Модели стабилизации и синхронизации механических систем и нейронных сетей с гистерезисными свойствами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Грачиков, Дмитрий Вячеславович

• Грачиков, Дмитрий Вячеславович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Грачиков, Дмитрий Вячеславович

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ГИСТЕРЕЗИСНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

1.1. Понятие гистерезисного преобразователя

1.2. Неидеальное реле

1.3. Обобщённый люфт

1.4. Дифференциальные уравнения с гистерезисными нелинейностями

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЙ МАЯТНИК С ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

2.1. Гистерезисный преобразователь-люфт

2.2. Стабилизация. Обсуждение результатов

2.2.1. Аналитическое исследование задачи стабилизации

2.2.2. Достаточное условие диссипативности колебаний маятника

2.2.3. Неидеальное реле в обратной связи

2.2.5. Случайные рассинхронизации в управлении

2.2.4. Обсуждение результатов стабилизации

2.3. Оптимальное функционирование

2.3.1. Оптимальное управление в классе периодических функций

2.4. Выводы

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ БИОЛОГИЧЕСКОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ ГИСТЕРЕЗИСНОЙ ПРИРОДЫ

3.1. Модель нейрона Кащенко - Майорова

3.2. Модель памяти нейронов Радченко

3.2.1. Химическое воздействие на МРК

3.2.2. Электрическое воздействие

3.3. Описание модели

3.4. Исследование полносвязной нейронной сети со «слабой» связью

3.5. Исследование полносвязной сети с «сильной» постоянной гистерезисной связью

3.6. Выводы

ГЛАВА 4. СЕГМЕНТАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГИСТЕРЕЗИСНОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ

4.1. Описание модели нейронной сети

4.2. Сегментация изображений гистерезисной нейронной сетью

4.3. Сегментация оптимизированной нейронной сетью

4.4. Задача теплового видения

4.5. Сравнение численных методов сегментации изображений и алгоритма с использованием биологической нейронной сети гистерезисной природы

4.6. Результаты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели стабилизации и синхронизации механических систем и нейронных сетей с гистерезисными свойствами»

ВВЕДЕНИЕ

Модели процессов и систем прикладных задач физики, теории автоматического регулирования, нейронных сетей и т.д. сводятся к системам дифференциальных уравнений, содержащим помимо обычных

функциональных нелинейностей - нелинейности гистерезисной природы (колебания ферромагнитного шарика в магнитном поле; вынужденные колебания физического маятника, управляющим воздействием на который является выход гистерезисного преобразователя; электромагнитные колебания в контуре, содержащем сегнетоэлектрические конденсаторы; гистерезисные особенности нейронов[32-34] и многие другие) [22]. В механических системах, вследствие старения и износа деталей, неизбежно возникают люфты, упоры, имеющие, по сути, гистерезисную природу, поэтому их необходимо учитывать на этапе разработки и проектирования систем. При этом носители гистерезиса, как правило, нельзя рассматривать изолировано[22,35-37], так как они являются частью более сложной системы. Важный класс таких систем составляют управляемые системы и системы автоматического регулирования из различных предметных областей[35-37]. Гистерезисные преобразователи естественным образом появляются в этих системах как математические модели разнообразных гистерезисных явлений. Возможность изучения таких систем основывается на развитой М.А. Красносельским и A.B. Покровским операторной трактовке гистерезисных преобразователей как операторов[22-23], определенных на достаточно мощном функциональном пространстве, зависящих от своего начального состояния как от параметра. Системы с гистерезисными нелинейностями обладают рядом специфических особенностей коренным образом отличающих их от традиционных систем с функциональными нелинейностями. К их числу, в первую очередь, относятся недифференцируемость гистерезисных операторов[10,22,35-37], необычность фазовых пространств, включающих в себя пространства состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, в общем случае не

обладающих линейной структурой и некоторые другие. Следовательно, анализ и синтез моделей оптимального функционирования систем с гистерезисными нелинейно стями требует разработки новых методов, учитывающих упомянутые выше особенности. Кроме того, как показывают простые примеры, для систем с гистерезисом типична ситуация, когда в них принципиально нереализуемы асимптотически устойчивые режимы[22,35-37], что затрудняет численную реализацию методов их приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки алгоритмов построения переходных процессов в управляемых системах с гистерезисными нелинейностями. Из небольшого числа работ посвященных задачам анализа моделей систем с гистерезисными нелинейностями отметим работы А. М. Красносельского[18-22], Д.И. Рачинского [25-26]. Таким образом, актуальной является задача разработки методики построения оптимального функционирования и стабилизации класса систем с гистерезисными нелинейностями, а также разработки алгоритма приближенного построения их решений.

В связи с приведенными особенностями гистерезисных явлений особый интерес представляют механические системы с гистерезисными нелинейностями. Частный случай таких систем - обратный маятник с гистерезисной нелинейностью в нижней точке крепления подробно рассматривается в работе.

Исследования обратного маятника берут свое начало с работ П.Л. Капицы [73, 80] и продолжаются по сей день[72-74, 86-88]. Как известно, обратный маятник часто встречается при решении задач стабилизации[73, 77, 83, 84, 86], т.к., имея нелинейную природу, его исследование позволяет ответить на множество вопросов по стабилизации более сложных нелинейных систем. Необходимо ответить, что модель обратного маятника активно используется в задачах физики[76], прикладной математики[84], инженерии[82, 85], экономики[37] и других областях. Простота обратного маятника и, в тоже

время, сложность и наглядность его стабилизации делают данную механическую систему удобной для использования во многих научных лабораториях. Самыми распространенными методами стабилизации обратного маятника являются методы вертикальных[77, 83, 84] и горизонтальных[76] осцилляций подвеса, и метод, когда нижний конец маятника крепится на тележку, которая может совершать поступательные и круговые движения[75].

