МГД-модели гемодинамики и движения столбика эритроцитов в переменном магнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колесникова, Александрина Владимировна

• Колесникова, Александрина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колесникова, Александрина Владимировна

Введение

1 Структура и динамика крови с точки зрения влияния магнитных полей

1.1 Микроструктура кропи и со влияние на реологию.И

1.2 Поверхиостый заряд эритроцитов. Связь с реологией крови и иаталогимескими изменениями в сосудистой системе

1.3 Общие вопросы воздействия магнитных полей на кровоток. Проблемы моделирования.

1.4 Электропроводность крови.

1.4.1 Магнитное тромбирование артериальных аневризм

1.4.2 Выводы.

2 Стационарные течения электропроводящей жидкости

2.1 Течение электропроводящей жидкости в канале прямоугольного сечения.

2.1.1 Аналитическое решение.

2.1.2 Простейшая конечно-разностная схема

2.1.3 Результаты расчетов.

2.2 Простейшие стабилизированные МГД-течения в круглой трубе.

2.2.1 Вывод автомодельных стационарных уравнений магнитной гидродинамики.

2.2.2 Преобразование уравнений

2.2.3 Разностная аппроксимация преобразованной задачи

2.2.4 Замечания об условиях на оси течения.

2.2.5 Замечания по технологии вычислений.

2.2.6 Результаты расчетов.4G

2.3 Течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками

2.3.1 Математическая постановка задачи

2.3.2 Конечно-разностное решение задачи.

2.3.3 Тестовые проверки

2.3.4 Результаты расчетов.

2.4 МГД-течения в канале переменного сечения .G

2.4.1 Физическая постановка задачи.G

2.4.2 Математическая постановка задачи .G

2.4.3 Метод решении.G

2.4.4 Построение контура и расчетной сетки .GG

2.4.5 Разностная аппроксимация исходных уравнений . . G7 2.4.G Поточечный последовательный метод Гаусса-Зейделя G

2.4.7 Выполненные тестовые расчеты

2.4.8 Результаты МГД-расчетов в канале с пережатием

2.4.9 Выводы.

3 Теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов в нестационарном потоке крови

3.1 Общие положения.7G

3.1.1 chapter.

3.1.2 Динамика столбика эритроцитов как недеформируемой системы

3.1.3 Техника расчета момента гидродинамического воздействия потока.8G

3.1.4 К определению магнитного момента.

3.2 Неустановившееся течение в плоском канале.

3.2.1 Определяющие уравнения.

3.2.2 Построение неявной конечно-разностной схемы

3.2.3 Вычислительная технология решения обобщенного уравнения (3.79)

3.2.4 Тестирование алгоритма.

3.2.5 Математическая модель динамики столбика эритроцитов.

3.2.G Метод Рупге-Кутта для интегральных уравнений динамики столбика.

3.2.7 Тестовая проверка алгоритма на точном решении

3.3 Нестационарное течение в круглой трубе и в канале сложной формы поперечного сечения.

3.3.1 Явный метод Булеева.

3.3.2 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «МГД-модели гемодинамики и движения столбика эритроцитов в переменном магнитном поле»

Исследования в магнитобиологии показывают, что как постоянные, так и переменные магнитные или электромагнитные поля оказывают определенное влияние на самые различные процессы в биологических системах или в живом организме. В подавляющем большинстве случаев эти исследования носят сугубо эмпирический характер, а полученные в них результаты не всегда могут быть повторены, иногда они даже противоречивы. Однако сам факт чувствительности живой природы к магнитным полям неоспорим. Эмпиризм магнитобиологических исследований в настоящее время вызван вполне объективными причинами. Сложность процессов в биологических системах не позволяет дать этим исследованиям достаточно обоснованную теоретическую интерпретацию. Ответственность за развитие теоретических основ наряду с биофизикой во многом ложится на современную физико-химическую и магнитную гидродинамику.

В связи с этим, теоретические исследования по магнитной гидродинамике являются своевременными и актуальными. Поэтому одной из целей настоящей работы является привлечение более широкого внимания специалистов но магнитной гидродинамике к магнитобиологическим проблемам

Первые сведения о магнитных свойствах крови относятся к середине прошлого столетия. Что касается цельной крови, то уже в 1845 г. установлена ее диамагнитпость. Значительно позже доказан факт о различии магнитных свойств артериальной и венозной крови, указывающий на связь между магнитными характеристиками и насыщенностью крови кислородом. Относительно магнитных свойств составных частей крови информация сравнительно невелика. Большое количество факторов, влияющих на физические и химические свойства биологических систем и индивидуальные особенности организма, является причиной того, что сведения о физических свойствах зачастую противоречивы.

