Модель деформирования и расслоения композиционного материала с тонким адгезионным слоем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Фурсаев Артем Александрович

• Фурсаев Артем Александрович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Фурсаев Артем Александрович

ВЕДЕНИЕ

Глава 1. Задача докритического упругого деформирования трехслойного композита с тонким адгезионным слоем

1.1. Постановка задачи докритического упругого деформирования композита с тонким адгезионным слоем

1.2. Конечноэлементная реализация задачи докритического упругого деформирования композита с тонким адгезионным слоем

1.2.1. Составление локальной матрицы жесткости

1.2.2. Составление глобальной матрицы жёсткости

1.3. Результаты дискретного решения

1.4. Результаты и выводы по 1 главе

Глава 2. Модель когезионного расслоения композита по адгезионному слою

2.1. Постановка задачи докритического упругопластического деформирования композита с тонким адгезионным слоем

2.1.1. Решение упругопластической задачи с использованием метода секущего модуля

2.2. Постановка задачи когезионного разрушения структурного элемента адгезионного слоя

2.3. Конечноэлементная реализация задачи когезионного разрушения

2.4. Результаты дискретного решения

2.5. Результаты и выводы по 2 главе

Глава 3. Модель адгезионного расслоения композита по границе адгезионного слоя

3.1. Постановка задачи адгезионного отслоения

3.2. Конечноэлементная реализация задачи адгезионного расслоения

3.3. Результаты дискретного решения

3.4. Результаты и выводы по 3 главе

Заключение

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель деформирования и расслоения композиционного материала с тонким адгезионным слоем»

ВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Моделирование процесса разрушения композиционных материалов, представляющих собой совокупность двух тел, соединённых посредством адгезива конечной толщины, определяется типом нарушения связи между компонентами. Рассматриваются модели адгезионного разрушения в случае, когда адгезив целиком отделяется от материала, или когезионного разрушения по массиву адгезива, или связанных им тел. В этом плане представляется перспективной разработка таких моделей, которые бы учитывали, как механические свойства материалов композита, так и тип разрушения в зависимости от напряженно-деформированного состояния адгезива и соединенных им тел.

При выполнении того или иного критерия разрушения наступает фаза образования новых материальных поверхностей. Принципиальным моментом здесь является создание математической модели процесса образования новых материальных поверхностей, соответствующей типу разрушения. Основным подходом к решению данной задачи в настоящее время является конечноэлементное моделирование.

Для когезионного типа разрушения рассматривается процедура «убийства элементов». В этом случае, по достижению в конечном элементе критериальной характеристики разрушения, выделяемый материальный объем исключается из рассмотрения путем умножения локальной матрицы жесткости элемента на число близкое к нулю. Отметим, что данная процедура является корректной при упругом деформировании, когда нагрузка и разгрузка определяются одинаковыми модулями в определяющих соотношениях. В случае упругопластического деформирования тела с удаляемым таким образом элементом необходимо учитывать возможную разгрузку.

При адгезионном типе разрушения широкое распространение получили когезионные элементы. Физический смысл соответствующих постоянных в данных элементах будут определять не прочностные свойства материала, а свойства связи

тело - адгезив. Рассматривают билинейный закон поведения когезионных сил, трапецеидальный (трилинейный), параболический и экспоненциальный. Решение реальных задач строится, как правило, на билинейном законе распределения когезионных сил, где выделяются участки предразрушения и развития трещины. Здесь основным вопросом будет являться задания закона когезионного взаимодействия и материальных характеристик когезионных элементов т.к. их значение существенно влияют на распределение напряжено-деформированного состояния и требуют экспериментального подтверждения.

Таким образом работа в данном направлении является достаточно актуальной.

Цель работы состоит в создании адгезионных и когезионных моделей образования новых материальных поверхностей при произвольном внешнем воздействии.

Для реализации результатов в диссертационной работе предлагается решение следующих задач:

1. Вариационная постановка нахождения напряженно-деформированного состояния (НДС) в композиционном упругопластическом слоистом материале на основе модифицированного принципа Журдена с введением линейного параметра.

2. Вариационная постановка когезионного разрушения структурного элемента адгезионного слоя.

3. Вариационная постановка адгезионного разрушения структурного элемента по поверхности сопряжения адгезионного слоя и материала.

4. Численная реализация расчета вариационных постановок методом конечных элементов.

Научная новизна. Предложена математическая модель деформирования и разрушения композиционного слоистого материала в которой отсутствует сингулярность напряжений в зоне обрыва связей сопрягаемых, посредством адгезионного слоя, упругопластических материалов при универсальном распределении НДС.

Поставлены и решены новые задачи деформирования слоистого композиционного материала на основе введения в модель линейного размера. Процесс разрушения рассмотрен с позиции локальной простой разгрузки образуемых материальных поверхностей.

Теоретическая ценность работы состоит в решении важной научной задачи нахождения напряженно-деформированного состояния композиционного слоистого материала как в докритической, так и в посткритической стадиях деформирования при произвольном внешнем воздействии.

Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования при расчете на прочность слоистого композиционного упругопластического материала в докритической стадии деформирования и в стадии разрушения.

Методология и методы исследования. Представление адгезионного слоя построено на модели слоя взаимодействия, предложенной в работах В.В. Глаголева и А.А. Маркина. В этом случае использование средних по толщине слоя и граничных напряжений позволяет исключить сингулярность и зависимость напряженного состояния от формы окончания адгезионного слоя. Постановка задачи строится на основе вариационного принципа Журдена. Полученная в работе система вариационных уравнений, совместно с определяющими соотношениями, сводится к системе линейных алгебраических уравнений на основе метода конечных элементов с квадратичным законом распределения поля скоростей на элементе. Поля перемещений и деформаций определяются исходя из эволюционных соотношений. Для решения упругопластической задачи использовался метод «упругих решений» А.А. Ильюшина. Разрушение рассматривается как дискретный процесс простой разгрузки новых материальных поверхностей при неизменной внешней нагрузке.

