Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа в задачах распространения волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Дмитриев, Алексей Валерьевич

• Дмитриев, Алексей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дмитриев, Алексей Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Обзор работ по многократной дифракции волн и задаче дифракции на проводящей ленте.

1.1. Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа.

1.2. Граничная дифракционная волна.

1.3. Дифракция электромагнитных волн на ленте (щели).

1.4. Вычисление многократных дифракционных интегралов.

Глава 2. Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа на препятствиях с произвольной формой краев.

2.1. Дифракция на N полуплоскостях с произвольно ориентированными краями.

2.1.1. Постановка задачи и метод решения.

2.1.2. Частные случаи.

2.1.3. Численные результаты.

2.2. Граничные дифракционные волны при многократной дифракции Френеля-Кирхгофа.

2.2.1 Граничная дифракционная волна при однократной дифракции. Коэффициент дифракции на крае.

2.2.2 Обобщенная граничная волна при многократной дифракции.

2.2.3 Многократная дифракция на препятствиях с кусочно-линейными краями.

2.2.4. Результаты численного и экспериментального моделирования

Глава 3. Дифракция на ленте и щели при произвольных углах падения электромагнитной волны.

3.1. Дифракция на ленте.

3.1.1 Постановка задачи и метод решения.

3.1.2 Анализ полученного решения, частные случаи.

3.1.3. Численные результаты.

3.1.4. Экспериментальное исследование дифракции волн на ленте.

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

3.2. Дифракция на щели.

3.2.1 Постановка задачи и метод решения.

3.2.2 Анализ полученного решения и численные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа в задачах распространения волн»

Для решения многих задач распространения, дифракции и рассеяния волн различной природы, не имеющих строгих решений, широко используется теория дифракции Френеля-Кирхгофа, а также связанные с ней методы Кирхгофа и физической оптики. Привлекательная особенность теории заключается в том, что решение сразу можно записать в виде дифракционного интеграла, а сам подход к решению достаточно прост и нагляден. Несмотря на приближенность теории Френеля-Кирхгофа, многочисленные эксперименты показали, что она надежно работает, если размеры объектов, на которых происходит дифракция, велики по сравнению с длиной волны и углы дифракции малы.

В последнее время в связи с бурным развитием сотовой связи и беспроводных систем телекоммуникаций и информатики увеличился интерес к применению многократной дифракции Френеля-Кирхгофа в задачах распространения радиоволн на трассах с естественными препятствиями и в городской застройке. Впервые многократная дифракция рассматривалась в работе [1] применительно к расчету множителя ослабления на трассах с несколькими клиновидными препятствиями. В ней был предложен эвристический метод, в котором общий множитель ослабления поля радиоволн находился как произведение множителей ослабления на отдельных препятствиях, полученных из решения задачи однократной дифракции Френеля. Позднее был предложен другой метод [2], также использующий комбинацию множителей ослабления отдельных препятствий. Эти методы ввиду своей простоты до сих находят применение для оценки поля на трассах с несколькими препятствиями. Впервые строго (в смысле дифракции Френеля) многократная дифракция была рассмотрена в [3] для случая двух препятствий в виде поглощающих полуплоскостей с параллельными краями, и решение было представлено в виде суммы специальных функций - обобщенных интегралов Френеля. В последующих работах была рассмотрена задача дифракции на N полуплоскостях, которая после последовательного применения интегральных формул Гельмгольца-Кирхгофа или Релея-Зоммерфельда ко всем апертурам и применения многомерного метода стационарной фазы сводится к iV-кратному дифракционному интегралу [4-7]. Были получены решения для асимптотических случаев. В дальнейшем в связи с развитием вычислительной техники был разработан ряд алгоритмов расчета дифракционных интегралов.

Все рассмотренные задачи относятся к случаю, когда края препятствий являются прямыми линиями, параллельными друг другу, что позволяет осуществить интегрирование по поперечным координатам. На практике края препятствий могут быть непараллельными друг другу или в общем случае иметь какую-либо другую форму, например, характерных для оптики круговых отверстий. Многократные дифракционные интегралы при этом будут иметь размерность 2N, и для больших N расчет оказывается затруднительным. Вследствие этого возникает задача уменьшения размерности этих интегралов. Однако до настоящего времени такие задачи практически не рассматривались в литературе. Метод граничной дифракционной волны [8], в развитие которого внесли вклад Юнг, Магги, Рабинович и другие исследователи и который позволяет уменьшить размерность дифракционных интегралов, не был обобщен на случай многократной дифракции. Также в рамках теории Френеля-Кирхгофа не имела решения относящаяся к классу эталонных задач проблема рассеяния электромагнитных волн на проводящей ленте при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения, при рассмотрении которой необходимо учитывать многократную дифракцию.

