Моделирование динамики пространственной обработки резанием сложнопрофильных деталей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Киселев Игорь Алексеевич

• Киселев Игорь Алексеевич
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Киселев Игорь Алексеевич

1.1. Модели динамики процесса точения

1.2. Модели динамики процесса фрезерования

1.3. Модели динамики процесса сверления

1.4. Модели динамики процесса шлифования

1.5. Применение пространственных геометрических алгоритмов для моделирования процесса образования поверхности детали при обработке резанием

1.6. Модели сил резания

1.7. Применение метода конечных элементов для учета упругих отклонений и вибраций узлов технологической системы

1.8. Применение экспериментального модального анализа для идентификации динамических характеристик узлов технологической системы

1.9. Методы учета переменных динамических характеристик

обрабатываемой детали в процессе обработки

1.10 Выводы по Главе

Глава 2. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ РЕЗАНИЕМ

2.1. Модель лезвийного инструмента

2.2. Модель абразивного инструмента

2.3. Модели сил резания

2.4. Алгоритм геометрического моделирования

2.4.1. Метод описания обрабатываемой поверхности

2.4.2. Алгоритм определения мгновенных значений толщины срезаемого слоя

2.4.3. Алгоритм изменения обрабатываемой поверхности при удалении материала режущими кромками инструмента

2.5. Универсальная модель динамики компонента технологической системы

2.5.1. Математическая модель компонента технологической системы на основе метода конечных элементов

2.5.2. Метод модальной суперпозиции для интегрирования уравнений движения модели компонента технологической системы

2.5.3. Метод учета подвижных нагрузок, действующих на обрабатываемую деталь

2.5.4. Определение собственных частот и форм колебаний методом итераций в подпространстве

2.5.5. Применение метода суперэлементов для снижения ресурсоемкое™ определения динамических характеристик КЭ-модели

2.5.6. Алгоритм расчета переменных динамических характеристик заготовки в процессе удаления припуска

2.6. Полуаналитическое интегрирование уравнений движения компонентов технологической системы с итерационным уточнением

2.7. Методика расчетно-экспериментального определения коэффициентов моделей сил резания

2.8. Программная реализация

2.9. Выводы по Главе

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССА ФРЕЗЕРНОЙ ОБРАБОТКИ

3.1. Верификация модели динамики обработки резанием на основе результатов экспериментальных исследований

3.1.1. Испытательный стенд для исследования динамики плоского фрезерования в рамках динамической системы с одной степенью свободы

3.1.2. Применение точечного отображения для анализа динамики технологической системы в заданном диапазоне режимов обработки

3.1.3. Моделирование динамики плоского фрезерования и сопоставление с экспериментальными данными

3.2. Моделирование динамики плоского фрезерования с двумя степенями свободы и сопоставление с результатами исследования динамической устойчивости из литературных источников

3.2.1. Сопоставление с результатами исследования Stepan, Inspeger

3.2.2. Влияние сил Кориолиса на динамику фрезерной обработки. Сопоставление с результатами исследования АШпЭаьДотак

3.3. Моделирование динамики фрезерной обработки лопатки импеллера

3.3.1. Параметры обрабатываемой детали и технологического процесса

3.3.2. Моделирование изменения динамических характеристик заготовки по мере удаления припуска в процессе обработки

3.3.3. Моделирование динамики фрезерования лопатки импеллера в заданном диапазоне скорости резания и выбор рациональных режимов обработки

3.4. Моделирование динамики фрезерной обработки лопатки компрессора газотурбинного двигателя

3.4.1. Параметры обрабатываемой детали и технологического процесса

3.4.2. Моделирование изменения динамических характеристик заготовки по мере удаления припуска в процессе обработки

3.4.3. Многовариантное моделирование динамики фрезерной обработки лопатки в заданном диапазоне скорости вращения инструмента

3.4.4. Выбор виброустойчивых режимов на основе многовариантного моделирования динамики обработки детали

3.5. Выводы по Главе

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТОКАРНОЙ ОБРАБОТКИ

4.1. Параметры заготовки, обрабатываемой детали и технологического процесса

4.2. Результаты моделирования динамики токарной обработки при варьировании скорости вращения заготовки

4.3. Оценка влияния сил Кориолиса на динамику токарной обработки

4.4. Результаты расчета отклонения формы обработанной детали

4.5. Выводы по Главе

Глава 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВИБРАЦИОННОГО СВЕРЛЕНИЯ

5.1. Параметры технологического процесса и приспособления для вибрационного сверления

5.2. Применение коэффициентов влияния собственных форм колебаний для исследования различных вариантов возбуждения автоколебаний при вибросверлении

5.3. Исследование динамики процесса вибрационного сверления при учете только осевой формы колебаний вибропатрона

5.4. Исследование динамики вибрационного сверления при возбуждении паразитных форм колебаний вибропатрона

5.5. Выводы по Главе

Глава 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ШЛИФОВАНИЯ УПРУГОГО ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

6.1. Схема осуществления технологического процесса и основные параметры применяемой модели

6.2. Результаты моделирования процесса обработки без учета податливости обрабатываемой детали

6.3. Результаты моделирования с учетом податливости и динамики обрабатываемой детали

6.4. Выводы по Главе

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики пространственной обработки резанием сложнопрофильных деталей»

ВВЕДЕНИЕ

Разработка новых поколений машиностроительной продукции сопровождается непрерывным совершенствованием ее характеристик для обеспечения конкурентных преимуществ и удовлетворения современным требованиям в области ограничения негативного воздействия на окружающую среду. Достижение нового уровня технических характеристик изделий становится возможным за счет применения методов цифрового проектирования, реализованных в рамках современных САПР-систем, и приводит к усложнению геометрии деталей машин, а также повышению требований к точности и качеству обработанной поверхности.

Обработка резанием в настоящее время является одним из наиболее распространенных технологических процессов получения деталей сложной формы с высокими требованиями к точности и качеству обработанной поверхности в различных отраслях машиностроения. Например, при производстве двигателей ракетно-космической техники доля трудоемкости, приходящаяся на обработку резанием, может достигать 35-45% [35], при производстве газотурбинных двигателей - более 30% [40,57]. Удельный вес металлорежущих станков в общем парке металлообрабатывающего оборудования составляет около 80% [35]. В связи с высоким удельным весом в общей трудоемкости необходимо повышать производительность операций обработки резанием для обеспечения требуемых технико-экономических показателей производства продукции.

В последние годы активно развиваются и внедряются методы и оборудование для производства металлических изделий сложной формы при помощи технологий 3D печати из мелкодисперсных порошков. Тем не менее, обработка резанием останется основной производственной технологией в области машиностроения в течение ближайших десятилетий в связи с необходимостью удовлетворения заданным требованиям к точности, качеству

обработанной поверхности, марке, структуре и термообработке применяемых материалов, а также себестоимости серийных изделий. В настоящее время получение точных поверхностей с низкой шероховатостью для изделий, изготовленных методом 3D печати, требует применения последующей обработки резанием. С этой целью одна из крупнейших станкостроительных фирм Германии DMG-MORI несколько лет назад выпустила линейку комбинированных лазерно-фрезерных многокоординатных обрабатывающих центров LASERTEC 65 3D hybrid, LASERTEC 125 3D hybrid, LASERTEC 4300 3D СвЛпН, позволяющих осуществлять 3D печать и последующую механическую обработку на одном станке, что дополнительно подтверждает сохранение долговременной потребности в многокоординатных операциях обработки резанием. Заготовки, полученные методом 3D печати, часто имеют ажурную, облегченную конструкцию со сравнительно низкой жесткостью, что приводит к повышению значимости описанных выше проблем, связанных с необходимостью оптимизации производительности, повышения точности обработанных поверхностей и предотвращения возбуждения неблагоприятных вибраций при обработке, что дополнительно объясняет актуальность целей и задач настоящей работы.

В течение последних десятилетий происходит технологическое перевооружение машиностроительных производств, сопровождающееся широким внедрением многокоординатных обрабатывающих центров с числовым программным управлением (ЧПУ), позволяющих производить детали со сложной пространственной геометрией поверхности. Ввиду высокой сложности обрабатываемых деталей (например, лопаток компрессоров ГТД, сложных корпусных деталей и пр.) подготовка управляющих программ для станков с ЧПУ невозможна без применения современных цифровых технологий, реализованных в CAM-системах. Результатом работы CAM-системы является траектория относительного движения инструмента и заготовки для формирования целевой поверхности обработанной детали в идеальном случае - при абсолютно жестких и точных узлах системы «станок-

приспособление-инструмент-деталь» (система СПИД). Существующие САМ-системы основываются на геометрических методах и не учитывают механику процессов обработки резанием, в том числе нагрузки и вибрации, возникающие в технологической системе и приводящие к существенным негативным эффектам при производстве, таким как высокий износ инструмента, снижение качества и точности обработанной поверхности детали. В тоже время перед технологом стоит потребность в преодолении следующих принципиальных проблем, сопровождающих наиболее распространенные процессы обработки резанием, такие как фрезерование, точение, шлифование, сверление и др.:

а) При обработке сложнопрофильных деталей геометрия зоны резания и нагрузки, действующие на режущий инструмент, претерпевают существенные изменения в рамках процесса обработки. Для того, чтобы избежать выхода из строя инструмента технолог вынужден ограничивать производительность обработки по наиболее нагруженным участкам траектории, в то время как на других участках инструмент оказывается недогружен, что приводит к потере производительности. Требуется назначать индивидуальные режимы в каждой точке траектории обработки с учетом геометрии инструмента, обрабатываемой поверхности и действующих сил резания для обеспечения максимальной эффективности обработки при обеспечении достаточной стойкости инструмента. При обработке сложных деталей траектории движения инструмента могут насчитывать десятки и сотни тысяч точек (кадров), что делает невозможным ручное назначение переменных режимов технологом. Для решения этой проблемы требуется автоматизация расчета эффективных режимов обработки на основе численного моделирования геометрии зоны резания и распределенных мгновенных нагрузок, действующих на режущий инструмент, что не позволяют осуществить распространенные сегодня САМ-системы.

