Модель упругопластического деформирования трещины нормального отрыва для тел конечных размеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Айрих, Владимир Александрович

• Айрих, Владимир Александрович
• кандидат наук
• 2015

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель упругопластического деформирования трещины нормального отрыва для тел конечных размеров»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) поврежденных трещиной тел связано с моделью данного дефекта в твердом теле. Классическое представление трещины в виде математического разреза достаточно хорошо прогнозирует прочность конструкций из хрупких материалов или в случае, когда область пластического деформирования незначительна и используется концепция квазихрупкого разрушения Ирвина - Орована [103, 104, 106]. Исследования в данном направлении приведены в работах Г.П. Черепанова, В.В. Новожилова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.М. Ентова, P.JT. Салганика, Ю.В. Петрова, М.В. Паукшто, В.З. Партона, В.Б. Пенькова, В.И. Астафьева, Ю.Н. Радаева, В.М. Корнева, Л.И. Слепяна, Ф. Макклинтока, Г.Б. Олсона, М. Каннинена, Дж. Н. Гудьера, Дж. Райса, Л. Прандтля и ряда других отечественных и зарубежных исследователей. При этом вопрос о переходе от упругого состояния к пластическому и развитии пластических зон на стадии предразрушения не рассматривается. Причина этого сингулярность поля напряжений в концевой зоне трещины. Подавить сингулярность возможно введением сил сцепления, однако в этом случае возникает вопрос о законе распределения этих сил. В данном направлении отметим вклад Г.И. Баренблатта Р.В. Гольдштейна, И.М. Лавита, В. Budiansky, Y.L. Cui, L.R.F. Rose, B.N. Cox, D.B. Marshall. Практическое применение данного подхода ограничено случаем нормального отрыва для плоского напряженного состояния. В этом случае интенсивность этих сил полагают постоянной и равной пределу текучести материала. Экспериментальные данные по определению формы пластического деформирования трещины нормального отрыва дают принципиально разные результаты в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния. Кроме того, для плоской деформации в качестве критерия разрушения используют оценки по вязкости разрушения, а при плоском напряжённом

состоянии - по критическому раскрытию трещины. Основные аналитические результаты механики разрушения относятся к модельным задачам для бесконечных тел. Поврежденные тела конечных размеров требуют численных методов исследования в рамках тех или иных моделей.

Прямое моделирование методом конечного элемента для физического разреза приведет к неоднозначности решения от выбора формы разреза. Таким образом, разработка математической модели, позволяющей адекватно описывать форму и развитие пластической области при нормальном отрыве в телах конечных размеров, является достаточно актуальной.

Цель работы состоит в исследовании процесса зарождения и развития пластической области в вершине трещины нормального отрыва в телах конечных размеров с учетом возможного разрушения.

Для реализации соответствующих результатов предлагается решение в рамках диссертационной работы следующих задач исследования:

1. Упругопластическая постановка определения НДС в теле конечных размеров при симметричном деформировании

2. Нахождение введенного в модель параметра 30 на основе механических характеристик материала

3. Численная реализация расчета НДС тела с трещиной нормального отрыва в упругопластическом материале

Научная новизна. Предложена математическая модель, в которой исключена сингулярность напряжений, и форма ее окончания не влияет на напряженно-деформированное состояние концевой зоны.

Поставлена и решена новая задача симметричного нагружения берегов трещиноподобного дефекта для упругопластического материала с упрочнением на основе введения в модель трещины линейного размера.

По известным механическим характеристикам материала и решению упругопластической задачи деформирования образца с центральной трещиной найден введенный в модель линейный размер для рада материалов.

Теоретическая ценность работы состоит в решении важной научной задачи нахождения критериальных величин напряженно-деформированного состояния для трещины нормального отрыва в упругопластических телах конечных размеров.

Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования при расчете на прочность поврежденного упругопластического материала. Работа выполнена в рамках проекта РФФИ №13-08-00134 и поддержке Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).

Методология и методы исследования. Модельное представление трещины рассмотрено в виде физического разреза с характерным линейным размером и материальным слоем на его продолжении. Постановка рассматриваемой задачи строятся на основе вариационного принципа Лагранжа. Решение полученного в работе вариационного уравнения реализуется методом конечного элемента.

