Методы расчета рассеяния света осесимметричными частицами в сферическом базисе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Винокуров, Александр Александрович

• Винокуров, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Винокуров, Александр Александрович

Введение

ГЛАВА 1. Обзор методов

1.1. Постановка задачи Рассеяния.

1.1.1. Уравнения Максвелла.

1.1.2. Дифференциальная постановка задачи.

1.1.3. Интегральная постановка задачи.

1.1.4. Падающее поле.

1.2. SVM.

1.2.1. Основные принципы метода

1.3. ЕВСМ.

1.3.1. Основные принципы метода.

1.3.2. Т-матрица.

1.4. РММ.

1.5. DDA.

1.5.1. Дискретизация.

1.5.2. Поляризуемость.

ГЛАВА 2. Метод разделения переменных (SVM)

2.1. Постановка задачи.

2.2. Разделение задачи на осесимметричную и неосесимметричную части

2.3. Решение осесимметричной части задачи рассеяния

2.3.1. Введение скалярных потенциалов.

2.3.2. Разложение по скалярным сферическим функциям.

2.3.3. Нахождение неизвестных коэффициентов.

2.4. Решение неосесимметричной части задачи рассеяния.

2.4.1. Введение скалярных потенциалов.

2.4.2. Разложение по скалярным сферическим функциям.

2.4.3. Нахождение неизвестных коэффициентов.

2.5. Вычисление характеристик рассеяния.

ГЛАВА 3. Сравнение областей применимости методов: SVM, ЕВСМ,

3.1. Введение

3.2. Данные теоретических исследований

3.3. Результаты численных расчетов.

ГЛАВА 4. SVM: слоистые частицы

4.1. Введение

4.2. Двухслойные частицы.

4.2.1. Решение осесимметричной задачи.

4.2.2. Решение неосесимметричной задачи.

4.3. Многослойные частицы.

4.3.1. Решение осесимметричной задачи.

4.3.2. Решение неосесимметричной задачи.

4.4. Многослойные сферические частицы

4.5. Численный анализ областей применимости SVM

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы расчета рассеяния света осесимметричными частицами в сферическом базисе»

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Оптические методы диагностики дисперсных сред имеют сегодня широчайшее применение. В одних случаях (межзвездная или межгалактическая среда и т.п.) такие методы являются единственно возможными; в других - они предпочтительны из-за простоты и низкой стоимости (атмосфера Земли) или из-за того, что объекты исследования оказываются неповрежденными (биологические среды). По мере развития теории рассеяния света, методики и техники экспериментов роль оптических методов все больше возрастает.

В основе методов оптического анализа большинства сред лежит решение задачи рассеяния света изолированной частицей. Поскольку экспериментальные способы решения этой задачи крайне дорогостоящи, она практически всегда сегодня решается путем численного моделирования.

Естественные рассеиватели обычно являются несферическими и часто неоднородными. Универсальные методы расчета оптических характеристик таких рассеивателей очень медленны даже для современных компьютеров. Поскольку во многих приложениях рассеивающие частицы имеют сравнительно широкое распределение по размерам, формам и ориентациям, то при моделировании оптики дисперсных сред могут быть использованы лишь очень быстрые методы теории рассеяния света. К ним относятся различные приближенные методы и методы, использующие разложения полей по волновым функциям. Область применения приближений обычно недостаточно широка. Недостатком же методов второй группы является то, что они применимы к частицам упрощенной формы (гладкая, несильно отличающаяся от координатных поверхностей) и структуры (слои). Однако в тех многочисленных случаях, когда наши знания об исследуемых рассеивателях не детальны, этот недостаток не столь важен.