б) При обработке могут возбуждаться незатухающие вибрации вынужденного и автоколебательного характера, существенно нарушающие качество и точность обработанной поверхности (происходит появление

вибрационных отметин). Данный эффект наблюдается в том случае, когда в системе СПИД присутствует элемент с недостаточной динамической жесткостью: при чистовой обработке тонкостенных деталей (вибрация детали), при обработке с большим вылетом инструмента (вибрации инструмента), при наличии сложной, недостаточно жесткой оснастки (вибрации оснастки), при интенсивных черновых режимах обработки на крупногабаритных станках (вибрации силовой конструкции станка). Возбуждение описанных вибраций существенным образом зависит от выбора скорости вращения инструмента с учетом динамической устойчивости регулярного процесса резания. Для обеспечения надежного выбора эффективных виброустойчивых режимов обработки технологу необходим универсальный цифровой инструмент (численная модель), отсутствующая на данный момент в применяемых CAM-системах.

в) Динамическое воздействие сил резания на обрабатываемую деталь совместно с процессом формирования геометрии обрабатываемой поверхности приводит к отклонениям формы тонкостенных деталей (т.н. «отжатия»), не позволяющим обеспечить соответствие полю допуска, который был определен конструктором на стадии проектирования изделия. В целях компенсации недопустимых отклонений формы возникает необходимость натурной обработки многочисленных тестовых деталей и трудоемкой ручной компенсации отклонений формы за счет коррекции траектории обработки или формы заготовки перед технологическим переходом. Для снижения количества итераций натурной отработки деталей целесообразно разработать и внедрить численные модели прогнозирования отклонений формы обработанной детали в зависимости от применяемых режимов обработки, которые позволят технологу принять необходимые меры по компенсации отклонений формы в виртуальном пространстве (до начала натурной отработки).

Среди перечисленных проблем наиболее сложной с научно-технической точки зрения является проблема (б), связанная с необходимостью предотвращения высокоамплитудных вибраций автоколебательного характера.

Для решения проблемы, связанной с возбуждением вибраций при обработке, могут применяться следующие основные подходы:

1) Повышение виброустойчивости металлорежущих станков и оснастки [154]. Данный подход направлен в первую очередь на снижение уровня вибраций при тяжелой черновой обработке с высокими силами резания и предполагает внесение изменений в конструкцию оснастки и станочных узлов, направленных на повышение их динамической жесткости в определенном диапазоне режимов и условий обработки.

2) Применение специализированных виброгасящих и демпфирующих устройств [23], которые могут быть встроены в конструкцию оснастки или инструмента, либо могут иметь вид самостоятельного законченного изделия, устанавливаемого на обрабатываемую деталь. Применение динамических гасителей колебаний направлено на достижение благоприятных динамических характеристик компонентов технологической системы в узком заранее определенном диапазоне частот, позволяющих проводить обработку в определенном интервале режимов обработки. Использование демпфирующих устройств (например, закрепляемых на обрабатываемой детали) повышает декремент затухания податливых компонентов технологической системы в широком диапазоне частот и, как известно из теоретических исследований динамической устойчивости процессов обработки резанием, приводит к расширению границ устойчивых режимов обработки, свободных от возбуждения автоколебаний. В некоторых случаях, при очень низких величинах внутреннего демпфирования обрабатываемых деталей или инструмента применение демпфирующих устройств может являться единственным способом обеспечения виброустойчивых режимов обработки. Однако, при этом демпфирующие или виброгасящие устройства занимают место на поверхности обрабатываемой детали, ограничивают диапазон допустимых положений инструмента и требуют дополнительного контроля для защиты от столкновений в процессе обработки, в ряде случаев не дают возможности обработать деталь за один установ, могут требовать многократной наладки/переустановки при

обработке сложных поверхностей. В последнем случае ситуация осложняется, если осуществляется серийное производство деталей: при параллельном производстве большого количества деталей требуется соответствующее количество комплектов демпферов, а трудозатраты, связанные с их переналадкой относятся к постоянным производственным затратам и вносят свой вклад в себестоимость независимо от объема серии.

3) Априорный выбор постоянных или переменных режимов, обеспечивающих виброустойчивость обработки на основе применения физико-математических моделей процессов обработки резанием [44, 98, 178]. В рамках данного подхода заранее (до обработки детали) выполняется исследование динамики процесса обработки в пространстве технологических параметров (режимов), определяются благоприятные диапазоны режимов, для которых не наблюдается возбуждение опасных автоколебаний. Достоинством подходов данного типа является возможность получения расчетным путем полноценной информации о процессе обработки, в том числе о силах резания, уровне и характере вибраций, параметрах срезаемого слоя, форме обработанной поверхности. Часть из указанных параметров, имеющих большое значение для выбора оптимальной стратегии и режимов обработки детали, может быть получена только расчетным путем в связи со сложностью выполнения соответствующих натурных измерений. Объем информации, получаемой расчетным способом, позволяет на базе единых подходов решать все три группы проблем (а-в), стоящих перед технологом, что невозможно осуществить другими перечисленным способами. Например, при помощи демпфирующих и виброгасящих устройств невозможно решить задачи, связанные с устранением упругих отжатий детали или компенсацией пиковых нагрузок на инструмент при переменной геометрии зоны резания. Общие теоретические результаты и инструменты численного моделирования конкретных технологических операций лежат в основе разработки других перечисленных способов борьбы с вибрациями при обработке резанием (пп. 1,2,4,5,6). Можно выделить следующие основные недостатки подходов данной группы: высокая сложность

применяемых математических моделей, их программной реализации и применения для практически значимых случаев; необходимость проведения настроечных экспериментов на тестовых заготовках для определения ряда параметров моделей; невозможность выбора виброустойчивых режимов обработки из-за их отсутствия для систем с экстремально низким демпфированием; чувствительность результатов расчета к отклонениям фактических характеристик обрабатываемой детали от принятых номинальных характеристик в модели (например, нестабильность формы штампованных заготовок). Однако, в большинстве случаев указанные сложности удается преодолеть. Также необходимо отметить, что высокая трудоемкость применения методов данной группы относится к переменным производственным затратам (выполняется однократно при подготовке производства детали) и при достаточной серийности детали становится несущественной.

4) Выбор специальных законов распределения припуска заготовки. Подходы данной группы основываются на теоретических результатах исследования динамической устойчивости процессов обработки резанием. Изменение формы припуска с одной стороны позволяет обеспечить более благоприятные динамические характеристики заготовки, обеспечивающие расширение зон устойчивости, в которых отсутствует возбуждение неблагоприятных автоколебаний. С другой стороны рациональное распределение припуска позволяет повысить динамическую и статическую жесткость заготовки: например, при обработке консольных деталей целесообразно плавно увеличивать припуск к месту крепления и уменьшать на свободном конце детали [151, 227]. Автоматизация рационального распределения припуска требует дальнейшего развития, в том числе с привлечением численных моделей динамики процесса обработки и методов оптимального проектирования.

5) Применение адаптивных систем, обеспечивающих автоматизированную коррекцию режимов в процессе обработки. Данная группа

методов основана на совместном применении моделей динамики и результатов измерения параметров вибраций в процессе обработки [86, 231]. Для реализации подхода станочное оборудование оснащается системой косвенного измерения вибраций, возбуждающихся в процессе обработки, как правило, при помощи микрофона, установленного в рабочей зоне станка. Система управления станка оснащается дополнительным вычислительным блоком, который непрерывно анализирует характеристики измеряемого сигнала и вычисляет значения критерия возбуждения автоколебаний. Критерий возникновения автоколебаний в системе может быть построен как на основе спектральных методов, так и на основе анализа сигнала во временной области. На основе спектрального анализа для выборки измеренного сигнала вычислительный блок определяет характерные частоты колебаний в технологической системе, а также близость текущих режимов к теоретическим границам зоны устойчивости, приближенно известным из распространенных аналитических моделей динамической устойчивости обработки (например, для случая возбуждения вибраций консольно закрепленной фрезы). На ранних стадиях возбуждения автоколебаний алгоритм управления вырабатывает управляющий сигнал для стойки ЧПУ станка о ступенчатом изменении режима для возврата системы в предполагаемую область динамически устойчивой обработки. Управляемым параметром обычно является скорость вращения шпинделя. Достоинство подхода заключается в автоматизации выбора виброустойчивых режимов, низких требованиях к квалификации персонала, отсутствии необходимости проводить предварительные трудоемкие расчеты. Дополнительным преимуществом является способность указанных систем адаптироваться к переменным условиям обработки в рамках партии однотипных деталей, возникающих, например, по причине нестабильного припуска заготовок, либо в связи с постепенным износом инструмента. В тоже время подход имеет существенные недостатки: при детектировании начальной стадии развития автоколебаний система управления вынуждено ступенчато (резко) изменять режим обработки, чтобы не допустить быстрого нарастания

уровня вибраций, однако в этом случае остается локальное отклонение формы обработанной поверхности («зарубка», «зарез»), связанное с изменением сил резания и отжатий упругих компонентов технологической системы вследствие смены скорости вращения шпинделя. Кроме того, алгоритм смены режимов обработки, как правило, не гарантирует, что новый режим обработки будет оптимальным по производительности среди всех возможных виброустойчивых режимов.

