Метрологическая надежность навигации с учетом неполноты информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.22.16, доктор технических наук Меньшиков, Вячеслав Иванович

• Меньшиков, Вячеслав Иванович
• доктор технических наук
• 1995

Оглавление диссертации доктор технических наук Меньшиков, Вячеслав Иванович

Стр.

ВВЕДЕНИЕ. . . . . . 2

ГЛАВА I. Исследование динамики меры в рамках концепции нечеткой связанности . 12

1.1. Элементы динамики нормированной меры в задачах судовождения. . 13

1.2. Использование квазистандартов при оценке точности измеренных навигационных параметров . . . 23

1.3. Оценка точности навигационного параметра, определенного над квазисвязанной группой факторов, сопутствующих измерениям . 31

1.4. Условия существования стандарта точности на множестве измеренного навигационного параметра . . 41

ГЛАВА 2. Динамика меры в рамках нечеткой концепции замкнутости .53

2.1. Стационарная модель метрологической надежности навигации. .54

2.2. Условие стационарности почти локализованной компакты мер точности при вариации ее параметрического портрета . 64

2.3. Определение размера минимального множества по признаку слабой сходимости . 75

ГЛАВА 3. "Хорошо определенная" структура безопасности навигации . . . . . . . . . . • . . 87

3.1» Орбитальное движение меры в факторном пространстве с полунормой связанности .•.••• 88

3.2. Свойство компактности параметрического многообразия . . 105

3.3. Идентификация динамик меры точности на фаэо вом пространстве. 114

ГЛАВА 4. Практическое использование слабо структуризованной проблемы в задачах судовождения . ? j

4.1. Физико-математическая модель принципа "общего j положения . . . 131

4.2. Модель "хорошо" определенной траектории меры на нечеткой структуре . . . . . . . . . . . . . 150

4.3. Нечеткость байесовского и небайесовского подходов к грубым погрешностям. . . 165

4.4. Алгоритм принятия решения в условиях неполной промысловой ситуации . . . . . . . . 175

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрологическая надежность навигации с учетом неполноты информации»

Морскую навигацию, по сути решаемых в ней задач, можно рассматривать, как навигационный процесс, объединяющий в себе комплекс мероприятий, направленный на безопасный в навигационном плане перевод судна из одного заданного состояния в другое так же заданное. Этапу реального управления судном всегда предшествует этап предварительной проработки маршрута, на котором осуществляют расчет вектора управления, реализующего поставленную цель и оценку, по принятым критериям безопасности навигации, вариантов коррекции этого вектора.

Элементы вектора управления определяются судоводителем из решения однокритериальной или многокритериальной задачи с привлечением некоторой дополнительной информации. Если принят к использованию только один -критерий, то наилучшим считается такой вектор управления, при котором значение этого критерия экстремально. Однако, при наличии нескольких критериев, обычно не существует такого вектора и поэтому выбор наилучшего решения связан с определенным компромиссом. Многокритериальные задачи расчета вектора управления в морской навигации получили название - плавание по наивыгоднейшим путям.

Весьма значительные временные интервалы реального управления по переводу системы из состояния в состояние и существенная стохастич-ность среды диктуют необходимость контроля за текущим состоянием судна относительно выбранной траектории. Этот контроль может осуществляться путем ведения корректируемого счисления, обсервационного счисления, основанного на практически непрерывных обсервациях или принципах навигационного ориентирования. В процессе любого счисления возможны варианты уточнения вектора управления и даже его перерасчет. Однако реальное движение судна по принятой траектории с должно лежать в рамках очерченных безопасностью навигации и рассчитанных на этапе предварительной проработки маршрута из решения однокритериальной задачи, минимизирующей возможные отклонения реальной траектории от заданной. В качестве критериев безопасности навигации обычно используются допустимые значения неопределенности в текущем месте судна, выбираемые из "Стандартов точности судовождения", принятых Международной морской организацией (ИМО).

