Методы решения граничных задач акустики для изотропных объектов различных геометрических форм. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, доктор наук Ильменков Сергей Львович

• Ильменков Сергей Львович
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Ильменков Сергей Львович

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

1.1.Рассеяние стационарного звукового сигнала на системе упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев

1.2.Рассеяние нестационарного (импульсного) сигнала системой упругих и вязко-упругих цилиндрических слоев

1.3.Излучение звука упругими телами сфероидальной формы под действием точечных источников на их поверхности

1.4.Излучение звука упругой цилиндрической оболочкой под действием точечных источников на ее поверхности

1.5.Заключение

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ И ИЗЛУЧЕНИЯ УПРУГИМИ ОБЪЕКТАМИ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ГРИНА

2.1.Оценка погрешности применения функций Грина при решении граничных задач для объектов с неканонической формой поверхности

2.2.Расчет угловых характеристик рассеяния для идеальных объектов неканонической формы с помощью функций Грина

2.3. Использование интеграла Кирхгофа в задаче дифракции на упругом теле неканонической формы

2.4.Применение функций Грина и метода конечных элементов для решения задачи излучения звука изотропным телом под действием точечного источника на его

поверхности

2.5.Заключение

3. ЧИСЛЕННО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАЛЬНЕГО ПОЛЯ ОБЪЕКТА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА

3.1.Исследование акустических характеристик измерительного объема морской

мелководной акватории

3.2.Оценка влияния границ волновода на организацию процедуры пересчета ближнего поля в дальнюю зону объекта

З.З.Определение звукового поля объекта в зоне Фраунгофера с помощью функций

Грина в условиях плоского волновода

3.4.3аключение

4. МЕТОД РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

4.1.Рассеяние стационарных звуковых сигналов изотропными телами различных форм

4.2.Исследование характеристик рассеяния нестационарных (импульсных) сигналов на упругих телах неканонической формы

4.3.Модельный эксперимент и расчетная оценка рассеяния звука упругой оболочкой на низких частотах

4.4.Оценка влияния насадки движителя модели подводного объекта на его звукоизлу-

чение в среднечастотном диапазоне

4.5.Исследование влияния формы оконечности упругого тела на характеристики излучения звука при работе движителя

4.6.Заключение

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНЕЙ И ВНУТРЕННЕЙ ЖИДКИХ СРЕД НА ФАЗОВЫЕ СКОРОСТИ УПРУГИХ ВОЛН В ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ

5.1. Расчет фазовых скоростей ненулевых форм трехмерных изгибных волн в изотропном цилиндрическом стержне, контактирующем с жидкостью

5.2.Определение фазовых скоростей трехмерных и осесимметричных упругих волн в

изотропной цилиндрической оболочке

5.3.Оценка влияния заполнения и окружающей жидкости на фазовые скорости изгибных волн в изотропных цилиндрических оболочках

5.4. Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

233

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения граничных задач акустики для изотропных объектов различных геометрических форм.»

ВВЕДЕНИЕ

Исследования распространения, излучения и дифракции звуковых волн в упругих средах и телах опираются на общий математический аппарат, физические аспекты данных процессов также являются взаимосвязанными. Различные типы упругих волн, распространяющихся в материале тел, их фазовые и групповые скорости определяют особенности характеристик излучения и рассеяния звука. Оценка влияния геометрических и физических параметров объектов, находящихся в жидкости, на пространственно-частотную структуру их первичного и вторичного полей продолжает оставаться одной из наиболее актуальных проблем гидроакустики.

Для гармонических волн граничная задача математически сводится к построению решения, удовлетворяющего уравнениям Максвелла для электромагнитных волн или уравнениям Гельмгольца - для акустических, а также граничным условиям, заданным на поверхности тела и условию излучения на бесконечности (условию Зоммерфельда). В рамках строгого подхода в связи со значительными математическими и вычислительными трудностями получение числовых результатов решений таких задач возможно лишь для тел с канонической формой поверхности (бесконечные цилиндры, сферы, сфероиды и т.д.) и в ограниченных диапазонах волновых размеров. В наиболее завершенном и систематизированном виде этот материал, опирающийся на методы разделения переменных в скалярном уравнении Гельмгольца и динамической теории упругости, приведен в работах [6,7,10-24,141-143 и др.].

В указанных исследованиях реализуется в основном единый подход, характерный для многих задач математической физики, а именно: в соответствующей области существования акустического (электромагнитного) поля строится общее решение граничной задачи, как совокупность частных решений уравнений Гельмгольца, которое позволяет удовлетворить некоторые граничные условия на поверхности, ограничивающей область существования поля. Далее решение представляется в виде рядов или интегралов, содержащих специальные функции, обладающие свойством ортогональности, что позволяет свести задачу определения произвольных постоянных к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Однако в такой постановке граничные задачи при современном состоянии методов математической физики допускают аналитические решения лишь в простейших идеализированных случаях для указанного выше весьма ограниченного класса областей существования поля. Несмотря на то, что многие реальные объекты могут быть достаточно хорошо аппроксимированы телами указанной формы, число точно решаемых задач оказывается в

значительной степени ограниченным. Кроме того, строгие аналитические решения удобны, как правило, для использования при длинах звуковых волн, больших, чем линейные размеры тела.

С ростом волновых размеров тел в связи с ухудшением сходимости рядов и интегралов «доведение до числа» строгих решений граничных задач, несмотря на рост возможностей современных ЭВМ, становится все более затруднительным. В этом случае оказываются весьма полезными асимптотические методы, позволяющие использовать приемы нахождения приближенных выражений для искомых функций, базирующиеся на физических соображениях и формальных математических преобразованиях. Асимптотические выражения могут быть получены, например, в тех случаях, когда известен явный вид решения задачи. Это явное решение преобразуется в контурный интеграл, асимптотика которого ищется либо применением метода перевала, либо теоремы о вычетах (так называемое преобразование Ватсона). Во многих практических приложениях весьма удобной оказывается геометрическая теория дифракции, на основании которой возможно реализовать серию подходов, позволяющих находить асимптотику дифракционных задач при условии регулярности поля лучей.

В последние десятилетия интенсивное развитие вычислительной техники позволило разработать и реализовать целый ряд численно-аналитических и численных методов решения граничных задач для объектов по форме и физическим параметрам достаточно близких к реальным. Среди них наиболее универсальными являются методы, основанные на сведении таких задач к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям. Так, широкое применение при решении прикладных коротковолновых задач находят принцип Гюйгенса-Френеля и вытекающая из него интегральная формула Кирхгофа, методы: интегральных уравнений [6,7,10,14,15,19,22-24 и др.], Купрадзе [47], а также, численные: Т-матриц [45,46,110], конечных и граничных элементов [113-121] и др. Эти методы позволяют_строить решения граничных задач для поверхностей более сложной формы и конкретных конструкций с учетом реальных свойств материалов тел и окружающих сред. При этом результаты, полученные точными методами для объектов с канонической формой поверхности, могут служить тестовыми (эталонными) при оценке возможностей численных решений для аналогичных тел.

Необходимость использования математических моделей, адекватно описывающих реально наблюдаемые процессы и не требующих громоздкого алгоритмического и программного обеспечения, заставляет развивать и совершенствовать существующие методы, а также искать новые подходы и эффективные методы исследования. При этом дальнейшее развитие приближенных и численных методов требует разработки достаточно про-

стых моделей, для которых возможно применять как тестирование строгим теоретическим рассмотрением, так и корректную экспериментальную проверку. В то же время, такие модели должны быть достаточно подробными, отражающими особенности конструкции исследуемых объектов, быстродействующими и гибкими.

