Drumheller, Bedford, 1980; Geurst, 1986; Chen et al., 1995; Гаврилюк, Перепечко, 1998; Gavrilyuk et al., 1998, Gavrilyuk, Saurel, 2002]. Оригинальный подход, развитый в работах [Годунов, Роменский, 1998; Romensky, 2001], позволяет получить термодинамически согласованные системы уравнений, представимые в виде гиперболической системы законов сохранения. Основная идея состоит в том, чтобы представить систему гиперболических законов сохранения в терминах производящего потенциала. В работах [Romensky, 1998; Romenski, Toro, 2004; Romenski et al., 2007] были получены консервативные модели двухфазных сред с одним давлением, модели течений многофазных сред, в том числе и в деформируемых пористых средах [Роменский, 2011]. Особенностью полученных моделей является дивергентный вид обратимых уравнений и, как следствие, потенциальность поля относительных скоростей движения фаз.

Подход к моделированию гетерофазных сред, основанный на методе законов сохранения, использует самосогласованное определение сил и потоков,

развитое Л.Д. Ландау при описании двухскоростной гидродинамики сверхтекучего гелия [Ландау, 1941; Халатников, 1971]. При использовании метода законов сохранения достаточно предполагать выполнение только фундаментальных физических принципов: законов сохранения, первых начал термодинамики, групповой инвариантности уравнений. В случае рассмотрения необратимых процессов производство энтропии в системе описывается диссипативной функцией, вид которой определяется согласно общим принципам линейной термодинамики необратимых процессов [Де-Гроот, Мазур, 1964]. Построение термодинамически согласованной теории классических двухфазных сред, которая удовлетворяет законам сохранения массы, импульса, энергии и отвечает требованиям галилеевой инвариантности, было предложено в работах P.H. Roberts и D.E. Loper [Roberts, Loper 1987] и В.Н. Доровского [Доровский, 1989]. Детальное изложение вывода обобщенных уравнений двухскоростных моделей двухфазных сред и их термодинамического анализа, схемы построения всех необходимых замыкающих соотношений, примеры приложений и исследование математических свойств результирующих систем уравнений содержатся в работах [Перепечко, 1992; Блохин, Доровский, 1994; Dorovsky, 1995; Доровский, Перепечко, 1996].

Для большинства двухскоростных моделей двухфазных сред неизвестны аналитические решения результирующих систем управляющих дифференциальных уравнений. В том числе, неизвестны аналитические решения нелинейных систем управляющих уравнений математических моделей, исследуемых в настоящей работе. Однако были разработаны и успешно применяются разнообразные методы численного анализа, в том числе, реализованные в различных комплексах вычислительных программ (КП). Начиная с классических работ [Harlow, Amsden, 1974; Stewart, Wendroff, 1984], где изложен ряд базовых соображений, и в последующих исследованиях для численного анализа двухскоростных моделей были использованы все основные методы численного интегрирования: конечноразностные методы (применялись только на начальном этапе); метод контрольного объема (МКО), который получил

в настоящее время самое широкое распространение; метод конечных элементов (МКЭ) в численном анализе двухскоростных моделей распространен в значительно меньшей степени. Применение МКЭ ограничивается несжимаемыми равновесными по давлению моделями. Получены численные решения стационарных уравнений двухскоростной модели, включающей турбулентный тензор напряжений, МКЭ с применением метода штрафных функций [Lee, Chang, 1991], а так же нестационарных уравнений с применением противопоточного МКЭ [Uchiyama, 1999]. Был проведен численный анализ двухскоростной модели, включающей расширенное определение тензора напряжений твердой фазы смешанным МКЭ и МКО с использованием метода проекционного типа коррекции давления [Pain et al., 2001], а так же равновесной по давлению модели, дополненной уравнением для общего давления, с использованием расширенного стабилизированного МКЭ (PSPG-SUPG) [Giordano, 2006].

Базовые принципы наиболее распространенного в численном моделировании двухфазных сред метода контрольного объема наиболее полно были введены в работах А.А. Самарского (интегро-интерполяционный метод) [Самарский, 1971], S.V. Patankar и D.B. Spalding [Patankar, Spalding, 1972]. Дальнейшие модификации МКО преимущественно были связанны с интеграцией МКО и других методов численного интегрирования, с развитием техник построения сеток контрольных объемов (КО) либо с внедрением различных схем расчета потоков зависимых переменных на гранях КО [Baliga, Patankar, 1980; Taniguchi, Kobayashi, 1991; Li et al. 2003; Смирнов, Зайцев, 2004; Lo, Chen, 2009]. Исчерпывающие обзоры литературы и описание развития метода можно найти в работах [Патанкар, 1984; Флетчер, 1988; Versteeg, Malalasekera, 1995; Date, 2005]. Схемы, построенные с применением МКО, можно формально разделить на две группы: схемы, основанные на расчете плотности [Годунов, 1976] с явной аппроксимацией по времени, используемые, как правило, при расчетах быстрых процессов; схемы, основанные на расчете давления [Патанкар, 1984], частично либо полностью неявные по времени.

Базовый вариант схемы Годунова для численной реализации консервативной равновесной по давлению двухскоростной модели рассмотрен в работе A. Minato и R. Kavabe [Minato, Kavabe, 1988]. В дальнейшем, были численно реализованы равновесные по давлению неизотермические двухскоростные модели с дополнительными членами различной природы (виртуальные силы, регуляризующие слагаемые) для гиперболизации систем управляющих уравнений с применением схемы с расщеплением Годуновского типа с вариантом схемы Роу либо схемой AUSM+ приближенного решения задачи Римана [Toumi, Kumbaro, 1995; Paillere et al., 2002; Morin et al., 2013]. Проведены аппроксимация уравнений неравновесной по давлению модели с применением схемы с дробным шагом Годуновского типа с вариантом схемы Роу приближенного решения задачи Римана [Coquel, 1996], а так же уравнений равновесной и неравновесной по давлению изотермической модели с применением схемы с дробным шагом и метода MUSTA со схемой FORCE [Munkejord, 2010]. Неравновесные по давлению и температуре неизотермические двухскоростные модели с релаксациями, дополненные уравнением эволюции коэффициента объемной доли, численно реализованы расщеплением на гиперболическую и релаксационную часть: с применением схем типа Годунова и методов HLL либо HLLC решения задачи Римана и варианта метода Эйлера для расчета релаксационной части [Saurel, Abgrall, 1999; Gavrilyuk, Saurel, 2001; Иванов, 2009; Иванов, Крюков, 2012]; а так же с применением схемы Русанова или схемы Годунова с методом VFRoe-ncv приближенного решения задачи Римана и метода дробного шага для расчета релаксационной части [Gallouet, 2004]. Для нелинейной системы уравнений двухскоростной неравновесной по давлению модели насыщенной пористой среды, являющейся частным случаем модели [Доровский, 1989] (где в агрегат второго давления преобразуется метрический тензор, описывающий деформации во вмещающем пористом остове) в работах [Доровский и др., 1993; Доровский, Перепечко, 1996] была предложена схема численного анализа на основе модифицированного метода Годунова первого порядка точности [Роменский, 1990], с расщеплением на гиперболическую и параболическую часть [Перепечко,

1992], в рамках использования которой накладывается ограничение на расчетный шаг по времени.

