Многолучевые антенны на основе бифокальных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ви Ут Нам

• Ви Ут Нам
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Ви Ут Нам

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА1. СИНТЕЗ БИФОКАЛЬНЫХ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1.1. МЕТОДИКА СИНТЕЗА БИФОКАЛЬНОЙ ДВУХЗЕРКАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

1.2. СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИФОКАЛЬНЫХ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ГЛАВА 2. СИНТЕЗ БИФОКАЛЬНЫХ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫХ СИСТЕМ

2.1. МЕТОДИКА СИНТЕЗА БИФОКАЛЬНОЙ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

2.2. СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИФОКАЛЬНЫХ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ГЛАВА 3. СИНТЕЗ БИФОКАЛЬНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНЗ

3.1 СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИФОКАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСИХ ЛИНЗ

3.2. СИНТЕЗ ТРЕХМЕРНОЙ БИФОКАЛЬНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ

ГЛАВА 4. ШИРОКОУГОЛЬНЫЕ МНОГОЛУЧЕВЫЕ АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ, ЛИНЗОВЫХ И ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫХ БИФОКАЛЬНЫХ СИСТЕМ

4.1. МНОГОЛУЧЕВЫЕ АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ПЛАНАРНЫХ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ БИФОКАЛЬНЫХ СИСТЕМ

4.2. МНОГОЛУЧЕВЫЕ АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ПЛАНАРНЫХ БИФОКАЛЬНЫХ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫХ СИСТЕМ

4.3. МНОГОЛУЧЕВЫЕ АНТЕННЫ НА ОСНОВЕ ПЛАНАРНЫХ БИФОКАЛЬНЫХ ЛИНЗ

4.4. МНОГОЛУЧЕВАЯ АНТЕННА НА ОСНОВЕ ТРЁХМЕРНОЙ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ БИФОКАЛЬНОЙ ЛИНЗЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

В последнее время возрос интерес к многолучевым антеннам [1]. Этот интерес обусловлен тем, что наряду с традиционными приложениями таких антенн, появляются новые, в частности, в базовых станциях систем мобильной связи нового поколения, наземных и бортовых системах космической связи, радио-мониторинга и т. д. Еще одна причина интереса - появление и развитие новых технологий изготовления СВЧ элементов и антенн, в частности, аддитивных и планарных технологий. При этом возрастающие требования в приложениях и внутренняя логика развития науки требуют улучшения параметров этого класса антенн, в первую очередь, расширения сектора обзора многолучевой антенны и повышения коэффициента усиления.

Для формирования многолучевой диаграммы направленности в планарных антенных решетках с квазиоптическим формированием лучей используется диаграмно-образующие системы (ДОС) на основе планарного волновода с расположенными в волноводе с облучателями и фокусирующим элементом. В простейшем случае конструкция антенной решетки содержит два слоя, связанных параболической щелью или системой отверстий, которые замыкаются параболическим зеркалом [2, 3]. Однако система с параболическим зеркалом не может обеспечить широкоугольную многолучевую диаграмму из-за аберраций, возникающих при смещении облучателя из фокуса параболы. В работе [4], где впервые была применена двухслойная конструкция планарной многолучевой антенны с квазиоптической ДОС, для уменьшения среднеквадратической аберрации (СКА) использована бифокальная зеркально-линзовая система на основе волноводной линзы, в работах [5-8] - трехфокальная система на основе линзы Ротмана. В работах [9, 10] синтезирована и оптимизирована, а в работе [11] - экспериментально исследована двухзеркальная апланатическая ДОС. В работе [12] синтезирована и исследована трехзеркальная апланатическая ДОС, а в работе [13] - трехфокальная волноводная зеркально-линзовая ДОС с

одинаковыми длинами волноводов.

Следует отметить, что использование зеркально - линзовых ДОС с принудительным преломлением и трехзеркальных ДОС приводит к усложнению конструкции и увеличению потерь. Поэтому представляет интерес задача уменьшения аберраций и, в результате, расширение углового сектора (угла зрения) многолучевой антенны при использовании полифокальных двухзеркальных, а также линзовых и зеркально-линзовых ДОС на основе диэлектрических линз.

В работах Б.Е. Кинбера с соавторами [14, 15] предложена методика решения задачи синтеза бифокальной двухзеркальной системы и линзы, преобразующих две расходящиеся цилиндрические волны в сходящиеся или плоские. Методика основана на задании начального участка поверхности одного из зеркал (первой поверхности линзы) и последовательного нахождения других участков этого и другого зеркала (другой поверхности линзы). Для получения гладкого решения в указанных работах приведены условия сопряжения с требованием непрерывности функций, описывающих участки поверхности, а также их производных на границах участков. Однако приведенных в указанных работах условий недостаточно для получения корректного решения задачи геометрооптического синтеза. Кроме того, в этих работах отсутствует ответ на вопрос о выборе начального участка.

В работах [16, 17] эта методика была развита с целью обеспечения непрерывности вторых производных и реализована в задачах синтеза бифокальных линзовых и двухзеркальных систем.

Для трехмерных двухзеркальных систем методика [14, 15] была развита в работах [18, 19].

Однако при увеличении угла зрения величина СКА бифокальных систем растет, что ограничивает возможности многолучевых антенн, построенных на их основе.

В работах [20, 21] величина СКА волноводно-щелевой антенной решетки с

двухзеркальной и зеркально-линзовой ДОС была уменьшена путем синтеза трехфокальных систем, используя в качестве дополнительной степени свободы линии расположения щелей. Однако такой подход приводит к ограничению полосы частот антенной решетки и не может быть использован в других антенных системах.

С другой стороны потенциальные возможности двухзеркальных, линзовых и зеркально-линзовых бифокальных систем с точки зрения минимизации СКА и построения широкоугольных многолучевых антенн на их основе не были исследованы.

Из изложенного выше следует, что задача синтеза двухзеркальных, линзовых и зеркально-линзовых бифокальных систем с минимальной СКА с целью построения на их основе широкоугольных многолучевых антенн является актуальной как с научной, так и прикладной точек зрения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многолучевые антенны на основе бифокальных систем»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы является разработка и исследование широкоугольных многолучевых антенн на основе бифокальных систем с минимальными аберрациями.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

1) Разработка методики и алгоритмов синтеза цилиндрических бифокальных систем с минимальными аберрациями, а также их программная реализация.

2) Синтез двухзеркальной цилиндрической бифокальной системы с минимальными аберрациями.

3) Синтез зеркально-линзовой цилиндрической бифокальной системы с минимальными аберрациями.

4) Синтез цилиндрической бифокальной линзы с минимальными аберрациями.

5) Синтез трехмерной бифокальной линзы.

6) Разработка электродинамических моделей и исследование многолучевых антенн на базе двухзеркальной, зеркально-линзовой и линзовой бифокальных систем.

7) Изготовление экспериментального образца и проведение измерений параметров многолучевой антенны на основе бифокальной цилиндрической диэлектрической линзы.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе использованы: аналитическая теория синтеза на основе геометрической оптики, приближение Кирхгофа и численный эксперимент на основе метода конечных элементов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Развита численно-аналитическая методика синтеза бифокальных цилиндрических двухзеркальных, а также диэлектрических линзовых и зеркально-линзовых систем с минимальной величиной среднеквадратической аберрации (СКА).

2. Синтезированы двухзеркальные цилиндрические бифокальные системы с СКА: 8х10-6 в угле зрения 500, 2х10-5 в угле зрения 700 и 4х10-5 в угле зрения 1050.

3. Синтезированы зеркально-линзовые цилиндрические бифокальные системы с СКА: 2х10-5 в угле зрения 500,5х10-5 в угле зрения 700 и 1.3х10-4 в угле зрения 1000.

4. Синтезирована цилиндрическая бифокальная диэлектрическая линза

с СКА: 1.5х10-4 в угле зрения 900.

5. Синтезирована трехмерная бифокальная диэлектрическая линза с СКА: 6х10-4 в угле зрения 900.

6. С использованием численного моделирования исследованы широкоугольные многолучевые антенны на основе оптимизированных бифокальных систем.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ

1) Многолучевые антенны на основе синтезированных бифокальных систем позволяют расширить сектор обзора при заданном коэффициенте усиления и увеличить коэффициент усиления при заданном секторе обзора.

2) Разработана конструкция экспериментального макета многолучевой антенны на основе бифокальной цилиндрической диэлектрической линзы для угла зрения 900.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1) Развитая методика решения задачи геометрооптического синтеза цилиндрических двухзеркальных бифокальных систем позволяет расширить угол обзора многолучевых антенн на их основе.

2) Развитая методика решения задачи геометрооптического синтеза цилиндрических зеркально-линзовых бифокальных систем позволяет расширить угол обзора многолучевых антенн на их основе.

3) Развитая методика решения задачи геометрооптического синтеза цилиндрических линзовых бифокальных систем позволяет расширить угол обзора многолучевых антенн на их основе.

4) Развитая методика позволяет решать задачи геометрооптического синтеза трехмерных линзовых бифокальных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции: 2021 Radiation and Scattering

of Electromagnetic Waves (RSEMW)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, Списка литературы из 28 наименований и двух Приложений. Диссертационная работа изложена на 109 страницах, содержит 70 рисунков.

Краткое содержание работы

В первой главе рассмотрены задачи синтеза и оптимизации цилиндрических двухзеркальных бифокальных систем.

В первом разделе главы развита методика синтеза цилиндрических двухзеркальных бифокальных систем с использованием последовательного нахождения участков зеркал и заданием начального участка вспомогательного зеркала в виде полинома второй и четвертой степени. Один из коэффициентов полиномов определяется в результате решения найденного в работе уравнения, которое в общем случае обеспечивает непрерывность вторых производных функций, описывающих поверхности зеркал. Начальный участок главного зеркала находится в результате решения задачи синтеза плоского фронта для центрального положения источника.

