Модели гладкой стенки для внутренних и внешних вязких смешанных течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Рогов, Борис Вадимович

• Рогов, Борис Вадимович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рогов, Борис Вадимович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Состояние проблемы (6). 2. Цель работы (11). 3. Научная новизна (11). 4. Практическая значимость (13). 5. Апробация работы (13). 6. Публикации (14). 7. Структура и объём работы (14).

ГЛАВА 1. УПРОЩЕННЫЕ НАВЬЕ-СТОКСОВЫ (УНС) МОДЕЛИ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ.

§ 1. Введение.

§2. Способы построения УНС моделей.

1. Выбор системы координат (17). 2. Выбор зависимых переменных (19).

3. Уравнения Навье-Стокса (НС) (20). 4. Малые параметры и оценка членов уравнений НС (21). 5. Подходы к упрощению уравнений НС (26).

§ 3. Модели вязких внутренних течений.

1. Приближение узкого канала (УК) (28). 2. Модифицированные модели УК (29). 3. Параболизованные модели (30).

§ 4. Модели вязких внешних течений.

1. Приближение тонкого вязкого ударного слоя (35). 2. Модели вязкого ударного слоя (37). 3. Модель параболизованного вязкого ударного слоя (39).

4. Параболизованные уравнения НС (40). 5. Модель искривленной пристеночной струи (41).

§ 5. Численные методы расчета стационарных внутренних вязких течений. 43 1. Методы установления (43). 2. Безитерационно-маршевые методы (44). 3. Итерационно-маршевые методы (45).

§ 6. Проблемы расчета смешанных внутренних вязких течений маршевыми методами.

1. Сравнительные характеристики численных методов (47). 2. Неэллиптические модели течений через сопло Лаваля (47). 3. Эллиптико-гиперболические модели внутренних вязких течений (51).

§ 7. Заключение.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ГЛАДКОГО КАНАЛА (ГК).

§ 1. Адаптированная система криволинейных координат.

1. Каналы с прямолинейной осью (55) 2. Каналы с изогнутой средней линией (58).

§2. Полная система уравнений НС в адаптированной системе координат.

§ 3. Асимптотическая точность упрощенных моделей гладкого канала.

1. Невязкая область течения (65). 2. Вязкий пограничный слой (66). 3. Иерархия упрощенных уравнений ГК (68).

§ 4. Параболические модели

1. Модифицированная модель УК (69). 2. Параболическая модель ГК (70). 3. Граничные условия (72).

§ 5. Эллиптико-гиперболические модели

1. Эллиптико-гиперболическая модель ГК (I) (73). 2. Эллиптико-гиперболи-ческая модель ГК (II) (74). 3. Граничные условия (76).

§ 6. Гиперболическая модель

1. Система уравнений (77). 2. Граничные условия (81).

§ 7. Квазиодномерная модель

1. Способ осреднения (82). 2. Модель без учета кривизны линий тока (83). 3. Модель с учётом кривизны линий тока (84).

§ 8. Иерархия моделей ГК.

ГЛАВА 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УДАРНОГО СЛОЯ.

§ 1. Модель гиперболического ударного слоя (ГУС).

§ 2. Модель гиперболического вязкого ударного слоя (ГВУС).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели гладкой стенки для внутренних и внешних вязких смешанных течений»

1. Состояние проблемы. Наиболее общей математической моделью течений в режиме сплошной среды является полная система уравнений Навье-Стокса (НС). Эта система уравнений позволяет исследовать структуру сложных течений с характерными зонами сильного вязко-невязкого взаимодействия, отрывами, рециркуляцией и пр. Уравнения НС получают либо феноменологическими методами, либо методами кинетической теории газов, решая кинетическое уравнение Больцмана с двумя членами разложения функции распределения в ряд по малому параметру - характерному числу Кнудсена. Для стационарных течений с умеренными и большими числами Рейнольдса уравнения НС представляют собой систему квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в дозвуковых и гиперболического типа в сверхзвуковых областях течений.

Для численного решения стационарных полных уравнений НС обычно используются итерационные методы. К ним относятся методы установления по времени, методы глобальных итераций. Первые из этих методов в настоящее время являются наиболее распространенными.

В методах, основанных на принципе установления по физическому или некоторому фиктивному времени, стационарное решение находится как предельное решение нестационарной задачи. На расчеты простого газодинамического стационарного течения методом установления с помощью известных неявных схем затрачивается несколько сотен временных итераций: см., например, [Cline, 1976], [Борисов, Ковеня, 1976], [Кузнецова, Павлов, 1979], [Асланов и др., 1981], [Белоцерковский и др., 1982], [Савельев, Толстых, 1987], [Стрелец, Шур, 1988], [Егоров и др., 1990], [Shuen et al., 1992], [Савельев, 1998], [Киселев, Стернин, 1999]. При больших числах Рейнольдса Re и большой протяженности области интегрирования потребности в ресурсах ЭВМ при численном решении уравнений НС значительно возрастают. Несмотря на прогресс в области вычислительной техники, расчеты течений на основе полных уравнений НС являются достаточно трудоемкими, особенно для течений химически реагирующих многокомпонентных газов. Например, трехмерные вязкие течения через сопло с 11 компонентами рассчитываются на компьютере типа CRAY сутками. Поэтому для проведения серийных расчетов прикладных задач, особенно в случае расчета внутренних вязких течений с учетом реальных физико-химических процессов, методы установления по физическому или некоторому эффективному времени из-за трудоемкости мало пригодны и не перспективны [Лапин и др., 1985], [Лапин, Стрелец, 1989]. Ситуация аналогична при численных расчетах задач внешнего обтекания [Гершбейн и др., 1985], [Тирский, Утюжников, 1993].

Методы глобальных итераций первоначально были разработаны для решения упрощенных уравнений НС [Anderson et al., 1984], [Васильевский и др., 1987], [Быркин, Толстых, 1988], [Каратаев, Котеров, 1990], [Марков, 1992], [Ковалев и др., 1994], [Головачев, 1996], [Tannehill et al., 1997]. В последнее десятилетие эти методы были успешно развиты для решения полных уравнений НС [Bentson, Vradis, 1987], [TenPas, Pletcher, 1987], [TenPas, Pletcher, 1991], [Vradis et al., 1992], [TenPas, Hancock, 1992], [Srinivasan, Rubin, 1992], [Архангельская, Скурин, 1994], [Скурин, 1998]. Методы глобальных итераций существенно экономичнее методов установления по используемой памяти ЭВМ и быстродействию. Однако они также требуют значительных затрат процессорного времени.

В то же время, в случае безотрывных вязких течений необходимость использования полных уравнений НС возникает только при малых числах Рейнольдса [Anderson et al., 1984], [Tannehill et al., 1997]. Во многих практически важных случаях, описание поля течения с достаточной точностью возможно в рамках упрощенных математических моделей, требующих существенно меньших вычислительных затрат. Например, большой класс течений с сильным вязко-невязким взаимодействием при умеренных и больших Re может быть адекватно описан такими моделями в системах координат, адаптированных к границам области течения [Tannehill et al., 1997]. В частности, слабо отрывные течения и течения с умеренной протяженностью возвратно-циркуляционных течений с приемлемой точностью могут моделироваться в рамках упрощенных навье-стоксовых моделей [Degani, Steger, 1983], [Liu, Pletcher, 1986], [Napolitano, 1987], [Na-politano, Cinnella, 1989], [Choi, Kang, 1991]. Поэтому для успешного численного моделирования вязких течений газов важна разработка адекватных упрощенных газодинамических моделей и эффективных численных методов решения соответствующих математических задач на ЭВМ.

Как правило, движения в сложных технических устройствах - трехмерные. Однако на начальной стадии моделирования процессов в таких устройствах целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений механического и физического характера. Наличие иерархии упрощенных газодинамических моделей позволяет наиболее рационально провести оценку важности различных механических и физико-химических процессов на практически важные характеристики течения, оценить взаимовлияние процессов. Это особенно важно при проектировании различных аппаратов и устройств в технике, решении задач, связанных с оптимизацией режимов работы этих устройств.

Упрощенные модели НС строятся для класса течений, у которых имеется возможность выделить основное направление течения [Лапин, Стрелец, 1989], [Ковеня и др., 1990], [Толстых, 1990], [Головачев, 1996]. В дальнейшем будем называть его продольным направлением. Вдоль этого направления можно пренебречь молекулярно-диффузионной составляющей переноса массы, импульса и энергии. К такому классу течений относятся течения с умеренными и большими Re. В значительной степени этот класс течений определяется геометрией: для большинства внутренних течений поток ограничен стенкой, и геометрия стенок определяет выделенное направление. Примером являются высокоскоростные вязкие течения в соплах ракетных двигателей, в каналах и трубопроводах химических производств, и т.п.

При упрощении ("параболизации") уравнений Навье-Стокса основным малым параметром является величина 8 = Re"/2. Упрощенные уравнения в разных моделях содержат члены различного порядка малости относительно параметра 5. Однако их отличительной особенностью является отсутствие во всех случаях вторых производных от неизвестных функций вдоль маршевой координаты, отсчитываемой в продольном (преимущественном) направлении движения газа. Вследствие этого появляется возможность нахождения решений стационарных задач маршевыми методами, эволюционными по продольной координате, что особенно важно при расчете течений многокомпонентных реагирующих газов.

Всюду далее под упрощенными навье-стоксовыми (УНС) моделями будут пониматься модели, основанные на упрощенных композитных уравнениях НС [Davis, Rubin, 1980], [Тирский, Утюжников, 1993], которые описывают всю область течения. Модель пограничного слоя (ПС), основанная на двух системах уравнений - уравнениях Эйлера и Прандтля, в диссертации рассматриваться не будет. Для расчета течений смесей газов со значительным вязко-невязким взаимодействием и большим количеством физико-химических процессов эта модель не эффективна.

