Моделирование автомобильного трафика в применении к системам симуляции транспортных потоков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Курц, Валентина Валерьевна

• Курц, Валентина Валерьевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Курц, Валентина Валерьевна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ

1.1 Модели автомобильного трафика

1.2 Программные продукты имитационного моделирования транспортных потоков

1.3 Понятие устойчивости транспортного потока

1.4 Солверы с кратными шагами для решения систем дифференциальных уравнений

1.5 Методики калибровки микроскопических моделей автомобильного трафика на основе реальных данных

ГЛАВА 2 НОВЫЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАФИКА

2.1 Модель следования за лидером с весами

2.2 Микроскопическая модель с запаздывающим аргументом

ГЛАВА 3 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НОВЫХ МОДЕЛЕЙ

3.1 Исследование локальной устойчивости модели с весами

3.2 Исследование потоковой устойчивости модели с весами на кольце

3.3 Исследование локальной устойчивости модели с запаздывающим аргументом

3.4 Исследование потоковой устойчивости модели с запаздывающим аргументом

ГЛАВА 4 МЕТОДИКИ КАЛИБРОВКИ МОДЕЛЕЙ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАФИКА

4.1 Калибровка на основе данных о технических характеристиках автомобиля

4.2 Калибровка на основе реальных данных о траекториях автомобилей

ГЛАВА 5 БЫСТРЫЙ СОЛВЕР С КРАТНЫМИ ШАГАМИ ДЛЯ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ

5.1 Локальная ошибка метода

5.2 Устойчивость численной схемы с кратными шагами

5.3 Результаты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

115

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование автомобильного трафика в применении к системам симуляции транспортных потоков»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Теория транспортных потоков начала развиваться в 50-х годах XX века. Тогда появились первые макроскопические модели, в которых транспортный поток уподобляется жидкости с мотивацией, и первые модели микро уровня, согласно которым уравнения движения выписываются для каждого автомобиля в отдельности. В последующие годы оба класса моделей были существенно расширены. В настоящее время в мире существуют десятки научных журналов, в которых публикуются материалы на транспортную тематику: Transportation Research B, Physical Review E, Review of modern physics, Transportation Science. Регулярно проводятся крупные конференции по математическому моделированию транспортных потоков и смежным вопросам: Traffic and Granular Flow conference, Transportation Research Board conference, International Conference on Intelligent Transportation Systems. Несмотря на колоссальный объем накопленного почти за 70 лет научного материала, феномен образования заторных состояний до конца так и не изучен. Более того, не существует моделей, которые достоверно описывали бы все существующие фазы транспортного потока. При этом задача прогнозирования появления и развития заторных ситуаций на дорогах имеет высокую степень актуальности в настоящее время и требует разработки новых моделей автомобильного трафика высокой степени реалистичности.

Поскольку стили вождения, правила дорожного движения и марки автомобилей могут сильно отличаться в зависимости от страны, то необходимой составляющей для получения достоверного результата является калибровка таких параметрических моделей. Существует множество работ, посвященных калибровке моделей автомобильного трафика на основе реальных данных. Однако разработанные на данный момент методики не учитывают условий устойчивости свойств решений используемых моделей и не позволяют настраивать модели на основе данных о технических характеристиках транспортных средств.

Для прогнозирования поведения транспортных потоков, изучения схем оптимального управления и схем организации дорожного движения в настоящее время существуют и продолжают развиваться программные продукты моделирования автомобильного трафика (AIMSUM, MITSIM, VISSIM, Paramics). Кроме того, модели автомобильного трафика являются неотъемлемой составляющей обучающих транспортных тренажеров. В данном случае к реалистичности моделирования движения и поведения автомобилей предъявляются высокие требования, поскольку это оказывает непосредственной влияние на качество обучения. В некоторых случаях количество одновременно моделируемых транспортных средств может достигать десятков тысяч, при этом моделирование должно выполняться в режиме реального времени. В существующих программных продуктах для численного решения получающихся

систем большой размерности используются стандартные численные методы, которые не учитывают специфику решаемой задачи и в некоторых случаях могут давать большую ошибку численного интегрирования. Таким образом, использование даже высоко реалистичных моделей становится бесполезным. С другой стороны, уменьшение временного шага в схеме численного интегрирования может значительно увеличить расчетное время, тем самым моделирование в режиме реального времени становится невозможным.

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию новых микроскопических моделей автомобильного трафика для использования в транспортных тренажерах и САПР интеллектуальных транспортных систем (ИТС), а также созданию быстрого вычислительного алгоритма для решения соответствующих систем дифференциальных уравнений большой размерности с требуемой точностью и исследованию его устойчивости.

Степень разработанности темы исследования. Математические модели транспортных потоков подразделяются на два крупных класса - микроскопические и макроскопические модели. Последний класс не подходит для использования в обучающих транспортных тренажерах, а значит не может быть рассмотрен для достижения цели данного диссертационного исследования. Среди микроскопических моделей одной из самых известных и хорошо себя зарекомендовавших моделей является модель «разумного водителя», предложенная Мартином Трайбером в 1999 году. Данная модель обладает набором параметров, которые имеют содержательную интерпретацию. Кроме того, она способна воспроизводить неустойчивости транспортного потока, которые наблюдаются на практике. Именно поэтому, модель «разумного водителя» была выбрана в качестве «отправной точки» в данном исследовании.

