Многочастотные колебания в электрическом генераторе на двух связанных контурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Купцова, Екатерина Валериевна

• Купцова, Екатерина Валериевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Купцова, Екатерина Валериевна

Содержание

2

Введение 4

Глава 1. Математическая модель автогенератора Ван-дер-Поля на двух связанных

контурах 19

1.1. Построение математической модели 19

1.2. Метод усреднения 22

1.3. Переход к системе с малым параметром 24

Глава 2. Усредненная система уравнений 26

2.1 Первый стандартный вид системы уравнений 26

2.2. Второй стандартный вид системы уравнений 37

2.3 Среднее значение почти периодической функций 43

2.4 Первая усредненная система 44

2.5 Вторая усредненная система 45

Глава 3. Особые точки усредненной системы 51

3.1 Особые точки первой усредненной системы 51

3.2 Особые точки второй усредненной системы 56

3.3 Исследование на устойчивость первой усредненной системы 59

3.3.1 Исследование устойчивости точки М0 (0,0) 62

3.3.2 Исследование устойчивости точки М^(0,р^) 65

3.3.3 Исследование устойчивости точки М2 (р^, 0) 68

3.3.4 Исследование устойчивости точки М3(р^, р22) 72

3.4 Исследование на устойчивость второй усредненной системы 75

2

77

3.4.1 Исследование устойчивости точки М0 ^9,0)

3.4.2. Исследование устойчивости точки M^(0; ^2) 78

3.4.3. Исследование устойчивости точки M2(^1; 0) 79

3.4.4. Исследование устойчивости двухчастотных колебаний 80

Заключение 83

Приложение 84

Список литературы 91

3

Введение

Актуальность темы. С развитием радиотехники в 20 веке исследования нелинейных колебательных систем стало занимать больше места в физике и технике. Изучение таких систем решало большое количество проблем по устойчивости и частоте колебаний [7]. Появились методы анализа нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при нелинейной части [8]. Изучая колебания напряжения в одноконтурном электрическом автогенераторе, Ван-дер-Поль разработал метод приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Многие задачи удается решить вводя в уравнение малый параметр и находя приближенное решение в виде степенного ряда по степеням малого параметра [32]. Этому методу и его обобщениям посвящено огромное количество научных исследований [33], [37], укажем, например, авторов Андронов А.А., Арнольд В.И., Бернштейн И.Л., Боголюбов Н.Н., Васильева А.Б., Волосов В.М., Гребенников Е.А., Колмогоров А.Н., Коломиец В.Г., Крылов Н.М., Ланда П.С. [35], Ломов С.А., Малкин И.Г., Мандельштам Л.И., Митропольский Ю.А., Мозер Д., Пуанкаре А., Стокер Смейл Хейл Дж., и др.

Многочисленные математические модели механических и электрических устройств рассмотрены [11], [12], например, в работах: Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний - М.: Физматгиз1959 [2], Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в методы в теории нелинейных колебаний - М.: Наука, 1974 [6], Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные

4

методы анализа нелинейных систем - М.: Наука, 1979 [13], Ланда П.С. Автоколебательные системы с конечным числом степеней свободы - М.: Наука, 1980 [27], Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний -М.: Гостехиздат, 1956 [31], Найфэ А. Методы возмущений - М.: Мир, 1976 [34] и др.

В данной работе рассматриваются автоколебания в автогенераторе на двух связанных контурах. Физическая задача предложена Непринцевым В.И., который изучал электрические автогенераторы на связанных контурах [14]. Математическая модель автогенератора на двух связанных контурах представляет собой систему двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1]. Непринцев В. пытался найти условия, при которых в автогенераторе могут быть устойчивые двухчастотные колебания (с несоизмеримыми частотами) [40]. В физических моделях колебания можно проследить с помощью осциллографа. Оказалось, что обычно в автогенераторе устанавливаются одночастотные колебания. Возникла гипотеза, что колебания в автогенераторе синхронизируются. Поскольку параметры автогенератора принимают континуум значений, то численным перебором вариантов исследовать задачу невозможно. Хейл Дж. В работе Integral Manifolds of perturbed differential systems. Ann. Math. 73, 1961, p. 496-531 рассматривал систему двух уравнений Ван-дер-Поля с малым параметром и ставил задачу выяснения всех возможных типов автоколебаний, но, на наш взгляд, в общем виде задача является слишком сложной. Поэтому актуальной задачей является аналитическое исследование автогенератора на двух связанных контурах [38].

5

Целью диссертационной работы является исследование видов возможных ограниченных автоколебаний (одночастотных, двухчастотных или многочастотных) в автогенераторе на двух связанных контурах Ван-дер-Поля, вопросы устойчивости колебаний, приближенное нахождение колебаний. Нахождение условий на параметры системы, обеспечивающих существование таких колебаний.

Методика исследований. В работе систематически используется метод усреднения Крылова - Боголюбова, который позволяет ответить на вопросы существования ограниченных решений и условиях их устойчивости без нахождения этих ограниченных решений, а также позволяет найти приближенные решения в аналитическом виде. Сначала получается математическая модель автогенератора в виде системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и приводится к безразмерной форме. Малый параметр вводится в виде малого возмущения характеристики нелинейного элемента. Оказалось, что нужно рассматривать два варианта задачи. Первый вариант при малых частотах колебаний в автогенераторе и более громоздкий вариант, когда в автогенераторе высокие частоты колебаний. Далее система сводится к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка - это облегчает переход к полярной системе координат и приведение уравнения к стандартному виду. Находится усредненная система [36]. Оказалось, что удается найти все стационарные точки усредненной системы и провести исследование колебаний на устойчивость.

6

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми, четко сформулированы и приведены строгие доказательства методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Наиболее существенные научные результаты:

1. Получена математическая модель автогенератора на двух связанных контурах Ван-дер-Поля в безразмерной форме.

2. Вычислены усредненные системы для колебаний, одна с малым сопротивлением в первом контуре, другая без предположения малости этого сопротивления [19].

3. Найдены стационарные точки усредненных уравнений.

4. Определен вид ограниченных автоколебаний - одночастотные либо двухчастотные [25].

5. Получены соотношения для коэффициентов системы, при которых ограниченные автоколебания являются асимптотически устойчивыми.

6. Найдены приближенные представления ограниченных автоколебаний.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер, но решается реальная физическая проблема о виде ограниченных автоколебаний в электрическом автогенераторе. Результаты могут быть использованы для расчетов параметров электрических схем с заранее заданными частотами автоколебаний [30].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многочастотные колебания в электрическом генераторе на двух связанных контурах»

Апробация работы.

Результаты докладывались:

7

Купцова Е.В. Условия асимптотической устойчивости двухчастотных колебаний в двухконтурном автогенераторе/ Е.В. Купцова//по материалам конференции Понтрягинские чтения — XXV. Воронежская весенняя математическая школа. 2014;

Задорожний В.Г. О задаче Коши для линейной системы дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка/В.Г. Задорожний, Е.В. Купцова// Воронежский Государственный Университет, Воронеж, 2017. - с.88-90 [16];

Задорожний В.Г., О моментальных функциях решения стохастической линейной системы дифференциальных уравнений/В.Г. Задорожний, Е.В. Купцова// сборник материалов Международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения Селима Григорьевича Крейна, Воронеж, 2017. - с.223-224 [17];

Купцова Е.В. Приведение уравнений электрического автогенератора к стандартному виду метода усреднения/ Приведение уравнений электрического автогенератора к стандартному виду метода усреднения/Е.В. Купцова// Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. науч. тр. междунар. конф. [24];

Купцова Е.В. Усредненная система для математической модели электрического автогенератора /Е.В. Купцова // Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения - XXVI. - Воронеж, Издательский дом ВГУ, 2015. -С. 123-124 [26].

8

Публикации по теме диссертации.

Основные результаты опубликованы в 10 работах, две из которых входят в список ВАК:

1. Задорожний В.Г. Математическое моделирование процессов в электрическом автогенераторе/В.Г. Задорожний, ВС. Купцов, ЕВ. Купцова//Вестник Воронежского государственного технического университета, т. 10, №1,2014. -с. 63-66 [15];

2. Купцова ЕВ. Первые приближения для колебаний напряжения в системе связанных электрических контурах Ван-дер-Поля /ЕВ. Купцова //Вестник Воронежского государственного университета, 2017. - С. 113-122 [23].

Из совместных публикаций научному руководителю принадлежат постановки задач, а все исследования проведены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, трех глав и заключения. Объем диссертации 96 страницах.

