Модели калибровочных полей с абелевой и неабелевыми группами симметрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сысоев, Павел Николаевич

• Сысоев, Павел Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сысоев, Павел Николаевич

Содержание

Глава I. Комптон - эффект на бесспиновых частицах со

структурой

§ 1. S - матричный элемент

§2. Низкоэнергетические теоремы

§З.Учёт структуры мишени, описываемой уравнением

Шрёдингера

Глава II. Рассеяние у - квантов на мишени, находящейся в

вырожденном состоянии

§1. Изменение вида амплитуды Т

§2. Дифференцируемость инвариантных амплитуд

Глава III. Конфигурации классических полей Янга-Миллса с

симплектическими группами симметрии, обладающие

топологическим зарядом К= 4

§ 1. Общая структура АХДМ - конструкции

§2. Определение матриц В и q

§3. Построение (4к+3) параметрического множества матриц В и q

для группы SU(2), не входящего в анзац т' Хоофта

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели калибровочных полей с абелевой и неабелевыми группами симметрии»

Введение

В последние 35 лет теория калибровочных полей получила значительное развитие в связи с построением Стандартной Модели, призванной объяснить основные закономерности электрослабого и сильного взаимодействий элементарных частиц.

Открытие и детальное экспериментальное исследование низкоэнергетического комптон - эффекта (рассеяния фотонов -квантов простейшего электромагнитного калибровочного поля с абелевой группой симметрии) поставило перед теоретической физикой элементарных частиц задачу построения соответствующих моделей.

Неабелевые калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом в 1954 году, получили сильнейший стимул к развитию с появлением в 1974 году квантовой хромодинамики (КХД).

За доказательство перенормируемости квантовой теории калибровочных полей с нулевой массой были присуждены две Нобелевские премии (т' Хоофт и Вельтман; Абдус Салам и другие).

В значительной степени прогресс в изучении калибровочных полей был достигнут при открытии инстантонов - топологически устойчивых конфигураций неабелевых полей в 4-х мерном евклидовом пространстве с целочисленным топологическим зарядом и конечным вкладом в функционал действия, которое было сделано A.A. Белавиным, А.М.Поляковым, A.C. Шварцем и Н.С. Тюпкиным в 1976 году (BPST).

Изучение низкоэнергетического комптон - эффекта на электрически нейтральном атоме водорода, состоящем из двух заряжённых частиц - электрона и протона - положило начало построению моделей, рассмотренных в диссертации.

Основное состояние атома водорода не вырождено, но вырождение имеет место, согласно квантовой механике, для всех возбуждённых состояний. В предлагаемой диссертационной работе впервые проведено детальное исследование эффектов, связанных с вырождением.

Мультиинстантонные конфигурации калибровочных полей с неабелевыми группами симметрии были описаны вскоре после пионерской ВР8Т - работы советско - английской группой выдающихся математиков АтМ, Дринфельдом, Хитчином и Маниным в работе (АХДМ).

Причём оказалось, то общая формула АХДМ допускает аналитическое построение решений лишь для значений топологического заряда К в ситуации общего положения равным 2 и 3. В представляемой работе впервые проведена эффективизация формул АХДМ для К=4. Оказалось также, что подобная эффективизация не может быть проведена для К>5.

Основные закономерности задачи вычисления эффектов, возникающих при учёте диаграмм Фейнмана с двумя свободными фотонными концами - модели низкоэнергетического комптон -эффекта при рассеянии у - квантов на заряженных точечных частицах рассмотрены в первой главе диссертации.

Построено общее выражение для £ - матричного элемента для комптоновского рассеяния на бесспиновой частице, которое учитывает Лоренцеву и калибровочную инвариантность.

Динамика взаимодействия и, следовательно, структура частицы описывается двумя инвариантными амплитудами А и В.

Общее выражение значительно упрощается при использовании кулоновской калибровки и лабораторной системы координат. В низшем порядке теории возмущений сформулированы

низкоэнергетические теоремы, имеющие место при явном или неявном предположении о невырожденности состояния частицы.

С точностью до со (со - энергия начального фотона) амплитуда Г может быть представлена в виде:

Т = ё-£'(асо2-2е2) + (ё х к)(е'х к') ¡3, (1.1)

где

заряд мишени,

£ и £ - векторы поляризации начального и конечного фотонов, к и к' - импульсы фотонов,

а и ¡3 - ассоциированы с электрической и магнитной поляризуемостями.

Инвариантные амплитуды А я В, как показано в главе 1, разлагаются в ряды:

А{х\^АВот+^А{Кп)-х1к^п, (1.2а)

к,п> О

в{х2^) = вв0гп+ £ В[Кп)-х1к -л (1.2Ъ)

к,п>а

где

X = (я - (о) / 4, - переменные Мандельстама.