В теории транспортных потоков определено несколько типов устойчивости, которые наблюдаются на практике (или обнаружены путем анализа реальных данных). Одним из направлений исследований является определение условий на параметры моделей, когда тот или иной тип устойчивости/неустойчивости имеет место.

Большое количество работ посвящено методикам калибровки моделей транспортных потоков на основе реальных данных. Задача подбора параметров представляет собой задачу многомерной нелинейной оптимизации с ограничениями. Полученные результаты калибровки, в частности, могут служить критерием при оценке реалистичности моделей автомобильного трафика. Однако, на данный момент не известны методики, которые позволяют определять параметры модели на основе данных о технических характеристиках конкретного транспортного средства и при этом учитывать математические свойства модели (например, условия устойчивости).

Использование микроскопического подхода для моделирования динамики транспортных потоков приводит к системам обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений с запаздывающим по времени аргументом. Обычно для решения таких систем используют явные схемы численного интегрирования, а за счет выбора довольно малого шага интегрирования использование схем невысокого порядка точности дает приемлемые результаты. Одной из областей применения микро уровневых моделей являются тренажеры обучения вождению, в которых не используются суперкомпьютеры. В некоторых ситуациях количество одновременно моделируемых агентов может достигать таких значений, при которых решение с помощью стандартных вышеупомянутых численных схем не может быть получено в режиме реального времени. Это обусловлено тем, что среди компонент вектора неизвестных соответствующих систем дифференциальных уравнений присутствуют как быстро, так и медленно меняющиеся, в результате чего для достижения требуемой точности шаг интегрирования оказывается очень маленьким. В настоящее время существует такой класс численных методов, как солверы с кратными шагами - multirate solvers, в которых на каждом макро шаге для каждой из компонент на основе информации о скорости ее изменения и априорной оценки вычисляется свой шаг интегрирования, кратный макро шагу. Однако в литературе не найдено упоминаний о том, что такие методы использовались при моделировании транспортных потоков. Не обнаружено работ, посвященных исследованию устойчивости такого класса методов в применении к задачам моделирования автомобильного трафика.

Целью работы является разработка комплексного подхода для моделирования транспортных потоков в применении к транспортным тренажерам и САПР ИТС, которое может быть выполнено в режиме реального времени на персональном компьютере. Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработать новые микро уровневые модели автомобильного трафика, которые являются развитием существующих и хорошо зарекомендовавших себя на практике моделей и устраняют некоторые из их недостатков, тем самым повышая степень реалистичности моделирования транспортных потоков.

2. Провести исследование устойчивости новых моделей и получить соответствующие условия на параметры моделей.

3. Для новых моделей реализовать и применить методику калибровки на основе реальных данных о траекториях автомобилей.

4. Для новых моделей доработать, реализовать и применить методику калибровки, которая учитывает технические характеристики транспортного средства, а также полученные условия устойчивости.

5. Разработать быстрый вычислительный метод решения получающихся систем дифференциальных уравнений большой размерности, который учитывает специфику решаемой задачи и позволяет получать решение с требуемой точностью. Получить условия устойчивости для данного метода.

6. Создать комплекс программ для моделирования автомобильного трафика. Объектом исследования являются транспортные потоки. В качестве предмета

исследований выступают микроскопические модели автомобильного трафика, их устойчивость, методики калибровки, а также быстрые и надежные численные методы для решения соответствующих систем дифференциальных уравнений большой размерности.

Методология и методы исследования. Исследование устойчивости предложенных микроскопических моделей автомобильного трафика выполнено с использованием метода Ляпунова [63] и метода бифуркаций [66]. Численные эксперименты, подтверждающие корректность полученных условий устойчивости, проведены с использованием средств MATLAB. Методика настройки предложенных параметрических моделей на основе информации об их технических характеристиках основана на решении многомерной нелинейной задачи оптимизации с ограничениями в виде равенств и неравенств. Ограничения в виде равенств порождены схемой численного интегрирования [77], а ограничения в виде неравенств - полученными в рамках данного диссертационного исследования условиями устойчивости. Методика калибровки на основе реальных данных о траекториях автомобилей также основана на решении многомерной нелинейной задачи оптимизации с ограничениями. Однако, в отличие от первого подхода, она требует полного вычисления траектории и дальнейшего ее сравнения с реальной траекторией [57, 58, 78]. Задача оптимизации решена в среде MATLAB с привлечением пакета Optimization toolbox. Быстрый вычислительный алгоритм относится к классу численных методов с кратными шагами [40-48] и разработан с использованием методов оценки локальной погрешности схем численного интегрирования и теоретических сведений об устойчивости таких схем.

