Многоканальные системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Чан Куанг Куи

• Чан Куанг Куи
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Чан Куанг Куи

Введение

Глава 1. Вероятностные характеристики системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди

1.1. Вероятностные характеристики одноканальной СМО

1.2. Вероятностные характеристики многоканальной СМО

1.3. Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди

Глава 2. Основные числовые характеристики системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди

2.1. Число занятых каналов (коэффициент загрузки)

2.2. Число требований, находящихся в ожидании находящихся под обслуживанием обслуживания (длина очереди)

2.3. Число требований, находящихся в системе массового обслуживания в целом (и в очереди, и под обслуживанием)

Глава 3. Время нахождения одной заявки в очереди в ожидании обслуживания и в системе в целом

3.1. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди на обслуживание

3.2. Расчёт времени пребывания заявки в очереди в ожидании начала обслуживания

3.3. Расчёт времени пребывания заявки в системе массового обслуживания в

целом

Глава 4. Имитационное моделирование нестационарных режимов функционирования систем массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди

4.1. Имитационная модель многоканальной СМО с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди

4.2. Исследование нестационарных режимов функционирования систем массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многоканальные системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В теории массового обслуживания особенный интерес всегда вызывали системы массового обслуживания (СМО) с того или иного рода ограничениями на управляющие параметры системы. Дело в данном случае заключается в том, что системы с различными ограничениями весьма часто востребованы при решении самого разного рода прикладных задач в самых различных, порой весьма далеко отстоящих друг от друга предметных областях. В частности, к таким предметным областям можно отнести как традиционно связанную с теорией массового обслуживания логистику, так и такие инновационные области современных приложений, как, например, теория телетрафика, теория телекоммуникаций и многие другие.

Среди задач с ограничениями выделяется класс задач с ограничениями, накладываемыми на среднее время пребывания поступившей в систему заявки как в очереди в ожидании начала обслуживания, так и в системе массового обслуживания в целом (как в очереди, так и под обслуживанием). Говоря другими словами, в СМО данного типа часть заявок являются так называемыми «нетерпеливыми» заявками, которые, подождав некоторое время, могут уйти либо из очереди, либо из системы, в том числе находясь на стадии обслуживания [1 -5]. Модели такого типа, однако, являются наименее изученным классом систем массового обслуживания среди всех типов СМО.

Вследствие вышеизложенного задача построения замкнутой и внутренне непротиворечивой математической модели системы массового обслуживания с «нетерпеливыми» заявками является актуальной.

Степень разработанности темы. С точки зрения математики основная задача изучения такого рода систем заключается в следующем [1-5]. Даже для наиболее удобных для исследования моделей марковского типа, в ходе расчётов появляются суммы бесконечного или конечного числа слагаемых, не сводящиеся, однако, к суммам соответствующих геометрических прогрессий. Таким образом, в данном случае для решения такого рода задач приходится прибегать к приближённым численным схемам, в которых каждая числовая характеристика задачи рассчитывается отдельно от других при помощи суммирования первых нескольких слагаемых соответствующего конечного или бесконечного ряда. При этом невозможно, конечно, получить замкнутое аналитическое решение задачи, хотя можно, пусть и достаточно грубо, оценить основные характеристики системы массового обслуживания данного типа. Для ряда прикладных задач этого вполне хватает, но при этом, как правило, не удаётся более детально изучить процессы, протекающие в системах такого рода. В современных условиях отсутствие замкнутого аналитического решения, в рамках которого все основные числовые характеристики системы рассчитывались бы с требуемой точностью и были бы при этом связаны друг с другом, является значительным пробелом в теории массового обслуживания, понимаемой как прикладная область исследований.

В связи с вышеизложенным, в работах [6, 7] впервые была сделана более или менее успешная попытка нового подхода к изучению систем массового обслуживания с ограничениями на среднее время заявки в очереди или в системе в целом. Смысл этих работ заключается в следующем. Именно, в работах [6] было впервые предложено использовать для суммирования рядов, неподдающихся до этого современным методам анализа, так называемую функцию Г. Миттаг-Леффлера первого порядка, хорошо известную специалистам в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований [8, 9]. При этом была впервые осуществлена полная математическая формализация соответствующим образом поставленной задачи, включая вычисление первых и вторых моментов соответствующих числовых характери-

стик системы. В работах [6, 7], однако, содержится решение задачи с ограничением на среднее время лишь в том случае, когда все поступающие в систему массового обслуживания требования, можно назвать «нетерпеливыми» требованиями (заявками). Между тем, с точки зрения возможных приложений, более интересной представляется определённым образом расширенная постановка задачи.

С точки зрения практики было бы весьма интересно рассмотреть такой вариант постановки задачи, в котором так называемые «нетерпеливые» заявки могут покидать очередь лишь тогда, когда её длина превышает некоторое наперёд заданное фиксированное числовое значение. Это значение в дальнейших расчётах мы будем обозначать буквой Е. После того, как перед требованием, находящимся в очереди на обслуживание, осталось Е заявок, требования перестают покидать очередь и в любом случае дожидаются начала обслуживания, то есть переходят из разряда «нетерпеливых» в разряд «терпеливых» требований. Особенное значение имеет при этом возможность изучения поведения вторых моментов соответствующих величин, характеризующих СМО данного типа.

Вторые моменты вышеуказанных величин при этом являются одними из основных числовых характеристик систем массового обслуживания различных типов. Между тем даже для большинства систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок и экспоненциальным временем их обслуживания аналитические формулы этих величин отсутствуют в опубликованной к настоящему времени научной литературе [10-49]. При этом моменты высших порядков сравнительно хорошо изучены лишь для одноканальных моделей СМО различных типов [2, 12]. Что же касается систем массового обслуживания с большим числом каналов, то в опубликованной к настоящему времени научной литературе можно найти лишь формулы вторых моментов некоторых числовых характеристик для модели с неограниченным объёмом накопителя (в рамках классификации М. Кендалла - модель М/М/т) [50]. Для более же сложных моделей эти характеристики неизвестны, несмотря на большое ко-

личество работ, посвящённых различным прикладным аспектам теории массового обслуживания, изданным за последнее время [51-68]. Изучение этих характеристик, однако, позволяет сделать ряд весьма интересных и значимых для практики выводов о режимах функционирования систем такого рода. Всё вышесказанное в полной мере относится и к системам массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди в ожидании начала обслуживания.

