Многопараметрическая оптимизация лазерных интерферометрических детекторов гравитационных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.01, кандидат наук Ворончев, Никита Викторович

• Ворончев, Никита Викторович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Ворончев, Никита Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1. Гравитационные волны и интерферометрические методы их

регистрации

1.1. Гравитационные волны и методы их регистрации

1.2. Оптический датчик смещения

1.3. Матричный формализм

1.4. Спектральная плотность квантового шума

1.5. Основные элементы оптомеханических систем

1.6. Общий взгляд на линейные измерения

1.7. Корреляционные методы увеличения чувствительности

1.8. Квантовый измеритель скорости

Глава 2. Взаимный учет тепловых и квантовых шумов

2.1. Рассматриваемые конфигурации детекторов

2.2. Процедура численной оптимизации

2.3. Обсуждение результатов

2.4. Выводы ко второй главе

Глава 3. Многолучевой детектор Майкельсона/Фабри-Перо

3.1. Отрицательная оптическая инерция в двухлучевой схеме

3.2. Режим попарно связанных накачек

3.3. Выводы к третьей главе

Глава 4. Широкополосный детектор гравитационных волн на основе интерферометра Саньяка

4.1. Детектор Саньяка

4.2. Рассматриваемые конфигурации детекторов

4.3. Процедура численной оптимизации

4.4. Результаты оптимизации и их обсуждение

4.5. Выводы к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Вспомогательные формулы

А.1. Пондеромоторное сжатие

A.2. СКП системы пробных тел

Приложение Б. Детектор Майкельсона с двойной накачкой

Приложение В. Детектор Майкельсона с парными накачками

B.1. Многолучевой измеритель смещения

В.2. Полуаналитическая оптимизация

Приложение Г. Интерферометр Саньяка

Г.1. Интерферометр без потерь

Г.2. Интерферометр Саньяка с потерями

Г.З. Детектор с входным сжатием

Приложение Д. Таблицы результатов к Главе 4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многопараметрическая оптимизация лазерных интерферометрических детекторов гравитационных волн»

Введение

Актуальность темы исследования

Обнаружение гравитационных волн, существование которых следует из общей теории относительности (ОТО), является важной задачей современной физики. Основной проблемой в ее решении является чрезвычайная слабость гравитационно-волнового процесса — для его регистрации необходимы приборы, способные измерять относительные изменения расстояний между пробными телами 6L/L ~ Ю-22... Ю-24 [8-10]. Ведущиеся в этой области работы по развитию методов квантовых прецизионных измерений, могут позволить не только экспериментально проверить важнейшие предсказания ОТО, но и в перспективе создать принципиально новые подходы к астрономическим наблюдениям.

Первые эксперименты по поиску гравитационных волн основывались на резонансном возбуждении звуковых колебаний в крупных сплошных металлических телах [11]. Подобные приборы, обладающие современными механизмами подавления внешних и собственных шумов, а также более тонкими системами считывания акустического сигнала, существуют и в наши дни (MiniGRAIL, EXPLORER, NAUTILUS, ALLEGRO). Их рабочая полоса, расположенная в области частот ~ 1 кГц, имеет ширину порядка 20... 30 Гц. В то же время, наиболее вероятными источниками гравитационных воли считаются астрофизические объекты, излучающие либо на низких частотах (десятки герц), либо в широкой полосе частот от десятков герц до нескольких килогерц.

В настоящее время наиболее перспективным подходом к регистрации гравитационных волн считаются интерферометрические методы измерения относительного смещения отражающих пробных тел. Такие приборы позволяют более гибко настраивать свои рабочие характеристики и осуществлять широкополосный поиск сигнала. Современные лазерные детекторы гравитационных волн первого поколения (LIGO [12, 13], Virgo [14, 15], GE0600 [16, 17] и TAMA [18]) уже вплотную приблизились к стандартному квантовому пределу (СКП) чув-

ствительности — фундаментальному по своей природе, но преодолимому ограничению точности измерения механической координаты [19].

Своим происхождением СКП обязан существованию принципиально неустранимых квантовых флуктуаций. Для любого измерителя полный квантовый шум состоит из непосредственной ошибки измерения — измерительного шума — и случайного обратного влияния прибора на наблюдаемую систему — шума обратного флуктуационного влияния. Для случая оптического детектора измерительный шум обуславливается квантовой неопределенностью фазы отраженного света, в которой сосредоточен полезный сигнал. Шум обратного влияния определяется квантовыми флуктуациями интенсивности света, которые вызывают случайные изменения силы давления света на пробные тела. Но поскольку две компоненты общего шума связаны принципом неопределенности Гейзенбер-га, то простое уменьшение одной из них будет неизбежно сопровождаться увеличением другой. Стандартному квантовому пределу соответствует минимум их суммы.

Важная роль СКП для гравитационно-волновых детекторов объясняется тем, что сигнальные смещения пробных тел сравнимы по амплитуде с маскирующими их квантовыми флуктуациями. В интерферометрических детекторах первого поколения доминировал измерительный шум. Однако в строящихся или уже вводящихся в эксплуатацию приборах второго поколения (Advanced LIGO, Advanced Virgo, GEO-HF и LCGT) [20-25] планируется стократно увеличить циркулирующую оптическую мощность. Это на один порядок величины снизит дробовой измерительный шум, пропорционально увеличив шум обратного влияния. Для подавления последнего в детекторах будущих поколений предлагается использовать дополнительные фильтрующие резонаторы [26], а также измерять скорость пробных тел вместо их смещения [27]. Такое измерение может быть осуществлено, в частности, в интерферометре Саньяка [28].

Также, при анализе чувствительности гравитационных детекторов необходимо учитывать, что регистрация полезного сигнала осложняется различны-

ми классическими шумами: тепловыми шумами покрытий и подвесов пробных тел, флуктуациями гравитационных градиентов, сейсмическими и техногенными воздействиями и т. д. В современных детекторах классические флуктуации оказывают значительный вклад в полный шумовой фон, и разработка эффективных методов их подавления представляет большой научный и практический интерес. В детекторах будущих поколений планируется достигнуть столь низкого уровня технического шума, что их чувствительность в первую очередь будет определяться уже квантовым шумом. В настоящее время для увеличения чувствительности детекторов важна как оптимизация параметров приборов второго поколения, так и концептуальные предложения по только планируемым будущим схемам.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью настоящей работы является исследование чувствительности различных схем лазерных интерферометрических гравитационно-волновых детекторов и, путем проведения многопараметрической оптимизации, нахождение способов ее увеличения за счет применения новых режимов работы. К основным задачам диссертации следует отнести:

— определение оптимальных параметров детектора при совместном учете квантового и технического шумов;

— исследование и оптимизация квантовых шумов многолучевых конфигураций детектора Майкельсона, в которых оптическая накачка интерферометра осуществляется несколькими независимыми источниками света;

— исследование перспективности интерферометра Саньяка перед традиционным интерферометром Майкельсона на основе сравнения оптимально настроенных детекторов обеих топологий.

На защиту выносится

1. Метод совместного анализа квантового шума и броуновского шума покрытий зеркал в лазерных детекторах гравитационных волн и результаты соответ-

ствующей оптимизации таких детекторов с использованием, в частности, сжатых квантовых состояний света.

2. Анализ применимости эффекта отрицательной оптической инерции в двух-лучевой схеме лазерного гравитационно-волнового детектора и результаты оптимизации двухлучевьтх интерферометров с отрицательной инерцией для различных источников гравитационно-волнового сигнала.

3. Режим попарно антисимметричных накачек в двухлучевой схеме лазерного гравитационно-волнового детектора, позволяющий в широкой полосе частот достигать и до некоторой степени превосходить Стандартный Квантовый Предел.

