Модель квантовых графов с рёбрами меняющейся длины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Никифоров, Дмитрий Сергеевич

• Никифоров, Дмитрий Сергеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Никифоров, Дмитрий Сергеевич

Содержание

Введение

1 Граф-звезда

1.1 Уравнение Шрёдингера

1.1.1 Стационарная задача

1.1.2 Динамическая задача

1.1.3 Решение для графа с постоянной длиной рёбер

1.2 Волновое уравнение

1.2.1 Решение динамической задачи

1.2.2 Модель генерации фотонов

1.3 Уравнение Дирака

1.3.1 Решение стационарной задачи

1.3.2 Решение динамической задачи

1.4 Выводы

2 Граф с петлёй

2.1 Уравнение Шрёдингера

2.1.1 Решение стационарной задачи

2.1.2 Решение динамической задачи

2.2 Волновое уравнение

2.2.1 Решение динамической задачи

2.3 Уравнение Дирака

2.3.1 Решение стационарной задачи

2.3.2 Решение динамической задачи

2.4 Выводы

3 Граф с петлёй в магнитном поле

3.1 Оператор Шрёдингера на графе с петлёй в магнитном поле

3.2 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Приложения

1 Общий программный код

2 Программный код для раздела 1.1

3 Программный код для раздела 1.2

4 Программный код для раздела 1.3

5 Программный код для раздела 2.1

6 Программный код для раздела 2.2

7 Программный код для раздела 2.3

8 Программный код для главы 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель квантовых графов с рёбрами меняющейся длины»

Введение

Актуальность. Развитие нанотехнологий, нано- и микросистемной техники делает чрезвычайно актуальной задачу моделирования соответствующих физических систем. При этом, ввиду сложности объектов, очень привлекательны математические модели, которые относят к классу явнорешаемых. Данный подход подразумевает редукцию описываемой сложной системы к более простой, допускающей аналитическое или частично-аналитическое исследование. Редукция проводится таким образом, что основные физические свойства сохраняются. Поэтому модели такого типа позволяют эффективно проводить как качественный, так и количественный анализ сложных систем. Ярким представителем данного класса моделей является модель квантовых или, в более общем случае, метрических графов.

Квантовый граф - удобная модель, рассматриваемая в физических и математических исследованиях. При своей простоте она обладает достаточной гибкостью и позволяет получить качественные результаты. Квантовые графы различных конфигураций с рёбрами постоянной длины достаточно хорошо изучены. Рассмотрены задачи об их спектральных характеристиках, инвариантах. Рёбра графа могут представлять волноводы, квантовые нити и другие системы, которые можно приближённо рассматривать как одномерные. Соответственно, модель позволяет рассматривать задачи большей размерности как комбинацию одномерных задач на рёбрах, с некоторыми условиями склейки в вершинах.

Во многих случаях параметры моделируемой физической системы меняются со временем. Это требует построения моделей метрических графов с переменными характеристиками, например, с рёбрами переменной длины, зависящими от времени граничными условиями. Такие задачи вызывают огромный интерес, однако, к настоящему моменту имеются лишь несколько самых простых моделей, например, рассмотрены задачи для уравнения Шрёдингера и уравнения Дирака на отрезках переменной длины. Также изучаются задачи, где с течением времени происходит переключение граничных условий, например, между условиями Дирихле и условиями Неймана. С физической точки зрения такие модели могут пригодиться, в частности, при моделиро-

вании квантового эффекта Казимира, спектральных свойств или рассеяния в системах с переменными параметрами.

Степень разработанности темы исследования.

Модели квантовых систем малой размерности - достаточно мощный и популярный инструмент исследования многих физических явлений. Квантовый граф - математическая модель, первоначально предложенная для описания макромолекул. В работе [63] при расчёте диамагнитной анизотропии бензена и других ароматических соединений была предложена модель, в которой электроны взаимодействуют с атомами углерода в вершинах бензольного кольца и свободно движутся на отрезках между ними. Обоснование корректности применения модели было дано Руденбергом и Шером [74]. Авторы показали, что модель свободных электронов для связанных систем, построенная как предел квантовомеханического описания ^-электронов, даёт результаты близкие к результатам в распространённой на тот момент модели на основе линейной комбинации атомных орбиталей. В частности, было продемонстрировано, что электрон в органической молекуле приблизительно описывается своим ограничением только на линии связей атомов в молекуле. В этом приближении, влияние других электронов учитывается как некоторый эффективный потенциал, приводящий к сильной локализации электрона в узкой окрестности линии связи в молекуле, что и позволяет с достаточной точностью использовать одномерную графовую модель, названную авторами моделью сети свободных электронов, как простой и мощный инструмент. Позднее за ней закрепилось название модели квантовых графов с условиями Кирхгофа в вершинах, и она нашла применение во многих задачах квантовой теории. Несмотря на свою простоту, модель является эффективным инструментом для исследования квантовых систем, поскольку позволяет адекватно описывать спектральные свойства гамильтонианов, решения прямых и обратных задач рассеяния.

Строгие математические модели подобного типа появились в 1980-е. Описание квантового, или, в более общем случае, метрического графа включает в себя описание множеств вершин и ребер, задание дифференциального оператора на ребрах, условий согласования во внутренних вершинах и граничных условий во внешних вершинах. Все указанные компоненты модели

выбираются, исходя из свойств конкретной физической системы, подлежащей рассмотрению. В одной из первых работ [1], строго математически описывающей модель типа квантового графа, была проанализирована задача Штурма-Лиувилля на компактных графах, возникающая, например, при расчете электронных колебаний сложной молекулы в рамках модели свободных электронов [2], и задача рассеяния для уравнения Шрёдингера на некомпактных квантовых графах. Доказано, что оператор Шрёдингера, действующий на рёбрах графа, при соответствующих граничных условиях определяет самосопряженное расширение на графе. Также в этой работе доказано, что решения задачи рассеяния представляют собой полный ортонормированный набор собственных функций непрерывного спектра оператора. Математическим аппаратом данного подхода является теория самосопряжённых расширений симметрических операторов [3],[71],[5], связанная с моделью точечных потенциалов в квантовой физике. В монографии [6] детально рассматриваются явнорешаемые модели с шрёдингерским гамильтонианом с конечным или бесконечным числом точечных потенциалов. Формулируется математическая теория, обобщающая результаты широкого круга исследований и численных экспериментов из атомной физики, ядерной физики и физики твёрдого тела. Системно излагаются результаты математических исследований моделей точечного взаимодействия.

