Модель нелокального демпфирования материала при расчёте стержневых элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Шепитько Елена Сергеевна

• Шепитько Елена Сергеевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Шепитько Елена Сергеевна

Введение

Глава 1 Состояние вопроса и теоретические предпосылки исследований, выполненных в диссертации

1.1. Общие сведения об истории изучения вопросов внутреннего трения в материалах

1.2. Исследования, посвященные вопросам описания внутреннего трения в композитных материалах

1.3. Гипотеза нелокального демпфирования материала

1.4. Численное моделирование случайной нагрузки

1.5. Постановка задачи

Глава 2. Методика динамического расчёта стержневых элементов конструкций с учётом нелокального демпфирования вязкоупругого материала

2.1. Моделирование колебаний стержня с учётом нелокального демпфирования материала

2.2. Колебания стержневого элемента под действием детерминированной нагрузки

2.3. Колебания стержневого элемента под действием стохастической стационарной нагрузки

2.4. Выводы по Главе

Глава 3. Методика нелинейного динамического расчёта стержневых элементов конструкций с учётом нелокального демпфирования вязкоупругого материала

3.1. Моделирование колебательного процесса конструкций в нелинейной постановке с учётом нелокального демпфирования материала на примере пологой арки

3.2. Деформирование пологой арки под действием статической нагрузки

3.3. Колебания пологой арки под действием детерминированной нагрузки

3.4. Колебания пологой арки под действием стохастической стационарной нагрузки

3.5. Выводы по Главе

Глава 4. Методика определения параметров модели нелокального демпфирования с использованием результатов численного моделирования динамического поведения стержневых элементов из композитных материалов

4.1. Особенности моделировании динамического поведения композитных материалов

4.2. Построение трёхмерной конечно элементной модели для численного эксперимента

4.3. Калибровка модели нелокального демпфирования с использованием данных, полученных в ходе численного эксперимента

4.4. Обоснование достоверности калибруемой модели нелокального демпфирования материала

4.5. Калибровка нелокальной модели при изменении ядра оператора внутреннего демпфирования

4.6. Выводы по главе

Заключение

Список литературных источников

Приложение 1. Базисные функции и характеристические уравнения при различных вариантах граничных условий

Приложение 2. Тексты основных компьютерных программ

Приложение 3. Табличные значения критерия Пирсона

Введение

Строительные конструкции и сооружения в значительной степени подвержены как природным, так и техногенным динамическим воздействиям, к которым можно отнести ветровые и сейсмические воздействия, нагрузки от оборудования, движущегося транспорта, пешеходов, и др.

Энергия колебаний инженерных систем постепенно рассеивается за счет внутреннего трения в материале и внешнего сопротивления, что, безусловно, влияет на их колебательный процесс, а при снижении интенсивности внешних динамических воздействий приводит к затуханию колебаний. Целью динамических расчетов конструкций и сооружений является выявление их динамических характеристик: частот и форм их свободных (собственных) колебаний, определение напряженно-деформированного состояния, а также оценка их прочности и долговечности под воздействием динамических нагрузок.

Для достижения необходимой точности динамического расчёта конструкций очень важным является правильный учет влияния эффекта внутреннего демпфирования, гасящего колебания за счет трения в материале, на общий колебательный процесс конструкции. Если задача моделирования внешних эффектов гашения колебаний (внешнего трения) является сравнительно несложной, то задача учёта внутреннего трения в материале до сих пор не имеет однозначного решения, применимого к динамическим расчетам конструкций различных типов из разных материалов на различных диапазонах частот. На сегодняшний день, универсальность ни одной из существующих моделей внутреннего трения в материале не подтверждена экспериментально. Таким образом, актуальной и важной задачей является разработка, исследование и выбор такой модели внутреннего трения колебаний, которая бы отражала эффекты и зависимости, характерные для рассматриваемых типов конструкций и материалов, и в то же время моделировала динамическое поведение конструкции с удовлетворительной точностью.

Настоящая диссертационная работа посвящена решению задачи построения достаточно гибкой модели внутреннего трения в материале, а именно - разработке методики расчёта стержневых элементов строительных конструкций на динамические воздействия с учётом нелокальных эффектов демпфирования.

В последние годы в гражданском и транспортном строительстве всё более активно используются современные композитные материалы с «управляемыми» физическими характеристиками, к примеру, такие, как пластики, армированные стекловолокном. Основной особенностью композитных материалов является то, что матрица и связующее, из которых формируются композиты, имеют различные упругие и демпфирующие свойства. Другой важной особенностью композитных материалов является их ортотропность или даже анизотропность. Проектирование конструкций из таких материалов требует использования при расчетах такой модели материала, которая позволит адекватно описать особенности их поведения, в том числе при свободных и вынужденных колебаниях.

Исследование и уточнение моделей поведения композитных ортотропных или анизотропных материалов привело к возникновению теоретической области, называемой нелокальной механикой. В основе этой теории лежит предположение, что напряжения в некоторой точке конструкции зависят не только от локального значения деформаций, то есть деформаций в этой же точке, но и от значений деформаций в соседних точках тоже. Похожий по сути принцип используется при моделировании демпфирующих и упругих свойств материала. Предполагается, что на демпфирование в некоторой точке конструкции влияет не только локальное значение скорости изменения деформаций в этой точке, но и значения скоростей изменения деформаций в точках на некоторой области, примыкающей к рассматриваемой точке.

Для численного моделирования элементов конструкций, выполненных из композитных материалов, как правило, используется трёхмерное конечно-элементное моделирование. Это позволяет задать различные свойства материала в различных направлениях. В случае же, если например композитная балка

моделируется в одномерной постановке, возникает необходимость использования такой модели, которая позволит отразить характерные особенности работы неоднородного материала, не прибегая к детальному конечно-элементному моделированию.

Значительная доля динамических нагрузок, воздействующих на строительные конструкции, носит случайный характер, в таких случаях при выполнении динамических расчётов необходимо применять вероятностные подходы, в особенности, если конструкцию отличает высокая сложность. Учёт случайного характера динамических воздействий в расчетах позволяет точнее обосновывать проектные решения и обеспечивать надежную и безотказную работу конструкций.

Следует отметить, что случайно изменяющиеся значения, которые принимают наиболее характерные динамические нагрузки, достаточно редко значительно отклоняются от некоторой средней величины. Такие случайные нагрузки можно рассматривать как стационарные. Случайные стационарные процессы характеризуются постоянством их вероятностных характеристик. В настоящей работе для моделирования таких процессов используется метод канонических разложений.

Любая теоретическая гипотеза нуждается в верификации, а численные модели - в определении параметров, позволяющих с требуемой точностью моделировать процессы, протекающие в конструкциях. В диссертационном исследовании методика подбора параметров модели нелокального демпфирования отрабатывается с использованием данных, полученных в ходе численного эксперимента. Методика основана на использовании метода наименьших квадратов и разработана с таким расчётом, чтобы её можно было также применять при наличии результатов реальных испытаний.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель нелокального демпфирования материала при расчёте стержневых элементов»

Актуальность темы

При расчёте элементов строительных конструкций на динамические воздействия большое значение имеет выбор модели, описывающей внутреннее

трение в материале. Несмотря на это, в настоящее время не существует гипотезы внутреннего трения материала, которая бы однозначно подтверждалась экспериментом на всём диапазоне характерных частот колебаний элементов строительных конструкций.

