Модели систем ограниченной емкости с групповым входящим потоком и их применение к анализу показателей эффективности серверов протокола установления сессий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат наук Сопин, Эдуард Сергеевич

• Сопин, Эдуард Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Сопин, Эдуард Сергеевич

оглавление

список основных обозначений

Введение

ГЛАВА 1 Исследование принципов управления нагрузкой в сетях

сигнализации на базе протокола SIP

1.1. Принципы функционирования подсистемы IMS

1.2. Простейшая модель SIP-сервера с прогулками прибора на

периодах простоя

1.3. Гистерезисное управление нагрузкой

1.4. Постановка задачи исследований

ГЛАВА 2 построение и анализ модели функционирования SIP-

сервера в виде смо с прогулками прибора

2.1. Построение модели

2.2. Анализ модели с неограниченной очередью

2.3. Модель с конечной очередью и анализ ее вероятностно-

временных характеристик

ГЛАВА 3 построение и анализ модели гистерезисного управления

нагрузкой SIP-сервера

3.1. Модель SIP-сервера в виде СМО с пороговым управлением

нагрузкой и ординарным входящим потоком

3.2. СМО с групповым поступлением заявок и пороговым

управлением нагрузкой

3.3. Анализ показателей эффективности порогового управления

Заключение

Библиография

Список основных обозначений

Я - Интенсивность потока групп заявок.

/( - Вероятность того, что группа состоит из i заявок.

1(к) - &-й начальный момент распределения длины группы

заявок.

В(х) - Функция распределения длительности обслуживания

заявки.

Ь{к) - к-й начальный момент длительности обслуживания

заявки.

F(x) - Функция распределения длительности прогулки

прибора.

у W - к-й начальный момент длительности прогулки прибора.

г - Максимальная длина очереди.

<?r(t) ~ Случайный процесс числа заявок в системе емкости г в

момент времени t.

£r(t) ~ Случайный процесс длины очереди в системе емкости г

в момент времени t.

qr - Стационарные вероятности по вложенной цепи

Маркова процесса

p'j ~ Стационарные вероятности по процессу C,r(t).

С - Нормирующая константа.

Р - Величина предложенной нагрузки на систему.

Pr{z) _ Производящая функция распределения рг}.

Qr(z) ~ Производящая функция распределения q".

L(z) - Производящая функция распределения .

1к - Вероятность того, что в к группах находится из i

заявок.

P(s) - Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции

распределения В(х).

cp{s) ~ Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции

распределения F(x). Рк - k-Vi экспоненциальный момент функции распределения

В{х).

(рк - к-й экспоненциальный момент функции распределения

F{x).

рг - Вероятность того, что прибор не занят обслуживанием

заявок.

N - Средняя длина очереди.

w - Среднее время ожидания в очереди.

п - Вероятность потери заявки.

L - Порог снижения перегрузки.

Н ~ Порог обнаружения перегрузки.

R - Порог сброса нагрузки.

Xs - Интенсивность поступления групп заявок в режиме

функционирования л\ т0 - Случайная величина времени пребывания системы в

режиме нормального функционирования (5 = 0). г - Случайная величина времени пребывания системы в

режиме перегрузки и сброса нагрузки (^ = 1, 5 = 2). г - Случайная величина длительности цикла управления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели систем ограниченной емкости с групповым входящим потоком и их применение к анализу показателей эффективности серверов протокола установления сессий»

введение

В настоящее время телекоммуникационные компании разрабатывают и внедряют все больше новых мультимедийных услуг. Базой для их внедрения является мультимедийная IP-подсистема (IP Multimedia Subsystem, IMS) [2, 91], позволяющая предоставлять поверх протокола IP на основе единой сети как традиционные услуги связи, так и новые услуги сетей последующих поколений (Next Generation Networks, NGN). В связи с большой популярностью этих услуг сети телекоммуникаций на базе IMS, работающие на основе протокола установления сессий (Session Initiation Protocol, SIP [38, 89]), работают в условиях перегрузки. Кроме того, мультимедийные услуги существенно меняют характер трафика установления сессий (сигнального трафика) [10]. В частности, услуга присутствия [36, 37, 40] (англ. presence service) подразумевает отправку сообщений уведомления одновременно нескольким пользователям.

Для анализа характеристик обслуживания сигнального трафика, таких как вероятность потерь, среднее время ожидания, параметры управления нагрузкой и др., применяются модели однолинейных систем массового обслуживания (СМО). При построении и анализе таких моделей используется аппарат теории вероятностей [119, 120], теории массового обслуживания [20, 63, 83, 88, 92, 93, 95, 96, 97, 105] и теории телетрафика [100, 102, 121]. Существенный вклад в развитие данной области внесли российские и зарубежные ученые: Л.Г. Афанасьева [11, 12, 77], Г.П. Башарин [78, 79, 80, 81, 82], Е.В. Булинская [12, 77], В.М. Вишневский [85, 86, 87], Б.С. Гольдштейн [90], В.А. Наумов [57, 58, 105], А.В. Печинкин [7, 15, 83], А.П.Пшеничников [98, 118], К.Е. Самуилов [57, 58, 106, 107, 108, 109], С.Н.Степанов [94, 116], А.Д. Харкевич [82, 98], И.И. Цитович [13, 116], С.А. Шоргин [7, 113], V.B. Iversen [94], Martikainen О. [57, 58], М. Roughan [69, 70] и др.

Принципиально важным является исследование систем конечной емкости, так как время ожидания установления соединения является

критическим параметром, строго ограниченным как спецификациями протокола SIP [38] и рекомендациями МСЭ (Международный союз электросвязи, ITU) [47, 48], так и реальным поведением абонента. Ввиду изложенного, актуальной является задача разработки моделей и методов для анализа функционирования серверов протокола SIP в условиях перегрузки с учетом группового характера потока поступающих сообщений.

В современных телекоммуникационных сетях новые мультимедийные услуги занимают все большую долю трафика данных и сигнального трафика по сравнению с традиционными. Исследования [10] на подсистеме IMS оператора British Telecom в 2007 году показали, что доля сигнального трафика, генерируемого одной только услугой присутствия, составляет более 50%. Одна из первых постановок задач, в которой было предложено использовать СМО с групповым потоком и ненадежным прибором для анализа производительности SIP-сервера, дана в работе [16]. Большое количество работ посвящено исследованию подобных моделей как с ординарным входящим потоком [11, 12, 14, 23, 49, 53, 95], так и групповым [18, 22, 56, 54, 55]. Отдельно отметим группу публикаций, в которых рассматриваются модели с «разогревом», т.е. режимом функционирования с пониженной интенсивностью обслуживания [19, 27, 29, 34, 35, 50, 51, 55, 59]. Основными исследуемыми параметрами эффективности таких моделей являются среднее время ожидания и его дисперсия, а также вероятность потерь для систем конечной емкости, однако автору не известны публикации, в которых была бы получена формула вероятности потерь в явном виде для систем с групповым потоком и ненадежным прибором типа М[Х] \ G111 г.