Необходимо отметить, что в теории рассеяния света исторически сложились некорректные названия методов, использующих разложения полей по волновым функциям. Метод, в котором коэффициенты разложения определяются после их подстановки в граничные условия, получил название метода разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM). В двух других методах этой группы разложения подставляются в расширенные граничные условия, выраженные поверхностным интегралом, (Extended Boundary Condition Method, ЕВСМ) или в минимизируемую невязку граничных условий в ограниченном числе точек на поверхности рассеивателя (Point-Matching Method, РММ). Поскольку результаты нашей работы (методы, программы, результаты расчетов, выводы) предназначены в первую очередь для специалистов в области теории рассеяния света, вполне сознавая некорректность терминологии, мы все же будем использовать традиционные названия методов.

Метод SVM был использован в знаменитом решении проблемы рассеяния света шаром, предложенном Густавом Ми в 1908 г. Это решение до сих пор используется как первое приближение при рассмотрении большинства задач рассеяния света из-за его простоты, скорости и точности. Однако несмотря на неоднократные попытки, теория Ми до сих пор не была должным образом распространена на однородные и неоднородные частицы.

Подобное расширение теории Ми должно сопровождаться двумя необходимым действиями: сравнением нового метода со сходными ему и определением области применимости нового метода. Лишь при выполнении этих условий новый метод, использующий сферический базис, может и несомненно будет широко востребован в таких областях, как астрономия, оптика атмосферы и океана, экология, оптика биологических объектов, оптика коллоидных растворов и т.п.

Целью работы являлась разработка нового вычислительно эффективного метода решения задачи рассеяния электромагнитного излучения однородными и многослойными несферическими частицами и сравнение областей применимости этого метода и других подходов, также использующих разложения полей или их потенциалов по сферическому базису.

На защиту выносятся:

- Метод решения задачи рассеяния света несферическими осесимметричными частицами с использованием разложений скалярных потенциалов по сферическому базису (SVM).

- Результаты совместного численного исследования областей применимости SVM и близких ему методов ЕВСМ и РММ для нескольких типов несферических рассеивателей; сопоставление с результатами аналитических исследований областей применимости этих методов.

- Обобщение метода SVM на случай многослойных осесимметричных частиц с использованием итеративной схемы, позволяющей сохранять размерность редуцированных систем для определения коэффициентов разложений потенциалов при увеличении числа слоев.

- Результаты численного моделирования рассеяния света многослойными несферическими частицами методами SVM и ЕВСМ; вывод о преимуществах использования SVM при рассмотрении рассеивателей подобной структуры.

Научная новизна работы. Разработан новый метод решения часто встречающейся задачи рассеяния света несферической частицей, размер которой сравним с длиной волны падающего излучения. При этом использован оригинальный подход с выбором специфических скалярных потенциалов.

Созданная компьютерная программа вместе с имеющимися программами для методов ЕВСМ и РММ, также основанными на данном подходе, создала уникальный базис для детального сравнения упомянутых методов. Впервые проведено сопоставление областей применимости этих популярных методов при вычислении оптических свойств рассеивателей разных типов в дальней зоне.

Предложенный метод распространен на решение задачи рассеяния света многослойной несферической частицей. Проведенные численные расчеты показали, что впервые разработан быстрый метод, дающий достаточно точное и устойчивое решение задачи в широкой области значений параметров.

Научная и практическая значимость работы. Теория рассеяния света дополнена еще одним эффективным методом, применимым к несферическим рассеивателям, размер которых сравним или превосходит длину волны падающего излучения. Проведено сравнение теоретических и реальных областей применимости трех широко используемых теоретических методов. Разработан эффективный подход к решению задачи рассеяния света многослойными несферическими частицами, позволяющий не увеличивать размер решаемой системы уравнений относительно коэффициентов разложения потенциалов по сферическим функциям при росте числа слоев.

Учитывая несомненную эффективность предлагаемого метода, несомненно следует ожидать широкого применения написанных программ для расчета оптических характеристик излучения, рассеянного однородными или многослойными несферическими частицами. Программы будут особенно востребованы в тех областях науки и производства, где оптические методы используются для диагностики дисперсных сред, а именно в астрофизике, физике атмосферы, экологии, биофизике, медицине и т.д.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на трех международных конференциях:

- "Electromagnetic Light Scattering", Бодрум, Турция, 2007,

- "Days on Diffraction", С.-Петербург, Россия, 2006, 2007, на совещании

- "Экология и космос", С.-Петербург, Россия, 2007, а также на семинарах кафедры прикладной математики ГУАП, кафедры вычислительной физики СПбГУ, и в Астрономическом институте СПбГУ .

