Многомерный аналитический сигнал и исследование фазы световой волны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, доктор физико-математических наук Тартаковский, Валерий Абрамович

• Тартаковский, Валерий Абрамович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тартаковский, Валерий Абрамович

Введение

Глава 1. Аналитический сигнал и определение фазы световой волны.

1.1. Класс функций для представления модели волны

1.2. Способы введения аналитического сигнала

1.3. Взаимосвязь причинности преобразования Фурье комплексной функции и монотонности ее фазы.

1.4. Преобразование комплексной функции с монотонной фазой в аналитический сигнал.

1.5. Единственность аналитического сигнала в многомерном случае.

1.6. Датчики волнового фронта и многомерный аналитический сигнал.

1.7. Выводы

Глава 2. Дисперсионные соотношения для волны в плоскости регистрации.

2.1. Устойчивость аппроксимации волны функцией с финитным преобразованием Фурье.

2.2. Условия существования причинного преобразования

Фурье у логарифма комплексной функции.

2.3. Преобразование сигналов с минимальной фазой

2.4. Дисперсионные соотношения в двумерном случае

2.5. Обратная задача для интерферограммы

2.6. Дисперсионные соотношения для действительного нуля комплексной волны.

2.7. Выводы

Глава 3. Оптимальное вычисление преобразования Гильберта

3.1. Анализ известных алгоритмов продолжения

3.2. Алгоритм преобразования Гильберта

3.3. Фильтрация в полиномиальном базисе

3.4. Медианная фильтрация

3.5. Выводы

Глава 4. Исследование световой волны с действительными нулями в неоднородной среде.

4.1. Регистрируемые признаки действительных нулей

4.1.1. Пространственный спектр волны с действительным нулем

4.1.2. Нули второго порядка

4.2. Плотность действительных нулей световой волны в неоднородной среде.

4.3. Порог сложности для явления распространения световой волны в неоднородной среде.

4.4. Гауссов пучок с азимутальной несущей частотой

4.4.1. Распространение пучка с азимутальной несущей частотой в вакууме.

4.4.2. Распространение пучка с азимутальной несущей частотой в неоднородной среде.

4.5. Численное исследование фазы вокруг действительного нуля

4.6. Выводы

Глава 5. Демодуляция интерферограмм

5.1. Математическая модель интерферограммы

5.2. Влияние шума и полезного сигнала на интерферограмму

5.3. Оценки объектной фазы

5.3.1. Техническое решение для регистрации и демодуляции интерферограмм.

5.4. Натурные интерференционные эксперименты

5.5. Исследование оценок фазы в замкнутом численном эксперименте

5.6. Апостериорная оценка ошибки фазы

5.7. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многомерный аналитический сигнал и исследование фазы световой волны»

Для исследования окружающей среды оптическими методами необходимы высокоточные элементы и системы. Значение качества оптики возрастает при работе аппаратуры в космосе, где ограничивающим разрешение фактором может быть только дифракционный предел. Среднеквадратичное отклонение поверхности традиционных оптических элементов от номинальной должно быть меньше чем Л/50 для обеспечения углового разрешения астрономического телескопа 0,1". Резонаторы, интерферометры, спектрометры требуют еще более высокой точности изготовления оптических поверхностей, выше сотой доли длины волны света.

Наиболее точным методом измерения формы поверхностей является интерферометрия. Классика оптического интерференционного контроля отражена в работах Э.А. Витриченко, М.А.Гана, М.И.Гришина, Г.В. Креопаловой и Д.Т. Пуряева, Ю.И.Островского, Б. Ма1асага и их соавторов [35,36,41,42,45,62,80,213].

Важным этапом процесса контроля, от которого существенно зависит точность восстановления формы поверхности, является демодуляция интерферограмм. Но при традиционной демодуляции, когда измеряют координаты экстремальных линий, теряется информация, заключенная в изменениях интенсивности интерференционной картины, что снижает точность контроля. Недостаточное математическое описание интерферограммы как двумерного модулированного колебания не позволяет отчетливо представить требуемые алгоритмы анализа и область их применимости.

В связи с этим, необходимо эффективное метрологическое обеспечение автоматизированных технологий, содержащее предпосылки для увеличения точности демодуляции. Его возможно создать, изучая свойства фазы световой волны и развивая необходимый математический аппарат.

Физическая задача состоит в измерении фазы световой волны, отраженной объектом и прошедшей неоднородную среду. История этого вопроса возможно началась в коллективе ИОА СО РАН, где с участием С.С. Хмелевцова, В.В. Покасова, О.Н. Емалеева, В.П. Лукина был разработан фазометр и проведены первые натурные измерения флуктуаций фазы лазерного излучения, распространяющегося в атмосфере [46,68,90].

С развитием адаптивной оптики впервые была поставлена задача измерения многомерной фазы и фазовой модуляции световой волны при изменении в пространстве и во времени формы оптической поверхности. В определеннной мере эту проблему изучали М.А. Воронцов, D.L. Fried, J. Hardy, В.И. Шмальгаузен [4,40,163].

Но этот совершенно новый для оптики процесс требует формального определения многомерной фазы и его исследования в различных ситуациях. Уравнения электромагнитного поля такого определения не содержат. Оно должно быть конструктивным, непротиворечивым и требует дополнительных предположений о свойствах функций, моделирующих волновой процесс.

Теория аналитического сигнала (АС) и дисперсионных соотношений (ДС), которая дает возможность ввести амплитуду и фазу для колебательного процесса, идейно восходит к девятнадцатой проблеме Д. Гильберта [89], в формулировке которой предполагается аналитичность решений уравнений математической физики. Эта проблема, является ли аналитичность априорным свойством природы, остается открытой до сих пор. Тема аналитического сигнала и дисперсионнных соотношенний в настоящей диссертации связана с работами Д. Габора, С.Н. Бернштейна, М.В. Келдыша, Л.И. Мандельштама, С.М. Рытова,

Б.Я.Левина, Л.М. Сороко, П.А. Бакута, Г.Б. Велкера, М.А. Fiddy, Д.Е.Вакмана, В.К. Аблекова, Я.И. Хургина, В.П.Яковлева, [1,14,29,52, 67,72,95,100, 161,190].

Теория АС и ДС развивалась в одномерном варианте. В физической оптике - интерферометрии, теории дифракции и распространения волн, адаптивном формировании изображений - эти методы используется недостаточно, хотя и существует постоянный интерес к фазовым проблемам. Пространственные координаты и пространственные частоты не являются аргументами операторов, входящих в АС и ДС.

Кроме того, возникают значительные трудности при практическом применении АС и ДС для обеспечения экспериментов по исследованию фазы, в оптической метрологии из-за недостаточного развития численной реализации необходимых операторов и специфических оптимальных алгоритмов анализа сигналов в присутствии шума. С другой стороны, новые эффективные алгоритмы не являются общедоступными.

Существуют также проблемы описания волновых полей в терминах амплитуды и фазы в условиях сильных флуктуаций, когда появляются действительные нули, фазовые вихри и волна переходит в новое качественное состояние. Фаза при этом уже не может быть непрерывной функцией. При исследовании в этой области приняты во внимание работы, которые опубликовали Т.И. Арсеньян, Е.Г. Абрамочкин, Н.Б.Баранова, Б.Я.Зельдович, Ю.А.Кравцов, D.L. Fried, М.А. Fiddy, I. Freund и их соавторы [8,17,60,169,190,195,198].

Таким образом, математическая теория, физическая задача и требования технологии являются источниками новых интересных проблем и обуславливают актуальность данной диссертационной работы.

