МГД-ВОЛНОВОД ВО ВНЕШНЕЙ МАГНИТОСФЕРЕ И МЕХАНИЗМЫ ЕГО ВОЗБУЖДЕНИЯ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, кандидат наук Чуйко Даниил Александрович

• Чуйко Даниил Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Чуйко Даниил Александрович

Введение

1. МГД-волновод во внешней магнитосфере

1.1. Параметры магнитосферы и солнечного ветра обуславливающие существование волновода

1.2. Одномерно неоднородная модель волновода

1.2.1. Краткое описание модели

1.2.2. Основные уравнения

1.2.3. Граничные условия в магнитосфере и солнечном ветре

1.2.4. Приближение ВКБ

1.2.5. Собственные частоты и собственные моды

1.3. Двумерно неоднородная модель волновода

1.3.1. Введение азимутальной неоднородности

1.3.2. Приближение ВКБ по азимуту

1.3.3. Собственные частоты и собственные моды

1.4.Заключение к Главе

2. Возбуждение собственных мод МГД-волновода неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца

2.1. Эффекты конечного значения параметра а

2.2. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца как неустойчивость собственных мод

2.2.1. Решение дисперсионного уравнения

2.2.2. Инкремент неустойчивости с учетом альфвеновского резонанса

2.2.3. «Пересоединение» мод

2.2.4. Пространственная структура мод

2.3. Заключение к Главе

3. Возбуждение собственных мод МГД-волновода гидромагнитными волнами, проникающими из солнечного ветра

3.1. Задача о падении и отражении волны

3.1.1. Основные уравнения

3.1.2. Определение коэффициента отражения

3.2. Проникновение волн в магнитосферу

3.2.1. Исследование коэффициента отражения

3.2.2. Поток энергии и мощность накачки

3.3. Заключение к Главе

4. Распределение энергии колебаний вдоль МГД-волновода

4.1. Погонная плотность энергии вдоль волновода

4.2. Азимутальная зависимость инкремента неустойчивости

4.3. Азимутальная зависимость мощности накачки

4.4. Уравнение переноса энергии и его аналитическое исследование

4.5. Распределение энергии пульсаций Рс3 и Рс5

4.5.1. Механизмы генерации пульсаций Рс3 и Рс5

4.5.2. Распределение энергии для второй моды диапазона Рс3

4.5.3. Распределение энергии для нулевой моды диапазона Рс5

4.6. Заключение к Главе

Заключение

Список литературы

Введение

Магнитосфера Земли является крупномасштабной плазменной структурой, динамика которой определяется изменением параметров потока солнечного ветра и ориентацией межпланетного магнитного поля [Borovsky et al., 1998; Watanabe and Sato, 1990]. Поступление энергии в магнитосферу происходит при ее взаимодействии с солнечным ветром. Часть этой энергии расходуется на генерацию магнитосферных токовых систем, высыпание частиц в ионосферу и конвекцию магнитосферной плазмы. Другая часть этой энергии запасается в хвосте магнитосферы, с последующим ее высвобождением во время суббури [Зелёный, 1986; Carovillano and Siscoe, 1973; Dessler and Parker, 1959; Coronity and Kennell, 1972].

Одним из наиболее известных механизмов взаимодействия солнечного ветра и магнитосферы является пересоединение геомагнитного и межпланетного (ММП) магнитных полей, которое может происходить в лобовой части магнитосферы когда в ММП присутствует южная Bz компонента, антипараллельная геомагнитному полю [Пудовкин и Семёнов, 1985; Coronity and Kennell, 1972]. При этом происходит интенсивный перенос плазмы, энергии и импульса из солнечного ветра в магнитосферу. Имеется также и альтернативная точка зрения на механизм переноса энергии, импульса и массы из солнечного ветра в магнитосферу, связанная с их возможным квазивязким взаимодействием, которое осуществляется за счет различных плазменных неустойчивостей [Антонова и Овчинников, 1998; Климонтович, 1990].

На флангах магнитосферы развивается крупномасштабная магнитогидро-динамическая (МГД) неустойчивость, связанная со сдвиговым течением плазмы на магнитопаузе (неустойчивость Кельвина-Гельмгольца) [Kivelson and Southwood, 1986].

Развитие этой неустойчивости приводит к раскачке ультранизкочастотных (УНЧ) волн во внешней магнитосфере и в области солнечного ветра, прилегающей к магнитопаузе [Gosch at. al., 2009]. При этом МГД-волны, падающие на магнитопаузу из солнечного ветра, могут испытывать сверхотражение. Ампли-

туда отраженной волны оказывается больше чем амплитуда падающей волны. Такой рост амплитуды колебаний связан с неустойчивостью сдвигового течения на магнитопаузе [Walker, 2000b].

Предполагается, что волны, проникающие в магнитосферу из солнечного ветра, могут захватываться в магнитосферный волновод для быстрых магнито-звуковых (БМЗ) волн во внешней части магнитосферы, прилегающей к магнитопаузе [Stephenson and Walker, 2010a, 2010b; Mann et. al. 1998]. Такие волны действительно наблюдаются в виде когерентных колебаний, регистрируемых на спутниках в разных областях внешней магнитосферы [Sung at. al., 2006]. Об этом же свидетельствуют и одновременные наблюдения когерентных МГД-колебаний во внешней магнитосфере и на поверхности Земли. До Земли эти колебания доходят в виде альфвеновских волн, генерируемых на резонансных магнитных оболочках БМЗ-волнами (механизм альфвеновского резонанса — FLR — field line resonance). БМЗ-волны, распространяющиеся в волноводе на флангах магнитосферы, раскачивают альфвеновские волны на резонансных магнитных оболочках, которые затем проникают из магнитосферы на Землю.

В работах, где проводился статистический анализ данных наземных магнитометров, не удалось обнаружить узкополосных колебаний, связанных с возбуждением альфвеновских волн на выделенных частотах. Однако во многих сеансах наблюдений такие узкополосные спектральные пики присутствуют [Chisham and Orr, 1997; Stephenson and Walker, 2010a], что может служить косвенным подтверждением их волноводной природы. Параметры магнитосферно-го волновода существенно меняются в зависимости от условий в околоземном космическом пространстве. Поэтому, хотя во многих конкретных наблюдениях и наблюдаются узкие пики в спектре регистрируемых колебаний, при их усреднении по большому числу сеансов наблюдений, в которых параметры магнито-сферного волновода существенно различны, резонансные пики перемешиваются и не выделяются в интегральном спектре колебаний.

На существование магнитосферного БМЗ-волновода может также указывать увеличение средней частоты УНЧ-колебаний в частотном диапазоне Рс5

при увеличении индекса геомагнитной активности Кр [Ziesolleck and Chamalaun, 1993]. Все это находит свое объяснение в рамках теоретической модели, представленной в настоящей работе.

Цели и задачи диссертационной работы

Представленная диссертационная работа посвящена решению следующих задач.

1. Разработать модель БМЗ-волновода во внешней магнитосфере, адекватно отражающую основные свойства плазмы в лобовой и фланговых областях магнитосферы, которая позволяет провести аналитическое исследование поля вол-новодных МГД-колебаний с учетом их поглощения в области альфвеновского резонанса.

2. Рассмотреть структуру собственных мод БМЗ-волновода во внешней магнитосфере, возбуждаемых неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на маг-нитопаузе.

3. Исследовать процесс проникновения БМЗ-волн из солнечного ветра в магнитосферу в модели, учитывающей наличие БМЗ-волновода и поглощение волн в области альфвеновского резонанса.

4. Определить пространственноe распределение линейной плотности энергии собственных мод БМЗ-волновода во внешней магнитосфере, а также спектральной плотности их энергии в различных областях внешней магнитосферы.

Актуальность темы исследования

Отметим, что магнитосфера Земли не единственная, хотя и наиболее изученная, из планетных магнитосфер солнечной системы. Поэтому исследование различных физических процессов в магнитосфере Земли позволяет понять закономерности крупномасштабных плазменных процессов, протекающих и в магнитосферах других планет солнечной системы [Беленькая, 2009; Russel, 1993].

