Моделирование динамического деформирования и разрушения плоских и осесимметричных тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Спевак, Лев Фридрихович

• Спевак, Лев Фридрихович
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Спевак, Лев Фридрихович

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

1.1. Моделирование процессов динамического деформирования твердых тел

1.2. О моделях разрушения твердых тел

1.3. Исследование пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации

1.4. Постановка задачи исследования

2. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ, ОСНОВАННЫЙ НА ВАРИАЦИОННОЙ ПОСТАНОВКЕ

2.1. Постановка краевой задачи теории пластического течения

2.2. Применение вариационных принципов для решения краевых задач механики

2.2.1. Вариационные принципы для статических задач механики

2.2.2. О вариационных принципах динамики

2.3. Решение краевых задач механики методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке

2.4. Задача об ударе упругого стержня о жесткую преграду

2.4.1. Решение задачи с помощью разностного представления виртуальных функций

2.4.2. Решение с помощью представления виртуальных функций в виде рядов Фурье

2.4.3. Расчет поврежденности стержня

2.5. Задача об ударе упругопластического и жесткопластического стержней о жесткую преграду

2.6. Выводы

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ

3.1. Пробивание круговой пластины жестким шариком

3.1.1. Математическая модель процесса пробивания пластины

3.1.2. Расчет напряженно-деформированного состояния в пластине с учетом поврежденности и разрушения

3.1.3 Двумерное решение задачи о пробивании пластины

3.2. Внедрение жесткой частицы в пластическую преграду

3.2.1. Математическая модель внедрения квадратной пластинки в пластическое полупространство

3.3. Высокоскоростной разрыв цилиндрического образца в условиях высокого гидростатического давления

3.3.1. Постановка задачи и математическая модель

3.3.2. Определение напряженно-деформированного состояния в образце

3.3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния в образце из материала с деформационным упрочнением. Методика расчета пластичности металла

3.4. Выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамического деформирования и разрушения плоских и осесимметричных тел»

Процессы изготовления и эксплуатации машиностроительных конструкций часто происходят при интенсивных высокоскоростных нагрузках. Динамические нагрузки возникают также при соударении частей работающих машин. Поэтому исследование процессов динамического деформирования и разрушения твердых тел является актуальной задачей. При этом экспериментальные исследования обычно являются дорогостоящими и часто не дают необходимого результата. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент на современных ЭВМ могут быть более дешевым и эффективным, а зачастую и единственно возможным, способом изучения реакции твердых тел на динамические нагрузки.

Исследование высокоскоростного взаимодействия является предметом теоретических и экспериментальных исследований ученых в России и за рубежом. Созданы различные математические модели, описывающие процессы взаимодействия в различных диапазонах изменения параметров. При этом для достаточно полного описания процессов используется как аппарат механики сплошной среды, так и некоторые разделы физики твердого тела, поскольку необходимо знание о свойствах материалов в широком диапазоне изменения параметров нагружения. Общих моделей, описывающих все явления, возникающие при ударном нагружении, такие как упругое деформирование и пластическое течение, плавление и затвердевание, фазовые переходы и накопление различных макродефектов, в настоящее время не существует. Основным препятствием для создания таких моделей является сложность построения определяющих уравнений среды, работающих в широком диапазоне изменения давления, скорости деформации, температуры и других параметров. Получение динамических определяющих соотношений из эксперимента без предварительного теоретического анализа невозможно даже для простейших видов испытаний. Поэтому математическое моделирование необходимо уже на стадии постановки задачи. Таким образом, наряду с созданием достаточно общих моделей, большое значение имеет построение адекватных моделей, описывающих процесс ударного 6 деформирования в рамках некоторого диапазона параметров процесса и принимаемых в рассмотрение явлений.

