Модели и алгоритмы решения прямых и обратных задач гравиразведки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Рязанцев, Владимир Андреевич

• Рязанцев, Владимир Андреевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Рязанцев, Владимир Андреевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи математического моделирования прямых и обратных задач гравиразведки

1.1. Обзор методов решения прямых и обратных задач гравиразведки

1.2. Прямые задачи гравиразведки

1.3. Обратные задачи гравиразведки

Выводы

Глава 2. Аналитический и численный методы решения задачи одновременного восстановления плотности, формы и глубины залегания гравитирую-щего тела

2.1. Построение математических моделей

2.2. Построение аналитического метода определения формы, плотности и глубины залегания источников гравитационного поля в двух- и трехмерной контактных задачах

2.3. Построение численного метода решения обратных нелинейных задач гравиразведки

2.4. Разработка методики построения обобщенных обратных задач

2.5. Решение модельных задач и интерпретация результатов

Выводы

Глава 3. Разработка численных алгоритмов аппроксимации физических полей

3.1. Обзор современных результатов в области продолжения физических полей

3.2. Построение вычислительных схем аппроксимации потенциальных полей

3.3. Построение вычислительных схем аппроксимации тепловых полей

3.4. Решение модельных примеров и интерпретация результатов

Выводы

Глава 4. Построение критериев устойчивости динамических систем и вы-

числительных алгоритмов

4.1. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений в частных производных

4.2. Исследование устойчивости разностных схем

Выводы

Глава 5. Разработка программного комплекса

5.1. Описание алгоритма и программы восстановления физических полей в заданной области пространства

5.2. Описание алгоритма и программы определения формы и плотности гравитирующего тела при решении задачи потенциала

5.3. Выводы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение. Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ и акты о внедрении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и алгоритмы решения прямых и обратных задач гравиразведки»

Введение

Актуальность темы. Гравиразведка представляет собой комплекс методов, предназначенных для анализа строения коры Земли и поиска и исследования залежей полезных ископаемых на основе измерений различных характеристик аномального поля, создаваемого распределениями притягивающих масс. Значение этих методов особенно возросло в последние десятилетия благодаря появлению и развитию спутниковой градиентометрии, а также совершенствованию измерительных приборов, позволяющих регистрировать малые возмущения гравитационных полей.

Помимо точности измерительной техники, успешность применения гра-виразведки к решению практических задач обуславливается эффективностью используемых для интерпретации гравиметрических данных математических моделей и численных методов. В прямой задаче гравиразведки речь идет в первую очередь о построении достаточно точных и адекватных реальной геофизической практике математических моделей, связывающих основные параметры гравитирующего тела со значениями создаваемого этим телом поля сил тяжести, а также о построении численных алгоритмов определения гравитационных аномалий по заданным характеристикам распределения источников потенциального поля. Обратная задача гравиразведки заключается в определении параметров распределения гравитирующих масс по измерениям создаваемого этим распределением поля силы тяжести. Хорошо известно, что в настоящее время отсутствуют аналитические методы решения этих задач, и единственным источником достоверной информации являются численные алгоритмы.

В настоящее время наиболее хорошо разработанными и часто используемыми в гравиразведке являются линейные математические модели, накладывающие существенные ограничения на точность решения прикладных проблем. Поэтому значительный интерес представляет построение нелинейных моделей, более адекватных реальной геофизической практике и описывающих более широкие классы задач геофизики.

Фундаментальное значение для современной гравиразведки играет такое свойство обратной задачи геофизики, как ее некорректность, обуславливающая значительные трудности при ее решении. Эти трудности связаны с возможной неединственностью решения обратной задачи при одинаковых входных данных, а также с чувствительностью решения задачи к малым колебаниям заданных характеристик гравитационного поля. Теория некорректно поставленных задач начала активно развиваться с исследований А.Н. Тихонова и получила дальнейшее развитие в работах В.К. Иванова и М.М. Лаврентьева. В развитие теории решения некорректно поставленных задач большой вклад внесли В.Я. Арсенин,

A.B. Бакушинский, В.Г. Васильев, В.В. Васин, В.В. Воеводин, В.Б. Гласко, A.B. Гончарский, O.A. Лисковец, Г.И. Марчук, В.А. Морозов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, А.Г. Ягола и др. Важнейшие результаты в области решения обратной задачи гравиразведки были получены такими учеными, как 3.3. Арсанукаев,

B.М. Верезкин, Ю.И. Блох, Е.Г. Булах, Г.М. Воскобойников, В.Б. Гласко, Г.Я. Голиздра, М.С. Жданов, A.A. Заморев, А.И. Кобрунов, А.К. Маловичко, П.С. Мартышко, Е.А. Мудрецова, П.С. Новиков, Б.В. Нумеров, С.М. Оганесян, И.Л. Пруткин, В.И. Старостенко, В.Н. Страхов, В.Г. Чередниченко, А.Ф. Шестаков и др.

Тем не менее, несмотря на большой объем исследований, проведенных учеными различных стран, многие вопросы численного моделирования прямых и обратных задач гравиразведки остались неисследованными. В частности, в связи с бурным развитием вычислительной техники чрезвычайно актуальной является потребность в разработке достаточно точных и устойчивых численных алгоритмов решения обратной задачи гравиразведки. В связи с этим активно развивается новый подход к решению прямых и обратных задач гравиразведки, предложенный В.Н. Страховым и заключающийся в построении дискретных аппроксимаций потенцр1альных полей и последующей алгебраизации решаемой задачи. В рамках этого подхода, в частности, огромное прикладное значение приобретает применение к решению геофизических задач аппарата теории разностных схем вследствие его относительной простоты и легкости его программ-

ной реализации.

В настоящее время отсутствуют аналитические и численные методы одновременного определения области, занимаемой телом, вызывающим возмущения силы тяжести, плотности этого тела и глубины его залегания.

Принципиальной и чрезвычайно актуальной для современной геофизики является проблема разработки устойчивых разностных методов продолжения потенциальных полей, создаваемых локальными источниками.

Наконец, на сегодняшний день большое значение для геологоразведочной практики имеет задача разработки оптимальных методов размещения измерительной аппаратуры при исследовании потенциальных, магнитных и тепловых полей.

В последние несколько десятилетий в различных областях физики и техники активно исследуются эредитарные процессы, позволяющие обнаружить новые закономерности, связанные с эффектом последействия. Подобные исследования в рамках гравиразведки ранее не проводились.

Тем самым, разработка точных, эффективных и быстродействующих алгоритмов решения прямой и обратной задач гравиразведки в различных постановках является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является повышение точности, быстродействия и устойчивости решения прямых и обратных задач гравиразведки за счет разработки математических моделей, алгоритмов численной реализации этих моделей и методик исследования их точности и устойчивости.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Проанализировать основные результаты, полученные в области исследования прямых и обратных задач гравиразведки.

2. Разработать методику построения математических моделей одновременного восстановления формы тела, его плотности и глубины залегания по создаваемым им гравитационным полям.

3. Разработать аналитический и численный методы одновременного восста-

новления формы тела, его плотности и глубины залегания по создаваемым им гравитационным полям.

4. Разработать оптимальные алгоритмы аппроксимации потенциальных и тепловых полей.

5. Разработать методику построения оптимальных алгоритмов размещения измерительной аппаратуры при исследовании и эксплуатации месторождений.