В области теории и приложений квантовых графов опубликовано множество работ. Особый интерес вызывает спектральная задача. Широкий тематический обзор проблем и методов теории квантовых графов изложен в монографии [48]. Отметим лишь некоторые работы, близкие к теме настоящей диссертации. Так, в работе [22] рассматривается динамика квантовой частицы на петле с двумя проводами, помещённой в электростатическое поле. Отмечается пригодность полученной модели для производства квантовых транзисторов. В статье [24] рассматривается динамика квантовой частицы на ветвящемся графе, состоящем из трёх лучей, исходящих из одной вершины. Для некоторых гамильтонианов задача обобщается для произвольного числа рёбер. Так же обсуждается задача рассеяния для таких графов. В работе [20] решается задача для оператора Шрёдингера, действующего на бесконечном квантовом графе типа цепочки, образованной из одинаковых колец, в месте

скрепления которых предполагается ^-соединение. У прямой цепочки (графа, периодичного относительно сдвига колец) гамильтониан имеет непрерывный спектр. Показано, что при изгибании цепочки в лакунах (запрещённых зонах) спектра невозмущённого графа появляются дискретные собственные значения. Анализируется их зависимость от константы взаимодействия в местах сцепки колец и угла изгиба, а так же резонансы, возникающие в изогнутой цепочке. Проводятся параллели с моделью квантовых волноводов. В работе [36] сравниваются спектры явнорешаемых моделей цепочки колец и цепочки дисков в перпендикулярном магнитном поле, показано, что при некоторых значениях величины магнитного поля нижняя полоса спектра для системы с кольцами оказывается ниже спектра соответствующей системы с дисками. Спектральные свойства цепочки наноколец в магнитном поле в работе [73] сравниваются для случая непосредственно соединённых колец и случая соединения через квантовые провода.

Квантовый граф в виде цепочки колец с ветвлением рассматривается в статье [69]. С помощью матриц монодромии (трансфер-матриц) получено спектральное уравнение, описан дискретный спектр системы и его зависимость от угла ветвления. Доказано существование связанных состояний. Более сложная система изучена в работе [70], где рассмотрен граф в виде ветвящейся цепочки сот - шестиугольных ячеек - структуры, распространённой в наноматериалах (например, полосы графена). Проведён спектральный анализ модели и определены условия существования дискретного спектра. На примере последних двух работ хорошо видно одно из достоинств модели квантовых графов. Отдельно рассмотрев регион ветвления цепочек, спектральное уравнение для полубесконечных периодических частей можно получить с помощью матриц монодромии. В результате модель получается явнорешаемой, и оказывается возможно проводить изучение аналитически, а не только с помощью численных методов.

В первой части обзора [37] даётся детальное введение в спектральную теорию квантовых графов. Вторая часть посвящена приложениям этой модели в исследованиях квантового хаоса. В качестве примера исследований задач рассеяния на квантовых графах можно привести статью [44], в которой изучаются статистические свойства матриц рассеяния, соответствую-

щих квантовым графам общего вида, и рассмотрены статистические свойства спектров графов с вырожденными длинами рёбер, а также работу [45], где исследуется рассеяние на квантовых графах, соединённых с бесконечными квантовыми проводами, и рассматриваются статистические свойства хаотической динамики, демонстрируемой такими системами. В работе [42] в качестве примера квантовых графов, спектр и собственные функции которых могут быть получены точно, рассматриваются квантовые графы типа звезда. Демонстрируемое ими поведение оказывается промежуточным между характерным для квантовых хаотических систем и явнорешаемых квантовых моделей. Рассматриваются основные результаты, относящиеся к графам типа звезда в контексте общего понимания статистических свойств квантовых систем в полуклассическом пределе. В статье [47] предложена техника аппроксимации псевдодифференциальных спектральных задач с помощью значительно более простых дифференциальных, некоторые из которых имеют аналитические решения. Численно продемонстрировано близкое совпадение спектров этих псевдодифференциальных и дифференциальных задач. Рассмотрены неограниченные периодические квантовые графы с шестиугольными ячейками и с комбинацией восьмиугольных и четырёхугольных ячеек.

Задача строгого обоснования одномерной модели анализировалась несколькими способами. Один подход связан с рассмотрением систем вол-новодного типа, аналогичных по структуре квантовому графу, но имеющих вместо ребер волноводы конечной ширины. Данные системы обычно называют толстыми квантовыми графами (fat quantum graphs). Рассматривается предельный переход при стремлении к нулю ширин волноводов. Математическая трудность связана с тем, что приходится рассматривать сходимость операторов, заданных в разных пространствах. Показана спектральная сходимость (существенного и дискретного спектров) к оператору для соответствующего квантового графа. Данный подход изложен в монографии О.Поста [72], объединившей множество результатов полученных при исследованиях спектральных характеристик графов и многообразий на их основе.