Представляемая диссертация посвящена моделированию высокоскоростного нагружения пластически деформируемых тел на основе решения краевой задачи, описывающей процесс пластического течения. Расчет напряженно-деформированного состояния производится с помощью метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке. Этот метод предполагает интегрирование по пространственным переменным с помощью вариационного принципа. Решение квазистатической вариационной задачи прямым методом, например, методом Ритца, сводит решение исходной динамической задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно параметров, зависящих от времени. Использование метода позволяет описывать широкий класс процессов деформирования на конечном промежутке времени с учетом накопления в материале поврежденности и разрушения деформируемых тел. Метод был предложен В.Л.Колмогоровым в 1995 году. Его тестирование, обоснование применимости и реализация для решения ряда важных задач производилась при непосредственном участии автора диссертации. Работа, посвященная моделированию с помощью предложенного метода некоторых процессов динамического деформирования и разрушения плоских и осесимметричных тел, послужила основой представляемой диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

В главе 1 сделан литературный обзор по вопросам моделирования высокоскоростного деформирования и разрушения твердых тел, а также исследования пластичности металлов при высоких давлениях и скоростях деформации. Сформулирована задача исследования.

В главе 2 дана формулировка краевой задачи теории пластического течения и кратко изложена теория разрушения как составляющая краевой задачи. Описан метод разделения переменных, основанный на вариационной постановке. Приведено обоснование применимости метода для решения динамических задач механики. Представлено решение задачи об ударе стержня о жесткую преграду. 7

Глава 3 посвящена построению математических моделей конкретных процессов динамического деформирования и разрушения на основе решения краевых задач методом разделения переменных. Приведено два варианта решения задачи о пробивании тонкой пластины жестким шариком. Исследовано влияние сопротивления среды, на которую опирается пластина, на параметры разрушения пластины. Построена модель внедрения летящей жесткой частицы в пластическое полупространство. Произведен расчет глубины проникания частицы для различных параметров процесса. Построена математическая модель высокоскоростного растяжения цилиндрического образца в условиях высокого давления. Разработаны алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в образце до момента разрыва. На основе построенной модели предложена новая методика расчета пластичности металлов. Получены зависимости пластичности чистого железа от скорости деформации при различных значениях гидростатического давления.

В заключении сделаны общие выводы по результатам работы.

Приложение включает в себя:

- акт использования в Институте физики металлов УрО РАН методики расчета пластичности металлов на основе экспериментов по высокоскоростному деформированию цилиндрических образцов при высоких давлениях на установке для испытания материалов при сложном нагружении;

- акт использования решений задач, приведенных в диссертации, в учебном процессе в составе второго издания учебника [25] на металлургическом факультете Уральского государственного технического университета - УПИ.

На защиту выносится:

- обоснование применимости метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, для решения динамических задач механики деформируемого твердого тела, принципы построения математических моделей и алгоритмов расчета на основе этого метода;

- математическая модель деформирования и разрушения круговой пластины, опирающейся на плотную среду, под воздействием летящего шарика, алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и поврежденности материала пластины, оценка влияния свойств среды на параметры разрушения; 8

- математическая модель внедрения плоской квадратной частицы в пластическое полупространство и алгоритм расчета глубины проникновения частицы и силы ее воздействия на материал мишени с учетом возможного разрушения материала мишени;

- математическая модель высокоскоростного испытания цилиндрического образца на разрыв в камере высокого давления, алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния и поврежденности в образце в процессе испытания до момента разрыва;

- методика расчета пластичности металла на основе испытаний цилиндрических образцов на разрыв в камере высокого давления.

Материалы диссертации докладывались на всероссийских и международных научно-технических конференциях.

Работа выполнена в рамках планов фундаментальных исследований Института машиноведения УрО РАН по госбюджетным темам:

- "Системное моделирование кинетики развития поврежденности материалов в процессе обработки деталей и эксплуатации машин с целью управления долговечностью и живучестью изделий машиностроения" (гос. per. № 01.9.10037664);

- "Создать метод расчетов в механике деформирования и разрушения при неизотермическом динамическом воздействии, алгоритмы параллельных вычислений и осуществить их реализацию на больших ЭВМ" (гос. per. № 01.9.60.011832), а также инициативных научных проектов Российского фонда фундаментальных исследований:

- проект № 94-01-01404-а "Приближенные методы механики разрушения при ударном взаимодействии", 1994-1995 гг.;

- проект № 96-01-01309 "Приближенные методы расчетов в механике деформирования и разрушения при ударном взаимодействии, алгоритмы параллельных вычислений и их реализация на больших ЭВМ", 1996-1997 гг.;

- проект № 98-01-00018 "Развитие приближенного метода расчета ударных процессов деформирования и разрушения твердых тел с целью разработки 9 основ управления процессом разрушения и описания деформирования со сверхвысокими скоростями", 1998-2000 гг.; - проект № 01-01-00581 "Применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, к решению задач неизотермического деформирования и других практически важных задач. Разработка алгоритмов и создание программ для решения некоторых важных задач", 2001-2003 гг. Основные результаты диссертации изложены в работах [73-83]. Отдельные результаты использованы во втором издании книги В.Л.Колмогорова "Механика обработки металлов давлением" [25].