Особенную сложность представляет задача о внутреннем трении для ортотропных и анизотропных материалов, таких как композитные и нано-материалы. Благодаря своей высокой коррозионной стойкости и прочности на ударные воздействия, композитные материалы находят широкое применение в самых разных отраслях промышленности. Это и авиастроение, и судостроение, и автомобильная промышленность. В строительной отрасли, в частности, в транспортном строительстве, элементы конструкций, выполненные из композитных материалов, также находят всё более широкое применение.

Для достижения достаточной точности численного расчёта, как правило, используются трёхмерные конечно-элементные модели, позволяющие учесть ортотропные свойства материала. В тех случаях, когда использование одномерных моделей стержневых элементов в качестве расчетных схем является более эффективным, по сравнению с подробным трёхмерным моделированием, необходимы соответствующие модели внутреннего трения достаточно гибкие для того, чтобы описывать процесс затухания колебаний в анизотропных материалах. Требуемой гибкости можно добиться, рассматривая демпфирующие свойства материала, как нелокальные. Модель внутреннего трения, основанная на таком подходе, называется моделью нелокального демпфирования материала.

Целью диссертационного исследования является развитие методов динамического расчёта стержневых элементов, выполненных из композитных материалов, с учётом характерных свойств внутреннего демпфирования.

Задачи исследования:

1) выполнить анализ существующих моделей динамического поведения стержневых элементов строительных конструкций с учётом демпфирующих свойств материалов;

2) разработать модель внутреннего трения, позволяющую учесть характерные демпфирующие свойства композитных материалов;

3) выполнить сравнительный анализ результатов, полученных по альтернативным моделям демпфирования материалов;

4) разработать методику подбора параметров (калибровки) разработанной модели демпфирования с использованием эмпирических данных;

5) разработать методику линейного и геометрически нелинейного расчета стержневых элементов на детерминированные и стохастические динамические воздействия с использованием разработанной модели.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в том, что достигнуто и обосновано повышение достоверности и гибкости моделей колебательного процесса стержневых элементов за счёт учёта нелокальности внутреннего трения материала, а именно:

1) установлены закономерности изменения результатов моделирования динамического поведения стержневых элементов при учёте нелокального демпфирования;

2) разработана математическая модель колебательного процесса стержневых элементов, с учётом нелокального демпфирования материала под действием детерминированных и стохастических динамических нагрузок;

3) выявлено, что при значительной степени нелокальности демпфирования материала использование разработанных в диссертации методик позволяет достичь удовлетворительной точности моделирования колебаний стержневых элементов, выполненных из композитных материалов.

Теоретическая и практическая значимость работы:

1) разработана методика расчёта стержневых элементов строительных конструкций на динамические воздействия с использованием модели нелокального демпфирования материала;

2) разработана методика подбора параметров нелокальной модели демпфирования по результатам численного или физического эксперимента;

3) обоснована возможность применения одномерной расчётной модели стержня при анализе конструкций из композитных материалов.

Возможными пользователями разработанной в диссертации методики являются проектные и конструкторские организации, проектные и научно-исследовательские институты, занимающиеся научным сопровождением строительства.

Методология исследований: В качестве методологической базы при выполнении исследования использовались основные положения строительной механики, сопротивления материалов и теории упругости, а также теории вероятностей и математической статистики.

На защиту выносятся:

1) расчётная модель, позволяющая учесть нелокальное демпфирование в материалах;

2) методика расчёта стержневых элементов на динамические воздействия с использованием модели нелокального демпфирования материала;

3) методика подбора параметров, характеризующих нелокальное демпфирование материала;

4) обоснование применения одномерной модели стержня при динамическом расчёте конструктивных элементов, выполненных из композитных материалов.

Соответствие паспорту специальности. В соответствии с формулой специальности 05.23.17 - Строительная механика, диссертационная работа соответствует следующим её направлениям:

П.1. Общие принципы расчета сооружений и их элементов.

П.2. Линейная и нелинейная механика конструкций и сооружений, разработка физико-математических моделей их расчета.

П.4. Численные методы расчета сооружений и их элементов.

Достоверность результатов, полученных в ходе исследования, обеспечивается корректным использованием обоснованных положений, методов строительной механики и сопротивления материалов, а также сравнением с результатами численного эксперимента, полученными с использованием верифицированного программного обеспечения.

Апробация работы

Основные результаты диссертационного исследования докладывались на 9 научно-практических конференциях российского и международного уровня:

• конференции «Неделя науки. Наука МИИТа - транспорту» (2013, 2016, 2017, 2018, 2019) Российского университета транспорта (РУТ МИИТ);

• VII и VIII Международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения») Российской академии архитектуры и строительных наук (2018,2019);

• 6th International Conference on Collaboration in research and Education for Sustainable Transport Development, Транспортный университет Хошимина, Хошимин, Вьетнам;

• VII Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» 1-8 июля 2018 г., Новосибирск, Россия.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из четырех глав, заключения, списка литературы и трёх приложений.

В первой главе представлен обзор экспериментальных и теоретических исследований, посвящённых вопросам исследования внутреннего трения в конструктивных материалах. В ней также приведены основные теоретические положения, используемые в диссертационном исследовании. В конце главы на основе проведённого обзорного анализа сформулированы основные задачи, которые поставил перед собой автор в рамках диссертационного исследования.

Во второй главе разрабатывается и исследуется модель колебательного процесса стержневого элемента с использованием гипотезы нелокального демпфирования материала. Построена методика динамического расчета стержневых элементов строительных конструкций под действием мгновенно приложенной, детерминированной периодической и стохастической стационарной нагрузок. Приводятся и сравниваются результаты, полученные при различных параметрах модели нелокального демпфирования материала.

В конце главы описаны основные этапы методики расчета изгибаемых стержневых элементов на динамические воздействия с использованием модели нелокального демпфирования материала.

В третьей главе представлена разработанная в диссертации геометрически нелинейная модель колебательного процесса конструктивных элементов, в которой для описания внутреннего трения использовалась гипотеза нелокального демпфирования. В качестве примера такого элемента рассматривается пологая арка. Как и в главе 2, колебания пологой арки моделируются под действием мгновенно приложенной, детерминированной периодической и стохастической стационарной нагрузок. Исследуются режимы динамического поведения пологой арки и особенности её колебательного процесса при различных параметрах нелокальной модели. Приводятся и сравниваются результаты, полученные путём компьютерного моделирования.

В конце главы приведены основные этапы методики геометрически нелинейного расчета стержневых элементов на динамические воздействия с использование модели нелокального демпфирования материала.

В четвёртой главе описано построение трёхмерной конечно-элементной модели стержня, колебательный процесс которого смоделирован в расчётном программном комплексе SIMULIA Abaqus. С использованием этой численной модели проведен численный эксперимент, используемый при калибровке модели нелокального демпфирования материала. Приводится методика подбора характеристик нелокальной модели по результатам численного эксперимента, применимая также и к подбору характеристик модели на основе опытных данных. Представлено сравнение результатов, полученных путём трёхмерного конечно -элементного моделирования, и результатов, полученных с использованием разработанной в диссертации модели.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационного исследования.