В настоящее время в магнитосфере Земли функционируют многочисленные искусственные спутники, работа которых зависит от состояния окружающей их околоземной плазмы. В периоды магнитосферных возмущений в работе

их аппаратуры могут происходить сбои, а отдельные приборы могут даже полностью выходить из строя [Erinmez, et.al., 2002; Gaunt and Coetzee, 2007; Katz, et. al. 2000, Kawasaki et. al., 2006, Koons et. al., 1999; Koons and Fennell, 2006; Weaver, et. al. 2004]. На поверхности Земли всплески напряжения, наводимые во время геомагнитных возмущений на протяженные линии электропередач, не раз вызывали сбои в энергоснабжении густонаселенных областей [Paul Cannon, et. al., 2013]. Магнитосферные электромагнитные поля могут достигать земной поверхности и оказывать прямое влияние на биологические системы: жизнедеятельность человека, ориентацию в пространстве мигрирующих животных и птиц и другие биологические процессы [Boyle et al. 2010; Burch et. al., 2008; Kleimenova et. al., 2007; Baker, et. al., 1983; Stoilova and Dimitrova, 2008].

Магнитосферные возмущения, как правило, сопровождаются генерацией и распространением крупномасштабных МГД-волн. Такие волны называются геомагнитными пульсациями, которые принято классифицировать по их спектральному составу и поведению. Выделяют устойчивые пульсации Pc (pulsations continuous), которые условно разбиты на диапазоны с периодами 0.2-5 с (Pc1), 5-10 с (Pc2), 10-45 с (Pc3), 45-150 с (Pc4), 150-600 с (Pc5), и иррегулярные пульсации Pi (pulsations irregular) с периодами 1-40 с (Pi1), 40-150 с (Pi2). Поскольку геомагнитные пульсации используются для диагностики состояния магнитосферной плазмы, их свойства интенсивно изучаются уже на протяжении более полувека [Gul'el'mi, 1989; Singh et al., 2013]

В однородной плазме существует три ветки МГД-колебаний: быстрый магнитный звук (БМЗ), медленный магнитный звук (ММЗ) и альфвеновские волны. В неоднородной плазме все эти ветки колебаний связаны между собой и представляют единое поле МГД-колебаний. В разных областях пространства это волновое поле имеет свойства, близкие к свойствам тех или иных ветвей МГД-колебаний однородной плазмы. Как альфвеновские, так и ММЗ-волны распространяются вдоль силовых линий геомагнитного поля и могут возбуждаться в магнитосфере при их взаимодействии с быстрыми магнитозвуковыми волнами на резонансных поверхностях. БМЗ волны могут проникать в магнито-

сферу из солнечного ветра или генерироваться сдвиговым течением на магни-топаузе при обтекании магнитосферы потоком солнечного ветра. При определенных условиях БМЗ-волны могут запираться между магнитопаузой и поверхностями отражения внутри магнитосферы, связанными с градиентом скорости Альфвена. В результате в лобовой и фланговых областях магнитосферы образуется волновод для БМЗ-волн.

Как показано в настоящей диссертации, БМЗ-волновод во внешней магнитосфере определяет основные свойства низкочастотных геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах пульсаций Pc3-Pc5. Область локализации собственных колебаний волновода в частотном диапазоне Pc3 расположена в лобовой части магнитосферы. Эти колебания могут возбуждаться неустойчивостью потока протонов, отраженных от фронта головной ударной волны [Потапов, 1974; Гульельми и др. 1976]. Затем эти колебания проникают в магнитосферу через магнитопаузу. Пульсации Pc5, в которых заключена подавляющая доля энергии всех геомагнитных пульсаций, могут генерироваться неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе при взаимодействии магнитосферы Земли с потоком солнечного ветра.

В настоящее время нет всеобъемлющей теории, описывающей глобальное распределение и свойства этих колебаний в магнитосфере, которая включала бы в себя механизмы их генерации, распространения, усиления и диссипации. Представленная диссертационная работа является попыткой провести такое комплексное исследование для двух типов геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах Pc3 и Pc5, для которых важную роль играет БМЗ-волновод во внешней магнитосфере.

Научная новизна

1. Впервые аналитически исследованы пространственная структура и спектр собственных колебаний МГД-волновода во внешней магнитосфере, их усиление неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе и затухание в области альфвеновского резонанса.

2. Впервые проведено аналитическое исследование процесса проникновения МГД-волн из солнечного ветра в магнитосферу с учетом БМЗ-волновода во внешней магнитосфере.

3. Впервые изучена структура собственных мод МГД-волновода в двумерно-неоднородной модели магнитосферы и распределение линейной плотности энергии основных гармоник этих мод вдоль волновода при их возбуждении широкополосным источником.

Научная и практическая значимость работы

Проведено аналитическое исследование волноводного распространения МГД-колебаний во внешней магнитосфере с учётом пространственной неоднородности как самого волновода, так и прилегающей к магнитопаузе области солнечного ветра. Аналитический подход позволяет описать особенности распространяющихся в волноводе МГД-волн и определить один из двух возможных механизмов возбуждения его собственных мод, приводящих к появлению максимумов в распределении плотности волновой энергии. Речь идет о колебаниях, возбуждаемых либо неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магни-топаузе, либо проникающих в магнитосферу из солнечного ветра.

Проведенные исследования позволили оценить частоты собственных мод, возбуждаемых в МГД-волноводе БМЗ-волнами, проникающими в него из солнечного ветра, или возбуждаемыми неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе. Определены пространственная структура и распределение плотности энергии собственных БМЗ-колебаний, распространяющихся в волноводе.

Полученные результаты позволяют по новому взглянуть на механизм взаимодействия магнитосферы Земли с потоком плазмы солнечного ветра. Представленная в диссертации теория волноводного распространения МГД-колебаний является обобщением результатов предшествующих работ, посвященных аналогичным исследованиям, и проясняет процессы генерации и распространения геомагнитных пульсаций во внешней магнитосфере. Теория эволюции собственных мод, распространяющихся в МГД-волноводе во внешней магнито-

сфере, вносит существенный вклад в общее понимание процессов, протекающих в околоземном космическом пространстве. Полученные результаты могут быть использованы для расширения возможностей волновой диагностики состояния околоземной плазмы.

Достоверность результатов, представленных в работе, обеспечивается использованием строгих аналитических методов математического анализа, согласием полученных результатов, в их предельных случаях, с результатами предшествующих работ, а также совпадением предсказанных теоретических распределений интенсивности геомагнитных пульсаций диапазонов Pc 3 и Pc5 с наблюдаемыми в реальной магнитосфере.

Личный вклад автора. Результаты работы в равной мере принадлежат руководителю и диссертанту. Аналитические выкладки выполнены диссертантом и проверены руководителем. Все численные расчеты и графические представления результатов выполнены диссертантом.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «МГД-ВОЛНОВОД ВО ВНЕШНЕЙ МАГНИТОСФЕРЕ И МЕХАНИЗМЫ ЕГО ВОЗБУЖДЕНИЯ»

Апробация работы

Основные результаты и выводы, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

> COSPAR, Moscow 2014 "Evolution of eigenmodes of the MHD-waveguide in the outer magnetosphere."

> 8-я конф. 2013 г. Отражение гидромагнитных волн от магнитосферы: влияние сдвигового течения на магнитопаузе, волновода во внешней магнитосфере и альфвеновского резонанса в ее глубине.

> 7-я конф. «Физика плазмы в солнечной системе» 2012 г. «МГД-волновод в лобовой и фланговых областях магнитосферы и механизмы его возбуждения».

> Problems of Geocosmos, St. Petersburg 2012 "Nose and flanks magneto-spheric MHD waveguide and its excitation mechanisms"

> БШФФ 2011 «Возбуждение магнитосферного резонатора неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе».

