Модели и методы решения информационно-связных задач многокритериальной оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Козинов Евгений Александрович

• Козинов Евгений Александрович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Козинов Евгений Александрович

введение

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОБЛЕМ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

1. 1........Математическая постановка задачи многокритериальной оптимизации

1.2 Примеры задач принятия оптимальных решений

1.3 Математическая постановка задачи принятия оптимальных решенийЗО

1.4 Выводы

2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

2.1 Методы решения задач многокритериальной оптимизации

2.2 Основы предлагаемого подхода

2.3 Обоснование применимости многомерного алгоритма многокритериального глобального поиска

2.4 Выводы

3 ЭФФЕКТИВНЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНО-ТРУДОЕМКИХ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

3.1 .. Параллельные вычисления для вычислительных систем с общей памятью

3.2 Параллельные вычисления для вычислительных систем с распределенной памятью

3.3 Параллельные вычисления для высокопроизводительных вычислительных систем

3.4 Способы хранения поисковой информации

3.5 Выводы

4 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

4.1 Программная реализация математического и программного обеспечения в виде библиотеки Globalizer MCO

4.2 Учебно-исследовательская система Globalizer Lab MCO

4.3 Дополнительные возможности для построения улучшенных оценок эффективных решений

4.4 Выводы

5 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ АПРОБАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

5. 1..........Методика оценки эффективности построения аппроксимации области

Парето

5.2 Сравнение эффективности различных методов решения задач многокритериальной оптимизации

5.3 Оценка повышения эффективности решения задач МКО за счет повторного использования поисковой информации

5.4 Оценка эффективности параллельных вычислений при решении задач МКО

5.5 Вычислительные эксперименты по решению задач МКО при наличии нелинейных ограничений

5.6 Построение примера проблемно-ориентированной системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и методы решения информационно-связных задач многокритериальной оптимизации»

Введение

Актуальность темы исследования. Задачи поиска решений возникают перед человеком практически в любой сфере деятельности. Возникающие при этом задачи достаточно редко могут быть решены на основе только интуиции и накопленного опыта исследователя в силу их значительной сложности. Высокая сложность задач обусловлена такими факторами, как большое количество вариантов, нуждающихся в оценке, противоречивость требований, а также изменение самого представления об оптимальности выбранного решения в процессе исследований.

Задачи принятия оптимальных решений во многих случаях могут быть сведены к задачам многокритериальной оптимизации (МКО). Задачи МКО являются областью активных научных исследований и широко встречаются во многих приложениях. Примеры приложений можно найти в работах Arora J.S., Borisenko A., Collette Y., Ehrgott M., Eichfelder G., Gorlatch S., Greco S., Jahn J., Köksalan M.M., Marler T., Miettinen K., Siarry P. и обзорах научных и практических результатов в публикациях Завадскас Э.К., Figueira J., Hillermeier C., Mardani A., Marler R.T., Siwale I. Развитие моделей, методов и программных средств решения задач МКО является областью исследования многих ученых, таких как Батищев Д.И., Гергель В.П., Гришагин В.А., Евтушенко Ю.Г., Жилинскас А.Г., Квасов Д.Е., Коган Д.И., Ларичев О.И., Ногин В.Д., Пинтер Я., Подиновский В.В., Посыпкин М.А., Сергеев Я.Д., Стронгин Р.Г., Туй Х., Bohanec M., Chiandussi G., Ferrero S., Floudas C.A., Locatelli M., Meyer P., Pardalos M.P., Schoen F., Siraj S., Weistroffer H.R. и многих других.

Задачи МКО относятся к числу наиболее сложных задач оптимизации.

Частные критерии задач МКО являются, как правило, противоречивыми. Как

следствие, решение задач МКО сводится к нахождению некоторых

компромиссных (эффективных) вариантов, которые не могут быть улучшены

одновременно по всем частным критериям. В ходе вычислений может

потребоваться поиск сразу нескольких различных эффективных решений - в

З

предельном случае всего множества недоминируемых вариантов (области Парето). Частные критерии могут иметь сложный многоэкстремальный вид. Время вычисления значений критериев может оказаться большим. В таких условиях нахождение даже одного компромиссного варианта требует значительных вычислительных затрат. Необходимость нахождения нескольких эффективных вариантов существенно увеличивает время необходимое для решения задач МКО.

Важно отметить, что сведение исходной постановки задачи принятия оптимальных решений к задаче МКО сужает исходную постановку задачи и дает лишь один из возможных взглядов на решаемую проблему. В процессе принятия оптимальных решений, лицо принимающее решения (ЛПР), на начальном шаге выделяет характеристики описывающие объект исследования. Может быть заранее не известно, какие из характеристик обладают большей значимостью для проектируемого объекта. Выбирая из выделенных характеристик критерии и ограничения можно получать различные постановки задач МКО. В процессе решения задач МКО исследователь получает дополнительные знания об объекте исследований. На основе полученных знаний ЛПР, может уточнять требования к оптимальности, что приводит к необходимости изменения постановок задач МКО путем смены критериев и ограничений. Подобные обстоятельства дополнительно увеличивают время необходимое для решения задач принятия оптимальных решений. Вместе с тем отметим, что возникающие задачи МКО являются информационно-связными - вычисленные значения характеристик в одних задачах МКО могут быть использованы для сокращения объема вычислений необходимого для решения других задач МКО.

Нахождение даже одного эффективного варианта требует значительных вычислений. Постановки задач МКО могут меняться в процессе вычислений. Как следствие, для поддержки процесса принятия оптимальных решений при удовлетворительных временных затратах необходима разработка моделей и параллельных методов учитывающих информационные связи между

возникающими задачами МКО, позволяющих использовать суперкомпьютерные вычислительные системы.

Отмеченные выше проблемы, возникающие при решении задач принятия оптимальных решений, определяют актуальность тематики диссертационной работы.

Объект исследования. Объектом исследования в работе является множество информационно-связных задач многокритериальной оптимизации, а также сам процесс поиска оптимальных вариантов в задачах принятия решений.

Предмет исследования. Предметом исследования являются модели и методы, позволяющие повысить эффективность процесса поиска решения множества информационно-связных задач многокритериальной оптимизации.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка обобщенной модели, методов и проблемно-ориентированных систем, повышающих эффективность процесса поиска оптимальных вариантов в задачах принятия решений.

Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач:

- Формальное описание процесса и построение математической модели решения задач принятия оптимальных решений, основанных на решении множества информационно-связных задач многокритериальной оптимизации.

- Модернизация известного метода (метода Стронгина Р.Г. [14]) в рамках информационно-статистического подхода к глобальному поиску, направленная на решение множества информационно-связных задач многокритериальной и глобальной оптимизации.

- Разработка математического и программного обеспечения в виде библиотеки, позволяющей решать задачи принятия оптимальных решений, а так же анализировать системные связи и закономерности в решаемых задачах, с учетом возможности использования всех доступных ресурсов высокопроизводительных вычислительных систем.

- Проведение вычислительных экспериментов для апробации разработанной библиотеки на решении тестовых задач.

- Разработка примеров проблемно-ориентированных систем на основе реализованной библиотеки.

Методы исследований. Работа основана на математических моделях и

методах теории системного анализа, обработки и систематизации информации, теории и методах принятия решений, методах математического программирования. Разработанный в рамках диссертации новый метод решения задач многокритериальной оптимизации основан на информационно-статистического подходе к глобальному поиску. При разработке метода использовался математический аппарат теории анализа алгоритмов и вычислительной математики.

Соответствие паспорту специальности. Метод решения задач принятия оптимальных решений разработан на основе исследования системных связей в множестве информационно-связных задач многокритериальной оптимизации с целью повышения эффективности процесса поиска оптимальных решений, что соответствует содержанию специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации», пункту 4 «Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», пункту 5 «Разработка специального математического и алгоритмического обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», пункту 8 «Теоретико-множественный и теоретико-информационный анализ сложных систем».

Научная новизна работы состоит в следующем:

- Предложена обобщенная математическая модель описания системных связей множества задач многокритериальной оптимизации, которая в отличии от известных моделей предоставляет возможность совместного и параллельного решения множества задач, изменения в процессе решения состава задач, что в совокупности обеспечивает повышение эффективности процесса поиска оптимальных вариантов в задачах принятия решений (соответствует областям исследований: 8 паспорта специальности).

- Разработан метод повторного использования поисковой информации, получаемой в процессе решения множества задач многокритериальной оптимизации, который в отличие от известных методов эксплуатирует информацию полученную в результате испытаний при смене и одновременном решении нескольких информационно-связных задач глобальной оптимизации. Разработанный метод допускает параллельную реализацию как на вычислительных системах с общей памятью, так и на системах с распределенной памятью (соответствует областям исследований: 4, 5 паспорта специальности).

- Получены теоретические условия сокращения объема выполняемых вычислений в виде следствий при многократном решении задач глобальной оптимизации за счет повторного использования поисковой информации (соответствует областям исследований: 8 паспорта специальности).

Практическая значимость и ценность работы заключается в разработке программных средств, реализующих предложенные в рамках диссертационного исследования подходы к решению задач поиска оптимальных вариантов. Программная реализация предложенного подхода включает:

- Библиотеку Globalizer MCO. Библиотека позволяет решать сложные задачи многокритериальной оптимизации, критерии в которых заданы многоэкстремальными функциями удовлетворяющими условию Липщица, а также разрабатывать проблемно-ориентированные системы принятия решений.

- Учебно-исследовательскую систему Globalizer Lab MCO. Система позволяет сформировать одномерную задачу принятия решений, выбрать критерии и ограничения, задать параметры алгоритмов оптимизации и выполнить вычислительный эксперимент.

Разработанное программное обеспечение может использоваться при решении сложных задач оптимизации, а также применяться в учебном процессе, при выполнении научных исследований и для решения прикладных задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Обобщенная математическая модель, описывающая системные связи в множестве информационно-связных задач многокритериальной оптимизации, предоставляющая возможность совместного и параллельного их решения.

2. Метод, а также последовательные и параллельные реализации алгоритма повторного использования поисковой информации, получаемой в процессе решения множества информационно-связных задач МКО, позволяющие повысить эффективность процесса поиска оптимальных вариантов.

3. Разработанное математическое программное обеспечение в виде библиотеки, допускающее построение проблемно-ориентированных систем применимых для решения практических задач.

Достоверность научных результатов и выводов. Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов обеспечены математическими доказательствами, представленными в виде выведенных следствий из доказанных в литературе теорем. Эффективность и достоверность разработанных в рамках диссертационного исследования моделей, методов, математического и программного обеспечения показана благодаря выполненной репрезентативной серии вычислительных экспериментов, в которой оценивалась эффективность разработанного подхода, а также выполнялось сравнение с другими известными методами решения задач многокритериальной оптимизации. Также проводилась практическая апробация разработанного метода при решении прикладной задачи поиска управления необходимого в системе виброизоляции в рамках разработанного примера проблемно-ориентированной системы.

Математические методы, модели и алгоритмы, предложенные в работе, базируются на корректном применении математического аппарата теории системного анализа, численных методов моделирования и оптимизации.

Достоверность полученных научных результатов подтверждается экспертизой результатов, проведенной при публикации в научных журналах и при

представлении докладов на российских и международных научных конференциях.

Апробация и внедрение работы. Исследования проводились при поддержке гранта Российского научного фонда №16-11-10150 «Новые эффективные методы и программы для вычислительно-трудоемких задач принятия решений с использованием суперкомпьютерных систем рекордной производительности» (2016-2018 гг.)

Результаты диссертационного исследования внедрены в учебный процесс, а также представлялись в рамках мастер-классов молодежных научных школ «Высокопроизводительные вычисления, оптимизация и приложения», 2016 г. и 2017 г., что подтверждается актом внедрения в учебный процесс ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Практические результаты диссертационного исследования подтверждаются актом внедрения результатов при выполнении научно-практических работ в Центре высокопроизводительных вычислительных систем Пермского национально-исследовательского политехнического университета.

На разработанное математическое программное обеспечение получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ [104,105].

Основные результаты диссертационного исследования обсуждались и докладывались на российских и международных научных конференциях:

- Международная конференция «Суперкомпьютерные дни в России» 2016 г. [79], 2017 г. [101], 2018 г. [103] , Москва, Россия.

