МОДЕЛЬ РАЗДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ БЕСПРОВОДНОЙ СЕТИ КАК СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ТРЕБОВАНИЯМИ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат наук Вихрова Ольга Геннадиевна

• Вихрова Ольга Геннадиевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Вихрова Ольга Геннадиевна

список основных обозначений

введение

глава 1. анализ систем массового обслуживания с

требованиями случайного объема

1.1 Обзор ресурсных моделей с требованиями случайного объема

1.2 Метод анализа СМО с дискретным требованием к ресурсу

1.3 Показатели эффективности модели разделение ресурсов беспроводной сети

1.4 Постановка задачи исследования

глава 2. методы анализа модели разделения ресурса

беспроводной сети

2.1 Метод анализа многолинейной СМО с заявками нескольких классов и случайными требованиями к ресурсам

2.2 Метод анализа упрощенной СМО с суммарными требованиями случайного объема

2.3 Рекуррентный алгоритм вычисления вероятностных характеристик упрощенной СМО

глава 3. анализ показателей эффективности модели

разделения ресурсов беспроводной сети

3.1 Анализ вероятностных характеристик СМО с дискретным требованием

3.2 Алгоритм вычисления функции распределения требований к ресурсам беспроводной сети

3.3 Анализ показателей эффективности модели разделения ресурсов беспроводной сети

заключение

список литературы

Список основных обозначений

N - число приборов

т - тип ресурса

К - объем системы с ресурсами Мтипов

тк - СВ-ы требований к ресурсам ^ой заявки

Р(х) - функция распределения требований к ресурсам

/(х) - плотность распределения требований к ресурсам

) - количество заявок в системе в момент времени t

а(?) - времена поступления заявок в систему

Р^) - остаточные времена обслуживания заявок

Г^) - объем занятых ресурсов системы

X^) - СП обобщенной многолинейной СМО со

случайными требованиями к ресурсам

X - пространство состояний СП X^)

) - суммарный объем занятых ресурсов системы

X* (г) - СП обобщенной многолинейной СМО с

суммарным объемом требований к ресурсам

X* - пространство состояний СП X* ^)

\к - СВ-ы освобождаемых ресурсов по завершение

обслуживания ^ой заявки

р (х | у) - функция распределения СВ V при условии, что к

заявок занимают у ресурсов

/к(х | у) - плотность распределения СВ V

у(к)(х) - k-кратная свертка плотности /к (х|у)

Ь - количество входящих потоков заявок

I - класс заявки

X - интенсивность потока заявок класса I

Я Р1

Ъ (х)

Ъ/ *)( х)

Щ)

У (I)

У

Чо

Я

г

рк (X | у)

р;

Р к)

*( г)

У * (г)

У *

интенсивность обслуживания заявок класса I нагрузка, создаваемая заявками класса I функция распределений заявок класса I ^-кратная свертка функции Ъ (х) классы принятых к обслуживанию заявок СП экспоненциальной СМО со случайными требованиями к ресурсам пространство состояний СП У (г) вероятность поступления в систему заявки класса j, которая займет i место на обслуживание стационарная вероятность того, что система пуста стационарные вероятности непустой экспоненциальной многолинейной СМО со случайными требованиями к ресурсам объем системы с дискретным требованием к ресурсу

СВ требования г-ой заявки к ресурсу СВ ресурса, освобождаемого по завершение обслуживания г-ой заявки

функция распределения СВ при условии, что к

заявок занимают у ресурсов

вероятность того, что заявка занимает j ресурса.

^-кратная свертка вероятностей р^

суммарный объем занятных ресурсов СП экспоненциальной СМО с суммарным требованием к ресурсу

пространство состояний случайного процесса

У * (г)

д0 0 - стационарная вероятность пустой системы

Цк ,г - стационарная вероятность нахождения СП У * ^) в

состоянии (к, г)

А - блочная-трехдиагональная матрица

интенсивностей переходов СП У * ^)

- диагональный п-ый блок матрицы А

Ли - наддиагнональные п-ый блок матрицы А

Ми - Поддиагнональные п-ый блок матрицы А

\уп (г, ]) - п-ый элемент матрицы Тп

Хп (г, ]) - (г, ]) -ый элемент матрицы Л п

¡ип (г, ]) - (г, ]) -ый элемент матрицы М п

и - над-диагональные блоки разложения матрицы А

Бг - диагональные блоки разложения матрицы А

Ь; - под-диагональные блоки разложения матрицы А

Ч - вектор стационарных вероятностей СП У * ^)

В - вероятностью блокировки

В1 - вероятностью блокировки заявок класса I

N - среднее число заявок

Ък - среднее число занятых ресурсов k заявками

Ъ - среднее число занятых ресурсов

Чк(г) - стационарная вероятность СП У * ^) с

агрегированным входящим потоком средневзвешенных требований к ресурсам О (N, Я) - нормировочная константа

Ь - средний объем занятых ресурсов нескольких типов

Ь(2) - второй момент объема занятых ресурсов

нескольких типов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «МОДЕЛЬ РАЗДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ БЕСПРОВОДНОЙ СЕТИ КАК СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ТРЕБОВАНИЯМИ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА»

Введение

Актуальность темы исследования. С каждым днем в мире увеличивается количество пользователей мобильных устройств беспроводных сетей связи. По оценкам экспертов [25, 31], в 2016 году в мире насчитывалось около 8 миллиардов мобильных устройства, в том числе устройств межмашинного взаимодействия (Machine-to-machine, M2M), в то время как к 2021 году таких устройств будет в 1,5 раза больше устройств и их количество достигнет 12 миллиардов. Ожидается, что через 5 лет общее число пользователей мобильными устройствами составит 5,5 миллиарда людей и превысит количество жителей планеты, пользующихся централизованным водоснабжением и имеющих банковские счета. Требования бизнеса и обычных пользователей к современным мобильным приложениям за последние годы также претерпели изменения. Популярностью пользуются приложения для видеотрансляций и игр в режиме реального времени с одновременной поддержкой большого числа пользователей, видеоконференции, мобильные офисы, разнообразные бизнес-приложения и облачные сервисы, которые генерируют большой объем трафика в беспроводных сетях передачи данных [13, 17, 18, 22, 29]. С 2016 года глобальный объем данных, передаваемых посредством мобильных сетей, вырос до 587 эксабайт в год, что эквивалентно передаче 131 триллиона мультимедийных сообщений.

На фоне стремительного роста мобильного трафика данных и популярности мультимедийных приложений, растет число подключений к сетям стандарта 4-го поколения (Long term evolution, LTE) и уже к 2018 году оно превзойдет количество мобильных соединений стандартов 3-го и 2-го поколений. Тем не менее темпы роста трафика данных в беспроводных сетях LTE опережают темпы развития технологий, так полномасштабный переход к сетям связи 5-го поколения ожидается только к 2021 году [15, 21, 61, 63].

