Модели стабилизации неустойчивых положений динамических систем с гистерезисными связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Аббас Зайниб Хатиф Аббас

• Аббас Зайниб Хатиф Аббас
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Аббас Зайниб Хатиф Аббас

Введение

Глава 1 Зоны устойчивости и периодические решения перевернутого маятника с гистерезисным управлением

1. 1 Математическая модель маятника с осциллирующим подвесом и гистерезисной нелинейностью

1.2 Исследование устойчивости линеаризованного уравнения

1.3 Построение зон устойчивости

1.4 Построение периодических решений

1.5 Стабилизация неустойчивых периодических режимов в задаче о диссипативном движении обратного маятника с гистерезисным управлением

1.6 Выводы по первой главе

Глава 2 Стабилизация обратного гибкого маятника

с гистерезисными свойствами

2.1 Постановка задачи

2.2 Обратный гибкий маятник с жестким креплением

2.2.1 Физическая модель

2.2.2 Стабилизация

2.2.3 Численное решение.Разностная схема

2.3 Обратный гибкий маятник с гистерезисом в основании стержня

2.3.1 Физическая модель

2.3.2 Кусочно-линейная аппроксимация

2.4 Моделирование динамики системы

2.5 Практическая реализация

2.5.1 Обратный гибкий маятник с жестким управлением

2.5.2 Обратный гибкий маятник с гистерезисом в основании стержня

2.6 Вывод уравнений движения

2.7 Выводы по второй главе

Глава 3 Управление гибким обратным маятником на основе метода сингулярных возмущений

3.1 Модель динамики гибкого перевернутого маятника

3.2 Динамика единичного возмущения

3.3.1 Медленная подсистема

3.3.2 Быстрая подсистема

3.3 Анализ и разработка системы управления

3.3.1 Алгоритм управления для медленной подсистемы

3.3.2 Алгоритм управления для быстрой подсистемы

3.4 Моделирование

3.5 Выводы по третьей главе

Заключение

Список литературы

Приложение А

Акты внедрения

Приложение Б

Программа для ЭВМ программа расчета показателей системы связанных обратных маятников с обратной связью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели стабилизации неустойчивых положений динамических систем с гистерезисными связями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Одна из классических задач моделирования динамических систем связана со стабилизацией неустойчивых положений равновесия. Эта задача естественным образом возникает в инженерных приложениях при проектировании строительных конструкций, в частности при консольном закрепление вертикального упругого стержня с вертикально приложенной нагрузкой, стабилизации движения летательных аппаратов на участке набора высоты, и многих других. Кроме того, идеи и методы, связанные со стабилизацией неустойчивых режимов лежат в основе алгоритмов управления, антропоморфными робототехническими системами, реакциями в ядерных реакторах, экологическими системами и многими другими. Модели указанных систем, как правило, сводятся к существенно нелинейным уравнениям с сосредоточенными или распределенными параметрами. При этом анализ устойчивости и алгоритмы стабилизации оказываются существенно более простыми в ситуации, когда нелинейности уравнений соответствующих моделей допускают линеаризацию в окрестности положения равновесия. Задача стабилизации существенно усложняется в случае, когда уравнения содержат негладкие нелинейности, в том числе гистерезисного типа. Зависимости указанного вида регулярно возникают в различных разделах физики, механики, биологии и др.[46, 87, 90, 91, 94, 99, 103, 122]. Известен целый ряд физических явлений, в рамках которых соотношения между определяющими их динамическими параметрами существенным образом зависят от предыстории, что соответствует гистерезисной зависимости. Несмотря на распространенность и важность этого явления, для анализа устойчивости механических (и не только механических) систем до недавнего времени не существовало простого аналитического метода, способного описать его с достаточной степенью точности и адекватности. Важным шагом к систематизированному описанию явления гистерезиса стало создание М.А. Красносельским и А.В. Покровским математической теории, формализующей общие методы описания и исследования широких классов систем с гистерезисом [49, 50, 71, 72,73]. Для

этого был создан и развит новый математический аппарат, основанный на выделении элементарных носителей гистерезиса - гистеронов как преобразователей с пространствами состояний, соответствием ввода-вывода и соответствием ввода-состояния. Методы идентификации гистерезиса, разработанные в рамках теории, связаны с известной методологией Нола, Коулмана, Трудселла и других (в связи с этим отметим шестую проблему Гильберта в механике непрерывных сред) [92, 98, 120, 123].

Системы с нелинейностями гистерезисного типа имеют ряд особенностей, которые радикально отличают их от стандартных систем с функциональными нелинейностями. К ним относятся, прежде всего, недифференцируемость операторов, моделирующих гистерезисные соотношения в пространствах непрерывных функций, естественных для прикладных задач, необычный характер фазовых пространств, которые включают в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, которые обычно не имеют линейной структуры, и некоторые другие [35 - 37, 89]. Поэтому анализ устойчивости и разработка алгоритмов стабилизации механических систем с гистерезисными связями требует создания новых методов, которые учитывают вышеупомянутые особенности. Помимо того, как демонстрируют простые примеры, для систем с гистерезисом характерна ситуация, когда асимптотически устойчивые режимы принципиально нереализуемы, что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки новых численных методов и алгоритмов построения переходных процессов в системах с нелинейностями гистерезиса [39- 42, 47]. Таким образом, возникает научная задача разработки качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов исследования задач стабилизации моделей неустойчивых динамических систем с нелинейностями гистерезисного типа, а также разработки численных и аналитических методов анализа их динамических свойств [78, 81, 85, 88]. Решение указанной задачи подразумевает разработку инструментальных методов стабилизации моделей динамических систем с

гистерезисными звеньями в окрестности неустойчивого положения равновесия, а также стабилизации неустойчивых периодических режимов.

Математические модели механических систем с гистерезисными компонентами, допускают описание в рамках техники операторно-дифференциальных уравнений, где гистерезисным звеньям соответствуют операторы, зависящие от своего начального состояния как от параметра и определенные на широком функциональном пространстве (например, на пространстве непрерывных функций или функций ограниченной вариации). Возможность такой трактовки гистерезисных нелинейностей основана на развитом М.А. Красносельским и его учениками операторном подходе к моделированию гистерезисных преобразователей в рамках теории систем[74 -76]. На сегодняшний момент методы анализа таких систем весьма ограничены. Это связано с целым рядом особенностей: негладкостью операторов, являющихся математическими моделями гистерезисных звеньев; фазовые пространства таких систем, как правило, включают в себя пространства состояний гистерезисных преобразователей и могут иметь достаточно сложную (нелинейную) структуру.

