Модели и алгоритмы управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества готовой продукции: на примере шаровой мельницы сухого помола цемента тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Белоус, Ирина Геннадьевна

• Белоус, Ирина Геннадьевна
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Белоус, Ирина Геннадьевна

Введение.

1. Особенности объектов управления с недетерминированным механизмом функционирования.

1.1. Обзор постановок задач автоматизации объектов с недетерминированным механизмом функционирования и обоснование целесообразности совершенствования методов автоматизации процессов управления.

1.1.1. Примеры объектов с недетерминированным механизмом функционирования.

1.1.2. Обзор результатов, достигнутых в области автоматизации объектов с недетерминированным механизмом функционирования.

1.1.3. Сведения о теоретических методах, использованных при синтезе систем автоматизации процесса управления объектами с недетерминированным механизмом функционирования.

1.1.4. Обзор результатов теории оптимальных стохастических систем и обоснование целесообразности развития теоретических методов синтеза методов алгоритмизации задач управления.

1.2. Разработка имитационной модели объекта со стохастическим механизмом формирования показателя качества готового продукта.

1.2.1. Разработка имитационной модели объекта рассматриваемого класса.

1.2.2. Допущения, принятые при создании модели.

1.3. Математическая модель цементной шаровой мельницы как пример объекта со стохастическим механизмом формирования показателей качества готовой продукции „

1.3.1. Работы-предшественники по автоматизации процесса помола, га недостатки и предложения, вносимые в представляемой работе.-.

1.3.2. Особенности технологии помола цемента и контроля качества готового продукта как стохастической системы.

1.3.3. Допущения, принятые при создании модели мельницы.

1.3.4. Математическая модель динамики прогресса помола, прямых и косвенных показателей качества, возмущающих воздействий и измерительных помех.

1.3.5. Моделирование процесса помола в режиме ручного управления и подтверждение обоснованности допущений, принятых при разработке математической модели.

1.4. Оценка адекватности языка теории стохастических оптимальных систем задачам автоматизации контроля процессом помола.

1.4.1. Сравнение описания модели цементной мельницы со стохастической теорией.

1.4.2. Анализ: сходство и отличия, недостатки.

1.4.3. Постановка задач развития методов теории оптимальных стохастических систем для решения практических задач автоматизации объектов со стохастическим механизмом формирования качества.

1.5. Выводы.

2. Синтез алгоритмов управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества.

2.1. Обзор результатов стохастической теории оптимальных систем управления и выбор направления исследований, направленных на расширение области практических применений.

2.1.1. Особенности контроля и управления в условиях стохастической неопределенности.

2.1.2. Обзор результатов, достигнутых в области стохастической теории оптимальных систем управления.

2.1.3. Сведения об использовании теоремы разделения.

2.1.4. Структура управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества продукции.

2.1.5. Алгоритмы стохастического оптимального управления.

2.2. Критика положений JIKT-теории с позиций практического применения.

2.2.1. Критика критерия.

2.2.2. Замечания о точности воспроизведения задающих воздействий.

2.3. Предлагаемые в работе усовершенствования системы управления. Синтез субоптимальной системы управления, учитывающей ограниченность допустимого диапазона управляющих воздействий.

2.3.1. Описание предлагаемого в работе подхода учета ограниченности управляющих воздействий.

2.3.2. Постановка задачи обоснования эффективности применения субоптимальной системы.

2.3.3. Иллюстрации эффективности введенных модификаций алгоритмов управления.

2.4. Выводы.

3. Синтез алгоритмов оценивания вероятностных характеристик вектора состояний и внешних факторов для использования в системе управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества.

3.1. Классификация подходов к решению задачи оценивания вектора состояний и возмущающих воздействий. Обзор современных достижений в области фильтрации и прогнозирования.

3.1.1. Обоснование г{елесообразности постановки задачи синтеза алгоритмов оценивания вектора состояния и неконтролируемых возмущающих воздействий.

3.1.2. Обзор результатов, достигнутых в области теории фильтрации и прогнозирования.

3.1.3. Направления развития теории фильтрации.

3.2. Постановка задачи учета априорной неопределенности, связанной с нестационарностыо вероятностных характеристик, при синтезе алгоритмов оценивания вектора состояний и возмущающих воздействий.

3.2.1. Сводка основных результатов теории оптимальной фильтрации. Особенности и свойства фильтра Калмана.

3.2.2. Обзор результатов адаптивной фильтрации. Область применения адаптивных фильтров.

3.3. Предложения по структуре и алгоритмам оценивания вектора состояний и возмущающих воздействий для использования в системе управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества.

3.3.1. Проверка условий применимости фильтра Калмана для фильтрации и прогнозирования вектора состояния в прогрессе помола в шаровой мельнице сухого помола цемента.

3.3.2. Использование алгоритмов фильтрации при автоматизации процесса помола цемента в шаровой мельнице.

3.3.3. Фильтр с использованием априорных оценок вероятностных характеристик.

3.3.4. Фильтр с оценкой вероятностных характеристик в реальном времени по укороченным выборкам предшествующих зашумленных измерений.

3.3.5. Предлагаемый фильтр, построенный на отклонении оценки вектора состояния от его эюелаемого значения.

3.3.6. Постановка задачи выработки методики обоснования эффективности предлагаемых алгоритмов фильтрации.

3.4. Сравнение эффективности вариантов алгоритмов оценки векторов состояния и возмущающих воздействии.

3.4.1. Схемы вычислительных экспериментов.

3.4.2. Анализ и сопоставление результатов моделирования для рассматриваемых вариантов оценки вектора состояния и возмущающего воздействия.

3.5. Выводы.

4. Исследование вариантов алгоритмов управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества. Предложения по использованию разработанных алгоритмов на производстве и в обучении.