Возможность избавиться от жестких ограничений на шаг по времени дает построение посредством МКО частично либо полностью неявных схем по времени, основанных на расчете давления, включающих коррекцию полей давления и скоростей. В монографии С.В. Патанкара [Патанкар, 1984] подробно изложен базовый вариант процедуры SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations). Дальнейшее развитие процедур семейства SIMPLE касалось, в основном, улучшения показателей сходимости посредством различных приемов учета влияния соседних узлов, вычислением подходящих параметров нижней релаксации и другими способами [Moukalled, Darwish, 2000; Darwish et al., 2004]. Применение SIMPLE-подобных процедур в рамках двухскоростных гидродинамических построений в основном ограничивается равновесными по давлению моделями. В книге G.H. Yeoh и J. Tu [Yeoh, Tu, 2009] дан обзор основополагающих работ и изложение базовых аспектов применения МКО при численной реализации различных двухскоростных моделей, где детально рассмотрена техника построения семейства процедур IPSA (Inter-Phase Slip Algorithm) для равновесных по давлению моделей, особенностью которых является использование общего уравнения неразрывности двухфазной среды при выводе уравнения для поправки давления. Показана устойчивость процедуры IPSA разложением Фурье в широких пределах расчетных параметров [Miller, Miller, 2003]. Для записанной в общем виде системы уравнений неизотермической равновесной по давлению двухскоростной модели были предложены способы непосредственного применения различных SIMPLE-подобных процедур (SIMPLE, SIMPLEST, PISO, SIMPLEX), а так же адаптированная процедура IPSA [Darwish, 2001]. Для систем уравнений равновесных по давлению моделей, в том числе, учитывающих турбулентные эффекты, построены SIMPLE-подобные процедуры с противопоточной схемой второго порядка [Moukalled et al., 2003], процедура PC-SIMPLE (в целом аналогичная IPSA) со схемой третьего порядка SMART [Cokljat et al., 2006], процедура IPSA с противопоточной схемой и

схемами более высоких порядков для расчета потоков на гранях КО [Moralez-Ruiz et al., 2012]. Примеров модификаций SIMPLE для численной реализации неравновесных по давлению термодинамически согласованных двухскоростных моделей [Доровский, 1989; Блохин, Доровский, 1994] автору неизвестно.

В контексте численной реализации двухскоростных моделей двухфазных сред возможно применение разнообразных схем для расчета потоков на гранях КО [Moukalled et al., 2003; Cokljat et al., 2006; Moralez-Ruiz et al., 2012]. Выбор схемы определяется требуемой точностью решения рассматриваемых задач и характером исследуемых течений. Установлено [Allen, Sauthwell, 1955; Runchal, Wolfstein, 1969; Raithby, 1976; Castro, 1979], что схемы первого порядка обладают высокой схемной вязкостью, вносят существенную ошибку в численные результаты и искажают амплитудные характеристики при использовании грубых сеток. Однако результаты сравнительного анализа показывают сохранение при этом качественных и, при определенных условиях, количественных оценок поведения численного решения гидродинамических задач [Raithby, 1976; Leonard, 1979; Патанкар, 1984; Shyy, 1985; Tamamidis, 1993; Papadakis, 1995]. Применение линейных схем повышенного порядка точности приводит к появлению осциллирующих решений в областях высоких градиентов [Forester, 1977; Patankar, 1985; Tamamidis, 1993; Papadakis, 1995]. Противопоточная схема первого порядка лишена этого недостатка и обеспечивает гладкость получаемых результатов. Однако при повышенных требованиях к точности предпочтительным является использование смешанных или коррекционных нелинейных схем, удовлетворяющих условиям ограниченности (CBC, TVD и т. д.), высокой разрешающей способности [Van Leer, 1974; Sveby, 1984; Zhu, Leschziner, 1988; Gaskell, Lau, 1988; Zho, 1991; Papadakis, 1995; Lin, Lin, 1997; Волков, 2004; Ferreira et al., 2009; Gao et al., 2012; Wang et al., 2014].

Для аппроксимации слагаемого, описывающего межфазное взаимодействие и включающего разность скоростей фаз в уравнениях движения, в контексте использования МКО и адаптированных SIMLE-подобных процедур, при численной реализации двухскоростных моделей, возможны различные варианты

аппроксимации: явная, полунеявная, PEA, SINCE схемы, влияние использования которых на сходимость алгоритма зависит от расчетных параметров [Oliveira, Issa, 1994; Darwish, 2001; Yeoh, Tu, 2009]. Немаловажным является вопрос об учете сжимаемости фаз при построении вычислительного алгоритма. Приложениями исследуемых в работе двухскоростных моделей являются расчеты гидродинамики двухфазных систем в экстремальных условиях и моделирование импульсных воздействий различного характера. Сжимаемость среды играет ключевую роль в указанных процессах. Кроме того, при построении SIMPLE-подобных процедур без учета сжимаемости в условиях, когда зависимость плотности от давления является существенной, появляется большая вероятность получить расходящееся решение [Патанкар, 1984]. Техники учета сжимаемости при построении различных вариантов SIMLE нашли успешное применение при численной реализации моделей как однофазных, так и двухфазных сред [Issa, 1984; Karki, Patankar, 1989; Demirzdic, 1993; Moukalled, Darwish, 2000; Darwish, 2001; Darwish et al., 2004].

Завершающим этапом построения вычислительного алгоритма является выбор метода приближенного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), являющихся результатом дискретизации управляющих уравнений (в том числе, СЛАУ поправочного уравнения для давления в случае использования SIMPLE-подобной процедуры), которые представляют собой системы с сильно разреженными матрицами диагональной структуры. При работе с такими СЛАУ наиболее распространено использование итерационных методов с применением различных схем упаковки матриц для экономии машинной памяти [Марчук, 1977; Duff, 1977; Saad, 2000]. Наиболее простым и достаточно эффективным является метод переменных направлений [Патанкар, 1984], представляющий из себя комбинацию метода Гаусса-Зейделя и метода трехдиагональной прогонки. Большой популярностью пользуются методы Крыловского типа (LSQR [Paige, Saunders, 1982; Arridge et al., 2013], GMRES [Saad, Shultz, 1986; Sosonkina et al., 1989; Баландин, Шурина, 2000]) и различные варианты метода сопряженных градиентов [Hestenes, Stiefel, 1952; Бахвалов, 1975;

Sonnefeld, 1989]. Итерационные методы при работе со СЛАУ коррекции давления зачастую приводят к расходимости, если не используется предобуславливание. Альтернативой является применение специально оптимизированных для разреженных матриц прямых методов [Hood, 1976; Eisenstat et al., 1981; Varah, 1981; Saad, 2000], в том числе, реализованных в популярных решателях СЛАУ с большими разреженными матрицами: LSLXG в составе библиотеки IMSL; PARDISO в составе библиотеки IMKL [Shenk, Gartner, 2004; Kuzmin et al., 2013].

К настоящему моменту развитие качественного и количественного описания фазовых взаимодействий флюид-порода при изменении температуры и давления в литосфере и земной коре прошло путь от решения задачи изотермической фильтрации [Полубаринова-Кочина, 1969] и одномерных задач динамики метасоматических процессов [Голубев, 1981] до создания КП, описывающих многомерные процессы массообмена с учетом изменения пористости и проницаемости в процессе реактивных физико-химических взаимодействий [Xu, Pruess, 2001; Kuhn et al., 2003; Parkust, Tngergaard, 2005; Yasuhara, Elsworth, 2006]. Однако используемое приближение Дарси [Darcy, 1856] не учитывает динамических эффектов, возникающих в твердой фазе, и термодинамического вклада межфазного взаимодействия, а по диапазону изменения температур указанные разработки не выходят за пределы критической точки воды. При рассмотрении фильтрации литосферных флюидов в глубинных литосферных проницаемых зонах, когда в процессе тепломассообмена достигаются температуры плавления горных пород, и нет экспериментальных данных о кинетике и геохимических характеристиках фазовых взаимодействий, применение этих подходов затруднительно. Кроме того, возникает необходимость в учете таких явлений как плавление, кипение, конденсация, в рассмотрении специфических аспектов многоскоростной гидродинамики гетерофазных сред [Шарапов и др., 2000; Шарапов и др., 2007], а так же в использовании методов минимизации термодинамических потенциалов при описании физико-химических взаимодействий флюид-порода [Karpov et al., 1997; Чудненко, 2010; Бессонова и др., 2010]. Полученные с применением последнего подхода результаты описания

малоглубинных проницаемых зон коровых вулканогенных флюидных систем [Sharapov et. al., 2012] так же ограничены использованием приближения Дарси [Шарапов и др., 2009]. Полностью двумерная модель [Шарапов и др., 2007; Шарапов и др., 2009], вариант модели [Доровский, 1989], для численного анализа которой применяется метод Годунова, не используется для решения прикладных задач в силу ограничений на шаг по времени. Актуальными являются: гидродинамическое моделирование описанных геодинамических процессов с использованием двухскоростных моделей, численная реализация которых позволит проводить расчеты в рамках геологических пространственных и временных масштабов; геохимический анализ взаимодействий флюид-порода в литосферных проницаемых зонах на основе полученных в результате гидродинамического моделирования параметров состояния среды.