Цель данной работы заключается в разработке аналитической и имитационной моделей для изучения свойств и характеристик систем массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди на обслуживание в том случае, когда в системе присутствуют как «нетерпеливые», так и «терпеливые» заявки.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Построение и анализ математической модели системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди на обслуживание в том случае, когда в системе присутствуют заявки двух типов.

2. Построение имитационной модели системы массового обслуживания указанного типа для изучения функционирования систем такого рода на нестационарных участках траекторий их основных числовых характеристик.

Научная новизна исследований, представленных в диссертационной работе, заключается в следующем:

1. Предложена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди на обслуживание. Основным отличием от изученных ранее моделей систем такого рода является впервые введённое допущение, заключающееся в том, что так называемые «нетерпеливые» заявки

могут покидать очередь лишь тогда, когда число заявок в очереди превышает некоторое наперёд заданное фиксированное значение Е.

2. Получены аналитические выражения для первых и вторых моментов основных дискретных и непрерывных величин, характеризующих системы с очередями. К таким величинам относятся количество занятых каналов обслуживания в обслуживающем многоканальном устройстве, количество заявок, находящихся в очереди в ожидании начала обслуживания, время нахождения одного требования в очереди, а также полное число заявок в системе и полное время пребывания требований в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием).

3. Построена имитационная структурная модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем ожидания заявки в очереди на обслуживание в том случае, если число заявок в очереди превышает некоторое заданное значение Е, для исследования поведении систем такого рода на нестационарных участках траекторий их основных числовых характеристик.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанная модель и полученные в диссертационной работе формулы для вычисления вероятностных и числовых характеристик СМО, предназначены для разработки и решения многочисленных задач в различных предметных областях, имеющих отношение к оптимальному управлению системами массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди на обслуживание. Подобные математические модели позволяют по известным значениям интенсивности входного потока заявок рассчитать различные параметры, характеризующие производительность системы, а также в каждом конкретном случае исследовать их поведение при изменении нагрузки на систему со стороны входного потока.

Результаты диссертационной работы были использованы для наилучшей организации обслуживания клиентов в сети салонов розничной торговли компании «RBT.ru». Математическая модель, представленная в диссертационной

работе, позволяет достаточно гибко описать объекты подобного рода, поскольку в ней учитывается тот факт, что при длительном ожидании в очереди часть потенциальных клиентов может покинуть место торговли, не дожидаясь начала обслуживания. Принятые в соответствии с указанными рекомендациями меры позволили сократить финансовые издержки компании, вызванные неоправданным уменьшением количества клиентов при возрастании нагрузки со стороны входного потока.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе применяются методология и методы теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории марковских случайных процессов, математической теории телетрафика.

Положения, выносимые на защиту.

1. Основные вероятностные характеристики рассматриваемой СМО, в том числе вероятности стационарных состояний системы, вероятность её полного простоя и вероятность ожидания заявкой начала обслуживания.

2. Аналитические выражения для первых и вторых моментов основных дискретных и непрерывных величин, характеризующих системы с очередями.

3. Имитационная модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем ожидания заявки в очереди на обслуживание в том случае, если число заявок в очереди превышает некоторое заданное значение E.

4. Комплекс программ в инструментальной среде имитационного моделирования GPSS World для изучения нестационарных режимов функционирования рассматриваемых систем массового обслуживания и поведения их основных характеристик во времени.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов, полученных в диссертации, следует из применяемых строгих математических методов теории массового обслуживания, теории вероятностей, теории марковских случайных процессов и математической

теории телетрафика, строгостью проведения математических выкладок и преобразований, а также сравнением с результатами имитационного моделирования соответствующих процессов.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

1. XXIX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-29», Саратов, 2016;

2. I Международная научно-практическая конференция «Проблемы развития современной науки», Пермь; 2016;

3. IX Международная научно-практическая конференция «Современное состояние и перспективы инновационного развития нефтехимии», Нижнекамск, 2016;

4. XXX Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-30», Санкт-Петербург, 2017;

5. Международная научно-практическая конференция «Тенденции развития логистики и управления цепями поставок», Казань, 2017;

6. Международная научно-практическая конференция «Новая наука: история становления, современное состояние, перспективы развития», Стер-литамак, 2018.

Диссертационная работа написана по результатам, опубликованным в цикле работ [69-73], выполненных при решающем участии автора.

ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В ОЧЕРЕДИ

1.1. Вероятностные характеристики одноканальной СМО

Рассмотрим одноканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Пусть интенсивность потока заявок равна л, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает прибор в единицу времени, есть и. Поток обслуживания тоже будем считать простейшим (с интенсивностью и).

Предположим далее, что общее время пребывания одной заявки в очереди ограничено теперь некоторым случайным временем I со средним значением I. Тем самым, на каждую заявку, находящуюся в системе, действует своего рода поток уходов с интенсивностью

1

V = т.

I

Ясно, что если этот поток носит простейший характер, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. При этом, если в очереди находится ^ заявок, то суммарная интенсивность уходов заявок из очереди равна ^ V, и тогда

граф состояний такого рода системы массового обслуживания имеет вид, изображённый на рис. 1: В такой постановке задаче была изучена в монографиях [6, 7] и примыкающей к ним работе [74]. Между тем, более интересная и более

актуальная с точки зрения практических приложений постановка задачи заключается в следующем.