Другой математический подход к обоснованию модели квантовых графов связан с анализом так называемых липких квантовых графов (leaky quantum graphs), то есть потенциалов, сосредоточенных на множествах нулевой меры

(линиях и поверхностях в трехмерном пространстве). Основной вклад в разработку этого подхода внесли группы П.Экснера и Ю.Берндта. В работе [23] рассматривается свободная квантовая частица на изогнутой плоской полосе с граничными условиями Дирихле, такая система может служить моделью движения электронов в тонких плёнках на цилиндрических носителях или в изогнутом квантовом проводе. В последующих работах исследованы операторы с потенциалами на замкнутой [25], [27] и незамкнутой [28] двумерной кривой, на конечной трёхмерной кривой [26], [30]. В работе [31] ^-потенциал задан на неограниченной поверхности, заданной параметрически. Доказано, что при достаточно малых значениях параметра, оператор имеет единственное дискретное собственное число, анализируется его асимптотика. В статье [11] решается задача построения граничных троек для самосопряжённого оператора Шрёдингера с 5-потенциалом постоянной силы на компактной гладкой гиперповерхности. В [13] показано, что такой оператор может быть аппроксимирован в смысле нормы резольвенты семейством гамильтонианов с масштабированными должным образом регулярными потенциалами. В работе [29] рассмотрены спектральные свойства модели липких квантовых проводов с напряжением смещения, которая описывает двумерную квантовую частицу в области действия двух потенциалов: ^-потенциала на частично-гладкой кривой, ограничивающей выпуклую область плоскости, и постоянного потенциала в одной из областей плоскости. Таким образом, в целой серии исследований проведено корректное построение соответствующего гамильтониана на базе теории самосопряженных расширений симметрических операторов, выполнен спектральный анализ модельного оператора, выполнено сравнение с моделью квантового графа. Также проведено сравнение с моделью короткодействующего потенциала, сосредоточенного в окрестности данной линии или поверхности [67].

Задача о зависящих от времени граничных условиях в уравнении Шрё-дингера привлекла большое внимание исследователей в контексте исследования квантового обобщения ускорения Ферми. В работе [40] рассматривается задача о свободной частице в яме, одна из стенок которой зафиксирована, а другая периодически колеблется. Такая модель представляется квантовым обобщением модели ускорения Ферми, предложенной при исследовании кос-

мического излучения [32], решения которой в классическом случае широко изучены. Подробный анализ квантовой задачи произведён в статье [52], где рассмотрены три вида зависимости ширины ямы от времени. Показано, что при периодической зависимости, соответствующей квантовому аналогу модели ускорения Ферми средняя энергия системы сохраняется с течением времени, т.е. колебания стенки не приводят к неограниченному росту энергии. В одной из ранних работ по теме зависящих от времени граничных условий [65] отмечено, что одномерный колодец переменной ширины - наглядный пример квантовой системы, подходящей для проверки пригодности приближенных решений квантовомеханических задач. При этом подходы к решению таких задач могут отличаться. В работе [57] отмечено, что задача об одномерной яме с движущейся стенкой может быть рассмотрена как задача о гармоническом осцилляторе с частотой, зависящей от времени, расположенном в яме с неподвижными стенками. В статье [64] автор подходит к решению аналогичной задачи с геометрической точки зрения на пространство состояний и эволюцию квантовомеханической системы.

Динамика свободной релятивистской частицы в одномерной яме рассмотрена в статье [7]. Автором предложены различные физически мотивированные граничные условия, допускающие нетривиальные решения. Полученные результаты рассмотрены в нерелятивистском пределе. Изучена задача о частице в сферической яме. В последовавшей работе [8] математически строго строится самосопряжённое расширение гамильтониана свободной релятивистской частицы в одномерной яме с периодическими граничными условиями. В статье [55] рассматривается динамика невесомой релятивистской частицы в одномерной потенциальной яме с переменной шириной и в круговом бильярде с переменным радиусом. Для линейной зависимости положения границы от времени аналитически получены собственные значения и функции.

Задача о резонаторе (в частности, например, одномерном) с движущимися стенками близка к задаче о зависящих от времени сингулярных (точечных или сосредоточенных на множестве меры нуль) потенциалах или зависящих от времени граничных условиях. Такие задачи ранее изучались не столь широко как задачи о стационарных метрических графах. Зависящие от вре-

мени точечные потенциалы и соответствующие темы теории самосопряженных расширений симметрических операторов рассмотрены, например, в работе [14], где решается задача Коши для уравнения Шрёдингера с точечным дельта-потенциалом, сила которого зависит от времени. Определены условия существования сильного решения этой задачи. Решение описывается в терминах свободной эволюции и решения интегрального уравнения Вольтерра.

Зависящие от времени 6-взаимодействия в трёхмерном случае рассмотрены в работах [77],[16] в связи с задачей ионизации в условиях периодических возмущений. Эти исследования также выполнены с привлечением аппарата теории самосопряжённых расширений симметрических операторов [6],[3]. Интересно, что в одномерном случае семейство точечных возмущений лапласиана более разнообразно, чем в двумерном и трёхмерном, оно включает в себя как 6 и 6' возмущения, так и их комбинации. Это связано с тем, что для пространств размерностью больше единицы производная функции Грина, играющая роль дефектного элемента при построении точечного потенциала, не принадлежит пространтву Ь2. В этом случае тоже можно ввести точечный потенциал [66], но для этого потребуется от гильбертова пространства перейти к пространству Понтрягина [68] или Крейна [12], что затрудняет построения. Соответствующая одномерная задача рассматривается в работах [17], [38]. В работе [58] полученные результаты применяются к описанию системы с подвижным точечным потенциалом.

Интересная модель, описывающая рассеяние точечной частицы на сферическом препятствии с внутренней структурой предложена в статье [46]. Авторы строят модельный гамильтониан в виде тензорной суммы Н\ 012 +1\ 0 Н2 гамильтонианов Н\,Н2 подсистем. Эта модель не является формально моделью квантовых графов, но близка к ней в том, что модельные дифференциальные операторы одномерны, а операторная техника в модели основана на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. В модели квантовой точки при этом одномерной координатой является сферический радиус. При этом здесь предполагается, что радиус квантовой точки (сферы) динамически меняется во времени. В рамках сформулированных предположений авторам удается построить матрицу рассеяния для данного модельного оператора. Модель достаточно груба с физической точки зрения, но бла-

годаря математической строгости, гарантирующей аналитичность матрицы рассеяния. позволяет описать содержательные физические свойства системы.