Совершенствование методов решения граничных задач приобретает особую значимость применительно к низко- и среднечастотному звуковым диапазонам как излучения объектов, так и зондирующих сигналов, что во многом определяет контекст исследований, представленных в настоящей работе.

Целью работы в рамках научного направления, связанного с решением граничных задач акустики для идеальных и упругих объектов, является дальнейшее развитие следующих методов:

1) строгих - для трехмерной (с помощью потенциалов Дебая и «типа Дебая») и осе-симметричной постановок;

2) приближенных - основанных на принципе Гюйгенса-Френеля, интегральной формуле Кирхгофа и функциях Грина;

3) численных - с использованием методов конечных и граничных элементов.

В процессе выполнения работы значительное внимание уделялось объектам с неканонической формой поверхности. Для достижения поставленной цели решались следующие основные задачи:

1) расчет и анализ характеристик отражения звукового сигнала (стационарного и импульсного) от системы упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев при различных вариантах их расположения;

2) решение трехмерных задач излучения звука упругим сплошным вытянутым сфероидом и упругими сфероидальной и цилиндрической оболочками под действием точечных источников на их поверхности;

3) оценка погрешности использования функций Грина при решении задач излучения и дифракции звука идеальными и упругими телами, представляющими собой фрагменты канонических поверхностей (сфера, бесконечный цилиндр, сфероид), различным образом состыкованные между собой;

4) разработка (на основе интеграла Кирхгофа, функций Грина и метода конечных элементов) алгоритмов и программного обеспечения для расчета характеристик излучения и рассеяния звука упругими телами произвольной формы;

5) разработка метода определения звукового поля тел произвольной формы в зоне Фраунгофера в условиях плоского волновода с использованием методов мнимых объемных излучателей и функций Грина;

6) разработка на основе метода граничных элементов алгоритмов и программного обеспечения для исследования характеристик рассеяния стационарного и импульсного звуковых сигналов упругими объектами различных форм и параметров;

7) разработка математических моделей для расчета шумоизлучения движителя при различных типах насадки и формы оконечности упругого тела;

8) исследование влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных и осесимметричных упругих волн различных форм в изотропных цилиндрических оболочках.

Методы исследования:

Для реализации поставленных целей в первую очередь применялся теоретический метод исследования, опирающийся на разделы динамической теории упругости и метод разделения переменных. Для исследования характеристик объектов неканонической формы использовались численно-аналитические и численные методы. На основе полученных теоретических результатов и разработанных алгоритмов выполнялись расчетные оценки на ЭЦВМ. При исследовании объектов неканонических форм (идеальных и упругих) помимо численных экспериментов выполнялись также экспериментальные измерения (в лабораторных и в морских условиях).

Научная новизна:

В данной работе впервые:

1) получены результаты решения задачи рассеяния звука на системе упругих и вязко-упругих цилиндрических слоев; вычислены и проанализированы характеристики рассеяния стационарного и импульсного сигналов для различных вариантов расположения слоев;

2) получены решения трехмерных задач излучения звука изотропными телами (сплошным вытянутым сфероидом, сфероидальной и цилиндрической оболочками) под действием точечных источников на их поверхности (с помощью теоремы взаимности); рассчитаны и проанализированы угловые характеристики излучения при различном расположении источников;

3) выполнен численный анализ амплитудной и фазовой погрешностей применения метода функций Грина для тел неканонической формы в зависимости от волнового размера, типа граничного условия и положения точки наблюдения;

4) предложен метод решения граничных задач для упругих объектов неканонической формы, составленных из фрагментов канонических поверхностей (бесконечный цилиндр, сфера, сфероид), различным образом состыкованных между собой; вычислены угловые характеристики рассеяния при различных волновых размерах объектов;

5) предложен метод определения звукового поля в зоне Фраунгофера для тел произвольной формы, находящихся в плоском волноводе, толщина которого сопоставима с их размерами и длиной излучаемой звуковой волны; исследовано влияние параметров границ волновода на вид диаграмм направленности и частотные характеристики при различных дистанциях и волновых размерах тел;

6) разработан численный метод решения задач дифракции и излучения для изотропных объектов произвольной формы (с использованием граничных элементов); выполнен анализ влияния параметров таких объектов на характеристики рассеяния стационарного и импульсного сигналов;

7) разработаны математические модели и программное обеспечение для численной оценки влияния различных типов насадки движителя упругого тела и формы его оконечности на характер шумоизлучения; получены соответствующие угловые, проходные и частотные характеристики;

8) выполнен расчетный анализ влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных изгибных волн в изотропных цилиндрических оболочках различных толщин и материалов; получены частотные зависимости трехмерных и осесим-метричных изгибных, продольных и крутильных волн в таких оболочках.

Практическая значимость:

Полученные в работе результаты могут быть использованы при:

1) оценке влияния параметров упругих объектов различных форм на особенности характеристик излучения и рассеяния ими стационарного и импульсного сигналов;

2) оценке шумоизлучения упругих тел под воздействием турбулентных пульсаций потока жидкости;

3) обнаружении и идентификации гидроакустическими средствами объектов неканонической формы (например, рыбных скоплений) с помощью нестационарных (импульсных) сигналов;

4) проведении экспериментальных исследований моделей подводных объектов, находящихся в плоском волноводе, оценке влияния границ водного слоя на вид диаграмм направленности и частотных характеристик;

5) определении влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости из-гибных, продольных и крутильных волн в изотропных цилиндрических оболочках;

6) выборе оптимального типа насадки движителя и формы оконечности упругого тела с точки зрения снижения звукоизлучения.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) результаты решения задачи рассеяния стационарного и импульсного звуковых сигналов на системе упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев;

2) решения трехмерных задач излучения звука изотропными телами (сплошным вытянутым сфероидом, сфероидальной и цилиндрической оболочками) под действием точечных источников на их поверхности;

3) метод решения граничных задач для идеальных и упругих объектов неканонической формы (с использованием функций Грина), представляющих собой фрагменты канонических поверхностей (бесконечный цилиндр, сфера, сфероид), различным образом состыкованные между собой;

4) метод определения звукового поля в зоне Фраунгофера для тел произвольной формы, находящихся в плоском волноводе, толщина которого сопоставима с их размерами и длиной излучаемой звуковой волны;

5) численный метод решения граничных задач для изотропных объектов произвольной формы (с использованием граничных элементов) и анализ влияния параметров таких объектов на характеристики рассеяния стационарного и импульсного сигналов;

6) математические модели и программное обеспечение для численной оценки влияния различных типов насадки движителя и формы оконечности упругого тела на характер шумоизлучения движителя;

7) результаты расчетного анализа влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных изгибных волн в изотропных цилиндрических оболочках различных толщин и материалов.

Достоверность результатов:

Выводы, полученные в работе на основе аналитических решений, находятся в соответствии с результатами приближенных и численных оценок для аналогичных объектов и

условий. Теоретические и численные результаты подтверждаются экспериментальными данными, полученными как в гидроакустическом бассейне, так и в морских условиях. Представленные в работе результаты расчетов характеристик рассеяния для идеальных и упругих объектов различных форм и фазовых скоростей упругих волн согласуются с результатами других авторов.