В рамках настоящей работы разрабатывается новый эффективный подход к анализу динамических особенностей систем с гистерезисом, основанный на использовании аппарата гистерезисных операторов и классического метода малого параметра. В задачах, связанных с изучением динамики механических и подобных им систем, где гистерезисные свойства приобретаются, например, в процессе длительного функционирования и старения материалов, вклад гистерезисной компоненты, как правило, весьма незначителен (в энергетическом смысле) по сравнению с основной модой функционирования, однако ее присутствие качественно меняет динамические характеристики[100, 101, 118, 119]. Операторы, являющиеся математическими моделями гистерезисных нелинейностей, не являются однозначными, однако на участках монотонности входного воздействия гистерезисные преобразователи (в трактовке М.А. Красносельского) допускают аппроксимацию оператором

суперпозиции, что, в свою очередь, обуславливает возможность применения классического метода малого параметра на участках монотонности. При этом остается проблема "сшивания" соответствующих решений при изменении поведения входов. В свою очередь, для ее решения применимы стандартные методы теории пограничного слоя и квантовомеханической аналогии теории транспорта [56, 58, 59].

Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении динамики систем, описываемых разнотемповыми дифференциальными уравнениями. Гистерезисная нелинейность в таких системах уже не обязана быть малой, однако, если гистерезисные преобразователи содержатся в правых частях уравнений, описывающих динамику "быстрых" переменных, то, в соответствии с классическими результатами теории Крылова-Боголюбова-Митропольского, недифференцируемость некоторых компонент правых частей по фазовым переменным не является условием, ограничивающим применение метода малого параметра [60, 67, 69]. В этой связи разработка нового инструментального подхода к анализу систем с гистерезисными нелинейностями, в частности, задач стабилизации механических систем в окрестности неустойчивого положения равновесия, основанного на применении метода малого параметра, позволит создать перспективную методику анализа динамических систем с неоднозначными нелинейностями [79, 80, 109].

Исторически первоначальные идеи метода малого параметра были опубликованы в работах А. Пуанкаре [97]. В дальнейшем свое развитие этот метод получил в классических работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [4], А.Н. Тихонова [30], Л.С. Понтрягина [22] и других исследователей. В настоящее время метод малого параметра является мощным инструментом анализа сложных нелинейных систем, позволяющим, в отличие от применения прямых численных методов, получать, хотя и приближенные решения, но в явной аналитической форме (в этой связи отметим одну из наиболее полных монографий, посвященную различным фундаментальным и

прикладным аспектам метода малого параметра [17]).

К настоящему времени объем литературных источников, в той или иной степени связанных с применением метода малого параметра к исследованию динамики нелинейных систем, давно перешел границу в несколько десятков тысяч. Области исследований, в которых метод малого параметра находит свое применение, включают в себя такие направления как теория колебательных систем (как механических, так и радиофизических)[38, 54], теория управления (в том числе, и такое бурно развивающееся направление как механическая и электромеханическая робототехника), фундаментальные направления, связанные с изучением свойств материалов и исследованием их механических свойств (теория твердого тела, материаловедение, механика и динамика микро-и наноструктур и пр.) [48, 96], химическая кинетика (изучение разнотемповых химических реакций, кинетики процессов горения, теория растворов), биология (исследование математических моделей динамики популяций), космология, экономика и др. Однако по настоящее время систематическое применение подхода, основанного на классическом методе малого параметра к исследованию динамических свойств систем, содержащих, в том или ином виде, нелинейности гистерезисного типа, не производилось. Отметим, что наряду с несомненной фундаментальной значимостью (связанной с развитием новых математических методов и подходов к исследованию динамических систем, описываемых в терминах дифференциально-операторных уравнений)[57, 121], применение метода малого параметра к системам, содержащим гистерезисные нелинейности, носит и важный прикладной аспект (разработка эффективных математических моделей функционирования реальных технических систем, таких как манипуляторы, механические и электромеханические роботизированные устройства, учитывающих процессы старения материалов составляющих частей таких систем; применение математических моделей к исследованию динамических особенностей протекания различного рода процессов в современных материалах и структурах на их основе, содержащих элементы и блоки, обладающие гистерезисной структурой, либо находящиеся

под воздействием внешних факторов гистерезисной природы и т.д.). Исследования динамических свойств различных систем, допускающие применение метода малого параметра (довольно часто, особенно в зарубежной литературе, этот метод называется асимптотическим методом AsymptoticMethod), в настоящее время занимают одну из ведущих позиций в таких бурно развивающихся областях как робототехника, теория управления механизмами и автоматами, материаловедение и т.п. В этой связи отметим следующие работы: [19], посвященную задаче управления гибким манипулятором посредством вращательных движений. В этой работе на основе метода малого параметра и понижения размерности удалось решить задачу об оптимальном управлении такой структурой; [70], в которой с использованием метода малого параметра исследуется задача о внутреннем резонансе в системе слабосвязанных нелинейных осцилляторов. Получены асимптотические решения для указанной системы и проанализированы ее динамические особенности, в частности, установлено, что медленные изменения жесткости могут приводить к существенному изменению энергетических характеристик даже за границами линейного резонанса[93], где исследовано необычное явление нарушения пространственно-временной инвариантности в системе нелинейно связанных осцилляторов ван дер Поля; [82], в которой развивается строгий математический подход, основанный на методе малого параметра, а также предлагается математическая модель распространения волновых форм движения в перфорированной области с заданными однородными условиями Неймана на границах отверстий; [64], в которой с использованием метода малых возмущений установлены явные аналитические выражения для сдвига резонансной частоты микроэлектромеханической системы (MEMS) при изменении массы анализируемого полимерного материала; [55, 68], в которых исследуются внутренние резонансные свойства вязко-упругих материалов (моделируемых посредством техники дробного дифференцирования) с применением методов декомпозиции и последующего разложения в ряд по степеням малого параметра. Обе работы посвящены инженерным приложениям