Перспективными являются исследования влияния импульсного воздействия на режимы гидродинамических процессов в гетерофазных средах. Необходимость в таких исследованиях выявляется при анализе многих технологических и природных систем. В частности, интерес представляет моделирование эволюции флюидных систем литосферы и земной коры при внешнем техногенном или эндогенном импульсном воздействии. Исследования в данной области, известные на текущий момент, в основном, касаются направленного виброакустического воздействия на всю область течения. Базовые идеи математического описания влияния однонаправленного воздействия на фоне свободной конвекции вязкой жидкости в замкнутой области, основанные на специальных техниках осреднения, представлены в работе С.М. Зеньковской и И.Б. Симоненко [Зеньковская, Симоненко, 1966]. Известны результаты рассмотрения вопросов устойчивости свободно-конвективных течений при однонаправленном воздействии для однофазной среды [Гершуни, Жуховицкий, 1979; Гершуни и др., 1989; Gershuni, Lyubimov, 1998] и для смеси жидкостей в рамках односкоростного приближения [Gaponenko et al., 2006], а так же результаты моделирования виброакустического воздействия на свободную конвекцию в пористой среде в рамках односкоростного приближения Дарси-Буссинеска для различных направлений

воздействия [Зеньковская, Роговенко, 1999; Mojtabi, 2004]. Обширный обзор литературы по данной тематике можно найти в работе [Razi et al., 2009]. Исследования, которые проводились бы на базе двухскоростных моделей, автору не известны. Результаты, представленные в литературе, и полученные в рамках односкоростного приближения, предсказывают различное влияние виброакустических колебаний на гидродинамические режимы течений, зависящее от направления воздействия. Актуальным представляется рассмотрение влияния внутреннего малого конечного источника импульсного воздействия на гидродинамические процессы в двухфазных средах в рамках двухскоростных гидродинамических моделей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сорокин Константин Эдуардович, 2016 год

Литература

1. Баландин, М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности / М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. - Новосибирск: Издательство НГТУ, 2000.

2. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 1975.

3. Бердичевский, В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В.Л. Бердичевский. - М.: Наука, 1983.

4. Бессонова, Е.П. Новые возможности модели тепловой и физико-химической динамики для описания вулканогенных эпитермальных месторождений (на примере Авачинского месторождения, Камчатка) / Е.П. Бессонова, В.Н. Шарапов, К.В. Чудненко, В.К. Черепанова // Доклады РАН. - 2010. - Т. 431. -№ 4. - С. 521-525.

5. Био, М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде / М.А. Био // Механика: Сб. пер. и обзор иностр. литер. -1963. - № 6. - С. 103-134.

6. Блохин, А.М. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума / А.М. Блохин, В.Н. Доровский. -Новосибирск, 1994.

7. Бруяцкий, Е.В. Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович, Н.В. Розумнюк // Прикладная гидромеханика. - 2008. - Т. 10. - № 2. - с. 13 - 23.

8. Волков К.Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях Навье-Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способности / К.Н. Волков // Вычислительные методы и программирование. - 2004. - Т. 5. - С. 129-145.

9. Воюцкий С.С. Курс коллоидной химии / С.С. Воюцкий. - М.: Химия, 1976.

10. Гаврилюк С.Л., Перепечко Ю.В. Вариационный подход к построению гиперболических моделей двухскоростных сред // С.Л. Гаврилюк, Ю.В.

Перепечко // Прикладная механика и теоретическая физика. - 1998. - Т. 39. -№5. - С. 39-54.

11. Гершуни, Г.З. Свободная тепловая конвекция в вибрационном поле в условии невесомости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий // Доклады Академии наук СССР. - 1979. - Т. 249. - С. 580.

12. Гершуни, Г.З. Устойчивость конвективных течений / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А.А. Непомнящий. - М.: Наука, 1989.

13. Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1976.

14. Годунов, С.К. Элементы механики сплошной среды / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1978.

15. Годунов С.К. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / С.К. Годунов, Е.И. Роменский. - М.: Научная книга, 1998.

16. Голубев, В.С. Динамика геохимических процессов / В.С. Голубев. - М.: Недра, 1981.

17. Горелик, А. М. Программирование на современном Фортране / А.М. Горелик. - М.: «Финансы и статистика», 2006.

18. Де-Гроот, С. Неравновесная термодинамика / С. Де-Гроот, П. Мазур. - М.: Наука, 1970.

19. Доровский, В.Н. Континуальная теория фильтрации / В.Н. Доровский // Геология и геофизика. - 1989. - №7. - С. 39-45.

20. Доровский, В.Н. Феноменологическое описание двухскоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями / В.Н. Доровский, Ю.В. Перепечко // Прикладная математика и техническая физика. - 1992. - № 3. -С. 99-110.

21. Доровский, В.Н. Волновые процессы в насыщенных пористых упругодеформируемых средах / В.Н. Доровский, Ю.В. Перепечко, Е.И. Роменский // Физика горения и взрыва. - 1993. - №1. - C. 99-110.

22. Доровский, В.Н. Гидродинамическая модель раствора в трещиновато-пористых средах / В.Н. Доровский, Ю.В. Перепечко // Геология и геофизика.

- 1996. - Т. 37. - № 9. - С. 123-134.

23. Зеньковская, С.М. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции / С.М. Зеньковская, И.Б. Симоненко // Механика жидкости и газа.

- 1966. - № 4. - С. 51-55.

24. Зеньковская, С.М. Фильтрационная конвекция в высокочастотном вибрационном поле / С.М. Зеньковская, Т.Н. Роговенко // ПМТФ. - 1999. - Т. 40 - № 3. - С. 22-30.

25. Иванов, И.Э. Численное моделирование многофазных течений с большим содержанием дисперсной фазы / И.Э. Иванов // Вестник МАИ. - 2009. - Т. 16. - №2. - С. 62-69.

26. Иванов, И.Э. Численный алгоритм моделирования двухфазных течений, содержащих границы раздела фаз [электронный ресурс] / И.Э. Иванов, И.А. Крюков // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2012. - Режим доступа: http://chemphys.edu.ru/article/365/ (дата обращения: 13.06.2014).

27. Крайко, А.Н. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами / А.Н. Крайко, Л.Е. Стернин // Прикладная математика и механика. - 1965. - Т. 29. - № 3. - С. 418-429.

28. Кутателадзе, С.С. Гидродинамика газожидкостных систем / С.С. Кутателадзе, М.А. Стырикович. - М.: Энергия, 1976. - 296 с.

29. Кучер, Н.А. Краевые задачи механики смесей жидкостей Ч. 1 / Н.А. Кучер, Д.А. Прокудин. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2010.

30. Ландау, Л.Д. Теория сверхтекучести гелия II / Л.Д. Ландау // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1941. - Т. 11. - С. 592.

31. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1988.

32. Ляхов, Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах / Г.М. Ляхов // Известия АН СССР: Механика и машиностроение. - 1959. - №1. - С. 239248.

33. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1977.

34. Накоряков, В.Е. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред / В.Е. Накоряков, Б.Г. Покусаев, И.Р. Шрейбер. - М.: Энергоатомиздат, 1990.

35. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р. И. Нигматулин. -М.: Наука, 1978.

36. Николаевский, В.Н. Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.Л. Зотов. - М.: Недра, 1970.

37. Патанкар, С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С.В. Патанкар. - М.: Энергоиздат, 1984.

38. Паттерман, С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости / С. Паттерман. - М.: Мир, 1978.

39. Перепечко, Ю.В. Континуальные модели насыщенных двухскоростных сред: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.16. - Новосибирск, 1992.

40. Перепечко, Ю.В. Двухскоростная динамика сжимаемых гетерофазных сред / Ю.В. Перепечко, К.Э. Сорокин // Естественные и технические науки. - 2012. - № 5. - С. 40-48.

41. Перепечко, Ю.В. Влияние акустических колебаний на конвекцию в сжимаемой двухжидкостной среде / Ю.В. Перепечко, К.Э. Сорокин, Х.Х. Имомназаров // Современные проблемы механики сплошной среды: сборник трудов XVII Международной конференции. - Ростов-на-Дону, 2014. - Т. 2. -C. 166-169.

42. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Гостехиздат, 1952.

43. Полубаринова-Кочина, П.Я. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР / В.И. Аравин, А.В. Афанасьева, В.Д. Бабушкин, С.Н. Бузинов, Н.Н. Веригин, О.В. Голубева, В.Л. Данилов, Е.С. Дзекцер, В.М. Ентов, Ю.К. Зарецкии, П.Л. Иванов, Н.Б. Ильинский, С.В. Кузнецов, С.А. Кундин, А.К. Курбанов, Е.А. Лубочков, М.В. Малышев, Е.М. Минский, В.Н. Николаевский, С.Н. Нумеров, Л.Н. Павловская, В.И. Пеньковский, Г.Н.

Положий, П.Я. Полубаринова-Кочина, В.Г. Пряжинская, М.Д. Розенберг, Л.И. Рубинштейн, С.Т. Рыбакова, В.М. Рыжик, В.С. Саркисян, Ю.И. Стклянин, А.В. Стулькевич, В.А. Томельгас, М.В. Филинов, П.Ф. Фильчаков, Н.В. Хуснутдинова, И.А. Чарный, Р.Р. Чугаев, В.Е. Шаманский, М.И. Швидлер, Б.С. Шержуков, В.М. Шестаков, Ю.М. Шехтман, В.Н. Эмих. - М.: Наука, 1969.

44. Роменский, Е.И. Метод расчета двумерных динамических уравнений нелинейной упругопластической среды Максвелла / Е.И. Роменский // Труды Института Математики Новосибирск. - 1990. - Т. 18. - С. 83-100.

45. Роменский, Е.И. Термодинамически согласованная система законов сохранения течения сжимаемой жидкости в пористой упругой среде / Е.И. Роменский // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2011. - Т. 14. - № 4 (48). - С. 86-97.

46. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1971.

47. Смирнов, Е.М. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии / Е.М. Смирнов, Д.К. Зайцев // Научно-технические ведомости СПбГТУ. - 2004. -№ 2. - C. 70-81.

48. Сорокин, К.Э. Численное моделирование свободной конвекции в вязкой сжимаемой жидкости / К.Э. Сорокин // Труды конференции Молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. - Новосибирск, 2011. - C. 86-95.

49. Сорокин, К.Э. Конвекция в двухфазной сжимаемой среде в акустическом поле / К.Э. Сорокин, Ю.В. Перепечко // Естественные и технические науки. -2014. - № 9. - C. 40-46.

50. Суров, В.С. К расчету ударно-волновых процессов в пузырьковых жидкостях / В.С. Суров // Журнал технической физики. - 1998. - Т. 68. - №11. - С. 1219.

51. Суров, В.С. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром / В.С. Суров // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. - № 6. - С. 1111-1125.

52. Телетов, С.Г. Вопросы гидродинамики двухфазных смесей / С.Г. Телетов // Вестник МГУ. Серия математики. - 1958. - №2. - С. 15-27.

53. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер. -М.:Мир, 1988.

54. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флетчер. -М.:Мир, 1991.

55. Франкль, Ф.И. К теории движения взвешенных наносов / Ф.И. Франкль // Доклады Академии наук СССР. - 1953. - Т. 92. - № 2. - С. 247-250.

56. Халатников, И. М. Теория сверхтекучести / И. М. Халатников. - Москва: Наука, 1971.

57. Халатников, И.М. Гамильтонов формализм в классической и двухжидкостной гидродинамике / И.М. Халатников, В.Н. Покровский // Письма в ЖЭТФ. - 1976. - Т. 23. - Вып. 11. - С. 653-656.

58. Чудненко, К.В. Термодинамическое моделирование в геохимии: теория, алгоритмы, программное обеспечение, приложения / К.В. Чудненко. -Новосибирск: Академическое издательство «Гео», 2010.

59. Шарапов, В.Н. Геокатализ и эволюция мантийно-коровых магматогенных флюидных систем / В.Н. Шарапов, К.Г. Ионе, М.П. Мазуров, В.М. Мысов, Ю.В. Перепечко. - Новосибирск: Гео, 2007.

60. Шарапов, В.Н. Модельный анализ развития континентальных мантийно-коровых рудообразующих систем / В.Н. Шарапов, А.С. Борисенко, М.П. Мазуров, Ю.В. Перепечко, А.Н. Черепанов, Е.П. Бессонова, Г.Г. Павлова, А.А. Боровиков, Л.М. Житова, В.А. Пономарчук, В.Н. Попов, В.К. Черепанова, К.В Чудненко. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2009.

61. Allen, D.N. de G. Relaxation methods applied to determine the motion in two dimensions of a viscous fluid past a fixed cylinder / D.N. de G. Allen, R.V.

Sauthwell // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. -1955. - Vol. 8. - P. 129-145.

62. Anderson, T. B. A fluid mechanical description of fluidized beds / T. B. Anderson, R. Jackson // Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals. - 1967. - Vol. 6.

- P. 527-539.

63. Arridge S.R. A priorconditioned LSQR algorithm for linear ill-posed problems with edge-preserving regularization [электронный ресурс] / S.R. Arridge, M.M. Betcke, L. Harhanen // arXiv.org, 2013. - Режим доступа: http: //arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1308/1308.6634. pdf (дата обращения: 5.03.2015).

64. Baliga, B.R. A New Finite-Element Formulation for Convection-Diffusion Problems / B.R. Baliga, S.V. Patankar // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. - 1980. - Vol. 16. - P. 393-409.

65. Bedford, A. A variational theory of immiscible mixture / A. Bedford, D.S. Drumheller // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1978. - Vol. 68. -P. 37-51.

66. Bedford, A. Recent advances: theories of immiscible and structured mixtures / A. Bedford, D.S. Drumheller // International Journal of Engineering Science. - 1983.

- Vol. 21. - P. 863-960.

67. Castro, I.P. Numerical difficulties in the calculation of complex turbulent flows in "Turbulent Shear Flows I" / I.P. Castro. - Berlin: Springer-Verlag, 1979.

68. Chen, J.R. Modelling of two-phase blowdown from pipelines - I. A hyperbolic model based on variational principles / J.R. Chen, S.M. Richardson, G. Saville // Chemical Engineering Science. - 1995. - Vol. 50. - No. 4. - P. 695-713.

69. Cokljat, D. Reynolds-Stress Model for Eulerian multiphase / D. Cokljat, M. Slack, S.A. Vasquez, A. Bakker, G. Montante // Progress in Computational Fluid Dynamics. - 2006. - Vol. 6. - P. 168-178.

70. Coquel, F. A Numerical Method Using Upwind Schemes for the Resolution of Two-Phase Flows / F. Coquel, K.El. Amine, E. Godlewski, B. Perthame, P. Rascle // Journal of Computational Physics. - 1996. - Vol. 136. - P. 272-288.