Личный вклад автора:

Автору принадлежит выбор научного направления в целом и конкретных подходов к развитию рассмотренных методов. Лично автором разработаны алгоритмы и пакеты программ для ЭВМ, выполнены расчеты: дисперсионных кривых фазовых скоростей упругих волн, характеристик излучения и рассеяния звука идеальными и упругими телами различной формы, проведен анализ результатов. Значительная часть теоретических результатов также получена лично автором, а постановка отдельных задач, связанных с методом разделения переменных, осуществлена совместно с научным консультантом профессором А.А.Клещевым. Разработка методик экспериментальных исследований, их подготовка и проведение (в том числе в условиях морской акватории), обработка и анализ результатов выполнены при непосредственном личном участии автора.

Краткое содержание работы:

Во введении обоснована актуальность выбранного научного направления и определен круг основных проблем, которые рассматриваются в работе. Сформулированы цели и задачи исследований, показаны научная новизна и практическая ценность полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту, а также приведено краткое содержание работы.

В Главе 1 рассматриваются методы строгого решения задачи дифракции для упругой (вязкоупругой) многослойной бесконечной цилиндрической оболочки, а также задач излучения звука упругим сплошным вытянутым сфероидом и упругими сфероидальной и цилиндрической оболочками под действием точечных источников на их поверхности, имитирующих турбулентные пульсации потока жидкости.

Определяются и анализируются характеристики рассеяния плоской звуковой волны системой, состоящей из различных вариантов комбинаций упругих и вязкоупругих цилиндрических слоев, находящихся в безграничной жидкой среде. Данное исследование представляет особый интерес для низкочастотной области, где упругие оболочки вследст-

вие хорошо выраженных резонансов (в отличие от акустически жестких тел) являются весьма эффективными рассеивателями.

Решение задачи опирается на использование уравнения Ламе для изотропной среды при гармонической зависимости от времени, а также разложений скалярных и векторных потенциалов слоев и звуковых давлений в падающей и рассеянной волнах по фундаментальным решениям уравнения Гельмгольца в круговой цилиндрической системе координат.

Подстановка разложений в граничные условия на поверхностях контакта слоев между собой и на границах с вакуумом и жидкой средой позволяет получить для каждой моды т алгебраическую систему для нахождения неизвестных коэффициентов и рассчитать значения рассеянного давления и угловой характеристики рассеяния \D(ф)\.

Выполнен анализ влияния жидкого заполнителя, внешнего и внутреннего упругих слоев на угловые и частотные характеристики рассеяния стационарного гармонического сигнала.

Проведено исследование характеристик рассеяния нестационарного звукового сигнала на данной системе слоев. Использован подход, основанный на применении преобразования Фурье, с помощью которого через спектральные характеристики рассеянного сигнала в полосе частот отыскиваются форма и длительность рассеянного импульса. Для расчёта используются вычисленные ранее значения угловых характеристик Д(ф) при стационарном облучении в исследуемом диапазоне частот.

Для нахождения дальнего поля излучения изотропных тел (вытянутого сфероида, сфероидальной и цилиндрической оболочек) под действием точечных источников на их поверхности используется вариант теоремы взаимности для упругих поверхностей, что позволяет свести решение задачи излучения к решению эквивалентной трехмерной граничной задачи дифракции плоской монохроматической волны на этих телах. Вычислены и проанализированы угловые характеристики излучения при различных волновых размерах тел.

В Главе 2 рассматривается численно-аналитический подход к решению задач излучения и дифракции для идеальных и упругих тел неканонической формы, основанный на использовании метода функций Грина (МФГ). При этом общая поверхность тела составляется из фрагментов канонических поверхностей (бесконечный цилиндр, сфера, вытянутый сфероид), различным образом состыкованных между собой.

В рамках тестовой задачи выполнен расчетный анализ характера амплитудной и фазовой погрешностей данного подхода для задач Дирихле и Неймана при различных вариантах формы поверхности, волновых размерах и положениях точки наблюдения.

Получены результаты решения модельных задач дифракции на телах неканонической формы, погруженных в воду, при однородных граничных условиях.

Совместное использование МФГ, методов динамической теории упругости и разделения переменных позволяет получить решения задач дифракции звука на изотропных оболочках неканонической формы, составленных из компонентов сфероидальной, цилиндрической и сферической форм.

Рассмотрена возможность совместного применения аппарата метода конечных элементов (МКЭ), одночленных вариантов интегральной формулы Кирхгофа и функций Грина для построения численного решения задачи излучения звука упругой вытянутой сфероидальной оболочкой, помещенной в идеальную сжимаемую жидкость, под действием точечных источников на ее поверхности.

В Главе 3 предлагается численно-экспериментальный метод определения звукового поля тел произвольной формы в зоне Фраунгофера по результатам измерений только звукового давления в их ближнем поле в условиях плоского волновода. Метод подразумевает совместное рассмотрение задач распространения первичных и вторичных волн в водном слое, толщина которого сопоставима с размерами тела, а границы описываются моделями, близкими к реальным условиям.

Выполнено исследование акустических характеристик морской акватории с целью оценки влияния границ водного слоя на характер распространения звуковой волны на различных дистанциях и глубинах.

Показано, что для ограниченной водной среды разумной альтернативой непосредственным измерениям звукового давления в зоне Фраунгофера является расчетно-экспериментальный алгоритм, базирующийся на МФГ и методе мнимых объемных излучателей (ММОИ) с учетом дифракционного взаимодействия вторично рассеянных полей (ВРП).

Численно и экспериментально определяются допустимые границы измерительного объема для корректных измерений в ближнем поле и, соответственно, два варианта контрольной поверхности: замкнутая, охватывающая исследуемый объект, и контур в горизонтальной плоскости.

Приведены результаты непосредственных измерений и расчетов углового распределения гидроакустического поля (ГАП) исследуемой модели, выполненных с использованием МФГ и ММОИ на основе экспериментальной информации о ближнем поле.

Глава 4 содержит изложение разработанных численных методов решения следующих задач: рассеяние стационарных и нестационарных звуковых сигналов изотропными телами произвольной формы, помещенными в безграничную идеальную жидкость; оценка

влияния параметров насадки движителя на направленность его излучения; исследование влияния формы оконечности упругого тела на характеристики излучения (рассеяния) звука при работе движителя. Предлагаемые алгоритмы, основанные на использовании граничных элементов, опираются, как и ранее, на методы динамической теории упругости, интегральную формулу Кирхгофа и МФГ.

Тестирование алгоритмов производится сопоставлением полученных на их основе результатов с результатами точных аналитических решений для сплошных и полых упругих тел (сфера и сфероид) и показывает близость характеристик, рассчитанных точными и численными методами.

Получены и проанализированы результаты расчетов характеристик рассеяния упругих тел с неканонической формой поверхности: конечных цилиндров, ограниченных полусферами и конусами; имеющих элементы, выступающие над поверхностью; содержащих несколько цилиндрических вставок различных длин и диаметров с полусферами различных радиусов и т.д.

Получены результаты расчетной оценки влияния параметров упругих оболочек (толщина, материал, размеры) на временные и спектральные характеристики рассеянных импульсных сигналов с гармоническим и частотно-модулированным заполнением.

