Методы предобработки данных для использования в динамических моделях общего экономического равновесия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Станкевич Иван Павлович

• Станкевич Иван Павлович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Станкевич Иван Павлович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Подходы к описанию многопродуктовой структуры экономики

1.2. Другие подходы к описанию экономики

1.3. Использование схемы декомпозиции

1.4. Вопросы оценивания макроэкономических моделей

2. ПОДГОТОВКА И СЕЗОННАЯ КОРРЕКТИРОВКА ДАННЫХ

2.1. Основные подходы и базовые предположения

2.2. Выделение сезонности при макроэкономическом моделировании

2.2.1. Аксиоматика выделения сезонности

2.2.2. Устойчивость мультипликативных соотношений для стандартных процедур

2.3. Описание и анализ процедуры выделения сезонности с детектором выбросов

2.4. Оценка качества процедуры выделения сезонности

2.4.1. Тестирование процедуры на искусственных данных

2.5. Сохранение статистических свойств ряда

2.5.1. Тесты на единичные корни

2.5.2. Тесты на коинтеграцию

2.6. Тестирование процедуры на статистических данных

2.7. Устранение разрывов в статистике ВВП

2.7.1. Проблемы современного представления статистики по ВВП России

2.7.2. Устранение разрывов в показателях в базовых ценах

2.7.3. Устранение разрыва в показателях в текущих ценах

2.8. Наукастинг показателей, публикующихся со значительной

задержкой

2.8.1. Методология

2.8.2. Данные и оценка качества

2.8.3. Результаты

3. МНОГОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ КОМПОНЕНТ ВВП

3.1. Случай двух продуктов

3.1.1. Модификация СББ-функции

3.2. Результаты оценки декомпозиции на российских данных

3.2.1. Процедура оценки параметров декомпозиции

3.2.2. Проверка устойчивости схемы декомпозиции

3.2.3. Оценка декомпозиции на статистических данных

3.2.4. Обсуждение полученных результатов

4. МНОГОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИКИ С ПРОИЗВОДИТЕЛЕМ И ПОТРЕБИТЕЛЕМ

4.1. Производитель

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Решение задачи производителя

4.1.3. Проверка модельных соотношений на данных

4.2. Потребитель

4.2.1. Задача агрегированного потребителя

4.2.2. Решение задачи агрегированного потребителя

4.2.3. Оценка модели агрегированного потребителя

4.3. Блок торговцев товарами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОИЗВОДИТЕЛЯ

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы предобработки данных для использования в динамических моделях общего экономического равновесия»

Актуальность исследования

Одним из основных этапов в процессе разработки прикладных экономических моделей является их адаптация к наблюдаемой статистике, заключающаяся, например, в калибровке или оценке параметров. Результаты и качество этого этапа во многом зависит от подаваемых на вход данных, прошедших предварительную процедуру подготовки и предобработки. Неудачный выбор методов и подходов к предобработке данных может оказывать значительное влияние на дальнейшие выводы, что мотивирует необходимость разработки набора требований к такого рода процедурам в свете специфичных особенностей, характерных для моделей общего равновесия. Это касается и этапа сезонной корректировки данных (известно, что методики сезонной корректировки могут значительно менять свойства данных с точки зрения тестов на единичные корни, сдвигов точек перелома тренда и других характеристик), и последующих этапов.

Не менее серьёзной, особенно для анализа ситуации в экономике в кризисные периоды, может оказаться и проблема задержек в публикации данных, которые могут достигать нескольких месяцев (и даже года для специфичных показателей), которая нередко игнорируется при переходе к оценке или калибровке моделей на реальных данных.

Более того, при анализе многопродуктовых моделей общего равновесия оказывается, что не удается найти достаточно приемлемого и универсального варианта описания поведения агентов в моделях такого рода. Хорошо изученные теоретические многопродуктовые модели часто сталкиваются с фатальной проблемой при перенесении их на существующие статистические данные: многие показатели, фигурирующие в моделях, изначально являются ненаблюдаемыми, что, к примеру, часто случается с ценовыми показателями на макроуровне: цены «внутреннего», «экспортного», «промежуточного» продуктов либо вовсе не имеют статистических аналогов, либо несут в себе иной смысл, чем те показатели, данные по которым собираются.

4

Многопродуктовые прикладные модели, используемые ещё несколько десятилетий назад, перестают работать в условиях существенно усложнившейся современной экономики, при этом скорость изменений может быть настолько высока, что данные за ними просто не поспевают (межотраслевой баланс публикуется с задержками в несколько лет). В этой связи используемые способы описания взаимодействия потребителей и производителей в условиях многопродуктовой экономики приобретают не только теоретическую, но и практическую значимость.

Объект и предмет исследования

Объектом диссертационного исследования являются модели общего экономического равновесия, содержащие описание реального сектора экономики.

Предметом исследования выступают методы анализа и подготовки статистических данных для использования в моделях общего равновесия и связанная с этим специфика описания взаимодействия экономических агентов.

Цели и задачи исследования

Цель исследования состоит в разработке методов предобработки статистических данных для их использования в динамических моделях общего экономического равновесия, содержащих описание многопродуктовой структуры, и его тестирование на примере модели экономики России.

Задачи исследования:

1. Разработка процедур подготовки данных к использованию в моделях общего равновесия, включающих унификацию длинных рядов данных и исключение сезонной компоненты.

2. Исследование возможности использования методов наукастинга для формирования статистической базы моделей общего равновесия.

3. Исследование возможности использования в моделях общего равновесия системы торговцев модельными продуктами, основанной на декомпозиции компонент использования ВВП

4. Формулировка многопродуктовой модели экономики России, включающей описание потребителя, производителя и торговцев и использующей предложенные ранее методы.

Научная новизна исследования

1. Сформулированы требования к процедуре сезонной корректировки, выполнение которых необходимо для корректной оценки моделей, использующих показатели в текущих и постоянных ценах одновременно. Приведён пример процедуры, отвечающей этим требованиям, и исследованы её свойства.

2. Приводится одно из самых полных с точки зрения набора используемых моделей на момент написания работы исследование точности моделей наукастинга российского ВВП, включая самые современные подходы, такие как байесовские векторные авторегрессии смешанной частоты.

3. Предлагается новая процедура наукастинга, основанная на неограниченных MIDAS-моделях и регуляризации при помощи адаптивного LASSO, что позволяет обеспечить сохранение oracle property (способность модели корректно отбирать и состоятельно оценивать ненулевые коэффициенты). Показано, что на российских данных предложенная процедура демонстрирует более высокую точность, чем стандартные MIDAS-модели

4. Предложена новая схема многопродуктовой декомпозиции, не предполагающая привязки одного из модельных продуктов к

наблюдаемым показателям и способная решить ряд проблем (неинвариантность к выбору базового года, неустойчивость оценок, неинтерпретируемость результатов оценок), возникающих при оценке многопродуктовых моделей. Приводится описание и аналитическое решение задачи и описывается методология оценки этой схемы декомпозиции на реальных данных численными методами. Качество работы предложенной методики оценивается на симулированных данных, производятся расчёты на реальных данных.