Включённые в работу приложения содержат базисные функции, использованные в диссертации при расчетах колеблющегося стержня методом Бубнова-Галеркина, характеристические уравнения для различных граничных условий, табличные значения критерия Пирсона, а также тексты основных компьютерных программ, разработанных в программном комплексе MATLAB при выполнении диссертационных исследований.

Глава 1 Состояние вопроса и теоретические предпосылки исследований, выполненных в диссертации

1.1. Общие сведения об истории изучения вопросов внутреннего

трения в материалах

Под внутренним трением в материале подразумеваются необратимые в энергетическом отношении процессы, сопровождающие циклическое деформирование тел при любой величине напряжения. Считается, что необратимость этих процессов характеризуется тем, что часть энергии деформации за каждый цикл преобразуется в тепловую и рассеивается. В качестве меры внутреннего трения используется величина, называемая удельным рассеянием энергии.

История исследования вопросов внутреннего трения в деформируемом материале насчитывает более ста пятидесяти лет. За это время было разработано множество различных, и нередко противоречащих друг другу, теорий и моделей, описывающих процесс рассеяния энергии колебания, но ни одна из них на сегодняшний день не является универсальной. Ясно, что только устойчивое соответствие действительным динамическим процессам может подтвердить надёжность той или иной теории. Однако история экспериментального изучения внутреннего трения также крайне противоречива.

По-видимому, первым понятие диссипативной функции ввёл Дж. Рэлей в 1877 г. Он предположил, что потери энергии происходят за счёт того, что тело колеблется в вязкой внешней среде, а коэффициент диссипации пропорционален скорости колебаний. Несмотря на то, что предложенная Рэлеем функция описывает только внешние диссипативные силы, его работы [42,95] сыграли значительную роль в развитии теории колебаний неконсервативных систем.

В 1865 году У. Кельвин высказал гипотезу о том, что внутреннее трение в твёрдых телах подобно вязкому трению в жидкостях [77]. В 1890-1892 годах

Вольдемар Фойгт опубликовал теорию упруго-вязкого тела и показал ее соответствие опытам, произведенным над некоторыми металлами. С использованием гипотезы Кельвина в работе Фойгта [4] предложена зависимость между нормальным напряжением о и деформацией £ в твёрдом теле. С тех пор гипотезу Кельвина называют гипотезой Кельвина-Фойгта или (в русскоязычных источниках) часто просто гипотезой Фойгта. В отличие от теории Дж. Рэлея, в этой гипотезе вязкая среда принадлежит самому твердому деформируемому телу, и диссипативные силы возникают только при его деформациях и отсутствуют при смещениях тела как абсолютно твёрдого элемента. Схема Фойгта лучше, чем идеально упругая схема, отображает реальные свойства деформируемых тел. Также она позволяет смоделировать свойство ползучести материала, когда и при невозрастающей нагрузке в нем происходит постепенное увеличение деформаций. Однако эта модель не отражает другое проявление ползучести -свойство релаксации, когда при постоянной (фиксированной) деформации происходит постепенное убывание напряжений. Коэффициент внутреннего трения, согласно теории Кельвина-Фойгта, пропорционален скорости изменения циклических деформаций.

Наличие вязко-упругости в материале приводит к тому, что при колебаниях траектории нарастания и спада напряжений не совпадают. Это явление носит название динамического гистерезиса. Опыты Берлинера в 1906 году [47] показали зависимость между площадью петли динамического гистерезиса на графике зависимости между напряжениями и деформациями и амплитудой напряжений при динамических испытаниях образцов, что несколько противоречило гипотезе Фойгта.

Опыты Роуэтта, опубликованные в 1912-1914 годах [96] показали, что изменения площади петли гистерезиса на графике зависимости между напряжениями и деформациями в процессе колебаний являются частотно независимыми. Эти результаты, в общем-то в корне противоречащие гипотезе

Фойгта, положили начало систематическим и всесторонним исследованиям внутреннего трения в деформируемых твердых материалах.

В защиту гипотезы Фойгта часто приводят результаты опытов Хонда и Конно [74] показывающие, что коэффициент рассеивания энергии прямо-пропорционален частоте колебаний. Однако использованная в опытах полоса частот была крайне узкой, и при более низких и высоких частотах эти результаты не подтверждаются.

В работе [82] Дж. Максвелл разработал теорию, согласно которой, коэффициент внутреннего поглощения обратно пропорционален частоте колебаний, что также противоречит гипотезе Кельвина-Фойгта.

Опыты школы Феппля в 1925-1933 годах [47] показали, что при динамических напряжениях, превышающих предел усталости зависимость между удельным рассеянием энергии и амплитудами деформаций для одних материалов проявлялась слабо, а для других очень сильно. Далее в 1930-1933 годах Эссау и Кортум и Людвик Шеу показали [47], что отмеченные соотношения, полученные Фепплем и его школой, зависят от предшествующих напряжений. А точнее - от количества циклов динамического нагружения. Исследователи объяснили это разупрочнением материала.

В 1936 и 1938 годах Бенневитц и Ретгер [47] показали экспериментально, а Зинер [104] обосновал теоретически предположение, что внутреннее трение в металлах обусловлено тепловой диффузией. Согласно результатам опытов при определённой частоте колебаний обнаруживался максимум удельного рассеяния энергии. С удалением от этой частоты в обе стороны от точки максимума это значение уменьшалось. Таким образом, было выявлено противоречие с предыдущими многочисленными опытами, показывающими, что удельное рассеяние энергии постоянно.

Предпринимались многочисленные попытки «скорректировать» гипотезу Фойгта, смягчив её частотную зависимость. В работах [18,40] предлагается обобщенная теория вязкоупругого тела, объединяющая теорию Кельвина-Фойгта

и теорию Максвелла. Её противоречия с экспериментом слабее, но она является более сложной. Эта теория представляет собой обобщение линейной теории вязкоупругого тела путём введения в ее соотношениях высших производных от о и £. Однако, этот подход не предусматривает соблюдение постоянства диссипации энергии с изменением частоты колебаний и усложняет математический аппарат.

Другой способ обобщения линейной зависимости между о и £ - это построение между ними интегральной зависимости. В исследованиях И. Больцмана и В. Вольтерра [11] разрабатывается теория вязкоупругой среды с наследственностью. В основных чертах эта теория заключается в следующем: деформация тела зависит не только от силового воздействия, действующего в рассматриваемый момент времени, но и от всех тех силовых воздействий, которые действовали на тело в предшествующей истории его нагружения. Результирующая деформация в рассматриваемый момент времени представляется суммой деформаций, вызванных каждой из ранее действовавших сил, но с учётом их уменьшения за текущее время. Степень такого уменьшения описывается монотонно убывающей с увеличением аргумента функцией памяти К(1 — Г), характеризующей наследственные свойства материала. Вид ядра К можно выбирать с учётом опытных данных.

В работах [31] производились попытки устранить основной недостаток теории среды с наследственностью Больцмана-Вольтерра - неспособность описать наблюдаемые нелинейные эффекты. Эта теория вступает в противоречие с опытом и отличается большой сложностью.

В работах [14,21] за основу описания внутреннего трения материала принято уравнение петли динамического гистерезиса, которая представляет собой зависимость между напряжением и деформацией при циклическом деформировании. Эти предложения не являются универсальными в смысле описания опытных зависимостей, и сильно осложняют математический аппарат.