Научная новизна. В работе предложены новые микроскопические модели автомобильного трафика, которые являются улучшением существующих моделей данного класса, повышая степень реалистичности моделирования транспортных потоков. Это достигается за счет учета в явном виде времени реакции водителя на изменения во внешней обстановке, а также путем обеспечения более реалистичной дистанции между автомобилями в равновесном потоке. Предложенные модели настроены с использованием методики калибровки, которая адаптирована и доработана с учетом полученных в данной работе условий устойчивости. Кроме того, посредством калибровки с использованием реальных данных проведено сравнение новых моделей с известными и широко используемыми

микроскопическими моделями. Разработан быстрый вычислительный метод решения систем дифференциальных уравнений большой размерности, который учитывает специфику решаемой задачи. Проведено исследование предложенного вычислительного алгоритма и получены условия его устойчивости. Полученные результаты в комплексе позволяют выполнять моделирование динамики транспортных потоков в применении к транспортным тренажерам и САПР ИТС в масштабах крупных городов в режиме реального времени с использованием персонального компьютера.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в диссертации новые математические модели автомобильного трафика позволяют моделировать транспортные потоки с высокой степенью реалистичности. Данные модели использованы в тренажере грузового автомобиля КАМАЗ. Разработанный в рамках данного исследования быстрый вычислительный алгоритм с кратными шагами позволяет выполнять моделирование транспортных потоков в масштабах крупных городов на персональном компьютере в режиме реального времени при количестве автомобилей порядка сотен тысяч. Новые модели и быстрый вычислительный алгоритм реализованы в опытно-конструкторской работе «Разработка технологии моделирования сложных информационно-управляющих систем транспортной инфраструктуры» (ОКР «ИУС-ТИМ»). Полученные результаты могут быть использованы разработчиками транспортных тренажеров, предназначенных для обучения вождению, интеллектуальных транспортных систем и систем круиз-контроля. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложены две новые математические модели типа следования за лидером. Первая модель описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, является развитием классической модели «разумного водителя» и устраняет ряд выявленных в рамках данного диссертационного исследования недостатков, присущих этой модели. Вторая модель в явном виде учитывает время реакции водителя на изменения в текущей дистанции, что значительно повышает степень ее реалистичности. Функция ускорения определяется дифференциальным уравнением с запаздывающим по времени аргументом.

2. Для предложенных моделей проведено исследование устойчивости - локальной в случае колонны автомобилей конечной длинны и string-устойчивости на кольце. Второй тип устойчивости является общепринятым в теории транспортных потоков и является неотъемлемой составляющей анализа моделей автомобильного трафика. Получены условия на значения параметров обеих моделей, которые определяют области устойчивого и неустойчивого поведения решения дифференциальных уравнений, соответствующих полученным моделям, при малых возмущениях в скорости или дистанции.

3. Реализованы методики настройки параметрических моделей автомобильного трафика на основе данных о технических характеристиках транспортных средств и на основе эмпирических данных о траекториях автомобилей. В первом случае в стандартную задачу оптимизации добавлены условия устойчивости калибруемой модели, полученные в рамках данного исследования. Во втором случае предложен новый подход - platoon calibration, который позволяет оценить соотношение между двумя факторами, являющимися причиной разброса в значениях одних и тех же параметров модели для разных реальных траекторий. Первый фактор - это различные стили вождения и разные транспортные средства, второй -изменение стиля вождения конкретного человека с течением времени.

4. Разработан быстрый вычислительный алгоритм для решения систем большой размерности, которые описывают динамику транспортных потоков при использовании микроскопических моделей автомобильного трафика. Данный алгоритм учитывает специфику решаемой задачи, а именно то, что компоненты вектора решения имеют разные скорости изменения. За счет этого удается значительно сократить вычислительное время при сохранении требуемой точности решения. Для полученного вычислительного алгоритма построено правило выбора шагов для каждой из компонент в отдельности на основе оценки локальной ошибки и точности, задаваемой пользователем. Кроме того, проведено исследование устойчивости и получены условия устойчивости в аналитическом виде.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертационного исследования были представлены и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Traffic and Granular Flow'13, Juelich, Germany, 2013;

2. International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, Rodos,

Greece, 2014;

3. Traffic and Granular Flow'15, Delft, the Netherlands, 2015;

4. Неделя Науки в СПбПУ в 2012 и 2014 годах.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 9 научных статьях [58, 61, 64, 80, 82, 91-94]. Из них: 3 статьи [82, 91, 92] опубликованы в журналах из перечня ВАК, статья [61] принята к публикации в журнал из перечня ВАК; 2 публикации [64, 93] входят в базу Web of Science и 3 публикации [64, 93, 94] индексируются в базе Scopus.

Содержание работы. В первой главе проводится обзор современного состояния предметной области - теории транспортных потоков. В первом разделе описаны наиболее известные и популярные математические модели автомобильного трафика - макроскопические и микроскопические модели, модели на основе клеточных автоматов. Приведены соответствующие уравнения, указаны недостатки и преимущества каждой из моделей в применении с транспортным тренажерам и САПР ИТС. Второй раздел посвящен современным

программным продуктам моделирования автомобильного трафика. В третьем разделе описано понятие устойчивости транспортного потока, рассмотрены типы устойчивости, а также причины возникновения неустойчивости и возможные последствия. Четвертый раздел посвящен вычислительным алгоритмам с кратными шагами, применяемым для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы дифференциальных уравнений, описывающие динамику транспортного потока (особенно в городских условиях), относятся к данному типу. В пятом разделе рассмотрены типы реальных данных о траекториях автомобилей, методы их получения и последующей обработки, а также проведен обзор методик калибровки моделей автомобильного трафика на основе такого рода данных.

