Методы теории детерминированного хаоса в исследовании нерегулярной динамики финансовых рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Тренин, Юрий Борисович

• Тренин, Юрий Борисович
• кандидат экономических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Тренин, Юрий Борисович

Введение.

1. Проблемы исследования финансовых рынков математическими методами . 13 ^ 1.1. Современные представления о финансовых рынках.

1.2. Развитие научной мысли в исследовании финансовых рынков.

1.3. Анализ адекватности аксиом классической теории эффективного рынка

1.4. Истоки междисциплинарной концепции анализа сложных систем.

1.5. Краткие выводы.

2. Математические методы исследования сложных систем.

2.1. Понятие динамической системы.

2.2. Гиперболические множества и структурная устойчивость.

2.3. Формирование хаоса в нерегулярных динамических системах. ф 2.4. Метрические и динамические инварианты динамических систем.

2.5. Реконструкция аттрактора динамической системы.

3. Исследование финансовых рынков методами теории детерминированного

V хаоса.

3.1. Идентификация динамических систем и выбор динамических наблюдаемых

3.2. Расчет инвариантов и реконструкция аттракторов исследуемых динамических систем.

3.3. Прогнозирование динамики систем классическим методом.

4. Развитие методов прогнозирования динамики финансовых рынков.

4.1. Анализ характерных реакций исследуемых динамических систем на информационные воздействия. щ, 4.2. Прогнозирование на эталонных пучках фазовых кривых.

4.3. Сравнение результатов прогнозирования классическим и предлагаемым

• методами.

4.4. Автоматизация и информационное обеспечение операций на финансовых рынках.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы теории детерминированного хаоса в исследовании нерегулярной динамики финансовых рынков»

Финансовые рынки являются важнейшим институтом рыночных экономик. Как и на обычных рынках, на них происходит обмен, но в качестве товара выступают не материальные блага, а сопоставленные с ними обязательства и права. Примерами «товаров» на финансовых рынках являются национальные валюты, различные ценные бумаги, долговые обязательства хозяйствующих субъектов, долговые обязательства государств, кредиты банков и т.д. Важность финансовых рынков обусловлена их ролью в деятельности как отдельных хозяйствующих субъектов, так и целых экономик. Если товарные рынки ответственны за операционную деятельность и потребление, то финансовые рынки ответственны за воспроизводство и совершенствование средств, создающих предметы потребления, а также экономический обмен между экономиками с различными валютами. Это определяет достаточно глубокие и разнообразные взаимосвязи финансовых рынков с экономикой в целом, и делает их очень чувствительными к малейшим изменениям, происходящим в ней.

В данной работе предпринимается попытка взглянуть на финансовые рынки с точки зрения достаточно универсальной математической парадигмы — теории детерминированного хаоса, которая показала превосходные результаты, заменив линейный подход в прикладных задачах из разных научных областей.

В рамках данного исследования изучается российский фондовый рынок -РТС и международный межбанковский валютный рынок - FOREX. При определенных условиях финансовые рынки можно рассматривать как локально детерминированные динамические системы, что и позволяет применить методы теории детерминированного хаоса для построения математических моделей, их изучения и прогнозирования динамики.

Актуальность темы диссертационного исследования

Актуальность работы обусловлена необходимостью развития альтернативных теорий финансовых рынков и их приложений к реальной финансовой аналитике, основанных на более адекватных предположениях по сравнению с классической теорией эффективного рынка и построенных с привлечением математического аппарата, предназначенного для исследования детерминированных систем.

Результаты ряда исследований ставят под сомнение адекватность исходных аксиом теории эффективного рынка и полученных на ее основе результатов. В настоящее время широко распространяется теория динамических систем, посвященная, в частности, системам, демонстрирующим нерегулярную динамику. Эта теория становится в последнее время истинно междисциплинарной, поскольку замена известных линейных стохастических моделей на нелинейные детерминированные модели в различных научных областях вызвала настоящий прорыв в понимании и исследовании изучаемых процессов. Научное направление, связанное с применением методов теории детерминированного хаоса для исследования финансовых рынков, находится на начальном этапе своего развития. В связи с этим, в доступных исследованиях наблюдается механистический «перенос» методов теории на исследования финансовых рынков. Отметим, что без понимания и учета специфики объекта исследования, являющегося социально-экономической системой, это вряд ли является корректным. Поэтому, задачи развития и уточнения моделей финансовых рынков, основанных на теории детерминированного хаоса и учитывающих специфику экономических систем, представляются актуальными и востребованными как в научной теории финансовых рынков, так и в экономической практике.