В дискретной модели когезионного разрушения для нахождения значений

узловых сил, действующих в момент начала разрушения на образуемых

поверхностях, предложен метод повторного нагружения, состоящий в замене

действия разрушаемого элемента заданием процесса изменения со «временем»

5

узловых перемещений элемента, при повторении закона внешнего воздействия на тело.

В дискретной модели адгезионного разрушения распределение нагрузки (узловых сил) на 8 -поверхности в критическом состоянии определялось путем повторного решения задачи докритического деформирования с известным из первоначального решения законом движения границы адгезивного слоя.

На защиту выносятся:

- вариационная постановка определения напряженно-деформированного состояния слоистого композиционного упругопластического материала на основе введения в модель линейного размера;

- модель дискретного когезионного разрушения;

- модель дискретного адгезионного разрушения.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, использованием апробированных методов решения получаемых уравнений, сравнением с известными решениями.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены и обсуждены на регулярных научных семинарах кафедры «Математическое моделирование», «Вычислительная механика и математика» г. Тула, 2015-2018.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Современное состояние исследований по теме работы.

Слоистые композиционные материалы играют важное значение в

машиностроении, авиационной и ракетной технике. [6,23,45] Поэтому для

механики деформируемого твердого тела особую роль играют модели плоских

слоистых композиционных материалов, в которых рассматриваются тела,

объединенные в композит адгезионным слоем [6,45,49-52,72,73]. В зависимости от

толщины адгезионного слоя (ядра), относительной жесткости между ядром и

сопрягаемыми телами, граничных условий применяют те или иные модели [ 4,496

52,75].

Для адгезионных моделей [14,51,82,84], как правило, пренебрегают толщиной адгезива, а его механические свойства сводятся к силам взаимодействия склеенных материалов, которые могут иметь разные механические свойства [25,41,44,65]. Особую роль в этих моделях отводится определению адгезионных сил взаимодействия [43,46]. При когезионном разрушении [20,56,87-89,91] рассматривается процесс зарождения трещины в материале с конкретными механическими свойствами. Модель расслоения композита с одинаковыми физическими свойствами, но с разными прочностными характеристиками, рассмотрена в работах [4,54,55,57,86].

Постановка и ее решение, учитывающая изгибную жесткость ядра слоистого композита предложена в работах [76,79]. В этом случае толщина адгезионного слоя существенно превышает толщины сопрягаемых материалов, для которых используется аппроксимация поля горизонтальных перемещений через перемещения границ плоскостей, смежных со слоем, и параметры малых углов поворота материальных нормалей к границам плоскостей, сопрягаемых слоем. В работе [76] деформация обжатия ядра полагается постоянной по толщине, а в [79] - линейной. В статьях [76, 79] полученные вариационные постановки решаются методом конечных элементов при жестких граничных условиях.

Выделим класс задач, для которых внешняя нагрузка приводит к сдвигу в адгезионном слое. В статьях [59,60] дан подробный обзор имеющихся моделей и их решений для соответствующих задач. Наряду с данными работами отметим модели с введением «мягкого слоя» [6,26,27] в качестве адгезионного слоя, для которого изгибная жесткость незначительна.

В настоящее время наиболее распространенными являются подходы на

основе метода конечных элементов [63,81]. Недостатком данных подходов при

прямом моделировании геометрии связующего компонента в зоне обрыва связей

сопрягаемых материалов является наличие точек сингулярности различных видов

[67,68]. Принимая ту или иную форму окончания связующего слоя, в решении

задачи приходим к существенно различным распределениям напряжений, в том

7

числе и сингулярным. Отметим, что в случае малости толщины связующего компонента, геометрия его окончания в зоне обрыва соединений является неопределенной, и связь соответствующей области с заданной геометрией является не вполне корректной.

В модели [10,11] полагается, что толщина адгезива мала по сравнению с соответствующими характеристиками соединяемых тел, а адгезионный слой и соединяемые им материалы могут иметь разные механические свойства. Для описания НДС адгезионного слоя применялась концепция слоя взаимодействия, используемая в модели трещиноподобного дефекта [12,66]. Средние напряжения в слое выражаются через компоненты тензора напряжений на границах адгезионного слоя. Соответствующие граничные напряжения естественным образом формируют граничные условия для сопрягаемых со слоем материалов. Граничные напряжения в данном случае будем ассоциировать с адгезионными силами сцепления и достижение ими критического значения трактуем как адгезионное разрушение. Использование средних по толщине напряжений позволяет отказаться от конкретизации геометрии торца адгезионного слоя. Достижение максимального положительного главного среднего напряжения критического значения связываем с разрушением массива адгезионного слоя. Таким образом, задача определения предельного состояния композиционного материала под воздействием внешней нагрузки сводится к нахождению предела прочности в соответствующих материалах и по границам слоя. По достижению той или иной критериальной характеристики разрушение трактуется либо как адгезионное, либо как когезионное.

При выполнении того или иного критерия разрушения наступает фаза

образования новых материальных поверхностей. Принципиальным моментом

данного этапа является дискретность приращения поверхностей разрыва [28,29,79]

и локализация процесса разрушения. При моделировании разрушения в пределах

материальной поверхности меры ноль используются когезионные элементы

[76,85,90,96] конечноэлементного пакета или контактные элементы системы [53].