С точки зрения современных приложений было бы интересно рассмотреть такой вариант постановки задачи, в котором так называемые «нетерпеливые» заявки покидают очередь лишь до достижения некоторого фиксированного значения длины очереди. Это значение в дальнейших расчётах мы будем обозначать буквой Е. После того, как перед требованием, находящимся в очереди на обслуживание, осталось Е заявок, требования перестают покидать очередь и в любом случае дожидаются начала обслуживания. Граф такой системы массового обслуживания изображён на рис. 2. Проведём математическую формализацию поставленной задачи.

X X2 X3 Xе

Р\ =_Ро; р2 Ро; Рз — тРо; ••• Ре+1 — г , 1 Ро-ц ц2 ц3 цЕ+1

3

Е + 1

X

Е + 2

X

Е+3

РЕ+2 ~~Е+й ч

ц Е+1 (ц+у)

Р0' РЕ + 3 - Е+1

ц Е+1 (ц + у)(ц + 2 у)

Ро;

Р Е + 4

X

Е + 4

ц Е+1 (ц + у)(ц + 2 у)(ц +3 у)

Ро-

и так далее. Ведём теперь обозначения р — ^^ и (3 — ^^. Здесь р - это приведённая интенсивность потока заявок (требований), поступающих в систему, которая показывает, сколько требований в среднем поступило в систему массового обслуживания за среднее время обслуживания системой одной заявки. Параметр ( при этом представляет собой своего рода приведённую интенсивность

ухода «нетерпеливых» заявок из очереди, то есть показывает, сколько в среднем заявок покидает очередь необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки.

Рис. 2

Тогда имеем

Р1 =рРо; р2 =р Ро; Рз =р Ро; ре+1 =р Ро;

+2 Я+3

_Р Р

рЕ+1 = " 7Т р0, рЕ+3

1+р

(1 + р)(1 + 2 р)

Ро;

рЕ + 4

Р

Е + 4

(1 + Р)(1 + 2 р)(1 + 3 Р)

Ро

или в наиболее общем виде

к

рк =р ро при 1<к<Е+1;

(111)

Рк

р

к

(1 + р)(1 + 2 р)-[1 + (к - Е-1)р]

ро при к > Е+1.

Запись формул (1.1.1) для рк можно упростить следующим образом. В самом деле, разделим числитель и знаменатель второго из этих соотношений на

Рк—Е—1 гт-.

. Тогда получим

рк =рк ро при 1<к<Е+1;

Рк =рЕ+17

/ к—Е — 1 р/

V/

1/ VI/ ^ ^1/ лРо =

>Р+1)1 >Р+ М/Р+к—Е-1

Е + 1

р 7

V/

а

к—Е—1

1Р+1

\

Ро при к > Е+1,

/ к—Е—1

(1.1.2)

где (а) = а (а + 1)(а + 2) ... (а +1 — 1); (а)0 = 1 - символ Л. Похгаммера [75

76]. Величина а = р/Р=^^, очевидно, показывает, какое среднее число зая-

вок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заявки.

В этом случае из условия нормировки

X Р>— 1

1 — о

и формул (1.1.2), очевидно, имеем

2 3 Е + 1

— Ро +р Ро +р Ро +р Ро + — + р +

2

■ пЕ+1 а . _Е+1 а „ .

+ р —--Ро +р --N Ро +

v1

1/+1|[ К +

V 3 Л/ 3

У

.Е + 1

а"

+ р /17 ч/17—\ТТ~ \Ро + • —. ^ +1|[ ^ + 2|[ у + 3

V 3 Л/Р Л/Р

V н У

{1+р+р2 +р3 + •••+рЕ +

+р

Е+1

1 +

а

а'

/ , \

3

/ , \

+

а

3

М+1| У,+1

у1

3

У 2

/ , Л

13+1

У 3

Ро.

Но первая сумма в фигурных скобках этого соотношения есть просто сумма геометрической прогрессии со знаменателем р :

2 3 Е 1_ р

1 + р + р2 +р3 + ••• + рЕ =

Е + 1

1 -р

>

и тогда

¿1 =

1-р

Е+1

да

1-р

+ Р

Е+1

ХгТ

к=0 I /

а

к

\

+ 1

V к

Р0:

откуда следует

Ро

1-Р

Е+1

да

1 -Р

+ Р

Е+1

Е

к=0

а

к

4+1

У к

-1

(1.1.3)

Рассмотрим более внимательно бесконечную сумму

да к

УТ^ ак

к

в формуле (1.1.3). Ясно, что в отличие от соответствующего соотношения классической модели М/М/т, в котором сумма бесконечного числа слагаемых в знаменателе этой формулы сводится к сумме бесконечной геометрической прогрессии (первое слагаемое в формуле (1.1.3)), в этой формуле содержится сумма бесконечного ряда, не являющегося геометрической прогрессией. Поэтому будем действовать следующим образом.

Заметив, что по определению

(а )к =

Г(а + к)

Г(а )

где Г - гамма-функция, перепишем интересующую нас сумму как

5 2=<

да

а

к=0

(л/ Л Г| уа + 1 + к

V/ р У

(1.1.4)

Тогда получим выражение

Рис. 3. Поведение функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка

Рис. 4. Поведение функции Г. Миттаг-Леффлера первого порядка

Ро

1-Р

Е + 1

1 -Р

+ Р

Е+1

(л/ Л ( 1 / Г Е1 а; уп +1

Р

-1

(1.1.5)

в котором

(л/ \ ( л/ \ £2 =Г1 у, +11 Ех а; Уа + 1

V/ Р У V /Р У

где

Е (г; 5)=1

7

к

к=0

Г(5+к)

(1.1.6)

- функция Г. Миттаг-Леффлера первого порядка (обобщение показательной функции ехр г). Эта функция хорошо известна специалистам в области теории функции комплексного переменного и интегральных преобразований [например, 8, 9]. Поведение этой величины в зависимости от параметров г и 5 изображено на рис. 3, 4. Следует отметить что при 5 = 1 функция Г. Миттаг-

Леффлера совпадает с экспоненциальной функцией: Е1 (г;1)=в2.

