Модель фазовых экранов и ее применение в задачах распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Тамаров, Михаил Павлович

• Тамаров, Михаил Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тамаров, Михаил Павлович

Содержание

Введение

§1 Модели атмосферной турбулентности

§2 Аналитические методы исследования

§3 Метод статистических испытаний

Глава 1 Метод фазовых экранов

§4 Фазовый экран и модель фазовых экранов

§5 Спектральный и модальный методы генерации фазовых экранов

§6 Метод субгармоник

Глава 2 Трехмерная модель случайно-неоднородной среды с широким спектром пространственных масштабов

§7 Корреляционный анализ фазы на экране в методе субгармоник

§8 Продольная корреляция в модели фазовых экранов

§9 Генерация взаимно коррелированных фазовых экранов методом скользящего суммирования

§10 Дисперсия фазы в цепочке фазовых экранов

Глава 3 Пространственная статистика светового поля

§11 Параметры задачи и расчетной модели

§12 Реализации светового поля

§13 Пространственная когерентность поля

13.1 Функция когерентности

13.2 Радиус когерентности

§14 Дисперсия флуктуации интенсивности

§15 Влияние продольной корреляции фазовых экранов на дисперсию флуктуаций интенсивности

§16 Корреляция флуктуаций интенсивности

Глава 4 Перенос изображений

§17 Блуждание и уширение когерентного лазерного пучка

§18 Влияние продольной корреляции фазовых экранов на перенос изображения

когерентного источника

§19 Протяженный некогерентный объект

Глава 5 Зарождение и блуждание филаментов при распространении мощного лазерного излучения в турбулентной атмосфере

§20 О фнламентации субпикосекундного импульса в воздухе

§21 Постановка задачи. Физическая и численная модели

§22 Влияние турбулентности на зарождение филамента

§23 Длина нелинейной самофокусировки в турбулентной атмосфере

§24 Блуждание нелинейного фокуса в поперечном сечении пучка

§25 Траектория движущегося фокуса

§26 Формирование пучка филаментов при распространении терраватного фемтосекундного импульса в турбулентной атмосфере

Выводы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель фазовых экранов и ее применение в задачах распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере»

Введение

Распространение лазерного излучения в атмосфере сопровождается большим спектром явлений линейного и нелинейного взаимодействия, вызывающих искажения характеристик излучения в плоскости приема. Турбулентные флуктуации показателя преломления приводят к случайным блужданиям и уширению пучка, ухудшают пространственную когерентность светового поля. Нелинейные эффекты, связанные с поглощением, рефракцией, оптическим пробоем, ограничивают предельную мощность лазерного излучения, передаваемого на атмосферной трассе. Эффекты нелинейного рассеяния - температурного (ВТР), Мандельштамма -Бриллюэна (ВРМБ), рассеяния на частицах аэрозоля увеличивают угловую расходимость лазерных пучков. При этом ни одно из этих явлений не проявляется в отдельности.

Несмотря на то, что турбулентные пульсации показателя преломления очень малы, их влияние оказывается существенным для протяженных атмосферных трасс. При этом лазерный пучок проходит через большое число неоднородностей, и, следовательно, становятся существенными эффекты многократного рассеяния. Небольшие отклонения показателя преломления первоначально вызывают случайные искажения фазы оптической волны, которые в свою очередь приводят к флуктуациям интенсивности, случайному перераспределению энергии в оптических пучках, флуктуациям угла прихода и к ухудшению его пространственной когерентности. Флуктуации светового поля, вызванные турбулентностью, существенно влияют на развитие нелинейных эффектов рефракции, рассеяния, оптического пробоя и других. Совместное воздействие нелинейных эффектов и турбулентности может приводить, при определенных условиях, к взаимному ослаблению проявления этих факторов. Вместе с тем при сильной нелинейности турбулентность стимулирует развитие пространственно - временной неустойчивости светового поля, вызывает сильные искажения распределения плотности мощности в плоскости приема.

В последнее время с созданием мощных субпикосекундных лазеров начались интенсивные исследования филаментации сверхкоротких импульсов в воздухе и других газообразных средах. В этих экспериментах самовоздействие лазерного излучения развивается в условиях, ранее не достижимых в оптике атмосферы.

Исследование зарождения и развития филаментов, их блуждания в условиях турбулентности является одной из актуальных задач современной оптики турбулентной атмосферы.

Исследованию явлений, существенно ограничивающих эффективность лазерных систем при распространении оптического излучения в турбулентной атмосфере, уделяется значительное внимание в связи с широким применением лазеров в оптических системах связи, передачи информации и энергии, локации, сверхточного измерения расстояний, навигации, геодезии, лазерного зондирования атмосферы, многих специальных системах, предназначенных для работы в земной атмосфере.

Изучение статистики лазерного излучения в случайно-неоднородных средах относится к одной из наиболее сложных проблем современной оптики и лазерной физики. Это связано с тем, что уравнения, описывающие эти процессы, являются стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных, которые содержат в качестве коэффициентов случайные функции, отражающие флуктуации оптических параметров. Строгие методы решения таких уравнений неизвестны. Общепринятыми в настоящее время являются приближенные методы, использующие разложения по малым параметрам, характерным для конкретных задач [1].

Сложность получения аналитических решений для статистических величин световых полей в турбулентной атмосфере стимулировала развитие численных методов. В последние годы в теоретических исследованиях распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере интенсивно развивается метод статистических испытаний, или иначе, метод Монте Карло (ММК). Этот метод имеет неоспоримые преимущества перед аналитическими, в которых обычно используются те или иные приближения. ММК свободен, в принципе, от каких либо ограничений и позволяет воспроизвести практически любые условия распространения излучения и определять различные статистические характеристики светового поля на основе единого подхода. Возможности его применения ограничиваются лишь ресурсами компьютера.

Диссертационная работа посвящена исследованию статистических характеристик лазерного излучения в турбулентной атмосфере. Исследования

проводятся методом статистических испытаний на основе модели фазовых экранов. Значительное внимание уделено вопросам, где обсуждаются методы генерации фазовых экранов, адекватно воспроизводящих флуктуации показателя преломления в атмосфере. Излагается оригинальная трехмерная модель атмосферной турбулентности, отражающая продольную корреляцию флуктуаций среды вдоль трассы распространения излучения. Рассматривается проблема переноса изображений когерентных и не когерентных источников в случайно-неоднородной среде. Отдельная глава посвящена вопросам влияния атмосферной турбулентности на зарождение и блуждание филаментов при распространении мощного лазерного излучения в воздухе. Проводится сравнение результатов статистических испытаний, полученных в работе, с аналитическими расчетами и экспериментальными данными.