Вследствие того, что современные сети используют SIP в качестве протокола сигнализации, на серверах этого протокола нередко возникают перегрузки. Вопрос предотвращения перегрузок в системах сигнализации не является новым [28, 66, 74, 99, 109], однако в случае с SIP проблема усугубляется тем, что в первоначальных спецификациях протокола

вопрос управления нагрузкой не был детально проработан. В связи с этим большое количество публикаций посвящено разработке эффективных механизмов предотвращения перегрузок [9, 25, 26, 31, 32, 33, 52, 60, 61, 62, 64, 65, 75, 76]. Основными параметрами эффективности гистерезисного управления нагрузкой являются среднее время возврата из режимов перегрузки и вероятность пребывания в режимах перегрузки. В статье [8], выполненной на кафедре систем телекоммуникаций РУДН, построена аналитическая модель типа М \ М | 11 (£, Н) | В и проведено имитационное моделирование системы с детерминированным обслуживанием. В работе [73] исследована модель типа М10111 (Ь, Я) с

упрощенным гистерезисным управлением. Модель с двумя петлями анализируется в статьях [17, 69, 70] при помощи аппарата мартингалов. Отдельно отметим работу [7], в которой решается задача оптимизации порогов управления с целью минимизации среднего времени возврата из состояний перегрузки. Модели гистерезисного управления типа М[Х] | С11 с групповым входящим потоком автору неизвестны.

Таким образом, целью диссертационной работы является построение моделей систем массового обслуживания ограниченной емкости с групповым входящим потоком для анализа параметров эффективности функционирования серверов протокола установления сессий, в том числе в условиях перегрузок.

Диссертация имеет следующую структуру. В главе 1 исследованы принципы управления нагрузкой в сетях сигнализации на базе протокола 81Р, ставится задача исследований. В разделе 1.1 исследуются принципы функционирования мультимедийной 1Р подсистемы — функциональной сетевой архитектуры, позволяющей операторам связи внедрять новые мультимедийные услуги и использующей 81Р в качестве протокола сигнализации. В разделе 1.2 исследована упрощенная марковская модель функционирования 81Р-сервера с групповым поступлением и прогулками прибора на периодах простоя. Раздел 1.3 посвящен исследованию

механизмов контроля перегрузок SIP-серверов. В разделе приводится классификация типов и причин возникновения перегрузок, а также описываются пять основных механизмов их предотвращения, предложенных рабочими группами IETF (Internet Engineering Task Force): механизм снижения скорости передачи, механизм просеивания потока сообщений, механизм управления размером окна, механизм снижения нагрузки по сигналу и механизм временного запрета передачи. В разделе 1.4 ставится задача исследований диссертационной работы. Разделы 1.1 - 1.4 написаны на основе публикаций [101, 104, 112] с участием автора.

В главе 2 построена модель функционирования SIP-сервера в виде СМО типа М[Х] | G | 11 г с прогулками прибора и проведен анализ ее вероятностно-временных характеристик (ВВХ). В разделе 2.1 разработана математическая модель в виде однолинейной СМО с групповым входным потоком и прогулками прибора. В разделе 2.2 проведен анализ построенной модели для случая бесконечной очереди (г = оо). Отметим, что результаты исследований подобных СМО широко известны, однако в данном разделе был применен отличный от методов других авторов математический аппарат, позволяющий использовать результаты исследований системы бесконечной емкости для расчетов ВВХ конечной системы. В разделе 2.3 построенная модель исследована в случае конечной очереди (г< оо). Доказано соотношение, связывающее производящие функции распределения длины очереди систем конечной и неограниченной емкости, найдена производящая функция стационарного распределения вероятностей состояний системы конечной емкости, а также получена формула для расчета вероятностей потерь. Для СМО типа М[Х] IGI 11 г < оо формула определяет соотношение, связывающее интенсивности предложенной и обслуженной нагрузки. В заключение раздела проведен численный анализ параметров эффективности модели. Разделы 2.1 — 2.2 написаны на основе публикаций [72, 103, 111] с участием автора.

В главе 3 построены модели гистерезисного управления нагрузкой 81Р-сервера и проведен анализ показателей эффективности порогового управления. В разделе 3.1 разработана математическая модель гистерезисного управления нагрузкой типа М\0\\\(Ь,Н) \ (Н, Я.) с тремя

порогами: порог обнаружения перегрузки Н, порог снижения перегрузки Ь и порог сброса нагрузки Я. Получены формулы для расчета стационарного распределения вероятностей системы. В разделе 3.2 разработана модель гистерезисного управления нагрузкой с учетом группового входящего потока и получена системы уравнений для вычисления стационарного распределения вероятностей по вложенной цепи Маркова и по процессу. Кроме того, в разделе показано, что для расчета параметров эффективности порогового управления достаточно вычислить только вероятности по вложенной цепи Маркова. В разделе 3.3 проведен анализ вероятностно-временных характеристик порогового управления нагрузкой, в том числе среднего времени возврата и цикла управления, а также вероятности пребывания в режимах перегрузки и сброса нагрузки. В заключение раздела проведен численный анализ указанных характеристик, который показал, что групповой характер входящего потока существенно влияет на среднее время возврата и цикла управления. Разделы 3.1 - 3.3 написаны на основе публикаций [24, 84, 114, 115] с участием автора.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

Наиболее значимые, с точки зрения автора, результаты сформулированы в виде утверждений, теорем и следствий из них. Для проведения численного анализа разработано программное средство с использованием пакета прикладных математических программ БсПаЬ с открытым исходным кодом.

Разработанные модели и формулы для вычисления их вероятностно-временных характеристик, полученные в диссертационной работе, предназначены для расчета показателей эффективности

функционирования SIP-серверов в сетях последующих поколений (NGN) и могут быть применены проектными организациями и операторами сетей связи при планировании сетевых ресурсов, требуемых для обеспечения необходимого качества обслуживания пользователей.

Помимо исследований при написании диссертационной работы, автором также проводились сопутствующие исследования, в частности, проведен анализ методов балансировки нагрузки несущей в системах LTE-Advanced [110].

Таким образом, в диссертационной работе решаются перечисленные ниже задачи:

1. Построение и исследование модели SIP-сервера в виде СМО типа M[X]|G|1| г < оо с прогулками прибора на периодах простоя системы с учетом группового входящего потока.