10

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Спевак, Лев Фридрихович

3.4. Выводы

Принцип виртуальных скоростей и напряжений применим в случае, когда имеют место граничные условия, выражающие связь поверхностного напряжения со скоростью движения на границе. Использование этого принципа в качестве основы метода разделения переменных позволяет решить задачу о пробивании пластины в более корректной, двумерной постановке. Двумерное решение, в отличие от одномерного, дает возможность оценить влияние коэффициента сопротивления среды, на которую опирается пластина, на параметры деформирования и разрушения пластины. С увеличением абсолютного значения коэффициента увеличивается время деформирования до разрушения при ударе жестким шариком, уменьшаются прогиб пластины и скорость движения шарика к моменту разрыва пластины.

Снижение значения пластичности материала пластического полупространства на пути проникания в него жесткой частицы приводит к разрушению вследствие воздействия частицы. Разрушение материала преграды приводит к значительному увеличению глубины проникания частицы.

Математическая модель высокоскоростного растяжения находящегося под гидростатическим давлением цилиндра позволяет построить алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния в процессе растяжения с учетом накопления поврежденности вплоть до разрушения. Локализация деформации в большинстве проведенных расчетов возникает вблизи середины образца. В остальных случаях разрыв происходил непосредственно у торца образца. Предсказать место локализации деформации при высоких скоростях деформации не представляется возможным.

Определение пластичности по разработанной методике на примере чистого железа дало результаты, близкие к полученным по обычной методике. С увеличением скорости деформации пластичность железа при атмосферном давлении падает, а в условиях высокого давления — возрастает. Новая методика расчета пластичности может быть рекомендована для проведения вычислительных экспериментов.

120

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертации исследования дали следующие основные результаты:

1. Обосновано применение метода разделения переменных, основанного на вариационной постановке, для решения динамических упругопластических задач и задач теории пластического течения. На основе этого метода и известной теории разрушения разработана методика построения математических моделей процессов динамического деформирования и разрушения твердых тел.

2. Предложена формулировка принципа виртуальных скоростей и напряжений для случая, когда имеют место граничные условия, выражающие связь поверхностного напряжения со скоростью движения на границе.

3. Разработаны одно- и двумерная математические модели процесса пробивания жестким шариком пластины, опирающейся на плотную среду. Проведен сравнительный анализ двух решений. Исследовано влияние свойств среды, на которую опирается пластина, на параметры деформирования и разрушения пластины.

4. Разработана математическая модель внедрения плоской частицы в пластическое полупространство. Исследовано влияние возможного разрушения материала полупространства на увеличение глубины проникания частицы.

5. Разработана математическая модель высокоскоростного растяжения цилиндра, находящегося под гидростатическим давлением. Проведено исследование распространения возмущений в образце и характера локализации деформации.

6. Разработана методика определения пластичности металлов на основе экспериментов по высокоскоростному деформированию цилиндрических образцов при высоких давлениях на установке для испытания материалов при сложном нагружении, используемая в Институте физики металлов УрО РАН. Исследовано влияние скорости деформации на пластичность чистого железа при различных гидростатических давлениях. Результаты расчетов сопоставлены с результатами эксперимента.

121

7. Примеры решения краевых задач методом разделения переменных, основанным на вариационной постановке, включены в учебник для вузов, используемый в учебном процессе на металлургическом факультете Уральского государственного технического университета - УПИ.

122

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Спевак, Лев Фридрихович, 2002 год

1. Высокоскоростное взаимодействие тел / В.М.Фомин, А.И.Гулидов, Г.А.Сапожников и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.

2. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1992. 295 с.

3. Бриджмен П.В. Новейшие работы в области высоких давлений. М.: ИЛ, 1948. 300 с.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

5. Седов Л.М. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т.1. 536 е., т.2. 584 с.

6. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. 287 с.

7. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 271 с.

8. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

9. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. 407 с.

10. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

11. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1961. 399 с.

12. Нигматулин Р.И., Холин Н.Н. К модели упругопластической среды с дислокационной кинетикой пластического деформирования // Изв. АН СССР. ММТ. 1974. № 4. С. 131-146.

13. Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // Успехи механики. 1985. Т. 6, вып. 4. С. 21-63

14. Уилкинс М. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике М.: Мир, 1967. С. 212-263.

15. Гулидов А.И., Фомин В.М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды // ПМТФ. 1980. № 3. С. 126-132.

16. Применение принципов дискретно-континуального представления среды в задачах высокоскоростного взаимодействия тел / Гладышев A.M., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. // Моделирование в механике. 1993. Т. 7, № 4. С. 36-51.123

17. Ленский B.C. Об упруго-пластическом ударе стержня о жесткую преграду // ПММ. 1949. Т. 13, № 2. С. 165-170.

18. Мочалов С.Д. Графический метод исследования продольного упруго-пластического удара стержней // Ученые записки Томского ун-та. 1952. № 17.

19. Бахшиян Ф.А. К вязко-пластическому течению при ударе цилиндра по пластине //ПММ. 1948. Т. 12, № 1.

20. Hutchings I.M. Deformation of metal surfaces by the oblique impact of square plates // International Journal of Mechanical Sciences. 1977. V. 19, №1. Pp. 45-52.

21. Papini M., Spelt J.K. Impact of rigid angular particles with fully-plastic targets. Part I: Analysis // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. V. 42, №5. Pp. 991-1006.

22. Papini M., Spelt J.K. Impact of rigid angular particles with fully-plastic targets. Part II: Parametric Study of erosion phenomena // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. V. 42, №5. Pp. 1007-1025.

23. Остапенко H.A., Якунина Г.Е. О форме тонких пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПММ. 1999. Т.63, JV° 6. С. 1018-1034.

24. Бабаков В.А., Каримов И.М. Приближенный метод расчета проникания ударника в пластическую среду // Динамика многофазных сред. Вып. 83. ИгиЛ СО АН СССР. 1987. С. 3-10.

25. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. 1-е изд. М.: Металлургия, 1986. 688 с. 2-е изд., дополненное и переработанное - Екатеринбург.: Изд-во УГТУ-УПИ, 2001. 836 с.

26. Теория ковки и штамповки / Е.П.Унксов, У.Джонсон, В.Л.Колмогоров и др. // Под ред. Е.П.Унксова, А.Г.Овчинникова. М.: Машиностроение, 1992. 720 с.

27. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИЛ, 1955.444 с.

28. Давиденков Н.Н., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца // Зав. лаб. 1945. Т. 11, № 6. С 583-593.

29. Gotoh М., Yamashita М. Chaotic behavior of an elastoplastic bar in tensile test over a wide range of strain rate: a numerical investigation // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. V. 42. №8. Pp. 1593-1606.124

30. Кукуджанов В.Н. Микромеханическая модель разрушения неупругого материала и ее применение к исследованию локализации деформации // Изв. РАН. МТТ. 1999. №5. С. 72-87.

31. Брызгалов Ю.Б., Кукуджанов В.Н. Локализация деформаций и динамическое разрушение при импульсном нагружении // Тез. докл. VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С.123.

32. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов. В 2х томах. М.: Металлургиздат, 1960. Т. II. 416 с.

33. Смирнов-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов. М.: Машгиз, 1956. 367 с.

34. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. 3-е изд., доп. и перераб. Л.Машиностроение, 1978. 368 с.

35. Качанов Л.М. О времени до разрушения при ползучести // Доклады АН СССР. ОТН. 1958. № 8, С. 67-75.

36. Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // В кн.: Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Издательство АН СССР. 1959. С. 5-7.

37. Колмогоров В.Л. Напряжения, деформации, разрушение. М: Металлургия, 1970. 229 с.

38. Богатов А.А., Мижирицкий О.И., Смирнов С.В. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением. М.: Металлургия, 1984. 144 с.

39. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1980.280 с.