6. Разработать численные алгоритмы продолжения потенциальных полей и локализации вызвавших их источников.

7. Разработать методику исследования устойчивости математических моделей и численных методов решения обратных задач гравиразведки. Методы исследований. Основные результаты диссертационной работы

получены с использованием методов математического моделирования, численных методов, функционального анализа, методов теории устойчивости по Ляпунову, методов математической физики, информационных технологий.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования: 1. -Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений. 2. - Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей. 3. - Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий и 5. - комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана нелинейная математическая модель обратной задачи гравиразведки для контактных поверхностей в двухмерном и трехмерном случаях.

2. Разработан аналитический метод одновременного восстановления формы,

плотности и глубины залегания гравитирующего тела по заданным значениям гравитационного поля или его производных.

3. Разработан численный метод одновременного восстановления формы, плотности и глубины залегания гравитирующего тела по заданным значениям гравитационного поля или его производных.

4. Разработан численный алгоритм оптимальной аппроксимации тепловых полей.

5. Разработаны устойчивые численные алгоритмы восстановления потенциальных и тепловых полей.

6. Разработана методика исследования устойчивости математических моделей, описываемых параболическими и гиперболическими уравнениями, в том числе, уравнениями с дробными производными.

Практическая значимость работы. Разработан программный комплекс, в рамках которого реализованы адаптивные разностные алгоритмы продолжения потенциальных и тепловых полей, а также численный метод одновременного определения плотности и формы гравитирующего тела при решении задачи потенциала.

Разработанные алгоритмы оптимальной аппроксимации тепловых полей и программный комплекс, используемые при конструировании измерительных преобразователей, позволяют на 10% повысить точность преобразователей и на 15-20% ускорить процесс проектирования. Разработанная методика оптимального размещения измерительной и промышленной аппаратуры при исследовании и эксплуатации залежей полезных ископаемых позволяет существенно сократить время проведения поисковых работ в геофизике и снизить на 15-20% их стоимость.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечена корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами тестовых и натурных экспериментов, а также регистрацией разработанного комплекса программ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитический метод одновременного восстановления формы гравитирую-щего тела, его плотности и глубины залегания по заданным характеристикам аномального потенциального поля на поверхности Земли или вблизи нее.

2. Численный метод решения задачи одновременного восстановления формы гравитирующего тела, его плотности и глубины залегания по заданным характеристикам аномального потенциального поля на поверхности Земли или вблизи нее.

3. Оптимальные по точности алгоритмы дискретных аппроксимаций физических (потенциальных и тепловых) полей и их использование для оптимального размещения измерительной и промышленной аппаратуры.

4. Методика построения устойчивых разностных схем восстановления теплового и потенциального полей, основанных на использовании неравномерных сеток, и их применение к продолжению потенциальных полей.

5. Критерии устойчивости разностных схем с неравномерными сетками узлов.

6. Критерии устойчивости решений дифференциальных уравнений в частных производных целых и дробных порядков.

7. Комплекс программ для расчета аппроксимации потенциальных полей и решения обратной задачи гравиметрии в двух- и трехмерной постановках. Внедрение результатов работы и связь с научными программами.

Диссертационная работа была выполнена на кафедре высшей и прикладной математики факультета вычислительной техники Пензенского государственного университета. Выбранная тема исследований является частью научной работы, которая проводится на кафедре в рамках научно-исследовательских работ, выполняемых по государственному заданию Минобрнауки РФ:

- "Оптимальные методы вычисления гиперсингулярных интегралов, решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к задачам аэродинамики, электродинамики и геофизики" (2005-2009), регистрационный номер 0120.0502705.

- "Аналитические и численные методы исследования динамических процессов в биосистемах и физической кинетике" (2010-2011), регистрационный номер 0120105992.

- "Численные методы анализа прямых и обратных задач переноса излучения на наноструктурах" (2012-2013), регистрационный номер 1.656.2011. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе направления "Прикладная математика" при выборе тем курсовых и дипломных проектов.

Разработан программный комплекс (свидетельства № 2014663162 и № 2015610120 о государственной регистрации программы для ЭВМ), решения задачи восстановления потенциального поля на заданную глубину по заданным значениям потенциала на поверхности Земли, а также на некоторой высоте от поверхности. Указанный программный комплекс, использованный в исследовательской, производственной и проектно-конструкторской деятельности при исследовании и разработке перспективных для поисков полезных ископаемых районов и при оценке залежей углеводородного сырья, позволяет улучшить методы расчета и анализа источников возмущения полей силы тяжести.

Апробация диссертации. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: X научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" с участием зарубежных ученых (г. Саранск, 2012 г.), VII Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2012 г.), VII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2013 г.), VI международная математическая школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" им. Е. В. Воскресенского. (г. Саранск, 2013 г.), VIII Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонауч-

ных и социальных проблем" (г. Пенза, 2013 г.), 41-я сессия Международного семинара им. Д.Г. Успенского "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" (г. Екатеринбург, 2014 г.), VIII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2014 г.), Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (г. Тамбов, 2014 г.), XI научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" с участием зарубежных ученых (г. Саранск, 2014 г.), IX Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2014 г.), IX Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2015 г.), ежегодные научные конференции профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета (2012-2015).

Личный вклад автора. Все основные результаты, представленные в диссертационной работе, сформулированы и получены автором самостоятельно. Работы [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит формулировка решаемой проблемы и концепция ее решения. В работе [11] автором предложен подход к анализу устойчивости решения систем уравнений с дробными производными. В работе [12] разработанный в цикле работ [3, 4, 10] адаптивный разностный метод продолжения физических полей, распространен автором на решение уравнения Гельмгольца. В работах [13], [14] автором проведено обобщение методики исследования устойчивости систем дифференциальных уравнений в частных производных, изложенной в работах[1, 2, 5, 6, 8, 11]. В программном комплексе автором разработаны основные алгоритмы и составлены программные коды.

Публикации. По материалам диссертационного исследования опублико-

вано 16 работ, включая 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ, 4 работы опубликовано без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав с выводами, заключения, списка использованных источников и приложения. Общий объем работы составляет 159 страниц, из них 127 страниц основного текста, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 224 наименования.

Глава 1

Постановка задачи математического моделирования прямых и обратных задач гравиразведки

1.1. Обзор методов решения прямых и обратных задач

гравиразведки

Гравиразведка является методом разведочной геофизики, основанным на изучении вариаций поля силы тяжести Земли, вызываемых плотностными неод-нородностями земной коры [15]. Анализ и интерпретация гравитационного поля позволяет изучать распределение неоднородных по плотности масс в земной коре.

Следуя работе [16], дадим краткое описание исторического развития математических моделей геофизики. Современные математические модели геофизики уходят корнями в XVП-Х1Х века, когда были выведены основные физические законы, составляющие фундамент современной физики, разработаны основы теории гравитационных, магнитных и электрических полей, а математическая физика выделилась в самостоятельную ветвь математики. В период с середины XIX века по 20-е годы XX века возникает и развивается общая геофизика, и вместе с ней появляются такие дисциплины, как гравиметрия, сейсмология, учения о магнитном и электрическом полях Земли и т. д. [17].