6) Применение систем управления вибрациями в технологических системах. В отличие от адаптивных систем, описанных в пп.5, помимо измерительной системы, регистрирующей возбуждающиеся вибрации, рассматриваемые активные системы управления дополнительно имеют в своем составе актюатор, способный оказывать воздействие на обрабатываемую заготовку или инструмент в дополнение к силам резания, либо способный влиять на характеристики динамической системы. Измерение вибраций должно осуществляться прямым способом, непосредственно на заготовке или режущем инструменте с применением датчиков ускорения, скорости или перемещений. Система управления обеспечивает обратную связь по параметрам вибраций компонентов технологической системы в соответствии с выбранным законом управления и подает сигнал управления на актюатор для достижения цели управления (подавление автоколебаний, снижение уровня вибраций). Например, обеспечение отрицательной обратной связи по виброскорости инструмента при точении эквивалентно повышению суммарного демпфирования в замкнутой системе [120], по сравнению с собственным демпфированием объекта управления. За счет повышения приведенного демпфирования расширяются зоны виброустойчивых режимов обработки. В рамках некоторых подходов направление измерения вибрационного отклика системы и воздействия на нее актюатора могут различаться [128]. Известны и другие сценарии применения подобных систем, когда формируются положительные обратные связи, обеспечивающие самовозбуждение вибраций требуемого уровня для дробления стружки при вибрационном сверлении [39,

126]. Недостатком подобных систем является высокая сложность их технической реализации и часто - невозможность встраивания актюатора и измерительных компонентов в существующее технологическое оборудование. В связи с этим применение данного подхода будет оставаться в поле создания узкоспециализированного технологического оборудования для отдельных типов технологических операций.

Необходимость надежной реализации перечисленных выше подходов решения технологических проблем виброустойчивости и повышения эффективности обработки привела к появлению большого количества работ отечественных и зарубежных научных групп, посвященных исследованиям механики процессов обработки резанием. Исторически, первые работы были направлены на изучение механики деформирования обрабатываемого материала в зоне резания при взаимодействии с режущим клином инструмента [63, 65, 157, 169, 170, 182, 256]. Другим направлением исследований является изучение механизмов возбуждения вибраций в технологической системе при обработке резанием. Ключевой особенностью динамики процессов обработки резанием является возможность возбуждения не только вынужденных колебаний, связанных с периодическим прохождением режущих кромок через тело заготовки (например, при фрезеровании), но и самовозбуждающихся вибраций (автоколебаний), которые представляют наибольшую опасность для нормальной реализации процесса обработки вследствие высокой амплитуды и существенного ухудшения качества обработанной поверхности. Большое количество исследований в период с 1930-х гг. по настоящее время позволило выявить следующие основные механизмы возбуждения автоколебаний:

а) механизм возбуждения автоколебаний, обусловленный ниспадающим участком зависимости сил резания от скорости резания, впервые исследованный Кашириным [41] и Дроздовым [30]. Указанный характер зависимости силе резания наблюдается только в отдельных случаях. Предложенный механизм не объясняет возбуждения автоколебаний при отсутствии ниспадающего участка закона сил резания.

б) механизм самовозбуждения вибраций за счет различного сопротивления обрабатываемого материала при врезании и выходе режущего клина из материала заготовки, приводящий к фазовому сдвигу между силами резания и перемещениями резца с учетом вибраций [66].

в) термо-механический принцип возбуждения автоколебаний [50, 150] основан на взаимосвязи тепловых и механических процессов в зоне резания. С одной стороны процессы трения и глубокого пластического деформирования обрабатываемого материала приводят к интенсивному выделению тепла и повышению температуры в зоне резания. С другой стороны повышение температуры материала приводит к снижению его механических характеристик и таким образом влияет на силы резания. Дополнительное влияние на механические характеристики оказывает скорость деформирования материала в зоне резания. Указанные процессы являются нелинейными и взаимосвязаны друг с другом. Как показано в работе [50], это может приводить к возбуждению автоколебаний в механической системе. Однако, данный эффект в большей степени проявляется при низких скоростях резания. В связи с высокой инерционностью тепловых процессов чаще всего изменение поля температур происходит в другом (более медленном) масштабе времени по сравнению с характерным периодом механических колебаний в рассматриваемой системе.

г) механизм «координатной связи» представлен в работах [52] и заключается в формировании фазового сдвига между обобщенными координатами и обобщенными силами в случае одновременного учета нескольких обобщенных координат при моделировании движения системы. В этом случае силы резания при определенных условиях могут совершать положительную работу на перемещениях системы, приводя к нарастанию амплитуды колебаний и возбуждению автоколебаний.

д) механизм «резания по следу обработанной поверхности» [1, 75, 172, 215, 219] приводит к формированию запаздывания в технологической системе и тем самым создает условия для возбуждения автоколебаний при определенных сочетаниях параметров системы и режимов обработки. Механизм запаздывания

в системе связан с историей формообразования поверхности заготовки. Силы резания главным образом зависят от мгновенных значений толщины срезаемого слоя. В свою очередь мгновенная толщина срезаемого слоя определяется взаимным положением режущей кромки инструмента и обрабатываемой поверхности заготовки. Каждая режущая кромка инструмента обрабатывает поверхность, которая некоторое время назад была сформирована предыдущей режущей кромкой с учетом ее полных перемещений, включающих в том числе вибрации компонентов технологической системы. Перечисленные взаимные зависимости приводят к тому, что силы резания в каждый момент времени зависят, как от текущего положения режущих кромок инструмента, так и косвенно, через историю формирования поверхности - от их положения в некоторый момент времени в прошлом. Таким образом, динамика системы описывается дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Как известно, в таких системах возможна потеря устойчивости регулярного движения резания и возбуждение автоколебаний.

Как показали многочисленные исследования, в качестве главных причин возбуждения автоколебаний при обработке резанием в подавляющем большинстве случаев выступают механизмы «резания по следу обработанной поверхности» и «координатной связи». Предложенные в литературе подходы к моделированию процессов обработки резанием многообразны и отличаются по способу построения, применяемым численным методам, рассматриваемым технологическим процессам, типам получаемых результатов моделирования и другим категориям (один из возможных вариантов классификации предложен в главе 1 настоящей работы). Тем не менее, необходимо в первую очередь выделить 2 укрупненные группы моделей:

а) полуаналитические модели анализа устойчивости регулярного движения резания. Данная группа моделей основана на аналитическом описании динамики системы с применением феноменологических моделей сил резания и аналитических выражений для толщины срезаемого слоя с учетом эффекта запаздывания. Уравнения динамики компонентов технологической

системы обычно записываются в главных координатах. Модальные параметры упругих компонентов технологической системы могут быть определены экспериментально или с применением численных методов. Модель обрабатываемой поверхности не формируется, а дифференциальные уравнения движения системы могут быть записаны в явном виде и включают компоненты с запаздывающим аргументом. В связи с необходимостью аналитической формулировки разрешающих уравнений, как правило, такой подход имеет ограничение по степени сложности геометрии зоны резания. Оценка устойчивости регулярного движения системы выполняется стандартными методами анализа динамической устойчивости систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. В качестве результатов данной группы моделей выступают диаграммы устойчивости процесса обработки в пространстве технологических параметров (скорость вращения инструмента, ширина резания и др.), показывающие для каждого сочетания параметров будут ли в динамической системе развиваться автоколебания с нарастающей во времени амплитудой. При этом невозможно получить оценки фактических амплитуд колебаний и сил резания, форму обработанной поверхности. Исторически, данная группа методов получила развитие в первую очередь в связи с возможностью получения аналитических результатов без применения вычислительной техники. В упрощенных частных случаях (например, для фрезерования цилиндрическими прямозубыми фрезами) указанные методы позволили сделать ряд важных общих выводов о типовых особенностях динамического поведения всех систем, связанных с обработкой резанием. Для более сложных случаев данная группа методов отличается относительной простотой программной реализации и сравнительно низкой вычислительной сложностью, соответствующей уровню вычислительной техники в период развития данных моделей. Указанные особенности позволили создать программно-аппаратные комплексы [260] для экспресс-оценки и выбора виброустойчивых режимов обработки, совмещающие подходы экспериментального модального анализа и анализа динамической устойчивости

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Киселев Игорь Алексеевич, 2023 год

- -—

X; 0,353 / У: 8110 1

X Y 0.7118 \ 8115 \ / X: 0.8368 / Y: 8110

1 1

О 0.2 0.4 0.6 0,8 1 1.2 1.4 1.6 1.В

Рис. 5.17. Границы зон устойчивости для варианта коэффициентов сил резания (А)