Вторая глава посвящена двум новым моделям автомобильного трафика, которые получены в рамках данного диссертационного исследования. Эти модели относятся к классу микроскопических и являются моделями типа следования за лидером. Первая модель является развитием широко известной модели «разумного водителя» и устраняет некоторые из ее недостатков в применении к тренажерам обучения вождению и САПР ИТС. В частности, доказано, что дистанция в равновесном потоке согласно новой модели является более реалистичной. Вторая модель в явном виде учитывает время реакции водителя и, как следствие, описывается дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Для обеих моделей приведены соответствующие дифференциальные уравнения, а также представлены результаты численного моделирования.

В третьей главе рассмотрены вопросы устойчивости двух предложенных математических моделей автомобильного трафика. Для обеих моделей проведено исследование локальной устойчивости и потоковой (string) устойчивости на кольце. Определены области значений параметров моделей, которые соответствуют устойчивому и неустойчивому поведению транспортного потока. Проведен ряд численных экспериментов, которые иллюстрируют правильность полученных условий. Кроме того, доказано, что модель на основе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом способна реалистично воспроизводить возникновение и распространение stop-and-go волн, которые наблюдаются в реальных транспортных потоках.

Четвертая глава посвящена методикам калибровки моделей следования за лидером. Рассмотрены два подхода для настройки параметрических моделей автомобильного трафика: на основе данных о технических характеристиках транспортного средства и на основе информации о реальных траекториях автомобилей. Для обоих подходов сформулирована задача многомерной оптимизации с ограничениями и приведены численные результаты для новых моделей. При настройке на основе данных о технических характеристиках транспортного средства получены наборы значений параметров для нескольких марок автомобилей.

Поскольку второй подход использует информацию о реальных траекториях автомобилей, приведено описание соответствующих данных. Использованы два метода калибровки на основе реальных данных - глобальный и platoon calibration подход, второй из которых является новым. Получены распределения оценок значений параметров. Исследована зависимость полученных результатов от целевой функции, которая используется в процессе решения задачи оптимизации. Результаты, полученные с применением различных целевых функций, сравниваются путем вычисления расстояния между соответствующими эмпирическими функция распределения значений параметров. За счет совместного применения двух методов -глобального и platoon calibration - получена оценка соотношения между двумя факторами, которые являются причиной разброса в значениях одних и тех же параметров для разных траекторий. Результаты настройки модели трафика на основе реальных данных могут служить критерием ее «реалистичности». Методика калибровки с использованием реальных траекторий применена к новым моделям и двум широко известным моделям - модели «разумного водителя» и модели на основе разности скоростей.

Транспортные потоки в масштабах крупных районов и городов описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений (или дифференциальных уравнений с запаздыванием) большой размерности, компоненты вектора решений которых имеют разную скорость изменения. Решение нужно получать в режиме реального времени при условии, что вычислительные ресурсы соответствуют ресурсам персонального компьютера. В данном случае разумно использовать вычислительные алгоритмы, учитывающие специфику решаемой задачи. В пятой главе описан новый солвер с кратными шагами для решения соответствующих систем. Получена оценка локальной погрешности на каждом шаге для каждой из компонент вектора решения. С использованием этой оценки и точности, заданной пользователем, на каждом макрошаге определяются значения микрошагов для каждой из компонент и значение микрошага. Корректность предложенного правила для выбора шага проиллюстрирована результатами численных экспериментов. Исследована устойчивость предложенного вычислительного алгоритма и получены соответствующие условия. Проведен ряд численных экспериментов для различных конфигураций дорожных сетей, которые при сохранении требуемой точности демонстрируют значительное ускорение по сравнению с использованием соответствующего одношагового метода с общим для всех компонент шагом интегрирования. Выводы по результатам диссертационного исследования и предложения для дальнейшего развития данного исследования представлены в заключении.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы и параграфы, заключения и списка литературы. Объем работы составляет

121 страницу. В тексте содержится 54 рисунка, 5 таблиц. Список литературы включает 101 наименование.

ГЛАВА 1 ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ

1.1 Модели автомобильного трафика

С момента начала развития теории транспортных потоков прошло уже больше 60 лет. В настоящее время учеными данной области предложено огромное количество моделей автомобильного трафика, которые принято разделять на два класса - макроскопические и микроскопические. При макроскопическом подходе транспортный поток представляется как сжимаемая жидкость, а в качестве математического аппарата используются дифференциальные уравнения в частных производных. В микроскопических моделях для каждого автомобиля в отдельности выписываются уравнения движения для скорости и координаты, которые выражают желание водителя придерживаться желаемой скорости и/или безопасной дистанции. Подклассом микроскопических моделей являются модели на основе клеточных автоматов, в случае которых пространство разбивается на клетки, а скорость и координата автомобиля вычисляются на основе итеративных формул.