Таким образом, является актуальным дальнейшее развитие теории Френеля-Кирхгофа с целью расширения пределов ее применимости и разработки эффективных методов расчёта дифракционных полей.

Целью работы является дальнейшее развитие теории Френеля-Кирхгофа для решения задач многократной дифракции. Эта цель достигается как обобщением теории, так и решением некоторых новых задач распространения и дифракции волн, связанных между собой общностью метода решения. Более конкретно, для достижения цели ставятся следующие задачи:

• исследовать задачу многократной дифракции волн на нескольких полуплоскостях с произвольно ориентированными ровными краями;

• получить и исследовать обобщенную граничную волну для решения задачи многократной дифракции на последовательно расположенных экранах (отверстиях) с произвольной формой краев;

• используя метод многократной дифракции Френеля-Кирхгофа решить задачу дифракции на проводящей ленте (щели) при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения электромагнитной волны на неё.

Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста, иллюстрируется 35 рисунками и графиками, состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 106 наименования.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Дмитриев, Алексей Валерьевич

Выводы к главе 3

1. В рамках теории дифракции Френеля-Кирхгофа разработан новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на проводящей ленте и щели. Данный метод позволяет учесть векторный характер электромагнитной волны и, в отличие от известных методов, применим при произвольной ширине ленты и при произвольных углах падения волны на ленту, включая случай скользящего падения.

2. Установлено , что полученное выражение для поля дифракции на ленте имеет ясный физический смысл, являясь суммой геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волны двукратной дифракции. Полученное решение удовлетворяет принципу взаимности, равномерно относительно угла падения волн на ленту и выражается через известные специальные функции теории дифракции.

3. Экспериментальные исследования дифракции волн на проводящей ленте при произвольных углах падения подтверждают эффективность предложенного метода.

97

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Резюмируя результаты работы, можно сделать следующие выводы.

В приближении Френеля-Кирхгофа решена задача многократной дифракции волн на N последовательно расположенных поглощающих полуплоскостях с произвольно ориентированными краями. Показано, что многократный дифракционный интеграл размерностью 2N можно преобразовать в ./V-кратный интеграл. Получены частные решения для случаев двух препятствий с наклонными краями в аналитическом виде. Результаты численного моделирования показали, что взаимный наклон краев препятствий приводит к областям фокусировки и дефокусировки поля.

Предложен метод описания граничной дифракционной волны в зоне Френеля, основанный на преобразовании поля гюйгенсовских источников на отверстии в непрозрачном экране в поле юнговских источников от краев отверстия. На основе полученного решения введено понятие элементарного коэффициента дифракции на крае экрана, описываемого произвольной кусочно-гладкой функцией. Полное поле в точке наблюдения записывается в виде криволинейного интеграла по краю (контуру) экрана.

Проведено обобщение теории граничной дифракционной волны на случай многократной дифракции на N препятствиях. Путем последовательного применения элементарного дифракционного коэффициента получена граничная волна многократной дифракции. Показано, что результирующее поле имеет вид /^-кратного дифракционного интеграла по краям препятствий в отличие от известного 2N кратного интеграла. Проведённые экспериментальные исследования подтверждают справедливость предложенного метода, а численное моделирование показывает, что он обеспечивает многократный выигрыш по времени вычислений в сравнении с методом интегрирования по апертурам.

В рамках теории дифракции Френеля-Кирхгофа разработан новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на проводящей ленте и щели. Данный метод позволяет учесть векторный характер электромагнитной волны и, в отличие от известных методов, применим при произвольной ширине ленты и при произвольных углах падения волны на ленту, включая случай скользящего падения.

Установлено, что полученное выражение для поля дифракции на ленте имеет ясный физический смысл, являясь суммой геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волны двукратной дифракции. Полученное решение удовлетворяет принципу взаимности, равномерно относительно угла падения волн на ленту и выражается через известные специальные функции теории дифракции. Экспериментальные исследования дифракции волн на проводящей ленте при произвольных углах падения подтверждают эффективность предложенного метода.