4. Результаты широкополосной оптимизации детектора с одной и двумя парами лучей при инжекции как классических, так и сжатых квантовых состояний, демонстрирующие возможности создания ксилофонной конфигурации в рамках единственного интерферометра и гибкой настройки частотной зависимости спектральной плотности квантового шума.

5. Исследование чувствительности планируемого детектора, основанного на интерферометре Саньяка с плечами большой длины и инжекцией неклассических состояний света. Результаты численной оптимизации такого детектора, демонстрирующие более слабые, в сравнении со схемой Майкельсона, требования к величине оптических потерь в фильтрующем резонаторе, а также чувствительность, сравнимую с ксилофонной конфигурацией двух детекторов Майкельсона.

Научная новизна

В диссертации предложены новые методы повышения чувствительности лазерных гравитационно-волновых детекторов как второго, так и последующих поколений. Разработан программный пакет для численной многопараметрической оптимизации этих приборов.

В отличии от традиционного подхода к оптимизации детекторов, когда осуществляется раздельная минимизация квантовых и технических флуктуаций, в настоящей работе впервые предложен и проведен совместный анализ этих щу-

мов, что дало возможность найти компромиссную настройку систем, обеспечивающую повышение итоговой чувствительности.

Полученные выражения для квантовых неопределенностей света в детекторе Майкельсона позволили впервые провести полную численную оптимизацию двух- и четырех-лучевой схемы в различной конфигурации с учетом оптических потерь. Для широкополосного увеличения чувствительности детекторов предложен принципиально новый режим попарно антисимметричных лучей.

Впервые осуществлен расчет квантовых шумов детектора Саньяка с рециркуляцией сигнала и инжекцией сжатых квантовых состояний при учете шумов оптических потерь и неидеальности поляризационного делителя пучка. Выполненная по полученным выражениям численная оптимизация такого детектора продемонстрировала существенно более слабые, в сравнении со схемой Майкельсона, требования к качеству фильтрующего резонатора. Более того, уровень квантовых шумов детектора Саньяка оказался сравнимым с соответствующей характеристикой ксилофонной конфигурации двух детекторов Майкельсона.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты предполагается использовать для оптимизации работы гравитационно-волновых детекторов второго поколения, а также при проектировании детекторов будущих поколений и иных схем прецизионных измерений на основе лазерных интерферометров.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры физики колебаний физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, семинаре по физике многофотонных процессов Института общей физики РАН (Москва, 2015), VII семинаре памяти Д.Н. Клышко (Москва, 2011), а также на международных конференциях "LSC-Virgo Meeting" (Krakow, Poland, 2010; Gainesville, USA, 2011), "20th International Conference on General Relativity and Gravitation and 10th Amaldi Conference on Gravitational Waves" (Warsaw, Poland,

2013) и совещании "Gravitational Wave Detectors for the Next Decade Workshop" (Elba, Italy, 2013).

Публикации

По теме диссертации опубликовано семь печатных работ [1-7]. Все основные результаты диссертации представлены в рецензируемых научных журналах [1-4].

Личный вклад автора

Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Им были созданы компьютерные программы для моделирования процессов в лазерных детекторах и их оптимизации, выполнены все аналитические и численные расчеты. Постановка задач осуществлялась совместно с научным руководителем. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и семи приложений. Общий объем диссертации составляет 149 страниц, в том числе 25 рисунков и 11 таблиц. Список цитируемой литературы включает в себя 148 наименований.

Глава 1

Гравитационные волны и интерферометрические

методы их регистрации

В настоящей Главе вводится понятие гравитационных волн и описываются интерферометрические методы их регистрации; излагаются основные идеи теории линейных квантовых измерений. На базовых примерах продемонстрированы принципы работы измерителя смещения и измерителя скорости. Вводятся матричные записи преобразования квадратур полей, а также спектральных плотностей квантового шума.

1.1. Гравитационные волны и методы их регистрации

Согласно ОТО все физические процессы происходят в 4-х мерном пространстве-времени, геометрию которого определяет метрический тензор gap [29, 30]. В отсутствии гравитации это пространство вырождается в плоское пространство Минковского. Свободные частицы (в том числе, и фотоны) движутся по своим мировым линиям, которые являются прямыми. При учете гравити-рующей материи, пространство-время претерпевает искривление, описываемое уравнением Эйнштейна:

= (1.1)

2 (Г

где — тензор энергии-импульса внесенной материи, а полностью определяемые метрическим тензором и Я = Япр^7^ — тензор кривизны Ричи и скалярная кривизна, соответственно (в определении последней использовано стандартное сокращения записи суммирования). Роль прямых в искривленном пространстве играют геодезические линии. Именно по ним будут двигаться частицы, свободные от иных воздействий. То есть, гравитация искажает мировые линии

частиц, а физическим смыслом уравнения геодезической линии

сГ-хл _ л <1х«_сЫ_ ¿Л'2 " сЬ

является уравнение движения частицы. Здесь символы Кристоффеля Г^ выражаются через элементы метрического тензора и их первые производные, а = §ар<1ха— квадрат пространственно-временного интервала.

Уравнение Эйнштейна (1.1) имеет большое количество решений, в частности, и волновых. Рассмотрим наиболее простой случай, когда слабая гравитационная волна распространяется вдоль оси г в пустом пространстве, а метрический тензор представим в виде #в = где — слабое возмущение метрики

плоского пространства Пусть 1гЦ является таким решением в поперечно-

бесследовой калибровке. Тогда оно может быть разложено по тензорам поляризации е*'*, составленным из ортов осей х и у: = г/с) е^ + Их(1-г/с) е*р. Будем рассматривать "+"-поляризацию с вариацией метрики 1г+ = /г. Тогда, в случае двух частиц, находящихся друг от друга на удалении Ь в плоскости х, у, гравитационная волна вызовет возмущение расстояния между ними. Из уравнения геодезической линии (1.2) следует:

с12х Ьх.. (Р~у ..

Так как уравнения (1.3) являются и уравнениями движения свободных частиц, то, привязав систему отсчета к одной из них {наблюдателю), правые части (1.3) можно интерпретировать как проекции приливной гравитационной силы С, действующей на вторую частицу, которая играет роль пробного тела. Тогда в Фурье-пространстве для силы справедливо:

7 ШО)

С(П) = -тП2—^-, (1.4)

где т — масса пробного тела. Таким образом, наблюдение за гравитационно-волновым процессом можно осуществить путем измерения этой силы. Отметим, что действие "+"-поляризации оказывается незаметным вдоль осей, расположенных

под углами 45° к осям х и у — в том направлении будет действовать вторая, "х"-поляризация.

Лазерные интерферометрические детекторы гравитационных волн

Из (1.3) следует, что проекции приливных сил, действующих вдоль взаимно перпендикулярных осей х и у правосторонней системы координат, имеют различные знаки. Тогда очевидным способом обнаружения гравитационной волны "+"-поляризации является применение интерферометра Майкельсона, плечи которого для достижения наивысшей чувствительности необходимо ориентировать вдоль осей х, у. В таком детекторе действие сигнальной силы С будут испытывать на себе концевые зеркала, а расстояние Ь соответствует длинам плеч. Информация об эффективном смещении пробных тел может быть извлечена из измерения фазы отраженного света.

Однако, как уже отмечалось выше, полезный сигнал настолько слаб, что система должна рассматриваться с позиций квантовой теории: неустранимые квантовые флуктуации фазы света будут интерпретироваться как дополнительное смещение пробных тел Аф ~ А(6Ь). Более того, обратное пондеромоторное воздействие на пробные тела со стороны падающего света обладает флуктуаци-онной составляющей в силу квантовой неопределенности амплитуды излучения. Поскольку эти шумы — измерительный и обратного флуктуационного влияния — оказываются сравнимы по своей мощности, то чувствительность подобных детекторов приближается к стандартному квантовому пределу. Проиллюстрируем немного подробнее механизм возникновения СКП на примере дискретного измерения.