Как известно, во многих механических системах вследствие старения и износа деталей неизбежно возникают люфты и упоры, которые необходимо учитывать на стадии проектирования систем[36]. Математические модели подобных нелинейностей, согласно работам М.А. Красносельского[18-22], сводятся к операторам, представляющих собой отображений в соответствующих функциональных пространствах. Динамика операторов представляет собой зависимость выходных состояний от входных воздействий.

Приведенные особенности механических систем можно отобразить в моделях в виде цилиндра, перемещение которого вызывается движением поршня. Таким образом, в работе рассматривается динамика механической системы зависящей от управляющего воздействия имеющего гистерезисную природу. Отметим, что рассматриваемая в работе модель обратного маятника с гистерезисной нелинейностью в нижней точке крепления может быть успешно внедрена в совершенно различных моделях других систем.

Еще одной областью, где возникают явления гистерезисной природы, является нейрофизиология[27-34]. Гистерезисные эффекты проявляются в функционировании нейронов на различных уровнях, в том числе они играют ключевую роль в работе кратко- и долговременной памяти. Впервые это явление было отмечено в работах А.Н. Радченко[32-34]. Гистерезисная природа функционирования нейронов естественным образом повышает эффективность применения нейронных сетей для решения прикладных задач, одной из которых, решаемой в области компьютерного зрения, является предварительная обработка поступающих данных для их упрощения в последующем

использовании[39-60]. В эффективности решении выделения важных объектов из огромного зрительного потока информации эталоном является человеческий мозг, поэтому для разработки систем распознавания образов необходимо использовать модели биологических нейронных сетей с присущими им гистерезисными свойствами. Отметим в этой связи цикл работ С.А. Кащенко и В.В. Майорова[61-65], где модели биологических нейронов были достаточно подробно исследованы. Однако, гистерезисные эффекты в моделях биологических нейронов к настоящему времени не нашли должного освещения. Поэтому задача, связанная, с анализом моделей биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами является важной и актуальной.

В компьютерном зрении распространен подход разбиения цифровых изображений на несколько сегментов (множества пикселей) согласно их цвету, яркости, расположению и т. д. Данный процесс называется сегментацией - она распространена в медицине, географии и других науках в связи с ростом объемов данных, требующих анализа[39-60].

На данный момент существует множество численных алгоритмов сегментации изображений, которые, так или иначе, лишь незначительно приближаются по своей эффективности к головному мозгу, который может выявлять объекты из огромного потока информации и является эталоном в решении множества задач компьютерного зрения. Решить задачу сегментации с применением законов функционирования головного мозга можно при помощи моделей биологических нейронных сетей, однако должного внимания этим моделям до недавнего времени не было уделено[32-34].

В настоящее время в теории нейронных сетей активно развивается направление по изучению осцилляторных аспектов функционирования мозга[61-65], центральное место в которых отводится задачам, способных дать ответы на важные вопросы психологии и нейробиологии. Существует ряд моделей, которые в силу разной степени своей биологической обоснованности, способны показать взаимодействие нейронов в коре головного мозга[27-31].

1

Наиболее приближенной к биологическим данным является модель Ходжкина-Хаксли, которая в силу своей сложности для экспериментов практически не применяется для моделирования нейронных сетей.

Особо отметим модель С.А. Кащенко - В.В. Майорова[61-65], в которой учтены биологические особенности нейронов. С ее помощью были исследованы нейронные кольцевые структуры, которые образуются в коре головного мозга и играют важную роль в формировании долговременной памяти.

Ключевыми особенностями в моделях биологических нейронных сетей являются организация связей между нейронами и реакция нейронов на внешнее воздействие. В своих работах А.Н. Радченко [32-34] описал реакцию нейронов на внешние возбудители. Согласно проведенным исследованиям нейрон окружен клеточными образованиями (кластерами), которые по закономерности, имеющей гистерезисную природу, способны запустить эндогенные (внутренние) процессы в нейроне и, тем самым, вызвать спайк. Открытые А.Н. Радченко закономерности еще не нашли отражения в моделях нейронных сетей, однако они позволяют естественным образом описать реакцию нейрона на внешние возбудители, благодаря чему возможно организовать работу нейронной сети для решения распространенных задач кластеризации, классификации и т.д.

Цель работы. Разработка и развитие качественных и приближенных аналитических методов, численных алгоритмов анализа оптимального функционирования, стабилизации и синхронизации для классов механических систем и биологических нейронных сетей с гистерезисными нелинейностями.

Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих задач: • разработка метода стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень; исследование влияния рассинхронизации на диссипативность системы;

• разработка метода оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале;

• численное исследование модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами во входных и связных воздействиях; построение и исследование аттракторов модели;

• разработка алгоритма сегментации изображений с помощью модели биологических нейронных сетей с гистерезисными свойствами;

• разработка комплекса программ для апробации и тестирования предложенных методов и алгоритмов, проведение численных экспериментов.

Объекты исследования — механические системы и нейронные сети с носителями гистерезисных явлений.