Заметим также, что существуют два взаимодополняющих прикладных подхода к анализу финансовых рынков. Первый из них - фундаментальный анализ, который частично опирается на теорию эффективного рынка. В рамках этой концепции утверждается, что решающую роль на динамику рынка оказывают фундаментальные факторы макроэкономического масштаба, а также фундаментальные факторы, характеризующие эффективность деятельности отдельного эмитента, если речь идет о рынке акций. Для оценки справедливых уровней цен используются статистики, рассчитанные из предположения нормальности распределения приращений цен. Однако, как уже указывалось, ряд исследований доказывает несостоятельность использования предположения о нормальности наблюдаемых распределений и лишает научное знание устоявшейся адекватной теории финансовых рынков.

Технический анализ является подходом, в основе которого лежат эмпирические аксиомы, выявленные и сформулированные на основе опыта участников торгов. Эта концепция получила широкое распространение благодаря относительной легкости ее использования. Технический анализ постулирует, что любой фактор, способный, так или иначе, повлиять на спрос или предложение, неизменно найдет свое отражение в динамике цены, и поэтому, для прогнозирования цен в будущем необходимо концентрироваться на изучении и выявлении закономерностей движения цен в прошлом. В результате технический анализ трансформировался в совокупность эмпирических правил, формализованных графически или в простейших математических выражениях. На комбинациях этих правил участники рынка пытаются предсказывать движение цен и формируют на основе этого соответствующую торговую стратегию. Как показывает опыт, технический анализ, подобно фундаментальному, в большинстве случаев оказывается мало эффективным.

Как уже указывалось, в последние два-три десятилетия наблюдается бурное развитие теории динамических систем и такого ее раздела как теория детерминированного хаоса, которая находит свое применение практически во всех естественных науках, массовым образом вытесняя линейную стохастическую парадигму и полученные на ее основе модели. После первых попыток применения методов этой теории для анализа финансовых рынков, многим исследователям стало понятно, что в таком подходе имеется значительный потенциал. Показательной иллюстрацией этого факта стало массовое появление физиков - специалистов в области детерминированного хаоса в аналитических отделах крупнейших банков и финансовоинвестиционных корпораций и компаний. Понятно, что исследования и результаты работ в этом направлении в своем большинстве являются коммерческой тайной и интеллектуальной собственностью крупнейших участников мировых и национальных финансовых рынков. Тем не менее, доступные для научной общественности исследования доказывают актуальность и перспективность дальнейшего развития новой парадигмы анализа финансовых рынков.

Степень разработанности проблемы

Рождением данного научного направления можно считать выход в 1996г. книги Э. Петерса «Хаос и порядок на рынках капитала», которая, по многим оценкам, относится к числу наиболее выдающихся трудов в области финансов за последние десятилетие прошлого века. Развитие данного подхода рассматривается в трудах ряда зарубежных авторов, таких как В.Б. Артур, JI. Кэлвет, Э. Фишер, Р. Конт, Н.Х. Франциз, C.J1. Гайлс, С. Лоуренс, X. Канц, Т. Шрейбер, Т.С. Миллс, Дж. Кин и другие. Кроме того, известны и работы отечественных исследователей А.Ю. Лоскутова, Д.И. Журавлева, О.Л. Котлярова, А.А. Ежова, С.А. Шумского, Л.А. Дмитриевой, Ю.А. Куперина, И.В. Сорока и другие.

Изучение и анализ фундаментальных трудов и периодической литературы позволили определить общую проблему исследований финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса. Основные научные результаты, полученные в данной области, можно объединить в две группы:

1. Доказательство преимущественной детерминированности динамических систем, соответствующих различным финансовым рынкам, основывающееся на оценке метрических и динамических инвариантов этих систем.

2. Реконструкция аттракторов изучаемых систем для ряда различных финансовых рынков и попытки прогнозирования рыночной динамики на данных аттракторах как глобальными, так и локальными методами аппроксимации.