Выяснение связи между аномалиями поля сил тяжести на поверхности Земли и локализованными на определенной глубине гравитирующими массами открыло дорогу к развитию в первой половине XX века прикладной геофизики. В этот период были разработаны и технически реализованы основные геофизические методы исследования строения земной коры и разведки залежей полезных ископаемых. В основе этих методов лежат измерения и изучения различных физических полей (магнитного, температурного, гравитационного, электрического и т. д.), при этом первыми возникли магнитометрический и гра-

виметрический методы, а позднее стали развиваться и другие методы, среди которых, в частности, геотермические, сейсмические, электрические и радиологические методы.

Одним из наиболее разработанных и широко распространных геофизических методов в настоящее время является гравиметрический метод (гравираз-ведка). Теоретическая база гравиметрического метода начала формироваться в конце XVI века с опытов Г. Галилея, впервые вычислившего значение ускорения свободного падения на поверхности Земли. Изучение сил тяготения затем продолжилось в работах X. Гюйгенса, И. Кеплера и И. Ньютона. Последнему принадлежит честь открытия закона всемирного тяготения, составляющего фундамент современной гравиметрии. Позднее М. В. Ломоносов в 1753 году выдвинул гипотезу о том, что вариации силы тяжести на поверхности Земли обусловлены неоднородностями ее внутренней структуры и сконструировал измерительный прибор для исследования упомянутых вариаций. Дальнейшее интенсивное развитие гравиметрии происходило во многом благодаря всесторонней разработке такими учеными, как, например, К. Гаусс, П.-С. Лаплас, К. Маклорен, М. В. Остроградский, С. Пуассон и Дж. Стоке, методов математической физики и математической теории поля. Это, а также разработка и распространение к концу XIX века эффективных приборов для определения величины силы тяжести, позволили в дальнейшем перейти к систематическому изучению строения земной коры на основе данных гравиметрических измерений [17]. В России активное развитие гравиметрических исследований следует связать в первую очередь с именами Ф. А. Слудского и П. К. Штернберга [18], которые провели большую работу по измерению сил тяжести для изучения гравитационного поля Земли на территории страны. Важным этапом в истории отечественной гравиметрии является исследование под руководством П. П. Лазарева Курской магнитной аномалии, в ходе которого полученные разведочные данные были впервые с успехом применены для решения одной из важнейших задач геофизики - определению основных характеристик рудного тела, являющегося источником аномального гравитационного поля [19]. В советскую эпоху

гравиметрическая наука нашла дальнейшее развитие в трудах таких ученых как А. Д. Архангельский [20], Б. К. Балавадзе [21], Ю. И. Блох [22], Г. А. Гам-бурцев [23], В. Н. Дахнов [24], А. И. Заборовский [25], А. А. Михайлов [26], Б. В. Нумеров [27], [28], Н. Н. Парийский [29], Л. В. Сорокин [30], В. И. Старостенко [31], В. Н. Страхов [32], В. В. Федынский [17], Э. Э. Фотиади [33] и др.

Сегодня гравиметрический метод наряду с сейсмическим методом является одним из самых развитых и распространенных методов прикладной геофизики. В круг задач, решаемых в рамках гравиразведки, входит:

1. исследование внутреннего строения земной коры и разведка участков, предположительно богатых полезными ископаемыми с тем, чтобы изучить эти участки более тщательно в том числе и с использованием иных геофизических методов;

2. решение ряда задач геологии и геодезии, в частности, дальнейшее уточнение фигуры Земли;

3. изучение планетарного строения Земли, а также других планет [18].

В настоящее время продолжают активно развиваться новые, значительно более точные и эффективные, технологии и методы гравиметрических измерений, в частности, весьма широко применяется и совершенствуется спутниковая гравиметрия и альтиметрия [34]. Наконец, имеется большая практическая потребность в разработка и анализе новых математических моделей геофизических процессов, позволяющих более эффективно решать как прямые, так и обратные задачи гравиразведки. В связи с развитием вычислительной техники представляет значительный интерес разработка мощного аппарата численных методов решения задач интерпретации гравитационных аномалий. Сам процесс интерпретации может быть разделен на следующие последовательные этапы [18]:

- физико-геологическое моделирование (на основе имеющихся геологических данных строится модель изучаемого объекта);

- математическая обработка и трансформация гравитационных аномалий;

- интерпретация и геологическое истолкование результатов.

Количественные методы интерпретации включают в себя решение прямой и обратной задач гравиразведки.

Развитие методов прикладной геофизики и совершенствование технологий измерений и исследований поля сил притяжения Земли неотделимо от развития теории анализа и интерпретации геофизических полей. В. Н. Страхов в статье [35] отмечает, что упомянутая теория начала формироваться в XVIII-XIX веках, а ее окончательное становление произошло в XX веке. При этом исторический срез теории интерпретации включает в себя две основных парадигмы: "периода ручного счета" и "периода ранней компьютерной эпохи". Парадигма периода ручного счета (продолжавшаяся в 20-е - 60-е годы прошлого столетия) включает в себя прежде всего палеточные и графические методы расчета потенциальных полей. В этот период были получены аналитические формулы расчета потенциальных полей, которые создаются гравитирующими телами, имеющими наиболее простую геометрически правильную форму. Обратные задачи решались в основном методом подбора и только в двухмерном случае. Вопросы единственности и устойчивости решений обратных задач геофизики исследовались ограниченно, но тем не менее, в этой области были получены некоторые важные результаты (в частности, теорема П. С. Новикова о единственности [36]). Эта парадигма связана в первую очередь с именами Г. А. Гамбурцева, А. И. Заборовского, Н. Р. Малкина, Б. В. Нумерова, Л. В. Сорокина и других.

С 60-х годов начинается вторая парадигма развития теории интерпретации геофизических полей - парадигма ранней компьютерной эпохи. Эта парадигма в первую очередь характеризуется систематической разработкой методологии интерпретации геофизических данных. В этот период базовыми инструментами анализа становятся аппараты теории функций комплексного переменного и спектральной теории. Кроме того, во второй половине XX века возник и начал интенсивно развиваться вероятностно-статистический подход к проблеме обработки и интерпретации геофизических данных; в числе работ, в которых он изложен в общем виде, можно назвать доклад Л. А. Халфина [37] и мо-

нография Ф. М. Гольцмана [38]. Статистические методы приобрели большое значение в теории обработки и интерпретации геофизических данных в связи с совершенствованием вычислительной техники, открывшим дорогу к разработке многочисленных методов статистического анализа и фильтрации сигналов; эти методы подробно рассматриваются, в частности, в книгах В. И. Ароно-ва [39] А. А. Никитина [40] и С. А. Серкерова [41]. В то же время, в период второй парадигмы фундаментальное значение для гравиразведки приобретает теория решения некорректных задач, а методы, разработанные в рамках этой теории, являются основными методами, используемыми для решения задач интерпретации потенциальных полей. Наконец, детальному исследованию были подвергнуты вопросы единственности и устойчивости решений не только обратных задач гравиразведки, но и [35] задач трансформации потенциальных полей, определения особых точек аналитического продолжения полей и др. У истоков второй парадигмы стояли такие ученые, как М. А. Алексидзе, К. В. Гладкий, В. И. Старостенко, В. Н. Страхов, А. В. Цирульский и другие.