Во втором разделе главы определены параметры оптимизации с целью минимизации величины СКА при фиксированном расстоянии между зеркалами и угле зрения бифокальной системы.На плоскости этих параметров для углов зрения 50, 70 и 105 градусов найдены границы области существования решения задачи синтеза и приведены зависимости величины СКА от параметров, при этом показано, что ее минимум достигается на границе области существования решения и найден набор параметров, обеспечивающих этот минимум.

Во второй главе рассмотрены задачи синтеза и оптимизации цилиндрических зеркально-линзовых бифокальных систем.

В первом разделе главы развита методика синтеза двумерных зеркально-линзовых бифокальных систем с использованием последовательного нахождения участков первой поверхности диэлектрической линзы и зеркала, примыкающего ко второй поверхности линзы. При этом начальный участок

первой поверхности линзы задается в виде полинома второго порядка, параметры которого определяются в результате решения найденного в работе уравнения в общем случае обеспечивающего непрерывность вторых производных функций, описывающих поверхности линзы и зеркала. Начальный участок зеркала находится в результате решения задачи синтеза плоского фронта для центрального положения источника.

Во втором разделе главы определены параметры оптимизации с целью минимизации величины СКА при фиксированной толщине линзы, коэффициенте преломления и угле зрения бифокальной системы. На плоскости этих параметров для углов зрения 50, 70 и 100 градусов найдены области существования решения задачи синтеза, зависимости величины СКА от параметров оптимизации и набор параметров, обеспечивающих ее минимальное значение.

В третьей главе рассмотрены задачи синтеза и оптимизации цилиндрических и трехмерных диэлектрических линз.

В первом разделе главы рассмотрены задачи синтеза и оптимизации цилиндрических диэлектрических бифокальных линз с целью реализации минимальной величины СКА. Методика основана на последовательном нахождении участков поверхности линзы с заданием начального участка одной из поверхностей в виде полинома второго порядка, параметры которого определяются в результате решения найденного в работе уравнения в общем случае обеспечивающего непрерывность вторых производных функций, описывающих поверхности линзы, при этом начальный участок другой поверхности линзы находится в результате синтеза плоского фронта для центрального положения луча. В качестве примера синтезированы и оптимизированы двумерные бифокальные линзы для углов зрения 400 и 900.

Во втором разделе главы рассмотрены задачи синтеза трёхмерных диэлектрических бифокальных линз. Методика синтеза также основана на последовательном нахождении участков поверхности линзы. При этом форма начального участка первой поверхности линзы задается в виде полинома двух

переменных второго порядка. Форма начального участка второй поверхности и границы находится из условию «сшивания» начальных участков с вновь синтезированными. Это условие обеспечивает непрерывность первых производных поверхностей линзы.

В четвертой главе исследованы многолучевые антенны на основе синтезированных и оптимизированных бифокальных систем.

В первом разделе главы с использованием численного моделирования методом конечных элементов (МКЭ) и в приближении Кирхгофа исследованы характеристики многолучевых антенн с широким углом обзора на основе планарных бифокальных двухзеркальных систем с минимальной СКА, с компактной облучающей системой и с использованием оптимизации по максимуму величины КИП.

Во втором разделе главы с использованием численного моделирования и в приближении Кирхгофа исследованы характеристики многолучевых антенн с широким углом обзорана основе планарных бифокальных зеркально-линзовых систем с минимальной СКА и с компактной облучающей системой.

В третьем разделе главы с использованием численного моделирования и в приближении Кирхгофа исследованы характеристики многолучевых антенн с широким углом обзора на основе планарных бифокальных линзовых систем с минимальной СКА и с компактной облучающей системой. Проведены измерения зависимости коэффициента усиления от угла обзора макета многолучевой антенны на основе планарной бифокальной диэлектрической линзы. В приближении Кирхгофа рассчитаны характеристики излучения многолучевой антенны на основе трехмерной диэлектрической бифокальной линзы.

В Заключении приведены основные результаты диссертации и сделаны общие выводы и рекомендации.

В Приложении приведены результаты решения задачи синтеза цилиндрической двухзеркальной системы с максимальной величиной КИП.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ

В работах, опубликованных в соавторстве, соискателю принадлежит: вывод и решение уравнений геометрооптического синтеза двухзеркальных, линзовых и зеркально-линзовых бифокальных систем, оптимизация их параметров с целью реализации минимальной СКА в заданном угле зрения, исследования многолучевых антенн на основе синтезированных бифокальных систем с использованием численного моделирования и приближения Кирхгофа, а также изготовление макета многолучевой линзовой антенны и проведение измерений.

ГЛАВА1. СИНТЕЗ БИФОКАЛЬНЫХ ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1.1. МЕТОДИКА СИНТЕЗА БИФОКАЛЬНОЙ ДВУХЗЕРКАЛЬНОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим задачу синтеза цилиндрической бифокальной двухзеркальной системы, с одной стороны которой расположены два симметричных относительно оси Y (рис. 1.1) фокуса (точки идеальной фокусировки F1и F2) с декартовыми координатами (хи,уи) и (х^у^). При положении источника цилиндрической волны в каждом из этих фокусов с другой стороны бифокальной системы формируются два симметричных относительно оси Y плоских фронта.

Рис. 1.1. Начальные участки зеркал.

Пусть форма вспомогательного (первого) и основного (второго) зеркала описываются неизвестными четными фунциями у^х) и у2(х), соответственно, а функция у10(х), описываюшая начальный участок вспомогательного зеркала, задана, т.е.на интервале [-10, xo] функция у1(х)= ую(х) известна. При этом поверхности первого и второго зеркал пересекают ось Y в точках (0, Ъ) и (0,0), соответственно (рис. 1.1). Потребуем, чтобы лучи из источника, расположенного в точке Fo с координатами (0, -/0) после двух отражений от зеркал формировали

плоский фронту=к, где к - произвольная постоянная. При этом луч, идущий вдоль оси У, падает на первое зеркало в точке (0, Ь), отражается от него, падает на второе зеркало в точке (0,0), снова отражается и снова идет вдоль оси У. Эйконалот источника до фронта этого (осевого) луча:

Ьо=/о+2Ь+к. (1.1)

Пусть другой луч, выходящий из точки падает на первое зеркало в точке Р с координатами (хр, ур), отражается от него, падает на второе зеркало в точке Q с координатами (xQ,yQ) и отражается от него параллельно оси У. При этом его эйконал определяется формулой:

£ = >/ХР2(УР+Л)Г+PQ + к - Ур + PQ соъ^), (1.2)

гдеа^ = аЕР — 2ур- угол межу осьюуи отрезком PQ;аFP = аг^(хр / (ур - уР ))-

угол между осью У и падающим лучом в точке Р; Ур = агс^§(У10 (хР)) -угол между осью У и нормалью первому зеркалу в точке Р; PQ- расстояние от точки Р до точки Q.

Потребуем, чтобы все лучи, выходящие из точки F после двух отражений от зеркал, шли параллельно оси У и формировали плоский фронт на выходе системы. Для этого необходимо равенство эйконалов всех лучей (от источника до фронта). Потребуем, чтобы эйконалы всех лучей были равны эйконалу центрального луча:

(Ур + /0)2 + PQ - Ур + PQcos(арQ) = 2Ь. (1.3)

Решение этого уравнения имеет вид

= /0+ 2Ь + Ур -ухр2+ (Ур + /00

(1 + cos(аPQ)) . ( . )

Зная расстояние от точки Р до точки Q и угол аРд , нетрудно найти координаты точки Q:

хе = хр + PQ sin(^),

УQ = Ур - ^ cos(аPQ) (1.5)

Множество точек Q образует начальный участок второго зеркала.

y i

II II

x

F

Рис. 1.2.К определению новых участков зеркал.

Для реализации на стыках начальных участков с соседними непрерывности функций, описывающих форму поверхности зеркал и их производных, необходимо, чтобы луч плоской волны, падающей на зеркало под углом к оси У после отражения в точке О попадал в точку А, а после отражения в точке А - в фокус Из геометрии на рис. 1.2 нетрудно найти координаты этого фокуса, а также фокуса учитывая, что он симметричен фокусу ^ относительно оси У:

гдех4=-хо; уа=у(-Хо); 0^1 = arctg((хо -xaжУо - Уа))" 2 arctg(-y'(xa))- угол между осью Y и линией, соединяющей фокус F1 с краем (точка A) начального участка вспомогательного зеркала; f - расстояние от края начального участка до фокуса.

Рассмотрим луч, который из фокуса Fi падает на первое зеркало в точке A, отражается и падает на второе зеркало в точке О. Из геометрии на рис. 1.1 следует, что угол выхода луча из системы определяется формулой.

XF1~ ХА f sin(^AF 1),

yF 1 = У4 - f cos(^AF 1X

(1.6)

XF 2 XF1; yF 2 yF 1

S = aAO - 2arctg(y2(Хо )) ,

где y2 (xD) - первая производная функцииу2(х) в точке О.

(1.7)

Для определения нового участка второго зеркала предложим, что луч из фокуса F1 падает наначальный участок первого зеркала, отражается от него в точке 5 с координатами (хЬ,УЬ), падает на второе зеркало в точке Т с координатами (хт,Ут) и отражается под углом 8 (рис. 1.2). Отсюда получаем угол между осью У и падающим от точки F1 в точку 5 лучом а1715 = агС£((хЬ - х^) / (у5 - yF 1)) и угол

а5Т = - 2у8 между осью У и лучом, отраженным от зеркала в точке 5.

Для того чтобы двухзеркальная система формировалана выходе плоский фронт, необходимо равенство эйконалов всех лучей, которые выходят из фокуса F1 и после отражения от зеркал идут параллельно (под углом 8 к оси У). Отсюда получаем уравнение:

ЬТ + (хв - х5 - ЬТ ап(а)) sin(8) + (Уд - У + ЬТ )) cos(8) =

= / +10'

где 10 (хс - хв )2 + (ус - ув )2 ; ЬТ - расстояние от точки Ьдо точки Т.