- Шестая международная конференция Network Analysis, 26-28 мая, 2016 Нижний Новгород, Россия. [67]

- Второй международная конференция Numerical Computations: Theory and Algorithms, 19-25 июня, 2016, Pizzo Calabro, Италия. [98]

- Международная конференция International Conference on Computational Science, 12-14 июня, 2017, Цюрих, Швейцария. [78]

- 14-я Международная конференция Parallel Computing Technologies (PaCT-2017), 4-8 сентября 2017 года, Нижний Новгород, Россия. [80]

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Среди работ 9 статей индексируются в международных библиографических базах Web of Science и Scopus, а также входящих в список ВАК.

Личный вклад соискателя. Постановка задачи и методика исследования принадлежат научному руководителю. Соискателю принадлежат разработка модифицированной модели и методы повторного использования информации, используемой при решении задач принятия оптимальных решений, разработка последовательных и параллельных реализаций алгоритма решения задач МКО, для апробации которых выполнены вычислительные эксперименты, включая сравнение разработанного подхода с аналогичными алгоритмами решения задач МКО, а также исследование эффективности подхода при решении тестовых и практических задач. На основе разработанных реализаций алгоритма соискателем произведена разработка математического и программного обеспечения поддержки процесса принятия оптимальных решений. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат:

- в [21] - метод хранения данный, численное решение задачи методом ПАМГП-ОП, анализ результатов вычислительных экспериментов;

- в [96,67,98] - модель принятия оптимальных решений, реализация последовательного алгоритма и программная реализация тестовых задач МКО, анализ результатов вычислительных экспериментов, вывод следствий;

- в [78,79,80,101] - параллельная реализация алгоритмов решения задач МКО, анализ результатов вычислительных экспериментов;

- в [103] - параллельная реализация алгоритма для вычислений на графических ускорителей, анализ результатов вычислительных экспериментов;

- в [104,105] - реализации алгоритмов решения задач МКО;

- в [106] - методика интеграции программных систем ANSYS и Globalizer.

1 Общая характеристика проблем принятия оптимальных решений

В рамках первой главы в §1.1 рассматривается математическая постановка задачи многокритериальной оптимизации. В §1.2 приводится несколько примеров формирования задач принятия оптимальных решений из разных областей науки и техники. В §1.3 представлена расширенная математическая модель, позволяющая в процессе исследований формировать и менять множество задачи МКО для более адекватного описания процессов принятия решений в сложных задачах оптимального выбора.

1.1 Математическая постановка задачи многокритериальной оптимизации

Как отмечалось во введении задача принятия оптимальных решений может быть сведена к задаче многокритериальной оптимизации. Математическая постановка задачи многокритериальной (или векторной) оптимизации (МКО) может быть определена следующим образом [14,15,16,17,18]:

/(у) = (ЛСуЗ'/гСу)- ■■■-ЛСу)) тт,у^,

(1)

й = { у Е ЯИ : а1<у1<Ъ ¿, 1<1<Ы } ,

где

~ У = (У1' У2> ■■■> Уы) - есть вектор варьируемых параметров, - N - есть размерность решаемой задачи многокритериальной оптимизации,

- вектор-функция критериев оптимальности,

- вектор-функция ограничений, - область допустимых решений,

-И - область поиска, представляющая собой ^-мерный гиперпараллелепипед при заданных граничных векторах а и Ь.

Не уменьшая общности, в задаче (1) предполагается, что значения частных критериев не отрицательны и их уменьшение соответствует повышению эффективности рассматриваемых вариантов у 6 Q.

В качестве частного решения задачи МКО может рассматриваться любой эффективный вариант. В общем случае, при решении задачи МКО может потребоваться нахождение всего множества Парето-оптимальных вариантов РИ с Q (полное решение задачи МКО).

В сложных задачах принятия оптимальных решений частные критерии /¿(у), 1 < I < 5 , а также функции ограничений д^(у) , 1 < ] <т , могут быть существенно многоэкстремальными, а получение их значений в точках области поиска у 6 И может требовать значительного объема вычислений.

1.2 Примеры задач принятия оптимальных решений

Рассмотрим несколько примеров формирования задач принятия оптимальных решений из разных областей науки и техники. Для каждой задачи покажем способ перехода от задачи принятия оптимальных решений к математической постановке задачи многокритериальной оптимизации, представленной в §1.1.

1.2.1 Многокритериальная оптимизация геометрии щелевого фильтра для очистки жидкостей

В работе [19] рассматривается задача проектирования щелевого фильтра. Пример щелевого фильтра представлен на рис. 1. Математическая постановка задачи содержит следующий набор параметров:

- И - внешний диаметр щелевого фильтра, -И - толщина стенки фильтра,

- Ь - длина фильтра,

-в - длина необработанной части фильтра,

- N - число винтовых рядов щелей,

- Ь - ширина щелей,

- ш - угол наклона винтовых рядов щелей,

- Яи - радиус траектории инструмента, формирующего сквозную щель,

- 50 - осевой шаг щелей.

Рис. 1. Пример щелевого фильтра (рисунок взят из статьи[19])

Для получения оптимальной формы фильтра можно управлять тремя параметрами - углом наклона винтовой линии ряда щелей ш, шагом щелей 50 и радиусом вращения инструмента Яи, определяющего длину щелей. Оставшиеся параметры определяются исходя из физических соображений и требований к фильтру. Необходимо получить максимально прочный и эффективный фильтр.

Продемонстрируем переход от задачи поиска оптимальных решений к задаче МКО в постановке (1). Для этого введем дополнительные обозначения.

Через вектор

У = ( Уо = У1 = У2 = Яи}

обозначим набор варьируемых параметров. Исходя из физических возможностей производства фильтра можно выбирать диапазоны возможных значений вектора . Выбранные диапазоны определяют область поиска из (1).

Для получения оптимальной формы фильтра в работе [19] выделены три критерия - живое сечение, жесткость и прочность фильтра.

Под живым сечением понимается отношение суммарной площади щелей к общей нарезной поверхности фильтра. Исходя из определения введенного в работе [19], живое сечение определяет максимальную продуктивность фильтра. Как следствие, живое сечение необходимо максимизировать. Для перехода к задаче минимизации функция, возвращающая значения живого сечения, берется со знаком минус. Обозначим критерий /1 (у) .

Жесткость фильтра определяется как отношение увеличенной ширины щелей к исходной ширине, полученное в результате применения осевой силы , приложенной к одному из торцов фильтра при закреплении противоположного торца. Для достижения большей жесткости критерий необходимо минимизировать. Обозначим критерий /2 (у).

