Модели нелокального переноса энергии электромагнитными волнами в плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Куличенко Андрей Александрович

• Куличенко Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Куличенко Андрей Александрович

Введение

Глава 1. Обзор литературных данных

1.1 Полеты Леви и прогулки Леви. Автомодельность

1.2 Задачи нелокального (супердиффузионного) переноса

1.3 Приближенное автомодельное решение уравнения Бибермана-Холстейна

1.4 Метод построения автомодельной функции Грина в случае Ш переноса полетами Леви

1.5 Диагностика нелокальности турбулентной плазмы в токамаке

Глава 2. Общие аналитические решения для функции Грина широкого класса интегро-дифференциальных уравнений нестационарного нелокального переноса при конечной скорости переносчиков

2.1 Общие аналитические решения уравнения для функции Грина

2.1.1 Общее решение для Ш переноса

2.1.2 Предел с ^ для Ш переноса

2.1.3 Асимптотика далеко перед фронтом возбуждения для Ш переноса

2.1.4 Общее аналитическое решение для 2Э переноса

2.1.5 Общее решение для 3D переноса

2.2 Численный расчет общих аналитических решений задачи о функции Грина

2.2.1 Численный расчет общего решения для Ш переноса

2.2.2 Численный расчет общего решения для 2Э переноса

2.2.3 Численный расчет общего решения для 3Э переноса

2.2.4 Результаты численных расчетов общих аналитических решений

Глава 3. Автомодельные решения для функции Грина уравнения нелокального переноса при конечной скорости переносчиков

3.1 Асимптотики функции Грина

3.1.1 Асимптотика далеко перед фронтом возбуждения

3.1.2 Асимптотика далеко позади фронта возбуждения для 1D переноса

3.2 Метод интерполируемой автомодельности при конечной скорости переносчиков

3.3 Анализ точности автомодельных решений путем их сравнения с точными

численными расчетами

Глава 4. Приближенное аналитическое описание фронта функции Грина нестационарного нелокального переноса типа «прогулок Леви» при произвольной скорости переносчиков

4.1 Аналитическое описание динамики фронта возбуждения среды

4.1.1 Количество стоящих возбуждений

4.1.2 Второй момент функции Грина

4.1.3 Закон фронта для функции Грина

4.2 Аналитическое описание динамики фронта распространения переносчиков

4.3 Объединенное приближенное аналитическое описание фронта функции Грина нестационарного нелокального переноса типа «полетов Леви» и «прогулок Леви». Сравнение разных подходов к дефиниции фронта

4.4 Применение результатов к вспышечным явлениям в астрофизике

Глава 5. Метод восстановления нелокальных свойств стохастических процессов в среде по спектру флуктуаций ее плотности

5.1 Основные уравнения рассеяния ЭМ волн и кросс-корреляционной рефлектометрии в плазме

5.2 Кинетическая модель флуктуаций плотности турбулентной среды

5.3 Спектр рассеяния

5.4 Кросс-корреляционная функция рассеяния

5.5 Обратная задача восстановления параметров нелокальности переноса флуктуаций плотности

5.5.1 Токамак Т-10

5.5.2 Токамак TEXTOR

5.5.3 Токамак ASDEX-Upgrade

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели нелокального переноса энергии электромагнитными волнами в плазме»

Актуальность темы исследования

Актуальность разработки новых методов моделирования нелокального переноса в лабораторной и астрофизической плазме обусловлена известной трудностью решения уравнений переноса, интегральных по пространству и волновым числам переносчиков энергии (фотонов, плазмонов, быстрых частиц и др.).

Нормальная (обыкновенная) диффузия определяется как броуновское движение и описывается дифференциальным уравнением фоккер-планковского типа. Функция Грина такого уравнения является гауссианом с аргументом, определяющим эффективный закон фронта возбуждения среды мгновенным точечным источником в виде ~ (р£)Р, где Р = 1/2, Б — коэффициент

диффузии. Однако данный закон нарушается для широкого класса физических процессов, где длина свободного пробега оказывается медленно убывающей (степенным образом) функцией распределения переносчиков по длине свободного пробега (ФРСП). Это приводит к расходимости формального коэффициента диффузии, который определяется из дисперсии ФРСП, при этом имеем р > 1/2 в законе фронта, указанном выше. Перенос в таких условиях называется супердиффузионным (нелокальным) переносом.

Супердиффузионный перенос, а также связанная с ним концепция полетов Леви, введенная Мандельбротом [1, 2] (см. с. IX в [2], [3-5]), охватывает множество явлений в физике и других дисциплинах. Модель нелокального переноса «прогулки Леви с остановками» актуальна для таких задач, как перенос резонансного излучения в астрофизических газах и плазме [6-8], биологическая миграция (разд. 6 в [9]), перенос энергии волнами в плазме [10].

Аналитические методы хорошо развиты для задач стационарного нелокального переноса, таких, например, как теории переноса резонансного излучения при полном перераспределении по частоте в акте поглощения и излучения фотона атомом или ионом в газе или плазме [11-23]. Для случая

нестационарного нелокального переноса с учетом конечной скорости света пока не было получено простых методов расчета интересующих характеристик переноса, прежде всего приближенного описания функции Грина, а также динамики фронта распространения возбуждения среды от мгновенного точечного источника.

В данной диссертационной работе используется обобщение некоторых понятий нелокального переноса в плазме, поскольку, как было указано выше, формализм такого переноса выходит далеко за пределы физики плазмы. Как известно, перенос резонансного излучения в плазме осуществляется фотонами. В обобщенном подходе кроме фотонов будем иметь дело с бегущими переносчиками возбуждения среды. При поглощении фотона атомом или ионом в плазме возникает почти неподвижное возбужденное состояние среды. Такое стоящее возбужденное состояние в обобщенном подходе будем называть стоящим возбуждением среды.

Цели и задачи исследования

Общей целью работы является развитие и приложение к физике плазмы нового метода в теории нелокальных стохастических процессов - метода интерполируемой автомодельности. Задачи работы следующие.