Численные оценки показывают, что благодаря различиям в магнитной восприимчивости эритроцитов и плазмы при сравнительно больших размерах форменных элементов в магнитных фильтрах могут быть получены сравнительно высокие магпитофоретическис скорости. Например, для фильтрующего элемента с индукцией насыщения 0,2 Тл и характерным размером порядка нескольких мкм экспериментально получены форетические скорости в несколько десятков мкм/с. Такие скорости позволяют создать сравнительно эффективные магнитные фильтры для сепарации эритроцитов, которые могут найти практическое применение в клинике. Однако магнитофорез может быть использован и в других целях. Отмеченные различия восприимчивости эритроцитов в зависимости от степени окисления или восстановления гемоглобина, а также возможная корреляция между магнитными свойствами форменных элементов и плазмы крови и патологией указывают на принципиальную возможность использования измерений магнитофоретичсской подвижности в целях медицинской диагностики.

Воздействие магнитного поля на биологическую жидкость не ограничивается магнитофорезом. Имеются сведения о том, что в сильном магнитном поле возможны деформация эритроцитов и даже гемолиз крови, ориентация надмолекулярных включений или макромолекул и их агрегация. Наряду с седиментацией форменных элементов экспериментально обнаружена и магнитная седиментация 7-глобулина. Указанные ориентационные эффекты и агрегация могут быть ответственны за изменение гидродинамики течения биологических жидкостей в магнитном поле. Может наблюдаться также изменение проницаемости биологических мембран в поле и смещение осмотического равновесия за счет перераспределения состава в неоднородном магнитном поле. Следует отметить, что, несмотря па то что коэффициенты диффузии в жидкостях порядка Ю-9 м2/с, ввиду малости характерных размеров (порядка нескольких мкм) характерные времена массообмепиых процессов малы, т. е. возможные изменения сказываются практически мгновенно.

При движении биологических жидкостей в магнитном поле изменения, связанные с гартмаповым механизмом воздействия, вследствие сравнительно малых нроводимостей и характерных размеров пренебрежимо малы (за исключением крупных сосудов, например, аорты). В то же время, как уже отмечалось, электрохимические процессы, вызванные индуцированными электрическими токами, могут вызывать существенные изменения в биологической системе.

Настоящая диссертационная работа посвящена построению магпитогидродинамических моделей кровотока в крупных кровеносных сосудах (аорте, артериях и крупных венах), где для описания динамики крови может быть использована однофазная среда с ньютоновскими реологическими свойствами. А также изучению частного вопроса воздействия магнитных полей на морфологическую структуру сосудистой системы, связанного с разрушением "монетных" столбиков эритроцитов.

Более конкретно главные цели работы можно сформулировать следующим образом:

1. Разработка магнитогидродинамических моделей стационарного и пульсирующего кровотока;

2. Исследование влияния переменного электромагнитного поля на динамику плазмы и столбика эритроцитов в плоском канале;

3. Выявление особенностей динамики столбиков эритроцитов в осесимметричных и "пережатых" сосудах при воздействии переменного электромагнитного ноля;

4. Определение параметров переменного электромагнитного поля, обеспечивающего разрушение столбиков эритроцитов.

Первая глава является вводной. Здесь приведены данные по морфологической структуре крови. Разъясняются известные теории агломерации эритроцитов. Представлены экспериментальные и модельные зависимости иллюстрирующие характер воздействия на кровь внешнего сдвигового усилия (реологические зависимости). Отмечено, что явления тиксотропии и вязкоэластичности проявляются при относительно малых скоростях сдвига и характеризуются большим временем релаксации. В связи с этим, имеется возможность для моделирования кровотока в крупных кровеносных руслах в рамках ньютоновской реологии. Даются элементарные сведения о распределении электрических зарядов по структурным элементам крови и стенок сосудов. Обсуждаются общие вопросы воздействия магнитных полей на кровоток и моделирования указанного воздействия.

