Методы реалистического описания систем с сильными корреляциями и нелокальностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.09, доктор физико-математических наук Рубцов, Алексей Николаевич

• Рубцов, Алексей Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рубцов, Алексей Николаевич

Глава 1. Введение

1.1. Введение в проблемы физики сильных корреляций

1.2. Методы решения примесной задачи.

1.3. Проблема пространственной нелокальности

1.4. Решеточные модели для бозонных степеней свободы

Глава 2. Квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени.

2.1. Математические основы алгоритма

2.2. Тестовые расчеты CT-QMC

2.3. Проблема коррелированного тримера.

2.4. Расчеты для изоляторной парамагнитной фазы V2O

2.5. Дальнейшее развитие метода - разложение по величине гибридизации

Глава 3. Метод дуальных фермионов.

3.1. Основные определения

3.2. Переход к дуальному ансамблю и его анализ в гауссовом приближении

3.3. Связь спектров возбуждений исходной и дуальной систем

3.4. Минимизация функционала Фейнмана и условие самосогласования DMFT

3.5. Диаграммное разложение.

3.6. Организация вычислений.

3.7. Расчеты для модели Хаббарда без допирования

3.8. Модель Хаббарда с допированием.

Глава 4. Метод дуальных переменных для бозонных степеней свободы.

4.1. Исследуемая модель и простейшие приближения

4.2. Фазовая диаграмма дискретной фА модели

4.3. Замена переменных

4.4. Тестовые расчеты для модели Изинга.

4.5. Метод ренормгруппы, включающий дуальное преобразование

Выводы

Список публикаций автора по теме диссертации

Благодарности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы реалистического описания систем с сильными корреляциями и нелокальностью»

1.1. Введение в проблемы физики сильных корреляций

Экспериментальный прогресс в области сканирующей туннельной микроскопии (СТМ), исследовании фотоэмиссии (включая спектроскопию с угловым разрешением, ARPES) и других спектроскопических методов позволяет получать существенную информацию об электронных и структурных свойствах нанообъектов. Физики научились манипулировать нанообъектами вплоть до уровня отдельных атомов, что открывает принципиальную возможность конструирования наноструктур с наперед заданными свойствами. При этом, особенный интерес представляют исследования свойств систем с сильными электронными корреляциями при низких температурах, необычные свойства которых обусловлены физикой низкоэнергетических многочастичных электронных возбуждений.

Однако, этот прогресс в сильной степени сдерживается отставанием теоретических и расчетных методов: серьезную проблему представляет количественно точное описание электронных свойств многих экспериментально реализованных наносистем, даже имеющих сравнительно простую структуру. В этом контексте можно упомяпуть так называемые квантовые кораллы [1], квантовое изображение магнитного атома [2], кобальтовые кластеры на углеродных нано-трубках [3] и другие объекты. В частности, СТМ-эксперименты с кластерами из атомов Сг и Со на поверхности Au(lll) [4] демонстрируют сложную связь между числом атомов, их взаимным расположением и наличием Копдо-пика на уровне Ферми системы. Спектр одиночного атома Со содержит такой пик, а спектр атома Сг - нет. Димеры как атомов Сг, так и Со Кондо-резонапса не показывают. Наличие пика в спектре тримеров Сг зависит от геометрии взаимного расположения атомов. "Магнитные молекулы например V15, М1112, Fes, представляющие собой сложные органические соединения с включением соответствующих ионов переходных металлов [5-7] - еще один пример интересных напообъектов с сильными электронными корреляциями. В них наблюдается, например туннелирование намагниченности и квантовые осцилляции величины туннельного расщепления. Эти материалы рассматривались в качестве возможной элементной базы квантового компьютера [8, 9]. Теоретический анализ и численные расчеты указанных систем должны принципиальным образом включать в рассмотрение эффекты межэлектрониых корреляций. Это сразу означает недостаточность таких методов расчета, как, например, метод функционала плотности.

Учет электронных корреляций необходим также при описании объемных свойств материалов с частично заполненными внутренними оболочками. Можно упомянуть такие системы, как высокотемпературные сверхпроводники [10, 11], магнетики с делокализованпыми электронами [12] и моттовскис изоляторы [13]. Сильные корреляции показывают атомы в оптических решетках при сверхнизких температурах [14-16].

Некоторые многочастичные эффекты могут быть учтены в рамках простых моделей, таких как модели Андерсона и Кондо, однако, в этом случае модели не содержат конкретной информации о соединениях и, соответственно, расчеты не могут количественно описывать экспериментально наблюдаемыесвойства реальных структур.

Целью настоящей работы является разработка и развитие методов реалистического описания структур с сильными корреляциями. Под реалистическим понимается количественно точное описание в классе моделей и диапазоне их параметров, соответствующих экспериментально реализуемым структурам. Поскольку речь идет о структурах с сильными корреляциями, используемые модели не содержат явных малых параметров. Для проверки применимости развитых методов используется сравнение, во-первых, с имеющимися экспериментальными данными и, во-вторых, с результатами прямого численного расчета в случаях, когда такой расчет возможен.