Для расчета прочности в [19] вычисляется максимальное напряжение в материале фильтра, полученное как разница внешнего и внутреннего давления на фильтр. Максимальное напряжение должно быть минимизировано. Обозначим критерий .

Применив указанные выше обозначения, легко заметить, что исходная задача проектирования геометрической формы объекта была сведена к задаче МКО. Также не трудно заметить, что указанные критерии являются противоречивыми. Например, более прочный фильтр можно получить при минимальных значениях живого сечения.

Отметим несколько важных фактов относительно полученной задачи МКО. В данной задаче лишь часть параметров является варьируемыми, значения остальных параметров выбираются исходя из физических соображений. Уменьшение количества параметров было произведено, чтобы снизить сложность

14

решаемой задачи. Получив набор эффективных решений, ЛПР может поменять постановку задачи МКО, изменив либо цели оптимизации, либо набор рассматриваемых параметров. В рассмотренной задаче ЛПР может, например, заменить критерий оптимизации живого сечения на ограничение, задав минимально допустимую эффективность фильтра. Исходная математическая модель при этом останется неизменной.

1.2.2 Задача виброзащиты

В работах [20,21] рассматривается проблема виброизоляции для системы с несколькими степенями свободы, состоящей из изолированного основания и упругого тела. Модель может быть описана двумя материальными точками, связанными между собой гасящими вибрации элементами. Подобная механическая система описывается следующими дифференциальными уравнениями:

& = + + и +

?2 = - Р(¿2 - - (¿2 - + 17, (2)

{1(0) = &(0) = 0, Ш = &(0) = 0.

где и - координаты материальных точек, - ускорение основания (внешнее воздействие), - управление, - положительный параметр, характеризующий затухающие свойства механической системы. Система (2) может быть переписана в стандартной форме для задач поиска управления

x1 — x3,

X2 — X4,

x3 = — x± + x2 — (3x3 + (3x4 + u + v , (3)

X4 = Xt — X2 + /?X3 - /?X4 + 17,

*iCO) = x2(0) = x3(0) = x4(0) = 0.

Приведенная модель (3) позволяет описать типичные ситуации виброизоляции для зданий, аппаратов и людей, расположенных на подвижных поверхностях (например, в зонах землетрясений). Найденное управление позволяет построить приборы, сохраняющие целостность объектов, находящиеся в зонах риска.

Для поиска оптимального управления может быть сформировано несколько критериев

supt> okzCO-XiCOl f^u) = sup-—-,

veL2 1Mb

(4)

supt> ol*i(t)| f2(u) = sup-м м-■

veL2 1Mb

Первый критерий характеризует максимальную упругую деформацию двухмассовой упругой системы. Второй критерий f2 характеризует максимальное смещение объекта относительно основания. Легко заметить, что критерии являются противоречивыми - как правило, чем больше допускается максимальное смещение объекта относительно основания, тем меньше деформируется защищаемый объект. Задача оптимального управления состоит в нахождении управления , заданного в виде

u = 0-x- + 02X2 "Ь 03X3 + $4X4,

в форме обратной связи по состоянию, и обеспечивающего получение оптимального по Парето варианта для векторного критерия {f± (u), f2 (u) }.

Отметим, что представленная постановка задачи МКО является лишь частным случаем. В общей математической постановке, объект защиты может быть представлен в виде многомассовой механической системы, состоящей из нескольких материальных точек, связанных гасящими вибрации элементами. При решении задачи ЛПР может рассматривать разное количество виброизоляторов для того, чтобы найти наиболее оптимальное решение с точки зрения стоимости реализации и качества гашения колебаний. Более того, задача поиска количества виброизоляторов и их расположения в защищаемых объектах может быть представлена в виде отдельных задач МКО.

1.2.3 Задача оптимального проектирования защитных конструкций

В работе [22] рассматривается задача оптимального проектирования кусочно-однородных слоистых пластин, состоящих из слоев с различными механическими свойствами, и подверженных проникновению в них абсолютно жестких ударников. Разработанные материалы могут быть применены как в строительстве, так и в защитных целях.

Рис. 2. Схема проектируемой кусочно-однородной слоистой пластины с направленным абсолютно жестким ударником

Вначале приведем описание модели, используемой для проектирования защитного материала. Рассматривается материал, состоящий из п слоев,

абсолютно жесткий

осесимметричный

ударник

кусочно-однородная слоистая пластина

изготовленных из % различных материалов (см. рис. 2). Толщина каждого слоя определяется набором координат:

О = х0 < • • • < х; < • • • < хп = ¿.

Толщину каждого слоя можно вычислить, используя соотношение:

У; = X;+! — х;, О < К п.

Предполагается, что свойства материала с индексом / , О < / < п, определяются двумя константами: А0 - динамическая жесткость и А2 - плотность материала.

£ (04о)5, 042)5},<> = 1,2 ,...,гт

Для описания свойств материала вводятся кусочно-постоянные функции:

^ Лц, если х0 < х < х±,

А 0(х) = ! А 0 , е сл и х1—х<х2, (5)

Ло 1, если хп_1 < х < х.

п-

^ если х0 < х < х1(

А 2(х) = \ А 2, е сл и х 1 — х < х 2, (6)

А2 1, если хп_! < х < х.

п.

Введенные функции позволяют описать динамику высокоскоростного проникновения осесимметричного абсолютно жесткого ударника в кусочно-однородную пластину. Далее определяется функция Я(х) , описывающая сопротивление слоистой среды, и связывающая свойства материалов, определяемые формулами (5) и (6), их размеры у;, О < / < п, и форму ударника У = У (х) :

Я (х) = В 0(х) + В 2(х) V (х) 2,

(7)

В 0 (х) = 77Т2 А 0 (х) — 2 тт/хх**А 0 (77) уу^ц,

гХ^А2(Г])УУ; Х* 1+Уэт

В2(х) = пг2А2(х)-1п Г

ч

(¿77,

где г - радиус затупленной носовой части ударника, а V(х) - скорость ударника.