Последнее соотношение, однако, в свою очередь можно ещё больше упростить. Из формулы (1.1.6), очевидно, имеем

да

да

Е (2; 5 +1)=1

г

г(5.1+к) £ Г(5+к)

I

2

к-1

да

11

2

к

^ Г(5+к)

1

2

да к 2

I

к=0

Г(5 + к) Г(г)

так что

Е (2; 5 +1)=1

2

Е1 (2; 5)-Г5)

(1.1.7)

1

Е (г; 0—щ+^ Е1 (--; $ +1)

(1.1.8)

- рекуррентная формула для функции Г. Миттаг-Леффлера (. В данном случае, — ^^, г — а — , и тогда, очевидно, имеем

Е

/

а; +11—3

V

3

р

Е

а

1

Г

/

V/

В этом случае из соотношения (1.1.4) с учётом известного рекуррентного соотношения для гамма-функции [77] Г(^ +1)—^ Г(^) следует

(л/ \ ( 1 / л

—г[ у^ + 1]е1 [а; уа + 1

V/

У

V

3

У

Г(.>3-1)5

Е

а

1

Г

/

V/

1Г р

/

V/

Е

/

а

• 1

V

Г

/

V/

1 р

Г

Е

/

а

• 1

V

—

В итоге соотношение (1.1.5) даёт следующую наиболее удобную для прикладных расчётов формулу для вероятности полного простоя системы Ро :

Ро —

1 -р

Е + 1

1-р

+ р

Е

-1

1

1

1

Рис. 5. Вероятность полного простоя системы для случая Е = 1 при различных

значений параметра Р

Рис. 6. Вероятность полного простоя системы для случая Е = 3

Р0(5, р, 0) 0.917

Р0(5, р, 1) 0.833

Р0(5,р,2) 0.75

Р0(5,р,3)

0.667

Р0(5, р, 5)

Р0(5, р, 7) 0.583

Р0(5, р, 9) 0.5

Р0(5, р, 10) 0.417

Р0(5, р, 30) 0.333

Р0(5, р, 50)

0.25

Р0(5,р,100)

0.167

0.083

0

Рис. 7. Вероятность полного простоя системы для случая Е = 5

1 -Р

Е

Е

1 -Р

+ РЕ Г

Е

/

а

1

V

-1

(1.1.9)

Поведение этой величины в зависимости от значения параметра Р изображено на рис. 5-7.

Для контроля правильности результатов, полученных в результате этих расчётов, проверим полученное соотношение в двух предельных случаях, для которых соответствующие решения известны. В первом предельном случае, когда Е ^ 0 , соотношение (1.1.9), очевидно, переходит в известную формулу [6, 7]

-1-1

Р0 =

Г

/

Е

/

V/

а

• 1

V

как и следовало ожидать. Далее, сравнительно несложно проверить, что при Р^ 0

/

/

11т ^ Ех [а;^

1

Р^о 1 - Р

и тогда во втором предельном случае, когда Р ^ 0, это соотношение также переходит в известную зависимость Р0 = 1 - р модели классической СМО (по классификации М. Кендалла - модель М/М/1).

В итоге формула (1.1.2) для вероятностей Рк стационарных состояний

системы запишется в следующем наиболее удобном для дальнейших расчётов виде:

Рис. 8. Вероятности состояний системы для случая к=5, Е=3

0.32

Рк(5,3, р, 0.1) Рк(5,3 ,р, 1) Рк(5,3, р, 3) 024 Рк(5,3, р, 5) Рк(5,3, р, 7) Рк(5,3 ,р, 10)0.16 Рк(5,3, р, 30)

0.08

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

р

Рис. 9. Вероятности состояний системы для случая к=5, Е=3

Рк =р

Е+1 а

к - Е-1

Г , Л

1Р+1

1 -р

Е

1 -р

+рЕ ГV л) Е1

а

1

-1

(1.1.10)

; к - Е-1

Зависимости вероятностей состояний системы, определяемые соотноше-нием.(1.1.10), представлены на рис. 8-9.

1.2. Вероятностные характеристики многоканальной СМО

Перейдём к анализу многоканальных систем массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди. Предположим, что мы имеем многоканальную СМО с однородным бесконечным простейшим потоком заявок и очередью неограниченной длины. Как и выше, интенсивность

потока заявок равна А, а интенсивность обслуживания, то есть среднее число заявок, которые обслуживает один канал (прибор) в единицу времени, есть ц.

Точно так же, как и в случае одноканальной модели, общее время пребывания одной заявки в очереди ограничено некоторым случайным временем I со

средним значением I, и при этом V = ^. Граф состояний такого рода системы

массового обслуживания имеет вид, изображённый на рис. 10, число каналов в данном случае обозначено буквой т.

Данный граф состояний также представляет собой схему процесса гибели и размножения. В этом случае из общих выражений [6,7] для вероятностей предельных (стационарных) состояний системы, можно получить следующие соотношения:

_А А2 _ А3 Ат

р1 =_р0; р2 = п р0; р3 = Т р0; — рт = ~ р0;

ц 2 ц2 3!ц3 т !цт

А.т+1 Ут+2

рт+1 = ; т+1 Р0; Рт + 2 = — 2 т + 2 р0; •••

т!тцт+1 т!т2 цт+2

ут+Е ут + Е + 1

рт+Е = " Е т+ЕР0; рт + Е + 1 = " Е т + /•' / \Р0,

т!тЕ цт+Е т!тЕ цт+Е (тц + v)

ут+Е+2

рт+Е + 2 Е т + Е { \С ^ \Р0;

т!тЕ цт+Е (тц + v)(mц + 2 V)

ут+Е+3

рт+Е + 3 = " Е т + Е Г \7 ^ \7 о \Р0

т!т ц (тц + v)(mц + 2v)(mц + 3V)

Как и выше, введём теперь стандартные обозначения р и Р, тогда отсюда, очевидно, имеем

2 3 т

Р Р Р

Р1 =Р Р0; Р2 =—Р0; Р3 =—Р0; Рт =—Р0;

2 3! т!