1. Получить общие аналитические и численные решения задачи о функции Грина уравнения нестационарного нелокального переноса при конечной скорости переносчиков.

2. Выполнить обобщение и верификацию метода интерполируемой автомодельности, предложенного в [25], на случай конечной скорости переносчиков.

3. Провести объединенное описание «полетов Леви» и «прогулок Леви», найти критерий перехода между указанными режимами переноса.

4. Применить формализм супердиффузии для описания парной корреляционной функции плотности в турбулентной среде и к задаче восстановления нелокальных свойств турбулентности плазмы по рефлектометрическим измерениям спектра флуктуаций ее плотности.

Методы исследования

Ключевым аспектом работы является исследование уравнений супердиффузионного (нелокального) переноса, которые не сводятся к дифференциальным уравнениям диффузионного типа. Сюда относятся процессы с доминированием механизмов переноса, получивших в мировой литературе название «полетов Леви» (Levy flights).

Для численных расчетов используются авторские программные коды. Все расчеты выполнены на языке программирования Python 3.7 с использованием дополнительных библиотек NumPy, SciPy и Matplotlib, а также в системе Mathematica.

Расчеты выполнялись с использованием оборудования центра коллективного пользования «Комплекс моделирования и обработки данных исследовательских установок мега-класса» НИЦ «Курчатовский институт».

Научная новизна результатов исследования

Новизна исследования состоит, прежде всего, в развитии нового метода в теории нелокальных стохастических процессов, основанного на получении приближенных автомодельных решений интегро-дифференциальных уравнений нестационарного нелокального переноса. Построение таких автомодельных решений позволяет значительно сокращать объем необходимых вычислений за счет уменьшения числа независимых переменных.

Принципиально новым является алгоритм получения приближенного автомодельного решения для функции Грина широкого класса интегро-дифференциальных уравнений нестационарного нелокального переноса. Это охватывает явления переноса с доминирующим вкладом переносчиков с большой длиной свободного пробега - «полетов Леви» или, в случае учета конечной скорости переносчиков, «прогулок Леви». В основе метода лежит интерполяция законов автомодельности для асимптотик далеко впереди и далеко позади эффективного фронта волны возбуждения. При таком подходе прямое решение

задачи (численный расчет функции Грина) требуется лишь в относительно небольшой области переменных (вблизи фронта возбуждения).

Развиваемый метод обобщает недавно предложенный (и частично апробированный) подход для нелокального нестационарного переноса резонансного излучения в плазме на нелокальные стохастические процессы. Такие процессы требуют учета (а) конечной скорости переносчиков возбуждения среды (напр., конечной скорости электромагнитных (ЭМ) волн в космической плазме, в отличие от скорости света в лабораторной плазме); (б) стохастичности функций источника и стока (т.е. рождения и поглощения средой) переносчиков возбуждения (напр., при распространении ЭМ волн в турбулентной плазме).

Теоретическая значимость

Теоретическая значимость развитого метода интерполируемой автомодельности состоит в том, что получены приближенные аналитические решения широкого класса интегро-дифференциальных уравнений.

Практическая значимость

Практическая значимость развитого метода интерполируемой автомодельности состоит в том, что построение приближенного автомодельного решения значительно сокращает численные расчеты для решения прямой и обратных задач нелокального нестационарного переноса. В частности, с ростом времени точность разработанного метода для функции Грина повышается, а численных методов (типа метода Монте-Карло) понижается.

Полученное аналитическое описание спектральной и координатной зависимости кросс-корреляционной функции полоидальной и радиальной рефлектометрии плазмы в токамаках позволило решить обратную задачу восстановления параметров движущихся флуктуаций плотности плазмы, включая среднюю длину и дисперсию длин свободного пробега, среднюю скорость и дисперсию скоростей флуктуаций плотности в токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX-Upgrade.

Степень достоверности результатов исследования

Эффективность метода интерполируемой автомодельности при конечной скорости переносчиков верифицирована путем сравнения приближенных автомодельных решений с результатами прямого численного расчета решениий уравнения переноса. Сюда входят численные расчеты общих аналитических решений для функции Грина, проведенные диссертантом, а также независимое численное моделирование функции Грина методом Монте-Карло, проведенное соавтором публикаций А.В. Соколовым.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Общие аналитические решения задачи о функции Грина широкого класса интегро-дифференциальных уравнений нестационарного нелокального (супердиффузионного) переноса (для случаев ядра интегрального оператора со степенным убыванием с ростом расстояния) при конечной скорости переносчиков и различной размерности пространства. Результаты численного расчета указанных решений в широком интервале пространственно-временных переменных, позволяющие определить структуру фронта возбуждения среды.

2. Обобщение метода интерполируемой автомодельности на случай конечной скорости переносчиков. Приближенные автомодельные решения указанного класса интегро-дифференциальных уравнений и доказательство высокой точности этих решений путем сравнения с точными численными расчетами в широкой области параметров.

3. Приближенное аналитическое описание фронта функции Грина нестационарного нелокального переноса типа «прогулок Леви» при произвольной скорости переносчиков. Объединенное приближенное аналитическое описание указанного фронта для переноса типа «полетов Леви» и «прогулок Леви».

4. Аналитическое описание вклада нелокального переноса флуктуаций плотности плазмы в кросс-корреляционную функцию сигналов рефлектометрии плазмы ЭМ волнами. Метод восстановления нелокальных свойств этих

флуктуаций по экспериментальным данным на основе указанного аналитического описания и интерпретация экспериментальных данных для квазикогерентных колебаний при рефлектометрии плазмы в токамаках.

Личный вклад

Автор принял активное участие в (а) обобщении основных положений метода интерполируемой автомодельности и верификации метода, (б) разработке метода восстановления нелокальных свойств стохастических процессов и сравнении разработанной модели с экспериментально наблюдаемыми параметрами квазикогерентных колебаний при рефлектометрии плазмы ЭМ волнами в токамаках. Им проведены все аналитические и численные расчеты общих и приближенных автомодельных решений, законов подобия для фронта функции Грина нестационарного нелокального переноса типа «прогулок Леви», а также расчеты для метода восстановления нелокальных свойств стохастических процессов в среде.