1.1.1 Макроскопические модели

В большинстве макроскопических моделей транспортных поток уподобляется сжимаемой (с переменной плотностью) жидкости с мотивацией, которая учитывается в уравнении состояния. Неизвестными в уравнениях являются - скорость

автотранспортных средств (АТС) в окрестности точки с координатой х (если речь идет об одномерной модели) в момент времени t и р(1,х) - плотность транспортного потока в точке с координатой х в момент времени ^ Каждая макроскопическая модель автомобильного трафика определяется гидродинамическим соотношением между интенсивностью потока (¿(1:,х), плотностью и скоростью потока

(¿(Ьх) = р(г,х)у(г,х) (1)

и уравнением неразрывности, которое является следствием закона сохранения количества автомобилей

д-р + д.т = о. (2)

Модель Лайтхилла-Уизема-Ричардса. В 1955 и 1956 гг. Лайтхилл и Уизем [1] и независимо Ричардс [2] предложили первую макроскопическую модель однополосного транспортного потока, которая впоследствии получила название модель Лайтхилла-Уизема-Ричардса (LWR). Уравнение неразрывности (2) выполняется для всех моделей и не содержит параметров. Чтобы полностью определить модель необходимо задать зависимость интенсивности потока от его плотности и скорости. В модели LWR полагается взаимно-

однозначная зависимость между скоростью и плотностью потока (или интенсивностью и плотностью потока), которая не зависит от времени

р(х, г) = Ре(р(х, 0) или Q(x, С) = Qe(p(x, 0). (3)

Соотношение, связывающее интенсивность, скорость и плотность потока, предполагает, что транспортный поток постоянно находится в равновесии. Связь между скоростью и плотностью потока определяется исходя из экспериментальных данных, и в теории транспортных потоков носит название фундаментальной диаграммы. На Рисунке 1 приведены экспериментальные данные «Центра исследования транспортной инфраструктуры» г. Москвы, собранные в течение одного дня в 2005 году по четырем полосам и сагрегированные на одну полосу. Объяснить перегиб функциональной зависимости при плотностях р~60 — 115 АТС/км можно тем, что в таком случае большое влияние на интенсивность потока оказывают перестроения АТС, что снижает интенсивность потока.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Курц, Валентина Валерьевна, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lighthill, M. J. On kinematic waves: II. Theory of traffic flow on long crowded roads / M. J. Lighthill, G. B. Whitham // Proc. R Soc. London, Ser. A. — 1955. — Vol. 229. — P. 281-345.

2. Richards, P. I. Shock waves on the highway / P. I. Richards // Oper. Res. — 1956. — Vol. 4. — P. 42-51.

3. Treiterer, J. The hysteresis phenomenon in traffic flow / J. Treiterer, J. A. Myers // Proc. 6th ISTT / ed. by D. J. Buckley. — 1974. — P. 13-38.

4. Geroliminis, N. Hysteresis phenomena of a microscopic fundamental diagram in freeway networks / N. Geroliminis, J. Sun // Procedia Social and Behavioral Sciences. — 2011. — Vol. 17. — P. 213-228.

5. Traffic flow theory : a state-of-the-art report / ed. By N.H. Gartner [et al.]. — Washington DC : Transportation Research Board, 2001. — 385 p.

6. Иносэ, Х. Управление дорожным движением / Х. Иносэ, Т. М. Хамада ; пер. с англ. под ред. М. Я. Блинкина. — М. : Транспорт, 1983. — 248 с.

7. Бабков, В. Ф. Дорожные условия и безопасность дорожного движения / В. Ф. Бабков. — М. : Транспорт, 1982. — 288 с.

8. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж Уизем ; пер. с англ. В. В. Жаринова ; под ред. А. Б. Шабата. — М. : Мир, 1977 — 642 с.

9. Payne, H. J. Models of freeway traffic and control / H. J. Payne // Simulation Council Proc. 28, Mathematical Models of Public Systems / ed. by G. A. Bekey. — 1971. — Vol. 1. — P. 51-61.

10. Daganzo, C. F. Fundamentals of transportation and traffic operations / C. F. Daganzo. — New-York : Elsevier Science inc., 1997. — 339 p.

11. Kerner, B. S. Cluster effect in initially homogeneous traffic flow / B. S. Kerner, P. Konhäuser // Phys. Rev. E. — 1993. — Vol. 48. — P. 2335-2338.

12. Сухинова, А.Б. Двумерная макроскопическая модель транспортных потоков / А.Б. Сухинова и др. // Математическое моделирование. — 2009. — №2 (21). — С. 118-126.

13. Chechina, A.A. Two-dimensional hydrodynamic model for traffic flow simulation using parallel computer systems / A.A. Chechina, N.G. Churbanova, M.A. Trapeznikova // Proceedings of the international conference of the numerical analysis and applied mathematics 2014. — AIP Conference Proceedings, 2015. — 1648. — 530007.

14. Kesting, A. General Lane-Changing Model MOBIL for Car-Following Models / A. Kesting, M. Treiber, D. Helbing // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. — 2006. — No. 1999. — P. 86-94.

15. Newell, G. F. Nonlinear effects in the dynamics of car — following / G. F. Newell // Oper. Res. — 1961. — Vol. 9. — P. 209-229.

16. Structure stability of congestion in traffic dynamics / M. Bando [et al.] // Jpn. J. Industr. Appl. Math. — 1994. — Vol. 11. — P. 203-223.

17. Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation / M. Bando [et al.] // Phys. Rev. E. — 1995. — Vol. 51. — P. 1035-1042.

18. Jiang, R. Full velocity difference model for a car-following theory / R. Jiang, Q. Wu, Z. Zhu // Physical Review E. — 2001 — Vol. 64 (1). — P. 017101.1-017101.4.