9000 г

8500

8000

7500

7000

6500

6000

5500

5000

4500

/--V

X, 0.42« У 3114 X: 0 6339 \ У 6116 X; 0 982 У: 8114

/ X:1.369 V:8109 Ч / X. 1.537 \/ У 811 1

1 1 |

4000

0

0.2 0.4 0.6 0.8

12 1.4 1.6 18

Рис. 5.18. Границы зон устойчивости для варианта коэффициентов сил резания (Б)

Таблица 35

Сопоставление положения границ автоколебательных режимов обработки, полученных моделированием во временной области (Таблица 34) и

методом анализа устойчивости для варианта коэффициентов сил резания (А)

№ Безразмерная частота вращения а>г

диапазона Моделирование во Анализ устойчивости

временной области

Виброустойчивые режимы обработки

1 0.30 - 0.35 0.30 - 0.35

2 0.70 - 0.84 0.71 - 0.84

3 - -

Режимы обработки, сопровождающиеся осевыми

автоколебаниями

1 0.36 - 0.69 0.35 - 0.71

2 0.85 - 1.70 0.84 - 1.70

3 - -

Таблица 36

Сопоставление положения границ автоколебательных режимов обработки, полученных моделированием во временной области (Таблица 34) и

методом анализа устойчивости для варианта коэффициентов сил резания (Б)

№ Безразмерная частота вращения а>г

диапазона Моделирование во Анализ устойчивости

временной области

Виброустойчивые режимы обработки

1 0.30 - 0.43 0.30 - 0.43

2 0.62 - 1.00 0.63 - 0.98

3 1.31 - 1.60 1.37 - 1.54

Режимы обработки, сопровождающиеся осевыми

автоколебаниями

1 0.44 - 0.61 0.43 - 0.63

2 1.01 - 1.30 0.98 - 1.37

3 1.61 - 1.70 1.53 - 1.70

5.4. Исследование динамики вибрационного сверления при возбуждении паразитных форм колебаний вибропатрона

Наряду с полезными осевыми автоколебаниями, приводящими к дроблению стружки и рассмотренными в предыдущем параграфе, в рассматриваемой динамической системе могут возбуждаться нежелательные автоколебания других типов на основе изгибных и крутильных форм колебаний конструкции. Изгибные колебания способны приводить к искажению боковой поверхности обрабатываемого отверстия за счет взаимодействия с боковыми режущими кромками сверла. Крутильные автоколебания могут вызывать интенсивное взаимодействие по задней поверхности режущих кромок, приводящее к ускоренному износу инструмента при возвратном движении резца за счет сложения главной скорости резания и виброскорости точек на

режущих кромках в окружном направлении. Исследование динамики системы с учетом паразитных форм колебаний требует использования полноценной 3-х мерной модели процесса обработки.

Моделирование динамики рассматриваемой системы при учете 4х низших форм колебаний с единичными модальными коэффициентами влияния (Таблица 37) показывает, что в рассматриваемом диапазоне режимов обработки паразитные формы колебаний не возбуждаются, а результаты расчета близки к прежним результатам, представленным в параграфе 5.3. Точечные отображения для перемещений точки инструмента на периферии режущей кромки инструмента, сил резания и максимума мгновенной толщины срезаемого слоя для расчета в соответствии с параметрами Таблицы 37 для варианта коэффициентов сил резания (Б) представлены на Рис. 5.19 - 5.21 соответственно.

Таблица 37.

Модальные множители и демпфирования

№ СЧ Модальный Модальное демпфирование £ (в

множитель cf долях критического)

1 1.0 0.7

2 1.0 0.7

3 1.0 0.01

4 1.0 0.01

Как видно из приведенных результатов, при текущем сочетании осевой и изгибной жесткости приспособления и инструмента, при выборе режимов обработки можно использовать результаты упрощенных одностепенных моделей, учитывающих только осевую степень свободы системы. Однако, при других сочетаниях параметров системы на некоторых режимах обработки, для которых одностепенная модель предсказывает благоприятное возбуждение осевых автоколебаний, в действительности может наблюдаться возбуждение других форм колебаний, приводящих к ухудшению качества обработанного

отверстия. Для иллюстрации этого эффекта определим «запас устойчивости» рассматриваемой системы к возбуждению автоколебаний на изгибных формах колебаний. Под «запасом устойчивости» по форме колебаний будем понимать пограничное значение соответствующего модального коэффициента влияния, начиная с которого на отдельных режимах обработки начинает наблюдаться возбуждение автоколебаний с вовлечением анализируемой собственной формы конструкции.

0.25

0.2

0.15

Е Е, а, О

0.1

0.05

-0.05

0.2

* •

• / •

\ • ф •

• •1

• СиИег ПлзрХ 1ос. [тт] • СиИег Р^рУ 1ос, [тт] • СиНег Э^р! !ос. [тт]

0.4

0.8

1

ш

1.2

1.4

Рис. 5.19. Точечное отображение перемещений точки на режущей кромке инструмента для сочетания параметров по Таблице 37

3000

2500

2000

1500

1000

500

-500 0.2

«ИМ • СийегРх. [N1 СиНег Ру. [N1 шш

да II СиЙвг [N1 б

ГП

• .V &

1 •

1 # •

_

0.4

0.6

0.8

1

и!

1.2

1.4

1.6

18

Рис. 5.20. Точечное отображение компонент сил резания для сочетания параметров по Таблице 37

—Ч Щ

1 1 ' Max Chip Thickness Stab, [mm]

• • •

• f J v.

1 ( •

• • t •

1 . ........... •it—

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Рис. 5.21. Точечное отображение максимальной мгновенной толщины

срезаемого слоя для сочетания параметров по Таблице 37 Рассмотрим точечные отображения перемещений точки на периферии режущей кромки инструмента (Рис. 5.22) для 3-х значений модальных коэффициентов влияния для парных изгибных форм колебаний в соответствии с Таблицей 38. Варьирование модальных коэффициентов проводилось с шагом 1.0.

Таблица 38.

Модальные множители и демпфирования

№ СЧ Модальный Модальное демпфирование £ (в

множитель С! долях критического)

1 1.0 0.7

2 0.0 -

3 5.0; 6.0; 7.0 0.01

4 5.0; 6.0; 7.0 0.01

0.2

0.15

Е Е

0.1

0.05

(а)

-0.05 0.2

___ • • •

• • ч,

• • • •

• •

• СиНег и!БрХ [ос, [тгл] • СиНег 1)18рУ 1ос, [тгп]

• СиПег DispZ 1оо, [тт]

0-4

06

0.8

1.2

1А

1.6

5.22. Точечное отображение перемещений точки на режущей кромке

инструмента: (а) - С3{4 = 5.0; (б) - С3{4 = 6.0; (в) - С3{4 = 7.0

Представленные результаты расчета показывают, что при значении С{4 = 5.0 характер поведения системы качественно соответствует результатам, рассмотренным в параграфе 5.3 и сопровождается только осевыми автоколебаниями патрона. Начиная со значения С{4 = 6.0 наблюдаются области

режимов обработки, сопровождающиеся возбуждением значительных поперечных вибраций. Ширина диапазона таких режимов увеличивается при С{4 = 7.0. Таким образом С{4 = 6.0 можно считать «запасом устойчивости»

конструкции к возбуждению поперечных изгибных форм колебаний. Снижение жесткости конструкции патрона или сверла будет приводить к снижению рассматриваемого «запаса устойчивости» при прочих равных условиях. В целях анализа характера прерывания стружки рассмотрим точечное отображение максимума мгновенной толщины срезаемого слоя для расчетного случая С{4 = 7.0 (Рис. 5.23). Часть диапазонов изгибных автоколебаний (например, сог = 1.17 -1.25) перекрывается с наблюдавшимися ранее диапазонами осевых автоколебаний, в других диапазонах формируются новые области автоколебательных режимов (например, сог = 0.79 - 0.86). В диапазонах режимов, соответствующих изгибным автоколебаниям полного прерывания процесса резания не наблюдается.

0.18

0,16

Е 0.14

0.12

0 1

0.08

0.06

2 0.04

002

1 • Max Chip Thickness Stab, [mm] |

1 | с Гг fr

■ ■ 1 • • • •

—^ —т 1 •

в •

«J л • • 1 •

• ^

• » • • • • •

_«ШИШИ» 1 -ft*-

0.2

0.4

0,6

0.8

1,2

1.4

1,6

1.8

Рис. 5.23. Точечное отображение максимальной мгновенной толщины

срезаемого слоя для С{4 = 7.0

Рассмотрим подробнее поведение динамической системы при режиме обработки ог = 1.20 при С(4 = 7.0, сопровождающемся изгибными

автоколебаниями. На Рис. 5.24 - 5.26 представлены графики компонент перемещений периферийной точки режущей кромки (Рис. 5.24), компонент сил резания (Рис. 5.25), максимума мгновенной толщины срезаемого слоя (Рис. 5.26) в зависимости от времени.