Коэффициенты А{Кп) и В{к'п) называются обобщёнными поляризуемостями частицы.

Отдельно выделены борновские члены АВогп и ВВогп, полученные в предположении о бесструктурности частицы (тогда все структурные константы равны нулю).

Особенностью формы (1.1) является то обстоятельство, что она справедлива как для (квантовой и классической) нерелятивистской

системы с потенциальным взаимодействием между составными частями, так и для скалярной частицы в квантовом описании, где структурные константы возникают за счёт виртуального облака.

начальный фотон \

Рис.1. Диаграмма Фейнмана для комптон - эффекта на составной частице.

Вторая глава диссертации посвящена изучению модели низкоэнергетического комптон - эффекта на составной мишени, состояния которой вырождены [1].

Доказана теорема об асимптотике низкоэнергетического \у

комптоновского рассеяния в вырожденном случае [2].

/1

Д. ' т-\ О и

В качестве простейшей модели мишени, имеющеи внутреннюю

т

структуру, рассмотрена система двух скалярных частиц с массами —

и зарядами ^ и д2> взаимодействующих посредством центрального потенциала.

Считаем, что модель нерелятивистская, и масса всей системы равна т. Электромагнитный потенциал (вторично квантованное поле) вводится в уравнение Шрёдингера минимальным образом. С

точностью до д2 амплитуда Т комптоновского рассеяния имеет

форму:

Т(к,к') = - 4(^')(г|7|г) + 2

/

т

М?

п){п

М?

Еп- - со + (2т)"1 со1 Еп - Е( + со'+ (2т)~1о)1

+ ■

П)(П

щ

1 ^л

(1.3)

где

кик'- трехмерные импульсы начального и конечного фотонов, а и /3= 1,2,3, в матричных элементах подразумевается интегрирование по относительной координате;

Е - сумма (интеграл) по всем состояниям спектра; |г) - волновая функция начального и конечного состояния мишени.

Здесь£б' - вектор поляризации начального и конечного фотонов,

/

функции 7, М, N определяются следующим образом.

Пусть

Тогда

где

ра=-гд/дга

и

V ^ У

Г (г) = д{е(к - к') + (к' - к)

М?(г) = А++(к')ка+2А_+{к')Ра,

М2 {г) = 2А__{к)р

>

Щ(г) = 2А_+(к')ра,

А±+(гс) = д1£(-к)±д2£(к), А±_(к) = д1е(к)±д2е(-к),

здесь

дх и д2 - заряды компонент мишени,

Еп и Е1 - энергии основного и промежуточного состояний,

со = к0, со' = к'().

0 /

В случае вырождения начального состояния доказано, что с точностью до членов порядка О(о)2^ амплитуда комптоновского рассеяния равна:

Т = (££')Т1 + (£хк)(ё'хк')Т2, (1.4)

где

Тх = со2 (а- ссо8<р)-2е2,

Т2=Ь + / сов^.

<р - угол рассеяния,

а, Ь, с,/ - структурные константы.

Константы си/, обусловливающие принципиальное отличие случая мишени с вырождением от невырожденной мишени, обязаны суммированию в (1.3) по состояниям с энергией Еп = Е1, причём с отлична от нуля и в нерелятивистском случае для потенциалов типа кулоновского, где энергетический уровень Е1 не имеет определённой чётности. А для потенциалов типа осцилляторного, где уровень Е1 всегда имеет определённую чётность, при нерелятивистском рассмотрении (1.4) не отличается от (1.3).

Рассмотрен также вопрос о дифференцируемости инвариантных амплитуд рассеяния. В кулоновской калибровке и лабораторной системе координат амплитуда Т может быть выражена через инвариантные амплитуды А и В:

Т = (её>)

А + —

V

+ (ё хк)(£'хк')(а +—1 (1.5)

V 8)

Амплитуда В имеет вид

B(x\t) = -Tx

-J

w

-l

-T2m

-2

(1.6)

Выражение для амплитуды А имеет аналогичную структуру.

После вычитания борновского члена В

Born .

ВВот=-2е2

<V2

X

-1

получается простое выражение

В-В

Вот

c-f

~Х

Ч^У

+ т (с-а — Ъ — f)

0V\

д

(1.6а)

У4/

Это выражение не дифференцируемо в нуле по %2 и t, что и ' делает неприменимыми известные низкоэнергетические теоремы. Это обстоятельство важно при рассмотрении рассеяния у - квантов на атомах водорода и моделей физики элементарных частиц, в которых мезоны и мезонные резонансы являются радиально возбуждёнными и, | возможно, вырожденными состояниями.