2. Анализ ВВХ СМО M[X]|G|1| r<œ с прогулками прибора, таких как среднее время ожидания и вероятность потерь.

3. Построение и исследование модели управления перегрузками SIP-сервера в виде СМО MlX] \G\1\(L,H}\(H,R) с

гистерезисным управлением нагрузкой и групповым входящим потоком.

4. Анализ ВВХ СМО М[Х] \G\\\(L,H)\(H,R), таких как

вероятность пребывания системы в множестве состояний перегрузки и сброса нагрузки, среднее время возврата и средняя длительность цикла управления.

ГЛАВА 1

Исследование принципов управления нагрузкой в сетях

сигнализации на базе протокола SIP

1.1. Принципы функционирования подсистемы IMS

Подсистема IMS - это функциональная сетевая архитектура, которая, благодаря поддержке возможности взаимодействия и конвергенции различных сетей, является многообещающим решением для развертывания и продвижения новых мультимедийных услуг.

В основе концепции IMS лежит передача поверх протокола IP, используя протоколы Интернета, как сигнального, так и пользовательского трафика и выполнение функций маршрутизации и управления сессиями абонентов с использованием информации об их состоянии. Основным протоколом IMS, используемым для управления соединениями, является протокол инициализации сеансов связи SIP.

Многоуровневая архитектура подсистемы IMS впервые была предложена консорциумом 3GPP [2, 5, 6] (3GPP Release 5) и предназначалась изначально для предоставления услуг Интернета через GPRS (General Packet Radio Service). В дальнейшем функциональность IMS была расширена для поддержки других сетей, таких как ТфОП (Телефонная сеть общего пользования), CDMA (Code Division Multiple Access), WLAN (Wireless Local Area Network) [86] и LTE (Long Term Evolution) [117].

Сейчас концепция IMS применяется объединенным техническим комитетом TISPAN (Telecoms & Internet Services & Protocols for Advanced Networks) в качестве ключевого элемента инфраструктуры сетей следующего поколения (NGN - Next Generation Networks).

Среди основных свойств архитектуры IMS можно выделить следующие:

- независимость от среды доступа - позволяет операторам и поставщикам услуг конвергировать фиксированные и мобильные сети;

- интеграция мультимедийных приложений реального времени и приложений, функционирующих в асинхронном режиме (например, потоковые приложения и чаты);

- поддержка персонального обмена мультимедийной информацией в реальном времени (например голос, видеотелефония) и аналогичного обмена информацией между людьми и компьютерами (например игры);

- возможность взаимодействия различных видов услуг;

- возможность поддержки нескольких служб в одном сеансе или организации нескольких одновременных синхронизированных сеансов.

CSCF

P-CSCF

S-CSCF

I-CSCF

/Уровень передачи данных

данные сигнализация

Уровень управления

Рис. 1.1. Упрощенная функциональная архитектура IMS [91]. На рисунке 1.1 представлена упрощенная архитектура подсистемы IMS, состоящая из трех уровней [2]:

- пользовательский уровень или уровень передачи данных (User Plane);

- уровень управления (Control Plane);

- уровень приложений (Application Plane).

Уровень передачи данных отвечает за подключение абонентов к инфраструктуре IMS посредством пользовательского оборудования (UE -User Equipment). В роли такого оборудования может выступать любой терминал IMS (например, телефон 3G). Также возможно подключение через шлюзы терминалов, не поддерживающих IMS (например, терминалы ТфОП).

Уровень управления представляет собой совокупность функций IMS, которые осуществляют все действия по управлению сеансами связи. Центральным элементом этого уровня является модуль функций управления сеансами связи CSCF (Call Session Control Function). Модуль CSCF включает 3 основные функции: функция обслуживания (Serving CSCF, S-CSCF), функция запроса (Interrogating CSCF, I-CSCF) и функция прокси-сервера (Proxy CSCF, P-CSCF). Функция S-CSCF регистрирует абонентов в базе данных HSS (Home Subscriber Server), а также осуществляет полный контроль и управление сеансами связи. Функция I-CSCF представляет собой точку контакта сети оператора для IMS-соединений, предназначенных для абонентов оператора, находящихся в роуминге, или для абонентов данного оператора, находящихся в сети другого оператора. Кроме того, в случае необходимости, функция I-CSCF может выполнять функции брандмауэра, скрывая внутреннюю топологию сети. Прокси CSCF является первой точкой контакта для терминала IMS, а также может выполнять шифрование и сжатие сообщений.

Верхний уровень архитектуры IMS обеспечивает обслуживание конечных пользователей, т.е. содержит набор приложений (AS -Application Server), как базирующихся на протоколе SIP, так и реализуемых в мобильных сетях на базе виртуальной домашней среды. Кроме того, уровень приложений содержит сервер домашних абонентов

HSS (Home Subscriber Server), который обеспечивает открытый доступ к индивидуальным данным пользователя, связанными с услугами.

IMS представляет собой гибкую реализацию концепции NGN, при которой регламентируются только интерфейсы между функциональными модулями, оставляя при этом свободу выбора компонентов модулей (кодеки, протоколы и др.). Таким образом, можно выделить следующие преимущества подсистемы IMS:

- благодаря отсутствию жесткой привязки механизмов управления услугами и способов их доставки до пользователя, внедрение принципиально нового сервиса не требует построения всей инфраструктуры его предоставления;

- возможность поэтапного модернизирования сети оператора, т.е. хорошая масштабируемость сети.

- независимость от специфики различных технологий доступа позволяет осуществлять конвергенцию сетей фиксированной и мобильной связи.

Поскольку уровень управления подсистемы IMS функционирует на базе протокола SIP, то показатели эффективности ее функционирования напрямую зависят от показателей эффективности функционирования серверов данного протокола (SIP-серверов). Именно показатели эффективности функционирования SIP-серверов и являются объектом исследования диссертационной работы. Для этого в работе разрабатываются и анализируются математические модели в виде СМО с прогулками прибора и групповым обслуживанием. А для анализа перегрузок SIP-серверов проводится анализ более сложной модели с пороговым управлением входящим потоком.

1.2. Простейшая модель SIP-сервера с прогулками прибора на

периодах простоя

Рассмотрим одну из современных постановок задач, которая приводит к необходимости создания моделей функционирования SIP-серверов с групповым поступлением.