Ограничения ширины полосы пропускания и количества одновременно подключенных устройств к базовой станции LTE eNodeB (eNB) [97] приводят к насущной проблеме нехватки частотных ресурсов для обслуживания новых пользователей [8, 11, 12, 21, 22, 81, 82, 83]. Перед научным сообществом и индустрией была поставлена задача поиска оптимальных методов распределения и использования ресурсов. Самым простым в реализации и экономически оправданным способом разгрузки eNB стала установка на границах макросот дополнительных станций малой мощности [17, 29, 62, 71, 73, 76, 83]. При слабом уровне сигнала от eNB устройство сможет установит соединение со станцией так называемой малой соты [1, 10, 15]. Зона действия таких сот зависит от мощности передающей антенны и подразделяется на фемтосоты, пикосоты и микросоты. Таким образом изменению подвергать и сама структура современных мобильных сетей, характеризующаяся неоднородностью покрытия [19, 30, 61].

В работах [16, 34, 35, 36, 56, 51, 75] с помощью методов стохастической геометрии анализировались максимально допустимая скорость передачи отношение сигнал-шум (ОСШ) в беспроводных каналах передачи данных в гетерогенной среде. В [21, 33, 36, 75, 83] авторы анализируют концепцию разделения восходящего (UL) и нисходящего (DL) каналов (Downlink Uplink decoupling, DUDe). Традиционно ассоциация каналов в обоих направления происходила с одной и той же станцией на основании обеспечения наилучшего качества передачи в DL. С помощью аналитических методов и имитационного моделирования было показано, что ассоциация DL и UL с разными станциями позволит улучшить ОСШ в UL, оптимально распределить нагрузку в гетерогенной сети LTE и снизить уровень потребление заряда батареи на мобильных устройствах [33, 75]. Несмотря на необходимость дополнительно обеспечить высокоскоростные каналы сигнализации между станциями для синхронизации DL и UL и управления ресурсами и мощностью передающих антенн, концепция DUDe позволяет принимать к обслуживанию

больше пользователей и предоставлять услуги лучшего качества, оправдывая затраты на его реализацию.

Существующие модели гетерогенных сетей связи с разделением ЦЬ и ОЬ позволяют анализировать такие параметры, как ОСШ, пропускная способность и другие характеристики каналов при фиксированном количестве пользователей. Данные модели не учитывают динамику поступления и обслуживания пользователей. Возникает потребность в новых ресурсных моделях, сформулированных в терминах систем массового обслуживания, которые бы позволили оценить объемы занятого и доступного для других пользователей ограниченного ресурса как в ОЬ, так и в ЦЬ.

Степень разработанности темы. Для анализа параметров качества в современных гетерогенных беспроводных сетях связи с раздельной ассоциацией ОЬ и ЦЬ в [111, 112, 115, 117] была предложена многолинейная система массового обслуживания ограниченной емкости с несколькими классами заявок, в которой поступившая заявка занимает некоторый случайный объем ресурса различных типов.

В классических моделях мультисервисных сетей с потерями [18, 41, 46, 47, 66, 67, 68, 79, 86, 89, 107, 108, 116] в явном виде отсутствовал параметр, определяющий наличие ресурса заданного ограниченного объёма. Требования пользователей к занимаемому ресурсу являлись детерминированными. Например, в работах Ф. Келли [48, 49], К. Росса [69], Г.П. Башарина [86, 87], К.Е. Самуйлова [86, 87, 68, 116], посвящённых анализу мультисервисных сетей с потерями, эти требования определялись как константы, соответствующие числу условных единиц ширины полосы пропускания, занимаемой в сети соединением пользователя.

Системы с требованием случайного объема были описаны О.М. Тихоненко в [125-127]. В своих работах автор рассматривает класс систем с ограниченной емкостью и независимым объемом требований от времен обслуживания заявок.

Для анализа вероятностных характеристик систем массового обслуживания (СМО) с требованиями случайного объема к ресурсам используются методы теории вероятностей [27, 84, 90], теории массового обслуживания [20, 48, 49, 88, 98, 99] и теории телетрафика [43, 85, 86, 87, 105, 107, 116], численные методы [49, 50, 110].

Большой вклад в исследования в вышеперечисленных областях внесли ученые: А.И. Зейфман [103, 104, 120], В.Г. Ушаков [128], В.Ю. Королев [104], С.П. Моисеева [59, 60], А.М. Горцев [100], В.А. Нетес [102], Г.П. Башарин [8489], В.М. Вишневский [91, 92], В.А. Наумов [111-117], А.В. Печинкин [21, 88], А.П. Пшеничников [89, 105, 108], К.Е. Самуйлов [86, 114, 116], Б.А. Севастьянов [121], С.Н. Степанов [107], И.И. Цитович [129, 130], С.А. Шоргин [96, 120], А.Е. Кучерявый [101, 106], M. Pagano [57], V.B. Iversen [38, 41, 42, 43, 44], F.P. Kelly [45-47], J.W. Roberts [65, 66], K.W. Ross [67], J. Virtamo [23, 58, 79], и др.

Цели и задачи исследования. По результатам анализа существующих публикации в области исследуемой тематики, сформулирована цель диссертационной работы — построение модели разделения ресурсов современной беспроводной сети в виде многолинейной СМО ограниченной емкости со случайными требованиями и анализа ее показателей эффективности. Для достижения цели исследований в диссертации решаются следующие актуальные задачи:

1. Построение и исследование модели разделения ресурсов в современной беспроводной гетерогенной сети в виде многолинейной СМО ограниченной емкости со случайными требованиями к ресурсам.

2. Анализ вероятностных характеристик многолинейной СМО ограниченной емкости со случайными требованиями к ресурсам, таких как вероятность блокировки системы, средний объем и дисперсия занятых ресурсов.

3. Разработка эффективного алгоритма расчета стационарных характеристик и исследуемых вероятностных характеристик СМО ограниченной емкости со случайными требованиями к ресурсам.

4. Разработка метода нахождения функции распределения требований к ресурсам для различных типов услуг, предоставляемых пользователям в беспроводных сетях ЬТЕ-Лёуапсеё.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии из 130 наименований. Диссертация изложена на 93 страницах текста, содержит 18 рисунков.

Краткое изложение диссертации.

В главе 1 выполнен обзор существующих СМО с требованиями случайного объема и методой их анализа и ставится задача исследования. В разделе 1.1 рассматривается класс моделей, в котором для обслуживания заявки требуется некоторый объем ресурса при условии, что весь ресурс системы ограничен. Объем требований к ресурсу задается функцией распределения Г(х) в общем виде. В разделе 1.2 предлагается метод анализа предложенной СМО с помощью упрощенной СМО с суммарными требованиями к ресурсу, заданными случайной дискретной величиной. С помощью ЬЦ-разложения получены стационарные вероятности СМО и формулы для вероятности блокировки системы, среднего числа пользователей и среднего объема занятых ресурсов. Раздел 1.3 посвящен постановке задачи исследования диссертационной работы, а в разделе 1.4 сформулированы решаемые задачи. Разделы 1.1 - 1.3 созданы на основе публикаций [69, 94, 95, 118, 122] с участием автора.