Таким образом, УНС модели течений в отличие от полной модели НС не учитывают диффузионный механизм передачи информации вверх по потоку, который несуществен для потоков с умеренными и большими Re. Однако УНС модели позволяют описать остальные механизмы передачи информации против потока: акустический механизм, реализуемый посредством продольного градиента давления, и конвективный механизм, связанный с возвратными течениями. Для безотрывных течений конвективный механизм отсутствует, а в случае умеренных и больших Re акустический механизм доминирует над диффузионным. Как показали расчеты вязких течений в каналах с обширными областями рециркуляции [TenPas, Pletcher, 1991], [Srinivasan, Rubin, 1992] акустический механизм является доминирующим механизмом передачи информации против потока и в этом случае. Из сказанного следует, что УНС модели течений позволяют адекватно описывать большой и практически важный класс течений при умеренных и больших Re, включая течения с отрывом и рециркуляцией [Degani, Ste-ger, 1983], [Liu, Pletcher, 1986], [Napolitano, 1987], [Napolitano, Cinnella, 1989], [Choi, Kang, 1991].

По способу учета передачи информации о структуре течения против потока и математическому типу определяющих дифференциальных уравнений существующие УНС модели для стационарных вязких течений можно разделить на неэллиптические (полностью параболизованные) модели [Fletcher, 1988], [Tannehill et al., 1997] и частично параболизованные модели [Tannehill et al., 1997]. Первый класс УНС моделей описывается параболическими, гиперболическими или гиперболо-параболическими, т.е. неэллиптическими системами уравнений. Далее эти модели будем называть неэллиптическими. Второй класс моделей описывается системой дифференциальных уравнений смешанного типа: эллиптического в дозвуковых областях, гиперболического в сверхзвуковых областях и параболического в трансзвуковых областях течения. Далее эти модели будем называть эллиптико-гиперболическими.

С помощью неэллиптических моделей адекватно можно описать либо сверхзвуковые течения, либо дозвуковые течения с малым искривлением линий тока и с приемлемой точностью - дозвуковые течения с умеренным искривлением. В указанных течениях передача информации вверх по потоку либо не существенна, либо осуществляется главным образом посредством интегральных характеристик течения. Типичным примером существенно дозвукового течения, которое может быть описано с помощью неэллиптической модели, служит течение Гагена-Пуазейля несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах [Седов, 1973]. Рассматриваемое течение описывается параболической системой уравнений узкого канала (УК) [Лапин, Стрелец, 1989]. В этом течении информация о давлении в выходном сечении трубы мгновенно передается вверх по потоку с помощью интегральной характеристики - массового расхода жидкости через трубу.

Эллиптико-гиперболические модели позволяют адекватно описать вязкие течения с обширными дозвуковыми зонами и большим искривлением линий тока. Как уже сказано, эти модели пригодны не только для описания безотрывных течений при больших и умеренных числах Рейнольдса, но и для описания течений с отрывом потока от твердых стенок и наличием областей возвратных течений.

Неэллиптические модели являются наиболее эффективными с вычислительной точки зрения, поскольку могут быть реализованы с помощью безитерационных (одно-проходовых) маршевых процедур [Anderson et al., 1984], [Fletcher, 1988], [Tannehill et al., 1997].

Для интегрирования более сложных эллиптико-гиперболических моделей необходимо использовать итерационно-маршевые методы, часто называемые в литературе методами глобальных итераций [Тирский, Утюжников, 1993]. На текущей глобальной итерации фиксируются эллиптические члены уравнений, ответственные за передачу информации вверх по потоку, и осуществляется маршевый проход всей расчетной области вниз по течению. Затем эти эллиптические члены уточняются, и итерационный процесс продолжается до достижения условий сходимости. Привлекательность метода глобальных итераций во многом связана с его алгоритмической простотой. В обычном методе глобальных итераций информация о структуре течения передается против потока через дозвуковые области на один разностный интервал за каждую глобальную итерацию [TenPas, Pletcher, 1991], [Tannehill et al., 1997], [Kaushik , Rubin, 1998].

Как было подчеркнуто выше, основным механизмом передачи возмущений вверх по потоку является акустический механизм, связанный с продольным градиентом давления. Вследствие этого общая скорость сходимости итерационного процесса лимитируется скоростью сходимости глобальных итераций по эллиптической части продольного градиента давления [TenPas, Pletcher, 1991], [Yamaleev, Ballmann, 2000]. Поэтому в последнее десятилетие усилия ученых по совершенствованию метода глобальных итераций были направлены на поиск методик ускорения акустической передачи информации вверх по потоку в процессе глобальных итераций. Для ускорения сходимости глобальных итераций были предложены две основные методики. Первая основана на уточнении поля давления после каждой простой глобальной итерации путем решения специального уравнения для давления (или его поправки) [Barnett, Davis, 1986], [Каратаев, Котеров, 1990], [TenPas, Pletcher, 1991], [Yamaleev, Ballmann, 2000]. В двух последних цитируемых работах это уравнение - упрощенное (параболизованное) уравнение Пуассона для поправки к давлению, которая находится в результате интегрирования уравнения вверх по потоку. В основе второй методики лежит многосеточный метод [Himansu, Rubin, 1988]. Однако обе методики существенно усложняют алгоритм глобальных итераций.

Точность описания вязких течений существенно зависит от выбора системы координат, в которой проводится упрощение полных уравнений НС [Черный, 1982]. От этого выбора также зависит и сложность численной реализации.

Для задач внешнего сверхзвукового обтекания затупленных тел удачной системой координат для построения упрощенных моделей является система естественных ортогональных координат, связанная с контуром обтекаемого тела. В этой системе координат была получена иерархия упрощенных газодинамических моделей, обзор которых дан в [Гершбейн и др., 1985], [Тирский, Утюжников, 1993], [Головачев, 1996], [Тир-ский, 1997]. Наиболее широко используемыми газодинамическими моделями для задач сверхзвукового обтекания затупленных тел являются: модели тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) [Cheng, 1963], полного вязкого ударного слоя (ПВУС) [Davis, Flugge-Lotz, 1964], [Davis, 1970], вязкого ударного слоя (ВУС) [Головачев, Попов, 1972], модели параболизованных уравнений НС [Толстых, 1966]. Модель ТВУС принадлежит к классу неэллиптических моделей, остальные вышеперечисленные модели - к классу эллиптико-гиперболических моделей. Данная иерархия моделей позволила оценить влияние геометрических и газодинамических параметров на структуру потока и основные характеристики обтекания [Тирский, Утюжников, 1989], [Щербак, 1990]. Наиболее эффективной с точки зрения вычислительных затрат является модель ТВУС, которая основана на параболической системе уравнений. Эта модель успешно использовалась для расчета теплообмена и сопротивления затупленных тел с учетом разнообразных физико-химических процессов, протекающих в ударном слое [Гершбейн и др. 1985], [Ковалев, Крупнов, 1989], [Тирский и др., 1990], [Гусев и др., 1996], [Егоров, Никольский, 1996].

Однако модель ТВУС имеет довольно ограниченную область применимости, связанную с предположением о тонкости ударного слоя. Тем самым эта модель не пригодна для расчета течения далеко вниз по потоку при обтекании длинных затупленных тел или при не больших числах Маха [Тирский, Утюжников, 1993]. В работе [Бородин, Пейгин, 1993] была сделана попытка улучшить модель ТВУС, при этом сохранив её вычислительные достоинства, связанные с неэллиптическим характером модели. Однако новая модель, названная авторами моделью параболизованного вязкого ударного слоя, так же как и модель ТВУС не пригодна для расчета сверхзвукового обтекания длинных затупленных тел. В случае обтекания сферы эта модель позволила довести расчеты лишь до 80° по центральному углу 0, отсчитываемому от оси симметрии течения. Рассчитанные на её основе значения давления вдоль поверхности сферы уже при 0 > 45° отличаются от значений, рассчитанных по модели полного вязкого ударного слоя или по полным уравнениям НС, больше, чем на 15%. Поэтому модель [Бородин, Пей-гин, 1993] не позволяет с приемлемой точностью оценить сопротивление летящих со сверхзвуковой скоростью затупленных тел.

Для внутренних вязких течений иерархия моделей, подобная иерархии для задачи сверхзвукового обтекания, построена лишь для простейших систем координат (декартовой или цилиндрической). Это модели узкого канала (УК) [Williams, 1963], модели вязкого слоя (ВС) [Войнович, Фурсенко, 1983, 1984], модели параболизованных уравнений НС [Kreskovsky, Shamroth, 1978], [Мучная, 1981, 1982]. Наиболее экономичной является модель УК [Williams, 1963], которая подобно модели ТВУС основана на параболической системе уравнений. Однако, если для описания внутренних течений используются декартовы или цилиндрические координаты, то это накладывает ограничение на применимость упрощенных моделей. В частности, модель УК, выведенная в декартовой или цилиндрической системе координат, применима для углов наклона стенок канала к оси, не превышающих 10° [Егоров и др., 1991]. В обобщенных криволинейных координатах, адаптированных к геометрии канала, такой иерархии не построено. Имеется ряд упрощенных моделей, выведенных в различных криволинейных ортогональных [Anderson, 1980], [Каратаев, Котеров, 1990] и не ортогональных [Быркин, Толстых, 1988], [Толстых, 1990] системах координат. Анализ областей применимости этих моделей в литературе отсутствует. Обзор и оценка точности существующих упрощенных моделей внутренних вязких течений, а также близкий к ним класс моделей внешних вязких течений приведен в Главе 1 диссертации.

Очень важен для технических приложений класс смешанных (с переходом через звуковую скорость) течений газа. Примерами являются течение газа в сопле Лаваля [Пирумов, Росляков, 1978, 1990] и течение в ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела [Головачев, 1996]. Системы стационарных уравнений Эйлера и упрощенных уравнений Навье-Стокса, описывающие рассматриваемый класс течений, при переходе от дозвуковых к сверхзвуковым областям течения меняют свой математический тип от эллиптического к гиперболическому. При этом переходе, т.е. вблизи звуковой поверхности эволюционная матрица коэффициентов при продольных градиентах газодинамических переменных становится плохо обусловленной. В этом нетрудно убедиться на примере системы уравнений одномерной теории сопла Лаваля [Пирумов, Росляков, 1978], [Лойцянский, 1978]. Аналитическому исследованию трансзвуковой особенности в смешанных течениях идеального (невязкого) газа посвящены, например, монографии [Рыжов, 1965], [Коул, Кук, 1989], [Ларькин, 1991], [Шифрин, 2001].