В работах [63,64,80] рассмотрен широко используемый билинейный закон

8

распределения взаимодействия в когезионной зоне от раскрытия трещины с ниспадающим участком. Основным недостатком данного подхода является то, что когезионные элементы должны располагаться на траектории разрушения, которая, в общем случае, зависит от новых материальных поверхностей. Кроме того, различные законы когезионного взаимодействия и материальные характеристики когезионных элементов существенно влияют на распределение напряжено -деформированного состояния [76] и требуют экспериментального подтверждения.

Сложность описания разрушения материального объема при использовании падающего участка диаграммы растяжения [1,32,35] связана с построением определяющих соотношений неустойчивого по Друкеру деформирования и их подтверждением в экспериментах. Основным подходом при конечноэлементном моделировании процесса разрушения является процедура «убийства элементов», подробно описанная в [63]. В этом случае, по достижению в конечном элементе критериальной характеристики разрушения, выделяемый материальный объем исключается из рассмотрения путем умножения локальной матрицы жесткости элемента на число близкое к нулю. Отметим, что данная процедура является корректной при упругом деформировании, когда нагрузка и разгрузка определяются одинаковыми модулями в определяющих соотношениях.

Процесс адгезионного разрушения может быть описан при помощи разделения узлов по границам элементов, вводя в рассмотрение когезионные элементы, в том числе и элементы нулевой толщины [64,80]. В работе [95] приведен оптический метод исследования адгезионных материалов. В статье [74] дан обзор по конечноэлементным методам расчета тел, связанных адгезионным слоем. Использование когезионных элементов предполагает задание траектории разрушения априори, что возможно для ряда частных случаев, когда образование новых поверхностей не приводит к изменению выбранной траектории. Отметим, что применение того или иного принципа при образовании новых поверхностей не должно приводить к сингулярности, т.к. последующее решение задачи методом конечного элемента не будет иметь вычислительную сходимость.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии.

В первой главе рассматривается модель упругого деформирования композиционного материала с тонким адгезионным слоем. Напряженное состояние слоя предлагается рассматривать на основе связи средних по толщине слоя напряжений и напряжений по границам слоя. Средние деформации слоя выражаются через его граничные перемещения. Использование средних напряжений и деформаций позволяет избежать зависимости напряженно-деформированного состояния слоя от формы его торцевых поверхностей. На основе модифицированного принципа Журдена в рамках малых деформаций получено вариационное условие равновесия тел, соединенных посредством адгезионного слоя. Для сопрягаемых тел определяющими соотношениями линейной теории упругости непосредственно связываются поля скоростей деформаций и напряжений. В результате связанная система вариационных уравнений сводится к уравнениям относительно полей скоростей в сопрягаемых телах, в том числе и на границах контакта со слоем. В качестве параметра система вариационных уравнений в скоростях содержит толщину адгезионного слоя. Существенно, что данная система уравнений не является дискретной, так как поля скоростей полагаются непрерывными. Для получения приближенного решения можно использовать различные аппроксимации скоростей. В частности, применялся метод конечного элемента с квадратичной аппроксимацией полей скоростей для случая плоской деформации. Для нахождения полей перемещений, напряжений и деформаций использовались эволюционные соотношения. Исследовалось влияние характерного размера конечного элемента на сходимость решения. Установлено, что если отношение грани конечного элемента к толщине слоя равно четырем и более, то имеет место численная сходимость. В силу отсутствия сингулярности напряжений в точках сопряжения адгезионного слоя с телами предлагаемый подход позволяет использовать известные локальные критерии разрушения. Проведен анализ возможных видов нагружения композита.

Во второй главе рассматривается докритическое упругопластическое

деформирование трехслойного композита и процесс разделения несущих слоев,

сопровождающийся разрушением адгезионного слоя. Путем осреднения

10

компонент напряжений в адгезионном слое по его толщине задача сводится к системе двух вариационных условий равновесности относительно полей скоростей склеиваемых слоев. При решении упругопластической задачи докритического деформирования выделяется 8 -область, в которой достигнут критерий разрушения. С помощью повторного решения задачи докритического деформирования с известным законом движения границы 8 -области находится распределение нагрузки (узловых сил), действующей со стороны 8 -области на тело. На следующем шаге рассматривается изменение напряженно-деформированного состояния тела в процессе разрушения 8 -области. Решается упругопластическая задача при простой разгрузке 8 -поверхности тела и сохранении внешней нагрузки, соответствующей началу процесса разрушения. В процессе 8 -разгрузки возможно образование новых пластических областей, частичная разгрузка и достижение критерия разрушения. В результате напряженно-деформированное состояние тела в момент начала локальной разгрузки отличается от его состояния при окончании 8 -разгрузки. Это является принципиальным отличием от известной процедуры «убийства элементов», когда жесткость элемента, после достижения критерия разрушения, полагается близкой к нулевой. При этом состояние тела вне удаленного элемента считается неизменным и возможность появления зон разгрузок и догрузок, после исключения элемента, не учитывается. В случае линейной упругости решение задачи с удаленной областью при фиксированной внешней нагрузке совпадает с решением, получаемым в результате 8 -разгрузки в силу единственности решения и принципа суперпозиции. Однако, решение упругопластической задачи при простом нагружении тела с удаленной областью не будет совпадать с решением методом 8 -разгрузки. Приведены решения задач расслоения композита, иллюстрирующие метод простой 8 -разгрузки как в линейно упругой, так и в упругопластической постановках.