Базовым классом моделей, используемых для описания сильнокоррелированных структур, являются решеточные моделей с сильным взаимодействием. При этом, гауссову часть модельного гамильтониана выбирают таким образом, чтобы закон дисперсии электронов коррелированных орбиталей воспроизводил результаты расчета методом функционала плотпости. Что касается кулоновского взаимодействия коррелированных электронов, то, в подавляющем большинстве случаев, оказывается достаточным учесть только взаимодействие электронов, соответствующих орбиталям одного атома.

Важность развития методов теоретического анализа этих систем связана, в том числе, с тем, что прямой численный анализ свойств систем коррелированных фермионов практически невозможен из-за проблемы экспоненциальной сложности известных алгоритмов. Заметим, что экспоненциальный рост требуемых компьютерных ресурсов с увеличением размера системы имеет место не только для метода точной диагонализации, но и для стохастических методов: для известных алгоритмов семейства квантовых методов Монте-Карло (QMC), так называемая проблема знака [17] приводит к экспоненциальному росту дисперсии результата при низких температурах (подробнее, эта проблема описана в разделе 1.2.1).

С другой стороны, необходимо сразу оговориться, что использование традиционной парадигмы теоретической физики - построение разложения по малому параметру вблизи точного решения - для рассматриваемого класса моделей затруднительно. Разумеется, известны разложения в предельных случаях слабокоррелированной системы и ансамбля почти независимых атомов (соответственно, разложения в пределах слабой и сильной связи). Однако, физически интересной является как раз промежуточная область, в которой указанные разложения неприменимы. Автору представляется, что в этой ситуации следует использовать приближения, позволяющие непрерывным 1 образом интерполировать между двумя известными предельными случаями.

Такие интерполирующие теории действительно известны. Они представляют собой комбинированные схемы, в рамках которых решеточная задача приближенно сводится к проблеме одного коррелированного узла, помещенного в эффективное окружение с гауссовой статистикой (так называемая примесная задача). Предполагается, что задача определения свойств примесной задачи гораздо проще расчетов для решетки. Корректное поведение таких схем в предельных случаях гарантируется их построением. В пределе слабой связи предположение о гауссовой статистике окружения оказывается точным. В случае же почти изолированных атомов мало влияние окружения на свойства коррелированного узла, так что отклонение статистики окружения от гауссовой не играет существенной роли.

Простейшей из схем эффективной среды, применяемых в настоящее время для описания систем с локализованными d или / состояниями, является метод функционала локальной плотности в сочетании с учетом локального кулоновского взаимодействия в приближении статического среднего поля (так называемый LDA+U метод, [18]).

Тем не менее, эта схема имеет внутренние ограничения из-за статического характера приближения среднего поля: с помощью схемы LDA+U можно хорошо описать только фазы диэлектриков Мотта-Хаббарда с упорядочиванием по спиновым, зарядовым, или орбитальным степеням свободы. Однако наиболее интересные и важные эффекты в спектрах квазичастиц связаны со спиновыми и орбитальными флуктуациями и требуют для описания приближений, в которых собственная энергия зависит от частоты. Включение в рассмотрение эффектов временной дисперсии приводит к динамическому приближению среднего поля (LDA+DMFT) [19, 20]. Физически, основное приближение DMFT заключается в предположении о том, что корреляции в системе локализованы в пространстве (то есть, на узле решетки), но нелокальны во времени. Формально, такая ситуация соответствует пределу бесконечной размерности системы [13].

Приведем без вывода систему уравнений метода DMFT [13]. Учет эффектов временной дисперсии означает, что примесная задача DMFT является негамильтоновой. Соответствующее действие имеет вид где Sq - действие, соответствующее изолированному узлу решетки, величина а нумерует спиновые и орбитальные индексы, а ш - частота Мацубары. Здесь и в дальнейшем, символы с*, с в выражениях для действия обозначают грассмановы переменные описывающие

1.1) электронные степени свободы, а те же символы в гамильтонианах соответствующие вторично-квантованные операторы.

Второй член действия (1.1) определяет гибридизацию атомных орбиталей решеткой. Величина гибридизации А выбирается такой, чтобы функция Грина примесной задачи дш>а удовлетворяла самосогласованному уравнению

Здесь индекс к — 1.N нумерует моды системы с исходным законом дисперсии Выражение под знаком суммы представляет собой од-ноэлектронную функцию Грина DMFT на решетке. Видно, что поскольку величины д, А зависят от ш, но не включают индекса к, собственно-энергетическая функция DMFT имеет определенную временную дисперсию, но при этом оказывается локальна в пространстве.

Таким образом, применительно к методу DMFT можно поставить два вопроса. Во-первых, необходимо указать, каким именно образом решать примесную задачу (то есть, определять величину Вовторых, необходимо определить, в какой мере оправданным является предположение о пространственной локализации корреляций и рассмотреть возможные обобщения.

1.2)

Заключение диссертации по теме «Физика низких температур», Рубцов, Алексей Николаевич

Выводы

1. Разработан новый алгоритм численного моделирования систем сильнокоррелированных фермионов - квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени (CT-QMC). В программе используется случайное блуждание по членам ряда теории возмущений в представлении взаимодействия. Метод не включает вспомогательных бозонных полей и не использует дискретизации времени.