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на профильных научно-тематических семинарах «Теория магнитного удержания плазмы» Курчатовского комплекса термоядерной энергетики и плазменных технологий (ККТЭиПТ) в НИЦ «Курчатовский институт», а также на 11 международных и всероссийских научных конференциях и молодежных школах:

- XII Курчатовская междисциплинарная молодежная школа, Москва, Россия, 2014;

- XV Курчатовская междисциплинарная молодежная школа, Москва, Россия, 2017;

- IV Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии Лаплаз-2018», НИЯУ МИФИ, Москва, Россия;

- 45-ая Международная конференция европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-45), г. Прага, Чехия, 2018 г.;

- 61-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 2018 г.;

- 46-ая Международная конференция европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-46), г. Милан, Италия, 2019 г.;

- XVI Курчатовская междисциплинарная молодежная школа, Москва, Россия, 2019;

- 62-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 2019 г.;

- 63-ая Всероссийская научная конференция МФТИ, Москва, Россия, 2020 г.;

- XLVIII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, 2021 г., Москва, Россия;

- XLIX Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, 2022 г., Москва, Россия.

Полнота изложения материалов диссертации в работах, опубликованных

соискателем

По результатам научно-квалификационной работы (диссертации) опубликовано 18 публикаций. Сюда входят 7 научных статей в рецензируемых журналах, индексируемых в следующих базах данных: Web of Science - 5, Google Scholar - 1, SCOPUS - 1 (6 из них входят в список ВАК); 6 трудов конференций, включая 2 работы, индексируемые в базе данных SCOPUS; 5 тезисов докладов на конференциях и молодежных школах.

Основное содержание диссертации изложено в публикациях [A1-A18].

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫХ ДАННЫХ 1.1 Полеты Леви и прогулки Леви. Автомодельность.

Обычная диффузия, то есть броуновское движение, описывается дифференциальным уравнением фоккер-планковского типа с коэффициентом диффузии Б. При этом функция Грина (т.е. решение уравнения переноса с мгновенным точечным источником) является гауссианом, а ее аргумент определяет закон подобия для распространяющегося фронта возбуждения среды от мгновенного точечного источника в виде ~ (Ш)1/2 (расстояние г и время t отсчитываются от точки источника).

Перенос вне рамок броуновского движения, для функций распределения переносчиков по длине свободного пробега (ФРСП) со степенным спадом с ростом расстояния, является супердиффузионным (см., напр., [2-5, 9, 13-25]). Для такого переноса показатель степени в временной зависимости распространяющегося фронта возбуждения среды (для точечного мгновенного источника) превышает характерное для обычной диффузии значение, т.е. г^^) ~ ^, р > 1/2. При этом основной вклад в функцию Грина вносят переносчики с большой длиной свободного пробега. Перенос, в котором имеются такие длиннопробежные траектории, в случае бесконечной скорости переносчиков был назван Б. Мандельбротом [1] полетами Леви, см. стр. IX в [2]. В случае, когда возникает необходимость учитывать конечную скорость движения переносчиков возбуждения среды, перенос получил название «прогулки Леви с остановками» (см. рис. 1 в [9]), это соответствует учету эффектов запаздывания в полетах Леви. Для простоты далее в тексте слово «остановки» в названии будем опускать и называть такой перенос прогулками Леви.

Альтернативным названием супердиффузионного переноса является нелокальный перенос. Такой термин означает, что уравнение переноса является интегральным (по пространственным координатам) и не сводится к дифференциальному. Отметим, что при супердиффузионном/нелокальном переносе полетами Леви первый и все последующие моменты ФРСП (т.е. ее

интегралы по координатам с весовой функцией в виде первой, второй и далее степенью величины смещения от начальной точки) расходятся. Следовательно, измерения ФРСП отдельных переносчиков не достаточны для интерпретации экспериментальных данных о распространяющемся фронте всего статистического ансамбля переносчиков.

В теории явлений переноса автомодельность означает, что в функции Грина имеется редукция переменных. В случае переноса в однородной среде функция Грина зависит лишь от одной переменной, которая называется автомодельной переменной и является комбинацией остальных пространственно-временных переменных.

1.2 Задачи нелокального (супердиффузионного) переноса

Одним из наиболее детально исследованных примеров супердиффузионного/нелокального переноса является перенос излучения в спектральных линиях атомов и ионов в плазме и газах. Соответствующее уравнение переноса для пространственно-временной эволюции плотности возбужденных атомов/ионов известно как уравнение Бибермана-Холстейна [1113]. Это уравнение выводится из системы дифференциальных кинетических уравнений для фотонов и атомов, нейтральных или ионизованных. Модель Бибермана-Холстейна справедлива при полном перераспределении по частоте (ППЧ) в пределах спектральной линии в элементарном акте резонансного рассеяния (т.е. поглощения и последующего излучения) фотона атомом/ионом. Модель ППЧ означает потерю памяти фотона во время его захвата (поглощения) атомом/ионом, это делает процесс такого переноса марковским.

Уже на ранних этапах исследований с помощью уравнения Бибермана-Холстейна было выяснено (см., напр., [14-18]), что разложение интегрального члена по малости пространственной неоднородности возбуждения среды дает диффузионное уравнение с коэффициентом диффузии, который явно зависит от конечного размера среды Ь и стремится к бесконечности при Ь ^ да. Указанное

свойство делает неприменимой саму концепцию диффузионности при таком механизме переноса (любопытно, что термин «диффузия» иногда применяется и к таким явлениям). Поскольку среднеквадратическое смещение, определяемое вторым моментом ФРСП, в бесконечной среде расходится, закон распространения фронта должен определяться другим, подходящим для супердиффузии образом [14] (см. также [13, 16]). Доминирующая роль фотонов, испускаемых в далеком крыле спектральной линии, когда длина свободного пробега таких фотонов велика, была выявлена в [15-18]. Эта особенность уравнения Бибермана-Холстейна послужила основой для метода «прострельного вылета» (в мировой литературе -Escape Probability method) и его использования в радиационно-столкновительной кинетике атомов и ионов в плазме [19-22].