На защиту выносятся:

- вариационная постановка определения напряженно-деформированного состояния тела конечных размеров для упругопластического материала с линейным упрочнением;

- определение введенного в модель трещины линейного размера по известным механическим характеристикам материала.

- численные результаты исследования процесса деформирования тела с трещиноподобным дефектом при симметричном деформировании.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, использованием апробированных методов решения получаемых уравнений.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены и обсуждены на регулярных научных семинарах кафедры «Математическое моделирование», г. Тула, 2010-2014.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, 2 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Современное состояние исследований по теме работы.

Деформирование твердых тел, ослабленных трещиной, приводит к разрушению именно в окрестности окончания соответствующего дефекта среды. Нахождение критерия, связывающего внешнюю нагрузку на поврежденное тело, его механические характеристики и линейные размеры, является важной задачей механики разрушения [3, 31, 48, 54, 55, 57, 58, 60, 62, 63, 65, 73-75, 8694] - раздела механики деформируемого твердого тела. В настоящее время механика разрушения имеет в своем арсенале множество моделей, представляющих трещиноподобный дефект. Однако, практически каждая модель предлагает свои критерии начала процесса образования новых материальных поверхностей, основанные на следствиях модельного представления трещин или вводимых дополнительных характеристиках.

На рисунках 1-3 представлены типичные картины распространения трещины в твердом теле на примере сталей 15Х2МФА, 15Х2МНФА и кремния соответственно [45, 110]. Особое внимание здесь стоит уделить окончанию трещиноподобного дефекта или «кончику» трещины. С одной стороны форма «кончика» не имеет четкой геометрической интерпретации, с другой характерный размер трещины пренебрежимо мал по сравнению с размерами тела. Данные свойства трещины приводят к основной модели трещиноподобного дефекта в сплошной среде в виде математического разреза с универсальным (независящим от формы окончания трещины), хотя и сингулярным распределением поля напряжений. Нереальная с точки зрения физики твердого тела сингулярность естественным образом сформировала такую механическую характеристику тела как вязкость разрушения. В случае хрупкого разрушения данная характеристика достаточно хорошо описывает наступление критического состояния, однако для одного и того же материала необходимо знание трех постоянных К]С, Кпс, КП1С, соответствующих

значениям вязкости разрушения при нагружении трещины нормальным отрывом, поперечным и продольным сдвигом. [47, 70, 88]

Рисунок 1 - Структура трещин для стали 15Х2МФА: а-д- стадии разрушения; е - микроструктура в зоне разрушения на стадии а; ж- структура участка А \ б, з - структура участка Б; и, к - микрорельеф поверхности излома

Рисунок 2 - Структура трещин для стали 15Х2МНФА: а- г - стадии разрушения; д - структура участка А \ е- структура участка Б; ж - структура

участка В\з~ структура участка Г

Проявление материалом пластических свойств подразумевает образование областей упругопластического деформирования в зоне предразрушения [32, 72]. Решение упругопластической задачи подразумевает выполнение критерия перехода из упругого состояния в пластическое. Соответствующие критерии, как правило, связаны с компонентами тензора напряжений или его девиатора [21-24, 26, 28, 29]. Сингулярность поля напряжений модели с математическим разрезом подразумевает переход в состояние пластичности при сколь угодно малой внешней нагрузке. Однако в ряде практических задач механики квазихрупкого разрушения это обстоятельство опускают и рассматривают разрушение в рамках силового критерия Ирвина [103, 104], полагая, что зона пластичности мала по сравнению с размерами трещины. В этом случае, как и в хрупком разрушении, полагают справедливыми асимптотические формулы линейной теории упругости [1, 16, 17, 44, 49, 50, 61, 66, 68, 71, 72, 74, 79, 83, 88]. Вся пластичность при этом «поглощается» коэффициентом интенсивности напряжений. Но гипотеза «малости» зоны пластичности остается справедливой для ряда нагружений трещиноподобного дефекта. Так, в случае нормального отрыва контролировать разрушение коэффициентом интенсивности напряжений возможно только в случае плоской деформации. Для плоского напряженного состояния длина пластической зоны соизмерима с длиной трещины и рассмотрение разрушения без учета влияния области необратимого деформирования не дает корректного результата. Решение соответствующего класса задач рассматривают вводя в модель трещины силы сцепления [4, 47, 94, 95, 97-100, 108, 109]. Интенсивность введенных сил полагают равной пределу текучести материала при одноосном растяжении, а протяженность зоны действия ассоциируют с областью пластичности. Соответствующая модель трещины, именуемая в литературе моделью Леонова - Панасюка - Дагдейла, имеет ряд недостатков. Во-первых, зона пластичности имеет место при любой внешней нагрузке. Во-вторых, постоянство интенсивности сил сцепления не дает возможности рассматривать упрочняющиеся материалы, кроме того, модель не допускает