Решение этого уравнения имеет вид

/ + 10 - Ях^х^+^У^У^ + (х5 - хп ) ^(8) + (Уь - Уп ) c0s(8) ЬТ =-21--(19)

(1 -яп(ает ^ш(8) + )^(8)) ' 4 ' }

Зная длину ЬТ и угол а5Т , можно определять координаты точки Т по формулам:

+ ьт sin(а),

Ут = Уь - ЬТ ^(а8Т) (110)

Множество точек Тобразует новый участок второго зеркала. При этом функция У2(х) и ее первая производная также непрерывны на стыке начального участка второго зеркала с его новым (соседним) участком.

Для определения нового участка первого зеркала рассмотрим падение плоской волны на второе зеркало. Пусть луч, который падает на начальный участок второго зеркала в точке М с координатами(хМ,УМ) под углом 5 к оси У , отражается от второго зеркала и падает на первое зеркало в точке N с координатами (х^У^, снова отражается и проходит через фокус F2 (см. рис. 1.2).

Угол между осью У и отраженным лучом в точке М&ш = 8- 2ум.

Приравнивая эйконалы лучей, отраженных от разных точек М зеркала, получим уравнение:

мы -йс - ¡0 -/+йм = о, (1.11)

где йм- расстояние от точки М до фронта волны; йс- расстояние от точки С до фронта волны.

Решение этого уравнения имеет вид:

А -(Ум -Ур2 -(хм-х^2)

МЫ = гг

2 А+2( Хм - хР2)ъш(амм )+2( Ум-УF2)cos(aмN ) , (1.12)

где А = ¡о + / + (хс - хм ) §1п(8) + (Ус - Ум ) С08(8).

Зная расстояние мы и угол амы, координаты точки N можно найти по формулам:

хы = хм + мы X

Уы = Ум + мы ) (1.13)

Множество точек N образует новый участок первого зеркала. При этом фунция У1(х) и ее первая производная непрерывны на стыке начального отрезка с новым.

Для обеспечения непрерывности амплитудного распределения отраженных волн в первом приближении геометрической оптики необходимо, чтобы вторые производные функций, описываюших поверхности зеркал, были непрерывными. Первая производная функции у1(х)в точке N имеет вид:

Ук = *(-/„) = . (1.14)

Так как координаты точки N определяются через координаты точким, вторую производную второго отрезка первого зеркала в точке N определяем

дифференцированием его первой производнойв точке N по координате хм :

у (Х ) = й^А = (й (У^у/ (ХN ^ = (аШ (хм )-аЕ 2( хм ))(1 + 2) й (ХN ) й (хм ) й (хм ) 2 ХN(хм )

Для того чтобы вторая производная первого зеркала на стыках была

непрерывной, значение второй производной первого участка в точке В должно равняться значению второй производной в точке N когда точки Ми С совпадают. Заменим хм на -х0 в выражении для второй производной (1.15) и приравняем его значению второй производной начального отрезка первого зеркала в точке в. В результате получим уравнение:

(У02 + 2Т0У0-1)хN -((1 -У02)Т0-2У0)УN , -П

0^ (1Л6)

где

_Ьь(/0 + 2Ь + У0 х02+ (У0 + /0)2) + 2хр(1 + Сь)

Т (1 + Сь )СЬ1Х

е _ (У0(У0 + /0) + х0) _ ((У0 + /0) + У0х0)

ЬЬ = ^ г-—:-Г- ; СЬ =

(1 + У0^(У0 + /0)2+ х02) ' Ь (1 + У0^(У0 + /))2+ х02) ' $ = У0 + /0 - х0 У0 2 У0 .

$0 2 /■ у-ч2 1 '2;

х02 + (У0 + /0)2 1 + У02

(-У0' + х0 + (У0 + /0)У0 )(! + Сь ) + ЬЬ$ (Vх02 + (У0 + /0)2 - /0 - 2Ь - У0)

/ = ух02 + (У0 + /0?_

х (1 + СЬ 2)

х ■ / + 2Ь + 2Ь + У - \/хп 2 + У2

$0 = arctg( -arctg(Уо); 1х = /0-1-2 У0 ^ ;

У0 + / 1 + Сь

а = 2$0 V _Т0(1 -У02) + 2У0 _ 1-У02 -2Т0У02

+ 1^$'+^); Т (1 +02)-^+; Т (1 +02)л^+ ^

А = ^/(XPч5Ъ7чCГ + /; А = Ьь- Т0(1+ Сь)2 ;

XV 0 х ь х ь J ; (1 + ^ + Т2 ;

в=а2+(/^Сь - /Ст )2 - (/д - А )2 В1=2АА1+2(/хС;-С )2 Ьь - (/хЬь - Ь);

Сх = 2 4 +

2а' (/х0Сь - /Ст - (/х0Ьь - /Ьт )Т0) 2Ьь

V1+Т02 (1+Сь V1+Т02

С = 2 А +

хы = 1 +

1+у1 1+т02 ^ 1+т02; У 1+с, "г>/1+тог '

• УN =

У0 = У1(хо); У0 = Ух (х0); Уо = У1 (хо) -значения функции У1(х), ее первой и второй производной, соответствено, в точке В с координатами (хо, уо).

1.2. СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИФОКАЛЬНЫХ

ДВУХЗЕРКАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Задача синтеза и оптимизации состоит в нахождении формы зеркал и фокальной кривой, обеспечивающие минимальную величину СКА эйконала на выходе двухзеркальной системы, которую будем определять по формуле:

где Li - эйконал луча с номером ¡; п- количество учтенных лучей, О-размер апертуры системы; Ьо - эйконаллуча, относительно которого СКА имеет минимальное значение (этот луч будем называть опорным).

Зададим исходные параметры системы: расстояние между зеркалами Ь, полуразмер начального отрезка хо, расстояние / от конца начального отрезка до фокуса расстояние р от первого зеркала до фокуса ^ начальной системы, и используем изложенный выше алгоритм синтеза бифокальной системы с

начальным отрезком первого зеркала в виде полинома второго У (х) = ах2 + Ь и

четвертого у(х) = а4х4 + а2х2 + Ь порядка. Один из коэффициентов полинома находим из условия непрерывности второй производной функций, описывающих

форму зеркал (1.16). В первом случае, подставляя Уо = ахо2 + Ь; Уо = 2ахо ; Уо = 2а в уравнение (1.16), находим а. Во втором случае аналогично находим а4 при заданном значении а2, которое в данном случае является дополнительной

(1.17)

степенью свободы для оптимизации. Реализуя описанный выше алгоритм синтезирования отрезков зеркал т раз, находим форму зеркал, которые состоят из 2т+1 отрезков.

Проведем анализ СКА двухзеркальной системы, синтезированной для фиксированного значения угл зрения в зависимости от ее параметров. Для вычисления СКА системы по формуле (1.17) необходимо найти эйконалы лучей, для определения которых, в свою очередь, необходимо знать направление фронта и величину эйконала Ео опорного луча, относительно которого будет рассчитываться СКА. Если источник находится в фокусе, углы выхода всех лучей из системы одинаковы и определяются формулой (1.7). При смещенном положении источника углы выхода лучей будут разные. Найдем к таких лучей и выберем из них несколько опорных, проходящих вблизи центра двухзеркальной системы. По формуле (1.17) найдем СКА для каждого опорного луча с соответствующим (ортогональным) фронтом (рис. 1.3) и выберем из полученных величин СКА минимальное значение. Полученное приближенное значение СКА уточняем, меняя угол выхода опорного луча и находя минимум СКА.

У4

Фронт у-го луча

Источник

Рис. 1.3.Геометрия лучей в двухзеркальной системе.

Для определения фокальной кривой найдем геометрическое место положений источника (рис. 1.3), которые обеспечивают наименьшую величину СКА. Декартовые и полярные координаты источника связаны формулами хРу = —RjSm(6j),yFj =—RjCos(6j). Задача состоит в нахождении оптимальной функции Rj(вj). Для набора значенийугла ву находим Rj с использованием стандартной численной процедуры нахождения минимума. Применяя сплайн-итерполяцию, находим функцию Rj(вj)и таким образом получаем фокальную кривую.

Проведем исследование зависимости величины СКА от параметров бифокальной системы. На рис. 1.4 представлены зависимости СКА от угла зрения системы c разным размером начального участка 2хо в виде параболы, расстояния между зеркалами Ь и разным числом синтезированных отрезков т. Видно, что величина СКА медленно уменьшается при увеличении хо. Это объясняется тем, что только система из начальных участков имеет фокус в точке на оси х.

Новые синтезированные участки уже не обеспечивают точную фокусировку при положении источника в этой точке, их число при заданной апертуре системы увеличивается при уменьшении х0 и это, соответственно, приводит к увеличению СКА.

104О

2

/ ^--X \ 3 /:

/.>...............д //

\\ А А /••* 1 ■ Я

м Л

б, град

Рис. 1.4. Зависимость СКА бифокальной двухзеркальной системы с начальным участком первого зеркала в виде параболы в зависимости от угла

зрения при_/= 0.6, р= 0.7 и разных значенияхх0 и Ъ\. кривая 1 - х0= 0.026, Ъ1 = 0.146; кривая 2- хо = 0.0455, Ь = 0.2495, кривая 3 - хо = 0.065, Ь = 0.355.

У

(а)

У

(б)

Рис. 1.5. Геометрия бифокальной двухзеркальной системы с параметрами п = 1.6, Ъ1=0.2, а) Х0 = 0.006,]= 0.65, р= 0.77; б) Х0 = 0.035,]= 0.72, р= 0.7479.

При увеличении числа синтезированных отрезков зеркал их края приближаются друг к другу. В результате зеркала либо пересекаются (рис. 1.5а), либо у них появляются точки возврата (рис.1.5б). Параметры системы, при

которых у зеркала при построении первого нового участка возникают точки возврата или решение задачи синтеза перестает существовать, будем называть критическими.