Модель Бибермана-Холстейна для переноса излучения в спектральных линиях атомов и ионов в плазме и газах была расширена на случай переноса энергии в непрерывном спектре. Это включает следующие задачи: перенос фоторекомбинационного излучения, который также называется переносом в ионизационном континууме [21]; нестационарный нелокальный перенос тепла продольными (электронными бернштейновскими) волнами в плазме [10], что расширило модель [26] нелокального переноса, описываемого интегральным уравнением для стационарного переноса тепла плазменными волнами (электронными и ионными бернштейновскими волнами), на случай нестационарного переноса; метод прострельного вылета, примененный к переносу плазменными волнами [27-29], что также расширило и модифицировало подход [30-32] к переносу энергии электронно-циклотронными волнами в термоядерной плазме. Применение метода [14] для функции Грина возбужденных атомов в конечном пространстве к случаю полубесконечного пространства было разработано в [33, 34]. Модель Бибермана-Холстейна, изначально разработанная для плазмы и газов, оказалась применима к сплошным средам: перенос возбуждения резонансными фотонами в рубине [35] и перенос дырок, образуемых поглощением фотонов, в проводниках n-типа InP [36, 37] описываются аналогичными уравнениями.

В теории переноса линейчатого излучения в астрофизической плазме ситуация отличается от теории переноса такого излучения в лабораторной плазме: упомянутая выше пара дифференциальных кинетических уравнений сводится к интегральному (в пространственных переменных) уравнению для интенсивности излучения (см., напр., [6, 38]). Здесь роль полетов Леви фактически также была осознана, хотя и без соответствующего именования.

В настоящее время ситуация в литературе складывается противоречивая. С одной стороны, в статье [39] утверждается, что пока не представлялось возможным наблюдать и изучать перенос Леви на реальных материалах. Например, экспериментальные работы по диффузии тепла, звука и света обычно ограничиваются броуновской диффузией. С другой стороны, доминирующая роль полетов Леви для света в традиционном переносе излучения в спектральных линиях прослежена, например, в [40] в случае переноса резонансного излучения с допплеровским уширением в горячем атомарном паре. Эксперименты подтвердили теоретическое заключение [41], что траектории фотонов в модели Бибермана-Холстейна в случае допплеровского, лоренцевского и фойгтовского контуров спектральной линии соответствуют переносу, основанному на полетах Леви.

Альтернативный способ исследования уравнения переноса с интегралом по пространственным переменными был разработан в формализме дробных производных [3, 42, 43]. В рамках этого подхода законы подобия возникают значительно проще, чем в случае интегральных уравнений, однако получить точное решение не менее затруднительно, чем в формализме интегральных уравнений.

Настоящая работа развивает теорию нестационарного переноса излучения в спектральных линиях в плазме и газах и обобщает метод получения приближенного аналитического решения для широкого класса задач нестационарного супердиффузионного переноса в однородной среде в рамках формализма интегральных уравнений [44-49] на случай учета конечной скорости движения переносчиков. Такой метод получил название метод интерполируемой автомодельности. При помощи него можно получить приближенное автомодельное решение, основанное на следующих трех «строительных блоках»:

законе подобия для распространяющегося фронта и асимптотиках функции Грина далеко впереди и далеко позади распространяющегося фронта. Все эти характеристики определяются полетами Леви, в случае бесконечной скорости переносчиков возбуждения среды, или прогулками Леви, в случае фиксированной конечной скорости переносчиков. Высокая точность предлагаемого автомодельного решения была подтверждена путем сравнения с численными решениями уравнений переноса.

В излагаемом ниже кратком обзоре литературы по нестационарному нелокальному переносу рассмотрим сначала случай бесконечной скорости переносчиков (с = то), связанный с полетами Леви (см., напр., [2, 9]). Затем перейдем к случаю конечной скорости переносчиков (с = const ф то), связанному с прогулками Леви (или, более точно, с прогулками Леви с остановками, см. рис. 1 в [9]). Сначала кратко опишем метод получения приближенных автомодельных решений в случае полетов Леви, поскольку одним из важнейших результатов настоящей работы является обощение этого метода на случай конечной скорости переносчиков.

1.3 Приближенное автомодельное решение уравнения Бибермана-

Холстейна

Данный раздел 1.3 и последующий 1.4, посвященные описанию нелокального переноса полетами Леви, т.е. без учета конечной скорости переносчиков возбуждения среды, опираются на работы [44-46, 50].

Уравнение Бибермана-Холстейна [11-13] для нелокального переноса излучения в спектральных линиях двухуровневых атомов/ионов в однородной плазме выводится из системы уравнений для плотности возбужденных атомов/ионов, /(г, t), и уравнения переноса спектральной интенсивности резонансного излучения. Данная система сводится к одному уравнению для плотности возбужденных частиц, которое является интегро-дифференциальным и,

как уже упоминалось, не сводится к дифференциальному уравнению

диффузионного (фоккер-планковского) типа:

дГ(г,г) 1 Г /1 \

= -^С(1г- гг \)Г(п, ¿Ж -(- + *) Г (г, $ + Я(г, I), (1.1)

где т - время жизни возбужденного состояния атома/иона относительно спонтанного радиационного распада; а - среднее обратное время нерадиационного девозбуждения; ц - нерадиационный источник возбуждения. Ядро интегрального оператора £ определяется контуром спектральной линии испускания Ру и коэффициентом поглощения Ку (теорию контуров спектральных линий см. в [5157]). В случае однородной среды £ зависит лишь от расстояния г между соответствующими точками испускания и поглощения фотона и для переноса в трехмерном (3Э) пространстве имеет вид:

от

1 ат(г) с

С(г) = Пг) = I ^ ехР(-к-г)(12)

о

Здесь функция Т(г), называемая функциналом Холстейна, является верятностью того, что переносчик преодолеет расстояние, меньшее или равное г, без единого акта поглощения.