99

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дмитриев, Алексей Валерьевич, 2008 год

1. Epstein J. An experimental study of wave propagation at 850 Mc / J.Epstein, D.W.Peterson// 1.E.- 1953.-vol. 41, no. 5.-pp. 595-611.

2. Deygout J. Multiple knife-edge diffraction of microwaves / J.Deygout // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1966.- AP-14, no. 4,- pp.480-489.

3. Millington G. Double knife-edge diffraction in field-strength predictions / G. Millington, R. Hewitt, F.S. Immirzi // Proc. IEE.- 1962.- Part C, 109C(507E).-pp. 419-429.

4. Хомяк E.M. К дифракции Френеля на п полуплоскостях / Е.М. Хомяк // Радиотехника и электроника.- 1968.- Т. 13, №9.- С. 1549-1561.

5. Vogler L.E. An attenuation function for multiple knife-edge diffraction / L.E. Vogler//Radio Sci.- 1982.-vol. 17, no 6.-pp. 1541-1546.

6. Xia H.H. Diffraction of cylindrical and plane waves by an array of absorbing half-screens / H.H. Xia, H.L. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1992.-vol. 40, no. 2.-pp. 170-177.

7. Whitteker J.H. Evaluationof the field on a uniform array of knife edges using edge reflection / J.H.Whitteker, Y.L. Helloco, B. Breton // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2007.- vol. 55, no. 3.- pp. 997-999.

8. Борн M. Основы оптики / M. Борн, Э. Вольф.- М.: Наука, 1973.- 720 с.

9. Зоммерфельд А. Оптика / А. Зоммерфельд. М.: ИЛ, 1953.- 486 с.

10. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику / Дж. Гудмен.- М.: Мир, 1970.- 364 с.

11. Wolf Е. Comparison of the Kirchhoff and the Rayleigh-Sommerfeld theories of diffraction at an aperture / E. Wolf, E.W. Marchand // J. Opt. Soc. Am.-1964.- vol. 54, no. 5,- pp. 587-594.

12. Федорюк M.B. Метод перевала / M.B. Федорюк.- М.: Наука, 1977.- 368 с.

13. Furutsu К. On the theory of radio wave propagation over inhomogeneous earth / K. Furutsu // J. Res. Natl. Bur. Stan. D.- 1963.- vol. 67D.- pp. 39-62.

14. Furutsu К. A systematic Theory of Wave Propagation Over Irregular Terrain / K. Furutsu // Radio Sci.- 1982,- vol. 17, no. 5.- pp. 1037-1050.

15. Хомяк E.M. Дифракция радиоволн на горах / Е.М. Хомяк // Распространение ультракоротких волн в гористой местности.- Улан-Удэ, 1968.- С.3-29.

16. Whitteker J.H. Fresnel-Kirchhoff theory applied to terrain diffraction problems / J.H.Whitteker// Radio Sci.- 1990.- vol. 25, no 5.- pp. 837-851.

17. Whitteker J.H. Near-field ray calculation for multiple knife-edge diffraction / J.H.Whitteker// Radio Sci.- 1984.- vol. 19, no 4.- pp. 975-986.

18. Pogorzelski R.J. A note on some common diffraction link loss models / R.J.Pogorzelski // Radio Sci.- 1982.- vol. 17, no 6.- pp.1536-1540.

19. Walfisch J. A theoretical model of UHF Propagation in urban Environments / J. Walfisch, H.L. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1988.- vol. 36, no. 12.- pp. 1788-1796.

20. Saunders S.R. Explicit multiple building diffraction attenuation function mobile radio wave propagation / S.R. Saunders, F.R. Bonar // Electronic Letters.- 1991.- vol. 27, no. 14.- pp. 1276 1277.

21. Xia H.H. Diffraction of cylindrical and plane waves by an array of absorbing half-screens / H.H. Xia, H.L. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1992.-vol. 40, no. 2.-pp. 170-177.

22. Russel T.A. A deterministic approach to predicting microwave diffraction by building of microcellular systems. / T.A. Russel, C.W. Bostain, T.S. Rappoport // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1993.- vol. 41, no. 12.- pp. 16401649.