Если рассмотреть отражение от пробного тела двух последовательных световых импульсов, то второй из них будет нести информацию не только о сигнальном смещении, но и о действовавшей на объект во время первого измерения случайной силе обратного влияния. Поскольку дисперсии фазы и интенсивности света связаны соотношением неопределенности Гейзенберга, то простое

а,

(а). Оптический датчик смещения;

(б). Разрешимость когерентных состояний;

Рис. 1.1. Иллюстрации к процессу оптического измерения смещения.

увеличение точности первого измерения АЬ\ —> 0 будет бесконечно увеличивать дисперсию силы обратного влияния. Это вызовет соответствующий рост неопределенности возмущения механического импульса пробного тела Ар]Ья и, следовательно, увеличение АЬг второго измерения. Справедливо и обратное: увеличение дисперсии первого измерения вызывает уменьшение дисперсии соответствующей силы обратного влияния и неопределенности второго измерения А£2. Это означает, что оптимальным выбором точности первого измерения можно минимизировать итоговую ошибку определения смещения Д(/,2 - Ь\), которая и является стандартным квантовым пределом — фундаментальным ограничением чувствительности любого измерения [19, 31]. Однако этот предел зависит от процедуры измерения и поэтому может быть преодолен.

1.2. Оптический датчик смещения

Рассмотрим модель измерителя смещения более подробно и совершим предельный переход от серии световых импульсов к непрерывному измерению. На Рис. 1.1 -а изображена схема оптического датчика смещения: зеркало массы т испытывает на себе внешнюю сигнальную силу С.

Будем для начала считать, что от пробного тела отражается поток одина-

ковых лазерных импульсов длительности 0 [31, 32]. За счет смещения зеркала вдоль оси х каждый такой импульс приобретает дополнительный (положительный или отрицательный) набег фазы, который регистрируется фотодетектором:

На = К ~ . (1.5)

Здесь Г — число отражений от пробного тела, достигаемое за счет дополнительного неподвижного зеркала, кр = сор/с — волновое число, а х(/у) — смещение пробного тела в момент времени отражения /-ого импульса Квантовая неопределенность начальной фазы светового импульса отражается слагаемым ф-'й и совместно с неопределенностью числа фотонов удовлетворяет неравенству Гейзенберга Д[<%] АЩ] > где Д[£] = = - (О2 — квадратный корень из дисперсии. Таким образом, на основе фазы ф^ можно получить за-шумленную оценку измеряемого смещения пробного тела:

X; =

ф\

(Лег

7 2 Ркр

- Л'тсач + ~ -*теач + -^Ъ.а.(О') + хо{1]), (1.6)

2 Ркр

где к действительному смещению добавляется слагаемое х^еж = определяемое квантовыми флуктуациями фазы — это и есть измерительный шум. Обратное влияние света на пробное тело выражается в виде дополнитель-

А

ного смещения А'ь.а.(?/Х вызванного действием пондеромоторной силы Fp0n(j = — А

/Ч) + /^ь.а.. Здесь первое слагаемое отражает среднюю классическую составляющую, скомпенсированную, к примеру, натяжением отклоненного подвеса зеркала, а второе — квантово-флуктуационную, возникающую за счет неопределенности амплитуды света. Тогда после очередного отражения механический импульс пробного тела /3(г7- + в) = р(гу) + возмущается на величину бр]ропй =

2Р

\Уо + бр! , где )¥о — средняя энергия, запасенная в одном световом импульсе,

с " Ь а-

7 2 /" А I

а брЪа = —И^ — случайная добавка, определяемая флуктуационной составляющей энергии Учитывая = У/о + Ш^ =НшрП], можно показать, что неопределенности измерения смещения пробного тела и возмущения его механического

импульса также удовлетворяют неравенству Гейзенберга A.vmeas А/%а. >

Последующие повторения процедуры, в пределе переходящие в одно непрерывное измерение, снижают измерительную ошибку. В этом случае удобно описывать шумы системы в частотном представлении через их спектральные плотности. Можно показать (см. к примеру [32]), что спектральные плотности измерительного шума Sxx = lim (Axmeas)2 в и силы обратного флуктуационного влия-

О—

ния S ff = lim(A/?b.a.)" /О связаны с аналогичными характеристиками для фазы в-*0

S<f, и интенсивности S / света следующим образом:

Не 4 F2S{ 4HùjpIqF2

хх 4F42p 16copIQFr FF~ с2 " с2 '

где конечные выражения справедливы для когерентного состояния света. Здесь

мощность непрерывного излучения /0 заменяет энергию Wo единичного им-

9 Ft

пульса. Тогда SXXSff = SфБ¡/со- > —, что для непрерывного измерения является аналогом неравенства Гейзенберга. Гауссово когерентное состояние, по аналогии с гармоническим осциллятором, обращает его в равенство.

Наглядно процедуру измерения иллюстрирует Рис. 1.1-6, где на фазовой плоскости изображены когерентные состояния (см. также Раздел 1.3). Расстояния от их центров до начала координат — классические амплитуды поля Л — будут пропорциональны л/То- Так как Л обладает неопределенностью АЛ, то неопределенность мощности A(/0) ос Л • АЛ, что дает S / ос J0 (АЛ)2. В то же время, угловой размер состояния уменьшается при его удалении от начала координат. Именно поэтому ос 1/Iq, а чем больше Iq, тем меньший угол поворота состояния можно разрешить — два соседних состояния обладают все меньшей областью перекрытия. Таким образом, при неизменных квантовых неопределенностях света, изменение классической мощности противоположным образом влияет на измерительный шум и шум обратного влияния.

1.3. Матричный формализм

Для полноценного анализа оптомеханических систем с учетом различного рода потерь удобно пользоваться матричной записью преобразования квадратур оптического излучения, предложенной Кейвсом и Шумахером [33, 34]. Рассмотрим плоскую монохроматическую волну. Напряженность ее электрической компоненты в некоторой точке может быть представлена в виде суммы классической А0 и квантовой Ад составляющих [26, 32]:

А(/) = (А(а}гар + АдШр(г)) eos (o>pt- ф0 + Ш) « A0(t) + Afl(í), где

Ao(í) = AqW cQs(wpt- фо), (1.7)

Здесь фо — постоянный набег фазы в выбранной точке наблюдения, а для кван-

А Л

тово-флуктуационной части поля справедливо: (Ап> = 0, (ф$) = 0. В представлении (1.7) слагаемое A^mp(r) cos(ojpt - фо) носит название амплитудной квадратуры, а фъ(1) AÁ™Vún(íúpt- фц) — фазовой квадратуры.

С другой стороны, из квантовой теории для бегущей волны известно:

(X

Afl(í) =

о

где - площадь поперечного сечения светового пучка, а а(со) и ят(<х>) - операторы уничтожения и рождения для моды с частотой и, удовлетворяющие коммутативным соотношениям [á(cj), a(tü')] = 0 и [а(со), а?(со')] = 2п6(а) - со'). Вводя по аналогии комплексную амплитуду ¿ño = | J\q \ е,ф{) и учитывая, что АдШр = 2 №1, Для классической составляющей можно записать:

¡2nñ(x)n . , ¡2лНсоп г ., -i

Ло(,) = V-ъг*^ + hc-=2 VИ^ ' J •

Так как движение механической моды осуществляется на малых частотах Q «с й)р, то боковые частоты света сор ± П, несущие в детекторах всю полезную информацию, расположены в узкой полосе около сор. Для анализа опто-

Inñoj „, ч ltdu)

V 1¡c~ (ш) + '

механических схем можно ограничиться двухфотонным формализмом, заключающимся в рассмотрении эволюции мод боковых частот á±(Q) = а(сор ± Q). Однако для сложных систем, учитывающих различные потери и исследуемых с помощью численных методов, удобно использовать операторы безразмерных амплитуд "косинусной" и "синусной" квадратур, соответственно, ac(í2) и ás(Q):

л а+(П) + aim Л a+m-ñím

ac(Q) =---, я,(П) =---. (1.8)

V2 V2 /

Они эрмитовы во временном представлении (aCtS(t) = a^s(t), áCtS(Q) = áJvS(-Q)) и потому соответствуют непосредственно наблюдаемым в эксперименте всличи-

л

нам. Для флуктуационной составляющей поля Ац это означает: Añ(t) = Áffit) cos ojpt + Aaflmfp(í) sin copt,

для 14ЯЫр

ÍOt dQ. ¡4nHcon (!-9)

V % с

—со

где j = {с, ,s}. Из сравнения (1.9) с (1.7) получаем:

ш ос Att,c(o = Á¡mp(o-cos+ Át) ос An,,(0 = Ajmp(O-sin0o - фйтТр-cos ф0.