Вместе с тем большинство исследователей не пытаются понять сущность изучаемого объекта, не анализируют корректность прямого применения математического аппарата к частично детерминированным системам, подверженным как внешним, так и внутренним случайным воздействиям. В связи с этим остаются неразрешенными вопросы, касающиеся факторов стационарности финансовых рынков во времени, а также учета воздействия на систему случайных импульсов, обусловленных внешним информационным потоком. Все вышеизложенное определило цель, логику и структуру настоящего исследования.

Цель исследования

Целью диссертационного исследования является разработка подхода к исследованию нерегулярной динамики финансовых рынков, основывающегося на предположении о детерминистской природе происходящих процессов, и учитывающего воздействие на систему внешних информационных поводов, а также разработка детерминистских моделей финансовых рынков.

В рамках исследования предполагается разрешить вопрос о корректности применения теории детерминированного хаоса к моделированию финансовых рынков, определить нелинейные инварианты и характеристики изучаемых систем с целью подтверждения преимущественной детерминированности динамических систем, сопоставленных изучаемым финансовым рынкам, а также разработать инструмент краткосрочного прогнозирования динамики финансовых рынков, учитывающий воздействие информационных поводов, имеющих случайный характер.

Данная цель исследования предопределила постановку и последовательное решение следующих взаимосвязанных задач:

- определить возможность применения методов теории детерминированного хаоса для моделирования финансовых рынков как социально-экономических систем;

- вычислить метрические и динамические инварианты рассматриваемых динамических систем для подтверждения детерминистской природы процессов, происходящих на финансовых рынках;

- по цене контракта или значению некоторого индекса цен, являющихся динамическими наблюдаемыми, осуществить реконструкцию фрагментов аттракторов динамических систем, описывающих финансовые рынки;

- классифицировать информационные воздействия на исследуемом временном интервале и осуществить разбиение фазовой траектории на фрагменты, соответствующие типичным реакциям финансовых рынков;

- алгоритмизировать метод прогнозирования на эталонных пучках с целью дальнейшего создания прикладных программ, реализующих данный метод;

- разработать метод краткосрочного прогнозирования динамики финансовых рынков на эталонных пучках фазовых траекторий.

Объектом исследования являются финансовые рынки: международный межбанковский валютный рынок (FOREX) и рынок акций Российской торговой системы (РТС).

Предметом исследования является моделирование финансовых рынков на основе теории детерминированного хаоса, направленное на минимизацию операционных рисков участников торгов.

Методологической и теоретической основой исследования являются труды зарубежных и отечественных ученых, посвященные применению методов теории детерминированного хаоса для исследования финансовых рынков. Математический аппарат исследования основан на теории динамических систем, дифференциальной геометрии и топологии. В процессе диссертационного исследования использовались методы анализа и синтеза, гипотетико-дедуктивные и индуктивные методы научного познания.

Тема и содержание диссертации принадлежат к области исследований научной специальности ВАК 08.00.13 - Математические и инструментальные методы в экономике (раздел 1. «Математические методы», подраздел 1.4. «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений», подраздел 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов»).

Информационная база исследования включает данные о значениях технического индекса Российской торговой системы (РТС), и значениях котировок контракта Евро/Доллар США.

Научная новизна диссертационной работы состоит в развитии концепции «Финансовый рынок как нерегулярная динамическая система» на основе углубленного анализа специфики объекта исследования и разработки математических моделей, позволяющих учитывать случайные составляющие детерминированной динамики финансовых рынков.

Научную новизну составляют следующие основные результаты, выносимые на защиту, которые получены лично соискателем:

1. Впервые введено понятие локальной детерминированности финансового рынка, дающее возможность установить временные границы стационарности исследуемых систем, и определить внешние информационные воздействия как наиболее существенный фактор, разрушающий локальную детерминированность финансовых рынков.

2. Осуществленна идентификация финансовых рынков как нерегулярных динамических систем, позволяющая использовать математический аппарат теории детерминированного хаоса для моделирования и прогнозирования финансовых рынков, а также предложено авторское описание границ системы и внешних факторов, изменяющих структуру системы или влияющих на динамику фазовой точки.