Далее исследуем СКА бифокальной системы в зависимости от параметров /и р= / + Ь для трех наборов фиксированных параметров: расстояния Ь между зеркалами и хо (отношение Ь/хо определяет угол зрения). Линии уровня СКА для трех наборов фиксированных параметров, соответствующих значениям угла зрения 50, 70 и 105 градусов в зависимости от параметров/и р, показаны на рис. 1.6а-рис.6в. На рисунках видны границы областей существования решения, а также уменьшение величины СКА по мере приближения параметров системы к этим границам. При этом линии уровни СКА идут почти параллельно границе.

!/р

0.965

Область

0.945

0.955

0.96

0.95

0.5

1

1.5

р

(а)

(б)

(в)

Рис. 1.6. Линии уровня величины 106о бифокальной зеркальной системы в зависимости от параметров ри /рпри Ь= 0.1 и разных углов зрения: а) угол зрения

50о (хо = 0.0175), б) угол зрения 70о (х = 0.028), в) угол зрения 105о (х = 0.042).

На рис. 1.7 кривыми (1) - (3) показаны зависимости СКА от параметра р системы при движении вдоль границы (при критической величине /) для тех же трех наборов фиксированных параметров. На рисунке видно, что зависимость СКА от р имеет колебательный характер, при этом для больших углов зрения средная величина СКА при уменьшении р - уменьшается. Минимальные величины СКА для исследованного интервала (р< 2.5) и углов зрения 50,70 и 105 градусов равны: 8.0 X 10-6, 2.2 X 10-5 и 4.1 X 10-5 , соответственно.

105о

14 Д

12 II

10 \\ I

О -*-<-*-*-

р

Рис. 1.7. Зависимости СКА бифокальной зеркальной системы для критических значений f от параметрар при Ь= 0.1: кривая 1- угол зрения 500 (х0= 0.0175), кривая 2 - угол зрения700 (х0= 0.028), кривая 3 - угол зрения 1050 (х0= 0.042).

На рис. 1.8 приведены зависимости СКА бифокальной двухзеркальной

системы от угла зрения для трех оптимальных наборов параметров, которые соответствуют трем углам зрения (50, 70 и 105 градусов). Как видно на рисунке, при увеличении угла зрения примерно в два раза СКА увеличивается в пять раз. При этом полученные в результате минимальные величины СКА в 60 раз меньше СКА двухзеркальных бифокальных систем, синтезированных в работе [17] и близки к СКА трехфокальных систем [20, 21].

(а)

(б)

(в)

Рис. 1.8. Зависимость СКА оптимальной бифокальной двухзеркальной системы от угла зрения: а) х0= 0.0175, /= 1.695, р= 1.784; б) х0 = 0.028, /= 1.139, р= 1.287; в) Х0 = 0.042, /= 1.793, р= 2.306.

Величина апертуры В для разных наборов параметров получается разной. Для анализа полученных результатов удобно считать все величины относительно апертуры системы. Для этого достаточно умножить все геометрические размеры на множитель, равный обратной величине В. В результате для систем с В= 1 и углами зрения 50, 70 и 105 градусов величинар, соответственно, равна: 1.30, 1.14 и 1.41, а растояние между зеркалами Ь - 0.073, 0.089 и 0.061.

На рис. 1.9 показаны фокальные кривые синтезированных систем с оптимальными параметрами для углов зрения 50,70 и 105 градусов. Видно, что с увеличением угла зрения в два раза угловой размер фокальной кривой увеличивается также в два раза, при этом фокальный размер меняется немонотонно, а различие между минимальным и максимальным размерами составляет 23%.

Рис. 1.9. Фокальные кривые синтезированных двухзеркальных систем: кривая 1 - х0= 0.0175 (угол зрения 50о), кривая 2 - угол зрения 70о (х0= 0.028), кривая 3- угол зрения 105о (х0 = 0.042).

Дальнейшее исследование показало, что использование дополнительной степени свободы при задании формы первого участка вспомогательного зеркала в виде полинома четвертого порядка не приводит к дополнительному уменьшению СКА.

-0.5 У"

х

Выводы

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Разработанная методика позволяет синтезировать и оптимизировать двухзеркальные бифокальные цилиндрические системы по минимуму СКА.

2. Синтезированные и оптимизированные в результате разработанной методики бифокальные двухзеркальные системы имеют СКА в десятки раз меньшие, чем известные.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ви Ут Нам, 2022 год

Источник

Рис. 1.3.Геометрия лучей в двухзеркальной системе.

Для определения фокальной кривой найдем геометрическое место положений источника (рис. 1.3), которые обеспечивают наименьшую величину СКА. Декартовые и полярные координаты источника связаны формулами хРу = —RjSm(6j),yFj =—RjCos(6j). Задача состоит в нахождении оптимальной функции Rj(вj). Для набора значенийугла ву находим Rj с использованием стандартной численной процедуры нахождения минимума. Применяя сплайн-итерполяцию, находим функцию Rj(вj)и таким образом получаем фокальную кривую.

Проведем исследование зависимости величины СКА от параметров бифокальной системы. На рис. 1.4 представлены зависимости СКА от угла зрения системы c разным размером начального участка 2хо в виде параболы, расстояния между зеркалами Ь и разным числом синтезированных отрезков т. Видно, что величина СКА медленно уменьшается при увеличении хо. Это объясняется тем, что только система из начальных участков имеет фокус в точке на оси х.

Новые синтезированные участки уже не обеспечивают точную фокусировку при положении источника в этой точке, их число при заданной апертуре системы увеличивается при уменьшении х0 и это, соответственно, приводит к увеличению СКА.

104О

2

/ ^--X \ 3 /:

/.>...............д //

\\ А А /••* 1 ■ Я

м Л

б, град

Рис. 1.4. Зависимость СКА бифокальной двухзеркальной системы с начальным участком первого зеркала в виде параболы в зависимости от угла

зрения при_/= 0.6, р= 0.7 и разных значенияхх0 и Ъ\. кривая 1 - х0= 0.026, Ъ1 = 0.146; кривая 2- хо = 0.0455, Ь = 0.2495, кривая 3 - хо = 0.065, Ь = 0.355.

У

(а)

У

(б)

Рис. 1.5. Геометрия бифокальной двухзеркальной системы с параметрами п = 1.6, Ъ1=0.2, а) Х0 = 0.006,]= 0.65, р= 0.77; б) Х0 = 0.035,]= 0.72, р= 0.7479.

При увеличении числа синтезированных отрезков зеркал их края приближаются друг к другу. В результате зеркала либо пересекаются (рис. 1.5а), либо у них появляются точки возврата (рис.1.5б). Параметры системы, при

которых у зеркала при построении первого нового участка возникают точки возврата или решение задачи синтеза перестает существовать, будем называть критическими.

Далее исследуем СКА бифокальной системы в зависимости от параметров /и р= / + Ь для трех наборов фиксированных параметров: расстояния Ь между зеркалами и хо (отношение Ь/хо определяет угол зрения). Линии уровня СКА для трех наборов фиксированных параметров, соответствующих значениям угла зрения 50, 70 и 105 градусов в зависимости от параметров/и р, показаны на рис. 1.6а-рис.6в. На рисунках видны границы областей существования решения, а также уменьшение величины СКА по мере приближения параметров системы к этим границам. При этом линии уровни СКА идут почти параллельно границе.

!/р

0.965

Область

0.945

0.955

0.96

0.95

0.5

1

1.5

р

(а)

(б)

(в)

Рис. 1.6. Линии уровня величины 106о бифокальной зеркальной системы в зависимости от параметров ри /рпри Ь= 0.1 и разных углов зрения: а) угол зрения

50о (хо = 0.0175), б) угол зрения 70о (х = 0.028), в) угол зрения 105о (х = 0.042).

На рис. 1.7 кривыми (1) - (3) показаны зависимости СКА от параметра р системы при движении вдоль границы (при критической величине /) для тех же трех наборов фиксированных параметров. На рисунке видно, что зависимость СКА от р имеет колебательный характер, при этом для больших углов зрения средная величина СКА при уменьшении р - уменьшается. Минимальные величины СКА для исследованного интервала (р< 2.5) и углов зрения 50,70 и 105 градусов равны: 8.0 X 10-6, 2.2 X 10-5 и 4.1 X 10-5 , соответственно.

105о

14 Д

12 II

10 \\ I

О -*-<-*-*-

р

Рис. 1.7. Зависимости СКА бифокальной зеркальной системы для критических значений f от параметрар при Ь= 0.1: кривая 1- угол зрения 500 (х0= 0.0175), кривая 2 - угол зрения700 (х0= 0.028), кривая 3 - угол зрения 1050 (х0= 0.042).

На рис. 1.8 приведены зависимости СКА бифокальной двухзеркальной

системы от угла зрения для трех оптимальных наборов параметров, которые соответствуют трем углам зрения (50, 70 и 105 градусов). Как видно на рисунке, при увеличении угла зрения примерно в два раза СКА увеличивается в пять раз. При этом полученные в результате минимальные величины СКА в 60 раз меньше СКА двухзеркальных бифокальных систем, синтезированных в работе [17] и близки к СКА трехфокальных систем [20, 21].

(а)

(б)

(в)

Рис. 1.8. Зависимость СКА оптимальной бифокальной двухзеркальной системы от угла зрения: а) х0= 0.0175, /= 1.695, р= 1.784; б) х0 = 0.028, /= 1.139, р= 1.287; в) Х0 = 0.042, /= 1.793, р= 2.306.

Величина апертуры В для разных наборов параметров получается разной. Для анализа полученных результатов удобно считать все величины относительно апертуры системы. Для этого достаточно умножить все геометрические размеры на множитель, равный обратной величине В. В результате для систем с В= 1 и углами зрения 50, 70 и 105 градусов величинар, соответственно, равна: 1.30, 1.14 и 1.41, а растояние между зеркалами Ь - 0.073, 0.089 и 0.061.