Основные цели работы:

I. Развитие модели фазовых экранов для адекватного моделирования трехмерных флуктуаций фазы оптического излучения в случайно-неоднородных средах. Это включает:

1. Анализ метода субгармоник генерации фазового экрана с широким диапазоном пространственных масштабов при имитации атмосферной турбулентности.

2. Разработка компьютерной модели трехмерного поля флуктуаций фазы излучения в случайно-неоднородной среде на основе цепочки взаимно-коррелированных фазовых экранов.

II. Изучение закономерностей изменения пространственной статистики лазерного излучения и переноса изображения некогерентного объекта в турбулентной атмосфере. Это включает:

1. Исследование пространственной когерентности и корреляции флуктуаций интенсивности светового поля лазерного пучка для широкой области параметров и условий распространения, недоступных аналитическим методам.

2. Анализ влияния крупномасштабных флуктуаций показателя преломления на дисперсию смещений центра тяжести пучка и его турбулентное уширение.

3. Разработка критерия качества и алгоритма восстановления изображения протяженного некогерентного объекта, наблюдаемого через толщу турбулентной атмосферы.

III. Анализ зарождения и блуждания нелинейного фокуса при распространении мощного субпикосекундного лазерного импульса в турбулентной атмосфере.

§1 Модели атмосферной турбулентности

Вследствие турбулентного перемешивания слоев атмосферного воздуха, имеющих разную температуру, возникают микронеоднородности температурного поля. Они являются основной причиной пространственно-временной изменчивости диэлектрической проницаемости е(г,/), где г = {х,-радиус-вектор трехмерного пространства, г - время. Среднее значение диэлектрической проницаемости с точностью до 10"4 равно единице [2]. Поэтому

е(г,г)=1 + б,(г,0 (В.1)

Амплитуда пульсаций поля е, имеет порядок ~10"5 -И(Г6. Здесь и в

дальнейшем скобки ( } означают статистическое усреднение по ансамблю. Между

флуктуациями диэлектрической проницаемости и показателя преломления п = л/ё существует очевидное соотношение:

л, = (1/2)е, (В.2)

Основываясь на предположении о локальной изотропности и однородности поля показателя преломления, Колмогоров и Обухов [3] установили, что внутри, так называемого, инерционного интервала турбулентности, структурная функция показателя преломления, определяемая как:

0„(г) = ([п(г1+г)-п(г1)]2), (В.З)

описывается универсальной зависимостью вида [3, 2]:

Оя(г)=Св2г^, (В .4)

где С2п - структурная постоянная показателя преломления, зависящая от метеоусловий и высоты над поверхностью Земли. Ее размерность [с*] = см"2/3. Величина С2 <10~1бсм"2/3 для слабой, С; ~ 1(Г15 см"2/3 для умеренной и С] > 10"14

2/3

см" для сильной турбулентности в приземном слое атмосферы [1].

В инерционном интервале значение модуля радиуса вектора г лежит между внутренним масштабом турбулентности /0 и внешним масштабом Ь0. Внутренний масштаб /0 соответствует такому размеру вихря, начиная с которого вследствие

вязкости становится существенной диссипация энергии в вихре. Внешний масштаб ¿о соответствует наибольшему из размеров, до которого вихри можно считать изотропными. Обычно, /0 равно нескольким миллиметрам, а ¿0 для приземных трасс - нескольким десяткам метров.

Структурной функции (В.4) соответствует трехмерный пространственный спектр флуктуаций показателя преломления, со степенной зависимостью от волнового числа к:

Фл(к) = О.ОЗЗС>"||/3, к, «к«к^,

2я 2я

к,=—. кг. = —- (В.5)

'о о

где к,, кь - границы пространственного спектрального интервала, соответствующие инерционному интервалу турбулентности.

«Закон 2/3» Колмогорова-Обухова внутри инерционного интервала дает хорошее согласие с экспериментом. Вне его он не описывает атмосферную турбулентность. При г > Ь0 вихри перестают быть изотропными, а при г < /0 диссипация энергии вихря становится значительной.

Другие модели атмосферной турбулентности отражают ход структурной функции вне инерционного интервала. Внутри же этого интервала они совпадают с моделью Колмогорова-Обухова.

В модели Татарского расширяется описание поля показателя преломления на диссипативный интервал г < 10, то есть на интервал мелкомасштабных флуктуаций к > к,. Структурная функция в этой модели имеет вид [2]:

[СгХ"г2, г<10 Д,(г)= • (В.6)

[СМ3, г>10

На границе диссипативного и инерционного интервалов значение структурной функции Татарского и Колмогорова-Обухова совпадают, а в диссипативном интервале значение структурной функции Татарского меньше, чем в модели

Колмогорова-Обухова. Пространственная спектральная плотность в модели Татарского приобретает экспоненциальный множитель:

Ф„(к) = О.ОЗЗС;к-"/3 ехр(- к:/к„,), (В.7)

где к„, = 5.92//0.

В области г > Ь0 для описания поля показателя преломления л, (г) предложена модель фон Кармана [1]:

Ф„(к) = О.ОЗЗС2(к2+к2Г11/6. (В.8)

В отличие от модели Колмогорова-Обухова спектр фон Кармана имеет конечное значение при к = 0. Структурная функция фон Кармана, соответствующая спектру (В.8), имеет вид:

Д,(г) = 20„2

2 2/3

(В.9)

Г(1/3)

где сг; - дисперсия флуктуаций показателя преломления в модели фон Кармана:

а2 =0.154 -С2„-1^, (В.10)

Кцз(г • к^) - функция Макдональда порядка 1/3.

Моделью, объединяющей поправки на поле показателя преломления в областях крупномасштабных к ~ и мелкомасштабных к«к„ флуктуаций, является модифицированная модель фон Кармана. В модифицированной модели спектр флуктуаций дается выражением [1]:

Фя (к) = 0.033 • С2(к2 + к2 У146 ехр(- к2/к2). (В.11)

Значения спектра (В.11) совпадают при к < к^ со спектром фон Кармана (В.8), а при к > к„, со спектром Татарского (В.7). Дисперсия флуктуаций показателя преломления в модифицированной модели фон Кармана имеет вид:

а2 = ^■ 0.033• С2. ¿Г ■ • (В.12)

где Ч'С—, — вырожденная гипергеометрическая функция. 2 3 к;

Для более точного согласия экспериментальных данных с расчетными в работе [4] был предложен спектр с "бампом", уточняющий частотную зависимость вблизи верхней границы инерционного интервала:

Ф„(к) = 0,033С;

1 +1,802

-0,254

г \7/6 к

ехр

+ к:

\11/б

(В.13)

где ка = 3,3/10 .