3. Дана численная оценка метрических и динамических инвариантов международного валютного и российского фондового рынков, подтверждающая детерминистскую, а не стохастическую природу происходящих на финансовых рынках процессов.

4. Построены фазовые портреты реакции изучаемых систем на информационные воздействия, что позволило подтвердить возможность определения наиболее благоприятных моментов времени для минимизации убытков либо максимизации операционной прибыли участников рынка.

5. Разработан метод прогнозирования динамики системы на эталонных фазовых пучках, учитывающий реакцию финансового рынка на случайное информационное воздействие и позволяющий осуществлять краткосрочные прогнозы динамики, основываясь на истории типичных реакций финансового рынка.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в диссертационной работе получила развитие альтернативная концепция теории финансовых рынков, основанная на теории динамических систем, проявившей себя в качестве междисциплинарного подхода к анализу сложных систем.

Практическая значимость исследования заключается в получении результатов, которые могут быть использованы в процессе управления финансовыми активами на организованных рынках, что позволит снизить риски финансовых операций на информационно-насыщенных временных интервалах.

Апробация результатов исследования

Основные положения и результаты исследования докладывались на четвертой и пятой международных научно-прикладных конференциях

Современные проблемы в теории и практике управления на предприятии» (Варна, 2002, 2004гг.), на заочной электронной конференции «Современные проблемы науки и образования» (Москва, 2004г.).

Предложенные в диссертации алгоритмы и методики используются на ОАО «Чусовской металлургический завод» (г.Чусовой), ООО «Агентство ценных бумаг» (г.Пермь) для аналитической поддержки операций на валютных и фондовых рынках.

Положения диссертационной работы применяются в учебном процессе Пермского государственного технического университета в разработанном курсе «Математические методы анализа финансовых рынков».

Публикации

Основные результаты исследования опубликованы в 6 научных работах, в том числе 5 статьях. Общий объем изданных работ составил 1,61 печ. л.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Тренин, Юрий Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Финансовые рынки, благодаря постоянной динамике цен контрактов, привлекают большое количество частных инвесторов, занимающихся, по сути, спекулятивными операциями. Реальные валютные операции, обслуживающие трансграничный товарообмен, составляют, как указывалась ранее, не более 5% от всего объема проводимых операций. На российском фондовом рынке эта доля, вероятно еще ниже, потому как количество первичных размещений, непосредственно трансформирующих сбережения в инвестиции в России минимально.

Как известно, большинство таких инвесторов относятся к операциям на финансовых рынках как к игре, технический и фундаментальный анализ в которой являются некими правилами. Однако и игра оказывается с отрицательной суммой, и правила работают лишь до определенного момента. В итоге 9 из 10 приходящих на рынки инвесторов менее чем через год теряют свои активы. По мнению известного эксперта А. Эдлера, такой исход вполне закономерен, поскольку финансовые рынки стали механизмом перераспределения ресурсов незадачливых новичков, жаждущих легкой спекулятивной наживы, в пользу нескольких крупных транснациональных компаний.

Взгляд на рынок как на единую систему, корректное применение соответствующего математического аппарата, разработка в рамках выбранной концепции моделей, учитывающих особенности моделируемых объектов, позволят, на мнению автора, не оказаться в инертной массе мелких спекулянтов, подверженной одинаковым психологическим стереотипам, а встать на одну ступень с аналитиками крупных компаний, превративших работу по перераспределению средств на финансовых рынках в доходный бизнес.

В данном исследовании получил дальнейшее развитие подход к анализу финансовых рынков, основанный на теории динамических систем и теории детерминированного хаоса. Подводя итог проделанной работы, сформулируем основные результаты исследования:

1. Показано, что междисциплинарная концепция анализа сложных систем, основывающаяся на теории динамических систем и детерминированного хаоса, способна стать более адекватным подходом к исследованию финансовых рынков по сравнению с теорией эффективного рынка.

2. На основе предложенного понятия локальной детерминированности и произведенной коррекции математического аппарата осуществлен анализ факторов, снижающих уровень детерминированности системы, соответствующей финансовому рынку.

3. На примере рынков РТС и FOREX доказано, что происходящие на финансовых рынках процессы, имеют не случайную, а детерминистскую природу.