По мнению В. Н. Страхова [35], в настоящее время происходит становление и развитие третьей парадигмы, которую можно назвать парадигмой зрелой компьютерной эпохи. В рамках этой парадигмы для решения задач гравиразведки вводится в рассмотрение новый математический аппарат дискретных физических полей, базовым инструментом становится алгебраизация решаемых задач и применяется разработанная В. Н. Страховым теория регуляризации систем линейных алгебраических уравнений. Наконец, в рамках третьей парадигмы большое значение имеет использование метода линейных интегральных представлений, претендующего на роль универсального метода решения множества задач геофизики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рязанцев, Владимир Андреевич, 2015 год

Список литературы

[1] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2012. — № 4 (24). — С. 84-100.

[2] Бойков И. В., Рязанцев В. А. О достаточных критериях устойчивости решений дифференциальных уравнений гиперболического типа // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 2 (26). - С. 33-49.

[3] Бойков И. В., Кривулин Н. П., Рязанцев В. А. Оптимальные методы аппроксимации тепловых полей // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2013.— № 4 (28).— С. 5-16.

[4] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Об одном разностном методе продолжения потенциальных полей // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2014. — № 2 (30). — С. 2033.

[5] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Критерии устойчивости решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа // Журнал Средневолжского математического общества. — 2012. — Т. 14, № 3. - С. 12-20.

[6] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Устойчивость по Тьюрингу динамических систем, описываемых уравнениями с дробными производными // Журнал Средневолжского математического общества. — 2013. — Т. 16, № 4,-С. 15-24.

[7] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Приближенные методы одновременного восстановления формы тела и его плотности в обратной задаче теории потен-

циала // Журнал Средневолжского математического общества. — 2014. — Т. 16, № 3,- С. 21-31.

[8] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными по координатным переменным // Сборник статей VII Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". — Пенза : Приволжский дом знаний, 2012. — октябрь. — С. 27-31.

[9] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Численный метод решения двухмерной обратной задачи гравиразведки в конечных областях // Сборник статей IX Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". — Пенза : Издательство ПГУ, 2014. — октябрь. — С. 65-71.

[10] Бойков И. В., Рязанцев В. А. Об одном численном методе продолжения потенциальных полей // Материалы 41-й сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей". — Екатеринбург : ИГФ УрО РАН, 2014.-январь, - С. 50-51.

[11] Рязанцев В. А. Один критерий устойчивости решений системы уравнений в частных производных дробного порядка с постоянными коэффициентами // Сборник статей VII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем". — Пенза : Приволжский дом знаний, 2013. — май. — С. 81-88.

[12] Рязанцев В. А. Адаптивный разностный метод приближенного решения уравнения Гельмгольца // Сборник статей VIII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и

социальных проблем". — Пенза : Издательство ПГУ, 2014. — май. — С. 6670.

[13] Рязанцев В. А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с производными дробного порядка // Сборник статей XXVII Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях". - Т. 1. — Тамбов : ТГТУ, 2014. - июнь. - С. 36-40.

[14] Рязанцев В. А. Критерии устойчивости решений дифференциальных уравнений в частных производных // Сборник статей IX Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем". — Пенза : Издательство ПГУ, 2015. — май. — С. 36-43.

[15] Дор Г. Введение в прикладную геофизику. — М. : Недра, 1984. — 237 с.

[16] Страхов В. Н. Геофизика и математика // Известия РАН. Физика Земли. - 1995. - № 12. - С. 4-23.

[17] Федынский В. В. Разведочная геофизика. — М. : Недра, 1967. — 673 с.

[18] Маловичко А. К., Костицын В. И. Гравиразведка. — М. : Недра. — 357 с.

[19] Виноградов А. П. Развитие наук о Земле. — М. : Наука, 1967. — 715 с.

[20] Архангельский А. Д. Геология и гравиметрия.— М.-Л.-Новосибирск : Государственное научно-техническое горно-геолого-нефтяное издательство, 1933.- 114 с.

[21] Балавадзе Б. К. Гравитационное поле и строение земной коры в Грузии. — Тбилиси : издательство АН ГССР, 1957. - 126 с.

[22] Блох Ю. И. Проблема адекватности интерпретационных моделей в грави-разведке и магниторазведке // Геофизический вестник. — 2004.— № 6.— С. 10-15.

[23] Гамбурцев Г. А. Избранные труды, — М. : Наука, 2003,- Т. 1,— 528 с.

[24] Дахнов В. Н. Промысловая геофизика. — М. : Государственное научно-техническое издательство нефтяной и горно-топливной литературы, 1959.- 692 с.

[25] Заборовский А. И. К методике интерпретации магнитных и гравитационных аномалий. — М. : Государственное научно-техническое издательство литературы по геологии и охране недр, 1955.— Т. 28 из Труды МГРИ.— С. 144-159.

[26] Михайлов А. А. Курс гравиметрии и теории фигуры Земли. — Л. : Госте-хиздат, 1933. — 432 с.

[27] Нумеров Б. В. Зависимость между местными аномалиями силы тяжести и производными от потенциала // Доклады АН СССР. — 1929. — № 24. — С. 101-105.

[28] Нумеров Б. В. Интерпретация гравитационных наблюдений в случае одной контактной поверхности // Доклады АН СССР.— 1930.— № 21.— С. 569-574.

[29] Парийекий Н. Н. Об оценке точности и классификации гравиметрических пунктов // Труды ЦНИИГАиК. - 1940. - № 36. - С. 3-53.

[30] Сорокин Л. В. Гравиметрия и гравиметрическая разведка. — М. : Госто-птехиздат, 1953. — 479 с.

[31] Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. — Киев : Наукова думка, 1978. — 227 с.

[32] Страхов В. Н. О состоянии и задачах математической теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1970. - № 5. - С. 112-118.

[33] Фотиади Э. Э. К проблеме геологической интерпретации аномалий силы тяжести на Русской платформе // Прикладная геофизика. — 1955. — № 12,- С. 31-66.

[34] Грушинский Н. П., Сажина Н. Б. Гравитационная разведка. — М. : Недра, 1988.- 364 с.

[35] Страхов В. Н. Принципиально новая теория интерпретации данных о потенциальных полях (гравитационных и магнитных аномалий) // Геофизический журнал. - 2003. - Т. 25, № 3. - С. 3-7.

[36] Новиков П. С. Об единственности решения обратной задачи потенциала // Доклады АН СССР. - 1938. - Т. 18, № 3. - С. 164-168.

[37] Халфин Л. А. Информационная теория интерпретации геофизических исследований // Доклады АН СССР. - 1958. - Т. 122, № 6. - С. 1007-1010.

[38] Гольцман Ф. М. Статистические модели интерпретации. — М. : Наука, 1971.- 328 с.

[39] Аронов В. И. Методы математической обработки геологических данных на ЭВМ. - М. : Недра, 1977. - 167 с.

[40] Никитин А. А., Петров А. В. Теоретические основы обработки геофизической информации. — М. : Недра, 1986. — 340 с.

[41] Серкеров С. А. Корреляционные методы анализа в гравиразведке и магниторазведке. — М. : Недра, 1986. — 274 с.

[42] Жданов М. С. Теория обратных задач и регуляризации в геофизике. — М. : Научный мир, 2007. — 712 с.

[43] Мудрецова Е. А., Веселова К. Е. Гравиразведка (справочник геофизика). — М. : Недра. — 607 с.

[44] Жданов М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. — М. : Наука, 1984. — 326 с.

[45] Бойков И. В., Кравченко М. В., Крючко В. И. О приближенных методах восстановления потенциальных полей // Известия РАН. Физика Земли. — 2010. - Т. 46, № 4. - С. 67-77.