Выполнен сравнительный анализ результатов измерений амплитудно-фазового распределения дифрагированного или рассеянного давлений вблизи модели упругого тела, результатов численных оценок на основе МГЭ, МФГ, а также результатов точных аналитических решений для аналогичных или близких по форме объектов.

На основе МГЭ разработана математическая модель и предложен алгоритм решения задач излучения и рассеяния звука упругим телом неканонической формы под воздействием турбулентных пульсаций потока жидкости, создаваемых движителем, помещенным в насадку. Выполнены расчеты угловых и проходных характеристик исследуемого тела при различных типах насадок.

Рассмотрен численный подход к решению задачи по оценке влияния формы оконечности упругого тела на направленность шумоизлучения, обусловленного работой движителя в области средних и высоких частот. Выполнены расчеты и анализ угловых и частотных зависимостей излучения звука при различных формах оконечности модели.

Глава 5 посвящена исследованию влияния внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости трехмерных и осесимметричных упругих волн различных форм в изотропных цилиндрических оболочках.

Фазовые скорости различных мод вычисляются на основе характеристических уравнений, полученных в рамках строгого решения трехмерных задач, базирующихся на

принципах динамической теории упругости и формулировании граничных условий на поверхностях контакта оболочки с внешней и внутренней средой.

Рассчитываются и анализируются дисперсионные кривые фазовых скоростей трехмерных и осесимметричных изгибных, продольных и крутильных волн в оболочках различных толщин и материалов.

Показано, что с ростом волнового радиуса значения фазовой скорости нулевой моды изгибной волны асимптотически стремятся к скорости волны Рэлея, а значения фазовых скоростей ненулевых мод- соответственно к скорости поперечной волны в материале.

Исследован характер влияния жидкой среды на фазовые скорости изгибных волн различных мод в зависимости от соотношения скорости изгибной волны в материале оболочки и скорости звука в жидкости.

Определены диапазоны волновых радиусов, в которых влияние внешней и внутренней жидких сред на фазовые скорости изгибных волн в изоторопной цилиндрической оболочке проявляется в наибольшей степени.

Апробация работы и публикации:

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: V Всесоюзной конференции «Технические средства изучения и освоения океана» (Ленинград, 1985 г.); IV и V Дальневосточных акустических конференциях (Владивосток, 1986 г. и 1989 г.); школе-семинаре «Акустика океана» (Москва,1986 г.); Всесоюзном совещании-семинаре «Глубоководные системы и комплексы» (Черкассы,1986 г.); 8-ой научно-технической конференции по авиационной акустике (Москва,1986 г.); 2-ой конференции «Техника и методика акустического зондирования океана» (Наманган,1988 г.); Всесоюзной школе «Технические средства и методы освоения океанов и морей» (Геленджик, 1989 г.); Всесоюзном симпозиуме «Взаимодействие акустических волн с упругими телами» (Таллинн, 1989 г.); Всесоюзной конференции «Приборы и методы гидрофизических измерений» (Москва, 1990 г.); 10-ой Всесоюзной конференции «Волны и дифракция-90» (Москва,1990 г.); Юбилейной конференции СПбГМТУ (С.-Петербург, 1999 г,); 10, 11, 17, 22 и 27-й сессиях РАО (Москва, 2000г., 2001 г., 2006 г. 2010 г. и 2014 г.); региональной научно-технической конференции с международным участием «Кораблестроительное образование и наука» (С.-Петербург, 2003 г.); научно-технической конференции «Бубновские чтения» (С.Петербург, 2003 г.); VII международном симпозиуме «Транспортный шум и вибрация» (С.-Петербург, 2004 г.); XIV Санкт-Петербургской международной конференции «Региональная информатика-2014» (С.-Петербург,2014 г.); Межведомственной научно-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ильменков Сергей Львович, 2018 год

Источник

г

Рис. 2.24. Схема просветной гидролокации.

Для сравнения двух типов локации составим таблицу 2.7 (на основе табл. 2.6) со значениями эквивалентного радиуса для гидролокационного отражения (верхняя строка) и локации на просвет (нижняя строка) в рассматриваемом частотном диапазоне.

Таблица 2.7

кт0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

р отраж. 77,4 109,3 109,5 119,7 122,0 119,5

р просвет 67,6 107,4 105,3 94,7 116,5 121,4

Как показал численный эксперимент, увеличение теневого лепестка при кт0 >6, 0 происходит прямо пропорционально частоте при условии, что расстояние до приемника Б/2 не изменяется. В случае, если приемник с ростом частоты будет перемещаться далее в зону Фраунгофера, рост теневого лепестка будет компенсироваться этим удалением, т.к. граница дальнего поля также удаляется с частотой.

Из таблицы 2.7 также следует, что эквивалентные радиусы в обоих случаях имеют один порядок, но при этом нужно учитывать, что при гидролокации на просвет сигнал от подводного объекта суммируется с прямым сигналом от источника, который больше, чем на порядок превосходит сигнал от объекта, что существенно затрудняет его обнаружение. Сигнал гидролокационного отражения свободен от этого недостатка. При косых углах облучения просветный сигнал будет заметно превосходить гидролокационный, поскольку (как видно из табл. 2.4 и 2.5) обратное отражение в данном частот при этих углах достаточно мало.

Далее приведем результаты еще одной тестовой задачи по расчету звукового поля, рассеянного звукомягким телом в форме цилиндра с полусферами по торцам (см.Рис.2.2), при следующих его параметрах: Ь = 1 ;г0 = 1 ; кт0 = 1, 0. На рис.2.25 показаны модули углового распределения для углов облучения данного тела и , полученные: с использованием метода функций Грина (кривая 1), методом Т-матриц (кривая 2) и методом интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (кривая 3). Результаты расчетов по двум последним методам приводятся из [22,24].

I / k

90 15 *

0

270

а)

б)

Рис.2.25. Модули углового распределения | р5 | мягкого неканонического рассеивателя при &г0 = 1 , 0 : 1- метод функций Грина; 2- метод Т-матриц; 3- метод интегрального уравнения: а) 90 = 900; б) 90 = 600.

Как видно из рисунка, наблюдается приемлемое совпадение результатов по всем

На основе метода функций Грина и динамической теории упругости рассмотрим решение задачи дифракции звука на упругой оболочке неканонической формы, составленной из фрагментов упругих тел сфероидальной, цилиндрической и сферической форм. Теоретическое исследование дополним численным экспериментом по расчету угловых характеристик рассеяния подобных составных тел для различных геометрических форм и волновых размеров.

Обратимся сначала к рассеивателю неканонической формы в виде упругой круговой цилиндрической оболочки конечной длины L, ограниченной по торцам половинами вытянутой сфероидальной оболочки с полуфокусным расстоянием Л0 [77,80,81] (рис. 2.26):

трем методам.

2.3. Использование интеграла Кирхгофа в задаче дифракции на упругом теле неканонической формы

а х

п!

е

Г\

Го

к!

L

¿1

Рис. 2.26. Упругая оболочка, составленная из цилиндрической и сфероидальных частей.

Обозначения на данном рисунке в целом аналогичны обозначениям рис. 2.1. Как уже отмечалось (2.1, 2.13), алгоритм метода функций Грина требует знания амплитудно-фазового распределения звукового давления и нормальной составляющей колебательной скорости в точках е на замкнутой поверхности интегрирования, состоящей из указанных фрагментов (см. рис. 2.26).