В период с 1946 по 1956 годы Е.С. Сорокин провел опыты по изучению внутреннего трения. Им было установлено, что зависимость удельного рассеяния энергии от частоты колебаний для большинства материалов проявляется для крайне узкого диапазона частот, а его зависимость от амплитуды напряжений является нелинейной.

В работах Сорокина Е. С. [46,47] представлена зависимость между циклическими напряжениями и деформациями в комплексной форме, называемая гипотезой «Комплексной жёсткости». При этом используется модель упруго-вязко-пластического тела, описывающая его наследственные и диссипативные свойства. Теория хорошо согласуется с опытом и удобна с математической точки зрения, однако в работе [39] были указаны неточности, к которым может привести использовании гипотезы Е. С. Сорокина в нестационарных задачах, а в работе [54] показано, что использование этой гипотезы в нестационарных задачах с сохранением только устойчивых решений эквивалентно переходу к «скорректированной» гипотезе Фойгта.

В работах [9,32,33] исследуются колебания систем с распределёнными параметрами. В отличие от дискретных систем, где колеблющееся тело представляется в виде системы отдельных сосредоточенных масс, элементы системы с распределёнными параметрами считаются непрерывными. Анализ продольных, изгибных и крутильных колебаний такой системы производится с использованием гипотезы Фойгта и т.н. «условно-вязкой» схемы. Также рассматриваются различные прямые способы решения задач о колебаниях систем с внутренним трением в материале. Эти способы позволяют вычислить характеристики колебательных процессов, не прибегая к вязкоупругой модели, и оценить влияние внутреннего трения различных систем.

Заслуживает внимания монография [56], посвященная изучению т.н. групповых динамических воздействий на здания и сооружения. Основной задачей авторов являлась разработка практической методики расчёта конструкций на групповые воздействия, основанной на достаточно строгом вероятностном

анализе и учитывающей особенности динамических воздействий от оборудования. Также в книге рассматривается ряд смежных вопросов, в частности методика расчёта многоэтажных зданий и отдельных фундаментов на гармонические нагрузки, учёт случайных характеристик динамических систем, а также линейные модели частотно независимого внутреннего трения.

Здесь также отмечается, что внутреннее трение в материалах связано со сложными физическими процессами, происходящими на молекулярном уровне, достоверная оценка которых может быть получена только с использованием некоторых интегральных характеристик, относящихся к внешним проявлениям этого эффекта.

Авторы отмечают, что в связи с попытками построения достаточно общей теории и распространения её результатов на нестационарные процессы, были вскрыты некоторые противоречия, присущие самой концепции внутреннего трения. Так - Крэнделл [22] пришёл к выводу о невозможности построения линейной модели частотно независимого внутреннего трения вследствие нарушения принципа причинности (физической осуществимости) динамических систем с таким трением. Принцип причинности заключается в том, что система может реагировать только на возмущения имевшие место в прошлом.

В работе [55] была построена линейная модель частотно независимого внутреннего трения, удовлетворяющая принципу причинности, и уточнены параметры комплексной жёсткости, используемой при гармонических колебаниях.

Авторы определяют частотную независимость внутреннего трения, как частотную независимость параметров относительного демпфирования, таких как коэффициент затухания и логарифмический декремент колебаний. Отмечается, что концепция частотной независимости является в известной степени идеализированной, так как для большинства конструкционных материалов частотная независимость на всей оси частот не наблюдается ни для относительных ни для абсолютных потерь.

В этой монографии с общих позиций теории линейных систем дается анализ концепции частотной независимости внутреннего трения, и рассматриваются различные математические модели, используемые для описания внутреннего трения в материалах.

Таким образом, существующие на настоящий момент модели внутреннего трения можно разделить на три группы. К первой группе относятся гипотеза Е.С. Сорокина и различные варианты описания сил внутреннего сопротивления с помощью постоянных комплексных модулей [45]. Вторая группа объединяет различные модификации гипотезы Фойгта. К третьей группе можно отнести предложения по выбору интегральных операторов наследственной упругости со специальными ядрами, которые предусматривают частотную независимость абсолютного рассеяния энергии в достаточно широком диапазоне частот возмущения.

При обзорном анализе развития исследований влияния внутреннего трения и демпфирования в материалах на динамическое поведение строительных конструкций следует отметить значимые результаты С. П. Тимошенко [48], А. Н. Крылова [24], В. Д. Потапова [34,35,91,92], А. Н. Обморшева [30], В. В. Болотина [7], А. Г. Тяпина [49,50,51], И. М. Бабакова [5].

1.2. Исследования, посвященные вопросам описания внутреннего

трения в композитных материалах

Современные композитные и нано- материалы и их поведение под динамической нагрузкой, требуют отдельного изучения. В отличие от традиционных строительных материалов, таких, как сталь, композиты вряд ли могут считаться однородными, и тем более изотропными.

Монография [29] посвящена проблемам колебаний и шума в различных областях машиностроения и строительства. Авторы рассматривают разные способы описания различных видов демпфирования. Особое внимание уделяется моделям вязкоупругого демпфирования, определяющим поведение композитных: полимерных и стекловидных материалов. При этом отмечается, что при создании композитов, как правило, не ставится цель достичь высоких демпфирующих характеристик. Поэтому в экспериментах бывает трудно отделить эффекты демпфирования, и эффекты, возникающие вследствие нелинейного поведения материала. Также описывается влияние вязкоупругого демпфирования на динамическое поведение конструкций.

В работе [61] представлен анализ сложных систем с демпфированием. Основным объектом исследования являются системы с вязким и невязким внутренним трением и с большим числом степеней свободы. В качестве теории невязкого трения используется теория вязкоупругой среды с наследственностью, причём её частным случаем является модель вязкого трения.

В статье [64] рассматриваются четыре модели демпфирования на примере колебаний композитной консольной балки с сосредоточенной массой на свободном конце. Рассматриваемая балка выполнена из пластика, армированного стекловолокном. Причём, армирование выполнено в продольном и поперечном направлениях. В статье отмечено, что этот материал имеет демпфирующие свойства, отличные от свойств однородных материалов. Предполагается, что

балка отвечает гипотезе Бернулли, а крутильные, сдвиговые и продольные перемещения пренебрежимо малы.

Три из представленных в статье моделей описывают внутреннее трение: модель Фойгта, временной гистерезис и пространственный гистерезис.

Модель, называемся в статье временным гистерезисом, похожа на теорию среды с наследственностью, где отклик системы на внешние воздействия, имевшие место в прошлом, влияет на её динамическое поведение в настоящем.

Наиболее интересным является пространственный гистерезис. Эта модель основана на предположении, что потери энергии при поперечных колебаниях балки связаны с тем, что поворот сечений друг относительно друга вызывает внутреннее трение в материале. Причём влияние на процесс внутреннего демпфирования оказывает не одно рассматриваемое поперечное сечение балки, но также и поперечные сечения соседние с ним. При этом вводится ядровая функция или функция влияния, представляющая собой закон уменьшения влияния сечений друг на друга с увеличением расстояния между ними.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шепитько Елена Сергеевна, 2019 год

Список литературных источников

1. Абросимов, Н.А. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций / Н.А.Абросимов, В.Г.Баженов. - Нижний Новгород: Нижегор. гос. ун-т, 2002.