[46] Булах Е. Г., Михеева Т. Л. Прямые и обратные задачи гравиметрии в классе горизонтальных цилиндрических тел // Геофизический журнал. — 2004. - № 5. - С. 23-38.

[47] Хмелевской В. К., Костицын В. И. Основы геофизических методов.— Пермь : Изд-во ПермГУ, 2010. - 400 с.

[48] Тяпкин К. Ф. Графические методы интерпретации гравитационных аномалий. — М. : Недра, 1968. — 225 с.

[49] Голиздра Г. Я. Решение прямой задачи гравиметрии для трехмерных масс. — Материалы геофизических исследований на Украине. Киев : На-укова думка, 1972. — С. 54-66.

[50] Старостенко В. И., Заворотько А. Н. Методика и результаты применения регуляризующего алгоритма при решении обратной нелинейной задачи гравиметрии // Геофизический сборник АН УССР. — 1976.— № 71.— С. 29-40.

[51] О точности определения нижней границы геологического объекта по гравиметрическим данным (на примере впадин байкальской рифтовой зоны) / Т. В. Балк, М. Р. Новоселова, П. И. Балк, Е. X. Турутанов // Физика Земли. - 1988. - № 3. - С. 81-86.

[52] Страхов В. Н. К теории логарифмического потенциала при переменной плотности возмущающих масс // Физика Земли. — 1975. — № 12. — С. 6481.

[53] Пятаков Ю. В. Решения прямой задачи гравиметрии для неоднородных сред // Геофизический журнал. — 1991. — Т. 13, № 5. — С. 79-85.

[54] Страхов В. Н., Лапина М. И. Прямые задачи гравиметрии и магнитометрии для произвольных однородных многогранников // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1982. - № 4. - С. 45-67.

[55] Старостенко В. И., Манукян А. Г. Решение прямой задачи гравиметрии на шарообразной земле // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1983.— № 12. - С. 34-50.

[56] Старостенко В. И., Легостаева О. В. Прямая задача гравиметрии для неоднородной произвольно усеченной вертикальной прямоугольной призмы // Физика Земли. - 1998. - № 12. - С. 31-44.

[57] Старостенко В. И., Легостаева О. В. Прямая задача гравиметрии для произвольно усеченной вертикальной приямоугольной призмы с экспоненциально изменяющейся по глубине плотностью // Доп. HAH Украши. — 1998. — № 10,- С. 141-147.

[58] Легостаева О. В. Об оптимальной схеме вычисления двойных интегралов при решении прямых задач гравиметрии и магнитометрии // Геофизический журнал. - 1999. - Т. 21, № 3. - С. 127-130.

[59] Голиздра Г. Я. Вычисление гравитационного поля многогранника // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1981. - № 8. - С. 95-99.

[60] Голиздра Г. Я. Быстрый метод вычисления на ЭВМ гравитационного поля трехмерных масс // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1967. — № 11. — С. 61-67.

[61] Голиздра Г. Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения земной коры. — М. : Недра, 1988. — 212 с.

[62] Голов И. Н., Сизиков В. С. Обратная задача гравиметрии с использованием сфероидов, нелинейного программирования и регуляризации // Геофизический журнал. - 2005. - Т. 27, № 3. — С. 454-462.

[63] Сизиков В. С., Голов И. Н. Моделирование месторождений сфероидами // Известия РАН. Физика Земли. - 2009. — № 3. — С. 83-96.

[64] Миненко П. А. Моделирование подземных гравитационных аномалий в Кривбассе // Доклады АН УССР, серия Б. - 1979. - С. 704-709.

[65] Кравцов Г. Г. Аналитическое представление внутреннего и внешнего полей притяжения тел с переменной плотностью, ограниченных поверхностями первого порядка. — Теория и методика интерпретации гравимагнитных полей. Киев : Наукова думка, 1981.— С. 105-112.

[66] Исаев В. И., Пятаков Ю. В. Решение прямой задачи гравиметрии для трехмерных блоково-градиентно-слоистых сред // Геофизический журнал. — 1990. - Т. 12, № 3. - С. 72-79.

[67] Пятаков Ю. В., Исаев В. И. Решение прямой задачи гравиметрии для произвольного многогранника с экспоненциально изменяющейся с глубиной плотностью // Геофизический журнал. — 1995. — Т. 17, № 6. — С. 40-50.

[68] Старостенко В. И., Манукян А. Г., Заворотько А. Н. Методика решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии на шарообразных планетах. — Киев : Наукова думка, 1986. — 111 с.

[69] Страхов В. Н., Романюк Т. В., Фролова Н. К. Методы решения прямых задач гравиметрии, используемые при моделировании глобальных и региональных гравитационных аномалий // Новые методы интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. — М. : ИФЗ АН СССР, 1989. — С. 118-234.

[70] Страхов В. Н. О синтезе разложения внешнего гравитационного потенциала в ряд по шаровым функциям // Доклады АН СССР. — 1980. — Т. 254, № 4.- С. 839-841.

[71] Goddard earth models for océanographie applications (gem 10b and ioc) / F. J. Lerch, B. H. Putney, C. A. Wagner, S. M. Klosko // Marine Geodesy. — 1981. - Vol. 5, no. 2. - P. 145-187.

[72] Rapp R. H. Gravity anomalies and sea surface heights derived from a combined geos 3/seasat altimeter data set // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 1986. - Vol. 91, no. 85. - P. 4867-4876.

[73] Страхов В. H., Ефимов A. Б., Хохрякова M. M. Методы синтеза рядов по шаровым функциям, представляющих элементы потенциальных геофизических полей // Известия АН СССР. Физика Земли.— 1988.— № 5.— С. 41-57.

[74] Долгаль А. С. Аппроксимация геопотенциальных полей эквивалентными источниками при решении практических задач // Геофизический журнал. - 1999. - Т. 21, № 4. - С. 71-88.

[75] Молоденский М. С. Основные вопросы геодезической гравиметрии // Труды ЦНИИГАиК. - 1945. - № 42. - С. 3-107.

[76] Молоденский М. С. Внешнее гравитационное поле и фигура физической поверхности Земли // Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая. - 1948. - Т. 12, № 3. - С. 193-211.

[77] Гравиметрия и геодезия / В. В. Бровар, Г. В. Демьянов, А. И. Спиридонов и др. — М. : Научный мир, 2010. — 561 с.

[78] Аронов В. И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений.— М. : Недра, 1976.— 129 с.

[79] Страхов В. Н. Критика классической теории линейных некорректных задач // Геофизика и математика: материалы 1-й Всероссийской конференции. - ОИФЗ РАН, 1999.-ноябрь, - С. 171-173.

[80] Серкеров С. А. Спектральный анализ в гравиразведке и магниторазведке. - М. : Недра, 1991. - 279 с.

[81] Андреев Б. А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике // Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая. — 1947. — Т. 11, № 1.

[82] Страхов В. Н. Об аналитическом продолжении двумерных потенциальных полей в произвольные области нижней полуплоскости, примыкающей к оси Ох Ц Известия АН СССР. Физика Земли. - 1970. - № 6. - С. 35-52.

[83] Страхов В. Н. Определение особых точек двумерных потенциальных полей // Прикладная геофизика. — 1977. — № 85. — С. 96-113.