(1.10)

а

Тогда в точке наблюдения с фо = 0 "косинусная" квадратура в точности соответствует флуктуациям амплитуды поля, амплитудной квадратуре; а "синусная" — флуктуациям фазы, фазовой квадратуре (см. Рис. 1.2).

В конечном итоге поле гармонической плоской волны (1.7) представимо в следующем виде:

Ж0 = (Иг + àv{t)} cos (Opt + [Я, + âs(0] sin (Opt) , (1.11)

где, по аналогии с (1.8), справедливо:

Яс = ° ^ 0 = V2Re[^l0] = V2|^Io|cos<^o ос A,a.mp cos <р0,

V2 и

¿fts = ° 0 = V2Im [31q] = V^olshm, cc Aamp sinщ. Y2i

А Я*

п

а я»

4а.пр

2дЛ;;П1р

£«(1 = 7

а л*

фазовая квадратура амплитудная квадратура

«г

2 Л'ГАфп

2Д фа

</'0=0

Рис. 1.2. Условное изображение одного и того же квантового состояния при трех различных значениях фазы Основные оси соответствуют "косинусной" и "синусной" квадратурам.

Представление волны (1.11) носит название приближения вращающейся поляризации и, по сути, является классическим методом медленно меняющихся амплитуд (ММА) — постоянное высокочастотное вращение рассматривается отдельно от медленной эволюции амплитуд асл{О-

Тогда любая оптомеханическая система, трансформирующая квантовые амплитуды квадратур входящего света а в соответствующие операторы Ь выходящего света, может быть описана 2 х 2-матрицей Т:

Ь(П) =

/Ч —

Т(П) а(П).

(1.12)

Тп(П) Т12(П) ас{0) Т21(П) Т22(П)\ [й,(П)

Будем далее для краткости опускать зависимость от частоты О.. В такой записи, однако, матрица преобразования Т не позволяет разделить измерительный шум и шум обратного влияния. Для этого необходимо представить Т в виде суммы двух частей, каждая из которых отвечает за свою составляющую полного квантового шума: Т = Ттеач + Ть,а\ Если учесть, что шум обратного влияния равен нулю при отсутствии оптомеханической связи (к примеру, при зафиксированной механической степени свободы), то имеем: Тте^ = Т|пос А тогда:

тЬ.а. =т_т|

1по соир!

Приведем в заключение правило перехода к операторам комплексных амплитуд от операторов уничтожения в двухфотонном формализме. Пусть некото-

л

рая система преобразует поле на входе а(со) к полю на выходе Ь(со) в соответ-

л

ствии с Ь(а>) = Т(ш) а{со). Тогда, вводя обозначения Т± = Т±(0.) = Т(сор ± П), в матричном представлении в силу (1.8) будет справедливо:

1 Т+ + Т*_ У(Г+ - Т1)

2 ч(т+ - т*) т+ + г:

(1.13)

1.4. Спектральная плотность квантового шума

Выражение (1.12) описывает только трансформацию квантовых флуктуа-ций вошедшего в систему света, но не отражает процесс регистрации внешнего сигнала. В детекторе же под действием приливных сил С(Г2) возбуждаются боковые оптические частоты сор ± О.:

где — функция отклика на сигнал X. Под X может пониматься как сигнальное смещение хд, так и определяющие его приливная сила С или вариация метрики Iг. Тогда для квадратур поля в матричной записи справедливо:

где функция отклика Т* представляется столбцом из двух элементов. Таким образом, за счет оптомеханического взаимодействия в зашумленные квадратуры Ь включается полезный сигнал X.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ворончев, Никита Викторович, 2015 год

Список литературы

1. Voronchev N. V., Danilishin S. L., Khalili F. Y. Trade-off between quantum and thermal fluctuations in mirror coatings yields improved sensitivity of gravitational-wave interferometers // Physical Review D. 2012. Vol. 86, no. 12. P. 122003(1-12).

2. Ворончев H. В., Данилишин Ш. JI., Халили Ф. Я. Отрицательная оптическая инерция в оптомеханических системах // Оптика и Спектроскопия. 2012. Т. 112, № 3. С. 418^26.

3. Korobko М., Voronchev N., Miao Н., Khalili F. Y. Paired carriers as a way to reduce quantum noise of multicarrier gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2015. Vol. 91, no. 4. P. 042004(1-13).

4. Ворончев H. В., Данилишин Ш. JI., Халили Ф. Я. Интерферометр Саньяка как гравитационно-волновой детектор третьего поколения // Вестник Московского Университета, серия 3: физика и астрономия. 2014. № 6. С. 81-89.

5. Voronchev N. V., Tarabrin S. P., Danilishin S. L. Broadband detuned Sagnac interferometer for future generation gravitational wave astronomy. 2015. arX-iv:1503.01062.

6. Acernese F., Barone F.,..., Voronchev N. et al. Concepts and research for future detectors // General Relativity and Gravitation. 2014. Vol. 46, no. 5. P. 1700.

7. Hild S., Barr В.,..., Voronchev N. LIGO 3 Strawman Design, Team Red. 2012. URL: https://dcc.ligo.org/LIG0-T1200046/public.

8. Narayan R., Piran Т., Shemi A. Neutron star and black hole binaries in the Galaxy // Astrophys. J. 1991. Vol. 379. P. L17-L20.

9. Phinney E. S. The rate of neutron star binary mergers in the universe - Minimal predictions for gravity wave detectors // Astrophys. J. 1991. Vol. 380. P. L17-L21.

10. Postnov K. A., Yungelson L. R. The Evolution of Compact Binary Star Systems // Living Reviews in Relativity. 2006. Vol. 9, no. 6. P. 1-108.

11. Weber J. Gravitational-Wave-Detector Events // Physical Review Letters. 1968. Vol. 20. P. 1307-1308.

12. Abramovici A., Althouse W. E., Drever R. W. P. et al. L1GO: The Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory // Scicnce. 1992. Vol. 256, no. 5055. P. 325-333.

13. LIGO Home Page. URL: http://www.ligo.caltech.edu.

14. Ando M., Arai K., Takahashi R. et al. Stable Operation of a 300-m Laser Interferometer with Sufficient Sensitivity to Detect Gravitational-Wave Events within Our Galaxy // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86, no. 18. P. 3950-3954.

15. VIRGO Home Page. URL: http://www.virgo.infn.it.

16. Willkc В., Aufmuth P., Aulbert C. et al. The GEO 600 gravitational wave detector//Classical and Quantum Gravity. 2002. Vol. 19, no. 7. P. 1377-1387.

17. GEO-6OO Home Page. URL: http://geo600.aei.rapg.de.

18. TAMA Home Page. URL: http: //tamago . mtk. nao. ac . jp.

19. Брагинский В. Б. Классические и квантовые ограничения при обнаружении слабых воздействий на макроскопический осциллятор // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1967. Т. 53. С. 1434-1441.