2. Акимов, П.А. Обзор современных программных комплексов компьютерного моделирования конструкций, зданий и сооружений. Часть 3: зарубежное программное обеспечение / П.А.Акимов, А.М.Белостоцкий, Т.Б.Кайтуков, М.Л.Мозгалева, В.Н.Сидоров // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сборник трудов № 20. Москва, 2017. С. 34-53.

3. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности / А.В.Александров, В.Д.Потапов. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

4. Александров, А.В. Строительная механика. В 2 кн. Кн. 2 Динамика и устойчивость упругих систем: учебное пособие для вузов / А.В.Александров, В.Д.Потапов, В.Б.Зылев; под ред. А.В.Александрова. -М.: Высш. шк., 2008. - 384 с.

5. Бабаков, И.М. Теория колебаний / И.М.Бабаков. - М.: Наука, 1965. - 560 с.

6. Болдырева, А.А. Прочность полимерного композита (стеклопластика) при межслойном сдвиге / А.А.Болдырева, Ю.А.Яруничева, А.В.Дернакова, И.В.Ивашов // Инженерно-строительный журнал. 2016. № 2(62) C.42-50.

7. Болотин, В.В. Случайные колебания упругих систем / В.В.Болотин. - М.: Наука, 1979. - 336 с.

8. Блакьер О. Анализ нелинейных систем / О. Блакьер. - М.: Мир, 1969. - 400 с.

9. Блехман, И.И. Механика и прикладная математика / И.И.Блехман, А.Д.Мышкис, Я.Г.Пановко. - М.: Наука, 1990. - 360 с.

10. Вентцель E.C. Теория вероятностей: Учеб. Для вузов. / Е.С.Вентцель. - М.: Высш. шк., 1999, - 576 с.

11. Вибрации в технике: В 6 т / Под ред. В.К.Фролова - М.: Машиностроение, 1981. - Т. 6. - 456 с.

12. Галеркин, Б.Г. Собрание сочинений. Том I / Б.Г.Галеркин. - М.: Издательство АН СССР, 1952. - 391 с.

13. ГОСТ 32659-2014. Композиты полимерные методы испытаний, определение кажущегося предела прочности при межслойном сдвиге методом испытания короткой балки, М.: Стандартинформ. 2014.

14. Давиденков, Н.Н. «Журнал технической физики» т. VIII / Н.Н.Давиденков // ФТИ им. А.Ф.Иоффе. - в 6. - 1938.

15. Дмитриев, В.Г. Геометрически и физически нелинейное деформирования арочных и оболочечных конструкций при статических нагрузках. Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Материалы XXIV международного симпозиума А.Г.имени Горшкова / В.Г.Дмитриев, С.И.Жаворонок, О.В.Егорова, Л.А.Илларионова.

- 2018. - С. 89-90

16. Елисеев, В.В. Одномерные и трехмерные модели в механике упругих стержней: дис. ... д-ра физ.-мат. Наук / Елисеев.В.В. - Липецк: ЛГТУ, 1991.

- 300 с.

17. Зылев, В.Б. Результаты исследования устойчивости арок при учете конечных перемещений / В.Б. Зылев, А.В. Штейн // Вычислительные методы в исследовании строительных конструкций: сб. науч. тр. - М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1987. - С.101 - 106.

18. Ишлинский, А.Ю. Прикладная математика и механика, т. IV / А.Ю.Ишлинский. - М.: Наука, 1940.

19. Калиткин, Н.Н. Численные методы: учеб пособие. - 2-е изд. исправленное / Н.Н.Калиткин. - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. - 592 с.

20. Кербер, М. Л. Полимерные композиционные материалы. Структура. Свойства. Технологии. / М.Л.Кербер. - СПб.: Профессия, 2008. - 560 с.

21. Корчинский, И.Л. Расчёт строительных конструкций на вибрационную нагрузку / И.Л.Корчинский. - М.: Госстройиздат, 1948.

22. Крэнделл, С. Роль демпфирования в теории колебаний / С.Кренделл // Периодический сборник переводов иностранных статей - 1971. - С.5 - 129.

23. Кристенсен, Р. Введение в механику композитов / Р.Кристенсен. - М.: Мир, 1982. - 336 с.

24. Крылов, А.Н. Вибрация судов : Учебник для судостроительных ВТУЗов и кораблестроительных специальностей индустриальных ВТУЗов. - Л.; М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 441 с.

25. Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений - 2-е изд. / Ю.В.Линник. -М.: Госфизматиздат, 1962.

26. Мануйлов, Г.А. Исследование на моделях устойчивости равновесия в плоскости преднапряженных двухшарнирных арок с учетом эксцентричного приложения нагрузки / Г.А.Мануйлов, С.Б.Косицын, М.М.Бегичев // Вопросы строительной механики и надежности машин и конструкций. - 2012. - С. 127-134.

27. Марасанов, А.И. Анализ надежности и долговечности стержневых вязкоупругих систем: диссертация на соискание степени кандидата технических наук / А.И.Марасанов - М., 1992. - 131 с.

28. Мищенко, А.В. Построение решений задач динамики композитных стержней на основе метода Бубнова-Галеркина / А.В.Мищенко, Ю.В.Немировский // ОНВ. - 2015. - N 3. - С. 143.

29. Нашиф, А. Демпфирование колебаний / А.Нашиф, Д.Джоунс, Дж.Хендерсон. - М.: Мир, 1988. - 448 с.

30. Обморшев, А.Н. Введение в теорию колебаний. Учеб. пособие / А.Н.Обморшев. - М.: Наука, 1965. - 276 с.

31. Панов, Д.Ю. Прикладная математика и механика, т. Х / Д.Ю.Панов // Прикладная математика и механика, т. Х в. 5-6, 1946.

32. Пановко, Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я.Г.Пановко. - М.: Физматгиз, 1960. - 193 с.

33. Пановко, Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г.Пановко. -М.: Наука, 1971. - 240 с.

34. Потапов, В.Д. Устойчивость стержней при стохастическом нагружении с учетом нелокального демпфирования / В.Д.Потапов // Проблемы машиностроения и теории надежности. - 2012. - N 4. - С.25-31.

35. Потапов, В.Д. Устойчивость пологой арки при действии детерминированной и стохастической нагрузки с учётом нелокального демпфирования / В.Д.Потапов // Проблемы машиностроения и теории надежности. - 2013. - N 6. - С.9-16.

36. Потапов, В.Д. Полимерные материалы в устройствах контактной сети /

B.Д.Потапов, Ю.И.Горшков, А.М.Лукьянов, Ю.Н.Шумилов, З.С.Бакалов, Л.Г.Помаков. - М.: Транспорт, 1988. - 224 с.

37. Потапов, В.Д. Исследование колебаний удлиненной цилиндрической панели при действии случайной нагрузки / В.Д.Потапов, Е.С.Шепитько // Сборник тезисов К-ой Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Trans-Mech-Art-Chem». - 2012. -

C.45.

38. Преображенский, А.И. Стеклопластики - свойства, применение, технологии / А.И.Преображенский // Главный механик. - 2010. - N 5. - С.243.