Наличие трансзвуковой особенности в системах определяющих уравнений приводит к таким существенным трудностям при решении, например, прямой задачи сопла Лаваля, как нахождение неизвестного критического расхода и "прохождение" трансзвуковой особенности при численном интегрировании уравнений маршевыми методами [Лапин и др., 1985], [Лапин, Стрелец, 1989]. Аналогичные проблемы возникают при решении задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел [Белоцерковский и др., 1967]. Алгоритм определения величины критического расхода при решении прямой задачи сопла Лаваля в рамках неэллиптической модели УК был предложен в работе

Rae, 1971]. Он основан на методе стрельбы, реализуемом путем многократных маршевых проходов от входного к минимальному сечению сопла при различных значениях расхода, и анализа картины ветвления интегральных кривых в трансзвуковой области течения, в сочетании с методом дихотомии. После того, как найдено значение критического расхода и рассчитана дозвуковая часть течения, необходимо численно пройти трансзвуковую область, где, как сказано выше, система уравнений имеет особенность. Для этого было предложено несколько вариантов искусственных приемов, заключающихся в применении различных способов экстраполяции давления из дозвуковой области в сверхзвуковую [Rae, 1971], [Ветлутцкий, Мучная, 1977], [Левин и др., 1980]. Однако эти приемы осложняют алгоритм и приводят к существенному ухудшению точности расчета в трансзвуковой области течения, т.е. в окрестности минимального сечения сопла [Лапин и др., 1985].

Использование метода установления для решения прямой задачи сопла Лаваля [Иванов, Крайко, 1969], [Киреев и др., 1970], [Иванов и др., 1972], [Манина и др., 1983] устраняет вышеуказанные трудности, связанные с применением маршевых методов расчета. В то же время затраты ресурсов ЭВМ резко возрастают.

2. Цель работы. При разработке упрощенных моделей вязких течений для инженерных приложений следует иметь в виду, что конструкторы стремятся к созданию каналов, в которых крупномасштабные вихревые структуры отсутствуют, чтобы исключить значительное возрастание сопротивления. Хорошо известно, что при высокоскоростных течениях в каналах с изломом контура возникают ударные волны, а в каналах с точками разрыва кривизны контура возникают локальные зоны торможения. Все это приводит к потерям импульса и другим нежелательным эффектам. Поэтому при конструировании предпочтение отдается гладким каналам с непрерывной кривизной контура.

Целью работы является: построение и апробация эффективных газодинамических моделей применительно к расчету стационарных внутренних и внешних смешанных вязких течений в областях с гладкими твердыми стенками в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса; создание уникальных по затратам ресурсов ЭВМ эволюционных по пространству алгоритмов для реализации построенных моделей; применение разработанных моделей и алгоритмов для исследования ламинарных и турбулентных смешанных течений химически реагирующих газов, важных для технических приложений, в широком диапазоне определяющих параметров.

3. Научная новизна. Построена криволинейная ортогональная система координат, обладающая следующими свойствами. Она является геометрически адаптированной и может быть найдена до решения основной задачи расчета поля течения. Её продольные координатные линии близки к линиям тока, а преобразование к декартовой или цилиндрической системе координат может быть выражено в конечной форме (в виде квадратуры). Метрические коэффициенты (параметры Ламе, кривизны координатных линий) криволинейной системы координат выражаются явными формулами, в которые естественным образом входят геометрические характеристики канала.

С использованием этой системы координат построена иерархия упрощенных моделей для вязких стационарных течений в каналах с гладкими стенками при умеренных и больших Re. Иерархия включает параболические, гиперболическую и эллипти-ко-гиперболические модели гладкого канала (ГК). Хорошая точность моделей ГК подтверждена путем сравнения расчетов по этим моделям с экспериментальными данными и результатами расчетов по полным уравнениям Навье-Стокса.

Предложены новые газодинамические модели - гиперболические приближения уравнений Эйлера и Навье-Стокса - описывающие смешанное течение в ударном слое около затупленного гладкого тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Эти модели допускают прямое применение маршевых методов для интегрирования их определяющих уравнений. В сверхзвуковых областях течения уравнения указанных моделей совпадают соответственно с уравнениями Эйлера и уравнениями полного вязкого ударного слоя. В отличие от существующих неэллиптических моделей предложенные модели позволяют с хорошей точностью оценить тепловое и силовое взаимодействие потока с обтекаемыми затупленными телами, включая длинные тела. Адекватность моделей подтверждена хорошими совпадениями с экспериментальными данными, с расчетами уравнений Эйлера, уравнений полного вязкого ударного слоя и уравнений Навье Стокса.

Разработан двухстадийный маршевый метод высокого порядка точности для расчета внутренних и внешних смешанных вязких течений в рамках неэллиптических моделей вязких течений. Построена экономичная конечно-разностная схема для решения систем дифференциальных уравнений, эволюционных по продольной координате, имеющих смешанные вторые производные и второй порядок по поперечной координате. Она является модификацией известной схемы Петухова, предназначенной для решения дифференциального уравнения, параболического по продольной координате и имеющего третий порядок точности по поперечной координате. На квазиравномерных сетках построенная схема имеет первый или второй порядок точности в продольном направлении и четвертый порядок точности в поперечном направлении. Предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов в трансзвуковых областях течения, который обеспечивает сохранение точности численного решения в этих областях.

Предложен ускоренный алгоритм определения критических параметров внутренних и внешних смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых, соответствующих различным значениям определяющего параметра. Алгоритм показал хорошие результаты при расчетах смешанных вязких течений в сопле Лаваля и ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела в рамках гиперболических приближений системы уравнений НС.

Для расчета внутренних смешанных течений в рамках эллиптико-гиперболической модели ГК разработан эффективный маршевый метод, основанный на итерациях по полю направлений линий тока. Метод позволил решить прямую задачу для сопла Лаваля с большой продольной кривизной горла. Для получения решения с инженерной точностью (0.1%) требуется 3-4 итерации.

Разработаны ускоренные итерационно-маршевые алгоритмы высокого порядка точности для интегрирования уравнений эллиптико-гиперболических моделей вязких течений. В качестве таких моделей взяты эллиптико-гиперболическая модель гладкого канала для внутренних вязких течений и модель полного вязкого ударного слоя. Предложенные алгоритмы основаны на новом расщеплении продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющую. В отличие от существующих расщеплений продольного градиента давления, в данном расщеплении вклад эллиптической составляющей минимизирован. Это позволило сократить число глобальных итераций по эллиптической составляющей градиента давления до одной - двух итераций для получения решения с инженерной точностью. Значительным преимуществом алгоритма, разработанного для решения уравнений полного вязкого ударного слоя, от существующих алгоритмов является отсутствие итераций по форме ударной волны. В предложенном алгоритме форма ударной волны находится совместно с другими искомыми газодинамическими переменными при маршевом интегрировании системы уравнений. Это обеспечивает устойчивое интегрирование уравнений, например, в случае обтекания сферы, до больших значений центрального угла, когда другие алгоритмы теряют свою работоспособность. В отличие от существующих маршевых алгоритмов с глобальными итерациями по эллиптической составляющей продольного градиента давления, разработанные алгоритмы для внутренних и внешних течений имеют высокую скорость сходимости и на подробных разностных сетках по маршевой координате.

С помощью предложенной модели гиперболического вязкого ударного слоя проведены расчеты ламинарного смешанного течения в ударном слое около затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком в широком диапазоне чисел Маха и Рей-нольдса. Рассчитано турбулизованное смешанное течение реагирующей смеси Н2/О2 в сопле Лаваля с большой продольной кривизной горла при различном соотношении топлива и окислителя. Для этого использована эллиптико-гиперболическая модель ГК. Проведенные расчеты подтвердили эффективность разработанных моделей и алгоритмов.

4. Практическая значимость. На основе разработанных моделей вязких течений можно проводить серийные расчеты, связанные с задачами оптимизации работы аппаратов химических производств, трубопроводов, камер сгорания, сопловых блоков двигателей и других технических устройств.

Высокая экономичность разработанных численных методов интегрирования уравнений моделей ГК и ПВУС позволяет на их основе проводить широкое численное моделирование вязких внутренних и внешних течений реагирующих газовых смесей с учетом детальной химической кинетики.

Решена актуальная задача, связанная с выбором оптимального соотношения горючего Н2 и окислителя О2, которое обеспечивает максимальную удельную тягу сопла перспективного ракетного двигателя, работающего на данном топливе. Рассмотрена задача о возможном уменьшении сопротивления летящего со сверхзвуковой скоростью затупленного тела путем поддержания температуры его поверхности на заданном уровне.

5. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 1995), на ХШ-ой Международной школе по механике сплошных сред (Санкт-Петербург, 1996), на VII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1996), на Ш-ей Международной школе-семинаре по неравновесным процессам и их приложениям (Минск, 1996), на 1-ом Международном совещании по численному анализу и приложениям (Болгария, Руссе, 1996), на Международной конференции "DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects" (Нидерланды, Twente, 1997), на II-ой Международной школе-семинаре по современным проблемам горения и их приложениям (Минск, 1997), на Международном симпозиуме "Авиация 2000. Перспективы" (Жуковский, 1997), на VIII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1998), на 11-ой Международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и приложения" (Минск, 1998), на II-ом совещании Американского общества аэронавтики и астронавтики по теоретической механике жидкости (США, Альбукерк, 1998), на Х-ой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Переславль-Залесский, 1999), на Юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), на Ш-ей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000), на VIII-OM Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на IV-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002), на объединенном семинаре ИММ РАН.

6. Публикации. По теме диссертации опубликованы 36 статей и трудов конференций, приведенные в списке авторских работ.

7. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двенадцати глав, одиннадцать из которых посвящены изложению оригинальных результатов автора, и заключения; она содержит 275 страниц, включая 16 таблиц и 146 рисунков. Главы состоят из параграфов и пунктов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Рогов, Борис Вадимович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1) Построены газодинамические модели гладкой стенки для внутренних и внешних бесструктурных течений вязкого газа, не уступающие по точности навье-стоксовой модели, но существенно более простые. Это ряд моделей гладкого канала и модель гиперболического вязкого ударного слоя. Вычислительным преимуществом этих моделей является эволюционный по продольной координате характер определяющих уравнений. Расчеты с использованием построенных моделей хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2) Разработана серия высокоэффективных маршевых алгоритмов для реализации указанных моделей, в том числе-, а) предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов системы уравнений, который обеспечивает маршевое прохождение трансзвуковых областей течения, б) разработан быстрый алгоритм определения критических параметров смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых. Для ускорения сходимости итерационно-маршевых алгоритмов при расчете вязких течений с сильным влиянием акустических возмущений вверх по потоку предложено оригинальное расщепление продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющую.

Алгоритмы позволяют проводить расчеты с гарантированной математической точностью (от 4-х до 7-и верных знаков). Они апробированы на решениях прямой задачи сопла Лаваля и на расчетах смешанного течения в вязком ударном слое около затупленного тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком.

3) С помощью указанных моделей и алгоритмов решены актуальные задачи: а) о выборе оптимального соотношения горючего Нг и окислителя Ог, которое обеспечивает максимальную удельную тягу сопла ракетного двигателя, работающего на данном топливе, б) о возможном уменьшении сопротивления летящего со сверхзвуковой скоростью затупленного тела путем поддержания температуры его поверхности на заданном уровне.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рогов, Борис Вадимович, 2003 год

1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 1. Изд. 5-е. М.: Наука.

2. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 600 с.

3. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей. М.:

4. Машиностроение, 1989. 463 с.

5. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П., Худяков В.А. Термодинамическиеи теплофизические свойства продуктов сгорания. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1971. 267 с.

6. Алихашкин Я.И., Фаворский А.П., Чушкин П.И. О расчете течения в плоскомсопле Лаваля IIЖВМ и МФ. 1963. Т.З. №6< С.1130-1134.

7. Алынина Е.А., Калиткин Н.Н., Соколова И.А. Квазиодномерная модель вязкоготечения реагирующих газов в каналах переменного сечения // Докл. IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо, 2001. С. 13-21.

8. Андриатис А.В., Соколова И.А. Водород. Транспортные и термодинамическиесвойства // Математическое моделирование. 1993. Т. 5. № 1. С.60-107.

9. Андриатис А.В., Соколова И.А. Кислород. Транспортные и термодинамическиесвойства // Математическое моделирование. 1994. Т. 6. № 10. С.88-128.

10. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Расчет внутреннего течения с отрывом методом глобальных итераций // Вестн. СпбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 2. С. 78-83.

11. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Использование метода глобальных итерацийпо давлению для решения уравнений Навье-Стокса. // Вестн. СпбГУ. Сер.1. 1994. Вып.З (№15). С.70-74

12. Асланов Т.Д., Быркин А.П., Щенников В.В. Численный расчет внутренних течений вязкого газа с использованием уравнений Навье-Стокса // Уч. зап. ЦА-ГИ, 1981, т. 12, № 3, с.44-54

13. Астров В., Левин Л., Павлов Е., Христианович С.А. О расчете сопла Лаваля //

14. ПММ. 1943. Т. 7. №1. С.3-24

15. Архангельская Л.А., Скурин Л.И. Использование метода глобальных итерацийпо давлению для решения уравнений Навье-Стокса. // Вестн. С.-Петербург, унта. Сер.1, 1994. Вып.З (№15) с.70-74.

16. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 624 с.

17. Безменов В.Я., Быркин А.П., Горенбух П.И., Сабельников В.А., Тимофеева Т.А.,

18. Толстых А.И. Исследование течения газа в гиперзвуковых соплах при больших числах Рейнольдса на основе упрощенных уравнений Навье-Стокса // Уч. зап. ЦАГИ. 1989. Т.20. №4. С.53-61.

19. Башкин В.А., Дудин Г.Н. Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Наука. Физматлит, 2000. 288 с.

20. Белоцерковский О.М. (ред.). Численное исследование современных задач газовой динамики. М.: Наука, 1974. 397 с.

21. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.1. М.: Наука, 1984. 519 с.

22. Белоцерковский О.М., Булекбаев А., Голомазов М.М. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. М,: ВЦ АН СССР, 1967. 400с.

23. Белоцерковский О.М., Быркин А.П., Мазуров А.П., Толстых А.И. Разностныйметод повышенной точности для расчета течений вязкого газа // Ж. вьгчасл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22. № 6. С.1480-1490.

24. Борисов А.В., Ковеня В.М. Применение неявной разностной схемы для расчетавнутренних течений вязкого газа. // Числ. методы мех. сплош. среды. 1976. Т.7. №4. С.36-47.

25. Бородин А.И. Численное решение пространственного многокомпонентного вязкого ударного слоя методом глобальных итераций // Теплофиз. высок, температур. 2001. Т.39. № 4. С.599-608.

26. Бородин А.И., Пейгин С.В. Пространственное обтекание затупленных тел врамках модели параболизованного вязкого ударного слоя // Мат. моделирование. 1993(a). Т. 5. № 1. С. 16-25.

27. Бородин А.И., Пейгин С.В. Модель параболизованного вязкого ударного слоядля исследования пространственного гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа// Теплофиз. высок, температур. 1993(6). Т. 31. № 6. С.925-933.

28. Бородин А.И., Пейгин С.В. Исследование пространственных течений вязкогогаза в рамках параболических моделей течения // Теплофиз. высок, температур. 1996. Т. 34. №3. С. 429-435.

29. Бородин А.И., Иванов В.А., Пейгин С.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел в рамках модели вязкого ударного слоя// Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1996(a). Т.36. №8. С.158-168.

30. Бородин А.И., Казаков В.Ю., Пейгин С.В. Моделирование многокомпонентныххимически неравновесных течений в рамках модели параболизованного пространственного вязкого ударного слоя // Мат. моделирование. 1996(6). Т. 8. № 10. С.3-14.

31. Браиловская И.Ю. Разностная схема для численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Доклады АН СССР. 1965. Т. 160. №5.

32. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986.544 с.

33. Брушлинский К.В., Горшенин К.П., Сыцько Ю.И. Математические модели стационарных МГД-течений в каналах плазменных ускорителей // Мат. моделирование. 1991. Т. 3. № 10. С.3-19.

34. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчет двумерных течений плазмы в каналах // В сб.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С.88-163.

35. Бутенко В.А., Рылов Ю.П., Чиков В.П. Экспериментальное исследование характеристик малоразмерных сопл // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1976. №6. С. 137-140.

36. Быркин А.П. Об автомодельных течениях вязкого газа в канале при наличии теплообмена // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1969. № 5. С.48-52.

37. Быркин А.П., Толстых А.И. Компактные схемы третьего и четвертого порядковв задачах о внутренних течениях вязкого и невязкого газов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. №8. С.1234-1251.

38. Ван-Дайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении сприменением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком // Исследование гиперзвуковых течений. М.: Мир, 1964. С.35-58.

39. Васильевский С.А., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Численный метод решенияуравнений вязкого ударного слоя. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т.27. №5. С.741-750.

40. Ветлутцкий В.Н., Мучная М.И. Расчет вязкого течения в гиперзвуковом сопле //

41. Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1977. №4. С.29-35.

42. Войнович П.А. Маршевый метод расчета течений вязкого газа в каналах // Ж.вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т.24. №6. С.944-947.

43. Войнович П.А., Головачев Ю.П., Фурсенко А.А. Маршевый метод расчета смешанных течений вязкого газа // В сб.: Числ. методы динам, вяз. жидкости. Новосибирск. 1983. С.90-95.

44. Войнович П.А., Фурсенко А.А. Расчет струйных и внутренних течений вязкогогаза. Препринт № 860. Л.: ФТИ АН СССР, 1983. 23 с.

45. Войнович П.А., Фурсенко А.А. Метод глобальных итераций для расчета смешанных течений вязкого газа // Дифференц. ур-ния. 1984. Т.20. №7. С.1151-1156.

46. Волков В.А., Гидаспов В.Ю., Козелько А.Н., Пирумов У.Г. Маршевый полисеточный алгоритм расчета сверхзвуковых стационарных течений газа на естественно адаптированных сетках // Мат. моделирование. 1996. Т.8. №6. с.121-127.

47. Ганьжа Д.Х., Тирский Г.А., Утюжников С.В., Фридлендер М.О. О влиянии эффектов второго приближения теории пограничного слоя при гиперзвуковом обтекании притуплённых конусов большого удлинения // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1992. № 4. С. 129-134.

48. Гершбейн Э.А., Пейгин С.В., Тирский Г.А. Сверхзвуковое обтекание тел прималых и умеренных числах Рейнольдса // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.19. С.3-85.

49. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Численный метод решенияпараболизованных уравнений Навье-Стокса в задачах сверхзвукового обтекания тел //Докл. АН СССР. 1990. Т.315. № 6. С.1322-1325.

50. Глазков Ю.В., Тирский Г.А., Щербак В.Г. Метод решения параболизованныхуравнений Навье-Стокса с использованием глобальных итераций // Мат. моделирование. 1990. Т. 2. № 8. С.31-41.

51. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в ударномслое. М.: Наука. Физматлит, 1996. 376 с.

52. Головачев Ю.П., Попов Ф.Д. Расчет сверхзвукового обтекания затупленных телвязким газом при больших числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 5. С.1292-1303.

53. Головачев Ю.П., Кузьмин A.M., Попов Ф.Д. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел с использованием полных и упрощенных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 4. С. 1021-1028.