выход зоны пластичности за пределы слоя нулевой толщины. За критерий разрушения в данном случае принимается раскрытие трещины на определенном расстоянии от вершины. Развитие данного подхода для упругопластических тел рассмотрено в работах И.М. Лавита [42, 43]. Для данной модели трещины в упругопластическом материале отсутствует возможность определения перехода из упругого состояния в пластическое, кроме того в рамках одного и того же нагружения нормальным отрывом критерии разрушения в плоском напряженном и плоском деформированном состояниях различны.

Использование сингулярных решений теории упругости для определения напряженного состояния в некотором объеме рассматривалось в работах Нейбера и Новожилова [64, 67, 69]. Данный подход позволяет рассматривать переход из упругого состояния в пластическое и для хрупкого разрушения оценивать трещиностойкость поврежденных конструкций в рамках естественных критериев механики сплошной среды. Однако решение упругопластической задачи при данном подходе не представляется возможным ввиду использования решений линейной теории упругости. В настоящее время работа в данном направлении ведется В.М. Корневым [33-40] и его учениками. Но остается открытым вопрос определения характерного размера, в пределах которого производится усреднение линейно упругого решения.

Другим подходом для моделирования трещиноподобного дефекта является его представление в виде физического разреза. В этом случае основным требованием к модели является независимость напряженного состояния в концевой зоне трещины от формы окончания физического разреза. На рисунке 4 приведен экспериментальный график зависимости вязкости разрешения К1С от радиуса кривизны р выточки в образце [70]. Как видно из графика, начиная с некоторого значения параметра р вязкость разрушения перестает зависеть от данного параметра. Данный факт свидетельствует о существовании некоторого характерного размера, при котором геометрические

характеристики дефекта перестают оказывать влияние на несущую способность поврежденного тела.

Рисунок 4 - Зависимость вязкости разрушения от радиуса кривизны выточки

На основе экспериментального графика (рисунок 4) в работе [11] с учетом решения Инглиса [102] для эллиптического отверстия была получена оценка характерного размера физического разреза, моделирующего трещиноподобный дефект. Отмстим, что в данном случае окончание трещины имеет строго определенную геометрию.

В статье [40] приведено исследование нагружения пластинки с физическим разрезом, оканчивающимся полуокружностью, с учетом упругопластического деформирования повережденного материала. Из результатов расчета был сделан вывод, что при определенном радиусе кривизны в концевой области зоны трещины разрушающие нагрузки не зависят от длины трещины и радиуса кривизны в ее вершине, а определяются только механическими постоянными материала.

Одной из первых моделей трещины в виде физического разреза была рассмотрена Прандтлем [107]. В данном подходе на продолжении физического разреза длиною а с характерным размером 30 в сплошной среде вводилась зона ослабленных связей, показанная на рисунке 5. Связи рассматривались в виде пружинок, работающих на растяжение и сжатие. Рассматривая соответствующие связи, в модели трещины была устранена сингулярность путем усреднения напряженного состояния на характерном размере дй. Однако для решения практических задач необходимо задание механических характеристик связей Прандтля и линейного параметра <50. Использование предложенной модели приведено в работах В.М. Ентова, Р.Л. Салганика [30].

1 с к F ) а ■

к тшш

с Р F

Рисунок 5 - Модель Прандтля

Описание модели трещины в виде физического разреза толщиной S0 и материального слоя на траектории продвижения трещины было предложено Ф. Макклинтоком (рисунок 6) [51-53, 105]. В этом случае, в отличие от подхода Прандтля, слой и среда имеют одни и те же механические свойства. В качестве допущения предполагалось, что граничные перемещения слоя полностью определяют его напряженное состояние. Но постановок соответствующих задач в рамках данной модели и значений параметра S0 в статье и последующих работах автора не приведено.