> 5-я конф., «Физика плазмы в солнечной системе» Москва. 2010 г. «Возбуждение собственных мод магнитосферного резонатора сдвиговым течением на магнитопаузе».

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработана двумерно-неоднородная модель БМЗ-волновода во внешней магнитосфере, позволяющая проводить аналитические исследования процессов волноводного распространения его собственных мод с учетом их усиления неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе и затухания в области альфвеновского резонанса.

2. Получено аналитическое выражение, описывающее зависимость коэффициента прохождения МГД-волн из солнечного ветра в магнитосферу от скорости солнечного ветра, учитывающее наличие БМЗ-волновода во внешней магнитосфере. Показано, что волновод играет роль своеобразного фильтра, который выделяет дискретный набор скоростей солнечного ветра, при которых коэффициент прохождения монохроматических волн имеет локальные максимумы, определяемые набором собственных частот волновода.

3. В результате проведенных расчетов показано, что в подсолнечной области магнитосферы максимум спектрального распределения плотности энергии БМЗ-волн, проникающих в магнитосферу, находится в частотном диапазоне геомагнитных пульсаций Рс3, а на флангах магнитосферы — в частотном диапазоне пульсаций Рс5. Это полностью соответствует наблюдаемым пространственным распределениям энергии УНЧ-колебаний в магнитосфере.

Публикации

Материалы, представленные в диссертации, опубликованы в 6 печатных работах:

1. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Возбуждение магнитосферного МГД-резонатора неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца // Физика плазмы. 2011. Т. 37. N 11. С. 979.

2. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на маг-нитопаузе, МГД-волновод во внешней магнитосфере и альфвеновский резонанс в глубине магнитосфере // Физика плазмы. 2013. Т. 39. C. 556.

3. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Влияние МГД-волновода во внешней магнитосфере на отражение гидромагнитных волн от сдвигового течения на магнито-паузе // Физика плазмы. 2013. Т. 39, № 12. С. 1071.

4. Mazur V.A., Chuiko D.A. Azimuthal inhomogeneity in the MHD waveguide in the outer Magnetosphere // J. of Geophys. Res. 2015, in press. N 120. doi: 10.1002/2014JA020819.

5. Чуйко Д.А., Исследование влияния альфвеновского резонанса на основную моду, генерируемую неустойчивостью на магнитопаузе. Солнечно-Земная физика, 2013, вып. 22. С 16-20.

6. Мазур В.А., Чуйко Д.А. МГД-волновод во внешней магнитосфере и механизмы его возбуждения // Солнечно-земная физика. 2015. М.: ИНФРА-М. Вып. 1. C. 36-55.

Из них 4 работы — в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения четырех глав и заключения. Список цитируемой литературы включает 99 наименования. Работа содержит 1 06 страниц основного текста, включая 37 рисунков.

Во Введении сформулированы предмет исследования и задачи, решаемые в диссертации, а также актуальность рассматриваемых вопросов.

В первой главе представлены основные свойства магнитосферного МГД-волновода и его модель в двумерно неоднородной плазме. Выведены основные уравнения, описывающие волноводные МГД-колебания и соответствующие им граничные условия.

Во второй главе решена задача о структуре собственных мод, возбуждаемых в МГД-волноводе неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе.

Аналитически исследованы пространственная структура собственных волно-водных мод и инкремент их неустойчивости.

В третьей главе решена задача об отражении БМЗ-волны, падающей на магнитопаузу из солнечного ветра. Определен коэффициент отражения и исследованы его свойства в зависимости от скорости солнечного ветра и частоты волны. Определен поток волновой энергии, проникающей в магнитосферный БМЗ-волновод и эффективная мощность его накачки.

В четвертой главе исследован процесс проникновения БМЗ-волн из солнечного ветра в магнитосферный БМЗ-волновод при наличии неустойчивости Келвина-Гельмгольца на магнитопаузе. Решено уравнение переноса энергии собственных мод вдоль волновода. Проведено сравнение распределения плотности волновой энергии собственных мод БМЗ-волновода с экспериментально наблюдаемым распределением плотности энергии геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах Рс3 и Рс5.

В Заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы.

14

Глава 1

МГД-волновод во внешней магнитосфере

1.1.Параметры магнитосферы и солнечного ветра обуславливающие существование волновода

Рис. 1. МГД-волновод во внешней магнитосфере (в экваториальном и меридиональном сечениях магнитосферы). Серым цветом показана область локализации поля колебаний БМЗ-волновода, а черным цветом — область соответствующего ему альфвеновского резонанса.

Структура магнитного поля и характер распределения плазмы во внешней магнитосфере обеспечивают существование в этой области МГД-волновода для быстрых магнитозвуковых волн (БМЗ) [Dmitrienko, 2013; Mann et. al., 1999; Walker, 1998; Wright and Mann, 2006; Wright, 1994]. Экваториальное и меридиональное сечения этого волновода изображены на рис. 1. Внешней границей волновода является магнитопауза, на которой резкий скачок скорости быстрого магнитного звука приводит к его отражению от этой границы и запиранию внутри магнитосферы. Существование внутренней границы волновода обусловлено быстрым нарастанием скорости Альфвена по направлению к Земле — как поперек магнитных оболочек, так и вдоль силовых линий геомагнитного поля. Как известно, БМЗ-волны отражаются от области больших значений ско-

рости Альфвена. В результате образуется волноводный канал, лежащий в приэкваториальной области, примыкающий к магнитопаузе и протянувшийся в хвост магнитосферы на неопределенно большое расстояние.

На рис. 1. изображена также область альфвеновского резонанса — резкого усиления поля колебания, лежащего в области непрозрачности для БМЗ, на тех силовых линиях, где частота колебания равна собственной альфвеновской частоте. Альфвеновский резонанс является неотъемлемой частью рассматриваемого явления. Собственно, колебание в волноводе и в окрестности альфвенов-ского резонанса — это одно колебание. В волноводе оно обладает свойствами быстрого магнитного звука, а в окрестности альфвеновского резонанса — свойствами альфвеновской волны. В силу последнего обстоятельства область аль-фвеновского резонанса имеет малый масштаб поперек магнитных оболочек и вытянута вдоль силовых линий геомагнитного поля. БМЗ-колебания волновода не достигают Земли и их наземные проявления обусловлены именно альфве-новским резонансом. Кроме того, в бесстолкновительной магнитосфере диссипация альфвеновской волны на ионосферных торцах является главным механизмом затухания рассматриваемых колебаний.

1.2. Одномерно неоднородная модель волновода

1.2.1. Краткое описание модели

Схематическое изображение фланговой области магнитосферы и прилегающей к ней части солнечного ветра, а также используемая одномерно-неоднородная модель этих областей представлены на рис. 2. Из этого рисунка видно соответствие между различными элементами модели и реальной системы.

На рис. 3 представлены схематические графики зависимости от х существенных параметров модели — альфвеновской скорости сА(х) в магнитосфере и скорости звука с^(х) в солнечном ветре. Монотонная зависимость сА(х) означает, что игнорируется наличие таких структурных элементов магнитосферы как, например, плазмосфера. На интересующие нас крупномасштабные колебания такие структурные элементы не оказывают существенного влияния. В большей

части магнитосферы р<1, а часто и р<<1 (где р=8пР0/В0 — отношение газокинетического давления плазмы к магнитному). Поскольку учет конечной температуры плазмы в магнитосфере слабо влияет на свойства рассматриваемых в работе БМЗ-волн, то для упрощения теоретического анализа плазма магнитосферы считается холодной и в ней пренебрегается скоростью звука по сравнению со скоростью Альфвена. Будем считать, что магнитосферное магнитное поле Вм направлено по оси 2, условие равновесия дает Вм=сот1. Аналогично, в солнечном ветре постоянно давление плазмы: pw=const. Равновесие на магнитопаузе означает, что

л

Вм /8п=pw.