Научно-технический прогресс способствует тому, что современное судовождение имеет устойчивую тенденцию к повышению точности и оперативности в решении навигационных задач. Реализация требований по точности и оперативности принятия решения в практическом плане является противоречивой задачей. Так повышение точности в большин-| стве случаев возможно лишь при увеличении объема перерабатываемой информации, что увеличивает время получения необходимого результата и, следовательно, уменьшает оперативность в принятии решения. На йтй -ра зумный компромисснеящу"этими-11ротиворечивш«~~®реб©ванияг^ ми позволяют информационно-вычислительные и информационно-советующие системы, как правило, включапре в себя блоки измерения, процессоры обработки. Естественно, что разработка таких систем требует стандартизации их точностных характеристик. Необходимость более тщательной стандартизации ощущается и при "ручной" обработке навигационной информации.

Современные методики оценки безопасности навигации исходят из того, что в процессе управления судном по маршруту систематические погрешности скомпенсированы, а случайные погрешности измерений навигационных величин подчинены нормаяьноцу закоцу распределения. Однако теоретические исследования автора работы[22},подтверодешше натурными наблюдениями, показывают, что формирование неопределен-w ности в текущем месте,вне зависимости от вида изпольэуемых техни-. ческих средств судов спадения, имеет все призншш автоволнового процесса. Подобное модельное представление уже не закладывается в рамки теории марковских процессов и требует привлечения более "тонкого" математического аппарата, способного отследить влияние существенных нелинейностей, влияющих на безшюсность навигации.

Традиционный подход к стандартизации и метеорологической надежности навигационной информации использует гшгатезу замкнутости множества мер точности. Замкнутость множества означает, что имея значение меры точности и информацию о внешшх жш отношению к множеству факторах можно найти значение этой мера на любой заданный V момент времени. Кроме того даже при отсутствии информации о внешних факторах замкнутость придает мере тошшети способность сохранять свойства инвариантности и транзитивности, т.е. свойства присущие стандарту точности. Однако специфика задога управления и в частности, задач навигации заключается в тем, что~полной информации о внешних факторах и, следовательно, заиащутости множества мер точности нет. В такой ситуации может бит» три выхода: либо стремиться к получению полной информации о зяшщутости, либо, если это исключено, разрабатывать иные, чем традиционные, приемы получения стандартов и их метрологической надежности, либо дей

- - * • * ствовать на "авось4. В настоящее время поедедеда! выход часто используется судоводителями, хотя последствия тажого решения нередко бывают весьма плачевны.

В качестве примера ошибочного решения в определении безопасности навигации рассмотрим случай нарушения 12-та мильней зоны Норвегии ЙСТ-1349 "Зеленокумск". Суть навигащошюго происшествия заключалась в том, что капитан ПСТ-1349, 01мраяеь на рекомендуемый стандарт точности для сцутниковых систем тана "Транзит" решил провести трал вдоль границы 12-ти мильной зоша Норвегии, имея буферную зо^у равную шести морским кабельтовым. Однако был задержан • сторожевым кораблем Норвегии и судовладельцу норвежская сторона предъявила штрафные санкции за заход в территориальные воды ПСТ-1349 глубиной в три морских кабельтова.

Экспертная комиссия, составленная из представителей незаинтересованных организаций, восстановила навигационное происшествие. Для принятия окончательного решения комиссия формализовала ситуацию, приняв границу 12-ти мильной зоны Норвегии за топологический дефект и вцдвицула две гипотезы:

Н а. - ПСТ-1349 находился в подпространстве, отмеченном траекторией, заявленной к экспертизе капитаном судна;

Н - ПСТ-1349 находился в подпространстве, отмеченном траектоX рией, заявленной к экспертизе норвежским сторожевые кораблем.

Вадвицутые гипотезы взаимно исключают друг друга, что и говорит об их альтернативности. Принятие окончательного решения на базе альтернативных гипотез сводилось к определению значимости одной из них, по решающему правилу вида а 1 ч где и ^^ вероятности гипотез Н ^ и Н^ соответственно; JC^ и jf^ функции принадлежности, фиксирующие гипотезы через топологический дефект так a законы распределения случайной точки с координатами

2 (х,^), имитирующей положение ПСТ-1349 в вероятностном пространстве а.