[84] Голиздра Г. Я. О вычислительных схемах для аналитического продолжения двухмерных потенциальных полей на основе интерполирования // Известия АН СССР. Серия геофизическая. - 1964. - № 6. - С. 903-910.

[85] Голиздра Г. Я. Особые точки аналитического продолжения гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс. — Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск : Издательство Новосибирского гос. ун-та, 1966. — С. 273-388.

[86] Девицын В. М. Аналитическое продолжение двумерных потенциальных полей с помощью рядов Тейлора и локализация особых точек потенциальных функций // Прикладная геофизика. — 1971. — № 64. — С. 126-142.

[87] Цирульский А. В., Кормильцев В. В. Функции комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей. — Свердловск : УрО АН СССР, 1990.- 135 с.

[88] Цирульский А. В. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области // Известия АН СССР. Серия геофизическая. — 1964.— № 11,— С. 1693-1696.

[89] Трошков Г. А. Вопросы интерпретации гравитационных и магнитных полей методом особых точек // Вопросы разведочной геофизики. — 1968. — № 8. - С. 40-44.

[90] Мудрецова Е. А., Целев В. И. Выбор параметров регуляризованного продолжения в нижнее полупространство двухмерных потенциальных полей для локализации источников аномалий // Геофизический журнал. — 1985. - Т. 7, № 4. - С. 88-93.

[91] Березкин В. М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. — М. : Недра, 1973. — 264 с.

[92] Новоселов Г. М., Начапкин Н. И. Метод особых точек для интерпретации потенциальных полей // Известия АН СССР. Физика Земли,— 1969.— № 5. - С. 24-39.

[93] Воскобойников Г. М., Шестаков А. Ф. Метод гасящих функций и его применение для определения особых точек геофизических полей, удовлетворяющих трехмерным уравнениям Лапласа и Гельмгольца // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1982. - № 3. - С. 35-40.

[94] Иванов В. К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полиа // Математический сборник. Новая серия.— 1956. - Т. 40(82), № 3. - С. 319-338.

[95] О разделении источников гравитационного поля по глубине / П. С. Мар-тышко, В. М. Новоселицкий, И. П. Пруткин, А. Ф. Шестаков // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей (часть I) / Институт геофизики УрО РАН. - Екатеринбург, 2002. - С. 19-25.

[96] Шестаков А. Ф. О концепции особых точек аналитического продолжения геофизических полей и развитии методов их определения с использованием гасящих функций // Уральский геофизический вестник. — 2013. — № 1 (21).- С. 55-69.

[97] Страхов В. Н., Арсанукаев 3. 3., Страхов А. В. Использование методов теории дискретных гравитационных и магнитных полей при интерпретации аномальных полей // Геофизика и математика: материалы 2-й Всеро-сийской конференции. — Пермь : ГИ УрО РАН, 2001. — декабрь. — С. 272274.

[98] Долгаль А. С., Пугин А. В. Алгоритмы аппроксимации геопотенциальных полей, базирующиеся на фрактальном подходе // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. - 2006. - № 7. - С. 95-101.

[99] Логачев А. А. Методическое руководство по аэромагнитной съемке. — М. : Госгеолтехиздат, 1955. — 146 с.

[100] Андреев Б. А., Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. — Л. : Недра, 1965. — 496 с.

[101] Арсанукаев 3. 3. Выделение и оконтуривание гравитирующих объектов современным методом пересчета гравитационного поля в нижнее полупространство // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. — 2013. — № 1,— С. 111— 121.

[102] Страхов В. Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Комплексные исследования по физике Земли. — 1989. — С. 68-87.

[103] Арсанукаев 3. 3. Аналитическое продолжение заданных значений гравитационного поля в дискретной постановке через источники в двумерном случае // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. - 2009. - № 13. - С. 31-41.

[104] Арсанукаев 3. 3. Новые технологии при решении задач гравиметрии и их применение при поиске полезных ископаемых // Вестник Пермского университета. Геология. — 2013. — № 4. — С. 47-55.

[105] Новый информационный базис гравиметрии и магнитометрии / В. Н. Страхов, И. А. Керимов, И. Э. Степанова и др. // Геофизика и

математика: материалы 2-й Всероссийской конференции. — Пермь : ГИ УрО РАН, 2001. - декабрь. - С. 274-277.

[106] Страхов В. Н., Арсанукаев 3. 3. Использование метода дискретного потенциала в задачах гравиметрии и магнитометрии // 28-я сессия Международного семинара им. Д.Г. Успенского "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей", - М. : ОИФЗ РАН, 2001.-январь. - С. 102-104.

[107] Арсанукаев 3. 3., Чахкиев М. А. К проблеме инвариантности при оценке погрешности восстанавливаемых значений гравитационного поля // Ученые записки РГСУ. - 2009. - С. 185-188.

[108] Арсанукаев 3. 3. О некоторых вычислительных экспериментах, проведенных с использованием методов теории дискретных физических полей при решении задач гравиметрии в двухмерном случае. Часть 1-2. Аналитическое продолжение в нижнее полупространство выше источников поля // 30-я сессия Международного семинара им. Д.Г. Успенского "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей". — М. : ОИФЗ РАН, 2003. — январь. — С. 1215.

[109] Арсанукаев 3. 3. Вычисление пространственных элементов аномальных полей с использованием методов теории дискретных гравитационных полей // Известия РАН. Физика Земли. — 2004. — № 11. — С. 47-69.

[110] Арсанукаев 3. 3. Метод дискретных аппроксимаций гравитационного поля при оконтуривании перспективных разрезов // Геофизический журнал. — 2014. - Т. 36, № 1. - С. 158-169.

[111] Чередниченко В. Г. К вопросу об определении плотности тела по заданному потенциалу // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 240, № 5. - С. 10321035.

[112] Сретенский JI. Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала // Доклады АН СССР.— 1954.-Т. 99, № 1,- С. 21-22.

[113] Шашкин Ю. А. Об единственности в обратной задаче теории потенциала // Доклады АН СССР. - 1957. - Т. 115, № 1. - С. 64-66.

[114] Иванов В. К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств // Известия вузов. Математика. — 1958.- № 3,- С. 99-106.

[115] Заморев А. А. Исследование двухмерной обратной задачи теории потенциала // Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая. — 1941. - № 4-5. - С. 487-500.

[116] Страхов В. Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1974. - № 6. - С. 39-60.

[117] Страхов В. Н., Бродский М. А. Некоторые контрпримеры в проблеме единственности решения плоских обратных задач гравиметрии и магнитометрии для многоугольников // Препринт ИФЗ АН СССР. — 1983. - № 6. -С. 1-17.

[118] Страхов В. Н., Бродский М. А. О единственности в обратной задаче логарифмического потенциала // Известия АН СССР. Физика Земли.— 1985. - № 6. - С. 27-47.

[119] Раппопорт И. М. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала // Доклады АН УССР. — 1940. - № 6. - С. 23-27.

[120] Исаков В. М. О единственности решения контактной обратной задачи теории потенциала // Дифференциальные уравнения. — 1972. — Т. 8, № 1-4. — С. 1045-1047.

[121] Маргулис А. С. Вопросы эквивалентности и единственности в обратных задачах гравиметрии. — Труды Института геофизики УНЦ АН СССР. 1987.- 156 с.

[122] Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Математические заметки. — 1973. — Т. 14, К2 5. — С. 755-767.