Переменная х соответствует положению ударника. Согласно работе [22] х Е [ О ,Ь + 1] , где Ь - общая ширина кусочно-однородной пластины, а I - длина ударника. Константы х* и х* * используются для описания различных стадий проникновения ударника в проектируемую кусочно-однородную пластину. Можно выделить следующие стадии:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козинов Евгений Александрович, 2020 год

Список литературы

1. Miettinen, K. Nonlinear Multiobjective Optimization [Текст] / K. Miettinen. -Springer Science & Business Media, 1999. - 298 p.

2. Ehrgott, M. Multicriteria Optimization [Текст] / M. Ehrgott. - 2nd ed. - SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 2005. - 323 p.

3. Collette, Y. Multiobjective Optimization: Principles and Case Studies (Decision Engineering) [Текст] / Y. Collette, P. Siarry. - Springer, 2004. - 293 p.

4. Köksalan, M.M. Multiple criteria decision making: From early history to the 21st century [Текст] / M.M. Köksalan, J. Wallenius, S. Zionts. - Singapore: World Scientific, 2011. - 197 p.

5. Marler, T. Multi-Objective Optimization: Concepts and Methods for Engineering [Текст] / T. Marler. - VDM Verlag, 2009. - 208 p.

6. Mardani, A. Multiple criteria decision-making techniques and their applications - a review of the literature from 2000 to 2014 [Текст] / A. Mardani, A. Jusoh, K. Nor, Z. Khalifah, N. Zakwan, A. Valipour// Economic Research-Ekonomska Istrazivanja. - 2015. - V. 28(1). - P. 516-571.

7. Marler, R. T. Survey of multi-objective optimization methods for engineering [Текст] / R.T. Marler, J.S. Arora // Struct. Multidisciplinary Optimization. - 2004. -V. 26. - P. 369-395.

8. Figueira,J. Multiple criteria decision analysis: State of the art surveys [Текст] / J. Figueira, S. Greco, M. Ehrgott, editors. . - New York (NY): Springer, 2005. - 1045 p.

9. Eichfelder, G. Scalarizations for adaptively solving multi-objective optimization problems [Текст] / G. Eichfelder // Comput. Optim. Appl. - 2009. - V. 44. - P. 249273.

10.Zavadskas, E.K. State of art surveys of overviews on MCDM/MADM methods [Текст] / E.K. Zavadskas, Z. Turskis, S. Kildiene// Technological and Economic Development of Economy. - 2014. - V. 20. - P. 165-179.

ll.Siwale, I. Practical multi-objective programming [Текст]: Technical Report RD-14-2013. / I. Siwale. - Apex Research Limited, 2014.

12.Hillermeier, C. Multiobjective optimization: survey of methods and industrial applications. [Текст] / C. Hillermeier, J. Jahn // Surv. Math. Ind. - 2005. - V. 11. -P. 1-42.

13.Подиновский, В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. [Текст] / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. - М.: Наука, 1982. - 256 c.

14.Стронгин, Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы) [Текст] / Р.Г. Стронгин. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1978. - 240 с.

15.Strongin, R.G., Global Optimization with Non-Convex Constraints. Sequential and Parallel Algorithms [Текст] / R.G. Strongin, Y.D. Sergeyev. - The Netherlands, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 728 p.

16.Strongin, R.G. Parallel computing for globally optimal decision making [Текст] / R.G. Strongin, V.P. Gergel // Lecture Notes in Computer Science. - 2003. - V. 2763. - P. 76-88.

17.Strongin, R.G. Parallel computing for globally optimal decision making on cluster systems [Текст] / R.G. Strongin, V.P. Gergel// Future Generation Computer Systems. - 2005. - V. 21(5) . - P. 673-678.

18.Стронгин, Р.Г. Параллельные вычисления в задачах глобальной оптимизации. [Текст] / Р.Г. Стронгин, В.П. Гергель, В.А. Гришагин, К.А. Баркалов. - М.: Издательство Московского университета. 2013. - 280 с.

19.Карпенко, А.П. Многокритериальная оптимизация геометрии щелевого фильтра для очистки жидкостей. [Текст] / А.П. Карпенко, Д.Т. Мухлисуллина, А.А. Цветков // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2013. - № 2. - С. 221-240.

20.Баландин, Д.В. Оптимальное по Парето обобщенное H 2-управление и задачи виброзащиты. [Текст] / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Автоматика и телемеханика. - 2017. - №8. - C. 76-90.

21.Гергель, В.П. Методы многокритериальной оптимизации для решения задач виброзащиты [Текст] / В.П. Гергель, Е.А. Козинов, В.В. Соврасов // Проблемы прочности и пластичности. - 2018. - №80(2). - C. 281-292.

22.Баничук, Н.В. Проникание жестких ударников в слоистые пластины и некоторые задачи глобальной многоцелевой структурной оптимизации. [Текст] / Н.В. Баничук, С.Ю. Иванова, Е.В. Макеев // Проблемы прочности и пластичности. - 2012. - № 74. - С. 124-133.

23.Глазунов, В.А. Пространственные механизмы параллельной структуры. [Текст] / В.А. Глазунов, А.Ш. Колискор, А.Ф. Крайнев. - М.: Наука. - 1991. - 94 с.

24.Merlet, J.P. Parallel robots. [Текст] / J.P. Merlet - Springer Science & Business Media. - 2005. - 402 p.

25.Stewart, D.A Platform with Six Degrees of Freedom. [Текст] / D.A Stewart // UK Institution of Mechanical Engineers Proceedings. - 1965. - V. 180(1). - P. 371-386.

26.Волкоморов, С.В. Планирование оптимальной целевой конфигурации робота-манипулятора типа "хобот". [Текст] / С.В. Волкоморов, А.П. Карпенко // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2010. - № 3. - C. 117.

27.Артеменко, Ю.Н. Синтез механизмов ориентации космического телескопа «миллиметрон». 2. синтез и оптимизация многосекционного манипулятора параллельной структуры для управления ориентацией космического телескопа «миллиметрон». [Текст] / Ю.Н. Артеменко, А.П. Карпенко, В.Н. Пащенко, В.А. Мартынюк, С.В. Волкоморов, К.А. Темерев, А.В. Шарыгин // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2013. - № 3. - С. 207-256.

28.Зенкевич, С.Л. Основы управления манипуляционными роботами [Текст] / С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2004. -480 с.