54. Головачев Ю.П., Тимофеев Е.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом с помощью метода глобальных итераций. Физ.-техн. ин-т АН СССР. Препр. 1988. № 1254.

55. Головачев Ю.П., Фурсенко А.А. Маршевый метод расчета течений вязкого газа

56. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21, № 6. С.1592-1596.

57. Громов В.Г. Применение трехслойной разностной схемы для решения уравнений пограничного слоя // Изв. АН СССР. Сер. механ. и машиностр. 1963. № 5. С.124-133.

58. Громов В.Г., Сахаров В.И., Фатеева Е.И. Численное исследование гиперзвукового обтекания затупленных тел вязким химически реагирующим газом // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1999. № 5. С. 177-186.

59. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочное издание: в 4-х т., 3-е изд. М.: Наука, 19781982.

60. Гусев В.Н., Егоров И.В., Провоторов В.П. Моделирование неравновеснойтеплопередачи в окрестности плоскости симметрии трехмерного тела // Уч. зап. ЦАГИ. 1996. Т.27. №3/4. С.67-74.

61. Денисенко О.В. Метод расчета сверхзвуковых сопл при сильном влиянии вязкости // Уч. зап. ЦАГИ. 1982. Т. 13. №4. С.71-80.

62. Денисенко О.В., Провоторов В.П. Исследование течений вязкого газа при умеренных числах Рейнольдса // Труды ЦАГИ. 1985. Вып. 2269. С.111-127.

63. Дэвис P.JL, Ни Р.-Х., Боули У.У. Расчёт сжимаемых ламинарных течений с помощью маршевых (по времени) одно- и двухшаговых схем и многосеточного метода // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3. № 8. С.84-94.

64. Диксон-Льюис Г. Численное моделирование горения в потоке с учётом процессов переноса // В кн.: Химия горения. Под ред. У.Гардинера мл., Глава 2. М.: Мир, 1988.

65. Егоров И.В., Иванов Д.В. Применение полностью неявных монотонных схемдля моделирования плоских внутренних течений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №12. С.91-107.

66. Егоров И.В., Иванов Д.В. Моделирование химически неравновесного течениягаза в канале переменного сечения // Мат. моделир. 1997. Т.9. № 11. С.85-100.

67. Егоров Ю.Э., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Границы применимости параболическихмоделей для численного исследования течений в соплах Лаваля. 1. Приближение узкого канала. Препринт Гос. ин-та прикладной химии. Л., 1991, №4. 65 с.

68. Жлуктов С.В., Тирский Г.А., Утюжников С.В. Термодинамически неравновесный вязкий ударный слой около длинных притуплённых конусов // ПММ. 1994. Т.58. № 3. С.119-130.

69. Зайков Л.А., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Расчет стационарных турбулентных течений химически реагирующих газовых смесей в каналах при произвольных числах Маха// Теплофиз. высок, температур. 1994. Т. 32. № 6. С. 850-862.

70. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах Н Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1969. № 5. С.77-83.

71. Иванов М.Я., Крайко А.Н., Михайлов Н.В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений И Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12. №2. С.441-463.

72. Идиятулина Ф.Л., Лаврухин Г.Н., Михайлов Б.Н. и др. Расчетные и экспериментальные исследования влияния радиуса кривизны контура в области критического сечения на характеристики сверхзвуковых сопл // Уч. зап. ЦАГИ. 1980. Т. 11. №4. С. 159-164.

73. Казаков А.В., Коган М.Н., Курячий А.П. О влиянии локального нагрева поверхности на трение в турбулентном пограничном слое на пластине // Теплофиз. высок, температур. 1995. Т. 33. № 6. С.888-894.

74. Казаков А.В., Коган М.Н., Курячий А.П. Влияние на трение локального подводатепла в турбулентный пограничный слой // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1997. №1. С.48-56.

75. Казаков В.Ю., Пейгин С.В. Численное моделирование двумерных неравновесных сверхзвуковых течений в рамках модели вязкого ударного слоя // Теплофиз. высок, температур. 1998. Т.36. № 5. С.776-784.

76. Казаков В.Ю. Пространственные термохимически неравновесные течения вязкого газа около затупленных тел // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. №6. С. 169-179.

77. Казаков В.Ю., Пейгин С.В., Тимченко С.В. Оптимизация по интегральномутепловлму потоку траектории входа в атмосферу Земли затупленного тела // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 4. С. 112-123.

78. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

79. Калиткин Н.Н., Кузнецов Н.О., Панченко C.JI. Метод квазиравномерных сеток вбесконечной области // ДАН. 2000. Т. 374. № 5. С.598-601.

80. Каратаев С.Г., Котеров В.Н. Численный метод расчета сверхзвуковых теченийвязкого газа//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. №4. С.586-600.

81. Карякин В.Е., Попов Ф.Д. Расчет пространственного обтекания затупленных телсверхзвуковым потоком вязкого и теплопроводного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т.17. №6. С.1545-1555.

82. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.

83. Изд. 2-е. М.: Мир, 2001. 575 с.

84. Кибель И.А. /Ред. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2. 1963. 728с.

85. Киреев В.И., Войновский А.С. Численное моделирование газодинамических течений. М.: Изд-во МАИ, 1991. 254 с.

86. Киреев В.И., Лифшиц Ю.Б. О трансзвуковом течении газа в осесимметричныхсоплах Лаваля // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1970. № 6. С.55-58.

87. Киселев А.С., Стернин Л.Е. Компактная разностная схема со скалярными прогонками для интегрирования уравнений газовой динамики. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39, №1. С.154-162.

88. Ковалев В.И., Лущик В.Г., Сизова В.И., Якубенко А.Е. Трехпараметрическаямодель турбулентности: численное исследование пограничного слоя в сопле с завесным охлаждением. // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1992. №1. С.48-57.

89. Ковалев В.Л., Крупное А.А. Многокомпонентный химически реагирующийтурбулентный вязкий ударный слой у каталитической поверхности // Изв. СССР. Механ. жидк. и газа. 1989. № 2. С.144-149.

90. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Тирский Г.А. Решение уравнений вязкого ударногослоя методом простых глобальных итераций по градиенту давления и форме ударной волны. //Докл. РАН. 1994(a). Т.338. №3. С.333-336.

91. Ковалев В.Л., Крупнов А.А., Тирский Г.'А. Метод глобальных итерацийрешения задач сверхзвукового обтекания затупленных тел идеальным газом // ДАН. 1994(6). Т.339. №3. С.342-345.

92. Ковеня В.М., Черный С.Г. Решение упрощенных уравнений вязкого газа маршевым методом // Численные методы механики сплошной среды. 1979. Т. 10. № 1. С.71-87.

93. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.

94. Новосибирск: Наука, 1981. 301 с.

95. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления взадачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1990. 247 с.

96. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 с.

97. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: Изд-во МГУ, 1980. 247 с.

98. Копченов В.И., Ласкин И.Н. Об одной конечно-разностной схеме для численного решения параболизованных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №2. С. 126-137,

99. Коул Дж., Кук JI. Трансзвуковая аэродинамика. М.: Мир, 1989. 360 с.

100. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х т./ Подред. И.А.Кибеля. М.: Физматгиз, 1963. Ч. 2. 728 с.

101. Кузнецова Л. В., Павлов Б.М. Применение уравнений Навье-Стокса к исследованию течения вязкого газа в сопле Лаваля // Вычисл. методы и программир. М.: Изд-во МГУ. 1979. № 30. С. 120-130.

102. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросычисленного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.608 с.

103. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.:1. Наука, 1986. 736 с.

104. Лапин Ю.В., Нехамкина О.А., Поспелов В.А,, Стрелец М.Х., Шур М.Л. Численное моделирование внутренних течений вязких химически реагирующих газовя смесей // Итоги науки и техн. Сер. Механ. жидкости и газа. Т. 19. М.: ВИНИТИ, 1985, С.86-185.

105. Лапин Ю.В., Поспелов В.А. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине // Теплофиз. высок, температур. 1995. Т. 33. № 3. С.422-429.

106. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука. 1989.368 с.

107. ЮЗ.Ларькин Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газодинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1991. 145с.

108. Ласкин И.Н. Использование метода глобальных итераций для расчета сверх- и гиперзвуковых течений с эффектами вязко-невязкого взаимодействия в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса // Аэромеханика и газовая динамика. 2001. № 1. С.48:52.

109. Левин В.Я., Нигодюк В.Е., Пирумов У.Г., Фирсов О.И., Шустов С.А. Исследование течений в соплах Лаваля при низких числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1980. №3. С.90-97.

110. Лапин Ю.В., Нехамкина О.А., Поспелов В.А. и др. // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.19. С.86-185.

111. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

112. Ларькин Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газодинамики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. 145 с.

113. Липчинский Е.А., Утюжников С.В., Тирский Г.А. Эффекты второго приближения теории пограничного слоя при пространственном обтекании тел большого удлинения под малыми углами атаки // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1995. № 2. С.57-64.

114. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. Наука: 1978. 736 с.

115. ПЗ.Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Сравнительный анализ моделей турбулентности для расчета пристенного пограничного слоя // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1998. № 1. С.44-58.

116. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около затупленных тел. В 2-х т. М.: Наука, 1970.

117. Мазуров А.П. Численный расчет течения вязкого газа в плоском сопле ГПВРД // Уч. зап. ЦАГИ. 1993. Т.24. №3. С.63-75.

118. Мальков В.М., Соловьёв А.В. Об одном методе численного интегрирования параболизованных уравнений Навье-Стокса, использованных для расчёта течений в соплах ГДЛ // Сб.: Газодинамика проточной части ГДЛ. Новосибирск: Изд-во ИТПМ, 1987, С.3-19.

119. Манина М.П., Поспелов В.А., Ходжиев С. Решение прямой задачи сопла Лаваля в приближении "узкого канала" методом установления // В сб.: Гидроаэродинамика. Л., 1983, с.26-30.

120. Маркачев Ю.Е. Итерационные алгоритмы расчета стационарного течения вязкого газа в сопле Лаваля в приближении "узкого канала" // Труды ЦАГИ. 1979. Вып. 2024. С.3-16.