Краткое содержание диссертации

В первой главе строится математическая модель электрического автогенератора на

9

Здесь I - сила тока; и0 - напряжение; Ri, R2 - сопротивления; С1, С2 , Сз - емкости;

L1, L2 - индуктивности.

В этой схеме без ограничения общности вместо электронной лампы может стоять

транзистор.

Используя физические законы получается математическая модель, описывающая динамику изменения напряжений в контурах. В безразмерной форме система

уравнений имеет вид

п"1+Я1И'1 Й+(1+ kg)Mi+/-^2 = ^1/"+ Й(1 + кз)Г ,

уС2 /

^"2+^(1+

^1^3

^3

) ^2 + ^3^1 —

^2' + ^2

^3

^2

Здесь и1 - напряжение на индуктивности А1, а и2 - напряжение на индуктивности

А2, штрихами обозначаются производные по безразмерному времени.

Считаем, что сила тока / связана с напряжением и1 соотношением (аппроксимация многочленом третьего порядка)

^ — (s0 + ^)^1 + esi^2 — 8^2^3,

где - малый положительный параметр.

При этом система уравнений записывается в виде системы нелинейных уравнений

(1 — ^1s0 — 8^1(1 + 2s1n1 — 3s2n2))n" +

+ (Я1

C1 <L1

L1 Д C1

(1 + ^3)So) ^1 + (1 + ^3)H1 ^^^2 —

— ^18(2s1 — 6s2H1)n12 +

L1 ?

— (1 + Й3)(8 + 2S18U1 — 3S2SU2)u'1, C1

10

М2' + ^2

У^2

м2 -

^2

^1^3 Л ^з\

+у (1 ^-)^2 + ^3М1 =

= g /^!^3 (1 + 2SiUi - 3s2u2)^1.

Сз

Здесь в первом уравнении при второй производной стоит коэффициент, который играет важную роль. Рассматривается два случая.

1. Коэффициентом ^#1(1 + 2S]Mi — З^м^)^ можно пренебречь по сравнению с остальными. Это будет в случае малости й]_.

2. Данным коэффициентом не пренебрегаем.

В соответствии с этим приходится рассматривать эти случаи отдельно.

Вторая глава посвящена построению усредненной системы уравнений. Согласно методу усреднения систему сначала нужно привести к стандартному виду. Оказывается, что вычисления значительно сокращаются, если систему свести к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка

(4)

Ui — U

+^1' ^-(1 + ^з)+Я

+м

(1 + ^з)+^3^

13) +R

(1 + x-W-1

jO / Кз\

я& + Д1 + Э — я

+

(1 + K-)So +

(1 + ^0 +

+U1 [—^3^-1+^3(1 + ^3)у(1 +

^'3(25'1u1 — 3^2^2)^u1 +

(1)

11

+ [—18^2^3^^u'2u'' + 2^3^^{(2^ — 63'2щ)(м''2 + м'м(3)) — 6^2u'2u''} +

+ ^2

+ К^З^ 1^{—63'2u'3 + 3(2$i — 6^2щ)и'и'' + (1 + 2^щ —

35'2M2)u(3)}

+

6^2^3^^13

+ 25'3Ri(2.S'i — 63'2u1)u1u1' + ^3

Li

T^(1 + ^3)x

X {(2^ — 633ui)u'2 + (1 + 2^щ — 333u2)ui}] +

+Г (1 + ^^) ^ [^3^i(2^i — 6^2^1)м12

(1 + ^3)(1 + 23'1u1 — 33'2u2)u1

Уравнение (1) имеет вид

(4) . (3^ . '' t ' )

+ ^3^i + Д4М1 = 8/,

(2)

где н1, н2, н3, н4 - заданные числа, е - малый положительный параметр, / = /(т, п1, ^1, н", п(3)) - известная функция.

Выпишем характеристический многочлен уравнения (2)

А(р) = р4 + ^1р3 + ^2р2 + д3р +

Лемма. Многочлен А(р) с вещественными коэффициентами имеет корни

+t^1, +t^2 если и только если

н1 = н3 = 0, н2 = ^2 + ш2, а4 = ш2^2- (3)

Теорема 1. При выполнении условий (3) замена переменных

п1 = p1 cos(^1T — ф1) + р2 cos(^2T — ф2),

м2 = —Р1^1 sin(^1T — ф1) — р2ш2 sin(M2T — щ2), (4)

п3 = —р1^2 cos(^1T — ф1) — р2Ш2 cos(^2T — ф2),

= р1^3 sin(M1T — ф1) + р2ш2 sin(M2T — ф2),

12

где р1(т), р2(т), ф1(т), ф2(т) - новые неизвестные функции приводит уравнение

(2) к стандартному виду метода усреднения

—g/stH(^1T — ^1) ^1 =

^2 =

^2(^2-^1)

g/cos(^1t-^1)

^1 —

/ _ -g/COs(^2t-^2) ^2 Р2^2(^2-^1) '

Для исследования системы методом усреднения нужно вычислить усредненную

систему уравнений. Это наиболее громоздкая и трудоемкая работа.

Теорема 2. Усредненная система уравнений для амплитуд колебаний имеет вид

У'

X

Р1= 2^^12 1-3^2^-1 ^^1^з(1Р12+Р22)+^3^-1 ^(1 + ^з)Х ^2 — ^1 4 J С1 / J С1

X (^2Р2^2 ^^2 ^^2Р2^2) + ^3^1^2^^^^2 X

/3 3 X У /13/1

(4^1+ 2^2^2) + /(1 + ^2)^3 (1 + ^з) (— 2 + 4^2 (2

2^+^))-.

У

X

Р2=^^{-3^1 )^1^з(1Р22+Р12)+^3^4-1 )^1(1 + ^з)Х

X Д"2 +^^2Р1"2) + ^зЯА X

(4p2^2+2pM) + r(l+^3)S3 ^^(1 + ^3)(-2 + 4s2(2p22+P12))..

Введем обозначения

L

х У^3

— (1 + ^з) = В;

L1 ^2

= ^; ^(1 + кз) = Е;

C1

7

Я1

13

Теорема 3. Вторая усредненная система уравнений для амплитуд колебаний имеет

вид:

Pi ^(^2*\^[[Ғз(НВ + GE)(1 - B3R1F0) + ВзВ1(ҒВ + СЯ)] (-у) +

+ [-3^(WD - С) + ^2Й2(3 - 2В) - - С)] х

х + ^з[^(1 - ^зЯА) + R1[R(1 + ^з) + Ғз(^ - RiRGo)]]

х (у) - 6Уз^2(В + FR1) ^(F1^3 +^2^2^1) +

+ [[^3^2 (-3(5 + FRJ + Вз(3В.Я1(В + FRJ + R2(3^ + 2F)))] х

х1(рМ + р2<^)].

Ғ2 [[^з(ВО + СЕ)(1 - ҒзҒ1Е.) + 5зК1(ҒВ + СЯ)] (-^) +

+ [-3УзВ2(НС - С) + В2^2^2(3 - 2В) - 3GG2G2R2(GoR - С)] х

х (-^пт2 - ^т1) + ^з [^(1 - ^зЯА) + R1[R(1 + ^з) + Ғз(^ - RiRGo)]]

х - 6ҒзҒ2(Ғ + FR1) ^(ғ2^2 + ғ1^1^2) +

+ [рА (-3(5 + FR,) + Ғз(3Ғ.Ғз(Ғ + FRi) + R2(3^ + 2F)))] х

1

14

Третья глава посвящена нахождению приближенных ограниченных колебаний в автогенераторе и исследованию их на устойчивость.

Усредненные системы уравнений являются автономными системами уравнений в нормальной форме. Точки, в которых правые части уравнений обращаются в нуль, называются особыми точками системы.

Теорема 4. Если выполняются условия

^з^1 /^1 + ^1 /Тт^ + ^з

^1 ^2

^1(1 + Кз)$.^-1 = 0,

Li

(5)

С1

R1 Гт^^з(1 + ^з)+^зЯ

/ ^з\

^1

А1

-^з^-1 -

^3

-y(1+g

ТУз /^1(1 + Кз)У. = 0,

/ С1

(6)

^з(1 + ^з)+Я1 ^^1 /^1 + г(1+^3)-Я1 /у^2^з /^1(1 + ^з)^0 = ^1+^1.