4.1. Предложения по структуре системы управления технологическим процессом помола цемента в шаровой мельнице и задачи обоснования выбора варианта алгоритмического обеспечения.

4.1.1. Краткие сведения об объекте и особенностях управления технологическим процессом.

4.1.2. Особенности управления технологическим процессом по косвенным показателям, статистически связанным с тонкостью помола.

4.1.3. Новые задачи управления процессом помола, которые могут быть решены на базе методов, представленных в

главах 2,3.

4.1.4. Исследования, выполненные для обоснования предложений, перечисленных в подразделе 4.1.3.

4.2. Методика выбора варианта алгоритмического обеспечения.

4.2.1. Обоснование необходимости этапа моделирования для оценки эффективности предложений по алгоритмическому обеспечению, описанных в предыдущих

главах.

4.2.2. Методика обоснования эффективности предложений по совершенствованию алгоритмического обеспечения.

4.2.3. Классификация и описание показателей качества управления процессом помола, используемых для сопоставления алгоритмов управления согласно методике п.4.2.2.

4.2.4. Перечень сопоставляемых вариантов алгоритмического обеспечения системы управления процессом помола цемента в шаровой мельнице.

4.2.5. Схема проведения экспериментов.

4.3. Результаты вычислительных экспериментов и предложения по составу алгоритмического обеспечения системы автоматизации процесса помола.

4.3.1. Перечень сценариев вычислительных экспериментов.'.

4.3.2. Обобщенный для всех вариантов алгоритмического обеспечения алгоритм управления.

4.3.3. Описание используемых показателей качества.

4.3.4. Сводка показателей качества, полученных при проведении основных экспериментов.

4.3.5 Анализ полученных результатов.

4.4. Методика выбора числа и мест установки датчиков измерения косвенных показателей

4.5. О возможности использования разработанных средств моделирования и алгоритмизации управления процессом помола в учебном процессе.

4.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и алгоритмы управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества готовой продукции: на примере шаровой мельницы сухого помола цемента»

Актуальность темы. Снижение затрат энергии на выпуск продукции относится к числу важнейших проблем, которые подлежат решению в ближайшие десятилетия из-за массовых экологических нарушений и угроз истощения запасов сырья. Одним из направлений решения задач энергосбережения является автоматизация технологических процессов.

Методы решения задач автоматизации объектов в детерминированной постановке хорошо изучены. Однако существует класс промышленных объектов массового распространения, для которых детерминированные модели и методы управления недостаточно пригодны. Объекты этого класса обладают следующими особенностями: во-первых, непрерывный контроль прямых показателей качества готового продукта в реальном времени не всегда возможен (осуществляется лишь эпизодический лабораторный контроль); во-вторых, не удается получить постоянные во времени показатели качества конечного продукта из-за особенностей технологии и, в-третьих, информационные запаздывания в каналах «управляющие воздействия - показатели качества продукта» настолько велики, что непосредственное использование этих показателей для определения управляющих воздействий проблематично.

При разомкнутом (ручном) управлении такими объектами величину управляющих воздействий выбирают так, чтобы гарантировать отсутствие нарушений технологических требований к качеству конечного продукта - в частности, занижают производительность объекта (с сопутствующим нежелательным эффектом увеличения удельных энергозатрат) до уровня, при котором разброс значений показателей качества укладывается в технологически допустимый диапазон. Для объектов с такими особенностями актуальна задача снижения диапазона разброса показателей качества, благодаря чему может быть увеличена производительность объекта и достигнуто соответствующее сокращение удельных энергозатрат.

Можно отметить два противоположных подхода к проектированию систем автоматизации промышленных объектов. С одной стороны, накоплен большой инженерный опыт создания и эксплуатации систем управления, который может быть использован как база для проектирования новых систем. При несомненных достоинствах инженерного опыта можно указать следующее:

- Выбор проекта-аналога в большой степени зависит от квалификации проектировщика.

- Неудачный выбор аналога может привести к неудовлетворительному качеству спроектированной системы и к большим затратам времени на ее доводку в ходе внедрения.

- Процесс проектирования не может быть полностью формализован, в связи с чем имеются трудности в подготовке специалистов-системотехников.

С другой стороны, можно было бы рекомендовать использование строго формализованных методов синтеза структуры и алгоритмов управления, предлагаемых теорией автоматического и автоматизированного управления (обычно

- в оптимизационной постановке). При несомненной привлекательности формализованных процедур синтеза, блокирующих перечисленные недостатки проектирования по аналогам, можно указать следующее: 4

- Часть допущений, принятых на этапе постановки задачи синтеза, может быть связана не столько с особенностями прикладной задачи, сколько с возможностями предлагаемого метода решения. Это замечание относится как к выбору формы критерия оптимальности, так и к составу учитываемых ограничений (в том числе и к выбору формы модели объекта). Из-за возможного несоответствия принятых допущений конкретной прикладной задаче отсутствует гарантия соответствия инженерных показателей качества управления требованиям технического задания на проектирование системы.

- Система управления, спроектированная на основе оптимизационного подхода, может оказаться чувствительной к неизбежным отклонениям характеристик и параметров объекта управления.

В представляемой работе предлагается ввести ряд усовершенствований в процедуры формализованного синтеза структуры и алгоритмов управления динамическими объектами с целью более полного учета особенностей прикладной задачи на этапе выбора критерия и состава учитываемых ограничений (благодаря чему может быть расширена сфера использования формализованных методов).

Данная задача решается применительно к ограниченному, но распространенному на практике классу динамических объектов, главной особенностью которых является наличие стохастического механизма формирования качества готового продукта.