5. Продемонстрирована возможность использования предложенных методов в рамках многопродуктовой модели экономики России, воспроизводящей с высокой точностью элементы использования ВВП и показатели рынка труда. В модели предлагается новый способ учёта многопродуктовости: через систему агентов-торговцев модельными продуктами, которая позволяет разделить задачи агрегации продуктов и задачи основных агентов (потребителя и производителя) и сохранить более компактное описание для последних.

Теоретическая и практическая значимость исследования

Подготовка и предобработка данных - один из ключевых этапов моделирования, одновременно с этим - и один из самых начальных этапов. Сочетание этих факторов обуславливает особую важность правильной подготовки данных, особенно для использования в сложных моделях, где небольшая неточность данных может привести к фатальным последствиям для качества результирующей модели. В работе анализируется широкий круг вопросов и предлагаются методы, применение которых может значительно повысить качество и точность оцениваемых по данным макроэкономических моделей.

1. Обзор литературы

Обзор литературы можно разбить на несколько блоков. В разделе 1.1 описывается общее предметное поле и изучаются подходы к описанию экономики с основным акцентом на наиболее популярные на сегодня ЭБОБ-модели. В разделе 1.2 описываются альтернативные подходы к описанию экономики, некоторые идеи из которых могут быть использованы в рамках данной работы. Раздел 1.3 посвящён вопросам многопродуктовой декомпозиции данных, позволяющей получить разложение макроэкономической статистики на отдельные модельные продукты (предложенный автором метод декомпозиции рассмотрен в главе 3). Раздел 1.4 посвящён достаточно узкому, но очень важному в контексте данной работы вопросу оцениванию моделей на реальных данных. Наиболее распространённый в рамках ВБОБ-подхода способ оценивания моделей через линеаризацию имеет ряд значительных недостатков (рассмотренных в разделе 1.3), которые, как нам представляется, могут быть частично разрешены путём оценивания нелинейных моделей «как есть» численными методами (что и делается в главе 4 данной работы).

1.1. Подходы к описанию многопродуктовой структуры экономики

«В современной экономической литературе можно выделить два крупных направления, ключевую роль в которых играет многопродуктовая структура производства. Условно первую группу работ можно связать с парадигмой динамического стохастического общего равновесия (ЭБОБ) моделирования экономики, вторую - с парадигмой вычислимого общего равновесия (СОБ). Напомним, что одним из ключевых отличий этих подходов является то, что в рамках концепции ЭБОБ модели, как правило, строятся, начиная с микрооснований (в частности, отдельных фирм, выпуск которых затем с помощью нелинейной свертки агрегируется в выпуск какой-либо отрасли или экономики в целом), в то время как модели СОБ обычно основываются

на более крупных конгломератах, взаимодействующих друг с другом в духе таблиц «затраты-выпуск».

В подавляющем большинстве работ, посвященных моделям класса DSGE, производственный сектор описывается как состоящий из нескольких отраслей, однако обычно эти отрасли занимаются производством продуктов, имеющих совершенно разное назначение и принципы функционирования. Например, как в [Pytlarczyk, 2005] или [Cuche-Curti et al., 2009], в модели вводятся фирмы-производители «промежуточного» продукта, выпуск которых затем преобразуется в «финальный» продукт, соответственно, фирмами-производителями «финального» продукта. Причем первая отрасль обычно моделируется как монополистически конкурентная, а вторая - как совершенно конкурентная. Иногда вводятся также фирмы-экспортеры и фирмы-импортеры, причем импортеры обычно считаются частью отрасли, производящей «промежуточные» продукты (финальные продукты при этом, как правило, агрегируются из отечественных и импортных промежуточных, как в [Born et al., 2013]), а экспортеры - «финальные». В большинстве моделей государство не производит никакого продукта (см., среди прочих, [Forni et al., 2009], [Cavallo, 2005]), но иногда модели также содержат отдельную отрасль, производящую монопольным образом государственный продукт, который явно учитывается в полезности всех домохозяйств в экономике, как это делается в [Papageorgiou, 2014] и [Leeper et al., 2017]. Примером работы, которая содержит все вышеперечисленные механизмы, является [Mucka, Horvath, 2016]. Среди моделей класса DSGE, содержащих несколько отраслей, имеющих одинаковую природу, и различающихся только некоторыми параметрами, можно выделить [Lee, 2010; Carvalho, Lee, 2011; Иващенко, 2016]. В [Chatterjee, Cooper, 2014] рассматриваются отдельно рынки потребительских и инвестиционных товаров, с монополистической конкуренцией на каждом из них и агрегированием отдельных продуктов в итоговый продукт с помощью CES-функций. [Minniti, Turino, 2013] рассматривают многопродуктовые фирмы: в отличие от более стандартного подхода, когда каждая фирма производит один продукт

9

(продукты разные), здесь каждая фирма получает возможность производить сразу набор продуктов, что работает как механизм для усиления шоков в экономике. Стандартный подход «одна фирма - один продукт» но с эндогенным входом на рынок и выходом с рынка в зависимости от возможности получения прибыли рассматривается в [Hamano, Zanetti, 2017], тогда как в [Pavlov, Weder, 2017] в рамках той же конструкции с эндогенным выходом новых продуктов на рынок рассматриваются многопродуктовые фирмы, иногда помимо различий в продуктах, для фирм добавляется и различие в качестве производимых продуктов, как в [Hamano, Zanetti, 2018]. В целом, рассмотрение многопродуктовых фирм представляется более выигрышным, особенно в свете эмпирических результатов, описанных, к примеру, в [Broda, Weinstein, 2010], [Bernard et al., 2010] или, из недавних результатов, в [Argente et al., 2018]: большая часть создания и разрушения продуктов осуществляется внутри существующих фирм, а не за счёт создания (и закрытия) новых, при этом до половины фирм в США меняют свой набор производимых продуктов раз в 5 лет.

Вторая группа работ связана с так называемыми многоотраслевыми

моделями роста. В рамках этих моделей производство в экономике

описывается как состоящее из нескольких крупных отраслей, имеющих свою

специфику (например, экзогенные темпы технического прогресса или

эластичность замещения товаров в отрасли). В рамках таких моделей удобно

исследовать структурные сдвиги в экономике, связанные, например, с

перераспределением труда от сельскохозяйственной к индустриальной

отрасли или с ростом доли новых наукоемких отраслей в ВВП. Наиболее

ранние многоотраслевые модель роста представлены в [Uzawa, 1961] и

[Dhrymes, 1962]. В первой из этих работ рассматривается модель с двумя

отраслями: первая производит инвестиционные продукты, вторая -

потребительские. Вторая работа описывает конструкцию, близкую к моделям

класса CGE. Из более современных исследований можно назвать [Echevarría,

1997; Kongsamut et al, 2001; Jensen 2011; Alonso-Carrera, Raurich, 2015] и др.

В рамках этих моделей возможно получать нетривиальную динамику

стилизованных отраслей в ВВП, которая возникает, например, в результате неоднородности функции полезности потребителя, или различных темпов технического прогресса, или других особенностей производственных функций в разных отраслях.

