Модель процесса разделения деформируемого тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Кирилл Александрович

• Кузнецов, Кирилл Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Кирилл Александрович

Введение.

Глава 1. Математическая модель процесса разделения деформируемых тел.

1.1. Описание поведения материала на стадиях устойчивого и неустойчивого деформирования вплоть до разделения.

1.2. Симметричное разделение в условиях плоского деформированного состояния.

1.3. Стадии процесса разделения.

Глава 2. Моделирование разделения полосы на основе концепции постоянного секущего модуля.

2.1. Постановка задачи разделения полосы.

2.2. Анализ стадии докритического деформирования.

2.3. Анализ стадии послекритического деформирования.

Глава 3. Задача о разделении плоскости на основе концепции постоянного секущего модуля.

3.1. Постановка задачи о разделении плоскости.

3.2. Численное решение задачи разделения плоскости.4е)

3.3. Результаты решения задачи о разделении плоскости.

Глава 4. Постановка и решение задач о разделении полосы и плоскости в рамках модели идеального упругопластического материала.

4.1. Описание неустановившейся стадии деформирования с учетом нелинейной зависимости Ек{е)

4.2. Задача разделения полосы в рамках модели идеального упругопластического материала.

4.3. Оценка толщины слоя взаимодействия.

4.4. Задача разделения плоскости в рамках модели идеального упругопластического материала.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель процесса разделения деформируемого тела»

Под механическим разделением будем понимать процесс образования новых материальных поверхностей в деформируемом теле при внешних силовых воздействиях. Можно выделить два основных вида механического разделения - упорядоченное и неупорядоченное. Упорядоченным считаем разделение, приводящее к образованию поверхностей наперед заданной формы, например, вырезание или вырубка из металлического листа определенной детали. Более простым примером является получение разреза заданной длины с определенной степенью точности. В результате неупорядоченного разделения образуются поверхности, размер и форма которых будут случайными. Типичным примером разделения такого типа является разрушение, когда из упорядоченной структуры получаются менее упорядоченные. Данная классификация не является строгим определением, однако позволяет выделить материалы, формы тел, а также виды силовых воздействий, позволяющие осуществить упорядоченное разрушение. Влияние свойств материала проявляется, например, при вырубке деталей заданной формы из листов малоуглеродистой стали и стекла. Очевидно, что реализация данной операции над стеклом приведет к неупорядоченному разделению. Как правило, силовое воздействие с целью упорядоченного разделения должно быть локализовано в окрестности поверхности разделения, в противном случае значительная часть тела может получить остаточные деформации и отклониться от заданной формы. Например, при испытаниях на растяжение нельзя точно предсказать место разделения и форму образующихся поверхностей. Однако, и при упорядоченном разделении отделяющаяся часть может необратимо изменять форму. Примером этого является форма стружки, получаемая при токарной обработке металлических материалов и древесины.

Приведенные выше примеры разделения можно дополнить множеством других из самых различных областей. Поэтому рассматриваемая тематика, связанная с построением достаточно общей модели разделения представляется актуальной. В настоящее время наибольшее развитие получили модели, описывающие разделение в рамках теории трещин. Основные результаты таких подходов изложены в монографиях [16, 35, 36, 41, 46, 48, 50, 52 - 54, 55, 58, 62, 69, 74, 75, 76].

Впервые условие начала разделения тела с исходной трещиной было получено Гриффитсом в работах [80, 81] в начале 20-х годов прошлого столетия. Используя ассимптотические формулы Вейгхарда [90] для перемещений берегов трещины он показал, что разделение начинается в момент, когда высвобождающаяся удельная (отнесенная к приращению площади образующихся поверхностей) упругая энергия станет равной удельной поверхностной энергии. Данное условие называют критерием хрупкого разрушения.

В пятидесятые годы в работах Ирвина и Орована [82-84, 85] условием начала разделения было предложено считать достижение коэффициентом интенсивности напряжений в ассимптотической формуле линейной теории упругости критического значения - вязкости разрушения. Существенно, что данное условие используется и для упругопластических материалов, хотя и без достаточного обоснования. Расчеты коэффициентов интенсивности для различных типов начальных трещин и внешних сил и последующая экспериментальная реализация этих задач позволили определить условия начала разделения различных тел при плоском напряженном или деформированном состояниях [4, 8, 56, 57].