Рис. 5.24. Перемещения точки на режущей кромке инструмента в зависимости от времени при юг = 1.2

Рис. 5.25. Компоненты сил резания в зависимости от времени при юг = 1.2

О 0.5 1 1.5

1.М

Рис. 5.26. Максимум мгновенной толщины срезаемого слоя в

зависимости от времени при юг = 1.2 Результаты расчета, приведенные на Рис. 5.24 - 5.26 показывают, что при С{4 = 7.0 поведение системы имеет качественные отличия от результатов расчета

с учетом только осевых форм колебаний (Рис. 5.10 - 5.12) на одном и том же режиме обработки аг = 1.2. После врезания инструмента наблюдает экспоненциальный рост амплитуды колебаний с выходом на нелинейной ограничение, при этом помимо осевых колебаний наблюдаются значительные поперечные вибрации. Возбуждение поперечных вибраций сопровождается взаимодействием боковой поверхности сверла со стенкой отверстия, что приводит к искажению его формы (Рис. 5.27). Таким образом, при выборе режимов обработки следует избегать возбуждения изгибных автоколебаний сверла и патрона. Исследование запаса устойчивости к возбуждению нежелательных изгибных автоколебаний способствует выбору рациональных параметров его конструкции на стадии проектирования, ограничению допустимой длины сверла и диапазонов рациональных режимов обработки при прочих заданных параметрах обработки.

Рис. 5.27. Развитие искажений формы боковой стенки отверстия при (ог = 1.2 и С{4 = 7.0 в различные моменты времени: (а) - 0.5 с; (б) - 0.7 с; (в) - 0.9 с; (а) - 1.1 с

5.5. Выводы по Главе 5.

1) Представленные в настоящей главе результаты демонстрируют применимость разработанной обобщенной модели динамики процессов обработки резанием для анализа процесса вибрационного сверления с использованием специального упругого приспособления.

2) Выполненные многовариантные расчеты динамики обработки при варьировании частоты вращения инструмента позволяют выявить диапазоны режимов обработки, сопровождающиеся и не сопровождающиеся возбуждением автоколебаний различных типов:

• определены диапазоны режимов обработки, которые способствуют возбуждению полезных осевых автоколебаний, способствующих желаемому эффекту дробления стружки при обработке глубоких отверстий;

• определен «запас устойчивости» рассматриваемой конструкции приспособления к возбуждению нежелательных поперечных изгибных автоколебаний инструмента при обработке выбранной марки материала.

3) Выполнена верификация результатов расчета путем сопоставления положения границ диапазонов режимов, сопровождающихся возбуждением автоколебаний, с границами устойчивости при учете только осевых колебаний приспособления на основе аналитических методов.

4) Показано, что предложенная обобщенная модель динамики обработки резанием позволяет получить существенно более подробную информацию о динамике процесса обработки в сравнении с методами анализа устойчивости. Для каждого режима обработки получены расчетным путем:

• временные реализации сил резания, вибраций, мгновенной толщины срезаемого слоя и прочих параметров, характеризующих взаимодействие инструмента и обрабатываемой детали;

• форма обработанной поверхности, в том числе со следами вибраций на боковой стенке отверстия на режимах, сопровождающихся возбуждением поперечных изгибных автоколебаний;

ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ШЛИФОВАНИЯ УПРУГОГО ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА

Несмотря на то, что лезвийная обработка является основной и первоочередной областью применения разработанной модели динамики обработки резанием (Глава 2), возможно также ее применение для моделирования технологических процессов обработки шлифованием сложнопрофильных деталей. В отличие от случаев лезвийной обработки, рассмотренных в предыдущих разделах, при шлифовании имеет место распределенный контакт между заготовкой и фрагментом поверхности инструмента. С целью учета распределенного характера взаимодействия в зоне резания в разделе 2.2 был предложен подход, связанный с применением «виртуальных режущих кромок», позволяющих с заданной детализацией дискретизировать поверхность шлифовального инструмента. Для каждого элементарного участка виртуальной режущей кромки в этом случае необходимо применять специальные модели сил шлифования, опирающиеся на расчетные значения удельной объемной скорости удаления материала (раздел 2.3), получаемые при помощи алгоритма геометрического моделирования. Использование объемной скорости удаления материала в качестве аргумента модели сил шлифования обусловлено инвариантностью данного расчетного параметра по отношению к параметрам дискретизации модели инструмента -плотности расположения виртуальных режущих кромок в окружном направлении инструмента и плотности элементарных отрезков дискретизации вдоль виртуальных режущих кромок.

В отличие от лезвийной обработки за счет распределенного контакта между заготовкой и инструментом при шлифовании не так явно проявляется возбуждение автоколебаний по механизму запаздывания. Однако резкие изменения условий обработки при шлифовании сложнопрофильных деталей могут приводить к переходным процессам, сопровождающимся значительными

упругими отклонениями детали или инструмента и приводящим к формированию «волн» на обрабатываемой поверхности. В дальнейшем при обработке на следующих проходах такая искаженная поверхность приводит к соответствующим отклонениям сил шлифования и потенциально создает условия для развития в системе автоколебаний. При исследовании именно таких эффектов целесообразно применение разработанной модели.

6.1. Схема осуществления технологического процесса и основные параметры применяемой модели

В качестве объекта моделирования в данном разделе рассматривается технологический процесс обработки профильным шлифовальным кругом внутренней поверхности чувствительного упругого элемента из стекла, состоящего из открытой сферической оболочки и центральной консольной ножки. Обработка внешней поверхности ножки и внутренней поверхности оболочки выполняется за один проход, при этом инструмент осуществляет прямолинейное поступательное движение вдоль ножки чувствительного элемента. И деталь, и инструмент имеют форму полых тел вращения (Рис. 6.1), при этом геометрические параметры инструмента обеспечивают существенное преобладание его жесткости по сравнению с жесткостью обрабатываемой детали. В процессе обработки как инструмент, так и заготовка осуществляют вращение вокруг собственных осей для обеспечения полноценного охвата всей обрабатываемой поверхности детали. Общий вид применяемой модели процесса обработки, полученный при помощи программного обеспечения, разработанного автором, показан на Рис. 6.2. Основные параметры процесса обработки и применяемой модели приведены в Таблице 39.

Рис. 6.1. Схема технологического процесса обработки шлифованием упругого элемента: (а) - обрабатываемая деталь, (б) -инструмент, (в) - направление движения подачи

Рис. 6.2. Общий вид модели процесса шлифования: (а) -обрабатываемая поверхность, (б) - «виртуальные режущие кромки» инструмента, (в) - траектория движения подачи инструмента

Таблица 39.

Основные параметры процесса обработки и применяемой модели

Характерный размер (габарит) обрабатываемой детали, мм 25 мм

Средний припуск на анализируемую технологическую операцию, мкм 100

Скорость вращения инструмента, об/мин 3750

Скорость подачи, мм/мин 20

Максимальное значение собственной частоты заготовки, учитываемой в расчете, Гц. 3573

Количество учитываемых собственных частот и форм колебаний заготовки 5

Характерный размер ячейки дискретизации обрабатываемой поверхности, мкм 50

Количество виртуальных режущих кромок инструмента в окружном направлении 720

6.2. Результаты моделирования процесса обработки без учета податливости обрабатываемой детали

Выполним анализ параметров процесса обработки без учета податливости обрабатываемой детали с целью анализа изменения зоны обработки по мере движения инструмента вдоль заданной траектории. На первом этапе проведем расчет процесса обработка без вращения обрабатываемой детали (с учетом вращения только инструмента). В начале траектории обработки осуществляется шлифование только поверхности внутренней центральной ножки упругого элемента (Рис. 6.3). Далее, по мере продвижения инструмента возникают дополнительные симметричные зоны обработки на периферии внутренней сферической поверхности упругого элемента (Рис. 6.4). На заключительной стадии в конце траектории обработки по мере приближение к дну внутренней сферы обрабатываемой детали охваты зоны обработки резко увеличивается

(Рис. 6.5) и в результате обработки формируется обработанная поверхность, показанная на Рис. 6.6. Как можно видеть из представленных результатов, без вращения детали в рамках данной схемы обработки невозможно осуществить шлифование всей внутренней сферической поверхности упругого элемента.

6

Рис. 6.3. Начальная стадия обработки упругого элемента без вращения заготовки: (а) - зона обработки внутренней ножки, (б) -обработанная поверхность ножки

Рис. 6.4. Момент касания периферии внутренней сферы детали на промежуточной стадии обработки без вращения заготовки: (а) -симметричная зона обработки на периферии внутренней сферы детали

Рис. 6.5. Конечная стадия обработки детали без вращения заготовки: (а) - зона одновременной обработки внутренней сферы, внутренней ножки и радиусного перехода между ними

Рис. 6.6. Обработанная поверхность, полученная без вращения заготовки

В целях одновременной обработки всей внутренней поверхности детали (ножки, сферической части и радиусного перехода) за один проход в рамках данного технологического процесса необходимо задание вращения

обрабатываемой детали вокруг собственной оси. В этом случае шлифовальный инструмент получает возможность обработки всей поверхности детали в окружном направлении. На Рис. 6.7, 6.8 показаны соответственно зоны обработки ножки и периферии внутренней сферы детали, а также действующие элементарные силы шлифования для дискретных элементов инструмента. Направления сил шлифования в симметричных периферических зонах обработки отличаются друг от друга, поскольку они определяются относительной скоростью движения абразивного инструмента и обрабатываемой поверхности на каждом элементарном участке зоны обработки. Корректный учет относительной скорости шлифования на каждом элементарном участке зоны шлифования осуществляется при помощи модели, изложенной в Главе 2, позволяющей учитывать одновременное вращение как инструмента, так и обрабатываемой детали относительно неколлинеарных собственных осей. На Рис. 6.9 приведены цветовые поля модуля скорости шлифования без учета и с учетом скорости движения обрабатываемой поверхности за счет вращения детали на каждом элементарном участке обрабатываемой поверхности.