Глава 2 посвящена модели разделения радиоресурса в современных беспроводных сетях связи и методам их анализа. В разделе 2.1 исследуется многолинейная СМО со случайными требованиями к ресурсу М типов и Ь классами заявок. Получено распределение стационарных вероятностей исследуемой СМО. В разделе 2.2 реализован метод анализа модели разделения

ресурсов в беспроводных сетях связи в виде упрощения исходной СМО путем агрегирования входящих потоков заявок с некоторым средневзвешенным требованием к ресурсам. Получены распределение стационарных вероятностей для упрощенной системы и формулы для вероятности блокировки и среднего объема занятых ресурсов. В разделе 2.3 разработан рекуррентный алгоритм вычисления нормировочной константы, с помощью которой получены рекуррентные формулы для стационарных вероятностей упрощенной системы и исследуемых вероятностных характеристик. Разделы 2.1 - 2.3 разработаны на основе публикаций [70, 93, 94, 119] с участием автора.

Глава 3 посвящена анализу показателей эффективности модели разделения ресурсов в современных беспроводных сетях. В разделе 3.1 проведен численный анализ вероятностных характеристик СМО с дискретным случайным требованием к ресурсу. В разделе 3.2 представлен анализ схемы выделения ресурсных блоков (Resource Block, RB) в беспроводных каналах сетей связи 4-го поколения. Получено распределение требований к ресурсам в UL и DL для различных сценариев ассоциации. В разделе 3.3 проведен численный анализ вероятностных характеристик модели разделения ресурсов с учетом полученной в разделе 3.2 функции распределения требований к ресурсам. Расчеты выполнены на примере предоставления двух популярных услуг с помощью приложения Skype. При разработке разделов 3.1 - 3.3 использовались публикаций [69, 78, 95, 119] с участием автора.

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы.

Важные результаты исследования оформлены в виде теорем и утверждений, которые дополнительно сопровождаются леммами и следствиями. При проведении численного эксперимента были разработаны программные средства в среде Mathlab и Java.

Научная новизна.

Научная новизна исследований, представленных в диссертационной работе, заключается в следующем.

1. Построена модель разделения ресурсов современной беспроводной сети в виде многолинейной СМО ограниченной емкости с заявками нескольких классов и случайными требованиями к ресурсам, которая в отличие от известных моделей учитывает процессы поступление и обслуживание пользователей и учитывает особенности выделения радиоресурсов в гетерогенной сети.

2. Получены новые аналитические формулы для вычисления стационарных вероятностей, вероятности блокировки и среднего объема занятых ресурсов многолинейной СМО ограниченной емкости с заявками нескольких классов со случайными требованиями к ресурсам.

3. Предложен новый метод анализа модели разделения ресурсов беспроводной сети с помощью СМО с агрегированным входящим потоком средневзвешенных требований. Была доказана эквивалентность стационарных вероятностей и вероятностных характеристик исходной и упрощенной СМО.

4. Получен новый рекуррентный алгоритм вычисления нормировочной константы для СМО со средневзвешенным потоком требований. С помощью алгоритма были получены рекуррентные формулы для вероятности блокировки, среднего объема и дисперсии занятых ресурсов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанная модель и полученные в диссертационной работе формулы для вычисления вероятностных характеристик СМО, предназначены для расчета показателей эффективности беспроводных сетях связи четвертого и пятого поколений и могут быть применены проектными организациями и операторами сетей связи при планировании ресурсов для обеспечения необходимого качества обслуживания пользователей.

Результаты работы использованы в исследованиях по грантам РФФИ № 15-07-03051 «Формализация моделей и развитие методов анализа

вероятностных характеристик инфокоммуникационных межмашинных беспроводных сетей пятого поколения», №2 16-07-00766 «Построение моделей массового обслуживания для анализа показателей эффективности взаимодействия устройств в инфокоммуникациях пятого поколения», № 1637-60103 «Построение математических моделей схем распределения радиоресурсов в беспроводных гетерогенных сетях пятого поколения и разработка методов для анализа их показателей эффективности».

Методология и методы исследования. В диссертационной работе применяются методология и методы теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории Марковских случайных процессов, математической теории телетрафика.

Положения, выносимые на защиту.

1. Показатели эффективности модели разделение ресурсов в беспроводных сетях связи 5-го поколения могут анализироваться с помощью многолинейной экспоненциальной СМО ограниченной емкости со случайными требованиями к ресурсам нескольких типов.

2. Многолинейная экспоненциальная СМО с заявками нескольких классов и случайными требованиями к ресурсам может быть сведена к СМО с агрегированным входящим потоком средневзвешенных требований.

3. Распределение стационарных вероятностей экспоненциальной многолинейной СМО с агрегированным потоком средневзвешенных требований к ресурсам зависит от числа заявок в СМО каждого класса и общего объема занятых ресурсов и имеет мультипликативный вид.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, следует из применяемых строгих математических методов теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории Марковских случайных процессов и математической

теории телетрафика. Обоснование полученных результатов проводится с помощью численного эксперимента на примере исходных данных, близких к реальным. Полученные результаты сопоставили с известными.

Основные результаты диссертации докладывались на научных конференциях и семинарах:

- V Всероссийской конференции (с международным участием) «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 2015);

- XIV международной конференции имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Анжеро-Судженск, 2015);

- IX Международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2016);

- IX международной петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (Петрозаводск, 2016);

- XV международной конференции имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Алтайский край, п. Катунь, 2016);

- XII международной конференции «Numerical Analysis and Applied Mathematics» (Греция, Родос, 2016);

- XVI международной конференции «Next Generation Wired/Wireless Advanced Networks and Systems» (Санкт-Петербург, 2016).

Соответствие паспорту специальности. Диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.17 «Теоретические основы информатики» и включает оригинальные результаты в области исследования информационных процессов и требований к показателям эффективности, в области разработки моделей информационных

процессов, разработки общих принципов организации телекоммуникационных систем и оценки их эффективности.

Таким образом, диссертационное исследование соответствует следующим разделам паспорта специальности 05.13.17 «Теоретические основы информатики»: п. 2 (Исследование информационных структур, разработка и анализ моделей информационных процессов и структур), п. 16 (Общие принципы организации телекоммуникационных систем и оценки их эффективности).

Личный вклад. Представленная в диссертации модель и результаты ее анализа получены автором самостоятельно. Программные средства, используемые для численного анализа, разработаны с участием автора.

Публикации. Основные результаты по теме диссертационного исследования изложены в 8 печатных изданиях [69, 93, 94, 95, 78, 118, 119, 122], из которых издания [93;95] рекомендованы ВАК РФ.

Глава 1. анализ ресурсных моделей с требованиями

СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА

1.1 Обзор ресурсных моделей с требованиями случайного объема

На сегодняшний день темпы роста объема информации, которой обмениваются различны устройства ежедневно, превышают темпы развития технологий беспроводной передачи данных и внедрения новых решений, призванных обеспечить наилучшее качество услуг мобильной связи в условиях высокоинтенсивного потока данных в сети. Среди известных проблем беспроводных сетей особое внимания заслуживает нехватка частотного ресурса ввиду ограниченности доступного для передачи данных лицензированного спектра частот. Возможности расширения диапазона частот также ограничены. Возникает вопрос об эффективности существующих методов разделения ресурсов между устройствами в сети и необходимости в новых подходах, способных оптимизировать распределение радиоресурсов.