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи в международных рецензируемых журналах: Journal of Quantum Spectroscopy and Radiative Transfer [47] и Оптика и спектроскопия [15], а также в сборниках тезисов докладов к вышеуказанным конференциям [108, 107, 4].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы (115 наименований). Общий объем диссертации 108 страниц (основной текст — 93 страницы, список литературы — 15 страниц), включая 5 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Винокуров, Александр Александрович

В диссертации предложен новый метод решения задачи рассеяния света несферическими осесимметричными частицами, используюш;ий сферический базис (ЗУМ). При этом применяется оригинальный подход, заключающийся в разделении задачи на осесимметричную и неосесимметричную части и при менении специальным образом выбранных скалярных потенциалов в каждой из частей.Для численного сравнения областей применимости была написана про грамма, основанная на предлагаемом методе и использованы созданные ранее программы для близких ему методов ЕВСМ и РММ. Проведенные расчеты позволили сделать вывод, что ЕВСМ предпочтителен для сфероидов, 8УМ — для чебышёвских частиц, а наименее эффективный по затратам компьютер ного времени РММ дает удовлетворительные результаты во многих случаях, когда не работают два других метода.Предлагаемый метод решения задачи дифракции обобщен на случай мно гослойных осесимметричных частиц. При этом для получения итерационной схемы решения БСЛАУ она решается "с конца", т.е. начиная с условий на границе ядра. Такой подход позволяет сохранить размерности усеченных си стем для определения коэффициентов разложений при увеличении количе ства слоев частицы. Результаты численного моделирования для многослой ных частиц показали, что метод ЗУМ предпочтительнее метода ЕВСМ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Винокуров, Александр Александрович, 2007 год

1. Апельцин В. Ф.^ Кюркчан А. Г. Аналитические свойства волновых пол е й . - М.: Изд. МГУ, 1990.

2. Борен К., Хафмен Д. Поглош,ение и рассеяние света малыми частицам и . - М.: Мир, 1986.

3. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.— М.: Изд.иностр. лит., 1961.

4. Винокуров А. А. Сравнение областей применимости методов ЕВСМ,РММ и 8УМ при использовании сферического базиса / / Тезисы докладов конференции Экология и космос — -Петербург, Россия: 2007.— 14.

5. Волковицкий О. А., Павлова Л. Н., Петрушин А. Г. Оптические свойства кристаллических облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

6. Лопатин В. Н., Сидько Ф. Я. Введение в оптику взвесей клеток. —Новосибирск: Наука, 1988.

7. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М.: иностр.лит , 1960.- Т. 2.

8. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. — М.: Мир, 1969.

9. Фарафонов В. Р. Рассеяние света диэлектрическими частицами с аксиальной симметрией / / Опт. и спектр. — 2000. — Т. 88. — 79.

10. Фарафонов В. Г. Рассеяние света многослойными частицами с аксиальной симметрией / / Опт. спектр. - 2001. - Т. 91, № 1. - 102-112.

11. Фарафонов В. Г. О применимости метода Г-матриц и его модификаций / / Опт. спектр. - 2002. - Т. 92, № 5. - 813-825.

12. Фарафонов В. Г., Винокуров А. А., Ильин В. Б. Сравнение методовтеории рассеяния света, используюгцих сферический базис / / Опт. спектр. - 2007. - Т. 102, 6. - 1006-1016.

13. Фарафонов В. Г., Ильин В. Б. Рассеяние света диэлектрическими частицами с аксиальной симметрией: II / / Опт. спектр. — 2001. — Т. 91, № 6. - 1021-1029.