20. Thorne К. S. The Scientific Case for Mature LIGO Interferometers. 2012. URL: https://dcc.ligo.org/LIG0-P000024.

21. Fritschel P. Second generation instruments for the Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory (LIGO) // Proc. SPIE. 2003. Vol. 4856, no. Gravitational-Wave Detection. P. 282-291.

22. Smith J. R. The path to the enhanced and advanced LIGO gravitational-wave detectors // Classical and Quantum Gravity. 2009. Vol. 26, no. 11. P. 114013(1-8).

23. Acernese F., Amico P., Alshourbagy M. et al. Virgo upgrade investigations // Journal of Physics: Conference Series. 2006. Vol. 32, no. 1. P. 223-229.

24. Willke В., Ajith P., Allen B. et al. The GEO-HF project // Classical and Quantum Gravity. 2006. Vol. 23, no. 8. P. S207-S214.

25. LCGT Home Page. URL: http://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/gr/LCGT.html.

26. Kimble H. J., Levin Y., Matsko A. B. et al. Conversion of conventional gravitational-wave interferometers into QND interferometers by modifying their input and/or output optics // Physical Review D. 2001. Vol. 65, no. 2. P. 022002(1-31).

27. Braginsky V. В., Khalili F. Y. Gravitational wave antenna with QND speed meter // Physics Letters A. 1990. Vol. 147, no. 5-6. P. 251-256.

28. Chen Y. Sagnac interferometer as a speed-meter-type, quantum-nondemolition gravitational-wave detector // Physical Review D. 2003. Vol. 67, no. 12. P. 122004(1-11).

29. Blandford R., Thorne K. S. Applications of Classical Physics. 2003.

30. Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation. W. H. Freeman and Company, 1973. P. 1279. ISBN: 0-7167-0344-0.

31. Braginsky V. В., Khalili F. Y. Quantum Measurement. Cambridge University Press, 1992.

32. Danilishin S. L., Khalili F. Y. Quantum Measurement Theory in Gravitational-Wave Detectors // Living Reviews in Relativity. 2012. Vol. 15, no. 5. P. 1-147.

33. Caves С. M., Schumaker B. L. New formalism for two-photon quantum optics.

I. Quadrature phases and squeezed states // Physical Review A. 1985. Vol. 31, no. 5. P. 3068-3092.

34. Schumaker B. L., Caves С. M. New formalism for two-photon quantum optics.

II. Mathematical foundation and compact notation // Physical Review A. 1985. Vol. 31, no. 5. P. 3093-3111.

35. Callen H. В., Welton T. A. Irreversibility and Generalized Noise // Physical Review Series II. 1951. Vol. 83, no. 1. P. 34-40.

36. Ландау JT. Д., Лифшиц E. M. Статистическая физика. Часть 1. Издание 3-е, дополненное и переработанное изд. Наука, 1976. С. 584.

37. Wang М., Bond С., Brown D. et al. Realistic polarizing Sagnac topology with DC readout for the Einstein Telescope // Physical Review D. 2013. Vol. 87, no. 9. P. 096008(1-16).

38. Born M., Wolf E., Bhatia A. B. et al. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light. 7 edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. P. 985.

39. Mandel L., Wolf E. Optical coherence and quantum optics. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

40. Stokes G. G. On the perfect blackness of the central spot in Newton's rings, and on the verification of Fresnel's formulae for the intensities of reflected and refracted rays // The Cambridge and Dublin Math. J. 1849. Vol. 4. P. 1-14.

41. Buonanno A., Chen Y. Quantum noise in second generation, signal-recycled laser interferometrie gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2001. Vol. 64, no. 4. P. 042006(1-21).

42. Buonanno A., Chen Y. Scaling law in signal recyclcd laser interferometer gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2003. Vol. 67, no. 6. P. 062002(1-19).

43. Buonanno A., Chen Y. Signal recycled laser-interferometer gravitational-wave detectors as optical springs // Physical Review D. 2002. Vol. 65, no. 4. P. 042001(1-26).

44. Danilishin S. L. Sensitivity limitations in optical speed meter topology of gravitational-wave antennas // Physical Review D. 2004. Vol. 69, no. 10. P. 102003(1-17).

45. Freise A., Strain K. Interferometer Techniques for Gravitational-Wave Detection // Living Reviews in Relativity. 2010. Vol. 13, no. 1. P. 1-81.

46. Braginsky V. B., Khalili F. Y. Low-noise rigidity in quantum measurements // Physical Review A. 1999. Vol. 257, no. 5-6. P. 241-246.

47. Khalili F. Y. Frequency-dependent rigidity in large-scale interferometrie gravitational-wave detectors // Physics Letters A. 2001. Vol. 288, no. 5-6. P. 251-256.

48. Buonanno A., Chen Y. Laser-interferometer gravitational-wave optical-spring detectors // Classical and Quantum Gravity. 2002. Vol. 19, no. 7. P. 1569-1574.

49. Rehbein II., Miiller-Ebhardt H., Somiya K. et al. Double optical spring enhance-

ment for gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2008. Vol. 78, no. 6. P. 062003(1-11).

50. Corbitt T., Chen Y., Innerhofer E. et al. An All-Optical Trap for a Gram-Scale Mirror// Physical Review Letters. 2007. Vol. 98, no. 15. P. 150802(1-4).

51. The Detection of Gravitational Waves / Ed. by D. G. Blair. Cambridge, U.K., New York, U.S.A.: Cambridge University Press, 1991.

52. Müller-Ebhardt H. On quantum effects in the dynamics of macroscopic test masses. 2009.

53. Drever R. W. P., Hought J., Munley A. J. et al. Gravitational Wave Detectors Using Laser Interferometers and Optical Cavities: Ideas, Principles and Prospects // Quantum Optics, Experimental Gravity, and Measurement Theory, Ed. by P. Meystre, M. O. Scully. New York: Plenum Press, 1983. P. 503-514.

54. Meers B. J. Recycling in laser-interferometric gravitational-wave detectors // Physical Review D. 1988. Vol. 38, no. 8. P. 2317-2326.

55. Vinet J.-Y., Meers B., Man C. N., Brillet A. Optimization of long-baseline optical interferometers for gravitational-wave detection // Physical Review D. 1988. Vol. 38, no. 2. P. 433-447.

56. Chen Y. Topics of LIGO Physics: Quantum Noise in Advanced Interferometers and Template Banks for Compact-Binary Inspirals. 2003. URL: http: //resolver.caltech.edu/CaltechETD:etd-05302003-044325.

57. Chen Y. Macroscopic quantum mechanics: theory and experimental concepts of optomechanics // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 2013. Vol. 46, no. 10. P. 104001(1-50).

58. Clerk A. A., Devoret M. H., Girvin S. M. et al. Introduction to quantum noise, measurement, and amplification // Reviews of Modern Physics. 2010. Vol. 82, no. 2. P. 1155-1208.

59. Teufel J. D., Donner T., Castellanos-Beltran M. A. et al. Nanomechanical motion measured with an imprecision below that at the standard quantum limit // Nature Nanotechnology. 2009. Vol. 4. P. 820-823.

60. Khalili F. Y., Lazebny V. I., Vyatchanin S. P. Sub-standard-quantum-limit sensitivity via optical rigidity in the advanced LIGO interferometer with optical losses//Physical Review D. 2006. Vol. 73. P. 062002(1-18).

61. Arcizet O., Briant Т., Heidmann A., Pinard M. Beating quantum limits in an optomechanical sensor by cavity detuning // Physical Review A. 2006. Vol. 73. P. 033819(1-8).

62. Belfi J., Marin F. Sensitivity below the standard quantum limit in gravitational wave detectors with Michelson-Fabry-Perot readout // Physical Review D. 2008. Vol. 77, no. 12. P. 122002(1-15).