Одной из самых многообещающих новых услуг связи, предоставляемых IMS, является услуга присутствия [36, 37, 40], описание которой занимает существенное место в спецификациях 3GPP [1, 3, 4] и документах IETF [41, 42, 43]. Услуга присутствия предоставляет доступ пользователям сети и другим услугам оператора связи к информации о присутствии и доступности других пользователей и к справочной информации, требующей регулярной актуализации (например, биржевые котировки, информация о пробках на дорогах и т.д.). Использование услуги присутствия позволяет оператору внедрять новые расширенные мультимедийные услуги, которые могут быть разделены на несколько групп [1]:

- новые услуги связи, использующие информацию о доступности абонентов, их готовности к информационному обмену; примерами таких услуг могут являться чаты, приложения для мгновенной передачи сообщений, передачи мультимедиа-сообщений и т.д.;

- новые информационные услуги, такие как предоставление информации о наличии билетов в кинотеатр, результаты спортивных соревнований, информация о пробках на дорогах И т.д.;

- расширение уже существующих услуг с использованием услуги присутствия; например, абонент может динамически перенаправлять вызовы со своего мобильного устройства на учрежденческую АТС, пока он находится на рабочем месте.

Предоставление услуги присутствия подразумевает наличие трех фундаментальных сущностей (рис 1.2): объекта услуги присутствия

(presence entity), в качестве которого могут выступать устройства, приложения, а также другие услуги, предоставляющие информацию присутствия о себе, наблюдателя (watcher) и агента присутствия или сервера присутствия (presence server), осуществляющего сбор, хранение и управление информацией присутствия. Отметим, что сервер присутствия может быть реализован как часть сервера приложений или существовать независимо.

Предоставление услуги присутствия подразумевает наличие трех фундаментальных сущностей (рис 1.2): объекта услуги присутствия (presence entity), в качестве которого могут выступать устройства, приложения, а также другие услуги, предоставляющие информацию присутствия о себе, наблюдателя (watcher) и агента присутствия или сервера присутствия (presence server), осуществляющего сбор, хранение и управление информацией присутствия. Отметим, что сервер присутствия может быть реализован как часть сервера приложений или существовать независимо.

Для получения информации присутствия какого-либо объекта наблюдатель посылает запрос на сервер присутствия SIP-сообщением SUBSCRIBE, содержащим сведения о наблюдаемом абоненте, типе требуемой информации и периоде времени, в течение которого наблюдатель хочет получать запрашиваемую информацию.

Объект услуги присутствия

PUBLISH

Наблюдатель

Рис. 1.2. Взаимодействие сущностей услуги присутствия.

Каждое изменение информации присутствия наблюдаемого объекта генерирует отправку на сервер присутствия сообщения PUBLISH. Уведомление наблюдателей осуществляется отправкой им сообщения NOTIFY. Пример такой процедуры представлены на рис. 1.3.

Объект услуги присутствия

Сервер присутствия

Наблюдатель 1

Наблюдатель 2

-publish-

-200 ок-

-notify-

-200 ОК-"—'

-200 ОК-

Рис. 1.3. Публикация информации присутствия и уведомление

наблюдателей [5].

Исследования [10] показывают, что SIP-сообщения, генерируемые услугой присутствия (большая часть которых является сообщениями уведомления NOTIFY) составляют до 50% всего сигнального трафика IMS. Ниже представлена модель обработки SIP-сервером сообщений NOTIFY с «прогулками» на периодах простоя прибора, во время которых сервер занимается обслуживанием других SIP-сообщений. Предоставление услуги присутствия подразумевает поступление одновременно групп сообщений, однако в настоящем разделе данный фактор не будет учитываться, системы с групповым поступлением заявок исследованы в последующих главах.

Рассматривается однолинейная СМО с накопителем емкостью г. Входящий поток заявок является пуассоновским с интенсивностью Л. Длительность обслуживания является случайной величиной (СВ), распределенной в соответствии с экспоненциальным законом с параметром ц. В занятом состоянии прибор абсолютно надежен. Если в некоторый момент времени прибор освободился от обслуживания заявок, он уходит на прогулку, длительность которой также является СВ, распределенной по экспоненциальному закону с параметром 9. Кроме

того, будем считать, что заявка, поступающая на прибор, не освобождает место в накопителе.

Рассмотрим процесс rj{t) — {l>(7), .?(/)}> t> О, где v(t) - число заявок в системе в момент времени t, s(t) принимает либо значение нуль, если прибор обрабатывает заявки, либо 1, когда прибор находится на прогулке. Рассмотрим стационарные вероятности СМО:

PiJ=\imP{u(t) = i, s(t) = j}, i = 0,r+\, j = 0,1. (1.1)

л л л л л л л л

(2,0)) . .

И и

Рис. 1.4. Диаграмма интенсивностей переходов. Выпишем систему уравнений глобального баланса для стационарных вероятностей системы, опираясь на диаграмму интенсивностей переходов, изображенную на рис. 1.4:

т,о = ;

{Л + р)р10 =/лр20+ври;

(Л + р)ри0 = МР. + 10+ ври 1 + Лр.^0, / = 2; (2.2)

= + °Рг,х;

(0 + Л)ро =Лр1._11, / = 1, г -1; врг> = •

Из последнего и предпоследнего уравнения системы (2.2) легко получить рекуррентное соотношение для вероятностей ,, г = 1,г|:

Г л V _

Ри 1

Я Я + 6>

А-п =

/I

VA + 6>y

Pop i = l,r -1;

(2.3)

Я

Я

РгвРг~хх~ в

X

я+0,

чг-1

#о

Д •

(2.4)

Для нахождения вероятностей 0,г' = 1,г| проделаем следующие эквивалентные преобразования:

(Л + /*) Я в . --:

#+1,о = --- #,О--А-1.0--Р, д> / = 2, г -1,

М ММ

(Л + м) Л в . —

#,0 =-- #-1,0--Рг-2,0--#-1Д > ' = 3, г ,

// цр

Л X О _

#,о = #-1,0 + - #-1,0--#-2,0--#-1Д > = 3, г .

М М м

(2.5)

Заметим, что при рекуррентном преобразовании первого, второго и четвертого членов справа, можно получить следующую формулу:

_Я _в_ _Х + м _Я _я

#-1,0 #1-2,0 #1-1,1 ~ Р1-2,0 А-3,0 #-2,1 #-2,0 #-1,1 —

// /и ¡1 /1 м М Ц

X в / \ х о •¿д

#-2,0--#-3,0--1#-2Д + #-1,1 ) = ••• = ¿>2,0--#,0--2^РкЛ =

ММ М МкА

X + м @ Л @ @ Л @ V"1

-#, о--#д--#1,0--2^Рк,\ = #1,0--ЬРк, 1 = -#од--2-Л.1-

М М М МЫ2 Мы\ м Мы 1

Подставим теперь найденное выражение для {/?,,, г =1,г| под знак

суммы, воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии.