Рис. 6.7. Зона обработки внутренней ножки с учетом вращения заготовки: (а) - векторы элементарных сил шлифования, (б) -обработанная поверхность

Рис. 6.8. Зона обработки периферии внутренней сферы с учетом вращения заготовки: (а) - векторы элементарных сил шлифования, (б) - обработанная поверхность

Рис. 6.9. Модуль вектора относительной скорости [мм/мин] шлифования без учета скорости движения обрабатываемой поверхности за счет вращения заготовки

Рис. 6.10. Модуль вектора относительной скорости [мм/мин] шлифования с учетом скорости движения обрабатываемой поверхности за счет вращения заготовки В результате рассматриваемого варианта расчета процесса обработки с учетом вращения заготовки могут быть получены временные реализации компонент сил резания (Рис. 6.11) и мгновенной объемной скорости удаления материала (6.12). Как можно видеть из представленных результатов, выбранная стратегия обработки приводит к резкому увеличению сил шлифования и мгновенной объемной скорости удаления материала на завершающей стадии обработки в зоне радиусного перехода между внутренней сферой и внутренне ножкой обрабатываемой детали за счет резкого увеличения охвата зоны резания в окружном направлении (пример такой ситуации показан на Рис. 6.5).

Рис. 6.11. Компоненты равнодействующей силы шлифования в системе координат инструмента

Рис. 6.12. Мгновенная объемная скорость удаления материала

6.3. Результаты моделирования с учетом податливости и динамики обрабатываемой детали

Резкое возрастание сил шлифования на завершающей стадии обработки может приводить к нежелательным последствиям в связи с упругими отклонениями обрабатываемой детали и потенциально возможностью возбуждения нежелательных вибраций. Для анализа этих эффектов воспользуемся конечно-элементной моделью заготовки, показанной на Рис. 6.13. Примеры характерных собственных форм колебаний заготовки показаны на Рис. 6.14. В связи с симметрией геометрии заготовки и зоны крепления (по основанию внешней ножки) большая часть собственных частот и форм колебаний являются парными (изгибные формы колебаний).

Рис. 6.13. Конечно-элементная модель обрабатываемой детали: (а) -закрепление узлов в основании внешней ножки по всем степеням свободы

(а) (б)

Рис. 6.14. Некоторые собственные формы колебаний модели обрабатываемой детали: (а) - первая собственная форма (1018 Гц), (б) - четвертая собственная форма (3573 Гц)

Результаты расчета процесса обработки с учетом динамики обрабатываемой детали представлены на Рис. 6.15 в виде зависимости от времени компонент среднего перемещения узлов конечно-элементной модели детали, находящихся в зоне обработки. Вывод графиков на Рис. 6.15 осуществляется в системе координат, вращающейся вместе с обрабатываемой деталью. Как видно из представленных результатов расчета на заключительной стадии обработки наблюдается ожидаемый всплеск упругих отклонений детали в зоне резания, вызванный эффектом резкого увеличения окружного охвата зоны обработки (раздел 6.2). На обработанной поверхности детали при этом образуются следы вибраций, показанные на Рис. 6.15.

Проведенный анализ процесса обработки позволяет рекомендовать:

1) выбрать радиус закругления периферии шлифовального инструмента меньше радиуса перехода от ножки к внутренней сфере обрабатываемой детали;

2) использовать прямолинейную траекторию обработки с круговым окончанием для обработки радиусного перехода от внутренней ножки к сферической поверхности детали, либо использовать переменный угол наклона инструмента на завершающей стадии обработки;

3) использовать закон изменения подачи, обеспечивающий ее снижение по мере приближения к радиусному переходу обратно пропорционально мгновенной объемной скорости удаления материала.

Указанные меры позволят избежать резкого увеличения окружного охвата зоны резания в конце процесса обработки, что положительно скажется на снижении пиковых сил шлифования и вызванных ими нежелательных упругих отклонений и вибраций обрабатываемой детали.

Рис. 6.15. Следы вибраций на обработанной поверхности детали 6.4. Выводы по главе 6

1) Представленные в настоящей главе результаты демонстрируют применимость разработанной обобщенной модели динамики процессов обработки резанием для анализа процессов абразивной обработки, в том числе в случаях, когда деталь и инструмент осуществляют одновременное вращение относительно неколлинеарных собственных осей.

2) Разработанная модель и программное обеспечение позволяют рассчитывать в случае анализа процесса абразивной обработки:

• компоненты равнодействующей сил шлифования

• мгновенную объемную скорость удаления материала

• средние отклонения точек детали и/или инструмента в зоне обработки

• форму обработанной поверхности детали с учетом следов упругих отклонений, в том числе вибраций.

3) Результаты моделирования рассматриваемого процесса абразивной обработки упругого элемента позволяют выработать рекомендации по изменению геометрии инструмента, траектории и режимов обработки.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1) Разработана предметно-ориентированная обобщенная модель для анализа нелинейной динамики процессов пространственной обработки резанием, позволяющая путем имитационного моделирования устанавливать связь между управляемыми технологическими параметрами и показателями качества, точности, производительности операций обработки фрезерованием, точением, сверлением, шлифованием сложнопрофильных деталей. Применение разработанной модели позволяет осуществлять обоснованный выбор благоприятных режимов обработки резанием, способствующих снижению уровня вибраций и повышению качества обработанной поверхности детали, с учетом характерных особенностей рассматриваемых технологических процессов.

2) Совместное применение разработанного алгоритма геометрического моделирования, инвариантного для рассматриваемых типов технологических процессов, и феноменологических моделей сил резания, входящих в состав обобщенной модели динамики обработки резанием, обеспечивает:

• расчет в каждый момент времени обработки распределенных параметров взаимодействия криволинейных режущих кромок инструмента с обрабатываемой деталью (эпюры мгновенной толщины срезаемого слоя, сил резания, векторов скорости резания и др.);

• учет эффекта запаздывания за счет истории формирования поверхности заготовки в процессе обработки каждой режущей кромкой инструмента, что является необходимым условием корректного моделирования динамики технологических процессов обработки резанием;

• расчет макрогеометрии обработанной детали с учетом влияния вибраций и упругих отклонений (отжатий).

3) Разработанная универсальная блочно-модульная модель динамики компонентов технологической системы, входящая в состав обобщенной модели динамики обработки резанием, позволяет одновременно обеспечить:

• полностью автоматизированный расчет изменения динамических характеристик заготовок в процессе удаления припуска при обработке сложнопрофильных деталей;

• учет гироскопического эффекта в случаях обработки податливых вращающихся деталей или применения податливого вращающегося инструмента;

• эффективный учет переменного положения зоны резания относительно детали в процессе обработки;

• значительное снижение времени и ресурсоемкое™ расчета изменения динамических характеристик заготовки за счет разработанных алгоритмов применения многоуровневого метода суперэлементов, применения параллельных вычислений и рационального выбора начальных приближений к собственным формам колебаний заготовки.

4) Выполнена валидация, разработаны типовые сценарии практического применения разработанной обобщенной модели динамики процессов пространственной обработки резанием и программного комплекса, созданного на ее основе. Разработанные методы, алгоритмы и программное обеспечение для моделирования динамики процессов обработки резанием доведены до уровня, обеспечивающего возможность их промышленного применения в задачах снижения уровня нежелательных вибраций, повышения производительности и точности обработки резанием сложнопрофильных деталей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Амосов И. С. Осциллографическое исследование вибраций при резании металлов // Точность механической обработки и пути ее повышения: сборник научных трудов. М.; Л.: Машгиз, 1951. С. 45-58.

2. Берне В.А. Модальная идентификация динамических систем на основе монофазных колебаний // Системы анализа и обработки данных. 2010. №. 3. С. 99-109.

3. Берне В.А. Оценка точности определения характеристик собственных тонов при наличии случайных ошибок в экспериментальных данных // Сибирский аэрокосмический журнал. 2010. №. 5. С. 208-212.

4. Берне В.А. Погрешности определения характеристик собственных тонов при близких собственных частотах // Контроль. Диагностика. 2011. №. 3. С. 12-17.

5. Теория колебаний / В.Л. Бидерман, Москва: Высшая школа, 1980. 408 с.

6. Патент № 2212984 Российская Федерация, МПК В23В 43/00 (2006.01), МПК В23В 29/12 (2006.01), МПК В23В 47/34 (2006.01). Сверлильная головка с вибрационным эффектом: № 2000102715/02: заявл. 07.07.1998: опубл. 27.09.2003 / Брюн-Пикар Д., Гуськов A.M.; заявитель ЭНСТИТЮ НАСБОНАЛБ ПОЛИТЕКНИК ДЕ ГРЕНОБЛЬ (FR). - 15 с.:ил. - Текст: непосредственнй.

7. Волков Д. И., Кожина С. М. Динамическая модель резания нежестких деталей концевыми фрезами // Вестник Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. ПА Соловьева. 2018. №. 4. С. 68-78.