указанных систем в задачах демпфирования с учетом внутренних свойств материалов, при этом с фундаментальной точки зрения, они представляют несомненный интерес как образец синтеза аппаратов метода малого параметра и дробного дифференцирования. Особо отметим монографию [102, 114], где с использованием строго математического подхода рассмотрены разнообразные приложения метода малого параметра к исследованию динамики инженерных систем, а именно: рассмотрены различные аспекты течения вязко-упругих, неньютоновых жидкостей, процессы тепло-массо-переноса в нелинейных средах с нестандартными граничными условиями, динамика популяций в условиях существенно нелинейной зависимости параметров, а также различные нелинейные колебательные системы, как механического, так и радиотехнического типов. Отметим, кроме того, цикл работ В. А. Соболева, в которых удалось (с использованием понятия интегрального многообразия быстрых движений) развить новый метод декомпозиции систем управления с быстрыми и медленными переменными и применить его для решения ряда задач теории управления. Этот подход был развит для непрерывных и дискретных систем с несколькими временными масштабами [104] и на системы со случайными возмущениями, с периодическим управлением [84], с запаздыванием (совместно с Э. М. Фридман). Метод интегральных многообразий медленных движений распространен на системы, для которых нарушаются условия выполнения теоремы А. Н. Тихонова. Совместно с Е.А. Щепакиной введено понятие интегральных многообразий со сменой устойчивости (многомерный аналог траекторий-уток) и доказаны теоремы о существовании и свойствах таких поверхностей [5]. Помимо прикладного интереса, фундаментальные аспекты метода малого параметра также в настоящее время широко исследуются. В этой связи отметим яркие результаты, полученные в цикле работ [8, 61, 63], в рамках которых устанавливается связь между классическим методом гомотопии и методом малого параметра применительно к задачам нелинейной динамики, что позволяет относительно просто получать приближенные решения весьма сложных нелинейных

уравнений в явной аналитической форме. Кроме того, одним из перспективных направлений фундаментальных исследований являются задачи диагностики и управления хаотическими режимами различных динамических систем с использованием техники малого параметра. В этой связи отметим работы [62, 86]. Вместе с тем все вышеуказанные исследования различных технических систем, моделей, дифференциальных уравнений с функциональными нелинейностями, и, как следствие, такие системы связей между отдельными элементами возможная гистерезисная природа не учитывать. В то же время модели с носителями гистерезиса обычно используются в физике, механике, экономике и т. д. Предложенный М.А. Красносельским единый подход к математическому описанию, охватывающий многие феноменологические модели гистерезиса и нелокальной памяти, позволил развить эффективные методы качественного и численного изучения моделей с элементами гистерезиса. Наиболее полно конструктивные модели гистерезисных преобразователей, трактуемые как операторы, зависящие от начального состояния как от параметра и определенные на широком функциональном пространстве (например, поле непрерывных функций или ограниченных вариационных функций), изложено в монографии Красносельский М. А., Покровский А. В. [12]. Модели векторного гистерезиса детально описаны в монографии в работах Майергойза [86]. Математические модели многомерных гистерезисных преобразователей обычно включают в себя операторные соотношения между частью переменных и дифференциальные уравнения одновременно. В настоящее время свойства различных классов операторов гистерезисного типа связаны с непрерывностью и условием Липшица в различных функциональных областях, монотонностью и т.д.; важные общие характеристики включают физическую реализуемость и инвариантность с монотонными преобразованиями времени: когда изменению шкалы времени входа, соответствует такое же изменение шкалы времени выхода. В то же время вопросы о различных аспектах динамики систем с гистерезисом, включая различные режимы динамических колебаний системы, до конца не изучены.

Исследование таких систем еще более усложняется тем фактом, что эти операторы гистерезиса не обладают сильной дифференцируемостью и могут иметь очень сложные пространства состояний. К таким операторам относится, например, оператор Прейсаха, который возникает при моделировании систем с ферромагнитными элементами, а также в гидрологических моделях проникновения наносов в почву. Аналогичные темы также рассматриваются в работах [65, 66].

В последние годы одной из наиболее часто используемых моделей гистерезиса является феноменологическая модель Боука-Вена. Эта модель формализуется посредством двух соотношений, - одного алгебраического и дифференциального уравнения. Детальный анализ этой модели содержится в работе [43]. В этой работе исследована зависимость входно-выходных соотношений от параметров модели, предельные свойства решений, устанавливаются условия существования предельных циклов и т.д. Отметим также монографию тех же авторов [53]. Хорошо известно, что модель Боука-Вена является удобным инструментом для формализации гистерезисных зависимостей, особенно в ситуации, когда гистерезисное звено является частью сложной системы. Однако конструктивная составляющая в этой модели отсутствует (в отличие от модели Прейсаха, преобразователя Ишлинского и др.). Из недавних работ, посвященных гистерезисным преобразователям, отметим работы: [107], в которой доказывается, что, при выполнении ряда неограничительных условий, классические гистерезисные преобразователи (Ишлинского, Прейсаха) обладают свойством слабой дифференцируемости; [110], в рамках которой рассматривается задача оптимизации функционирования преобразователей энергии, основанных на свойствах «умных материалов» с учетом гистерезисных особенностей последних. Гистерезисные свойства в управляющих элементах рассматривались в немногих работах. В этой связи отметим работы [9, 110], посвященные стабилизации жесткого и гибкого перевернутых маятников посредством гистерезисного управления.

Таким образом, несмотря на явные успехи, достигнутые в изучении динамических систем с гистерезисными особенностями, арсенал методов, применимый для их анализа, является не столь богатым (в сравнении с системами, в которых нелинейности формализуются функциональными соотношениями) и, в основном, решения получаются лишь численно.

В заключении этого раздела приведем несколько примеров систем, желаемая динамика которых сосредоточена в малой окрестности неустойчивого положения равновесия. Первый из них связан с управлением антропоморфными роботизированными системами. Двуногие шагающие роботы являются одним из развивающихся направлений разработок и исследований в мире робототехники. Особенность двуногой ходьбы заключается в том, что шаг робота сопровождается переносом центра масс при перемещении свободной ноги, при этом в каждый момент времени движение конструкции в целом должно быть устойчивым. Управление ходьбой робота должно обеспечивать различные режимы движения в широком диапазоне характеристик поверхностей: наклонная плоскость, ступени, препятствия переменной высоты, влажная поверхность, неровности ландшафта, нежесткая поверхность. При разработке антропоморфных роботов разрабатываются схемы, в основе которых лежат многозвенные обратные маятники. Динамика таких механизмов формируется за счет изменения углов в точках сочленения звеньев с помощью сервоприводов. Таким образом, средства управления искусственными суставами, являются объектом систем управления, в то время как в целом система должна быть стабилизирована с помощью управляющих воздействий. В то же время физиологически бионическое перемещение осуществляется не только за счет управления суставами, но и мышечной системой. Метод точки нулевого момента широко используется для планирования устойчивой ходьбы двуногого робота. Однако этот метод не может быть эффективно использован в системах управления шагающими роботами в реальном времени, что обусловлено нелинейностями моделей и вычислительной сложностью задач управления. Более современным подходом является метод гибридной нулевой

динамики. Основная идея этого метода заключается в установке виртуальных ограничений для создания предельного цикла в пространстве состояний робота, стабилизированного управляющими воздействиями, реализуемыми в искусственных суставах.