63. Unruh W. G. Quantum Noise in the Interferometer Detector // Quantum Optics, Experimental Gravity, and Measurement Theory, Ed. by P. Meystre, M. O. Scully. New York: Plenum Press, 1983. P. 647-660.

64. Chen Y., Danilishin S. L., Khalili F. Y., Muller-Ebhardt H. QND measurements for future gravitational-wave detectors // General Relativity and Gravitation. 2011. Vol. 43, no. 2. P. 671-694.

65. Vyatchanin S. P., Zubova E. A. Quantum variation measurement of force // Physics Letters A. 1995. Vol. 201, no. 4. P. 269-274.

66. Вятчанин С. П., Мацко А. Б. Квантовое вариационное измерение силы и компенсация нелинейного обратного флуктуациопного влияния в инрерфе-рометрическом датчике смещений // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1996. Т. 110. С. 1252-1265.

67. Вятчанин С. П., Мацко А. Б. Квантовое вариационное измерение силы и компенсация нелинейного обратного флуктуациопного влияния // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1996. Т. 109. С. 1873-1879.

68. Yuen Н. P., Shapiro J. Н. Optical communication with two-photon coherent states-Part III: Quantum measurements realizable with photoemissive detectors // IEEE Transactions on Information Theory. 1980. Vol. 26, no. 1. P. 78-92.

69. Caves С. M. Quantum-mechanical noise in an interferometer // Physical Review D. 1981. Vol. 23, no. 8. P. 1693-1708.

70. Scully M. О., Zubairy М. S. Quantum Optics. Cambridge and New York: Cambridge University Press, 1997. P. 630.

71. Walls D. F., Milburn G. J. Quantum Optics. 2 edition. Springer, 2008. P. 425.

72. Jaekel M. Т., Reynaud S. Quantum Limits in Interferometric Measurements // Europhysics Letters. 1990. Vol. 13, no. 4. P. 301-306.

73. Pace A. F., Collett M. J., Walls D. F. Quantum limits in interferometric detection of gravitational radiation // Physical Review A. 1993. Vol. 47, no. 4. P. 3173-3189.

74. Клышко Д. H. Корентный распад фотонов в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6, № 1. С. 490-492.

75. Зельдович Б. Я., Клышко Д. Н. Статистика поля при параметрической люминесценции // Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 9, № 1. С. 69-72.

76. Xiao М., Wu L.-A., Kimble Н. J. Precision measurement beyond the shot-noise limit // Physical Review Letters. 1987. Vol. 59, no. 3. P. 278-281.

77. Grangier P., Slusher R. E., Yurke В., LaPorta A. Squeezed-light-enhanced polarization interferometer // Physical Review Letters. 1987. Vol. 59, no. 19. P. 2153-2156.

78. Braunstein S. L., van Loock P. Quantum information with continuous variables // Reviews of Modern Physics. 2005. Vol. 77, no. 2. P. 513-577.

79. Takeno Y., Yukawa M., Yonezawa H., Fumsawa A. Observation of -9 dB quadrature squeezing with improvement of phasestability in homodyne measurement // Optics Express. 2007. Vol. 15, no. 7. P. 4321-4327.

80. Vahlbruch H., Chelkowski S., Hage B. et al. Demonstration of a Squeezed-Light-Enhanced Power- and Signal-Recycled Michelson interferometer // Physical Review Letters. 2005. Vol. 95, no. 21. P. 211102(1-4).

81. Vahlbruch H., Mehmet M., Chelkowski S. et al. Observation of Squeezed Light with 10-dB Quantum-Noise Reduction // Physical Review Letters. 2008. Vol. 100, no. 3. P. 033602(1-4).

82. Khalaidovski A., Vahlbruch H., Lastzka N. et al. Long-term stable squeezed

vacuum state of light for gravitational wave detectors 11 Classical and Quantum Gravity. 2012. Vol. 29, no. 7. P. 075001(1-10).

83. Aasi J., Abadie J., Abbott B. P. et al. Enhanced sensitivity of the LIGO gravitational wave detector by using squeezed states of light // Nature Photonics. 2013. Vol. 7, no. 8. P. 613-619.

84. Abadie J., Abbott B. P., Abbott R. et al. A gravitational wave observatory operating beyond the quantum shot-noise limit // Nature Physics. 2011. Vol. 7, no. 12. P. 962-965.

85. Grote H., Danzmann K., Dooley K. L. et al. First Long-Term Application of Squeezed States of Light in a Gravitational-Wave Observatory // Physical Review Letters. 2013. Vol. 110, no. 18. P. 181101(1-5).

86. Corbitt Т., Chen Y., Khalili F. et al. A squeezed state source using radiation-pressure-induced rigidity // Physical Review A. 2006. Vol. 73. P. 023801(1-14).

87. Harms J., Chen Y., Chelkowski S. et al. Squeezed-input, optical-spring, signal-recycled gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2003. Vol. 68, no. 4. P. 042001(1-8).

88. Buonanno A., Chen Y. Improving the sensitivity to gravitational-wave sources by modifying the input-output optics of advanced interferometers // Physical Review D. 2004. Vol. 69, no. 10. P. 102004(1-29).

89. Corbitt Т., Mavalvala N., Whitcomb S. Optical cavities as amplitude filters for squeezed fields // Physical Review D. 2004. Vol. 70, no. 2. P. 022002(1-8).

90. Khalili F. Y. Optimal configurations of filter cavity in future gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2010. Vol. 81, no. 12. P. 122002(1-11).

91. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И. Квантово-механические ограничения в макроскопических экспериментах и современная экспериментальная техника // Успехи физических наук. 1974. Т. 114. С. 41-53.

92. Брагииский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Я. Квантовые особенности пондеромоторного измерителя электромагнитной энергии // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1977. Т. 73. С. 1340-1343.

93. Thorne К. S., Drevcr R. W. R, Caves С. M. et al. Quantum Nondemolition Measurements of Harmonic Oscillators // Physical Review Letters. 1978. Vol. 40, no. 11. P. 667-671.

94. Воронцов Ю. И. Теория и методы макроскопических измерений. Наука, 1989. С. 278. ISBN: 5-02-013852-5.

95. Khalili F. Y., Levin Y. Speed meter as a quantum nondemolition measuring device for force // Physical Review D. 1996. Vol. 54, no. 8. P. 4735-4737.

96. Braginsky V. В., Gorodetsky M. L., Khaíili F. Y., Thorne K. S. Dual-resonator speed meter for a free test mass // Physical Review D. 2000. Vol. 61, no. 4. P. 044002(1-13).

97. Purdue P. Analysis of a quantum nondemolition speed-meter interferometer // Physical Review D. 2002. Vol. 66, no. 2. P. 022001(1-12).

98. Данилишин Ш. Л. Квантовый измеритель скорости в лазерных гравитационных антеннах // Оптика и Спектроскопия. 2004. Т. 96, № 5. С. 797-803.

99. Mours В., Tournefier Е., Vinet J.-Y. Thermal noise reduction in interferometrie gravitational wave antennas: using high order ТЕМ modes // Classical and Quantum Gravity. 2006. Vol. 23, no. 20. P. 5777-5784.

100. Bondarescu M., Thorne K. S. New family of light beams and mirror shapes for future LIGO interferometers // Physical Review D. 2006. Vol. 74, no. 8. P. 082003(1-6).

101. Harry G. M., Abernathy M. R., Becerra-Toledo A. E. et al. Titania-doped tan-tala/silica coatings for gravitational-wave detection // Classical and Quantum Gravity. 2007. Vol. 24, no. 2. P. 405-415.

102. Kimble H. J., Lev B. L., Ye J. Optical Interferometers with Reduced Sensitivity to Thermal Noise // Physical Review Letters. 2008. Vol. 101, no. 26. P. 260602(1-4).