2. Программа, реализующая алгоритм CT-QMC, позволяет проводить расчеты для негамильтоновых систем с несколькими электронными орбиталями оператора взаимодействия, нелокального в пространстве координатных, спиновых и орбитальных индексов. В проведенных расчетах функции Грина на частотах Мацубары была достигнута точность на уровне Ю-3 и выше, что позволяет разрешать особенности электронного спектра с точностью около 5-10% для положения и 20-30% для амплитуды пиков для систем с температурой 100-300 К.

3. По результатам тестовых расчетов для систем с диагональным оператором взаимодействия, CT-QMC по сравнению с использовавшимся ранее алгоритмом Хирша-Фая, обеспечивает уменьшение требуемого числа операций в 3-5 раз, и улучшение показателя спадания среднего знака на 20 %, что позволяет моделировать системы при температурах 100 К и ниже.

4. С использованием метода CT-QMC проведено моделирование коррелированного тримера на поверхности металла; получены графики плотности состояний. Показано, что для объяснения подавления Кондо-резонанса, экспериментально наблюдаемого в кластерах Сг на поверхности Аи, необходимым условием является учет недиагональных матричных элементов гейзенберговского оператора обмена.

5. Развит новый подход - метод дуальных переменных - позволяющий регулярным образом учитывать эффекты пространственной нелокальности сильных электронных корреляций. Метод основан на переходе к ансамблю новых переменных, при этом локальная часть корреляций учитывается непосредственно в процедуре замены переменных. В предельных случаях слабой и сильной связи теория содержит явный малый параметр, а в промежуточной области может быть описана как диаграммная техника, стартующая с динамического приближения среднего поля.

6. Рассмотрены эффекты пространственной нелокальности корреляций в модели Хаббарда без допирования. Показано, что эти эффекты играют наибольшую роль на начальных стадиях формирования антиферромагнитной псевдощели. По сравнению с расчетом в пренебрежении нелокальными корреляциями, учет первых членов лестничного ряда дуальных диаграмм для модели Хаббарда с параметрами U — 1.0, t = 0.25, (3 — 20 позволил улучшить точность определения локальной плотности состояний в 3-4 раза (приблизительно, от 20 до 5%).

7. Показано, что феномен анизотропного разрушения поверхности Ферми в купратах связан с эффектами пространственной нелокальное™ корреляций. Учет первой нелокальной поправки к динамическому приближению среднего поля для t — t' модели Хаббарда с допированием 14% позволяет качественно экспериментально наблюдаемую картину частичного разрушения поверхности Ферми в антинодалыюм направлении при параметрах модели U = 4.0, t = 0.25, t' = -0.075,/? = 80 (что соответствует температуре около 140 К).

8. Развит метод описания моделей решеточных степеней свободы, основанный на перенормировке теории в терминах восприим-чивостей одноузельной задачи. Метод применим для переходов типа 'порядок-беспорядок', 'мягкая мода' и в промежуточной области. Нулевой порядок теории воспроизводит результат приближения среднего поля. Учет первой поправки позволяет улучшить точность вычисления критической температуры (в случае температурных флуктуаций) и критической массы (в случае нулевых квантовых флуктуаций) дискретной ф4 модели с примерно 30% до 0-7 % (в зависимости от типа перехода).

9. Развит аналог метода дуальных фермионов для классических решеточных моделей с локализованной нелинейностью. На его основе построен метод ренормализационной группы, включающий переход к новым переменным на каждом шаге ренормгруп-пового преобразования. В случае трехмерной модели Изинга, нулевое (гауссово) приближение метода оказывается совместимым с гипотезой подобия и воспроизводит значения критических индексов с точностью около 1%.

Список публикаций автора по теме диссертации

Глава в монографии:

• Rubtsov, A.N. Kondo Effect in Mesoscopic System / A.N.Rubtsov, M.I.Katsnelson, E.N. Gorelov, and A.I. Lichtenstein, in book: Electron Correlations in New Materials and Nanosystems, K. Scharnberg and S.Kruchinin (eds). - Amsterdam: Springer, 2007. - PP. 327-341.

Статьи по теме диссертации: полный список статей автора насчитывает 36 наименований)

1. Rubtsov, A.N. Crossover between displacive and order-disorder phase transition / A.N. Rubtsov, J. Hlinka, T. Janssen// Phys. Rev. E. - 2000. - V.61. - PP.126-131.

2. Савкин, В.В. Двумерные и слоистые структуры в дискретной ф4 модели / В.В. Савкин, А.Н. Рубцов // ЖЭТФ. - 2000. -Т.118. - С. 1391-1401.

3. Rubtsov, A.N. Quantum phase transitions in discrete фА model: the crossover between two types of the transition / A.N. Rubtsov, T. Janssen // Phys. Rev. B. - 2001. - V.63. - P. 172101. - 4 pages.