В третьей главе построена модель адгезионного расслоения

композиционного материала. Расслоение рассматривается как термомеханический

процесс, в котором напряженное состояние одной из границ адгезионного слоя

изменяется до нуля при нарушении связей с соединяемым телом. В результате

11

расслоения прекращается взаимодействие между частью композита, включающей адгезивный слой, и остальным телом. Получена система двух вариационных условий равновесности в скоростях, описывающая докритическое деформирование и процесс расслоения. Осреднение напряженно-деформированного состояния адгезионного слоя позволяет избежать сингулярности в тупиковой точке образуемого математического разреза. Продвижение по границам слоя поверхности разрыва не приводит к ее образованию. При решении задачи докритического деформирования выделяется малая 5 -поверхность на границе адгезива, где достигнут критерий отслоения. Распределение нагрузки (узловых сил) на 5 -поверхности определяется путем повторного решения задачи докритического деформирования с известным из первоначального решения законом движения границы адгезивного слоя. Решается задача при простой разгрузке 5 -поверхности тела и сохранении внешней нагрузки, соответствующей началу процесса расслоения. В результате напряженно-деформированное состояние тела в момент начала локальной разгрузки отличается от его состояния при окончании 5 -разгрузки. Для линейно упругопластического материала проведено сравнение решений задачи в рамках данной модели и предложенной модели когезионного расслоения, в которой предполагается полное разрушение связующего слоя. Установлено существенное различие граничных перемещений основных слоев композита в процессе его разрушения при увеличении поверхности разрыва контакта адгезионного слоя и основного материала.

В заключении представлены основные результаты и выводы по работе.

Работа содержит 103 страниц машинописного текста, включая 33 рисунка, 2 таблицы и список использованных источников из 96 наименований.

Глава 1. Задача докритического упругого деформирования трехслойного композита с тонким адгезионным слоем

1.1. Постановка задачи докритического упругого деформирования композита с тонким адгезионным слоем

На рисунке 1.1 представлено тело, состоящее из трех областей, в общем случае с различными материальными свойствами, где область 3 ассоциируется с клеевой подложкой, размер которой мал по сравнению с толщинами тел 1 и 2. Процесс нагружения предполагаем квазистатическим и изотермическим. Условие равновесия запишем в вариационной форме:

|| = + + = (1.1)

^1+2+3 ^2 ^3 ^

где Р - скорость внешней нагрузки на контуре Ь , & - тензор скоростей

напряжений; ё - тензор скоростей деформаций; V - поле скоростей; • • - свертка

тензоров; • - скалярное умножение.

Так как система из трех тел находится в равновесии, запишем уравнения равновесия для каждого из них:

||& • •8Ш = I/51 • 8Ш - | Р+ • 8Ш, (1.2)

^ 1}

Р2

е

§&--8ёсЬ = \Р2-8М- | Г • 8М, (1.3)

I2 ЬА'Р'

II <т • -8ёсЬ = | Р+ • 8ГЛ + | р- • 8Тс11, (1.4)

¿>з Ьлр ЬА ,р,

где Р+=&21ё1+&22ё2, Р~ =-&21ё1-&22ё2 — векторы скоростей напряжений,

действующие по верхней и нижней границе адгезионного слоя; <т21, <т22, <т21, <т22

граничные напряжения адгезионного слоя; у+, — векторы скоростей верхней и нижней границы адгезионного слоя; Ц, Ц — внешние контуры тел 1 и 2 без учета границ с адгезионным слоем. Торцы слоя считаем свободными от напряжений. При этом постулируется жесткое сцепление между границами адгезионного слоя с

областями 1, 2. Кроме того, принимаем, что векторы скоростей напряжений на сопряженных границах адгезионного слоя равны и противоположны векторам скоростей напряжений сопряженных границ тела.

Рисунок 1. 1. Схема нагружения тела Дополнительную мощность внутренних напряжений в адгезионном слое

выразим посредством средних характеристик НДС, полагая ¿(х1,х2) = £(х}):

^ . . . .

||д • -5ёс1з = За^д- -8кс1хх = 30§д • -ЗёсЬс^, (1.5)

^ X? I

где д, £ - соответственно тензоры средних скоростей напряжений и средних

скоростей деформаций в слое с компонентами:

1 80!2

¿п(л) = у- | <Уп{\,х2)(]х2, (1.6)

О -3„/2

1 3„12

(-^1) = -^г" | (УХ2(хх,х2)ск2, (1.7)

1 <У2

о -А /2

1 80!2

(1.8)

(1.9)

О -А/2

Отметим, что в силу симметрии скоростей касательных напряжений средние скорости касательных напряжений также симметричны: <т2|(х) = <т|2(х).

Компоненты средних скоростей деформаций и скорости определяем через их граничные значения следующим образом [1 2, 66]:

^22 (^О —

А

У

£,11(х1) = 0.5

^ ду+ ду л 1 } 1

V

дх

= 0.5

ду+ + ду-

V

х)_ у+ (х) - V-(Х1)

дх2 д0

1.10)

1.11)

1.12)

1.13)

VI (х1) = 0.5(г+(х1) + V (х )), (1.14)

(х1) = 0.5^) + ^ (Х1)). (1.15)

Из выражений (1.12) и (1.13) получаем представление средней скорости

сдвиговой деформации вдоль слоя:

/

= 0.5

^ду9 ду Л —2 + —1

дх1 дх

= 0.5

у+(х1) - V-(х1) А

2 У

+ 0.5

Лду2+ +ду2-ЛЛ

(1.16)

дх1 дх1

У У

Из (1.4) и (1.5) с учетом (1.10), (1.11) и (1.16) получаем вариационное условие равновесия адгезионного слоя:

+\&218

ч дхх

Зх

1

+1 <Т228 (х1) - л>2 (х1)уьсх +

Сх) + 0 з| (Х\) л (Х\)

л л

8 [ дхх дхх у у

^Х^ —

(1.17)

= |¿722^2^ + ^^¿^¿/х, - ^&228У2(ЬС1 - §сг218У1 С1Х] .