Для оценок по порядку величины примем следующие значения: сАМ=400 км/с, с^г=50 км/с, где нижние индексы М, Ж обозначают параметры в магнитосфере и в солнечном ветре соответственно. В развиваемой ниже теории отношение сзЖ/сАМ будет считаться малым параметром, что обусловлено большим скачком плотности на магнитопаузе:

СШ - У РМ

С

2

АМ

2 Рж

где у — показатель адиабаты, рм, рЖ — плотность плазмы по разные стороны магнитопаузы.

Рис. 2. Соответствие элементов реальной среды и используемой одномерной модели. В левой части рисунка изображено экваториальное сечение магнитосферы (вечерней полусферы), в правой части — ее одномерно неоднородная модель. Точка х=хм — координата магнито-паузы.

Рис. 3. Зависимость скорости Альфвена са(х) в магнитосфере от координаты x. Для солнечного ветра принята модель cs=const.

1.2.2. Основные уравнения

Зависимость проекции ^ вектора смещения плазмы от координат и времени выберем в виде ^x(x, y, z, t)=^x(x)exp(ikyy+ikzz-i®t). Все другие возмущенные величины имеют аналогичную зависимость.

Уравнение, описывающее структуру колебания по координате x, в приближении идеальной МГД имеет вид [Duhau and Gratton, 1975]:

i ^+^ x - 0.

Здесь обозначено: ро=ро(л") — плотность плазмы,

Г}2 =(Ъ2_/(2С2^ о) = со-/7,К(Г, кг = (0,ку,кг\ - 4

К 2 -_®__ к2 к2 - к2 + к2

где Ущг — скорость солнечного ветра. В дальнейшем изложении вместо смещения используем функцию

с(х) х

Уравнение на нее имеет вид

о. (1.1)

ах2 ах ах

Через функцию ^(х) можно выразить все другие возмущенные величины. В частности, для смещения плазмы и полного возмущенного давления (суммы газокинетического и магнитного) имеем:

^хР=Р+^ = д(х). (1.2)

р0о2 ах' ^ 4л v у

1.2.3. Граничные условия в магнитосфере и в солнечном ветре

Граничное условие для уравнения (1.1) при х^-да, где расположена область непрозрачности, сводится к требованию ограниченности решения. При х^да может располагаться как область непрозрачности, так и область прозрачности (распространения) рассматриваемых колебаний. В первом случае граничным условием также является требование ограниченности решения при х^да. Во втором — в интересующей нас задаче о собственных модах БМЗ-волновода требование убегания волны, т. е. отсутствие волны падающей из бесконечности.

На магнитопаузе, при х=хм, коэффициенты уравнения (1.1) испытывают скачки. Из этого уравнения следуют условия сшивки:

Их = 0,

1 'хм

1 а<;

п2 ах

Ро"А

=о, (1.3)

где символ {/} означает скачок величины/в точке хм. Из формул (1.2) видно,

'хм

что условия (1.3) означают непрерывность на магнитопаузе смещения плазмы \х и полного возмущенного давления Р.

Основное уравнение (1.1) существенно упрощается в принятой нами модели среды, как в магнитосфере, так и в солнечном ветре. В магнитосфере, полагая

о5=0, Ущ=0 и вводя величину и=&/к{оАм, которую можно рассматривать как безразмерную частоту, имеем

Ро"А = ВМ .

д2 ( х)-

ю

к 2 = к 2 2 к к

к 2(х)=- к2=к2

с

А

и

с

С2 2 САМ .

СА (х)

с2

1,2 сам _,,2

иСм) 'а

и а = £ (14)

(1.5)

Уравнение (1 .1 ) принимает вид

с

к = о.

д

(1.6)

Точка альфвеновского резонанса х=хА, которая определяется уравнением

Л

q (хА)=0, является особой точкой этого уравнения.

Решение уравнения (1.6), удовлетворяющее граничному условию при х^-да определено с точностью до произвольного множителя. Обозначим через и) какое-то одно из этих решений. Тогда произвольное решение, удовлетворяющее граничному условию, можно записать в виде с^См^х, и) и трактовать константу См как амплитуду колебания в магнитосфере.

В солнечном ветре, полагая оА=0, приводим уравнение (1.1) к виду

с

- к.} = к.} м2-

^ПпРо О;+к 2 о, к 2 = ®2 - к2 = к2 ах2 ах ах ^ ^

"Б

2

с2( х)

-1

(1.7)

Здесь по аналогии с безразмерной частотой и введена величина м = ю/к{сш, которую можно рассматривать как безразмерную частоту в системе отсчета солнечного ветра. Одно из решений этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию при х^да, обозначим д^(х, w). Произвольное решение в солнечном ветре, удовлетворяющее граничному условию, можно записать в виде д=С^д^(х, w) и константу Си/трактовать как амплитуду колебания в солнечном ветре.

Из определения т = о)-к1У!Г следует, что введенные величины и им? связаны соотношением

и = у+а^, у = а = (1.8)

к с с

к сАМ сАМ

Безразмерную величину V можно рассматривать как некоторую разновидность числа Маха. Параметр а, как было указано выше, мал: а<<1.

С помощью полученных решений в магнитосфере и в солнечном ветре условия сшивки на магнитопаузе (1.3) можно записать в виде

СмЧм{хм, u)=Cw^w(xм, 0.9)

у 1 1

СМ^ —2-2 ^М(ХМ, и) = СЖ — ^(ХЖ, м) . (110)

М 2 и2 — и2 " М'2 "

Введем безразмерные функции

Г (и) = 2(и2 — и2 \ к?М(ХМи Г (М) = М2 кЯг(ХМ,М

1м(и) у(и иА) М^иУ (М М с;1Г(хм,м) '

Легко видеть, что из системы уравнений (1.9), (1.10) следует соотношение

/м(«)=мп (1.11)

С учетом связи (1.8) при каждом заданном значении V его можно рассматривать либо как уравнение на и, либо как уравнение на w, которое и определяет эти две безразмерные частоты как функции параметра V. Таким образом, соотношение (1.11) играет роль дисперсионного уравнения.

1.2.4. Приближение ВКБ

Точное аналитическое решение основного уравнения (1.1), как и его частных случаев (1.6) и (1.7), при произвольных зависимостях сА(х) и cs(x) невозможно. Поэтому для его решения будем использовать приближение ВКБ, предполагая, что условия его применимости выполняются. В двух главных порядках этого приближения общее решение уравнения (1.1) представляется в виде:

?(х):

ро^А 1/2

кх

С ехр I —г | к^х I+С ехр I г | к

к2 = К2 (х). (1.12)

Особую роль в методе ВКБ играют точки поворота (отражения) хК, определяемые уравнением к2х{хК) = 0. Они отделяют области прозрачности (распро-

странения), в которых к2(х) > 0, от областей непрозрачности, в которых к2(х) < 0. Поскольку к!(хА) = -ку. то точка альфвеновского резонанса лежит в области непрозрачности.

Условия применимости приближения ВКБ для уравнения (1.1) имеют вид:

I кх |3 >>ак2/ ах | кх"2|>>а"2/ ах\. (1.13)

Эти условия очевидным образом нарушаются в окрестностях точки альфвеновского резонанса хА и точки поворота хК. Вдали от этих точек характерное значение кх ~ к, а для производных в неравенствах (1.13) применима оценка а / ах ~1/1, где I — масштаб неоднородности по координате х. Тогда оба неравенства сводятся к условию

У >> 1. (1.14)

Если условие (1.14) выполняется, то окрестности точек хА и хК, в которых приближение ВКБ неприменимо, малы по сравнению с масштабом неоднородности. Это означает, что приближение ВКБ применимо на большей части оси х.

Для наиболее важных колебаний, длина волны которых соизмерима с размерами магнитосферы, параметр к\\~1, то есть приближение ВКБ находится на

границе применимости. Но это приближение обладает замечательной особенностью — оно дает качественно правильные результаты даже на границе применимости. Поскольку используемая модель среды позволяет рассчитывать только на результаты качественного характера, для исследуемых колебаний магнитосферы будем использовать приближение ВКБ. Немаловажно, что использование приближения ВКБ позволяет описывать свойства колебания с помощью наглядных физических понятий — области прозрачности и непрозрачности, точки отражения и т. п.