Можно отметить и совершенно другой подход к сетям с зависящими от времени условиями на рёбрах, который предложен в работах [10], [9]. Так, в статье [10] на взвешенных рёбрах направленного графа решается линейное уравнение переноса, полученные результаты используются для моделирования воздушных перевозок. Зависящее от времени условие в точке задаётся точечным потенциалом.

Графы с длинами рёбер, меняющимися во времени и зависящие от времени граничные условия для оператора Шрёдингера рассматривались сравнительно мало. В работе [54] рассмотрена модель квантового графа-звезды с рёбрами, длины которых зависят от времени. Первая модель такого типа предлагалась несколько раньше [55]. В работе [41] исследуются граничные условия для отрезков меняющейся длины.

Рассматриваемая модель может быть использована в различных задачах, связанных с нанотехнологиями. Приведем только два примера. Сравнение волновой динамики и динамики, соответствующей уравнению Шрёдингера, интересно для сравнения электронного и оптического подходов к реализации квантовых вычислений.

Модели графов с конфигурацией, зависящей от времени, как одномерная модель резонатора с движущейся стенкой, могут быть применены для описания и моделирования динамического эффекта Казимира. Этот эффект генерации фотонов из вакуума может быть использован для создания чисто случайной последовательности чисел, что очень важно для криптографии. Использование для этого процесса, который по своей квантовой природе является абсолютно случайным, позволит кардинально улучшить построение таких последовательностей. Опишем кратко суть явления.

Рассмотрим две незаряженных проводящих пластины, расположенных в вакууме на расстоянии порядка нескольких нанометров. В классическом случае отсутствие внешнего поля означает, что между пластинами не будет зафиксировано никакого поля и силы. Но если рассматривать вакуум с точки зрения квантовой электродинамики, оказывается, что виртуальные фотоны создают поле и оказывают силовое действие на пластины - притяжение или

отталкивание, в зависимости от специфики расположения пластин. Данный эффект получил название статического эффекта Казимира в честь Хендрика Казимира, предсказавшего его в 1948 году [15]. С развитием приборостроения и нанотехнологий появилась возможность экспериментально измерить возникающую из-за этого эффекта силу. Обзор экспериментов приведён в статье [50], где также отмечено, что эффект Казимира необходимо учитывать при проектировании микроэлектромеханических систем, например, сенсоров, управляющих подушками безопасности в автомобилях. Среди сложностей при экспериментальном изучении эффекта Казимира можно отметить сложность соблюдения параллельности плоскостей (поэтому в экспериментах иногда используются другие конфигурации), невозможность достижения абсолютного нуля температуры, вынуждающая учитывать тепловые флуктуации, и проявляющееся на наномасштабах несовершенство поверхности зеркал. Тем не менее, экспериментальные данные оказываются в согласии с теоретическими моделями, учитывающими эти факторы [35]. Между тем, мнения о том, подтверждает ли эффект Казимира теорию квантовых флук-туаций вакуума, до сих пор разнятся, так в работе [39] предлагается модель, сформулированная без опоры на энергию вакуума, в которой сила Казимира между параллельными пластинами стремится к нулю при стремлении к нулю постоянной тонкой структуры а, как и другие наблюдаемые эффекты квантовой электродинамики, а в пределе а ^ ж, стремится к величине, соответствующей расчётам при стандартном подходе.

Ряд решений уравнений квантовой механики, найденных в 1970-е, позволил предсказать существование явления, впоследствии названного динамическим эффектом Казимира [19]. Этот эффект заключается в генерации частиц и энергии, происходящей при ускоренном движении зеркала. В работе [34] рассмотрена зависимость такого излучения от ускорения, а так же система из двух зеркал, одно из которых зафиксировано, а другое колеблется, предложенная в [56]. В статье [18] получены аналитические решения для одномерной и трехмерной ям с колеблющимися стенками. Показано, что в такой модели генерация наиболее эффективна при параметрическом резонансе, когда частота вибрации стенки совпадает с удвоенной частотой рассматриваемой моды. В 2011 году динамический эффект Казимира был зафиксирован

в эксперименте. В сверхпроводящем микроволновом резонаторе из вакуума были сгенерированы микроволновые фотоны [76].

Одна из задач настоящей диссертации связана с описанием свойств на-носистем в магнитном поле, которые бывают весьма необычны. В работе [4] в рамках квантовой теории было предсказано влияние потенциалов на заряженные частицы даже в отсутствие локального поля и был предложен ряд экспериментов для проверки этих предсказаний. За одной из рассмотренных моделей - кольцом диаметром порядка микрометра, помещённым в перпендикулярное магнитное поле, - в литературе в честь авторов закрепилось название - кольцо Ааронова-Бома. Потенциальное использование этого объекта при создании микроэлектромеханических систем привело к активному изучению данной модели. Так, в статье [51] изучается зависимость собственных чисел оператора Шрёдингера с магнитным потенциалом в подобной системе от особенностей магнитного потенциала. Показано, что на плоской области с граничными условиями Дирихле эта зависимость - непрерывная, а в некоторых случаях и аналитическая, функция. В статье [33] предложена модель хранения экситона в кольце Ааронова-Бома, позволяющая менять и считывать оптическое состояние системы. В работе [53] рассматривается система невзаимодействующих электронов в кольце Ааронова-Бома, пронзаемом переменным магнитным потоком. В статье [21] изучаются токи, текущие в твердотельном интерферометре под действием эффекта Ааронова-Бома и напряжения смещения. Полученные выражения допускают электронные и электронно-бозонные взаимодействия на квантовой точке, размещённой на одном из плеч интерферометра. В статье [75] изучается проводимость кольца Ааронова-Бома, присоединённого к квантовой нити, явнорешаемая модель такой системы построена в работе [49]. Более сложная система подобного типа изучается в статье [43], где получена аналитическая зависимость проводимости системы, состоящей из кольца Ааронова-Бома с рассеивателями и двумя присоединёнными к нему квантовыми проводами, от энергии Ферми электронов, магнитного потока и положений рассеивателей. В работе [59] рассматривается экспериментально измеренная зависимость магнетосопротивления кольца Ааронова-Бома от температуры и напряжения, обсуждается возможность эффектов, вызванных спин-орбитальным взаимодействием.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никифоров, Дмитрий Сергеевич, 2018 год