Данная работа опирается на немного другой подход, предполагающий получение разложения (декомпозиции - именно этот термин чаще всего будет использоваться в работе) всех компонент ВВП на (в общем случае ненаблюдаемые) продукты. Это позволяет в явном виде учесть многопродуктовость экономики, при этом задачи описания многопродуктовой структуры экономики и задачи непосредственно моделирования экономических показателей разделяются и решаются отдельно друг от друга, что позволяет сделать описание более компактным и понятным.

Наиболее близким к предлагаемой нами методологии является подход, использованный в [Mucka, ^г^Ш, 2016] и в аналогичных работах. В рамках этих работ обычно предполагается, что компоненты ВВП представляют собой CES-свертки двух промежуточных агрегатов. Для определенности рассмотрим агрегат «конечное потребление домашних хозяйств» С. Предполагается, что он равен CES-свертке агрегированного продукта, произведенного внутри страны для конечного потребления С?, и агрегированного продукта, импортированного для конечного потребления С1 :

С =

а'~р (С? у+(1 -аТ'С у

Аналогичные разложения предполагаются для инвестиционного и

экспортного продукта (в [Mucka, Horvath, 2016] предполагается, что

конечное государственное потребление состоит только из продукта,

производимого внутри страны). Мы считаем, что хотя такой подход

представляется вполне естественным и интуитивно понятным, он не может

быть математически непротиворечивым образом применен, во всяком случае,

11

на российской статистике, если под ценами продуктов понимать соответствующие дефляторы. В самом деле, из свойств СББ-функций следует, что

„с

р =

а

( РХ )р-1 +(1 -а)( рГ )р-1

Отсюда, в свою очередь, следует неравенство

тт {рХ, РТ }< РС < тах {рХ, р1™ },

а также аналогичные неравенства для других моделируемых таким образом компонентов ВВП - инвестиционного и экспортного продукта:

тт{рХ,РТ}<р <тах{рХ,р"}, тт {рХ, РТ }< РЕХ < тах {рХ, Рт} .

Дефлятор импортного продукта наблюдаем в статистике, дефлятор внутреннего продукта - нет. Однако, как видно на нижеприведенном графике, дефлятор внутреннего продукта, удовлетворяющий всем приведенным неравенствам, для российской статистики не может быть построен, потому что в силу вышеприведённых условий в каждый момент времени дефляторы всех компонент ВВП должны лежать между дефляторами импортного и внутреннего продуктов, а дефляторы импортного и внутреннего продуктов, соответственно, быть наибольшим и наименьшим из существующих (иначе один из продуктов придётся складывать с отрицательным весом). Дефлятор импорта, к примеру, в период 2012-2014 не является минимальным или максимальным из всех дефляторов, а значит, и удовлетворяющего всем неравенствам дефлятора внутреннего продукта в этот период времени существовать не может.

2,5

1,5

•Дефлятор потребления д/х •Дефлятор гос.потребления •Дефлятор валового накопления осн. капитала Дефлятор экспорта Дефлятор импорта

0,5

0

200020012002200320042005200620072008200920102011201220132014201520162017

Рис. 1.1: Дефляторы компонент использования ВВП России.

2

1

Тем не менее, эта методика применяется на российской статистике, например, в [Крепцев, Селезнев, 2017]. В этой модели введены упаковщики потребления и инвестиций, при описании которых используются CES-функции. Поэтому возникает три типа цен: внутренние, экспортные, импортные и отдельные агенты: экспортер и импортер. По-видимому, тот факт, что авторы при расчете модели не получают противоречий, связан с типичным при построении DSGE моделей подходом, при котором фактически исследуется не приведенная в тексте работы модель, а некоторое ее упрощение (отброшены отдельные соотношения и т.п.), из-за чего необходимости непосредственно оценивать (ненаблюдаемый) дефлятор внутреннего продукта не возникает, как не возникает и вызванных этим противоречий. Тем не менее, при сопоставлении результатов модели со статистическими данными видно, что инвестиции лучше всего описываются BVAR, а не DSGE. в качестве внутренних цен подставляется ИПЦ, а основной вклад в дисперсию ИПЦ дает шок инвестиций как в модели с банковским сектором, так и без него. Весьма вероятно, что в данном случае такие эффекты порождает именно специфическое описание взаимодействия промежуточных и конечных товаров.» [Станкевич и др., 2018]

В модели [Малаховская, Минабутдинов, 2013] выделяется два источника товара: внутреннее производство и импорт. Дефлятор потребления и инвестиций совпадает, причем обе переменные входят в баланс потребителя. При этом дополнительно выделяются цены внутреннего, экспортного и импортного товара. Тем не менее, оценка модели не производится, а представлена только калибровка параметров.

В [Шульгин, 2014] описывается производство биржевых и промышленных товаров, а также услуг, из которых с помощью CES-функции получается объем конечного товара. Дефлятор потребления (частного и государственного) и инвестиций совпадает, что для моделей такого типа вполне естественно, поскольку обе переменные входят в баланс потребителя. Проводится калибровка и байесовская оценка параметров. При этом качество этой оценки в работах не приводится.

Аналогичный подход используется в [Шульгин, 2014a], хотя в данном случае основная задача - ответ на вопрос об оптимизации правил валютной и денежно-кредитной политики в динамической стохастической модели общего равновесия, оцененной для России

Другой весьма распространенный подход, состоит в том, что авторы работ, описывающих DSGE модели, весьма бегло описывают положенную в их основу статистику. Так, например, в [Полбин, 2013] представлена DSGE модель экономики России, в которой предполагается несколько более сложная декомпозиция - каждая компонента ВВП сворачивается из торгуемого отечественного, торгуемого импортного и неторгуемого внутреннего товара. Потребление складывается из всех трех товаров с помощью двух последовательных CES-функций. Неторгуемый товар используется на издержки, связанные с изменением цен. У инвестиций и государственного потребления отдельные дефляторы, причем оба агрегата (как и потребление) формируются из трех компонент с помощью двух последовательных CES-функций. Отдельно в модели используется дефлятор энергии, представляющей собой отдельный товар для описания

добывающего сектора. В свою очередь дефляторы экспорта и импорта описывается экзогенным процессом. На этапе анализа модели приводятся только результаты калибровки и соответствующие ей IRF.

Несколько отличная постановка используется в [Андреев, Полбин, 2019]. В этой модели отдельно описаны производители внутреннего и экспортного продукта (и отдельные капиталы, используемые в соответствующих производственных процессах), поэтому цены внутреннего и экспортного продукта отличаются. Дополнительно в модели используются также импортные цены. У домашнего хозяйства отдельный дефлятор (конечного товара), который также используется для инвестиций. Отдельно в модели вводятся цены производственного капитала (разные для двух описанных выше типов). Тем не менее, государственного потребления в модели нет.

В [Иващенко, 2013] представлена динамическая стохастическая модель общего экономического равновесия с банковским сектором и эндогенными дефолтами фирм. В модели используется единый дефлятор для частного и государственного потребления и инвестиций. В отличие от большинства других работ, в данном случае рассматривается сразу несколько стран, поэтому дефляторы экспорта и импорта конкретной экономики определяются дефляторами в других странах и курсами валют. В работе представлены и результаты сопоставления оценок модели с фактическими данными. Наблюдается достаточно типовая для DSGE моделей российской экономики картина: DSGE проигрывает по потреблению и инфляции своим более простым эконометрическим аналогам.