\ ^2 \^1 х ^2^ \ ^2 \^1

(7)

(1 + (1 + ,

(8)

То первая усредненная система имеет четыре особые точки

Мо(О, 0), М1(0, Р2), Мз(рц,Р22),

где

у- (1 + Кз)^1 + X (1 ^з

Al

Li

= ^1

1

/з^2 (^/ӯ^з + 2^1^зУ4:1/11(1 + Кз) + м1^зЯ1Яз/^ +

15

^2 - ^з^-1

(9)

+У (1

у- (1 + ^з)^2 + (1 + ^3

7^(1 + ^з)/

Li

/3^2 + 2^3-S-1J^(1 + ^з) + ^2^3^1^2 j^ +

+У (1

Cim2-c2ni о

-----------. P22

C2mi-Ci^2 m1m2-^1^2^

a - - ^3^4?1j^(1 + ^3).c - '

d - У (1 +Зз).$3 jr(1 + ^3)' ^1 - ^ + ^^2 ^^1 Q^2 + C^,C1

b^1+d

2 '

н1 - н + ^^2^2 + ^^2 + ^^2,^2 - % + ^^2^2 + + ^^2,

a , 3^ - ,3 ? \ b^2+d

"2 - 2 + -8-^2 + ;^2 (2^2 + с)' C2 -

Аналогично находятся четыре особые точки второй усредненной системы.

Далее проводится исследование на устойчивость ограниченных колебаний.

Оказывается, нулевая точка неустойчива. Для других точек находятся условия

устойчивости.

Пусть

2(Л1м1-С1м1)

* _ ^ 2(Ai^i-Ci^ij ^о,5

2 —B1^2 + D1^2^i+F1^i

Теорема 5. Если выполняются условия (5) - (8),

16

^22^2 о о о о

—-----^1 —-—+ + ^1^22^2^1 + ^;Р22^2

X

з^1р22^2 с1^2 / ^1\ -?

^Г^-^_2-3(Р1+^)р22^]>0.

р41

Xhr+

(-^*+ (1 - ^)+ Т("2 + "2) + V- "2)) < 0

то при достаточно малых е > 0 автогенератор имеет асимптотически устойчивые

колебания напряжения, близкие к одночастотным колебаниям

2 (Ai Ci )

= ( 2(Ai-i-Ci-i) )0.5 ф \

1 (-BiM2 + DiM2M2 + FiM3) \^LiCi ф2).

Теорема 6. Если выполняются условия (5) - (8),

1

(^2 - ^2)

Л.

^ +

1 , ^1^1(^1"2

4

Р1'2^1

^1 + ^2'2Л Р1'2^^

+ (^2-^1^[(231+у)

2 31] ^-т]

1

X

^2(^1 - ^2)

С1 ^ - + (О1^2 - у) (р2'2"2 + Р1'2^1) +

Е1^2

4

^2'2^2

(Р2'2^2+РГ2)]+(^2Г^[(2^1+2Ғ1)^2-

1

2*1

М-^2)2 -

, ^1^2

+ 2^1 ^1 +—-—

1Г 3^ Е1^1

][-Т + 2^* 1^2^^]

>0,

1 ' л1^1

^1(^2 -^2) -2

+ (^1^2

- (р1'2"2 + р2'2^2) +

^1

+^^^ + —(р1

рГ2^1

X

+

1 ^1+^2 "1)] + (^2-^2)[

^2^1 ^^'1) - 2 ^1

1 Л1^2

+' ^2(^2 - ^2) -2

+ с*1

+ (^1^2 (^2'2^2+ рГ2^2)+

+

17

E _ . 7 7 J Р2*2^2 Г 1 / 1 \

+ ^(^2*2^3 + ^1*2^2)] + [-2^1 + + 2 ^1) ^2]) < °-

то при достаточно малых е > 0 автогенератор имеет асимптотически устойчивые колебания напряжения, при несоизмеримых числах ^1, ^2, близкие к двухчастотным колебаниям

_ ** / ^^1t \ ** ^^2t \

"1-^1cos(7ES -ф1) + ^2с°^(уЕЖ -ф2).

18

Глава 1. Математическая модель автогенератора Ван-дер-

Поля на двух связанных контурах

1.1. Построение математической модели

Рассмотрим электрическую схему автогенератора на двух связанных контурах

где I - сила тока; По - напряжение; Ri, R2 - сопротивления; Ci, С2, Сз - емкости;

Li, L2 - индуктивности.

В этой схеме без ограничения общности вместо лампы может стоять транзистор. /Ү/б'бп/б//л/??/бҮ/с/лб'л задача. Требуется определить такие значения

параметров автогенератора, при которых в автогенераторе устанавливаются устойчивые колебания напряжения с заданными (несоизмеримыми) частотами (D1 > <1)2 .

Выпишем законы Кирхгофа для напряжений в контурах

19

R1

(1.1)

— м

— МС3

+ + м,

+ мд2

Сз = О,

+ = 0.

и для токов в двух узлах

- ^1 - — О,

Сз

=-Lf7'3^/ = -L— i^i — 7'2, M^1 = ду^ м^2 —f7'2,

С3 Сз ^2

^R2 Д27'^2 , ^L2

= ^2

^2

где м = А —

^1 1 ^1

= f ,

^1 ^2 ^3 — О,

Первое из уравнений (1.1) запишем в виде

+ RJ1 + у / ^1^t ^^/(^ - ^L1 - ^2)^^ — 0.

Пусть п1 — — —, тогда уравнение принимает вид

-Hi + ^i(/ - t^) ^-/(/ - ^r-)^^ ^n/(^ - ^r- - ^2) df — 0.

Продифференцировав это уравнение по переменной t, получим

dM1 ^L- ^^- dJ J 7

L- 1 С- С3 С3 1 С- C3

Продифференцировав это равенство, получим

d2M1 , R- , м1 , м1 ,1 - d2^ 1 , 1 dJ

---- + I I I 2 — ^^ — + (---------------I--------------. dt2 L- dt----------------------------------------------------C-L--C3L--C3 dt 1 dt2 ^C--C3 dt

Введем безразмерное время т — -^== .

d^i ; 1 d2M- //1

Тогда — — n , -^- — п , где штрихи обозначают производные по

переменной т.

20

Уравнение принимает вид

Я1

^1^*1 А1^А1С1 \^1С1

1 \ 1

+ А1Сз)^1 + Сз''2^1^

1

1

/'

или

^1^1

^1

м"1 + ^1^'1

^1+(1+й"1

+ ^^1^'.2 = Я17" + УД^(^1- + ^^)7'.

Т-Т , С ДС

Пусть ^2 = ^3 = л1, / = у^'

С 2 Сз ^2С2

-/ ^2

п2 = t г .----, тогда уравнение запишем в

2 У^1С1

виде

н''1+^1П'1 /у1+(1+ кз)П1+у^3П2=^1/''+ )^1(1 + кз)/' . л! Li К2 Л! Ci

(1.2)

Рассмотрим второе уравнение системы (1.1)

11

н2 + ^2t2 + у J ^2 J(^ - - ^2) ^^.

Дифференцируя это уравнение дважды, получаем

d2n2 й2 ^п2 1 1

^t2 +Z2^^+i^^2+i1^3^1

^2 =

1 d/

С3

Перейдем к безразмерному времени т, получим

^2

^'2 ^^^^2 ^^1^1

^2^2 ^1^3

А1С1

+ 1 1

L С ^2 С

^2^3 ^3

и 2 +

1

^2^3

^^1^1 ^'

Поскольку

^2717с

1

^l^i I CiC^ I

^2^2 L1C3 \ ^2^

yiicj

Сз

^1^3

Сз

^2

21

(1.3)

то уравнение принимает вид

1.2 Метод усреднения

Одним из мощных методов исследования нелинейных систем является метод усреднения Крылова - Боголюбова.

Пусть X:й X й^ й^, е > 0 - малый вещественный параметр. Проведем

формулировку теоремы метода усреднения на всей числовой оси.

Теорема. Пусть функция У у), входящая в уравнение

-=ғтх),

(1.4)

удовлетворяет следующим условиям:

а) Уравнение первого приближения

(1.5)

в котором

Xo(f) = lim1jjx(t,^)^t,

(1.6)

имеет квазистатическое решение = <fo.

б) Вещественные части всех н-корней характеристического уравнения

Detip,-Х0(М1 =0

(1.7)

составленного для уравнений в вариациях

22

(1.8)

соответствующих квазистатическому решению ^0 , отличны от нуля.

в) Можно указать такую ^-окрестность точки 0, в которой

X (t, х) — почти-периодические функции t, равномерно по отношению * е D

г) Функция X(t, х) и ее частные производные первого порядка по х ограничены и равномерно непрерывны по отношению к t,x в области — ж < / < ж, х е .