Цель работы

Цель состоит в том, чтобы дать и исследовать конструктивное определение фазы световой волны в многомерном случае, которое обеспечивало бы совпадение фазы, измеренной в отдельных прост-ранственно-временньгх сечениях, с единственной четырехмерной функцией фазы. Цель имеет нижеследующую структуру. Обобщение теории аналитического сигнала и дисперсионных соотношений на многомерный случай.

Аналитическое, численное и экспериментальное исследование действительных нулей световой волны и интерференционной картины в качестве объектов, перспективных для применения АС и ДС.

Разработка оптимальных алгоритмов для численной реализации операторов АС и ДС.

-ф- Разработка методов, алгоритмов, программ и аппаратуры для интерферометрии и фазометрии на основе установленных закономерностей.

Вклад автора

Диссертационная работа и все результаты, лежащие в ее основе, выполнена и получены при непосредственном участии автора на всех этапах. Ему принадлежат: постановка задачи исследования, теоретическое описание и анализ численных экспериментов.

Работа выполнялась в Институте оптики атмосферы СО РАН в период с 1974 по 1998 год. В процессе исследований и реализации технических решений автор сотрудничал с учеными и специалистами из Института космических исследований РАН, Специального конструкторского бюро НП "Оптика" СО АН СССР, Томского политехнического института, Государственного оптического института, Ленинградского оптико-механического объединения.

Автор являлся одним из руководителей НИР 12-84-36 "Интеркон" и ответственным исполнителем по ее разделу "Разработка методов интерференционного контроля оптики, алгоритмов и программ анализа интерферограмм". В рамках этой НИР в Объединенном институте оптики атмосферы СО АН СССР было разработано программное обеспечение для предприятия ЛОМО и изготовлена установка для автоматизированного измерения интерференционных картин.

Научная ценность и новизна результатов

Новизна результатов обоснована приоритетом публикаций автора. Научная ценность состоит в том, что в диссертации развита теория многомерного аналитического сигнала и дисперсионных соотношений для описания пространственно-временньгх оптических полей в терминах амплитуды и фазы. Работа включает нижеследующие новые результаты.

1) Дано определение фазы многомерной световой волны, основанное на инвариантном относительно выбора пространственных координат и времени аналитическом сигнале.

2) Получены дисперсионные соотношения, которые устойчиво и конструктивно связывают в плоскости регистрации фазу и логарифм амплитуды комплексной волны.

3) Установлено соответствие между причинностью спектра Фурье комплексной волны и монотонностью её фазы.

4) Найдена функциональная связь между фазой и амплитудой в окрестности действительного нуля, в области, занимаемой фазовым вихрем.

5) Выяснено, что чем выше порядок азимутальной несущей частоты, тем на трассе большей длины она сохраняется при распространении светового пучка в неоднородной среде.

6) Показано, что среднеквадратичная и максимальная разность двумерных фаз, восстановленных из взаимно ортогональных сечений интерферограммы, линейно связаны с одноимёнными действительными ошибками оценки фазы.

7) Разработан оптимальный алгоритм вычисления преобразования Гильберта, по которому преобразуемую функцию продолжают, сдвигая её фрагменты за пределы области определения.

Практическая ценность

Часть результатов автора была опубликована ранее или независимо от работ зарубежных авторов, получивших в настоящее время практическое применение в оптическом контроле. Это касается метода Фурье для демодуляции интерферограмм, сканирующего датчика Гартмана и вращательной симметризации шума.

Программное обеспечение автоматизированной системы обработки данных интерференционного контроля было передано для использования в Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова и в Специальное конструкторское бюро научного приборостроения "Оптика" СО АН СССР.

Технические предложения по построению интерференционного датчика волнового фронта были внедрены на предприятии п/я Р-6324 для создания образцов новой техники.

По заказу Ленинградского оптико-механического объединения им. В.И. Ленина, в интересах НИР НСУ-461-81, была разработана система математического обеспечения "Интеркон-02-Скан-1984" и изготовлена в Объединенном институте оптики атмосферы СО АН СССР установка автоматизированного измерения интерференционных картин, получившая диплом второй степени Президиума СО АН СССР на выставке "Сибирский прибор —87".

Достоверность

Полученные результаты подтверждаются серией замкнутых численных экспериментов с необходимым объемом выборки, малой дисперсией при обработке экспериментальных данных, корректностью математических моделей световой волны, совпадением с известными результатами, актом об использовании и дипломом выставки.

Апробация и публикации

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на нижеследующих конференциях, симпозиумах, семинарах.

Всесоюзные и Международные симпозиумы по лазерному зондированию атмосферы и по распространению лазерного излучения в атмосфере (ИОА СО РАН, Томск, 1974, 1975, 1977, 1979, 1981, 1983, 1988, 1995, 1996, 1998);

IV Всесоюзная конференция по голографии (ВНИИРИ, Ереван, 1982). Межотраслевой семинар "СО АН-машиностроению" (Красногорск, 1984).

Всесоюзная научно-техническая школа-семинар по лазерному оптическому и спектральному приборостроению (Минск, 1985).

Всесоюзная конференция "Атмосферная нестабильность и адаптивный телескоп (Крымская АО, 1986).

Всесоюзный семинар "Применение лазерных интерферомет-рических систем для прецизионных измерений" (п. Эльбрус, 1986). а Международные конференции по Адаптивной оптике (ESO, Garching, 1995. OSA, Maui, 1996).

Международный семинар "Адаптивная оптика для индустрии и медицины" (НИТЦЛАН, Шатура, 1997);

По теме диссертации опубликована одна книга, четырнадцать статей, шестнадцать кратких тезисов докладов, получено семь авторских свидетельств и принята программа в Государственный фонд алгоритмов и программ.

Защищаемые положения

1) Математическая модель световой волны в форме многомерного аналитического сигнала, инвариантная относительно выбора аргумента преобразования Гильберта, при узкополосности временного и пространственного спектров волны и в отсутствии действительных нулей, определяет единственную многомерную фазу. Модель позволяет конструировать алгоритмы измерения фазы в отдельных пространственно-временньш сечениях и обеспечивает совпадение фазы в этих сечениях с единственной многомерной фазой.

2) Существует соответствие между причинностью спектра Фурье комплексной волны и монотонностью её фазы. Одномерная комплексная волна с постоянной амплитудой имеет монотонную фазу, если у неё причинный финитный спектр Фурье, а из монотонности фазы следует дисперсионная причинность спектра. Преобразование "растяжение-сжатие" повышает степень причинности спектра и уменьшает среднеквадратичную ошибку оценки фазы в несколько раз.

3) Существуют дисперсионные соотношения, которые устанавливают в плоскости регистрации устойчивую и конструктивную взаимосвязь между фазой и логарифмом амплитуды комплексной волны. Спектр Фурье этой волны расположен в одном замкнутом частотном квадранте. В численных и натурных экспериментах показано, что дисперсионные соотношения в виде гомоморфного фильтра правильно описывают явление интерференции.

4) Алгоритм вычисления преобразования Гильберта, основанный на оптимальном периодическом продолжении преобразуемой функции по критерию минимума ширины ее спектра Фурье путем сдвига фрагментов функции за пределы её носителя, на порядок уменьшает краевые выбросы фазы. Рекурсия продолжения повышает степень причинности и уменьшает среднеквадратичную ошибку оценки фазы более чем в четыре раза.