Представлен раздел по электропроводности крови, включая описание теоретических моделей электропроводности суспензий. Описаны конкретные примеры применения магнитных полей в медицине для целой тромбирования артериальных аневризм головного мозга.

Во второй главе рассмотрены стационарные течения электропроводящей жидкости, включая течение в прямоугольном канале. Для этого случая классическим методом Фурье построено аналитическое решение. Далее представлены вывод точных уравнений магнитной гидродинамики для случая автомодельного течения в трубе произвольного (из класса непрерывных) профиля поперечного сечения и выполнено разделение задачи на две части как на уровне уравнений, так и на уровне граничных условий (для случая непроводящих стенок). Обсуждаются граничные условия па оси течения и вычислительная технология интегрирования полученных разделенных уравнений. Представлены решения задач в канале с частично проводящими стенками и каналах сложного сечения.

В третьей главе изложена теория магпитогидродипамического взаимодействия эритроцитов. Эта теория включает уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие характер вращения столбика эритроцитов (или отдельного эритроцита) в нестационарном магнитном потоке плазмы, а также теорию моментов, составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

Предложенная теория выписана также для относительно простого случая вращения эритроцита (или столбика эритроцита) в плоском канале. Описана методика численного решения задачи. Получены численные данные подтверждающие наличие двух режимов в динамике столбика эритроцитов. Далее описана технология решения задач не обладающих какой-либо симметрией, т.е. пространственных задач динамики столбика эритроцитов и получены численные результаты применительно к случаю нестационарного течения плазмы в канале сложной формы поперечного сечения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колесникова, Александрина Владимировна

3.3.2 Выводы

Разработана теория матнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов, которая включает полученные автором точные уравнения нестационарного автомодельного течения плазмы крови в трубке сложной формы поперечного сечения, динамические и кинематические уравнения Эйлера, определяющие динамику столбика эритроцитов (или отдельного эритроцита). Теорию моментов внешних сил, действующих на столбик в потоке плазмы и составляющих правые части динамических уравнений Эйлера.

Расчеты, опирающиеся на созданную теорию, позволили выявить два режима реакции "монетных" столбиков на периодическое воздействие внешнего магнитного поля. Первый режим гармонический или "мягкий", характеризующийся тем, что колебания столбика происходят при частоте колебаний внешнего магнитного поля. Весь режим имеет ограниченную протяженность во времени (см.рис.3.11, 3.12) и имеет фазу нарастания амплитуды колебаний угловой скорости (t < -ti) и фазу А убывания указанной амплитуды (-£/ < t < ti, где tj - протяженность режима I). При этом амплитуда индуцированного тока только снижается и в конце концов уменьшается до нуля.

Второй режим стохастический или "жесткий" характеризуется появлением собственной частоты колебаний столбика, которая выше частоты внешних колебаний в 5-7 раз. Этот режим имеет неограниченную протяженность во времени. В этом режиме величины моментов изгибающих столбиков эритроцитов существенно выше нежели в режиме I. Поэтому столбик достаточно быстро разрушается.

Как видно из рис.3.15 а), с увеличением частоты колебаний внешнего поля существенно снижается продолжительность первого режима. Она также заметно снижается с ростом Bq (амплитуды колебаний поля), если, при этом, первый режим еще продолжает существовать (рис. 3.15 Ь)).

Заключение

Несмотря на то, что на движение крови принципиально оказывает влияние эластичность сосудов, дыхательная система и другие физиологические условия, вопрос о влиянии переменного магнитного поля на динамику эритроцитов в крупных кровеносных сосудах принципиально может быть решен в рамках представленной в настоящей работе модели автомодельного пульсирующего кровотока без обратного влияния форменных элементов на движение плазмы. Если же речь идет о более мелких сосудах, то здесь становится существенной, как нелинейная реология крови, так и двухфазный характер тока крови, включая обратное воздействие форменных элементов на движение плазмы. Более строгим в этом случае оказался бы подход, позволяющий рассчитать самосогласованное электромагнитное поле, и также оценить чувствительность эритроцитов к этому полю. Модель самосогласованного поля для потока заряженных частиц базируется, как известно, па уравнениях А.А. Власова. Но и она в этих условиях оказалась бы недостаточной, поскольку в примере с кровотоком, частицы (эритроциты) являются не только носителями отрицательного заряда, но и магнитного момента, порожденного движением электронов по поверхности эритроцита. Так, что упомянутая модель требовала бы обобщений.