121. Марков А.А. Численное моделирование трехмерных вязких потоков маршевым методом с глобальными итерациями давления // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1992. №5. С.132-147.

122. Медведев А.Е., Фомин В.М. Анализ движения вязкого реагирующего газа в узком канале // Теплофизика и аэромеханика. 1995. Т.2. №4. С.323-332.

123. Мелешко С.В., Черный С.Г. Исследование вязких сжимаемых течений на основе параболизованных уравнений Навье-Стокса. Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР. Препр. 1985. № 32. 47 с.

124. Михайлов В.В. Метод расчета сверхзвуковых сопел с учетом влияния вязкости // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1969. №1. С.69-72.

125. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле // В сб.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С.3-87.

126. Мучная М.И. Использование упрощенных уравнений Навье-Стокса для расчета для расчета вязкого течения в гиперзвуковом сопле. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. Препр. 1981. № 17. 22 с.

127. Мучная М.И. Расчет течения в профилированных гиперзвуковых соплах с помощью упрощенных уравнений Навье-Стокса // Числ. методы мех. сплош. среды. 1982. Т. 13. №5. С.145-148.

128. Мучная М.И. Исследование течений в гиперзвуковых соплах в рамках упрощенных уравнений Навье-Стокса // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. №6. С.20-26.

129. Мучная М.И. Численное исследование течения газа в гиперзвуковых соплах при высоких числах Рейнольдса // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1999. №1. С.161-164.

130. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

131. Паламарчук И.И., Тирский Г.А., Утюжников С.В., Фридлендер М.О. Исследование турбулентного гиперзвукового обтекания длинных затупленных конусов // Изв. РАН. Механ. жидк. и газа. 1993. №6. С.123-128.

132. Пейгин С.В., Тирский Г.А. Трехмерные задачи сверх- и гиперзвукового обтекания тел потоком вязкого газа // Итого науки и техники. ВИНИТИ. Сер. механ. жидкости и газа. 1988. Т. 22. С.62-177.

133. Пейгин С.В. Неравновесные течения воздуха в пространственном параболизо-ванном вязком ударном слое с учетом колебательной релаксации // Мат. моделирование. 2000. Т. 12. № 10. С.61-76.

134. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. // Сб. "Численные методы решения диффер. и интегр. ур-ний и квадратурные формулы". М.: Изд-во АН СССР. 1964. С.304-325.

135. Петухов И.В. Об одной схеме разностной аппроксимации для численного решения уравнений параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т.6. №6. С.1019-1028.

136. Пирумов У.Г. Расчет течения в сопле-Лаваля // Изв. АН СССР. 1967. № 5. С. 1022.

137. Пирумов У.Г. Исследование течения в до- и трансзвуковой областях сопла Лаваля // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1970. № 1. С.53-63.

138. Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла. М.: Машиностроение, 1988. 238 с.

139. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. М.: МГУ. 1978. 351 с.

140. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. 368 с.

141. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176 с.

142. НО.Подсыпанина Н.А., Шифрин Э.Г., Шулаков М.А. О возможности безотрывноготечения в сопле с сильно изогнутыми стенками // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1980. №5.

143. Полянский А.Ф., Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод интегрирования систем уравнений Навье-Стокса для газа// Вестн.С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1. № 1.С.87-92.

144. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

145. Рыжов О.С. О газовых течениях в соплах Лаваля. // ПММ. 1958. т. 22. № 3.

146. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. М.: ВЦ АН СССР, 1965. 238 с.

147. Рычков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 222 с.

148. Савельев А.Д. Неявный метод расчета турбулентных течений вязкого сжимаемого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 3. С.520-531.

149. Савельев А.Д., Толстых А.И. Алгоритмы расчета течений вязкого газа, основанные на компактных аппроксимациях третьего порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 11. С. 1709-1724.

150. Седов Л.И., Михайлова М.П., Черный Г.Г. О влиянии вязкости и теплопроводности на течение газа за сильно искривленной ударной волной // Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1953. № 3. С.95-100.

151. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2-е изд., 1973.

152. Сковородко П.А., Яковенко В.А. Численное исследование течения вязкого газа в сопле Лаваля в приближении узкого канала. // Изв. СО РАН. Сибирский физико-технический журнал. 1992. №1. С.17-23.

153. Скурин Л.И. Итерационно-маршевый метод решения задач механики жидкости и газа // Сиб. журн. вычислит, математики. СО РАН. Новосибирск. 1998. № 2. С.171-181.

154. Степанов Г.Ю., Гогиш Л.В. Квазиодномерная газодинамика сопел ракетных двигателей. М.: Машиностроение, 1973. 168 с.

155. Стрелец М.Х., Шур М.Л. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 2. С.254-266.

156. Сыч В.М. Расчет искривленной пристеночной турбулентной струи // Уч. зап. ЦАГИ. Т.16. 1985. №3. С.58-68.

157. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука, 1987. 256 с.

158. Тирский Г.А. К теории гиперзвукового обтекания плоских и осесимметричных затупленных тел вязким потоком газа при наличии вдува // Труды Института механики МГУ. 1975. № 39. С.5-38.

159. Тирский Г.А. Континуальные модели в задачах гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом // ПММ. 1997. Т.61. № 6. С.903-930.

160. Тирский Г.А., Жлуктов С.В. Влияние колебательно-диссоциационного взаимодействия на теплопередачу и сопротивление при гиперзвуковом обтекании тел // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1990. № 3. С.141-151.

161. Тирский Г.А., Утюжников С.В. Сравнение моделей тонкого и полного вязкого ударного слоя в задаче сверхзвукового обтекания притуплённых конусов вязким газом // ПММ. 1989. Т.53. № 6. С.963-969.

162. Тирский Г.А., Утюжников С.В. Современные газодинамические модели внешних и внутренних задач сверх- и гиперзвуковой аэродинамики // Моделирование в механике. 1993. Т.7. №2. С.5-28.

163. Тирский Г.А., Щелин B.C., Щербак В.Г. Влияние неопределенности химической кинетики на конвективный теплообмен // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. 1990. №6. С.146-151.

164. Толстых А.И. О численном расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. 1966. Т.6. №1. С.113-120.

165. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990. 230 с.

166. Утюжников С.В., Ямалеев Н.К. Пространственное сверхзвуковое турбулентное обтекание тел под малыми углами атаки // Теплофиз. высок, температур. 1996. Т. 34. №4. С.567-572.

167. Фалькович С.В. К теории сопла Лаваля // ПММ. 1946. Т.10. № 4.

168. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

169. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. №5. С.387-422.

170. Хиршель Э., Кордулла В. Сдвиговое течение сжимаемой жидкости. Численный расчет пограничного слоя. М.: Мир, 1987.248 с.

171. Христианович С.А. Приближенное интегрирование уравнений сверхзвукового течения газа//ПММ. 1947. Т.П. №2. С.215-222.

172. Христианович С.А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981. 484 с.

173. Чекмарев С.Ф., Сковородко П.А. Маршевый метод расчета двумерных сверхзвуковых течений вязкого газа в естественных координатах. Препринт Ин-та теплофизики СО АН СССР. Новосибирск, 1981. 28 с.

174. Черный С.Г. О выборе системы координат для численного решения упрощенных уравнений Навье-Стокса // Числ. методы мех. сплош. среды (Новосибирск). 1982. Т. 13. № 1. С.132-146.

175. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959.

176. Некоторые применения метода сеток в газовой динамике". М.: Изд-во МГУ. 1971. Вып. 1. С.196-210.

177. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М. Наука. 1977. 224с.

178. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. М.: Наука, 1986.367 с.

179. Шифрин Э.Г. О единственности "в целом" решения прямой задачи сопла Лаваля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т.18. № 2. С.509-512.

180. Шифрин Э.Г. Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 320 с.

181. Щербак В.Г. Сравнение различных газодинамических приближений при численном моделировании гиперзвукового обтекания тел разреженным газом // Теплофизика высоких температур. 1990. Т. 28. № 6. С. 1164-1170.

182. Alshina Е.А., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Effective method for computing two-dimension burning flows. // Proc. of 5th International Conference on Technologies and Combustion for a Clean Environment. Lisbon-Portugal, 12-15 July, 1999. V.2. P.903-909.

183. Alshina E.A., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Effective Method and Model for Simulating Burning Flows // CD-ROM 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, July 10-14,2000.

184. Alshina E.A., Kalitkin N.N., Sokolova I.A. Effective Method for Estimating Pollutants Concentrations in Burning Flows // First SIAM-EMS Conference "Applied Mathematics in our Changing World", Berlin, 2001, P.79.

185. Anderson D.A., Tannehill J.C. and Pletcher R.H. Computational Fluids Mechanics and Heat Transfer. New York: Hemisphere, 1984. Имеется перевод: Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: в 2-хт. М.: Мир, 1990.

186. Anderson O.L. Calculation of internal viscous flows in axisymmetric ducts at moderate to high Reynolds numbers // Computers and Fluids. 1980. V.8. P.391-441.

187. Anderson O.L., Davis R.T., Hankins G.B., Edwards D.E. Solution of viscous internal flow on curvilinear- grid generated by the Schwarz-Christoffer transformation // Numerical Grid Generation. Amsterdam-London: North-Holland Publishing Company, 1982.

188. Back L.H., Massier P.F., Gier H.L. Comparison of measured and predicted flows through conical supersonic nozzles, with emphasis on the transonic region // AIAA J. 1965. V. 3. № 9. P.1606-1614.

189. Barnett M., Davis R.T. Calculation of supersonic flows with strong viscous-inviscid interaction // AIAA Journal. 1986. V.24. № 12. P. 1949-1955.

190. Baulch D.L., Cobos C.J., Cox R.A. et al. Evaluated kinetic data for combustion modeling // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1992. V. 21. № 3. P.411-733.

191. Bentson J., Vradis G. A two-stage pressure correction technique for the incompressible Navier-Stokes equations // AIAA Paper. 1987. № 87-0545.