В конце 50-х начале 60-х годов в работах М.Я. Леонова и В.В. Пана-сюка [30, 49, 50], Дагдейла [79] с целью ликвидации бесконечных напряжений и учета пластической области были введены распределения фиктивных нагрузок постоянной интенсивности, притягивающих концевые участки берегов трещины. Длина участка притяжения трактовалась Дагдейлом как область пластической деформации. В качестве критерия начала разделения использовалась длина критического раскрытия трещины. Дальнейшее развитие данных подход получил в работах Г.И. Баренблатта [5-7], H.A. Махутова [38], Е.М. Морозова [38-40], И.М. Лавита [27].

Основы физически нелинейной механики разрушения были заложены в работах Г.П. Черепанова [69-74] и Райса [59, 87-89]. В качестве критерия разрушения материала с нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями было предложено значение инвариантного контурного интеграла, охватывающего область обратимого деформирования. Существенным достижением является универсальный характер данного критерия, не использующего ассимптотические представления линейной теории. Развитие сингулярной теории трещин с учетом больших деформаций дано в работах К.Ф. Черных [75-78].

С 70-х годов начаты исследования разрушения с учетом свойств материала на участке разупрочнения, предшествующем разделению. Здесь следует отметить работы A.M. Линькова [31, 32], A.A. Лебедева и Н.Г. Чаусова [28, 29], Л.В. Никитина [24, 43], Е.И. Рыжака [60], В.А. Ибрагимова и В.Д.Клюшникова [21, 22], В.В. Стружанова [63-65].

Анализ перечисленных выше подходов к описанию процессов разделения с точки зрения теории трещин позволяет выделить следующие характерные особенности:

1. Существующие теории основаны на предположении о наличии в теле начального математического разреза (модель трещины).

2. Критерии начала движения математического разреза связаны с необходимостью решения задачи МДТТ, как правило в рамках линейной упругости, о напряженно-деформированном состоянии в окрестности концевой точки разреза, что приводит к физически нереализуемым бесконечным значениям напряжений и деформаций.

3. Использование вместо соотношений линейной теории упругости физически нелинейных соотношений либо упругопластических моделей.не позволяет избежать сингулярности, если оставаться в рамках единых определяющих соотношений, ассимптотически (при сколь угодно малых значениях внешних нагрузок) сводящихся к линейно упругим. Действительно, при наличи разреза сколь угодно малое внешнее воздействие приводит к бесконечным напряжениям в концевых точках трещин.

4. Исключение сингулярности с помощью введения дополнительных нагрузок, отражающих взаимодействие берегов у края трещин, требует формулировки законов этих взаимодействий, а также экспериментального и физического обоснования этих законов.

Сформулируем основные требования, которым должна удовлетворять модель разделения не требующая наличия начального математического разреза:

1. Сколь угодно малые величины внешних нагрузок должны приводить к малым напряжениям и деформациям во всей рассматриваемой области. То есть, модель должна быть ассимптотически обратимой (упругой). Отметим, что при этом в начальном состоянии внутренние напряжения считаются отсутствующими.

2. Свойства материала должны описываться универсальными, экспериментально конкретизируемыми соотношениями, определяющими связь между тензорами деформаций и напряжений как на стадии устойчивого деформирования, сопровождающегося увеличением сопротивления (упрочнением), так и на стадии разупрочнения, когда с ростом деформаций сопротивление уменьшается.

3. Необходимо сформулировать инвариантные критерии перехода к стадиям разупрочнения и разделения в рамках единого варианта определяющих соотношений.

Таким образом, основной целью данной работы являе тся развитие и исследование модели процесса разделения [34], позволяющей, исходя из универсальных определяющих соотношений, рассмотреть все стадии процесса, начиная со стадии упругого во всей области деформирования и заканчивая стационарным разделением. На основе такой модели поставить и решить задачи о деформировании и разделении полосы и плоского слоя.