Предмет исследования — математические модели систем с гистерезисом, алгоритмы, программные методы стабилизации, численные и аналитические методы построения оптимальных переходных процессов в системах с гистерезисом.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, операторная теория гистерезиса, качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического регулирования, нелинейный анализ, численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

• предложен метод стабилизации модели механической системы, состоящей из обратного маятника, жестко связанного с системой цилиндр-поршень, отличающийся наличием гистерезиса в обратной связи; показано, что рассинхронизация во внешних воздействиях приводит к потере диссипативности системы;

• предложен метод оптимального функционирования модели обратного маятника с люфтом на конечном временном интервале, учитывающий гистерезисные свойства во внешнем воздействии;

исследована динамика модели биологической нейронной сети с гистерезисными свойствами: построены аттракторы, исследована зависимость синхронизации отдельных нейронов от коэффициента связи;

разработаны численные алгоритмы сегментации изображений с помощью однослойной и двухслойной нейронных сетей, отличающиеся наличием гистерезисных свойств у отдельных нейронов во входных воздействиях;

• разработаны комплексы программ для реализации алгоритма стабилизации обратного маятника с гистерезисом и для моделирования динамики биологической нейронной сети гистерезисной природы и сегментации изображений с ее применением.

Область исследований. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки). Область исследования соответствует п.1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п. 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Практическая значимость работы. При моделировании механических систем люфты и упоры практически не учитываются, однако они неизбежно возникают в результате старения и износа электрических и механических составляющих. Разработанный алгоритм стабилизации механического маятника может послужить основой для программной реализации устойчивого функционирования различных систем с гистерезисными свойствами.

Исследованная в работе модель нейронной сети с гистерезисными свойствами позволяет более точно моделировать функционирование головного мозга и, тем самым, изучить закономерности его работы. Таким образом,

получен новый инструмент для решения традиционных задач машинного зрения, классификации и т.д. Разработан комплекс программ для моделирования динамики нейронной сети и сегментации монохромных изображений с помощью однослойной и двухслойной сетей.

На защиту выносятся:

• метод оптимизации и стабилизации класса моделей систем с носителями гистерезисных явлений;

• модель нейронной сети с входным и связующим воздействиями гистерезисной природы;

• алгоритм сегментации изображений с помощью биологических нейронных сетей гистерезисной природы.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XX Международный научно-технический семинар, г. Алушта, сентябрь 2011г.), «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (XXI Международный научно-технический семинар, г. Алушта, сентябрь 2012г.), Нейроинформатика-2013 (XV Всероссийская научно-техническая конференция, г. Москва, 2013г.), Международная научная Интернет-конференция «Инновации и традиции в современном образовании» (III Всероссийская заочная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных, г. Старый Оскол, 2012г.), Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2012г.), «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (V Международная конференция ПМТУММ-2012, г. Воронеж, 2012г.), Крымская Осенняя Математическая Школа (Двадцать третья ежегодная международная конференция КРОМШ-2012, Батилиман, 2012г.), Международная научно-практическая конференция «Актуальные задачи математического

"Ч

моделирования и информационных технологий» (г. Сочи, 2012г.), Международная научно-техническая конференция

Современные сложные системы управления X

(г. Старый Оскол, 2010г.), XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике Регональный макросимпозиум "Насущные задачи прикладной математики на Кубани" (г. Сочи - г. Дагомыс, октябрь 2010г.).

Во введении приведена общая характеристика работы, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследований, предоставлена информация о научной новизне и практической значимости работы, приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по главам,

В первой главе вводится понятие гистерезисного преобразователя и рассматриваются его разновидности: обобщенный люфт и Б-преобразователь.

Во второй главе рассматривается математическая модель стабилизации маятника, шарнирно закрепленного на цилиндре, движение которого вызывается горизонтальным перемещением поршня.

В третьей главе проводится исследование поведения биологических нейронных сетей, основанных на модели С.А. Кащенко - В.В. Майорова с учетом биологических особенностей, отмеченных А.Н. Радченко.

В четвертой главе рассматривается применение предложенной модели нейронной сети к решению задачи сегментации изображений, где под сегментацией в компьютерном зрении понимается распространенный поход разбиения цифровых изображений на несколько сегментов (множества пикселей) согласно их цвету, яркости, расположению и т. д.

Глава 1. Гистерезисные операторы

Нелинейные зависимости гистерезисного типа часто встречаются при описании физических, механических, биологических явлений. Хорошо известны: магнитный гистерезис, диэлектрический гистерезис, пластический гистерезис. Учёт влияния гистерезисных нелинейностей на динамику систем необходим в теории автоматического регулирования — роль таких нелинейностей отмечалась, например, в работах. [21, 52, 54, 50]

При изучении гистерезисных явлений возникают, в зависимости от цели исследования, две принципиально различные ситуации. В первой из них основной задачей является конструирование удобного и простого алгоритма построения выхода по заданным внешним воздействиям. При этом, как правило, можно ограничиться входами достаточно простой структуры, например кусочно-линейными.

Вторая — основная для теории регулирования задача — возникает, когда изучаемый объект нельзя рассматривать изолированно, так как он является одним из звеньев более сложной системы. В этой ситуации удобно трактовать гистерезисную нелинейность как оператор или совокупность операторов определённых на достаточно богатом функциональном пространстве, например, на пространстве всех непрерывных входов.

В данной работе изучается именно вторая ситуация. Поэтому, ниже будет дано описание гистерезисных нелинейностей, трактуемых в смысле М. А. Красносельского, А. В. Покровского [21] как операторы, действующие в соответствующих функциональных пространствах.

1.1. Понятие гистерезисного преобразователя.

Для описания гистерезисных нелинейностей используются в соответствии с [21] преобразователи Г (см. рис. 1.1), для которых имеет смысл

говорить о переменном входе u(t) и переменном выходе x(t).