40. Кийко И.А. Теория разрушения в процессах пластического течения // Обработка металлов давление. Межвузовск. сборник. Свердловск: изд-во УПИ, 1982. С 27-40.

41. Глушко A.M. Исследование откола как процесса образования микропор // Изв. АН СССР.МТТ. 1978. №5. С. 132-140.

42. Кукуджанов В.Н. О моделях и критериях динамического разрушения при распространении упругопластических волн // Мат. конф. по распространению упругопластических волн. Фрунзе, 1983. Ч. 2. С. 41-43.125

43. Рузанов А.П. Численное моделирование процессов разрушения твердых тел при импульсных нагрузках // Прикладные проблемы прочности и пластичности. №15, Статика и динамика. Горький, 1980. С. 38-53.

44. Seaman L., Curran D.R., Schockey D.A. Computational models for ductile and brittle fracture // J. Appl. Phys. 1976. V. 47, No. 11. Pp. 4814-4826.

45. Пластичность и прочность твердых тел при высоких давлениях / Б.И.Береснев, Е.Д.Мартынов, К.П. Родионов и др. М.: Наука, 1970. 162 с.

46. Пью Л.Х. Механические свойства материалов под высоким давлением. В 2х кн. М.: Мир, 1973. Вып. 1.296 с.

47. Рябинин Ю.Н., Лившиц Л.Д., Верещагин Л.Ф. О пластичности некоторых сплавов при высоких давлениях // ФТТ. 1959. Т.1, №3. С. 476-581.

48. Рябинин Ю.Н. Влияние всестороннего гидростатического давления на деформацию металлов, подвергающихся растяжению // ИФЖ. 1958. Т.1, №12. С. 90-95.

49. Исследование пластичности металлов металлов под гидростатическим давлением / А.А.Богатов, О.И.Мижирицкий, В.Ф.Шишминцев и др. // ФММ. 1978. Т. 45, №5. С. 1089-1094.

50. Важенцев Ю.Г. Прочность и пластичность материалов под гидростатьическим давлением. Томск: изд-во ТПИ, 1978. 86 с.

51. Маклин Д. Границы зерен металлов. М.: Металлургия, 1961. 344 с.

52. Mclean D. Mechanical properties of metals. New York London, 1961. 456 p.

53. Деформационное упрочнение и разрушение поликристаллических металлов / В.И.Трефилов, В.Ф.Моисеев, Э.П.Печковский и др. Киев: Наукова думка, 1989. 256 с.

54. Мороз Л.С. Механика и физика деформаций и разрушения материалов. Л.: Машиностроение, 1984. 224 с.

55. Павлов В.А. Физические основы пластической деформации металлов. М.: Наука, 1962. 199 с.

56. Христенко И.Н. Влияние скорости деформации на изменение напряжения течения //Известия АН СССР. Металлы. 1984. №2. С. 164-167.126

57. Витман Ф.Ф., Степанов В.А. Некоторые проблемы прочности твердого тела. М. -Л.: Наука, 1959. 386 с.

58. Пашков П.О. Растяжение и разрыв металлов. Л.: Судпромгиз, 1952. 115 с.

59. Смирнов А.Р. Москаленко В.А. Дислокационная субструктура и механические свойства титана, деформированного с различными скоростями // ФММ. 1988. Т. 66, № 4. С. 799-807.

60. Влияние скорости деформирования на прочность и пластичность магния и магниевых сплавов, содержащих литий / Ю.Е.Бусалов, И.И.Гурьев, Ф.М.Елкин и др. // Физика и химия обработки материалов. 1972. № 3. С. 145-148.

61. Чурбаев Р.В., Талуц Г.Г., Буркин С.П. Совершенствование метода оценки пластичности металлов и сплавов // Обработка металлов давлением: Межвуз. сб. Свердловск: УПИ, 1988. Вып. 15. С.41-45.

62. Влияние скорости деформации на пластичность металлов под давлением / Р.В.Чурбаев, А.В.Добромыслов, В.Л.Колмогоров и др. // ФММ. 1990. № 6. С. 178183.

63. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

64. Федотов В.П. Вариационные решения упругопластических задач // Материалы конф. "Актуальные проблемы пластической обработки металлов". Варна, Болгария, 1990. С.223-227.

65. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

66. Койтер В. Общие теоремы упругопластических сред. М.: ИЛ, 1961. 78 с.

67. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

68. Марков А.А. О вариационных принципах в теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1947. Т. XI. С. 339-350.

69. Колмогоров В.Л. Принцип возможного изменения напряженного и деформированного состояния // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1967. №2. С. 143-152.127

70. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 302 с.

71. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

72. Колмогоров В.Л. Метод расчета напряженно-деформированного состояния в общей краевой задаче развитого течения // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. 1995. N 2. С. 87-98.

73. Применение метода расчета напряженно-деформированного состояния для некоторых задач обработки металлов давлением / В.Л.Колмогоров, С.В.Вершинин, Л.Ф.Спевак и др. // Тез. докл. 10-й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995. С. 59-60.

74. Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф., Трухин В.Б. Метод расчета напряженно-деформированного состояния в общей краевой задаче обработки металлов // Технология легких сплавов. 1995. №4. С. 39-49.

75. Гасилов В.Л., Колмогоров В.Л., Спевак Л.Ф. Модель разрушения в процессах развитого деформирования металлов // Прочность и пластичность, т. 2. Труды IX Конференции по прочности и пластичности. Москва, 1996. С. 58-63.

76. Динамические задачи механики деформирования и разрушения материалов / В.Л.Колмогоров, В.Л.Гасилов, В.П.Федотов и др. // Тез. докл. 11-й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1997. С. 61.

77. V.L.Kolmogorov, V.P.Fedotov, L.F.Spevak. Modeling of Metal forming Processes and Fracture in Metals Under Impact Loads // CD-ROM Computational Mechanics / S.Idelsohn, E.Onate, E.Dvorkin (Eds.). CIMNE, Barcelona, Spain. 1998.

78. Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Решение динамических задач пластичности основанным на вариационной постановке методом разделения переменных // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, №7. С. 36-40.

79. Федотов В.П., Спевак Л.Ф. Вариационный метод разделения переменных для задач пластического удара // Известия УрГУ. 2000. №18 (Математика и механика. Вып. 3.). С. 185-196.

80. Спевак Л. Ф., Залазинская Е. А. Определение закона движения твердой частицы в пластической среде // В сб. статей: Механика деформирования и разрушения. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 31-51.

81. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1984. 272 с.

82. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1974. 331 с.

83. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебник для физ. и физ.-мат. фак-ов ун-тов. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1951. 659 с.

84. Сверхглубокое проникание частиц порошка в преграду / С.К.Андилевко, О.В.Роман, Г.С.Романов и др. //В кн.: Порошковая металлургия. Минск: Высшая школа, 1985. Вып. 9. С. 3-13.

85. О модели сверхглубокого проникания / Л.В.Альтшулер, С.К.Андилевко, Г.С.Романов и др.// Письма в ЖТФ. 1989. №15 (5). С. 55-57.

86. Сверхглубокое проникание дискретных микрочастиц / С.К.Андилевко, Г.С.Романов, С.М.Ушеренко и др. // Всесоюзное совещание по детонации. Сборник докладов. Красноярск, 1991. Т. 1. С. 38-42.

87. Григорян С.С. О природе "сверхглубокого" проникания твердых микрочастиц в твердые материалы // Доклады академии наук СССР. 1987. Т. 292, №6. С. 1319— 1323.

88. Черный Г.Г. Механизм аномально низкого сопротивления при движении тел в твердых средах // Доклады академии наук СССР. 1987. Т. 292, №6. С. 1324-1328.

89. Киселев В.П., Киселев С.П. О сверхглубоком проникании частиц в металлические преграды // Тез. докл. VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 325.

90. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

91. Пластичность и разрушение / Под ред. В.Л.Колмогорова. М.: Металлургия, 1977. 336 с.

92. Колмогоров В.Л., Мигачев Б.А., Бурдуковский В.Г. Феноменологическая модель накопления повреждений и разрушения при различных условиях нагружения. Екатеринбург: УрО РАН. 1994. 104 с.

93. Установка сложного нагружения для исследования материалов при высоких регулируемых давлениях / Р.В.Чурбаев, В.Л.Колмогоров, Г.Г.Талуц и др. // Заводская лаборатория. 1989. Т. 55, №9. С. 98-99.130