Список литературы

1. Герасименко Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах [Текст] / Н. И. Герасименко, Б. С. Павлов // Теоретическая и математическая физика. - 1988. - Том 74. - С. 230-240.

2. Павлов Б. С. Модель свободных электронов и задача рассеяния [Текст] / Б. С. Павлов, М. Д. Фаддеев // Теоретическая и математическая физика. - 1983. - Том 55, н. 2. - С. 257-268.

3. Павлов Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели [Текст] / Павлов Б. С. // Успехи математических наук. - 1987. - Том 42, Выпуск 6. -С. 99-131.

4. Aharonov Y. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory [Текст] / Y. Aharonov, D. Bohm // The Physical Review. - 1959. -Vol. 115. - P. 485-491.

5. Albeverio S. Singular perturbations of differential operators. Solvable Schrodinger type operators [Текст] / S. Albeverio, P. Kurasov // London Mathematical Society Lecture Notes 271, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000.

6. Albeverio S. Solvable Models in Quantum Mechanics: Second Edition [Текст] / S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden with an appendix by P. Exner. // AMS Chelsea Publishing. - 2005. - 480 pp.

7. Alonso V. On the boundary conditions for the Dirac equation [Текст] / V. Alonso, S. De Vincenzo, L. Mondinox // European Journal of Physics. -1997. - Vol. 18, No. 5. - P. 315-320.

8. Alonso V. Some remarks about the 'free' Dirac particle in a one-dimensional box [Текст] / V. Alonso, S. De Vincenzo // Journal of Physics A. - 1999. -Vol. 32, No. 28. - P. 5277-5284.

9. Arendt W. Diffusion in networks with time-dependent transmission conditions [Текст] / W. Arendt, D. Dier, M.K. Fijavz // The Applied Mathematics and Optimization. - 2014. - Vol. 69. - P. 315-336.

10. Bayazit F. Asymptotic periodicity of flows in time-depending networks [Текст] / F. Bayazit, B. Dorn, M.K. Fijavz // Networks and Heterogeneous Media. - 2013. - Vol. 8, No. 4. - P. 843-855.

11. Behrndt J. Boundary triples for Schrodinger operators with singular interactions on hypersurfaces [Текст] / J. Behrndt, M. Langer, V. Lotoreichik // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2016. - Vol. 7. - P. 290302.

12. Behrndt J. Sharp eigenvalue estimates for rank one perturbations of nonnegative operators in krein spaces [Текст] / J. Behrndt, L. Leben, F. Martinez-Peria, R. Mows, C. Trunk // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2016. - Vol. 439 - P. 864-895.

13. Behrndt J. Approximation of Schroedinger operators with delta-interactions supported on hypersurfaces [Текст] / J. Behrndt, P. Exner, M. Holzmann, V. Lotoreichik // Mathematische Nachrichten. - 2017. - Vol. 290. P. 1215-1248.

14. Cacciapuoti C. Time dependent delta-prime interactions in dimension one [Текст] / C. Cacciapuoti, A. Mantile, A. Posilicano // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2016. - Vol. 7, No. 2. - P. 303-314.

15. Casimir H. B. G. The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces [Текст] / H. B. G. Casimir, D. Polder // Physical Review. - 1948. -Vol. 73, No.4. - P. 360-372.

16. Correggi M. Ionization for three dimensional time-dependent point interactions [Текст] / M. Correggi, G. Dell'Antonio, R. Figari, A. Mantile // Communications in Mathematical Physics. - 2005. - Vol. 257, iss. 1. - P. 169-192.

17. Dell'Antonio G. F. A limit evolution problem for time-dependent point interactions [Текст] / G.F. Dell'Antonio, R. Figari, A. Teta // Journal of Functional Analysis. - 1996. - Vol. 142, iss. 1. - P. 249-274.

18. Dodonov V. V. Generation and detection of photons in a cavity with a resonantly oscillating boundary [Текст] / V. V. Dodonov, A. B. Klimov // Physical Review A. - 1996. - V. 53, No.4. - P. 2664-2682.

19. Dodonov V. Current status of the dynamical Casimir effect [Текст] / V. Dodonov // Physica Scripta. - 2010. - Vol. 82. - P. 038105/1-10.

20. Duclos P. On the spectrum of a bent chain graph [Текст] / P. Duclos, P. Exner, O. Turek // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. -2008. - Vol. 41. - P. 415206/1-18.

21. Entin-Wohlman O. Effects of external radiation on biased Aharonov-Bohm rings [Текст] / O. Entin-Wohlman, Y. Imry, A. Aharony // Physical Review B. - 2004. - Vol. 70. - P. 075301/1-15.

22. Exner P. Quantum interference on graphs controlled by an external electric field [Текст] / P. Exner, P. Seba, P. Stovicek // Journal of Physics A. - 1988. - Vol. 21, No. 21. - P. 4009-4019.

23. Exner P. Bound states in curved quantum waveguides [Текст] / P. Exner, P. Sebaa // Journal of Mathematical Physics. - 1989. - Vol. 30. - P. 2574-2580.