19. M. Treiber, D. Helbing, Explanation of observed features of self-organization in traffic flow. Preprint cond-mat/9901239 (1999).

20. Treiber, M. Congested traffic states in empirical observations and microscopic simulations / M. Treiber, A. Hennecke, D. Helbing // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 62. — P. 1805-1824.

21. Lubashevsky, I. A bounded rational driver model / I. Lubashevsky, P. Wagner and R. Manhke // European Physical Journal B. — 2003. — Vol. 32. — P. 243-247.

22. Tordeux, A. An adaptive time gap car-following model / A. Tordeux, S. Lassarre, M. Roussignol // Transportation Research Part B. — 2010. — Vol. 44. — P. 1115-1131.

23. Nagel, K. A cellular automaton model for freeway traffic / K. Nagel, M. Schreckenberg // J. Physique I France. — 1992. — Vol. 2. — P. 2221-2229.

24. Metastable states in cellular automata for traffic flow / R. Barlovic [et al.] // Euro. Phys. Journal. — 1998. — Vol. 5. — P. 793-800.

25. Kerner, B. S. The Physics cfTraffic / B. S. Kerner. — Berlin : Springer, 2004. — 632 p.

26. Kerner, B.S. Introduction to modern traffic flow theory and control / B. S. Kerner. — Berlin Heidelberg : Springer, 2009. — 265 p.

27. Olstam, J. J. Comparison of car-following models / J. J. Olstam, A. Tapani. — Sweden : Swedish national road and transport research institute, 2004. — 36 p.

28. Сайт компании Transport Simulation Systems [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.aimsun.com, свободный. — Загл. с экрана.

29. Gipps, P. G. A model for the structure of lane changing decisions / P. G. Gipps // Transportation Research Part B. — 1986. — Vol. 20 (5). — P. 403-414.

30. Сайт продукта MITSIM [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://its.mit.edu/software/mitsimlab, свободный — Загл. с экрана.

31. Chandler, R.E. Traffic Dynamics: Studies in Car Following / R.E. Chandler, R. Herman, E.W. Montroll // Operations Research. — 1958. — Vol. 6 (2). — P. 165-184.

32. Gazis, D.C. Car-Following Theory of Steady-State Traffic Flow / D.C. Gazis, R. Herman, R.B. Potts // Operations Research. — 1959. — Vol. 7. — P. 499-505.

33. Herman, R Traffic Dynamics: Analysis ofStability in Car Following / R. Herman et al // Operations Research. — 1959. — Vol. 7. — P. 86-106.

34. Сайт компании SIAS Transport Planners [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.sias.com/ng/home/home.htm, свободный — Загл. с экрана.

35. Fritzsche, H-T. A model for traffic simulation / H-T Fritzsche // Transportation Engininering Contribution. — 1994. — Vol. 5. P. 317-321.

36. Сайт продукта VISSIM [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.vissim.de, свободный — Загл. с экрана.

37. Wiedemann, R. Simulation des Strassenverkehrsflusses (in German) / R. Wiedermann // University Karlsruhe — 1974.

38. Wiedemann, R. Microscopic traffic simulation: the simulation system MISSION, background and actual state / R. Wiedemann, U. Reiter // Project ICARUS (V1052) Final Report. Brussel, CEC. 2: Appendix A. — 1992.

39. Fellendorf, M. Microscopic Traffic Flow Simulator VISSIM / M. Fellendorf, P. Vortisch // Fundamentals of Traffic Simulation / Ed. by Barcelo, J. — Springer-Verlag New York, 2010. — P. 63-93.

40. Gear, C. Multirate linear multistep methods / C. Gear, D. Wells // BIT. — 1984. — Vol. 24 (4). P. 484-502.

41. Gunther, M. Multirate partitioned Runge-Kutta methods / M. Gunther, A. Kv^rn0, P. Rentrop // BIT. — 2001. — Vol. 41. — P. 504-514.

42. Bartel, A. A multirate W-method for electrical networks in state space formulation / A. Bartel, M. Gunther // J. Comput. Appl. Math. — 2002. — Vol. 147. P. 411-425.

43. Kv^rn0, A. Stability of multirate Runge-Kutta schemes / A. Kv^rn0 // Int. J. Differ. Equ. Appl. — 2000. — Vol. 1(A). P. 97-105.

44. Logg, A. Multi-adaptive Galerkin methods for ODEs I / A. Logg // SIAM J. Sci. Comput. — 2003. — Vol. 24(6). P. 1879-1902.

45. Logg, A. Multi-adaptive Galerkin methods for ODEs II: implementation and applications / A. Logg // SIAM J. Sci. Comput. — 2003. — Vol. 25(4). P. 1119-1141.

46. Engstler, C. Multirate extrapolation methods for differential equations with different time scales / C. Engstler, C. Lubich // Computing. — 1997. — Vol. 58(2). P. 173-185.

47. Engstler, C. MUR8: A multirate extension of the eight-order Dormand-Prince method / C. Engstler, C. Lubich // Appl. Numer. Math. — 1997. — Vol. 25(2-3). P. 185-192.

48. Savcenco, V. A multirate time stepping strategy for stiff ordinary differential equations / V. Savcenco, W. Hundsdorfer, J. G. Verwer // BIT. — 2007. — Vol. 47. P. 137-155.