14. Фарафонов В. Г., Ильин В. Б. Рассеяние света осесимметричными частицами: модификация метода поточечной сшивки / / Опт. спектр. — 2006. - Т. 100, № 3. - 484-494.

15. Хлебцов Н. Г. Ослабление и рассеяние света в дисперсных системах снеупорядоченными, ориентированными и фрактальными частицами : Теория и эксперимент: Дис . . . д-ра физ.-мат. наук: 01.04.05. — Саратов, 1996.

16. Al-Rizzo Н. М., Tranquilla J. М. Electromagnetic scattering from dielectrically coated axisymmetric objects using the generalized point-matching technique i i . numerical results and comparison / / J . Сотр. Phys. — 1995. — Vol. 119. - Pp. 356-373.

17. Asano S., Yamamoto G. Light scattering by spheroidal particle / / Appl.Opt. - 1975. - Vol. 14. - Pp. 29-49.

18. Babenko V. A., Astafyeva L. C, Kuzmin V. N. Electromagnetic Scatteringby Disperse Media. — London: Springer-Praxis, 2003.

19. Barber P. W., Hill S. C. Light Scattering by Particles: ComputationalMethods. — Singapore: World Scientific, 1990.

20. Barber P. W., Yeh C. Scattering of electromagnetic waves by arbitrarilyshaped dielectric bodies / / Appl. Opt. - 1975. - Vol. 14. — Pp. 2864-2872.

21. Barton J. P. Internal and near-surface electromagnetic fields for an infinitecylinder illuminated by an arbitrary focused beam / / J . Opt. Soc. Am. A. — 1999. - Vol. 16. - Pp. 160-166.

22. Barton J. P. Electromagnetic fields for a spheroidal particle with an arbitrary embedded sources / / / . Opt. Soc. Am. A. — 2000.— Vol. 17.— Pp. 458-464.

23. Barton J. P. Internal, near-surface and scattered electromagnetic fields fora layered spheroid with arbitrary illumination / / Appl. Opt.— 2001.— Vol. 40. - Pp. 3598-3607.

24. Barton J. P. Electromagnetic field calculations for an irregularly shaped,near-spheroidal particle with arbitrary illumination / / / . Opt. Soc. Am. A. - 2002. - Vol. 19. - Pp. 2429-2435.

25. Borghese P., Denti P., Saija R. Scattering from Model Nonspherical Particles. — Berhn: Springer, 2003.

26. Boyd J. P. Large mode number eigenvalues of the prolate spheroidal differential equation / / Appl. Math. Сотр. - 2003. - Vol. 145. - Pp. 881-886.

27. Brown D. J., Stringfield R. M. Iterative methods applied to matrix equations found in calculating spheroidal functions //J. Сотр. Phys. — 2000. — Vol. 159. - Pp. 329-343.

28. Ciric I. R., Cooray F. R. Light Scattering by Nonspherical Particles / Ed.by M . 1. Mishchenko, J. W. Hovenier, L. D. Travis. — San Diego: Academic Press, 2000. - Pp. 90-130.

30. Dallas A. G. On the convergence and numerical stability of the secondwaterman scheme for approximation of the acoustic field scattered by a hard object / University of Delware. Technical report No 2000-7. — USA, 2000. - 35 pp.

31. Debye P. Der licht druck auf kugeln von beliebigem material / / Ann.Phys. - 1909. - Vol. 30. - Pp. 57-136.

32. Doicu A., Wriedt T. Calculation of the T-matrix in the null-field methodwith discrete sources / / J. Opt. Soc. Am. A. - 1999. - Vol. 16. - Pp. 25392544.

33. Doicu A., Wriedt T. T-matrix method for electromagnetic scattering fromscatterers with complex structure / / J. Quant. Spectr. Rad. Transf.— 2001. - Vol. 70. - Pp. 663-673.

34. Doicu A., Wriedt T., Eremin Y. A. Light Scattering by Systems of Particles. — Berlin: Springer, 2006.

35. Draine B. T. The discrete-dipole approximation and its appHcation to interstellar graphite grains / / Astrophysical Journal. — 1988. — Vol. 333. — Pp. 848-872.