5) В области, занимаемой вихрем, скалярная волна имеет минимальную фазу на окружности, которая охватывает точку действительного нуля и может иметь сколь угодно малый радиус.

6) Среднеквадратичная и максимальная разность двумерных фаз, восстановленных из взаимно ортогональных сечений интерферо-граммы, линейно связаны с одноимёнными действительными ошибками оценки фазы.

7) Методы интерферометрии высокоточных оптических элементов и алгоритмы демодуляции интерферограмм, которые включают вращательную симметризацию шумов источника, генерацию выборок с различным числом и ориентацией интерференционных полос, локализацию спектра пространственных частот объектного поля и гомоморфную фильтрацию, уменьшают среднеквадратичную ошибку оценки фазы более чем на порядок по сравнению с традиционной методикой. Время стабильности оптической системы может быть снижено до величины, равной периоду строчной развертки детектора, которым сканируют интерференционную картину.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Тартаковский, Валерий Абрамович

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1) Для описания световой волны в многомерном случае введен аналитический сигнал, инвариантный относительно выбора аргумента преобразования Гильберта и в отсутствии действительных нулей определяющий единственную многомерную фазу волны. Показано, что единственная четырехмерная фаза существует при узкополосности временного и пространственного спектров волны.

2) Установлено соответствие между причинностью преобразования Фурье одномерной комплексной функции и монотонностью ее фазы. Введено понятие дисперсионной причинности, использующее дисперсионное определение ширины. Показано, что из монотонности фазы следует дисперсионная причинность преобразования Фурье комплексной функции с постоянной амплитудой.

3) Фаза волны с абсолютно интегрируемым спектром, определенная дисперсионным соотношением, как угодно близка к фазе целой функции экспоненциального типа, спектр которой совпадает со спектром волны на конечном интервале, при расширении интервала.

4) Найдены необходимые условия существования минимальной фазы, которые совпадают с известными достаточными условиями. Для существования минимальной фазы у комплексной волны необходимо и достаточно, чтобы ее амплитуда была ограничена, не обращалась в нуль, а одно из граничных значений спектра Фурье было наибольшим. Установлены преобразования, реализуемые в оптической системе, которые сохраняют минимальную фазу.

5) Получены дисперсионные соотношения, которые связывают на плоскости фазу и логарифм амплитуды комплексной волны и обобщают известные в одномерном случае. Преобразование Фурье такой волны локализовано в одном замкнутом квадранте.

6) Получено дисперсионное соотношение с весом, равным интерферограмме фазового объекта, устанавливающее взаимосвязь между фазой и логарифмом амплитуды интерференционного поля, сглаживающее логарифмические особенности в нулях интерферограммы.

7) В численных и натурных экспериментах установлено, что дисперсионное соотношение в виде гомоморфного фильтра правильно описывает явление интерференции.

8) Интерпретировано явление дихотомии фокальных пятен, создаваемых волной, имеющей действительные нули, при ее дифракции на круглой субапертуре.

9) Установлено в численном эксперименте, что действительные нули второго порядка могут возникать при распространении волны в неоднородной среде.

10) Заданная начальными условиями азимутальная несущая частота сохраняется при распространении светового пучка в вакууме и в неоднородной среде. Чем выше порядок азимутальной несущей, тем на трассе большей длины она сохраняется при распространении в неоднородной среде

11)При распространении в турбулентности действительные нули и вихри фазы волны появляются в начале области сильных флуктуаций. Плотность действительных нулей в турбулентной среде определяется коэффициентом с индексом минус три ряда Лорана для плотности вероятности производной логарифма амплитуды в окрестности бесконечно удаленной точки.

12)Характерный размер фазового вихря можно оценить диаметром наибольшей окружности с центром в точке нуля, на которой фаза все еще остается монотонной функцией азимутального угла.

13) Аналитически и численно установлено, что необходимые и достаточные условия существования минимальной фазы у скалярной световой волны реализуются хотя бы в малой окрестности точки действительного нуля. Это утверждение решает локальную фазовую проблему.

14) Сформулирована и исследована задача оптимального продолжения интерферограммы за пределы интервала определения по критерию минимума ширины спектра Фурье. Рекурсия продолжения повышает степень причинности спектра объектной волны и уменьшает среднеквадратичную ошибку оценки фазы более чем в четыре раза.

15) Разработан алгоритм вычисления преобразования Гильберта, основанный на оптимальном периодическом продолжении преобразуемой функции по критерию минимума ширины ее спектра Фурье путем сдвига фрагментов функции за пределы области ее определения. При этом на порядок уменьшаются краевые выбросы фазы в 10% полосе на границах области определения.

16) Низкочастотная полиномиальная фильтрация аддитивного и мультипликативного шума в сочетании с оптимальным продолжением интерферограммы улучшает качество оценок фазы.

17)Обоснован алгоритм устранения линейной составляющей фазы, являющийся оптимальным в смысле обеспечения наиболее гладкого сопряжения фазы на краях интервала определения.

18)После нелинейного преобразования, двустороннего ограничения, интерферограмма является стабильной точкой согласованного медианного фильтра.

19)Установлено, что прямая демодуляция интерферограммы при наличии мультипликативного и аддитивного шума является максимально-правдоподобной оценкой объектной фазы, если спектр мультипликативного шума не пересекается со спектром объектного поля.

20)Показано, что оценка объектной фазы может быть улучшена в несколько раз, если она вычисляется как среднее арифметическое фаз, восстановленных из интерферограмм, отличающихся числом и ориентацией интерференционных полос.

21)У станов лена линейная связь между действительными ошибками восстановленной фазы и оценками этих ошибок, для вычисления которых необходима только одна интерферограмма.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тартаковский, Валерий Абрамович, 1999 год

1. Аблеков В.К., Зубков П.И., Фролов A.B. Оптическая и оптоэлек-тронная обработка информации — М.: Машиностроение. 1976. 256 с.

2. Аблеков В.К., Бабаев Ю.Н., Колядин С.А., Фролов A.B. О полном восстановлении амплитудно-фазовой информации световой волны // Доклады АН СССР. 1980. Т. 250. №1. С. 90-92.

3. Аблеков В.К., Авдуевский B.C., Бабаев Ю.Н., Колядин С.А., Фролов A.B., Фролов В.А. О восстановлении волнового фронта объекта по его дифракционной картине // Доклады АН СССР. 1980. Т. 251. №5. С. 1098-1100.

4. Адаптивная оптика. Сборник статей под редакцией Э.А. Витриченко М.: Мир. 1980. 456 с.

5. Аксенов В.П. Поле лазерного пучка в рефракционно-неоднородных средах и методы восстановления его параметров // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук — Томск: ИОА СО РАН. 1997. 38 с.

6. Аркатова Т. Г., Гопштейн Н.М., Макарова Е.Г., Михайлов Б.А. Определение оптических постоянных материала с помощью соотношений Крамерса-Кронига // Оптико-механическая промышленность. 1981. №9. С. 44-52.

7. Арсеньян Т. И., Кауль С.И., Короленко П.В., Убогов С.А., Федотов H.H. Дислокации волнового фронта в турбулентной среде // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. Вып. 10. С. 1773-1777.

8. Арсеньян Т. И., Короленко П.В., Кулягина Е.А., Федотов H.H. Амплитудно-фазовые искажения и дислокации волнового фронта оптического пучка на наклонной приземной трассе // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. Вып. 10. С. 1471-1476.

9. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C. Введение в статистическую радиофизику и оптику — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1981. 640 с.