В качестве примера объекта данного класса в работе рассматривается шаровая мельница сухого помола цемента. Оперативным показателем качества готового продукта мельницы является тонкость помола, причем зависимость тонкости от расхода материала, поступающего в горловину мельницы, не является детерминированной. Цель управления объектом — обеспечить максимальную производительность (максимальный расход сырья, поступающего в мельницу) при условиях, гарантирующих отсутствие превышений верхней границы тонкости помола, заданной технологическими требованиями. Поскольку измерения тонкости помола производятся путем отбора проб с последующей лабораторной обработкой, непосредственное использование этого показателя в системе автоматизации невозможно.

В предшествующих работах по автоматизации процесса помола (Я.Е. Гельфанд, И.Б. Гинзбург, Ю.И. Дубинин, Ю.Я. Крахтанов, С.Б. Непомнящий, А.Б. Смолянский, A.M. Шейнин, В. Дуда и др.) в системе управления использовались сигналы, косвенно связанные с тонкостью помола и доступные для непрерывного измерения вблизи внешней оболочки мельницы (например, сигнал микрофона, измеряющего уровень шума). В ряде работ (В.П. Живоглядов, Е.Г. Крушель, Б.М. Миркин) исследовались задачи управления процессом помола с использованием сигнала распределенного контроля косвенных показателей. Во всех перечисленных работах структура системы управления постулировалась.

В частности, в системах с распределенным контролем отдельные сигналы, поступающие от датчиков, объединялись в общий сигнал с настраиваемыми весовыми коэффициентами.

Представляет интерес дальнейшее развитие работ в данном направлении, состоящее в отказе от предопределенности структуры системы управления, т.е. в попытке получить решение задачи максимизации производительности объекта в формальной постановке. Это решение может оказаться полезным для формализации процесса проектирования структуры и алгоритмического обеспечения не только применительно к рассматриваемому объекту, но и для класса объектов со сходными особенностями формирования показателей качества готовой продукции. Попутно могут быть решены также вопросы определения мест расположения датчиков косвенных показателей по длине объекта и опре-' деления настроечных параметров алгоритмов.

Для решения этих задач потребовалось развитие методов стохастического управления, предложенных ранее в классических работах (Р. Беллмана, А. Брайсона, Ю.И. Дегтярева, Р. Калмана, A.A. Красовского, H.H. Красовского, Б.М. Миллера, П.В. Пакшина, A.B. Пантелеева, Ю.С. Попкова, Хо Ю-Ши, Jazwinski А.Н., Kashyap R.L., Rao A.R.) и получивших дальнейшее развитие в исследованиях (Б.И. Ананьева, Б.Ц. Бахшияна, И.Я. Каца, В.Б. Колмановского, М.Н. Красилыцикова, А.П. Крищенко, В.В. Малышева, А.И. Матасова, B.C. Пугачева, Ю.П. Пытьева, H.H. Синицина, Г.А. Тимофеевой, В.М. Хаметова, Ф.Л. Черноусько, Cramer Н., Leadbetter М и др.). Известно, что законченные результаты получены для задачи управления линейными динамическими объектами с квадратическим критерием качества управления в условиях, когда на управляющие воздействия и переменные состояния объекта не накладываются ограничения-неравенства, параметры объекта являются детерминированными, входные воздействия и измерительные помехи - аддитивные и гауссовские (условное название данной группы результатов - линейно-квадратично-гауссовская, ЛКГ-теория).

На практике предположения ЛКГ-теории не всегда выполняются. В частности, информация о стохастических характеристиках обычно является неполной; для преодоления фактора стохастической неопределенности предлагаются методы адаптивного управления (Я.З. Цышсин, Б.Т. Поляк, В.Н. Фомин, СЛ. Урясьев, A.B. Назин, L. Ljung и др.). Кроме того, управляющие воздействия и переменные состояния практически всегда ограничены, но теоретические основы учета этих ограничений в настоящее время разработаны недостаточно.

Актуальность темы работы в решении теоретических вопросов состоит в выработке подхода к расширению области использования результатов ЛКГ-теории стохастических оптимальных систем управления, позволяющему учесть естественные технологические ограничения на диапазоны изменений управляющих воздействий и показателей качества конечного продукта в условиях, когда вероятностные характеристики внешних воздействий априори известны неточно и подлежат уточнению в ходе работы системы в реальном времени.

Актуальность темы в решении прикладных задач подтверждается возможностью использования результатов для достаточно широкого класса промышленных объектов - не только шаровых мельниц сухого помола цемента, рассматриваемых в работе, но и ряда других объектов, которым свойственен стохастический механизм формирования показателей качества готового продукта (аппараты обогатительных фабрик, объекты пищевой и химической промышленности).

Целью работы является развитие методов теории стохастического управления применительно к задачам синтеза алгоритмов оценивания переменных состояния и ограниченных по диапазону управляющих воздействий для систем автоматизации класса объектов со стохастическим механизмом формирования показателей качества готовой продукции. Результаты излагаются применительно к одному из объектов рассматриваемого класса - к шаровой мельнице сухого помола цемента.

Для достижения цели в работе решены следующие задачи:

1. Анализ особенностей объектов управления со стохастическим механизмом формирования показателей качества продукции и со значительными запаздываниями в каналах «управляющие воздействия — выход».

2. На основе данного анализа - разработка математической модели одного из объектов рассматриваемого класса — шаровой цементной мельницы.

3. Обзор и анализ применимости методов теории стохастических оптимальных систем и оптимального оценивания векторов состояния и неизмеряемых возмущающих воздействий для алгоритмизации управления объектами рассматриваемого класса.

4. Разработка методов и алгоритмов субоптимального стохастического управления, применимых в условиях ограничений, накладываемых на диапазон изменения управляющих воздействий и на технологию контроля показателей качества готового продукта.