По-другому устроена модель из [Иващенко, 2016]. Вводятся отдельные дефляторы для всех компонент ВВП (хотя не учитываются запасы). Для каждого сектора и источника спроса используется своя CES-функция. Тем не менее, на IRF регулярно видны резкие колебания, подтверждающие сильную отрицательную автокорреляцию, которая, как представляется, ставит вопрос о соответствии таких результатов наблюдаемым процессам.

Также в рамках анализ проблем оценивания параметров экономики России и ее описания в рамках парадигмы DSGE следует отметить работу [Вотинов, 2020]. В этой работе показано, что неправильное определение количества трендов в модели приводит к существенному ухудшению оценок коэффициентов. Применительно к нашей задаче этот вывод можно трактовать как последствия неправильного выбора количества моделируемых товарных агрегатов в модели.

Как показывает анализ работ по моделированию российской экономики, наиболее спорным и одновременно наиболее чувствительным их элементом является описание нескольких агрегированных модельных продуктов, использование которых должно, с одной стороны, позволить описать разнообразие ценовых пропорций в экономике, а с другой стороны, повысить степень соответствия модельных оценок статистическим данным. Однако эти конструкции практически во всех своих вариантах предполагают появление целого набора ненаблюдаемых прямыми статистическими методами переменных, значения которых могут определяться только непосредственно в моделях. На наш взгляд, именно в этой части возникает существенная неустойчивость и неоднозначность оценок параметров модели. Тем не менее, возможна и обратная ситуация, когда недостаток таких переменных приводит к падению качества прогнозов модели.

С учетом такой важности этого блока представляется, что возможно его подробное изучение независимо от описания остальных элементов в рамках большой модели. Более того, обзор существующих работ позволяет сформулировать несколько позиций, акценты на которые стоит сделать в дальнейшем исследовании. Во-первых, следует зафиксировать тот факт, что одна производственная функция, переменные которой наблюдаемы, позволяет разносторонне анализировать ее параметры и прогнозы, сопоставляя их в том числе со статистическими данными. Во-вторых, крайне важно наличие в моделях (и отдельно в рассматриваемом далее блоке) своего дефлятора как у государственного потребления, так и у инвестиций, а не

только использование дефляторов ВВП, экспорта и импорта.

16

Предлагаемая в главе 3 данной работы методология, хотя и не столь интуитивна, лишена вышеописанных недостатков. Она позволяет получить декомпозицию всех компонент ВВП на отдельные продукты в явном виде, при этом дефляторы всех компонент ВВП (включая государственное потребление и инвестиции) в модели сохраняются и могут быть получены как линейная комбинация дефляторов модельных продуктов. Поэтому мы полагаем, что предложенная методология может использоваться для описания компонентов ВВП в рамках DSGE и других макроэкономических моделей.

1.2. Другие подходы к описанию экономики

Несмотря на то, что DSGE-моделирование является в значительной степени «подходом по умолчанию» в исследованиях последних десятилетий, существуют и другие способы описания экономики, рассмотрение которых тоже может быть полезным с точки зрения понимания всего спектра существующих подходов, а также может помочь подсветить слабые места стандартных подходов, которые можно попытаться хотя бы частично устранить. Из набирающих популярность в последнее время, можно выделить агентные модели (agent-based models), которые нередко рассматриваются как способ решения множества проблем более стандартных подходов, осознание которых пришло после кризиса 2008-2009 гг. (см, в числе прочих, [Caiani et al., 2016]).

Агентные модели основаны на описании экономики как системы очень большого числа взаимодействующих агентов, каждый из которых преследует свои собственные цели и ведёт себя в соответствие с заданным алгоритмом. Несмотря на внешнюю схожесть с другими подходами (практически в любой макроэкономической модели есть взаимодействующие агенты), принципиально отличается вся логика работы модели. Вместо использования репрезентативных агентов вводится очень большое количество (вплоть до миллионов, что соответствует количеству агентов в реальных экономиках)

17

индивидуальных агентов. Вместо поиска аналитического решения (что практически невозможно в масштабах такого большого числа агентов) -развитие экономики симулируется на компьютере. Вместо поиска равновесия и анализа равновесных состояний изучается процесс развития экономики с заданными начальными условиями (который может прийти, а может и не прийти к равновесию). Последний пункт особенно важен, потому что позволяет изучать экономическую динамику в наиболее «живой» и приближенной к реальности форме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Станкевич Иван Павлович, 2022 год

Список использованной литературы

1. Андреев М.Ю., Полбин А.В. Исследование эффекта финансового акселератора в DSGE-модели с описанием производства экспортного продукта // Журнал Новой экономической ассоциации. 2019. №. 4. С. 1249.

2. Андреев М.Ю., Вржещ В.П., Пильник Н.П., Поспелов И.Г., Хохлов М.А., Жукова А.А., Радионов С.А. Модель межвременного равновесия экономики России, основанная на дезагрегировании макроэкономического баланса // Труды семинара им. И.Г. Петровского, Вып. 29. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2013. С. 43-145.

3. Бессонов В.А., Петроневич А.В. Сезонная корректировка как источник ложных сигналов // Экономический журнал ВШЭ. 2013. Т.17. №4. С.554-584.

4. Вотинов А.И., Лазарян С.С. Влияние трендов в данных на качество оценок параметров DSGE-моделей // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2020. Т. 24. № 3. С. 372-390.

5. Вржещ В.П., Поспелов И.Г., Хохлов М.А. Модельное дезагрегирование макроэкономической статистики // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2010. Т. 14. № 1. С. 88-104.

6. Иващенко С.М. Динамическая стохастическая модель общего экономического равновесия с банковским сектором и эндогенными дефолтами фирм // Журнал Новой экономической ассоциации. 2013. Т. 3. № 19. С. 27-50.

7. Иващенко С.М. Многосекторная модель динамического стохастического общего экономического равновесия российской экономики // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 5. Экономика. 2016. № 3. С. 176-202.

8. Крепцев Д.А., Селезнев С.М. DSGE-модель российской экономики с банковским сектором // Серия докладов об экономических исследованиях. 2017. № 27.

9. Малаховская О.А., Минабутдинов А.Р. Динамическая стохастическая модель общего равновесия экспортоориентированной экономики // М.: НИУ ВШЭ. 2013.

10. Микош Х., Соланко Л. Прогнозирование роста российского ВВП с использованием данных со смешанной периодичностью // Деньги и кредит. 2019. Т. 78. № 1. С. 19-35.

11. Полбин А.В. Построение динамической стохастической модели общего равновесия для экономики с высокой зависимостью от экспорта нефти // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2013. Т. 17. № 2. С. 347-384.

12. Поршаков А.С., Пономаренко А.А., Синяков А.А. Оценка и прогнозирование ВВП России с помощью динамической факторной модели // Журнал Новой экономической ассоциации. 2016. Т. 30. №2. С. 60-76.