В данном случае в формуле (2.13) функция Грина выбирается в виде потенциала точечного источника в виде (2.21). Рассеянное звуковое давление

связано с угловой характеристикой Д(0,ф) соотношением (1.15).

Рассмотрим сначала трехмерную задачу дифракции при наклонном падении звуковой волны на упругую полую бесконечную цилиндрическую оболочку [22,24], фрагмент которой входит в состав поверхности данного неканонического рассеивателя. Геометрия задачи представлена на рис. 2.27.

X

V' 1

//////////А/АА ///////// РГ/ //к,

) ^^

У/////¿Г////У//////////////////,

0

к

0

Рис. 2.27. Упругая бесконечная цилиндрическая оболочка.

Скалярный потенциал падающей плоской волны Фг. (г, ф,г) единичной амплитуды с

волновым вектором к, наклоненным под углом 9 к оси г, разложим по собственным функциям скалярного уравнения Гельмгольца в круговой цилиндрической системе координат:

ад

Фг (W) = е- Xs™ (-TJm (Кr )

r) cos my,

(2.36)

m=0

где у = kcosd; k = ksinO; sm =

\1 при m = 0;

[2 при m Ф 0.

Трансформируем представление для векторного потенциала ¥, приведенное в [24], введя дополнительный оператор rot для того, чтобы ¥ автоматически подчинялась калибровочному условию ( div ¥ = 0):

¥ = rot (х e) + rot rot (уe), (2.37)

где e - единичный орт в направлении оси Z; х и у - скалярные потенциалы, удовлетворяющие скалярному уравнению Гельмгольца:

Ах + К22х = 0 Ау + К22у = 0J

Компоненты векторного потенциала ¥ в соответствии с (2.38) примут вид:

vp =1 8к + 1 5 2У

(2.38)

r Эф r 8r 8z

^ =-8х+1.82у .

8r r 8y8z 1 8у 8 2у 1 8 2у

z r 8r 8r2 r2 8ф2

А компоненты вектора смещения u будут равны:

(2.39)

U =

8Ф 1 8 2у 1 83у 1 83у

8r r 8r 8ф r 8r 8ф r 8ф

82х 1 83у

+

8r 8z r 8y8z2

8 у 1 8у иф =--+--— + "7-+

1 8Ф 1 8 2х 1

r 8ф r 8y8z r 8r 8z

1 82у 83у 2 82у 1 83у

+

r 8r2 8r3 r3 8ф2 r2 8r 8ф2

8Ф 1 8х и =----£ + ■

1 82у 82х 1 82у

8z r 8r r 8y8z 8r r 8y8z

+

1

+ --

83у 1 82х 1 83у

r 8ф 8z 8r r 8ф r 8r 8z 8ф

(2.40)

>

(2.41)

Скалярный потенциал оболочки Ф, потенциалы х и у, а также потенциал рассеянной волны Фs представим в виде разложений по собственным функциям скалярного уравнения Гельмгольца в круговых цилиндрических координатах:

Ф = ^ £ ^m (hr) + BmNm (hr)] COS 1ф ;

m=0

ад

х = ^ £ [CmJm (-'r) + DmNm («r)] cos up ;

m=0

ад

У = ^ £ ^m (->) + FmNm (->)] Sin Иф ;

m=1

ад

Фs = £ Gm^mi)(kyr) COS Жф ,

m=0

где h = (k2 -k2)/2; ж' = (k2 -k2)/2; Am,Bm,Cm,Dm,Em,Fm,Gm - неизвестные коэффициенты, которые находятся из граничных условий:

1) непрерывность нормальных компонент вектора смещения в упругой оболочке и жидкой среде на внешней границе (r = ri = a):

дФ 1 д> 1 д> 1 ду д х

dr r dr дф r dr дф r дф dr dz

1 д3у д / , ч

---= —(Фг +Ф s)

r дфдz дr

(2.42)

2) равенство нормального напряжения в упругой оболочке на внешней границе давлению в жидкой среде (1.132);

3) отсутствие нормального напряжения на внутренней поверхности полой оболочки (г = г0 = Ь) (1.133);

4) отсутствие касательных напряжений на обеих поверхностях оболочки (1.134), (1.135).

Подставляя разложения (2.36), (2.41) в (2.40), а затем и в граничные условия (2.42), (1.132)-(1.135), получим неоднородную систему семи уравнений относительно бесконечного числа неизвестных коэффициентов разложений потенциалов. Используя ортогональность тригонометрических функций соэшф и этшф, сведем задачу к отысканию семи неизвестных коэффициентов с фиксированным индексом т: Am,Bm,Cm,Dm,Em,Fm,Gm из семи уравнений (граничных условий) неоднородной системы. Интересующие нас в первую очередь коэффициенты Gm потенциала рассеянной волны Ф„ определяются по правилу Крамера из отношения двух определителей седьмого порядка:

Gm = Л'/ А, (2.43)

где А ' - минор системы, а - ее определитель, равные [24,54]:

А =

А ' =

а11 а12 а13 а14 а15 а16 а17

а21 а22 а23 а24 а25 а26 а27

аз1 а32 а33 а34 а35 а3б 0

а4, а42 а43 а44 а45 а46 0

а51 а52 а53 а54 а55 а56 0

аб1 аб2 аб3 аб4 аб5 а66 0

а71 а72 а73 а74 а75 а76 0

а11 а12 а,3 а14 а,5 а,6 ь17

а21 а22 а23 а24 а25 а26 Ь27

аз1 а32 а33 а34 а35 а36 0

а41 а42 а43 а44 а45 а46 0

а51 а52 а53 а54 а55 а56 0

аб1 аб2 аб3 аб4 аб5 а66 0

а71 а72 а73 а74 а75 а76 0

а11 = (л а); а12 = N1 (к'а); а13 = 1к1'т (ж'а); а14 = 1кМ'т (ж'а);

а15 = а (ж'а)(а 2т2 + к2 )— а 2т]'т (ж'а)—

— а(ж'а);

а16 = а(ж'а)(а 2т2 + к2 )— а~2т№'т (ж'а)—

— а-^N1 (ж 'а);

а17 =—нт (куа);

а21 = (А + 2^У"т (к 'а)+А [а (к 'а ) —

— (т2а 2 + к2 ¿т (к'а)];

а22 = А + 2ц)мт (к 'а) + А [а "Х (к'а) —

— (т2а 2 + к2 N (к'а)];

а25 = (А + 2/л)а 1 {та Vт (ж'а)(а 1т2 — к2 — 3а 2т2)+ + mJ'm (ж'а)(2а 2 + к2)— mJmm (ж'а)}+ + Аа 1 {а~1т1т(ж'а)(к2 — а 2т2)+ + т1'т (ж'а)(а 2т2 — к2)— 2а(ж'а)—mJ:(ж'а)};

а26 =(А + 2/) а {та (ж 'а )(а _1т2 — к2 — 3а 2т2)+ + т^т (ж 'а)(2а ~2 + к2)— т^ат (ж 'а)}+ + Аа{а~1mNm(ж'а)(к2 — а 2т2)+ + mN'm (ж'а)(а 2т2 — к2)— 2а~1т^т (ж'а)—тН'"т (ж'а)};

a27 = p0a2H{Ñ}(kya) ; a„ = (l + J (h b)+1 ^ (h 'b)-(m2r2 + к2 J (h b)] ;