Следующий пример касается управления ядерным реактором. Проблеме выравнивания распределения нейтронного потока в рабочем пространстве активной зоны ядерного реактора столько же лет, сколько атомной энергетике в целом. Эксплуатация уже первых ядерных реакторов показала, что автоматическая стабилизация плотности нейтронного потока в целом по реактору должна быть дополнена устройствами управления распределением этой мощности по активной зоне. Многочисленные аварии на реакторах, как в России, так и за рубежом, происходили не по причине отказа системы регулирования интегральной мощности (она поддерживала мощность на заданном уровне), а по причине отсутствия контроля и соответствующего управления распределением мощности по активной зоне. Иными словами, исходная задача должна быть переформулирована в терминах стабилизации систем с распределенными параметрами. Дело в том, что реактор как объект управления является нестабильным элементом системы. Во время нормальной работы возникают спонтанные скачки напряжения, которые могут привести к увеличению амплитуды при отсутствии надлежащего контроля и срабатыванию аварийной защиты и остановке реактора. Это обуславливается ксеноновыми колебаниями, вызванными нестабильным внутренним циклом обратной связи реактора при отравлении продуктами деления. Известно, что из-за низкой частоты ксеноновых вибраций (одна или две вибрации в день) они могут быть компенсированы ручным движением абсорбирующих стержней без серьезной нагрузки на операторов управления. Однако ситуация осложняется тем, что управляющие стержни движутся сверху вниз по ядру, создавая неровности в распределении потока нейтронов. Плотность потока в нижней части ядра увеличивается относительно верхней части, происходит распределение типа "бутылка". Поскольку амплитуда колебаний ксенона прямо пропорциональна

плотности потока нейтронов, она больше, чем верхняя, в нижней части реактора, поэтому стабильность распределения нейтронного поля по объему реактора нарушается. Таким образом, задачей управления ядерным реактором в формальной постановке считается задача стабилизации нестабильной системой с распределенными параметрами.

Объект исследования - модели динамических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами.

Предмет исследования - алгоритмы стабилизации неустойчивых динамических систем с гистерезисными свойствами в окрестности неустойчивого положения равновесия.

Цель исследования - разработка и развитие качественных и приближенных аналитических методов, численных алгоритмов стабилизации классов динамических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в условиях гистерезисных связей в управляющем механизме.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач:

1. Анализ математических моделей гистерезиса. Разработка принципов построения их численной реализации в составе различных механических систем (с распределенными и сосредоточенными параметрами) с гистерезисными связями.

2. Разработка принципов стабилизации неустойчивыми динамическими системами посредством управляющего воздействия с гистерезисными звеньями в управляющем устройстве на примере обратного маятника, идентификация зон устойчивости в пространстве параметров.

3. Анализ математической модели обратного гибкого маятника с гистерезисными связями в основании его крепления. Разработка метода стабилизации маятника в окрестности вертикального положения с учетом гистерезисных свойств управляющего устройства. Оптимизация управляющего воздействия по параметрам в смысле минимизации функционала, характеризующего отклонение гибкого маятника от

вертикали.

4. Исследование математической модели механической системы, состоящей из движущейся платформы и шарнирно закрепленного на ней гибкого обратного маятника. Разработка алгоритма стабилизации маятника, основанного на разделении движений - быстрых (поперечных колебаний гибкого маятника) и медленных - колебаний в окрестности неустойчивого положения равновесия в сочетании с классическим методом малого параметра. Научная новизна

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аббас Зайниб Хатиф Аббас, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анохин, Н.В. Приведение многозвенного маятника в положение равновесия с помощью одного управляющего момента / Н.В. Анохин // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2012. - № 5. - С. 44 - 53.

2. Арановский, С.В. Синтез наблюдателя в задаче стабилизации обратного маятника с учетом ошибки в датчиках положения / С.В. Арановский, А.Э. Бирюк, Е.В. Никульчев, И.В. Рядчиков, Д.В. Соколов // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2019. - № 2. - С. 145 - 153.

3. Аттетков, А.В. Методы оптимизации / А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин. - М.: Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 440 с.

4. Бобцов А. А., Николаев Н.А. Последовательный компенсатор в задаче управления однозвенным роботомманипулятором с гибкими связями // Мехатроника, автоматизация, управление.- 2006. - № 8. - С. 2-7.

5. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. Государственное изд-во физико-математической литературы, 1958. - 408 с.

6. Воропаева, Н.В. Декомпозиция линейно-квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными / Н.В. Воропаева, В. А. Соболев // Автоматика и телемеханика. - 2006. - Т. 67. -№ 8. - С. 1185 - 1193.

7. Годунов, С.К. Разностные схемы / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. - М.: Наука, 1977. - 440 с.

8. Дернов, А. В. О переходе к хаосу в одной неклассической системе уравнений реакция-диффузия / А. В. Дернов, Н. А. Магницкий// Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41. - № 12. - С. 1675-1679.

9. Жарикова Е.Н. Оптимальные периодические системы управления с сингулярными возмущениями / Е.Н. Жариковаж, В.А. Соболев // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 7. - С. 151 - 168.

10. Капица, П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса / П. Л. Капица // ЖЭТФ. - 1951. - Т. 5. - № 21. - С. 588 - 597.

11.Капица, П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом / П. Л. Капица // Успехи физических наук. - 1951. - Т. 1. - № 44. - С. 7 - 20.

12. Красносельский, М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. - М.: Наука, 1970. - 304 с.

13. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский,

A. В. Покровский. - М.: Наука, 1983. - 271 с.

14.Магницкий, Н.А. Теория динамического хаоса / Н.А. Магницкий. - М.: Ленанд, 2011. - 320 с.

15. Магнус, К. Колебания: введение в исследование колебательных систем / К. Магнус. - пер. с нем.- М.: Мир, 1982. - 304 с.

16.Матвеев, М. Г. Зоны устойчивости и периодические решения перевернутого маятника с гистерезисным управлением / М. Г. Матвеев, М. Е. Семенов, Д. В. Шевлякова, О. И. Канищева // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2012. - № 11. - С. 8 - 14.

17.Меркин, Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения: Учеб. пособие для вузов / Д. Р. Меркин. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

18.Найфэ, А. Х. Методы возмущений /А. Х. Найфэ. - М.: Мир, 1984. - 454 с.

19. Нелепин, Р. А. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Р.А. Нелепина. - М.: Наука, 1979. - 447 с.

20.0синцев М. С. Понижение размерности задач оптимального оценивания для динамических систем с сингулярными возмущениями / М. С. Осинцев,

B. А. Соболев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54. - №1. - С. 50 - 64.

21.Пигарев, А. Е. Гистерезисное управление динамикой гибкого обратного маятника / А. Е.Пигарев, А. И. Драбо, З. Х. Аббас, М. А. Попов // Информатика: проблемы, методология, технологии. Сборник материалов XIX международной научно-методической конференции. Под ред. Д.Н. Борисова. - 2019. - С. 500-506.

