Метрические пространства без сопряженных точек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Лебедева, Нина Дмитриевна

• Лебедева, Нина Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лебедева, Нина Дмитриевна

Введение

1 Компактные пространства без сопряжённых точек.

1.1 Внутренние метрики.

1.2 Пространства без сопряжённых точек.

1.3 Общие свойства действия фундаментальной группы на универсальном накрывающем компактного пространства без сопряжённых точек.

1.4 Метрики на группе и метрики слов.

1.5 Объёмная энтропия и метрика слов на фундаментальной группе.

1.6 Норма на абелевой подгруппе фундаментальной группы и её продолжение на Еп.

2 Теорема об абелевой подгруппе фундаментальной группы.

3 Полиэдральные пространства.

4 Касательное пространство и геодезические.

4.1 Геодезические.

• 4.2 Касательное пространство.

4.3 Продолжимость геодезических.

5 Мера Лиувилля.

5.1 Формула для вычисления меры Лиувилля.

5.2 Инвариантность относительно геодезического потока.

5.3 Мера множества с кратностью и её инвариантность.

5.4 Геодезические общего положения.

6 Геодезический поток. Класс мер, инвариантных относительно геодезического потока.

7 Обобщение теоремы о возвращении.

8 Теорема про тройные склейки и объёмную энтропию.

8.1 Обозначения.

8.2 Специальное множество.

8.3 Специальная мера.

8.4 Оценка меры множества геодезических.

8.5 Множество часто ветвящихся геодезических.

8.6 Окончание доказательства теоремы 4.

9 Теорема о полиномиальном росте. Теорема о полиэдральных пространствах с нильпотентной фундаментальной группой.

9.1 Гомотопический тип М.

9.2 Построение локальной изометрии.

9.3 Доказательство изометричности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрические пространства без сопряженных точек»

Настоящая диссертация посвящена исследованию компактных пространств без сопряжённых точек. Риманово многообразие не имеет сопряжённых точек, если ненулевое поле Якоби вдоль любой геодезической обращается в нуль не более одного раза. Для полного многообразия это условие эквивалентно тому, что экспоненциальное отображение невырождено в любой точке. Из теоремы Адамара ([16]) следует, что полное риманово многообразие не имеет сопряжённых точек тогда и только тогда, ф когда любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической. Это условие естественно принять за определение отсутствия сопряжённых точек для произвольного пространства с внутренней метрикой. С. Александер и Р. Бишоп ввели понятие сопряжённых точек ([1]) для случая пространств ограниченной сверху кривизны по Александрову и доказали теорему Картана-Адамара для случая неположительной кривизны. В работах [12], [15], [24], [21] исследовались римановы многообразия без сопряжённых точек.

Важным примером пространств без сопряжённых точек являются пространства неположительной кривизны по Александрову, в частности римановы многообразия неположительной секционной кривизны. В отличие от неположительности кривизны отсутствие сопряжёныых точек является динамическим свойством, так показано ([13]), что если два мно

• гообразия имеют сопряжённые геодезические потоки, то отсутствие сопряжённых точек на одном из них равносильно отсутствию сопряжённых точек на другом.

Как примеры пространств неположительной кривизны, не являющихся многообразиями, часто рассматриваются полиэдральные пространства ([6]). Под полиэдральным пространством мы будем иметь ввиду пространство с внутренней метрикой, которое можно получить склейкой симплексов с римановыми метриками по изометриям между их граничными симплексами. Некоторые результаты данной работы получены для самых общих пространств без сопряжённых точек, а некоторые для случая полиэдральных пространств.

Известной задачей, послужившей развитию области, была гипотеза

Хопфа: всякая риманова метрика без сопряжённых точек на п-мерном торе является плоской. Гипотеза для случая п = 2 впервые была сформулирована в [23] и спустя б лет была доказана Э. Хопфом. В старших размерностях для пространств неположительной кривизны утверждение легко следует из известной теоремы о существовании вложенного плоского тора, соответствующего любой абелевой подгруппе фундаментальной группы ([7]). Гипотеза была доказана при условии положительности интегральной скалярной кривизны (L. Green, [17]), в предположении отсутствия фокальных точек (A. Avez, [3]), а также при различных других дополнительных предположениях относительно метрики. Полностью гипотеза Хопфа была доказана Д. Бураго и С. Ивановым ([9]). Известно ([11]), ф что гипотеза Хопфа неверна для финслеровых метрик. В данной работе получено обобщение гипотезы Хопфа на полиэдральные пространства с нильпотентной фундаментальной группой. Из этого результата и теоремы Громова о группах полиномиального роста, как следствие, получена теорема о том, что любое полиэдральное пространство без сопряжённых точек с фундаментальной группой полиномиального роста накрывается плоским тором.