При отсутствии скоростей торцевых нагрузок на адгезионном слое, интегрируя по частям, имеем:

¡¿п8

V J

с/х, = - 8у*(х1)с1х1

I дх1

(1.18)

3х1

(1.19)

где / =1,2.

Из (1.17), с учетом (1.18) и (1.19), приравнивая слагаемые при одинаковых вариациях, приходим к представлениям скоростей граничных напряжений адгезионного слоя:

¿о^и М

<^22 (Х1) — ^22 ) '

^22 М = ^22 +

2дх1 80да21(хг)

2дх

80дап(х1) 2дх1

80да21{хх)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

Подставив (1.20) и (1.21) в (1.2), а (1.22) и (1.23) в (1.3) и выполнив преобразования, обратные (1.18), (1.19), приходим к вариационным уравнениям равновесности для тела 1:

1

1

I

I

| (7 • -Зёс/* +1 <7228У2 ¿// +1 а2Х8у[(й

+

+0.5 8

VI

* (^ХЪ,, г- ЯМ)

дхх

<й

и для тела 2:

| & ■ -Зёб/.ч - | <У228\>2 с!1 - | сг218У1 с!1

+

+0.58

дхх J

'21

дхх

-<И

= |Р ■ 8Ш,

(1.25)

У-2 1 >-2 1 У

где £1,£2- верхняя и нижняя границы тела 3; X,, Х2- контуры приложения скорости внешней нагрузки для тела 1 и 2.

Отметим, что соотношения (1.24), (1.25) получены без ограничения на свойства материалов и форму тела. Уравнения (1.24), (1.25) необходимо замкнуть конкретными определяющими соотношениями. При обратимом нагружении поведение материала определяем законом Гука для тела 1:

¿г = 2 С{1)ё, (1.26)

р = ЗК(1)в, (1.27)

для тела 2:

& = 2 0(2)ё, (1.28) р = ЗК(2)д, (1.29)

где <7 - скорость девиатора тензора напряжений; ё - девиаторная составляющая тензора скоростей деформаций; р = &--Е; К(1) - модуль объемного сжатия; G(г) -модуль сдвига, 6 = ё--Е; Е - единичный тензор.

В материале слоя определяющие соотношения считаем справедливыми для средних по толщине слоя характеристик НДС.

§ = 2С(3)§, (1.30)

р = ЪК{Ъ)в. (1.31)

5

2

2

2

В результате подстановки в определяющие соотношения (1.30) и (1.31) выражений компонент средних скоростей деформаций (1.10), (1.11) и (1.16) средние скорости напряжения определяются через граничные скорости и их производные. В этом случае в уравнении (1.24) будут присутствовать скорости границы № тела 2 (см. рисунок 1.1), а в уравнении (1.25) - скорости границы FC тела 1 (см. рисунок 1.1). Таким образом, совместное решение системы (1.24)—(1.31) сводится к определению поля скоростей у{х1:,х2) в телах 1 и 2.

После определения полей скоростей в телах 1 и 2, в том числе и по границам со слоем, из (1.30), (1.31) находим средние скорости напряжений в слое. Зная распределение средних скоростей напряжений вдоль слоя, из уравнений (1.20)-(1.23) находим граничные скорости напряжений по его границе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фурсаев Артем Александрович, 2018 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров В.М. Механика континуального разрушения, локализация деформаций в упругопластических материалах с разупрочнением / В.М. Александров, В.Н. Кукуджанов, А.В. Манжиров // Аннотационный отчет ИПМех РАН. - М.: ИПМех РАН, - 2004.

2. Алфутов Н.А. Расчёт многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов / Н.А. Алфутов, П.А. Зиновьев, Б.Г. Попов. - М.: Машиностроение, 1984. - 263 с.

3. Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров: учебное пособие. / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. - М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

4. Астапов И.С. Модель расслоения композита при поперечном сдвиге / И.С. Астапов, Н.С. Астапов, В.М. Корнев // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2015. - Т.21 - №2. - С. 149-161.

5. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику / И.М. Беленький. - М.: Высш. школа, 1964. - 324 с.

6. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. - М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

7. Бохоева Л.А. Теоретическая оценка максимальных размеров безопасных дефектов типа отслоений / Л.А. Бохоева, В.Б. Антохонов, Б.И. Зангеев // Материалы Международной научной конференции «Проблемы механики современных машин». - 2000. С. 14-15.

8. Биргер И.А. Сопротивление материалов: Учебное пособие. / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 560 с.

9. Ворович И.И. О методе упругих решений / И.И. Ворович, Ю.П. Красовский // ДАН. - 1959. - T. 126. - № 4. - С. 740-743.

10.Глаголев В.В. Моделирование процесса разделения композита с адгезионным слоем / В.В. Глаголев, А.А. Маркин, А.А. Фурсаев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 2. - С. 34-44.

11.Глаголев В.В. Моделирование образования новых материальных

95

поверхностей в процессах когезионного разрушения композита с адгезионным слоем / В.В. Глаголев, А.А. Маркин, А.А. Фурсаев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 2. - С. 45-59.