Рисунок 6 - Модель Макклинтока: А - зона будущего разрушения;

Б - зона непосредственного разрушения; В - зона разрушенного материала

Альтернативная модель трещины в виде физического разреза с толщиной S0 была предложена В.В. Глаголевым и A.A. Маркиным [101]. В данной модели, как и в моделях Прандтля и Макклинтока вводится материальный слой. Но, в отличие от модели Макклинтока слой не есть траектория продвижения трещины, а в отличие от модели Прандтля механические характеристики слоя совпадают с характеристиками поврежденного тела. В этом плане модель [101] является упрощенной моделью Макклинтока. Напряженное состояние материального слоя введенного в модель, определенного как слой взаимодействия, описывается средними и граничными напряжениями. Использование средних напряжений позволяет отказаться от выбора геометрической формы окончания физического разреза, что делает распределение напряжений в концевой зоне универсальным. При помощи данной модели были даны постановки для бесконечных тел с трещиной [8, 9, 10, 12], а так же для конечных линейно упругих тел [6, 13, 101]. Приведена оценка введенного параметра S0 из термомеханического анализа процесса разрушения [13] и деформирования ДКБ-образца при локализации пластических деформаций в пределах слоя. В развитии предлагаемого подхода представляется актуальным рассмотреть нахождение напряженно-деформированного состояния в упругопластических телах конечных размеров.

В первой главе приводится постановка задачи симметричного нагружения тела конечных размеров, ослабленного трещиноподобным дефектом, симметричной распределенной нагрузкой для случая упругого и упругопластического деформирования соответственно. Из вариационного уравнения равновесия и соотношений деформационной теории пластичности, используя метод конечного элемента, получена система линейных алгебраических уравнений для нахождения поля перемещений тела, включая перемещения слоя взаимодействия.

Во второй главе исследовалось упругопластическое решение поставленной задачи в состоянии плоской деформации для различных материалов. При проведении расчетов был проведен анализ сходимости решения. Решена задача нахождения масштабного параметра 30 с помощью предложенной постановки задачи симметричного деформирования и известных характеристик ряда конструкционных сталей.

В третьей главе для полученных толщин слоя рассматриваемых сталей исследовалось поведение образца с трещиной в случае плоского напряженного состояния. Приведено сравнение решения упругопластической задачи для случаев плоского напряженного и плоского деформированного состояний и показаны различия в формах пластических зон для критического состояния. Исследовано упругопластическое поведение образца с трещиной в рамках идеально упругопластической модели.

В заключении представлены основные выводы по работе.

Работа содержит 100 страницы машинописного текста, включая 67 рисунков, 6 таблиц и список использованных источников из 110 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Айрих, Владимир Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена модель трещины нормального отрыва для упругопластического материала с упрочнением, основанная на представлении трещиноподобного дефекта физическим разрезом с характерной толщиной <50 и материальным слоем на его продолжении. Состояние слоя определяется средними по толщине и граничными напряжениями, что обеспечивает конечность напряжений и независимость напряженного состояния от геометрии концевой зоны.

2. Из решения упругопластической задачи по известным механическим характеристикам материала определен введенный линейный размер ¿>0 ряда конструкционных материалов. Связь 30 с механическими характеристиками позволяет рассматривать линейный размер 30 в качестве константы материала.

3. В рамках предложенной модели решена упругопластическая задача нагружения трещины нормального отрыва для ряда сталей. Из решения задачи определена форма пластической области при плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

4. В состоянии плоской деформации имеет место высокая гидростатическая составляющая тензора напряжений в концевой зоне трещины, являющаяся следствием решения упругопластической задачи.

5. В плоском напряженном состоянии для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением достижение критических значений по максимальной главной деформации происходит быстрее, чем достижение критического значения по главным напряжениям. Следовательно, в плоском напряженном состоянии критерием образования новых материальных поверхностей

для исследуемой модели трещины будет служить деформационный критерий по максимальной главной деформации. 6. В состоянии плоской деформации для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением расчет на прочность может быть рассмотрен в рамках критерия Кулона.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Айрих, Владимир Александрович, 2015 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971. - 285с.

2. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды.

М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1983г. -448 с.

3. Броек Д. Основы механики разрушения / Пер.с англ. -М.: Высшая школа,

1980.-368 с.

4. Витвицкий П.М., Леонов М.Я. О разрушении пластинок со щелью //

Прикладная механика. - 1961. - №5. - С. 15-23.

5. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений. Докл.АН

СССР, 1959, т. 126, -№ 4. - С.740-743.

6. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин A.A. К решению одной задачи

механики разрушения // ПМТФ. - №4. - 2007. - С. 121-127.

7. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

8. Глаголев В.В., Глаголев Л.В., Кунашов Н.Д. Продольный сдвиг в рамках

дискретного подхода к разрушению// Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. - №4(14) - 2012. - С. 17-25.

9. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин A.A. Модель процесса разделения

деформируемого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. - С.61-68.

10. Глаголев В.В., Маркин A.A. Нахождение предела упругого

деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. - 2012. - Т. 53 - №5. - С. 174-183.

11. Глаголев В.В., Маркин A.A. О предельных моделях и радиусах кривизны

концентраторов напряжений // Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости: сборник статей к 75-летию со дня рождения В.Г. Зубчанинова. - Тверь: ТГТУ. - 2007. - С. 98-104.

12. Глаголев В.В., Маркин A.A. Об одной постановке задачи

упругопластического разделения // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50 - №4. - С. 187-195.

13. Глаголев В.В., Маркин A.A. Определение термомеханических

характеристик процесса разделения // Известия РАН. Механика твердого тела. - №6. - 2007. - С. 101-112.

14. Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике

деформируемых твердых тел. Казань: «ДАС», 2001. - 300 с.

15. Деклу Ж. Метод конечных элементов. - М.: Мир, 1976. - 92 с.

16. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высшая школа,

1979.-432 с.

17. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М.: Госстройиздат, 1957 - 256 с.

18. Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике,- М.: Мир, 1975.

-541 с.

19. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир,

1986.-318 с.

20. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов теории сооружений и в

механике сплошных сред. - М.: Недра, 1974. 240 с.

21. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография.

Тверь.: ТГТУ, 2002. - 300 с.

22. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. Тверь;

ТГТУ, ЧуДо, 2000. - 703 с.

23. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения общей теории

пластичности // Устойчивость и пластичность при сложном нагружении. Тверь: ТГТУ, 1994. - С. 14-37.

24. Зубчанинов В.Г. Проблемы математической теории пластичности //

Проблемы прочности. 2000. № 1. - С. 22-41.

25. Зубченко A.C., Колосков М.М., Каширский Ю.В. и др. Марочник сталей и

сплавов. 2-е изд. , доп. и испр. М.: Машиностроение, 2003. - 784 с.

26. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т.2. Общие вопросы.

Жесткопластическое и упрутопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. -448с.

27. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та,

1978.-287 с.

28. Ильюшин А. А. Пластичность. -М.: Гостехиздат, 1948. - 376с.

29. Ильюшин А. А. . Пластичность. Основы общей математической теории. -

М.: Изд-во АН СССР, 1963.

30. К 75-летию со дня рождения профессора Владимира Марковича Ентова.

Серия - Современные нефтегазовые технологии. М. - Ижевск, 2012.

- 180 с.

31. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. -М.: Наука, 1974. - 312 с.

32. Клевцов Г.В., Ботвина Л.Р. Микро- и макрозона пластической

деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении // Проблемы прочности. 1984. № 4. - С. 24-28.

33. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Построение диаграмм квазихрупкого и

квазивязкого разрушения материалов на основе необходимых и достаточных критериев // ПМТФ. 2013. Т. 54, № 1. С. 179-195.

34. Корнев В.М. Взаимосвязь параметров sigma-epsilon-диaгpaммы

материалов с процессом разрушения // Физ. мезомеханика. - 2006. - Т. 9.

- № 4. - С. 71-78.

35. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание

зоны предразрушения // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т.43, № 5. - С.153-161.

36. Корнев В.М. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с

иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомеханика. 2010. Т. 13. № 1. - С. 47-59.

37. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне

предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физ. мезомеханика. -2004.-Т. 7, № 3. - С. 53-62.

38. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Диаграмма квазихрупкого разрушения тел

со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 6. -С. 152-164.

39. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Достаточный дискретно-интегральный

критерий прочности при отрыве // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т.42, № 2. - С.161-170.

40. Корнев В.М., Шабанов А.П., Шакиртов М. М. Построение диаграмм

разрушения для пластин с трещиноподобным дефектом с использованием необходимых и достаточных критериев // Прикладная механика и техническая физика. - 2013. - Т. 54, № 2. - С. 163-170.

41. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.2. - 416с.

42. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом

материале // Проблемы прочности.-1988.-№7. - С.18-23.

43. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и J-интеграл // Изв.

Сев.-Кавказского научного центра высш. Школы. Естественные нуки,-1985.-№1. - С. 28-30.

44. Ландау Л:Д., Лифшиц E.H. Теория упругости. М.: Наука, 1965. - 231 с.

45. Лебедев A.A., Марусий О.И., Чаусов Н.Г. Зайцева Л.В. Исследование

кинетики разрушения пластичных материалов на заключительной стадии деформирования // Проблемы прочности. - №1. - 1982. - С. 12-18.

46. Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Феноменологические основы оценки

трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций // Пробл. прочности. 1983. №2. - С. 6-10.

47. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле

//Прикладная механика, - 1959. - Т. 5.-№ 4. - С. 391-401.

48. Либовиц Г. (ред.) Разрушение. Т.2. Математические основы теории

разрушения. М.: Мир, 1975

49. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 с.

50. Ляв А. Математическая теория упругости. М. 1935. - 675 с.

51. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. Т.З. М.:

Мир, 1976.-С. 67-262.

52. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.:

Мир, 1970.-443 с.

53. Макклинток Ф., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике

разрушения. В. кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. 1968.

- С.143-186.

54. Маркин А.А., Фурсаев С.А. Конечное деформирование идеально-

жёсткопластической мембраны // ПМТФ. 2011, №2, С. 128-133

55. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. - М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 328 с.

56. Махутов Н. Л. Деформационные критерии разрушения и расчет

элементов конструкций на прочность. - М.: Машиностроение, 1981. -272 с.

57. Морозов Е.М. Введение в механику развития трещин. М.: МИФИ. 1977-

91с.

58. Морозов Е.М. Расчет на прочность конструкционных элементов с

трещинами. М.: Машиностроение. 1982. -48 с.

59. Морозов Е.М., Никишков Т.П. Метод конечных элементов в механике

разрушения. М.: Наука. 1980 - 254 с.

60. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984.

-256 с.

61. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории

упругости. М.: 1965. - 456с.

62. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел, том 1. М.: ИЛ, 1954

- 647с.

64. Нейбер Г. Концентрация напряжений. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. - 204 с.

65. Николаева Е. А. Основы механики разрушения: учебное пособие. -

Пермь: Изд-во Пермского гос. техн. ун-та, 2010.- 103 с.

66. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

67. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой

прочности // ПММ. 1969. № 2. - С. 212-222.

68. Новожилов В.В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958. - 230 с.

69. Новожилов В.В., Рыбакина О.В. О перспективах построения критерия

прочности при сложном нагружении // Прочность при малом числе циклов нагружения / М.: Наука. - 1969. - С. 71-80.

70. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978. 256с.

71. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. - 640 с.

72. Партон В. 3. Механика разрушения: От теории к практике М.: Наука,

1990.-240 с.

73. Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения на базе

компьютерных технологий. Практикум. - СПб.: БХВ-Петербург, 2007. - 464 с.

74. Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения твердых тел: курс

лекций. - СПб.: Профессия, 2002. - 320 с.

75. Пестриков В. М., Морозов Е. М. Механика разрушения. Курс лекций. -

СПб.: ЦОП Профессия, 2012. - 552 с.

76. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов - М.: Мир, 1979.

-392 с.

77. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

-284 с.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. 6-е изд., стер,- СПб.:

Издательство «Лань», 2004.

79. Снеддон И.Н. Классическая теория упругости. М.: ГИФМЛ, 1961. - 220 с.