Хотя все приведенные модели и описывают поле показателя преломления внутри и вне инерционного интервала, только модель Колмогорова-Обухова имеет обоснованную физическую теорию. Поэтому другие модели спектра следует использовать только для оценки влияния параметров 10 и Ь0 на статистические характеристики флуктуации поля световых волн. Если же статистические характеристики сильно зависят от внутреннего /0 или внешнего Ь0 масштабов турбулентности, то изучение распространения волн требует более точной информации о флуктуациях атмосферы по сравнению с существующей [5].

Закономерности изменения во времени флуктуаций показателя преломления в турбулентной атмосфере основываются на гипотезе «замороженной» турбулентности. Согласно этой гипотезе поле флуктуаций показателя преломления переносится с постоянной скоростью v без изменения внутренней структуры:

и,(г,г + т) = и,(г-ут,г) (В. 14)

Пространственно-временная корреляционная функция показателя преломления:

Я»М = (Л1(Г1 +г>' + тКМ) (В. 15)

может быть выражена через частотный спектр:

В„{0,т) = 2|Ло ^,(сй)со5(шт).

(В. 16)

Трехмерный пространственный спектр флуктуаций показателя преломления в свою очередь выражается через временной в виде:

к

Ф

П

(В.17)

Следует отметить, что гипотеза «замороженной» турбулентности становится неприменимой, когда флуктуации скорости ветра оказываются сравнимыми с поперечной к трассе распространения компонентой средней скорости.

§2 Аналитические методы исследования

При переходе от уравнений Максвелла в непроводящей среде, без сторонних зарядов, с магнитной проницаемостью, равной единице, к скалярному волновому уравнению используется квазистационарное приближение и не учитывается деполяризация поля рассеянной волны [2, 6].

В квазиоптическом приближении уравнение для комплексной амплитуды Ё(г) светового излучения в турбулентной атмосфере, распространяющегося в направлении оси г, записывается в виде:

где Ах =—2"Н--г - оператор Лапласа в поперечной плоскости к направлению

дх ду

распространения г. При записи уравнения (В. 18) предполагают плавность неоднородностей среды на масштабе длины оптической волны:

где /Е - характерный масштаб неоднородностей в атмосфере [2]. Также предполагается выполнение условий применимости условий Френелевой дифракции:

Ш0 ~Ё(г) = А±Ё{г )+*028, (г)Ё(г),

(В.18)

д2 д2

к0-К »Ь

(В.19)

С » х\

(В. 20)

и малости энергии обратного рассеяния:

2*о

я:|фе(кМк«1,

(В.21)

где Фе(к) - спектр флуктуаций диэлектрической проницаемости. Для оптического излучения в атмосфере условия (В.19)-(В.21) справедливы.

Уравнение (В. 18) является линейным стохастическим дифференциальным уравнением в частных производных, содержащим в качестве коэффициента при искомой функции случайное поле е,(г). Строгие методы решения такого уравнения неизвестны. Общепринятыми в настоящее время являются приближенные методы, использующие разложения по малым параметрам.

Наиболее общим приближенным методом решения уравнения (В. 18) является метод плавных возмущений (МПВ) или метод С.М. Рытова [7]. В МПВ решение уравнения (В. 18) записывается в виде [8]:

£( г) = ехр[У(г)],

(В.22)

где У(г) = 1п + 50(г)) - комплексная фаза. Здесь А(г) и А0(г), 5(г) и

Л>(г)

50(г) - амплитуда и фаза волны в случайно - неоднородной и однородной средах. Комплексную фазу Ч'(г) представляют в виде разложения по степеням малого

параметра V =

1/2

т=О

Тогда решение уравнения для имеет вид : Для последующих членов ряда имеет место:

ехр

^О(Р-Р')2

2(2-г')

,(г',р'). (В.23)

'-«•■»-¿Ь^'р

4лг-г

.,Д0(г',р') £0(г,р)

ехр

^о(Р-Р')2

2(г-г')

^„.,(г',р'))2,(В.24)

где £0(г,р) = ехр^о) - решение уравнения (В.18) в случае в, =0. Анализ (В.24) показывает [7, 8], что МПВ применим, когда величина дисперсии флуктуаций логарифма амплитуды ст^ « 1. Однако, эксперименты и теоретические оценки [2]

показывают, что расчет флуктуаций фазы 5, (г) в первом приближении МПВ

приводит к правильным результатам для сферических и плоских волн, в том числе в условиях, когда рассчитать флуктуации логарифма амплитуды не удается.

Существенный прогресс в решении проблемы сильных флуктуации интенсивности был достигнут на пути получения уравнений для статистических средних моментов комплексной амплитуды поля. Такие уравнения выведены Л.А. Черновым, В.И. Шишовым, В.И. Татарским и В.И. Кляцкиным. Этот метод получил название метода статистических моментов поля (МСМП) [7].

С помощью уравнения для второго момента была исследована когерентность поля. Однако в МСМП не удается получить аналитические решения для четвертого момента поля, необходимого для вычисления функции пространственной корреляции флуктуаций интенсивности. Методика численного решения уравнений для статистических моментов поля развита в [9].

В настоящее время широко используется приближения метода Гюйгенса -Кирхгофа (ПМГК). Решение параболического уравнения (В.18) записывается в виде:

£(г,р) = ^2р'£(г0,р')С(г,г0;р,р') , (В.25)

где функция Грина О(г,г0;р,р') имеет вид:

2то(г-г0)

^о(Р-Р')2 +<|>(г,го;р,р')

2(г-г0)

(В .26)

Формула (В.26) дает точное решение, если известно выражение для случайного поля комплексной фазы Ч^г.^р.р') [1]- Такое представление поля (В.25) позволяет получить интегральные выражения для функций когерентности Г2(г,р,,р2) и Г4(г,р1,р2,рз,р4) • Приближенное решение на основе (В.26) строится в предположении, что случайная комплексная фаза находится в первом приближении МПВ СРиТ,) при условии, что имеет место нормальный закон распределения величины .

Последнее предположение подтверждается экспериментально [10]. Однако в области фокусировок, где относительная дисперсия флуктуаций интенсивности максимальна, наблюдается значительное отклонение от нормального распределения.