Аналитическое решение уравнения (1.1) для мгновенного точечного источника ц(г,€) = 8(г)8(С), т.е. функция Грина в бесконечной однородной среде, в случае было получено в [14] с помощью преобразования Фурье:

ехр + а)] д

Г(Г, О =

(2п)2г дг

от

I ехр^(р)}-1

&р + 2п8(г)

(1.3)

где 1(Р)=~!0 Р^атс^—йу.

В однородной стационарной среде величина о является константой, что аналогично статусу радиационного времени жизни т, являющегося константой, не зависящей от параметров плазмы. В этом случае вклад тушения сводится к добавке простого множителя ехр(-&1) в функцию Грина, поэтому далее мы не будем учитывать этот процесс, полагая о = 0.

— от

Результат для функции Грина (1.3) можно переписать в безразмерных переменных р = к0г и у = р/к0, где к0 - коэффициент поглощения фотонов с частотой, которая соответствует центру спектральной линии поглощения. Безразмерное время измеряется в единицах т. Для р ф 0 это дает

з

/(P*0,t)=^°^ J ysin(yp)[exp{t(/(y)-1)}-exp{-t}] dy. (1.4)

— от

В случае локального переноса обычно используется понятие среднего расстояния, преодолеваемого переносчиком за заданное время t. Здесь такой подход оказывается неприменимым, поскольку, как было отмечено ранее, моменты ФРСП являются расходящимися интегралами. Это требует особой дефиниции среднего времени t(r), необходимого фотону для преодоления расстояния г от мгновенного точечного источника. Соответствующие скейлинги для различных контуров спектральной линии сильно отличаются от закона диффузии (см. [13-18]). Для допплеровского и лоренцевского контуров спектральной линии результаты [14] могут быть записаны в обобщенной форме [15-17] (в безразмерных единицах):

1

(15)

где Tas(p) - асимптотика функционала Холстейна Г(р) (1.2) при р » 1.

Простейшей формой дефиниции фронта pfr(t) является следующая [44]:

(t + 1)7-(pfr(t)) = 1, р = |х|. (1.6)

Уравнение (1.6) основывается на успехе методов прострельного вылета фотонов (escape probability) в теории переноса резонансного излучения в спектральных линиях атомов/ионов, что восходит к приближенному решению [18]. Данное решение получено для стационарной задачи путем вынесения плотности из интегрального слагаемого в уравнении переноса. Справедливость приближения [18] показана в [15, 17]. Уравнение (1.6) было использовано и в качестве дефиниции временной эволюции фронта tfr(p). Применимость формулы (1.6) для больших значений безразмерного времени показана и в [44, 50], а для небольших значений времени t ~ 1 она интерполируется до начального условия Pfr(0) = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куличенко Андрей Александрович, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

А1. Kukushkin A.B., Kulichenko A.A. Automodel solutions for superdiffusive transport by Levy walks // Phys. Scripta. - 2019. - V. 94. - Paper 115009 (13 pages), (WoS) https://doi.org/10.1088/1402-4896/ab2550.

А2. Куличенко А.А., А.Б. Кукушкин Супердиффузионный перенос «прогулками Леви» в однородной среде: общее и приближенное автомодельное решения // ЖЭТФ. - 2020. - Т. 157. - №. 6. - С. 1036-1050, (WoS) http: //www. j etp. ras. ru/c gi-bin/dn/r 157 1036.pdf.

А3. Кукушкин А.Б., Куличенко А.А., Соколов А.В. Законы подобия для функции Грина нестационарного супердиффузионного переноса: прогулки Леви и полеты Леви //ЖЭТФ. - 2021. - Т. 159. - №. 5. - С. 978-996, (WoS) http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/dn/r 159 0978.pdf.

А4. Kukushkin A.B., Kulichenko A.A., Neverov V.S., Sdvizhenskii P.A., Sokolov A.V., Voloshinov V.V. Self-Similar Solutions in the Theory of Nonstationary Radiative Transfer in Spectral Lines in Plasmas and Gases // Symmetry. - 2021. - V. 13. - №. 3. - P. 394 (32 pages), (WoS) https://doi.org/10.3390/sym13030394.

А5. Kulichenko A.A., Kukushkin A.B. Superdiffusive transport of Biberman-Holstein type for a finite velocity of carriers: general solution and the problem of automodel solutions // Int. Rev. of Atom. and Molec. Phys. (IRAMP). - 2017. - V. 8(1). - P. 514, (Google Scholar)

http://www.auburn.edu/cosam/departments/physics/iramp/8 1/Kulichenko Kukush kin.pdf.

А6. Кукушкин А.Б., Куличенко А.А. Восстановление нелокальных характеристик флуктуаций плотности плазмы токамака по корреляционной рефлектометрии // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. - 2022. - Т. 45. - Вып. 2. - С. 105-122. (SCOPUS)

А7. Kukushkin A.B., Kulichenko A.A. New approach to cross-correlation reflectometry diagnostics of nonlocality of plasma turbulence // Symmetry. - 2022. - V. 14. - №. 6. - P. 1265 (32 pages), (WoS) https://www.mdpi.com/2073-8994/14/6/1265.