^ = (l + 2^)n:(h ' b)+1 (h 'b)-(m2b 2 + k2)Nm(h 'b)];

йзз = 2ßikJnm(œ'b); a34 = 2ß ikN"m (œ' b) ;

a35 =(А + 2ju)b-1 {nb-1Jm (œ'b)(b^n2 - к2 - ЗЬ 2ñ2 )+ + mJm (œ 'b)(2b -2 + k2 )- J (œ 'b)}+ + Ab -1 {b 1nJm (œ ' b)(k2 - b 2n2 )+ + mJm (œ'bib 2n2 - k2 )- 2b ~1пЗП (œ'b)- nJ"Ñ(œ'b)};

a36 = (А + b-1 {nb-1Nm (œ'b)(b^n2 - к2 - ЗЬ 2ñ2 )+ + iNm (œ'b)(2b 2 + k2 )-nN'Ñ(œ'b)}+ + А b-1 {b-1mNm (œ 'b)(k2 - b 2m2 )+ + mN'm (œ' b)(b-2n2 - k2 )- 2b-1nNÑ (œ'b)-nN'Ñ(œ'b)};

a37 = 0 ; a41 = 2ma_1[aJ(h'a)-J'm(h'a)]; a42 = 2ma- [a~1Nm(h'a)-NÑ(h'a)];

a43 = 2mika- [a-1Jm (œ'a)-J'm (œ'a)]; a44 = 2mika- [a~1Nm (œ'a)-N'm (œ'a)];

a45 = a~1m2Jm (œ 'a)(sa 3 - a 2m2 - k2 )+ + a~3J'Ñ (œ'a)(зк2 - 3 - 4m2 )+ + a-2J"m (œ 'a)(з - к2 + 2ñ2 )+ + a Jœ 'a )-JÑV (œ' a ) ;

a46 = a~1m2Nn (œ 'a)(8a~3 - a2m2 - k2 )+ + a-3N'm (œ'a)(зк2 -3-4m2)+ + a-2N"m (œ'a)(з - к2 + 2m2 )+ + a-1NÑ (œ 'a )-NÑ (œ 'a ) ;

a47 = 0;a51 = 2mb 1 [b J (h'b)-J'm (h 'b )] ;

a,2 = 2mb 1 [b ~1Nm (h'b)-NÑ (h'b)] ; a,3 = 2mikb 1 [b 1Jm (œ 'b)-J'n (œ 'b)] ;

a,4 = 2mikb 1 [b-1Nm (œ 'b )-NÑ (œ 'b)] ;

a55 = b -1n2Jm (œ 'bfeb 3 - b 2n2 - k2 )+ + b-3J'm (œ' b)(3k2 - 3 - 4n2 )+ + b-2J"m (œ ' b)(3 - k2 + 2n2 )+ + b-1Jl (œ 'b )- JÑV (œ 'b) ;

а56 = Ь-,m2Nm (ж'Ь^вЬ 3 — Ь 2т2 — к2)+ + Ь ~3^т (ж 'Ь)(3к2 — 3 — 4т2)+ + Ь — 2N"m (ж 'Ь)(3 — к2 + 2т2)+ + ь(ж Ь)—N1' (ж 'Ь );

а57 = 0; а61 = 21Ы'т (к'а); а62 = 2ikN': (к'а);

а63 = —2а ~3т2/т (ж 'а)+

+ ¿т (жа)(а 2 + а 2т2 — к2 )— /т (ж'а);

а64 =— 2 а ~3:2N: (ж 'а)+

+ N1 (ж'а)(а~2 + а 2т2 — к2 )— N1 (ж'а);

а65 = а тЫт (ж'а)(а 2 т 2 + к2 )+ + а 2тк/'т (ж 'а)(3а 2 — 2)—

— а 3тЫ"т (ж 'а);

а66 = а ~1mikNm (ж 'а )(а ~2т2 + к2 )+ + а — 2mikN'm (ж 'а )(3а 2 — 2 )—

— а 3 mikN"m (ж 'а );

а67 = 0; а71 = 2;/ (к Ь); а72 = 2ikN': (к'Ь);

а73 = —2Ь~3т2/т (ж'Ь) +

+ /т (жЬ)(ь 2 + Ь 2т2 — к2 ) — /т (жЬ);

а74 =—2Ь -3:2Nm (ж ' Ь) +

+ N1 (ж'Ь)(Ь2 + Ь 2т2 — к2)— N1 (ж Ь);

а75 = Ь — тЫт (ж' Ь)(Ь 2т2 + к2 )+ + Ь 2тк/'т (ж Ь)(3Ь—2 — 2)—

— Ь-3тк/т (ж 'Ь);

а76 = Ь~1тШт(жЬ)(ь 2т2 + к2)+ + Ь ^2тЖ'т (ж' Ь )(3Ь ^2 — 2 )—

— Ь-3тЖ'т (ж Ь);

а77 = 0; = Вт (— i )ГП/: {куа) ; Ь27 = —р0^Вт (— iГ¿т (кГа).

Связь между рассеянным давлением р, и скалярным потенциалом смещения рассеянной волны Ф , определяется соотношением:

Р, =—рю2Ф, (2.44)

Обратимся теперь к задаче дифракции плоской звуковой волны на упругой вытянутой сфероидальной оболочке [80,81], половины которой расположены по торцам рассматриваемого рассеивателя (рис.2.28).

Н ч с ДО ;

у:

Рис.2.28. Упругая сфероидальная оболочка.

Схема решения осесимметричной задачи дифракции звука на упругом сфероидальном теле (вытянутом или сжатом) весьма схожа со схемой, принятой для цилиндра и сферы. Векторный потенциал ¥ имеет в этом случае также одну ненулевую компоненту но в отличие от упругих сферы и цилиндра неизвестные коэффициенты разложений не

находятся в замкнутой форме, а отыскиваются (методом усечения) из бесконечной системы уравнений. Трехмерная задача дифракции на упругом сфероидальном рассеивателе решается с помощью потенциалов Дебая и и V, через которые выражается векторная функция ¥ в соответствии с представлением (1.97). Сфероидальные компоненты ¥ представляются в виде (1.101).

Все потенциалы - плоской волны Ф0, рассеянной волны Ф1 скалярный потенциал

оболочки Ф2, потенциалы Дебая и и V раскладываются в ряды по волновым сфероидальным функциям (1.111)-(1.114). Неизвестные коэффициенты разложений, как и ранее (см. Раздел 1.3) отыскиваются из физических граничных условий на поверхностях оболочки

^0 и ^ (1.115)-(1.118).

Для модели рассеивателя, представленной на рис. 2.26, на основании (2.13) с использованием полученных значений рх (2.47) и др^дп в точках Q были выполнены расчеты модуля угловой характеристики |-0(ф}| при в0 = 90 0 для нескольких значений волновых размеров кг0 , материалов и волновых толщин к!г оболочки [77,80,81]. При этом элемент внешней поверхности цилиндрической части оболочки определялся как: йБ = г0йр' йг' (см.Рис.2.3); сфероидальных частей: dS=hlfr<rdцdty (где

К=К (1-п2 -П2) ;\=К (1-ц2) (^-7) ; Геометрические траметры модели принимались следующими: Ь = к0 = 1 0г0; гг = г0 + = 1.005075; ^ = 1.005. На рис. 2.29 в одном масштабе представлены модули угловых характеристик |-0(ф)| (в плоскости ХОУ,

при 90 = 900) данной упругой оболочки: а) кг0 = 0,5 ;( С = 5 ) ;к Л = 0,00 5; б) кг0 =

0, 5 ; кЛ = 0, 0 1; в) к г0 = 1, 0 ; ( С = 1 0) ; кЛ = 0,005. Кривая 1 соответствует абсолютно жесткому телу той же формы, кривая 2 - стальной оболочке, кривая 3 - алюминиевой оболочке.

|Я(Ф)1

1Дф)1

!Дф)|

! 0.01 ,••

150/' 2 !