На рис. 1.9 показаны фокальные кривые синтезированных систем с оптимальными параметрами для углов зрения 50,70 и 105 градусов. Видно, что с увеличением угла зрения в два раза угловой размер фокальной кривой увеличивается также в два раза, при этом фокальный размер меняется немонотонно, а различие между минимальным и максимальным размерами составляет 23%.

Рис. 1.9. Фокальные кривые синтезированных двухзеркальных систем: кривая 1 - х0= 0.0175 (угол зрения 50о), кривая 2 - угол зрения 70о (х0= 0.028), кривая 3- угол зрения 105о (х0 = 0.042).

Дальнейшее исследование показало, что использование дополнительной степени свободы при задании формы первого участка вспомогательного зеркала в виде полинома четвертого порядка не приводит к дополнительному уменьшению СКА.

-0.5 У"

х

Выводы

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Разработанная методика позволяет синтезировать и оптимизировать двухзеркальные бифокальные цилиндрические системы по минимуму СКА.

2. Синтезированные и оптимизированные в результате разработанной методики бифокальные двухзеркальные системы имеют СКА в десятки раз меньшие, чем известные.

3. Увеличение угла зрения в два раза приводит к увеличению СКА в пять раз, при этом различие между минимальным и максимальным продольным размером составляет 23%.

4. Задание формы начального участка вспомогательного зеркала в виде полинома четвертого порядка вместо полинома второго порядка и использование дополнительной степени свободы не приводит к дополнительному уменьшению СКА.

ГЛАВА 2. СИНТЕЗ БИФОКАЛЬНЫХ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫХ СИСТЕМ.

2.1. МЕТОДИКА СИНТЕЗА БИФОКАЛЬНОЙ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

Рассмотрим задачу синтеза двухслойной зеркально-линзовой бифокальной системы, которая фокусирует поле источника цилиндрической волны, расположенного в любом из двух фокусов в первом слое в плоскую волну

во втором слое (рис.2.1). Система содержит цилиндрическую диэлектрическую линзу и зеркало, поверхность которого совпадает со второй поверхностью линзы. Первый и второй слои связаны через щель, форма которой совпадает с формой зеркала (металлизированной второй поверхностью линзы). Предположим, что задан коэффициент преломления линзы п, а форма первой поверхности линзы (далее - поверхность линзы) и зеркала описываются четными функциями у1(х) и у2(х), соответственно. При этом поверхности линзы и зеркала симметричны относительно оси У и пересекают ее в точках с декартовыми координатами (0,£) и (0,0) соответственно (рис.2.1). Задача синтеза заключается в нахождении этих функций.

Рис. 2.1. Конструкция двухслойной зеркально-линзовой бифокальной системы.

Линза

Зеркало

Для решения задачи применим, как и в работе [22], методику последовательного нахождения участков поверхности линзы и зеркала. Предложим, что форма начального участка поверхности линзы (между точками А и В) известна, т.е. функция У1(х) = ую(х) на интервале [-Х0,Х0], где ую(х) -известная функция.

Осевой (идет вдоль оси У) луч, выходящий из точки ^ с декартовыми координатами(0,Ь+/0) не преломляется линзой. Эйконал этого луча от точки ^ до плоского фронта (у=Ь+/0) определяется формулой Ь0=2/0+(п+1)Ь, где /0-расстояние от точки ^ до поверхности линзы.

Рассмотрим другой луч, выходящий из фокуса ^ и падающий на поверхность линзы в точке Р с координатами (хР,уР). Луч преломляется линзой, падает на зеркало в точке Q с координатами (хд,уд) и отражается от него. Эйконал этого луча определяется формулой:

I = хр 2+ (/ + Ь-Ур)2 + nlpQ + /0+ Ь~Ур-1р^П +^РР | ^ррУр (2 1)

П(1 + Ур ) '

' - ф1/ I _ 9 =_хр-Ур(Ь + /0-Ур)_

где ур - /¿х Iх - хр; г-' „ ,-—;—-:тг;

V(хр -УР(Ь + /0- Ур)) +(хрУр + Ь + /0- Ур))

- расстояние от точки Р до точки Q (рис.2.2).

Рис. 2.2. Начальные участки поверхности зеркала и линзы.

Потребуем, чтобы все лучи, выходящие из точки Го, после преломления линзой и отражения от зеркала были параллельны оси У. Для этого необходимо равенство эйконалов всех лучей от источника до фронта. Приравняем эйконал произвольного луча эйконалу осевого луча:

^¡(п2 + 8РР2 - 5РРУР

(о + Ь-Ур)2 + п1рд + / + Ь-Ур - 1р-. РР , /Р Р = 2/0 + (1+п)Ь (2 2)

П(1+Ур )

Решение этого уравнения имеет вид:

; /о + пЬ Ур -V ХР + (/о+Ь-Ур)

1рд = пл/(1 + Ур ) , / ,, I , ,-—. (2.3)

д (п^(1 + Ур2) +>/(- + ^Р2 -^РУР) ( )

Координаты точки д определяются формулой:

д Р

/о + пЬ + Ур 'хр 2 + (/о +Ь - Ур )2

(-^(1 + Ур2) + < У(п2 + ^р2 - $РРУР)

/о + пЬ + Ур-Л \хр 2+(/о +Ь - Ур )2

(п^(1 + Ур2) + у1(п2 + ^р2 - ' $ЕРУР )

/о + пЬ + Ур -V ХР + (/о+ Ь - Ур) I , 2 о 'Л

Уд = Ур + _ ; / . .-- Ч(п + ^р - ^рУр).

(п^(1 + Ур2) + 7(п2 + ^2 -8рУр)

Множество точек д образует начальный участок зеркала.

(2.4)

Первая производная функции y2(x)=yQ(xQ), описывающей поверхность начального участка зеркала, определяется формулой:

п sin(gPQ) _ y^n2 + SFP 2 + SFP

yQ Xq ~ 1 + ncos(apQ) (1 + yp2) + ^n2 + SFP2 - SF-РУР (2'5)

Для реализации непрерывности функций, описывающих форму поверхности зеркала и линзы и их производных на стыках (A, D) начальных участков с соседними, необходимо, чтобы луч плоской волны, падающей на зеркало под углом 5 к оси у, после отражения в точке D попадал в точку A, а после преломления в точке A - в фокус F1. Из геометрии на рис. 2.2 нетрудно найти координаты этого фокуса, а также фокуса F2, учитывая, что он симметричен фокусу F1 относительно осиу:

nSAD - УоУ1 ~ П 2 Sa

V(i+уО2)

_ _ nSADyQ W1 - n2SAD2 . . (2.6)

yF 1 уо J I-гт" ;yF 2 yF\;

V(! + Уо2)

2

_ _ _ r AD s о у_1 AD . _ _

xf1 _ — x0 — J I , 5 XF 2 _ _ XF1 5

где

SAD

( XD — XA ) + Уа (yD — УА )

уо=у10(-Хо); Уа ~ % I х = ха , а/- расстояние от края начального участка линзы до фокуса.

Рассмотрим луч, который выходит из фокуса падает на линзу в точке А, преломляется, падает в точку В, отражается от зеркала и выходит под углом 5 к оси У. Этот угол определяется формулой

¿ = аш*т( П((Х» -Ха)-Ув(Ув -Уа)) )^(у^, (2.7)

^((х0 -ха)-у0(у0 -УА)) + ((ХВ -ХА)УО + (УО -УА))

где ув = % 1 х = Хо .

Для определения нового участка зеркала предположим, что луч из фокуса

р падает на начальный участок линзы в точке М с координатами (хм, ум), (-х0 < хм < х0), преломляется, падает на зеркало в точке N с координатами (х^уы) и отражается под углом 5 к оси У (рис. 2.3). Отсюда для угла между осью У и падающим из точки р в точку М лучом получаем Рм = агС^((хм -хР1)/(ур1-ум)). Угол между осью У и лучом, проходящим через линзу от точки м до точки N определяется формулой:

aмN = аггаЦ-

(хм - хЕ1) - Ум( Ум - Ур )

Ц((хм -хр1-Ум(Ум -Ур))2 + ((хм -хгх)Ум + (Ум -Ур))2

о + ш^-Ум), (2.8)

где

Ум = / <кх I х = хм .

м V

.' ' Б

Рис. 2.3.К определению нового участка поверхности зеркала и линзы.

Из условия равенства эйконалов всех лучей, которые выходят из фокуса, после преломления линзой и отражения от зеркала, получаем уравнение:

хм - хр!)2+ (Ум -Ур1)2 + - ^ 81П(5) - УN с°§(5) = f + П • ¡0 - х0 81П(5) - У0 с08(5) (2.9) где ¡0 (хв -хА)2 + (ув -уа)2 ;!щ- расстояние от точки мдо точки N 5- угол

между выходящими лучами и осью У.

Решение уравнения (2.9) имеет вид:

1 = /- У (хм - Х^)2 + (Ум - У^ + Ч + (хм - ХА )§1п(8) + (Ум - Уа )с0<8) Ш п-БШ^ )вш(£) + СОБ^м )С0Б(^) . (210)

Зная длину 1мл и угол амл, можно определить координаты точки N по формулам:

Хл _ Хм + 1мл Б1п(^мл ),

Ул _ Ум - м С0*(Яш ) (2.11)

Множество точек N образует новый участок зеркала. При этом функция у2(Х) и ее первая производная непрерывны в точке В стыка начального участка зеркала с новым (соседним) участком.