36. Eremina E., Eremin Y., Wriedt T. Analysis of light scattering by erythrocyte based on discrete source method / / Opt. Comm. 2005. — Vol. 24. — Pp. 15-23.

37. Eremina E., Wriedt T. Review of light scattering by fiber particles withhigh aspect ratio / / Rec. Res. Dev. Opt. - 2003. - Vol. 3. - Pp. 297-318.

38. Farafonov V. C, Win V. B. On checking the calculations of optical properties of non-spherical particles / / Meas. Sci. Technol. — 2002. — Vol. 13. — Pp. 331-335.

39. Farafonov V. C, Win V. B. Light scattering reviews / Ed. byA. Kokhanovsky. — London: Springer-Praxis, 2006. — P. 125.

40. Farafonov V. G., Il'in V. В., Prokopjeva M. S. Light scattering by multilayered nonspherical particles: a set of methods / / J . Quant. Spectr. Rad. Transf - 2003. - Vol. 79-80. - Pp. 599-626.

41. Farafonov V. G., IVin V. В., Vinokurov A. A. On use of the field expansionsin terms of spheroidal functions //J. Quant. Spectr. Rad. Transf — 2007. — Vol. 106. - Pp. 33-43.

42. Fikioris J. G. Electromagnetic field inside a current-earring region //J.Math. Phys. - 1965. - Vol. 6. - Pp. 1617-1620.

43. Goedecke G. H., O'Brien S. G. Scattering by irregular inhomogeneous particles via the digitized green's function algorithm / / Appl. Opt. — 1988. — Vol. 27, no. 12. - Pp. 2431-2438.

44. Gurwich I., Shiloah N., Kleiman M. The recursive algorithm for electromagnetic scattering by titled infinite circular multi-layered cylinder / / J . Quant. Spectr. Rad. Transf - 1999. - Vol. 63. - Pp. 217-229.

45. Gurwich I., Shiloah N., Kleiman M. Calculations of the mie scattering coefficients for multilayered particles with large size parameters // J. Quant. Spectr. Rad. Transf - 2001. - Vol. 70. - Pp. 433-440.

46. Hafner €., Bomholt K. The 3D Electrodynamic Wave Simulator. — Chichester: Wiley, 1993.

47. Hage J. I., Greenberg J. M. A model for the optical properties of porousgrains / / Astrophysical Journal - 1990.- Vol. 361. — Pp. 251-259.

48. Han Y., Grahan G., Gousbet G. Generalized lorenz-mie theory forspheroidal particle with off-axis gaussian-beam illumination / / Appl. Opt. - 2003. - Vol. 42. - Pp. 6621-6629.

49. Han Y., Wu Z. Scattering of a spheroidal particle illuminated by a gaussianbeam / / Appl. Opt. - 2001. - Vol. 40. - Pp. 2501-2509.

50. Ikuno H., Yasuura K. Improved point-matching method with application toscattering from a periodic surface / / IEEE Trans. Anten. Propag. 1973. — Vol. AP-21. - Pp. 657-662.

51. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1975.

52. Jones A. R. Light scattering for particle characterisation / / Prog. EnergyCombust. Sci. - 1999. - Vol. 25. - Pp. 1-53.

53. Kahnert F. M. Numerical methods in electromagnetic scattering theory / /J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 2003. - Vol. 79-80. - Pp. 775-824.

54. Kahnert F. M. Surface-integral formulation for electromagnetic scattering in spheroidal coordinates / / / Quant. Spectr. Rad. Transf. — 2003. — Vol. 77. Pp. 61-78.

55. Kahnert F. M., Stamnes J. J., Stamnes K. AppHcation of the extendedboundary conditions method to homogeneous particles with point group symmetries / / Appl. Opt. - 2001. - Vol. 40. - Pp. 3110-3123.