Поскольку автору неизвестны расчетные модели но влиянию электромагнитных полей па структуру крови, то мы сочли целесообразным разработать сначала простейшую модель динамики эритроцита 15 потоке электропроводящей плазмы крови текущей в жесткой трубке, находящейся в свою очередь, в переменном магнитном поле. Однако, даже эта, относительно простая модель, примененная к столбику эритроцитов, позволила выявить два различных режима в движении указанного структурного образования, изумить процессы перехода от гармонического режима к стохастическому и исследовать влияние частоты и амплитуды колебаний внешнего поля на систему в виде взвеси эритроцитов в плазме крови. А также определить критические значения указанных параметров, приводящих к разрушению "монетного" столбика.

В заключение автор хотела бы выразить большую благодарность своему научному руководителю профессору Алексею Михайловичу Бубеичикову за помощь и постоянное внимание, оказываемые при выполнении работы, научному консультанту Сергею Евгеньевичу Корнелику за полезные советы, профессору Константину Евгеньевичу Афанасьеву за квалифицированное обсуждение и ценные замечания по работе всем и сотрудникам кафедры теоретической механики ТГУ за оказанную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колесникова, Александрина Владимировна, 2006 год

1. Einav S., Berman H.J., Fuhro R.L. nt al. Mesurement of Velocity Profiles of Red Blood Cells in the Microcirculation by Laser Doppler Anemometry (LDA) // Л. of Biorheology, 1975, Vol. 12. P. 207-210.

2. Mewis J. and Spaull A. J. B. Rheology of Concentrated Dispertions //J. Advanced in Colloid and Interface Science. 1976. Vol. 6. P. 173-200.

3. Cheng D. C.-H. and Evans F. Phenomenological Characterization of the Rhcological behavior of inelastic reversible thixotropic and antithixotropic fluids // British Journal of Applied Physics. 1965. Vol. 16. P. 1599-1617.

4. Gelin L. E. Disturbance of the Flow Properties of Blood and its Counteraction in Surgery // Acta Chirurgica Scandinavica. 1961. Vol. 122. P. 287-293.

5. Wells JR. R. E., Denton R. and Merrill E. W. Measurement of Viscosity of Biologic Fluids by Cone Plate Viscometer // J. Lab. and Clinical Medicine. 1961. Vol. 57. P. 646-656.

6. Rand P. W., Lacombo E., Hunt H. E., and Austin W. H. Viscosity of Normal Human Blood under Normothermic Conditions // J. Appl. Physiology. 1964. Vol. 19. P. 117-122.

7. Schmid-Schonbein H., Wells R. E. and Goldstone J. Fluid drop-like behavior of erythrocytes disturbance in pathology and its quantification // J. of Biorheology. 1971. Vol. 7. P. 227-234.

8. Evans R. L., Kirkwood R. B. and Opsahl D. G. The dynamic viscosity of some Human blood // J. Biorheology. 1971. Vol. 8. P. 125-128.

9. Biro G. P. Comparison of Acute Cardiovascular Effects and Oxygen-Supply Following Haeinodilution with Dextran, Stroma-Frce Haemoglobin Solution and Fluorocarbon Suspension //J. Cardiovascular Res. 1982. Vol. 1G. P. 194-204.

10. Skalak R., Keller S. R. and Sccomb T. W. Mechanics of Blood Flow // J. Biomech. Eng. 1981. Vol. 103. P. 102-115.

11. Guyton A. C. Medical Physiology // Gth ed., W. B. Saunders company, Philadelphia. 1981. P. 222-235.

12. Cho Y. I. and Kensey K. R. Effects of the Non Newtonian Viscosity of the Blood on Flows in a Diseased Arterial Vessel. Part I: Steady Flows // J. of Biorheology. 1991. Vol. 28. P. 241-262.

13. Quemada D. A Non-Linear Maxwell Model of Biofluids: Application to Normal Blood // J. of Biorheology. 1993. Vol. 30. P. 253-205.

14. Stoltz J. F. and Lucius M. Viscoelasticity and Thixotropy of Human Blood // J. of Biorheology. 1981. Vol. 18. P. 453-473.

15. McMillan D. E., Utterback N. G., Nasrinasrabadi M. and Lee M. M. An Instrument to Evaluate the Time Dependent Flow Properties of Blood at Moderate Shear Rates // J. of Biorheology. 1986. Vol. 23. P. 63-74.