В третьей главе диссертации рассматривается проблема эффективизации формул АХДМ для инстантонных конфигураций для ситуации общего положения и топологического заряда К = 4.

Показано, что вопросы эффективизации в этом случае сводятся к исследованию чисто алгебраической нелинейной проблемы.

Все решения уравнений дуальности для произвольных компактных калибровочных групп, не имеющие ( с точностью до калибровочных преобразований) сингулярных особенностей в 4-х мерном евклидовом пространстве Л4 допускают представление в виде:

AM(x) = N+(x)8MN(x),

N+N = I,

(1.7)

где

/- единичная матрица,

N - матрица, размеры которой определяются калибровочной группой и топологическим зарядом.

Для симплектических групп Sp(n) (в частности, для SU(2) = ) структура этой матрицы наиболее проста:

N - матрица кватернионов размером (п + К)хп, где К -топологический заряд, являющаяся решением линейного уравнения

N+M(x) = 0 (1.8)

где М - матрица кватернионов [п + К)хК, линейно зависящая от кватерниона х = х0 - iáx (а - матрица Паули),

М = В-Сх. (1.9)

Для любых значений х матрица М должна удовлетворять нелинейному соотношению:

М+М = г(х), (1.10)

где г(х) - матрица вещественных чисел размером К х К, обладающая

обратной всюду в R4, за исключением конечного числа точек [ха].

Инвариантность соотношений (1.8), (1.9) и потенциала А [х)

(1.7) относительно линейных преобразований позволяет привести М к канонической форме:

Су = 0, i<n,

cij=si-nj> i>n> (1-11)

ву = BJ+n,i-m i>ni - 11 -

где 8 - символ Кронекера.

Показано, что поле А (х), соответствующее произвольной

мультиинстантонной конфигурации, может быть построено по матрице В посредством стандартных операций линейной алгебры.

Для приложений в квантовой теории (вычисления операторов скалярных и фермионных полей в присутствии инстантонов, детерминантов линейных операторов, возникающих при оценках функциональных интегралов) необходимо найти решения системы нелинейных алгебраических уравнений, позволяющие определить явную зависимость Ы(Х), А^ (х) от параметров конфигураций к

инстантонов.

Показано, что посредством обращения матриц кватернионов можно построить решения матричного уравнения (1.8), зависящее от (4К + 3) параметров, из которых к являются параметрами групповой

ориентации инстантонов.

Доказано, что оценка квантовых эффектов точных К -инстантонных конфигураций не может быть найдена посредством решения нелинейных алгебраических уравнений 3 и 4 порядка и требует привлечения численных методов [3].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сысоев, Павел Николаевич

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в данной работе:

1. Получена компактная формула, описывающая низкоэнергетический комптон - эффект на мишени со структурой в случае вырождения её состояний.

2. Найдено, что инвариантные амплитуды низкоэнергетического рассеяния фотонов на составных частицах не являются дифференцируемыми функциями переменной Мандельстама

3. Впервые доказано, что эффективизация формул АХДМ для мультиинстантонных конфигураций с топологическим зарядом к=4 может быть проведена посредством нахождения решений алгебраических уравнений 3 и 4 порядка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сысоев, Павел Николаевич, 2012 год

Литература

1. Иноземцева Н.Г. Сысоев П.Н. Иноземцев В.И. О комптоновском рассеивании на мишени, находящейся в вырожденном состоянии. Вестник Московского университета. Серия 3 Физика. Астрономия. 2011. №3 стр.115-117.

2. Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н. Теорема об асимптотике низкоэнергетического комптоновского рассеяния в вырожденном случае. Математические заметки, 89:1 (2011) стр. 131-133.

3. Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н. О конфигурациях классических полей Янга-Миллса, обладающих топологическим зарядом К= 4. Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2012, №1, стр. 65-69.

4. S. Mandelstam. Phys.Rev.,112,1344(1958)

5. M.Gell-Mann, M.L. Goldberg, W.E. Thirring, Phys. Rev.,95, 1612(1954).

6. M.Gell-Mann, M.L. Goldberg, Phys. Rev.,96, 1433 (1954)

7. W.A. Bardeen, Tung Wu-Ki, Phys. Rev.,173,1423(1968).

8. S.B.Gerasimov, L.D. Soloviev. Nucl. Phys., 74, 589(1965).

9. F.E. Low, Phys. Rev.,96, 1428(1954).

lO.I.Guiasu, E.E. Radescu, Ann. Phys. (N.Y.), 120, 145(1979).

11.R.F. Strening, E.Loh,. Deutch, Phys.Rev. Letters, 10, 536(1963).

12.A.Browman, F.Liu, C.Schaerf, Phys. Rev.Letters,12, 183 (1964).