Тогда можно указать такие положительные постоянные ', ,^1 , где ^0 < с1 <

е, что для всякого положительного <^' справедливы следующие утверждения:

1. Уравнение (1.4) имеет единственное решение л= л*^), определенное на всем интервале ^-ю, +ю), для которого

lx*M-fol<Co, -M<t<^, (1.9)

2. Это решение л* является почти периодическим с частотным базисом функции

л?-

3. Можно найти такую функцию , стремящуюся к нулю вместе с е, что будет иметь место

lx*(t)-fol<^), -^<t<^. (1.10)

Пусть л^) является любым решением уравнения (1.4), отличным от л*^), удовлетворяющим при некотором неравенству вида

lx(to)-fol<^o. (1.11)

23

Тогда, если вещественные части всех корней характеристического уравнения (1.7) отрицательны, расстояние ]х(?) - у*(;)] стремится к нулю для ; ж, причем

ix(t) — x*(t)l < Ce-^^(^-^o), (1.12)

где С и у — положительные постоянные.

Если вещественные части всех корней характеристического уравнения (1.7) положительны, то можно найти такое >^, что

1х(й)_ fol>^i- (1.13)

Если л вещественных частей рассматриваемых корней отрицательны, а остальные n — л положительны, тогда в о-окрестности точки о существует л - мерное точечное многообразие такое, что из соотношения х(^) е

вытекает экспоненциальное стремление к нулю (при / разности ]х(;) -^0], а из соотношения х(^) % следует справедливость неравенства

(1.13).

Уравнение (1,4) называется уравнением в стандартном виде для метода усреднения. Уравнение (1,5) называется усредненным уравнением.

1.3 Переход к системе с малым параметром

Считаем, что сила тока , связана с напряжением п1 соотношением (аппроксимация многочленом третьего порядка)

24

= (So + ғ)М1 + 8S1^2 —

где 8 — малый положительный параметр. При этом

= (s0 + ^ + 2s18H1 — 3s2en2)n1,

/'' = (2s18 — 6s2en1 )^12 + (s0 + 8 + 2s18n1 — 3s28^2)n1'.

Подставим эти выражения в уравнение (1.2), получим

(1 — ^1s0 — 8^1(1 + 2s1n1 — 3s2^2))n1' +

+ (Я1

С1

L1

(1 + ^3)So) Н1 + (1 + ^3)П1 + ^^^^2 =

(1.14)

= ^18(2s1 — 6s2n1)^12 +

L1

— (1 + кз)(в + 2S18U1 — 3s2bu2)u'1. C1

Уравнение (1.3) записывается в виде

^2' + ^2

У^2 '

^2 — ^2

^1^3 Л ^з\ ,

-^—So^1 +y (1 ^-)П2 + ^1 =

= (1 + 2S1U1 — 3s2U2)^1 .

(1.15)

Мы получили систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром (1.14), (1.15).

Неприятная особенность системы (1.14), (1.15) состоит в том, что коэффициент при н" отличен от единицы. Система не в нормальной форме. Далее мы рассмотрим два случая. В первом случае считается, что величиной 8^1(1 + 2s1n1 — 3s2^2) можно пренебречь. Во втором (более сложном случае) мы этой

величиной не пренебрегаем.

25

Глава 2. Усредненная система уравнений

2.1 Первый стандартный вид системы уравнений

Считаем, что величиной (е + 231еп1 — 332еп2)п1' можно пренебречь. Это

возможно при малых частотах ш1, ш2, так как = —^2cos^t и при малых

ш эта величина мала. При больших частотах эта величина не является

Введем обозначение

^^ = з3.

1 ^1^0

Получаем

U1' + ^3^1 /^1u1 + ^3(1 + ^3)^1 + ^3/^^U2 = ^3^1^(2^1 — 6^2^1)м12 + +33 /-1(1 + й3)(^0 + ^ + 25'1^u1 — 3^2^u2)u1,

У Г1

^2' + Й2/Ӯ^2м2 — /^й3^оМ' + у (1 + U2 + Й3^ =

= /—й3(ғ + 25'1^u1 — 3^2^u2)u1.

У Гз

малой.

(2.1)

Обозначим З3у = З^1. Из первого уравнения системы (1.3) находим п2.

Д*2

С

и2 = - 3433й1

Li

— 3433(1 + ^3)и1 + 34 З3й1е(25'1 — 632п1)п12

+

+5*3 /^1(1 + йз)(5о + е + 231еп1 — 332еп2)п! .

X С1

Найдем первую и вторую производную п2 и подставим во второе уравнение

системы (2.1).

26

м2 = ^^3) — 5453^.

5

c.

— И.' — 5453(1 + ^3)H. + L.

+54(53^.(—6852)n.3 + 253й.8(25. — 652^i)^1^1' +

+53

5

-r (1 + ^3){(25. — 652n.)8n.2 + (50 + 8 + 25.8м. — 3528n2)n.'} ). C. J

Вычислим вторую производную функции м2

м2' = —54м(4) — 5453R. — 5453(1 + R3)u.' +

JL.

+54[53R.(—18852)u.2u.' + 253R. x

X 8 {(25.u.' — 652(м.2 + м.м.')) м.' + (25. — 652u.)u.u(3)} +

+53 ^r(1 + R3)(—6528u.3 + (285. — 6528u.)2u.u.' + (25.8м. — 6528u.u.)u.' + A C.

+(50 + 8 + 25.8м. — 3528u2)u(3)) =

c

= —54м(4) — 5453R. к.м(3) — 5453(1 + R3)u.' + A L.

+54 [53R.(—18852)u.2u.' + 253R. {(285. — 6528м.)(м.'2 + м.и.3)) — 6528u.2u.'} +

+53 L^(1 + R3)[—6852u.3 + (25. — 652u.)28u.u.' + (25. — 652u.)8u.u.' + J C.

+(50 + 8 + 25.8м. — 3528u2)u(3)j.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы (2.1), получим

—54м(4) —м(3) 5453R.

E! ГС2

. k.+^2 Irr54

JL. J L2

27

+

+%1

[ 71 [Ci / ^зХ

—^1' ^4^3(1 + ^3)+^2 [^2^4^3^1 ^1 + x(1^3)^4

ГЕ2 Е1 / [71

— Й2 ^4^3(1+ ^3)—^4^3^1 ^^^(l^3)— ^;^3^0

+

+^ [^ — ^4^3(1 + ^3)Г (1 + ^)] = J

—1^'3(25'1^u1 — 3^2^u2)u1 —

С3

—^4 [—18^2^3^u'2u'' + 2^3^ {^(25i — 65'2^)(u''2 + u'u(3)) — 653^u'2u''} —

+53 ^r(1 + ^3){—6^2^и13 + 3^(251 — 65'2u1)u1u1' + л ^1

+(5'0 + ^ + 25'1^и1 — 35'2^u2)u(3)}j —

—^2^^2^4[—6^2^^3Я1м13 + 253^^(251 — 6^2u1)u1u1' +

Li

+5'3 Ң-(1 + ^'3){(25'1 — 65'2u1)^u12 + (^0 + ^ + 25'1^u1 — 35'2^u2)u1') — А ^1

—r (1 + 5'4 5'3^1 (^1(25'1 — 652^1)^1 + (1 + ^3)(5'о + ^ + 253^ — 3^2^^2)) .

2

Разделим на (—54), получим

u(4) — u(3) 5'3Я.

+^1

C1

C1 ^2 I "2

1 [^ + ^ [^2 —^1' ^3(1 + ^3) + ^2

[**7з [71 / ^3\

+

+M1

—^3^4-1+^3(1 + ^3)y(1+^3)

— Я2^Ӯ^2^3(1 + ^3)—^3^1

^1^3^0^4-1

^3

+

^'3(25'1u1 — 3^2^2)^u1 +

+ [— 185'25'3Я 1^u 12u 1' + 253R 1 {^(25'1 — 65'2u1 )(u 1'2 + u 1%(3)) — 65'2^u 12u 1'} +

28

—5^ к^(1 + ^3)^4 1{—65'2^и13 + 3(251 — 65'2u1)^u1u1' + (^о + ^ + 25'1^u1 — 3^2^^2)u(3)

—^2^^-^ [—65'25'3Я1^и13 + 25'3R1y(25'1 — 65'2u1)u1u1' +

L)

+5'3 кг (1 + ^'3){(25'1 — 6^2и1)^и'2 + (5'0 + ^ + 25'1^и1 — Зб^и^и!'} + А ^1

+к1+^)

Li

5'3Я1(25'1 — 65'2u1)^u12 + ^3 к;-(1 + ^'3)(5'0 + ^ + 25'1^u1 — 35'2^u2)u1 . А ^1

Линейные по м слагаемые перенесём влево, получаем:

u(4) — и(3) 5'3Я.