При расчетах флуктуаций интенсивности лазерных пучков в [11] предложено фазовое приближение метода Гюйгенса - Кирхгофа (ФПМГК). Согласно ФПМГК в формуле (В.26) производится приближенная замена:

Ф(г,г0;р,р')*«5Чг,г0;р,р'), (В.27)

и флуктуации фазы находятся в первом приближении геометрической оптики:

I г-г0 г-г0;

Как показано [12], это приближение соответствует замене континуального интегрирования для комплексной амплитуды поля интегрированием по прямой «лучевой» линии: 1{г) = р[(г' - г0) /(г - г0)]+ р'[(г - г')/(г - г0)].

Приближенная замена (В.27) дала возможность устранить неограниченный рост относительной дисперсии флуктуаций интенсивности лазерного пучка при увеличении структурной характеристики СЕ2 или длины трассы Ь.

Следующим шагом в развитии метода фазового приближения была идея разложения функции Грина (В.26) по системе плоских волн и использованием для каждой плоской волны фазового приближения. Построенное таким образом решение дает равномерную аппроксимацию решения стохастического волнового уравнения при произвольных дифракционных параметрах пучка и турбулентных условий распространения в атмосфере. Еще одним важным преимуществом данного подхода является то, что результаты вычислений записываются в виде «дифракционных» интегралов, пригодных для дальнейшего анализа численными методами.

Используя аппроксимацию решения уравнения для четвертого момента поля в виде интеграла ФПМГК, в [13] были выполнены численные расчеты дисперсии и коэффициента пространственной корреляции флуктуаций интенсивности сфокусированного и узкого коллимированного пучков. Была рассчитана дисперсия флуктуаций интенсивности и установлено изменение масштабов и функционального вида коэффициента пространственной корреляции для коллимированного и сфокусированного пучков при последовательном переходе от области слабых флуктуаций к области фокуса и далее к режиму насыщения дисперсии. Ошибки в определении дисперсии флуктуаций интенсивности р, в рамках метода ФПМГК для

плоских волн колеблется от 10% до 20% [8]. Для ограниченных пучков эти оценки больше.

С помощью ФПМГК исследованы спектры временных флуктуаций интенсивности коллимированных и сфокусированных лазерных пучков при произвольной интенсивности турбулентности на трассе.

Этим методом рассмотрено влияние внутреннего масштаба атмосферной турбулентности на величину дисперсии флуктуаций интенсивности. Из анализа следует [8], что при одинаковой силе турбулентности на трассе увеличение внутреннего масштаба приводит к росту относительной дисперсии сильных флуктуаций интенсивности.

Расчеты в ФПМГК показывают, что при сильной турбулентности на трассе радиус когерентности коллимированного пучка может превосходить значения для сферической волны, а радиус когерентности сфокусированного пучка может быть меньше, чем радиус когерентности плоской волны. До появления таких расчетов считалось, что для коллимированного пучка радиусы когерентности плоской и сферической волн являются соответственно нижним и верхним пределами.

Методом ФПМГК было установлено влияние внешнего масштаба атмосферной турбулентности на величину дисперсии смещений лазерного пучка и доказана необходимость совместного учета уширения пучков и внешнего масштаба турбулентности для прогнозирования результатов измерений случайной рефракции лазерного пучка на протяженных приземных трассах.

За количественную меру силы флуктуаций светового поля принимается нормированная дисперсия флуктуаций интенсивности или, иначе, индекс мерцаний

Рг:

(В.29)

Область слабых флуктуаций определяется условием:

(В.ЗО)

Удобно «силу турбулентности» или иначе, проявление флуктуации показателя преломления на оптическое излучение, характеризовать параметром р^, который равен индексу мерцаний плоской волны, вычисленному в первом приближении МПВ для Колмогоровской модели турбулентности (В.5) [7]:

Ро =1,23СХ7АУ'/6, (В.31)

где С'п - структурная постоянная показателя преломления, к0 - волновое число, г- -длина трассы распространения. При р„ < 1 турбулентность на трассе, заданной длины, считается слабой. Условие 1<рц<10 определяет область сильных флуктуаций, где > 1 область сильных фокусировок, а неравенство Ро > 10 определяет область насыщения флуктуаций интенсивности.

Часто для оценки силы турбулентности на трассе используется значение структурной функции флуктуаций фазы сферической волны на диаметре передающей апертуры О5(2й0), полученное в первом приближении МПВ для Колмогоровской модели турбулентности:

О,(2Й0) = 1,1С>02г(2Й0)5/3. (В.32)

Область применения ФПМГК для пучков определяется следующим [14]: для сфокусированных

- при слабой турбулентности Р„ < 1, условием П »1, то есть на трассах длиной г, меньше дифракционной;

- в области насыщения турбулентности Р^ »1, условием на длину трасс О » Р^5 для коллимированных, условием С1 >> 1,

где = - число Френеля, а0 - начальный радиус пучка, г

§3 Метод статистических испытаний

Аналитические решения для статистических характеристик световых полей в турбулентной атмосфере имеют как правило асимптотический вид и справедливы при выполнении определенных соотношений между параметрами турбулентности и излучения. При этом не удается найти аналитические решения для различных

статистических характеристик излучения в рамках одних и тех же приближений. Поэтому в последние годы в теоретических исследованиях распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере интенсивно развивается метод статистических испытаний - метод Монте Карло (ММК). Этот метод имеет неоспоримые преимущества перед аналитическими, в которых обычно используются те или иные приближения [15]. ММК свободен, в принципе, от каких либо ограничений и на основе модели фазовых экранов позволяет воспроизвести практически любые условия распространения излучения и определять различные статистические характеристики светового поля на основе единого подхода. Возможности его применения ограничиваются лишь ресурсами компьютера. ММК -это способ построения случайной величины, статистические характеристики которой являются искомыми.

В оптике случайно - неоднородных сред сложились два подхода в развитии метода Монте Карло, - один из них корпускулярный, другой - волновой [16,17] (Рис.В.1). В корпускулярном распространение излучения (Рис.В. 1а) в среде рассматривается как стохастический процесс рассеяния фотонов на ее частицах [18]. По ансамблю из нескольких тысяч рассчитанных траекторий фотонов определяется угловое распределение и поляризация рассеянного излучения, видимость объекта [19], передача изображения [20]. Корпускулярный метод широко применяется при исследовании распространения излучения в дисперсных средах, например, биоткани [21].