71. Date, A.W. Introduction to Computational Fluid Dynamic / A.W. Date. - New York: Cambridge university press, 2005.

72. Darcy, H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon / H. Darcy. - Paris: V. Dalmont, 1856.

73. Darwish, M. A unified formulation of the segregated class of algorithms for multifluid flow at all speeds / M. Darwish, F. Moukalled // Numerical Heat Transfer, Part B. - 2001. - Vol. 40. - P. 99-137.

74. Darwish, M. A comparative assessment within a multigrid environment of segregated pressure-based algorithms for fluid flow at all speeds / M. Darwish, D. Asmar, F. Moukalled // Numerical Heat Transfer, Part B. - 2003. - Vol. 45. - P. 49-74.

75. Demirdzic, I. A collocated finite volume method for predicting flows at all speeds / I. Demirdzic, Z. Lilek, M. Peric // International Journal For Numerical Methods In Fluids. - 1993. - Vol. 16. - P. 1029-1050.

76. Dorovsky, V. A mathematical model for the movement of a conducting liquid through a conducting porous medium / V. Dorovsky, Kh. Imomnazarov // Mathematical and Computer Modelling. - 1994. - Vol. 20. - P. 91-97.

77. Dorovsky, V.N. Mathematical Models of Two-Velocity Media / V.N. Dorovsky // Mathematical and Computer Modelling. - 1995. - Vol. 21. - No. 7. - P. 17-28.

78. Dorovsky, V.N. The Hydrodynamics of Particles Suspended in a Melt with the Self-Consistent Concentration Field of an Admixture (Part I) / V.N. Dorovsky // Computers & Mathematics with Applications. - 1998. - Vol. 35. - No. 11. - P. 2737.

79. Drew, D.A. Mathematical Modeling of Two-Phase Flow / D.A. Drew // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1983. - Vol. 15. - P. 261-291.

80. Drumheller, D.S. A thermomechanical theory for reacting immiscible mixtures / D.S. Drumheller, A. Bedford // Archive for Rational Mechanics and Analysis. -1980. - Vol. 73. - P. 257-284.

81. Duff, I.S. A Survey of sparse matrix research / I.S. Duff // Proceedings of the IEEE. - 1977. - Vol. 65. - No. 4 - P. 500-535.

82. Eisenstat, S.C. Algorithms and data structures for sparse symmetric gaussian elimination / S.C. Eisenstat, M.H. Schultz, A.H. Sherman // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. - 1981. - Vol. 2. - No. 2. - P. 225-237.

83. Ferreira, V.G. Assessment of a high-order finite difference upwind scheme for the simulation of convection-diffusion problems / V.G. Ferreira, F.A. Kurokawa, R.A.B. Queiroz, M.K. Kaibara, C.M. Oishi, J.A. Cuminato, A. Castelo, M.F. Tome, S. McKee // International Journal For Numerical Methods In Fluids. - 2009.

- Vol. 60. - P. 1-26.

84. Fick, A. Ueber diffusion / A. Fick // Annals of Physics. - 1855. - Vol. 94. - P. 5986.

85. Forester, C.K. Higher order monotonic convective difference schemes / C.K. Forester // Journal of computational physics. - 1977. - Vol. 23. - P. 1-22.

86. Gallouet, T. Numerical modeling of two-phase flows using the two-fluid two-pressure approach / T. Gallouet, J.-M. Herard, N. Seguin // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2004. - Vol. 14. - No. 5. - P. 663-700.

87. Gao, W. An oscillation-free high order TVD/CBC-based upwind scheme for convection discretization / W. Gao, H. Li, Y. Liu, Y. Jian // Numerical Algorithms.

- 2012. - Vol. 59. - P. 29-50.

88. Gaponenko, Yu.A. Effect of high-frequency vibration on convection in miscible fluids / Yu.A. Gaponenko, V.A. Volpert, S.M. Zen'kovskaya, D.A. Pojman // -Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2006. - Vol. 47. - No. 2. -P. 190-198.

89. Gaskell, P.H. Curvature-compensated convective transport: SMART, a new boundedness preserving transport algorithm / P.H. Gaskell, A.K.C. Lau // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 1988. - Vol. 8. - P. 617641.

90. Gavrilyuk, S.L. Hyperbolic Models of Homogeneous Two-Fluid Mixtures / S.L. Gavrilyuk, H. Gouin, Yu.V. Perepechko // Meccanica. - 1998. - Vol. 33. - P. 161175.

91. Gavrilyuk, S.L. Mathematical and numerical modeling of two-phase compressible flows with microinertia / S.L. Gavrilyuk, R. Saurel // Journal of Computational Physics. - 2002. - Vol. 175. - P. 326-360.

92. Gershuni, G.Z. Thermal Vibrational Convection / G.Z. Gershuni, D.U. Lyubimov.

- New York: Wiley, 1998.

93. Geurst, J.A. Variational principles and two-fluid hydrodynamics of bubbly liquid gas mixtures / J.A. Geurst // Physica. A. - 1986. - Vol. 135A. - P. 455-486.

94. Giordano, M. A parallel finite element method for two-phase flows [Электронный ресурс] / M. Giordano, A. Bonfiglioli, V. Magi // Proceedings of European Conference on Computational Fluid Dynamics (ECCOMAS CFD), Egmond aan Zee, The Netherlands, September 5-8. - 2006. - Режим доступа: http://proceedings.fyper.com/eccomascfd2006/documents/209.pdf (дата обращения: 04.02.2015).

95. Harlow, F.H. Numerical calculation of multiphase flow / F.H. Harlow, A.A. Amsden // Journal of computational physics. - 1975. - Vol. 17. - P. 19-52.

96. Hayase T. A consistently formulated QUICK scheme for fast and stable convergence using finite-volume iterative calculation procedure / T. Hayase, J.A.C. Humphrey, R. Greif // Journal of computational physics. - 1992. - Vol. 98.

- P. 108-118.

97. Hestenes, M.R. Methods of conjugate gradients for solving linear systems / M.R. Hestenes, E. Stiefel // Journal of Research of the National Bureau of Standards. -1952. - Vol. 49. - No. 6. - P. 409-436.

98. Hood, P. Frontal solution program for unsymmetric matrices / P. Hood // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1976. - Vol. 10. -P. 379-399.

99. Karika, K.C. Pressure Based Calculation Procedure for Viscous Flows at All Speeds in Arbitrary Configurations / K.C. Karika, S.V. Patankar // AIAA Journal.

- 1989. - Vol. 27. - No. 9. - P. 1167-1174.

100. Karpov, I.K. Modeling chemical mass transfer in geochemical process: thermodynamic relations, conditions of equilibria, and numerical algorithms / I.K.

Karpov, K.V. Chudneneko, D.A. Kulik // American Journal of Science. - 1997. -Vol. 297. - P. 767-806.

101. Kuzmin, A. Fast methods for computing selected elements of the Greens function in massively parallel nanoelectronic device simulations / A. Kuzmin, M. Luisier, O. Schenk // Euro-Par 2013 Parallel Processing, Lecture Notes in Computer Science. - 2013. - Vol. 8097. - P. 533- 544.

102. Lee, G.J. Physical modeling and finite element method for the analysis of lateral phase distribution phenomena / G.J. Lee, S.H. Chang // International Communications in Heat and Mass Transfer. - 1991. - Vol. 18. - P. 333-342.

103. Leonard, B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation / B.P. Leonard // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1979. - Vol. 19. - P. 59-98.

104. Li, B. Control volume function approximation methods and their applications to modeling porous media flow / B. Li, Z. Chen, G. Huan // Advances in Water Resources. - 2003. - Vol. 26. - P. 435-444.

105. Lin, C.H. Simple high-order bounded convection scheme to model discontinuities / C.H. Lin, C.A. Lin // AIAA Journal. - 1997. - Vol. 35. - No. 3. - P. 563-565.