Был выполнен обзор работ, посвященных исследованию показателей качества моделей функционирования систем и сетей передачи данных в предположении, что поступившая на обслуживание заявка или соединение звена сети требует некоторый объем ресурса, при этом весь ресурс ограничен.

В работах [47, 67, 85, 86, 114, 116] хорошо изучены классические мультисервисные сети Эрланга с соединениями различных типов. В предложенных моделях каждое соединение на всех участках сети требует выделить ему определенное число каналов. Занятие каналов происходит на все время обслуживания, а по завершении соединения все занимаемые каналы освобождаются. Требования к каналам в данных моделях рассматриваются как частный случай требований к некоторым ресурсам сети.

В основе исследования, представленного в диссертационной работе, лежит общая СМО с множественными ресурсами, описанная в [112] и ее

частный случай с пуассоновским входящим потоком заявок нескольких классов [53, 111, 115].

Системы, при моделировании которых необходимо учитывать требования к выделяемому ресурсам, принято называть ресурсными [113]. Данный класс моделей исследовался в работах [109, 111-113, 115, 117, 125127]. Для модели с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальной длительностью обслуживания в [109] было получено стационарное распределение вероятностей для числа заявок в системе и объема занятого ресурса с функцией распределения объемов требований к ресурсам общего вида. Результаты анализа обобщенной модели представлены в [125].

В [115] была рассмотрена модель с пуассоновским входящим потоком и требованиями к ресурсам нескольких типов. В данной модели поступившая заявка занимала случайный объем ресурсов нескольких типов, заданных с помощью вектора независимых случайных величин. В работах [126, 127] рассматриваются модели, в которых объемы выделенных ресурсов и время облуживания заявок являются зависимыми случайными величинами. Для СМО с совместной функцией распределения длительности обслуживания и случайным требованием к ресурсу одного типа в [126] были получены стационарные вероятности и вероятность потерь. В [127] исследовалась модель, в которой каждая заявка характеризовалась тремя свойствами, заданными тремя зависимыми случайными величинами: необходимым для обслуживания числом приборов, необходимым для обслуживания объемом ресурсов и временем обслуживания.

В [53, 54, 117] исследовалась многолинейная СМО с пуассоновским входящим потоком, экспоненциальным временем обслуживания и случайными независимыми между собой требованиями к ресурсам. В качестве важных результатов были получены стационарные вероятности СМО и доказана их мультипликативность.

В [112] исследуется модель СМО с множественными ресурсами. Поступившей в систему заявке требуется выделить некоторый случайный

объем ресурсов М типов, занимаемый на все время обслуживания, по окончании которого будет освобожден ровно тот объем ресурсов, который был занят заявкой изначально. Предполагается, что в систему поступает поток заявок Ь классов, длительности обслуживания заявок не зависят от входящего потока, независимы в совокупности и одинаково распределены. Объем ресурсов системы ограничен вектором Я = Ям).

Пусть вектор гк = (гк1,...,гкм) требований к ресурсам к-ой заявки, где гкт - СВ требования к ресурсу т-го типа. Векторы гк независимы от входящего потока и длительности обслуживания заявок, независимы в совокупности и имеют функцию распределения Р (х), рисунок 1.1.

Е Ем

Аь(х),Вь(х) 1к

Рисунок 1.1 - Многолинейна СМО со случайными требованиями и

ограниченными ресурсами

Состояние системы в некоторый момент времени t > 0 описывается непрерывным слева кусочно-линейным марковским процессом Х^) = {£(0,а(0,р^),Г^)} [86], где - число заявок в системе,

а^) = {а^),..., )}, ак ^) - время до поступления новой к-ой заявки,

Р^) = {Д^),..., р^ц )}, Рк ^) - остаточное время обслуживания к-ой заявки,

Г(0 = ^О— У#(о(0}> У к (0 = {УкШ...,Ут (t)} - вектор объема ресурсов,

занимаемого к-ой заявкой, к = 0,1,...,). В системе не сохраняются порядковые номера поступивших на обслуживание заявок. При поступлении новой заявки, каждая заявка системы нумеруется таким образом, чтобы все значения элементов вектора Р(0 были упорядочены по убыванию, т.е. так, что наибольший порядковый номер окажется у заявки с наименьшим остаточным временем обслуживания и поступит первой на обслуживание.

N

Случайный процесс Х{1), заданный на пространстве состояний ./' = ./],,

к=о

затруднительно анализировать в виду его большого размера. Подмножества состояний Щ имеют вид

Щ = {(к,а,Ъ,(г1,...,гк)): 0 < к < Nа > 0,Ь > 0,0 < г1 +... + гк < Я} ,

где а=^ a2,..., ак), Ъ=Ф^ b2,..., ьк), Ь1 > Ь1 > ••• > ьк > 0; г = гм), пи > 0

и для всех т = 1,2,..., И. Таким образом = к (И + 2) + 2, следовательно Щ = N (И + 2) + 2 N.

Авторами в [112, 115] предлагается анализировать многолинейную СМО с ограниченными ресурсам с помощью упрощенной СМО, в которой в отличие от исходной СМО по завершении обслуживания заявки освобождается некий случайный объем ресурсов, отличный от выделенного ей при поступлении в систему, рисунок 1.2.

Функционирование упрощенной многолинейной СМО задается непрерывным слева кусочно-линейным марковским процессом

X*(0 = {£(0,а(0,КО,8(0}, где 6(0 = (ОД,-,£и(?)) - вектор ресурсов

Ы)

занятых всеми ) заявками системы, где 8т (?) = ^ (?).

}=1

k-ая заявка завершила обслужива

Рисунок 1.2 - Упрощение многолинейной СМО со случайными требованиями и ограниченными ресурсами

Пусть в момент tt > 0 окончания обслуживания k-ой заявки объем занятых ресурсов системы 6(tt) уменьшится на вектор v k = (vk1,...,vkM), где vim - случайные величины, такие, что при заданном числе заявок в системе <(tt) = k и объем занятых ресурсов б(tz-) = y не зависят от прошлых состояний системы и подчинены функции распределения F (Х1 У) такой, что

Fk (x | y) = P{vi < x | <(tt) = k; б (ti) = y ;0 < t < tt}.

Обозначим i}, r2,..., rk как векторы ресурсов, занимаемых каждой из k заявок системы, тогда

Fk(x|y) = P{ik < x| Г} +... + ik = y}, 0< x < y.

Если функция распределения требований к ресурсам исходной СМО Р(х) имеет плотность распределения /(х), тогда функция распределения

Рк (х | у), по формуле Байеса, имеет плотность распределения /к (х | у):

/(к Л У " х)

/к (х|у) = / (ху

/(к Чу)

, 0 < х < у,

где /(к)(х) - к-кратная свертка плотности / (х), а

/(к}(х) = | /(у)/(к_1)(х - у)^у.

0<у<х

На рисунке 1.3 представлена схема упрощенной многолинейной СМО.

А1(х),Б1(х)

Ль(Х),ВЬ(Х)

¥к (х)

Рисунок 1.3 - Упрощение многолинейной СМО с требованиями

случайного объема

Мощность подмножеств

3Г

= к + М + 3 пространства состояний

N

= таких, что = {(£,а,М):0<£<Л^>0,Ь>0,0<с1<К},

к=0

меньше, чем \жк\, а значит для нахождения стационарных вероятностей упрощенной СМО потребуется меньше вычислительных операций.