2 ft 3// (m-l)fi mß

hd s

о

1 1

NJ Ol

m/u m¡u

m/j + v m¡u + 2v тц+3v

т+1

,т+2

Р

т + Е

_Р___ Р_

рт+1 = , р 0; рт+2 = 9р 0; — рт + Е ^

т! т т!т т!тЕ

Р 0;

рт+Е + 1 =

Р

т + Е + 1

т! тЕ (т + Р)

р о, рт+Е+2 ="

Р

т+Е + 2

т!тЕ (т + Р)(т + 2 Р)

Р0;

рт+Е+3 е

Р

т+Е + 3

т!тЕ (т + Р)(т + 2 Р)(т + 3Р)

Р0

или в наиболее общем виде

к

Р г

Рк = — Р0 при к < т; к!

Рк =

Р

.к

т !т

к-т

Р0 при т < к < т+Е;

(1.2.1)

Рк =

Р

к

т!т (т + Р)(т + 2Р)--- [т + (к - т - Е )Р]

Р 0 при к > т+Е.

Далее, действуя по алгоритму, предложенному выше, разделим числитель

пк -т -Е г^

и знаменатель третьего из этих соотношений на Р . Тогда получим

к

Р

Рк =Т7 Р0 при к < т; к!

Рк

Р

к

т !т

к-т

Р0 при т < к < т+Е;

Рк

Р

т+Е

а

к - т - Е

т! ^Е т

{ / \{ / \ { / ^ т/ +1|[^ + 2 1 — [ т/ + к - т-Е

V/

Р У1/Р

У

Р0

V,

Р

У

р

т+Е

а

к - т - Е

т! тЕ

/ \ т/п +1

р0 при к > т+Е, (1.2.2)

V/

Р

У к - т - Е

где (о) •, как и выше - символ Похгаммера. Тогда общая сумма вероятностей стационарных состояний системы имеет вид

2 3 т

р р р

Р0 +рР0 + — Р0 + —Р0 + + —ТР0 + 2! 3! т!

+ 1 т + 2 + 3 т+Е

р р р р

+-Р0 +—-у Р0 +—7Р0 +----Г^гР0 +

т!т

т!т

т!т

3

т!т

Е

р

т + Е

а

т! тЕ

/

\

Р0 +

р

т + Е

а

2

V/

т/ +1 /Р + 1

т! тЕ

7 / V / ЛР0 т/ +1|[ т/ + 2

у

V/

Р

/V/

Р

у

р

.т+Е

а

.3

т! тЕ

г / \/ / \/ /—\Р0 + = т/ +1 т/ + 2 т/ + 3

V/

р

/V/

р

Р

у

^2 3 т-1

1 р р р

1 + р + —+ — + ••• +

2! 3!

(т-1)!

Р0 +

р

т

т!

1 р р2

р

Е-1 Л

V

т щ

2

Е-1

т

Р0 +

р

т+Е

У

т!т

Е

1 +

а

т/ +1

/Р +1

+

а

2

+

а

3

+

/ / V / \7 / / Л/ / Л

^ +1 ^ + 2 ^ +1 т/ + 2 ^ +3

V/

р

р

У

V/

Р

Р

/V/

Р

Р0

р

т

ет-1 (р)+^ ч

(т - 1)!(т -р)

г \Е

Р

V т )

+

Р

т + Е

т!т

Е

1 +

а

/ / \

+

а

.2

V/

Р

/ / \

+

а

У1

т +1 т +1 т/ +1

V/

Р

/ / л

У 2

V/

Р

У 3

Р0 =

Р

т

вт-1 (Р) + ^ ч

(т - 1)!(т -р)

/ \Е

1 — 1 V т У

Р

.т + Е

да

.Е

I

а

.к

т!т | т/ +1

к=0 Цф

\ Ук

Р0.

В этом соотношении

2 т

вт (р)=1+ р + —+... + — ту ; 1! 2! т!

- неполная экспоненциальная функция (неполная экспонента). При этом в0 (р) = 1 . Ясно, что вт (р)—вР при т — да . Условие нормировки

да

I РI = 1, очевидно, даёт в этом случае аналогично п.1.1

I = 0

р

т

вт-1 (Р) + ^ ч

(т - 1)!(т -р)

1-

г \Е V т )

Р

т+Е

да

I

а

т!тЕ Iт/ + 1^

к=0 цф

У к

Р0

> =

Р

т

вт-1 (Р)+^ ч

(т - 1)!(т - р)

1 -

г \Е

I —I

V т У

+

Р

т+Е

т!т

_Е

Г( тР+1) е (а; тР+1л Р0=1

и тогда

>

<

>

+

<

Р0

р

т

вт-1 (Р)+^ ч

(т - 1)!(т -р)

1 -

г \Е Р

V т у

+

Рт+Е ( / \ ( / ^ + -Р-+1| Е1 [а; % +1

т!т

V/

У

V

Р

У

-1

(1.2.3)

Применим теперь к последнему слагаемому этого соотношения полученную выше рекуррентную формулу (1.1.8) для функции Г. Миттаг-Леффлера,

т.