Я V = Я

м

(-1

-2>л=-#>дЕ1 Мых М ш\Х + 0

X V-1'

V

Х + в

я я

-#, о--

м м

с

1-

я

V

Х + в

-Л

#0.1

х( я ^

1-1

#0,1

М\Х+9у

После сделанных преобразований вернемся к формуле (2.5) и подставим в нее полученное выражение.

я л( л

И /л\Л + в

г

У_1 Я Л + в Рол о +

Я и

Я Л + в Я V

-Р,-2,0-1 -

и ¡л

-1 Л

Я

Л'

+ ■

И

л+в( я \л+е.

л+в

Рол =

(-2

[м.

Р,-2,0 +

Я + <9

Л2

V Р

+ ■

Л + в

и

Л

Рол =

Л + в

Рол =•■• =

-1

г Я V !^(л + 0^к

л+в

Рол £

*=1 V

1 = 3, г.

(2.6)

Теперь, допустив, что ¡л^Л + в, нетрудно найти выражение для суммы из формулы (2.6):

£=1

м

л+в

1-

v р

л+в

(

и 1 Я + в /л-Л-в

м

1-

л+в v р

V

-Л

Таким образом, формула (2.6) принимает следующий вид:

Г-Т

#0,1 +

я

р-Л-в

Я

л+в

-Л

р01, /лФЛ + в, 1 = 3,г. (2.7)

Несложно показать, что формула (2.7) верна также и для / = 2. Найдем теперь р{),, воспользовавшись условием нормировки.

г г

1=0

(=1

^ г

2>и=#олЕ

я ^ я Г я

1=0

,=о V я + ^.

/=1 С

+ ■

+ Рол-в

Я

\Л + в,

4 я

М1

I в)

я

#о

1'

/л-Л-в ^\Л + в) р-Л-в

\Р;

#0,1

я(я+<?) ГяУ я(я+б>) Г я У 1 л(л+в)

в(/л~л-в)\л+в) в{р-л)

Рол

#0,1 =

я

/¿(Я + 0)

(¿1-Л)(м-Л-в){м) в(м-Л-в){Л + в) в(м-Л)

л(л+в)

л(л+в)

ч-1

Таким образом, доказано следующее утверждение. Утверждение 1.1. Стационарные вероятности для рассматриваемой модели при условии Л + в удовлетворяют следующим уравнениям

Р,

+ ■

Я

V

' 2

у

я

( а А

Л + в

я

л+в

р-Л-в Рол > / = 1,г-1, У = 1;

Р01' 1=1>г> у =

(2.8)

' л V-1

КЛ + ву

Ро, 1' 1' = г> У = 1'>

Рол =

л{л+в) (л^г+1

(р-Л)(р-Л-в)

чру

Я(Я + <9)

' я

в(р-Л-в)

кЛ + в

+

р(Л + в) в(р-Л)

V1

(2.10)

Рассматривая частный случай, когда р = Л + в, получим следующий результат:

Р,.,=

Ро х , 1 = 1,г-1, У = 0;

Рол> * = 1. г> j = 1;

(2.11)

¡л-Л

где р =

ил

.м)

Л

Ро,1> * = Г> 1 =

(р-лу

л

чг+1

-Л(г +1)

С 1 v ( 1 \

а-1

я

ум

кР У

+ 1 +

я в

(2.12)

Следствие 1.1. Вероятность потерь в случае рФЛ + в будет равна вероятности переполнения накопителя

П = РгЛ +РГ+1.0 /

( Л ^

в

\Л + в;

+

'лг

+ ■

_я_

р-Л-в

л

Л + в

-2

Я

Ро,1

(2.13)

/у

Среднее число заявок в СМО вычисляется по формуле

/•+1

о)'

(=1

N = -

1

¡и-Л-в (Л + 0)р

/л(Л + в) ~~02

Лг-(Л + 0)(г +1)

Л

л+в

^Г+1 Л

+л

у

у

(Л-ju)1

/ (- г+1 Л

Лг - /л(г +1) +л

V У

(2.14)

Таким образом, в данном разделе проанализирована модель обработки SIP-сервером сообщений уведомления NOTIFY в виде экспоненциальной СМО с прогулками прибора на периодах простоя без учета группового поступления заявок.

1.3. Гистерезисное управление нагрузкой

Протокол SIP [89] является основным протоколом установления соединения в сетях последующих поколений (NGN). Протокол разработан рабочей группой MMUSIC (Multiparty Multimedia Session Control) комитета IETF, спецификации SIP представлены в RFC 3261 [38]. Фрагмент SIP-сети, представленный на рисунке 1.5, состоит из двух прокси-серверов и агентов пользователя (UA, User Agents). Для установления соединения между агентами пользователей UAc (UA client) и UAs (UA server) обмениваются сигнальными сообщениями через прокси-серверы.

Рисунок 1.5 иллюстрирует установление соединения по протоколу

SIP:

- UAc инициирует соединение запросом INVITE через прокси-сервер 1;

- Сообщение INVITE передается агенту пользователя UAs через прокси-сервер 2;

- прокси-сервер 2 и 1 отвечают сообщением 100 Trying, означающим, что запрос INVITE принят к обработке;

- сообщением 180 Ringing UAs уведомляет прокси-серверы и UAc о своей готовности к установлению соединения;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сопин, Эдуард Сергеевич, 2013 год

Библиография

1. 3GPP TS 22.141 V9.0.0 (2009-12) 3rd Generation Partnership Project; Technical Specification Group Services and System Aspects; Presence Service; Stage 1 (Release 9).

2. 3GPP TS 23.002 V9.2.0 (2009-12) 3rd Generation Partnership Project; Technical Specification Group Services and Systems Aspects; Network architecture (Release 9).

3. 3GPP TS 23.141 v9.0.0 (2009-12) 3rd Generation Partnership Project; Technical Specification Group Services and System Aspects; Presence Service; Architecture and functional description; (Release 9).

4. 3GPP TS 24.141 v9.0.0 (2009-12) 3rd Generation Partnership Project; Technical Specification Group Services and System Aspects; Presence service using the IP Multimedia (IM) Core Network (CN) subsystem; Stage 3 (Release 9).

5. 3GPP TS 29.228 v9.1.0 (2010-03) 3rd Generation Partnership Project; Technical Specification Group Core Network and Terminals; IP Multimedia (IM) Subsystem Cx and Dx interfaces; Signalling flows and message contents (Release 9).

6. 3GPP TS 29.328 v9.1.0 (2010-03) 3rd Generation Partnership Project; Technical Specification Group Core Network and Terminals; IP Multimedia (IM) Subsystem Sh interface; Signalling flows and message contents (Release 9).