В [111] исследуется экспоненциальная многолинейная СМО ограниченной емкости без мест ожидания как частный случай обобщенной многолинейной СМО со случайными требованиями.

В систему поступает L независимых пуассоновских потока заявок с интенсивностями Я[,...,Я1, длительности их обслуживания независимы в совокупности и имеют экспоненциальное распределение с параметром щ, l = 1,2,..., L. Поступившей на обслуживание заявке 1-го класса требуется некоторая случайная величина объема ресурса, заданная функцией распределения Fl (x), при этом весь доступный системе ресурс системы ограничен. Для экспоненциальной многолинейной СМО с требованием к ресурса одного типа было получено стационарное распределение вероятностей в мультипликативном виде [53].

В продолжение исследования экспоненциальных СМО со случайными требованиями к ресурсам в [54] была доказана теорема о мультипликативном виде распределения стационарных вероятностей для многолинейном экспоненциальной СМО с требованиями к ресурсам нескольких типов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вихрова Ольга Геннадиевна, 2017 год

Список литературы

1. 3GPP TR 25.951 V10.0.0 (2011-05) 3rd Generation Partnership Project; FDD Base Station (BS) classification (Release 10).

2. 3GPP TS 36.101 V12.9.0 (2015-10) 3rd Generation Partnership Project; Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); User Equipment (UE) radio transmission and reception (Release 12).

3. 3GPP TS 36.104 V13.2.0 (2016-01) 3rd Generation Partnership Project; Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); Base Station (BS) radio transmission and reception (Release 13).

4. 3GPP TS 36.141 V12.5.0 (2014-10) 3rd Generation Partnership Project; Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); Base Station (BS) conformance testing (Release 12).

5. 3GPP TS 36.211 V12.6.0 (2015-07) 3rd Generation Partnership Project; Physical Channels and Modulation (Release 12).

6. 3GPP TS 36.212 V12.2.0 (2014-10) 3rd Generation Partnership Project; Multiplexing and channel coding (Release 12).

7. 3GPP TS 36.213 V13.0.0 (2016-05) 3rd Generation Partnership Project; Physical layer procedures (Release 13).

8. 3GPP TS 36.307 V11.8.0 (2014-07) 3rd Generation Partnership Project; Requirements on User Equipments (UEs) supporting a release-independent frequency band (Release 11).

9. 3GPP TS 36.331 V13.0.0 (2016-01) 3rd Generation Partnership Project; Requirements for support of radio resource management (Release 13).

10. 3GPP TR 36.931 V9.0.0 (2011-05) 3rd Generation Partnership Project; Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); Radio Frequency (RF) requirements for LTE Pico Node B (Release 9).

11. 3GPP TR 36.942 V8.2.0 (2009-07) 3rd Generation Partnership Project; Evolved Universal Terrestrial Radio Access (E-UTRA); Radio Frequency (RF) system scenarios (Release 8).

12. Abu-AliN., Taha A.-E.M., SalahM., Hassanein H. Uplink Scheduling in LTE and LTE-Advanced: Tutorial, Survey and Evaluation Framework // IEEE Communications Surveys amd Tutorials. - 2014. - vol.16 - No.3 - Pp. 12391265.

13. Andrews J. G. Seven Ways that HetNets are a Cellular Paradigm Shift // IEEE Communications Magazine - 51(3) - Pp. 136-144.

14. Andrews J., Buzzi S., Choi W., Hanly S., Lozano A., Soong A., Zhang J. What Will 5G Be? // IEEE J. Selected Areas Communication. - 2014. - vol. 32. -No. 6 - pp. 1065-1082.

15. Andrews J., Claussen H., Dohler M., Rangan S. Femtocells: Past, Present, and Future // IEEE JSAC. - 2012. - V.30 - N.3 - Pp. 497-508.

16. Andrews J. G., Jo H., Sang Y. J., Xia P. Heterogeneous cellular networks with flexible cell selection: a comprehensive downlink SINR analysis // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2012. -Vol. 11. - No. 10. - Pp. 34843495.

17. Andrews J.G., Cudak M., Dhillon H.S., Ghosh A., Jo H., Mangalvedhe N., Mondal B., Novlan T.D., Ratasuk R., Thomas T.A., Visotsky, E., Xia P. Heterogeneous cellular networks: From theory to practice // IEEE Communications Magazine. - 2012. - Vol. 50. - Pp. 54-64.

18. Baker M. From LTE-Advanced to the future // IEEE Communications Magazine. - 2012. - Vol. 50 - No 2. - Pp. 116-120.

19. Baszczyszyn B., Keeler H. Equivalence and comparison of heterogeneous cellular networks // WDN Workshop on Cooperative and Heterogeneous Cellular Networks. - 2013.

20. Bocharov P.P., D'Apice C., Pechinkin A.V., Salerno S. Queueing theory. -Brill Academic Publishers, 2004. - 457 p.

21. Boccardi F., Andrews J., Elshaer H., Dohler M., Parkvall S., Popovski P., Singh S. Why to Decouple the Uplink and Downlink in Cellular Networks and How To Do It // IEEE Communications Magazine - 2016. - Vol. 54 - N. 3. - Pp. 110-117.

22. Boccardi F., Heath R.W., Lozano A., Marzetta T.L., Popovski P. Five Disruptive Technology Directions for 5G // IEEE Communication Magazine.

- 2014. - Vol. 52 - Pp. 74-80.

23. Bonald T., Virtamo J. A recursive formula for multi-rate systems with elastic traffic // IEEE Communications Letters. - 2005. - Vol. 9, No. 8. - Pp. 753755.

24. Buzen J.P. Computational algorithms for closed queueing networks with exponential servers // Communications of the ACM. - 1973. - No. 16. - V. 9

- Pp. 527.

25. Cisco Visual Networking Index: Global Mobile Data Traffic Forecast Update, 2014-2019,

http : //www.cisco.com/c/en/us/solutions/collateral/service-provider/visual-networking-index-vni/mobile-white-paper-c11-520862.html

26. Chiu S. N., Stoyan D., Kendall W. S., Mecke J. Stochastic Geometry and Its Applications // 3rd Edition John Wiley and Sons, 2013.

27. Dagpunar J. Principles of Random Variate Generation // Oxford University Press. - 1988. - 248 p.

28. Dahlman E., Parkvall S., Shold S. 4G: LTE\LTE-Advanced for mobile broadband // Academic Press, 2013.

29. Damnjanovic A., Montojo J., Wei Y., Ji T., Luo T., Vajapeyam M., Yoo M., Song O., Malladi D. A survey on 3GPP heterogeneous networks // IEEE Wireless Communications. - 2011. - Vol.18 - No.3 - Pp.10-21.

30. Dhillon H. S., Ganti R. K., Baccelli F., Andrews J. G. Modeling and analysis of K-tier downlink heterogeneous cellular networks // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. - 2012. - Vol. 30 - Pp. 550-560.