^Ci с2 .

1 к^ + ^2 [Гг + ^3 к1(1 + ^3)^0^4'1 J^1 J ^2 J^1

+и'' .$3(1 + Х3)+Я2<г^3Я1

+^1 ^2 <^"^3(1 + ^3) + ^3^1

1+^^)+]^'°'"-

—Г(1^3)^3 ^1(1 + ^3)^о +

+U1 [—^3^-' + ^3(1 + ^3)у (1 + g] = —J^3(2^^ — 3^2)^ +

(2.2)

+ [—18^2^3^^u'2u'' + 2^3^^{(2^ — 65'2^)(u''2 + U^U(3)) — 6^2u'2u''} +

—^3 !^1(1 + ^3)^-1^{—6^2u13 + 3(2^i — 6^2ui)u1u1' + (1 + 2^1u1 — 3^2и2)м(3)}

—6^2^3Я1и-3 + 25'3Я1(25'1 — 65'2u1)u-u-' + ^3

L1

тк(1 + ^3)х

^1

+

+ +

+

X {(25'1 — 65'2u1)u12 + (1 + 25'1u1 — 3^2u2)u1'}] + 29

+ ^2

М1+^)

^зЯ1(25'1 — 65'2м1)и12

L1

+ ^з (1 + ^з)(1 + 2^1U1 — 3^2^2)м1 .

J ^1

Уравнение (2.2) имеет вид

(4^ I (з^ I '' I 'i

+ Н1^ + Н2П1 + НзП1 + Н4П1 = 8/,

(2.3)

где а, =УзЯ1 /ӯ + ^2 /Ӯ^ + ^з /ӯс + ^з)^)^-1,

П2 = W + ^з) + Й2 /Ӣ^зЯ1 /Ғ + ^ (1 + ^3) — ^2 /Ӯ^^з /^(1 + ^з)^0,

"У ^2 "У^1 \ ^2 -уС1

с2

^з=^2 ^^^з(1 + ^з)+^з^1

2

А1

^з^-1 -

/ ^з \

тИ'+^

N

—Д1+^

)Уз +

/ С1

П4 = —Кз^-1 + ^з(1 + ^з)Г (1 + ^),

е - малый положительный параметр, / = /(т, п1, ^1, ^1', п(з)) - известная функция.

Выпишем характеристический многочлен уравнения (2.3)

А(р) = р4 + н1рз + а2р2 + нзр + н4.

Лемма. Многочлен А(р) с вещественными коэффициентами имеет корни

+t^1, +t^2 если и только если

н1 = нз = 0, а2 = + ш2, н4 = ш^ш2.

(2.4)

Доказательство. Действительно,

А(р) = (р — ;Ш1)(р + t^1)(p — t^2)(p + =

= р4 + (ш^ + ш2)р2 + ш^ш2.

Отсюда и следует утверждение.

30

Уравнение (2.3) запишем в виде системы уравнений

м. = М2,

м'2 = М3, (2.5)

м'3 = м4

м'4 = —а4м. — а3м2 — м2м3 — а.м4 + 8/.

Теорема. При выполнении условий (2.4) замена переменных

м. = р. cos(^.T — ф.) + р2 cos(^2T — ф2),

Й2 = —р.ш. sin(M.T — ф.) — Р2Ш2 sin(^2T — Ф2), (2.6)

м3 = —р.шЦ cos(^.T — ф.) — р2ш3 cos(^2T — ф2),

м4 = р.ш^ sin(M.T — ф.) + р2ш2 sin(^2T — ф2),

где р.(т), р2(т), ф.(т), ф2(т) - новые неизвестные функции приводит систему

(2.4) к стандартному виду метода усреднения

—8/$ш(ш.Т — ф.) р. =

' 8/зш(^ — Ф2)

Р2 =

Ш2(ш2 — ш2)

, 8/C0s(^.t — ф.)

7 2 ,

— ^2)

—8/cos(^2t — Ф2)

ф2 р2^М —^2) .

Доказательство. Сделав замену переменных (2.6) в системе (2.5), приходим к

системе уравнений

Р. cos(^.t — ф.) + р2 cos(^2t — ф2) + ф.р4.$ш(Ш1^ — ф.) +

+ф2р2^М(^ — ф2) = 0,

31

—^1^1Stn(^1t — ^1) — p2^2^^^(^2^ — ^2) + ^1^1^1cos(^1t — ^1) +

+ ^2^2^2^OS(^2^ * ^2) = 0,

^1^^cos(^1t — ^1) + p^2cos(^ — ^2) +

+^1^2^tn(^1t — ^1)^1 + p2^2^^^(^2^ — ^2)^2 = 0,

^1^3^tn(^1t — ^1) + ^2^2^^^(^2^ — ^2) —

— ^1^1^3COs(^1t — ^1) — p2P2^2COs(^ — ^2) = ^f-

Запишем полученный результат в матричном виде

где матрица И имеет следующий вид

/ cos(^1t — ^1)

—^1st^(^1t — ^1) ^2cos(^1t — ^1) \ ^3St^(^1t — ^1)

cos(^2^ — ^2) —^2<$Ш(^ — ^2) ^2COS(^2^ — ^2)

— ^2)

p1st^(^1t — ^1) p1^1cos(^1t — ^1) p1^2^t^(^1t — ^1) —p1^2cos(^1t — ^1)

P2^t^(^2^ — ^2) \

Р2^2СОЗ(^ — ^2)

Р2^2^^^(^2^ — ^2)

Полученную систему будем решать методом Крамера.

' Л1 ' ^2 ' ^3 ' ^4

где

cos(^1t — ^1)

—^1st^(^1t — ^1) ^2cos(^1t — ^1) ^2^tK(^1t — ^1)

cos(^2^ — ^2)

—^2^^и(^2^ — ^2) ^2COS(^2^ — ^2) ^2s^(^2f — ^2)

p1st^(^1t — ^1) p1^1cos(^1t — ^1) p1^2^t^(^1t — ^1) —p1^2cos(^1t — ^1)

P2<$m(^2f — ^2) P2^2^OS(^2^ — ^2) Р2^2^^^(^2^ — ^2) —P2^2COS(^2^ — ^2)

Ay - это определитель, который получается из определителя Л заменой j столбца,

столбцом из правой части системы уравнений.

32

Так как при умножении строк на константу и сложении строк поэлементно

определитель не меняется, то Л можно преобразовать следующим образом:

2

умножаем первую и вторую строку на <2 и вычитаем первую из третьей, а к

четвертой прибавляем вторую. Получаем

Л=

cos(<.t — ф.)

—<.srn(<.t — ф.)

0

0

cos(<^2t — ф2)

— — ф2)

(<2 — ^.)COS(^2t — ф2) (<2 — <^2)stH(<^2t — ф2)

p.St^(<.t — ф.) p.<.cos(<.t — ф.)

0

0

Р2^«2^ — ф2)

^2<2COS(<2t — ф2) Р2(<2 — <.)St^(<2t — ф2) Р2<2(—<2 + <.)cos(<2t — ф2)

Теперь третью строку умножаем на — <2—-------------- и складываем с четвертой

СО5(^2^-^2)

Получаем:

первый столбец второй столбец третий столбец четвертый столбец

/ cos(<.t — ф.)

—<.Stn(<.t — ф.)

0

0

cos(<2t — ф2) \

— <2S^^(<2t — ф2) ]

(<2 — <2)cOS(<2t — ф2) / 0

/ p.Stn(<.t — ф.) p.<.cos(<.t — ф.)

0

0

33

Получаем

^2^tn(^2^ — Р2)

^2^2COS(^2^ — ^2) Р2М — ^2)StR(^2^ — ^2)

,2 2./ . . . , —StR2(^2^ —^2)\

^2^2(^2 — ^1) (—^(^2С — ^2) +

/ —StR2(^2t —^2)\

Д= ^2^2(^2 — ^i) ( —cos(^2^ — ^2) +-т—;---т- ) X

\ COS(^ — ^2) /

cos(^1t — ^1)

X —^1stn(^1t — ^1)

0

cos(^ — ^2)

— ^2^^^(^2^ — ^2) (^2 — ^2)cos(^2^ — ^2)

^1stn(^1t — ^1) ^1^1cos(^1t — ^1) .