24. Exner P. Free quantum motion on a branching graph [Текст] / P. Exner, P. Seba P. // Reports on Mathematical Physics. - 1989. - Vol. 28, No. 1. - P. 7-26.

25. Exner P. Asymptotics of eigenvalues of the Schroedinger operator with a strong delta-interaction on a loop [Текст] / P. Exner, K. Yoshitomi // Journal of Geometry and Physics. - 2002. - Vol. 41, iss. 4. - P. 344-358.

26. Exner P. Strong-coupling asymptotic expansion for Schrodinger operators with a singular interaction supported by a curve in R3 [Текст] / P. Exner, S. Kondej // Reviews in Mathematical Physics. - 2004. - Vol. 16, No. 5. -P. 559-582.

27. Exner P. Spectral asymptotics of a strong 5' interaction on a planar loop [Текст] / P. Exner, M. Jex // Journal of Physics A. - 2013. - Vol. 46, No. 34. - P. 345201/1-12.

28. Exner. P. Strong coupling asymptotics for a singular Schrodinger operator with an interaction supported by an open arc [Текст] / P. Exner, K. Pankrashkin // Communications in Partial Differential Equations. 2014. -Vol. 39, No. 2. - P. 193-212.

29. Exner P. On the existence of bound states in asymmetric leaky wires [Текст] / P. Exner, S. Vugalter // Journal of Mathematical Physics. - 2016. - Vol. 57, - P. 022104/1-15.

30. Exner P. Strong coupling asymptotics for Schroedinger operators with an interaction supported by an open arc in three dimensions [Текст] / P. Exner, S. Kondej // Reports on Mathematical Physics. - 2016. - Vol. 77. - P. 1-17.

31. Exner P. Asymptotics of the bound state induced by ^-interaction supported on a weakly deformed plane [Текст] / P. Exner, S. Kondej, V. Lotoreichik // Journal of Mathematical Physics. - 2018. - Vol. 59. - - P. 013051/1-17.

32. Fermi E. On the origin of the cosmic radiation [Текст] / E. Fermi // Physical Review. -1949. - Vol. 75, No. 8. - 1169-1174.

33. Fischer A. M. Exciton Storage in a Nanoscale Aharonov-Bohm Ring with Electric Field Tuning [Текст] / A. M. Fischer, V. L. Campo Jr., M. E. Portnoi, R. A. Romer // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 102. -P. 096405/1-4.

34. Fulling S. A. Radiation from a Moving Mirror in Two Dimensional SpaceTime: Conformal Anomaly [Текст] / S. A. Fulling, P. C. W. Davies // Proceedings of The Royal Society A. - 1976. - Vol. 348, iss. 1654. - P. 393-414.

35. Genet C. Electromagnetic vacuum fluctuations, Casimir and Van der Waals forces [Текст] / C. Genet, F. Intravaia, A. Lambrecht, S. Reynaud // Annales de la Fondation Louis de Broglie. - 2004. - Vol. 29, No.1,2. - P. 311-328.

36. Grishanov E. N. Periodic chain of disks in a magnetic field: bulk states and edge states [Текст] / E. N. Grishanov, D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Yu.

Popov, P. I. Smirnov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. -2015. - Vol. 6, No. 5. - P. 637-643.

37. Gnutzmann S. Quantum graphs: Applications to quantum chaos and universal spectral statistics [Текст] / S. Gnutzmann, U. Smilansky // Advances In Physics. - 2006. - Vol. 55, No. 5,6. - P. 527-625.

38. Hmidi T. Time-dependent delta-interactions for 1d Schrodinger hamiltonians [Текст] / T. Hmidi, A. Mantile, F. Nier // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. - 2009. - Vol. 13, iss. 1. - P. 83-103.

39. Jaffe R. L. Casimir effect and the quantum vacuum [Текст] / R. L. Jaffe // Physical Review D. - 2005. - Vol. 72, No. 2. - P. 021301/1-5.

40. Jose J.V. Study of a quantum Fermi-acceleration model [Текст] / J. V. Jose, R. Gordery R // Physical Review Letters. - 1986. - Vol. 56, No. 4. - P. 290-293.

41. Karpova O. Absorbing boundary conditions for Schrodinger equation in a time-dependent interval [Текст] / O. Karpova, K. Sabirov, D. Otajanov, A. Ruzmetov, A. A. Saidov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2017. - Vol. 8, No. 1. - P. 13-19

42. Keating J.P. Fluctuation statistics for quantum star graphs [Текст] / J.P. Keating // Quantum graphs and their applications. Contemporary Mathematics, 415, P. 191-200 (2006)

43. Kokoreva M. A. Electron transport in a two-terminal Aharonov-Bohm ring with impurities [Текст] / M. A. Kokoreva, V. A. Margulis, M. A. Pyataev // Physica E. - 2011. - Vol. 43, iss. 9. - P. 1610-1634.

44. Kottos T. Quantum graphs: a model for quantum chaos [Текст] / T. Kottos, H. Schanza // Physica E. - 2001. - Vol. 9. - P. 523-530.

45. Kottos T. Quantum graphs: a simple model for chaotic scattering [Текст] / T. Kottos, U. Smilansky // Journal of Physics A. - 2003. - Vol. 36. - P. 3501-3524.

46. Kuperin Y. A. An extensions theory setting for scattering by breathing bag [Текст] / Y. A. Kuperin, K. A. Makarov, B. S. Pavlov // Journal of Mathematical Physics. - 1990. - Vol. 31, No. 1. - P. 199-201.

47. Kuchment P. Differential operators on graphs and photonic crystals [Текст] / P. Kuchment, L. Kunyansky // Advances in Computational Mathematics. - 2002. - Vol. 16. - P. 263-290.

48. Kuchment P. Introduction to Quantum Graphs [Текст] / P. Kuchment, G. Berkolaiko // Mathematical Surveys and Monographs. - 2013. - V. 186. -270 pp.