5. Сравнительный анализ алгоритмов стохастического оценивания векторов состояния и возмущающих воздействий в условиях неполной информации о вероятностных характеристиках объектов анализа. Выбор методов и алгоритмов оценивания для систем автоматизации объектов рассматриваемого класса.

6. Разработка методики моделирования систем управления объектами рассматриваемого класса, проведение вычислительных экспериментов для исследования эффективности предложенных алгоритмов.

Методы исследований. Проведение исследований базируется на теоретических методах описания дискретных процессов управления в пространстве состояний, теории стохастического и адаптивного оценивания и управления, методах имитационного моделирования.

Достоверность результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов доказывается результатами вычислительных экспериментов, в которых проводится сопоставление показателей качества и характеристик системы, алгоритмическое обеспечение которой синтезировано на базе предложенных методов, с одноименными показателями, во-первых, системы управления, синтезированной методами ЛКГ- теории, и, во-вторых, системы управления, в алгоритмическом обеспечении которой использован популярный пропорционально-интегральный закон управления. Достоверность также подтверждается экспертными заключениями работников внедряющей организации — предприятия Себряковский цементный завод.

Научная новизна.

1. На основе анализа особенностей класса объектов управления со стохастическим механизмом формирования показателей качества продукции впервые предложена математическая модель одного из объектов данного класса (цементной шаровой мельницы), пригодная для синтеза алгоритмов управления в терминах стохастической теории оптимальных систем.

2. Для систем управления объектами рассматриваемого класса поставлена и решена задача синтеза ограниченных по диапазону управляющих воздействий с использованием адаптивных оценок векторов состояния и неконтролируемых возмущающих воздействий.

3. Предложена модификация алгоритмов субоптимальной фильтрации и прогнозирования векторов состояния и стохастических возмущений, позволяющая в реальном времени получать оценки нестационарных стохастических факторов по укороченной выборке предшествующих измерений.

4. Разработана методика оценки эффективности субоптимального управления путем сопоставления показателей качества с показателями, достижимыми, во-первых, в системе, синтезированной без учета ограничений на управляющие воздействия и, во-вторых, в системе, основанной на использовании пропорционально-интегрального закона управления.

5. На основе разработанного формализованного подхода к разработке структуры и алгоритмического обеспечения систем управления объектами со стохастическим механизмом формирования показателей качества усовершенствовано алгоритмическое обеспечение системы автоматизации цементной шаровой мельницы с использованием косвенных показателей.

Практическая значимость результатов.

За счет использования предлагаемой системы управления процессом помола цемента удается уменьшить дисперсию значений тонкости помола, что позволяет использовать результаты работы в двух направлениях:

1. При использовании системы оценки показателя качества продукции по косвенным измерениям переменных состояний (в контуре разомкнутого управления, т.е. без автоматической обратной связи по каналу «производительность - показатель качества») - для раздельного складирования выходного продукта — цемента с выделением объемов, соответствующих различным маркам.

2. При наличии контура обратной связи и системы субоптимального управления - для стабилизации выхода объекта - тонкости помола цемента не менее чем на 7% по сравнению с уровнем, достижимом при ручном управлении без нарушений'показателей качества цемента.

На защиту выносятся:

1. Модель описания транспортирования измельчаемого материала по длине цементной шаровой мельницы.

2. Методика управления процессом помола с учетом ограничений на управляющие воздействия.

3. Алгоритм оценивания переменных состояния и неконтролируемых возмущений, построенный на отклонении оценки выхода объекта от задающего воздействия.

4. Методика обоснования эффективности предложенных субоптимальных алгоритмов оценивания вероятностных характеристик и управления.

Внедрение. Результаты разработки алгоритмического и программного обеспечения переданы на предприятие Себряковский цементный завод для использования в системе управления производительностью цементной шаровой мельницы с учетом технологических требований к качеству готовой продукции.

Учебный вариант математической модели объекта, алгоритмы управления и средства компьютерной поддержки используются в Камышинском технологическом институте (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Волгоградский государственный технический университет» для подготовки инженеров по специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Апробация работы.

Основные положения и отдельные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III и VI всероссийских конференциях «Инновационные технологии в обучении и производстве» (Камышин, 2005; Камышин, 2009), VI международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методологи, технологии» (Воронеж, 2005), VIII международной научно-практической конференции «Экономико-организационные проблемы проектирования и применения информационных технологий» (Кисловодск, 2005), XIII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2006), X международной конференции «Информатика: проблемы, методологии, технологии» (Воронеж, 2010).

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в девяти статьях и материалах конференций [14, 15, 16, 55, 56, 62, 64, 68, 130], три из которых [16, 62, 64] опубликованы в изданиях из Перечня ВАК. Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 163 страницах основного текста, содержит 21 рисунок, 14 таблиц, список литературы из 145 наименований публикаций отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Белоус, Ирина Геннадьевна

4.6. Выводы

1. Результаты теоретических исследований представляемой работы применены для решения задачи разработки алгоритмического обеспечения задач автоматического контроля и управления объектом по косвенным показателям, стохастически связанным с технологическими параметрами, характеризующими качество производимой объектом продукции. В качестве примера такого объекта рассматривается шаровая мельница сухого помола цемента.

2. Приведены предложения по структуре и алгоритмическому обеспечению автоматизированного управления процессом помола цемента в шаровой мельнице сухого помола цемента.

3. Разработана методика оценки эффективности субоптимального управления путем сопоставления показателей качества с показателями, достижимыми, во-первых, в системе, синтезированной без учета ограничений на управляющие воздействия и, во-вторых, в системе, основанной на использовании пропорционально-интегрального (ПИ-) закона управления.

4. Введена система показателей качества для оценки достижения цели и управления. Проведено сопоставление этих показателей качества для рассматриваемых вариантов алгоритмического обеспечения.