13. Пильник Н.П., Поспелов И.Г. О естественных терминальных условиях в моделях межвременного равновесия // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2007. Т. 11. № 1. С. 3-34.

14. Шульгин А.Г. Байесовская оценка DSGE-модели с двумя правилами монетарной политики для России // М.: Изд. дом ВШЭ. 2014.

15. Шульгин А.Г. Сколько правил монетарной политики необходимо при оценке DSGE модели для России? // Прикладная эконометрика. 2014. Т. 36. № 4. С. 3-31.

16. Яковлева К. Оценка экономической активности на основе текстового анализа // Деньги и кредит. 2018. Т. 77. № 4. С. 26-41.

17. Alonso-Carrera J., Raurich X. Labor mobility, structural change and economic growth // UB Economics Working Papers 2015/325, Universitat de Barcelona, Facultat d'Economia i Empresa, UB Economics, 2015.

18. Altissimo F., Mojon B., Zaffaroni P. Can aggregation explain the persistence of inflation? // Journal of Monetary Economics. 2009. Vol. 56. No. 2. P. 231-241.

19. Amisano G., Tristani O. Euro area inflation persistence in an estimated nonlinear DSGE model // Journal of Economic Dynamics and Control. 2007. Vol. 34. No. 10. P. 1837-1858.

20. Andreasen M.M., Femández-Villaverde J., Rubio-Ramírez J.F. The pruned state-space system for non-linear DSGE models: Theory and empirical applications // The Review of Economic Studies. 2017. Vol. 85. No. 1. P. 1-49.

21. Andrews I., Gentzkow M., Shapiro J.M. Measuring the sensitivity of parameter estimates to estimation moments // The Quarterly Journal of Economics. 2017. Vol. 132. No. 4. P. 1553-1592.

22. Andreyev M.Yu., Vrzheshch V.P., Pilnik N.P., Pospelov I.G., Khokhlov M.A., Jukova A.A., Radionov S.A. Intertemporal General Equilibrium Model of the Russian Economy Based on National Accounts Deaggregation // Journal of Mathematical Sciences. 2014. Vol. 197. No. 2. P. 175-236.

23. Ankargren S., Yang Y. Mixed-Frequency Bayesian VAR Models in R: the mfbvar package. 2019.

24. Argente D., Lee M., Moreira S. Innovation and product reallocation in the great recession // Journal of Monetary Economics. 2018. Vol. 93. P. 1-20.

25. Arifovic J. The behavior of the exchange rate in the genetic algorithm and experimental economies // Journal of Political Economy. 1996. Vol. 104. No. 3. P. 510-541.

26. Aruoba S. B., Bocola L., Schorfheide F. Assessing DSGE model nonlinearities // Journal of Economic Dynamics and Control. 2017. Vol. 83. P. 34-54.

27. Ascari G., Fagiolo G., Roventini A. Fat-tail distributions and business-cycle models // Macroeconomic Dynamics. 2015. Vol. 19. No. 2. P. 465-476.

28. del Barrio Castro T., Osborn D.R. The Distribution of Unit Root Test Statistics after Seasonal Adjustment. 2014.

29. Benhabib J., Schmitt-Grohé S., Uribe M. The perils of Taylor rules // Journal of Economic Theory. 2001. Vol. 96. No. 1-2. P. 40-69.

30. Bernard A.B., Redding S.J., Schott P.K. Multiple-product firms and product switching // American Economic Review. 2010. Vol. 100. No. 1. P. 70-97.

31. Born B., Juessen F., Müller G.J. Exchange rate regimes and fiscal multipliers // Journal of Economic Dynamics and Control. 2013. Vol. 37. No. 2. P. 446-465.

32. Broda C., Weinstein D.E. Product creation and destruction: Evidence and price implications // American Economic Review. 2010. Vol. 100. No. 3. P. 691723.

33. Bruce A.G., Jurke S.R. Non-Gaussian seasonal adjustment: X-12-ARIMA versus robust structural models // Journal of Forecasting. 1996. Vol. 15. No. 4. P. 305-328.

34. Brunnermeier M., Eisenbach T., Sannikov Y. Macroeconomics with Financial Frictions: A Survey. NBER Working Paper Series. 2012. 18102.

35. Brunnermeier M., Sannikov Y. A macroeconomic model with a financial sector // American Economic Review. 2014. Vol. 104. No. 2. P. 379-421.

36. Caiani A. et al. Agent based-stock flow consistent macroeconomics: Towards a benchmark model // Journal of Economic Dynamics and Control. 2016. Vol. 69. P. 375-408.

37. Canova F., Sala L. Back to square one: Identification issues in DSGE models // Journal of Monetary Economics. 2009. Vol. 56. No. 4. P. 431-449.

38. Carvalho C., Lee J.W. Sectoral Price Facts in a Sticky-Price Model // Departmental Working Papers 201133. Rutgers University. 2011.

39. Cavallo M. Government consumption expenditures and the current account. 2005.

40. Cepni O., Güney I.E., Swanson N.R. Nowcasting and forecasting GDP in emerging markets using global financial and macroeconomic diffusion indexes // International Journal of Forecasting. 2019. Vol. 35. No. 2. P. 555-572.

41. Chang A. C., Li P. Measurement error in macroeconomic data and economics research: Data revisions, gross domestic product, and gross domestic income // Economic Inquiry. 2018. Vol. 5. No. 3. P. 1846-1869.

42. Chatterjee S., Cooper R. Entry and exit, product variety, and the business cycle // Economic Inquiry. 2014. Vol. 52. No. 4. P. 1466-1484.

43. Chernis T., Sekkel R. A dynamic factor model for nowcasting Canadian GDP growth // Empirical Economics. 2017. Vol. 53. No. 1. P. 217-234.

44. Christiano L.J., Eichenbaum M., Evans C.L. Nominal rigidities and the dynamic effects of a shock to monetary policy // Journal of political Economy. 2005. Vol. 113. No. 1. P. 1-45.

45. Clements M.P., Galvao A.B. Forecasting US output growth using leading indicators: An appraisal using MIDAS models // Journal of Applied Econometrics. 2009. Vol. 24. No. 7. P. 1187-1206.

46. Cuche-Curti N.A., Dellas H., Natal J.M. DSGE-CH: A dynamic stochastic general equilibrium model for Switzerland // Swiss National Bank Economic Studies. 2009. No. 5.

47. Dhrymes P.J. A Multisectoral Model of Growth // Quarterly Journal of Economics. 1962. Vol. 76. P. 264-278.

48. Dosi G. et al. The effects of labour market reforms upon unemployment and income inequalities: an agent-based model // Socio-Economic Review. 2016.

49. Dosi G., Pereira M.C., Virgillito M.E. On the robustness of the fat-tailed distribution of firm growth rates: a global sensitivity analysis // Journal of Economic Interaction and Coordination. 2018. Vol. 13. No. 1. P. 173-193.

50. Echevarria C. Changes in Sectoral Composition Associated with Economic Growth // International Economic Review. 1997. Vol. 38. P. 431-452.