10. Бакут П.А., Пахомов A.A., Ряхин А.Д., Свиридов К.Н., Устинов Н.Д. О взаимосвязи компонент пространственного спектра финитной функции в двумерном случае // Оптика и спектроскопия. 1986. Т. 60. Вып. 4. С. 788-791.

11. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я Дислокации поверхностей волнового фронта и нули амплитуды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1981. Т. 80. Вып. 5. С. 1789-1797.

12. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я, Мамаев A.B., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Дислокации волнового фронта спекл-неоднородного поля (теория и эксперимент) // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. Вып. 4. С. 206-210.

13. Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я, Мамаев A.B., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Исследование плотности дислокаций волнового фронта световых полей со спекл-структурой // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1982. Т. 83. Вып. 5(11). С. 1702-1710.

14. Баранова Н.Б., Мамаев A.B., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В., Зельдович Б.Я. Wave-front dislocations: topological limitations for adaptive systems with phase conjugation // J. Opt. Soc. Am. 1983. V. 73. №5. P. 525-528.

15. Бовбель Е.И., Изох B.B., Шмидов И.Ю. О некоторых различиях между аналитической и экспоненциальной моделями сигнала с линейной 4M // Радиотехника и электроника. 1974. Т. XIX. №11. С. 2330-2337.

16. Бобров Б.Д. Винтовые дислокации лазерных спекл-полей на интерферограммах с круговой структурой линий // Квантовая электроника. 1991. Т. 18. №7. С. 886-890.

17. Бобров Б.Д., Дмитриев Е.И. Некоторые особенности дислокаций волнового фронта лазерных пучков с развитой спекл-структурой // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 66. Вып. 2. С. 424-427.

18. Боголюбов H.H., Медведев Б.В., Поливанов М.К. Вопросы теории дисперсионных соотношений — М.: Физматгиз. 1958. 190 с.

19. Борн М., Вольф Э. Основы оптики — М.: Наука. 1970. 856 с.

20. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций — М.: Наука. 1977. 288 с.

21. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике — М.: Советское радио. 1971. 255 с.

22. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / Под ред. Т. С.Хуанга — М.: Радио и связь. 1981. 224 с.

23. Вакман Д.Е. Об определении понятий амплитуды, фазы и мгновенной частоты сигнала // Радиотехника и электроника. 1972. Т. 17. №5. С. 972-978.

24. Вакман Д.Е. Знаем ли мы, что такое мгновенная частота и мгновенная амплитуда сигнала? // Радиотехника и электроника. 1976. Т. XXI. №6. С. 1275-1282.

25. Вакман Д.Е., Вайнштейн Л.А. Амплитуда, фазы частота — основные понятия теории колебаний // Успехи физических наук. 1977. Т. 123. Вып. 4. С. 657-682.

26. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн — М.: Наука. 1983. 287 с.

27. Вакман Д.Е. On the analytic signal, the Teager-Kaiser energy algorithm, and other methods for difining amplitude and frequency // IEEE Trans. Signal process. 1996. V. 44. №4. P. 791-797.

28. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции — М.: Советское радио. 1972. Т. 1. 744 с.

29. Велкер Г.Б. К созданию единой теории модуляции. Часть 1. Соотношения между огибающей и фазой // ТИИЭР. 1966. Т. 1. №3. С. 5-20.

30. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн — М.: Наука. 1979. 384 с.

31. Витриченко Э.А. Методы исследования астрономической оптики М.: Наука. 1980. 152 с.

32. Витриченко Э.А., Соснов А.Н., Павлов Э.Р. Перспективы развития методов исследования асферической оптики // Прогрессивные методы изготовления и контроля современных оптических и оптико-электронных приборов — Новосибирск: НИИГАИК. 1982. С.3-20.

33. Виттих В.Н., Сергеев В.В., Сойфер В.А. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований — М.: Наука. 1982. 216 с.

34. Войцехович В.В., Кузнецов Д. Аппроксимация Рытова: Комментарии относительно области применимости // Оптика атмосферы и океана. 1998. Т. 11. №11. С. 1-4.

35. Войцехович В.В., Кузнецов Д., Морозов Д.Х. Density of turbulence-induced phase dislocations // Applied Optics. 1998. V. 37. №21. P. 4525-4535.

36. Воронцов M.A. Адаптивные методы формирования световых полей // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. 1989. 39 с.

37. Ган М.А., Устинов С.И., Долгих С.Г., Котов В.В. Измерительно-вычислительный комплекс для обработки интерферограмм // Оптико-механическая промышленность. 1986. №6. С. 43-45.

38. Ган М.А., Устинов С.И., Котов В.В. О погрешности определения средней квадратической ошибки волнового фронта // Оптический журнал. 1993. №1. С. 42-44.

39. Ган М.А., Устинов С.И., Котов В.В., Иванова И.В. Исследование точности восстановления волнового фронта при обработке интерферограмм // Оптико-механич. промышленность. 1990. №8. С. 17-20.

40. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений — М.: Наука. 1971. 6.631(4).

41. Гришин М.П. Автоматическая обработка фотографических изображений с применением ЭВМ — Минск: Наука и техника. 1976. 232 с.

42. Гурвич A.C., Кон А.И., Миронов В.Л., Хмелевцов С.С. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере — М.: Наука. 1976. 277 с.

43. Гуров И.П. Компьютерная обработка интерференционных сигналов на основе алгоритма управляемого фазового сдвига // Оптический журнал. 1998. Т. 65. №10. Октябрь. С. 38-42.

44. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ Кн. 1 — М.: Финансы и статистика. 1986. 366 с.

45. Зверев В.А. Радиооптика. Преобразование сигналов в радио и оптике — М: Советское радио. 1975. 304 с.

46. Золотарев И.Д. Проблема "амплитуда, фаза, частота" и ее решение в радиотехнике // Техника радиосвязи. 1997. №3. С. 3-10.

47. Зуев В.Е., Банах В.А., Покасов В.В. Современные проблемы атмосферной оптики. Т. 5. Оптика турбулентной атмосферы — Ленинград: Гидрометеоиздат. 1988. 270 с.

48. Келдыш М.В. О приближении голоморфных функций целыми функциями // Доклады АН СССР. 1945. Т. XLVII. №4. С.243-245.

49. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. 1973. 900 с.

50. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в незжимаемой жилкости при очень больших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР. 1900. Т. 30. №4. С. 299-303.

51. Коняев П.А. Модификация метода расщепления для численного решения квазиоптических задач. В кн.: VI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере. Ч.Ш.: Тезисы докладов Томск: 1981. С. 195-198.

52. Коняев П.А., Лукин В.П. Тепловые искажения фокусированных лазерных пучков в атмосфере // Известия вузов. Физика. 1983. №37. С. 79-89.

53. Коржик В.И. Огибающая сигнала и некоторые ее свойства // Радиотехника. 1968. Т. 23. №4. С. 1-6.

54. Коржик В.И. Расширенное преобразование Гильберта и его применение в теории сигналов // Проблемы передачи информации. 1969. Т. V. Вып. 4. С. 3-18.

55. Коронкевич В.П., Ханов В.А. Современные лазерные интерферометры — Новосибирск: Наука. 1985. 182 с.

56. Кравцов Ю.А. Сильные флуктуации амплитуды световой волны и вероятность образования случайных каустик // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. Вып. 3(9). С. 798-801.

57. Кравцов Ю.А., Журавлев В.А., Кобозев И.К. Статистические характеристики дислокаций фазового фронта волнового поля // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1992. Т. 102. Вып. 2(8). С. 483-495.