8. Волков Д. И., Кожина С. М. Повышение точности формообразования проточной части лопаток компрессора путем учета деформации технологической системы // Вестник Рыбинской государственной

авиационной технологической академии им. ПА Соловьева. 2020. №. 2. С. 62-67.

9. Волков Д. И., Никишов С. А. Механика образования плоскостей сдвига при стружкообразовании // Вестник Рыбинской государственной авиационной технологической академии им. П.А. Соловьева. 2020. №. 4. С. 51-55.

10. Воронов С. А. Оптимизация процесса вибрационного сверления // Труды МВТУ. Динамика и прочность машин. 1980. №. 332. С. 13-25.

11. Воронов С.А. Разработка математических моделей и методов анализа динамики процессов абразивной обработки отверстий: дис. ... докт. техн. наук. М., 2008. 309 с.

12. Воронов С. А., Непочатов А. В., Киселев И. А. Критерии оценки устойчивости процесса фрезерования нежестких деталей // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. №. 1. С. 50-62.

13. Воронов С. А., Киселев И. А. Геометрический алгоритм 3MZBL для моделирования процессов обработки резанием. Алгоритм изменения поверхности и определения толщины срезаемого слоя // Вестник МГТУ им.

H.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2012. №. 6 (6). С. 70-83.

14. Воронов С. А., Киселев И. А., Аршинов С. В. Методика применения численного моделирования динамики многокоординатного фрезерования сложнопрофильных деталей при проектировании технологического процесса // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2012. №. 6 (6). С. 50-69.

15. Существующие методы обеспечения низкочастотных вибраций инструмента с целью дробления стружки при сверлении глубоких отверстий / С.А. Воронов [и др.] // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №. 12. С. 842-857.

16. Воронов С. А., Иванов И. И., Киселев И. А. Исследование процесса фрезерования на основе редуцированной динамической модели инструмента // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2015. №.

I. С. 62-71.

17. Имитационная динамическая модель процесса шлифования сложнопрофильных деталей. Развитие методов моделирования / С. А. Воронов [и др.] // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №. 5. С. 40-58.

18. Воронов С. А., Киселев И. А. Нелинейные задачи динамики процессов резания // Машиностроение и инженерное образование. 2017. №. 2. С. 9-23.

19. Воронцов А.Л., Султанзаде Н.М., Албагачиев А.Ю. Разработка новой теории резания. 4. Обоснование и общие положения нового метода теоретического исследования процессов резания // Вестник машиностроения. 2008. №. 4. С. 69-74.

20. Воронцов АЛ., Султанзаде Н.М., Албагачиев А.Ю. Разработка новой теории резания. 5. Определение кинематического, напряженного и деформированного состояний обрабатываемой заготовки // Вестник машиностроения. 2008. №. 5. С. 61-69.

21. Определение собственных частот вращающейся цилиндрической оболочки / А. А. Герасименко [и др.] // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. №. 6 (6). С. 84-97.

22. Резание металлов / Г.И. Грановский, В.Г. Грановский, М.: Высш. шк., 1985. 304 с.

23. Губанов Г.А. Повышение эффективности автоматизированного производства аэродинамических моделей с применением разработанной системы демпфирующих устройств: дис. ... канд. техн. наук. Жуковский, 2015. 240 с.

24. Гуськов A.M. Разработка методов построения и анализа динамических моделей технологических процессов при механической обработке: дис. ... д-ра техн. наук. М., 1997. 341 с.

25. Гуськов А. М., Воронов С. А., Квашнин А. С. Влияние крутильных колебаний на процесс вибросверления // Вестник Московского государственного технического университета им. НЭ Баумана. Серия «Машиностроение». 2007. №. 1. С. 3-19.

26. Обзор литературных источников по моделированию динамики процесса сверления / А. М. Гуськов [и др.] // Машиностроение и компьютерные технологии. 2015. №. 12. С. 240-265.

27. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т. Т.2 / Под ред. A.M. Дальского [и др.], М.:Машиностроение-1, 2001. 944 с.

28. Технология конструкционных материалов / A.M. Дальский [и др.], М: Машиностроение, 2005. 592 с.

29. Численное решение больших разреженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю, М.: Мир, 1984. 333 с.

30. Дроздов Н. А. К вопросу о вибрациях станка при токарной обработке // Станки и инструмент. 1937. Т. 22. С. 21-25.

31. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич, М.: МИР. 1975. 541 с.

32. Жуков Н. А., Киселёв И. А. Исследование влияния сил контактного взаимодействия по задней поверхности режущего зуба на динамику концевого фрезерования // Труды МАИ. 2022. №. 123. С. 249-276.

33. Динамика процесса резания. Синергетический подход / В.Л. Заковоротный, М.Б. Флек, Ростов-на-Дону: Терра, 2006. 880 с.

34. Заковоротный В. Л., Гвинджилия В. Е. Синергетическая концепция при управлении процессами обработки на металлорежущих станках // Системный синтез и прикладная синергетика. 2021. С. 19-24.

35. Иванов В.Н. Место и роль механической обработки в производстве машиностроительной продукции // Комплект: ИТО. Инструмент. Технология. Оборудование. 2012. №. 5. С.78-79.

36. Трехмерная компьютерная графика / В.П. Иванов, A.C. Батраков, М: Радио и связь, 1995. 223

37. Иванов И. И., Киселёв И. А. Влияние режимов обработки на динамику податливого инструмента при плоском фрезеровании // Машиностроение и инженерное образование. 2014. №. 3. С. 47-54.

38. Иванов И. И., Киселёв И. А., Колоскова А. В. Исследование влияния режимов обработки на изгибные вибрации инструмента при сверлении //

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №. 11. С. 579-591.

39. Иванов И.И. Исследование динамики процесса вибрационного сверления с управлением: дис. ... канд. техн. наук. М., 2018. 198 с.

40. Ионов A.B. Создание на основе CALS-технологий универсальной автоматизированной системы управления технологической подготовкой производства лопаток компрессора ГТД: дис. ... канд. техн. наук. М., 2014. 126 с.

41. Исследование вибраций при резании металлов / А.И. Каширин, Л.: АН СССР, 1944. 132 с.

42. Применение параллельных вычислений для повышения эффективности решения задач большой размерности в конечно-элементном программном комплексе UZOR 1.0 / A.C. Киселев [и др.] // Труды 8-ой Российской НТК «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность». г. Геленджик, Краснодарский край. 2014. С. 117-131.

43. Киселев И. А. Геометрический алгоритм 3MZBL для моделирования процессов обработки резанием. Методика описания поверхности заготовки // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». 2012. №. 6 (6). С. 158-175.

44. Киселев И.А. Моделирование динамики процесса фрезерования тонкостенных сложнопрофильных деталей: дис. ... канд. техн. наук. М., 2013. 243 с.

45. Имитационная динамическая модель процесса шлифования сложнопрофильных деталей. Модель инструмента и обрабатываемой детали / И.А. Киселев [и др.] // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №. 9. С. 1-16.

46. Имитационная динамическая модель процесса шлифования сложнопрофильных деталей. Расчет сил шлифования и моделирование динамики обработки / И.А. Киселев [и др.] // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №. 10. С. 47-64.

47. Киселев И.А., Жуков H.A., Куць В.А., Воронов С.А. Программа для моделирования динамики пространственной фрезерной обработки сложнопрофильных деталей «NuMach-DynM» / Российская Федерация. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2022616836 -Получено 15.04.2022 г.

48. Киселев H.A., Куць В.А., Воронов С.А. Программа для моделирования параметров срезаемого слоя, сил резания и оптимизации подачи пространственной фрезерной обработки сложнопрофильных деталей «NuMach-OptiMR» / Российская Федерация. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2022616019 - Получено 04.04.2022 г.

49. Киселев H.A., Куць В.А., Воронов С.А. Программа для моделирования статического и динамического напряженно-деформированного состояния конструкций «PSE» / Российская Федерация. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2022616346 - Получено 08.04.2022 г.

50. Корендясев Г.К. Термомеханическая модель возбуждения автоколебаний при обработке металлов резанием: дис. ... канд. техн. наук. М., 2012. 109 с.

51. Костин П. Н., Лукьянов А. В. Натурное и численное моделирование свободных колебаний концевой сборной фрезы г790 // Молодежный вестник ИрГТУ. 2018. Т. 8. №. 3. С. 18-22.

52. Динамика станков / В.А. Кудинов, М.: Машиностроение, 1967. 360 с.

53. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++ / М. Ласло, М: Бином, 1997. 301 с.

54. Лукьянов А. В., Алейников Д. П., Воробьев А. И. Исследование собственных форм и частот колебаний обрабатывающего центра DMC-635 // Транспортная инфраструктура Сибирского региона. 2018. Т. 2. С. 470475.

55. Лукьянов А. В., Алейников Д. П., Костин П. Н. Исследование колебаний сил взаимодействия фрезы с заготовкой при попутном и встречном фрезеровании // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2022. № 3(75). С. 38-49.

56. Ma В. Разработка методики выбора рациональных параметров процесса шлифования на основе учета динамических характеристик деформируемой технологической системы: дис. ... канд. техн. наук. М., 2018. 155 с.