4. Дано подтверждение неадекватности теории эффективного рынка, осуществленное на основе реконструкции аттракторов изучаемых систем, их визуализации и сравнения с типичным аттрактором случайного процесса.

5. Осуществлено краткосрочное прогнозирование динамики финансовых рынков, которое основано на разработке и тестировании метода, учитывающего типичные реакции рынков на информационные поводы.

6. Более высокая чувствительность предложенного метода прогнозирования по сравнению с прямым методом локальной аппроксимации, позволяет использовать его для уменьшения рисков операций на рынках.

Автор считает, что цели исследования достигнуты, а полученные результаты свидетельствуют о значительном потенциале применения теории детерминированного хаоса к анализу финансовых рынков. Полученные результаты полностью согласуются с целью и задачами диссертационного исследования.

Создание нового метода краткосрочного прогнозирования финансовых рынков на эталонных пучках стало возможным благодаря комплексному использованию как математического аппарата теории детерминированного хаоса, так и учета экономической специфики финансовых рынков. Результаты тестирования эффективности предложенного метода анализировались и сопоставлялись с известными экспериментальными данными других исследователей и не противоречат им.

Полученные результаты предлагается использовать в практической деятельности как участников внешнеэкономической деятельности, так и инвестиционных компаний или частных инвесторов. Предлагаемый метод нашел свое применение в соответствующих департаментах ОАО «Чусовской металлургический завод», ООО «Агентство ценных бумаг».

Автор выражает признательность научному руководителю, доктору технических наук, профессору Владимиру Павловичу Первадчуку, за неоценимые советы и идеи, использованные при осуществлении исследования, а также руководство всем исследовательским процессом.

Автор выражает также признательность всем коллегам, наставникам, преподавателям которые оказывали всесильную помощь при осуществлении исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Тренин, Юрий Борисович, 2005 год

1. Федоров Б. Г. Современные валютно-финансовые рынки. - М.: ФиС, 1989. -5 с.

2. Walmsley Julian. International Money and Foreign Exchange Markets. Wiley,1996.-p.27.

3. Рябцева H.H. Валютный рынок в системе финансовых рынков России: механизмы взаимодействия: Дис. . канд. эконом, наук. Москва, 1999. 149 с.

4. IMF International Capital Markets 2000, part 2, p.30 // http://www.imf.org.

5. Гребнева Е.П. Рентные эффекты в общественном воспроизводстве и их проявления на валютном рынке: Дис. . канд. эконом, наук. Москва,1997.- 152 с.

6. Рынков В.В. Совершенствование инструментальных методов анализа и прогнозирования международного валютного рынка: Дис. . канд. эконом, наук. Пермь, 2001. 15 с.

7. Рикардо Д. Сочинения. М.: Госполитиздат, 1955.

8. Fisher, Stanley. Rational Expectations and Economic Policy. Chicago: Chicago University Press, 1980.

9. Hayek, Fridrich A. Denationalization of Money. London: Institute of Economic Affairs, 1978.

10. Friedman M. A theory of the consumption function. Princenton, 1957.

11. Osborne, M.F.M. «Brownian Motion in the Stock Market», in P.Coother, ed., The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge: MIT Press, 1964.

12. Ширяев A.H. Вероятность. M.: Наука, 1980.

13. Fama E.F. Enceinte capital markets: a review of theory and empirical work // J. Finance 25 (1970) 383-417.

14. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: количественные методы анализа. -292 с.

15. Sharp W.F. Capital Asset Price: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk //Journal of Finance. -1964. 29 (3). P. 425-442.

16. Lintner J. The valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics. 1965.2.-P. 13-27.

17. Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica 1966.34 (4). -P. 768-783.

18. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach Journal of Financial Economics, 1976.3. P. 229-263.

19. Schoutens W. Levy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives. Wiley, 2003.

20. EngIe R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation // Econometrica, 1982.50, P. 987-1008.

21. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal Econometrics, 1986.31. P. 307-327.