80. Спорыхин, А. Н. Неодномерные задачи упруговязкопластичности с

неизвестной границей / А. Н. Спорыхин, А. В. Ковалев, Ю. Д. Щеглова. Воронеж: Изд-ние ВГУ, 2004. - 219 с.

81. Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия

пространственных тел и задачи механики горных пород. М. : Физматлит, 2004.-232 с.

82. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. Ч. 1. — Спб: тип. А. Э.

Коллинс, 1914,— 132 с.

83. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости М.: Наука.. 1975. - 575 с.

84. Трощенко В. Т., Покровский В. В., Каплуненко В. Г. Прогнозирование

трещиностойкости теплоустойчивых сталей с учетом влияния размеров образцов. Сообщ. 1. Результаты экспериментальных исследований // Пробл. прочности. - 1997. -№ 1. - С. 5 - 25.

85. Трушин С. И. Метод конечных элементов. Теория и задачи. М. : Изд-во

ABC, 2008.-256 с.

86. Хеллан К. Введение в механику разрушения. - М.: Мир, 1988. - 364 с.

87. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. -М.:

Наука. 1983.-296 с.

88. Черепанов Т.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974. - 640 с.

89. Черепанов Т.П. Некоторые основные вопросы линейной механики

разрушения// Пробл. прочности. 1971. № 2 - С.70-73.

90. Черепанов Т.П. О развитии трещин в вязких телах// Изв. АН СССР. МТТ.

1969. № 1.С. 122-127.

91. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде// ПММ.

1967. Т.31. № 3.- С.476-478.

92. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение,

1977.- 224 с.

93. Шоркин B.C. Напряженно-деформированное состояние в окрестности

концентратора напряжений / B.C. Шоркин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. В. 54. - 1996. - С. 222 - 227.

94. Barenblatt, G.I. The formation of equilibrium cracks during brittle fracture.

General ideas and hypotheses. Axially-symmetric cracks, J. Applied Mathematics and Mechanics 23 (1959), 622-636.

95. Barenblatt, G.I. The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle

fracture, in H.L. Dryden and T. von Karman (eds.), Advanced in Applied Mechanics, Academic Press, New York, 1962, - P. 55-129.

96. Bowie O.L., Neal D.M. A note on the cent central crack in a uniformly stressed

strip. // Engng. Fracture Mech. - Vol. 2 - No. 2- 1970. - P. 181.

97. Budiansky B., Cui Y.L, On the tensile strength of a fiber-reinforced ceramic

composite containing a crack-like flaw // J. Mech. Phys. Solids. - 1994. - V. 42, № l.-P. 1-19.

98. Cherepanov G.P. Current problems of fracture mechanics, Strength of

Materials, 1987, No. 8.-P. 1027-1041.

99. Cox B.N., Marshall D.B. Concepts for bridged cracks in fracture and fatigue. //

Acta metal, mater. - 1994. - V. 42, № 2. - P. 341-363.

100. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.- J. Mech. and Phys. Solids. - 1960. - V.8. - № 2. - P. 100-108.

101. GlagolevV.V., MarkinA.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut// World Journal of Mechanics - Vol. 3 - No. 7- 2013. - P. 299-306.

102. Inglis, C. E., 1913. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp comers. Transactions of the Institute of Naval Architects, 55: 219-230.

103. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1958. - V. 24. - № 3. - P. 361-364. (Discussion // J. Appl. Mech. 1958. - V. 25. - № 2. - P. 299-303 ).

104. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force // Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.- Brussels. - 1957.-V. 8.-P. 245-251.

105. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech. - 1958. -V. 25.-P. 581-588.

106. Orowan E. Fracture and Strength of Solids.-Rep. Progr. in Phys. Soc. London, - 1949.-V. 12.-P. 185-232.

107. Prandtl L. Ein Gedankenmodell für den Zerreißvorgand spröder Körper // ZAMMBd. 13. 1933.-P. 129-133.

108. Rose L.R.F. Crack reinforcement by distributed springs. // J. Mech. Phys. Solids. - 1987. - V. 35, № 4. - P. 383-405.

109. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. - 2003. - V. 70, № 14.-P. 1741-1987.

110. Thomson R. M. Physics of fracture // Journal of Physics and Chemistry of Solids. - 1987,- V. 48, № 11,-P. 965-983.