0

Введем обозначение

, .2 , -ЗШ2(^ — Р2)\

= Р2^2(^2 — ^1) (—— ^2)

тогда

Д= ^1(_1)(^2 — ^)cos(^ — ^2) X

X

cos(^1t — ^1) ^1stn(^1t — ^1)

—^1stn(^1t — ^1) ^1^1cos(^1t — ^1) '

Теперь обозначим

^2 = (_1)М — ^^)cos(^2^ — ^2),

тогда

Д= ^1^2(^1^1COS2(^1t — ^1) — ^1^1StR2(^1t — ^1)) = ^1^2^1^1.

В первоначальных обозначениях

/ —StR2(^2t —^2)\

Д= ^2^2 (^2 — ^2) ( —COS(^2^ — ^2) +--7 7------7" ) X

\ COS(^2^ — ^2) /

X (—1)(^2 — ^2)cos(^2^ — ^2)Р1^1.

34

Таким образом

4= Р1^1Р2^2(^2 - ^)2.

(2.8)

Посчитаем 41

0

41=

cos(^2^ - ^2)

- ^2)

^2cos(^ - ^2)

- ^2)

p1stn(^1t - ^1) p1^1cos(^1t - ^1) p1^2^tn(^1t - ^1) -p1^2cos(^1t - ^1)

P2^tH(^2^ - ^2)

P2^2^OS(^2^ - ^2)

Р2^2^^^(^2^ - ^2) -P2^2COS(^2^ - ^2)

0

0

Раскладываем по первому столбцу, получаем

41= -ef

cos(^ - ^2) -^2зш(^ - ^2) ^2cos(^2^ - ^2)

p1stn(^1t - ^1) p1^1cos(^1t - ^1) p1^2^tn(^1t - ^1)

Р2$ш(^ - ^2)

P2^2^OS(^2^ - ^2)

P2^2^^^(^2^ - ^2)

Первую строку матрицы умножаем на ^2 и вычитаем из третьей, получим

41= -ef

cos(^ - ^2) -^^"(^ - ^2) 0

p1stn(^1t - ^1) p1^1cos(^1t - ^1) P1(^2 - ^2)s^(^1f - ^1)

P2^tn(^2^ - ^2) P2^2^OS(^2^ - ^2) 0

Раскладывая и третьей строке, получаем

41= е/р1(^2-^2)^^^(^1^-^1)

cos(^2^ - ^2)

-^^"(^ - ^2)

P2^tn(^2^ - ^2)

P2^2^OS(^2^ - ^2)

Упростим выражение

41= -TfP2^2P1M - ^2)^^^(^1^ - Р1). (2.9)

По формулам Крамера получаем

P1 -g/stn(^1t-^1) <^i(<^-<^2) . (2.10)

Находим 42, 43,44

COs(^!t - ^1) 0 p2StK(^2^ - ^2)

42 — -- ^^) 0 Pi^icos(^it - ^^) P2^2^OS(^2^ - ^2)

^2COs(^!t - ^1) 0 - ^1) Р2^2У<^ - ^2)

-p1^3cos(^1t - ^^) -P2^2COS(^2^ - ^2)

35

= ^fP1P2

cos(^1t — ^1)

—^1st^(^1t — ^1)

^2cos(^1t — ^1)

st^(^1t — ^1) st^(^2t — ^2)

^1cos(^1t —^1) ^2cos(^2t —^2)

^2^t^(^1t — ^1) — ^2)

= ^fp1p2[^1^2cos(^1t — ^1){^2cos(^1t — ^1)st^(^2t — ^2) —

—^1st^(^1t — ^1)cos(^2t — ^2)} + ^1st^(^1t — ^1) X

X {^^(^f — ^1)st^(^2t — ^2) + ^1^2cos(^1t — ^1)cos(^2t — ^2)} +

—^2^tK(^2t — ^2){stK2(^1t — ^1) + cos2(^1t — ^1)} =

= ^fP2P1^1(^2 — ^2)srn(^2f — ^2),

A3 =

cos(^1t — ^1) —^1st^(^1t — ^1) ^2cos(^1t — ^1) ^2^tK(^1t — ^1)

cos(^2t — ^2) 0

—^2srn(^2t — ^2) 0 ^2^os(^2t — ^2) 0

— ^2)

P2^tK(^2^ — ^2) P2^2COs(^2f — ^2) P2^2^^^(^2^ — ^2) —P2^2cos(^2^ — ^2)

= —Ғ/Р2^2[—^2cos(^1t — ^1){stK2(^2^ — ^2) + COS2(^2f — ^2)} +

+^1{^2srn(^1t — ^1)st^(^2t — ^2) + ^1cos(^1t — ^1)cos(^2t — ^2)} —

—^1st^(^2t — ^2){^2st^(^1t — ^1)cos(^2t — ^2) — ^1st^(^2t — ^2)cos(^1t — ^1)}] =

= ^fP2^2(^2 — ^2)cos(^1t — ^1),

Л4 =

cos(^1t — ^1) —^1st^(^1t — ^1) ^2cos(^1t — ^1) ^2St^(^1t — ^1)

cos(^2f — ^2)

— ^2^^^(^2^ — ^2) ^2cos(^2^ — ^2)

— ^2)

p1st^(^1t — ^1) 0

p1^1cos(^1t —^1) 0 p1^2^tK(^1t — ^1) 0 —p1^2cos(^1t —^1)

= ^/^1[—^1^2cos(^1t — ^1){^1StK(^1t — ^1)st^(^2t — ^2) + ^2cos(^1t — ^1)cos(^2t — ^2)) —

—^3cos(^2t — ^2){stK2(^1t — ^1) — cos2(^1t — ^1)} +

—^1^2st^(^2t — ^2){^2st^(^1t — ^1)cos(^2t — ^2) — ^1st^(^2t — ^2)cos(^1t — ^1)}] =

= —^/(^2 — ^2)cos(^2t — ^2)p1^1.

Таким образом, получаем:

Л1= —^fP2^2P1(^2 — ^2)s;<^1f — ^1),

Л2= ^/P2P1^1(^2 — ^2)srn(^2f — ^2),

A3= ^fP2^2(^2 — ^2)cos(^1t — ^1),

(2.11)

A4= —^/(^2 — ^2)cos(^2^ — ^2)P1^1,

36

Найдем по методу Крамера ^2, ф., ф2

, _ g/Stn(^2t-^2) ^2 =

g/COs(^1t-^1)

ф. =

pi<^i(<^1-<^2)'

-g/COs(^2t-^2)

ф2 /2 2А '

^2 Р2^2(^2-^1)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

^2(^2-^1)

Теорема доказана.

2.2. Второй стандартный вид системы уравнений

Мы намерены исследовать систему уравнений (1.14), (1.15) методом усреднения. Тогда эту систему сначала нужно привести к стандартному виду, а затем строить усредненную систему уравнений. Это можно сделать, приведя систему уравнений второго порядка (1.14), (1.15) к системе уравнений первого порядка, однако количество аналитических преобразований уменьшается, если перейти к дифференциальному уравнению четвертого порядка.

Для определенности будем считать, что <. > <2 и эти числа не соизмеримы. Обратимся к уравнению (1.14). Рассмотрим коэффициент при м". Его запишем в виде

1 — й.30 — ей.(1 + 23. м. — 332м^) = а + еД.

Если величиной ей.(1 + 23.м. — 332м^) пренебречь нельзя, то выделим линейную часть относительно е выражения (а + еД)-.

37

. 1

+ ! —------g + o(g),

a2

Где о(е)- бесконечно малая высшего порядка относительно е.

Тогда

1 - Я1Я0 - еЯ1(1 + 2Я1п1 - 3Я2^2)-1 — (1 - Я1Я0)-1 -

-еЯ1(1 + 2Я1п1 - 3Я2п2)(1 - Я1Я0)-2 + о(е).

Отметим, что этот случай сложнее, чем первый случай, но многие расчеты,

проведенные для первого случая используются и в этом более сложном случае.

Умножим уравнение (1.14) на

(1 - Я1Я0)-1 - еЯ1(1 + 2Я1п1 - 3Я2^2)(1 - Я1Я0)-2

и введем обозначения

Я1

- T^3

— (1 + кз) —Д; ^ —D;

L1 ^2

L1

-^(1 + кз) —E;

C1

N

Я2

P; y(l + g) = G;

^1^3

——H.