31. Ericsson mobility report 2015. https://www.ericsson.com/mobility-report.

32. Ericsson. Considerations on the System-Performance evaluation of HSDPA using OFDM modulation, 2003.

33. Elshaer H., Boccardi F., Dohler M., Irmer R. Downlink and Uplink Decoupling: A disruptive architectural design for 5G networks // Proceedings

of the Global Communications Conference (GLOBECOM). - 2014. - Pp. 1798-1803.

34. ElSawy H., Hossain E. On stochastic geometry modeling of cellular uplink transmission with truncated channel inversion power control // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2014. - Vol. 13 - Pp. 4454-4469.

35. ElSawy H., Hossain E., Haenggi M. Stochastic Geometry for Modeling, Analysis, and Design of Multi-Tier and Cognitive Cellular Wireless Networks: A Survey // IEEE Communication Surveys and Tutorials. - 2013. - Vol. 15. - No. 3. - Pp. 996-1019.

36. Gavrilovska L., Popovski P., Smiljkovikj. K. Analysis of the Decoupled Access for Downlink and Uplink in Wireless Heterogeneous Networks // IEEE Wireless Commun. Letters. - 2013 - No. 4. - Pp. 173-176.

37. Haenggi M., Srinivasa S. Distance Distributions in Finite Uniformly Random Networks: Theory and Applications // IEEE Trans. Vehicular Technology. -No.59 - 2010. - Pp. 940-949.

38. Huang Q., Ko K.T., Iversen V.B. A new convolution algorithm for loss probability analysis in multiservice networks // Performance Evaluation. -Vol. 68. - Is. 1. - Pp. 76-87.

39. Inaltekin H., Wicker S. B., Chiang M., Poor H. V. On Unbounded Path-loss Models: Effects of Singularity on Wireless Network Performance // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. - 2009 - Pp. 1078-1092.

40. ITU-R Reccommendation P.1238: Propagation data and prediction methods for the planning of indoor radiocommunication systems and radio local area networks in the frequency range 900 MHz to 100 GHz. - 2012. - 28 p.

41. Iversen V.B. The exact evaluation of multi-service loss systems with access control // Teleteknik. English Edition. - 1987. - Pp. 56-61.

42. Ivensen V.B. Derivatives of Blocking probabilities of Multiservice Loss systems // Lecture Notes in Computer Science. - 2007. - Vol. 4712. - Pp. 260-268.

43. Iversen V.B. Teletraffic engineering and network planning. - Technical University of Denmark, 2011. - 583 p.

44. Iversen V.B., Stepanov S.N. The usage of convolutional algorithm with truncation for estimation of individual blocking probabilities in circuit switched telecommunications networks // Proceedings of ITC 15. - 1997. -Vol. 2b - Pp. 1327-1336.

45. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. - Cambridge University Press, 2011. - 238 p.

46. Kelly F.P. Loss Networks // Annals of Applied Probability. - 1991. - No. 1 -Pp. 319-378.

47. Kelly F. P. Mathematical Models of Multiservice Networks. Complex Stochastic Systems and Engineering. - Oxford University Press, 1995. - Pp. 221-234.

48. KleinrockL, Queueing Systems, vol. I: Theory. - Wiley Interscience, 1975.

49. Kleinrock L, Queueing Systems, vol. II: Computer Applications. - Wiley Interscience, 1976.

50. Kleinrock L. Resource allocation in computer systems and computer communication networks // Proceedings of IFIP Cong. Proc. - 1974. - pp. 1118.

51. Lee J., Wang H., Andrews J., Hong D. Outage Probability of Cognitive Relay Networks with Interference Constraints // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2011. - V.10. - N.2. - Pp. 390-395.

52. Naumov V., Smuylov K., Sopin E. On the Insensitivity of Stationary Characteristics to the Service Time Distribution in Queuing System with Limited Resources // Proceeding of the IX International Workshop on Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems. - 2015. - C.36-40.

53. Naumov V., Samuoylov K., Sopin E., Andreev S. Two approaches to analysis of queuing systems with limited resources // Proceedings of the Ultra Modern

Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - 2014.

- Pp. 485-488.

54. Naumov V., Samouylov K., Yarkina N., Sopin E., Andreev S., Samuylov A. LTE performance analysis using queuing systems with finite resources and random requirements // Proceedings of the 7th Congress (International) on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems ICUMT-2015 — 2015. - Piscataway, NJ, USA: IEEE - Pp. 100-103.

55. Novlan T., Dhillon H., Andrews J. Analytical modeling of uplink cellular networks // IEEE Trans. Wireless Communication. - 2013. - Vol. 12. - Pp. 2669-2679.

56. Nguyen H., Baccelli F., Kofman D. A Stochastic Geometry Analysis of Dense IEEE 802.11 Networks // Proceedings of the 26th IEEE International Conference on Computer Communications (INFOCOM'07). - 2007. - Pp. 1199-1207.

57. Novlan T.D., Dhillon H.S., Andrews J.G. Analytical modeling of uplink cellular networks // IEEE Trans. on Wireless Communication. - Vol.12. -No.6 -Pp. 2669-2679.

58. Nyberg E., Virtamo J., and Aalto S. An exact algorithm for calculating blocking probabilities in multicast networks // Lecture Notes in Computer Science. - 2000. - Vol. 1815. - P. 275-286.

59. Lisovskaya E., Moiseeva S., Pagano M. The Total Capacity of Customers in the Infinite-Server Queue with MMPP Arrivals // Communications in Computer and Information Science. - 2015. - Vol. 678. - Pp. 110-120.

60. Pankratova E.V., Moiseeva S.P. Queueing System GI/GI/œ with n Types of Customers // Communications in Computer and Information Science. - 2015.

- Vol. 564. - Pp. 216-225.

61. Parkvall S., Dahlman E., Jongren G., Landstrom S., Lindbom L. Heterogeneous network deployments in LTE. - Ericsson Review, 2011.

62. Pyattaev A., Johnsson K., Surak A., Florea R., Andreev S., Koucheryavy Y. Network-assisted D2D communications: Implementing a technology

prototype for cellular traffic offloading // Proceedings of 2014 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC). - 2014. - Pp. 32663271.

63. Pyattaev A., Johnsson K., Andreev S., Koucheryavy Y. Communication Challenges in High-Density Deployments of Wearable Wireless Devices // IEEE Wireless Communications. - 2015 - Vol. 22. - Is. 1 - Pp. 12-18.

64. Reyhanimasoleh, A. Resource Allocation in Uplink Long Term Evolution. PhD thesis, 2013.

65. Roberts J.W. A service system with heterogeneous user requirements // Performance of Data Communications Systems and their Applications. -1981. - Pp. 423-431.

66. Roberts J.W. Performance Evaluation and Design of Multiservice Networks // Information Technologies and Sciences: Information Technologies and Sciences, 1992. - 223 p.

67. Ross K.W. Multiservice Loss Models for Broadband Telecommunication Networks // New York: Springer-Verlag, 1995.

68. Samouylov K.E. and Yarkina N.V. Blocking probabilities in multiservice networks with unicast and multicast connections // Proceedings of the 8-th International Conference on Telecommunications ConTEL-2005. - IEEE. -2005. - Vol. 2. - Pp. 423-429.