58. Креопалова Г.В., Пуряев Д.Т. Исследование и контроль оптических систем — М.: Машиностроение. 1978. 224 с.

59. Кудрявцев JI.Д. Курс математического анализа — М.: Высшая школа. 1981. Т. 2. 584 с.

60. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т. 2 М: Наука. 1970. 672 с.

61. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа — М.: Наука. 1980. 286 с.

62. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая — М.: Советское радио. 1974. 552 с.

63. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций — М.: Гостехиздат. 1956. 583 с.

64. Лукин В.П. Исследование флуктуаций фазы оптических волн, распространяющихся в турбулентной атмосфере // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук — Томск: ТГУ, ИОА СО РАН. 1975. 14 с.

65. Лукин В.П., Майер H.H., Фортес Б.В. Численное моделирование наземного адаптивного телескопа // Оптика атмосферы. 1991. Т. 4. №12. С. 1298-1302.

66. Лукин В.П., Фортес Б.В. О влиянии дислокаций волнового фронта на нестабильность фазового сопряжения при компенсации теплового самовоздействия// Оптика атмосферы и океана. 1995. Т. 8. №9. С. 435-447.

67. Лукин В.П., Чарноцкий М.И. Об использовании метода Гартмана для определения характеристик волнового фронта излучения // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 66. Вып. 5. С. 1131-1133.

68. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний — М.: Наука. 1972. 470 с.

69. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Т. 1 М.: Мир. 1983. 312 с.

70. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики — М.: Наука. 1980. 535 с.

71. Минухин В.Б. Преобразование Гильберта и фазовые искажения сигналов // Радиотехника и электроника. 1973. Т. XVIII. №8. С. 1628-1634.

72. Миркин Л.И., Рабинович М.А., Ярославский Л.П. Методы генерирования коррелированных гауссовских псевдослучайных чисел на ЦВМ // Журнал вычислительной математики, математической физики. 1972. №5. С. 1353-1357.

73. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике — М.: Наука. 1968. 512 с.

74. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения — М.: Мир. 1976. 461 с.

75. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Доклады АН СССР. 1900. Т. 32. №1. С. 22-24.

76. Островский Ю.И., Бутусов М.М., Островская Г.В. Голографи-ческая интерферометрия — М.: Наука. 1977. 336 с.

77. Отчет по этапу №1 НИР №12-84-36 "Интеркон" — Томск: Институт оптики Атмосферы СО АН СССР. 1984. 55 с.

78. Отчет (заключительный) по НИР №12-84-36 "Интеркон" — Томск: Институт оптики Атмосферы СО АН СССР. 1985. 75 с.

79. Создание прогрессивных методов и аппаратуры для обработки и контроля астрооптики с применением ЭВМ // Отчет по теме НСУ-461-81 Л.: ЛОМО. 1985. 500 с.

80. Папу лис А. Теория систем и преобразований в оптике — М: Мир. 1971. 495 с.

81. Пестряков В.Б. Фазовые радиотехнические системы (основы статистической теории) — М.: Советское радио. 1968. 468 с.

82. Питербарг Л.И. Медианная фильтрация случайных процессов // Проблемы передачи информации. 1984. Т. XX. Вып. 1. С. 65-73.

83. Питербарг Л.И., Гриценко В.А. Устранение выбросов в рядах гидрофизических измерений с помощью медианной фильтрации // Океанология. 1983. Т. ХХШ Вып. 1. С. 161-163.

84. Покасов В.В. Исследование фазовых флуктуаций и когерентности излучения ОКГ, распространяющегося в атмосфере, когерентными методами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук Томск: СФТИ, ИОА СО АН СССР. 1972. 117 с.

85. Проблемы Гильберта / Под ред. П.С.Александрова — М.: Наука. 1969. 239 с.

86. А.с. СССР №397852. Следящий цифровой фазометр оптического диапазона. Емалеев О.Н., Назарчук В.В., Покасов В.В., Райзман М. М., Шошин Л. Г. Заявлено 10.01.72. Опубликовано 17.09.73. Бюллетень №37.

87. Похлиг С.К. Длительность сигнала и преобразование Фурье // ТИИЭР. 1980. Т. 68. №5. С. 100-101.

88. Пуряев Д.Т. Методы контроля асферических поверхностей — М.: Машиностроение. 1976. 262 с.

89. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши — Новосибирск: Наука. 1980. 121 с.

90. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов М.: Мир. 1978. 848 с.

91. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику — М.: Наука. 1966. 317 с.

92. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Часть П. Случайные поля — М.: Наука. 1978. 464 с.

93. Сопин М.О. О нулях амплитуды векторного оптического поля // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 81. №2. С. 268-270.

94. Сороко Л.М. Гильберт оптика — М: Наука. 1981. 160 с.

95. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики — М.: Наука. 1971. 616 с.

96. Сороко Л.М. Преобразование Гильберта и его применение в оптике // Материалы Пятой всесоюзной школы по голографии,— Л.: ЛИЯФ. 1973. С. 40-95.

97. Сороко Л.М., Стриж Т. А. Спектральные преобразования на ЭВМ Дубна: ОИЯИ. 1972. 135 с.

98. A.c. СССР №459666. Маска. Тартаковский В.А., Съедин В.Я Заявлено 07.12.71. Опубликовано 05.02.75. Бюллетень №5.

99. A.c. СССР №664118. Следящий фазометр оптического диапазона. Покасов В.В., Тартаковский В.А., Селиванов А.Г., Емалеев О.Н., Лукин В.П. Заявлено 01.06.77. Опубликовано 25.05.79. Бюлл. №15.

100. A.c. СССР №1024746. Интерференционный датчик волнового фронта. Витриченко Э.А., Пушной Л.А., Тартаковский В.А. Заявлено 18.02.82. Опубликовано 23.06.83. Бюллетень №23.

101. A.c. СССР №1030645. Измеритель амплитуды и фазы световой волны. Витриченко Э.А., Пушной Л.А., Тартаковский В.А. Заявлено 18.02.82. Опубликовано 23.07.83. Бюллетень №27.

102. A.c. СССР №1052850. Интерференционный фазометр. Витриченко Э.А., Пушной Л.А., Тартаковский В.А. Заявлено 18.02.82. Опубликовано 07.11.83. Бюллетень №41.

103. A.c. СССР №1341495. Интерферометрический способ контроля качества оптических поверхностей. Лукин В.П., Тар таковский В.А., Лелюхин С.И., Голубчик В.Л., Гуревич Л.С. Заявлено 29.10.84. Опубликовано 30.09.87. Бюллетень №36.

104. A.c. СССР №1483311. Способ интерференционного контроля формы оптических изделий. Лукин В.П., Тартаковский В.А. Заявлено 06.11.86. Опубликовано 30.05.89. Бюллетень №20.

105. Тартаковский В.А., Петров А.И., Съедин В.Я. Методы измерения функций смещения центра тяжести светового пучка, распространяющегося в турбулентной атмосфере // X Всесоюзная конференция по распространению радиоволн. —Иркутск: 1972. С. 254-258.

106. Тартаковский В.А. Анализ двумерных оптических сигналов в гибридной вычислительной структуре // Ш Всесоюзный симпозиум по лазерному зондированию атмосферы. —Томск: ИОА СО АН СССР. 1974. С. 270-274.

107. Тартаковский В.А. О восстановлении волнового поля из голографических данных // Распространение оптических волн в атмосфере. —Новосибирск: Наука. 1975. С. 63-66.