106. Lo, C.Y. Application of Hybrid Differential Transformation-Control Volume Method to Hyperbolic Heat Conduction Problems / C.Y. Lo, B.Y. Chen // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. - 2009. - V. 55. - P. 219-231.

107. Manzari, M.T. An Explicit Finite Element Algorithm for Convective Heat Transfer Problems / M.T. Manzari // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. - 1999. - Vol. 9. - P. 860-877.

108. Massarotti, N. Characteristic-Based-Split (CBS) Algorithm for Incompressible Flow Problems with Heat Transfer // N. Massarotti, P. Nithiarasu, O.C. Zienkiewicz // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. - 1998. - Vol. 8. - P. 969-990.

109. Miller, T.F. A Fourier analysis of the IPSA/PEA algorithms applied to multiphase flows with mass transfer / T.F. Miller, D.J. Miller // Computers & Fluids. - 2003. -Vol. 32. - P. 197-221.

110. Minato, A. Numerical analysis method for two-dimensional two-fluid model using control volume formulation / A. Minato, R. Kavabe // Journal of nuclear science and technology. - 1988. - Vol. 25(12). - P. 901-913.

111. Mojtabi, M.C. Influence of vibration on soret-driven convection in porous media / M.C. Mojtabi, Y.P. Razi, K. Maliwan, A. Mojtabi // - Numerical Heat Transfer, Part A. - 2004. - Vol. 46. - Issue 10. - P. 981-993.

112. Morales-Ruiz, S. Numerical resolution of the liquid-vapour two-phase flow by means of the two-fluid model and a pressure based method / S. Morales-Ruiz, J. Rigola, I. Rodriguez, A. Oliva // International Journal of Multiphase Flow. - 2012.

- Vol. 43. - P. 118-130.

113. Morin, A. A Roe scheme for a compressible six-equation two-fluid model / A. Morin, T. Flatten, S. T. Munkejord // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2013. - Vol. 72. - P. 478-504.

114. Moukalled, F. A pressure-based algorithm for multi-phase flow at all speeds / F. Moukalled, M. Darwish, B. Sekar // Journal of Computational Physics. - 2003. -Vol. 190. - P. 550-571.

115. Moukalled, F. A unified formulation of the segregated class of algorithms for fluid flow at all speeds / F. Moukalled, M. Darwish // Numerical Heat Transfer, Part B.

- 2000. - Vol. 37. - P. 103 -139.

116. Munkejord, S. T. A numerical study of two-fluid Models with pressure and velocity relaxation / S. T. Munkejord // The Advances in Applied Mathematics and Mechanics. - 2010. - Vol. 2. - 131-159.

117. Murray, J.D. Note on the propagation of disturbances in a liquid containing gas bubbles / J.D. Murray // Applied Scientific Research, section A. - 1965. - Vol. 13.

- P. 281-290.

118. Oliveira, P.J. On the numerical treatment of interphase forces in two-phase flow / P.J. Oliveira, R.I. Issa // Numerical Methods in Multiphase Flow. - 1994. - Vol. 185. - P. 131-140.

119. Paige, C.C. LSQR: an algorithm for sparse linear equations and sparse least squares / C.C. Paige, M.A. Saunders // ACM Transactions on mathematical software. - 1982. - Vol. 8. - No. 1. - P. 43-71.

120. Paillere, H. On the extension of the AUSM+ scheme to compressible two-fluid models / H. Paillere a, C. Corre, J.R. Garcia Cascales // Computers & Fluids. -2003. - Vol. 32. - P. 891-916.

121. Pain, C.C. Numerical modelling of gas-solid fluidized beds using the two-fluid approach / C.C. Pain, S. Mansoorzadeh, C.R.E. de Oliveira, A.J. H Goddard // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2001. - Vol. 36. - P. 91124.

122. Papadakis, G. A locally modified second order upwind scheme for convection terms discretization / G. Papadakis, G. Bergeles // International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. - 1995. - Vol. 5. - P. 49-62.

123. Patankar, S.V. A Calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows / S.V. Patankar, D.B. Spalding // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1972. - Vol. 15. - P. 1787-1806.

124. Parkhurst, D.L. PHAST - a program for simulating groundwater flow, solute transport and multicomponent geochemical reactions / D.L. Parkhurst, P. Engesgaard // Goldschmidt Conference Abstracts. - 2005. - P. A156.

125. Perepechko, Yu.V. Two-velocity dynamics of heterophase media / Yu.V. Perepechko, K.E. Sorokin // Journal of Engineering Thermophysics. - 2013. - Vol. 22. - No. 3. - P. 241-246.

126. Raithby, G.D. Skew upstream differencing scheme for problems involving fluid flow / G.D. Raithby // Computer methods in applied mechanics and engineering. -1976. - Vol. 9. - P. 153-164.

127. Raithby, G.D. A critical evaluation of upstream differencing applied to problems involving fluid flow / G.D. Raithby // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1976. - Vol. 9. - P. 75-103.

128. Randall, J.L. Finite volume methods for hyperbolic problems / J.L. Randall. -Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

129. Razi, Y.P. A Summary of New Predictive High Frequency Thermo-Vibrational Models in Porous Media / Y.P. Razi, A. Mojtabi, M.C. Charrier-Mojtabi // Transport in Porous Media. - 2009. - No. 77. - P. 207-228.

130. Roberts, P.H. Dynamical processes in slurries / P.H. Roberts, D.E. Loper // Structure and Dynamics of Partially Solidified Systems, NATO ASI Series. -1987. - Vol. 125. - P. 229-290.

131. Romensky, E.I. Hyperbolic systems of thermodynamically compatible conservation laws in continuum mechanics / E.I. Romensky // Mathematical and Computer Modelling. - 1998. - Vol. 28. - No. 10. - P. 115-130.

132. Romensky, E.I. Thermodynamics and hyperbolic systems of balance laws in continuum mechanics / E.I. Romensky // In: Toro, E.F. (ed.) Godunov Methods: Theory and Applications. - New York: Kluwer Academic/Plenum. - 2001. - P. 745-761.

133. Romenski, E. Hyperbolicity and one-dimensional waves in compressible two-phase flow models / E. Romenski, E.F. Toro // Shock waves. - 2004. - Vol. 13. -P. 473-487.

134. Romenski, E. Conservative hyperbolic formulation for compressible two-phase flow with different phase pressures and temperatures / E. Romenski, A.D. Resnyansky, E.F. Toro // Quarterly of Applied Mathematics. - 2007. - Vol. 65. -No. 2. - P. 259-279.

135. Runchal, A.K. Numerical integration procedure for the steady state Navier-Stokes equations/ A. K. Runchal, M. Wolfshtein // Journal mechanical engineering science. - 1969. - Vol. 11. - No. 5. - P. 445-453.

136. Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems, Second edition [электронный ресурс] / Y. Saad. - Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. -Режим доступа: http: //www-users .cs. umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf (дата обращения: 15.03.2015).

137. Saad, Y. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems / Y. Saad, M.H. Schultz // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. - 1986. - Vol. 7. - No. 3. - P. 856-869.

138. Saurel, R. A multiphase Godunov method for compressible and multiphase flows / R. Saurel, R. Abgrall // Journal of Computational Physics. - 1999. - Vol. 150. - P. 425-467.

139. Schenk, O. Solving unsymmetric sparse systems of linear equations with PARDISO / O. Schenk, K. Gartner // Journal of Future Generation Computer Systems. - 2004. Vol. 20(3). - P. 475-487.

140. Sharapov, V.N. Dynamics of phase fronts in magmagenic fluid in the formation of gold and silver deposits in Southern Kamchatka / V.N. Sharapov, A.S. Lapukhov, B.V. Guzman, V.K. Cherepanova // Russian Geology and Geophysics. - 2012. -Vol. 53. - Is. 9. - P. 837-852.