4. Savkin, V.V. Quantum discrete ф4 model at finite temperatures / V.V. Savkin, A.N. Rubtsov, T. Janssen // Phys.Rev. B. - 2002. -V.65. - P.214103. - 12 pages.

5. Rubtsov, A.N. Quality of the mean-field approximation: A low-order generalization yielding realistic critical indices for three-dimensional Ising-class systems / A.N. Rubtsov // Phys. Rev. B. - 2002. - V.66.

- P.052107. - 4 pages.

6. Рубцов, A.H. Квантовый метод Монте-Карло для фермионов в непрерывном времени: выход за рамки схем со вспомогательными полями / А.Н. Рубцов, А.И. Лихтенштейн // письма ЖЭТФ. - 2004. - Т.80. - С. 67-70.

7. Savkin, V.V. Correlated adatom trimer on metal surface: A continuous time quantum Monte Carlo study / V. V. Savkin, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. Lett. - 2005.

- V.94. - P.026402. - 4 pages.

8. Rubtsov, A.N. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions / A. N. Rubtsov, V. V. Savkin, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2005. - V.72. - P.035122. - 9 pages.

9. Hafermann, H. Cluster Dual Fermion Approach to Nonlocal Correlations / H. Hafermann, S. Brener, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // письма ЖЭТФ. - 2007. - T.86. - C.769-774.

10. Poteryaev, A.I. Enhanced crystal-field splitting and orbital-selective coherence induced by strong correlations in V2O3 / A.I. Poteryaev, J.M. Tomczak, S. Biermann, A. Georges, A.I. Lichtenstein, A.N. Rubtsov, T. Saha-Dasgupta, and O.K. Andersen // Phys. Rev. B.

- 2007. - V.76. - P.085127. - 17 pages.

11. Rubtsov, A. N. Dual fermion approach to nonlocal correlations in the Hubbard model / A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77. - P. 033101. - 4 pages.

12. Brener, S. Dual fermion approach to susceptibility of correlated lattice fermions / S. Brener, H. Hafermann, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77.

- PP.195105. - 12 pages.

Апробация работы:

1. Savkin, V.V. A continuous time QMC study of the correlated adatom trimer / V.V.Savkin, A.N.Rubtsov, M.I. Katsnelson, A.I.Lichtenstein Nanostructures, St. Peterburg - 2005.

2. Рубцов, A.H. Нелокальная физика сильных электронных корреляций / A.H. Рубцов // Ломоносовские чтения, Москва. -2008.

3. Рубцов, А.Н. Серия докладов по методу дуальных фермионов / / Семинар по теории конденсированного состояния, ФИ АН, Москва. - 2006-2007.

4. Рубцов, А.Н. Локальные и нелокальные эффекты в системах с сильными электронными корреляциями: можно ли объединить приближения слабой и сильной связи? / Семинар отделения теоретической физики ФИАН (руководитель Л.В. Келдыш), Москва. - 2006.

5. Рубцов, А.Н. Новое поколение методов Монте-Карло для расчета соединений и наноструктур с сильными электронными корреляциями / А.Н. Рубцов // Тематический семинар РНЦ "Курчатовский институт"(руководитлеь А.А. Солдатов), Москва. -2007.

6. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC for fermions // PSI-K LDA+DMFT school, Hamburg. - 2005.

7. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC methods: applications for DMFT and beyond // Workshop "Progress in Computational Electronic

Structure Theory Bohn. - 2008.

8. Rubtsov, A.N. Beyond the DMFT: Dual Fermion scheme // Ab-initio Many-Body Theory summer school, San-Sebastian. - 2007.

9. Rubtsov, A.N. Continuous-time QMC for fermions: state of art and perspectives // Electronic Structure Calculation of Solids and Surfaces workshop, Strasbourg. - 2004.

Благодарности

Выражаю благодарность всем моим коллегам, результаты совместной работы с которыми легли в основу диссертации. Идея перенормировки теории возмущений для сильнокоррелированных систем с сосредоточенной нелинейностью родилась в результате попыток регулярным образом описать фазовую диаграмму дискретной модели - задачи, поставленной передо мной Тедом Янссеном (Ted Janssen). Неоценимый вклад в дальнейшее развитие этих идей применительно к системам коррелированных фермионов внесли А.И. Лихтенштейн и М.И. Кацнельсон. Стимулирующую роль сыграл интерес, проявленный А. Джорджесом (Antoine Georges), П.И. Арсеевым, Н.С. Масловой и многими другими. Алгоритм QMC в непрерывном времени появился после дискуссий проблем численного моделирования систем фермионов с А.И. Лихтенштейном. Приятно поблагодарить всех, кто счел полезным использование CT-QMC программного кода; некоторые результаты, полученные В.В. Савкиным и А.И. Потеряевым, вошли в текст диссертации. Наконец, я искренне благодарен старшему поколению кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ, прежде всего О.А. Акципетрову, П.В. Елютину и Л.В. Келдышу - людям, которых я считаю своими учителями.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рубцов, Алексей Николаевич, 2009 год

1. Crommie, M.F. Confinement of Electrons to Quantum Corrals on a Metal Surface / M.F. Crommie, C.P. Luts, D.M. Eigler // Science. - 1993. - V. 262. - PP. 218-220.