' '"Х,.-----Л [/^-0о"5 • к

\ К...>\>:<.,

\ V........Ь^Т

А

0.01

.V" ! '*••/.

VI

......и.....

•V /*•—V'>

I'. 0 180

к

а)

б)

в)

Рис.2.29. Модули угловых характеристик |D(ф)| рассеивателя в форме цилиндра

с полусфероидами по торцам: а) кг0 = 0 , 5 ; к Л = 0,0 0 5 ; б) к г0 = 0 , 5 ; к Л = 0 , 0 1 ; в) кг0 = 1 , 0 ; к Л = 0, 0 0 5 .

90

90

90

0.04

0.015

0.015

60

60

60

30

0

| 0180

Анализ представленных кривых позволяет сделать следующие выводы:

1) при волновых размерах кг0 < 1 , 0 характеристики рассеяния стальной оболочки в освещенной области в целом близки к таковым для абсолютно жесткого тела; для алюминиевой - амплитуда обратного рассеяния ~ в 1,5 раза меньше;

2) увеличение толщины оболочек в 2 раза в данном диапазоне приводит к некоторому уменьшению теневого рассеяния и практически не сказывается на обратном отражении;

3) в теневом лепестке упругих оболочек (особенно на рис.2.29,а) в значительной степени проявляется «мягкий» фон их полости;

4) при поведение упругих оболочек оказывается более сложным: увеличивается рассеяние в поперечном направлении, а амплитуда вследствие изрезанности частотной зависимости модуля обратного отражения существенно отличается от таковой для жесткого тела.

В качестве второго варианта формы поверхности неканонического рассеивателя рассмотрим составную упругую оболочку, образованную соединением конечной цилиндрической оболочки и двух полусферических (торцевых) оболочек такого же диаметра (рис. 2.30):

У

Рис. 2.30. Упругая оболочка, составленная из цилиндрической и сферических частей.

Для применения метода функций Грина в данном случае нужно дополнительно воспользоваться решением осесимметричной задачи дифракции плоской звуковой волны на упругой сферической оболочке в рамках динамической теории упругости и трансформировать это решение применительно к трехмерной задаче. Это решение мало будет отличаться от представленного выше решения трехмерной задачи дифракции на упругой сфероидальной оболочке. Векторная функция ¥ и в этом случае будет выражена через потенциалы Дебая и и V, а ее сферические компоненты в сферической системе координат будут равны [24]:

* * = ( = * 1

д ,.2

д*2 д2

+ к2)(*и);

(*и) + /12(81П01)-1 ^; д*д01 дф

д2 д V

= (* Б1П 0, Г1 -А- (*и) -¡к2 —. ф 1 д*дф д0х

(2.45)

(2.46)

(2.47)

Дальнейший ход решения задачи дифракции на упругой сферической оболочке совпадает с описанным выше решением задачи дифракции на упругой сфероидальной оболочке, при этом волновые функции сфероидальных координат заменяются на функции сферических координат. Результаты расчета для данного варианта рассеивателя (с обозначениями на кривых, аналогичными рис.2.29) приводятся на Рис.2.31 и 2.32,а.

Угловые характеристики, показанные на первом из них, в основном схожи с соответствующими диаграммами на рис.2.29, что, с одной стороны, подтверждает устойчивость и надежность разработанного алгоритма, а с другой - позволяет увидеть некоторые особенности, обусловленные отличиями в геометрии модели (большее значение L и форма тор-

цевых оконечностей). В частности, это выразилось в несколько большем проявлении «жесткого» фона характеристик.

90 0.015 ^(Ф)1

0.015

Р(Ф)|

Р(Ф)|

60

/х,\

0.01

330 210 \

а) б) в)

Рис.2.34. Модули угловых характеристик |-0(ф) рассеивателя в форме цилиндра

с полусфеами по торцам: а) кг0 = 0 ,5 ; кИ = 0,0 0 5 ; б) кг0 = 0, 5 ; кИ = 0, 0 1; в) кг0 = 1, 0 ; к И = 0, 0 4 .

k

Рис.2.32,а дает представление об аналогичных характеристиках при кг0 = 2 ,0 , а на рис. 2.33,б и 2.33,в продемонстрировано влияние изменения толщины стальной оболочки при соответственно.

А(Ф)|

0.008 0.006 ; 0.004 ''

р(Ф)|

|d(Ф)|

1;

270

а)

б)

в)

Рис.2.32. Модули угловых характеристик |-0(ф)| неканонического рассеивателя в форме цилиндра с полусфеами по торцам: а) б) в)

Обозначения кривых на рис. 2.33,б и 2.33,в приняты следующими: (1) - кИ = 0,0 01; (2) - к И = 0,00 5; (3) - кИ = 0,01; (4) - абсолютно жесткое тело. Рассмотрение кривых на рис. 2.33 приводит к следующим выводам: 1) при для стальной оболочки с приближением к одной из резонансных час-

тот максимум рассеяния смещается в поперечных направлениях, что превышает рассеяние на жестком теле; для алюминиевой оболочки этого не наблюдается (см.Рис. 2.33,а);

90

90

0.04

120

60

120

120

60

150

30

30

150

180

0 180

0 180

0

210

240

240

300

270

270

270

90

90

90

0.015

120

60

60

120

60

0.04

0.01

150.'

30

k

0

180

0

210

330

240

300

240

300

270

270

2) на низких частотах ( в характере рассеяния у стальной оболочки преобладает «мягкий» фон ее полости и влияние толщины практически отсутствует (см.Рис. 2.33,б); уровень обратного отражения при этом более, чем в 2 раза превышает таковой для жесткого тела (кривая 4);

3) при роль упругих свойств стальной оболочки усиливается и изменение толщины оказывает влияние на вид угловых характеристик (см.Рис. 2.33,в).

2.4.Применение функций Грина и метода конечных элементов для решения задачи излучения звука изотропным телом под действием точечного источника на его поверхности

Получение расчетных оценок звукоизлучения упругих оболочечных конструкций произвольной формы является весьма актуальной задачей для различных областей техники. Как уже отмечалось ранее, аналитическое решение подобной задачи возможно лишь для оболочек простейшей геометрии, что не позволяет судить об изменениях в физической картине излучения реальной упругой структуры при вариациях ее параметров и способов возбуждения. Метод конечных элементов (МКЭ) и его разновидности позволяют получить решения задач излучения звука упругими телами практически любой формы, однако, использование численных методов эффективно лишь при условии оценки точности их результатов [114-116]. Такая оценка может быть произведена путем сопоставления результатов численного и точного решений, полученных для одной и той же конструкции и способа ее возбуждения.