49. Hundsdorfer, W. Analysis of a multirate theta-method for stiff ODEs / W. Hundsdorfer, V. Savcenco // Appl. Numer. Math. — 2009. — Vol. 59. P. 693-706.

50. Корчак, А. Б. Система интеграции гетерогенных моделей и ее применение к расчету слабосвязанных систем дифференциальных уравнений / А. Б. Корчак, А. В. Евдокимов // Математика. Компьютер. Образование: Сборник научных трудов. — 2008. — Том 2. С. 140-149.

51. Корчак, А. Б. Метод параллельного расчета расщепленных систем дифференциальных уравнений с кратными шагами / А. Б. Корчак, А. В. Евдокимов // Труды МФТИ. — 2010. — Том 2. № 2. С. 77-85.

52. Punzo, V. Do we really need to calibrate all the parameters? Variance-based sensitivity analysis to simplify microscopic traffic flow models / V. Punzo, M. Montanino, B. Ciuffo // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. — 2015. — Vol. 16 (1). P. 184-193.

53. Ciuffo, B. Kriging meta-modelling in the verification of the traffic micro-simulation calibration procedure / B. Ciuffo, V. Punzo, E. Quaglietta // 90th TRB Annual Meeting compendium of papers. — Washington DC, 2011.

54. Сайт организации FHWA, U.S. Department of Transportation. NGSIM—Next Generation SIMulation [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://ops.fhwa.dot.gov/trafficanalysistolls/ngsim.htm, свободный. — Загл. с экрана.

55. Сайт исследовательского центра Deutsches Zentrum fur Luft- und Raumfahrt [Электронный ресурс]. — Режим доступа : www.dlr.de/cs/, свободный. — Загл. с экрана.

56. Gurusinghe, G. S. Multiple Car-following Data Using Real Time Kinematic Global Positioning System / G. S. Gurusinghe [et al.] // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. — 2002. — Vol. 1802. — P. 166-180.

57. Treiber, M. Traffic Flow Dynamics / M. Treiber, A. Kesting. — Berlin : Springer, 2013. — 503 P.

58. Kurtc, V. Calibrating the Local and Platoon Dynamics of Car-following Models on the Reconstructed NGSIM data / V. Kurtc, M. Treiber // Traffic and Granular Flow'15 / ed. by Victor L. Knoop et al. — Springer International Publishing, 2015. — P. 515-522.

59. Punzo, V.: A Multistep Procedure for Vehicle Trajectory Reconstruction: Application to the NGSIM I80-1 Dataset. Synthesis Technical Report.

60. Ciuffo, B. Verification of Traffic Micro-simulation Model Calibration Procedures: Analysis of Goodness-of-Fit Measures / B. Ciuffo, V. Punzo // In proceedings of the 89th TRB Annual Meeting. Washington DC, 2010.

61. Курц, В. В. Модель автомобильного трафика с запаздывающим аргументом — исследование устойчивости на кольце / В. В. Курц, И. Е. Ануфриев // Математическое моделирование. — 2017. — № 4 (29). — С. 88-100.

62. Tordeux, A. Influence of the interaction range on the stability of following models / A. Tordeux, M. Chraibi, A. Seyfried // Proceeding of the Eighth International Workshop on Agents in Traffic and Transportation. — 2014. — 10 p.

63. Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. — М. : Наука, 1969. — 424 с.

64. Kurtc, V. Local stability conditions and calibrating procedure for new car-following models used in driving simulators / V. Kurtc, I. Anufriev // Traffic and Granular Flow'13 / Ed. by Mohcine Chraibi et al. — Springer Berlin Heidelberg, 2015. — P. 453-461.

65. Orosz, G. Traffic jams: dynamics and control / G. Orozs, R. E. Wilson, G. Stepan // Phil. Trans. R. Soc. A. — 2010. — Vol. 368. — P. 4455-4479.

66. Lakshmanan, M. Dynamics of Nonlinear Time-Delay Systems / M. Lakshmanan, D. V. Senthikumar. — Berlin : Springer, 2011. — 258 P.

67. Yukawa, S. Observational Aspects of Japanese Highway Traffic / S. Yukawa [et al.] // Traffic and Granular Flow'01 / ed. by M. Fukui [et al.]. — Berlin, 2003. — P. 243-256.

68. Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. — М. : Мир, 1979. — 302 с.

69. Спиди, К. Теория управления (идентификация и оптимальное урпавление) / К. Спиди, Р. Браун и Дж. Гудвин. — М. : Мир, 1973. — 248 с.

70. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф. М. : Мир, 1975. — 686 с.

71. Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. Изд. 2-е доп. и испр. / Ю.В. Линник. — М. : Физматиздат, 1962. — 349 с.

72. Лоусон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон; пер. с англ. — М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 232 с.

73. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. — М. : Наука, 1987. — 320 с.

74. Огарков, М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов / М.А. Огарков. — М. : Энергоатомиздат, 1990. — 208 с.

75. Современные методы идентификации систем / под ред. П. Эйкхоффа. — М. : Мир, 1983. — 400 с.

76. Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Исследование зависимостей / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. — М. : Финансы и статистика, 1985. — 487 с.

77. Li, Z. F. Parameter estimation of ordinary differential equations / Z. F. Li, M. R. Osborne, T. Prvan // IMA Journal of Numerical Analysis. — 2005. — Vol. 25. — P. 264-285.