1.2.5. Собственные частоты и собственные моды

При описании свойств колебаний в магнитосфере важную роль играют две серии решений уравнения (1.6), удовлетворяющих на магнитопаузе граничным условиям:

<М>М,и) = 0, (1.15)

СМ (хМ,и) = 0. (116)

Их можно рассматривать как решения краевых задач, определяющих собственные значения параметра и и соответствующие собственные функции. Обозначим собственные значения и собственные функции, отвечающие условию (1.15) через ип и СМп(х) = см(х,ип), где номер п = 0, 1, 2,... равен числу экстремумов функции СМп (х) внутри магнитосферы. Аналогично собственные значения и собственные функции, отвечающие условию (1.16), обозначим через йп и с,мп(х) = с,м(х,-ып). Номер п равен числу нулей собственной функции с,Мп(х)

внутри магнитосферы, На магнитопаузе находится (п+1)-й экстремум функции с,Мп(х) и (п+ \ )-й нуль функции с,Мп(х). В пренебрежении влиянием альфвенов-

ского резонанса собственные значения йп и йп вещественны. Их величины чередуются следующим образом: й0 <й0 <йх <йх <й2 <й2 с... Можно показать, что

и > 1.

Функция /м(и) имеет в точках и = йп полюса, а в точках и = йп — нули. Кроме того, она имеет нуль и = иА. В окрестностях этих точек она может быть представлена формулами

Ьп

/м (и) =

ип и

/М(и) = ^гг(и-йп\ /м(и) = $А(и-иЛ. (1.17)

Выражения для постоянных коэффициентов будут получены ниже. При и2 <1 в приближении ВКБ всю магнитосферу можно рассматривать как область непрозрачности. В этом случае из общего выражения (1.12) с учетом соотношений (1.4) и (1.5) имеем

1/2

См (х,и):

д2( х,и)

кх (х, и)

ехр

хМ

I к (х,и)

йх'

(118)

При и2 >1 в магнитосфере есть точка поворота. В области непрозрачности х < х^ решение дается формулой, аналогичной (1.18):

Ям(х,и) =

д2( х,и)

1/2

кх (х, и)

ехр

23 |кх(х',и)

хя.

ах'

(1.19)

а в области прозрачности х^ < х < хм — выражением

д2( х,и)

Ям(х,и):

кх (x, и)

Я ^ 1/2

Бт

^м (х,и) +

л

, (х,и) =| кх(х',и)Ох'. (1.20)

хЯ

В последнем случае значение функции ям(х,и) на магнитопаузе определяется фазой

хм

*м(и) = ^(хм,и) = к

хЯ

и

2 ^^-1ах

с2 (х)

(1.21)

Из выражения (1.20) видно, что собственные значения ип и йп являются корнями уравнений

Ц>м{йп) = п[п+\/А\ Ч>м(йп) = п[п+Ъ/4). (1.22)

Для интеграла в формуле (1.21) в случае и2 -1 <<1 можно получить явное выражение. При этом во всей области прозрачности можно использовать разложение

сА (х) = с

АМ

{ _ \ 1_х хм

21

м

(1.23)

х х •

м

<< /м. Величина /м есть кон-

справедливое вблизи магнитопаузы, при

кретная реализация введенного выше понятия масштаба неоднородности I. Неравенство (1.14) в этом случае означает к{1м >> 1. Подставляя (1.23) в (1.21) получаем

(и) = (2/3)(Ум )(и2-1)3/2,

после чего из (1.22) имеем

п2/3 г п2/3

=1+1

3л

-+4

1

(к, )2/3

=1+4

5

Зтс

3

-+3

4

(к,/м)2/3'

(1.24)

х

\

/

Условие и2 -1 <<1 выполняется для гармоник с - << к/м. Но с практической

точки зрения только гармоники с такими номерами и представляют интерес.

Используя выражения (1.18) и (1.20) находим выражения для функции ^(и):

fм (иУ

2 и2 - и2 9 . А при и2 < 1,

У л/1

и

2

^(и)=

2 м2 - и 2 2 . А1ап

^ 1

^ м (и)+

л

при м2 > 1.

(1.25)

(1.26)

Отсюда видно, что ^(и) имеет полюса и нули в точках, определяемых

уравнениями (1.24).

Если точка поворота хК лежит в интервале, где справедливо разложение (1.23), то условие применимости приближения ВКБ (1.13) принимает простой вид:

х х

Я

>>Д = /1/3/ к 2/3 >> Лм - м ' к

(1.27)

Из неравенства >> 1 следует, что Лм<< /м. Условие (1.27) означает, что области применимости выражений (1.18) и (1.20) разделены интервалом порядка Лм. Приближение ВКБ можно использовать на магнитопаузе, если

>> Лм, что равносильно неравенству

хЯ хм

и2-1

>> км >

-2/3

(1.28)

Таким интервалом разделены области применимости формул (1.25), (1.26). Для выражений (1.24) условие (1.28) дает - >> 1 — формулы приближения ВКБ не применимы для номеров - ~1.

Но существует подход, позволяющий заполнить пробелы (1.27) и (1.28).

Более того, он применим в более широком диапазоне

и2-1

< 1. Для таких значе-

ний и не только точка поворота хК, но и весь интервал, существенных для уравнения (1.6) значений х лежит в области применимости разложения (1.23). Подставляя это разложение непосредственно в уравнение (1.6), приводим его к виду

—+к2 dx2

x x

M+u2-l

M

? = 0.

Решение этого уравнения, ограниченное при x ^-го, есть

(x,u)=Ai

x x-t

M

KVM )2/3(1-u2)

= Ai

( _ \ x x^

'^MM

(1.29)

x x

R

<< lM, где применимо как

где Ai(z) — функция Эйри. В областях Дм <<

приближение ВКБ (1.19), (1.20), так и решение (1.29), они совпадают с точностью до постоянного множителя.

Найдем собственные значения йп и йп исходя из решения (1.29). Экстремумы и нули функции Ai(z) отрицательны. Обозначим их соответственно (-rjw) и (-Л/,) • Величины т\п и г\п чередуются: л0 <f|0 <f|1 <f|1 <... Для первых двух номеров л0 «1.02, л0 «2.34, r^ «3.25, ^ «4.09. Уравнения (1.15) и (1.16), очевидно, имеют решения

=1+

Л n

й„ = 1 +

Л г

2" - 2(ktlM)2"

(1.30)

и соответствующие собственные частоты

C0n — kf

AM

1 +

Лп

2(Vm )2/3

, (hn — ktc

AM

1 +

Чг

WM)m

(1.31)

Сравнивая эти выражения с (1.24) получаем асимптотические формулы [Abramowitz and Stegun, 1965]

Л„ = (1 / 2)(3тг / 2)2/3(п+1 / 4)"2/3, лИ = (1 / 2)(3тг / 2)2/3 (и + 3 / 4)"2/3 1.32)

Для собственных функций из (1.29) имеем выражения:

^Mn (x) = Al

x x-t

M

1 ш

M

X JC

■M

"Д M

На рис. 4 приведены графики этих функций для значений п=0 и п=1.

\

Рис. 4. Собственные решения С,Мп и в магнитосфере для /7=0 и 1.

Для того чтобы выразить /м (и) через решение (1.29), введем функцию

Н (г|) = - Аг(-г\) / Л1' (-л). Эта функция регулярна в точке | = 0, имеет полюса в точках | = |п и нули в точках г| = г| п. Ее асимптотики: //(г|) = (-г|)~1/2 при (-г|)»1;

(1 Л

Н(|) = |-1/21ап 213/2при |>> 1.