2. Manoharan, H. C. Quantum Mirages: The Coherent Projection of Electronic Structure / H. C. Manoharan, C. P. Lutz, D. M. Eigler // Nature 2000. - V. 403. - PP. 512-515.

3. Odom, T. W. Magnetic Clusters on Single-Walled Carbon Nanotubes: The Kondo Effect in a One-Dimensional Host / T. W. Odom, J.-L. Huang, C. L. Cheung, С. M. Lieber // Science. -2000. V.290. - PP. 1549-1552.

4. Jamneala, T. Kondo Response of a Single Antiferromagnetic Chromium Trimer / T. Jamneala, V. Madhavan, and M.F. Crommie // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. - P. 256804. - 4 pages.

5. Gatteschi, D. Large Clusters of Metal Ions, the Transition from Molecular to Bulk Magnet / D. Gatteschi, A. Caneschi, L. Pardi, and R. Sessoli // Science 1994 - V.265. - PP.1054-1058.

6. Thomas, L. Macroscopic quantum tunnelling of magnetization in a single crystal of nanomagnets/ L. Thomas, F. Lionti, R. Ballou,

7. D.Gatteschi, R. Sessoli, and B. Barbara // Nature. 1986. - V. 383. - PP. 145-147.

8. Wernsdorfer, W. Quantum Phase Interference and Parity Effects in Magnetic Molecular Clusters / W.Wernsdorfer and R.Sessoli // Science. 1999. - V.284. - PP.133-135.

9. Leuenberger, M. N. Quantum computing in molecular magnets / M. N. Leuenberger and D. Loss// Nature. 2001. - V. 410. -PP.789-793.

10. Dobrovitski, V. Mechanisms of decoherence in weakly anisotropic molecular magnets / V. V. Dobrovitski, M. I. Katsnelson, and B. N. Harmon // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - PP.3458-3461.

11. Scalapino, D.J. The case for dxi yi pairing in the cuprate superconductors / D.J. Scalapino // Phys. Rep. 1994. - V.250. - PP.329-365.

12. Anderson, P.W. The Theory of Superconductivity in High-Tc Curpates / P.W. Anderson. Princeton : Princeton Univ. Press, Princeton Univ. Press, 1997. - 446 pages.

13. Moriya, T. Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism / T. Moriya. Berlin : Springer, 1985. - 239 pages.

14. Georges, A. Dynamical mean-field theory of strongly correlatedfermion systems and the limit of infinite dimensions / A. Georges,

15. G. Kotliar, W. Krauth, and M.J. Rozenberg // Rev. Mod. Phys. 1996. - V.68. - PP.13-125.

16. Modugno, G. Production of a Fermi gas of atoms in an optical lattice /G. Modugno, F. Ferlaino, R. Heidemann, G. Roati, and M. Inguscio // Phys. Rev. A 2003 - V.68. - P. 011601(R). - 4 pages.

17. Kohl, M. Fermionic Atoms in a Three Dimensional Optical Lattice: Observing Fermi Surfaces, Dynamics, and Interactions / M. Kohl,

18. H. Moritz, T. Stoferle, K. Giinter, and T. Esslinger // Phys. Rev. Lett. 2005. - V 94. - p. 080403. - 4 pages.

19. Chin, J.K. Evidence for superfluidity of ultracold fermions in an optical lattice / J.K. Chin etal// Nature. 2006. - V.443. - PP. 961-964.

20. De Raedt, H. Monte Carlo Calculation of the Thermodynamic Properties of a Quantum Model: A One-Dimensional Fermion Lattice Model / H. De Raedt and A. Lagendijk // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.46. - pp. 77-81.

21. Anisimov, V.I. First-principles calculations of the electronic structure and spectra of strongly correlated systems: the LDA-f

22. U method / V.I. Anisimov, F. Aryasetiawan, and A.I. Lichtenstein // J. Phys.: Condens. Matter. 1997. - V.9 - pp. 767-808.

23. Lichtenstein, A. I. Ab initio calculations of quasiparticle band structure in correlated systems: LDA+-1- approach / A. I. Lichtenstein and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 1998. - V. 57. - PP. 6884-6895.

24. Hirsch, J.E. Discrete Hubbard-Stratonovich transformation for fermion lattice models / J.E. Hirsch // Phys. Rev. B. 1983. -V.28. - PP. 4059-4061.

25. Hirsch, J.E. Monte Carlo Method for Magnetic Impurities in

26. Metals / J. E. Hirsch and R. M. Fye // Phys. Rev. Lett. 1986. -V.56. - PP. 2521-2524.

27. Scalapino, D.J. Method for Performing Monte Carlo Calculations for Systems with Fermions / D. J. Scalapino and R.L. Sugar // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.46. - PP. 519-521.

28. Blankenbecler, R. Monte Carlo calculations of coupled boson-fermion systems. I / R. Blankenbecler, D. J. Scalapino, and R. L. Sugar // Phys. Rev. D. 1981. - V.24. - PP. 2278-2286.