49. Kurasov P. Aharonov-Bohm ring touching a quantum wire: how to model it and to solve the inverse problem [Текст] / P. Kurasov, M. Enerback // Reports on Mathematical Physics. - 2011. - Vol. 68, No. 3. - P. 271-287.

50. Lambrecht A. The Casimir effect: a force from nothing [Текст] / A. Lambrecht // Physics World. - 2002. - Vol. 15, No. 9. - P. 29-32.

51. Lena C. Eigenvalues variations for Aharonov-Bohm operators [Текст] / C. Lena // Journal of Mathematical Physics. - 2015. - Vol. 56. - P. 011502/1-18.

52. Makowski A. J. Exactly solvable models with time-dependent boundary conditions [Текст] / A. J. Makowski, S.T. Dembinski // Physics Letters A. - 1991. - Vol. 154, No. 5,6. - P. 217-220.

53. Marquardt F. Aharonov-Bohm ring with fluctuating flux [Текст] / F. Marquardt, C. Bruder // Physical Review B. - 2002. - Vol. 65. - P. 125315/117.

54. Matrasulov D.U. Time-dependent quantum graph [Текст] / D. U. Matrasulov, J. R. Yusupov, K. K. Sabirov, Z. A. Sobirov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2015. - Vol. 6, No. 2. - P. 173-181

55. Matrasulov D. U. Time dependent neutrino billiards [Текст] / D. U. Matrasulov, Z. A. Sobirov, S. Ataev, H. Yusupov // Complex Phenomena in Nanoscale Systems. - 2009. - P.215-221.

56. Moore G. Quantum theory of the electromagnetic field in a variable-length one-dimensional cavity [Текст] / G. Moore // Journal of Mathematical Physics. - 1970, - Vol. 11. - P. 2679-2691.

57. Munier A. Schrodinger equation with timedependent boundary conditions [Текст] / A. Munier, J. R. Burgan, M. Feix, E. Fijalkow // Journal of Mathematical Physics. - 1981. - Vol. 22. - P. 1219-1223.

58. Neidhardt H. Linear non-autonomous Cauchy problems and evolution semigroups [Текст] / H. Neidhardt, V.A. Zagrebnov // Advances in Difential Equations. - 2009. - Vol. 14. no 3,4. - P. 289-340.

59. Nichele F. Aharonov-Bohm rings with strong spin-orbit interaction: the role of sample-specific properties [Текст] / F. Nichele, Y. Komijani, S. Hennel, C. Ger, W. Wegscheider, D. Reuter, A. D. Wieck, T. Ihn, K. Ensslin // New Journal of Physics. - 2013. - Vol. 15. - P. 033029/1-15.

60. Nikiforov D. S. Time dependent quantum graph with loop [Text] / D.A. Eremin , E.N. Grishanov, O.G. Kostrov, D.S. Nikiforov, I.Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2017. - Vol. 8. - No. 4. -P. 420-425.

61. Nikiforov D.S. Wave dynamics on time-depending graph with Aharonov-Bohm ring [Text] / D. A. Eremin, E. N. Grishanov, D. S. Nikiforov, I. Y. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2018. - Vol. 9. - No. 4. - P. 457-463.

62. Nikiforov D.S. Classical and quantum wave dynamics on time-dependent geometric graph [Text] / I.Y. Popov, D.S. Nikiforov // Chinese Journal of Physics. - 2018. - Vol. 56. - No. 2. - P. 747-753.

63. Pauling L. The Diamagnetic Anisotropy of Aromatic Molecules [Текст] / L. Pauling // The Journal of Chemical Physics. - 1936. - Vol. 4, No. 10. - P. 673-677.

64. Pereshogin P. Effective Hamiltonian and Berry phase in a quantum mechanical system with time dependent boundary conditions [Текст] / P.

Pereshogin, P. Pronin // Physical Letters A. - 1991. - Vol. 156, N0.1,2. - P. 12-16.

65. Pinder D. N. The contracting square quantum well [Текст] / D. N. Pinder // American Journal of Physics. - 1990. - Vol. 58. - P. 54-58.

66. Popov I. Y. The resonator with narrow slit and the model based on the operator extensions theory [Текст] / I.Y. Popov // Journal of Mathematical Physics. - 1992. - Vol. 33. - P. 3794-3801.

67. Popov I. Y. The operator extension theory, semitransparent surface and short range potential [Текст] / I. Y. Popov // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1995. - V. 118, iss. 3. - P. 555-563.

68. Popov I. Y. Model of point-like window for electromagnetic Helmholtz resonator [Текст] / I.Y. Popov // Journal for Analysis and its Applications.

- 2013. - Vol. 32. - P. 155-162.

69. Popov I.Y. Spectral problem for branching chain quantum graph [Текст] / I. Y. Popov, P. I. Smirnov // Physics Letters A. - 2013. - Vol. 377, No. 6. -P. 439-442.

70. Popov I.Y. On the existence of point spectrum for branching strips quantum graph [Текст] / I. Y. Popov, A. N. Skorynina, I. V. Blinova // Journal of Mathematical Physics. - 2014. - Vol. 55. - P. 033504/1-19.

71. Popov I. Y. A distinguished mathematical physicist Boris S. Pavlov [Текст] / I. Y. Popov, P. A. Kurasov, S. N. Naboko, A. A. Kiselev, A. E. Ryzhkov, A. M. Yafyasov, G. P. Miroshnichenko, Y. E. Karpeshina, V. I. Kruglov, T. F. Pankratova, A. I. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics.

- 2016. - Vol. 7, No. 5. - P. 782-788.

72. Post O. Spectral Analysis on Graph-like Spaces [Текст] / O. Post // Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 2012. - 410 pp.

73. Pyataev M. A. Spectral and transport properties of one-dimensional nanoring superlattice [Текст] / M. A. Pyataev, M. A. Kokoreva // International Journal of Modern Physics B. - 2013. - Vol. 27, No. 20 - P. 1350103.