16. Лентой В. А., Регнрер С. А., Шадрина H. X. Реология крови. М.: Медицина. 1982, с. 272

17. Бубенчиков А. М., Кориелик С. Е. Современные математические представления сердечно-сосудистой системы. Томск: Изд-во Том. унта, 2001, с. 103.

18. Корнелик С.Е., Бубенчиков A.M. Вычислительная гемодинамика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003, с. 415.

19. Chien S. Physiological and Pathological Significance of Hemorhcology // In: Clinical Hemorhcology. S. Chien, Ed. Martinns NijhofF, Dordrecht, 1987. P.125-1G4.

20. Chien S. Clumping (reversible aggregation and irreversible agglutination) of Blood Cellular Elements // Thromb. Res. 197G. Vol. 8 (Suppl. II). P. 189-202.

21. Chien S. Electrochemical Interaction and Energy Balance in Red Blood Cell Aggregation // In: Topics in Bioelectricity and Bioenergetics, Vol. 4, G. Milazzo, Ed. Wiley, New York, 1981. P. 73-112.

22. Gast A. P., and Leiblcr L. Interaction of Sterically Stabilized Particles Suspended in a Polymer Solution // J. Macromolecules. 198G. Vol. 19. P. G8G-G91.

23. Joaimy J. F., Leibler L., and De Gennes P. G. Effects of Polymer Solutions on Colloid Stability // J. of Polymer Sci. 1979. Vol. 17. P. 1030-1084.

24. Chien S. Biophysical Behavior of Red Cells in Suspentions // In: The Red Blood Cell, D. M. Surgenor. New York: Ed. Academic Press. 1975. P. 1031-1133.

25. Elimelech M., Gregory J., Jia X., and Williams R. A. Particle Deposition and Aggregation: Measurement, Modeling and Simulation, (Ch. 6). Butterworth Hcinemaim; Oxford. 1995. P. 157-202.

26. Shainlou P. A., and Titchener Hooker N. Turbulent Aggregation and Breakup of Particles in Liquids in Stirred Vessels, In: Processing of Solid - Liquid Suspensions // P. A. Shainlou. Oxford: Ed. Butterworth -Heinemann. 1993. P. 1-25.

27. Muhle K. Floe Stability in Laminar and Turbulent Flow // In: Coagulation and Flocculation, Theory and Applications, B. Dobias, Ed., M. Dekker. New York. 1993. P. 355-390.

28. Блум Э.Я., Михайлов Ю.А., Озолс Р.Я. Тепло- и массообмен в магнитном поле.- Рига, Зинатне, 1980, с. 354.

29. Бубенчиков A.M., Ливаев Р.З. Некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики // Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации, 2001, N4, с. 32-52.

30. Бубенчиков A.M., Клсвцова А.В., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле // Математическое моделирование, 2003, Т.15, N9, с. 76-87.

31. Бубенчиков A.M., Клевцова А.В., Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного ноля // Математическое моделирование, 2004, T.1G, N4 с. 109-122.

32. Бубенчиков A.M., Колесникова А.В. Стабилизированное течение электропроводящей жидкости в круглой трубе // Вычислительные технологии, 2005, Т.10, N3, с. 23-31.

33. Бубенчиков A.M., Корнелик С.Е., Колесникова А.В. Теория магнитогидродинамического взаимодействия эритроцитов // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации "Вычислительная гидромеханика", 2006, N81, с. 6-21.

34. Владимиров В. С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физмат, 2003, с. 400.

35. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитодинамические течения в каналах. М.: Наука, 1970, с. 672.

36. Жукаускас А.А. Конвективный перепое в теплообменниках. М.: Наука, 1982, с. 472.

37. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем.-М.: Физматлит, 1995, с. 346.

38. Камипер А.А., Яхно О.М. Гидромеханика в инженерной практике. К.: Техника, 1987, с. 175.

39. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. -М.: Мир, 1981, с. 540.

40. Корнелик С.Е., Бубенчиков A.M. Вычислительная гемодинамика. Томск: ТГУ, 2006, с. 412.

41. Корнелик С.Е., Борзеико Е.К., Гришин А.Н., Бубенчиков М.А. Исследование процессов образования и разрушения монетных столбиков эритроцитов в канале с локальным расширением. Вычислительные технологии, 2006, Том 11, N4, с. 127-146.