51. Jensen B.S., Lehmijoki U. Homothetic Multisector Growth Models // DEGIT Conference Papers c016_001, DEGIT, Dynamics, Economic Growth, and International Trade. 2011.

52. Engle R.F., Granger C.W.J. Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing // Econometrica. 1987. Vol. 55. No. 2. P. 251-276.

53. Fagiolo G., Napoletano M., Roventini A. Are output growth-rate distributions fat-tailed? some evidence from OECD countries // Journal of Applied Econometrics. 2008. Vol. 23. No. 5. P. 639-669.

54. Fagiolo G., Roventini A. Macroeconomic policy in DSGE and agent-based models redux: New developments and challenges ahead. 2016.

55. Fernández-Villaverde J., Rubio-Ramírez J.F. Comparing dynamic equilibrium models to data: a Bayesian approach // Journal of Econometrics. 2004. Vol. 123. No. 1. P. 153-187.

56. Fernández-Villaverde J., Rubio-Ramírez J.F., Schorfheide F. Solution and estimation methods for DSGE models // Handbook of Macroeconomics. Elsevier. 2016. Vol. 2. P. 527-724.

57. Ferrara L., Marsilli C. Nowcasting global economic growth: A factor-augmented mixed- frequency approach // The World Economy. 2019. Vol. 42. No. 3. P. 846-875.

58. Forni M., Lippi M. Aggregation and the microfoundations of dynamic macroeconomics. Oxford University Press. 1997.

59. Forni M., Lippi M. Aggregation of linear dynamic microeconomic models // Journal of Mathematical Economics. 1999. Vol. 31. No. 1. P. 131-158.

60. Forni L., Monteforte L., Sessa L. The general equilibrium effects of fiscal policy: Estimates for the euro area // Journal of Public Economics. 2009. Vol. 93. No. 3-4. P. 559-585.

61. Franses P.H., Segers R. Seasonality in revisions of macroeconomic data // Journal of Official Statistics: an international quarterly. 2010. Vol. 26. No. 2. P. 361-369.

62. Fukac M. et al. Issues in adopting DSGE models for use in the policy process // Australian National University, Centre for Applied Macroeconomic Analysis, CAMA Working Paper. 2006. Vol. 10. P. 2006.

63. Geweke J. The dynamic factor analysis of economic time series." Latent variables in socio-economic models. 1977.

64. Geweke J. Using simulation methods for Bayesian econometric models: inference, development, and communication // Econometric reviews. 1999. Vol. 18. No. 1. P. 1-73.

65. Ghysels E., Perron P. The effect of seasonal adjustment filters on tests for a unit root // Journal of Econometrics. 1993. Vol. 55. No. 1. P. 57-98.

66. Ghysels E., Lee H.S., Noh J. Testing for unit roots in seasonal time series: some theoretical extensions and a Monte Carlo investigation // Journal of econometrics. 1994. Vol. 62. No. 2. P. 415-442.

67. Ghysels E., Kvedaras V., Zemlys V. Mixed frequency data sampling regression models: the R package midasr // Journal of statistical software. 2016. P. 1-35.

68. Ghysels E., Santa-Clara P., Valkanov R. Predicting volatility: getting the most out of return data sampled at different frequencies // Journal of Econometrics. 2006. Vol. 131. No. 1-2. P. 59-95.

69. Ghysels E., Sinko A., Valkanov R. MIDAS regressions: Further results and new directions // Econometric Reviews. 2007. Vol. 26. No. 1. P. 53-90.

70. Gómez V., Maravall A. Programs TRAMO and SEATS, instruction for user // Banco de España. 1996.

71. Granger C.W.J. Seasonality: causation, interpretation, and implications // Seasonal analysis of economic time series. NBER. 1979. P. 33-56.

72. Granger C.W.J., Siklos P.L. Systematic sampling, temporal aggregation, seasonal adjustment, and cointegration theory and evidence // Journal of Econometrics. 1995. Vol. 66. No. 1. P. 357-369.

73. Gregory A.W., Smith G.W. Calibration as testing: inference in simulated macroeconomic models // Journal of Business & Economic Statistics. 1991. Vol. 9. No. 3. P. 297-303.

74. Hamano M., Zanetti F. Endogenous product turnover and macroeconomic dynamics // Review of Economic Dynamics. 2017. Vol. 26. P. 263-279.

75. Hamano M., Zanetti F. On Quality and Variety Bias in Aggregate Prices // Journal of Money, Credit and Banking. 2018. Vol. 50. No. 6. P. 1343-1363.

76. Huang J., Ma S., Zhang C.H. Adaptive Lasso for sparse high-dimensional regression models // Statistica Sinica. 2008. P. 1603-1618.

77. Hood C.C. Comparison of time series characteristics for seasonal adjustments from seats and x-12-arima // ASA proceedings, business and economic statistics section. 2002. Alexandria, VA: ASA.

78. Hsiao C., Shen Y., Fujiki H. Aggregate vs. disaggregate data analysis—a paradox in the estimation of a money demand function of Japan under the low interest rate policy // Journal of Applied Econometrics. 2005. Vol. 20. No. 5. P. 579-601.

79. Ingenito R. et al. Using monthly data to predict quarterly output // Economic Review-Federal Reserve Bank of San Francisco. 1996. P. 3-11.

80. Kim J., Kim S., Schaumburg E., Sims C.A. Calculating and Using Second-order Accurate Solutions of Discrete Time Dynamic Equilibrium Models // Journal of Economic Dynamics and Control. 2008. Vol. 32. P. 3397-3414.

81. Kock A.B. On the oracle property of the adaptive lasso in stationary and nonstationary autoregressions. // CREATES Research Papers. 2012. Vol. 5.

82. Kongsamut P., Rebelo S., Xie D. Beyond balanced growth // The Review of Economic Studies. 2001. Vol. 68. No. 4. P. 869-882.

83. Korobilis D. VAR forecasting using Bayesian variable selection // Journal of Applied Econometrics. 2013. Vol. 28. No. 2. P. 204-230.

84. Kuzin V., Marcellino M., Schumacher C. MIDAS vs. mixed-frequency VAR: Nowcasting GDP in the euro area // International Journal of Forecasting. 2011. Vol. 27. No. 2. P. 529-542.

85. Kwiatkowski D. et al. Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root: How sure are we that economic time series have a unit root? // Journal of Econometrics. 1992. Vol. 54. No. 1-3. P. 159-178.

86. Le V.P.M. et al. Testing macro models by indirect inference: a survey for users // Open Economies Review. 2016. Vol. 27. No. 1. P. 1-38.

87. Lee J.W. Aggregate Implications of Heterogeneous Households in a Sticky-Price Model // Departmental Working Papers 201132. Rutgers University. 2010.

88. Leeper E.M., Traum N., Walker T.B. Clearing up the fiscal multiplier morass // American Economic Review. 2017. Vol. 107. No. 8. P. 2409-2454.

89. LeBaron B., Tesfatsion L. Modeling macroeconomies as open-ended dynamic systems of interacting agents // American Economic Review. 2008. Vol. 98. No. 2. P. 246-50.