22.Плисс, В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс. - М.: Наука, 1964. - 367 с.

23.Понтрягин, Л. С. Периодическое решение одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных / Л. С. Понтрягин, Л. В. Родыгин // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 132. - № 3. -С. 537-540.

24. Попов, М. А. Стабилизация неустойчивых объектов: цепочка из п связанных осцилляторов / М. А. Попов, З. Х. Аббас // Информатика: проблемы, методология, технологии. Материалы XVII Международной научно-методической конференции. - Фев. 2017. - Т. 5. - № 9-10. - С. 332-335.

25.Решмин, С. А. Оптимальное по быстродействию управление перевернутым маятником в форме синтеза / С. А. Решмин, Ф. Л. Черноусько // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - Т. 45. - № 3. - С. 51 - 62.

26.Решмин, С. А. Поиск главного бифуркационного значения максимального управляющего момента в задаче синтеза оптимального управления маятником / С. А. Решмин // Известия РАН: Теория и системы управления. - 2008. - № 2. - С. 5 - 20.

27.Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2020661536: Программа расчета показателей системы связанных обратных маятников с обратной связью от 24.09.2020.

28.Семенов М. Е. Модель стабилизации неустойчивых периодических режимов в задаче об обратном маятнике с гистерезисным управлением / М. Е. Семенов, О. И. Канищева, П. А. Мелешенко, О. О. Решетова, А. З. Хатиф // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2019. - № 1. - С. 128-136.

29. Семенов, М. Е. Модель динамики обратного маятника с гистерезисным управлением / М. Е. Семенов, З. Хатиф, О. О. Решетова, А. А. Демчук, П. А. Мелешенко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2016. - № 4. - С. 165-177.

30.Семенов, М. Е. Стабилизация перевернутого маятника вертикальными осцилляциями с помощью гистерезисного управления / М. Е. Семенов, Д.

В. Шевлякова, О. И. Канищева, Д. В. Грачиков // Наукоемкие технологии. - 2012 . - Т. 13. - № 3. - С. 23 - 31.

31. Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Матем. сб. - 1952. -Т. 31. - № 3. - С. 575 - 586.

32.Формальский, А. М. О стабилизации двойного перевернутого маятника при помощи одного управляющего момента / А. М. Формальский // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 3. - С. 5 - 12.

33.Хатиф, А. З. Управление гибким перевернутым маятником на основе метода сингулярных возмущений. / А. З. Хатиф // Вестник воронежского государственного технического университета. - 2020. -Т. 16. - № 4. - С. 13-24.

34.Черноусько, Ф. Л. Управление колебаниями / Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. - М.: Наука, 1980. - 383 с.

35.Abbas, Z. H. Control of a flexible inverse pendulum based on the singular perturbation method/ Z. H. Abbas // Journal of Physics: Conference Series. -2020. - Vol. 1679. - № 2. - P. 2 -10.

36.Baronti, F. Hysteresis modeling in Li-ion batteries / F. Baronti, N. Femia, R. Saletti, C.Visone, W. Zamboni, // IEEE Trans. Magn. - 2014. - Vol. - 50. - № 11. - P. 1 - 4.

37.Baronti, F. Preisach modelling of lithium-iron-phosphate battery hysteresis / F. Baronti, N. Femia, R. Saletti, C. Visone, W. Zamboni // J. Energy Storage. -2015. - Vol. 4. - P. 51 - 61.

38.Belbas, S.A. New hysteresis operators with applications to counterterrorism // S.A. Belbas / Appl. Math. Comput. - 2005. - Vol. 170. - № 1. - P. 425 - 439.

39.Belhaq, M. Effect of electromagnetic actuations on the dynamics of a harmonically excited cantilever beam / M. Belhaq, A. Bichri, J. DerHogapian, J.Mahfoud // Int. J. Non-Linear Mech. - 2011. - Vol. 46. - № 6. - P. 828-833.

40.Bermúdez, A. Electromagnetic computations with Preisach hysteresis model / A. Bermúdez, L. Dupré, D. Gómez, P. Venegas // Finite Elem. - Anal. - Des. -2017. - Vol. 126. - P. 65 - 74.

41.Bobbio, S. Models of magnetic hysteresis based on play and stop hysterons / S. Bobbio, G. Milano, C. Serpico, C. Visone // IEEE Trans. Magn. - 1997. - Vol. 33. - № 6. - P. 4417 - 4426.

42.Brokate, M. Differential Equations with Hysteresis via a Canonical Example / M. Brokate, A. Pokrovskii, D. Rachinskii, O. Rasskazov // Academic Press. -New York. - 2006. - Vol. 1. - P. 125 - 291.

43.Brokate, M. Hysteresis and Phase Transitions / M. Brokate , J. Sprekels -Springer - Berlin - 1996. - 358 p.

44.Brokate, M. Weak differentiability of scalar hysteresis operators / M. Brokate, P. Krejcí // Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A. - 2015. -Vol. 35. - № 6. - P. 2405 - 2421.

45.Butikov, E.I. An improved criterion for Kapitza's pendulum stability / E.I. Butikov // Journal of Physics A: Mathematical and General - 2011. - Vol. 44. -№ 29. - P. 1-17.

46.Butikov, E.I. Subharmonic resonances of the parametrically driven pendulum / E.I. Butikov // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2002. -Vol. 35. - № 30. - P. 6209-6231.

47.Capasso, V. An Introduction to Continuous - Time Stochastic Processes: Theory Models and Applications to Finance Biology, and Medicine, / V. Capasso, D. Bakstein //3rd edn. Birkhauser: Basel, 2015. - 560 c.

48.Carboni, B. Nonlinear dynamic characterization of a new hysteretic device: experiments and computations / B. Carboni, W. Lacarbonara // Nonlinear Dyn. - 2016. - Vol. 83. - № 12. - P. 23 - 39.

49.Carmeliet, J. Application of the Preisach-Mayergoyz space model to analyze moisture effects on the nonlinear elastic response of rock/ J. Carmeliet, K. Van Den Abeele // Geophys. Res. Lett. - 2002. - Vol. 29. - №7. - P. 48-1 - 48-4.

50.Cross, R. A new paradigm for modelling hysteresis in macroeconomic flows / R. Cross, H. M. Namara , A. Pokrovskii, D. Rachinskii // Phys. B Condens. Matter. - 2008. - Vol. - 403. - № 2. - P. 231 - 236 .

51. Cross, R. A timedependent Preisach model / R. Cross, A. Krasnosel'skii, A. Pokrovskii // Phys.B Condens.Matter. - 2001. - Vol. - 306. - №-1. - P. 206 - 210.