В первой главе диссертации излагается математическая модель, описывающая поведение материала на стадиях как устойчивого (в смысле Драккера) так и неустойчивого деформирования. При этом на стадии упрочнения используется вариант деформационной теории пластичности A.A. Ильюшина, в котором в качестве меры деформаций служит тензор логарифмических удлинений (Генки), а мерой напряжений - тензор истинных напряжений. Критерием перехода материала от устойчивого деформирования к неустойчивому является достижение инвариантной характеристикой - главной максимальной растягивающей деформацией - нижнего критического значения sk . Дальнейшее увеличение деформации приводит к ослаблению связей внутри данного материального объема и к падению напряжения в нем (разупрочнению). Поведение материала на этой стадии описывается линейными соотношениями типа Гуковских. Моменту разделения соответствует нулевое напряжение, а максимальная деформация растяжения принимает верхнее критическое значение ет . Необходимые для конкретизации определяющих соотношений константы находятся из полных диаграмм [29].

Рассматривается деформирование и разделение материального пространства симметричной, относительно плоскости разделения нагрузкой, прикладываемой к берегам разреза. В окрестности плоскости разделения выделяется слой взаимодействия начальной толщины öQ, образуемый материалом, который лерейдет в стадию разупрочнения. Распределение напряжений в этом слое считается однородным по толщине. Поведение материала вне слоя взаимодействия описывается соотношениями линейной теории упругости. Моменту разделения предшествует образование участка разупрочнения, которое начинается по достижении внешней нагрузкой нижнего критического значения Рк, при этом удлинение е2 материального элемента, примыкающего к вершине разреза, и напряжение в нем также станут критическими: £г2|х=о =£к и а2\х=о =ак- Дальнейшее увеличение деформации приводит к разгрузке данного материального элемента и развитию участка разупрочнения в окрестности вершины разреза. Моменту окончательного разрыва связей (<т2 = 0 в сечении х=0) будут соответствовать верхняя критическая деформация е2 ] х=0 = £т, верхнее критическое усилие Рт > Рк и максимальная длина области разупрочнения ОС, причем удлинение материального элемента в точке С и напряжение в нем примут значения: 1г=с = ^к и а2\х=с ~ик- Дальнейшее увеличение внешней нагрузки приводит к образованию новых материальных поверхностей.

Во второй главе в рамках модели, описанной в первой главе, и на основе концепции приведенного секущего модуля рассмотрена задача о разделении полосы с разрезом, к берегам которого приложены одинаковые сосредоточенные расклинивающие усилия Р. Ввиду симметрии внешней нагрузки рассматривается только верхняя полуполоса, а действие слоя взаимодействия заменяется искомой нагрузкой. Материал вне слоя взаимодействия описывается соотношениями теории изгиба Кирхгофа - Лява. В результате решения построены графики распределения нагрузки в слое взаимодействия для случаев деформации вк и ет материального волокна, примыкающего к вершине разреза, а также найдены соответствующие этим состояниям нижнее Рк и верхнее Рт критические усилия. Показано, что величина Рт незначительно отличается от значения Рк в широком диапазоне толщины слоя. Проведено исследование влияния параметров материала и нагружения на максимальную длину области разупрочнения ОС. Показано, что в хрупких материалах область разупрочнения больше чем в пластических, следствием чего сделан вывод о том, что разделение последних происходит более упорядоченно.

В третьей главе в рамках концепции приведенного секущего модуля рассмотрена задача о разделении плоского слоя. Ввиду симметрии внешней нагрузки рассматривается только верхняя полуплоскость, а действие слоя взаимодействия заменяется искомой нагрузкой. Материал вне слоя взаимодействия полагается линейно-упругим. Полученные распределения нагрузки для случаев деформации £к и £т материального волокна, примыкающего к вершине разреза, несколько отличаются от графиков распределения нагрузки, полученных для полосы в предыдущей задаче. То же самое можно сказать и об исследовании влияния параметров материала и нагружения на максимальную длину области разупрочнения ОС. Но качественный характер результатов и выводов остался тем же самым.