23. Savov S.V. Efficient method for calculation of Fresnel double integral / S.V. Savov, J.B. Andersen // Electronic Letters.- 1995.- vol. 31, no. 6.- p. 435 437

24. Tzaras C. Rapid, uniform computation of multiple knife-edge diffraction. / C.Tzaras, S.R. Saunders // Electron. Lett.- 1999.- vol. 35, no. 3.- pp. 237-239.

25. Mokhtari H. A comprehensive double knife-edge diffraction computation method based on the complete Fresnel theory and a recursive series expansionmethod / H. Mokhtari // IEEE Trans. Veh. Tech.- 1999.- vol. 48, no. 2.- p. 589 -592

26. Nastachenko A.S. Asymptotic solution and factorization for multiple half-plane diffraction / A.S. Nastachenko // Electronic Letters.- 2000.- vol. 36, no. 21.-pp. 1754- 1756.

27. Tzaras C. Comparison of multiple-diffraction models for digital broadcasting coverage prediction / C.Tzaras, S.R. Saunders // IEEE Trans. Broadcasting.2000.- vol. 46, no. 3.- pp. 221 226.

28. Xiongwen Zhao Multipath propagation study combining terrain diffraction and reflection. / Xiongwen Zhao, P. Vainikainen // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2001.- vol: 49, no. 8.- pp. 1204 1209.

29. Whitteker J.H. A generalized solution for diffraction over a uniform array of absorbing half-screens / J.H.Whitteker // IEEE Trans. Antennas Propag.2001.- vol. 49, no. 6.- pp. 934-938.

30. Savov S.V. Attenuation of waves behind a building. / S.V. Savov, J.H. Whitteker, R. Vasilev // IEE Proceedings Microwaves, Antennas and Propagation.- 1999.- vol: 146, no: 2,- p. 145-149.

31. Wei Zhang A practical aspect of over-rooftop multiple-building forward diffraction from a low source. / Wei Zhang; J. Lahteenmaki, P. Vainikainen // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility.- 1999,- vol. 41, no. 2.-p. 115-119.

32. Xia H.H. A simplified analytical model for predicting path loss in urban and suburban environments / H.H. Xia // IEEE Trans. Veh. Tech.- 1997.- vol: 46, no. 4,-p. 1040- 1045.

33. Constantinou C.C. Urban radiowave propagation: A 3-D path-integral wave analysis / C.C. Constantinou, L.C. Ong // IEEE Trans. Antennas Propag.-1998.- vol: 46, no. 2.- p. 211 217.

34. Constantinou C.C. Evaluation of multiple diffraction integrals: computation speed and accuracy consideration / C.C. Constantinou, L.C. Ong // IEEE Proc. Microw. Antennas Propag.- 1997.- vol: 144, no. 1.- p. 35 41.

35. Parsons J.D. The mobile radio propagation channel / J.D. Parsons.- London: John Wiley and Sons LTD, 2000.- 413 p.

36. Chung H.K. Range-dependent path-loss model in residential area for the VHF and UHF bands / H.K. Chung, H. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.-2002.-vol: 50, no. l.-p. 1- 11.

37. Whitteker J.H. Evaluationof the field on a uniform array of knife edges using edge reflection / J.H.Whitteker, Y.L. Helloco, B. Breton // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2007.- vol. 55, no. 3.- pp. 997-999.

38. Fresnel-Kirchhoff integral for 2-D and 3-D path loss in outdoor urban environments. / Ying Xu, Qiwu Tan, D. Erricolo, P.L.E. Uslenghi // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2005.- vol: 53, no. 11.- p. 3757 3766.

39. Maggi G.A. Sulla propagaxione libera e perturbato delle onde luminose in un mezzo isotropo. / G.A. Maggi // Ann. Math.- 1888.- vol. 16.- pp. 21-48.

40. Rubinowicz A. Die Beugungswelle in der Kirchhoffschten Theorie der Beugungserschinungen / A. Rubinowicz // Ann Physik.- 1917.- vol. 53, pp. 257-258.

41. Солимено С. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения / С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто.- М.: Мир, 1989.664 с.

42. Miyamoto К. Generalization of the Maggi-Rubinowicz theory of the boundary diffraction wave. Part I-II. / K. Miyamoto, E. Wolf // J. Opt. Soc. Am.- 1962.- vol. 52, no. 6.- pp. 615-637.