29. Hirsch, J.E. Two-dimensional Hubbard model: Numerical simulation study / J. E. Hirsch // Phys. Rev. B. 1985. - V.31.- PP. 4403-4419.

30. Rombouts, S.M.A. Quantum Monte Carlo Method for Fermions, Free of Discretization Errors / S. M. A. Rombouts, K. Heyde, and N. Jachowicz // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.82. - PP.4155-4159.

31. Hubbard, J. Calculation of Partition Functions / J. Hubbard // Phys. Rev. Lett. 1959. - V.3. - PP.77-78.

32. Стратонович, P. Jl. Об одном методе вычисления квантовых функций распределения / Стратонович, P. J1. // ДАН СССР.- 1957. т. 115. - с. 1097-1100.

33. Troyer, М. Computational complexity and fundamental limitationsto fermionic quantum Monte Carlo simulations / M. Troyer, U. J. Wiese // Phys.Rev.Lett. 2005. - V.94. - P.170201. - 4 pages.

34. Feynman, R. Quantum Mechanics and Path Integrals / R. Feynman and A.R. Hibbs // NY, McGraw-Hill, 1965. 365 pages.

35. Прокофьев, H.B. Точный процесс квантового Монте-Карло для статистики дискретных систем / Прокофьев Н.В., Свистунов Б.В., Тупицын И.С. // Письма ЖЭТФ 1996. - т.64. - сс. 853-859.

36. Beard, В.В. Simulations of Discrete Quantum Systems in Continuous Euclidean Time / В. B. Beard and U.-J. Wiese // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.77. - PP.5130-5133.

37. Kornilovitch, E.P. Continuous-Time Quantum Monte Carlo Algorithm for the Lattice Polaron / P. E. Kornilovitch // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.81. - PP.5382-5385.

38. Sandvik, A.V. Quantum Monte Carlo simulation method for spin systems / A. W. Sandvik and J. Kurkijarvi // Phys. Rev. B. -1991. -V.43. PP.5950-5961.

39. Jarrell, M. Bayesian inference and the analytic continuation of imaginary-time quantum Monte Carlo data / M. Jarrell and J. Gubernatis // Phys. Rep. 1996. - V. 269. - PP. 133-195.

40. Feynman, R. Statistical mehanics / R. Feynman. NY : Perseus Books, 1998. - 354 pages.

41. Hewson, A.C. The Kondo Problem to Heavy Fermions / A.C. Hewson Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1993. - 476 pages.

42. Mahan, G.D. Many-particle physics / G.D. Mahan N.Y. : Plenum Press, 1993. - 785 pages.

43. Irkhin, V.Yu. Effects of van Hove singularities on magnetism and superconductivity in the t-t? Hubbard model: A parquet approach / V.Yu. Irkhin, A.A. Katanin, and M.I. Katsnelson // Phys. Rev. В. V. 64. - P.165107. - 11 pages.

44. Irkhin, V.Yu. Robustness of the Van Hove scenario for high-Tc superconductors // V.Yu. Irkhin, A.A. Katanin, and M.I. Katsnelson // Phys. Rev. Lett. 2002 - V. 89 - P.076401. - 4 pages.

45. Schafer, J. Fermi surface and electron correlation effects of ferromagnetic iron / J. Schafer, M.Hoinkis, E. Rotenberg, P.Blaha, and R. Claessen // Phys. Rev. B. 2005. - V.72. - P. 155115 - 11 pages.

46. Poteryaev, A.I. Enhanced crystal-field splitting and orbital-selective coherence induced by strong correlations in V203 / A.I.

47. Poteryaev et al. // Phys. Rev. B. 2007. - V. 76. - P. 085127. -17 pages.

48. Maier, T. Quantum cluster theories / T. Maier, M. Jarrell, T. Pruschke, and M. Hettler // Rev. Mod. Phys. 2005. - V. 77. - pp.1027-1081.

49. Lichtenstein, A.I. Antiferromagnetism and d-wave superconductivity in cuprates: A cluster dynamical mean-field theory / A.I. Lichtenstein and M.I. Katsnelson // Phys. Rev.

50. B. 2000 - V. 62. - pp. R9283-R9286.

51. Kotliar, G. Cellular Dynamical Mean Field Approach to Strongly Correlated Systems / G. Kotliar, S.Y. Savrasov, G. Palsson, and G. Biroli // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.87. - P. 186401. - 4 pages.

52. Potthoff, M. Variational Cluster Approach to Correlated Electron Systems in Low Dimensions / M. Potthoff, M. Aichhorn and C. Dahnken // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 206402 - 4 pages.

53. Jarell, M. Quantum Monte Carlo algorithm for nonlocal corrections to the dynamical mean-field approximation / M. Jarrell, T. Maier,

54. C. Huscroft, and S. Moukouri // Phys. Rev. B. 2001 - V.64 -P.195130. - 23 pages.

55. Mazurenko, V.V. Nature of insulating state in NaV2C>5 abovecharge-ordering transition: A cluster dynamical mean-field study / V.V. Mazurenko ct al. // Phys. Rev. B. 2002. - V. 66. - P. R081104. - 4 pages.