103. Bondarescu M., Kogan O., Chen Y. Optimal light beams and mirror shapes for future LIGO interferometers // Physical Review D. 2008. Vol. 78, no. 8. P. 082002(1-9).

104. Villar A. E., Black E. D., DeSalvo R. et al. Measurement of thermal noise in multilayer coatings with optimized layer thickness // Physical Review D. 2010. Vol. 81, no. 12. P. 122001(1-8).

105. Hong Т., Miller J., Yamamoto H. et al. Effects of mirror aberrations on Laguer-re-Gaussian beams in interferometric gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2011. Vol. 84, no. 10. P. 102001(1-10).

106. Kondratiev N. M., Gurkovsky A. G., Gorodetsky M. L. Thermal noise and coating optimization in multilayer dielectric mirrors // Physical Review D. 2011. Vol. 84, no. 2. P. 022001(1-9).

107. Harry G., Bodiya T. P., DeSalvo R., остальные. Optical Coatings and Thermal Noise in Precision Measurement. Cambridge University Press, 2012. P. 344. ISBN: 9781107003385.

108. Kondrashov I. S., Simakov D. A., Khalili F. Y., Danilishin S. L. Optimizing the regimes of the Advanced LIGO gravitational wave detector for multiple source types // Physical Review D. 2008. Vol. 78, no. 6. P. 062004(1-10).

109. Khalili F. Y., Miao II., Chen Y. Increasing the sensitivity of future gravitational-wave detectors with double squeezed-input // Physical Review D. 2009. Vol. 80, no. 4. P. 042006(1-7).

110. Advanced LIGO Home Page. URL: https://www.advancedligo.mit.edu.

111. Harry G. M. Advanced LIGO: the next generation of gravitational wave detectors // Classical and Quantum Gravity. 2010. Vol. 27, no. 8. P. 084006(1-12).

112. LIGO Scientific Collaboration. Instrument Science White Paper. 2013. URL: https://dcc.ligo.org/LIGQ-T1300433/public.

113. Advanced VIRGO Home Page. URL: http: //wwwcascina. virgo. inf n. it.

114. Harry G. M., Armandula H., Black E. ct al. Thermal noise from optical coatings in gravitational wave detectors // Appl. Opt. 2006. Vol. 45, no. 7. P. 1569-1574.

115. Braginsky V. В., Vyatchanin S. P. Corner reflectors and Quantum-Non-Demolition Measurements in gravitational wave antennae // Physics Letters A. 2004. Vol. 324, no. 5-6. P. 345-360.

116. Khalili F. Y. Reducing the mirrors coating noise in laser gravitational-wave antennae by means of double mirrors // Physics Letters A. 2005. Vol. 334, no. 1. P. 67-72.

117. Gofiler S., Bertolini A., Bora M. et al. The AEI 10 m prototype interferometer // Classical and Quantum Gravity. 2010. Vol. 27, no. 8. P. 084023(1-9).

118. Khalili F. Y. Pass-through Mach-Zehnder topologies for macroscopic quantum measurements//Physical Review D. 2011. Vol. 83, no. 12. P. 122001(1-11).

119. Tarabrin S. P. Diffractional losses in comer reflectors // Proceedings of 7th International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling. IEEE Conference Publications, 2005. P. 240-243.

120. Fritschel P. DC Readout for Advanced LIGO. 2003. LIGO document: G030460-00-R. URL: https://dcc.ligo.org/DocDB/0022/G030460/001/ G030460-00.pdf.

121. Somiya K., Chen Y., Kawamura S., Mio N. Frequency noise and intensity noise of next-generation gravitational-wave detectors with RF/DC readout schemes // Physical Review D. 2006. Vol. 73, no. 12. P. 122005(1-17).

122. Ward R. L., Adhikari R., Abbott B. et al. DC readout experiment at the Caltech 40m prototype interferometer // Classical and Quantum Gravity. 2008. Vol. 25, no. 11. P. 114030(1-8).

123. Hild S., Grote H., Degallaix J. et al. DC-readout of a signal-recycled gravitational wave detector // Classical and Quantum Gravity. 2009. Vol. 26, no. 5. P. 055012(1-10).

124. Gravitational Wave Interferometer Noise Calculator (GWINC). URL: https: //nodus.ligo.caltech.edu:30889/wiki/doku.php?id=aic_wiki

125. Flanagan E. E., Hughes S. A. Measuring gravitational waves from binary black hole coalescences. I. Signal to noise for inspiral, merger, and ringdown // Physical Review D. 1998. Vol. 57, no. 8. P. 4535-4565.

126. GNU Scientific Library. URL: http://www.gnu.Org/s/gsl.

127. Punturo M., Abernathy M., Acernese F. et al. The Einstein Telescope: a third-

generation gravitational wave observatory // Classical and Quantum Gravity. 2010. Vol. 27, no. 19. P. 194002(1-12).

128. Hild S., Abernathy M., Acernese F. et al. Sensitivity studies for third-generation gravitational wave observatories // Classical and Quantum Gravity. 2011. Vol. 28, no. 9. P. 094013(1-13).

129. M. Mehmet et al. Squeezed light at 1550 nm with a quantum noise reduction of 12.3 dB. 2011. arXiv: 1110.3737.

130. S. Hild (for the LIGO Scientific Collaboration). The status of GEO 600 // Classical and Quantum Gravity. 2006. Vol. 23, no. 19. P. S643-S651.

131. Mueller G., Abbott R., Barsotti L. et al. Advanced LIGO Length Sensing and Control Final Design. 2012. URL: https://dcc.ligo.org/ LIG0-T1000298-v2/public.

132. Hello P., Vinet J.-Y. Analytical models of thermal aberrations in massive mirrors heated by high power laser beams // J. Phys. France. 1990. Vol. 51, no. 12. P. 1267-1282.

133. Adhikari R. (private communication).

134. Khalili F. Y., Danilishin S. L., Miiller-Ebhardt H. et al. Negative optical inertia for enhancing the sensitivity of future gravitational-wave detectors // Physical Review D. 2011. Vol. 83, no. 6. P. 062003(1-7).

135. Mizuno J., Strain K. A., Nelson P. G. et al. Resonant sideband extraction: a new configuration for interferometric gravitational wave detectors // Physics Letters A. 1993. Vol. 175, no. 5. P. 273-276.

136. Purdue P., Chen Y. Practical speed meter designs for quantum nondemolition gravitational-wave interferometers // Physical Review D. 2002. Vol. 66, no. 12. P. 122004(1-24).

137. ATNF Pulsar Catalogue. URL: http://www.atnf.csiro.au/research/ pulsar/psrcat.

138. Miao H., Yang H., Adhikari R. X., Chen Y. Quantum limits of interferometer topologies for gravitational radiation detection // Classical and Quantum Gravity.

2014. Vol. 31, no. 16. P. 165010(1-33).

139. Evans M., Barsotti L., Kwee P. et al. Realistic filter cavities for advanced gravitational wave detectors // Physical Review D. 2013. Vol. 88, no. 2. P. 022002(1-7).

140. Beyersdorf P. Т., Fejer M. M., Byer R. L. Polarization Sagnac interferometer with postmodulation for gravitational-wave detection // Optics Letters. 1999. Vol. 24, no. 16. P. 1112-1114.

141. Beyersdorf P. Т., Fejer M. M., Byer R. L. Polarization Sagnac interferometer with a common-path local oscillator for heterodyne detection // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. Vol. 16, no. 9. P. 1354-1358.

142. Sun K.-X., Fejer M. M., Gustafson E. et al. Sagnac Interferomer for Gravitational-Wave Detection // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76, no. 17. P. 3053-3056.

143. Traeger S., Beyersdorf P., Goddard L. et al. Polarisation Sagnac interferomer with a reflective grating beam splitter // Optics Letters. 2000. Vol. 25, no. 10. P. 722-724.