141. Shyy, W. A study of finite difference approximations to steady-state, convection-dominated flow problems / W. Shyy // Journal of computational physics. - 1985. -Vol. 57. - P. 415-438.

142. Sonneveld, P. CGS, A fast lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems / P. Sonneveld // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1989. -Vol. 10. - No. 1. - P. 36-52.

143. Soo, S.L. Fluid Dynamics of Multiphase Systems / S.L. Soo. - Waltham, Massachusetts: Blaisdell, 1967.

144. Sosonkina, M. A new adaptive GMRES algorithm for achieving high accuracy / M. Sosonkina, L.T. Watson, R.K. Kapania, H.F. Walker // Numerical Linear Algebra with Applications. - 1998. - Vol. 5. - P. 275-297.

145. Stefan, J. Über das Gleichgewicht und Bewegung, insbesondere die Diffusion von Gemischen / J. Stefan // Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 2te Abteilung A. - 1871. - Vol. 63. - P. 63-124.

146. Stewart, B. Two-Phase Flow: Models and Methods / B. Stewart, B. Wendroff // Journal of Computational Physics. - 1984. - Vol. 56. - P. 363-409.

147. Sweby, P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws / P.K. Sweby // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1984. -Vol. 21. - No. 5. - P. 995-1011.

148. Tamamidis, P. Evaluation of various high-order-accuracy schemes with and without flux limiters / P. Tamamidis, D.N. Assanis // International journal for numerical methods in fluids. - 1993. - Vol. 16. - P. 931-948.

149. Taniguchi, N. Finite volume method on the unstructured grid system / N. Taniguchi, T. Kobayashi // Computers & Fluids. - 1991. - Vol. 19. - No 3/4. - P. 287-295.

150. Taylor, G.I. The two coefficients of viscosity for an incompressible fluid containing air bubbles / G.I. Taylor // Proceedings of the Royal Society (London) A226. - 1954. - P. 34-39.

151. Toumi, I. An Approximate Linearized Riemann Solver for a Two-Fluid Model / I. Toumi, A. Kumbaro // Journal Of Computational Physics. - 1996. - Vol. 124. - P. 286-300.

152. Uchiyama, T. Petrov-Galerkin finite element method for gas-liquid two-phase flow based on an incompressible two-fluid model / T. Uchiyama // Nuclear Engineering and Design. - 1999. - Vol. 193. - P. 145-157.

153. Van Leer, B. Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. II. Monotonicity and Conservation Combined in a Second-Order Scheme / B. Van Leer // Journal of computational physics. - 1974. - Vol. 14. - P. 361-370.

154. Varah, J.M. Computational methods in linear algebra / J.M. Varah // Journal of computational physics. - 1984. - Vol. 54. - P. 87-94.

155. Versteeg, H.K. An introduction to computational fluid dynamics. The finite volume method / H.K. Versteeg, W. Malalasekera. - London: Longman Scientific & Technical, 1995.

156. Wackers, J. A fully conservative model for compressible two-fluid flow / J. Wackers, B. Koren // International journal for numerical methods in fluids. - 2005. - Vol. 47. - P. 1337-1343.

157. Wan, D.C. A new benchmark quality solution for the buoyancy-driven cavity by discrete singular convolution // D.C. Wan, B.S.V. Patnaik, and G.W. Wei // Numerical Heat Transfer, Part B. - 2001. - Vol. 40. - P. 199-228.

158. Wang, J.P. Comparison of robustness and efficiency for SIMPLE and CLEAR algorithms with 13 high-resolution convection schemes in compressible flows // J.P. Wang, J.F. Zhang, Z.G. Qu, Y.L. He, W.Q. Tao // Numerical Heat Transfer, Part B. - 2014. - Vol. 66. - P. 133-161.

159. Xu, T. On fluid flow and mineral alteration in fractured caprock of magmatic hydrothermal systems / T. Xu, K. Pruess // Journal of geophysical research. -2001. - Vol. 106. - No. B2. - P. 2121 - 2138.

160. Yasuhara, H. A numerical model simulating reactive transport and evolution of fracture permeability / H. Yasuhara, D. Elsworth // International journal for numerical and analytical methods in geomechanics. - 2006. - Vol. 30. - P. 10391062.

161. Yeoh, G.H. Computational techniques for multi-phase flows / G.H. Yeoh, J. Tu. -Oxford: Butterworth-Heinemann, 2010.

162. Zho, J. A. low-diffusive and oscillation free convection scheme / J. Zho // Communications in applied numerical methods. - 1991. - Vol. 7. - P. 225-232.

A Односкоростная модель

Изложим основные принципы применения метода законов сохранения [Блохин, Доровский, 1994] на примере вывода системы управляющих уравнений нелинейной односкоростной модели вязкой сжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса, дополненные уравнением баланса энтропии и замыкаемые уравнением состояния среды).

Выбор функциональной зависимости внутренней энергии E0 = E0 (p,S) фиксирует

термодинамику однофазной среды. Внутренняя энергия единицы объема определяется первым началом термодинамики:

dE0 = TdS + ¡dp (A.1)

где p - плотность среды, и - химический потенциал, S - энтропия единицы объема, T - температура.

В обратимом приближении должны выполняться законы сохранения массы, энтропии и энергии:

dp + div j = 0, — + div F = 0, — + div Q = 0, (A.2)

dt dt dt

2

• - ~ T- PU T-

где j — pu - плотность импульса, u - скорость жидкости, E = + E0 - полная энергия

единицы объема, F - обратимый поток энтропии, Q - обратимый поток энергии.

В качестве уравнения движения используем уравнение для скорости жидкости:

du

— + (u, V)u = aVp + pVT, (A.3)

dt

движущие силы в котором определяются условиями термодинамического равновесия среды: Vл = 0, VT = 0, u = const. Уравнение (A.3) отражает закон сохранения импульса. Согласование выражения для производной по времени от полной энергии:

dE ( u2 Л dp ^dS ( du

dt

л-

2

T-dt dt

\ 2 j dt dt \

pun

с уравнениями (А.2)-(А.3) в рамках метода законов сохранения однозначно определяет потоки Г, О и давление Р :

F = S j , Q = P

2

u

и +--

2

TV

j + — j , P = -E0 + TS + ¡p, (A.4)

P

$

При этом для коэффициентов а , Р справедливы соотношения 1 + а = 0, Р =--.

Р

Учет диссипативных процессов приводит к появлению дополнительных потоков в уравнениях модели. В уравнении энергии

+ д + ) = 0 (А-5)

поток О определяется формулами (А.4), W - необратимый поток энергии.

В уравнение движения жидкости следует ввести диссипативный поток f :

С

— + (и, V) и = -Ур--УТ + {, (А.6)

а в уравнении на энтропию добавляется диссипативный поток ^ и диссипативная функция Я :

дБ

— + ёгу

дг

+

\Р У

Я

Я . (А.7)

Процедура согласования уравнений (А.5)-(А.7) с первым началом термодинамики (А.1) приводит к определению потока энергии и, согласно теории Онсагера, вида диссипативной

Е Б

функции [Де-Гроот, Мазур, 1964]. Перейдем к величинам е = —, я = — полной энергии и

Р Р

энтропии, отнесенным к единице массы. Уравнения динамики вязкой сжимаемой жидкости с термодинамикой среды, задаваемой зависимостью е = е (р, и, я), в поле силы тяжести имеют вид [Ландау, Лифшиц, 1988; Паттерман, 1978]:

др + ёту (ри ) = 0, (А.8)

1

— + (и, V) и =--УР + f + g,

дг у } р

дя 1 (. 1 Л- С Я

дг р р рТ

где диссипативная функция Я и диссипативные потоки f , ^ определяются соотношениями:

1 ? 1 1

Я = Х- (УТ) +т1, / =1 дк &ил ), /9! =л1 дТ . (А.9)

1

с

2

В уравнениях (А.8)-(А.9): ик =— дкы1 +дгик —5Шё1уи I - тензор скоростей деформации;

2 ^ 3 у

g - ускорение свободного падения. Кинетические коэффициенты сдвиговой вязкости 77 и теплопроводности X среды являются функциями термодинамических параметров. Эффекты объемной вязкости не показаны. Важным свойством модели является необходимое следование закона сохранения энергии из соотношений (А.8).