12. Глаголев В.В. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов / В.В. Глаголев, А.А. Маркин // Прикладная механика и техническая физика. - 2012. - Т. 53 - №5. - С. 174-183.

13. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов - М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002, - 472 с.

14. Гольдштейн Р.В. Отслоение покрытий под действием термоупругих напряжений (Балочное приближение) / Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2007. - Т. 54, №4. - С. 66-83.

15. Добронравов В.В. Основы аналитической механики: учебное пособие для вузов / В.В. Добронравов. - М.: Высш. школа, 1976. - 264 с.

16. Дьяконов В.П. MATLAB Полный самоучитель / В.П. Дьяконов. - М.: ДМК Пресс, 2012. - 768 с.

17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

18. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть первая. Упруго -пластические деформации. М.: МГУ, 2004.-376 с.

19. Кетков Ю.Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Коков, М.М. Шульц. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752 с.

20. Кулиев В.Д. К проблеме разрушения многослойных композитных материалов / В.Д. Кулиев, Н.Л. Борисова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2015. - Т. 26. - № 4 - С. 63-71.

21. Лебедев А.А. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций / А.А. Лебедев, Н.Г. Чаусов // Проблемы прочности. - 1983. - №2. - С. 6-10.

22. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения / Ф. Макклинток // Разрушение. - 1975. Т.3. - С. 67-262.

23. Манжиров А.В. Осесимметричные контактные задачи для неоднородно-стареющих вязкоупругих слоистых оснований / А.В. Манжиров // ПММ. -1983. - Т. 47. - Вып. 4. - С. 684-693.

24. Маркин А.А. Термомеханика упругопластического деформирования / А.А. Маркин, М.Ю. Соколова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 320 с.

25.Моисеев Е. И. и др. о разрешимости и единственности решений в задачах деформирования однородных и неоднородных структур с учетом адгезионных взаимодействий //Композиты и наноструктуры. - 2013. - №. 4. - С. 6-22.

26. Морозов Н.Ф. Изгиб двуслойной балки с нежестким контактом между слоями / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик // Прикладная математика и механика. 2011. -Т. 75 - № 1. - С. 112-121.

27. Морозов Н.Ф. Обобщенная модель Тимошенко -Рейсснера для многослойной пластины / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // Изв. РАН. МТТ. -2016. - №5. - С.22-35.

28. Назаров С.А. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости / С.А. Назаров, М.В. Паукшто. - Л.: Изд.-во Ленингр. ун -та, 1984. - 93 с.

29. Петров Ю.В. Квантовая аналогия в механике разрушения / Ю.В. Петров // Физика твердого тела. - Т. 38. - № 11. - 1996. - С. 3385-3393.

30.Писаренко Г.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести: справочное пособие / Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский. - Киев: Наук. думка, 1981. - 496 с.

31.Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов / Ю.Н. Работнов. - М.: Физматгиз, 1963. - 456 с.

32.Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине / Е.И. Рыжак // Изв. АН СССР МТТ. - 1991. - №1. - С. 111-127.

33.Сендецки Д. Механика композиционных материалов / Д. Сендецки. - М.: Мир, 1978. Т.2. - 564 с.

34.Сиратори М. Вычислительная механика разрушения / М. Сиратори, Т. Миеси, Х. Мацусита. - М.: Мир, 1986. 336 с.

35.Стружанов В.В. Об одном подходе к изучению механизма зарождения трещин / В.В. Стружанов // ПМТФ. - 1986. - № 6. - С.118-123.

36.Тарнопольский Ю.М. Расслоение сжимающих стержней из композитов / Ю.М. Тарнопольский // Разрушение композитных материалов. Рига, 1979. - С. 160166.

37. Тарнопольский Ю.М. Опасность расслоения коротких металлокомпозитных стержней при осевом сжатии / Ю.М. Тарнопольский и др. // Механика полимеров. - 1978. № I. С. 27-33.

38.Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войковский-Кригер. - М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

39.Трошин В.П. Влияние продольного расслоения в слоистой цилиндрической оболочке на величину критического внешнего давления / В.П. Трошин // Механика композитных материалов. - 1982. № 5. C. 838-842.

40.Трошин В.П. К устойчивости цилиндрических оболочек с расслоениями / В.П. Трошин // Механика композитных материалов. - 1981. №4. C. 729-731.

41.Устинов К.Б. Об отслоении слоя от полуплоскости; условия упругой заделки для пластины эквивалентной слою / К.Б. Устинов // Изв. РАН. МТТ. - 2015. -Т.50 - №1. - С. 75-95.

42.Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев. - М.: Наука, 1973. 399 с.

43.Фроленкова Л.Ю. Поверхностная энергия и энергия адгезии упругих тел / Л.Ю. Фроленкова, В.С. Шоркин // Изв. РАН. МТТ. 2017. №1. С. 76-91.

44.Фудзии Т. Механика разрушения композиционных материалов / Т. Фудзии, М. Дзако. - М.: Мир, 1982. - 232 с.

45.Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов / Г.П. Черепанов. - М.: Наука, 1974. 640 с.

46.Шоркин B.C. Учет влияния тройного взаимодействия частиц среды на

поверхностные и адгезионные свойства твердых тел / B.C. Шоркин, Л.Ю. Фроленкова, А.С. Азаров // Материаловедение. - 2011. - № 2. - С. 2-7.

47.Хеллан К. Введение в механику разрушения / К. Хеллан. - М.: Мир, 1988. -364 с.

48.Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкции / Г. Циглер. - М.: Мир, 1971. - 192 с.