39. Резников, Л.М. Об учёте внутреннего неупругого сопротивления при исследовании случайных колебаний конструкций / Л.М.Резников // Строительная механика и расчёт сооружений. - 1974. - N 4.

40. Ржаницын, А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени / А.Р.Ржаницын. - М.: ГИТТЛ, 1949.

41. Рогов, В.Е. Компьютерное моделирование несущих стержневых элементов мобильных зданий из полимерных композиционных материалов / В.Е.Рогов, А.Б.Балданов, В.Ю.Курохтин // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9. - 2017. - N 2.

42. Рэлей, Дж. Теория звука. т. 1 / Дж.Релей. - М.: Гостехтеоретиздат, 1955.

43. Свешников, А.А. Прикладные методы теории случайных функций /

A.А.Свешников. - М.: Наука, 1968. - 464 с.

44. Сидоров, В.Н. Метод конечных элементов в расчёте сооружений. Теория, алгоритм, примеры расчётов в программном комплексе SIMULIA Abaqus /

B.Н.Сидоров. - М.: АСВ, 2015. - 288 с.

45. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы / Е.Скучик. - М.: Мир, 1971.

46. Сорокин, Е.С. Метод учёта неупругого сопротивления материала при расчёте конструкций на колебания / Е.С.Сорокин // Сборник «Исследования по динамике сооружений». - Госстройиздат. - 1951.

47. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем / Е.С.Сорокин. - М.: Госстройиздат, 1960. - 131 с

48. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П.Тимошенко. - М.: Наука, 1967. - 444 с.

49. Тяпин, А.Г. Демпфирование в прямом и модальном методах: эффект искусственного «урезания» коэффициентов / А.Г.Тяпин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2012. - N 4. - С.29-35.

50. Тяпин, А.Г. Демпфирование в прямом и модальном методах. Часть II: замена материального демпфирования в сооружении рэлеевским демпфированием / А.Г.Тяпин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2013. - N 1. - С.21-28.

51. Тяпин, А.Г. Демпфирование в модальном методе. Часть III: Парадокс с усечением коэффициентов демпфирования / А.Г.Тяпин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2013. - N 2. - С.36-40.

52. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2-е, перераб. и доп. / А.П.Филиппов. - М.: Машиностроение, 1970. - 734 с.

53. Фриштер, Л.Ю. Сопоставление возможностей численного и экспериментального моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом их геометрической нелинейности / Л.Ю.Фриштер, М.Л.Мозгалева // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2010. - т. 6. - N 1-2. - P.221-222.

54. Цейтлин, А.И. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем / А.И.Цейтлин // Строительная механика и расчёт сооружений. -1975. - N 2.

55. Цейтлин, А.И. Линейная модель идеального частотно-независимого внутреннего трения / А.И.Цейтлин // Строительная механика и расчёт сооружений. - 1972. - N 2.

56. Цейтлин, А.И. Статистические методы расчета сооружений на групповые динамические воздействия / А.И.Цейтлин, Н.И.Гусева. - М.: Стройиздат, 1979. - 175 с.

57. Чекалкин, А.А. Лекции по динамике и устойчивости композитных конструкций / А.А.Чекалкин, А.Г.Котов. - Пермь: Перм. гос. техн. ун-т., 2004 с.

58. Шепитько, Е.С. Колебания стержней с учетом нелокального демпфирования / Е.С.Шепитько // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2016. - N 5.

59. Шепитько, Е.С. Компьютерное моделирование колебательного процесса нелинейных систем с учётом нелокального демпфирования / Е.С.Шепитько // Труды научно практической конференции Неделя науки - 2017 «Наука МИИТа - транспорту». - 2017.

60. Abaqus v6.10 Analysis User's Manual. - Dassault Systmes Simulia Corp, 2010.

61. Adhikari, S. Damping Models for Structural Vibration: dissertation for the Degree of Doctor of Philosophy/ S. Adhikari. - Trinity College, Cambridge, 2000.

62. Adhikari, S. Identification of damping. Part 2: Non-viscous damping / S. Adhikari, J. Woodhouse // Journal of Sound and Vibration. - 2001. - 243 (1), 63-88.

63. Aluri, S. Dynamic Response of Three Fiber Reinforced Polymer Composite Bridges / S. Aluri, C. Jinka, H. GangaRao // ASCE Journal of Bridge Engineering. - 2005. - 10(6):722-730.

64. Banks, H.T. On damping mechanisms in beams / H.T. Banks, D.J. Inman // Journal of Applied Mechanics. - 1991. - 58 (3), 716-723.

65. Chandra, R. Damping Studies in Fiber-Reinforced Composites - A Review / R. Chandra , S.P. Singh , K. Gupta // Composite Structures. - 1999. - 46(1): 41-51.

66. Creative Pultrusions Inc., The New and Improved Pultex Pultrusion Global Design Manual of Standard and Custom Fiber Reinforced Polymer Structural Profiles, Vol. 3, Rev. 3, Chapter 3, p 4-6. - 2000.

67. Daniel, I. M. Engineering Mechanics of Composite Materials / I. M. Daniel, O. Ishai. - Oxford University Press, New York, 2005, 2nd ed.

68. Dascotte, E. Material identification of composite structures from combined use of finite element analysis and experimental modal analysis / E. Dascotte // Proceedings of the 10th IMAC. - 1992. - 1274-1280.

69. Ellyin, F. Material Processing and Manufacturing Technology In Advanced Composite Materials with Application to Bridges / F. Ellyin, J. Wolodko, G. Murphy, J. Graham. - Montreal: The Canadian Society for Civil Engineering, 1991.

70. Eringen, A.C. Nonlocal elasticity / A.C. Eringen, D.G.B. Edelen // International Journal of Engineering Science. - 1972. - 10 (3), 233-248.

71. Flugge, W. Viscoelasticity, second revised edition / W. Flugge. - SpringerVerlag, Berlin, 1975.

72. Fyodorov, V. S. Nonlocal damping consideration for the computer modelling of linear and nonlinear systems vibrations under the stochastic loads / V. S. Fyodorov, V. N. Sidorov, E. S. Shepitko // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. - 2018. - 456.

73. Hollaway, L. C. A review of the present and future utilization of FRP composites in the civil infrastructure with reference to their important in-service properties / L. C. Hollaway // Const. Building Mater. - 2010. - p. 2419-2445.

74. Honda, K. Phil. Mag / K. Honda, S. Konno // Phil. Mag. - 1921. - v.42, p.115.

75. Ji, H.S. Design, Fabrication, and Load testing of an Advanced Composite Materials Superstructure / H.S. Ji, K.S. Chun, B.J. Son, S. Y. Chang // 4th International Conference on Advanced Composite Materials in Bridge and Structures (ACMBS), Calgary, Alberta. - 2004.

76. Keller, T. Recent all-composite and hybrid fibre-reinforced polymer bridges and buildings / T. Keller // Progress in Structural Engineering and Materials. - 2001. - p. 132-140.

77. Kelvin, (Thomson W.) Proceedings of Royal Society / Kelvin // Proceedings of Royal Society of London. - 1865.

78. Landherr J. C. Dynamic analysis of a FRP deployable box beam: Master of Applied Science Thesis / J. C. Landherr. - Department of Civil Engineering, Royal Military College of Canada, 2008.