108. Тартаковский В.А. Об анализе двумерной интерференционной карины // Ш Всесоюзный симпозиум по распростр. лазерного излучения в атмосфере. Томск: ИОА СО АН СССР. 1975. С. 230-231.

109. Лукин В.П., Покасов В.В., Тартаковский В.А. О фокусировке волны в турбулентной атмосфере // IV Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере — Томск: ИОА СО АН СССР. 1977. С. 210-213.

110. Тартаковский В.А. Программа дискретного преобразования Гильберта // ИОА СО АН СССР, май 1978. ГосФАП с актом на новизну. Алгоритмы и программы. Т. 6 (32). №50. П003869. 9 с.

111. Тартаковский В.А., Покасов В.В. Определение огибающей и фазы в оптике и взаимосвязь между ними — Томск: ИОА СО АН СССР. 1980. 13 с. Деп. в ВИНИТИ. 15.01.80. №356-80.

112. Тартаковский В.А. Об интерферометрии параболического волнового поля // VI Всесоюзный симпозиум по распространению лазерного излучения в атмосфере. Часть Ш — Томск: ИОА СО АН СССР. 1981. С. 32-34.

113. Тартаковский В.А. Дисперсионные соотношения для логарифма аналитического сигнала в двумерном случае и их приложение к интерферометрии // IV Всесоюзная конференция по голографии — Ереван: ВНИИРИ. 1982. С. 723-727.

114. Тартаковский В.А. Новые формы дисперсионных соотношений для логарифма интерференционного поля // Тезисы докладов Ш Всесоюзного совещания по атмосферной оптике и актинометрии. Ч. II Томск. 1983. С. 72-73.

115. Витриченко Э.А., Пушной Л.А., Тартаковский В.А., Интерференционный контроль оптики на основе дисперсионных соотношений для логарифма аналитического сигнала // Доклады АН СССР. 1983. Т. 268. №1. С. 91-95.

116. Зуев В.Е., Лукин В.П., Миронов В.П., Тартаковский В.А. Некоторые вопросы построения датчиков волнового фронта // Тезисы докладов Ш Всесоюзного совещания по атмосферной оптике и актинометрии. Ч. II — Томск. 1983. С. 5-13.

117. Тартаковский В.А. Исследования точности восстановления фазы из интерферограммы методами интегральных преобразований // Цифровые и оптико-цифровые методы обработки изображений. Межвузовский научно-технический сборник — Томск. 1985. С. 90-97.

118. Тартаковский В.А. Некоторые алгоритмы анализа данных в интерференционных датчиках волнового фронта // Известия высших учебных заведений. Физика. 1985. №11. С. 96-105.

119. Зуев В.Е., Лукин В.П., Тартаковский В.А. Алгоритмы восстановления фазы из интерферограмм методами интегральных преобразований // Лазерное, оптическое и спектральное приборостроение Минск: ИФ АН БССР. 1986. С. 271-273.

120. Тартаковский В.А. Восстановление фазы двумерных полей при интерференционном контроле оптики. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат.наук — Томск: ТЛИ. 1987. 216 с.

121. Витриченко Э.А., Лукин В.П., Пушной Л.А., Тартаковский В.А. Проблемы оптического контроля — Новосибирск.: Наука. 1990. 351 с.

122. Тартаковский В.А. О продолжении интерферограмм за пределы области определения // Оптика атмосферы и океана. 1993. №12. Т. 6. С. 1581-1587.

123. Тартаковский В.A. Interferogram evaluation by 4D Analytic signal theory // Topical meeting on Adaptive Optics (Oct. 2-6. 1995. Garching bei Mtinchen) ESO conference and workshop proceedings. №54. P. 141-147.

124. Тартаковский В.А., Майер H.H. Relation between conjugation error and inverted field intensity deviation // Topical meeting on Adaptive Optics (Oct. 2-6. 1995. Garching bei Munchen) ESO conference and workshop proceedings. №54. P. 149-154.

125. Тартаковский В.А. Применение аналитического сигнала для анализа интерферограмм // П Межреспубликанский симпозиум "Оптика атмосферы и океана". Тезисы докладов — Томск: ИОА СО АН СССР. 1995. С. 387-388.

126. Тартаковский В.А., Майер Н.Н. Взаимосвязь ошибки обращения и отклонения интенсивности обращенного поля // П Межреспубликанский симпозиум "Оптика атмосферы и океана". Тезисы докладов Томск: ИОА СО АН СССР. 1995. С. 389-340.

127. Тартаковский В.А., Майер Н.Н. Дислокации фазы и минимально-фазовое разложение волновой функции // Оптика атмосферы и океана. 1995. №3. Т. 8. С. 448-454.

128. Тартаковский В.А., Майер Н.Н., Взаимосвязь ошибки обращения и отклонения интенсивности обращенного поля // Оптика атмосферы и океана. 1995. №12. Т. 8. С. 1889-1892.

129. ТартаковскийВ.А., Лукин В.П. Scan-Hartmann wavefront sensor // Adaptive optics. July 8-12. 1996 Maui. Hawaii. 1996 Technical digest series. V. 13. AThC2-l. P. 241-242.

130. Тартаковский В.А., Майер H.H. Focal spots in the presence of phase dislocations // Adaptive optics. July 8-12. 1996 Maui. Hawaii. 1996 Technical digest series. V. 13. AWD17-1. P. 209-210.

131. ТартаковскийВ.А., Майер H. H. Дислокации фазы и фокальные пятна // Оптика атмосферы и океана. 1996. №11. Т. 9. С. 1457-1461.

132. Тартаковский В.А. Дисперсионные соотношения и существование минимальной фазы при распространении и интерференции световой волны // Оптика атмосферы и океана. 1997. №9. Т. 10. С.1021-1031.

133. Тартаковский В.A. Modeling the wavefront dislocations // Report on contract F61708-97-W0126 (First four month period) Part 2.5. — Tomsk: Institute of Atmospheric Optics. Laboratory of Applied and Adaptive Optics. 1997.

134. Тартаковский В.А. Определение фазы оптической волны и многомерный аналитический сигнал // Оптика атмосферы и океана. 1997. №3. Т. 10. С. 301-315.

135. Тартаковский В.А., Майер Н.Н. Dispersion relation for realplane zeros as a concept of wavefront measurement // Apllied Optics 1998. 20 November. V. 37 №33. P. 7689-7697.

136. Тартаковский В.А., Майер Н.Н. Световой пучок с азимутальной несущей в вакууме и неоднородной среде // Оптика атмосферы и океана. 1998. №11. Т. 11. С. 1169-1174.

137. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере М.: Наука. 1967. 548 с.

138. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье — М,—Л.: Гостехиздат. 1948. 500 с.

139. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука. 1979. 286 с.

140. Тихонов В.И. Один способ определения огибающей квазигармонических флуктуаций // Радиотехника и электроника. 1957. Т. 2. №4. С. 562-568.

141. Тихонравов А.В., Зуев И.В. О связи амплитуды и фазы коэффициента отражения слоистой среды // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 1993. Т. 34. №4. С. 50-58.

142. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов — М.: Советское радио. 1972. 352 с.

143. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Таблица преобразований Гильберта // Радиотехника. 1970. Т. 25. №3. С. 85-89.

144. Тян Ш.-Г. Медианная фильтрация: детерминированные свойства // Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений — М.: Радио и связь. 1984. 222 с.