В четвертой главе исследовались задачи о разделении полосы и плоского слоя в рамках модели идеального упругопластического материала в слое взаимодействия, при этом считали зону разупрочнения отсутствующей, материала вне слоя взаимодействия линейно-упругим. В задачах исследовалось влияние толщины слоя и длины площадки текучести на искомое усилие Рк и соответствующую ему длину пластической зоны слоя взаимодействия / . Построенные графики распределения нагрузки в слое для диаграмм с разными площадками текучести показывают, что в более пластическом материале напряжения за пределами зоны пластичности падают быстрее. На основе разрешающей системы уравнений для определения Рк и 1 в задаче о разделении полосы и экспериментальных данных для Рк, получаемых из опытов с ДКБ -образцами, получены уравнения для оценки толщины слоя взаимодействия ¿>0 . Из исследования задачи о разделении плоскости получена зависимость приращения длины разреза от приращения внешнего усилия. Показано, что в хрупких материалах труднее получить разрез заданной длины, так как малому изменению внешней нагрузки соответствует большее продвижение разреза, чем в пластичных материалах.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

Данная диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №01-01-96011).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кузнецов, Кирилл Александрович

Основные результаты и выводы по работе кратко можно охарактеризовать следующими положениями.

1. Используемый вариант соотношений, определяющих связь между напряжениями и деформациями вплоть до прекращения взаимодействия между материальными частицами, позволяет описать процесс деформирования и разделения в рамках единой модели.

2. Введение слоя взаимодействия как материальной области, которая в результате внешних воздействий переходит в стадию неустойчивого деформирования (разрушения) с однородным по толщине распределением характеристик напряженно - деформированного состояния, позволяет поставить задачи о симметричном разделении полосы и плоского слоя.

3. Решение задачи о деформировании и разделении плоского слоя сведено к системе граничных сингулярных интегральных уравнений. На основе метода граничных элементов реализован численный алгоритм определения основных неизвестных, установлена сходимость данного метода.

4. В результате решения задачи о деформировании и разделении полосы и бесконечного слоя в рамках концепции постоянного секущего модуля установлены законы изменения воздействий на материальные плоскости, ограничивающие слой взаимодействия; получены критические значения внешних нагрузок, соответствующие начальной и конечной стадиям разделения. Установлено, что различие между верхней и нижней критической нагрузкой незначительно.

82

5. В результате решения задачи о разделении полосы в рамках модели идеального упругопластического материала получена система уравнений, позволяющая на основе экспериментальных данных по испытаниям ДКБ-образ-цов и диаграмме на растяжение вплоть до разрушения оценить толщину слоя взаимодействия данного материала.

6. В результате решения задачи о разделении плоского слоя в рамках модели идеального упругопластического материала установлено влияние свойств материала на возможность получения разреза заданной длины. Установлены количественные зависимости приращения длины разреза от приращения внешней нагрузки, распределенной по ее берегам. Показано, что для хрупких материалов малое увеличение нагрузки приводит к существенному по сравнению с пластическими материалами увеличению длины разреза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Кирилл Александрович, 2001 год

1. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк., 1995. - 560 с.

2. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченов Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

3. Александров В.М., Кудиш И.И. Ассимптотические методы в задаче Гриф-фитса// ПММ. 1989. Т, 53, вып. 4. - С. 665-671.

4. Андрейкив А.Е., Панасюк В.В., Стадник М.М. К вопросу об определении коэффициентов интенсивности напряжений в твердых телах с трещинами // Пробл. прочности, 1974, № 3, с. 45-50.

5. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Салганик Р.Л. О кинематике распространения трещин. Общие представления. Трещины близкие к равновесным // МТТ, 1966, №> 5, с.82 92.

6. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. Журн. прикл. механики и техн. физики, 1961, №4, с. 3-56.

7. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения // ПММ. 1964. Т.28. Вып.4. С. 630-643.

8. Браун У. Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации: М.: Мир, 1972.-245 с.

9. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266 с.

10. Глаголев В.В., Кузнецов К.А. Вариант модели разделения плоскости// Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением: Сб. научн. трудов. 4.2.: Тул. гос. ун-т. Тула, 2001. С. 44-51.

11. Глаголев В.В., Кузнецов К.А. Моделирование конечного формоизменения// Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 1. Вып. 5. С. 68-82.

12. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Пономарев М.А. Использование балочного подхода к определению параметра структуры и исследованию характеристик разделения материала// Тул. гос. ун-т. Тула, 2001. - 14с.: ил. - Деп, в ВИНИТИ 29.10.01, №2267-В2001.

13. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Пономарев М.А. Исследование разделения полуплоскости в рамках континуального подхода с выбором параметра структуры// Тул. гос. ун-т. Тула, 2001. - 18с.: ил. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.01, №2266-В2001.

14. Глушко В.Т., Гавелия С.П. Оценка напряженно-деформированного состояния массивов горных пород.- М.: Недра, 1986. 220 е.: ил.

15. Драккер Д. Определение неустойчивого неупругого матрериала// Механика. 1960. №2. С.55-70.

16. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1978.-350 с.

17. Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин// МТТ. 1999. - № 3. - С. 114-120.

18. Желтков В.И., Кузнецов К.А. Учет характера напряженно-деформированного состояния при разбиении двумерной области на конечные элементы// Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып. 2. С. 74-77.

19. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения. ПМТФ, 1967, № 6.-С. 88-128.

20. Ильюшин A.A. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. М.-JT.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.

21. Ибрагимов В.А. Некоторые вопросы теории разупрочняющихся сред.// Изв. АН СССР МТТ, 1972. № 4. С.55-63.

22. Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой//Изв. АН СССР МТТ, 1971. № 4. С. 116-121.

23. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. - 311 с.

24. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого разрушения//Изв. АН СССР. МТТ, 1969. №3. С. 1 12-125.

25. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968,- 192 с.

26. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ.-М.: Мир, 1987.-328 е., ил.

27. Лавит И.М. Модель развития трещины в упругопластической среде. Дисс. . д.ф.-м.н. Тула: ТулГУ, 1998.

28. Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Феменологические основы оценки трещиностой-кости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформирования// Пробл. прочности. 1983. №2. с.6-10.

29. Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Евицкий Ю.Л. Методика построения полных диграмм деформирования листовых материалов// Пробл. прочности. 1986. №9. с.29-32.

30. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле// Прикладная механика. 1959. - Т. 5, № 4. - С. 391-401.

31. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения// ДАН СССР, 1977. Т. 233. № 1. С. 45-48.

32. Линьков A.M. Потеря устойчивости при разупрочнении// Исследования по упругости и пластичности. Вып. 14 Проблемы механики деформируемого твердого тела. Л.: ЛГУ, 1982. С.41-46.

33. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 940 е., ил.

34. Маркин A.A., Глаголев В.В. Вариант модели разделения материала// Упругость и неупругость. Материалы международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного девяностолетию со дня рождения A.A. Ильюшина. МГУ, 2001.

35. Махутов H.A. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. - 270 с.

36. Микляев П.Г., Нешпор Г.С., Кудряшов В.Г. Кинематика разрушения. М.: Металлургия, 1979. - 175 с.

37. Михайлов A.M. Обобщение балочного подхода к задачам теории трещин// ПМТФ. 1969. №5. С. 171-175.

38. Морозов Е.М. Расчет на прочность при наличии трещин // Прочность материалов и конструкций. Киев: Наук, думка, 1975. - С. 323-333.

39. Морозов Е.М: Энергетический критерий разрушения для упругопластиче-ских тел. В сб.: Концентрация напряжений. Киев: Наук, думка, 1971, вып. 3. С. 85-90.

40. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 256 с.

41. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 256 с.

42. Моссаковский В.И., Рыбка М.Г. Попытка построения теории для хрупких материалов, основанной на энергетических соображениях Гриффитса. -ПММ, 1965, №2. С. 291-296.

43. Никитин Л.В. Направления развития моделей упруговязкопластических тел// Механика и научно-технический прогресс. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.С. 136-153.

44. Новожилов В.В. К основам равновесных трещин в хрупких телах /7 ПММ. 1969, № 5. С. 797-812.

45. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ, 1969, № 2. С. 212-222.

46. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. -М: Металлургия, 1978. 256 с.

47. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. Изд. моек, университета, 1958. 389 с.

48. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1991. - 416 с.

49. Панасюк В.В. О современных проблемах механики разрушения // Физ-хим. механика материалов, 1982, № 2, с. 7-27.

50. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. - 246 с.

51. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик С.Е. Методы оценки трещиностой-кости конструкционных материалов. Киев: Наук, думка, 1977. - 278 с.

52. Партон В.З. Механика разрушения: от теории к практике. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. - 240 с.

53. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1974. -416 с.

54. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. - 504 с.