2 = а =

Р/

принимая во внимание, что в данном случае 5:

Р"—/Р

тельно, ^^ = ^^. Тогда, очевидно, в конечном счёте получим

и следова-

да

I

а

1 т Р+1

Г( /Р+е (а; /Р+1

у к

т Р

Г

/т/I Е Га- т/

1/Р1 ЕГ;/Р

-

(1.2.4)

В итоге вероятность полного простоя системы Р 0 примет следующий вид:

Р0 =

Р

т

вт-1 (Р)+^ ч

(т - 1)!(т -р)

г \Е

Р

V т У

+

Р

т+Е-1

(т - 1)!т"

к

/

/

Г т/ |Е

ч/р1 Е

а

т

—

V

-1

(1.2.5)

Для одноканальной СМО (т=1) отсюда имеем

Р0 =

Е

1 -р Е 1-Р

< >Р) Е (а;>Р)-1

-1

<

1 -р

Е

Е

/

1 -р

+рЕ г

V

Е

а

1

-1

Р0(3, 4 ,р, 0) Р0(3, 4 ,р, П

0.917 0.833 0.75-

0.667 Р0(3,4 ,р, 2)0.583 0.5

Р0(3, 4 ,р, 3) Р0(3, 4 ,р, 5)

0.417" 0.333 -Р0(3,4,р, 7) 0.25

0.167 0.083 0

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

р

1.8

2.1

2.4

2.7

Рис. 11. Вероятность полного простоя системы для случая т = 3, Е = 4

3

Р0(3,4,р,10) Р0(3,4,р,15)

1

0.917 0.833 0.751-

0.667 Р0(3,4, р, 30) 0.583 0.5

Р0(3,4,р,50) Р0(3,4, р,70)

0.417" 0.333 -

Р0(3,4, р, 100) 0.25 0.167 0.083 0

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.4

2.8

3.2

3.6

Рис. 12. Вероятность полного простоя системы для случая т = 3, Е = 4 в согласии с соотношением (1.1.9).

2

р

Как и выше, для контроля правильности результатов, полученных в результате этих расчётов, проверим полученное соотношение в двух предельных случаях, для которых соответствующие решения известны. В первом предельном случае, когда Е ^ 0, соотношение (1.2.5) также переходит в известную зависимость [6, 7]

Р0

е

т -

1 (р)+

р

т-1

(т -1)!

Г

/

Е

/

V/

а;

—

V

-1

как и следовало ожидать. Далее, сравнительно несложно проверить, что при

р^ 0

/

/

мш ^ т/п |Е

V/

Р.

'1

а;

V

т

(1.2.6)

р^0 т -р

и тогда во втором предельном случае, когда Р ^ 0, это соотношение также переходит в известную формулу

Р0 =

е

т -

1 (р)-

р

т

(т - 1)!(т - р)

-1

модели многоканальной СМО (по классификации М. Кендалла - модель М/М/ш).

Зависимость полного постоя системы (1.2.4) и вероятностей стационарных состояний системы (1.2.1)-(1.2.2) от управляющих параметров системы для характерного значения числа обслуживающих каналов т = 3 и Е = 4 представлены соответственно на рис. 11, 12 (зависимость Р0) и рис. 13-15 (зависимость Рк ). Как видим, качественно эти зависимости близки изученным выше для случая одноканальной модели СМО.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чан Куанг Куи, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - М.: Наука, 1969. - 576 с.

2. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / Т.Л. Саати. - М.: Советское радио, 1971.- 510 с.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: Советское радио, 1972. - 552 с.

4. Ивченко Г.И. Теория массового обслуживания / Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко.- М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

5. Климов Г.П. Теория массового обслуживания / Г.П. Климов. - М.: Изд-во Московского университета, 2011.- 312 с.

6. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания / А.П. Кирпичников. - Казань, Изд-во КГУ, 2008.- 112 с.

7. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания / А.П. Кирпичников. - Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. - 200 с.

8. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций / М.М. Джрбашян. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

9. Гольдберг А.А. Распределение значений мероморфных функций / А.А. Гольдберг, И.В. Островский. - М.: Наука, 1970. - 592 с.

10. Кофман А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. - М.: Мир, 1965. - 302 с.

11. Кокс Д.Р. Теория очередей / Д.Р. Кокс, У.Д. Смит.- М.: Мир, 1966. - 218 с.

12. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания / Дж. Риордан. - М.: Связь, 1966. - 184 с.

13. Основы теории вычислительных систем / под ред. С.А. Майорова. - М.: Высшая школа, 1978. - 408 с.

14. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок. - М.: Мир, 1979. - 600 с.

15. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

16. Лившиц Б.С. Теория телетрафика / Б.С. Лившиц, А.П. Пшеничников,

A.Д. Харкевич. - М.: Связь, 1979. - 324 с.

17. Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания / В.К. Саульев. - М.: Статистика, 1979. - 96 с..

18. Феррари Д. Оценка производительности вычислительных машин / Д. Феррари. - М.: Мир, 1981. - 576 с.

19. Кёниг Д. Методы теории массового обслуживания / Д. Кёниг, Д. Штойан. - М Радио и связь, 1981. - 128 с.

20. Cooper R. Introduction to Queueing Theory / R. Cooper. - New York: Elsevier North Holland, Inc., 1981. - 347 p.

21. Матвеев В.Ф. Системы массового обслуживания / В.Ф. Матвеев,

B.Г. Ушаков. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 242 с.

22. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Алья-нах. - Л.: Машиностроение, 1988. - 223 с.

23. Бочаров П.П. Теория массового обслуживания / П.П. Бочаров, А.В. Печинкин. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.

24. Nain P. Basic Elements of Queueing Theory. Application to the Modelling of Computer Systems / P. Nain. - France: INRIA, 1998 - 110 p.

25. Атенсиа И.Н. Однолинейная система массового обслуживания с многомерным пуассоновским потоком и повторными заявками / И.Н Атенсиа [и др.] // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 11. - С. 123-138.

26. Головко Н.И. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока / Н.И. Головко, Н.А. Филинова // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 9. -С. 73-83.

27. Ивановский В.Б. Теория массового обслуживания / В.Б. Ивановский,

B.П. Чернов. - М.: ИНФРА-М, 2000. - 158 с.

28. Фомин Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности / Г.Ф. Фомин. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 142 с.

29. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами / Ю.И. Рыжиков. - СПб.: Питер, 2001. - 384 с.

30. Дудин В.М. Расчёт характеристик однолинейной системы обслуживания с групповым марковским потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером / В.М. Дудин, В.И. Клименок, Г.В. Царенков // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 8. - С. 87-101.

31. Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах / О.М. Тихоненко. - Минск: Технопринт, 2003. - 327 с.