29.Салмин, В.В. Приближенные методы расчета оптимальных перелетов космических аппаратов с двигателями малой тяги. Часть I. [Текст] / В.В. Салмин, В.В. Васильев, С.А. Ишков, В.А. Романенко, В.О. Соколов, О.Л. Старинова, В.В. Юрин // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). - 2007. - № 1 (12) . - С. 37-52.

30. Салмин, В.В. Приближенные методы расчета оптимальных перелетов космических аппаратов с двигателями малой тяги. Часть II. [Текст] / В.В. Салмин, В.В. Васильев, С.А. Ишков, В.А. Романенко, В.О. Соколов, О.Л. Старинова, В.В. Юрин // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва (национального исследовательского университета). - 2008. - № 1 (14) . - С. 45-67.

31.Антонов М.О. Нахождение оптимального расположения радиомаяков в разностно-дальномерной системе посадки летательного аппарата. [Текст] / М.О. Антонов, С.М. Елсаков, В.И. Ширяев // Авиакосмическое приборостроение. - 2005. - № 11. - С. 41-45.

32.Елсаков, С.М. Применение однородного алгоритма глобальной оптимизации для решения практических задач. [Текст] / С.М. Елсаков // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - 2010. - № 12. - С. 48-61.

33.Баркалов, К.А. Параллельный алгоритм глобального поиска для решения задач многоэкстремальной оптимизации. [Текст] / К.А. Баркалов // В сборнике: Научный сервис в сети Интернет: поиск новых решений. - Москва:Труды Международной суперкомпьютерной конференции. - 2012. - С. 330-332.

34.Kalman, R.E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. [Текст] / R.E. Kalman // Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering. - 1960. - V. 82. - P. 35-45.

35.Растригин, Л.А. Адаптивные методы многокритериальной оптимизации. [Текст] / Л.А. Растригин, Я.Ю. Эйдук,// Автомат. и телемех. - 1985. - №1. - С. 5-26.

36.Branke, J. Multi-Objective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches. [Текст] / J. Branke, K. Deb, K. Miettinen, R. Slowinski, (eds.) . - Berlin: Springer. -2008. - 470 p.

37.Chiandussi, G. Comparison of multi-objective optimization methodologies for engineering applications. [Текст] / G. Chiandussi, M. Codegone, S.Ferrero, F.E. Varesio // Computers and Mathematics with Applications. - 2012. - V. 63(5). - P. 912-942.

38.Сергеев, Я.Д. Диагональные методы глобальной оптимизации. [Текст] / Я.Д. Сергеев, Д. Квасов. - ФИЗМАТЛИТ. - 2008. - 352 c.

39.Маркин, Д.Л. О равномерной оценке множества слабоэффективных точек в многоэкстремальных многокритериальных задачах оптимизации. [Текст] / Д.Л. Маркин, Р.Г. Стронгин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1993. - №2(33). -C.195-205.

40.Evtushenko, Yu.G. A deterministic algorithm for global multi-objective optimization. [Текст] / Yu.G. Evtushenko, M.A. Posypkin // Optimization Methods and Software. - 2014. - V. 29(5). - P. 1005-1019.

41.Evtushenko, Yu.G. Method of non-uniform coverages to solve the multicriteria optimization problems with guaranteed accuracy. [Текст] / Yu.G. Evtushenko, M.A. Posypkin // Automation and Remote Control. - 2014. - V. 75(6). - P. 1025-1040.

42.Sergeyev, Y.D. A Parallel Method for Finding the Global Minimum of Univariate Functions. [Текст] / Y.D. Sergeyev, V.A. Grishagin // Journal of Optimization Theory and Applications. - 1994. - V. 80(3). - P. 513-536. 43.Sergeyev, Y.D. Parallel Asynchronous Global Search and the Nested Optimization Scheme. [Текст] / Y.D. Sergeyev, V.A. Grishagin // J. Comput. Anal. Appl. - 2001. - V. 3(2). - P. 123-145.

44.Sergeyev, Y.D. Introduction to global optimization exploiting space filling curves [Текст] / Y.D. Sergeyev, R.G. Strongin, D. Lera . - Verlag New York:Springer. -2013. - 125 p.

45.Gergel, V. An Unified Approach to Use of Coprocessors of Various Types for Solving Global Optimization Problems. [Текст] / V. Gergel // 2nd International Conference on Mathematics and Computers in Sciences and in Industry. - 2015. - P. 13-18.

46.Zilinskas, A. Adaptation of a one-step worst-case optimal univariate algorithm of bi-objective Lipschitz optimization to multidimensional problems. [Текст] / A. Zilinskas, J. Zilinskas // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat. - 2015. - V. 21. -P. 89-98.

47.Floudas, C.A. Recent Advances in Global Optimization. [Текст] / C.A. Floudas, M.P. Pardalos. - Princeton University Press. - 2016. - 644 p.

48.Deb, K. Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms [Текст] / K. Deb. - Wiley, Chichester. - 2001. - 518 p.

49.Tan, K.C. Multi-objective Evolutionary Algorithms and Applications. [Текст] / K.C. Tan, E.F. Khor, T.H. Lee. - Verlag, London: Springer. - 2005. - 296 p.

50.Yang, X.-S. Nature-inspired metaheuristic algorithms [Текст] / X.-S. Yang. -Frome: Luniver Press. - 2008. - 148 p.

51.Zhigljavsky, A.A. Theory of Global Random Search. [Текст] / A.A. Zhigljavsky. -Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1991. - 341 p.

52.Kennedy, J. Particle swarm optimization. [Текст] / J. Kennedy, R. Eberhard // Proc. of IEEE Intern. Conf. on Neural Networks. - 1995. - V. 4. - P. 1942-1948.

53.Карпенко, А.П. Обзор методов роя частиц (particle swarm optimization). [Текст] / А.П. Карпенко, Е.Ю. Селиверстов // Электронное научно-техн. издание "Наука и образование". - 2009. - № 3.

54.Кошур, В.Д. Глобальная оптимизация на основе гибридного метода усреднения координат и метода роя частиц. [Текст] / В.Д. Кошур // Ж. Вычислительные технологии. - 2013. - №4(18) .- C. 36-47.

55.Taboada H.A. Practical solutions of multiobjective system reliability design problems using genetic algorithm. [Текст] / H.A. Taboada, F. Baheranwala, D.W. Coit // Reliability 47 Engineering & System Safety. - 2006. - V. 92(3). - P. 314322.