49.Allen H.G. Analysis and Design of Structural Sandwich Panels / H.G. Allen // Pergamon, Oxford. - 1969. - P. 21-33.

50.Allen H.G. Classification of Structural Sandwich Panel Behaviour / H.G. Allen, Z. Feng // Mechanics of Sandwich Structures. Springer, Dordrecht. - 1998. - P. 1-12.

51.Allen H.G. Sandwich Panels with Thick or Flexurally StiffFaces. / H.G. Allen // In: Sheet Steel in Building, The Iron & Steel Institute, London. - 1973. - P. 10-18.

52.Allen, H.G. Theory of Sandwich Beams and Plates / H.G. Allen, R.A. Shenoi, J.F. Wellicome // Composites and Materials in Maritime Structures, CUP. - 1993. - Vol 1. - P. 205-235.

53.ANSYS. User's Guide, Release 11.0. - Pennsylvania, USA: ANSYS Inc. - 2006.

54.Baldan A. Adhesively-bonded joints and repairs in metallic alloys, polymers and composite materials: Adhesives, adhesion theories and surface pretreatment / A. Baldan // Journal of Materials Science. - 2004. - Vol. 39, No 1. - P. 1-49.

55.Baldan A. Adhesively-bonded joints in metallic alloys, polymers and composite materials: Mechanical and environmental durability performance / A. Baldan // Journal of Materials Science. - 2004. - Vol. 39, No 15. - P. 4729-4797.

56.Bottega W.J. Structural scale decomposition of energy release rates for delamination propagation / W.J. Bottega // International Journal of Fracture. - 2003. - Vol. 122 -№1. - P. 89-100.

57.Budhe S., An updated review of adhesively bonded joints in composite materials / S. Budhe, M.D. Banea, S. Barros, L.F.M. Silva // International Journal of Adhesion and Adhesives. - 2017. - Vol. 72 - P. 30-42.

58.Chen H.P. Shear deformation theory for compressive delamination buckling and growth / H.P. Chen // AIAA Journal. - 1991. - Vol. 29, № 5. - P. 813-819.

59.Da Silva Lucas F.M. Analytical models of adhesively bonded joints — Part I : Literature survey / Lucas F.M. da Silva, Paulo J.C. das Neves, R.D. Adams, J.K. Spelt // Int. J. Adhes. Adhes. - 2009. - Vol. 29. - № 3. - P. 319-330.

60.Da Silva Lucas F.M. Analytical models of adhesively bonded joints—Part II : Comparative study / Lucas F.M. da Silva, Paulo J.C. das Neves, R.D. Adams, J.K. Spelt // Int. J. Adhes. Adhes. - 2009. - Vol. 29. - № 3. - P. 331-341.

61.Da Silva L. F. M. Handbook of adhesion technology / A. Ochsner, R.D. Adams. -Springer Science & Business Media, 2011. - 1542 p.

62.Dassault Systemes Simulia Corp., Abaqus 6.11, User's Manual; 2011.

63.Dávila C.G. Effective Simulation of delamination in aeronautical structures using shells and cohesive elements / C.G. Dávila, P.P. Camanho, A. Turon // Journal of Aircraft. - 2008. - Vol. 42. - № 2. - P. 663-672.

64.De Moura M.F.S.F., Gonfalves J.P.M. Cohesive zone model for high-cycle fatigue of adhesively bonded joints under mode I loading / M.F.S.F. De Moura, J.P.M. Gonfalves // International Journal of Solids and Structures. - 2014. - №2 5. - P. 11231131.

65.Evams A.G. On the mechanics of delamination and spelling on compressed films / A.G. Evams, J.W. Hutchinson // International Journal of Solids and Structures. -1984. - Vol. 20. - № 5. - P. 455-466.

66.Glagolev V.V. Stress-Strain State of Elastoplastic Bodies with Crack / V.V. Glagolev, L.V. Glagolev, A.A. Markin // Acta Mechanica Solida Sinica. - Vol. 28 - No. 4 - 2015. - P. 375-383.

67.He X. A review of finite element analysis of adhesively bonded joints / X. He // Int. J. Adhes. Adhes. - 2011. - Vol. 31. - № 4. - P. 248-264.

68.Hildebrand M. Non-linear analysis and optimization of adhesively bonded single lap joints between fibre-reinforced plastics and metals / M. Hildebrand // Int. J. Adhes. Adhes. - 1994. - Vol. 14. - № 4. - P. 261-267.

69.John W. Compressive strength of Composite Laminates with Anterlaminar Defects / W. John, J. Gillspie, R.B. Pipes // Composite structures. - 1984. - Vol. 2. - P. 4969.

70.Kim H.J. Postbuckling analysis of composite laminates / H.J. Kim // Computers and Structures. - 1997. - Vol. 62, № 6. - P. 975-983.

71.Kulkarni S.V. Propagation of delamination in a layered cylindrical shell / S.V. Kulkarni, D. Frederick // International Journal of Fracture. - 1973. - Vol.9 - №1. -P. 113-115.

72.Lurie S. Eshelby's inclusion problem in the gradient theory of elasticity: Applications to composite materials / S. Lurie, D. Volkov-Bogorodsky, A. Leontiev, E. Aifantis // International Journal of Engineering Science. - 2011. - vol. 49, P. 1517-1525.

73.Lurie S. Exact solution of Eshelby-Christensen problem in gradient elasticity for composites with spherical inclusions / S. Lurie, D. Volkov-Bogorodskii, N. Tuchkova // Acta Mechanica. - 2015. - № 3. - P. 1-12.