22. Nelson D.B. Conditional Heteroscedasticity in Asset Pricing // Econometrica, 1991.59. P. 347-370.

23. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.:Изд-во Мир, 2000

24. DeBondt W. and Thaler R. Does the Stock Market Overact // Journal of Finance, 1986. V.60.

25. Vaga T. The Coherent Market Hypothesis // Financial Analysts Journal, Dec./Jan. 1991.

26. Mackay Charles. Extraordinary Popular Delusions and Madness of Crowds, 1841. -N.Y.: Crown Publishers, 1980.

27. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1985. Т. 2. 312 с.

28. Итоги науки и техники. Математический анализ. М., 1974. Т. 12. 71 - 146 с.

29. Немыцкий В.В., Степавов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL: ОГИЗ, 1947.

30. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. О вычислении размерностей странных аттракторов. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР (препринт), 1987.

31. Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. ДАН СССР, т. 119, 1958. с.861-864.

32. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы. ДАН СССР, т. 124, 1959. с.768-771.

33. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. ДАН СССР, т.124, 1959. с.754-755.

34. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем. Тр. Моск. мат. об-ва, т. 19, 1968. с. 179-210.

35. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. УМН, т.32, 1977. с. 55-112.

36. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. In: Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics, edited by D.A.Rand L.S.Young. Heidelberg: Springer-Verlag, 366-381 (1981).

37. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир 1970.

38. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б. Анализ и прогнозирование финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса / Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2002.-С. 7-11.

39. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б. Нелинейный анализ финансовых рынков на основе теории детерминированного хаоса: Сб. науч. тр. Четвертая межд. науч.-прикл. конф. / Варна: Техн. ун-т, 2002. С. 1-4.

40. Первадчук В.П., Трубицына Н.В., Тренин Ю.Б. Исследование финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса // Вестник Перм. ун-та. Математика. Информатика. Механика. 2003. Вып. 5.-С. 60-64.

41. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б., Трубицына Н.В. Топологические методы анализа нерегулярных динамических систем малой размерности / Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика -Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2004. С. 3 - 8.

42. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б., Трубицына Н.В. Применение топологических методов в исследовании нерегулярных экономических процессов: Сб. науч. тр. Пятая межд. науч.-прикл. конф. / Варна: Техн. ун-т, 2004. С. 1 - 6.

43. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б. Методы теории детерминированного хаоса в исследовании нерегулярной динамики финансовых рынков // Современные наукоёмкие технологии. 2004. Вып. 6. - С. 31 - 32.

44. Сычев В.В. Вычисление стохастических характеристик физиологических данных. Пущино, 1997.

45. Ляпунов A.M. Собр. соч. Т.1,2.-М.:Изд-во АН СССР, 1954-1956.

46. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica, D 16, 1985. — P. 285-317.

47. Vastano J.A., Kostelich E.J. Comparison of algorithms for determining Lyapunov exponents from experimental data. In: Dimension and Entropies in Chaotic Systems, edited by G.Mayer-Kress. Berlin: Springer-Verlag, 1986.-P. 100-107.

48. А.Ю. Лоскутов, Д.И. Журавлев, О.Л. Котляров. Применение метода локальной аппроксимации для прогноза экономических показателей // Вопросы анализа и управления риском, Т.1, 2003.

49. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.- М., УРСС, 2000.

50. A.Loskutov. Chaos and control in dynamical Systems. Computational Mathematics and Modeling, 2001, v.12, No4, p.314-352.

51. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974.

52. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorowich J.J., Tsimring L.S. The analysis of observed chaotic data in physical systems. Rev. Mod. Phys., 65 (1993). -P. 1331-1391.

53. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

54. Farmer J. D., Sidorowich J. J. Predicting Chaotic Time Series. Phys. Rev. Lett, 59 (1987).-P. 845-848.

55. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1990.

56. Baker G.L, Gollub J.P, Blackburn J.A. Inverting chaos: Extracting system parameters from experimental data. Chaos 6, 528-533 (1996).

57. Benettin G, Galgani L, Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments. Phys. Rev. 14, 2338-2345 (1976).

58. Breeden J.L, Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables. Phys. Rev. A 42, 5817 (1992).

59. Brown R, Rulkov N.F, Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data. Phys. Rev. E 49, 3784 (1994).

60. Brown R, Rulkov N.F, Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from experimental data. Phys. Lett. A 194, 71 (1994).