и (t) 'w Г x(t)

X

Рис. 1.1

Особенностью гистерезисного преобразователя является то, что он может находиться в том или ином состоянии, которое может меняться во времени либо в связи с изменением входа, либо по другим причинам. Поэтому выход x(t) (/ > 0) определяется не только значением входа u(t) (t> 0), но и состоянием ю(0) = ю0 гистерезисного преобразователя в нулевой момент времени. Если при фиксированном начальном состоянии со0 гистерезисного преобразователя Г возможна подача входа u(t) (/ > 0), т.е. входу u(t) отвечает по крайней мере один выход x(f), то такой вход называется допустимым. При этом будем писать

*(0 = Г[а>0]!/(0 (1.1)

Пусть u{t) и v{t) два допустимых входных сигнала для преобразователя, находящегося при i = 0 в одном и том же состоянии. Если из равенства

M(0 = v(i) (0 <t<T) (1.2)

всегда вытекает равенство

г [со0]40 = Г к]40 (0<t <т), (1.3)

то преобразователь Г называют физически реализуемым. В дальнейшем будут рассматриваться только физически реализуемые преобразователи.

Если область возможных состояний детерминированного преобразователя Г не зависит от t, причём из допустимости входа x(t) (t > 0)

вытекает допустимость при том же состоянии входа у(г) = х(г -г{) (1 >1{) и справедливость равенства

Г[ю0КО = Г[г1,о)0]ХО , (1.4)

то преобразователь Г называется автономным. Иными словами, преобразователь автономен, если его свойства не меняются во времени. Преобразователь называется статическим, если при переходе от входного сигнала м(/) (? > 0) к сигналу

у(0 = и{а 0 > 0),(а > 0)

выходной сигнал переходит в выходной сигнал

у( о = фо (^о).

Таким образом, автономный преобразователь будет статическим, если его свойства не зависят от масштаба времени. Приведём примеры:

Г*(/) = ал'(0 (аей1) (1.5)

Гх(1) = ]х(ь)Ж (1.6)

о

Г*(0 = /М(0] • (1-7)

Два первых преобразователя являются статическими, третий же является статическим в том и только том случае, когда функция /0,х) не зависит от I.

1.2. Неидеальное реле.

Рассмотрим двухпозиционное реле с пороговыми числами аир (а < Р)

— см., например, [ 21, 53 ].

Пространством состояний неидеального реле является пара чисел {0,1}. Связь между входом и{г) е С[0 7-| и переменным выходом х(1) е {0,1}

устанавливается ( см. [ 21 ]) оператором /?[а,Р,л0]

16 (1.8)

(1.8) должно

*о = ° ;

.х0 = 0 или х0 = 1.

л;(г) = Я [а,р,л;о]м(0 .

Здесь х0 —начальное состояние преобразователя. Начальное состояние х(] преобразователя

удовлетворять следующим условиям: если и( 0) < а , то если и(0) > р , то если а < и(0) < р , то Выход х(г) (0<г <Т) совпадает с переменным состоянием

преобразователя Я и определяется соотношением: Г 0, если

1, если и{г)> р,

х0, если г/(т)е(а,Р) при всех те[0,/],

0, если и{1) е (а,Р) и найдётся такое ^ е [0,0,что м(^) = а и и(т)е(а,Р) при всех те

1, если и(/)е(а,Р) и найдётся такое ^£[0,0, что г/(^) = р и и(х) е (а,Р) при всех

(1.9)

х(0= <

Динамику входно-выходных соответствий преобразователя неидеального реле иллюстрирует рис. 1.2.

1

1

а

и

Рис. 1.2

Таким образом, неидеальное реле является детерминированным преобразователем, определенным на всех непрерывных входах. Очевидны статичность и управляемость неидеального реле. Полугрупповое тождество для неидеального реле имеет обычный вид:

Значение выхода (1.9) при непрерывном входе и (?) (/ > /0) полностью определяется следующим правилом: выход x(t) принимает постоянное значение на замкнутом промежутке [ , г2 ], если либо х(г,) = 0 и(1)<а при г е [ ^ , г2 ], либо .х ( ^ ) = 1 и u{t)>\3 при / е [ г, , /2 ]. Сформулированное правило будем называть принципом отсутствия лишних переключений.

Важным свойством неидеального реле является его монотонность по входам: если {и (), }, {V (г0 ), у0 } е П ( а, (3), < у0 и

»0 > хо 'О >х0

; а, р ] и (Ц ); а, р ] и (I)

(/0 <*!<*)•

(1.10)

(1.11)

то

(г>г0). (1.12)

Монотонность по входам можно использовать как основу определения неидеального реле. Для этого нужно вначале определить выходы при монотонных входах. Затем при помощи полу группового тождества определить выходы при кусочно монотонных непрерывных входах. После этого установить монотонность по входам и заметить, что определенное на кусочно монотонных входах соответствие имеет единственное монотонное продолжение на пространство всех непрерывных входов. Построенное продолжение задает оператор (1.8) на всех непрерывных входах.

Имеет место и естественная монотонность по пороговым числам.

Значениями оператора (1.8) являются функции, принимающие лишь два значения: 0 и 1. Поэтому его можно рассматривать как оператор, действующий из пространства С = С (¿0 , ^ ) непрерывных на [ /0 , ] функций и (г) в любое Ьд=Ьд (0,1) , где 1 < д < со . Непосредственно из

определения реле вытекает простая, но важная

Теорема 1.1. Каждый »ос5Р] (Р<°с) локально компактен

как оператор из С (,Н ) в ^ при 1 < д < оо.