В волновом подходе используется модель фазовых экранов для имитации влияния флуктуаций диэлектрической проницаемости в турбулентной атмосфере на световое поле (Рис.ВЛб). Распространение лазерного излучения рассматривается как процесс последовательного рассеяния световой волны на цепочке экранов. Численное решение задачи рассеяния на цепочке экранов дает реализацию светового поля, что эквивалентно мгновенной регистрации его в плоскости приема. Многократным повторением численного эксперимента на различных цепочках экранов формируется ансамбль реализаций светового поля. Искомые статистические характеристики лазерного пучка в атмосфере вычисляются усреднением по ансамблю полученных реализаций.

8 = 1.....в

¡-1/2

"5-1/2

"5+1

Рис.В.1

Метод Монте Карло в случайно - неоднородных средах, а) корпускулярный подход, б) волновой подход на основе модели фазовых экранов.

Термин реализация в данном случае относится к конкретной выборочной функции случайного поля. Так, реализацией случайного поля показателя преломления я, (г) в турбулентной атмосфере является цепочка случайных фазовых экранов на трассе. Реализация случайного поля фазы на фазовом экране ¿(р) формируется по некоторому алгоритму (Глава 1), из последовательности псевдослучайных чисел в соответствии с какой-либо моделью атмосферной турбулентности. Реализация светового поля пучка Е' (г) является результатом численного решения задачи о распространении пучка через цепочку фазовых экранов.

По выборке реализаций поля Ё'(г) (г = 1 ,...,М) проводится статистический анализ светового поля. Согласно теории статистического моделирования [22] состоятельной оценкой математического ожидания (V) некоторого случайного поля

V является среднее арифметическое его выборочных значений:

<^=¿-1^. . св.33)

где {)м - выборочное среднее по ансамблю из М - реализаций. Дисперсия ст^ поля

V оценивается следующим образом:

<^»<4, (В.34)

Доверительные интервалы с уровнем значимости а = 1 - р математического ожидания и дисперсии в предположении нормального распределения случайного поля V , находятся из выражений:

(В.35)

М-1 2 г М-1 , -Уум <-

р = ]р[М'Х)Шу, (В.36)

I км /

о а

где плотность %2 распределения с М -1 степенями свободы.

В случае, когда случайная величина распределена не по нормальному закону, для оценки доверительного интервала необходимо прямое вычисление в численном эксперименте старшего момента случайной величины. Например, четвертый момент поля V имеет оценку:

М4(У) = (У4)-4(1/3)(У) + б(У2}(^}г-3(У)4-а^. (В.37)

В ряде работ метод Монте Карло использовался для изучения флуктуаций интенсивности в неограниченной плоской волне [23 - 24], ограниченного светового пучка [25], точечного источника [26], пространственной статистики мощного лазерного излучения в атмосфере [27], в задачах адаптивной оптики [28, 29, 30]. Статистические моменты интенсивности методом Монте Карло изучались в работе

[24], функция распределения вероятностей флуктуации интенсивности - в работе [31].

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Тамаров, Михаил Павлович

Выводы

I. Развита модель фазовых экранов для атмосферной турбулентности. Конкретно по методической части работы: Построена трехмерная модель атмосферной турбулентности и предложен алгоритм формирования связанных в продольном направлении фазовых экранов. В цепочке связанных экранов результирующая дисперсия фазы близка к дисперсии на непрерывной трассе независимо от соотношения шага стратификации, внешнего масштаба и длины трассы. Тогда как в модели независимых экранов ошибка суммарной дисперсии тем больше, чем меньше это соотношение. Модель взаимно коррелированных фазовых экранов более адекватно отражает развитие флуктуаций интенсивности и турбулентного уширения пучка, которые определяются мелкомасштабными флуктуациями показателя преломления в атмосфере.

2. Проведен анализ фазовых экранов, полученных модифицированным методом субгармоник. Показано, что для воспроизведения внешних масштабов атмосферной турбулентности, превосходящих размер численной сетки не более чем в 10 раз, достаточно использовать две итерации субгармоник. Четыре итерации в методе субгармоник позволяют с хорошей точностью воспроизвести фазовые экраны для турбулентности с внешним масштабом в 100 раз превышающем размер сетки.

3. Одновременное применение итерационного метода субгармоник и построенной трехмерной модели позволяет моделировать как поперечную, так и продольную корреляцию флуктуаций фазы волны в широком диапазоне пространственных масштабов неоднородностей среды.

4. Построенная модель принципиально снимает ограничение снизу на толщину неоднородной среды, заменяемой фазовым экраном. Поэтому область ее применения расширяется на случаи распространения излучения в статистически анизотропных и сильно неоднородных средах. Также модель может быть использована при изучении нелинейно-оптических процессов, сопровождающихся сильным обогащением пространственного спектра.

П. Проведено комплексное исследование пространственной статистики сфокусированных и коллимированных пучков в турбулентной атмосфере методом Монте Карло на основе модели фазовых экранов. В рамках единого подхода определены когерентность поля, эффективные размеры, дисперсия и корреляция флуктуаций интенсивности светового поля пучков при изменении силы турбулентности в области слабых флуктуаций, сильных флуктуаций и в области насыщения. Конкретно:

1. Установлено немонотонное изменение радиуса когерентности поля пучка с расстоянием в области сильных флуктуаций. Показано, что ФПМГК в области сильных фокусировок дает завышенное значение (-20%) радиуса когерентности.

2. В области сильных флуктуаций, поле интенсивности является статистически неоднородным в сечении пучка. Это не описывается решениями, полученными в ФПМГК и теории эффективных пучков, согласно которым поле асимптотически является статистически однородным.

3. Модель мелкомасштабных фазовых экранов позволяет найти с хорошей точностью (5%) дисперсию флуктуаций интенсивности в области слабых флуктуаций и с точностью 15% в области сильных фокусировок по сравнению с натурными данными.

4. Численные эксперименты в области сильного турбулентного уширения в отличии от аналитических расчетов показывают сильную зависимость дисперсии смещения центра тяжести пучка от внешнего масштаба. Для внешних масштабов турбулентности 50 см и 50 м величины дисперсии отличаются на 60%.

Ш. Разработаны алгоритм восстановления и критерий качества короткоэкспозиционного изображения протяженных некогерентных объектов, наблюдаемых через толщу земной атмосферы. Данный критерий может служить для экспресс оценки эффективности адаптивной компенсации атмосферных искажений и эффективен в смысле вычислительных затрат.