144. Wade A. R., McKenzie K., Chen Y. et al. Polarization speed meter for gravitational-wave detection // Physical Review D. 2012. Vol. 86, no. 6. P. 062001(1-8).

145. Hild S., Chelkowski S., Freise A. et al. A xylophone configuration for a third-generation gravitational wave detcctor// Classical and Quantum Gravity. 2010. Vol. 27, no. 1. P. 015003(1-8).

146. Khalili F. Y. Quantum speedmeter and laser interferometric gravitational-wave antennae. 2002. arXiv:gr-qc/0211088.

147. Einstein Telescope HomePage. URL: http://www.et-gw. eu.

148. The ET science team. Einstein gravitational wave Telescope conceptual design study. 2011. URL: https ://tds. ego-gw. it/ql/?c=7954.

Приложение А Вспомогательные формулы

А.1. Пондеромоторное сжатие

В настоящей диссертации рассматриваются только линейные системы, которые сохраняют гауссовость состояний входящего в них света (см. также Раздел 1.4). Как следствие, для систем без потерь произведение матриц ТТ1 должно содержать исключительно действительные элементы. Более того, для симметричных систем справедливо: Т;;- = = е1'^ ^п [тг/^ |Т/у|. Кроме того, Т,, = Т22, так как Ттеач = е2^Щф] и ТЬ а- = ИхТх (о-1Тх)т, где х ~ полная восприимчивость механической моды, а для функции отклика на смещение справедливо Тх = яяп [т*] Т* .

Из свойств сингулярного разложения для матрицы Т^. будем иметь:

ТЛ = R["pond] Spend HfV'pond], (А. 1)

^[wpondl и матРиЦы поворота на соответствующие углы, a Spond — диа-

гональная матрица, состоящая из действительных элементов s 1,2 (индекс соответствует номеру строки/столбца). Ниже мы покажем, что .s ^vt = 1, а тогда, вводя положительную величину гропсj > 0, можно записать:

s\ = л

' pond

, при S\ > S2

~r>,ond, при S\ < S2.

Следовательно Spond = §>[/p0ndL то есть является матрицей сжатия квантового состояния с показателем гроп(] вдоль "синусной" квадратуры. Нетрудно показать:

cosh(2rpond) - 1тг[тт] = ^ТГ[ГТ]

2

Величины л'1,2, являющиеся сингулярными собственными числами Т*4, в

случае 2 х 2-матрицы могут быть найдены аналитически:

ЪI2 + 1?112 + 1?212 + Из I2 ± [ГоГ;])2 + Яе [^Г2]2 + Яе \щ]2 +

+ 1т [?,Г2]2 + 1т [Щ]2 + 1т

• (А.2)

Здесь г, — вообще говоря, комплексные коэффициенты разложения матрицы по матрицам Паули ст{.

Т" =%1 +7л<т[ +!:2сг2 +ЪО~З ,

Определить % можно из общих представлений о структуре матрицы Т, обозначенных в начале Приложения. Коэффициент Тз = О всегда оказывается равным нулю, так как диагональные элементы Т равны между собой. Кроме того, из (АЛ) и вещественности Т-4- следует, что То = го = Т^ = Т^, € Е, а также:

1 0 ас! 0 1 0 -/ сЫ 1 0

, сг\ - , СГ2 = , сгз =

0 1 1 0 / 0 0 -1

21 = 1\

ТХ , ирК. ирЕ. _ ирЕ

12 21 _ • • 12 л 21

12 = I ■ 12 = I

2 2 Тогда выражение (А.2) упрощаются и принимают вид:

21 |± л/5

1,22 е

42

откуда следует, что л'1^2 = ег?тЛе Гр"пЛ

I* 2 + "г

•I М)

с!ег Т""' I = 1. Нарушение

условия (МТ^! = 1 будет свидетельствовать о наличии в системе оптических потерь.

Получим выражения для углов мр0Пс1 и \;р0Псь определяющих, соответственно, левые и правые сингулярные векторы матрицы Тх: первые являются собственными векторами ТТ* и составляют матрицу Щг<р0Пс1], а вторые — собственными векторами ТТТ и образуют Щуропс|]. Из равенства диагональных элементов матрицы Iх и рассмотрения - / (т^, + Т^,) следует, что:

к

Уропс! + "роп<1 = -агсгап— + пп, уроп(1 - «р0п<1 = ■?+7т, при п е

20 2

м

Рассмотрение суммы Тр + Т|, дает: sinh rpond • sin (vp0l,d - «p0nd) - Z\. Поскольку уpond > О? т0? учитывая симметрию гауссова состояния, углы поворота которого

п 71s

можно ограничить интервалом «pond> vpon(j е

2'2

в итоге получаем:

"pond

1 ^ Z2 г ,Л- Я --arctan--sgn [z\]~, vpond = "pond + sgn [z\ 1 - ,

2 z,{) 4 2

''pond

In

± a/Zq + -2

(A.3)

Для систем без оптической отстройки матрица Т1^ имеет вполне определенную форму, записываемую с помощью оптомеханического фактора Кимбла <К > 0. В этом случае для углов поворота и величины сжатия имеем:

Т

1 о

-<7С 1

"pond

1 СК 7Г -arccot— - -,

2 2 2

ypond

1 (К -arccot—,

2 2

'"pond = arcsinhy,

что полностью соответствует выражениям (31) из работы [26]: «pt>nd = _0klmtv_

$klmtv> ^pond = 0klmtv-

В заключение отметим, что сингулярное разложение матрицы TF: инвариантно относительно согласованной перестановке матриц R[iipondL R[v'pondl и элементов s\t2 в S (эквивалентно смене знака rpond)-

А.2. СКП системы пробных тел

Рассмотрим теперь систему пробных тел образующих механическую моду хи с приведенной массой ¡л. Если х-, — смещение у-тела, то в общем виде можно записать (выбор направления осей X/ может быть произвольным):

А хШ)

хи(П) = У , р

где а] — вообще говоря, любые вещественные числа. Тогда уравнение движения для приведенной моды принимает вид:

где ^;о(П)=>. , , />(П) =-— ---•

Здесь о(Г2) — механическая восприимчивость системы без учета оптической жесткости:

( N

Е

1

. . а1, т / V У=1 ./ ■!)

Л. /\

Т7/ — суммарная сила, действующая на _/-ое тело, а F/J - действующая на всю приведенную моду Каждое тело рассматривается свободным, то есть его механическая восприимчивость х~\) = -ШуП2.

Будем предполагать, что на пробные тела не действует никаких других сил, кроме силы обратного влияния:

РЪ/А, ,(П) = Р1А . .(П) + ,

где КI — оптическая жесткость, приобретаемая у'-м телом, а также приливной силы [см. (1.4)]:

, Ь,1г(П)

ОДП) = лг7;10да) • — • (А-5>

где — расстояние от точки наблюдения до у'-ого пробного тела. Тогда, для того, чтобы все индивидуальные оптические жесткости Кскладывались в для моды хи, а выражение для приведенной силы обратного влияния имело вид:

Д.а, „(П) = + к,(П)хи(П),

необходимо выполнение следующего соотношения для любых /, у.

О) = о(П) ^-(Д)

^ хглтип)'

Отсюда следует, что для рассматриваемых нами систем с т, = \щ и Л', = К будет справедливо = о-, = а. Правильность такого выбора механической

моды подтверждается сохранением традиционной формы неравенства Шредин-гера-Робертсона (1.56) для приведенных хи и

Таким образом, для СКП измерения силы и вариации метрики в общем случае имеем:

1г

БОЬ;

8сгП

при Я,

-1 N

У=1

Хр, О 2 а

где выражение для получено как результат подстановки (А.5) в (А.4). Для системы без оптической жесткости справедливо:

\-1

/V / 1

Г-Т 41,

1=1 ■>

V/

1

ГП;

а2,

и

(А.6)