192. Bhutta B.A., Lewis C.H. Recent improvements in the nonequilibrium VSL scheme for hypersonic blunt-body flows // AIAA Paper. 1991. № 91-0469.

193. Blottner F.G. Numerical solution of slender channel laminar flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1977. V.l 1. P.319-339.

194. Boynton F.P., Thomson A. Numerical computation of steady, supersonic, two-dimensional gas flow in natural coordinates //.J. Сотр. Phys. 1969. V.3. № 3. P.379-398.

195. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts // J. Сотр. Phys. 1974. V.14. №1. P.8-28.

196. Briley W.R., McDonald H. Three-dimensional viscous flows with large secondary velocity // Journal of Fluid Mechanics. 1984. V.144. P.47-77.

197. Cebeci Т., Smith A.M.O. Analysis of Turbulent Boundary Layer. New York: Academic, 1974. 404 p.

198. Cebeci Т., Bradshaw P. Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer. New York: Springer-Verlag, 1984.

199. Cheng H.K. The blunt-body problem in hypersonic flow at low Reynolds number // IAS Paper. 1963. № 63-92. 100р.

200. Chien J.Y. Prediction of channel boundary-layer flows with a low-Reynolds-number turbulence model // AIAA Journal. 1982. V.20. № 1. P.33-38.

201. Chilukuri R., Pletcher R.H. Numerical solutions to the partially parabolized Navier-Stokes equations for developing flow in a channel // Numerical Heat Transfer. 1980. V.3. № 2. P. 169-188.

202. Choi D.H., Kang D.J. Calculation of separation bubbles using a partially parabolized Navier-Stokes procedure // AIAA Journal. 1991. V.29. № 8. P. 1266-1272.

203. Choi Y.H., Merkle C.L. The application of preconditioning in viscous flows // J. Comput. Phys. 1993. V.105. № 2. P,207-223.

204. Cline M.C. Computation of two-dimensional , viscous nozzle flow. AIAA Journal. 1976. V.14. N3. P.295-296./ Пер. Клайн M.C. Расчет двумерных вязких течений в соплах // Ракета, техн. и космонавтика. 1976. Т.14. №3 С.9-11.

205. Coirier W.J. Efficient real gas upwinded Navier-Stokes computations of high speed flows // AIAA Journal. 1991. V. 29. No. 8. P. 1223-1231.

206. Cuffel R.F., Back L.H., Massier P.F. Transonic flowfield in a supersonic nozzle with small throat radius of curvature // AIAA J. 1969. V. 7. № 7. P. 1364-1666.

207. Davis R.T. Numerical solution of the hypersonic viscous shock layer equations // AIAA Journal. 1970. V.8. No.5. P.843-851.

208. Davis R.T., Barnett M., Rakich J.V. The calculation of supersonic viscous flows using the parabolized Navier-Stokes equations // Computers and Fluids. 1986. V.14. № 3. P. 197-224.

209. Davis R.L., Carter J.E. Analysis of airfoil transitional separation bubbles // AIAA Paper. 1984. №84-1613.

210. Davis R.T., Flugge-Lotz I. Second-order boundary layer effects in hypersonic flow past axisymmetric blunt bodies // J. Fluid Mech. 1964. V.20. Pt.4. P.593-623.

211. Davis R.T., Rubin S.G. Non-Navier Stokes viscous flow computations // Computers and Fluids. 1980. V.8. №1. P.101-131.

212. Davis R.T., Werle M.J., Wornom S.F. A consistent formulation of compressible boundary-layer theory with second-order curvature and displacement effects // AIAA Journal. 1970. V.8. № 9. P.1701-1703.

213. Degani D., Steger J.L. Comparison between Navier-Stokes and thin-layer computations for separated supersonic flow // AIAA Journal. 1983. V.21. № 11. P.1604-1606.

214. Dutton J.C., Addy A.L. Transonic flow in the throat region of axisymmetric nozzles// AIAA Journal. 1981. V.19. № 6. P.801-804.

215. Ebrahimi H.B., Gilbertson M. Two and three dimensional parabolized Navier-Stokes code for scramjet combustor, nozzle, and film cooling analysis // AIAA Paper. 1992. №92-0391. 10 pp.

216. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 356 p.

217. Fletcher C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics, Vols. 1 and 2, Springer-Verlag, Berlin, 1988. Имеется перевод: Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в 2-х т. М.: Мир, 1991.

218. Gao Zhi. Simplified Navier-Stokes Equations (SNSE) // Scienta Sinica. Ser. A. 1988. V.31. №3. P.322-339.

219. Ghia K.N., Sokhey J.S. Laminar incompressible viscous flow in curved ducts of rectangular cross sections. // Journal of Fluids Engineering. 1977.V.99. P.640-648.

220. Gordon R., Davis R.T. Improved method for solving the viscous shock layer equations // AIAA Journal. 1992. V.30. № 7. P. 1770-1779.

221. Gupta R.N., Lee K.P., Zoby E.V., Moss J.N., Thompson R.A. Hypersonic viscous shock-layer solutions over long slender bodies Part I: High Reynolds number flows // J. Spacecraft Rockets. 1990. V. 27. № 2. P. 175-184.

222. Gupta R.N., Lee K.P., Zoby E.V. Enhancements to Viscous-Shock-Layer Technique // AIAA Paper. 1992. № 92-2897.

223. Hamala P., Khosla P., Morgan P., Rubin S. Streamline based grid adaption for Euler and Navier-Stokes: direct and inverse design applications // Computers and Fluids. 1997. V.26. №4. P.339-357.

224. Helliwell W.S., Dickinson R.P., Lubard S.C. Viscous flow over arbitrary geometries at high angle of attack // AIAA Journal. 1981. V. 19. № 2. P. 191-197.

225. Hickman R.S., Giedt W.H. Heat transfer to a hemisphere-cylinder at low Reynolds numbers // AIAA Journal. 1963. V.l. № 3. P.665-672.

226. Himansu A., Rubin S.G. Multigrid acceleration of a relaxation procedure for the reduced Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1988. V. 26. № 9. P.1044-1051.

227. Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows. Vols. 1-2. New York: Wiley & Sons, 1988.

228. Karki K.C., Patankar S.V. Pressure based calculation procedure for viscous flows at all speeds in arbitrary configurations // AIAA Journal. 1989. V.27. № 9. P. 11671174.

229. Kaushik S., Rubin S.G. Incompressible Navier-Stokes solutions with a new primitive variable solver // Computers and Fluids. 1995,- V. 24. № 1. P.27-40.

230. Kaushik S., Rubin S.G. Pressure based flux-split solutions for incompressible and compressible internal flows // Computers and Fluids. 1998. V.27. № 1. P.71-94.

231. Khosla P.K., Lai H.T. Global relaxation procedure for compressible solutions of the steady-state Euler equations // Computers and Fluids. 1987. V.l5. № 2. P.215-229.

232. Kim M.D., Thareja R.R., Lewis C.H. Three-dimensional viscous flow-field computations in a streamline coordinate system // J. Spacecraft and Rockets. 1982. V. 19. № 1. P.41-46.

233. Kobayashi M.H., Pereira I.C.F. Characteristic-base pressure correction at all speeds. // AIAA Journal. 1996. V.34. №2. P.272-280.'

234. Kreskovsky J.P., Shamroth S.J. An implicit marching method for the two-dimensional reduced Navier-Stokes equations at arbitrary Mach number // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1978. V.13. № 3. P.307-334.

235. Lawrence S.L., Tannehill J.C., Chaussee D.S. Upwind algorithm for the parabolized Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1989. V. 27. № 9. P.l 175-1183.

236. Lin T.C., Rubin S.G. A two layer model for three-dimensional viscous and inviscid flow calculations // AIAA Paper. 1975. № 75-853.

237. Liu X., Pletcher R.H. A coupled marching procedure for the partially parabolized Navier-Stokes equations // Numerical Heat Transfer. 1986. V.10. P.539-556.

238. Marinov N.M., Westbrook C.K., Pitz W.J. Detailed and global chemical kinetics model for hydrogen// in: Transport Phenomena in Combustion (S.H. Chan, Ed.). Washington D.C.: Taylor & Francis, 1995, vol.2, pp.118-129.

239. Mason E.A., Saxena S.C. Approximate formula for the conductivity of gas mixtures // Phys. Fluids. 1958. V. 1. № 5. P.361-369.

240. Miles R., Brown G., Lempert W. et al. Radiative driven hypersonic wind tunnel // AIAA Paper. 1994. № 94-2472. 16 p.

241. Miller J.H., Tannehill J.C., Lawrence S.L. Parabolized Navier-Stokes algorithm for supersonic flows with upstream influences // AIAA Journal. 2000. V.38. № 10. P.1837-1845.

242. Miller J.H., Tannehill J.C., Lawrence S.L., Edwards T.A. Parabolized Navier-Stokes code for hypersonic flows in thermo-chemical equilibrium or nonequilibrium // Computers and Fluids. 1998. V.27. №2. P. 199-215.

243. Mitra N.K., Fiebig M. Determination of stagnation chamber temperature in high-enthalpy nozzle flows // AIAA Journal. 1976. V.14. № 3. P.406-408.

244. Napolitano M. High Re separated flow solutions using the Navier-Stokes and approximate equations // AIAA Journal. 1987. V.25. №2. P.260-265.

245. Napolitano M., Cinnella P. A numerical study of planar and axially-symmetric sudden expansion flows // Computers and Fluids. 1989. V.17. № 1. P. 185-193.

246. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass, and momentum transfer in three-dimensional parabolic flow // Intern. Journal of Heat and Mass Transfer. 1972. V.15. № 10. P.1787-1806.

247. Prabhu D.K., Tannehill J.C., Marvin J.G. A new PNS code for three-dimensional chemically reacting flows // AIAA Paper. 1987. 87-1472. 19 p.

248. Rae W.J. Some numerical results on viscous low-density nozzle flows in the slender-channel approximation//AIAA Journal. 1971. V.9. №5. P.811-820.