56. Poteryaev, A.I. Nonlocal Coulomb Interactions and Metal-Insulator Transition in Ti203: A Cluster LDA+DMFT Approach // A. I. Poteryaev, A. I. Lichtenstein, and G. Kotliar // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.93 - P. 086401. - 4 pages.

57. Biermann, S. Dynamical Singlets and Correlation-Assisted Peierls Transition in VO2 / S. Biermann, A. Poteryaev, A. I. Lichtenstein, and A. Georges // Phys. Rev. Lett. 2005. - V. 94 - P. 026404. -4 pages.

58. Kusunose, H. Mean-Field Theory: Inclusion of Spatial Fluctuations / H. Kusunose // J. Phys. Soc. Jpn. 2006. - V.75. - P. 054713. - 9 pages.

59. Nekrasov, I.A. Pseudogaps in Strongly Correlated Metals: A generalized dynamical mean-field theory approach/ I.A.Nekrasov, E.Z.Kuchinskii, Th.Pruschke, V.I.Anisimov, M.V.Sadovskii // Phys. Rev. В .- 2005. V.72. - P.155105. - 11 pages.

60. Bruce, A.D. Structural phase transitions / A.D. Bruce and R.A. Cowley. London : Taylor and Francis Ltd., 1981. - 326 pages.

61. Aubry, S. A unified approach to the interpretation of displacive andorder-disorder systems. I. Thermodynamical aspect / S. Aubry // J. Chem. Phys. 1975. - V.62. - PP.3217-3230.

62. Hlinka, J. Order-disorder versus soft mode behaviour of the ferroelectric phase transition in S^PaSg / J. Hlinka, T. Janssen, V. Dvorak // J. Phys.: Cond. Matter. 1999. - V.ll. - PP.3209-3216.

63. Janssen, T. Incommensurate Phases in Dielectrics // edited by R. Blinc and A.P. Levanyuk. Amsterdam: Elsevier Science, 1986. -PP. 67-142.

64. Bussmann-Holder, A. Crystal structure of samarium selenide / A. Bussmann-Holder, H. Biittner, A. R. Bishop //J. Phys.: Condens. Matter. 2000. - V.12. - PP. L115 -L120.

65. Kvyatkovskii, O.E. Quantum effects in incipient and low-temperature ferroelectrics / O.E. Kvyatkovskii // Phys. Solid State. 2001. - V.43. - 1401-1419.

66. Zhong, W. Effect of quantum fluctuations on structural phase transitions in ЭгТЮз and ВаТЮз / W. Zhong and D. Vanderbilt // Phys. Rev. B. 1996. - V.53. - PP. 5047-5050.

67. Zhang, L. A study of the quantum effect in ВаТЮз / L. Zhang, W-L. Zhong, and W. Kleemann // Phys. Lett. A. 2000. - V. 276. - PP.162-166.

68. Zhong, W. Phase Transitions in ВаТЮз from First Principles / W. Zhong, D. Vanderbilt, and K.M. Rabe //Phys. Rev. Lett. -1994. V.73. - PP.1861-1864.

69. Prosandeev, S.A. Low temperature behavior of quantum paraelectric SrTi03 weakly doped with Ca2+ impurities / S.A. Prosandeev, W. Kleemann, and J. Dec // J. Phys.: Condens. Matter. 2001. - V. 13. - PP.5957-5970.

70. Miiller, K.A. БгТЮз: An intrinsic quantum paraelectric below 4 К / K.A. Muller and H. Burkard // Phys. Rev. B. 1979. - V. 19. -3593-3602.

71. Itoh, M. Ferroelectricity Induced by Oxygen Isotope Exchange in Strontium Titanate Perovskite / M. Itoh, R. Wang, Y. Inaguma, T. Yamaguchi, Y-J. Shan, and T. Nakamura // Phys. Rev. Lett.- 1999. V. 82 - PP.3540-3543.

72. Onsager, L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition / L. Onsager // Phys. Rev. 1944.- V.65. PP.117-149.

73. Metropolis, N. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth. A.H. Teller and E. Teller // J. Chem. Phys. 1953. - V.21. -PP.1087-1092.

74. Kalos, M.H. Volume 1: Basics / M.H. Kalos and P.A. Whitlock I j Monte Carlo Methods. NY : Wiley, 1986. - 186 pages.

75. Swendsen, R.H. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations / R. H. Swendsen and J. S. Wang // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.58. - PP.86-88.

76. Wolff, U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems / U. Wolff // Phys. Rev. Lett. 1989. - V.62. - PP.361-364.

77. Wang, F. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states / F. Wang and D. P. Landau // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - PP. 2050-2053.

78. Wang, F. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram / F. Wang and D. P. Landau // Phys. Rev. E. 2001. - V.64. -P.056101. - 16 pages.

79. Batrouni, G.G. Fermion sign problem: Decoupling transformation and simulation algorithm / G. G. Batrouni and P. de Forcrand // Phys. Rev. B. 1993. - V.48. - PP.589-592.

80. Hamann, D.R. Energy measurement in auxiliary-field many-electron calculations / D. R. Hamann and S. B. Fahy // Phys.Rev. B. 1990. - V.41. - PP. 11352-11363.