78. Brockfeld, E. Calibration and Validation of Microscopic Traffic Flow Models / E. Brockfeld, D. Kuhne P. Wagner // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. — 2004. — Vol. 1876. — P. 62-70.

79. Punzo, V. Analysis and Comparison of Microscopic Flow Models with Real Traffic Microscopic Data / V. Punzo, F. Simonelli // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. — 2005. — Vol. 1934. — P. 53-63.

80. Курц, В. Настройка микроскопических моделей автомобильного трафика с использованием NGSIM данных / В. Курц, М. Трайбер // Сборник докладов Недели науки СПбПУ. Пленарные заседания. ИПММ — 2014. — С. 86-91.

81. Ossen, S. Car-Following Behavior Analysis from Microscopic Trajectory Data / S. Ossen, S. P. Hoogendoorn // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. — 2005. — Vol. 1934. — P. 13-21.

82. Курц, В. В. Новые микроскопические модели автомобильного трафика / В. В. Курц, И. Е. Ануфриев // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского Политехнического Университета. Физико-математические науки. — 2012. — № 4 (158). — С. 50-57.

83. Punzo, V. On the assessment of vehicle trajectory data accuracy and application to the Next Generation SIMilation (NGSIM) program data / V. Punzo, M.T. Borzacchiello, B. Ciuffo // Transportation Research Part C. — 2011. — Vol. 19, No. 6. — P. 1243-1262.

84. Montanino, M. Making NGSIM data usable for studies on traffic flow theoty: Multistep method for vehicle trajectory reconstruction / M. Montanino, V. Punzo // Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board. — 2013. — Vol. 2390. — P. 99-111.

85. Thiemann, C. Estimating acceleration and lane-changing dynamics from next generation simulation trajectory data / C. Thiemann, M. Treiber, A. Kesting // Transp. Res. Rec. J. Transp. Res. Board. — 2008. — Vol. 2088. — P. 90-101.

86. Kesting, A. Calibrating car-following models by using trajectory data: methodological study / A. Kesting, M. Treiber // Transp. Res. Rec. J. Transp. Res. Board. — 2008. — Vol. 2088. — P. 148-156.

87. Punzo, V. May we trust results of car-following models calibration based on trajectory data? / V. Punzo, B. Ciuffo, M. Montanino // In Proceedings of the 91st Transportation Research Board Annual Meeting of the Transportation Research Board, Washington, D.C. — 2012.

88. Себер, Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер; пер. с англ. В.П. Носко. Под ред. М Б. Малютова. — М.: «Мир», 1980. — 456 с.

89. Ranjiktar, P. Performance evaluation of microscopic traffic flow models with test track data / P. Ranjiktar, T. Nakatsuji, M. Asano // Transp. Res. Rec. J. Transp. Res. Board. — 2004. — Vol. 1876. — P. 90-100.

90. Закс, Л. Статистическое оценивание / Л. Закс; пер. с нем. В.Н. Варыгина. Под ред. Ю.П Адлера, В.Г. Горского. — М.: «Статистика», 1976. — 598 с.

91. Kurtc, V. A Multirate Numerical Scheme for Large-Scale Vehicle Traffic Simulation / V. Kurtc, I. Anufriev // Humanities and Science University Journal. — 2014. — № 10. — P. 50-59.

92. Курц, В. В. Быстрый алгоритм с кратными шагами для задачи моделирования транспортных потоков / В. В. Курц, И. Е. Ануфриев // Математическое моделирование. — 2016. — № 5 (28). — С. 124-134.

93. Kurtc, V. Fast Multirate Numerical Integration Scheme for Large-scale Traffic Simulation / V. Kurtc, I. Anufriev // Proceedings of the international conference of the numerical analysis and applied mathematics 2014. — AIP Conference Proceedings, 2015. — 1648. — 530003.

94. Kurtc, V. Multirate numerical scheme for large-scale vehicle traffic simulation / V. Kurtc, I. Anufriev // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2016. — Vol. 8, No. 6. — P. 744-751.

95. Shampine, L.F. Solving ODEs with Matlab / L. F. Shampine, I. Gladwell, S. Thompson. — New York : Cambridge University Press, 2003. — 272 p.

96. Skelboe, S. Stability properties of backward differentiation multirate formulas / S. Skelboe // Appl. Numer. Math. — 1989. — Vol. 5. — P. 151-160.

97. Verhoeven, A. Stability analysis of the BDF slowest first multirate methods / A. Verhoeven et al. // CASA-Report. — Vol. 0704. — P. 895-923.

98. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. — М. : Изд-во Высш. шк., 2002. — 840 с.

99. Bexelius, S. An extended model for car-following / S. Bexelius // Transpn. Res. — 1968. — Vol. 2(1). — P. 13-21.

100. Hoogendoorn, S. Empirics of multianticipative car-following behavior / S. Hoogendoorn, S. Ossen, M. Schreuder // Transportation Research Record. — 2006. — Vol. 1965. — P. 112-120.

101. Hu, Y. An extended multi-anticipative delay model of traffic flow / Y. Hu, T. Ma, J. Chen // Commun Nonlinear SciNumer Simul. — 2014. — Vol. 19(9). — P. 3128-3135.