Из законов преломления и отраженияв точке N получаем:

у V Х л _ п Б1п(^мл ) - 51п(8)

уы УХы) _ , ч / С-Ч . (2.12)

п СОБ^^ ) + С0Б(0)

Для определения нового участка линзы рассмотрим падение плоской волны на начальный участок зеркала. Пусть один из лучей падает на зеркало в точке 5 с координатами (х^у) под углом 5 к оси У. Этот луч отражается от зеркала, проходит через линзу, после преломления выходит из точки Т с координатами (Хт,ут) и проходит через фокус Р2 (рис. 2.2). Угол между осью У и отрезком 5Т определяется формулой

с пгг^пШ(1 + УвУ5 ) + (УВ - У5 ^ - Ш2 ■

а8т = агС81п(--,—) - arctg( у5), (2.13)

Л/(УВ -Уз) +(1 + УОУЗ) где у _ <СуУСх 1 х _ ;

((хв - ха ) - уВ( Ув - УА ))

4((ХП -ХА) -уВ(УВ -УА))2 + ((хв -ХА)Ув + (УВ -УА))2 Из условия равенства эйконалов лучей получаем уравнение:

С5С + п15Т ^_ п10 + / , (2.14)

где с8с _ (х5 - ХС ) вт^- (у5 - Ус ) .

Решение уравнения (2.14) имеет вид:

, - В -л/ В2 - А • С

¡ра =-В- , (2.15)

где А = П -1;В = (хр2 - %) Б^а) +(уР2 - у5) ^(а) + п(^с - f - ¡о);

С = (кС - f -¡0)2 + -хР2)2 - (У* -Ур2)2 .

Координаты точки Т нового отрезка линзы рассчитываются по формулам:

Ут = У Б + 1БТ с0$(а8Т )- (216)

Из закона преломления находим первую производную функции, описывающую новый участок линзы:

. = ^д.) -п ^ ), (2)

с0$(рт ) - П с08(^г)

где Рт = aгctg((хР2 - хт ) / (Ур2 - Ут )).

Множество точек т образует новый участок линзы. При этом функция у1(х) и ее первая производная также непрерывны на стыке начального участка зеркала с новым (соседним) участком в точке В.

Непрерывность функций, описывающих поверхности линзы и зеркала и их первых производных, обеспечивает непрерывность фазового распределения поля на выходе системы в приближении геометрической оптики. Для обеспечения непрерывности амплитудного распределения необходимо, чтобы вторые производные функций, описывающих поверхности линзы и зеркала в местах стыков соседних участков также были непрерывными. Для этого необходимо и достаточно удовлетворить этому условию для точек стыков с начальным участком зеркала. Непрерывность вторых производных в остальных точках поверхности линзы и зеркала обеспечивается автоматически.

Вторую производную функций уд(хд), уы(хы),описывающих начальный и второй участок поверхности зеркала, можно получить дифференцированием (2.5) и (2.12) по Хр и хм, соответственно. При совпадении точек д и О, О и N заменим хр на -хо, а хм на хо.В результате, получим уравнение, решение которого

обеспечивает непрерывность вторых производных функции у1(х):

ам(д8, - Пд/дч! - сК2(д2+1) , ао(п+Ср)

\2л. 2 ГТ

•++ ^ =0, (2.18)

(п+С+^ПУо2^+(цу-щуМ+ам) (п+С +1)2(1+С + 1Сра'о) где и = Sl - 8е - Уо(Сг + Се); и = ^ (2хо + ¡8р )2+ (¡Ср )2 + (2хо + ¡8р )8, + ¡СрС1;

у = п - ((2х, + ¡8р )81 + ¡СрС )/(Сру1д2 +1); V, =-а^(дС1 + 81 )^д2 +1; а = Уо , (Се - 8еУ,)(0м(1 + Уо2) + Уо) 0 = Се - Уо 8е

м 1 + Уо2 (1 + Уо2),/ п2(1 + Уо2) - (8е + СеУо) ; ^ ' /С - 8'Г

п8ъ - УоУ1 - п2 8Ъ1 с =п8ьУо+^Еп!8Ь1 ^ =2хо±1(у£р±8А 7(1+Уо2) ; е 7(1+Уо2) ; ъ 7(1+Уо2)

2хо + ¡8р _ п8г (пСр +1)- п8р^1 - п'8г2 ^ п28г8р + (пСр +1)^1 - п28Г2 д =-—-. S¡ = ,—-:-- .С = ■

¡С

^п28г2 +(пСр + 1)2 ; ¡ = ^п28Г2 + (пСр +1)2 ;

к= п8рБ= д - к уо+Уо+пЪхо2+(Ъ+/о - Уо)2

пСр +1; 2 7(д - к)2 + (1 + дк)2 ; п + Ср ;

1' = {Уо-рр+8ао) F = хо- Уо(Ъ + /о- Уо) а = у + Сх (Р - у )

р ^ + (Ъ + /о - Уо)2 ; ° 1 ^п^ Р 1 + У

Ъ+/о уо + хо уо о хо -(Ъ + уо-Уок

С = , ^ /о о/о - 5 =

хо-(Ъ + Л-Уо)Уо) +(Ъ + Л -Уо + хоУо) ' ^(хо-(Ъ + Л-Уо)Уо) +(Ъ + Л -Уо + хоУо)

с _^п2+82 -8Уо 5 п2+82 +8 8 = хо-Уо(Ъ+/о-Уо)

р п(1 + Уо2) ' р п(1 + Уо2) ; 2 7(хо -Уо(Ъ + Л-Уо))2 + (хоУо + Ъ + Л -Уо))2 '

Рр =

хо Уо + Ъ + ./о - Уо

,/хо2 + (Ъ + /о - Уо)2 '

I н

Уо , Уо , Уо -значения,соответственно, функцииУ1(х), ее первой и второй производной в точке В с координатами (хо, уо).

2

2.2. СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИФОКАЛЬНЫХ ЗЕРКАЛЬНО-

ЛИНЗОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Для синтеза зеркально-линзовой бифокальной системы зададим исходные параметры: расстояние Ь (толщина линзы) между центральными точками на поверхности линзы и зеркала, полуразмер Х0 начального отрезка поверхности линзы, расстояние / от конца начального отрезка поверхности линзы до фокуса расстояние /0 от центральной точки поверхности линзы до фокуса начальной системы ^з. Будем синтезировать бифокальную систему с начальным отрезком зеркала в виде полинома второго порядка: у10(х)=ах2+Ь.

Подставляя у0=ах02+Ь, у0'=2ах0,у0'=2а в уравнение (2.18) и решая его с использованием стандартной численной процедуры, находим параметр а. Реализуя описанный выше алгоритм синтеза новых отрезков т раз, находим форму поверхности линзы и зеркала, которые имеют непрерывные первые и вторые производные.

Задача оптимизации состоит в нахождении геометрических параметров системы, а также формы фокальной кривой, обеспечивающих минимальную СКА эйконала на выходе ДОС, которую будем определять по формуле:

где Ъ- эйконал луча с номером ¡; к- количество учтенных лучей, В-размер апертуры системы; Ь0- эйконал луча, относительно которого СКА имеет минимальное значение (далее - опорный луч).

(2.19)

Рис. 2.4. К определению фокальной кривой и СКА системы.

Для вычисления СКА системы по формуле (12.9) необходимо найти направление фронта и величину эйконала Ь0 опорного луча, а также отличие эйконалов всех остальных лучей от эйконала этого луча. Если источник находится в фокусе, углы выхода всех лучей одинаковые и определяются формулой (2.7). При смещении положения источника углы выхода лучей будут разные. Для каждого положения источника найдем к лучей, которые выходят из источника, преломляются линзой и отражаются от зеркала. Далее выбирая каждый из этих лучей в качестве опорного по формуле (2.19) найдем СКА относительно каждого из опорных лучей с соответствующим (ортогональным) фронтом (рис. 2.4). Выберем из полученных величин СКА минимальное значение и определим соответствующее направление излучения. Полученное приближенное значение СКА можно уточнить, меняя угол выхода опорного луча вблизи найденного значения и определяя минимум СКА.

Для определения фокальной кривой найдем геометрическое место положений источника (рис.2.4), которые обеспечивают наименьшую величину СКА. Декартовые и полярные координаты источника связаны формулами = Ду sm(6j) , = RjCos(вj). Задача состоит в нахождении оптимальной функции ^(0). Для угла 0}, соответствующего положению точного фокуса, эта

величина известна. Далее, уменьшая угол ву на некоторое

малое значение находим в окрестности Я0 значение (в0 — () с использованием стандартной процедуры нахождения минимума. Применяя описанный алгоритм многократно, находим значения ДДву) для дискретного набора точек. Далее повторяем процедуру в сторону увеличения ву до необходимой величины, которая определяется углом зрения системы. Используя сплайн-интерполяцию определяем искомую функцию Л*(0).

При решении задачи синтеза бифокальной зеркально-линзовой системы было замечено, что описанный выше алгоритм позволяет получить аналитическое решение не для всех наборов исходных параметров. Решение перестает существовать в двух случаях:в первом - алгоритм перестает работать из-за того, что уравнение (2.18) не имеет действительного корня, а во втором, когда в процессе синтеза у зеркала появляется точка возврата (рис.2.5а). В последнем случае бифокальной системы зависимость СКА от угла зрения имеет вид, соответствующий трехфокальной системе (рис. 2.5 б).

Набор параметров, при котором алгоритм перестает работать, будем называть критическим. При увеличении числа синтезированных отрезковузеркалавсегда появляются точки возврата, которые и определяют предельный размер апертуры системы.

а)

СКА

5

х 10"5

4

3

2

О

-22 -1С : 1С 2:6, град

(б)

Рис. 2.5. Бифокальная зеркально-линзовая система с параметрами п=1.5, /=0.6201, /=0.683, ,хо=0.01295, ¿=0.1024, а) геометрия системы, б) зависимость

СКА от угла зрения.)

Будем оптимизировать систему с фиксированнымуглом зрения, толщиной линзы Ь= 0.102 и коэффициентом преломления п= 1.5. Угол зрения определяется отношением х0/Ь, поэтому будем фиксировать параметр х0. В результате параметрами оптимизации являются: расстояние / от края начального участка линзы до фокуса ^ и расстояние /0 от фокуса начальной системы ^э до поверхности линзы. Проведем исследование величины СКА от этих двух параметров.