81. Doniach, S. The Kondo lattice and weak antiferromagnetism / S. Doniach 11 Physica B. 1977. - V.91. - PP.231-234.

82. Irkhin, V.Yu. Scaling picture of magnetism formation in the anomalous f-electron systems: Interplay of the Kondo effect and spin dynamics / V. Yu. Irkhin and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 1997. - V.56. - PP.8109-8128.

83. Irkhin, V.Yu. Scaling theory of magnetic ordering in the Kondo lattices with anisotropic exchange interactions / V. Yu. Irkhin and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 1999. - V.59. - PP.9348-9356.

84. Irkhin, V.Yu. Non-Fermi-liquid behavior in Kondo lattices induced by peculiarities of magnetic ordering and spin dynamics / V. Yu. Irkhin and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. -PP.14640-14646.

85. N. F. Mott, 1990, Metal-Insulator Transitions (Taylor and Francis, London / Philadelphia).

86. Pavarini, E. How chemistry controls electron localization in 3dlperovskites / E. Pavarini, A. Yamasaki, J. Nuss, and О. K. Andersen // New J. Phys. 2005. - V.7. - P.188. - 89 pages.

87. Werner, P. Continuous-Time Solver for Quantum Impurity Models / P. Werner, A. Comanac, L. de' Medici, M. Troyer, and A. J. Millis // Phys. Rev. Lett. 2006. - V.97. - P.076405. - 4 pages.

88. Werner, P. Hybridization expansion impurity solver: General formulation and application to Kondo lattice and two-orbital models / P. Werner and A. J. Millis // Phys. Rev. B. 2006.- V.74. P.155107 - 13 pages.

89. Gull, E. Performance analysis of continuous-time solvers for quantum impurity models / E. Gull, P. Werner, A. Millis, and M. Troyer / Phys. Rev. B. 2007. - V.76, 235123. - 9 pages.

90. Haule, K. Quantum Monte Carlo impurity solver for cluster dynamical mean-field theory and electronic structure calculations with adjustable cluster base // K. Haule // Phys. Rev. B. 2007.- V.75. P.155113. - 12 pages.

91. Baym, G. Conservation Laws and Correlation Functions / G. Baym and L. P. Kadanoff // Phys. Rev. 1961. - V.124. - PP.287-299.

92. Baym, G. Self-Consistent Approximations in Many-Body Systems / G.Baym // Phys. Rev. 1962. - V.127. - PP.1391-1401.

93. Norman, M.P. Modeling the Fermi arc in underdoped cuprates / M. R. Norman, A. Kanigiel, M. Randeria, U. Chatterjee, J. C. Campuzano // Phys. Rev. B. 2001. V.76. - P.174501. - 7 pages.

94. Janssen, T. Incommensurate crystal phases in mean-field approximation / T. Janssen, and J.A. Tjon // J.Phys. C. 1983.- V.16. PP.4789-4810.

95. Chakrabarti, B.K. Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models // B.K. Chakrabarti, A. Dutta, and P. Sen, // Lecture Notes in Physics. Heidelberg : Springer-Verlag, 1996. - Vol. 41. - 204 pages.

96. Pfeuty, P. The Ising model with a transverse field. II. Ground state properties / P.Pfeuty and R.J. Elliott // J. Phys. C. 1971. - V.4.- PP. 2370-2385.

97. Risting, M.L. Correlated-basis-function analysis of the transverse Ising model / M.L.Risting, J.W. Kim // Phys. Rev. B. 1996. -V.53. - PP. 6665-6676.

98. Kadanoff, L.P. Scaling Laws for Ising Models Near Tc / Kadanoff, L.P. //Physics. 1966. - V.2. - PP. 263-272.

99. Wilson, K.G. Critical Exponents in 3.99 Dimensions / K.G. Wilson and M.E. Fisher // Phys. Rev. Lett. 1972. - V.28. - PP.240-243.

100. Pelissetto, A. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory / A. Pelissetto and E. Vicari // Phys.Rept. 2002. - V.368.- PP. 549-727.

101. Wegner, F.J. Renormalization Group Equation for Critical Phenomena / F.J. Wegner and A. Houghton // Phys. Rev. A.- 1973. V.8. - PP. 401-412.

102. Bagnuls, C. Exact renormalization group equations: an introductory review / C. Bagnuls and C. Bervillier // Physics Reports. 2001. - V.348. - PP.91-157.

103. Capone, M. Strongly Correlated Superconductivity / M. Capone, M. Fabrizio, C. Castellani, and E. Tosatti // Science. 2002. -V.296. - PP.2364-2366.

104. Itzykson, С. C. Quantum Field Theory / С. C. Itzykson, J.-B. Zuber. NY : McGraw-Hill, 1980. - 705 pages.

105. Zhu, J.-X. Continuous Quantum Phase Transition in a Kondo Lattice Model / J.-X. Zhu, D. R. Grempel, and Q. Si // Phys. Rev. Lett. 2003. - V.91. - P.156404. - 4 pages.1995).