145. Финк Л.М. Соотношения между спектром и мгновенной частотой сигнала// Проблемы передачи информации. 1966. Т. П Вып. 4. С. 65-73.

146. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки. — М.: Связь. 1978. 272 с.

147. Фомин В.Н. Рекурентное оценивание и адаптивная фильтрация — М.: Наука. 1984. 288 с.

148. Фортес Б.В. Численное исследование эффективности адаптивного формирования пучков и изображений в турбулентной атмосфере. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук — Томск: Институт оптики атмосферы СО РАН. 1997. 189 с.

149. Фортес Б.В., Лукин В.П. Modelling of the image observed through the turbulent atmosphere // Proc. SPIE. 1992. V. 1668. P. 477-488.

150. Френке Т. С. Теория сигналов — M.: Советское радио. 1974. 344 с.

151. Харкевич A.A. Спектры и анализ — М.: Гостехиздат. 1953. 215 с.

152. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и ее применений в физике и технике // ТИИЭР. 1977. Т. 65. №7. С. 16-45.

153. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике — М.: Наука. 1971. 408 с.

154. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. II. Функции нескольких переменных — М.: Наука. 1976. 400 с.

155. Шмальгаузен В.И. Методы адаптивной оптики в лазерной интерферометрии // Автореф. диссерт. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук — М.: МГУ им. М.В. Ломоносоа. 1987. 32 с.

156. Юстуссон Б.И. Медианная фильтрация: статистические свойства // Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений — М.: Радио и связь. 1984. 222 с.

157. Янушаускас А.И. Аналитические и гармонические функции многих переменных — Новосибирск: Наука. 1981. 184 с.

158. Ярославский Л.П., Фаянс A.M. Исследование возможностей обработки и анализа интерферограмм на ЦВМ // Иконика. Цифровая голография. Обработка изображений — М.: Наука. 1975. С. 27-49.

159. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений — М.: Советское радио. 1979. 312 с.

160. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии. Введение в цифровую оптику — М.: Радио и связь. 1987. 296 с.

161. Abramochkin Е., Volostnikov V. Spiral-type beams // Optics Communications. 1993. V. 102. №3,4. P. 336-350.

162. Berry M. Singularities in waves and rays. Course 7 // Les Houches, Session XXXV, 1980 — Phusique des Defauts/Physics of Defects. R.Balian et al., eds. (North-Holland Publishing Company, 1981) P. 456-543.

163. Bone D.J., Bachor H.-A., Sandeman R.J. Fringe-pattern analysis using a 2-D Fourier transform // Applied Optics. 1986. V. 25. №10. P. 1653-1660.

164. Buckley R. Diffraction by a random phase-changing screen: A numerical experiment// Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics. 1975. V. 37. №12. P. 1431-1446.

165. Bucourt S., Ruhmann J. New wavefront sensor solves testing dilemma// EuroPhotonics 1999. December-January. P. 36-37.

166. Cadzow J. A. An extrapolation procedure for band-limited signals I I IEEE transactions on acoustics, speech and signal processing. 1979. V. ASSP-27. №1. P. 4-12.

167. Coles Wm.A., FiliceJ.P., Frehlich R.G., Yadlowsky M. Simulation of wave propagation in three-dimensional random media // Applied Optics. 1995. V. 34. №12. P. 2089-2101.

168. Cooley J.W. and Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Mathematical Computation. 1965. April V. 19. P. 297-301.

169. Dorband B. Die 3-Interferogramm-Methode zur automatischen Streifenauswertung in rechengesteurten digitalen Zweistrahlinterfero-metern // Optik. 1982. B. 60. №2. S. 161-174.

170. Evans C.J., Kestner R.N. Test optics error removal // Applied Optics. 1996. V. 35. №7. P. 1015-1021.

171. Fante R.L. Propagation of electromagnetic waves through turbulent plasma using transport theory // IEEE Trans. Antennas. Propagat. 1975. AP-21. P. 750-755.

172. Ferwerda H.A. Fundamental aspects of the phase retrieval problem // Opt. four dimensions conf. Ensenada. 1980. Chap. 10. P. 402-411.

173. Fiddy M.A., Burge R.E., Greenaway F.H., Ross G. The application of dispersion relations (Hilbert transform) to the phase retrieval // J. Phys. D: Appl. Phys. 1974. V. 7. P. 165-168.

174. Fiddy M.A., Burge R.E., Greenaway F.H., Ross G. The phase problem// Proceedings Royal Society. London. 1976. A350. P. 191-212.

175. Fiddy M.A., Ross G. The speckle effect: a reappraisal // Optica Acta. 1978. V. 25. №3. P. 205-217.

176. Fiddy M.A., Greenaway F.H. Phase retrieval using zero information // Optics Communications. 1979. V. 29. №3. P. 270-272.

177. Fiddy M.A., Ross G., Nieto-Vesperinas M., Manolitsakis I. The propagation and encoding of information in the scattered field by complex zeros // Optica Acta. 1979. V. 26. №2. P. 229-238.

178. Fiddy M.A., Brames B.J., Dainty J.C. Enforcing irreducibility for phase retrieval in two dimensions // Optics Letters. 1983. V. 8. №2. P. 96-98.

179. Fiddy M.A., Dainty J.C. The essential role of prior knowledge in phase retrieval // Optica Acta. 1984. V. 31. №3. P. 325-330.

180. Fiddy M.A., Scivier M.S., Hall T.J. Phase unwrapping using the complex zeros of a band-limited function and the presence of ambiguities in two dimensions // Optica Acta. 1984. V. 31. №6. P. 619-623.

181. Fiddy M.A., Scivier M.S. Phase ambiguities and the zeros of multidimensional band-limited functions// J. Opt. Soc. Am. 1985. V. 2. №5. P. 693-697.

182. Fiddy M.A., The role of analyticity in image recovery // Image Recovery: Theory and Applications. H.Stark, ed. (Academic, Orlando, Fla.,1987) P. 499-529.

183. Fiddy M.A., Chen Pi-Tung. Image reconstruction from power spectral data with use of point-zero location // J. Opt. Soc. Am. 1994. V. 11. №8. P. 2210-2214.

184. Fiddy M.A., Liao C.-W.Byrne C.L. Imaging from the zero locations of far-field-intensity data // J. Opt. Soc. Am. 1997. V. 14. №12. P. 3155-3161.

185. Fleck J.A., Morris J.R., Feit M.D. Time-dependent propagation of high-energy laser beam through the atmosphere // Appl. Phys. 1976. V. 10. №1. P. 129-139.

186. Freund I., Shvartsman N., and Freilikher V. Optical dislocation networks in highly random media // Optics Communications 1993. V. 101. №3,4. P. 247-264.

187. Freund I. Optical vortices in Gaussian random wave fields: statistical probability densities // J. Opt. Soc. Am. 1994. V. 11. №5. P. 1644-1652.

188. Freund I., Shvartsman N. Wave-field phase singularities: The sign principle // Physical Review 1994. V. 50. №6. P. 5164-5172.

189. Fried D.L. Statistics of a geometric representation of wavefront distortion // J. Opt. Soc. Am. 1965. V. 55. №11. P. 1427-1435.