Расчеты,выполненные комиссией показали, что гипотезы с вероятностно* точки зрения не различимы, т.е. * 0,5. Поэтому норвежский суд не сняв обвинения с капитана утвердил вердикт о недоказанности навигационного происшествия.

Be сомневаясь в правомерности решения норвежского суда, можно заметить, что его решение по отношению к капитану ПСТ-1349 могло быть иным, если бы суд располагал фактической точностью СНА типа MX-XI02,приведенной на рис.1, а не фирменными данными, , приводимым! в описании к аппаратуре.

Спектрограмма рисЛ показывает, что СКП спутниковых обсерваций ^ае^имщ^е^исвд от времени суток и может быть объяснена- изменениям! в канале связи ИСЗ-СНА. Поэтому назначая буферную зону в шесть морских кабельтовых капитан ПСТ-1349 принял неверное решение по обеспечению навигационной безопасности. Планируя безопасный в навигационном плане провод трала вдоль 12-ти мильной зоны Норвегии капитан должен был назначить буферную зоцу не менее двенадцати морских кабельтовых.

Поведенный пример навигационного происшествия подчеркивает не- ' обходимость разработки не традиционного подхода к стандартизации точное» управления и ее метрологической надежности без "жесткого* требования замкнутости. ссипативные свойства автоволнового цроцесса ставят под сомнение cai^y возможность классификации погрешностей на общности систематических или случайных. Так допустим вариант, когда случайные погрешности за счет их упорядоченности способш порождать систематические погрешности. Вместе с тем при определенных условиях систе

Периодограмму неопределенности ^обсервация* йо

СНС "Транзит"

РисД матические погрешности могут приобретать свойство случайных. Поскольку, для автоволнового процесса деление погрешностей на традиционные классы не реализуемо, то естественно, поставить под сомнение теоретическую базу современной методики оценки безопасности навигации.

Нечеткость классификации погрешностей и, как следствие, некорректность оценки качества управления принятыми в судовождении критериями позволяет расширить задачу и рассматривать ее с позиции слабо струкууризованной проблемы. Теоретические исследования области применимости слабо етруктуризованной проблемы к целям судовождения должны вестись с привлечением функционального анализа и элементов теории нечетких множеств. При этом большая часть теоретического исследования будет выполняться в четкой форме, а затем полученные результаты "размоются" до нечетких форцудирпвпи Г|.т„ щи. III .11. и .-.I. I I | 'ч --г- 1 -1 ■ -■■-- — . Jfc . .^Ч- Д. .1111 ка.ир^^ит ■ ''"*"'"*.* • 11 • "**

Автоволновой характер структуры погрешностей, отражающий процесс управления по маршруту дает право определить понятие "судно" как открытую систему. При формировании этого понятия следует сделать акцент в первую очередь на то, что изменения в системе обусловлены явлением диффузии состояний. Применительно к целям и задачам навигации такое представление, являясь перспективным, может способствовать развитию нетрадиционных оценок качества управления.

Опирающийся на гипотезы связанности и замкнутости,традиционный подход к оценке безопасности навигации, начиная с интервальной оценки, измеренного навигационного параметра и заканчивая общей оценкой безопасности навигационного процесса в целом, явно или не явно использует фундаментальное понятие структуры. Причем такие задачи в качестве структуры привлекает вероятностное пространство, определенное в виде тройки ( Sl,XI, Р) где Si - пространство элементарных событий, с въщеленной на нем алгеброй событий К и мерой Р , определенной в Si . Естественно, что Р^ , отражая вероятностную и статическую природу задач безопасности навигации, в силу замкнутости, допускает однозначное существование меры Р на Si . Поэтому в такой трактовке оценка безопасности навигации по своей сути является приемом, устанавливающим отношение эквивалентности между програмной траекторией и реальной, полученной в результате управления, по нормированной мере, В рамках структуры (Л/М,!*) возможен вариант оценки безопасности навигации, использующий признак метрической транзитивности, когда отношение эквивалентности преобразуется в отношение конгруэнтности, а программная траектория и ее реальный образ являются элементами класса конгруэнтности.