90. Litterman R.B. Techniques of forecasting using vector autoregressions. 1979. No. 115.

91. Litterman R.B. Forecasting with Bayesian vector autoregressions—five years of experience // Journal of Business & Economic Statistics. 1986. Vol. 4. No. 1. P. 25-38.

92. Marcellino M., Schumacher C. Factor MIDAS for nowcasting and forecasting with ragged-edge data: A model comparison for German GDP // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 2010. Vol. 72. No. 4. P. 518-550.

93. Matas-Mir A., Osborn D.R., Lombardi M.J. The effect of seasonal adjustment on the properties of business cycle regimes // Journal of Applied Econometrics. 2008. Vol. 23. No. 2. P. 257-278.

94. McCracken M.W., Owyang M., Sekhposyan T. Real-time forecasting with a large, mixed frequency, Bayesian VAR // FRB St. Louis Working Paper 2015-030A. 2015.

95. Minniti A., Turino F. Multi-product firms and business cycle dynamics // European Economic Review. 2013. Vol. 57. P. 75-97.

96. Mucka Z., Horvath M. Fiscal Policy Matters: A New DSGE Model for Slovakia // Discussion Paper No. 1/20. Council for Budget Responsibility. 2016.

97. Papageorgiou D. et al. BoGGEM: A dynamic stochastic general equilibrium model for policy simulations. 2014. No. 182.

98. Pavlov O., Weder M. Product scope and endogenous fluctuations // Review of Economic Dynamics. 2017. Vol. 24. P. 175-191.

99. Pesaran M.H., Chudik A. Aggregation in large dynamic panels // Journal of Econometrics. 2014. Vol. 178. P. 273-285.

100. Phillips P.C.B., Perron P. Testing for a unit root in time series regression // Biometrika. 1988. Vol. 75. No. 2. P. 335-346.

101. Pytlarczyk E. et al. An estimated DSGE model for the German economy within the euro area. Discussion paper Series 1: Economic Studies. 2005. No. 33.

102. Quadrini V. Financial Frictions in Macroeconomic Fluctuations // Federal Reserve Bank Richmond Economic Quarterly. 2011. Vol. 97. No. 3. P. 209254.

103. Rotemberg J.J., Woodford M. An optimization-based econometric framework for the evaluation of monetary policy // NBER macroeconomics annual. 1997. Vol. 12. P. 297-346.

104. Ruge-Murcia F.J. Methods to estimate dynamic stochastic general equilibrium models // Journal of Economic Dynamics and Control. 2007. Vol. 31. No. 8. P. 2599-2636.

105. Said S.E., Dickey D.A. Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order // Biometrika. 1984. Vol. 71. No. 3. P. 599-607.

106. Salle I., Yildizoglu M. Efficient sampling and meta-modeling for computational economic models // Computational Economics. 2014. Vol. 44. No. 4. P. 507-536.

107. Schorfheide F. Loss function-based evaluation of DSGE models // Journal of Applied Econometrics. 2000. Vol. 15. No. 6. P. 645-670.

108. Schorfheide F. DSGE model-based estimation of the New Keynesian Phillips curve. 2008.

109. Schorfheide F., Song D. Real-time forecasting with a mixed-frequency VAR // Journal of Business & Economic Statistics. 2015. Vol. 33. No. 3. P. 366-380.

110. Schmitt-Grohe S., Uribe M. Price level determinacy and monetary policy under a balanced-budget requirement // Journal of Monetary Economics. 2000. Vol. 45. No. 1. P. 211-246.

111. Schumacher C. A comparison of MIDAS and bridge equations // International Journal of Forecasting. 2016. Vol. 32. No. 2. P. 257-270.

112. Smets F., Wouters R. An estimated dynamic stochastic general equilibrium model of the euro area // Journal of the European economic association. 2003. Vol. 1. No. 5. P. 1123-1175.

113. Smets F., Wouters R. Shocks and frictions in US business cycles: A Bayesian DSGE approach // American economic review. 2007. Vol. 97. No. 3. P. 586606.

114. Smith A. Estimating nonlinear time-series models using simulated vector autoregressions. 1993.

115. Sobol I.M. Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates // Mathematics and computers in simulation. 2001. Vol. 55. No. 1-3. P. 271-280.

116. Soybilgen B., Yazgan E. Evaluating nowcasts of bridge equations with advanced combination schemes for the Turkish unemployment rate // Economic Modelling. 2018. Vol. 72. P. 99-108.

117. Stiglitz J.E. Towards a general theory of deep downturns // National Bureau of Economic Research. 2015. No. w21444.

118. Tesfatsion L. Agent-based computational economics: A constructive approach to economic theory // Handbook of computational economics. 2006. Vol. 2. P. 831-880.

119. Tiffin A. Seeing in the dark: a machine-learning approach to nowcasting in Lebanon. 2016.

120. Uzawa H. On a Two-Sector Model of Economic Growth // Review of Economic Studies. 1961. Vol. 29. P. 40-47.

121. Watson M.W. Measures of fit for calibrated models // Journal of Political Economy. 1993. Vol. 101. No. 6. P. 1011-1041.

122. U.S. Census Bureau. X-12-ARIMA Reference Manual. 2011.

123. Zou H. The adaptive lasso and its oracle properties // Journal of the American statistical association. 2006. Vol. 101. No. 476. P. 1418-1429.

Приложение 1: решение задачи производителя

«Траектории величин Рг(Г), 2(*), Ju(t), Jm(t), R(t), M(t) будут оптимальными в случае, если они максимизируют функционал Лагранжа

т а 1

гТ а

•0 аt 1

(

-р

Pг(t)

У-р

V Рт ) у +

+И( t)[ К (t )-Д (t) Ь (t)--Ь (t )1+

ф2(*)К(t) + ф3(*)(ОС(*)-ОСа (t)) + И(tJm(*)-6т (*)М(*)--М(*) ф5 (t) Jm (t ) + ^6 (t )Г ¡Я (t )-£аг (t) Я (* )-А Я (* )1 + ф7 (t) ¡Я (t) +

^8 (t)

г*

ju (*) - и0м (* )гь г м (*) гм) г я (*)

J 0

у V М 0 у

V Я0 у

- т (*)-^ 2 (*) w аt w

ф9(*)2(*) + ф10(*)Т(*) + ^11(*)(К(*)-Р(*)Ь(*)-г (*)Ь(*) + (1 - Ту (*)) Ру (*) Т (*) - Р (*) Ju(*t)UJ - Рз (*) Jm (*) mJ - ^ (*) Я (*)

^ (*)¡Я(*) + р^(*)-Pг(*)-АN(*) + ф12(*)N(*) +

ф1(*)

аЬ (Т) Ь (Т) + аМ (Т) М (Т) + аЫ (Т) N (Т) + аЯ (Т) Я (Т) + а2 (Т ) 2 (Т ) -(аЬ (*0) Ь (*0) + аМ (*0)М (*0) + аЫ (*0) N (*0) + аЯ (*0)Я (*0) + а2 (*0) 2 (*0))^^ (п.1)

Греческими буквами обозначены двойственные переменные к

соответствующим ограничениям.