74.Mackerle J. Finite element analysis and simulation of adhesive bonding, soldering and brazing—an addendum: a bibliography (1996-2002) / J. Mackerle // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2002. - Vol. 10, No 6. - P. 637-671.

75.Mattei O., Bardella L. A structural model for plane sandwich beams including transverse core deformability and arbitrary boundary conditions / O. Mattei, L. Bardella // Eur. J. Mech. A-Solid. - 2016. - Vol. 58. - P. 172-186.

76.Panettieri E. Delaminations growth in compression after impact test simulations: Influence of cohesive elements parameters on numerical results / E. Panettieri, D. Fanteria, F. Danzi // Composite Structures. - 2016. - Vol. 137 - P. 140-147.

77.Panettieri E, Damage initialization techniques for nonsequential FE propagation analysis of delaminations in composite aerospace structures / E. Panettieri, D. Fanteria, A. Firrincieli // Meccanica. - 2015. - Vol. 50. - № 10. - P. 2569-2585.

78.Panteghini A. Structural theory and finite element modelling of linear elastic sandwich beams / A. Panteghini, L. Bardella // Eur. J. Mech. A-Solid. - 2017. - Vol. 61. - P. 393-407.

79.Petrov Y.V., Morozov N.F., Smirnov V.I. Structural Macromechanics Approach in

Dynamics of Fracture / Y.V. Petrov, N.F. Morozov, V.I. Smirnov // Fatigue Fract.

101

Engng. Mater. Struct. - 2003. - Vol. 26. - № 4. - P. 363-372. 80.Rashid K. Abu Al-Rub, Sun-Myung Kim, Khaldoon A. Bani-Hani, Nasser Al-Nuaimi, Ahmed Senouci, Finite element simulation of single carbon nanotube pull-outs from a cementitious nanocomposite material using an elastic-plastic-damage and cohesive surface models / K. Rashid A. Al-Rub, K. Sun-Myung, A. Khaldoon, N. Nasser, A. Senouci // Int. J. Theoretical and Applied Multiscale Mechanics. -2014. - Vol. 3. - № 1. - P. 31-57. 81.Schmidt P. A finite element method for failure analysis of adhesively bonded structures / P. Schmidt, U. Edlund // Int. J. Adhes. Adhes. - 2011. - Vol. 30. - № 8. - P. 665-681.

82.Sheinman I. Energy release rate and stress intensity factors for delaminated composite laminates / I. Sheinman, G. Kardomateas // International Journal of Solids and Structures. - 1997. - Vol. 34 - № 4. - P. 451-459. 83.Simitses G.J. Effect of delamination of axially loaded homogeneous laminated plates / G.J. Simitses, S. Sallam, W.H. Yin // AIAA Journal. - 1985. - Vol.23, -№9. - P.1437-1444.

84.Storakers B. Nonlinear plate theory applied to delamination in composites / B. Storakers, B. Andersson // Journal of Mechanics and Physics solids. - 1988. - Vol.36

- №6. - P. 689-718.

85.Sua X.T. Monte Carlo simulation of complex cohesive fracture in random heterogeneous quasi-brittle materials: A 3D study / X.T. Sua, Z.J. Yang, G.H. Liu // International Journal of Solids and Structures. - 2010. - Vol. 47. - № 17. - P. 23362345.

86.Sun C.T. On strain energy release rates for interfacial cracks in bi-material media / C.T. Sun, C.J. Jih // Engineering Fracture Mechanics. - 1987. - Vol. 28, No 1. - P. 13-20.

87.The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. - 2003. - Vol. 70 - № 14.

- P. 1741-1987.

88.Whitcomb J.D. Finite Element Analysis of Instability related Delamination Growth

/ J.D. Whitcomb // Journal of Composite materials. - 1981. - Vol.15 - №. 5 - P.

102

403-426.

89.Williams J.G. On the calculation of energy release rates for cracked laminates / J.G. Williams // International Journal of Fracture. - 1988. - Vol.36 - №2. - P. 101-119.

90.Xiangting Su, Zhenjun Yang, Guohua Liu. Finite element modelling of complex 3D static and dynamic crack propagation by embedding cohesive elements in Abaqus / Su Xiangting, Yang Zhenjun, Liu Guohua // Acta Mechanica Solida Sinica. - 2010.

- Vol. 23. - № 3. - P. 271-282.

91.Yang Q. Cohesive models for damage evolution in laminated composites / Q. Yang, B.N. Cox, // International Journal of Fracture. - 2005. - Vol. 133. - № 2. - P. 107137.

92.Yin W.L. Delamination buckling and growth in a champed circular plate / W.L. Yin, Z. Fei // AIAA Journal. - 1988. - Vol.26, - №4. - P. 438-445.

93.Yin W. L. The Energy - Release Rate in the Growth of a One - Dimensional Delamination / W.L. Yin., J.T.S. Wang // Journal of applied Mechanics. - 1984. -Vol.51. - P. 939-941.

94.Yin W. L. Ultimate axial load capacity of a delamindtes bam-plate / W.L. Yin, S.N. Sallam, C.J. Simitsees // AIAA Journal. - 1986. - Vol.24, - №1. - P. 123-128.

95.Zhang J., Xu W., Yao X.F. Load detection of functionally graded material based on coherent gradient sensing method / J. Zhang, W. Xu, X.F. Yao // Journal of Mechanics. - P. 1-12.

96.Zhenjun Y. A heterogeneous cohesive model for quasi-brittle materials considering spatially varying random fracture properties / Y. Zhenjun, X.F. Xu // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2008. - Vol. 197. - № 45-48.

- P. 4027-4039.