Используя введенное обозначение, имеем

/м (и) = 2 (и2 - иА)км )1/3 Н [(Ум )2/3(и2 -1)

(1.33)

Эта функция имеет полюса и нули в точках и„ и й„, даваемых формулами

(1.30), и регулярна в точке и2 = 1. При

и2-1

>> (к/м) 2/3 она переходит в фор-

мулы метода ВКБ (1.25) и (1.26). Из выражения (1.32) можно получить значения коэффициентов в формулах (1.17):

Р„ = (4/у)(81п2ф)(Ум), р^=(4/у)с^ф.(1.34)

По порядку величины (3„ ~ (Ум)~1/3 « X Р„ ~ (к,1м )»1, РА ~ 1. На рис. 5 изображен график /м(и) для вещественных значений и. Величина /м(0) = -(2/у>2 определяется непосредственным решением уравнения (1.6)

при и=0. Для вещественных значений аргумента функция /м(u), очевидно, четна: /м (-и) = /м (и). Это следует из того, что в уравнение (1.6) параметр и входит только в виде и2.

Рис. 5. Зависимость функции /м (и) (левая часть дисперсионного соотношения (1.11) от безразмерной частоты и.

Для решений в солнечном ветре асимптотическая область х ^го может быть как областью непрозрачности, так и областью прозрачности. В последнем случае граничным условием для собственных мод является требование убегания энергии волны. Поскольку энергия волны распространяется с групповой скоростью, то это требование означает, что групповая скорость волны должна быть направлена от магнитопаузы. В движущейся среде солнечного ветра из-за до-плеровского сдвига частоты, знаки групповой и фазовой скоростей могут различаться. В рамках приближения ВКБ из уравнения (1.7) имеем

(О2

кХ = к 2 (х) = —-—к}.

с

Групповая скорость Vg определяется соотношением 1 _ 3кх (х, —)_ —

V,

я

3—

кхс2

Поскольку фазовая скорость урн=&/кх, то

грк _ ШШ _ 1 ^ к2с2 2 кх2с2 ■

Отсюда видно, что при н> = йп направления фазовой и групповой скоростей совпадают, а при ^<0 — они противоположны.

В модели однородного солнечного ветра уравнение (1.7) принимает вид

с"+к2 (у2-1^с = 0.

Для вещественных значений w, заключенных в интервале -1 < у <1, физическое решение, т. е. решение, удовлетворяющее условию ограниченности при х ^го, есть

Сж (х, w) = ехр [-к? к(w)(x - хм)]. (1.35)

Здесь введено обозначение

К» = 41-w2 . (1.36)

Функция (w), отвечающая решению (1.35) имеет вид

0-37)

Выражения (1.35), (1.36) и (1.37) можно непосредственно применять для вещественных значений w в интервале (-1, +1). Для остальных, в том числе и комплексных значений w, эти функции следует получать аналитическим продолжением из указанного интервала. Результат такого продолжения зависит от пути, по которому осуществляется обход точек ветвления двузначной функции КУ). Если обойти эти точки сверху, то на вещественной оси w будем иметь

КУ) = -/\У2 -1 при w>1 и к(у) = /V у2 -1 при w<-1. При таком обходе решение (1.35) перейдет в волну, убегающую по групповой скорости.

1.3. Двумерно неоднородная модель волновода

1.3.1. Введение азимутальной неоднородности

В настоящей работе также используется двумерно-неоднородная модель среды, изображенная на рис. 6. В отличие от реальной магнитосферы эта мо-

дель однородна по оси 2, силовые линии геомагнитного поля прямолинейны. Таким образом, все параметры плазмы и магнитного поля являются функциями двух координат — координаты х поперек магнитных оболочек (поперек волновода) и азимутальной координаты у (вдоль волновода).

В плазме солнечного ветра р>> 1 (где в — отношение газокинетического давления плазмы к давлению магнитного поля), а в большей части магнитосферы р< 1, а часто и р << 1. Поскольку учет конечной температуры плазмы в магнитосфере слабо влияет на свойства рассматриваемых в работе БМЗ-волн, то для упрощения теоретического анализа плазма магнитосферы считается холодной и в ней пренебрегается скоростью звука по сравнению со скоростью Аль-фвена. В солнечном ветре, наоборот, именно скорость звука определяет свойства БМЗ-волн, поэтому в солнечном ветре мы пренебрегаем наличием магнитного поля. Таким образом, колебания в БМЗ-волноводе во внешней магнитосфере рассматриваются как быстрый магнитный звук в холодной плазме, а в прилегающей к нему области солнечного ветра — как обычный звук. Из условия равновесия на магнитопаузе следует соотношение с8 / сш ~ (рм / р^)1/2, где

сам — скорость Альфвена на магнитопаузе, рм и р^ — плотности плазмы во внешней магнитосфере и солнечном ветре соответственно. Поскольку рм в 10+30 раз меньше, чем рW, то параметр а = с5 / сш достаточно мал. В аналитической части работы используется теория возмущения по малому параметру а.

В условиях реальной магнитосферы характерный масштаб неоднородности Ьх по координате х в несколько раз меньше, чем характерный масштаб неоднородности Ьу по координате у. Для построения аналитической теории мы будем считать, что Ьх << Ьу. Тогда можно применить метод разных масштабов, который позволяет свести решение двумерно-неоднородной задачи к последовательному решению двух одномерно-неоднородных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чуйко Даниил Александрович, 2015 год

Список литературы

Антонова Е.Е., Овчинников И.Л. Квазитрехмерная модель равновесного турбулентного плазменного слоя в хвосте магнитосферы Земли и его суббуревая динамика // Геомагнетизм и аэрономия. 1998. - Вып. 38(5). - С. 14-21.

Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979. - 322 с.

Беленькая Е.С. Магнитосферы планет обладающих собственным магнитным полем // УФН. - 2009. - Т. 179, № 8. - С. 809-835.

Гульельми А.В., Потапов А.С., ДКоста А. К теории возбуждения геомагнитных пульсаций типа Рс3 // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. - 1976. - Вып. 39. - C. 27-32.

Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса // М.: Наука, 1990. - 317 с.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая Механика. Физмат. - 1963. - 767 с. Мазур В.А. Резонансное возбуждение магнитосферы гидромагнитными волнами, падающими из солнечного ветра // Физика плазмы. - 2010. - Т. 36, № 11.

- С. 1013-1023.

Мазур В.А. Резонансное возбуждение магнитосферы стохастическими и нестационарными гидромагнитными волнами // Физика плазмы. - 2011. - Т. 37.

- С. 458-467.

Мазур В.А., Чуйко Д.А. Возбуждение магнитосферного МГД-резонатора неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца // Физика плазмы. - 2011. - Т. 37, № 11.

- С. 979.

Мазур В.А., Чуйко Д.А. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на магни-топаузе, МГД-волновод во внешней магнитосфере и альфвеновский резонанс в глубине магнитосфере // Физика плазмы. - 2013a. - Т. 39. - C. 556.

Мазур В.А., Чуйко Д.А. Влияние МГД-волновода во внешней магнитосфере на отражение гидромагнитных волн от сдвигового течения на магнитопаузе // Физика плазмы. - 2013b. - Т. 39, № 12. - С. 1071.

Потапов А.С. Возбуждение геомагнитных пульсаций типа Рс3 перед фронтом околоземной ударной волны пучком отраженных протонов // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. - 1974. - Вып. 34. - C. 3-12.

Пудовкин М.И., Семенов В.С. Теория пересоединения и взаимодействия СВ с магнитосферой Земли // М.: Наука, 1985. - 126 с.

Стикс Т., Свансон Д. Основы физики плазмы / Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1983. - Т. 1. - 333 с.

Застенкер Г.Н. Плазменная гелиогеофизика / Под ред. Л.М.Зеленого и И.С. Веселовского. М.: Физматлит, 2008. - Т. 1. - 389 с.

Зеленый Л.М. Динамика плазмы и магнитных полей в хвосте магнитосферы Земли // Итоги науки и техники, под ред. Р.З. Сагдеева М. ВИНИТИ. - 1986.