Линии уровня величины 105о в зависимости от величин / и ///0 при фиксированных значениях п и Ь показаны на рис. 6а- рис.бв для углов зрения 500 (Х0=0.0129), 700 (Х0=0.0181) и 1000 (х0=0.0265), соответственно. Видно, что минимальная величина СКА достигается при следующих наборах параметров: /0=0.722,///0=0.923 (для угла зрения 50о),/0=0.794,///0=0.863 (для угла зрения 70о) и/0=0.951,//0=0.719 (для угла зрения 100о), которые, в отличие от бифокальной двухзеркальной системы (см.главу 1), находятся достаточно далеко от границы области существования решения.

По 1

0.95

0.9

0.85

Область отсутствия решения

С.6 С.8 ' '.2 '.6 /о

(а)

//о 1

Область отсутствия решения

:з:з 1 12 14 12/0

(б)

(в)

Рис. 2.6. Линии уровня 105о бифокальной зеркально-линзовой системы с коэффициентом преломления п= 1.5 и толщиной Ь = 0.102 при х0 = 0.0129 (а), 0.0181 (б) и 0.0265 (в).

На рис. 2.7а - рис.2.7в показаны зависимости СКА синтезированных систем с оптимальными параметрами от угла зрения. Как видно на рисунках, максимальная величина СКА зеркально-линзовых систем с оптимальными параметрами для углов зрения 500, 700 и 100° составляет, соответственно, 2.1*105, 5.2х 10-5 и 1.3х10-4. При этом величина апертуры В бифокальных систем равна, соответственно, 0.707, 0.789 и 0.850.

105G

(а)

(б)

105 а

15

10

5

0

-40 -20 0

2 С 4 С б, град

(в)

Рис. 2.7. Зависимость величины 105о от угла зрения оптимальной бифокальной зеркально-линзовой системы с n= 1.5, b = 0.1024 и тремя наборами параметров: а) f= 0.666, fo = 0.722, хо = 0.0129; б) f= 0.685, fo = 0.794, х = 0.01812; в) f= 0.683, fo = 0.951, Х0 = 0.0265.

Для анализа полученных результатов удобно считать все размеры относительно апертуры системы. Для этого достаточно умножить все размерные параметры на множитель, равный обратной величине D. В результате для систем с D= 1 и углами зрения 500, 700 и 100° величина f0 равна, соответственно, 1.02, 1.01 и 1.12, а толщина линзы b- 0.145, 0.130 и 0.120.

На рис. 2.8 показаны фокальные кривые синтезированных систем с оптимальными параметрами для углов зрения 500 ,700 и 1000.

(2) и 100о (3).

Отметим, что полученные величины СКА в два-три раза превышают соответствующие величины для двухзеркальных бифокальных систем синтезированных и оптимизированных в главе 1, но при этом для угла зрения 700в девять раз меньше аналогичной величины для бифокальной зеркально-линзовой системы, синтезированной в работе [22].

С увеличением угла зрения от 500 до 1000 величина СКА увеличивается в пять раз, угловой размер фокальной линии - примерно в два раза, толщина линзы уменьшается на 17%, а продольный размер системы (/0 +Ь) увеличивается на 6%.

Выводы

На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Развитая в работе методика позволяет синтезировать и оптимизировать бифокальные зеркально-линзовые цилиндрические системы по минимуму СКА.

2. Продольный размер бифокальных зеркально-линзовых систем с оптимальными параметрами слабо зависит от угла зрения и близок к размеру апертуры.

ГЛАВА 3. СИНТЕЗ БИФОКАЛЬНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНЗ

3.1 СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИФОКАЛЬНЫХ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСИХ ЛИНЗ.

Рассмотрим двумерную задачу синтеза бифокальной цилиндрической диэлектрической линзы, с одной стороны которой расположены два симметричных относительно оси У (рис. 3.1) фокуса (^и ^г) с координатами (хрьугО и (хр2,ур2). При нахожении источника цилиндрической волны в этих фокусах с другой стороны бифокальной системы формируются два симметричных относительно оси У плоских фронта.

Применим методику последовательного синтеза поверхностей бифокальной линзы. Пусть начальный участок первой поверхности линзы задан в виде некоторой четной функци^1(х), при этом первая и вторая поверхности линзы пересекают ось У в точках (0,0) и (0,Ь), соответственно (рис.3.2). Найдем начальный участок второй поверхности линзы, который описывается функцией таким образом, что эти начальные участки преобразуют цилиндрический фронт, источник которой находится в точке ¥0 (0,-/0) на оси У, в плоский фронт на выходе. Предположим, что луч из источника в точке попадает на линзу в точке (0,0), преломляется и выходит из нее с точки (0, Ь). Эйконал этого луча от

источника до фронта Ьо=/о+пЬ+Но-Ь, где п- коэффициент преломления материала линзы, Но- расстояние от начала координат до фронта.

Рис.3.2. К определению первых участков и положения фокусов бифокальной

линзы

Рассмотрим другой луч, выходящий из точки Г0 (0,-/0), который падает на первую поверхность линзы в точке Р(хрур), преломляется линзой и выходит из нее в точке Q(xQ,yQ). Далее луч идет параллельно оси У, при этом его эйконал

Ь = хр2(Ур + Л02 + п¡щ + Но-УР —^ cos(«pQ) (3.1)

. ът(ар +ур )

где^pQ — агс81П(---) — ур. угол межу осью У и отрезком PQ;

аР — аг^(хР /(уР +/0))- угол межу осью У и подающим лучом в точке Р;

ур — аг^(g1 (хр)) - угол между осью У и нормалью первой поверхности линзы в точке Р; 1р<о~ расстояние от точки Р до точки Q.

Потребуем, чтобы все лучи, выходящие из точки Г(0,-/0) после преломления линзой были параллельно оси У и формировали плоский фронт на выходе. Для этого необходимо равенство эйконалов всех лучей:

^¡хр2+ (ур + /0 + л1рд - ур - \щ со%(ащ) = / + пЬ - Ь (3.2)

Решение этого уравнения имеет вид:

1ря

/0+(п - 1)ь+ур

(3.3)

(п - со$(ащ))

Зная расстояние от точки р до точки Q и угол арр, нетрудно найти координаты точки Q.

Хр — Хр + 1рр 81П( ар£)

р р р (3 4)

Ур — Ур + 1рр со8(аре)

Множество точек р образует начальный участок второй поверхности линзы.

Далее определим координаты фокусов системы (точек Г и Г2) таким образом, чтобы луч плоской волны, который падает на линзу под углом § к оси У в крайней точке В(хв, ув) первого отрезка второй поверхности линзы, после преломления линзой попал в крайнюю точку С(хс,ус) первого отрезка первой поверхности линзы, затем прошел через фокус Г (рис. 3.2).

Из геометрии на рис.3.2 получаем координаты фокусов, учитывая, что фокус Г2 симметричен фокусу Г относительно оси У:

Хр^ — хс аа др*)

Уг 1 = Ус - /соз{аАЕ) (3.5)

ХГ 2 — - Хг 1? УГ 2 — УГ1

где Хс=-Х0; ус=у(-Х0); аАг — ус + авт(п8т(а0 -ус))- угол между осью У и линией, соединяющей фокус Г1 с краем (точка С) первого отрезка первой поверхности линзы, / - расстояние от края начального участка первой поверхности линзы до

фокуса,а0 — аг^((ха -ха)/(уа -уа))/Ус —а^(^(Хс)).

Рассмотрим луч, который из фокуса Г падает на линзу в в точке С, преломляется линзой и выходит из нее в точке В под углом § .

Из геометрии на рис. 3.1 следует, что угол выхода луча из линзы определяется формулой:

5 — ув + ав1и(п 8ш(а0 — ув ))

(3.6)

где ув —аг^( §2( хв)).

Для определения нового участка второй поверхности линзы, предложим, что луч из фокуса Г1 падает на начальный участок первой поверхности линзы в точке 5 с координатами (хбУз), где (—х0 ^ х ^ X), преломляется линзой, выходит из

нее в точке Т с координатами (хт,ут) и выходит под углом 5 относительно оси У (рис. 3.3). Отсюда получаем угол между осью У и падающим из точки Г в точку

5 лучом Р8 — агещ((х5 — хР 1)/(у5 — уР 1)) и угол между осью У и лучом 5Т

а3т — ^п^п^ — у3 )/п) +у3, где у5 —аг^^(х5)).

Для того, чтобы линза формировала на выходе плоский фронт, необходимо равенство эйконалов всех лучей, которые выходят из фокуса и после преломления линзой идут параллельно под углом 3 к оси У. Отсюда получаем уравнение:

Рис.3.3. К определению новых участков бифокальной линзы

п18т + (хр — х5 — 18т Б1и(а )) б1П(5) + (уз — у — /8Т СОБ(а )) СОБ(5)

(3.7)

где /0 — ^/(хС—хВУ^+СуТ"—У); /8т - расстояние от точки 5до точки Т. Решение данного уравнения имеет вид:

_ /о + п/0 —У (хГ, — х5 )2 + (Уг, — У5 )2 + (х5 — хВ )§1п(5) + (У5 — Ув )сО§(5)

5 п — 81и(а )бш(5) + СОБ(а )сОБ(5) (3.8)

Зная длину /эт и угол а5Т, можно определить координаты точки Т по формулам:

Ут — УБ + /5Т СО$(а8Т ) (3 9)

Множество точек Т образует новый участок второй поверхности линзы.

Аналогично, для определения нового участка первой поверхности линзы, рассмотрим луч плоской волны, который подает на первый участок второй поверхности линзы в точке М с координатами (хм, Ум) под углом 3 к оси У. Этот луч преломляется линзой, выходит из нее в точке N с координатами (хм, Ум) на первой поверхности линзы и проходит через фокус Г2 (рис. 3.3). Тогда угол между

осью У и лучом МN определяется формулой аш — а8т(8т(5 — уМ) / п) + уМ,

где ум —аг^(^(хс)).