Полный или Частичный отказ от гипотез связанности и замкнутости, при оценке безопасности навигации должен предусматривать формирование своей структуры. Поскольку в этом случае изменяется объект исследования, меняется связность этого объекта и соответственно алгебра событий. Учитывая последние обстоятельства определим структуру, в которой будет проходить исследование, как тройку (сД^ где JH пространство мер точности с ввделенной на нем алгеброй свойств меры , a Z определим как факторное пространство, сопутствующее движению навигационного процесса. Уже чисто внешне очевидно, что структура (JH^Z) , применительно к задачам навигации более тонка, чем (S ,11}?) и, следовательно, может претендовать на изучение явлений, которые не отражаются или не выявляются в вероятностном или статическом пространствах.

Привлекая аппарат функционального анализа и элементы теории нечетких множеств в работе исследованы возможности существования нечетких состояний связанности и замкнутости на множестве мер. Прич, \\ чем нечеткость связанности и замкнутости отождествлены с топологическим вариантом физико-математического принципа ослабления корреляции. Процесс отовдествления выполнен в рамках хорошо известной задачи, которая в функциональном анализе носит название метризуемости топологического пространства. В своп очередь аксиоматизация физико-математического принципа ослабления корреляции приводит в размыванию свойств структуры метрологического пространства. Поэто* му решение прикладных задач, и, в частности, оценка качества управления судном по маршруту, требует частичного информационного наполнения структуры. Следует отметить, что введенная в работе про' екция нечеткой структуры в область ее топологических инвариант и доказательство однозначности отображения имеют хорошо просматриваемую физическую основу.

Поставленные и решенные на базе частично определенной структуры метрологического пространства навигационные задачи имеют прикладной характер. Эти исследования подчеркивают важность слабо струк-туризованНой проблемы при решении практических задач, связанных с обработкой навигационной информации, оценкой качества управления судна по заданному маршруту и принятием решений.

В работе на обсуждение выносятся следующие положения: представление связанности и замкнутости траекторного движения меры точности в концепции нечёткости этих понятий; отождествление нечетких понятий связанности и замкнутости с топологическим вариантом принципа ослабления корреляции; построение нечеткой структуры метрологического пространства и ее частичное информационное наполнение цутем отображения этой структуры в область топологических инвариант; использование частично определенной структуры метрологического пространства в практических задачах судовождения и промышленного рыболовства.

Особенностью данного исследования является то, что в нем к получению результатов весьма активно привлекаются методы и терминология функционального анализа, теории нечетких множеств, теории фазовых переходов, элементов теории топологических множеств. Такое привлечение методов различных областей математики, практически не используемых в судовождении, конечно затрудняет процесс чтения. Однако можно надеяться, что наглядность и логика построения математической модели метрологической надежности навигации, ее способность к саморазвитию позволят специалисту в области су-| довождения уяснить суть математических и физических построений. t с г

Заключение диссертации по теме «Судовождение», Меньшиков, Вячеслав Иванович

вывода И РЕКОМЕНДАЦИИ

Использование в судовождении технических средств обсервационного счисления и навигационного ориентирования, а так же внедрение вычислительной техники позволяют существенно повысить точность места судна с одновременным увеличением показателей степени надежности безопасности навигации. Рост технического оснащения судовождения способствует разработке и совершенствованию методик обработки навигационной информации, ? которых делается попытка отказаться от традиционных приемов привлечения в расчетные процедуры вероятностно-статистического подхода. Наиболее ярким примером такого вида обработки является методика преобразования подобия. Методика предусматривает выделение существенно важной,в навигационном плане, информации на базе локальных свойств меры с индикатором идентификации, построенным на признаке инверсий фигур погрешностей с бинарной структурой принадлежности. Однако ориентация автора работы [ 15 ] на пра ктическую реализуемость'методики и желание получить— конкретный результат привело к тому, что при теоретическом обосновании 3) - обработки были допущены существенные неточности, затрудняющие дальнейшее развитие идей локальности. Корректное обращение с идеями локальности показывает, что имеется реальная возможность дальнейшего развития методик обработки навигационной информации такого типа.- Кроме того идеи .локальности меры могут быть рас» пространены на весьма важную область навигации, а именно на обеспечение ее безопасности. Следовательно, возникает необходимость в более углубленном теоретическом изучении свойств локальности меры, но с ограничением применения этих идей задачами судовождения.