При исследовании некоторых свойств компактных многообразий оказалось ([4], [5], [27]), что асимптотические свойства метрики их универсальных накрывающих пространств связаны с локальной геометрией самих компактных пространств, поведением геодезических в этих пространствах. На универсальном накрывающем пространстве М компактного пространства М действует изометриями фундаментальная группа ® 7Ti(M); впервые была оформлена Громовым хорошо известная в настоящее время идея приближения метрики на М метрикой на решётке в этом пространстве — орбите действия группы tti(M), т.е. рассматривать метрики на фундаментальной группе. В связи с этим возникают различные вопросы о свойствах фундаментальных групп компактных пространств.

Интересные результаты получаются при сравнении асимптотических свойств метрики универсального накрывающего и какого-либо модельного пространства, например евклидова. Так показано, что рост средних объёмов метрических шаров в универсальном накрывающем пространства без сопряжённых точек не меньше чем в евклидовом, причём равенство достигается только когда метрика плоская (С. Croke, [12]).

Среди вопросов о топологии пространств без сопряжённых точек • остаётся открытым естественный вопрос о возможности задания на произвольном пространстве без сопряжённых точек метрики неположительной кривизны. Несмотря на то, что построено множество примеров пространств без сопряжённых точек ([21]), не являющихся пространствами неположительной кривизны, неизвестно ни одного пространства без сопряжённых точек, не допускающего метрики неположительной кривизны. Ввиду этого интерес вызывает изучение свойств фундаментальной группы пространств без сопряжённых точек и их сравнение со свойствами фундаментальной группы пространств неположительной кривизны. В диссертации, в частности, обобщён результат Кроука и Шрёдера ([15]) о строении фундаментальной группы многообразия с римановой метрикой без сопряжённых точек на случай произвольного локально односвязного пространства без сопряжённых точек. В работе также доказано, что если полиэдральное пространство без сопряжённых точек не является пседом-ногообразием, то его фундаментальная группа имеет экспоненциальный рост. С использованием этих двух результатов было доказано обобщение гипотезы Хопфа.

Кроме того, в диссертации развивается техника работы с полиэдральными пространствами (независимо от отсутствия сопряжённых точек), которая может быть полезна и в других вопросах. Рассматривается вопрос о продолжимости геодезических в полиэдральных пространствах, а также доказывается сохранение меры Лиувилля при переходе через грань. Построен широкий класс ивариантных мер на пространстве полных геодезических с отмеченной точкой, что позволяет применять к это® му пространству эргодическую теорию; построенный класс мер обобщает конструкцию используемую в [6] при исследовании полиэдров неположительной кривизны.

Далее описывается структура диссертации и приводятся формулировки результатов.

Работа состоит из 9 параграфов.

Первый параграф носит вводный характер и содержит основные определения, свойства и технические результаты для общих компактных пространств без сопряжённых точек. Результат второго параграфа доказан для таких пространств.

Параграфы 3-6 посвящены основным определениям и технике работы с полиэдральными пространствами независимо от свойства отсут

• ствия сопряжённых точек.

Результаты параграфов 7-9 доказаны для полиэдральных пространств.

Результат параграфа 9 существенным образом опирается на результаты параграфов 2 и 8. В параграфах 7 и 8 используются меры, построенные в параграфе 6.

В параграфе 1 даются определения пространств с внутренней метрикой и пространств без сопряжённых точек, а также простейшие свойства представителей гомотопических классов петель в таких пространствах. Далее приводятся простейшие свойства действия фундаментальной группы на универсальных накрывающих компактных пространств ф без сопряжённых точек, рассматриваются асимптотические свойства метрики, связанные с действием группы.

Определяются понятие метрики на произвольной группе и метрики слов на группе с выбранной системой образующих, рассматривается связь метрики слов на фундаментальной группе с ростом объёма универсального накрывающего пространства.

В этом же параграфе доказывается основной технический результат, необходимый для доказательства теоремы 1 параграфа 2. Для доказательства теоремы вводится норма на группе, связанная с метрикой пространства, и сравнивается с метрикой слов на этой группе.

Для формулировки дальнейших результатов дадим определение прямой подгруппы:

Конечнопорождённая подгруппа Го Э Г называется прямой в Г, ® если метрики слов | |г0 и j |г эквивалентны на Го

В параграфе 2 доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть X — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая конечнопорождённая абелева подгруппа фундаментальной группы 7i"i(X) — прямая.

Эта теорема является асимптотическим аналогом известной теоремы для пространств неположительной кривизны: любой абелевой подгруппе фундаментальной группы такого пространства соответствует вложенный в это пространство плоский тор, той же размерности, что и группа.