5. Разработана методика выбора оптимального места установки датчика измерения косвенного показателя.

6. Приведены рекомендации к использованию результатов исследований в учебном процессе. Излагается краткий сценарий исследовательской лабораторной работы для студентов технических вузов (подготовка по специаль--ности «Автоматизированные системы обработки информации и управления»).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе анализа особенностей класса объектов управления со стохастическим механизмом формирования показателей качества продукции предложен подход к разработке математических моделей объектов рассматриваемого класса, ориентированный на синтез алгоритмов управления в терминах стохастической теории оптимальных систем. Разработанный подход применен для разработки математической модели одного из объектов данного класса (цементной шаровой мельницы),

2. Для систем управления объектами рассматриваемого класса поставлена и решена задача синтеза ограниченных по диапазону управляющих воздействий с использованием адаптивных оценок векторов состояния и неконтролируемых возмущающих воздействий. Предложен фильтр с оценкой вероятностных характеристик в реальном времени по укороченным выборкам предшествующих зашумленных измерений, построенный на отклонении оценки выхода объекта от его желаемого значения.

3. Предложены варианты усовершенствования алгоритмического обеспечения системы автоматизации цементной шаровой мельницы с использованием косвенных показателей, измеряемых в ряде точек на внешней оболочке мельницы. В системе управления учитываются ограничения на диапазон управляющих воздействий, что обеспечивает техническую реализуемость системы при одновременном уменьшении среднего значения отклонения показателя качества от задающего воздействия и сокращении диапазона изменений этого показателя.

4. Разработана методика оценки эффективности субоптимального управления путем сопоставления показателей качества с показателями, достижимыми, во-первых, в системе, синтезированной без учета ограничений на управляющие воздействия и, во-вторых, в системе, основанной на использовании пропорционально-интегрального закона управления.

5. Предложенная методика использована для оценки эффективности предлагаемых алгоритмов управления и фильтрации в системе управления процессом помола в шаровой мельнице сухого помола цемента. Рекомендации по использованию результатов исследования для усовершенствования системы управления процессом помола цемента в шаровых мельницах переданы на ОАО «Себряковцемент».

Список терминов, условных обозначений и сокращений

АКОР — аналитическое конструирование оптимальных регуляторов.

АСОИУ - автоматизированные системы обработки информации и управления.

ЛКГ - линейно-квадратично-гауссовский. м.о. - математическое ожидание.

П - пропорциональный.

ПИ - пропорционально-интегральный.

ПИД - пропорционально-интегрально-дифференциальный.

САУ - система автоматического управления. с.к.о. - среднее квадратическое отклонение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Белоус, Ирина Геннадьевна, 2010 год

1. Адаптивные фильтры: пер. с англ. / Под ред. К. Ф. Н. Коуэна и П.М. Гранта. -М.: Мир, 1988.

2. Александров, А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров. М.: Высшая школа, 1989. - 262 с.

3. Алексеев, Б.В. Производство цемента / Б.В. Алексеев, Г.К. Барбашев. -М., 1985.-250 с.

4. Алексеев, Б.В. Технология производства цемента: учебник для сред, проф.-техн. училищ / Б.В. Алексеев. М. : Высш. школа, 1980.— 266 с.

5. Алтунин, А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: монография / А.Е. Алтунин, М.В. Семухин. Тюмень. Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. - 325 с.

6. Андреев, Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления / Н.И. Андреев. М. : Наука, 1980.

7. Аоки, М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки : пер. с англ., М. : Мир, 1977.

8. Афанасьев, В.Н. Математическая теория конструирования систем управления: учеб. для вузов / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. Изд. 3-е, испр. и доп. М. : Высшая школа, 2003. - 614с.: ил.

9. Афанасьев, В.Н. Управление стохастическими системами / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский М. : Изд-во МИЭМ, 1989.

10. Балакришнан, А. Теория фильтрации Калмана/ А. Балакришнан : Пер. с англ. М. : Мир, 1988. - 168 е., ил.

11. Бауман, В.А. Механическое оборудование предприятий строительных материалов, изделий и конструкций: учебник для строительных вузов / В.А. Бауман, Б.В. Клушанцев, В.Д.Мартынов. М. : Машиностроение, 1981. -324 с.

12. Бахилина, И.М. Синтез грубых линейных квадратичных гауссовских регуляторов / И.М. Бахилина, С.А. Степанов // Автоматика и телемеханика, 1998.-№7.-С. 96-106.

13. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. М. : 1960 400с

14. Белоус, И.Г. Синтез структуры и алгоритмического обеспечения управления стохастическим объектом / И.Г. Белоус, Е.Г. Крушель // Вестник АГ-ТУ.-2010. №2.-С. 78-86.

15. Беседин, П.В. Исследование и оптимизация процессов в технологии цементного клинкера: монография / П.В. Беседин, П.А. Трубаев : .Под общ. ред. П. В. Беседина. Белгород: Изд-во БелГТАСМ, БИЭИ, 2004. - 420 с.

16. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М. : Наука, 1975. - 768 с.

17. Богданов, B.C. Основные процессы в производстве строительных материалов / B.C. Богданов, И.А. Семикопенко, A.C. Ильин. Белгород, 2008. - 550с.

18. Богданов, B.C. Шаровые барабанные мельницы / B.C. Богданов. Белгород, 2002 г.

19. Бойчук, JI.M. Оптимальные системы автоматического регулирования / Л.М. Бойчук. Киев : Наукова думка, 1965. — 84 с.

20. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брайсон, Хо Ю-Ши. М. : Мир, 1972. - 544 с.

21. Браммер, К. Фильтр Калмана-Бьюси / К. Браммер, Г. Зиффлинг, М. : Наука, 1982.