- Вып. 24. - С. 58-186.

Шафранов В.Д. Электромагнитные волны в плазме. Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. Госатомиздат, 1963. - Вып. 3. - 304 с.

Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions / Dover Publications. - 1965. - 1046 c.

Baker R., Mather J.G., Kennaugh J.H. Magnetic bones in human sinuses // Nature. - 1983. - V. 301. - P. 78-80.

Baumjohann W., Junginger H., Haerendel G., et al. Resonant Alfven waves excited by a sudden impulse // J. Geophys. Res. - 1984. - V. 89. - P. 2765.

Borovsky J.E., Thomsen M.F., Elphic R.C. The driving of the plasma sheet by the solar wind // J. Geophys. Res. - 1998. - V. 103, N A8. - P. 17617-17639.

Boyle W.A., Norris D.R., Guglielmo C.G. Storms drive altitudinal migration in a tropical bird // Proc Biol Sci. - 2010. - V. 2777. - P.-1693.

Budden K.G. Radio Waves in the Ionosphere // Cambridge University Press.

- 1961. - 566 p.

Burch J.B., Reif J.S., Yost M.G. Geomagnetic activity and human melatonin metabolite excretion // Neurosci. Lett. - 2008. - V. 438. - P. 76-79.

Cannon P., et al. Extreme space weather: Impacts on engineered systems and infrastructure // Royal Academy of Engineering. - 2013. - 69. p.

Carovillano R.L., Siscoe G.L., Energy and momentum theorem in magnetospheric processes // Rev. of Geophys. Space Phys. - 1973. - V. 11(2). - P. 289-353.

Chen L., Hasegawa A. Plasma heating by spatial resonance of Alfven wave // Phys. Fluids. - 1974. - V. 17. - P. 1399.

Chisham G., Orr D. A statistical study of the local time asymmetry of Pc5 ULF wave characteristics observed at midlatitudes by SAMNET // J. Geophys. Res. - 1997.

- V. 102(A11). - P. 24339-24350.

Coronity F.V., Kennell C.F. Changes of magnetospheric configuration during the substorm growth phase // J. Geophys. Res. - 1972. - V. 77. - P. 3361-3370.

Dessler A.J., Parker E.N. Hydromagnetic theory of geomagnetic storms // J. Geophys. Res. - 1959. - V. 64, N 12. - P. 2239-1152.

Dmitrienko I.S. Evolution of FMS and Alfven waves produced by the initial disturbance in the FMS waveguide // J. Plasma Phys. - 2013. - V. 79, N 01. - P. 7-17.

Duhau S., Gratton J. Kelvin-Helmholtz instability of anisotropic plasma in magnetic field // J. Plasma Phys. - 1975. - V. 13. - P. 451-479.

Erinmez I.A., Kappenman J.G., Radasky W.A. Management of the geomagneti-cally induced current risks on the national grid company's electric power tran s-mission system // Journal of atmospheric and Solar-terrestrial physics. - 2002. -V. 64. - P. 743-756.

Foullon C., et al. Evolution of Kelvin-Helmholtz activity on the dusk flank magnetopause // J. Geophys. Res. - 2008. - V. 113. - P. A11203.

Fujita S., Glassmeier K.H., Kamide K. MHD waves generated by the Kelvin-Helmholtz instability in a nonuniform magnetosphere // J. Geophys. Res. - 1996. -V. 101. - P. 27317-27325.

Fujita S., Tanaka T. Magnetospheric plasma processes during a sudden commencement revealed from a global MHD simulation // Geophysical Monograph. - 2006.

- V. 169. - P. 31.

Gaunt C.T., Coetzee G. Transformer failures in regions incorrectly considered to have low GIC-risk // Power Tech. - 2007. - P. 807-812.

Guglielmi A.V. Diagnostics of the magnetosphere and interplanetary medium by means of pulsations // Space Sci. Rev. - 1974. - V. 16. - P. 331.

Gul'el'mi A.V. Hydromagnetic diagnostic and geoelectric sounding // Sov. Phys. Usp. - 1989. - V. 32. - P. 628.

Ghosch S., Thomson D.J., Matthaeus W.H., et al. Coexistence of turbulence and discrete modes in the solar wind // J. Geophys. Res. - 2009. - V. 114. - P. A08106.

Gurnett D.A., Anderson R.R., Tsurutani B.T., et al. Plasma wave turbulence at the magnetopause: Observations from ISEE 1 and 2 // J. Geophys. Res. - 1979. - V. 84. - P. 7043-7058.

Hughes W.J. The effect of the atmosphere and ionosphere on long period mag-netospheric micropulsations. // Planet. Space Sci. - 1974. - V. 22. - P. 1157.

James M.K. The spatio-temporal characteristics of ULF waves driven by sub-storm injected particles // J. Geophys. Res. - 2013. - V. 188. - P. 1737.

Katz J., Davis V.A., Snyder D.B., et al. ESD triggered solar array failure mechanism // The 6th Spacecraft Technology Conf. AFRL-VS-TR-20001578, 1 Sept. -2000. - P. 39.

Kawasaki T., Hosoda S., Kim J., et al. Charge Neutralization via Arcing on a Large Solar Array in the GEO Plasma Environment // IEEE Trans, on Plasma Science. - 2006. - V. 34, N 5. - P. 1979-1985.

Kepko L., Spence H.E., Singer H.J. ULF waves in the solar wind as direct drivers of magnetospheric pulsations // Geophys. Res. Lett. - 2002. - V. 29. - P. 1197.

Kivelson M.J., Zu-Yin Pu. The Kelvin-Helmholtz instability on the magnetopause // Planet. Space Sci. - 1984. - V. 32. - P. 1335-1341.

Kivelson M.G., Southwood D.J. Coupling of global magnetospheric MHD eigenmodes to field line resonances // Geophys. Res. - 1986. - V. 91. - P. 4345.

Kleimenova N.G., Kozyreva O.V., Breus T.K., Rapoport S.I. Pc1 geomagnetic pulsations as a potential hazard of the myocardial infarction // J. Atmos. Solar Terr. Phys. - 2007. - V. 69. - P. 1759-1764.

Koons H.C., Fennell J.F. Space weather effects on communications satellites // The radio Science bulletin, international union of radio Science. - 2006. - V. 16. - P. 27-41.

Koons H.C., Mazur J.E., Selesnick R.S., et al.The Impact of the Space Environment on Space Systems // Aerospace Report. #TR99-(1670)-1, 1999. - 13 p.

Kozlov D.A. Transformation and absorption of magnetosonic waves generated by solar wind in the magnetosphere // JASTP. - 2010. - V. 72, N 18. - P. 1348-1353.

Kuo S.P., Wolfe A., Lee M.S. Spectral characteristics of hydromagnetic waves in the magnetosphere // J. Plasma Phys. - 1987. - V. 38. - P. 235.

Leonovich A.S., Mazur V.A. An electromagnetic field induced in the ionosphere and atmosphere and on the Earth's surface by low-frequency Alfven oscillations of the magnetosphere // Planet. Space Sci. - 1991. - V. 39. - P. 529.

Leonovich A.S., Mazur V.A. On the spectrum of magnetosonic eigenoscillations of an axisymmetric magnetosphere // J. Geophys. Res. - 2001. - V. 106. - P. 3919-3928.

Leonovich A.S., Mishin V.V., Cao J.B. Penetration of magnetosonic waves into the magnetosphere: influence of a transition layer // Ann. Geophys. - 2003. - V. 21, N 5. - P. 1083-1093.

Leonovich A.S., Mishin V.V. Stability of magnetohydrodynamic shear flows with and without bounding walls // J. Plasma Phys. - 2005. - V. 71. - P. 645-664.

Liu Chen. Kinetic Theory of Geomagnetic Pulsations // J. Geophys. Res. - 1991.

- V. 96. - P. 1503.

Lysak R.L., Lee D.H. The response of the dipole magnetosphere to pressure pulses // Geophys. Res. Lett. - 1992. - V. 19. - P. 937.

Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Generation of Alfvén Waves by a Plasma Inho-mogeneity Moving in the Earth's Magnetosphere // Plasma Physics Reports. - 2007.

- V. 33. - P. 391.

Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Alfven ship waves: high-m ULF pulsations in the magnetosphere generated by a moving plasma inhomogeneity // Ann. Geophys. -2008. - V. 26. - P. 1653-1663.

Maltsev Yu.P., Leontyev S.V., Lyatsky V.B. Three-dimensional current system in different phases of a substorm // Planet. Space Sci. - 1974. - V. 22. - P. 1519.

Mann I.R., Wright A.N., Cally P.S., Coupling of magnetospheric cavity modes to field line resonances: A study of resonance widths // Geophys. Res. - 1995. - V. 104.

- P. 441.

Mann I.R., Chisham G., Bale S.D., Multisatellite and ground-based observations of a tailward propagating Pc5 magnetospheric waveguide mode // J. Geophys. Res. - 1998.

- V. 103, N A3. - P. 4657-4669.

Mann I.R., Wright A.N., Mills K.J., et al. Excitation of magnetospheric waveguide modes by magnetosheath flows. // J. Geophys. Res. - 1999. - V. 0104, N A1.

- P. 333-353.

Mann I.R., Wright A.N. Diagnosing the Excitation Mechanisms of Pc5 Magnetospheric Flank Waveguide Modes and FLRs // Geophys. Res. Lett. - 1999. - V. 26, N 16. - P. 2609-2612.

Mazur N.G., Fedorov E.N., Pilipenko V.A. Emission of alfvén waves from a nonuniform MHD waveguide // Plasma Phys. Rep. - 2001. - V. 27. - P. 773.

Mazur N.G., Fedorov E.N., Pilipenko V.A. MHD waveguides in space plasma // Plasma Phys. Rep. - 2010. - V. 36. - P. 609.

McKenzie J.F. Hydromagnetic wave interaction with the magnetopause and the bow shock // Planet. Space Sci. - 1970. - V. 18. - P. 1.

Mcpherron R.L. Magnetic pulsations: their sources and relation to solar wind and geomagnetic activity // Surveys in Geophysics. - 2005. - V. 26. - P. 545-592.

Miura A., Pritchett P.L. Nonlocal stability analysis of the MHD Kelvin-Helmholtz instability in a compressible plasma // JGR. - 1982. - V. 87. - P. 7431-7444.

Newton R.S., Southwood D.J., Hughes W.J. Damping of geomagnetic pulsations by the ionosphere // Planet. Space Sci. - 1978. - V. 26. - P. 201.

Ong R.S.B., Roderick N.F. On the kelvin-Helmholtz instability of the Earth's magnetopause // Planet. Space Sci. - 1972. - V. 20. - P. 1.

Pilipenko V.A. ULF waves on the ground and in space // J. Atmos. Terr. Phys. - 1990. - V. 52, N 12. - P. 1193.

Potapov A.S., Mazur V.A. Pc3 pulsations: From the source in the upstream region to Alfven resonances in the magnetosphere. Theory and observations // Solar Wind Sources of Magnetospheric UltraLow-Frequency Waves. Edited by M. J. Engebretson, K.Takahashi, and M. Scholer, Geophysical Monograph 81. Washington, D.C.: American Geophysical Union. - 1994. - P. 135-145.

Potapov A.S., Polyushkina T N., Pulyaev V.A. Observations of ULF waves in the solar corona and in the solar wind at the Earth's orbit // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. -2013. -Vol. 102. -P. 235-242.

Pu Zu-yin, Kivelson M.G. The Kelvin-Helmholtz Instability at the magnetopause // J. Geophys. Res. - 1983. - V. 88. - P. 853-861.

Russel C.T. Planetary magnetospheres // Reports on Progress in Physics. - 1993.

- V. 56, N 6. - P. 687-732.

Spreiter J.R., Summers A.L., Alksne A.Y. Hydromagnetic flow around the magnetosphere // Planet. Space. - 1966. - V. 14, N 3. - P. 223.

Stephenson J., Walker A.D.M. Correlation Between Radar Observations Of Field Line Resonances And Discrete Oscillations In The Solar Wind Using Multita-per Methods // Geophys. Res. Lett. - 2010a. - V. 29. - P. 1297.

Stephenson J.A.E., Walker A.D.M. Coherence between radar observation of magnetospheric field line resonances and discrete oscillations in the solar wind // Ann. Geophys. - 2010b. - V. 28. - P. 47-59.

Singh A.K., Mishra S., Singh R. ULF wave index as magnetospheric and space-weather parameters. Adv. Space. Res. - 2013. - V. 52(8). - P. 1427-1436.

Stoilova I., Dimitrova S. Geophysical variables and human health and behavior // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. - 2008. - V. 70. - P. 428-435.

Sung S.K., Kim K.H., Lee D.H., et al. Simultaneous ground-based and satellite observations of Pc5 geomagnetic pulsations: A case study using multipoint measurements // Earth Planets Space. - 2006. - V. 58. - P. 873-883.

Thomson D.J., Lanzerotti L.J., Maclennan C.G. Interplanetary magnetic field: statistical properties and discrete modes // J. Geophysics. Res. - 2001. - V. 106. - P. 1594115962.

Thomson D.J., Lanzerotti L.J., Maclennan C.G. Study of some statistics of the interplanetary magnetic field and implications for discrete modes // Adv. Space Res.

- 2002. - V. 29, N 12. - P. 1911-1916.

Trussoni E., Dobrowolny M., Mastrantonio G. Kelvin-Helmholtz instability of the magnetopause boundary: Comparison with observed fluctuations // Planet. Space Sci. - 1982. - V. 30. - P. 677-685.

Uberoi C. On the Kelvin-Helmholtz instability of structured plasma layers in the magnetosphere // Planet. Space Sci. - 1986. - V. 34. - P. 1223-1227.

Walker A.D.M. The Kelvin-Helmholtz instability in the low-latitude boundary layer // Planet. Space Sci. - 1981. - V. 29. - P. 1119.

Walker A.D. M. Excitation of magnetohydrodynamic cavities in the magnetosphere // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. - 1998. - V. 60. - P. 1279-1293.

Walker A.D.M. Coupling between waveguide modes and field line resonances // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. - 2000a. - V. 62. - P. 799.

Walker A.D.M. Reflection and transmission at the boundary between two counterstreaming MHD plasmas — active boundaries or negative-energy waves? // J. Plasma Phys. - 2000b. - V. 63. - P. 203.

Walker A.D.M., Excitation of field line resonances by sources outside the magnetosphere // Ann. Geophys. - 2005. - V. 23. - P. 3375-3388.

Watanabe K., Sato T. Global simulation of the solar wind — magnetosphere in-

teractions. The importance of its numerical validity // J. Geophys. Res. - 1990. - V. 95, N A1. - P. 75-88.

Weaver M., Murtagh W., Balch C., et al. Halloween Space Weather Storms of 2003 // Rep. NOAA technical memorandum 2004 OAR SEC-88, NOAA.

Wright A.N. Dispersion and wave coupling in inhomogeneous MHD waveguides // J. Geophys. Res. - 1994. - V. 99. - P. 159-167.

Wright A.N., Mann I.R., Global MHD eigenmodes of the outer magnetosphere. "Magnetospheric ULF waves: synthesis and new directions". Edited by Kazue Takahashi et al. Geophysical Monograph. Washington, DC: American Geophysical Union. - 2006. - DOI: 10.1029/169GM06.

Wright A.N., Rickard G.J. ULF pulsations driven by magnetopause motions: azimuthal phase characteristics // J. Geophys. Res. - 1995. - V. 100. - P. 23703.

Ziesolleck C.W.S., Chamalaun F.H. A two-dimensional array study of low-latitude Pc5 geomagnetic pulsations // J. Geophys. Res. - 1993. - V. 98. - P. 13.703.