Результат аналогичный теореме 1 был доказан Кроуком и Шрёде-• ром ([15]) для случая, когда X — компактное многообразие с аналитической метрикой без сопряжённых точек.

Из теоремы 1 чисто алгебраическим путём получаются два следствия, доказательство вывода которых из аналогичной теоремы имеется в [15]. На первое из этих следствий опирается в дальнейшем доказательство теоремы 5.

Следствие 1 Пусть X — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая нилъпотентная подгруппа фундаментальной группы тг\(Х) абеле-ва.

Следствие 2 Пусть X компактное локально односвязное проф странство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая разрешимая подгруппа Г фундаментальной группы щ(Х) — группа Бибербаха. В частности Г содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

В параграфе 3 приводится полное определение полиэдрального пространства, определение триангуляции, гладкой структуры на симплексах, внутренней метрики на полиэдральном пространстве.

В параграфе 4 определяется касательное пространство полиэдрального пространства (определено только в точках, лежащих внутри симплексов коразмерности меньшей двух). В этом же параграфе даются общие сведения о поведении геодезических в полиэдральном пространстве. Для доказательств удобно рассматривать только геодезические не пересекающие (п — 2)-мерный остов и пересекающие (п — 1)-мерные грани

• трансверсально, такие геодезические названы геодезическими общего положения. Доказано, что геодезические переходят через (п — 1)-мерные грани по правилу "угол падения равен углу отражения".

В параграфе 5 вводится мера Лиувилля на единичном касательном расслоении, доказывается её инвариантность под действием преобразования геодезического потока вблизи двух n-мерных симплексов с общей (п — 1)-мерной границей.

Вводится понятие меры Лиувилля скоростей множества геодезических с учётом кратности (т.е. если одному вектору соответствуют различные геодезические, этот вектор учитывается столько раз, сколько таких геодезических) и доказывается её инвариантность.

Доказывается, что если на (п — 1)-мерных гранях выбраны однозначные правила перехода для геодезических "почти касательных к этим граням", то для почти любого по мере Лиувилля единичного вектора, любая геодезическая с таким начальным вектором скорости является геодезической общего положения. Этим фактом обусловлено название — геодезические общего положения.

В параграфе 6 построен широкий класс инвариантных относительно геодезического потока мер на пространстве геодезических. Эти меры позволяют выделять в пространстве геодезических подмножества с определёнными свойствами, а также применять к этому пространству эргодическую теорию.

В параграфе 7 доказано обобщение теоремы Пуанкаре о возвраще

Ф нии на случай полиэдральных пространств. По заданному геодезическому отрезку строится геодезическая с близким к данному начальным отрезком и почти возвращающаяся через некоторое время вместе с вектором скорости к своему начальному положению. Эта теорема была доказана в ([33]) другим способом, доказательство, приведённое в диссертации, с использованием инвариантной меры, построенной в параграфе б, значительно короче.

В параграфе 8 доказывается

Теорема 4 Пусть М - компактное полиэдральное пространство без края и без сопряженных точек. Если имеется более, чем два п-мерных симплекса триангуляции, имеющих общую (п—1)-мерную грань, то объемная энтропия пространства М положительна.

Положительность объемной энтропии пространства М означает, что

• объем метрических шаров в М имеет не менее чем экспоненциальный рост.

При доказательстве этой теоремы на пространстве геодезических вводится инвариантная относительно геодезического потока мера (одна из класса мер, построенных в параграфе 6) и к полученному пространству с мерой применяется эргодическая теория.

Интересен вопрос: будет ли положительной объёмная энтропия пространства без сопряжённых точек, полученного отождествлением в псевдомногообразии изометричных граней размерности меньшей (п — 1).

В параграфе 9 доказывается

Теорема 5 Пусть (М, р) — n-мерное полиэдральное пространство без края и без сопряжённых точек с нильпотентной фундаментальной

• группой. Тогда М — плоский тор.

При доказательстве этой теоремы используется следствие 1 теоремы 1 и результат теоремы 4. Один из этапов доказательства теоремы аналогичен содержащемуся в [26] варианту доказательства гипотезы Хопфа, полученного в [9].

Как следствие из неё и теоремы Громова о том, что любая группа полиномиального роста содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса получается

Теорема 6 Пусть (М, р) — компактное полиэдральное пространство без края и без сопряженных точек. Если его фундаментальная группа 7Ti (М) имеет полиномиальный рост, то существует конечнолистное накрытие пространства М плоским тором.