52.Dadfarnia, M. A. Lyapunov-Based Piezoelectric Controller for Flexible Cartesian Robot Manipulators / M. Dadfarnia, N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. - 2004. - Vol. 126. - № 2. - P. 347 - 358.

53.Dadios, E. P. Genetic algorithm on line controller for the flexible inverted pendulum problem / E. P. Dadios , P. S. Fernandez , D. J. Williams // Journal of Advanced Computational Intelligence and Intelligent Informatics. - 2006. - Vol. 10. - № 2. - P. 155 - 160.

54.Davino, D. Analysis of an operator-differential model for magnetostrictive energy harvesting / D. Davino, P. Krejci, A. Pimenov, D. Rachinskii, C. Visone // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2016. -Vol. 39. - P. 504 - 519.

55.Dho, J. Universal time relaxation behavior of the exchange bias in ferromagnetic/antiferromagnetic bilayers/ J. Dho, C. Leung, M. Blamire // J. Appl. Phys. - 2006.- Vol. 99. - № 3. - P. 80-82.

56.Dong, Q. Multiscale asymptotic expansions methods and numerical algorithms for the wave equations in perforated domains / Qiao-Li Dong, Li-Qun Cao // Applied Mathematics and Computation. - 2014. - Vol. 232. - P. 872 - 887.

57.Fahsi, A. Suppression of hysteresis in a forced van der Pol-Duffing oscillator / A. Fahsi, M. Belhaq, F. Lakrad // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. -2009. - Vol. 14. - № 4. - P.1609 - 1616 .

58.Flynn, D. Modeling discontinuous flow through porous media using ODEs with Preisach operator / D. Flynn, A. Zhezherun, A. Pokrovskii, J. P. O'Kane // Physica B: Cond. Matter. - 2008. - Vol. 403. - P. 440 - 442.

59.Fotis N. Koumboulis, Nikolaos D. Kouvakas, Paraskevas N. Paraskevopoulos, "Dynamic controllers for I/O decoupling of neutral time delay systems with application to a coupled core nuclear reactor", Control Conference (ECC) 2007 European, pp. 5239-5247, 2007.

60.Franzitta, V. Description of hysteresis in lithium battery by classical Preisach model/ V. Franzitta, A. Viola, M. Trapanese //Adv. Mater. Res. - 2012. - Vol. 622. - P. 1099 - 1103.

61.Friedman, G. Switching behaviour of two-phenotype bacteria in varying environment /G. Friedman, P.Gurevich, S. McCarthy, D. Rachinskii // J. Phys. Confer. -2015. - Vol. 585. - № 1. - P. 01 - 12.

62.Gurevich, P. Parabolic problemswith the Preisach hysteresis operator in boundary conditions / P. Gurevich, W. Jäger // J. Differ. Equ. - 2009. - Vol. 247. - № 11. - P. 2966-3010.

63.He, J. H. A coupling method of a homotopy technique and a perturbation technique for non-linear problems / J.H. He // International Journal of NonLinear Mechanics. - 2000. - Vol. 35. - P. 37 - 43.

64. He, J. H. Homotopy perturbation method: a new nonlinear analytical technique / J. H. He // Applied Mathematics and Computation. - 2003. - Vol. 135. - P. 73 - 79.

65.He, J. H. Homotopy perturbation technique / J.H. He // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - August 1999. - Vol. 178. - № 3. : 4. -P. 257 - 262.

66.Huang, T. Pattern self-organization and pattern transition on the route to chaos in a spatiotemporal discrete predator - prey system / T. Huang, X. Cong, H. Zhang, S. Ma, G. Pan // Advances in Difference Equations . - 2018 - № 175. -DOI: 10.1186/s13 662-018-1598-7.

67.Ikhouane, F. On the Hysteretic Bouc-Wen Model / F. Ikhouane, J. Rodellar // Nonlinear Dynamics. - 2005. - Vol. 42. - № 1. - P. 63 - 78.

68.Ikhouane, F. Systems with hysteresis: analysis, identification and control using the Bouc-Wen model / F. Ikhouane, J. Rodellar. - John Wiley & Sons, 2007. -222 p.

69.Iwan,W.D. A distributed-element model for hysteresis and its steady-state dynamic response / W.D. Iwan // ASME J. Appl. Mech. - 1966. - Vol. 33. № 4.

- P.893-900.

70.Jessica, J. J. Studies in applied mathematics / J. J. Jessica, B. A. Alejandro // Spontaneous PT-Symmetry Breaking in Nonlinearly Coupled van der Pol Oscillators. - 2016. - Vol. 137. - № 2. - P. 256 - 270.

71.Klein, O. Outwards pointing hysteresis operators and asymptotic behaviour of evolution equations / O. Klein, P. Krej^ci // Nonlinear Analysis: Real World Applications - 2003. - Vol. 4. - № 5. - P. 755-785.

72.Kovaleva, A. Autoresonance versus localization in weakly coupled oscillators / A. Kovaleva, L. I. Manevitch // Physica D. - 2016. - № . - 320. - Р. 1- 8.

73.Krasnosel'skii, M.A., Bobylev, N.A., Chernorutskii, V.V., at al. IFAC Symposia Series - Proceedings of a Triennial World Congress, 1991, 3, стр. 311-31

74.Krasnosel'skii, A. Dissipativity of a nonresonant pendulum with ferromagnetic friction / A. Krasnosel'skii , A. Pokrovskii // Autom. Remote Control. - 2006. -Vol. 67. - № 2. - P. 221 - 232.

75.Krasnosel'skii, M.A. Operator hysteron/ M.A. Krasnosel'skii, V.M. Darinskii, I.V. Emelin, P.P. Zabreiko, E.A. Lifshitz, A. Pokrovskii // Doklady AN SSSR. -1970. - Vol. 11. - № 1. - P. 29 - 33.

76.Krasnosel'skii, M.A. Syst. Hysteresis / M.A. Krasnosel'skii, A.V. Pokrovskii. -Springer. - Berlin, 1989. - 407 p.

77.Krej~ci, P. Properties of solutions to a class of differential models incorporating Preisach hysteresis operator/ P. Krej'ci, P. O'Kane, A. Pokrovskii, D. Rachinskii // Phys. D Nonlinear Phenom. - 2012. -Vol. 241. - № 22. - P. 2010 - 2028.

78.Krej~ci, P. Stability results for a soil modelwith singular hysteretic hydrology/ P. Krej'ci, P. O'Kane, A. Pokrovskii, D. Rachinskii // J. Phys. Conf. Ser. - 2011.

- Vol. 268. - № 1. - P. 20-47.

79.Kuehn, C. Generalized play hysteresis operators in limits of fast-slow systems / C. Kuehn, C. Münch // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. - 2017. -Vol. 16 - № 3. - P. 1650-1685.