56. Kerker M. The Scattering of Light and Other Electromagnetic Radiation. —San Diego: Academic Press, 1969.

57. Khlebtsov N. G. Light Scattering By Nonspherical Particles and Its Applications: Ph.D. thesis / Saratov State University. — Saratov, 1980.

58. Kleinman R. E., Roach G. F., Ström S. E. G. The null field method andmodified green functions / / Royal Society of London Proceedings Series A. - 1984. - Vol. 394. - Pp. 121-136.

59. Kokkorakis G. C., Roumeliotis J. A. Power series expansions for spheroidalwave functions with small arguments //J. Сотр. Appl. Math. — 2002. — Vol. 139. - Pp. 95-127.

60. Lakhtakia A. Strong and weak forms of the method of moments and the coupled dipole method for scattering of time-harmonic electromagnetic fields / / 1.t. J. Mod. Phys. C. - 1992. - Vol. 3. - Pp. 583-603.

61. Lakhtakia A., Mulholland G. W. On two numerical techniques for hght scattering by dielectric agglomerated structures // J. Res. Inst. Stand. Technol. - 1993. - Vol. 98. - Pp. 699-716.

62. Li L. W., Kang X. K., Leong M. S. Spheroidal wave functions in electromagnetic theory. — New York: Wiley, 2002.

64. Mackowski D. W. Discrete dipole moment method for calculation of theT-matrix for nonspherical particles //J. Opt. Soc. Am. A.— 2002.— Vol. 1 9 . - P p . 881-893.

65. Mie G. Beiträge zur optik trüber medien, speziell kolloidaler metallösungen / / Ann. Phys. - 1908. - Vol. 25. - Pp. 377-445.

66. Millar R. F. The rayleigh hypothesis and a related least-squares solutionto scattering problem for periodic surfaces and other scatterers / / Radio Sei. - 1973. - Vol. 8. - Pp. 785-796.

67. Mishchenko M. I. Far-field approximation in electromagnetic scattering / /J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 2006. - Vol. 100. - Pp. 268-276.

68. Mishchenko M. I., Hovenier J. W., Travis L. D. Light Scattering by Nonspherical Particles. — San Diego: Academic Press, 2000.

69. Mishchenko M. L, Travis L. D., Lacis A. Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002.

70. Mishchenko M. I., Travis L. D., Lacis A. A. Scattering, absorption andemission of fight by small particles. — NY: NASA, 2004.

71. Möglich F. Beugungserscheinungen an korpen von ellipsoidischer gestalt / /Ann. Phys. - 1927. - Vol. 83. - Pp. 609-735.

72. Moroz A. Improvement of mishchenko's T-matrix code for absorbing particles / / Appl. Opt. 2005. - Vol. 44. - Pp. 3604-3609.

73. Morrison J. A., M. Cross J., Chu T. S. Rain-induced differential attenuation and difi'erential phase shift at microwave frequencies / / Bell Syst. Tech. J. - 1973. - Vol. 52. - Pp. 599-604.

74. MulUn C. R., Sandburg R., Velline C. 0. A numerical technique for thedetermination of scattering cross sections of infinite cylinders of arbitrary geometrical cross section / / IEEE Trans. Anten. Propag.— 1965.— Vol. Ap-13. - Pp. 141-149.

77. Nieminen T. A., Rubinsztein-Dunlop H., Heckenberg N. R. Calculation ofthe T-matrix: general consideration and application of the point-matching method / / J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 2003. - Vol. 79-80. - Pp. 10191030.

78. Oguchi T. Attenuation and phase rotation of radio waves due to rain: calculation at 19.3 and 34.8 ghz / / Radio Sci. - 1973. - Vol. 8. - Pp. 31-38.

82. Petrov P. K., Babenko V. A. The variational boundary condition method forsolving problems of light scattering by nonspherical particles //J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 1999. - Vol. 63. - Pp. 237-250.

84. Purcell E. M., Pennypacker C. R. Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains / / Astrophysical Journal. — 1973. — Vol. 186. — Pp. 705-714.