А8. Kulichenko A.A., Kukushkin A.B. Automodel solutions for nonlocal transport by Levy walks in plasmas. - 46th EPS Conference on Plasma Phys. - Europhysics Conference Abstracts. - V. 43C. - P. 2.4013. (4 pages) - Milan, Italy. - 2019. (SCOPUS)

А9. Kulichenko A.A., Kukushkin A.B. Superdiffusive transport in plasma for a finite velocity of carriers: general solution and the problem of automodel solution. - 45th EPS Conference on Plasma Phys., Europhysics Conference Abstracts. - ECA. - V. 42A. - P. 1.4013. (4 pages) - Prague, Chech Republic. - 2018. (SCOPUS)

А10. Куличенко А.А., Кукушкин А.Б. Супердиффузионный перенос для конечной скорости переносчиков: общее решение и проблемы автомодельных решений. - IV Международная конференция «Лазерные, плазменные исследования и технологии Лаплаз-2018». - С. 298-299. - Москва, Россия. - 2018.

А11. Кукушкин А.Б., Куличенко А.А., Соколов А.В. Единый закон подобия для супердиффузионного переноса полётами и прогулками Леви. - 63-ая Всероссийская научная конференция МФТИ. - С. 74-76. - Москва, Россия. -2020.

А12. Кукушкин А.Б., Куличенко А.А., Соколов А.В. Алгоритм оптимизационной идентификации процессов супердиффузии в физике и биологии. - 62-ая Всероссийская научная конференция МФТИ. - С. 68-70. - Москва, Россия. -2019.

А13. Куличенко А.А., Кукушкин А.Б. Супердиффузионный перенос для конечной скорости переносчиков: общее решение и проблема автомодельных решений. -61-ая Всероссийская научная конференция МФТИ. - С. 68-70. - Москва, Россия. - 2018.

А14. Кукушкин А.Б., Куличенко А.А. Метод восстановления нелокальных характеристик флуктуаций плотности плазмы токамака по корреляционной рефлектометрии, XLIX Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. - С. 76. - Москва, Россия. - 2022.

А15. Куличенко А.А., Кукушкин А.Б. Алгоритм восстановления нелокальных характеристик турбулентности плазмы токамака по рефлектометрии, XLVIII

Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС. - С. 210. - Москва, Россия. - 2021.

А16. Куличенко А.А., Кукушкин А.Б. Автомодельные решения задачи переноса резонансного излучения в плазме с учетом конечности скорости света, 16-ая Курчатовская молодежная научная школа. - С. 152. - Москва, Россия. - 2019.

А17. Куличенко А.А., Кукушкин А.Б., Сдвиженский П.А. Законы подобия для переноса резонансного излучения в плазме с учетом конечности скорости света, 15-ая Курчатовская молодежная научная школа. - С. 216. - Москва, Россия. -2017.

А18. Куличенко А.А., Кукушкин А.Б. Роль полетов Леви в нелокальности переноса излучения в плазме в модели Бибермана-Холстейна, 12-ая Курчатовская молодежная научная школа. - С. 162. - Москва, Россия. - 2014.

1. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. - New York: Freeman. - 1982.

2. Shlesinger M., Zaslavsky G.M., Frisch U. (ed) Levy Flights and Related Topics in Physics. - New York: Springer. - 1995.

3. Dubkov A.A., Spagnolo B., Uchaikin V.V. Levy flight superdiffusion: an introduction // Int. J. Bifurcation Chaos. - 2008. - Vol. 18. - P. 2649.

4. Klafter J., Sokolov I.M. Anomalous diffusion spreads its wings // Physics World. -2005. - V. 18. - P. 29.

5. Eliazar I.I., Shlesinger M.F. Fractional motions // Phys. Rep. - 2013. - Vol. 527. -P. 101-129.

6. Иванов В.В. Перенос излучения и спектры небесных тел. - Москва: Наука. -1969.

7. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. - Москва: Наука. - 1988.

8. Grinin V.P., Harutyunian H., Il'in V.B., Kholtygin A.F., et al. Radiation mechanisms of astrophysical objects: classics today // Proc. of the conf. in honor of the 100th birthday of Academician V. V. Sobolev. - St. Petersburg. - Erevan: Edit Print. - 2015. - P. 435.

9. Zaburdaev V., Denisov S., Klafter J. Levy walks // Rev. Mod. Phys. - 2015. - Vol. 87. - P. 483.

10. Kukushkin A.B., Lisitsa V.S., Saveliev Yu.A. Nonlocal transport of thermal perturbations in a plasma // JETP Lett. - 1987. - Vol. 46. - P. 448.

11. Биберман Л.М. К теории диффузии резонансного излучения // ЖЭТФ. - 1947.

- Т. 17. - С. 416.

12. Holstein T. Imprisonment of Resonance Radiation in Gases // Phys. Rev. - 1947. -Vol. 72. - P. 1212.

13. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Якубов И.Т. Кинетика неравновесной низкотемпературной плазмы. - Наука: Москва. - 1982.

14. Векленко Б.А. О функции Грина уравнения диффузии резонансного излучения //ЖЭТФ. - 1959. - Т. 36. - С. 204.

15. Kogan V.I. A Survey of Phenomena in Ionized Gases // Proc. ICPIG '67. - Vienna: IAEA. - 1968. - P. 583.

16. Абрамов В.А., Коган В.И., Лисица В.С. Перенос излучения в плазме. Вопросы теории плазмы. - Москва: Энергоатомиздат (под ред. Леонтовича М.А. и Кадомцева Б.Б.). - 1982. - Вып. 12. - С. 114.

17. Коган В.И., Запирание излучения в плазме. Энциклопедия низкотемпературной плазмы (под ред. Фортова В.Е.). - Москва: Наука. - 2000.

- Т. 1. - С. 481.

18. Biberman L.M. Approximate method of describing the diffusion of resonance radiation // Dokl. Akad. Nauk SSSR. - 1948. - Vol. 49. - P. 659.

19. Kalkofen W. (ed) Methods in Radiative Transfer. - Cambridge: Cambridge University Press. - 1984.

20. Rybicki G.B. Escape Probability Methods. In Methods in Radiative Transfer (ed W. Kalkofen). - Cambridge: Cambridge University Press. - 1984. - P. 21-64.

21. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Лагарьков А.Н. Перенос излучения в ионизационном континууме // Оптика и спектроскопия. - 1965. - Т. 19. - С. 326.