80.Kuwana, Y. Synthesis of pheromone-oriented emergent behavior of a silkworm moth / Y. Kuwana, I. Shimoyama , Y. Sayama , H. Miura // Proc. IEEE / RSJ Internat. Conf. on Intelligent Robots and Systems - Osaka - Japan. - 1996. -Vol.3. -P. 1722 - 1729.

81. Lacarbonara, W. Nonclassical responses of oscillators with hysteresis / W. Lacarbonara, F. Vestroni // Nonlinear Dyn. - 2003. - Vol. 32. - № 3.- P. - 235 - 258.

82.Lacarbonara, W. Nonlinear thermomechanical oscillations of shape-memory devices / W. Lacarbonara, D. Bernardini, F. Vestroni // Int. J. Solids Struct. -2004. - Vol. 41. № 5. - P. 1209 - 1234.

83.Lacarbonara,W. Tailoring of hysteresis across different material scales / W. Lacarbonara, M. Talo, B. Carboni, G. Lanzara // Belhaq, M. (ed.) Recent Trends in Applied Nonlinear Mechanics and Physics.- Springer. - Berlin. - 2018. - Vol. 199. - P. 227 - 250.

84.Lin, C. J. Tracking control of a biaxial piezoactuated positioning stage using generalized Duhem model / C. J. Lin, P.T. Lin // Comput. Math. Appl. - 2012. - Vol. 64. - № 5. - P. 766 - 787.

85.Luo, A. C.J. Analytical solutions for periodic motions to chaos in nonlinear systems with/without time-delay / A.C.J. Luo // International Journal of Dynamics and Control. - 2013. -Vol. 1. - № 4. - P. 330 - 359.

86.Luo, Z. H. Shear Force Feedback Control of a Single-Link Flexible Robot with a Revolute Joint / Z. H. Luo, B. Z. Guo. // IEEE Transaction on Automatic Control. - 1997. - Vol. 42. - № 1. - P. 53 - 65.

87.Marinca, V. The optimal homotopy asymptotic method: Engineering applications / V. Marinca, N. Herisanu // Springer International Publishing, 2015. - 465 p.

88.Masri, S. F. Stochastic nonparametric models of uncertain hysteretic oscillators / S.F. Masri, R. Ghanem, F. Arrate, J. Caffrey // AIAA J. - 2006. - Vol. 44. - № 10. - P. 2319 - 2330.

89.Mayergoyz, I. D. Mathematical Models of Hysteresis / I. D. Mayergoyz. -Springer-Verlag New York Inc. - 1991. - 63 p.

90.Mayergoyz, I. D. Stochastic aspects of hysteresis/ I.D. Mayergoyz, M. Dimian // J. Phys. Conf. - 2005. - Vol. 22. - P. 139 - 147.

91.E. Meissner "Ueber Schüttelerscheinungen in Systemen mit periodisch veränderlicher Elastizität"//. Schweiz. Bauzeit. 72 (11): 95-98 (1918).

92.Mortell, M.P. Singular Perturbations and Hysteresis / M.P. Mortell, R.E. O'Malley, A. Pokrovskii, V. Sobolev. - Society for Industrial and Applied Mathematics - Philadelphia. - 2005. - 343 p.

93.Minghan Yang, "Distributed Parameter Control Method for Axial Neutron Flux in Fast Nuclear Reactor", Nuclear Science IEEE Transactions on, vol. 66, no. 6, pp. 899-910, 2019.

94.Naser, M.F.M. Consistency of the Duhem model with hysteresis/ M.F.M. Naser, F. Ikhouane // Math. Probl. Eng. Jan.2013. - № 1. - P. 1 - 16.

95.Noori, H. Hysteresis Phenomena in Biology / H. Noori - Springer, Berlin 2014.

- 45 p.

96.0ksendal, B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with

Applications/ B. 0ksendal - 5th edn. - Springer - Berlin - 1998. - 139 p. 97.Ott E. Controlling Chaos / E. Ott, C. Grebogi, J. A. Yorke // Physical review letters. - 1990. - Vol. 64. - № 11. - P. 1196 - 1199.

98.Padthe, A.K. Duhem modeling of friction-induced hysteresis / A.K. Padthe, B. Drincic, J. Oh, D.D.Rizos, S.D. Fassois, D.S. Bernstein // IEEE Control Syst. Mag. 2008. - Vol. 28. - № 5. - P. 90 - 107.

99.Pierce-Shimomura, J.T. The fundamental role of pirouettes in Caenorhabditis elegans Chemotaxis / J.T. Pierce-Shimomura, T.M. Morse, S.R. Lockery // Neuroscience. - 1999.

- Vol. 19. - № 21. - P. 9557 - 9569.

100. Pimenov, A. Memory and adaptive behavior in population dynamics: anti-predator behavior as a case study / A. Pimenov, T. Kelly, A. Korobeinikov, M. O'Callaghan, D.Rachinskii // J. Math. Biol. -2017. Vol. 74. - № 6. - P.1533 -1559.

101. Pioncare, H. Les methods nouvelles de la mechanique celeste / H. Les Pioncare. - Paris: Gauthier-Villars. - 1892. - 385 p.

102. Preisach, F. Über diemagnetischeNachwirkung / F. Preisach // Zeitschrift für Physik - 1935. - Vol. 94. - № - 5-6. - P. 277 - 302.

103. Rachinskii, D. Realization of arbitrary hysteresis by a low dimensional gradient flow/ D. Rachinskii //Discrete Contin.Dyn. Syst. - 2016. - Vol. 21. -№ 1. - P. 227 - 243.

104. Radons, G. Nonlinear dynamics of complex hysteretic systems: oscillator in a magnetic field / G. Radons, A. Zienert // Eur. Phys. J. Spec. - 2013. - Vol. 222. - № 7. - P. 1675 -1684.

105. Rao, A. A two species thermodynamic Preisach model for the torsional response of shape memory alloy wires and springs under superelastic condition / A. Rao, A. Srinivasa // Int. J. Solids Struct. -2013. - Vol. 50. - № 6. - P. 887-898.

106. Rate , B. Independent hysteresis in terrestrial hydrology: A vegetated soil model with Preisach hysteresis / B. Appelbe, D. Flynn, H. McNamara, P. O'Kane, A. Pimenov, A. Pokrovskii, D. Rachinskii, A. Zhezherun // IEEE Control Systems Magazine. - 2009. - Vol. 29. - P. 44 - 69.

107. Rios, L.A. A model of hysteresis arising from social interaction within a firm / L.A.Rios, D. Rachinskii, R.Cross // J. Phys. Conf. - 2017. - Vol. 811. -№ 1. -P.1 - 12 .