Остаётся неизвестным, верно ли, что метрика плоская, если рост группы субэкспоненциальный.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лебедева, Нина Дмитриевна, 2003 год

1. S. Alexander, R. Bishop. The Hadamar-Cartan theorem in locally convex metric spaces. Ensein. Math. (2) 36(1990),no. 3-4, 306-320.

2. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики М.: Наука, 1989.

3. A. Avez. Varietes riemanniennes sans points focaux. C. R. Acad. Sci. Paris, 270(1970), 188-191.• 4. V. Bangert. Minimal geodesies. Ergod. Th. and Dynam. Sys., vol 10, 1989, 263-286.

4. V. Bangert. Geodesic rays, Busemann functions and monotone twist maps, r Calc. Var. vol 2, 1994, 49-63.

5. W. Ballmann and M. Brin. Orbihedra of nonpositive curvature. Publ. Math. IHES 82(1995), 169-209.

6. M.R. Bridston and A. Haffliger. Metric spaces of non-positive curvature, in ser.A Series of Comprehensive Stadies in Mathematics, vol. 319, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

7. D. Burago. Periodic metrics. Advances in Soviet Math., vol 9, 1992, 205-206.

8. D. Burago, S. Ivanov. Riemannian tori without conjugate points are flat. Geom. Func. Anal. 4 (1994), no. 5, 800-808.

9. D. Burago, Yu. Burago, S. Ivanov. A Cours in Metric Geometry. Graduate studies in mathematics; v.33.

10. H. Busemann. Geometry of geodesies. Acad. Press, New York, 1955.

11. C. Croke. Volume of balls in manifolds without conjugate points. International J. Math. 3(1992), 455-467.

12. C. Croke, B. Kleiner. Conjugacy and Rigidity for Manifolds with a Parallel Vector Field. J. Diff. Geom., 39 (1994), 659-680.

13. C. Croke, B. Kleiner. On Tori Without Conjugate Points. Invent. Math., 120 (1995), 241-257.

14. С. Croke, V.Schroeder. The fundamental group of compact manifolds without conjugate points. Comment. Math. Helvetici, 61(1986), 161-175.

15. M. do Carmo. Riemannian geometry. Birkhauser Boston, Inc., 1992.

16. L. Green. A theorem of E. Hopf. Mich. Math. J., 5 (1958), 31-34.

17. Gromov Mikhael. Groups of polinomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Studes Sci.Publ.Math. No.53(1981), 53-73.

18. M. Gromov. Asymptotic invariants of infinite groups. Geometric group theory. Vol.2 (Sussex,1991), 1-295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, Cambridge, 1993.

19. M. Gromov. Hyperbolic manifolds, groups and actions. In: Riemann surfaces and related topics, Stony Brook Conference 1978, Annals of math. Studies, 97, 183-213, Princeton University Press, 1981.

20. R. Gulliver. On the variety of manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 210 (1975), 185-201.

21. D. Gromoll, J. Wolf. Some relations between the metric structure and the algebraic structure of the fundamental group in manifolds of nonpositive curvature. Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 545-552.

22. G. Hedlund, M. Marston. Manifolds without conjugate points. Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942), 362-386.

23. Jens Heber. On the gedesic flow of tori without conjugate points. Mathematische Zeitschrift, 216, 209-216(1994)

24. E. Hopf. Closed surfaces without conjugate points. Proc. Nat. Acad. Sci, 34(1948), 47-51.

25. C.B. Иванов. Геометрия периодических метрик и объёмы предельных финслеровых многообразий, Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург — 1995г.

26. J. Mather. Variational construction of connecting orbits. Ann. Inst. Fourier, vol 43, 1993, 1349-1386.

27. Tits,Jacques. Appendix to: Groups of polinomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Studes Sci.Publ.Math. No.53(1981), 53-73,by M. Gromov,74-78.

28. Г.Федерер. Геометрическая теория меры.М.: Наука, 1987

29. П.Р.Халмош. Лекции по эргодической теории.Издательство иностранной литературы, Москва, 1959.

30. Н.Д.Лебедева. Об экспоненциальном росте полиэдральных пространств без сопряжённых точек. Алгебра и анализ, том15(2003), вып.1, 184-200.

31. N.Lebedeva. On fundamental group of space without conjugate points. Preprints PDMI, 5/2002.

32. Н.Д.Лебедева. Теорема о возвращении в системах с ветвящимися геодезическими. Алгебра и анализ, том 14(2002), вып. 5, 87-96.

33. Н.Д.Лебедева. Пространства без сопряоюенных точек с фундаментальной группой полиномиального роста. Принято к печати в журнал Алгебра и анализ.

34. Н.Д.Лебедева. On homotopy properties of spaces without conjugate points. Abstracts of Second Russian-Germany Geometry Meetingф dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov, St.Petersburg, Russia,2002, 38-39.t