В данном разделе рассматривается возможность совместного применения аппарата МКЭ и метода функций Грина (МФГ) для построения численного решения задачи о дальнем поле излучения звука упругой вытянутой сфероидальной оболочкой под действием точечных источников на ее поверхности (см.рис.2.28). Выбор данного типа объекта обусловлен тем, что ранее (см. Глава 2, раздел 1.3) было получено строгое решение такой задачи, реализованное с помощью теоремы взаимности на основе трехмерной граничной задачи дифракции плоской монохроматической волны на этой оболочке. Поэтому представлялось целесообразным сравнить результаты численного алгоритма и аналитического решения.

Геометрические и физические параметры оболочки приняты теми же, которые были использованы в Главе 2, т.е: =1,005075; ^=1,005; С = 1 0кЛ0; материал - упругий изотропный с плотностью рь модулем Юнга Е, коэффициентами Ламе и ^ .Внутри обо-

лочки находится газ с плотностью р2, скоростью звука с2 и коэффициентом объемного сжатия Л2. Оболочка помещена в идеальную сжимаемую жидкость с плотностью р0, скоростью звука с 0 и коэффициентом объемного сжатия А0, для которой потенциал звуковой волны подчиняется скалярному уравнению Гельмгольца.

По торцам оболочки в точках А и В расположены точечные источники гармонического сигнала с частотой ю = 2 я/; ( к = о / с 0 ) , создающие некоторое АФР потенциала звуковой волны на внешней поверхности (0 ив окружающей оболочку жидкости (см.рис.2.28).

Численное решение задачи производится в два этапа:

1) расчет значений потенциала звуковой волны и его градиента на замкнутой контрольной поверхности в ближнем поле (зоне Френеля), создаваемых точечными источниками;

2) пересчет полученных результатов в дальнее поле (зону Фраунгофера).

Особенностью применения МКЭ на первом этапе являлась необходимость учета влияния безграничного жидкого пространства на акустическое поле вблизи излучателя. При этом было целесообразно комбинировать решения по МКЭ в области У1, непосредственно примыкающей к оболочке, с точным аналитическим решением уравнения Гельмгольца во внешнем безграничном пространстве У2 (рис.2.34). Такой подход позволял обеспечить сопряжение решений по нормальной скорости и потенциалу по поверхности раздела £ [117-118].

Функционал полной энергии системы «оболочка-жидкость» имеет вид:

Э(1*,Ф!,Ф2) = Я+Г-/4 ¿ЫроФ^ + Яз + Ро(Ф1-Ф2)^7^.

(2.48)

где П и Т - потенциальная и кинетическая энергии оболочки; и — нормальное к поверхности (0 перемещение оболочки; Ф 1и Ф 2 - потенциалы скоростей жидкости соответственно в объемах У1 и У2, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условию излучения на бесконечности в объеме У1.

Условие стационарности функционала Э по неизвестным - перемещениям оболочки и потенциалам скоростей жидкости приводит к выполнению уравнения движения оболоч-

Рис.2.34. Сопряжение МКЭ с точным аналитическим решением.

ки и уравнения Гельмгольца в области У1, а также равенству нормальных скоростей и

дф2 . , „ и потенциалов Ф 1 и Ф 2 на поверхности Л.

Осевая симметрия оболочки и источников излучения приводит к тому, что перемещения оболочки и потенциалы скорости жидкости не будут зависеть от окружной координаты ф.

Потенциал Ф 2, удовлетворяющий уравнению Гельмгольца и условию излучения на бесконечности, принимает наиболее простой вид в случае, когда поверхность Л является сферой [116-118]:

Ф, =

¡2пс0 ù)R

Q-) /Ù)R\

К+o,s(z) [—) (amnsinm(p + bmncosm(p)P™ cos(0), (2.49)

fil

где hnn+0 5(z) - сферическая функция Ханкеля 1-го рода; Р™ с о s ( в ) - присоединенный полином Лежандра 1-го рода; amn,bmn- неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Подстановка выражений, аппроксимирующих перемещения оболочки и потенциалов Ф1 и Ф2, в условия стационарности функционала Э приводит к линейной алгебраической системе разрешающих уравнений.

Для решения рассматриваемой задачи необходимо использовать кольцевые конечные элементы, изображенные на рис.2.35: а) - для оболочки; б) - для жидкости и газа-наполнителя; в) - для сопряжения этих элементов между собой; г) -для моделирования области V1. Располагая такими элементами, можно рассчитать ближнее поле для произвольных излучателей в виде оболочек вращения. В данном случае численные расчеты были выполнены для конечно-элементной сетки, содержащей 131 элемент и 410 узловых точек [117] (рис.2.36).

O

O

в)

г)

Рис.2.35. Кольцевые конечные элементы.

Рис.2.36. Конечно-элементная сетка в ближнем

r

r

поле оболочки.

АФР звукового давления и (или) нормальной составляющей колебательной скорости в узловых точках контрольной поверхности в ближнем поле является исходной информацией для второго этапа решения задачи. Звуковое давление в дальнем поле будем находить с помощью интеграла Кирхгофа и предложенного выше алгоритма на основе МФГ. Для дополнительного контроля погрешности приближенного подхода при решения задачи излучения используем два варианта формы контрольной поверхности £: неканоническую в виде цилиндра с полусферами по торцам (I = 2 0 г0 ) , рис.2.37,а) и каноническую (сфера), обеспечивающую точное решение (рис.2.37,б).

(а) > X S /

А (

^-уЯ—гг^ го / Но 1 2

м-►

Рис.2.37. Контрольные поверхности в виде: цилиндра с полусферами по торцам (а) и сферы (б).

В обоих случаях воспользуемся одночленным вариантом интегральной формулы Кирхгофа (2.14, 2.16), позволяющей обойтись определением только звукового давления р = — /р0д Ф / дt в ближнем поле оболочки. Причем для сферической поверхности (рис.2.40,б) выражение (2.16) существенно упростится:

р(Р) = - — \е1кТозв

2п г 2п

п

зО ¿О

Г0

р№

дв

(1) сф

дГсф

зтВ'ЛВ'Лц)' [,

(2.50)

При расчете применялась та же программа интегрирования, основанная на использовании адаптивных квадратур и принципов дискретизации контрольной поверхности, что и в Разделе 2.1.

На основе предложенного алгоритма были выполнены расчеты углового распределения уровней звукового давления, излучаемых упругой сфероидальной оболочкой, при следующих исходных данных [115-117]:

р1 = 7800 к Г /м 3; Е=2,110п н /м 2; = 1 1, 2-1 0 1 0 н / м 2 ; цх = 8, 1-1 0 1 0 н /м 2; р2 = 0,09 кГ/м3; с2 = 1245 м/с; Л2 = 1,43 • 105 н/м2; р0 = 1 00 0 к Г / м 3; с0 = 1 50 0 м / с ;Л0 = 2, 2 5 - 109 н /м 2.

На рис.2.38 для кг0 = 0, 6 ( С = 6,0) представлены модули углового распределения звукового давления Lр = 2 01 g ( р( Р)),дБ: дальнего поля оболочки, полученные пересчетом из АФР звукового давления на сфере в ближнем поле (кривая 1); то же, но пересчи-

дальнего поля, полученные на основе строгого решения (кривая 3); ближнего поля на сфере (кривая 4). Как видно, имеет место вполне удовлетворительное для практики совпадение результатов вычислений дальнего поля оболочки для обоих вариантов форм контрольной поверхности по приближенному методу с результатами строгого аналитического решения задачи.

звукоизлучения сфероидальной 0 20 40 Lp, дБ

оболочки.