69. Samouylov K., Sopin E., Vikhrova O. Analyzing Blocking Probability in Lte Wireless Network Via Queuing System With Finite Amount of Resources // Communications in Computer and Information Science. - 2015. - Vol. 564 -Pp. 393-403.

70. Samouylov K., Sopin E., Vikhrova O. Convolution Algorithm for Normalization Constant Evaluation in Queuing System with Random Requirements // AIP Conference Proceedings: Proc. of the 12th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM-

2016 (September 19-25, 2016, Rhodes, Greece). - USA, AIP Publishing. -

2017 (in printing).

71. Sankaran C. Data offloading techniques in 3GPP Rel-10 networks: A tutorial // IEEE Communication Magazine. - 2012. - Vol. 50. - Pp. 46-53.

72. Shorgin S., Samouylov K., Gaidamaka Y., Chukarin A., Buturlin I., Begishev V. Modeling radio resource allocation scheme with fixed transmission zones for multiservice M2M communications in wireless IoT infrastructure // Lecture Notes in Computer Science. - 2015. - Vol. 9012. - P. 473-483.

73. Singh S., Andrews J. G. Joint resource partitioning and offloading in heterogeneous cellular networks // IEEE Trans. Wireless Communication. -2014. - Vol. 13 - Pp. 888-901.

74. Singh S., Baccelli F., Andrews J. G. On association cells in random heterogeneous networks // IEEE Wireless Communication Letter. - 2014 -Vol. 3. - Pp. 70-73.

75. Singh S., Zhang X., Andrews J. Joint Rate and SINR Coverage Analysis for Decoupled Up-link-Downlink Biased Cell Associations in HetNets // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2015. - Vol.14. - N.10. - Pp. 5360-5373.

76. Singh S., Dhillon H. S., Andrews J. G. Offloading in heterogeneous networks: Modeling, analysis, and design insights // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2013. - Vol. 12. - Pp. 2484-2497.

77. Smiljkovikj K., Elshaer H., Popovski P., Boccardi F., Dohler M., Gavrilovska L., Irmer R. Capacity analysis of decoupled downlink and uplink access in 5G heterogeneous systems // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2014.

78. Sopin E., Samouylov K., Vikhrova O., Kovalchukov R., Moltchanov D., Samuylov A. Evaluating a case of downlink uplink decoupling using queuing system with random requirements. // Lecture Notes in Computer Science, vol. 9870. - 2016. - P. 440-450.

79. Virtamo J. Reciprocity of Blocking probabilities in Multiservice Loss Systems // IEEE Transactions and Communications. - 1988. - No.36 - Vol. 10 - Pp. 1257-1260

80. Zheng K. Radio Resource Allocation in LTE-Advanced Cellular Networks with M2M Communications // IEEE Communication Magazine. - 2012. -Vol. 50. - No. 7. - Pp. 184-92.

81. Zheng K., Ou S., Alonso-Zarate J., Dohler M., Liu F., Zhu H. Challenges of massive access in highly dense LTE-advanced networks with machine-to-machine communications // IEEE Wireless Communications. - 2014. - Vol. 21. - Pp. 12-18.

82. Himayat N., Johnsson K., Talwar S., Wu G., Yeh S. Capacity and coverage enhancement in heterogeneous networks // IEEE Wireless Communications.

- 2011. - No. 18. - Pp. 32-38.

83. Q Al-Shalash M., Andrews J.G., Chen Y., Caramanis, C., RongB., Ye Q. User Association for Load Balancing in Heterogeneous Cellular Networks. IEEE Trans. Wireless Communications. - 2013. - No. 12. - Pp. 2706-2716.

84. Башарин Г.П. Введение в теорию вероятностей: Учеб. пособие для студентов II—III курсов специальностей «Математика», «Прикладная математика». - М.: Изд-во РУДН, 1990. - 228 с.

85. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика: Учеб.пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: РУДН, 2009. - 342 с.

86. Башарин Г. П., Гайдамака Ю. В., Самуйлов К. Е. Математическая теория телетрафика и ее приложения к анализу мультисервисных сетей связи следующих поколений // Автоматика и вычислительная техника. — 2013. — № 2. — С. 11-21.

87. Башарин Г.П., Самуйлов К.Е., Яркина Н.В., Гудкова И.А. Новый этап развития математической теории телетрафика // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 16-28.

88. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник.

- М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

89. ВаськинЮ.А., Пшеничников А.П., СтепановМ.С. Оценка использования канального ресурса при облсжувании мультисервисного трафика // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2009. № S1. С. 4-7.

90. Вентцелъ Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — Москва: Высшая школа, 2000. — С. 480.

91. Вишневский В.М., Семенова О.В., Шаров С.Ю. Моделирование и анализ гибридного канала связи на базе лазерной и радио технологий // Управление большими системами. - 2011. - №35. - С. 237-249.

92. Вишневский В.М., Портной С.Л., Шахнович И.В. Энциклопедия WiMAX. Путь к 4G. - М.: Техносфера, 2009. - 472 с.

93. Вихрова О.Г. К вычислению вероятностных характеристик СМО ограниченной ёмкости со случайными требованиями к ресурсам // Вестник РУДН. Серия МИФ. - Т. 25 - No 3 - 2017. - С. 203-210.

94. Вихрова О.Г., Сопин Э.С. Анализ показателей качества сети LTE с помощью систем массового обслуживания с ограниченным ресурсом и случайными требованиями // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2015. - №11 Т.2. - С. 185-191.

95. Вихрова О. Г., Самуйлов К. Е., Сопин Э. С., Шоргин С. Я. К анализу показателей качества обслуживания в современных беспроводных сетях // Информатика и ее применение. - 2015. - №4, T.9. - С. 48-55.

96. Гайдамака Ю. В., Андреев С. Д., Сопин Э. С., Самуйлов К. Е., Шоргин С. Я. Анализ характеристик интерференции в модели взаимодействия устройств с учетом среды распространения сигнала // Информатика и её применение. - 2016. - №10, Т.4. - C. 2-10.

97. Гелъгор А.Л., Попов Е.А. Технология LTE мобильной передачи данных: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политех. университета, 2011. - 204 с.

98. Гнеденко Б.В., Коваленко И.П. Лекции по теории массового обслуживания. - Киев: КВИРТУ, 1963. - 67 с.

99. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. - Москва: Наука, 1966. - 432 с.

100. Горцев А. М. Двухканальная система массового, обслуживания с переходом требований из одной очереди в другую // Автоматика и телемеханика. - 1981. - №6. - С. 189-192.

101. Гольдштейн Б.С., Кучерявый А.Е. Сети связи пост-NGN. - СПб.: БХВ-Петербург, 2014. - 160 с.

102. Ершов В. А., Нетес В. А., Филин Б. П. Расчет вероятности обеспечения требуемой пропускной способности двухполюсной сети с ненадежными элементами // Автоматика и телемеханика. - 1996. - №3. - С. 161-184

103. Зейфман А.И., Бенинг В.Е., Соколов И.А. Марковские цепи и модели с непрерывным временем. - 2008. - Москва, ЭЛЕКС-КМ. - 167 с.