Современные методики оценки безопасности навигации исходят из того, что в процессе управления судном по маршруту систематические погрешности скомпенсированы, а случайные погрешности измерений навигационных величин подчинены нормальному закону распределения. денные натурными наблюдениями, показывают, что формирование неопределенности в текущем месте, вне зависимости от вида используемых технических средств судовождения, имеет все признаки автоволнового процесса с восстановлением. Подобное модельное представление уже не укладывается в рамки теории марковских процессов и требует привлечения более "тонкого" математического аппарата, способного отследить влияние существенных нелинейностей.

Диссипативные свойства автоволнового процесса ставят под сомнение саму возможность классификации погрешностей на общности систематических или случайных. Так допустим вариант, когда случайные погрешности за счет их упорядоченности способны порождать систематические погрешности. Вместе с тем при определенных условиях систематические погрешности могут приобретать свойства случайных. Поскольку, для автоволнового процесса с восстановлением, деление. грешностей на традиционные классы не реализуемо, то естественно, что в данной работе делается попытка с теоретических позиций рас^-ширить современную методику оценки безопасности навигации.

По результатам теоретических исследований можно сделать ряд следующих выводов: v

I. Расширение областей традиционной оценки степени безопасности навигации и переход к слабо структуризованной проблеме требует более детального исследования локальных свойств меры. Изучение же локальных свойств меры и их корректное внедрение в практику судовождения целесообразно вести по двум следующим направлениям. Первое направление должно упорядочить систему взглядов на локальные свойства меры и способствовать конструированию структуры в виде

Однако теоретические исследования автора работы подтвержметрологического пространства, отражающего основные свойства этой локальности. Второе направление следует акцентировать на выявлении соответствия между концепцией нечеткости и каким-либо фувдс^ен-тальным физико-математическим принципом, достаточно полно объясняющим эффект размывания четких свойств структуры.

2. Автоволновой характер структуры погрешностей, отражающий процесс управления по маршруту, позволил автору работы определить понятие "судно" как открытую систему. При формировании этого понятия был сделан акцент в первую очередь на то, что изменения состояний системы в сильной степени обусловлены явлением диффузии самих состояний. Применительно к целям и задачам навигации такое представление, являясь принципиально новым и перспективным, дает возможность с нетрадиционных позиций оценивать качество управления.

3. Основой теоретического исследования должна быть задача метризации топологического пространства с последующим конструированием топологического многообразия, в котором имеет место однозначное

Нйэотвёствиё^ метрологическом 'про-" странстве и численными показателями, выраженными через величину метрической энтропии»

4. Методика теоретического исследования данной работы заключается в том, что исследование ведется в рамках четкого подхода к движению меры, с последующим размыванием результатов до нечетких представлений. Такой подход характерен для исследований, ведущихч ся в области теории нечетких множеств, и уже достаточно апробирован, как в теоретическом так и в практическом аспектах.

5. Изучение механизма связанности через общую точку и замкнутости с помощью предельной точки при наличии существенных нелиней-ностей позволило объяснить эффект размывания четких орбит меры, а так же минимального множества, в котором эта мера определена. Эффект размывания достаточно хорошо укладывается в рамки топологического варианта фундаментального принципа ослабления корреляции. Поэтому аксиоматизация этого принципа переводит детерминированную метрологическую структуру в ее нечеткий аналог, который и формирует слабо структуризованцую проблецу.

6. В результате теоретического исследования получен вариант компромисса между проблемой наблюдаемости и аксиоматизацией принципа ослабления корреляции. Компромисс реализуется на базе гипотезы счетности, которая допускает проекцию нечеткой структуры на конечномерный базис, составленный из классов эквивалентности.