IV. Исследовано зарождение и блуждание филаментов при распространении мощных субпикосекундных лазерных импульсов в турбулентной атмосфере. Конкретно:

1. Показано, что зарождение нелинейного фокуса является случайным в пространстве.

2. Методом статистических испытаний установлено, что расстояние до возникновения филамента и его длина в среднем сокращаются.

3. Филамент, образующийся при распространении мощного фемтосекундного лазерного импульса в турбулентной атмосфере, не прямолинеен. Его среднеквадратичное отклонение от оси для филамента длиной порядка 40 м составляет 0,25 см при сильной турбулентности с Сл2 = 10~13 см"273. Полученные численным моделированием результаты соответствуют экспериментальным данным.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тамаров, Михаил Павлович, 1999 год

Литература

1 В.Е. Зуев, В.А. Банах, В.В. Покасов Оптика турбулентной атмосферы. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1988.

2 В.И. Татарский Распространение волн в турбулентной атмосфере. - М.: Наука, 1967.

3 A.C. Монин, A.M. Яглом Статистическая гидромеханика. Ч. 2. - М.: Наука, 1977.

4 L.C. Andrews "An analytical model for the refractive index power spectrum and its application to optical scintillations in the atmosphere", J. Mod. Opt., v.39, p. 1849 (1992).

5 Распространение лазерного излучения в атмосфере. Под редакцией Д. Стробена. - М.: Мир, 1981.

6 A.C. Гурвич, А.И. Кон, В.Л. Миронов, С.С. Хмелевцов Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. - М.: Наука, 1976.

7 С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский Введение в статистическую радиофизику. 4.2 Случайные поля - М.: Наука, 1978.

8 В.Л. Миронов Распространение лазерного пучка в турбулентной атмосфере. - Новосибирск: Наука, 1981.

9 В.А. Петрищев "О применении метода моментов к некоторым задачам распространения частично - когерентных световых пучков", Изв. Вузов. Радиофизика, т. 14, № 9, с. 1416 (1971).

10 М.Е. Грачева, A.C. Гурвич, С.О. Ломадзе и др. "Распределение вероятностей "сильных" флуктуаций интенсивности света в атмосфере", Изв. вузов. Радиофизика, т. 17, № 1, с. 105-112 (1974).

11 В.А. Банах, Г.М. Креков, В.Л. Миронов, Изв. вузов. Радиофизика, т. 17, №2, с. 252 - 260 (1974).

12 В.А. Банах, А.З. Вагнер «Расчет дисперсии сильных флуктуаций интенсивности световых пучков в турбулентной атмосфере», Оптика атмосферы и океана, т. 5, № 1, с. 37-43 (1992).

13 V.A. Banakh, G.M. Krekov, V.L. Mironov "Focused-laser-beam scintillations in the turbulent atmosphere", JOSA, v.64, #4, p.516 (1974).

14 B.A. Банах "Флуктуации интенсивности лазерных пучков в турбулентной атмосфере", Оптика атмосферы и океана, т. 8, № 1-2, с. 69-88 (1995).

15 А. Исимару Распространение и рассеяние волн в случайно - неоднородных средах. Том 2.-М.: Мир, 1981.

16 В.П. Кандидов "Исследование статистики оптического излучения в нелинейной среде методом Монте Карло ", Изв. АН СССР. Физика, т.47, с. 1583 (1983).

17 B.J. Uscinski "Multi-phase-screen analysis", in Wave Propagation in Random Media, SPIE, PM-09, p.346 (1992).

18 Г.И. Марчук Метод Монте Карло в оптике атмосферы. - Новосибирск: Наука, 1976

19 J.M. Devis, Th.B. Месее, St.K. Сох "Application of Monte Carlo method to problems in visibility using a local estimate", Appl. Opt., v.24, p.3193 (1985).

20 M.T. Valley "Numerical method for modeling nonspherical aerosol modulation transfer functions", Proc. SPIE, v.1688, p.73 (1992).

21 B.B. Тучин «Исследование биотканей методами спектроскопии», УФН, т.167, №5, с.517-539 (1997).

22 С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов Курс статистического моделирования. -М.: Наука, 1976.

23 J.M.Martin, Stanley M.Flatte "Intensity images and statistics from numerical simulation of wave propagation in 3-D random media.", Appl. Opt., v.27, #11, p.2111 (1988).

24 R. Dashen, G. Yu. Wang, S. M. Flatte, C. Bracher "Moments of intensity and log intensity: new asymptotic results for waves in power-law media", JOSA, A, v. 10, #6, p. 1233 - 1242 (1993).

25 В. П. Кандидов, M. П. Тамаров, С. А. Шленов "Пространственная статистика лазерных пучков в условиях мелкомасштабной турбулентности. Стохастическое моделирование", Оптика атмосферы и океана, т.9, №11, с. 1443 - 1449 (1996).

26 J.M. Martin, Stanley М. Flatte "Simulation of point-source scintillation through three-dimensional random media", JOSA, A, v.7, #5, p.838 (1990).

27 В.П. Кандидов «Статистика интенсивных световых пучков в турбулентной атмосфере», Изв. АН СССР Сер. Физ., т. 49, №3, с. 442 - 449 (1985).

28 В.Е. Зуев, П.А. Коняев, В.П. Лукин «Минимизация атмосферных искажений оптических волн методами адаптивной оптики», Изв. вузов. Физика, т.28, №11, с.6 (1985).

29 В.А. Выслоух, В.П. Кандидов., С.С. Чесноков, С.А. Шленов «Адаптивная фокусировка интенсивных световых пучков, распространяющихся в нерегулярных средах», Изв. вузов. Физика, т.28, №11, с.30 (1985).

30 Fr. G. Gebhardt "Airborne laser blooming and turbulence simulations", Proc. SPIE, v.2120, p.76 (1994).

31 Stanley M. Flatte, Charles Bracher, Guang-Yu Wang "Probability-density functions of irradiance for waves in atmospheric turbulence calculated by numerical simulation", JOSA, A, v.ll, #7, p.2080 (1994).

32 H.G. Booker, J.A. Ferguson, H.O. Vats "Comparison between the extended-medium and the phase-screen scintillation theories", J. ofAtm. And Terr. Phys., v.47, p.381 (1985).

33 D.L. Knepp "Multiple phase-screen calculation of the temporal behavior of stochastic waves", Proc. IEEE, v.71, p.722 (1983).