22. Востриков, A.C. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие /. A.C. Востриков. Новосиб. электротехн. ин-т. Новосибирск, 1977. - 65 с.

23. Востриков, Л.С. Управление динамическими объектами: учеб. пособие / Л.С. Востриков. Новосиб. электротехн. ин-т. Новосибирск, 1979. - 112с.

24. Гилл, Ф. Практическая оптимизация / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт : Пер/ с англ. М. : Мир, 1985.

25. Гельфанд, Я.Е. Автоматическое регулирование процессов дробления и помола в промышленности строительных материалов / Я.Е. Гельфанд, И.Е. Гинзбург. Л. : Стройиздат, 1969. - 176 с.

26. Гинзбург, И.Б. Автоматизация цементного производства: справ, пособие / И.Б. Гинзбург, А. Б. Смолянский. Л. : Стройиздат Ленингр. отд-ние, 1986.-С. 190

27. Городецкий, А .Я. Информационные системы. Вероятностные модели и статистические решения: учеб. пособие / А.Я. Городецкий. СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2003. - 326 с.

28. Гольцов, A.C. Применение методов искусственного интеллекта в управлении проектами/ A.C. Гольцов, Л.А. Растригин / Под ред. Соколова А.Ю. X.: НАУ им. Н.Е. Жуковского ХАИ, 2002. - 474 с.

29. Граничин, О.Н. Введение в методы стохастической оптимизации и оценивания: Учеб. пособие / О.Н. Граничин. СПб. : Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2003. - 131с.

30. Гулько, Ф.Б. Решение нестационарных задач фильтрации и упреждения при произвольной помехе методами моделирования / Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. // Автоматика и телемеханика. 1966. № 10. - С 153-168.

31. Дамдинова, Д.Р. Машины и оборудование для измельчения и сортировки строительных материалов: учеб. пособие / Д.Р. Дамдинова, В.Г. Донду-ков. Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2004.

32. Дахнович, A.A. Дискретные системы и цифровая обработка сигналов: учеб. пособие / A.A. Дахнович. — Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007.- 100 с.

33. Дегтярев, A.A. Элементы теории адаптивного расширенного фильтра Калмана / A.A. Дегтярев, Ш. Тайль. М. : Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2003.

34. Деревицкий, Д.П. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления / Д.П. Деревицкий, A.JI. Фрадков. М. : Наука, 1981.-216с.

35. Драбкин, Г.С. Автоматизация цементных заводов / Г.С. Драбкин, И.П. Бровар, Я.Е. Гельфанд, Э.Л. Ицкович. -М. : Госстройиздат, 1961.

36. Дуда В. Цемент / В. Дуда : Пер. с нем. Е.Ш.Фельдмана. М. : Стройиздат, 1981.-464с.

37. Дуда, В. Цемент, электрооборудование, автоматизация, хранение, транспортирование: справ, пособие. -М. : Стройиздат, 1987. -373 с.

38. Еремин, Е.Л. Гиперустойчивость системы управления нелинейным объектом с запаздыванием / E.JI. Еремин // Автоматизация технологических процессов : сб. ст. Фрунзе : Фрунзенск. политех, ин-т, 1987.

39. Заде, JI. Теория линейных систем. (Метод пространства состоянии) / JI. Заде, Ч. Дезоер : Пер. с англ. М. : Наука, 1970. - 703 с.

40. Казакевич, В.В. Системы автоматической оптимизации / В.В. Казакевич, А.Б. Родов. М.: Энергия, 1977. - 288 с.

41. Калман, Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания / Р. Калман, Р. Бьюси. // Техн. механика. Сер. Д. 1961. Т. 83, № 1.

42. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб : пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цыпкина. Предисл. Э.Л. Наппельбаума. Изд. 2-е, стереот. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 400с

43. Кваркернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / X. Квар-кернаак, Р. Сиван -М. : Мир, 1977. 650 с.

44. Козлов, В.Н. Управление энергетическими системами. Теория автоматического управления / В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихин : под ред. В.Н. Козлова. СПб. : Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 255с.

45. Колмановский, В. Б. Задачи оптимального управления / В.Б. Колманов-ский // Соросовский Образовательный Журнал 1997. - № 6. - С. 121127.

46. Колмановский, В.Б. Задачи оптимального оценивания / В.Б. Колмановский // Соросовский образовательный журнал, 1999. №11 С. 122-127.

47. Колмановский, В.Б. Приближенный метод для решения задачи оптимального управления в системах с последействием / В.Б. Колмановский, А.И. Матасов. Доклады Академии наук, 1997, Т. 354, №4, С. 465-468.

48. Красовский, A.A. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными прочесами / A.A. Красовский, В.Н. Буков, B.C. Шендрик. -М.: Наука, 1977.-272с.

49. Красовский H.H. Задачи управления с гарантированным результатом / H.H. Красовский, В.Е. Третьяков Свердловск : Средне-Уральское книжное изд-во, 1986. - с.

50. Красовский, H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / H.H. Красовский. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. - 211 с.

51. Кругликов, C.B. О принципе дуальности для задач гарантированного априорного управления и оценивания / C.B. Кругликов //Докл. РАН. — 1994. -Т. 335, №5.-С. 570-572.

52. Крушель, Е.Г. Влияние ограниченности диапазона управляющих воздействий на качество управления / Е.Г. Крушель, И.Г. Белоус // Инновационные технологии в обучении и производстве : тез. докл. VII всерос. конф. Камышин. Камышин, 2010. Т. 4. - С. 97-100.

53. Крушель, Е.Г. Выбор оптимального места установки датчика / Е.Г. Кру-шель, И.Г, Шляхтина (Белоус) // Инновационные технологии в обучении и производстве : тез. докл. III всерос. конф. Камышин. Камышин, 2005. -Т. 2. - С. 130-134.