104. Королев В. Ю., Корчагин А. Ю., Зейфман А. И. Теорема Пуассона для схемы испытаний Бернулли со случайной вероятностью успеха и дискретный аналог распределения Вейбулла // Информатика и её применение. - 2016. - №10, Т.4. - С. 11-20

105. Корнышев Ю.Н., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1996. - 272 с.

106. Кучерявый Е.А. Кучерявый А.Е., Футахи A. LTE и беспроводные сенсорные сети // Мобильные телекоммуникации. - 2012. - С. 38-41.

107. Лагутин В.С., Степанов С.Н. Телетрафик мультисервисных сетей связи. - М.: Радио и связь, 2000. - 320 с.

108. Пшеничников А.П., Васькин Ю.А., Степанов М.С. Распределение канального ресурса при обслуживании мультисервисного трафика // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2009. - Т. 3. - №2 4. - С. 46-48.

109. Ромм Э. Л., Скитович В. В. Об одном обобщении задачи Эрланга // Автоматика и телемеханика. - 1971. - № 6. - С. 164-167.

110. Наумов В. А. Численные методы анализа марковских систем. Учебное пособие. - М.: Изд-во РУДН, 1985. - 36 с.

111. Наумов В.А., Самуйлов А. К. Модель выделения ресурсов беспроводной сети объемами случайной величины // Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика" - №2. - 2015. - C.38-45.

112. Наумов В.А., Самуйлов К.Е. О моделировании систем массового обслуживания с множественными ресурсами // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. - № 3. - 2014. - С. 60-64.

113. Наумов В. А., Самуйлов К. Е. О связи ресурсных систем массового обслуживания с сетями Эрланга // Информатика и её применение. -2016. - Т.10. - №3. - С. 9-14.

114. Наумов В. А., Самуйлов К. Е., Гайдамака Ю. В. Мультипликативные решения конечных цепей Маркова. — М.: РУДН, 2015. - 159 с.

115. Наумов В. А., Самуйлов К. Е., Самуйлов А. К. О суммарном объеме ресурсов, занимаемых обслуживаемыми заявками // Автоматика и телемеханика. - 2016. - № 8. - С. 105-110.

116. Наумов В. А., Самуйлов К. Е., Яркина Н. В. Теория телетрафика мультисервисных сетей. Монография. — Москва: РУДН, 2008. — 191 с.

117. Наумов В.А., Самуйлов А.К. Модель выделения ресурсов беспроводной сети объёмами случайной величины // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. 2015. №2 С.38-45.

118. Самуйлов К.Е., Сопин Э.С., Вихрова О.Г. К анализу стационарных характеристик системы массового обслуживания со случайными требованиями. // IX международная петрозаводская конференция Вероятностные методы в дискретной математике: Сб. трудов. - 2016. -П.: ПетрГУ. - С. 87-89.

119. Самуйлов К.Е., Сопин Э.С., Вихрова О.Г. К разработке эффективных вычислительных алгоритмов нахождения вероятности блокировки для системы со случайными требованиями // XV международная конференция имени А.Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование»: Тезисы докладов, часть 1 - 2016. - Т.: ТГУ. - С. 192-196.

120. Сатин Я. А., Зейфман А. И., Коротышева А. В., Шоргин С. Я. Об одном классе марковских систем обслуживания // Информатика и её применение. -2011. - №5, Т.4. - С. 18-24.

121. Севастьянов Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным линиям с отказами // Теория вероятностей и ее приложения. — 1957. — Т. 2. — В. 1. — С. 106-116.

122. Сопин Э.С., Вихрова О.Г. К анализу показателей качества обслуживания в современных беспроводных сетях. // V Всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем»: Тезисы докладов. - М.: РУДН. - 2015. - С.116 -118.

123. Тихвинский В.О., Бочечка Г.С. Перспективы сетей 5G и требования к качеству их обслуживания // Электросвязь. - 2014. - № 11. - С. 40-43.

124. Тихвинский В.О., Терентьев С.В., Юрчук А.Б. Сети мобильной связи LTE. Технологии и архитектура. - М.: Эко-Трендз, 2010. - 284 с.

125. Тихоненко О. М. Определение характеристик систем обслуживания с ограниченной памятью // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 6. -С. 105-110.

126. Тихоненко О. М., Климович К. Г. Анализ систем обслуживания требований случайной длины при ограниченном суммарном объеме // Проблемы передачи информации. - 2001. - Т. 37. - В. 1. - С. 78-88.

127. Тихоненко О. М. Обобщенная задача Эрланга для систем обслуживания с ограниченным суммарным объемом // Проблемы передачи информации. - 2005. - Т. 41. - В. 3. - С. 64-75.

128. Ушаков В. Г. Система обслуживания с эрланговским входящим потоком и относительным приоритетом // Теория вероятности и ее применение. -1977. - Т.22. - В.4. - С. 860-866.

129. Цитович И.И., Чернушевич А.В. О влиянии гистерезиса управления трафиком на эффективность функционирования мультисервисной сети // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т.17. -No 2. - С. 314-315.

130. Цитович И., Сегхайер А. Об интервальной модели для процесса рождения и гибели с гистерезисом // Информационные процессы. - 2012. - Том 12. - No 1. - C. 117-126.

Список рисунков

1.1 Многолинейная СМО со случайными требованиями и ограниченными

ресурсами ..................................................................................................... 18

1.2 Упрощенная многолинейная СМО со случайными требованиями и ограниченными ресурсами.........................................................................20

1.3 Упрощение многолинейной СМО с требованиями случайного объема 21

1.4 Схема функционирования упрощенной СМО со случайными требованиями к ресурсам...........................................................................27

1.5 Переходы между состоянии простейшей СМО с дискретным требованием к ресурсу................................................................................29

1.6 Разделение UL и DL в гетерогенной сети.................................................35

1.7 Принцип выделение ресурсов в беспроводных каналах.........................37

1.8 Модель соты LTE сети с разделением DL и UL......................................38

2.1 Схема многолинейной СМО с L классами заявок и вектором случайных требований к ресурсам M типов................................................................41

3.1 Среднее число заявок в СМО с дискретным требованием к ресурсу .. 63

3.2 Среднее количество единиц занятого ресурса СМО с дискретным требованием ................................................................................................. 64

3.3 Вероятность блокировки СМО с дискретным требованием..................64

3.4 Зависимость среднего числа заявок от дисперсии распределения требований к ресурсу .................................................................................. 65

3.5 Зависимость среднего числа единиц занятого ресурса от дисперсии распределения требований к ресурсу.......................................................66

3.6 Зависимость вероятности блокировки от дисперсии распределения требований к ресурсу .................................................................................. 66

3.7 Сценарии ассоциации UL и DL в модели разделения ресурсов беспроводной сети......................................................................................75

3.8 Вероятность блокировки в беспроводной гетерогенной сети................76

3.9 Средний объем занятых RB в беспроводной гетерогенной сети...........76

Список таблиц

Таблица 1. Параметры каналов сети LTE...........................................................71

Таблица 2. Рекомендованная скорость передачи данных при предоставлении

услуг видеовызова............................................................................72

Таблица 3. Параметры макросоты и пикосоты для вычисления функции

распределения требований к ресурсам...........................................73

Таблица 4. Параметры нагрузки в беспроводной сети......................................74