74. Ruedenberg K. Free-electron network model for conjugated system. I. Theory [Текст] / K. Ruedenberg, C. W. Scherr // The Journal of Chemical Physics.

- 1953. - Vol. 21. - P. 1565—1581

75. Shelykh I. A. Conductance of a gated Aharonov-Bohm ring touching a quantum wire [Текст] / I. A. Shelykh, N. G. Galkin, N. T. Bagraev // Physical Review B. - 2006. - Vol. 74. - P. 165331/1-8.

76. Wilson C. M. Observation of the dynamical casimir effect in a superconducting circuit [Текст] / C.M. Wilson, G. Johansson, A. Pourkabirian, M. Simoen, J.R. Johansson, T. Duty, F. Nori, P. Delsing // Nature. - 2011. - V. 479. - P. 376-379.

77. Yafaev D. R. Scattering theory for time-dependent zero-range potentials [Текст] / D. R. Yafaev // Annales de l'IHP Physique theorique. - 1984.

- Vol. 40. - P. 343-359.

Список рисунков

1 Граф-звезда Г. 1\, 12,13 - длины рёбер графа............19

2 Модули | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: t = 0, Ь = 0.2Т, £ = 0.4Т, где период колебания длины Т = 2-к........26

3 Модули | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: I = 0.6Т,

£ = 0.8Т, £ = Т, где период колебания длины Т = 2^.......26

4 Максимум модуля разности функций при увеличении числа членов разложения ряда на А Ытах = 10 (безразмерные единицы)..................................28

5 Модули | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: = 0, = 0.2Т, Ь = 0.4Т, где период колебания длины Т = 2^........29

6 Модули | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: I = 0.6Т,

£ = 0.8Т, £ = Т, где период колебания длины Т = 2^.......30

7 Модули | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: = 0, = Т/6, г = 2Т/6, где Т = 2тт......................34

8 Модули | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: I = Т/2,

г = 4Т/6, г = 5Т/6, где Т = 2тт....................35

9 Максимум модуля разности функций при увеличении числа членов разложения ряда на А Ытах = 10 (безразмерные единицы).................................. 35

10 Зависимость Ып от частоты колебаний ш для первого собственного числа к\ = 0.71117. Вертикальные линии соответствуют кратным к1...............................38

11 Зависимость Ып от частоты колебаний ш для второго собственного числа к2 = 1.0769. Вертикальные линии соответствуют кратным к1...............................39

12 Модули компонент | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз:

£ = 0, £1.04 =, £ = 2.08. Период колебания длины Т = 2к.....45

13 Компоненты | на рёбрах графа (безразмерные единицы). Слева направо: первое, второе, третье ребро. Сверху вниз: £ = 3.12, £ = 4.16, £ = 5.2. Период колебания длины Т = 2к.....45

14 Граф с петлёй Г. 1, 2кг - длины рёбер...............47

15 Слева модуль компоненты на петле |ФГ |, справа - на отрезке

(безразмерные единицы). Сверху вниз: £ = 0, £ = Т/6, £ = 2Т/6, где период колебания длины Т = 2к...........51

16 Слева модуль компоненты на петле |ФГ |, справа - на отрезке

(безразмерные единицы). Сверху вниз: £ = 3Т/6, £ = 4Т/6, £ = 5Т/6, где период колебания длины Т = 2к...........52

17 Максимум модуля разности функций при увеличении числа членов разложения ряда на АЫтах = 10 (безразмерные единицы).................................. 53

18 Слева модуль компоненты на петле |ФГ |, справа - на отрезке

(безразмерные единицы).Сверху вниз: £ = 0, £ = 0.2Т, £ = 0.4Т, период колебаний длины Т = 2к.............55

19 Слева модуль компоненты на петле |ФГ |, справа - на отрезке

(безразмерные единицы).Сверху вниз: £ = 0.6Т, £ = 0.8Т, £ = Т, период колебаний длины Т = 2к...............56

20 Максимум модуля разности функций при увеличении числа членов разложения ряда на АЫтах = 5 (безразмерные единицы). 56

21 Слева модуль компоненты на петле |Ф1г |, справа - на отрезке

(безразмерные единицы). Сверху вниз: £ = 0, £ = 1.24, £ = 2.49, период колебаний длины Т = 2к.............61

22 Слева модуль компоненты на петле |Ф1г |, справа - на отрезке |Ф11| (безразмерные единицы). Сверху вниз: £ = 3.74, £ = 4.99,

£ = 6.28, период колебаний длины Т = 2к.............61

23 Модуль волновой функции в начальный момент времени £ = 0. Слева - на кольце, справа - на отрезке (безразмерные единицы). 66

24 Модуль волновой функции в момент времени £ = 0.2Т, Т = 2^ (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: В = 0, В = 1, В = 5, В = 10........67

25 Модуль волновой функции в момент времени £ = 0.4Т, Т = 2^ (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: В = 0, В = 1, В = 5, В = 10........67

26 Модуль волновой функции в момент времени £ = 0.6Т, Т = 2^ (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: В = 0, В = 1, В = 5, В = 10........68

27 Модуль волновой функции в момент времени £ = 0.8Т, Т = 2^ (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: В = 0, В = 1, В = 5, В = 10........68

28 Модуль волновой функции в момент времени £ = Т = 2-к (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: В = 0, В = 1, В = 5, В = 10.............69

29 Модуль волновой функции при В = 5 (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: = 0,

г = 0.2Т, г = 0.4Т, Т = 2тт......................69

30 Модуль волновой функции при В = 5 (безразмерные единицы). Слева - на кольце, справа - на отрезке; Сверху вниз: £ = 0.6Т,

г = 0.8Т, г = Т,т = 2п........................70

31 Максимум модуля разности функций при увеличении числа членов разложения ряда на А Ытах = 5...............71