42. Куликовский А.Г. О модельных стационарных течениях проводящей жидкости при больших числах Гартмана. "Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа", 1968, N2, с. 3-10.

43. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973, с. 848.

44. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови.-М.: Медицина, 1982, с. 272.

45. Патан кар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.:Энергоатомиздат, 1984, с. 152.

46. Педли Т. Гидромеханика крупных кровеносных сосудов. -М.: Мир, 1983, с. 400.

47. Тапанаев А.В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Энергоатомиздат, 1981. с. 420.

48. Томилов Е.Д. Теоретическая механика.Ч.2. Томск: Изд-во Том. унта, 1970, с. 316.

49. Трофимова Т.И. Курс физики.-М:Высшая школа, 2001, с. 542.

50. Симупи Л.М. Численное решение задач теплообмена при пеизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе //Инж.-физ.журп. 1966, Т.10, N1, с. 89-91.

51. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978, с. 620.

52. Чижевский A.JI. Структурный анализ движущейся крови. -М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 80.

53. Hunt J.C.R. Magneto hydrodynamic flow in rectangular ducts//Fluid Mech. 19G5. Vol.21, pt 4. P.577-590.

54. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields.- "Bull. Sci. and Engng Res. Lab. Waseda Univ.", 1963, v. 22, p. 1-9.

55. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields.- "Trans. ASME", 1967, v.89, N1, p. 29-36.

56. Gold R.R. Magnetohydrodynamic pipe flow.Part 1//Journal of fluid mechanics. 1962. V.13, part4. P.505-512

57. Shercliff J. A. Steady motion of conducting fluids in pipes under traverse magnetic fields. "Proc. Cambrige. Philos. Soc.", 1953, v.49, N1, p. 136144.

58. Shercliff J.A. Steady motion of conducting fluids in circular pipes under traverse magnetic fields. ",J. Fluid Mech.", 1956, v.l, part 6, p. 644-666.

59. Fricke H., Morse S. J. Gen. Physiol., 1925, 8, N2, p. 153-159.

60. Духин А.Я., Дубровский Г.П., Ефремова H.M. О тенденции движения форменных элементов в искусственных сосудах. В кн: Трансплантация почки и искусственные органы. М., 1976, с. 184-194.

61. Андреев В. С. Кондуктометрические методы и приборы в биологии и медицине. М.: Медицина, 1973. с. 316.

62. Fricke H. Phys. Rev., 1924, 24, N 5, p.575-587.

63. Veliek S., Gorin M. J. Gen. Physiol., 1940, 23, N 6, p.753-761.

64. Danzer H. Ann. Physik., 1934, 21, N 5, p.783-794.

65. Фирсов H. H., Стюрева Г. M., Костин Г. М. Труды Рижск. НИИ травматологии и ортопедии, 1975, вып. 13, с. 184-197.

66. Гурфинкель Ю.И., Любимов В.В. Экранированная палата в клинике для защиты пациентов с ишемической болезнью сердца от воздействия геомагнитных возмущений // Мед. физика, 2004, N 3(23), с. 34-39

67. Fricke Н. Pliys. Rev., 1925, 26, N 5, р.682-695.

68. Schwan Н. P.- In: Adv. Biol. Med. Phys., 1957, v. 5, p. 147-159.

69. Liebman F. M., Bagno S. In: Biomed. Sci. Instrumentation. Pittsburgh, 1968. v. 4. 25-37.

70. Edgerton R. И. IEEE Trans. Biomed. Eng., 1974, BME21, N 1, 33-47.

71. Dellimore J. W. Proc. Rov. Soc. London, 1976, B193, N 1113, 359-367.

72. Руткевич И. M. В кн.: Всесоюзная конф. но проблемам биомеханики. 2-я. Тезисы докладов. Рига, 1979, т.2, 25-37.

73. Кикут Р. К. Использование магнитобиологических эффектов в лечении артериальных аневризм сосудов головного мозга. Автореф. дис. на соиск. учен, степени д-ра мед. паук. М., 1977, с. 36.

74. Сельков Е. А., Соколова Е. А., Калинина Е. В. Удельная магнитная восприимчивость сыворотки крови и спинно-мозговой жидкости. -Биофизика, 1962, т. 7, N 4, с. 483-486.