190. Fried D.L., Vaughn J.L. Branch cuts in the phase function // Applied Optics 1992. V. 31. №15. P. 2865-2882.

191. Fried D.L. Branch point problem in adaptive optics // J. Opt. Soc. Am. 1998. V. 15. №10. P. 2759-2768.

192. Gabor D. Theory of communication // Journal of IEE. 1946. V. 93. Pt. 3. P. 429-441.

193. Goodmen J.W. Введение в Фурье-оптику — M.: Мир. 1970. 364 с.

194. Goodmen J.W. Статистическая оптика — М.: Мир. 1988. 364 с.

195. Harris F.J. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР. 1978. Т. 66. №1. С. 60-96.

196. Huang Т.С., SanzJ.L.C., Fan Н., et al. Numerical comparison of several algorithms for band-limited signal extrapolation // Applied Optics 1984. V. 23. №2. P. 307-317.

197. Ichioka Y., Inuiya M. Direct phase detecting system // Applied Optics 1972. V. 11. №7. P. 1507-1514.

198. Cizek V. Numerische Hilbert-Transformation // Prace ustavu radio-techniky a elektroniky. Ceskoslovenske akademie ved. 1961. №11. 56 c.

199. Jain A.K., Ranganath S. Extrapolation algorithms for discrete signals with application in spectral estimation // IEEE transactions on acoustics, speech and signal proc. 1981. V. ASSP-29. №4. P. 830-845.

200. Kak S.C. The discrete Hilbert transform // Proceedings of the IEEE. 1969. №4. P. 585-586.

201. Kotlyar V.V., Seraphimovich P.G., Zavyalov O.K. Noise-insensitive iterative method for interferogram processing // Opt. and Laser Technol. 1995. V. 26. №4. P. 251-254.

202. Ktichel F.M., Schmieder Th., Tiziani H.I. Beitrag zur Verwendung von Zernike-Polynomen bei der automatischen Interferenzstreifen-auswertung// Optik. 1983. B. 65. №2. S. 123-142.

203. Lai G., Yatagai T. Use of the Fast Fourier transform method for analyzing linear and equispaced Fizeau fringes // Applied Optics. 1994. V. 33. №25. P. 5935-5940.

204. Mahajan V.N. Zernicke circle polynomials and optical aberrations of systems with circular pupils // Supplement to Applied Optics 1994. 1 December. P. 8121-8124.

205. Malacara D., Servin M., Malacara Z. Interferogram analysis for optical testing — NY: Marcel Dekker Inc. 1998. 456 ps.

206. Mandel L. Complex representation of optical fields in coherence theory // J. Opt. Soc. Am. 1967. V. 57. №5. P. 613-617.

207. Martin J.M., Flatte S.M. Intensity images and statistics from numerical simulation of wave propagation in 3-D random media // Applied Optics. 1988. V. 27. №11. P. 2111-2126.

208. Nieto-Vesperinas M. Dispersion relations in two dimensions: Application to the phase problem // Optik. 1980. B. 36. №4. S. 377-384.

209. Nugent K.A. Interferogram analysis using accurate fully automatic algorithm// Applied Optics. 1985. V. 24. №18. P. 3101-3105.

210. Osten W., Elandaloussi F., and Mieth U. Software brings automation to fringe-pattern processing // Europhotonics. 1998. V. 3. Issue 2. Februar-March. P. 34-35.

211. Papoulis A. A new algorithm in spectral analysis and band-limited extrapolation // IEEE Trans, circuits syst. 1975. V. CAS-22. №9. Sept. P. 735-742.

212. Perina J. Когерентность света — M.: Мир. 1974. 367 с.

213. Requicha А.А.Г. Нули целых функций: Теория и инженерные приложения // ТИИЭР. 1980. Т. 68. №3. С. 5-30.

214. Rice S.O. Огибающие узкополосных сигналов // ТИИЭР. 1982. Т. 70. №7. С. 5-13.

215. Roddier С., Roddier F. Interferogram analysis using Fourier transform techniques // Applied Optics. 1987. V. 26. №9. P. 1668-1673.

216. Roux F.S. Dynamical behavior of optical vortices // J. Opt. Soc. Am. 1995. V. 12. №7. P. 1215-1221.

217. SanzJ.L.C., Huang Т.С. Discrete and continuous band-limited signal extrapolation // IEEE transactions on acoustics, speech and signal processing. 1983. V. ASSP-31. №5. P. 1276-1285.

218. Shafer R.U., Mersero Z.M., Richards M.A. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений // ТИИЭР. 1981. Т. 69. №4. С. 33-55.

219. Schulz G., GrzannaJ. Absolute flatness testing by the rotation method with optimal measuring-error compensation // Applied Optics. 1992. V. 31. №19. P. 3767-3780.

220. Simonov V.L. Optical sensor for measurements of light spot position on a plane // Active and Adaptive Optics. ESO Conference and Workshop Proceedings. 1993. №48. P. 363-368.

221. Singleton R.C. An Algorithm for computing the mixed radix Fast Fourier transform // IEEE transaction on audio and electroacoustics. 1969. V. AU-17. №2. P. 93-103.

222. Soskin M.S., Gorshkov V.N., Vasnetsov M.V., Malos J.T., Heckenberg N.R. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. №5. P. 4064-4075.

223. Spektor В., Piestun R., Shamir J. Dark beams with a constant notch // Optics Letters. 1996. V. 21. №7. P. 456-458.

224. Spik A. Two-dimensional phase decoding from bounded fringe patterns by using the Fourier-transform method // Optica Applicata. 1987. V. XVII. №4. P. 349-354.

225. Takeda M., Ina H., Kobayashi S. Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry // Applied Optics. 1982. V. 72. №1. P. 157-160.

226. Takeda M., Mutoh K. Fourier transform profilometry for the automatic measurement of 3-D object shapes // Applied Optics. 1983. V. 22. №24. P. 3977-3982.

227. Temes G.S., Barcilon V., Marshall F.C. III. Оптимизация систем с ограниченной полосой // ТИИЭР. 1973. №2. С. 60-103.

228. Toyooka S., Iwaasa Y. Automatic profilometry of 3-D diffuse objects by spatial phase detection// Applied Optics. 1986. V. 25. №10. P. 1630-1633.

229. Wackerman C.C., Fienup J.R. Phase retrieval stagnation problems and solutions // J. Opt. Soc. Am. 1986. V. 3. №11. P. 1897-1907.

230. Wackerman C.C., Yagle A.E. Phase retrieval and estimation with use of real-plane zeros// J. Opt. Soc. Am. 1994. V. 11. №7. P. 2016-2026.

231. Wackerman C.C., Yagle A.E. Use of Fourier domain real-plane zeros to overcome a phase retrieval stagnation // J. Opt. Soc. Am. A 1991. V. 8. №12. P. 1898-1904.

232. Wiley R.G. Об итеративном методе восстановления сигналов с ограниченной полосой // ТИИЭР. 1978. Т. 66. №4. С. 185-186.

233. Wyant J.С. Interferometric optical metrology: basic principles and new systems // Laser Focus. 1982. V. 8. №5. P. 65-71.

234. Wolf E., Agarwal G.S. Relation between the statistical representations of real and associated complex fields in optical coherence theory // J. Math. Phys. 1972. V. 13. №11. P. 1759-1764.

235. WolfE., Nieto-Vesperinas M. Analycity of angular spectrum amplitude of scattered fields and some of its consequences // J. Opt. Soc. Am. A 1985. V. 2. №6. P. 886-889.

236. Womack K.H. Interferometric phase measurement // Optical Engineering. 1984. V. 18. №5. P. 65-71.

237. Wooder N.J., Munro I., Nichols T.W., Wells M., and Dainty J.С. Space-time wavefront analysis using a coordinate remapping Shack-Hartmann sensor// Adaptive optics. 1995. Technical digest series V. 23. P. 56-58.