Для доказательства достаточно рассмотреть фиксированную функцию и* (I) е С (¿о , ), удовлетворяющую условию { и* (1()) ,х()} е П(а,Р),

и заметить, что количество точек разрыва у выходов /?[?о,.Хо;ос,Р]г/(0 (íQ<t<tl) равномерно ограничено, если рассматривать входы и {г)из малой окрестности в С (1{),) функции и* (I).

Если R[t0 ,0;а,Р] трактовать как определенный на функциях и(1) е С, для которыхм (г0) <р, оператор со значениями в , то точками его разрыва будут функции, принимающие значение р хотя бы

при одном х е [ ¿0 , ^ ]. Аналогично /? [ , 1; а, Р ] как оператор из С в Ь,зо разрывен в точке «( / )еС (и(10 )>а), если м (т) = а хотя бы при одном т е [ , г, ]. Поэтому множество точек разрыва действующих из С в ¿ж операторов Я [ , ; а, Р ] содержит открытые области.

Ситуация становится другой, если рассматривать Я [ г0 , ; а, Р ] как оператор из С в где 1 < < со; здесь множество точек разрыва тощее.

Если рассматривать рисунок 1.2 как график многозначной характеристики некоторого функционального звена, то это функциональное звено не совпадает с реле (а, Р).

В заключение пункта отметим, что пороговые значения аир часто называют током включения и током отпускания. Когда выход равен 1, то, как говорят, реле включено; если выход равен 0, то реле отключено.

Периодические входы. Вначале распространим операторы (1.8) на произвольные непрерывные входы и(1) (/ >/0), не обязательно удовлетворяющие условию {г/ (), ,х0 } е О ( а, р). Для этого дополнительно к правилу (1.9) будем считать, что

Распространенные на все непрерывные входы операторы (1.13) и (1.14) можно на монотонных входах определить простыми наглядными формулами

Д[г0,1;сх,3]и(0 = Д['о»0;а,|3]и(0, если ы(/0 )<3, (1.13)

и

,0;а,Р]и(?) = Л[?д ,1;а,Р]г/(?), если и{г0)> а. (1.14)

если и () > р, если и () < р,

(1.15)

и

если и (/0 ) < а, если и{1 о ) > а,

(1.16)

в которых использованы функции звена r_ (а) с характеристикой

[0, если и< а, г_{и , а) = \

[1, если и> а,

и звена r+ (а) с характеристикой

ГО, если и < а, г+(м,а)И

[1, если и > а.

Столь же простым и наглядным остается правило отыскания выходов при кусочно монотонных входах, если правила (1.15) и (1.16) дополнить полугрупповым тождеством.

Сопоставим каждому непрерывному входу г/ (/ ) (-оосгсоо) определенные также при всех t две непрерывные функции

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Грачиков, Дмитрий Вячеславович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. -М. : Наука, 1974.-431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. -М. : Наука, 1975.-240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. - М. : Наука, 1965. - 407 с.

4. Байге X. Детерминированный хаос и сегнетоэлектричество / X. Байге, М. Дистельхорс, С.Н. Дрождин // Материалы семинаров НОЦ "Волновые процессы в неоднородных средах". - 2003. - С. 9-22.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. - М. : Наука, 1976. -352 с.

6. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных ко-лебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Физматгиз, 1963. - 503 с.

7. Борздыко В.И. Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностями: автореф. дис. на соискание учёной степени д-ра физ.-мат. наук / В.И. Борздыко. - Душанбе, 2001. - 29 с.

8. Воронов A.A. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость / A.A. Воронов. - М. : Наука, 1979. - 335 с.

9. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. - М. : Наука, 1967.-416 с.

10. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем / М.И. Гиль. - М. : Наука, 1984. -150 с.

11. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. - М. : Высш. шк, 2001. -395 с.

12. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. -М. : Наука, 1971. -432 с.

13. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М. : Наука, 1966. - 664 с.

14. Жук B.B. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. - Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.- 188 с.

15. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М. : Наука, 1978. -512 с.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М. : Наука, 1976. - 576 с.

17. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М. : ИЛ, 1958. - 476 с.

18. Красносельский М. А. и др. Операторы гистерезисных нелинейностей, порожденных континуальными системами реле //Автоматика и телемеханика. - 1994. - №. 7. - с. 49-60.

19. Красносельский М. А. и др. О динамике управляемых систем, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями //Автоматика и телемеханика. - 1992. -№. 11. - С. 65-71.

20. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений: главы нелинейного анализа. - Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1962.

21. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - Издательство" Наука", Главная редакция физико-математической литературы, 1966.

22. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. - Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.

23. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями / A.B. Покровский // "ДАН СССР". - 1984. - т. 274, № 5. -С. 1037-1040.

24. Покровский A.B. Устойчивые периодические режимы в системах с монотонными нелинейностями / A.B. Покровский, М.Е. Семенов // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 2. - С. 31-37.

25. Красносельский A.M. О континуумах циклов в системах с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Радчинский // Доклады Академии наук. - 2001. -№3. - С. 314-319.

26. Красносельский A.M. Об одном нелокальном признаке существования циклов систем с гистерезисом / A.M. Красносельский, Д.И. Радчинский // Автоматика и телемеханика. - 2003. - №2. - С. 66-88.

27. Покровский, А.Н. О связи синоптической проводимости с частотой нервных импульсов в системе Ходжкина-Хаксли / Покровский А.Н., Милованов A.B. // Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. VIII Всерос. семинара .— 2000 .— С. 117-118.