56.Bleuler, S. PISA-A Platform and Programming Language Independent Interface for Search Algorithms. Evolutionary Multi-Criterion Optimization [Текст] / S. Bleuler, M. Laumanns, L. Thiele, E. Zitzler//LNCS. - 2003. - V. 2632. - P. 494-508.

57.Zitzler, E. Multiobjective Evolutionary Algorithms: A comparative case study and the strength Pareto approach. [Текст] / E. Zitzler, L. Thiele // IEEE Trans. Evol. Comput. - 1999. - V. 3. - P. 257-271.

58.Horn, J. A niched Pareto genetic algorithm for multiobjective optimization. [Текст] / J. Horn, N. Nafpliotis, D.E. Goldberg // Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, Z. Michalewicz, Ed. Piscataway. - NJ: IEEE Press. -1994. - P. 82-87.

59.Knowles, J. The Pareto achieved evolution strategy: A new baseline algorithm for Pareto multiobjective optimizatio. [Текст] / J. Knowles, D. Corne // Congress on Evolutionary Computation (CEC99) . -NJ, Piscataway:IEEE Press. - V. 1. - P. 98105.

60.Hill, J.D. A Search Technique for Multimodal Surfaces. [Текст] / J.D. Hill // IEEE Transactions on Systems and Cybernetics. - 1969. - V. 5(1). - P. 2-8.

61.Pinter, J.D. Global optimization in action. Continuous and Lipschitz optimization: algorithms, implementations and applications. [Текст] / J.D. Pinter. - Dortrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1996. - 449 p.

62.Horst, R. Global Optimization: Deterministic Approaches. [Текст] / R. Horst, H. Tuy. - Verlag, Berlin: Springer. - 1996. - 730 p.

63.Locatelli, M. Global Optimization: Theory, Algorithms, and Applications. [Текст] / M. Locatelli, F. Schoen. - SIAM. - 2013. - 439 p.

64.Torn, A., Global Optimization. [Текст] / A. Torn, A. Zilinskas. - Lecture Notes in Computer Science 350. - Verlag, Berlin: Springer. - 1989. - 260 p.

65.Arora, R.K. Optimization: Algorithms and Applications. [Текст] / R.K. Arora. -CRC Press. - 2015. - 466 p.

66.Bazaraa, M.S. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. [Текст] / M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty. - John Wiley and Sons. - 2006. - 872 p.

67.Gergel, V. Efficient methods of multicriterial optimization based on the intensive use of search information. [Текст] / V. Gergel, E. Kozinov // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2017. - V. 197. - P. 27-45.

68.Bastrakov, S. High Performance Computing in Biomedical Applications. [Текст] / S. Bastrakov, I. Meyerov, V. Gergel, A. Gonoskov, A. Gorshkov, E. Efimenko, M. Ivanchenko, M. Kirillin, A. Malova, G. Osipov, V. Petrov, I. Surmin, A. Vildemanov // Procedia Computer Science. - 2013. - V. 18. - P. 10-19.

69.Censor, Y. Parallel optimization: Theory, algorithms, and applications. [Текст] / Y. Censor, S.A Zenios. - Oxford University Press. - 1998. - 576 p.

70.Ciegis, R. Parallel Scientific Computing and Optimization: Advances and Applications. [Текст] / R. Ciegis, D. Henty, B. Kagstrom, J. Zilinskas, (eds.). -Verlag, New York: Springer. - 2009. - 274 p.

71.Gergel, V. Heterogeneous Parallel Computations for Solving Global Optimization Problems. [Текст] / V. Gergel, I. Lebedev // Procedia Computer Science. - 2015. -V. 66. - P. 53-62.

72.Gergel, V. A Two-Level Parallel Global Search Algorithm for Solution of Computationally Intensive Multiextremal Optimization Problems. [Текст] / V. Gergel, S. Sidorov // LNCS. - Verlag Berlin Heidelberg: Springer. - 2015. - V. 9251. - P. 505-515.

73.Grishagin, V.A. Parallel characteristic algorithms for solving problems of global optimization. [Текст] / V.A. Grishagin, Y.D. Sergeyev, R.G. Strongin // Journal of Global Optimization. - 1997. - V. 10. - P. 185-206.

74.Luque, G. Parallel genetic algorithms: theory and real world applications. [Текст] / G. Luque, E. Alba. - Verlag Berlin Heidelberg: Springer. - 2011. - 172 p.

75.Grishagin, V. Convergence conditions and numerical comparison of global optimization methods based on dimensionality reduction schemes. [Текст] / V. Grishagin, R. Israfilov, Y. Sergeyev // Applied Mathematics and Computation. -2018. - V. 318. - P. 270-280.

76.Gergel, V. Adaptive nested optimization scheme for multidimensional global search. [Текст] / V. Gergel, V. Grishagin, A. Gergel // Journal of Global Optimization. -

2016. - V. 66(1). - P. 35-51.

77.Barkalov K.A. Multilevel scheme of dimensionality reduction for parallel global search algorithms. [Текст] / K.A. Barkalov, V.P. Gergel // Proceedings of the 1st International Conference on Engineering and Applied Sciences Optimization. -2014. - P. 2111-2124.

78.Gergel, V.P. Accelerating Parallel Multicriterial Optimization Methods Based on Intensive Using of Search Information. [Текст] / V.P. Gergel, E.A. Kozinov // Procedia Computer Science. - 2017. - V. 108. - P. 1463-1472.

79.Козинов Е.А. Параллельные вычисления при поиске эффективных вариантов в задачах многокритериальной оптимизации. [Текст] / Е.А. Козинов, В.П. Гергель // В сборнике: Суперкомпьютерные дни в России Труды международной конференции. - 2016. - С. 447-453.

80.Gergel, V. Parallel computing for time-consuming multicriterial optimization problems. [Текст] / V. Gergel, E. Kozinov // Lecture Notes in Computer Science. -

2017. - V. 10421. - P. 446-458.

81.Таненбаум, Э. Современные операционные системы. [Текст] / Э. Таненбаум, Х. Бос. - Питер. - 2017. - 1120 c.

82.Gergel, V. Globalizer: A novel supercomputer software system for solving time-consuming global optimization problems. [Текст] / V. Gergel, K. Barkalov, A.Sysoyev // Numerical Algebra, Control & Optimization. - 2018. - V. 8(1). - P. 47-62.