Равенство эйконалов для этих лучей имеет вид:

п/ж +У(хм + М §1п(а) — хг2)2 + (Ум — /м\ СО$(а :\ )— УГ2)2 — — п/о + / +(ха — хм) 81п(5) — ( Уа — Ум) СО8(5) .

Решение уравнения имеет вид:

и, —

9 9 9 9

а +(п —1)((хм — хг2)+(Ум — хг2) —(п/о +/+(ха — хм )81п(5)+(Ум — Уа)сО8(5)) )) — а

MN 1—^ (3.11)

где а — (хм — хг 2) ) +(Уг 2 — Ум )cos(амN) + п(п/о + У +(хА — хм) 81п(5) + (Ум — Уа ) М5)).

Зная расстояние /щи уголамы, координаты точки N можно найти по формулам:

XN ~ хм /MN ^>1п(аMN )

УN = Ум - /мN со*(амт ) (3Л2)

Множество точек N образует новый участок первой поверхности линзы.

Для обеспечения непрерывности фазового распределения преломлённых волн необходимо, чтобы первые производные функций поверхностей линзы были непрерывными. Из геометрии на рис. 2 и закон преломления получим:

п8т(а^ -у) — в1п(§ + у)

Отсюда следует:

дУт )=-■ 81п(§)-п81п(а)

ёхт ео8(§) - п ео8(а)

В точках стыка участков второй поверхности линзы функция а8Т (хм) непрерывна, следовательно первая производная функции второй поверхности линзы йут/йхт в этих точках также непрерывна. Нетрудно убедиться, что первая производная функции первой поверхности линзы ёу^/ёх^ также непрерывна. Таким образом, условие непрерывности первых производных поверхности линзы в точках стыка выполняется.

Для обеспечения непрерывности амплитудного распределения преломлённых волн необходимо, чтобы вторые производные функций, описывающих поверхности линзы были непрерывными. Так как координаты точки Т определяются через координаты точки Б, вторую производную второго отрезка второй поверхности линзы в точке т можно найти дифференцированием

его первой производной в точке N по координате хм .

у"(хг ) — (*&>)/(^) —

ё ( ) ё ( )

_ па 8т($,1п(а8т )Б1п(§) + ооБ(а )соб(§) - п) (313)

(ооб(§) - п ооб(^ )2 (1 + +

Аналогично вторая производная первого отрезка второй поверхности линзы определяется по формуле

/¿( *е)=(^)/( ^)= ^ ^ d (х8) d (х8)

па щ(п - соБ(ает)) (314)

(1 - п соБ(аРе )2 (1 + 1рд Бт(аРв) + 1рд соБ(ард )ард)

Для того, чтобы вторая производная первой поверхности линзы в точке стыка была непрерывной, величина второй производной первого участка, которое определяется в (3.14) и величина второй производной второго участка,

определенная в (3.13), должны совпадать. Заменим Хм --x0, ХР - хо в выражениях (3.13), (3.14), соответственно и приравняем их. В результате, получим уравнение, решение которого обеспечивает непрерывность вторых производных поверхностей линзы:

пАР С - п)У , пАт (п - З„З, - С„С, )У2 =0

(1-пСр)2(1 + 1рЗр + 1СрАр) (С, -пСа)2(У2 + 8а(ИрУ-УрИ) + С^'А,,,) (3Л5)

\2

_/о + Ь(п -1) + Уо-У Хо2+ (Уо + /о)2

; ./ +Ь(п 1) 1 /о \ Х 1 (уо 1 Уо) , ч ' ' ч '' "/ \

где:1 --—--;/о = 8(Хо Уо= 8 С;/о = 8 ОХо

п Ср

(-/о' + Х + (/о + /о)/о )(п - Ср) + ЗрАрЦХо2 + (/о + /о)2 - /о - Ь(п -1) - /о) 1 = УХо + (/о + /о)_

р (п - С )

^ Н -/оУ(1 + Н2)п2 - Н\ с _У(1 + Н2)п2 - Н2 + /оН .

р пл11 + /2 + /о2 Р пу/1 + /2 V1 + /о2

А - -/о + 1 ( /о + /о -Хо/о - /о уП_ /о(/о + /о) + Хо .

р 1 + /о2 7(1 + Н2)п2-Н2 Хо2 + (/о + Л)2 1 + /о2 ; /о + /о -Хо/о ;

А _ -/о ,У1 + /о2 -п2(За + Са/о)2(/о/ + (1 + /о¥У1 -п2З,) _

Ат 1 '2 + I 1 I ^ I Т ;

1 + /о п/(1 + /о2^1 + /о2 - (За + Са/о)

и - пфр2 + 4Хо(Хо + 1рЗр) - 1р(ЗрЗ, + СрС,); ир - пЗ,(1 + /о2)-1/2 + З1 -/оС,);

пБх (пС — 1) + п5^ 1 — (п5х )2 К — А.(5Л —СаС/); К — п — 5^ —С^; — р ) ^ ( х) ■

+ п2 — 2 пСр

^ _ (пСр — !)>/! — (п5х )2 — п25х5р . 0 5а (пСр — 1) — п5рСа 5 — 5а — УоС

С/ — I-;--; 5х — Г-;- ; 5т Г Т"Г

+ п2 — 2пСр ^п2 +1 — 2 пСр V1 + Уо2

2х0 + /5 / С

5 —_0 р р_• £ —_р р_. _ / ч

а — ' а т/р^+хр+ру;У0—^(х0);

У0 — х0); У0" — ^"(хО,

Для синтеза линзы необходимо задать исходные параметры: толщину линзы Ь, размер начального отрезка 2хо, расстояние/от конца начального отрезка первой поверхности линзы до фокуса Г1, расстояние /0 от линзы до фокуса Г начальной системы.Используя изложенный выше алгоритм синтеза бифокальной системы, остальные постоянные, которые нужны для определения формы начального отрезка gl(x), находим из условия непрерывности второй производной поверхности линзы (3.15). В данной работе будем синтезировать линзы с начальным отрезком в виде полинома второго порядка g1(x)=ax2+b. Поставляя

У0 — gl(х0) ;У0 — gl (х0) ; У0 — g1 (х0)в уравнение (13.5) и решая его находим величину а. Реализуя алгоритм синтеза новых отрезков т раз, находим форму линзы, образующие поверхности которой состоят из 2т+1 отрезков (рис.3.4).

В процессе синтеза выяснилось, что алгоритм работает не со всеми комбинациями входных параметров, т.е. существует область отсутствия решения, в которой уравнение (3.15) не имеет действительного корня.

При увеличения числа повторения т, размер линзы увеличивается. В результате, для некоторого значенияттах, у поверхности линзы появится точка возврата (рис.3.4), которая определяет максимальное значение апертуры линзы.

У

0.5

0

-0.5

-1

*

-1.5

-2

-1 -0.5 0 0.5 1 X

Рис.3.4. Геометрия бифокальной линзы

Проведем исследование зависимости величины СКА бифокальной линзы от ее параметров. СКА эйконала на выходе линзовой системы определяется формулой:

где Li - эйконал луча с номером ¡;ш- количество учтенных лучей, Э-размер апертуры системы; Ьо - эйконал, относительно которого СКА имеет минимальное значение (этот луч будем называть опорным).

Угол зрения определяется соотношением хо/Ь, поэтому для оптимизации линз с заданным углом значения хо и Ь будем фиксировать. На рис. 3.5 показаны СКА бифокальной линзы с начальным участком в виде параболы при значениях хо и Ь приблизительно соответствующих углам зрения 40 и 90 градусов и п= 1.6 в зависимости от параметров /0 и //0. Минимальное значение СКА линзы для угла зрения 400 (при хо=0.95 иЬ=1/0=5.9 и //о=0.88) составляет 2.9 х 10-5, а для угла зрения 90о (при хо=0.2 ,Ь=1/о=1.1и///0=0.81) в 5 раз больше (15 х 10-5).

(3.16)

Рис.3.5. Линии уровняа X 106бифокальной линзы с коэффициентом преломления п= 1.6: а-.о=0.95, Ь=; б-.о=0.2, Ь=1.

В результате оптимизации были получены параметры линзы, обеспечивающие минимум СКА для углов зрения 40 и 90 градусов. На рис. 3.6а, 3.6б показаны зависимости СКА этих линз от угла зрения.

(а) (б)

Рис.3.6. Зависимости величины а X 105 бифокальных линз с коэффициентом преломления п= 1.6 а) хо=0.95,Ь=1,/о=5.9 и7=5.191; б) хо=0.2, Ь=1/о=1.1и/=0.891.

Как видно на рисунках, СКА бифокальных линз, синтезированных и оптимизированных для углов зрения 40 и 90 градусов, составляет: 2.9 х 10-5 и 15 х 10-5, соответственно.

3.2.

СИНТЕЗ

ТРЕХМЕРНОЙ

бифокальной

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЛИНЗЫ.

Рассмотрим задачу синтеза трехмерной бифокальной диэлектрической линзы, с одной стороны которой расположены два лежащих в плоскости ^ симметрично относительно плоскости YZ фокуса и F2) с координатами (xF7,yF7,0 ) и (хр2,ур2 ,0) (рис. 3.7). При положении источника сферической волны в этих фокусах с другой стороны бифокальной линзы формируются два симметричных относительно плоскости YZ плоских фронта. Поскольку линза симметрична относительно плоскости XY, а фокусы линзы лежат также в этой плоскости, лучи, вышедшие из линзы после преломления параллельны этой плоскости.

Рис. 3.7. Трехмерная бифокальная диэлектрическая линза 1- первая поверхность линзы, 2- вторая поверхность линзы.

Пусть начальные участки первой и второй поверхности линзы описываются в виде суммы четных одномерных функций: y1=g(x,z)= g1(x)+ g2(z) , =

h1(x)+ h2(z)+b. При этом первая и вторая поверхности линзы пересекают ось Yв точках (0,0,0) и (0,Ь,0), соответственно (рис. 3.8).

Рис. 3.8. К определению начальных участков поверхностей трехмерной диэлектрической линзы.