[123] Павлов Г. А. О существовании и единственности решения внешних обратных задач теории потенциала // Дифференциальные уравнения. — 1995. — № 4.- С. 122-130.

[124] Чередниченко В. Г. Оценки потенциалов масс и разрешимость обратной задачи // Доклады АН СССР. - 1990. - № 4. - С. 820-824.

[125] Hjelt S.-E. Pragmatic inversion of geophysical data.— Berlin : Springer Verlag, 1992. — 262 p.

[126] Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М. : Наука, 1978. — 206 с.

[127] Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Доклады АН СССР. — 1943. - Т. 39, № 5. - С. 195-198.

[128] Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 153, № 1. - С. 49-52.

[129] Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. - 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.

[130] Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М. : Наука, 1980. — 288 с.

[131] Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. — Минск : Наука и техника, 1981. — 343 с.

[132] Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. — М. : Наука, 1986. — 178 с.

[133] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М. : Наука, 1979. - 285 с.

[134] Арсенин В. Я., Савелова Т. И. О применении метода регуляризации к интегральным уравнениям первого рода типа свертки // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1969.— Т. 9, № 6.— С. 1392-1396.

[135] Бакушинский А. Б. Алгоритм регуляризации для линейных уравнений с неограниченными операторами // Доклады АН СССР. — 1968. — Т. 183, № 1.- С. 12-14.

[136] Тихонов А. Н., Гласко В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1965. - Т. 5, № 3. - С. 463-473.

[137] Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. — М. : Издательство МГУ, 1984,- 112 с.

[138] Кобрунов А. И. О методе оптимизации при решении обратной задачи гра-виразведки // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1978. — № 8. — С. 7378.

[139] Кобрунов А. И. К вопросу об интерпретации аномальных гравитационных полей методом оптимизации (трехмерная задача) // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1979. - № 10. - С. 67-76.

[140] Кобрунов А. И. К теории методов подбора // Геофизический журнал.— 1983. - Т. 5, № 4. - С. 34-43.

[141] Морозов В. А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — С. 170-175.

[142] Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М. : Наука, 1987. — 240 с.

[143] Страхов В. Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения.— 1970.— Т. 6, № 8.— С. 1490-1495.

[144] Танана В. П. Методы решения операторных уравнений,— М. : Наука, 1981.- 156 с.

[145] Старостенко В. И., Оганесян С. М. Некорректно поставленные задачи по Адам ару и их приближенное решение методом регуляризации А.Н. Тихонова // Геофизический журнал. - 2001. - Т. 23, № 6. — С. 3-20.

[146] Старостенко В. И., Дядюра В. А., Заворотько А. Н. Об интерпретации гравитационного поля методом подбора // Изветия АН СССР. Физика Земли. - 1975. - № 4. - С. 78-85.

[147] Старостенко В. И., Оганесян С. М. Алгоритмы подбора, основанные на использовании методов математического программирования // Справочник геофизика. - М. : Недра, 1981.- С. 202-205.

[148] Страхов В. Н. К теории метода подбора // Известия АН СССР. Серия геофизическая. — 1964. — № 4. — С. 494-509.

[149] Страхов В. Н. Об одном подходе к решению обратных задач гравиметрии и магнитометрии // Доклады АН СССР. - 1973. - Т. 212, № 6. - С. 13391342.

[150] Страхов В. Н. О методе подбора при решении обратных задач гравиметрии и магнитометрии // Доклады АН УССР. Серия Б. — 1975. — № 11. — С. 990-995.

[151] Страхов В. Н., Лапина М. И. Определение интегральных характеристик возмущающих масс аппроксимационным методом в задачах гравиметрии

и магнитометрии // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1975. - № 4. -С. 35-58.

[152] Страхов В. Н. К проблеме параметризации в обратных задачах гравиметрии // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1978. - № 6. - С. 39-49.

[153] Булах Е. Г., Маркова М. Н. Решение обратных задач гравиметрии методом подбора // Геофизический журнал. — 1992. — Т. 14, № 4. — С. 9-19.

[154] Булах Е. Г., Маркова М. Н., Якимчук Н. А. Прямая и обратная задачи гравиметрии в классе трехмерных звездных тел // Геофизический журнал. - 1997. - Т. 19, № 6. - С. 11-17.

[155] Булах Е. Г., Коростиль Т. В. Метод простого моделирования при решении задач гравиметрии в классе двумерных контактных поверхностей // Геофизический журнал. - 2001. - Т. 23, № 6. - С. 95-104.

[156] Страхов В. Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1974. — № 6.- С. 39-68.

[157] Старостенко В. И., Заворотько А. Н. Решение обратных задач гравиметрии для нескольких контактных поверхностей // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1982. - № 3. - С. 46-61.

[158] Пруткин И. Л. О решении трехмерной обратной задачи гравиметрии в классе контактных поверхностей методом локальных поправок // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1986. - № 1. - С. 67-77.

[159] Блох Ю. И. Решение прямых задач гравиразведки и магниторазведки.— М. : Издательство Московской государственной геологоразведочной академии, 1993. — 79 с.

[160] Кобрунов А. И. Теоретические основы решения обратных задач геофизики. — Ухта : Ухтинский индустриальный институт, 1995. — 228 с.

[161] Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. — М. : Наука, 1989. — 128 с.

[162] Цирульский А. В. О решении прямой и обратной задачи гравиметрии // Известия АН СССР. Физика Земли. - 1974. - № 7. - С. 84-90.

[163] Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. — М. : Гостехиздат, 1946. - 322 с.

[164] Заморев А. А. Решение обратной задачи теории потенциала // Доклады АН СССР. - 1941. - Т. 12, № 8. - С. 546-547.

[165] Заморев А. А. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала // Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая. — 1942. — № 1-2. — С. 48-54.

[166] Старостенко В. И., Черная Н. Н., Черный А. В. Линеаризованная постановка обратной задачи потенциала для контактной поверхности // Доклады АН СССР (серия Б). - 1988. - № 7. - С. 17-21.

[167] Цубои Т. Гравитационное поле Земли. — М. : Мир, 1982,— 288 с.

[168] Филатов В. Г. Применение метода Тсубои в обратных задачах гравираз-ведки // Прикладная геофизика. — 1972. — № 68. — С. 147-152.

[169] Мудрецова Е. А., Филатов В. Г. Определение глубины залегания, формы, избыточной плотности и участка модуляции контактной поверхности // Прикладная геофизика. — 1975. — № 78. — С. 153-158.

[170] Мудрецова Е. А., Гласко В. Б., Филатов В. Г. О разрешающей способности метода регуляризации и определении участка характерного изменения формы контактной поверхности // Известия АН СССР. Физика Земли. — 1974,- С. 98-101.

[171] Мудрецова Е. А., Филатов В. Г. Выделение гравитационного эффекта залежей нефти и газа и определение их местоположения на основе регуляризации // Разведочная геофизика. — 1977. — № 76. — С. 67-71.

[172] Старостенко В. И., Оганесян С. М. Нелинейное программирование в обратных задачах гравиметрии // Геофизический сборник АН УССР. — 1974. — № 62. - С. 88-93.

[173] Старостенко В. И. Регуляризующие алгоритмы нелинейного программирования. — Киев : Наука думка. — С. 50-53.

[174] Опыт применения нелинейного программирования для решения обратной задачи гравиметрии / В. И. Старостенко, В. И. Исаев, О. В. Сидоренко, П. Б. Васильев // Геофизический журнал. - 1985. — Т. 7, № 3. - С. 13-22.