22. Напартович А.П. О методе тэф в теории переноса излучения // Теплофизика высоких температур. - 1971. - Т. 9. - С. 26-29.

23. Старостин А.Н. Перенос резонансного излучения. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, под ред. В.Е. Фортова. - Москва: Наука. - 2000. - Т. 1. - С. 471.

24. Shlesinger M.F., Klafter J., Wong Y.M. Random walks with infinite spatial and temporal moments // J. Stat. Phys. - 1982. - Vol. 27. - С. 499-512.

25. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви //ЖЭТФ. - 2002. - Т. 121. - В. 2. - С. 299-307.

26. Rosenbluth M.N., Liu C.S. Cross-field energy transport by plasma waves // Phys. Fluids. - 1976. - Т. 19. - С. 815-818.

27. Kukushkin A.B. Analytic description of energy loss by a bounded inhomogeneous hot plasma due to the emission of electromagnetic waves // JETP Lett. - 1992. - Т. 56. - С. 487-491.

28. Kukushkin A.B. Heat transport by cyclotron waves in plasmas with strong magnetic field and highly reflecting walls // Proceedings of the 14th IAEA Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. - 1992. - Wuerzburg: Germany; Vienna: Austria. - 1993. - Vol. 2. - P. 35.

29. Kukushkin A.B. Generalized Escape-Probability Method in the Theory of High-Intensity Radiative Transfer in Continuous Spectra // Proceedings of the AIP Conference Proceedings, Dense Z-pinches 3rd International Conference. - 1993. -UK:London; Haines M. (ed), Knight A. (ed). - AIP Press: New York. - 1994. - Vol. 299. - P. 519.

30. Tamor S. Calculation of Energy Transport by Cyclotron Radiation in Fusion Plasmas // Nuclear Technology - Fusion. - 1983. - Vol. 3. - P. 293-303.

31. Tamor S. Synchrotron radiation loss from hot plasma // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. -1988. - Vol. A271. - P. 37-40.

32. Tamor S. A Simple Fast Routine for Computation of Energy Transport by Synchrotron Radiation in Tokamaks and Similar Geometries // Science Applications, Inc: La Jolla, CA, USA. Lab. for Applied Plasma Studies Report. - 1981.

33. Abramov Y.Y., Napartovich A.P. Transfer of resonance line radiation from a point source in the half-space // Astrophysics. - 1969. - Vol. 5. - N. 2. - P. 187-202.

34. Abramov Y.Y., Napartovich, A.P. The excitation wave caused by a light flare // Astrophysics. - 1968. - Vol. 4. - P. 195-206.

35. Levinson I.B. Resonant-radiation transfer and nonequilibrium phonons in ruby // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1978. - Vol. 75. - P. 234-248.

36. Subashiev A.V., Semyonov O., Chen Z., Luryi S. Temperature controlled Levy flights of minority carriers in photoexcited bulk n-InP // Phys. Lett. A. - 2014. -Vol. 378. - P. 266-269.

37. Luryi S., Semyonov O., Subashiev A.V., Chen Z. Direct observation of Levy flights of holes in bulk n-doped InP // Phys. Rev. B. - 2012. - Vol. 86. - P. 201201(R).

38. Mihalas D. Stellar Atmospheres. - Freeman: San Francisco, CA, USA. - 1970. - P. 399.

39. Barthelemy P., Bertolotti J., Wiersma D.S. A Levy flight for light // Nature. - 2008.

- Vol. 453. - P. 495-498.

40. Mercadier N., Chevrollier M., Guerin W., Kaiser R. Microscopic characterization of Levy flights of light in atomic vapors // Phys. Rev. A. - 2013. - Vol. 87. - P. 063837.

41. Pereira E., Martinho J., Berberan-Santos M. Photon Trajectories in Incoherent Atomic Radiation Trapping as Levy Flights // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 93. -P. 120201.

42. Uchaikin V.V. Self-similar anomalous diffusion and Levy-stable laws // Phys.-Usp.

- 2003. - Vol. 46. - P. 821-849.

43. Chukbar K.V. Stochastic transport and fractional derivatives // JETP. - 1995. - Vol. 81. - P. 1025.

44. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A. Automodel solutions for Levy flight-based transport on a uniform background // J. Phys. A Math. Theor. - 2016. - Vol. 49. -P. 255002.

45. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A. Accuracy analysis of automodel solutions for Levy flight-based transport: From resonance radiative transfer to a simple general model // J. Phys. Conf. Series. - 2017. - Vol. 941. - P. 012050.

46. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A. Scaling Laws for Non-Stationary BibermanHolstein Radiative Transfer // In Proceedings of the 2014 41st EPS Conference on Plasma Physics. - Berlin: Germany. - 2014. - European Conference Abstracts. -Vol. 38F. - P. P4.133.

47. Kukushkin A.B., Sdvizhenskii P.A., Voloshinov V.V., Tarasov A.S. Scaling laws of Biberman-Holstein equation Green function and implications for superdiffusion transport algorithms // Int. Rev. Atom. Mol. Phys. - 2015. - Vol. 6. - P. 31-41.

48. Kukushkin A.B., Neverov V.S., Sdvizhenskii P.A., Voloshinov V.V. Automodel Solutions of Biberman-Holstein Equation for Stark Broadening of Spectral Lines // Atoms. - 2018. - Vol. 6. - P. 43.

49. Kukushkin A.B., Neverov V.S., Sdvizhenskii P.A., Voloshinov V.V. Numerical Analysis of Automodel Solutions for Superdiffusive Transport // Int. J. Open Inf. Technol. - 2018. - Vol. 6. - P. 38-42.

50. Сдвиженский П.А., Разработка методов решения задач нелокального переноса излучения и спектроскопической диагностики плазм: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.08 / Сдвиженский Петр Александрович. - М., 2018. - 119 с.