28. Покровский, А.Н. Новый класс моделей реалистических нейронных сетей /' Покровский А.Н., Милованов A.B.// Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. VIII Всерос. семинара .— 2001 .— С. 148-149.

29. Покровский, А.Н. Алгоритм вычисления границы области периодических решений системы уравнений Ходжкина-Хаксли / А.Н. Покровский, A.B. Милованов, М.М. Портнов // Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных : материалы 16-ой Всерос. науч. конф. — Красноярск, 2008 .— С. 83-86 0,3 п.л.

30. Покровский, А.Н. Анализ области периодических решений нередуцированной системы уравнений Ходжкина-Хаксли 4-го порядка и вычисление ее границы / А.Н. Покровский, A.B. Милованов, М.М. Портнов // Нейроинформатика - 2009 : сб. науч. тр. 11-ой Всерос науч.-техн. конф. — М., 2009 .— 4.1.-С. 168 .—ОДп.л.

31. Покровский, А.Н. Некоторые исследования математической модели нейронной сети на базе системы уравнений Ходжикина-Хаксли / А.Н. Покровский, A.B. Милованов, М.М. Портнов // Современные методы теории краевых задач материалы 23-ей Воронежской весенней математической школы Понтрягинские чтения - 21 .— Воронеж, 2009 .— С. 121-122 .—0,2п.л.

32. Радченко А. Н. Моделирование основных механизмов мозга. - " Наука," Ленингр. отд-ние, 1968.

33. Радченко А. Н. Ассоциативная память, нейронные сети, оптимизация нейропроцессоров. - Наука, 1998.

34. Радченко А. Н. Информационные механизмы нейронной памяти и модели амнезий //Санкт-Петербург: Анатолия. - 2002.

35. Семенов М.Е. Модель макроэкономики с гистерезисной функцией инвестиций / М.Е. Семенов, М.Г. Матвеев, О.И. Канищева, Л.В. Кутепова // Экономическое прогнозирование: модели и методы. Материалы международной научно-практической конференции. 30-31 марта 2006 г. -Воронеж : ВГУ, 2006. - Ч. 2. - С. 29-33.

36. Semenov М. Е., Shevlyakova D. V., Meleshenko P. A. Inverted pendulum under hysteretic control: stability zones and periodic solutions //Nonlinear Dynamics. -2013.-C. 1-10.

37. Semenov M. E. et al. Stabilization and Control Models of Systems With Hysteresis Nonlinearities //European researches Европейский исследователь. -2012.-Т. 1. - №. 5.

38. G. Aubert and P. Kornprobst, Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2006.

39. A. Buades, B. Coll, and J. M. Morel, "A review of image denoising algorithms, with a new one," Multiscale Model. Simul., vol. 4, no. 2, pp. 490-530, 2005.

40. G. Buzsaki, Rhythms of the Brain. New York: Oxford Univ. Press, 2006.

41. Т. B. Cour, F. Benezit, and J. Shi, "Spectral segmentation with multiscale graph decomposition," in Proc. IEEE Comput. Soc. Conf. Comput. Vis. Pattern Recognit., 2005, vol. 2, pp. 1124-1131.

42. A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel, "Computational gestalts and perception thresholds," J. Physiol. Paris, vol. 97, no. 2-3, pp. 311-322, 2003.

43. A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel, "A grouping principle and four applications," IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 25, no.4, pp. SOB-SI 3, Apr. 2003.

44. A. Desolneux, L. Moisan, and J.-M. Morel, Gestalt Theory and Image Analysis, A Probabilistic Approach, ser. Interdisciplinary Applied Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2007 [Online], Available: http://www.cmla.enscachan.fr/Utilisateurs/morel/lecturenote.pdf

45. F. Cao, J. Delon, A. Desolneux, P. Musé, and F. Sur, "A unified framework for detecting groups and application to shape recognition," J. Math. Imag. Vis., vol. 27, no. 2, pp. 91-119, 2007.

46. O. Faugeras, F. Grimbert, and J. J. Slotine, "Stability and synchronization in neural fields," SIAM J. Appl. Math., vol. 68, no. 1, pp. 205-250, 2008.

47. J. Hawkins and S. Blakeslee, On Intelligence. New York: Holt, 2005.

48. R. F. Hess, A. Hayes, and D. J. Field, "Contour integration and cortical processing," J. Physiol. Paris, vol. 97, no. 2-3, pp. 105-119, 2003.

49. M. Kuzmina, E. Manykin, and I. Surina, "Oscillatory network with self-organized dynamical connections for synchronization-based image segmentation," BioSystems, vol. 76, no. 1-3, pp. 43-53, 2004.

50. T. S. Lee, "Computations in the early visual cortex," J. Physiol. Paris, vol. 97, no. 2-3, pp. 121-139, 2003.

51.X. Liu and D. L. Wang, "Image and texture segmentation using local spectral histograms," IEEE Trans. Image Process., vol. 15, no. 10, pp. 3066-3077, Oct. 2006.

52. S. Mallat, "Geometrical grouplets," Appl. Comput. Harmonic Anal., vol. 26, no. 2, pp. 161-180, 2008.

53. E. Olson, M. Walter, J. Leonard, and S. Teller, "Single cluster graph partitioning for robotics applications," Proc. Robot. Sci. Syst., pp. 265-272, 2005.

54. Q. C. Pham and J. J. Slotine, "Stable concurrent synchronization in dynamic system networks," Neural Netw., vol. 20, no. 1, pp. 62-77, 2007.