43. Marchand E.W. Boundary diffraction wave in the domain of the Rayleigh-Kirchhoff diffraction theory / E.W. Marchand, E. Wolf // J. Opt. Soc. Am.-1962.- vol. 52, no. 7.- pp. 761-767.

44. Diffracted waves in the shadow boundary region / G. Otis, J.L. Lachambre, J.W.Y. Lit and P. Lavigne // J. Opt. Soc. Am.- 1977.- vol. 67, no. 4.- pp. 551553.

45. Asvestas J.S. The physical optics field of an aperture on a perfectly conducting screen in terms of line integrals / J.S. Asvestas // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1986.- vol. 34, no. 9.- pp. 1115 1159.

46. Ganci S. An experiment on the physical reality of edge-diffracted waves / S. Ganci // Am. J. Phys.- 1989.- vol. 57.- pp. 370-373.

47. Anokhov S.P. New interpretation of the boundary diffracted wave origin /S.P. Anokhov // Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optolectronics.-2000.- vol. 3, no. 2,- pp. 254-257.

48. Langlois P. Simultaneous laser beam profiling and scaling using diffraction edge wave (DEW) / P. Langlois, R.A. Lessard // Proc SPIE.- 1986.- vol. 661, pp. 315-321.

49. Polyanskii P.V. Young hologram a fifth type of hologram / P.Y. Polyanskii, G.Y. Polyanskaya // J. Opt. Technol.- 1997.- vol. 64, pp. 321-330.

50. Structure of an edge-dislocation wave originating in plane-wave diffraction by a half-plane / A.I. Khizhnyak, S.P. Anokhov, R.A. Lymarenko, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov // J. Opt. Soc. Am. A.- 2002.- vol. 17, pp. 2199-2207.

51. Gordon B.G. Reduction of surface integrals to contour integrals / B.G. Gordon, Bilow H.J. // IEEE Trans. Ant. Prop.- 2002.- vol. 50, no. 3.- pp. 308 -311.

52. Knife-edge diffraction pattern as an interference phenomenon: An experimental reality. / R. Kumara, S.K. Kauraa, A.K. Sharmaa and others // Optics & Laser Technology.- 2007.- vol. 39, no. 2.- pp. 256-261.

53. Direct visualization of Young's boundary diffraction wave / R. Kumara, S. K. Kauraa, D.P. Chhachhiaa, A.K. Aggarwal // Optics Communications.- 2007.-vol. 276, no 1.- pp. 54-57.

54. Liu P. Diffraction of spherical waves at an annular aperture in the use of the boundary diffraction wave theory: a comparison of different diffraction integral approaches / P. Liu, B. Lu // Optik.- 2005.- vol. 116, pp. 449 453.

55. Sieger В. Die Beugung einer ebenen elektrischen Welle an einem Schirm von elliptischem Querschnitt / B. Sieger // Annalen der Physik.- vol. 332, Issue 13.- pp.626-664.

56. P.M. Morse The diffraction of waves by ribbons and by slits / Morse P.M., Rubenstein P.J. // Phys. Rev.- 1938.- vol. 54.- pp.895-898.

57. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложение функций Матье / Н.В.Мак-Лахлан.- М.: И.Л.- 1953.- 476 с.

58. Морс Ф.М. Методы теоретической физики. Т.2 / Ф.М. Морс, Г. Фешбах.-М.:И.Л.- I960.- 886 с.

59. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж.А. Стрэттон.- М.: ОГИЗ.- 1948.- 539.

60. Yu J-S. On higher order diffraction concepts applied to a conducting strip / J

61. Yu, R.C. Rudduk // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1967.- vol. 15, no. 5.-pp. 662 668.

62. Stamnes J.J. Exact two-dimensional scattering by perfectly reflecting elliptical cylinders, strips and slits / J.J. Stamnes // Pure Appl. Opt.- 1995.- vol. 4, no.6.- pp. 841-855/

63. Stamnes J.J. Exact and approximate solutions for focusing of two-dimensional waves. I. Theory / J.J.Stamnes, H.A.Eide // JOSA A.- 1998.- vol. 15, no. 5.-pp. 1285-1291.

64. Eide H.A. Exact and approximate solutions for focusing of two-dimensional waves. II. Numerical comparisons among exact, Debye, and Kirchhoff theories / H.A.Eide, J.J.Stamnes // JOSA A.- 1998.- vol. 15, no. 5.- pp.12921307.