7. С практической точки зрения, выделение нечетких метрологических пространств позволяет рассматривать навигационные процессы и их навигационную безопасность с позиции открытых или почти открытых систем. Для открытых или почти открытых систем оценка безопасности навигации может быть осуществлена только на уровне квазитранзитивности меры и при обязательном условии эргодичности факторного пространства. Естественно, что методики оценки навигационной безопасности в нечетких метрологических пространствах должны претерпеть изменения с учетом особенностей слабо структуризованных проблем.

8. В теории погрешностей, полученное топологическое многообразие приводит к представлению о существовании двух групп погрешностей, обладающих свойством вложения. Первая из групп, при аксиоматизации гипотез отделимости и замкнутости, включает в себя классическое представление случайных и систематических погрешностей. Вторая группа, использующая топологический вариант принципа ослабления корреляции с привлечением гипотезы обобщенного универсума, ' включает в себя погрешности, для которых возможен лишь нечеткий подход к соотношению случайного и детерминированного. Причем перv вая группа погрешностей может быть рассмотрена как предел второй.

Полученный результат не противоречит принципу инвариантно - группового подхода.

9. Практическое применение слабо структуриэованной проблемы к принципу "общего положения" позволяет рассматривать его не просто как смесь случайного и детерминированного, а как самостоятельное состояние, образующее класс эквивалентности. Причем в этом классе имеет место структура порядка. Наличие структуры порядка и метризуемость состояния теоретически доказывает, что локальность может быть наблюдаемой и измеряемой. Одним из вариантов иэмери- -мости локальности является ее отображение через преобразования подобия, в форме вращательной, зеркальной и трансляционной симметрий. Если же расширить режим движения меры до самоорганизующегося, то даже при: эргодическом факторном пространстве могут возникнуть движения с преобразованиями подобия вида масштабной симметрии.

10. Выделение сконструированного топологического многообразия двух предельных состояний, соответствующих понятиям "чистая" слу- ~ чайность и "чистая" детерминированность с последующим их объединением в общее непрерывное пространство отображений дают четкое физическое представление о модели перехода типа "случайность - закономерность". Анализ условий такого перехода снимает вопрос о противоречивости байесовского и небайесовского подходов к грубым погрешностям и позволяет объяснить поведение промахов с единой позиции, лежащей в области теории нечетких множеств. Акцент на элементы теории нечетких множеств может стать базой для дальнейшего совершенствования методов и мероприятий, направленных на уменьшение влияния грубых погрешностей, что и будет способствовать правильному навигационному "мироощущению".

11. Методология принятия решения в условиях аддитивности альтернатив без учета элементов неопределенности, вносимой топологическим вариантом принципа ослабления корреляции, к настоящему времени достаточно полно разработана. Поэтому предложен алгоритм принятия решения, учитывающий свойство не аддитивности, присущее структурам с автоволоновым характером функционирования. Следовательно внедрение в практику судовоящения нечеткой структуры и ее аналога в области топологических инвариант позволит осуществлять разработку новых методик обработки навигационной информации, совершенствовать ранее предложенные методики и выполнять оценку качества безопасности навигации в условиях неполной наблюдаемости, опираясь на принципы принятия рещения в условиях не аддитивности альтернатив.

Методика проекции нечетких свойств в область их топологических инвариант, а так же методика склеивания по принципу квазитранзитивности меры точности уже получили свою практическую реализацию в рамках хоздоговорной тематики, связанной с разработкой информационного обеспечения автоматизированных информационно-советующих— систем тралового и кошелькового лова, выполняемой в 1975 - 1986 гг. Эти работы велись по поручению МРХ СССР, под общим руководством профессора В.Е.Ольховского и при участии автора в качестве ответственного исполнителя. В частности, проекция нечетких свойств в область их топологических инвариант использовалась при разработке малопараметрических моделей, реализующих процесс движения трала по глубине и курсу, а методика склеивания привлекалась для формирования фильтров, объединяющих свойства фильтров с эффективной памятью и конечной эффективной памятью. Кроме того свойство квазитранзитивности мер точности привлекалось при планировании экспериментов для составления формуляров информации о маневренных характеристиках судов Северного бассейна в соответствии с требованиями Конвенции

C0J1AC-74 с поправками и Резолюции ШО А.601 (15) от 19 ноября 1987 г по безопасности мореплавания.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Меньшиков, Вячеслав Иванович, 1995 год

1. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций.- М.: Мир, 1.7I.-375 с.