13.J.C. Bizot, J.M.Buon, J.Lefrancois, P.J.orba. Phys.Rev. Letters, 11, 480, (1963).

14.Y.N.Kim. Nuovo cimento, 22, 885(1961).

15.C.F. Clement. Phys. Rev., 128, 2724 (1963).

16.C.K.Iddings. Phys.Rev., 138, 446(1965).

17.Ю.Н. Тюхтяев P.H. Фаустов. Ядерная физика,2, 882(1965). 18.S.Fenster, R.Koberle, Y.Nambu. Phys. Letters, 19, 513 (1965).

19.W.Thirring. Philos.Mag., 41, 1193(1950).

20.F.Low. Phys.Rev., 96, 1428(1954).

21.A.Klein. Phys. Rev, 99, 998 (1955).

22.Л.Лапидус, Чжоу Гуан-чжао. ЖЭТФ, 39, 1286(1960).

23.Л.Лапидус. ЖЭТФ, 43, 1358(1962).

24.A.M. Балдин. Nucl.Phys, 18, 310 (1960).

25.В.А. Петрунькин. ЖЭТФ, 40, 1148(1961).

26.V.S. Barashenkov, H.J.Kaiser, A.A.Ogreba. Phys. Letters, 2, 33(1962).

27.Л.Д. Соловьёв. Препринт ОИЯИ, Р-1692 (1964).

28.V.A. Petrunkin. Nucl. Phys, 55, 197 (1964).

29.L.Brown, R.Feynman. Phys. Rev, 85, 231 (1951).

30.В. Гайтлер. Квантовая теория возмущений. ИЛ, 162, (1956).

31.B.Malenka, V.Kruse, N.Ransey. Phys. Rev, 91, 1165(1953).

32.A.M. Балдин. ЖЭТФ, 37, 202 (1959).

33.K.A. Adler, A.Bohr, T.Huns, B.Mottelson. Rev. Mod. Phys., 28, 432(1956).

34.F.Low. Phys. Rev., 97, 1392(1955).

35.L.N. Copper, E.M. Henley. Phys. Rev., 92, 801 (1953).

36.N.F. Ramsey, B.J. Malenka, V.Kruse, Phys. Rev., 91, 1162 (1953).

37.Von E. Nuding. Z.Naturforsch., 12a, 187(1957).

38.A.S. Reiner, L. Wilets, Nucl. Phys., 36, 457 (1962).

39.S. Triebasser, E. Dayhoff, W. Lamb. Phys. Rev., 89, 98 (1953).

40.H.M.Fried, D.R.Yennie, Phys. Rev. Letters.

41.A.J. Layzer. Phys. Rev., Letters, 4, 580 (1960).

42.C.N. Yang and R. Mills, Phys. Rev., 96, 191 (1954).

43.E. Witten, Phys. Rev. Letters, 38, 121(1977).

44.E. Witten, Nucl. Phys., B142, 285(1978).

45.E. Witten, Nucl. Phys., B149, 285(1979).

46.E. Witten, Harvard Preprint HUTP-79/A078.

47.T.T. Wu, C.N. Yang, Phys. Rev. D12, 3845 (1975).

48.A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.S. Schwarz and Yu.S. Tyupkin, Phys. Letters, 59B, 85(1975).

49.G.t'Hooft, Phys. Rev.Letters 37, 8 (1976).

50.G.t'Hooft, Phys. Rev. D14, 3432 (1976).

51.G.t'Hooft, Nucl. Phys. B138, 1 (1978).

52.G.t'Hooft, in "The Whys of Subnuclear Pyhsics", Ed. A. Zichichi, Plenum Press, New York.

53.A.S. Schwarz, Phys. Letters, 67B, 172(1977).

54.M.F. Atiyah, N.J. Hitchin, V.G. Drinfeld and Yu. I. Manin. Phys. Letters., 65A, 185, 1978.

55.E Corrigan. Phys. Rep., 49, 95 (1979).

56.N. Christ, E.J. Weinberg, N.K. Stanton, Phys. Rev., D18, 2013 (1978).

57.L.S. Brown, R.D. Carlitz, D.B. Creamer and C. Lee, Phys. Rev., D17, 1583 (1978).

58.B.Berg, M. Lusher, Nucl. Phys., B160, 281, (1979).

59.A.A. Belavin, V.A. Fateev, A.S. Schwarz and Yu.S. Tyupkin, Phys. Letters, 83B, 317(1979).

60.R.Jackiw, C. Nohl and C. Rebbi, Phys. Rev., D15, 1642(1977).

61.R.Rajaraman, Phys. Rev., D15, 2866(1977).

62.R.Rajaraman, Phys. Rev. Letters. 42, 200 (1979).

63.R.Rajaraman, Solitons and Instantons, North-Holland, 1982.