249. Ramakrishnan S.V., Rubin S.G. Time-consistent pressure relaxation procedure for compressible reduced Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1987. V.25. № 7. P.905-913.

250. Roberts D.W., Forester C.K. Parabolic procedure for flows in ducts with arbitrary cross sections //AIAA Journal. 1979. V.17. №1. P.33-40.

251. Rosenbaum D., Rubin S.G. Global pressure relaxation for laminar two-dimensional internal flow // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1990. V. 10. № 7. P.827-848.

252. Rubin S.G. RNS/Euler pressure relaxation and flux vector splitting // Computers and Fluids. 1988. V. 16. № 4. P.485-490.

253. Rubin S.G., Himansu A. Convergence properties of high Reynolds number separated flow calculations // International Journal of Numerical Methods in Fluids. 1989. V. 9. № 11. P.1395-1411.

254. Rubin S.G., Reddy D.R. Analysis of global pressure relaxation for flows with strong interaction and separation // Computers and Fluids. 1983. V.l 1. № 4. P.281-306.

255. Rubin S.G., Tannehill J.C. Parabolized/reduced Navier-Stokes computational tech-niquies. // Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. V. 24. P. 117-144.

256. Sesterhenn J., Muller В., Thomann H. Flux-vector splitting for compressible low Mach number flow // Computers and Fluids. 1993. V.22. № 4/5. P.441-451.

257. Shuen J.S., Chen K.H., Choi Y. A time-accurate algorithm for chemical non-equilibrium viscous flows at all speeds // AIAA Paper. 1992. № 92-3639. 14 p.

258. Srinivasan K., Rubin S.G. Segmented multigrid domain decomposition procedure for incompressible viscous flow/ International Journal of Numerical Methods in Fluids. 1992. V.15. P.1333-1335.

259. Tannehill J.C., Anderson D.A., Pletcher R.H. Computational Fluids Mechanics and Heat Transfer, 2nd ed., Washington DC: Taylor&Francis, Hemisphere, 1997.

260. TenPas P.W., Hancock P.D. Numerical simulation of laminar flow and heat transfer in channels with symmetric and asymmetric sudden expansions. // In: ASME Topics in Heat Transfer. 1992. Vol. 1, HTD-vol. 206-1. ASME, New York.

261. TenPas P.W., Pletcher R.H. Solution of the Navier-Stokes equations for subsonic flows using a coupled space-marching method // AIAA Paper. 1987. № 87-1173.

262. TenPas P.W., Pletcher R.H. Coupled space-marching method for the Navier-Stokes equations for subsonic flows. //AIAA Journal. 1991. V.29. №2. P.219-226.

263. Tirskii G.A., Utyuzhnikov S.V., Yamaleev N.K. Efficient numerical method for simulation of supersonic viscous flow past a blunted body at a small angle of attack // Computers and Fluids. 1994. V.23. №.1. P.103-114.

264. Veldman A.E.P. Matched asymptotic expansions and the numerical treatment of vis-cous-inviscid interaction // Journal of Engineering Mathematics. 2001. V.39. P. 189206.

265. Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.C. Calculation of supersonic viscous flow over delta wings with sharp subsonic leading edges // AIAA Paper. 1978. № 781137.

266. Vradis G., Zalak V., Bentson J. Simultaneous variable solutions of the incompressible steady Navier-Stokes equations in general curvilinear coordinate systems // J. Fluids Eng. 1992. V.l 14, P.299-305.

267. Williams J.C. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels // AIAA Journal. 1963. V.l. №1. P. 186-195.

268. Wilke C.R. A viscosity equation for gas mixtures // J. Chem. Phys. 1950(a). V. 18. №4. P.517-522.

269. Wilke C.R. Diffusional properties of multicomponent gases // Chem. Eng. Progr. 1950(b). V.46. № 2. P.95-104.

270. Yamaleev N.K., Ballmann J. Iterative space-marching method for compressible sub-, trans-, and supersonic flows // AIAA Journal. 2000. V.38. № 2. P.225-233.список1. АВТОРСКИХ РАБОТ

271. А1. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения химически реагирующих смесей газов в гладких искривленных каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1994. Т.6. №-12. С.38-56.

272. А2. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения вязких течений в гладких каналах переменного сечения // Доклады Академии Наук. 1995. т.345. №5. С.615-618.

273. A3. Рогов Б.В., Соколова И.А. Уравнения для течений вязких газов в изогнутых плоских каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1995. Т.7. №11. С.39-54.

274. А4. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в гладких каналах переменного сечения // Математическое моделирование. 1996. Т.8. №7. С.3-10.

275. А5. Rogov B.V., Sokolova I.A. Smooth Channel Approximation of Viscous Flows through Laval Nozzle // VII International Conference on Methods of Aerophysical Research. (ICMAR 96). Sept. 3-7, 1996, Novosibirsk, Proceedings. Part 1. 1996. P.180-185.

276. A8. Рогов Б.В., Соколова И.А. Квазиодномерная модель течения в химическом проточном реакторе // В сб.: Труды XIII международной школы по механике сплошных сред. С.-Петербург: Санкт-Петерб. Университет, 1996, С. 121-127.

277. А9. Rogov B.V., Sokolova I.A. Smooth Channel Approximation for Turbulent Flow Through Nozzles. // DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects.: University Twente. Faculteit der toegepaste wiskunde. 1997. Memorandum No. 1394. P.72-77.

278. A10. Rogov B.V., Sokolova I.A. Computation Model For Burning Turbulized Flow Through Curved Wall Channel // Modern Problems of Combustion and Its Applications. Proc. of the II International school-seminar. Minsk. Belarusia, Sept. 4-7. 1997. P.163-168.

279. All. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Высокоточный метод расчета вязких течений в сопле Лаваля // Математическое моделирование. 1997. Т.9. №7. С.81-92.

280. А12. Рогов Б.В., Соколова И.А. Об асимптотической точности приближения гладкого канала при описании вязких течений // Доклады Академии Наук. 1997. Т.357. № 2. С. 190-194.

281. А13. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Турбулизованные течения химически реагирующих газов в сопле Лаваля // Доклады Академии Наук. 1997. Т.357. № 3. С. 339-342.

282. А14. Rogov В.V., Sokolova I.A. Numerical Model for Turbulent Burning Gas Flows Through Nozzles/ in Aviation-2000. Prospects. International Symposium Proceedings, Zhukovsky, Russia, August 19-24,1997. p.771-779.

283. A15. Rogov B.V., Sokolova I.A. Efficient simplified model for internal viscous flows // AIAA Paper. 1998. № 98-2493. 9 pp.

284. А16. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Метод решения прямой задачи сопла Лаваля для турбулизованных течений химически реагирующих газов // Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 1. С. 51-62.

285. А17. Rogov В.V., Sokolova I.A. Turbulent chemical reacting gases flows through curved smooth wall channels // In: Proc. ICMAR 98. Novosibirsk. Russia. June 29 July 3. 1998. Part l.P. 179-184.

286. A18. Rogov B.V., Sokolova I.A. Fast numerical method for calculating flows through a Laval nozzle // In: Proc. 2nd Int. Conf. Finite Difference Methods (CFDM 98), Minsk, Belarus, July 5 - 9, 1998. Vol. 3. P. 47-52.

287. A19. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Двухстадийный маршевый расчет вязких течений через сопло Лаваля // Мат. моделирование. 1999. T.l 1. № 7. С. 95-117.

288. А22. Rogov B.V., Sokolova I.A. Turbulent Combustion Flow Through Cross Section Channel // Proceedings of 5-th ASME/JSME Joint Thermal Engineering Conference March 15-19, 1999. Can Diego, California. 1999, AJTE 99-6132, 9p.

289. A23. Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. Решение прямой задачи сопла итерациями по направлениям линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т. 370. № 1. С. 46-49.

290. А24. Калиткин Н.Н., Рогов Б.В., Соколова И.А. Эффективный метод расчета вязких течений со значительным искривлением линий тока // Доклады Академии Наук. 2000. Т.374. №2. С. 190-193.

291. А25. Rogov B.V., Sokolova I.A. Numerical model for subsonic and supersonic viscous flow with strong curvature of streamlines // In: Proc. ICMAR 2000. Novosibirsk, Russia, 916 July, 2000. Part 3. P. 112-117.

292. A26. Рогов Б.В., Соколова И.А. Упрощенные уравнения Навье-Стокса для внутренних смешанных течений и численный метод их решения // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С. 61-70.

293. А27. Рогов Б.В., Соколова И.А. Маршевый расчет ударной волны при невязком сверхзвуковом обтекании затупленных тел // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. №5. С. 110-118.

294. А28. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическая модель вязких смешанных течений // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 378. № 5. С. 628-632.

295. А29. Mokhov A.V., Nefedov А.Р., Rogov B.V., Levinsky H.B., Sinel'shchikov V.A., Usa-chev A.D., Zobnin A.V. CO Behaviour in Laminar Boundary Layer of Combustion Product Flow // Combustion and Flame. 1999. V. 119. №1/2. P.161-173.

296. A30. Алыпина E.A., Калиткин H.H., Рогов Б.В., Соколова И.А. О точности квазиодномерной модели гладкого канала // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 10. С. 120-124.

297. A31. Рогов Б.В. Метод минимальной длины для течений с трансзвуковой бифуркацией //Доклады Академии Наук. 2001. Т. 381. № 1. С. 23-26.

298. А32. Рогов Б.В., Соколова И.А. Обзор моделей вязких внутренних течений // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 1. С. 41-72.

299. АЗЗ. Рогов Б.В. Метод минимальной длины для нахождения критических параметров смешанных течений // Математическое моделирование. 2002. Т. 14. № 1. С. 87-96.

300. А34. Рогов Б.В., Соколова И.А. Гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса для вязких смешанных течений // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3. С.30-49.

301. А35. Benilov M.S., Pozdeev Р.А., Rogov B.V., SinePshchikov V.A. Nonequilibrium boundary layer of potassium-seeded combustion products // Combustion and Flame. 1994. Vol. 98. № 4. P.313-325.