57. Выбор и назначение оптимальных условий протягивания заготовок из труднообрабатываемых материалов: учеб.-метод. пособие. / В.Ф. Макаров, Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2008. 395 с.

58. Некрасов В. Н. Управление качеством деталей путем прогнозирования топографии обработанной поверхности с использованием имитационного моделирования (на примере торцевого фрезерования): дис. ... канд. техн. наук. Барнаул: Алт. гос. техн. ун-т им. ИИ Ползунова, 2007. 118 с.

59. Николаев С.М. Идентификация параметров моделей динамики сложнопрофильных деталей при обработке фрезерованием: дис. ... канд. техн. наук. М., 2017. 186 с.

60. Обработка резанием с вибрациями / В.Н., Подураев М.: Машиностроение, 1970. 351 с.

61. Технология оборонной промышленности для производства изделий народного потребления / В.Н. Подураев, A.B. Кибальченко, М.: Росконверсия, 1993. 528 С.

62. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, H.A. Тарануха, Л.: Судостроение. 1990. 320 с.

63. Элементы теории процесса резания металлов / A.M. Розенберг, А.Н. Еремин, Свердловск: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1956. 320 с.

64. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд, М.: МИР, 1979. 392 с.

65. Метод подобия при резании металлов / С.С. Силин, М.: Машиностроение, 1979. 152 с.

66. Научные основы технологии машиностроения / А.П. Соколовский, М.: Машгиз, 1955. 515 с.

67. Сопротивление металлов и дерева резанию / И.А. Тиме, СПб., 1870. 143 с.

68. Автоколебания в металлорежущих станках. / И. Тлустый, М.: Машгиз, 1956. 395 с.

69. Ahmadi K., Altintas Y. Stability of lateral, torsional and axial vibrations in drilling // International journal of machine tools and manufacture. 2013. V. 68. P. 63-74.

70. Albrecht P. Closure to Discussion of Self-Induced Vibrations in Metal Cutting // Trans. ASME. Journal of Engineering for Industry. 1962. V. 84. P.416-417.

71. Altintas Y., Montgomery D., Budak E. Dynamic peripheral milling of flexible structures // Journal of Engineering for Industry. 1992. V. 114. Is. 2. P. 137-145.

72. Altinta§ Y., Budak E. Analytical prediction of stability lobes in milling // CIRP annals. 1995. V. 44. Is. 1. P. 357-362.

73. Altinta§ Y., Lee P. A general mechanics and dynamics model for helical end mills // CIRP annals. 1996. V. 45. Is. 1. P.59-64.

74. Manufacturing Automation / Y. Altintas, Cambridge University Press, 2000. 286 p.

75. Altintas Y., Weck M. Chatter stability of metal cutting and grinding // CIRP annals. 2004. V. 53. Is. 2. P. 619-642.

76. Altintas Y., Eynian M., Onozuka H. Identification of dynamic cutting force coefficients and chatter stability with process damping // CIRP annals. 2008. V. 57. Is. 1. P. 371-374.

77. Virtual compensation of deflection errors in ball end milling of flexible blades / Y. Altintas [et al.] // Cirp Annals. 2018. V. 67. Is. 1. P. 365-368.

78. Anderson R. O. Detecting and eliminating collisions in NC machining // Computer-aided design. 1978. V. 10. Is. 4. P. 231-237.

79. Arnold R. N. Cutting tools research: report of subcommittee on carbide tools: the mechanism of tool vibration in the cutting of steel // Proceedings of the institution of mechanical engineers. 1946. V. 154. Is. 1. P. 261-284.

80. Arvajeh T., Ismail F. Machining stability in high-speed drilling-Part 1: Modeling vibration stability in bending // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2006. V. 46. Is. 12-13. P. 1563-1572.

81. Arvajeh T., Ismail F. Machining stability in high speed drilling—part 2: time domain simulation of a bending-torsional model and experimental validations // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2006. V. 46. Is. 12-13. P. 1573-1581.

82. Balachandran B., Zhao M. X. A mechanics based model for study of dynamics of milling operations // Meccanica. 2000. V. 35. Is. 2. P. 89-109.

83. Finite Element Procedures / K.J. Bathe, Prentice-Hall, New Jersey. 1996. 1037 p.

84. Batzer S. A., Gouskov A. M., Voronov S. A. Modeling vibratory drilling dynamics // Journal of Vibration and Acoustics. 2001. V. 123. Is. 4. P. 435-443.

85. Theory of torsional chatter in twist drills: model, stability analysis and composition to test / P. V. Bayly [et al.] // Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2001. V. 123. Is. 4. P. 552-561.

86. An automatic spindle speed selection strategy to obtain stability in high-speed milling / I. Bediaga [et al.] // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2009. V. 49. Is. 5. P. 384-394.

87. Biermann D., Kersting P., Surmann T. A general approach to simulating workpiece vibrations during five-axis milling of turbine blades // CIRP annals. 2010. V. 59. Is. 1. P. 125-128.

88. Stability limits of milling considering the flexibility of the workpiece and the machine / U. Bravo [et al.] // International Journal of machine tools and manufacture. 2005. V. 45. Is. 15. P. 1669-1680.

89. Advances in modeling and simulation of grinding processes / E. Brinksmeier [et al.] // CIRP annals. 2006. V. 55. Is. 2. P. 667-696.

90. FE-simulation of machining processes with a new material model / S. Buchkremer [et al.] // Journal of Materials Processing Technology. 2014. V. 214. Is. 3. P. 599-611.

91. Budak E., Altintas Y. Modeling and avoidance of static form errors in peripheral milling of plates // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 1995. V. 35. Is. 3. P. 459-476.

92. Budak E., Altintas Y., Armarego E. J. A. Prediction of milling force coefficients from orthogonal cutting data // Transactions of ASME Journal of Manufacturing Science. 1996. V. l18. P. 216-224.

93. Budak E., Altintas Y. Analytical prediction of chatter stability in milling-part II: application of the general formulation to common milling systems // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 1998. V. 120. P. 31-36.

94. Budak E., Altintas Y. Analytical prediction of chatter stability in milling—part I: general formulation. // ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 1998. V. 120. P. 22-30.

95. Budak E. Analytical models for high performance milling. Part I: Cutting forces, structural deformations and tolerance integrity // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2006. V. 46. Is. 12-13. P. 1478-1488.

96. Budak E., Ozlu E. Analytical modeling of chatter stability in turning and boring operations: a multi-dimensional approach // CIRP annals. 2007. V. 56. Is. 1. P. 401-404.

97. Budak E., Ozturk E., Tunc L. T. Modeling and simulation of 5-axis milling processes // CIRP annals. 2009. V. 58. Is. 1. P. 347-350.

98. Prediction of workpiece dynamics and its effects on chatter stability in milling / Budak E. [et al.] // CIRP annals. 2012. V. 61. Is. 1. P. 339-342.

99. Campomanes M. L., Altintas Y. An improved time domain simulation for dynamic milling at small radial immersions // J. Manuf. Sci. Eng. 2003. V. 125. Is. 3. P. 416-422.

100. Carnegie W. Vibrations of rotating cantilever blading: theoretical approaches to the frequency problem based on energy methods // Journal of Mechanical Engineering Science. 1959. V. 1. Is. 3. P. 235-240.

101. Chen X., Rowe W. B. Analysis and simulation of the grinding process. Part I: generation of the grinding wheel surface // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 1996. V. 36. Is. 8. P. 871-882.

102. Comak A., Ozsahin O., Altintas Y. Stability of milling operations with asymmetric cutter dynamics in rotating coordinates // Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2016. V. 138. Is. 8. P. 0810041 - 0810047.

103. Craig Jr R. , Bampton M. C. Coupling of substructures for dynamic analyses // AIAA journal. 1968. V. 6. Is. 7. P. 1313-1319.

104. Evaluation of machine tools with position-dependent milling stability based on Kriging model / C. Deng [et al.] // International Journal of Machine Tools and Manufacture. 2018. V. 124. P. 33-42.

105. Time-domain simulation of milling processes including process damping / B. Denkena [et al.] // CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology. 2020. V. 30. P. 149-156.

106. Doman D. A., Warkentin A., Bauer R. Finite element modeling approaches in grinding // International journal of machine tools and manufacture. 2009. V. 49. Is. 2. P. 109-116.

107. Elbestawi M. A., Sagherian R. Dynamic modeling for the prediction of surface errors in the milling of thin-walled sections / /Journal of materials processing technology. 1991. V. 25. Is. 2. P. 215-228.

108. Eksioglu C., Kilic Z. M., Altintas Y. Discrete-time prediction of chatter stability, cutting forces, and surface location errors in flexible milling systems // Journal of Manufacturing Science and Engineering. 2012. V. 134. P 1-13.

109. General geometric modelling approach for machining process simulation / El-H. Mounayri [et al.] // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 1997. V. 13. Is. 4. P. 237-247.

110. Ema S., Fujii H., Marui E. Whirling vibration in drilling. Part 3: Vibration analysis in drilling workpiece with a pilot hole // ASME Journal of Engineering for Industries. 1988. V. 110. Is. 4. P. 315-321.

111. Engin S., Altintas Y. Mechanics and dynamics of general milling cutters.: Part I: helical end mills // International journal of machine tools and manufacture. 2001. V. 41. Is. 15. P. 2195-2212.