108. Rossikhin, Y. Analysis of non-linear vibrations of a fractionally damped cylindrical shell under the conditions of combinational internal resonance / Y. Rossikhin, M. Shitikova // Lecture Notes in Electrical Engineering. - 2015. -Vol. 343. - P. 59 -107.

109. Sato C. Correction of stability curves in Hill-Meissner's equation / C. Sato // Mathematics of Computation. - 1966. - Vol. 20. - № 93. - P. 98-106.

110. Semenov, M. E. Elastic inverted pendulum with backlash in suspension: stabilization problem / M. E. Semenov, A. M. Solovyov, P. A. Meleshenko // Nonlinear Dynamics. - 2015. - Vol. 82. - № 1. - 2. - P. 677 - 688.

111. Semenov, M. E. Inverted pendulum under hysteretic control: stability zones and periodic solutions / M. E. Semenov, D. V. Shevlyakova, P. A. Meleshenko // Nonlinear Dynamics. - 2014. - Vol. 75. - № 1 - 2. - P. 247 - 256.

112. Semenov, M. E. State-feedback control principles for inverted pendulum with hysteresis in suspension / M. E. Semenov, Z. H. Abbas, I. N. Ishchuk, O. I. Kanishcheva, P. A. Meleshenko // Journal of Siberian Federal University -Mathematics and Physics. - 2016. - Vol. 9. - № 4. - P. 498-509. - DOI: 10.17516/1997-1397-2016-9-4-498-509.

113. Semenov, M. Nonideal relay with random parameters / M. Semenov, P.Meleshenko, I. Ishchuk, D. Dmitriev, S. Borzunov, N. Nekrasova //J. (eds.) Extended Abstracts Spring - Springer - Berlin - 2019. -Vol. 11. - P. 253 - 258.

114. Semenov, M.E. Charged inverted pendulum as a new model for control of unstable systems / M.E. Semenov, P.A. Meleshenko , V.A. Gorlov , A.G. Rukavitcyn, O.O. Reshetova, Z.H. Abbas, H.T.T. Nguyen, A.F. Klinskikh // Progress In Electromagnetics Research Symposium. (PIERS). - IEEE - 2016. -№. 7734836. - P. 1938-1942.

115. Semenov, M.E. Nonlinear Damping: From Viscous to Hysteretic Dampers / M.E. Semenov, A.M. Solovyov, P. A. Meleshenko, J. M. Balthazar // Recent Trends in Applied Nonlinear Mechanics and Physics (ed. Mohamed Belhaq), Springer Proceedings in Physics. - 2018. - Vol. 199. - P. 259-275. URL: https://doi.org/10.1007/978-3- 319-639376_15.

116. Semenov, M.E. Radiation and control of coupled charged inverted pendulums / M.E. Semenov, P.A. Meleshenko, A.F. Klinskikh, I.N. Ischuk, H.T.T. Nguyen , V.A. Gorlov, A.M. Solovyov, Z.H. Abbas, M.A. Popov, O.O. Reshetova // Progress in Electromagnetics Research Symposium. Conference Paper -2017. (May) -Vol. 22-23. - P. 1123-1128.

117. Semenov, M.E. Stabilization of Unstable Periodic Solutions for Inverted Pendulum Under Hysteretic Control: The Magnitskii Approach / M.E. Semenov, P.A.Meleshenko, I.N. Ishchuk, V.N. Tyapkin, Z.H. Abbas // In: Korobeinikov A., Caubergh M., Lázaro T., Sardanyés J. (eds). Trends in Mathematics -Extended Abstracts Spring- Birkhauser- Cham - 2019. -Vol. 11. - P. 245-251.

118. Shitikova, M. V. A new approach for studying nonlinear dynamic response of a thin fractionally damped cylindrical shell with internal resonances of the order of s / M.V. Shitikova , Y.A. Rossikhin // Advanced Structured Materials. - 2015. - Vol. 45. - P. 301- 321.

119. Solovyov, A.M. Hysteretic nonlinearity and unbounded solutions in oscillating systems / A.M. Solovyov, M.E. Semenov, P.A. Meleshenko, O.O. Reshetova, M.A. Popov, E.G. Kabulova // Procedia Engineering. - 2017. - Vol. 201. -№ 201. - P. 578-583.

120. Steven Robert, "Applications of optimal control theory to spacetime reactor kinetics " (1970). Retrospective Theses and Dissertations. 4799

121. Stephenson, A. On an induced stability / A. Stephenson // Phil. Mag. -1908. - Vol.15. - № 86. - P. 233 - 236.

122. Tang, J. Modeling and Simulation of a Flexible Inverted Pendulum System / J. Tang , G. Ren // Tsinghua Science and Technology. - 2009. -Vol. 14. - № S2. - P. 22 - 26.

123. Toledo, L. System identification of a NiTi-based SMA actuator using modified Preisach model and adaptive control / L.Toledo, J. Ge, J. Oxoby, Y. Chen, N. Pérez-Arancibia // American Control Conference. (ACC). - 2017. - P. 183-190. - DOI:10.23919/ACC.2017.7962951.

124. Urbanavi^ci ute, I. Physical reality of the Preisach model for rganic ferroelectrics / I. Urbanavi^ci ute, T. Cornelissen, X. Meng, R. Sijbesma, M. Kemerink // Nat. Commun. - 2018. - Vol. 9. - № 1.- P. 44-59 .

125. Ventcel', A. A Course in theTheory of Stochastic Processes/ A. A Ventcel' // 2nd edn. Nauka. - Moscow. - 1996. - 304 p.

126. Visintin, A. Differential Models of Hysteresis / A.Visintin. - Springer -Berlin -1994. - 391 p.

127. Wang, L. Synchronous neural networks of nonlinear threshold elements with hysteresis / L. Wang, J. Ross // Neurobiology. - 1990. - Vol. 87. - № 3. -P. 988 - 992.

128. Weiss, P. Étude de l'aimantation initiale enfunction de la température./ P. Weiss, J.d. Freundereich // Archives des Sciences Physiques et Naturelles -Geneve -1916. - Vol. 42. - P. 449 - 470.

129. Xu, C. Mathematical model of elastic inverted pendulum control system / C. Xu, Y. Xin // Journal of Control Theory and Applications. - 2004. - Vol. 2. -№ 3. - P. 281 - 282.

130. Zhang, Z. Y. Global existence and uniform decay forwave equation with dissipative term and boundary damping / Z. Y. Zhang, X. J. Miao // Computers & Mathematics with Applications. - 2010. - Vol. 59. - № 2. - P. 1003 - 1018.

ПРИЛОЖЕНИЕ А Акты внедрения 18.05.2021

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программа для ЭВМ программа расчета показателей системы связанных обратных маятников с обратной связью