55. Т. Serre, L.Wolf, S. Bileschi, M. Riesenhuber, and T. Poggio, "Robust object recognition with cortex-like mechanisms," IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 29, no. 3, pp. 411-426, Mar. 2007.

56. E. Sudderth and M. I. Jordan, "Shared segmentation of natural scenes using dependent Pitman-Yor processes," in Advances in Neural Information Processing Systems. Cambridge, MA: MIT Press, 2009, vol. 21.

57. D. L. Wang, "The time dimension for scene analysis," IEEE Trans. Neural Netw., vol. 16, no. 6, pp. 1401-1426, Nov. 2005.

58. D. L.Wang and P. Chang, "An oscillatory correlation model of auditory streaming," Cogn. Neurodyn., vol. 2, no. 1, pp. 7-19, 2008.

59. W. Wang and J. J. E. Slotine, "On partial contraction analysis for coupled nonlinear oscillators," Biol. Cybern., vol. 92, no. 1, pp. 38-53, 2005.

60. W. Wang and J. J. E. Slotine, "Contraction analysis of time-delayed communications and group cooperation," IEEE Trans. Autom. Control, vol. 51, no. 4, pp. 712-717, Apr. 2006.

61. И. С. Кащенко, С. А. Кащенко, "Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры в когерентных нелинейно-оптических системах", ДАН, 435:1 (2010), 14-17.

62. И. С. Кащенко, С. А. Кащенко, "Динамика уравнения с большим пространственно-распределенным управлением", Доклады Академии Наук, 438:1 (2011), 30-34.

63. Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти //М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ. - 2009. - Т. 288.

64. Bestehorn М. et al. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2000. - T. 145. - №. 1. - С. 110129.

65. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. - Наука, 1978.

66. Мирошник И. В. Теория автоматического управления //Линейные системы. СПб.: Питер. - 2005. - Т. 3.

67. Кащенко С. А., Полстьянов А. С. Асимптотика периодических решений автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии //Моделирование и анализ информационных систем. - 2012. - Т. 19. - №. 1. - С. 7-23.

68. Осинцев М. С., Соболев В. А. Понижение размерности задач оптимального оценивания и управления для систем твердых тел с малой диссипацией //Автоматика и телемеханика. - 2013. - №. 8. - С. 121-137.

69. Sobolev V. A., Tropkina Е. A. Asymptotic expansions of slow invariant manifolds and reduction of chemical kinetics models //Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2012. - T. 52. - №. 1. - C. 75-89.

70. Sobolev V. A., Shchepakin D. M. Integral manifolds and the reduction principle //Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriya. - 2011. -№. 5.-C. 81-92.

71. Соболев В. А., Тропкина E. А. Асимптотические разложения медленных инвариантных многообразий и редукция моделей химической кинетики //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. -Т. 52. -№. 1. - С. 81-96.

72. Arinstein, A., Gittennan, М.: Inverted spring pendulum driven by a periodic force: linear versus nonlinear analysis. Eur. J. Phys. 29, 385-392 (2008)

73. Butikov, E.I.: An improved criterion for Kapitza's pendulum stability. J. Phys. A, Math. Theor. 44, 295,202 (2011)

74. Butikov, E.I.: Oscillations of a simple pendulum with extremely large amplitudes. Eur. J. Phys. 33, 1555-1563 (2012)

75. Chang, L.H., Lee, A.C.: Design of nonlinear controller for bi-axial inverted pendulum system. IET Control Theoiy Appl. 1, 979-986 (2007)

76. Chaturvedi, N.A., McClamroch, N.H., Bernstein, D.S.: Stabilization of a 3d axially symmetric pendulum. Automatica 44, 2258-2265 (2008)

77. Chernous'ko, F.L., Reshmin, S.A.: Time-optimal swing-up feedback control of a pendulum. Nonlinear Dyn. 47, 65-73 (2007)

78. Hasan, M., Saha, C., Rahman, M.M., Sarker, M.R.I., Aditya, S.K.: Balancing of an inverted pendulum using pd controller. Dhaka Univ. J. Sci. 60, 115-120 (2012)

79. Huang, J., Ding, F., Fukuda, T., Matsuno, T.: Modeling and velocity control for a novel narrow vehicle based on mobile wheeled inverted pendulum. IEEE Trans. Control Syst. Technol. 21, 1607-1617 (2013)

80. Kapitza, P.L.: Dynamic stability of a pendulum when its point of suspension vibrates. Sov. Phys. JETP 21, 588-592 (1951)

81. Krasnosel'skii, M.A., Pokrovskii, A.V.: Systems with Hysteresis. Springer, Berlin (1989)

82. Li, G., Liu, X.: Dynamic characteristic prediction of inverted pendulum under the reduced-gravity space environments. Acta Astronaut. 67, 596-604 (2010)

83. Mason, P., Broucke, M., Piccoli, B.: Time optimal swingup of the planar pendulum. IEEE Trans. Autom. Control 53, 1876-1886 (2008)

84. Reshmin, S.A., Chernous'ko, F.L.: A time-optimal control synthesis for a nonlinear pendulum. J. Comput. Syst. Sci. Int. 46, 9-18 (2007)

85. Siuka, A., Schoberl, M.: Applications of energy based control methods for the inverted pendulum on a cart. Robot. Auton. Syst. 57, 1012-1017 (2009)

86. Wang, J.J.: Simulation studies of inverted pendulum based on pid controllers. Simul. Model. Pract. Theory 19, 440-449 (2011)

87. Yue, J., Zhou, Z., Jiang, J., Liu, Y., Hu, D.: Balancing a simulated inverted pendulum through motor imagery: an eeg-based real-time control paradigm. Neurosci. Lett. 524, 95-100 (2012)

88. Zhang, Y.X., Han, Z.J., Xu, G.Q.: Expansion of solution of an inverted pendulum system with time delay. Appl. Math. Comput. 217, 6476-6489 (2011)

89. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем / E.H. Розенвассер. - М. : Наука, 1969. - 576 с.

90. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полна. - М. : ГИИЛ, - 1948. - 456 с.

91. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. -М. : Мир, - 1970.-720 с.

92. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах / Дж. Хейл. - М. : Мир, 1966. - 234 с.

93. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости регулируемых систем с гистерезисной нелинейностью / В.А. Якубович // "ДАН СССР". -1963.-т. 149,№2.

94. Левин Г.Г. Компьютерная томография (Учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов «Биомедицинская техника» и направлению подготовки бакалавров и магистров «Биомедицинская инженерия»)

95. Красс М.С. Радиационная теплофизика снега и льда / М.С. Красс, В.Г. Мерзликин. Л.: Гидрометеоиздат. 1990. 262 с.

96. Павлов Н.И. Дистанционное обнаружение температурных аномалий, обусловленных заглубленными в грунт инородными объектами / Н.И. Павлов, В.К. Эльц // Оптический журнал. 2006. № 10. С.83-88.

97. Ищук И.Н. Роботизированная установка для исследования процессов влияния внешних факторов на поиск малозаметных объектов с помощью воздушной тепловизионной аппаратуры / И.Н. Ищук, О.В. Король О.В., Е.В. Вернигорова//Наукоемкие технологии. 2012. Т. 13. С.47-52.

98. Ищук И.Н. Идентификация свойств скрытых подповерхностных объектов в инфракрасном диапазоне волн / И.Н. Ищук, А.И. Фесенко, Ю.Ю. Громов. М.: Машиностроение. 2008. 184 с.

99. Грачиков Д.В. Стабилизация перевернутого маятника вертикальными осцилляциями с помощью гистерезисного управления/ Д.В. Грачиков, М.Е.

Семенов, Д.В. Шевлякова, О.И. Каншцева // Наукоемкие технологии. -2013.-№3.-С. 27-34.

100. Грачиков Д.В. Стабилизация, рассинхронизация и оптимальное управление обратным маятником с гистерезисными свойствами / Д.В. ГрачиковМ.Е. Семенов, Г.Н., Лебедев, О.И. Канищева // Вестник, серия «Системный анализ и информационные технологии», ВГУ. - 2013. - № 1. -С. 29-37.

101. Grachikov D.V. Stabilization and Control Models of Systems With Hysteresis Nonlinearities / Grachikov D.V., Semenov M.E., Mishin M.Y., Shevlyakova D.V. // European Researcher . 2012. - Vol. (20) № 5-1., pp. 523-528

102. Грачиков Д.В. Стабилизация перевернутого маятника с помощью вертикальных периодических осцилляций посредством гистерезисного управления / Грачиков Д.В., Д.М. Прохоров, М.Е. Семенов, Шевлякова Д.В. // Кибернетика и высокие технологии XXI века: сборник трудов XII международной научно-технической конференции: Воронеж, 2011. Т.2. - С. 431-441.

103. Грачиков Д.В. Стабилизация обратного маятника с гистерезисной нелинейностью / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, Д.В. Шевлякова // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды XX Международного научно-технического семинара. Сентябрь 2011 г., Алушта. - Изд-во ПГУ, 2011. - С. 34.

104. Грачиков Д.В. Синхронизация нейронных ансамблей при помощи МРК / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева, A.M. Соловьев // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: труды 21 Международного научно-технического семинара. Сентябрь 2012 г., Алушта. - Изд-во ПГУ, 2012. - С. 85.

105. Грачиков Д.В. Сегментация монохромных изображений с использованием биологической нейронной сети гистерезисной природы/ Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Современные технологии в

задачах управления, автоматики и обработки информации: труды 22 Международного научно-технического семинара. Сентябрь 2013 г., Алушта. - Изд-во МГУПИ, 2013. - С. 14-15.

106. Грачиков Д.В. Расчет параметров динамических систем с гистерезисными свойствами. / Д.В. Грачиков, М.Ю. Мишин, М.Е. Семенов // Реестр программ для ЭВМ, регистрационный № 2011617057 от 10.10.2013г

107. Грачиков Д.В. Исследование динамической системы с гистерезисной нелинейностью / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, М.Ю. Мишин П Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы IV международной научной конференции, Воронеж, 12-17 сентября 2011 г.

108. Грачиков Д.В. Модели стабилизации механических систем с гистерезисными свойствами / Д.В.Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева, Д.В. Шевлякова // HTCS-2012,Материалы межд. научн.-техн. конф. «Современные сложные системы управления - X», Ст.Оскол, 2012, - С. 8083

109. Грачиков Д.В. Сегментация монохромных изображений с использованием биологической нейронной сети гистерезисной природы / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы 7-й межд. научно-техн. конф. -Вологда: ВоГТУ, 2013. - С. 54-57

110. Грачиков Д.В. Грачиков Д.В. Синхронизация нейронных ансамблей в нейронной сети гистерезисной природы. / Д.В. Грачиков, М.Е. Семенов, О.И. Канищева // Материалы XIII международной научно-технической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии», Воронеж, т. 1 . - С. 344-346