Уравнения состояния вязкой сжимаемой жидкости, замыкающие динамические уравнения (А.8)-(А.9), приняты в линейном приближении [Годунов, 1978]. Плотность среды и плотность энтропии определяются температурой и давлением:

с 1

др = рат8Р-рРРЗТ, 5s = -£-5Т - — рр8Р. (А.10)

Т Р

где коэффициенты объёмного сжатия ат, теплового расширения РР и удельная теплоемкость с^ должны определяться экспериментально. Коэффициент объемного сжатия связан со скоростью звука в среде с соотношением: а-1 = рс\.

В Обезразмеривание

В1 Односкоростная модель

Полная система управляющих уравнений нелинейной математической модели вязкой сжимаемой жидкости имеет вид:

р ё!У (ри ) = 0 , (В.1)

.Я 1

— + (и, V) и =--УР + { + g,

8? р

88 1 ( . 1 Я

р р рТ

с 1

5р = рат5Р-рРР8Т, 58 = -р 8Т--(Зр8Р, (В.2)

Т р

где:

11 11

Я = Х (УТ)2 +Л<, =15к (щ ), /Ч1 = Х- 8,Т, М1к = ^

А 2 ^ А +8гик -~5гку

Вычислительный алгоритм, реализующий односкоростную модель, строится для упрощенного варианта системы (В.1) - (В.2), где не учитывается слагаемое, определяющее перекрестный эффект сдвиговой вязкости, в выражении для диссипативной функции. Дополнительно, считаются постоянными коэффициенты сдвиговой вязкости ц и теплопроводности X среды. С целью минимизации ошибок машинного округления, применяются две техники обезразмеривания уравнений модели. Выбор техники обезразмеривания для каждого типа рассматриваемых в работе модельных и прикладных задач определяется параметром, определяющим характерное время течения (таблица В.1).

Таблица В.1

Обезразмеривание основных переменных

Переменная Свободная конвекция (температуропроводность: Х) Напорное течение / импульсное воздействие (характерная скорость / скорость звука: и0 / с)

Ах, Ар Дх Ар Т' т х х

Д? Д?Хо Д?и0 Ьх

йгХ , йгу и Ь иуЬх гх х гу х Хо Хо ^ и^ ио ио

р рг Р Рг. Ро ' Ро

Р РЪ Ро%1 Р Роыо2

я яЬх Хо ы1

т т 1 , т0 т - тс То - тс ЛТ ' АТ

£ Ср

«т 2 2 «г РоХо а?р0^0 Ь ' I2 2 2 атРоЫо , аяРоЫо

~рр Рр лт

ь Ы2х Хо ЬЬх ыо

Лг Лг о

К

я

ь ь Хо ь ЫоЬх

ф Ф1х ср

ст, а, а аЬх а1х а4 ст а а

2 , 2 , 2 РоХо РХо РоХо Ро ы24' РоЫ24' Ро ы24

Я и Ь г*а х Хо и ы1

йРо

й2, 1 ^ 1 ср ' ср

Л СрРо

Результатом обезразмеривания является следующая система уравнений «односкоростной вычислительной модели» (знак "~" над безразмерными переменными опускаем):

у- + сИу^ри) = 0,

дры дрыы друы дР + —— + —— + — =

д1 дх ду дх

ды! _д_

3 дх ^ дх ) дУ

ды Л~

Л

д

ду) ду

ду! 2 д

Л дх ) 3 дх

ду

Л—

ду

(В.3)

-^хР,

дру дриу друу дР

+ —— + —— + — = Nd1

дг дх ду ду

дрз дриз друз Ndз

4д_

3 ду

Л

ду ду

дх

гд2 Т д2 Т Л

дг

■ + -

дх

- + -

ду Т + NdT5

д

д ( ду

л— I

V дх) дх

л-

ди

Л

2 д

ду ) 3 ду

5р = ат5Р + Рр8Т, ^ = 8Т - Ш4 Рр8Р,

где вид безразмерных параметров приведен в таблице В.2.

Безразмерные параметры

ди V дх

+ ^2уР>

(В.4)

Таблица В.2

Параметр Свободная конвекция Напорное течение

Расшифровка Значение Расшифровка Значение

Лг 0 р0%0 1 Reг Лг 0 Р0и0 Кх

^2 хГ Ra хг ■ Prr КхЕхРо Л г 0 Х0Лг 0 Р0Х0 Кх8х и02

^2 уГ Ra ■ Pr уг г Кх8уР0 Л г 0 Х0Л г 0 р0^0 1х8у и02

Ndз 1 X и0 К

Nd4 Х0 ДТсрЬ2х и1 АТСр

Ш'г АТ

NdT6 АТ Т

Ш7 Рш р0

В2 Двухскоростная модель неравновесная по давлению

Полная система уравнений неравновесной по давлению нелинейной математической модели сжимаемых двухфазных сред имеет вид:

двухскоростной

^ + ё!У(р1и1 ) = 0, др + ё!У(р2и2) = 0, (В.5)

^ + (и, V) и =--УР-р V?-р гд + Г + g,

дг р р Р1

^ + К V) и2 =--УР + Г 9 + Г2 + g,

д р р

дя 1 /. 1 л- с &

дг р р рТ

5р1 = р^ 5Р + р1&ч 5д — рфр 5Т, 5р2 = р2ат 5Р — рр_ач 5д — р2@Р 5Т, (В.6)

с 1

5р = рат5Р-ррР5Т, 5я 5Т--/3Р5Р,

Т р

где:

& = р2Ъ(и -и2)2 + Л1 (УТ)2 + 2у(УТ,(и! -и2)) + + Ъ2Щ2,, Гд = Ъ(и1 -и) + — ^Т, Т р2

Г? =Л1УТ + У( и 1 - и2 ) , Л г = — дк (Ъ и гк ) + ~ д гТ , /2, = ~дк (Ъ Щ2гк ) - ~ д гТ ,

Т р р р2 р2

_ 1

щгк = ^

д щ +дг щ1, - 35, а1уи1 1, щ2,к = 2

дки2, +д,и2к - 2 5гк¿1Уи2

Вычислительный алгоритм, реализующий двухскоростную неравновесную по давлению модель, строится для упрощенного варианта системы (В.5) - (В.6), где не учитываются в силу малости перекрестные эффекты: слагаемые су в выражениях для потоков Гд, Г , Г, Г и в

выражении для диссипативной функции, а так же слагаемые, выражающие тензорные потоки, в диссипативной функции. При этом сохраняется учет существенных для рассматриваемых модельных и прикладных задач эффектов сжимаемости и вязких напряжений в фазах. Дополнительно, считаются постоянными коэффициенты сдвиговой вязкости фаз ъ , Ъ,

коэффициент теплопроводности среды Л и коэффициент межфазного трения Ъ . Выбор техники обезразмеривания для каждого типа рассматриваемых в работе модельных и прикладных задач определяется параметром, определяющим характерное время течения (таблица В.1).

Результатом обезразмеривания является следующая система уравнений «двухскоростной неравновесной по давлению вычислительной модели» (знак "~" над безразмерными переменными опускаем): дрг

дг

■ + Шу(ргйг) = 0, (В.7)

дргигх , ^Ргихигх , дРЫгхЫуу + рг_

а *

ау

р дх

ррр Й! р ЙХ

= (-1)Г^Р2(и1х - Ы2х) +

+Nd1

Й

(

Лг

ды.

Л

4

3 дх ^ г йх ^ ду ^ 'г ду ) ду

д ( ды Л 2 д ( ды Л

Лу