61. Delaney K.R, Gelperin A, Fee M.S., Flores J.A, Gervais R, Tank D.W, Kleinfeld D. Waves and stimulus-modulated dynamics in an oscillating olfactory network. Proc. Natl Acad. Sci. USA 91, 669-673 (1994).г

62. Eckmann J.P, Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors. Rev. Mod. Phys. 57, 617-656 (1985).

63. Elbert Т., Ray W. J., Kowalik Z.J., Skinner J.E., Graf K.E., Birbaumer N. Chaos and physiology: Deterministic chaos in excitable cell assemblies. Phys. Rev. 74, (1994).

64. Farmer J. D. Information dimension and the probabilistic structure of chaos. Z. Naturforsch. 37, 1304-1325 (1982).

65. Fraser A. M., Swinney H. L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information. Phys. Rev. A 33, 11.34-1140 (1986).

66. Gervais R., Kleinfeld D., Delaney K.R., Gelperin A. Central and reflex neuronal responses to odor in a terrestrial mollusk. J. Neurophysiol. 76, 1327-1339 (1996).

67. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors. Phys. Lett. A 97, 227-231 (1983).

68. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors. Phys. Rev. Lett. 50, 346-349 (1983).

69. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal. Phys. Rev. A 28, 2591-2593 (1983).

70. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D 9, 189-208 (1983).

71. Hausdorff G. Dimension und auberes Mab. Math. Ann. 79, 157-179 (1919).

72. Henon M. Two dimensional mapping with a strange attractor. Comm. Math. Phys. 50, 69-77 (1976).

73. Hentschel G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica 8, 435-444 (1983).

74. Kaplan J.L., Yorke J.A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations. Lect. Notes in Math. 730, 204-227 (1979).

75. Kostelich E., Grebogi C., Ott E., Yorke A. Higher Dimensional Targeting. Phys Rev. E 47, 305-310 (1993).

76. Landa P. S., Chetverikov V.I. Sow. Phys. Tech. Phys. 33,263 (1988).

77. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J.Atmos. Sci. 20, 130-141 (1963).

78. Nerenberg M. A., Essex С. Correlation dimension and systematic geometric effects. Phys.Rev. A 42, 7605 (1986).

79. Renyi A. Probability Theory.-Amsterdam: North-Holland (1970).

80. Rossler O.E. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. A 57, 397-398 (1976).

81. Rowlands G., Sprott J.C. Extraction of dynamical equations from chaotic data. Physica D 58, 251 (1992).

82. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20, 167 (1971).

83. Sano M., Sawada Y. Phys. Rev. Lett. 55, 1082 (1985).

84. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli M. Embedology. Journal of Statistical Physics. 65, 579-616, 1991

85. Schreiber Т., Kantz H. Noise in chaotic data: Diagnosis and treatment. Chaos 5, 133-142 (1995).

86. Theiler J. Estimating the fractal dimension of chaotic time series. Lincoln Lab. J. 3, 63-86 (1990).

87. Van der Pol B. On relaxation oscillations. Phil. Mag. 2, 978-992 (1926).

88. Van der Pol B. Van der Mark J. The heartbeat considered as a relaxation oscillation and. an electrical model of the heart. Phil. Mag. 6, 763-775 (1928).

89. Wolf A. Diagnosing Chaos in the Space Circle, Physica 50D (1991).

90. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. Москва, Физматлит, 1991.

91. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

92. Алферов Ж.И. История и будущее полупроводниковых гетероструктур // Физика и техника полупроводников. 1998. Вып. 32.

93. Андронов А.А. Динамические системы на плоскости. М.: Наука, 1961.

94. Андронов А. А. Бифуркации динамических систем. М.: Наука, 1962.

95. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон К.Б. Седло-фокус в модели электрической активности сердца человека // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. с.78.

96. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

97. Арнольд В.К. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

98. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

99. Бабин А.В., Вишик М.К. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

100. Баранцев Р.Г. О тринитарной методологии // Между физикой и метафизикой: наука и философия. СПб.: Наука, 1998.

101. Беляев Ю.П., Монахов А.А., Яворская И.М. Устойчивость сферического течения Куэтта в толстых слоях при вращении внутренней сферы // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978.

102. Берже П., Полю Н., Видаль С. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

103. Боузн Р. Методы символической динамики. М.: Наука, 1979.

104. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

105. Буланов С.В., Есиркепов Т.Ж, Каменец Ф.Ф., Наумова Г.М., Пухов A.M. Лазерные методы ускорения заряженных частиц // Радиотехника (Электромагнитные волны). 1995 Вып. 12.

106. Бунимович Л.А. Системы гиперболического типа с особенностями // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 2.

107. Буссе Ф. Вихри и волны. М.: Мир, 1984.

108. Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к теории устойчивости. М., 1966.

109. Вайнштейн С.Я., Зельдоец Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике, Новосибирск: Наука, 1980.

110. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. -М.: Наука, 1987.

111. Веденов А.А. Математическое моделирование элементов мышления. -М.: Наука, 1988.

112. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.

113. Ганягмахер Р. Теория матриц. М, 1953.

114. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. Т. 1,2.

115. Деге Л.М, Дроздов В. В, Медведев С.Ю. Численное моделирование равновесия и устойчивости тороидальной плазмы. М.: ИПМ АН СССР, 1989.

116. Деруссо П, Рой Р, Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970.

117. Дмитриев А.С, Панас А.К, Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997.

118. Дымников В.П, Фалатов А.К. Основы математической теории климата. -М.: ВИНИТИ, 1994.

119. Ершов С.В, Потапов А.Б. Бифуркации инерциальных многообразий в модельной задаче. ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР (препринт), 1991.

120. Ершов С.В, Потапов А.Б. Размерность реконструкции аттракторов и упорядочение ближайших соседей. ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (препринт), 1995.

121. Заславский Г.М, Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

122. Зельдович Я.Б, Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика // Успехи физ. наук. 1985. Т. 146. Вып. 3.

123. Квахненко А.Г, Лапа В.Г. Предсказание случайных процессов. Киев: Наукова думка, 1971.

124. Карлов К.В, Кариченко Н.А. Лазерная термохимия. М.: Центрком, 1995.

125. Като Т. Теория возмущен линейных операторов. М.: Мир, 1972.

126. Колмогор А.К, Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука 1977.

127. Лем С. Сумма технологий. М.: Текст, 1996.

128. Лоскутов А.Ю. Хаотичность динамических систем и подавление хаоса: основные понятия // Физическая мысль России. 1997. Вып.2-3.

129. Лукащук С.Н., Фалькович Г.Е., Черных А.И. О вычислении размерностей аттракторов по экспериментальным данным // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1989. Вып. 1.

130. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Русла и джокеры: о новых методах прогноза поведения сложных систем. ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (препринт), 1998.

131. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

132. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

133. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.

134. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.

135. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979.

136. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.

137. Потапов А.Е. Программы вычисления корреляционного показателя и оценки обобщенной энтропии во временному ряду. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР (препринт), 1991.

138. Пределы предсказуемости. Сб. статей / Ред. Ю.А. Кравцов. -М.:Центрком, 1997.

139. Пригожин И., Стенгерс К. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986.

140. Пугачев B.C., Синицын И.К. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985.

141. Рабинович М.И., Трубецков Д.К. Введение в теорию колебания волн. -М.: Наука, 1984.

142. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.Г. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1986.

143. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.

144. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское Радио, 1987.

145. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. 1970. Т.25. 1.

146. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // Успехи физ. наук. 1986. Т. 150. Вып.2.

147. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир,1970.

148. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.

149. Струминский В.В., Скобелев Б.Ю. Странные аттракторы и турбулентность // Механика неоднородных и турбулентных потоков / Отв. ред. акад. В.В. Струминский. М.: Наука, 1989.

150. Тер-Крикоров A.M. Вихри и внутренние волны в стратифицированной жидкости//Прикл. матем. и мех. 1995. Т. 59.

151. Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев. Саратов: Изд. УНЦ «Колледж», 1997.

152. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. М.: Мир, 1992.

153. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

154. Фейнмановские лекций по физике. М.: Мир, 1977.

155. Фракталы в физике. М.: Мир, 1988.

156. Хайтун В. Механика и необратимость. М.: Янус, 1996.

157. Хакев Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

158. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия. М.: Мир, 1993.

159. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

160. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

161. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А. Разностные уравнения приложения. Киев: Наукова думка, 1986.

162. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.