Условия дополняющей нежёсткости имеют вид:

[ф10 )][ N )]

[ф8 )][Т )]

[ф7 (* )][2 (*)]

[ф5 (*)][ Jm (*)]

[ф3(* )][ОС (*)-ОСа (*)]

[ф2 (* )][К (*)]

(п.2) (п.3) (п.4) (п.5) (п.6) (п.7)

Выражение вида [a][b] без знаков равенства или неравенства обозначает систему соотношений

[a][b] « a > 0, b > 0, ab = 0

Поскольку функционал (п.1) вогнутый, точку его максимума можно найти стандартной процедурой интегрирования по частям и последующим варьированием по прямым переменным Pr(t), Z(t), Ju(t), Jm(t), R(t), M(t). В

результате получится система уравнений:

d — (t )=~ф1 (t )

(п.8)

0 = Z(t)py (t)-Ty (t)f(t)py (t)--6(t) + ф8(t)

(п.9)

0 =

-£( t ) ^ ( t )+-

A-6 (t ) (

Jt

ju (t)Yafm (t)

Ju0

\-ba+a /

V M 0 У

RO)

V R0 y

A-6 ( t )

ae

71

Ju ( t )YY M ( t )

R0

-ba+a

V Ju0 y

V M 0 y

'RMV

V R0 y

R0

dR

(п.10)

0 = (ф3 (t )-£(t )) dOC d

dt

t ) = -ф10 (t )

(п.11) (п.12)

A-6 ( t ) R (t )(-ba+a) e

7t

Ju (t)Ya f m (t)

V Ju0 y

R0M ( t )

d- ( t ) = --(п.13)

d -1 (t) = -1 (t)A (t)+Z (t) A (t)+r (t)z(t )

0 = (-1 (t ) + ф2 (t ) + ^ (t )) dK

\-ba+a /

v m 0 y

RW

V R0 y

+ -4(t)^am (t)

(п.14) (п.15)

0 =

R0 Ju (t)

Aba-6 (t ) R (t ) e7t f Ju (t )?* f M (t )

4-ba+a

V Ju 0 y

V M 0 y

fRit) >

V R0 y

-- ) P (t )

dJu

(п.16)

0 = (-4 (t) + ф5 (t) (t) p} (t))dJm

0 =

-At

-^(t ) + D (U )

Py (t) 1 Py (t)

pr (t )

d Pr

V^y v ' yy

(п.17) (п.18)

a

При разрешении условий дополняющей нежёсткости (п.2) - (п.7), получаем, что соответствующие двойственные переменные зануляются и исключаются из уравнений (п.8) - (п.18).

Из (п.11) получаем, что ф3(г) = Ъ(г), (п.8) позволяет исключить из системы уравнений переменную ф7 (г), а уравнение (п.12) - переменную ф10 (г). Переменную \у4 (г) выражаем из (п.17) как ^4(г) = —ф5(г)+Ъ(г) р; (г), а из (п.15) получаем, что у/1(г ) = -ф2 (г )—£(г).

Из этого, (п.8) и (п.12) следует равенство нулю производных по времени щ6 (г) и £(г).

Учитывая то, что переменные Pr(г), 2(г),л(г),Лп(г), Щ),м(г) не являются константами, в выражениях (п.10), (п.15) - (п.18) оказываются равными нулю соответствующие скобки. Тогда из (п.18) получаем выражение для £ (г):

«' D & )( ^ ]

ру (г) " I Ру (г))

Это позволяет упростить систему и исключить из неё £(г), при этом вводится

- Ъ( г)

обозначение р(г )= — ,, . Подставляя конкретный вид функции полезности

ъ (г)

С

и (С) =-, получаем систему уравнений:

1 — ц

0 = т(г ) —

((—ф2 (г0)—ъ (г0)) ь (г0)+£ (г0)р (г0)м (г0)

+

V

(Ъ (г0)ру (г0)—Гу (г0)£ (г0)ру (г0))2 (г0)

у

К d )] Ру (г)—Ъ( г > I Ру (') + (I Гу (' ^) Ру (') +

+Гу (г)[ | )] ру (г ) + Гу (г )£(г) А ру (г )][2 (г)]

[ф2 (г)][К (/)]

А ь (г) = к (О—А, (г)ь (г) А м ( г) = М ( г)—ёап ( г) м ( г)

д_ ё!

г (! ) = Ле/!

■ (! )Т( М (! ))"(1-' V Я (!)

V Зи0 J

V М 0 J

V Я0 J

- Г (! )

О = К(!)-Д (!)I(!)-г (!)I(!)-0Со (!) + (1 -г, (!))ру (!)У (!)-- р. (!) Зи (!) - р. (!) Зт (!) - ww (!) Я (!) + (! ) - (! )

0 = -«(! ) Ww (! ) + (

А(«!)Ру (!)-Гу (!«)Ру (!))ГЗи(!)ГГМ(!)Т"+"ГЯ(!)У

Я0

V Зи0 J V М0 J

V Я0 J

) -

А«(!)РУ (!)-т, (!)«(!)ру (!" Г)" ГМЙГЯМ 1

Я0

V Ли 0 J V М 0 J

V Я0 J

А«(!)]р; (!)«)|р. (!)-«!)р. (!)5ат (!) =

(

( т>(Л\

]" (;(«) р, (!) - г, и«!) ру (!)) я (,)[ (-"♦«)(

Я0 J

Я0М (!)

| ¿2 (!)-А £(0 = (-*2 (0-«(0)^1 (О + ^ОА (0 + г, (!)«(!)

0 =

А"«!) р, ( !)-т, ( !)«( !) р, (!)) Я (!) еп Г Ли ( !))"( М ( !))-"+"Г Я ( !)Т

Я0 Зи ( !)

V Зи0 J V М0 J

V Я0 J

-) ^^ (О

0 =

,-Д!

-«(О^-^о (^ )

ру ( 0 V ру ( !Ьу

Т(!) = (-^2(!)-«(!))£(!) + «(!)р. (!)М(!) + («!)р, (!)-т, (!)«!)р, (!))2(!)

Дальнейшее решение и упрощение задачи позволяет получить следующие

соотношения:

Уравнение на прибыль:

ё^/Л Рг (!)А Рг (!)р(!) РГ (!) д! р, (!) РГ (!) д! ру (!)

— Рг ( !) ё! ^^ '

1

1

р,( !)1 р,(!)

V

а

Условие на запасы:

МОр (О^ (0+iIPy (0\у (0+Ру (ОI^o(Op (О-|Ру (О(О]

Условие оптимальности для инвестиций в поддержание основных фондов:

р} (г) и- (Ли(г)—и 0м (г) )

Ьа = ■

Ру (О (1 -ТУ (О) YP (О

Условие оптимальности для основных фондов:

ру (г)а{Л(г)Ъ — и0М(г) — Зи(г))(гу (г) — 0ур(г) = м+ * М пр, (г)м(г)(Ли(г)—и0М(г)) р() р] (г) ап ()

Условие оптимальности для объёма труда:

Ру(г){а~дГ(г)—1 Ур = ^(г)(3г(г) + р(г)) + ^(г) — |^(^» [Станкевич и др., 2018]