N

В этом случае система уравнений (1.14) и (1.15) примет вид:

(+ Bu! + Du2 — Я![^(2^! - 6s2U!)u!2 + (s0 + ^ + 2s!^U! - 3s2^u2)Ml] +

{ +E[(s0 + Ғ + 2s!^U! - 3s2^u2)u1] (2.16)

( м2' + Fu2 + Gu2 + k3u! — H[(s0 + ^ + 2s!^u! - 3^2^и2)м!].

Найдем u2 из первого уравнения системы:

1

н2 — — [Я1[е(2^1 - 6s2n1)n12 + (s0 + е + 2s1gn1 - 3s2en2)n1'] +

+E[(s0 + е + 2s1en1 - 3s2en2)n1] - н" - Л^1 - Вп1].

(2.17)

Найдем первую и вторую производные выражения (2.17):

38

+2^!е(м!м!' + м!м!'') — 3^2е(2м!м!м!' + м^м"')] + F[(sQ + е)м!' +

+2^!е(м!2 + м!м!') — 3$2^м!(2м!2 + м!м!')]—м!'' — Лм!' — Вм!];

м2' [Й1[4$1€(м"2 + м!м!'') — 6^2е(5м!2м!' + м!м!'2 + м!м!м!'') +

+(sQ + е)м^^ + 2^!е(м!'2 + 2м! м!'' + м!м^^) —

—3$2€(2м!2м" + м!м!'2 + 3м1м'_м1''+м2м1^)] +

+E[(sQ + е)м!'' + 2^!е(3м!м!' + м!м!'') — 3^2е(2м!3 + 5м!м'м" + м^м!'')] — —м^ — Лм!'' — Вм!'].

Подставим полученные выражения в систему (2.16) и получим дифференциальное

уравнение четвертого порядка:

"2 + м!м!'') — 6$2€(5м!2м" + м!м!'2 + м!м!м!'') + (sQ + е)м^^ +

+2^!е(м!'2 + 2м! м!'' + м!м^^) — 3^2е(2м!2м!' + м!(м!'2 + 3м!м!'')+м2м1^)] +

+E[(sQ + ^)м"' + 2^!е(3м!м!' + м!м!'') —

—3^2е(2м!3 + 5м!м!м!' + м^м"') — м^^ — Лм"'—Вм"] +

+F — [^![4^!ем!м!' — 6^2е(м!3 + 2м!м!м!') + (sQ + е)м!'' +

+2^!е(м!м!' + м!м!'') — 3^2е(2м!м!м!' + м^м"')] +

+E[(sQ + е)м!' + 2^!е(м!2 + м!м!') — 3^2е(2м!м!2 + м^м!')] —

—м!'' — Лм!' — Вм!] +

39

+E[(sQ + g + 2s1^M1 - 3s2e^2)^1] - м" - Л^1 - B^1]]]+^3^1 =

= H[(sQ + е + 2s1e^1 - 3s2e^2)^1].

Введем обозначение s3 = (^1sQ - 1)-1 . После преобразований, получаем

+ м"'(-Fs3sQ + As3 - Fs3^1sQ + Fs3)+^1'(Bs3 - Fs3EsQ + Fs3A -

—G^3^1SQ + GS3) + м.1^3(—HD$Q + FB + GE^Q + GA)+%1(G$3B + ^3^3)—

= [s3 - ^S2(^! + 2^!^! - 3s2M^)] {[^1[4s1^(u1'2 + ^1^1'') - 6s2^(5u12u1' + U1u1'2 + UlU'-Ui') + 2^^(u''2 + 2u'u''' + UiU^v) - 3s2^(2u'2u'' + ^u''2 + 3^u'u'''+u2ulV)] + E[2^^(3u'u'' + +U]Ui') - 3s2^(2u'3 + 5^u'u'' + u^u''')]] + F [1 [^[4^^u'u'' - 6s2^(u'3 + 2^u'u'') + +2^^(u'u'' + ^u''') - 3s2^(2^u'u'' + u^Ui')] + E[2^^(u'2 + ^u'') - 3s2^(2^u'2 +

+u2u'')]] + G [1 [^[^(2^ - 6s2^)u'2 + (2$i^Ui - 3s2^u2)u''] +

+E[(2^^^ - 3s2^u2)u']]jj -^D[(2^^^ - 3s2^u2)u']).

Уравнение (2.18) имеет вид

(4) .— (3) .— '^ ^— ' t —

+ ^3^1 + = ^Л,

(2.18)

(2.19)

Где . = -Fs3sQ + As3 - Fs3^1sQ + Fs3,

. = BS3 - FS3ESQ + FS3A - G^3^1SQ + GS3,

G.3 — ^3(—HD$Q + FB + GE$Q + GA),

a4

(3)

= Gs3B + ^3s3, e - малый положительный параметр, /1 = /1(т, ^1, ^1, ^1', )) -

известная функция.

Уравнение (2.19) запишем в виде системы уравнений

м1 = %2,

м'2 = ^3, (2.20)

40

*и'з = ^4'

п'4 = —а4п1 — а3й2 — ^2^3 — %iM4 + ^/1-

Теорема. При выполнении условий (2.18) замена переменных

п1 = p1 cos(^1T — ф1) + р2 cos(^2T — ф2),

Й2 = —P1^1 sin(^1T — Ф1) — P2^2 sin(^2T — Ф2), (2.21)

П3 = —р1^1 cos(^1T — ф1) — р2^2 cos(^2T — ф2),

н4 = Р1^3 sin(M1T — ф1) + р2^2 sin(M2T — ф2),

где р1(т), р2(т), ф1(т), ф2(т) - новые неизвестные функции приводит

уравнение (2.19) к стандартному виду метода усреднения

—g/1StH(^1T — ^1) ^1 * 7 7\ ,

^1(^2 — ^2)

Р2 =

g/1Srn(<^2T-P2)

^2(^2-^1) ,

(2.22)

g/1C0s(^1T-^1)

^1 pi^i(^2-^1),

-g/1COS(^2T-^2)

^2 Р2^2(^2-^1) .

Доказательство. Сделав замену переменных (2.21) в системе (2.20), приходим к

системе уравнений

p1 cos(^1T — ^1) + р2 cos(^2T — ^2) + ^1p1st^(^1T — ^1) + +^2^2^^^(^2^ — ^2) = 0,

—p1^1StH(^1T — ^1) — р2^2^^^(^2^ — ^2) + ^1p1^1COs(^1T — ^1) + p2P2^2COS(^2f — ^2) = 0, (2.23)

P1^COS(^1T — ^1) + p2^2cos(^2f — ^2) +

41

+^1P1^1S^(^1T - ^1) + ^2^2^2^^^(^2^ - ^2) — 0,

^1^3Stn(^1T - ^1) + ^2^2^^^(^2^ - ^2) -

-^1^1^3COS(^1T - ^1) - ^2P2^2COs(^2f - ^2) — .

Полученную систему решаем методом Крамера. Основной определитель системы

имеет вид

cos(^!T - ^!) -^!St^(^!T - ^!) ^2COs(^!T - ^!) ^3^^и(^!Т - ^!)

COS(^2T - ^2) -^2^^^(^2Т - ^2) ^2COS(^2T - ^2) ^2s^(^2*T - ^2)

- ^1)

^^cos(^T - ^) ^^2^tK(^T - ^1) -^^3COs(^T - ^)

P2<sm(^2T - ^2) P2^2^OS(^2T - ^2) P2^2^^^(^2^ - ^2) -P2^2COS(^2T - ^2)

Умножим первую строку определителя на -^ и прибавим к третьей строке, затем

умножим вторую строку на и прибавим к четвертой, получим

д=

cos(^t - ^1)

-- ^1)

0

0

cos(^2t- ^2)

- P2)

(^2 -^2)сО^(^2^-^2) (^2 - - ^2)

- ^1) ^^cos(^t - ^) 0

0

Р2^(<^ - ^2)

Р2^2СО^(^2^- ^2) ^2(^2 - <^2)stn(<^2t - ^2) P2^2(-^2 + <^2)COS(<^2t - ^2)

— Pi^iP2^2(^2 - ^1)2

Посчитаем 41

0

41—

COS(^2^ - ^2) -^2^(^ - ^2) ^2COS(^2^ - ^2) ^2stn(^2^ - ^2)

^1stn(^1t - ^1) ^1^1cos(^1t - ^1) ^1^3Stn(^1t - ^1) -^1^3cos(^1t - ^1)

^2Stn(^2^ - ^2) ^2^2COS(^2^ - ^2) ^2^2^^^(^2^ - ^2) -92^2COS(^ - ^2)

0

0

— ^f^2^2^1(^l - ^2)s^(^1f - ^1).