85. Qingan W., Kang C, Xiang 0. Y. Z. Discussion of key algorithms forcomputing scattering cross sections using separate of variables method for spheroids //J. Quant Spectr. Rad. Transf. - 1999. - Vol. 63. - Pp. 251261.

86. Ramm A. G. Scattering by Obstacles. — Dordrecht, Boston, Lancaster,Tokyo: D. Reidel Publishing Company, 1984.

88. Rother T. Generalization of the separation of variables method for nonspherical scattering of dielectric objects / / J. Quant. Spectr. Rad. Transf.— 1998. - Vol. 60. - Pp. 335-353.

89. Rother T., Schmidt K., Havemann S. Light scattering on hexagonal icecolumns / / J . Opt. Soc. Am. A. - 2001. - Vol. 18. - Pp. 2512-2517.

92. Schmidt K., Wauer J., Rother T. Application of the separation of variablesmethod to a plane wave scattering on nonaxisymmetric particles / / Proc. SPIE. 2003. - Vol. 5059. - Pp. 76-86.

93. Schulz F. M., Stamnes K., Stamnes J. J. Scattering of electromagnetic waves by spheroidal particles: novel approach exploiting the T-matrix computed in spheroidal coordinates / / Appl. Opt. — 1998. — Vol. 37. — Pp. 7875-7896.

94. Sinha B. P., McPhie R. H. Electromagnetic scattering by prolate spheroidsfor a plane waves with arbitrary polarization and angle of incidence / / Radio Sei. - 1977. - Vol. 12. Pp. 171-184.

95. Surface green's function of the helmholtz equation in spherical coordinates /T. Rother, M . Kahnert, A. Doicu, J. Wauer / / Progress In Electromagnetics Research (PIER). - 2002. - Vol. 38. - Pp. 47-95.

96. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of Elctromagnetic Waves. —Wiley, 2000. — Vol. 1. Theories and AppHcations.

97. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of Elctromagnetic Waves. —Wiley, 2001 . - Vol. 2. Numerical Simulations.

98. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of Elctromagnetic Waves. —Wiley, 2001. - Vol. 3. Advanced Topics. 105. van de Hülst H. C. Light Scattering by Small Particles. — New York: Dover Publ, 1957.

99. Varadan V. K., Varadan V. K Acoustic, Electromagnetic and Elastic WaveScattering - Focus on the T-Matrix Approach. — New York: Pergamon Press, 1980.

100. Vinokurov A. A. Analysis of applicability ranges of exact light scatteringmethods using spherical basis / / Abstracts of the Days on Diffraction Con ference (DD'2007).- St.Petersburg, Russia: 2007. - P. 93.

101. Vinokurov A. A., Farafonov V. G., Il'in V. B. Comparison of LS methodsusing single expansions of fields / / Peer-Reviewed Abstracts of the 10th Conference on Electromagnetic & Light Scattering (ELS-X).— Bodrum, Turkey: 2007. - Pp. 229-233.

102. Voshchinnikov N. V., Farafonov V. G. Calculation of prolate radialspheroidal functions using jaffé expansion / / Сотр. Math. Math. Phys. — 2003. - Vol. 43. - Pp. 1299-1309.

103. Wait J. R. Electromagnetic scattering from a radially inhomogeneoussphere / / Can. J. Phys. - 1955. - Vol. 33. - Pp. 189-195.

104. Waterman P. C. Matrix formulation of electromagnetic scattering / / Proc.

105. EE. - 1965. - Vol. 53. - Pp. 805-812.

106. Waterman P. C. Scattering by dielectric obstacles / / Alta. Freq. — 1969. —Vol. 38. - Pp. 348-352.

107. Wriedt T. Electromagnetic scattering programs database. — websitehttp://www.T-matrix.de.

108. Wriedt T. Review of elastic scattering theories / / Part. Part. Syst. Charact. - 1998. - Vol. 15. - Pp. 67-74.

109. Yang W. Improved recursive algorithm for light scattering by a multilayeredsphere / / Appl. Opt. - 2003. - Vol. 42. - Pp. 1710-1720.