51. Frish S.E. Optical Spectra of Atoms. - Fizmatgiz: Moscow-Leningrad. - 1963.

52. Griem H.R. Principles of Plasma Spectroscopy. - Cambridge University Press: Cambridge. - 1997.

53. Sobel'man I.I. Introduction to the Theory of Atomic Spectra. - Pergamon Press: Oxford. - 1972.

54. Kogan V.I., Lisitsa V.S., Sholin G.V. Broadening of spectral lines in plasmas // In Reviews of Plasma Physics. - Kadomtsev B.B. (ed.). - Consultants Bureau: New York. - 1987. - Vol. 13. - P. 261-334.

55. Bureyeva L.A., Lisitsa V.S. A Perturbed Atom. - CRC Press: Boca Raton: FL, USA. - 2000.

56. Oks E. Diagnostics Of Laboratory And Astrophysical Plasmas Using Spectral Lines Of One-, Two-, and Three-Electron. Systems. - World Scientific: Hackensack, NJ, USA. - 2017.

57. Demura A.V. Beyond the Linear Stark Effect: A Retrospective. // Atoms. - 2018. -Vol. 6. - P. 33.

58. Shlesinger M.F., West B.J., Klafter J. Levy Dynamics of Enhanced Diffusion: Application to Turbulence // Phys. Rev. Lett. - 1987. - Vol. 58. - P. 1100.

59. Richardson L. F. Atmospheric Diffusion shown on Distance-Neighbour Graph // Proc. Roy. Soc. London, Ser. a. - 1926. - Vol. 110. - P. 709.

60. Kolmogorov A. N. The Local Structure of Turbulence in Incompressible Viscous Fluid for Very Large Reynolds Numbers // Dokl. Acad. Sci. SSSR. - 1941. - Vol. 30. - P. 301.

61. Korolev V.Yu., Skvortsova N.N. Stochastic Models of Structural Plasma Turbulence. - Boston: Leiden. - 2006. - 409 pages.

62. Gusakov E., Irzak M., Popov A. Radial correlation reflectometry at oblique probing wave incidence (linear scatteringtheory predictions) // Plasma Phys. Controlled Fusion. - 2014. - Vol. 56. - P. 025009.

63. Piliya A.D., Popov A.Yu. On application of the reciprocity theorem to calculation of a microwave radiation signal in inhomogeneous hot magnetized plasmas // Plasma Phys. Controlled Fusion. - 2002. - Vol. 44. - P. 467.

64. Urazbaev A.O., Vershkov V.A., Soldatov S.V. et al. Investigation of the Possibility of Using Correlation Reflectometry to Determine the Parameters of Small-Scale Turbulence in the Core of a Tokamak Plasma // Plasma Physics Reports. - 2006. -Vol. 32. - № 6. - P. 443-460.

65. Vershkov V.A., Soldatov S.V., Shelukhin D.A. Dependence of core turbulence on the discharge parameters on T-10 and its correlation with transport // Proc. 16th Fusion Energy Conf. - Montreal:Canada. - Vienna:IAEA. - 1996. - Vol. 1. - P. 519.

66. Vershkov V.A., Soldatov S.V., Dreval V.V. A three wave heterodyne correlation reflectometer developed in the T-10 tokamak // Rev. Sci. Instrum. - 1999. - Vol. 70. - P. 1700.

67. Osipenko M.B. et al. Transport and turbulence studies in the T-10 tokamak //Nucl. Fusion. - 2003. - Vol. 43. - P. 1641.

68. Melnikov A. Evolution of Heavy Ion Beam Probing from the Origins to Study of Symmetric Structures in Fusion Plasmas // Symmetry. - 2021. - Vol. 13. - P. 1367.

69. Vershkov V.A., Buldakov M.A., Subbotin G.F., Shelukhin D.A. et al. 3D structure of density fluctuations in the T-10 tokamak and new approach for current profile estimation // Nucl. Fusion. - 2019. - Vol. 59. - P. 066021.

70. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - Москва: Физматлит. - 2005. - C. 656.

71. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Эффекты «памяти» в стохастическом транспорте // Письма вЖЭТФ. - 2003. - Т. 77. - N.10. - С. 654-658.

72. Morchenko E., Bychkov K., Livshits M. Continuum and line emission of flares on red dwarf stars // Astrophys. Space Sci. - 2015. - Vol. 357. - P. 119.

73. Eason E.L.E., Giampapa M.S., Radick R.R., Worden S.P., Hege E.K. Spectroscopic and photometric observations of a five-magnitude flare event on UV Ceti // Astron. j. - 1992. - Vol. 104. - P. 1161.

74. Ivanov V.V. Ve Law: Centennial of the First Exact Result of Classical Radiative Transfer Theory. - (Kokhanovsky A., Ed). Springer Series in Light Scattering. Volume 6: Radiative Transfer, Light Scattering, and Remote Sensing. Springer: Cham, Switzerland. - 2021.

75. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. - Москва: Мир. - 1971. - C.438.

76. Кукушкин А.Б. Некогерентное рассеяние света конечным объемом релятивистской плазмы // Физика плазмы. - 1981. - Вып. 1. - Т. 7. - С. 110118.

77. Гусаков Е.З., Попов А.Ю. Нелинейная теория радиальной корреляционной рефлектометрии // XXIX Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС. - 2002. - Москва: РАН.

78. Kramer-Flecken A., Dreval V., Soldatov S., Rogister A., Vershkov V. et al. Turbulence studies with means of reflectometry at TEXTOR // Nucl. Fusion. -2004. - Vol. 44. - P. 1143-1157.

79. Lechte C., Conway G.D., Gorler T., Troster-Schmid C. et al. X mode Doppler Reflectometry k-spectral measurements in ASDEX Upgrade: Experiments and simulations // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2017. - Vol. 59. - P. 075006.

80. Schirmer J., Conway G.D., Holzhauer E., Suttrop W., Zohm H. and the ASDEX Upgrade Team. Radial correlation length measurements on ASDEX Upgrade using correlation Doppler reflectometry // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2007. - Vol. 49. - P. 1019.