55. Петухов И.М., Линьков A.M. Механика горных пород и выбросов. М.: Недра, 1983, 280 с.

56. Писаренко Г.С., Науменко В.П. Управление разрушением в испытаниях на трещиностойкость В кн.: Проблемы прочности и пластичности твердых тел. Л.: Наука, 1979, с. 108-117.

57. Писаренко Г.С., Науменко В.П. Эксперементальные методы механики разрушения материалов// Физико-химич. мех-ка материалов, 1982, № 2, с.28-41.

58. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения.- М: Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит., 1987,- 80 с.

59. Райе Дж. Р., Джонсон М. Влияние больших геометрических изменений у конца трещины на разрушение в условиях плоской деформации. Механика (сб. пер.), 1973, №6, с. 94-119.

60. Рыжак E.H. К вопросу об осуществлении однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине// Изв. АН СССР.МТТ.- 1991. -№1. С. 111-127.

61. Савицкий Ф.С., Вандышев П.А. Жесткость испытательных машин и ее влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба// Заводская лаб. 1956. Т.22, №6. с.717-721.

62. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. - 296 с.

63. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. 190 с.

64. Стружанов В.В. Об одном подходе к изучению мехенизма зарождения трещин // ПМТФ, 1986. №6. С. 118-123.

65. Стружанов В.В. Об одном подходе к исследованию разрушения механических систем // Пробл. прочности, 1987. № 6. С.57-63.

66. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: Учеб.пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1979. - 318 с.

67. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. О сильном разрыве упругого поля// Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1989. №3. - С.49-51.

68. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и разрушение. - М.: Машиностроение, 1974. - 472 с.

69. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

70. Черепанов Г.П. Некоторые проблемы развития трещин в упруго-пластических и вязких средах. В сб.: Концентрация напряжений. Киев: Наук, думка, 1971, вып. 3, с. 191-195.

71. Черепанов Г.П. О закритических деформациях// Пробл. прочности. 1985. -№ 8.-С. 3-8.

72. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде// ПММ. -1967. Т.31.-С. 476-488.

73. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения// Пробл. прочности. 1987.-№ 8. - С. 3-13.

74. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение. 1977.- 221 с.

75. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. -М.: Наука, 1996.

76. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 2. Приложения. -Спб. 1999.- 195 с.

77. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости и ее применение к физически и геометрически нелинейной теории трещин// Успехи механики. Т. 12, № 4, 1989.С. 51-75.

78. Черных К.Ф. О нелинейной теории трещин// ПММ, т. 62, вып. 5, 1988. С. 871-883.

79. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits J. Mech. and Phys. Solids, 1960, v.8, № 2, p.100-108.

80. Griffith A.A. The phenomenon or rupture and flow in solids Phil. Trans. Roy. Soc., Ser. A, 1920, v. 221, p.163-198.

81. Griffith A.A. The theory of rupture In: Proc. 1st Int. Congr. Appl. Mech.- Delft 1924, p.55-63.

82. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force. In: Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.- Brussels, 1957, v. 8, p.245-251.

83. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate. J. Appl. Mech. 1958, v. 24, № 3, p. 361-364 (Discussion.- J. Appl. Mech. 1958, v. 25, № 2, p. 299-303 ).

84. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. 7th Samagore Ardance Materials Research Conference. - Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.92

85. Orowan E.O. In: Proc. Symposium on internal stresses in metals and allows.-London: Institut of Metals, 1948, p.451.

86. Qi-Kui Du. Evaluations of certain hypersingular integrals on interval. Int. J. Numer. Meth. Engng. 2001, v. 51, p. 1195-1210.

87. Rice J.R. The elastic-plastic mechanics of crack extension. Int. J. Fracture Mech., 1968, v. 4, № 1, p.41-47.

88. Rice J.R., Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture. In: Inelastic Behaviour in Solids. - New York: McGraw-Hill, 1970, p.641-672.

89. Rice J.R. Some mechanics research topics related to the hydrogen embrittlement of metals. Corrosion, 1976, v. 32, № 1, p.22-26.

90. Weighardt K. Über das Spalten und Zerresen elastischer Körper. Zeitschr. für Math. Und Phys., 1907, Bd. 55, № 1/2, S. 60-103.