2. Берштейн С.Н. Стохастические дифференциальные уравнения // Собр.соч. Т.4.-М.: Наука, 1964.- 604 с.

3. Биркгоф г* Теория решеток.-М.: Наука, 1984.- 564 с.

4. Бурбаки Н. Интегрирование меры, интегрирование мер.-М.: Наука, 1967.- 396 с.

5. Вагущенко Л.Л. Точность и надежность квазиоднороднородных процессов движения по маршруту: Автореф.дис. на соискание учен, степ, д-ра техн. наук.-Одесса, 1969.- 38 с.

6. Гихман И.И., Скороходов А.В. Теория случайных процессов. -М.: Наука, I97I.T.I.- 664 с.

7. Гноенский Л.С. О связи некоторых показателей качеств в линейных стационарных управляемых системах // Докл. АН СССР,- 1968. Т.181, II, С. 35-38.

8. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем.-М.: Наука, 1969.- 294 с.

9. Груздев Н.М. Оценка точности морского судовождения.-М. : Транспорт, 1989.- 188 с.

10. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С, Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ, 1937.- №6.- С.1-26.- секция AI.

11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.-М.: Наука, 1972. 496 с.

12. Коцдрашихин В.Т. Определение места судна.- 2-е изд.-М.: Транспорт, 1989.- 228 с.а

13. Котляков Е.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.И. Уравнения в частных производных математической физики.-М.: Высш.шк. 1979.- 710 с.

14. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств.-М.: Радио и связь, 1982.- 432 с.

15. Логиновский В.А. Применение преобразований подобия для анализа и обработки навигационной информации: Автореф. дис. на соискание уч.степ, д-ра техн.наук.-СПб, 1991.- 46 с.

16. Меньшиков В.И., Макаров В.Е., Авраменко В.И. Элементы теории отображения поля скоростей вод верхнего слоя океана в неопределенность счисления // Тезисы докладов юбилейной конференции/ МВИМУ.-Мурманск, I99I.- C.6-8.

17. Меньшиков В.И. К вопросу о динамике нормированной меры в судовождении // Тез. докл. науч.-техн. конф. проф.-преп. состава, аспирантов, науч. и инж.-техн. работников / МШМУ. -Мурманск, 1991-»83с.

18. Меньшиков В.И. Условия связанности компакты мер точности при измерениях навигационных параметров // Тез.докл. науч.-техн. конф. проф.-преп. состава, аспирантов, науч. и инж.-техн. работников МГАГО.- 4.2/ МГАРФ.- Мурманск, 1992.- C.2I-22.

19. Меньшиков В.И. Стационарная модель метрологической надежности навигации // Тезисы докл. науч.-техн. конф. проф.-преп. состава, аспирантов, науч. и инж.-техн. работников МГАРФ.-4.2 / МГАРФ.- Мурманск, 1992.- С.22-23.

20. Меньшиков В.И. Идентификация состояний движения множества мер точности в задачах безопасности навигации // Тез. докл. науч.техн. конф. проф.-преп. состава, аспирантов, науч. и инж.-техн. работников МГАРФ.-4.1 / МГАРФ.- Мурманск, 1980.- 93 с.

21. Меньшиков В.И. Неопределенность в текущем месте судна.-Мурманск, 1994.- 130 е.- (МГАРФ).

22. Ольховский В.Е., Яковлев В.И., Меньшиков В.И. Математическое обеспечение автоматизации тралового и кошелькового лова.-М.: Пищ. пром-сть, I960.- 16? с.

23. Пфанцагль И. Теория измерений.-М.: Мир, 1976.- 248 с.

24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния.-М.: Мир, 1980.- 463 с.

25. Скворцов М.И. Систематические погрешности в судовождении. -М.: Транспорт, 1980.- 167 с.

26. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.- 286 с.

27. Фейнман Р. Статистическая механика.-М.: Мир, 1978.- 407 с.

28. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии.-М: Мир, 1987.- 397 с.

29. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука, 1963.- 424 с.