79. Lei, Y. A Galerkin method for distributed systems with non-local damping / Y. Lei, M. I. Friswell, S. Adhikari // Int. Journal of Solids and Structures. - 2006. -V. 43, pp. 3381 - 3400.

80. Lim, R. A. Structural monitoring of a 10m fibre reinforced polymer bridge subjected to severe damage: Master of Applied Science Thesis / R. A. Lim. -Department of Civil Engineering, Royal Military College of Canada, 2016.

81. Lin, D.X. Prediction and Measurement of the Vibrational Damping Parameters of Carbon and Glass Fiber-Reinforced Plates / D.X. Lin, R.G. Ni, R.D. Adams // Journal of Composite Materials. - 1984. - p.132-152.

82. Maxwell, J. C. Philosophical Transaction / J. C. Maxwell. - Philosophical Transaction, 1867

83. Meier, U. "Case Histories" In Advanced Composite Materials with Application to Bridges / U. Meier. - Montreal: The Canadian Society for Civil Engineering, 1991.

84. Mishra, A. K. Improved numerical modelling of fiber reinforced plastics I-beam from experimental modal testing and finite element model updating / A. K. Mishra // International Journal of Acoustics and Vibration. - 2018. - Vol. 23, No. 1.

85. Montgomery, D. C. Engineering Statistics, Fifth Edition / D. C. Montgomery, G. C. Runger, N. F. Hubele. - John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd, 2012.

86. Mota Soares, C. M. Identification of material properties of composite plate specimens / C. M. Mota Soares, M. Moreira de Freitas, A. L. Arajo // Compos. Struct. - 1993. - 277-285.

87. Neale, K.W. Material Properties of Fibre-Reinforced Plastics In Advanced Composite Materials with Application to Bridges / K.W. Neale, P. Labossiere. -Montreal: The Canadian Society for Civil Engineering, 1991.

88. Pisno, A.A. Closed form solution for non-local elastics bar in tension / A.A. Pisno, P. Fuschi // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - 40 (1), p. 13-23.

89. Polizzotto, C. Non-local elasticity and related variational principles / C. Polizzotto // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - 38 (42-43).

90. Potapov, V. D. Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems / V. D. Potapov. - Chichester,Wiley, 1999.

91. Potapov, V.D. On the stability of columns under stochastic loading Taking into account nonlocal damping / V. D. Potapov // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. - 2012. - vol. 41, no. 4, p. 284.

92. Potapov, V.D. Stability via nonlocal continuum mechanics / V. D. Potapov // Int. J. Solids Struct. - 2013. - vol. 50, pp. 637-641.

93. Potapov, V.D. Stability of a flat arch subjected to deterministic and stochastic loads taking into account nonlocal damping / V. D. Potapov // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. - 2013. - Volume 42, Issue 6, pp 450456

94. Potapov, V. D.

Computer modeling of nonlinear system vibrations consider nonlocal damping / V. D. Potapov, E. S. Shepitko // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, "Издательство АСВ" (Россия, г. Москва). - 2018. - v. 14 № 1

95. Rayleigh, J. Proceedings of the Mathematical Society / Rayleigh // Proceedings of the Mathematical Society. - 1873. - v.4.

96. Rowett, F. E. Proceedings of Royal Society / F. E. Rowett // Proceedings of Royal Society. - 1914. - p.528.

97. Russell, D.L. On mathematical models for the elastic beam with frequency-proportional damping. / D.L. Russell // Control and Estimation in Distributed Parameter Systems. SIAM, Philadelphia, PA. - 1992. - pp. 125-169.

98. Sears, A. Macroscopic properties of carbon nanotubes from molecular-mechanics simulations / A. Sears, R. Batra // Phys. Rev. B. - 2004. - pp. 235406.

99. Sedlacek, G. Innovative Developments for Bridges Using FRP Composites / G. Sedlacek, H. Trumpf // Advanced Polymer Composites for Structural Applications in Construction: International Conference on Advanced Polymer Composites in Construction. University of Surrey, Guildford, UK. - 2004.

100. Shepitko, E. S. Computer Modeling of Shallow Arc Vibrations Consider Nonlocal Damping / E. S. Shepitko // Proceedings of the 6th International Conference on Collaboration in research and Education for Sustainable Transport Development. - 2018 г.

101. Vantomme, J. A parametric study of material damping in fibre-reinforced plastics / J. Vantomme // Composites, 1995. - p. 147-153.

102. Xie, A. Development of an FRP Deployable Bridge: Master of Applied Science Thesis / A. Xie. - Department of Civil Engineering, Royal Military College of Canada, 2007.

103. Yang, B. Transient response of one-dimensional distributed systems: a closed form eigenfunction expansion realization / B. Yang., X. Wu // Journal of Sound and Vibration, 1997. - 208 (5), 763-776.

104.Zener, C. The Physical Review / C. Zener // The Physical Review, 1937. -v. 52 №3. - p. 230.

Приложение 1. Базисные функции и характеристические уравнения при различных вариантах граничных условий

Тип закрепления* Базисная функция Характеристич. уравнение

х=0 х=1

1 1 (ск^/ — СОЯ^О^к^Х + ят^х) — (як^/ — 5Ш^/)(ск^Х + соя^х) ск(^/)с05(^/) = 1

2 2 ят^х ЯШ^/) = 0

3 3 (як^/ — ят^/Хск^х — соя^х) —(ск^/ — соя^О^к^х — ят^х) ск(^/)с05(^/) = 1

3 2 (^к^^/ + ят^/Хск^х — соя^х) — (ск^/ + СОЯ^О^к^Х — ят^х) ¿к(М) =

3 1 (^к^^/ + ят^/Хск^х — соя^х) — (ск^/ + СОЯ^О^к^Х — ят^х) $к(&0СО5(^0 = —1

1 2 (^к^^/ + ят^/Хск^х + соя^х) — (ск^/ + СОЯ^О^к^Х + ят^х)

*Типы закреплений: 1 - Свободный конец, 2 - Шарнирное опирание, 3 - Жёсткая заделка.

Приложение 2. Тексты основных компьютерных программ

1. Функция для решения системы уравнений движения стержневого элемента методом Рунге-Кутты IV порядка

function [w1,k, ftm_d, ftm_v, t]=first_members(mu,forms,q,Nl) %Determine the roots of the characteristic equation F=@(x) cosh(x)*cos(x)-1; Inc=0.2;

Roots=nat_freq(F,forms,Inc);

%Compute k-s l=7;

k=Roots;

%Compute the first coefficients coeff_1=zeros (1,forms); for j=1:forms

coeff_1(j)=(k(j)/k(1))A4;

end %j=1;

%Input data

b1=0.3;

h1=0.4;

S=b1*h1;

Ro=1.9; %FRP

m=S*Ro;

E=17 2 0 0; %FRP

I=b1*h1A3/12;

EI=E*I;

w1=(k(1)A4*E*I/(m*lA4))A0.5; w2 = 0;

gamma=0.042; eps=gamma*w1;

%Compute aj N=200;

a_j=zeros(1,forms); for j=1:forms a_j(j)=coeff_a(N,k,j); end

%Compute the second coefficient

coeff_2=zeros(forms,forms); for j=1:forms mult=eps/(a_j(j)*k(1)A4);

for i=1:forms

I_2=second(N,mu,l,k,i,j); coeff_2(j,i)=mult*I_2;

end end

%Compute the load member load=zeros(1,forms);

v=@(k,x) (sinh(k)-sin(k))*(cosh(k*x)-cos(k*x))-...