34 B.J. Uscinski "Multi-phase-screen analysis", in Wave Propagation in Random Media, SPIE, PM-09, p.346 (1992).

35 Yu.A. Kravtsov "Propagation of electromagnetic waves through a turbulent atmosphere", Rep. Prog. Phys., p.39 - 112 (1992).

36 A.M. Prokhorov, F.V. Bunkin F.V., K.S. Gochelashvili, V.I. Shishov "Laser irradiance propagation in randomly inhomogeneous media", Sov. Phys. - Usp., v. 17, p.826 (1975).

37 C.K. Годунов, B.C. Рябенький Конечно - разностные схемы. - M.: Наука,

1977.

38 Jan Martin "Simulation of Wave Propagation in Random Media: Theory and Applications", in Wave Propagation in Random Media (Scintillation), SPIE, PM-09, p.463 (1992).

39 B.B. Быков. Цифровое моделирование в статистической радиофизике. -М.: Сов .радио, 1971.

40 В.П. Кандидов, В. И. Леденев "Численное моделирование случайного поля диэлектрической проницаемости турбулентной атмосферы", Вестник МГУ. Сер. Физ., Астр., т.23, с.З, (1982).

41 R. J. Noll "Zernike polynomials and atmospheric turbulence", JOSA, v.66, #3, p.207 (1976).

42 N. Roddier "Atmospheric wavefront simulation using Zernike polynomials", Optical Engineering, v.29, p. 1174 (1990).

43 И.Е. Тельпуховский, C.C. Чесноков «Модальное представление атмосферных неоднородностей при численном анализе статистических характеристик светового пучка», Оптика атмосферы и океана, т.4, с.1294 - 1297 (1991).

44 J.Y. Wang, J.К. Markey "Modal compensation of atmospheric turbulence phase distortion", JOSA, v.68, #1, p.78 (1978).

45 V. P. Kandidov, S. A. Shlyonov "Ultimate possibilities of computer simulation in problems of optical propagation through turbulent atmosphere", Technical Digest of 8th Laser Optics Conference, v.2, p.357-358, St. Petersburg (1995).

46 Vladimir P. Lukin, Boris V. Fortes, Fyodor Y. Kanev, Peter A. Konyaev "Four-dimensional computer dynamic model of an atmospheric opticalsystem", Proc. SPIE, v.2222, p.522-526 (1994).

47 B.J. Herman, L.A. Strugala "Method for inclusion of low-frequency contributions in numerical representation of atmospheric turbulence", Proc. SPIE, v.1221, p.183 - 192(1990).

48 R.G. Lane, A. Glindemann, J.C. Dainty "Simulation of a Kolmogorov phase screen", Waves in random media, v.2, #3, p.209 - 224 (1992).

49 E. M. Johanson, D. T. Gavel "Simulation of stellar speckle imaging", Proc. SPIE, v.2200, p.372 - 383 (1994).

50 S.S. Chesnokov, V.P. Kandidov, M.P. Tamarov, S.A. Shlenov "Three-dimensional model of atmospheric turbulence", Proc. SPIE, v.3432, p.14 (1998).

51 В.П. Кандидов "Метод Монте-Карло в нелинейной статистической оптике", УФН, т. 166, №12, с.1309-1338 (1996).

52 В.П. Кандидов, В.И. Леденев "О применении метода статистических испытаний к исследованию распространения волнового пучка в случайно-неоднородной среде" Изв. Вузов. Радиофизика, т.24, с.438 (1981).

53 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров, С.А. Шленов "Пространственная статистика светового поля лазерного пучка в условиях мелкомасштабной турбулентности", Краткие тезисы докладов III Межреспубликанского симпозиума по Оптике Атмосферы и Океана, с.47, Томск (1996).

54 W.B. Miller, J.C. Ricklin, L.C. Andrews "Scintillation of initially convergent Gaussian beams in the vicinity of the géométrie focus", Applied Optics, v.34, p.7066 (1995).

55 M.C. Беленький, B.JI. Миронов "Измерение пространственной корреляции флуктуаций интенсивности света с помощью апертуры переменного диаметра", Изв. вузов. Радиофизика, т.17, №7, с.1050 - 1057 (1974).

56 М.И. Воробьев, А.С. Дрофа "Исследование влияния внешнего масштаба на атмосферной турбулентности на дисперсию случайных смещений световых пучков", Изв. вузов. Радиофизика, т.20, №11, с.1711 - 1717 (1977).

57 М.Е. Грачева, А.С. Гурвич, А.С. Хрупин "Корреляционные функции интенсивности света в турбулентной атмосфере", Изв. вузов. Радиофизика, т.17, №1, с.155- 157(1974).

58 К.С. Гочелашвили, В.И. Шишов "Волны в случайно-неоднородных средах.", Итоги науки и техники. Радиофизика. Физические основы электроники. Акустика, т.1. - М.: ВИНИТИ, 1981.

59 А.С. Гурвич, С.С. Кашкаров Изв. вузов. Радиофизика, т. 18, №1, с.69 - 73

(1975).

60 В.Я. Съедин, С.С. Хмелевцов, Р.Ш. Цвык "Флуктуации интенсивности в фокусированном световом пучке, прошедшем через толщу турбулентной атмосферы", Изв. вузов. Радиофизика, т.15, №5, с.798 - 800 (1972).

61 Мощные лазерные пучки в случайно - неоднородной атмосфере / под ред. В. А. Банаха. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 1998, 341 с.

62 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров, С.А. Шленов "Влияние внешнего масштаба атмосферной турбулентности на дисперсию смещений центра тяжести лазерного пучка", Оптика атмосферы и океана, т.11, №1, с.27-33 (1998).

63 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров "Влияние внешнего масштаба атмосферной турбулентности на мгновенный и длинноэкспозиционный радиус пучка", Оптика атмосферы и океана, т.11, №7, с.691-693 (1998).

64 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров "Мгновенное и длинноэкспозиционное уширение лазерного пучка в турбулентной атмосфере", Краткие тезисы докладов IV Межреспубликанского симпозиума по Оптике Атмосферы и Океана, с.49, Томск

(1997).

65 М.А. Каллистратова, В.В. Покасов «Дефокусировка и флуктуации смещения сфокусированного лазерного пучка в атмосфере», Изв. вузов. Радиофизика, т. 14, №8, с.1200 - 1207 (1971).

66 Дж. Гудмен Статистическая оптика. - М.: Мир, 1988, 525 с.

67 Адаптивная оптика / под ред. Э.А. Витриченко. - М.: Мир, 1980, 456 с.