[175] Страхов В. Н. Алгебраические методы в линейных задачах гравиметрии и магнитометрии: постановки экстремальных задач // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 319, № 1. - С. 143-146.

[176] Страхов В. Н., Страхов А. В. О регуляризации метода наименьших квадратов // Геофизический журнал. — 1998. — Т. 20, № 6. — С. 18-38.

[177] Страхов В. Н., Страхов А. В. О нахождении устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений большой и сверхбольшой размерностей, возникающих в линейных задачах гравиметрии и магнитометрии // Геофизический журнал, — 1999.— Т. 21, № 1,— С. 2039.

[178] Страхов В. Н. Новая парадигма в теории линейных некорректных задач, адекватная потребностям геофизической практики, vii. фильтрация векторов правых частей систем линейных алгебраических уравнений и ее использование // Геофизический журнал. — Т. 26, № 6.— С. 4-13.

[179] Страхов В. Н. Основные направления развития теории интерпретации гравиметрических данных // Геофизический журнал. — 2003. — Т. 25, № 3. — С. 3-8.

[180] Страхов В. Н., Страхов А. В., Шефер У. Новые линейные аппроксимации элементов гравитационного поля Земли в глобальном и региональном

вариантах // Геофизика и математика: материалы 1-й Всероссийской конференции. - М. : ОИФЗ РАН, 1999. — ноябрь. — С. 212-222.

[181] Страхов В. Н., Шефер У., Страхов А. В. Новые высокоразрешающие аналитические аппроксимации гравитационного поля в европе, полученные snap-методом // Геофизика и математика: материалы 1-й Всероссийской конференции. - М. : ОИФЗ РАН, 1999. - ноябрь. - С. 222-223.

[182] Страхов В. Н., Степанова И. Э., Гричук А. В. Метод интегральных представлений при решении задач гравиметрии и магнитометрии в трехмерной постановке // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей.— М. : ОИФЗ РАН, 1997,- С. 105-108.

[183] Страхов В. Н. Геофизика и математика. — М. : ОИФЗ РАН, 1999. — 64 с.

[184] Страхов В. Н. О построении аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, — М. : ОИФЗ РАН, 1999.- С. 65-125.

[185] Керимов И. А. Метод F-аппроксимации при решении задач гравиметрии и магнитометрии. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 264 с.

[186] Степанова И. Э. О решении некоторых задач геофизики типа рудных с помощью методов теории функций многих комплексных переменных // Известия РАН. Физика Земли. — 1996. — № 7. — С. 43-47.

[187] Степанова И. Э. Использование преобразования Радона в рамках метода линейных интегральных представлений для решения задач гравиметрии // Доклады РАН. - 2002. — Т. 384, № 1. — С. 100-112.

[188] Грушинский Н. П. Основы гравиметрии. — М. : Наука, 1983. — 352 с.

[189] Акимова Е. Н., Гемайдинов Д. В. Параллельные алгоритмы решения задачи гравиметрии о восстановлении плотности в слое // Труды ИММ УрО РАН. - 2007. - Т. 13, № 3. - С. 3-21.

[190] Бойков И. В., Бойкова А. И. Об одном параллельном методе решения нелинейных обратных задач гравиметрии и магнитометрии // Известия РАН. Физика Земли. - 2009. - № 3. - С. 73-82.

[191] Бойков И. В., Бойкова А. И. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки. — Пенза : Издательство ПГУ, 2013. — 510 с.

[192] Мартышко П. С., Пруткин И. Л. Технология разделения источников гравитационного поля по глубине // Геофизический журнал,— 2003.— Т. 25,- С. 159-168.

[193] Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1968. — Т. 8, № 2. — С. 417-426.

[194] Аронов В. И. Методы построения карт геологическо-геофизических признаков и геометризация залежей нефти и газа на ЭВМ,— М. : Недра, 1990.- 301 с.

[195] Волков А. М. Геологическое картирование нефтегазоносных территорий с помощью ЭВМ. — М. : Недра, 1988. - 221 с.

[196] Веселов В. В., Гонтов Д. П., Пустыльников Л. М. Вариационный подход к задачам интерполяции физических полей. — М. : Наука, 1983. — 121 с.

[197] Рапопорт М. Б. Вычислительная техника в полевой геофизике.— М. : Недра, 1993. - 350 с.

[198] Блох Ю. И. Количественная интерпретация гравитационных и магнитных аномалий. — М. : Издательство Московской государственной геологоразведочной академии, 1998. — 88 с.

[199] Бойков И. В., Бойкова А. И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей // Известия РАН. Физика Земли. — 1998. — № 8. — С. 70-78.

[200] Бойков И. В., Бойкова А. И. Оптимальные методы восстановления потенциальных нолей, i // Известия РАН. Физика Земли. — 2001.— № 12.— С. 78-89.

[201] Бойков И. В., Бойкова А. И. Оптимальные методы представления потенциальных полей // Известия РАН. Физика Земли. — 2003. — № 4. — С. 6876.

[202] Бойков И. В., Бойкова А. И. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей, ii // Известия РАН. Физика Земли. — 2003. — № 3. - С. 87-93.

[203] Бойков И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.

[204] Бойков И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов. — Пенза : Издательство ПГУ, 2007. — 236 с.

[205] Дискретные модели продолжения потенциальных полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, В. И. Крючко, А. В. Филиппов. - 2007. - Т. 29, № 4. -С. 67-82.

[206] Бойков И. В., Кравченко М. В. Приближенные методы глобального гармонического сферического анализа потенциальных полей // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4. - С. 101-110.

[207] Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. — М. : Наука, 1973. — 343 с.

[208] Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. — М. : Мир, 1984. — 512 с.

[209] Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М. : Мир, 1964,— 428 с.

[210] Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М. : ФИЗМАТЛИТ. - 576 с.

[211] Бабенко К. И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. — М. : Наука. — 196 с.

[212] Бойков И. В. К задаче К. И. Бабенко об асимптотике погрешности численных решений эллиптических уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2003. — Т. 9, № 6. - С. 3-29.

[213] Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть I. Сингулярные интегралы. — Пенза : Издательство ПГУ, 2005. - 360 с.

[214] Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть 2. Гиперсингулярные интегралы. — Пенза : Издательство ПГУ, 2009. - 252 с.

[215] Оптимальные методы табулирования физических полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, Н. П. Кривулин, Г. И. Гринченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. — 2013. — № 4,- С. 43-61.

[216] Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М. : ГИФМЛ, 1961.-400 с.

[217] Кошляков Н. С., Глиэр Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М. : Высшая школа, 1970. — 712 с.

[218] Бойков И. В., Тында А. Н. Поперечники соболевских классов функций с особенностями на границе // Известия высших учебных заведений. По-

волжский регион. Физико-математические науки. — 2013. — № 1. — С. 6185.

[219] Рязанцев В. А. Устойчивость по Тьюрингу в некоторых математических моделях эпидемиологии // Сборник статей VIII Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем". — Пенза : Издательство ПГУ, 2013.-октябрь, - С. 131-140.

[220] Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск : Артишок, 2008.- 512 с.

[221] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М. : Наука, 1970. — 536 с.

[222] Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М. : Наука, 1973. - 415 с.

[223] Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — М. : Наука, 1965. — 448 с.

[224] Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М. : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. - 480 с.