65. Eide H.A. Exact and approximate solutions for focusing of two-dimensional waves. III. Numerical comparisons between exact and Rayleigh-Sommerfeld theories / H.A.Eide, J.J.Stamnes // JOSA A.- 1998.- vol. 15, no. 5.- pp.13081319.

66. Шанин А.В. К задаче о дифракции на щели. Некоторые свойства ряда Шварцшильда / А.В. Шанин // Записки научных семинаров ПОМИ.-2001.- Т.275.- С.258-285.

67. Нефедов Е.И. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах / Е.И.Нефедов, А.Т.Фиалковский.- М.: Наука, 1972.- 204 с.

68. Хаскинд М.Д. Дифракция плоских волн на щели и ленте / М.Д.Хаскинд, Л.А.Вайнштейн // Радиотехника и электроника.- 1964.- № 10.- С.1800-1811.

69. Гринберг Г.А. О дифракции электромагнитных волн на полосе конечной ширины / Г.А.Гринберг // ДАН СССР.- 1959,- Т. 129, №2.- С.295-298.

70. Саутбеков С.С. Ещё раз о дифракции на ленте и щели: метод Винера-Хопфа-Фока / С.С.Саутбеков // Радиотехника и электроника.- 2000.-Т.45, №10.- С.1202-1209.

71. Nye J.F. Numerical solution for diffraction of an electromagnetic wave in a perfectly conducting screen / J.F. Nye // Proc. R. Soc. Lond. A.- 2002.- vol. 458.- pp.401-427.

72. Эминов С.И. Обоснование метода моментов в теории дифракции / С.И.Эминов // Письма в ЖТФ.- 2003.- Т.29, №16.- С.80-88.

73. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции / П.Я.Уфимцев.- М.: Сов. Радио, 1962.- 244 с.

74. Уфимцев П.Я. Асимптотическое исследование задачи о дифракции на ленте / П.Я.Уфимцев // Радиотехника и электроника.- 1969.- Т. 14, №7.-С. 1173- 1185.

75. Уфимцев П.Я. Асимптотическое решение задачи о дифракции на ленте в случае граничных условий Дирихле / П.Я.Уфимцев // Радиотехника и электроника.- 1970.- Т. 15, №5.- С. 914 923.

76. Ломухин Ю.Л. Ослабление волн, скользящих вдоль плоского экрана / Ю.Л.Ломухин; Изв. Вузов «Радиофизика» №3.- 1988,. Деп. в ВНТИИ 27.01.88, №743-886.

77. Горгошидзе А.Н. Эталонные расчеты и оценка некоторых приближенных решений для задачи о дифракции на ленте / А.Н.Горгошидзе // Радиотехника и электроника.- 1975.- №7.- С.1354-1361.

78. Senior Т.В.А. Comparison between Keller's and Ufimtsev's theories for the strip / T.B.A.Senior, P.L.E.Uslenghi // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1971.-vol. 19, no. 4.- pp. 557- 558.

79. Lee S.W. Path integrals for solving some electromagnetic edge diffraction problems / S.W. Lee // J. Math. Phys.- 1978.- vol. 19, no. 6.- pp. 1414-1422.

80. Haber S. Numerical Evaluation of Multiple Integrals /S. Haber // SIAM Rev.-1970.- vol. 12, pp. 481 -526.

81. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение /Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш.- М.: Мир, 2001.- 575 с.

82. Sadiku M.N.O. Numerical methods in electromagnetic (2nd ed.) / M.N.O. Sadiku.- CRC Press, 2001.- 750 p.

83. Бахвалов H.C. Численные методы / H.C. Бахвалов, Н.П. Жидков, Кобельков Г.М.- М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.- 636 с.

84. Hahn Т. CUBA a library for multidimensional numerical integration / Т. Hahn // Computer Physics Communications.- 2005.- vol. 168, pp. 78 - 95.

85. Hahn T. The CUBA library / T. Hahn // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.- 2006.- vol. 559, pp. 273 278.