32. Baccelli F. Elements of Queueing Theory / F. Baccelli, P. Bremaud. - Berlin: Springer-Verlag, 2004. - 245 p.

33. Назаров А.А. Теория массового обслуживания / А.А. Назаров, А.Ф. Терпугов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - 228 с.

34. Бочаров П.П. Однолинейная система массового обслуживания конечной ёмкости с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени / П.П. Бочаров, Е.В. Вискова // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 2. -

C. 73-91.

35. Крылов В.В. Теория телетрафика и её приложения / В.В. Крылов, С.С. Самохвалова. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 288 с.

36. Южаков А.А. Прикладная теория систем массового обслуживания /

A.А. Южаков.- Пермь: Изд-во ПГТУ, 2005. - 121 с.

37. Карташевский В.Г. Основы теории массового обслуживания /

B.Г. Карташевский. - М.: Радио и связь, 2006. - 86 с.

38. Назаров А.А. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А.А. Назаров, С.П. Моисеева. - Томск: Изд-во HTJI, 2006. -109 с.

39. Кузнецов А.В. Об одной модели управляемой системы массового обслуживания / А.В. Кузнецов, А.С. Мандель, А.Б. Токмакова // Проблемы управления. - 2007. - № 5. -С. 39-43.

40. Таранцев А.А. Инженерные методы теории массового обслуживания /

A.А. Таранцев. - СПб.: Наука, 2007.- 175 с.

41. Микадзе З.И. Об одной многоканальной смешанной системе массового обслуживания с ограниченным временем ожидания / З.И. Микадзе, И.С. Микадзе, В.В. Хочолава // Автоматика и телемеханика. -2007. - № 7. -С. 44-51.

42. Павский В.А. Теория массового обслуживания / В.А Павский. - Кемерово: Изд-во КТИПП, 2008. - 116 с.

43. Башарин Г.П. Лекции по математической теории телетрафика / Г.П. Башарин. - М.: Изд-во. РУДН, 2009. - 342 с.

44. Вольсков Д.Г. Визуализация процессов работы аэропорта на основе системы массового обслуживания и компьютеризации управления полётами / Д.Г. Вольсков, Г.Л. Ривин // Известия Самарского научного центра РАН. -2009. - Т. 11. - № 3 (2). -С. 424-429.

45. Головко Н.И. Система массового обслуживания с конечным накопителем и скачкообразной интенсивностью входного потока / Н.И. Головко,

B.В. Катрахов, Д.Е. Рыжков // Автоматика и телемеханика. -2009. - № 7. -С. 97110.

46. Степанова Н.В. Математическая модель торговой точки в виде системы массового обслуживания с отказами от постановки в очередь. Часть 1. Выходящий поток обслуженных требований / Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов // Вестник Томского гос. ун-та, Управление, вычислительная техник аи информатика.. -2009. - № 1 (6). -С. 59-68.

47. Назаров А.А. Стохастическая модель демографических процессов как автономная система массового обслуживания / А.А. Назаров, М.Г. Носова //

Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. -Т. 16. -Вып. 6. -С. 1098-1099.

48. Яшков С.Ф. Предисловие к тематическому выпуску «Столетие теории очередей» / С.Ф. Яшков // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. -С. 3-8.

49. Yue W. Advances in Queueing Theory and Network Applications / W. Yue, Y. Takahashi, H. Takagi. - New York: Springer Science+Business Media, 2009. - 315 p.

50. Голованов О.В. Моделирование сложных дискретных систем на ЭВМ третьего поколения / О.В. Голованов, С.Г Дуванов, В.Н. Смирнов. - М.: Энергия, 1978. - 160.с.

51. Alfa A.S. Queueing Theory for Telecommunications / A.S. Alfa. - New York: Springer Science+Business Media, 2010. - 238 p.

52. Назаров А.А. Исследование математической модели демографических процессов в виде пятифазной системы массового обслуживания / А.А. Назаров, М.Г. Носова // Вестник Сибирского гос. аэрокосмического ун-та имени академика М.Ф. Решетнёва. - 2010. - №. 1 (27). - С. 49-52.

53. Радченко Т.А. Методы анализа систем массового обслуживания / Т.А. Радченко [и др.]. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007. - 75 с.

54. Дупляков В.М. Выбор закона распределения входного потока заявок при моделировании системы массового обслуживания торгового предприятия / В.М. Дупляков, Ю.В. Княжева // Вестник Самарского аэрокосмического ун-та имени академика С.П. Королёва. -2012. - № 6 (37). -С. 102-111.

55. Абаев П.. Моделирование работы SIB-сервера с помощью системы массового обслуживания с гистерезисом и прогулками в дискретном времени / П.О. Абаев, Р.В. Разумчик // T-Comm-Телекоммуникации и Транспорт. -2012. - № 7. -С. 5-8.

56. Романенко В.А. Оптимизация управления технологическими процессами узлового аэропорта как системы массового обслуживания с нестационарными потоками и частичной взаимопомощью каналов / В.А. Романенко //

Управление большими системами. - М.: Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, 2012. - Вып. 36. -, С. 209-247.

57. Степанова Н.В. Математическая модель торговой точки в виде системы массового обслуживания с отказами от постановки в очередь. Часть 2. Поток заявок, отказавшихся от обслуживания / Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов // Вестник Томского гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 2 (19). -С. 51-58.

58. Абрамов П.Б. Оценка параметров систем массового обслуживания с учётом последействия в потоках обслуженных заявок / П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин // Успехи современной радиоэлектроники . -2013.- № 9.- С. 4548.

59. Абрамов П.Б. Существование и устойчивость решения систем дифференциальных уравнений для разомкнутых моделей систем массового обслуживания / П.Б. Абрамов, А.В. Леньшин // Вестник Воронежского ин-та МВД России. - 2013. - № 4. - С. 182-189.