83.Баркалов, К.А. Интеграция программных комплексов Globalizer и Ansys для оптимизации процессов охлаждения капли в потоке газа. [Текст] / К.А.

Баркалов, В.П. Гергель, Е.А. Козинов, С.Л. Калюлин, В.Я. Модорский, Ю.А. Лаптева // Научно-технический вестник Поволжья. - 2017. - №5. - C. 145-148. 84.Sysoyev, A. Globalizer - A Parallel Software System for Solving Global Optimization Problems. [Текст] / A. Sysoyev, K. Barkalov, V. Sovrasov, I. Lebedev, V. Gergel // Parallel Computing Technologies. PaCT 2017. Lecture Notes in Computer Science. - 2017. - V. 10421. - P. 492-499. 85.Sysoyev, A.V. Globalizer Lite: A Software System for Solving Global Optimization Problems. [Текст] / A.V. Sysoyev, A.S. Zhbanova, K.A. Barkalov, V.P. Gergel // Parallel Computational Technologies. PCT 2017. Communications in Computer and Information Science. - 2017. - V. 753. - P. 130-143.

86.Лебедев, И.Г. Использование параллельной системы глобальной оптимизации Globalizer для решения задач конкурса GenOpt. [Текст] / И.Г. Лебедев, В.В. Соврасов // Суперкомпьютерные дни в России 2016. - 2016. - C. 874-886.

87.Egorov, I.N. Multi-objective Optimization Using IOSO Technology. [Текст] / I.N. Egorov, G.V. Kretinin, I.A.Leschenko, S.V. Kuptcov // Bath, UK: ISSMO Conference on engineering Design optimization, 7-8 July, 2008.

88.Venkataraman P. Applied Optimization with MATLAB Programming. [Текст] / P. Venkataraman. - John Wiley & Sons. - 2009. - 544 p.

89.Sahinidis, N.V. BARON: A general purpose global optimization software package. [Текст] / N.V. Sahinidis // Journal of global optimization. - 1996. - V. 8(2). - P. 201-205.

90.Mullen, K.M. Continuous Global Optimization in R. [Текст] / K.M. Mullen // Journal of Statistical Software. - 2014. - V. 60(6). - P. 1-45.

91.Гергель, В.П. Высокопроизводительные вычисления для многопроцессорных многоядерных систем. [Текст] / Гергель В.П. - М.: Издательство Московского университета. - 2010. - 544 с.

92.Корняков К.В. Инструменты параллельного программирования в системах с общей памятью: учебник. [Текст] / К.В. Корняков, В.Д. Кустикова, И.Б.

Мееров, А.А. Сиднев, А.В. Сысоев, А.В. Шишков - М.: Издательство Московского университета. - 2010. - 272 с.

93.Гергель, В.П. Теория и практика параллельных вычислений. [Текст] / В.П. Гергель. - М.: Интернет-университет информационных технологий -ИНТУИТ.РУ. - 2007. - 424 с.

94.Немнюгин C. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. [Текст] / С. Немнюгин, О. Стесик. - Санкт-Петербург:'"БХВ". - 2002. - 400 с.

95.Линев, А.В. Технологии параллельного программирования для процессоров новых архитектур : учебник. [Текст] / А.В. Линев, Д.К. Боголепов, С.И. Бастраков. - М.: Издательство Московского университета. - 2010. - 160 с.

96.Gergel, V.P. Efficient multicriterial optimization based on intensive reuse of search information. [Текст] / V.P. Gergel, E.A. Kozinov // Journal of Global Optimization. - 2018. - V. 71(1). - P. 73-90.

97.Zitzler, E. Quality Assessment of Pareto Set Approximations. [Текст] / E. Zitzler, J. Knowles, L. Thiele // Multiobjective Optimization-Interactive and Evolutionary Approaches. LNCS. - 2008. - V. 5252. - P. 373-404.

98.Kozinov, E.A. Accelerating multicriterial optimization by the intensive exploitation of accumulated search data. [Текст] / E.A. Kozinov, V.P. Gergel // AIP Conference Proceedings. - 2016. - V. 1776. - P. 090003.

99.Гришагин, В.А. Операционные характеристики некоторых алгоритмов глобального поиска. [Текст] / В.А. Гришагин // Проблемы случайного поиска. -Рига: Зинатне. - 1978. - № 7. - С. 198-206.

100. Gaviano, M. Software for generation of classes of test functions with known local and global minima for global optimization. [Текст] / M. Gaviano, D. Lera, D.E. Kvasov, Y.D. Sergeyev // ACM Trans. Math. Software. - 2003. - V 29. - P. 469480.

101. Gergel, V.P. An approach for parallel solving the multicriterial optimization problems with non-convex constraints. [Текст] / V.P. Gergel, E.A. Kozinov //

Communications in Computer and Information Science. - 2017. - V. 793. - P. 121135.

102. Лебедев, И.Г. Использование параллельной системы глобальной оптимизации globalizer для решения задач оптимального управления. [Текст] / И.Г. Лебедев, В.В. Соврасов // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2017) короткие статьи и описания плакатов XI международной конференции. Российская академия наук; Суперкомпьютерный консорциум университетов России. - 2017. - C. 526.

103. Gergel, V.P. GPU-Based Parallel Computations in Multicriterial Optimization. [Текст] / V.P. Gergel, E.A. Kozinov // Communications in Computer and Information Science. - 2018. - V. 965. - P. 88-100.

104. Козинов Е.А. Учебно-исследовательская система Globalizer МСО Lab / Е.А. Козинов, В.П. Гергель // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019617842, внесена в Реестр программ для ЭВМ 20.06.2019.

105. Козинов Е.А. Реализация модуля решения информационно-связных задач многокритериальной оптимизации / Е.А. Козинов, В.П. Гергель // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019618968 , внесена в Реестр программ для ЭВМ 08.07.2019.

106. Калюлин, С.Л. Интеграция программных комплексов Globalizer и ANSYS для оптимизации процессов охлаждения капли в потоке газа / С.Л. Калюлин, В.Я. Модорский, К.А. Баркалов, В.П. Гергель, Ю.А. Лаптева, Е.А. Козинов // Научно-технический вестник Поволжья. — 2017. — № 5. — С. 145-148.