86. Hahn T. Cuba a library for multidimensional numerical integration Электрон, ресурс. / Т. Hahn. - 2008. - Режим доступа: http ://www. feynarts. de/cuba

87. GSL GNU Scientific Library Электрон, ресурс. - Режим доступа: http:// www.gnu.org/software/gsl

88. Galassi M. GNU scientific library. Reference manual Электрон, ресурс. / M. Galassi, J. Davis, J. Theiler and others.- Режим доступа: http://www.network-theory.co.uk/gsl/manual/

89. Дагуров П.Н. Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа на полуплоскостях с произвольно ориентированными краями/ П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Электромагнитные волны и электронные системы.-2008.- №6

90. Dagurov P.N. Multiple Knife-Edge Diffraction by Obstacles With Unparallel Edges / P.N. Dagurov, A.V.Dmitriev // The 8th URSI Commission F Triennial Open Symposium on Wave Propagation and Remote Sensing: Proceedings.-Aveiro, Portugal, 1998.-P.75-78.

91. Дагуров П.Н. Дифракционное распространение волн на трассах с несколькими препятствиями / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Труды XIX Всеросс. конф. по распространению радиоволн.- Казань.- 1999.- С.200-201.

92. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош.- М.: Наука, 1968.- 431 с.

93. Каратыгин В.А. Метод стационарной фазы для двойного интеграла с произвольно расположенной точкой стационарной фазы / В.А. Каратыгин, В.А. Розов // Журнал вычислительной математики и мат. Физики.- 1972.- Т.12, №6.- С.1381-1405.

94. Чимитдоржиев Н.Б. Распространение и регулирование дифракционных УКВ полей / Н.Б. Чимитдоржиев, П.Н. Дагуров, Ю.Л. Ломухин.-Новосибирск: Наука, 1987.- 152 с.

95. Дагуров П.Н. Модель многолучевого дифракционного распространения УКВ / П.Н. Дагуров, А.С. Заяханов, Н.Б. Чимитдоржиев // Радиотехника и электроника.- 1994.- Т.20. №2.- С. 199-207.

96. Dagurov P.N. Boundary diffraction wave at multiple knife-edge diffraction / P.N. Dagurov, A.V. Dmitriev // Proc. of ISAP2000, Fukuoka, Japan.- 2000, vol. 3.-pp. 1219-1222.

97. Дагуров П.Н. Расчет граничной волны при многократной дифракции / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Материалы междунар. конф. «Современные проблемы физики и высокие технологии».- Томск, 2003.-С.432-435

98. Dagurov P.N. 3D model of muitt^rTdiffraction on the obstacles with irregular edges / P.N.Dagurov, A.V.Dmitriev // Proc. of ClimDiff 2005.- Cleveland, USA.- 2005.- ClimDiff.24

99. Дмитриев A.B. Дифракция волн на двух препятствиях с неровными краями / А.В.Дмитриев // I конференция по фундаментальным и прикладным проблемам физики: Тез. докл.- Улан-Удэ, 1999.- С.5-6.

100. Дагуров П.Н. Трехмерная модель многократной дифракции на нескольких препятствиях с неровными краями / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Труды XX Всеросс. конф. по распространению радиоволн.- Нижний Новгород, 2002.- С.441-442.

101. ЮО.Хёнл X. Теория дифракции / X. Хёнл, А. Мауэ, К. Вестпфаль.- М.: Мир, 1964.- 428 с.

102. Ахманов С.А. Физическая оптика. / С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин.- М.: МГУ, Наука. 2004.- 656 с.

103. Дагуров П.Н. Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции электромагнитных волн на ленте при малых углах скольжения / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Материалы междунар. конф. «Современные проблемы физики и высокие технологии».- Томск, 2003,-С.429-432.

104. Дагуров П.Н. Дифракция Кирхгофа-Френеля на проводящей ленте. / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев, Н.А.Дремухина // Сб. докладов III конф. по фундаментальным проблемам физики.- Улан-Удэ, 2004.- С.100-105.

105. Дагуров П.Н. Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции волн на ленте при малых углах скольжения / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Письма в ЖТФ.- 2005.- Т.31, вып. 19.- С.22-27.

106. Dagurov P.N. Kirchhoff-Fresnel diffraction on a conducting strip / P.N.Dagurov, A.V.Dmitriev // International Seminar «DAYS ON DIFFRACTION'2006»: Abstracts.- St. Petersburg, 2006.- P.24-25.

107. Юб.Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С.Градштейн, И.М.Рыжик.- М.: Физматгиз, 1962.- 1100 с.