60. Мокров Е.В. Модель системы облачных вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и групповым поступлением заявок / Е.В. Мокров, К.Е. Самуйлов // Т-Сотт-Телекоммуникации и Транспорт. - 2013. - № 11. -С. 139-141.

61. Княжева Ю.И. Повышение эффективности системы массового обслуживания торгового предприятия посредством численного статистического моделирования / Ю.В. Княжева // Вестник Новосибирского гос. ун-та. Социально-экономические науки. - 2014. - Т. 14. - Вып. 2. С. 83-100.

62. Ретивин А.Г. Гарантийная сервисная служба как системы массового обслуживания / А.Г. Ретивин, А.И. Пестряков, К.А. Павлычев // Вестник Нижегородского гос. инженерно-экономического ин-та. -2014. - № 4 (35.). - С. 107112.

63. Adan I. Queueing Systems / I. Adan, J. Resing. - Eindhoven, The Netherlands: Eindhoven University of Technology, 2015. - 182 p.

64. Bhat U.N. An Introduction to Queueing Theory. Modelling and Analysis of Application / U.N. Bhat. - Basel: Birkhäuser, 2015. - 339 p.

65. Смирнов С.Н. Введение в прикладную теорию массового обслуживания / С.Н. Смирнов. - М.: Гелиос АРВ, 2016. - 163 с.

66. Рыков В.В. Основы теории массового обслуживания / В.В. Рыков, Д.В. Козырев. - М.: ИНФРА-М, 2016. - 223 с.

67. Моисеев А.Н. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания / А.Н. Моисеев, А.А. Назаров. - Томск: Изд-во ТГУ, 2017. - 236 с.

68. Сущенко С.П. Математические модели компьютерных сетей / С.П. Сущенко. - Томск: Изд-во ТГУ, 2017. - 272 с.

69. Кирпичников А.П. Вероятностные характеристики открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание в очереди / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета - 2016. - Т. 19. - № 8. С. 123-126.

70. Кирпичников А.П. Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. - 2016. - Т. 19. - № 21. С. 144-147.

71. Кирпичников А.П. Расчёт коэффициента загрузки системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. - 2017. - Т. 20. - № 2. С. 88-92.

72. Кирпичников А.П. Среднее число заявок в очереди на обслуживание в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывание заявки в очереди / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета - 2017. - Т. 20. - № 6. С. 87-92.

73. Кирпичников А.П. Общее число требований, находящихся в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди / А.П. Кирпичников, Нгуен Тхань Банг, Чан Куанг Куи // Вестник Казанского технологического университета. - 2017. - Т. 20. - № 9. С. 93-96.

74. Бусарев М.И. Функция Миттаг-Леффлера в прикладных задачах теории массового обслуживания / М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - Т. 14. - № 22. -С. 155-161.

75. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука. ГРФМЛ, 1981. -632 с.

76. Грэхем Р. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. - М.: Мир, 1998. - 704 с.

77. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции /

A.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М.: Наука. ГРФМЛ, 1983. -664 с.

78. Смирнов Н..В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений / Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. - М.: Наука, 1969. - 312 с.

79. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения /

B. Феллер. - М.: Мир, 1964. - 498 с.

80. Боровков А.А. Теория вероятностей / А.А. Боро-вков. - М.:Эдиториал УРСС, 1999. - 472 с.

81. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука. ГРФМЛ, 1963. - 1100 с.

82. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. - М.: Наука, 1983. - 228 с.

83. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 420 с.

84. Советов Б.В. Моделирование систем / Б.В. Советов, С.А. Яковлев. - М.: Высшая школа, 2001. - 344 с.

85. Лоу А. Имитационное моделирование / А. Лоу, В. Кельтон. - СПб.: Питер, 2004. - 848 с.

86. Замятина Е.Б. Современные теории имитационного моделирования / Е.Б. Замятина. - Пермь: Изд-во ПГУ, 2007. - 120 с.

87. Строгалев В. П. Имитационное моделирование / В.П. Строгалев, И.О. Толкачева. - М.: МГТУ им. Баумана, 2008. - 296 с.

88. Шрайбер Т.Д. Моделирование на GPSS / Т.Д. Шрайбер. - М.: Машиностроение, 1980. - 592 с.

89. Томашевский В.Н. Имитационное моделирование в среде GPSS / В.Н. Томашевский, Е. Г. Жданова. - М.: Бестселлер, 2003. - 416 с..

90. Боев В.Д. Моделирование систем, Инструментальные средства GPSS WORLD / В.Д. Боев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 368 с.

91. Кудрявцев Е.М. GPSS World, Основы имитационного моделирования различных систем / Е.М. Кудрявцев. - М.: ДМК Пресс, 2004. - 320 с.

92. Бражник А.Н. Имитационное моделирование: возможности GPSS WORLD / А.Н. Бражник. - СПб.: Реноме: 2006. - 440 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Индивидуальный предприниматель Осипов А.Н. Компания «RBT.ru» 420101, Казань, ул. Академика Парина, 3

« ¿и- ^СПСЧ 2018 г.

АКТ О ВНЕДРЕНИИ

Компания RBT.ru представляет собой сеть розничных салонов бытовой техники и электроники, в составе региональной сети которой сертифицированный сервисный центр и 120 гипермаркетов на территории Урала, Сибири и Поволжья.

Настоящим актом подтверждается, что результаты диссертации Чан Квунг Куи «Многоканальные системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди» были использованы для наилучшей организации обслуживания клиентов в сети салонов розничной торговли компании RBT.ru. Математическая модель, представленная в диссертационной работе, позволяет достаточно гибко описать объекты подобного рода, поскольку в ней учитывается тот факт, что при длительном ожидании в очереди часть потенциальных клиентов может покинуть место торговли, не дожидаясь начала обслуживания. Принятые в соответствии с указанными рекомендациями меры позволили сократить финансовые издержки компании, вызванные неоправданным уменьшением количества клиентов при возрастании нагрузки со стороны входного потока.

Индивидуальный предприниматель Осипов А.Н.