7. Abaev P., Gaidamaka Y., Pechinkin A., Razumchik R., Shorgin S. Simulation of overload control in SIP server networks // Proceedings of the 26th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2012. - Germany, Koblenz. - 2012. - Pp. 533-539.

8. Abaev P., Gaidamaka Y., Samouylov K. Queuing Model for Loss-Based Overload Control in a SIP Server Using a Hysteretic Technique // Lecture Notes in Computer Science. - Germany, Heidelberg, Springer-Verlag. -2012. - Vol. 7469. - P. 371-378.

9. Abdelal A., Matragi W. Signal-Based Overload Control for SIP Servers // 7th IEEE Consumer Communications and Networking Conference (CCNC). - 2010. - Pp. 1-7.

10. Abhayawardhana V.S., Babbage R. A Traffic Model for the IP Multimedia Subsystem (IMS). // Proceedings of 65th Vehicular Technology Conference. - 2007. - Pp. 783-787.

11. Afanasyeva G., Bashtova E. Queuing Systems with Unreliable Servers in a Random Environment // Proceedings of the 7th International Workshop on Simulation, 2013. - Italy, Rimini. - 2013. - Pp. 27-28.

12. Afanasyeva G., Bashtova E., Bulinskaya E. Limit Theorems for SemiMarkov Queues and Their Applications // Communications in Statistics Simulation and Computation, vol. 41. - 2012. - Pp. 688-709.

13. AndrianovG., Poryazov S., and Tsitovich I. On a problem of QoS characteristics interpretation in telecommunication network // Information Science and Computing. - 2009. - V. 11. - P. 59-65.

14. Baykal-Gursoy D., Duan Z., Xu H. Stochastic Models of Traffic Flow Interrupted by Incidents. // Proceedings of 12th IFAC Symposium on Control in Transportation Systems. - 2009. - Pp. 442-449.

15. Bo char ov P.P., D'ApiceC., Pechinkin A.V., and Salerno S. Queueing Theory. - Brill Academic Publishers, 2004. - 457 p.

16. Chi C., Hao R., Wang D., Cao Z. IMS Presence Server: Traffic Analysis & Performance Modeling. // IEEE International Conference on Network Protocols, ICNP 2008. - 2008. - Pp. 63-72.

17. Choi B.D., Kim Y.C., Shin Y.W., Pearce C.E.M. The M[X]|G|1 queue with queue length dependent service times. // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, Vol. 14, Issue 4. - 2001. - Pp. 399-419.

18. Choudhury G. Analysis of the M[X]|G|1 queuing system with vacation times. // Sankhya, The Indian Journal of Statistics, series B, 64, pp 37-49, - 2002.

19. Chuen-Horng L., and Hsin-1H., Jau-Chuan K. On a Batch Arrival Queue with Setup and Uncertain Parameter Patterns. // International Journal of Applied Science and Engineering. Vol. 6, Issue 2, 2008. - Pp. 163-180.

20. Cooper R.B. Introduction to Queuing Theory Second Edition. // New York, Elsevier North Holland Inc., 1981. - 361 p.

21. De Marco G., Iacovoni G., Barolli L. A Technique to Analyze Session Initiation Protocol Traffic. // Proceedings of the 11th International

Conference on Parallel and Distributed Systems 11th. - Volume 2. - 2005. -Pp. 595-599.

22. Downton, F. Waiting times in bulk service queues // Journal of the Royal Statistical Society. - 1955. - Ser. B, Vol. 17, No. 2. -P. 256-261.

23. Fuhrmann S. W. and Cooper R. B., Stochastic decompositions in the M/G/l queue with generalized vacations // Operations Research, Vol. 33, pp. 1117-1129, 1985.

24. Gaidamaka Y., Samouylov K., Sopin E. Analysis of M/G/l queue with hysteretic load control // XXX Int. Seminar on Stability Probl. for Stochastic Models: Book of abstracts. - M.: IPI RAS. - 2012. - P. 87-90.

25. Garroppo R.G., Giordano S., Niccolini S., Spagna S. A Prediction-Based Overload Control Algorithm for SIP Servers I I IEEE Transactions on Network and Service Management. - 2011. - Vol. 8, Issue 1. - Pp. 39-51.

26. Garroppo R.G., Giordano S., Spagna S., Niccolini S. Queueing Strategies for Local Overload Control in SIP Server // IEEE Global Telecommunications Conference. — 2009. - Pp. 1-6.

27. Choudhury G. An M/G/l Retrial Queue with an Additional Phase of Second Service and General Retrial Times // International Journal of Information and Management Sciences 20. - 2009. - Pp. 1-14.

28. Gebhart R.F. A queuing process with bilevel hysteretic service-rate control // Naval Research Logistics Quarterly. - Vol. 14, Issue 1. - 1967. -Pp. 55-68.

29. Guo-hui Zh., Xin-xin D., Nai-shuo T. GI/M/1 Queue with Set-Up Period and Working Vacation and Vacation Interruption // International Journal of Information and Management Sciences, 20 -2009. - Pp. 351-363.

30. Gurbani V., Hilt V., Schulzrinne H. Session Initiation Protocol (SIP) Overload Control // draft-ietf-soc-overload-control-13. - 2013.

31. Hilt V., Widjaja I. Controlling Overload in Networks of SIP Servers// IEEE International Conference on Network Protocols. - 2008. - Pp. 8393.

32. Homayouni M., Nemati H., Azhari V.; Akbari A. Controlling Overload in SIP Proxies: An Adaptive Window Based Approach Using No Explicit Feedback // IEEE Global Telecommunications Conference (GLOBECOM). - 2010. - Pp. 1-5.

33. Hong Y., Huang C., Yan J. Mitigating SIP Overload Using a Control-Theoretic Approach// IEEE Global Telecommunications Conference (GLOBECOM). - 2010. - Pp. 1-5.

34. Hongbo Zh, Dinghua Sk, The M/M/l Queue with Bernoulli-Schedule-Controlled Vacation and Vacation Interruption // International Journal of Information and Management Sciences 20 (2009), 579-587.

35. Hur S. and Paik S. J., The effect of different arrival rates on the N-policy of M/G/l with server setup // Applied Mathematical Modeling, Vol. 23, pp. 289-299. - 1999.