Тогда

-g/Stn(^1T-^1)

<^1(^2-^1)

Аналогично находим остальные уравнения системы (2.23), где

42— Ғ/Р2Р1^1(^2 - ^3)зш(^ - ^2),

4з— ^2^2(^1 - ^2)C0S(^1t - ^1),

42

^4 = —(^2 — ^2)COS(^2^ — ^2)^!^!.

Теорема доказана.

2.3 Среднее значение почти периодической функции

Для исследования нашей задачи методом усреднения нужно найти усредненную

систему для уравнений (2.10) и (2.12) [28]. Напомним, что средним значением почти периодической функции f: й называется

М(Л = lim ДД(t)dt. (2.24)

Отметим важные свойства среднего значения:

1. Если /^t^=C=COM^t, то

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Купцова, Екатерина Валериевна, 2018 год

Список литературы:

1. Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей: Учебное пособие для вузов/В. С. Андреев. - М.: Радио и связь, 1982. - С. 280;

2. Андронов А. А. Теория колебаний/А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. -М.: Физматгиз, 1981.- С. 568;

3. Бибиков Ю. Н. Об устойчивости положения равновесия осциллятора при периодических возмущениях/Ю. Н. Бибиков. - Матем. заметки, 2014. -С. 947-950;

4. Бибиков Ю. Н. Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний /Ю. Н. Бибиков. - Матем. заметки, 1999. - С. 323335;

5. Бирюк Н. Д. Основы теории параметрических радиоцепей: монография/Н. Д. Бирюк, В. В. Юргелас. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. - С. 346;

6. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. -М.: Наука, 1974. - С. 410;

7. Бокк О. Ф. Теория колебаний (на примере автогенератора)/О.Ф. Бокк, С. В. Слипко. - Воронеж: Изд.-во ОАО "Концерн "Созвездие", 2008. - С. 80;

8. Боровских А.В. Исследование релаксационных колебаний с помощью конструктивного нестандартного анализа I/А. В. Боровских// Дифференциальные уравнения, 2004. - С. 291-298;

91

9. Боровских А. В. Исследование релаксационных колебаний с помощью

конструктивного нестандартного анализа. II/А. В. Боровских//

Дифференциальные уравнения, 2004. - С. 455-464;

10. Боровских А.В. Уравнение Ван-дер-Поля с кусочно-линейной

характеристикой нелинейного элемента/А. В. Боровских, А.М. Халилов// Дифференциальные уравнения, 2010. - С. 1668-1669;

11. Горохов С. Ф. Автоколебательные цепи. Лекции по курсу "Теория нелинейных электричеких цепей". /С. Ф. Горохов. - М. 1974. -148 с.

12. Горохов С. Ф. Генерирование колебаний в цепях с нелинейными реактивностями/С. Ф. Горохов. - М. 1968. - С. 65;

13. Гребенников Е. А Конструктивные методы анализа нелинейных систем/ Е. А. Гребенников, Ю. А. Рябов. - М.: Наука, 1979.- С. 432;

14. Задорожний В. Г. Асинхронные колебания в двухконтурном автогенераторе/В. Г. Задорожний, В. И.Непринцев, А. А.Кузнецов//Вестник ВГУ, сер. Системный анализ и информационные технологии, №1, 2007. - С. 133-138;

15. Задорожний В.Г. Математическое моделирование

электрическом автогенераторе/В.Г. Задорожний, В.С.

Купцова//Вестник Воронежского государственного

процессов в

Купцов, Е.В.

технического

университета, т.10, №1,2014. - С. 63-66;

16. Задорожний В.Г. О задаче Коши для линейной системы дифференциальных

уравнений с частными производными первого порядка/В.Г. Задорожний, Е.В.

92

Купцова// Воронежский Государственный Университет, Воронеж, 2017. - С. 88-90;

17. Задорожний В.Г., О моментальных функциях решения стохастической линейной системы дифференциальных уравнений/В.Г. Задорожний, Е.В. Купцова// сборник материалов Международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения Селима Григорьевича Крейна, Воронеж, 2017. -С.223-224;

18. Задорожний В.Г. Усреднение системы дифференциальных уравнений для автогенератора на трех связанных контурах Ван-дер-Поля/ В.Г. Задорожний, А.В. Попов //Дифференциальные уравнения, 1999. - С. 1580;

19. Задорожний В.Г. Колебания в электрическом автогенераторе на двух связанных контурах /В.Г. Задорожний, Е.В. Купцова, В.И. Непринцев //Физико-математическое моделирование систем : материалы 7-го Международного семинара. - Воронеж, 2011. - Ч.3. - С. 220-224;

20. Корнев С.В. Асимптотическое поведение решений дифференциальных включений и метод направляющих функций/С.В. Корнев, В.В. Обуховский// Дифференциальные уравнения, 2015. - С. 700-705;

21. Корнев С.В. Метод обобщенной интегральной направляющей функции в задаче о существовании периодических решений дифференциальных включений/С. В. Корнев// Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика, 2015. - С. 16-31;

93

22. Корнев С.В. О локализации метода направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений/С.В. Корнев, В.В. Обуховский// Изв. вузов. Матем., № 5,2009. - С. 23-32;

23. Купцова Е.В. Первые приближения для колебаний напряжения в системе связанных электрических контурах Ван-дер-Поля /Е.В. Купцова// Вестник Воронежского государственного университета, 2017. - С. 113-122;

24. Купцова Е.В. Приведение уравнений электрического автогенератора к стандартному виду метода усреднения/ Приведение уравнений электрического автогенератора к стандартному виду метода усреднения/Е.В. Купцова// Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. науч. тр. междунар. конф.;

25. Купцова Е.В. Типы ограниченных колебаний в автогенераторе Ван-Дер-Поля на двух связанных контурах /Е.В. Купцова // Современные тенденции развития науки и технологий: периодич. науч. сб. по материалам XIII Международной научно-практической конференции, 30 апр. 2016 г. Белгород, 2016 . № 4-1- С. 27-39;

26. Купцова Е.В. Усредненная система для математической модели электрического автогенератора /Е.В. Купцова // Современные методы теории краевых задач: материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения - XXVI. - Воронеж, Издательский дом ВГУ, 2015. - С. 123-124;

94

27. Ланда П.С. Автоколебательные системы с конечным числом степеней свободы/П.С. Ланда. -М.: Наука, 2016. - С. 360;

28. Левитан Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения./Б.М. Левитан , В.В. Жиков. - М., Изд-во Моск. ун-та, 1978. - С. 205;

29. Колесов А.Ю. Релаксационные колебания в математических моделях экономики/А.Ю. Колесов , Ю.С. Колесов. - М. Наука. 1993;

30. Майдановский А.С. Двухчастотный автогенератор/А.С. Майдоновский. -Томский государственный университет, Томск, 2012. - С. 35;

31. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/И.Г. Малкин. -М.: Гостехиздат, 2004. - С. 496;

32. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания/Е.Ф. Мищенко. - М., Наука, 1975. - С. 247;

33. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы в нелинейной механике /Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1969. - С. 382;

34. Найфэ А. Методы возмущений/А. Найфэ. - М.: Мир, 1976. - С. 450;

35. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания/Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. - М., Наука, 1987. - С. 422;

36. Олейник О.А. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой/О.А. Олейник , Т.А. Шапошникова// Дифференциальные уравнения, 1998, №5, - С. 647-661;

95

37. Попов А. В. Многочастотные колебания в связанных системах нелинейных

автогенераторов: Диссертация. канд. физ.-мат. наук: Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения /А.В. Попов//Воронежский государственный университет, Воронеж, 2003. — С.115;

38. European Nonlinear Oscillations Conference. Prague, September 9-13, 1996. -p. 157-160;

39. Kuptsova E. Analysis of vibrations in electrical oscillator on two connected contours /E. Kuptsova //Modern problems of Mathematics, Mechanics and Computer Science. - Voronezh: Istoki, 2013. - P. 25-29;

40. Neprintsev V.I., Zadorozhnij V.G., Lobanov S.N. Realisation of asynchronous two-frequency auto-oscillations in two-countour Van-der-Pol's scheme/V.I. Neprintsev, V.G. Zadorozhnij, S.N. Lobanov// Euromech - 2 nd.

96