54. Крушель, Е.Г. Информационное запаздывание в цифровых системах управления : Монография / Е.Г. Крушель, И.В. Степанченко. Волгоград : Изд-во ВолгГТУ РПК "Политехник", 2004. - 120 с.

55. Крушель, Е.Г. О сходимости процесса настройки коэффициентов распределенного контроля / Е.Г. Крушель // Идентификация и управление в системах с неполной информацией : сб. ст. — Фрунзе : Изд-во «Илим» Академии наук Киргизской ССР, 1968. С. 23-28.

56. Крушель, Е.Г. О точности воспроизведения задания в стохастических системах с управляющими воздействиями, ограниченными по диапазону / Е.Г. Крушель, И.Г. Белоус // Известия ВолгГТУ. 2009. №12(60). - С. 4448.

57. Крушель, Е.Г. Оценка неизмеряемых показателей качества технологического процесса и входных возмущений по результатам автоматического контроля косвенных показателей / Е.Г. Крушель, И.Г. Белоус // Известия ВолгГТУ. 2009. №12(60). - С. 71-74.

58. Крушель, Е.Г. Способ формирования сигнала распределенного контроля для автоматизации помола цемента в шаровых мельницах / Е.Г. Крушель, В.П. Живоглядов, Б.М. Миркин, Н.П. Шарапов // Журн. Внедренные изобретения. 1975. — №1. - М.

59. Крушель, Е.Г. Способ формирования сигнала распределенного контроля для-автоматизации помола цемента в шаровых мельницах / Е.Г. Крушель, В.П. Живоглядов, Б.М. Миркин, Н.П. Шарапов Авторское свид. №374098

60. Кузин, JI.T. Расчет и проектирование дискретных систем управления / Л.Т. Кузин. М. : ГНТИ Маш. лит., 1962. - 683 с.

61. Кузнецов, Б.Ф. Стохастические модели и методы анализа информационно-измерительных систем АСУ ТП: Монография. / Б.Ф. Кузнецов. Ангарск : Изд-во Ангарской государственной технической академии, 2007. — 180 е.: ил.

62. Куликовский, Р. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического регулирования / Р. Куликовский : Пер. с польск. М. : Hay- < ка, 1967. - 380 с.

63. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления/ Б. Куо : Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1986. - 448 с.

64. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский. -М. : Наука, 1977. 365с.

65. Летов, A.M. Аналитическое конструирование регуляторов / A.M. Летов// Автоматика и телемеханика. 1960. №¡4. - С. 436-441; №5. - С. 561-568; №6. - С. 661-665; 1961, №4. - С. 425-435.

66. Липцер, Р.Ш. Статистика случайных процессов / Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев.-М. :, 1974

67. Макаров, И.М. Линейные автоматические системы / И.М. Макаров, В.М. Менский. М. : Машиностроение, 1982. - 504 с.

68. Мееров, М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности / М.В. Мееров. М. : Гос. изд. физ. мат. Лит, 1959. — 284 с.

69. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы / М. Меса-рович, Я. Такахара : Пер. с англ. М. : Мир, 1978. - 312 с.

70. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 3-х т. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 736 с.

71. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 3-х т. Т.З: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.-748 с.

72. Миллер, Б.М. Задача оптимального стохастического управления потоком данных по неполной информации / Б.М. Миллер, К.Е. Авраченков, К.В. Степанян, Г.Б. Миллер // Проблемы передачи информации. 2005. - № 2. -С 89-110.

73. Миллер, Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

74. Мирошник, И. В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.Л. Фрадков., СПб. : Наука, 2000. - 550с.

75. Митрахович, М.М. Интеграция методов при синтезе сложных систем в условиях априорной неопределенности / М.М. Митрахович // Автоматика. Автоматизация. Элекротехнические комплексы и системы. Херсон: Херсон НТУ, 2008. - №2(22). - С. 46-53.

76. Мишкин, Э. Приспосабливающиеся автоматические системы / Э. Мишкин, Л. Браун. : Пер. с англ. М. : ИИЛ, 1963. - 672 с.

77. Новиков Д. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд "Проблемы управления", 1999.- 161 с.

78. Окунев, Л.Я. Высшая алгебра / Л.Я. Окунев. — М. : Учпедгиз, 1958.

79. Основы теории управления: учебн. пособие / Ю.Ю. Громов и др.. Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. - 240 с.

80. Основы управления технологическими процессами / С.А. Анисимов и др.: под ред. Н.С. Райбмана. М. : Наука, 1978. - 440 с.

81. Острем, К. Системы управления с ЭВМ / К. Острем, Б. Виттенмарк : Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 480 с.

82. Пантелеев, A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах / A.B. Пантелеев, Т.А. Летова. Изд. 2-е, испр. - М. : Высш. шк., 2005. - с.

83. Первозванский, A.A. Курс теории автоматического управления: учеб. по-соб. / A.A. Первозванский М. : Наука, 1986. - 616 с.

84. Первозванский, A.A. Математические модели в управлении производством / A.A. Первозванский. М. : Наука, 1975. - 616 с.

85. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М. : Наука, 1976.-392 с.

86. Проектирование цементных заводов: учеб. пособие. Под редакцией Зозули П.В., Никифорова Ю.В. СПб. : Синтез, 1995 г. - 445 с.

87. Проскурня, Ю.С. Прогноз динамики продаж на основе адаптивного фильтра Калмана / Ю.С. Проскурня, Б.С. Гривко // Науковий вюник КУЕ1ТУ. 2009. № 2 (24). - С. 76-81.