36. IETF RFC 2778 Instant Messaging / Presence Protocol Requirements.

37. IETF RFC 2779 A Model for Presence and Instant Messaging

38. IETF RFC 3261 SIP: Session Initiation Protocol.

39. IETF RFC 3265 Session Initiation Protocol (SIP) - Specific Event Notification.

40. IETF RFC 3863 Presence Information Data Format (PIDF).

41. IETF RFC 3903 Session Initiation Protocol (SIP) for Event State Publication.

42. IETF RFC 4412 Communications Resource Priority for the Session Initiation Protocol (SIP).

43. IETF RFC 5263 Session Initiation Protocol (SIP) Extension for Partial Notification of Presence Information.

44. IETF RFC 5390 Requirements for Management of Overload in the Session Initiation Protocol.

45. IETF RFC 5626 Managing Client-Initiated Connections in the Session Initiation Protocol (SIP).

46. IETF RFC 6357 Design Considerations for Session Initiation Protocol (SIP) Overload Control.

47. ITU-T Recommendation G.1010: End-user multimedia QoS categories. -ITU-T.-2001.- 18 p.

48. ITU-T Recommendations Y.2xxx: Next generation networks. - ITU-T.

49. Jau-Chuan K., Kuo-Hsiung W., Cheng-Hwai L. A Single Vacation Model G/M/l/K with N Threshold Policy // Sankhya : The Indian Journal of Statistics 2006, Volume 68, Part 2, pp. 198-226.

50. Jau-Chuan K. Two-threshold Policy for M[x]/G/1 Queuing System with Two Vacation Types, Startup Time and an Un-reliable Server. Volume 13, Number 2, pp. 51-67, 2002.

51. Jihong L., Duihong J., Naishuo T. A batch arrival queue with exponential working vacations // Proceedings of the 5th International Conference on Queueing Theory and Network Applications. - 2010. - Pp. 41-45.

52. Kasera S., Pinheiro J., Loader C., Karaul M., Hari A., LaPorta T. Fast and robust signaling overload control 11 Ninth International Conference on Network Protocols. - 2001. - Pp. 323-331.

53. Kella O., The threshold policy in the M/G/l queue with server vacations,

Naval. Res. Logist., Vol. 36, pp. 111-123, 1989.

54. Lee H. S., Srinivasan M. M., Control policies for the M[x]/G/1 queuing system//Management Science, Vol. 35, pp. 708-721, 1989.

55. Lee H. W. and Park J. O., Optimal strategy in N-policy production system with early set-up // Journal of the Operational Research Society, Vol. 48, pp. 306-313, 1997.

56. Lee H. W., Lee S. S., Park J. O. and Chae K. C., Analysis of M[x]/G/1 queue with N policy and multiple vacations // Journal of Applied Probabilities, Vol. 31, pp. 467-496, 1994.

57. Martikainen O., Naoumov V., Samouylov K. Call Processing Model for Multimedia Services // Intelligent Networks and New Technologies (Villy B. Iversen and Jorgen Norgaard eds), Chapman & Hall, London, 1996, pp. 241-251.

58. Martikainen O., Naoumov V., Samouylov K. Telecommunication Signalling. // Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering. V. 21 (John .G. Webster, Editor). - John Wiley & Sons, 1999, pp. 426-432.

59. Medhi J., Templeton J. G. C. A Poisson input queue under N-policy and with a general startup time // Computers Operations Research, Vol. 19, pp. 35-41, 1992.

60. Montagna S., Pignolo M. Comparison between two approaches to overload control in a Real Server: "local" or "hybrid" solutions? // 15th IEEE Mediterranean Electrotechnical Conference (MELECON). -2010. -Pp. 845-849.

61. Montagna S., Pignolo M. Load Control techniques in SIP signaling servers using multiple thresholds// 13 th International Telecommunications Network Strategy and Planning Symposium, NETWORKS. -2008. - Pp. 1-17.

62. Montagna, S., Pignolo M. Performance Evaluation of Load Control Techniques in SIP Signaling Servers // Proceedings of Third International Conference on Systems (ICONS). - 2008. - Pp. 51-56.

63. NeutsM.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: an algorithmic approach. - Dover Publications, 1995. - 332 p.

64. Ohta M. Overload Control in a SIP Signaling Network // International Journal of Electrical and Electronics Engineering. - 2006. - Pp.87-92.

65. Ohta M. Overload Protection in a SIP Signaling Network // International Conference on Internet Surveillance and Protection, (ICISP). - 2006.

66. Brown P., Chemouil P., Delosme B. A Congestion Control Policy for Signalling Networks // Proceedings of 7th. IeCC, Sydney, Australia, Oktober-November 1984.-Pp. 717-724.

67. Pyke R., Schaufele R. Limit theorems for Markov renewal processes. // Annals of Mathematical Statistics, 1964, v. 35, №4, 1746-1764.

68. Pyke R., Schaufele R. The existence and uniqueness of stationary measures for Markov renewal processes. // Annals of Mathematical Statistics, 1966, v. 37, №6, 1439-1462.

69. Roughan M., Pearce C. A Martingale Analysis of Hysteretic Overload Control. //Advances in Performance Analysis, 2000, Vol.3, №1, pp. 1-30.

70. Roughan M., Pearce C. Analysis of Hysteretic Overload Control // International Teletraffic Congress (ITC) 16. 1999. - pp. 293 - 302.

71. Shen C., Schulzrinne H., Nahum E. Session Initiation Protocol (SIP) Server Overload Control: Design and Evaluation // Lecture Notes in Computer Science. - Springer, 2008. - Vol. 5310. - Pp. 149-173.

72. Sopin E. Analysis of MM|G|l|r queue with a resume level // XXIX Int. Seminar on Stability Probl. for Stochastic Models: Book of abstracts. -M.:IPI RAS. -2011. - P. 53-55.

73. Takagi H. Analysis of a Finite-Capacity M/G/l Queue with a Resume Level // Performance Evaluation. - 1985. - Vol. 5. - Pp. 197-203.

74. Yum T.P., Yen H.M. Design algorithm for a hysteresis buffer congestion control strategy // Proceedings of the IEEE International Conference on Communications (June 1983). Pp. 499-503.

75. Yang J., Huang F., Gou S. An optimized algorithm for overload control of SIP signaling network // Proceedings of the 5th International Conference on Wireless communications, networking and mobile computing (WiCOM). - 2009.

76. Абаев П.О, Гайдамака Ю.В., Самуйлов К.Е. Гистерезисное управление нагрузкой в сети SIP-серверов. // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика, 2011, №4. - С. 55-73

77. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового обслуживания и управление запасами. - М.: МГУ, 1980. -113с.

78. Башарин Г.П. Введение в теорию вероятностей: Учеб. пособие для студентов II-III курсов специальностей «Математика», «Прикладная математика». - М.: Изд-во РУДН, 1990. - 228 с.

79. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика: Учеб. пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: РУДН, 2009. - 342 с.

80. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1989. -336 с.

81. Башарин Г.П., Толмачев A.JI. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». - 1983. -Т. 21.-С. 3-119.

82. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шпенс-Шнеппе М.А. Массовое обслуживание в телефонии. - М.: Наука, 1968. - 247 с.

83. Бочаров 77.77., ПечинкинА.В. Теория массового обслуживания: Учебник. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

84. Гайдамака Ю.В., Самуйлов К.Е., Сопин Э.С. Модель одной системы массового обслуживания типа М/G/l с гистерезисным управлением

входящим потоком // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. -2012.-№ 7.-С. 60-62.

85. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. - М.: Техносфера, 2003. - 512 с.

86. Вишневский В.М., Портной C.JI., Шахнович И.В. Энциклопедия WiMAX. Путь к 4G. - М.: Техносфера, 2009. - 472 с.

87. Вишневский В.М., Семенова О.В. Системы поллинга. Теория и применение в широкополосных беспроводных сетях. - М.: Техносфера, 2007. - 312 с.

88. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: ЖИ, 2011. - 402 с.

89. Голъдштейн B.C. Протокол SIP. Справочник. — СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 2005. - С. 456.

90. Голъдштейн Б. С., Соколов Н.А., Яновский Г.Г. Сети связи. - СПб.: БХВ-Петербург, 2010. - 400 с.

91. Гулевич Д.С. Сети связи следующего поколения. - М.: ИНТУИТ: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 183 с.

92. Зарядов И. С. Система массового обслуживания GI/M/n/oo обобщенным обновлением // Автоматика и Телемеханика. — 2010. — №4.-С. 130-139.

93. Зарядов КС., ПечинкинА.В. Стационарные временные характеристики системы GI/M/n/oo с некоторыми вариантами дисциплины обобщенного обновления // Автоматика и Телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 161-174.

94. Иверсен В. Б., Степанов С. Н. Оценка характеристик многопотоковых моделей с фиксированным числом повторений // Автоматика и телемеханика, 2001, № 5, 105-115.

95. Климов Г.П. Теория массового обслуживания. Изд. 2. - М.: Изд-во Московского университета, 2011. - 312 с.

96. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1966. -244 с.

97. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. // М.: Советское радио, 1967.

98. Корнышев Ю.Н., Пшеничников А.П., ХаркевичА.Д. Теория телетрафика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1996. - 272 с.

99. Красносельский M.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом // М.: Наука, ГРФМЛ. - 1984. - 272 с.

100. Крылов В.В., Самохвалова С.С. Теория телетрафика и ее приложения. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.

101. Лузгачев М.В., Сопин Э.С. Модель сигнального трафика в сети следующего поколения на базе IMS // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. - М.:РУДН. - 2008. - С. 90.

102. Меликов А.З., Пономаренко Л.А., Паладюк В.В. Телетрафик: модели, методы, оптимизация. - Киев: ИПК «Политехника», 2007. - 256 с.

103. Мушили Н.М., Самуйлов К.Е., Сопин Э.С. Модель функционирования сервера присутствия в сети NGN // T-Comm — Телекоммуникации и Транспорт. - 2010. - № 7. - С. 116-118.

104. Мушили Н.М., Сопин Э.С. Анализ трафика и моделирование производительности сервера присутствия подсистемы IMS // XLV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. - М.:РУДН. -2009.-С. 188-189.

105. Наумов В.А. Численные методы анализа марковских систем. — М.: Изд-во УДН, 1985.-37 с.

106. Нсангу М.М., Самуйлов КЕ. Анализ модели сервера в сети NGN // Proceedings of international conference on Distributed Computer and Communication Networks (DCCN-2010)", Москва, 2010 - M.: R&D Company "Information and Networking Technologies". - 2010. - C.124-129.

107. Першаков H. В., Самуйлов К. Е. Системы M |G|1 с групповым обслуживанием и их применение к анализу модели протокола управления потоковой передачей. Часть I // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». No 1, 2009. - С. 34 -44

108. Першаков Н. В., Самуйлов К. Е. Системы M ]G|1 с групповым обслуживанием и их применение к анализу модели протокола управления потоковой передачей. Часть II // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». No 2, 2009. - С. 43 -53

109. Самуйлов КЕ. Методы анализа и расчета сетей ОКС 7. Монография // М. Изд-во РУДН, 2002. - 291 с.

110. Самуйлов К.Е., Сопин Э.С. К анализу методов балансировки нагрузки несущей в системах LTE-Advanced. // T-Comm. Телекоммуникации и транспорт,- М., 2011, № 7. - С. 136-139.

111. Самуилов К.Е., Сопин Э.С. К анализу системы M[x]|G|l|r с прогулками прибора // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2011. - №1. - С. 91-97.

112. Самуйлов К.Е., Сопин Э.С., Чукарин A.B. Оценка характеристик сигнального трафика в сети связи на базе подсистемы IMS // Т-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. - 2010. - № 7. - С. 8-13.

113. Соколов И.А., ШоргинС.Я. Математические методы исследования сложных информационных и телекоммуникационных систем // История науки и техники. - 2008. - № 7. - С. 13-17.

114. Сопин Э.С. Анализ модели M|G|l|r с групповым поступлением и гистерезисным управлением нагрузкой // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2013. — №2. - С. 38-44.

115. Сопин Э.С. Анализ показателей качества функционирования SIP-сервера с гистерезисным управлением нагрузкой // VII Международная научно-практическая конференция «Современные информационные технологии и ИТ-образование»: Сборник трудов. -М.: ИНТУИТ.РУ. - 2012. - С. 734-739.

116. Степанов С. Н., Цитович И. И., Эквивалентные определения вероятностных характеристик моделей с повторными вызовами и их применение // Проблемы передачи информации, 25:2 - 1989. - С. 7990.

117. Тихвинский В. О., Терентъев C.B., ЮрчукА.Б. Сети мобильной связи LTE. Технологии и архитектура. - М.: Эко-Трендз, 2010. - 284 с.

118. Чукарин A.B., Гайдамака Ю.В., Летников А.И., Пшеничников А.П. Системы сигнализации в сетях с коммутацией каналов и пакетов: Учебное пособие. - М.: Инсвязьиздат, 2008. - 195 с.

119. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Пер. с англ. / Пер. Ю.В. Прохоров. - М.: Либроком, 2010. - 1080 с.

120. Ширяев А.Н. Вероятность-1. Вероятность-2. - М.: МЦНМО, 2007. -968 с.

121. Шнепс-Шнеппе М.А. Системы распределения информации. Методы расчета: Справочное пособие. -М.: Связь, 1979. - 344 с.