(cosh(k)-cos(k))*(sinh(k*x)-sin(k*x)); v_j=zeros(1,forms);

for j=1:forms

Int=Load(N,k,j);

coeff_load=lA4*Int/(k(1)A4*a_j(j)*E*I); load(j)=coeff_load*q;

end

%Compute the displacements(d) and velocities (v) of the rod with fixed ends using

%the classical fourth-order Runge-Kutta method

%N1=9; h1=0.05;

d=zeros(forms,N1+1);

v=zeros(forms,N1+1);

t=zeros(1,N1+1);

d(1,1)=0;

v(1,1)=0;

for i1=1:N1

k_d=zeros(forms,4); s_v=zeros(forms,4); for j=1:forms

k_d(j,1)=v(j,i1);

summ_1=0;

for i=1:forms

summ_1=summ_1+coeff_2(j,i)*v(i,i1);

end

s_v(j,1)=load(j)-coeff_1(j)*d(j,i1)-summ_1;%coeff_2(j,j)*v(j,i1); end

for i2=1:2

for j=1:forms

k_d(j,(i2+1))=v(j,i1)+0.5*h1*s_v(j,i2);

summ_2 3=0; for i=1:forms

summ_2 3=summ_2 3+coeff_2(j,i)*(v(i,i1)+0.5*h1*s_v(i,i2)); end

s_v(j,(i2+1))=load(j)-coeff_1(j)*(d(j,i1)+0.5*h1*k_d(j,i2))-summ_23;...

%coeff_2(j,j)*(v(j,i1)+0.5*h1*s_v(j,i2));

end

end

for j=1:forms

k_d(j,4)=v(j,i1)+h1*s_v(j,3);

summ_4=0;

for i=1:forms

summ_4=summ_4+coeff_2(j,i)*(v(i,i1)+h1*s_v(i,3));

end

s_v(j,4)=load(j)-coeff_1(j)*(d(j,i1)+h1*k_d(j,3))-summ_4;%coeff_2(j,j)*(v(j,i1)+h1*s_v(j,3)); end

for j=1:forms

d(j,(i1+1))=d(j,i1)+h1*(k_d(j,1)+2*k_d(j,2)+2*k_d(j,3)+k_d(j,4) )/6;

v(j,(i1+1))=v(j,i1)+h1*(s_v(j,1)+2*s_v(j,2)+2*s_v(j,3)+s_v(j,4) )/6;

end

t(i1+1)=t(i1)+h1;

end

ftm_d=d; ftm_v=v; t=t/1;

2. Программа для построения графика изменения прогиба стержневого элемента во времени с учётом нелокального демпфирования

%This script determines the deflection forms of the rod

%Compute the number of forms needed q=-1000;

%forms_needed=Number_o_forms(q);

%forms=forms_needed;

forms=5;

%Compute first members of the weight functions N1=1500;

[k, ftm_d, ftm_v, t]=first_members(forms,q,N1); %Compute the increment

%Compute the residual along the rod v=@(k,x) (sinh(k)-sin(k))*(cosh(k*x)-cos(k*x))-... (cosh(k)-cos(k))*(sinh(k*x)-sin(k*x));

v_d=zeros(1, forms); for i=1:forms

v_d(i)=v(k(i),0.5);

end

%Compute the deflections at the moment time

summ_def=zeros(1,(N1+1));

for j=1:(N1+1)

deflection=zeros(1,forms);

for i=1:forms

deflection(i)=ftm_d(i,j)*v_d(i); summ_def(j)=summ_def(j)+deflection(i);

end end

plot(t, summ_def, 'k-','LineWidth',2)

3. Программа для подбора параметра д модели нелокального

демпфирования на основании данных численного или реального эксперимента

%Input experimental data A_data = load('6m_2 0x3 0.txt'); A_time = A_data(:,1); A_defl=A_data(:,2);

%Input data forms=5; q=-1; inc=0.05;

[w1,k, ftm_d, ftm_v, t]=first_members(1,forms,q,1);

%Dimensionless time

A_time=A_time*w1

%Number of steps

Dlina=length(A_time)

N1=fix(A_time(Dlina)/inc)

%Time interpolation t_new=zeros(1,N1+1); A_defl_new=zeros(1,N1+1); t_int=0;

t_base=A_time(1); index=1;

A_defl_new(1)=A_defl(1); t_new(1)=A_time(1); for i1=1:N1;

t_int=t_int+inc; if t_int>A_time(index+1); index=index+1; t_base=A_time(index);

end

t_new(i1+1)=t_int;

A_defl_new(i1+1)=A_defl(index)+(A_defl(index+1)-A_defl(index))/(A_time(index+1)-A_time(index))*(t_int-t_base);

end

%Getting mu using the least squares method

mu_start=0.5;

mu_end=2.0 0;

mu cur=mu start;

incr=0.01;

N2=fix((mu_end-mu_start)/incr);

mu=zeros(2,N2);

sigma=0;

for j1=1:N2

[w1,k, ftm_d, ftm_v, t]=first_members(mu_cur,forms,q,N1); %Compute the increment

%Compute the residual along the rod v=@(k,x) (sinh(k)-sin(k))*(cosh(k*x)-cos(k*x))-... (cosh(k)-cos(k))*(sinh(k*x)-sin(k*x));

v_d=zeros(1, forms); for i=1:forms

v_d(i)=v(k(i),0.5);

end

%Compute the deflections at the moment time

summ_def=zeros(1,(N1+1));

for j=1:(N1+1)

deflection=zeros(1,forms);

for i=1:forms

deflection(i)=ftm_d(i,j)*v_d(i); summ_def(j)=summ_def(j)+deflection(i);

end end

sigma=0; for i=1:N1+1

sigma=sigma+(A_defl_new(i)-summ_def(i))A2;

end

mu(l,jl)=mu cur;

mu(2,jl)=sigma;

mu_cur=mu_cur+incr;

end

[sigma_min,num]=min(mu(2,:)) mu_best=mu(l,num) sigma_ave=(sigma_min/Nl)A0.5 procent=sigma_ave/A_defl(Dlina)

Приложение 3. Табличные значения критерия Пирсона

Число степеней свободы, т Уровень значимости а,%

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99

1 6,6 5 3,8 0,0039 0,00098 0,00016

2 9,2 7,4 6 0,103 0,051 0,02

3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115

4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297

5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554

6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872

7 18,5 16 14,1 2,17 1,69 1,24

8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65

9 21,7 19 16,9 3,33 2,7 2,09

10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56

11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05

12 26,2 23,3 21 ,0 5,23 4,4 3,57

13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11

14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66

15 30,6 27,5 25 7,26 6,26 5,23

16 32 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81

17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41

18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01

19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63

20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26

21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,9

22 40,3 36,8 33,9 12,3 11 9,54

23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2

24 43 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9

25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5

26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2

27 47 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9

28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6

29 49,6 45,7 42,6 17,7 16 14,3

30 50,9 47 43,8 18,5 16,8 15