68 В.П. Лукин Атмосферная адаптивная оптика. - Новосибирск: Наука, 1986, 256 с.

69 В.П. Лукин, H.H. Майер, Б.В. Фортес «Численное моделирование наземного адаптивного телескопа», Оптика атмосферы и океана, т.4, №12, с.1298 -1302(1991).

70 В.П. Лукин, H.H. Майер, Б.В. Фортес «Расчет функции рассеяния точки адаптивного телескопа с гартмановским датчиком», Оптика атмосферы и океана, т.5, №12, с.1241 - 1251 (1992).

71 B.V. Fortes, V.P. Lukin Proc. SPIE, v.1668, p.477 - 488 (1992).

72 Лукин В.П., Фортес Б.В. «Частичная коррекция турбулентных искажений в телескопе АСТ-10», Оптика атмосферы и океана, т.9, №11, с.1492 - 1504 (1996).

73 В.П. Кандидов, С.С. Чесноков, С.А. Шленов «Компьютерное моделирование формирования изображения протяженного объекта в турбулентной атмосфере. Часть I. Метод», Оптика атмосферы и океана, т. 11, №4, с.401 - 405

(1998).

74 В.П. Кандидов, С.С. Чесноков, С.А. Шленов «Компьютерное моделирование формирования изображения протяженного объекта в турбулентной атмосфере. Часть П. Алгоритм, примеры», Оптика атмосферы и океана, т.11, №5, с.517 - 521 (1998).

75 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров, С.С. Чесноков, С.А. Шленов «Компьютерное моделирование формирования изображения протяженного объекта в турбулентной атмосфере. Часть Ш. Оценка качества», Оптика атмосферы и океана, т.11, №5, с.522 - 525 (1998).

76 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров, С.С. Чесноков, С.А. Шленов "Критерий качества изображения в задачах адаптивной оптики", Краткие тезисы докладов IV Межреспубликанского симпозиума по Оптике Атмосферы и Океана, с.51, Томск (1997).

77 Дж. Гудмен Введение в Фурье - оптику. - М.: Мир, 1970, 364 с.

78 Э. О'Нейл Введение в статистическую оптику. - М.: Мир, 1966,254 с.

79 Г.И. Василенко, A.M. Тараторкин Восстановление изображений. - М.: Радио и связь, 1986, 304 с.

80 А.А. Токовинин Звездные интерферометры. - М.: Наука, 1988, 160 с.

81 Ж. Бьемон, Л. Лагендейк, P.M. Мерсеро, ТИИЭР, т.78, №5, с.58-84 (1990).

82 A. Braun, G. Korn, X. Liu, D. Du, J. Squier, G. Mourou "Self-channeling of high-peak-power femtosecond laser pulses in air", Opt. Lett., v.20, p.73 (1995).

83 E.T.J. Nibbering, P.F. Curley, G. Grillon, B.S. Prade, M.A. Franco, F. Salin, A. Mysyrowicz Opt. Lett, v.21, p.62 (1996).

84 A. Brodeur, O.G. Kosareva, C.Y. Chien, F.A. Ilkov, V.P. Kandidov, S.L. Chin "Moving focus in the propagation of ultrashort laser pulses in air", Opt. Lett, v.22, p.304 (1997).

85 Ludger Woste, Carsten Wedekind, Holger Wille, Patric Raroux, Bernhard Stein, Susanne Nikolov, Christian Werner, Stefan Niedermeier, Falk Ronneberger, Helmut Schillinger, Roland Sauerbrey "Femtosecond atmospheric lamp", Laser and Optoelectronic, v.29, #5, p.51-53 (1997).

86 B.B. Воробьев Тепловое самовоздействие лазерного излучения в атмосфере. -М.: Наука, 1987

87 В.Е. Зуев, А.А Земляное, Ю.Д. Копытин Нелинейная оптика атмосферы. -Л.: Гидрометеоиздат, 1989

88 В.П. Кандидов «Нелинейная оптика и оптоакустика атмосферы», Томск, ИОА СО РАН, с.З - 12 (1988).

89 Y. Shimoji, А.Т. Fay, R.S.F. Chang, N. Djeu JOSA В, v.6, p.1994 (1989).

90 Y. R. Shen "Self-focusing: experimental", Prog. Quant. Electronics (GB), v.4, p.1-34 (1975).

91 B.B. Коробкин, A.M. Прохоров, P.B. Серов, М.Я. Щелев Письма в ЖЭТФ, т.11, с.94 (1970).

92 В.П. Кандидов, О.Г. Косарева, А. Бродер, С.Л. Чин «Состояние исследований по филаментации мощных субпикосекундных лазерных импульсов в газах», Оптика атмосферы и океана, т.10, №12, с.1539 - 1552 (1997).

93 O.G. Kosareva, V.P. Kandidov, A. Brodeur, S.L. Chin "From filamentation in condenced media to filamentation in gases", Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials, v.6, #4, p.485-494 (1997).

94 M. Mlejnek, E.M. Wright, J.V. Moloney "Dynamic spatial replenishment of femtosecond pulses propagating in air", Opt. Lett., v.23, #5, p.382-384 (1998).

95 В.П. Кандидов, М.П. Тамаров «Дисперсия сверхкороткого лазерного импульса в атмосфере», Оптика атмосферы и океана, т.9, №5, с.634 - 641 (1996).

96 L.S. Rothman, R.R. Gamache, С.Р. Tipping, С.Р. Rinsland, М.А.Н. Smith, D. Chris Benner, V. Malathy Devi, et al. "The HITRAN molecular database: editions of 1991 and 1992", Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, v.48, #5-6, p.469 - 507 (1992).

97 В.П. Кандидов, О.Г. Косарева, М.П. Тамаров «Зарождение и блуждание филаментов при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов в турбулентной атмосфере», Материалы VI Международного симпозиума «Оптика атмосферы и океана», с.52, Томск (1999).

98 В.П. Кандидов, О.Г. Косарева, М.П. Тамаров, А. Бродер, С.Л. Чин «Мощные фемтосекундные лазерные импульсы в турбулентной атмосфере», Материалы VI Международного симпозиума «Оптика атмосферы и океана», с.59, Томск (1999).

В заключение хочу выразить глубокую признательность своему научному руководителю Валерию Петровичу Кандидову за постоянное внимание, поддержку и помощь в работе, а также Сергею Сергеевичу Чеснокову и Святославу Александровичу Шленову за плодотворное обсуждение результатов работы и полезные рекомендации.