88. Пугачев, B.C. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация / B.C. Пугачев, И.Н. Синицын. М. : Наука, 1990. Изд.2, доп. - 632с.

89. Пугачев, B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / B.C. Пугачев. М. : Гос. изд. физ.-мат. литры., 1962.-883с.

90. Пугачев, B.C. Условно оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов / B.C. Пугачев // АиТ. 1984. №. - С.

91. Пытьев, Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем / Ю.П. Пытьев. М. : Наука, 2002. - 384 с.

92. Рей, У. Методы управления технологическими процессами / У. Рей. М. : Мир, 1983.

93. Ротач, В.Я. Об уточнении основных положений теории автоматического управления недетерминированными объектами / В.Я. Ротач // Теория и практика построения и функционирования АСУ : сб. науч. тр. М. : МЭИ, 1998.

94. Ротач, В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов / В.Я. Ротач. 4-е изд., стереот. - М. : Издательский дом МЭИ, 2007. - 400 е., ил.

95. Сапожников, М.Я. Механическое оборудование предприятий строительных материалов, изделий и конструкций / М.Я. Сапожников. М. : Высшая школа, 1971. - 382 с.

96. Саридис, Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления / Дж. Саридис. М. : Наука, 1980. - 400 с.

97. Системы автоматического управления с запаздыванием: учеб. пособие / Ю.Ю. Громов и др.. Тамбов. : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. -76с.

98. Соколов, Н.И. Аналитический метод синтеза линеаризованных систем автоматического регулирования / Н.И. Соколов. М. : Машиностроение, 1966.-328 с.

99. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Кра-совского. -М. : Наука, 1987. - 712 с.

100. Срагович, В.Г. Адаптивное управление / В.Г. Срагович. М. : Наука, 1981.-384 с.

101. Сысоев, Л.П. Оценка параметров, обнаружение и различение сигналов / Л.П. Сысоев. М. : Наука, 1969. - 230с.114115,116,117,118119120121122123124125126

102. Теория автоматического управления: учеб. пособие для вузов: В 2-х ч.:

103. Под ред. Воронова A.A. М. : Высшая школа, 1977. - 303 с.

104. Теория вероятностей: учеб. для вузов. 3-е изд., испр. / A.B. Печинкин,

105. О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. - 456 с.

106. Тюкин, И.Ю. Адаптация в нелинейных динамических системах / И.Ю.

107. Тюкин, В.А. Терехов. М. : ЛКИ, 2008. - 384 с.

108. Управление и наведение беспилотных маневренных летательных аппаратов на основе современных информационных технологий / К.К. Вереме-енко и др. / Под ред. М.Н. Красилыцикова, Г.Г. Себрякова. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 280 с.

109. Фельдбаум, A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем /

110. A.A. Фельдбаум. М. : Физматгиз, 1963. - 552 с.

111. B.Н. Фомин. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 336 с.

112. Фомин, В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация / В.Н. Фомин. М.: Наука, 1984г. - 288 с.

113. Черноусько, Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления / Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук. М.: Наука, 1973. - 237с.

114. Черноусько, Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф.Л. Черноусько, В.Б. Колмановский. М. : Наука, 1978. 352 с.

115. Шейнин, А М Цементобетон для дорожных и аэродромных покрытий / A.M. Шейнин. -М. : Транспорт, 1991. 151с.

116. Athans, М. The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem in Control System Design / M Athans. IEEE Trans. Automat. Contr., 1971. AC-16. P. 529—552.

117. Birge, J.R. Introduction to Stochastic, Programming, Springer / J.R. Birge, F. Louveaux-NY, 1997. Vol. 1,3.

118. Cramer, H. Stationary and Related Stochastic Processes. Sample Function Properties and Their Application / H. Cramer, M. Leadbetter. New York, London, Sidney : John Wiley, 1967.

119. Fradkov, A. L. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Systems / A.L. Fradkov, I.V. Miroshnik, V.O. Nikiforov. Series: Mathematics and Its Applications. Vol. 491. - Kluwer, Dordrecht, 1999. - P 528.

120. Grewal, M.S. Kalman Filtering Theory and Practice / M.S. Grewal, A.P. Andrews : John Wiley Sons, Inc., 2002.

121. Gusev, M.I. On the stability of solution of the inverse problems in control system dinamics / M.I. Gusev // Probl. Control and Inform. Theory. 1988. -Vol.17, №.5.-P.297-310.

122. Jazwinski, A.H. Stochastic processes and filtering theory / A.H. Jazwinski. -NY. : Academic Press, 1970.

123. Josef, P.D. Optimum design of linear multivariate digital control systems / P.D. Josef, J.T. Tou // On linear control theory. 1961. AIEE Trans, on Appl. and Ind., pt. II, v.80. - P. 193-198.

124. Kruglikov, S.V. On the separation principle in guaranteed control / S.V. Krug-likov // Modeling, Estimation and Control of Systems with Uncertainty. Boston etc.: Birkhauser, 1991. - Vol. 335, №.5. - P. 570-572.

125. Landau, I.D. Adaptive control systems: the model reference approach / I.D. Landau. N.Y.: Marsel Dekker, 1979.

126. Luenberger, D.G. Canonical forms for linear multivariable systems / D.G. Lu-enberger // IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC- 12, №3, 1967. P. 290293.

127. Sastry, S.S. Adaptive Control of Linearizable Systems / S.S. S as try, A. Isidori. // IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC- 34, №11, 1989. P. 1123-1131.

128. Simon, D. Kaiman Filtering / D. Simon. Embedded Systems Programming, 2001.-P. 72-79.

129. Utkin, V.l. Sliding mode control in discrete-time and difference systems / V.l. Utkin // Variable Structure and Lyapunov Control / Ed. by A.S.I Zinober. Springer-Verlag, 1994.