Методы последовательных оценок в задаче управления динамическими балансовыми моделями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Банин, Александр Анатольевич

• Банин, Александр Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Банин, Александр Анатольевич

Введение.

Глава 1. Статическая балансовая модель.

§ 1. Определение, характеризации и применение М-матриц.

§ 2. Статическая балансовая модель предприятия.

§ 3. Формула больших возмущений и её применение в статической балансовой модели.

§ 4. Доминирующее собственное значение технологической матрицы

Спектр М-матриц.

§ 5. Аддитивные и мультипликативные разложения.

§ 6. Анализ ошибок в статической балансовой модели.

Глава 2. Динамические балансовые модели. Задача оптимального управления в балансовых моделях.

§ 1. Примеры балансовых моделей экономической динамики. Постановка задачи оптимального управления в динамической балансовой модели.

§ 2. Задачи, двойственные по Лагранжу, в динамической балансовой модели.

§ 3. Принцип Беллмана для задач оптимального управления в динамической балансовой модели.

§ 4. Алгоритм декомпозиции для динамических балансовых задач оптимального управления.

§ 5. Некоторые частные динамические балансовые задачи оптимального управления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы последовательных оценок в задаче управления динамическими балансовыми моделями»

Математическая модель народного хозяйства, именуемая межотраслевым балансом, а в зарубежной литературе "input-output" (затраты - выпуск), является широко распространённой методологией анализа и прогнозирования общественного производства.

Первые попытки составления межотраслевых моделей можно обнаружить в учении французских физиократов 18 в., один из которых, Франсуа Кенэ, в своей "Экономической таблице" попытался показать как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. Идеи же балансового метода и способы его построения с помощью систем линейных уравнений были впервые предложены ещё в 1898 г. В.К. Дмитриевым. Анализируя работы по составлению советского баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 г. Василий Леонтьев разработал схему и модель анализа структуры воспроизводства в разрезе детальной классификации отраслей. Но основные идеи, заложенные в методе "затраты - выпуск", были сформулированы Леонтьевым ещё в студенческие годы, во время пребывания в Европе, в частности, в статье, опубликованной в 1925 г. и посвящённой советскому экономическому балансу. Таблица "затраты - выпуск" Василия Леонтьева впервые была опубликована в работе "Структура американской экономики в 1919 - 1929 г г." [Леонтьев, 1958]. В первоначальной замкнутой модели Леонтьева было 45 отраслей, а анализ проводился для 1919 и 1929 гг. Как отмечал академик B.C. Немчинов, главное, что сделал В.В. Леонтьев, это сочетание схемы балансовой взаимоувязки межотраслевых пропорций народного хозяйства с математической моделью, характеризующей взаимосвязи между затратами на производство и выпуском продукции различных отраслей [Леонтьев, 1990, 1994, 1997]. 1

Разрабатывая свою экономическую модель, В.В. Леонтьев делал ряд допущений ограничительного характера: каждый товар производится в одном секторе, производство сопряжённых продуктов не существует, а затраты потребляющей отрасли определяются её собственным выпуском. При таких предпосылках статическая модель межотраслевого баланса записывается в виде следующего матричного уравнения х = Ах + у, (1) где неотрицательная матрица А -матрица технологических коэффициентов размера пхп (по количеству отраслей в модели), г- вектор валового выпуска, у - вектор конечного потребления. Преобразовав уравнение (1) к виду

СЕ-А)х = у, (2) приходим к тому, что в данной модели появляется матрица Е-А, элементы которой, расположенные вне главной диагонали, неположительны. А в случае выполнения требования неотрицательной разрешимости матричного уравнения (2) получим, что диагональные элементы матрицы Е-А положительны. О таких матрицах, у которых элементы на главной диагонали положительны, а остальные - неположительны, говорят, что они обладают свойством Метцлера. Впервые такие матрицы были введены Метцлером в 1945 г. и получили название М-матриц. В дальнейшем под М-матрицей стали понимать квадратную матрицу с неположительными элементами, расположенными вне главной диагонали, и положительными главными минорами [Гантмахер, 1988]. Некоторые критерии принадлежности матрицы к классу М-матриц содержатся в работах [Никайдо, 1972], [Воеводин, 1984], [Обен, 1988], [Обен, Экланд, 1988], [Нот , Johnson., 1991], [Li Wen, Zhang Moucheng, 1995], [Sun Yuxiahg, 1995]. Применение свойств М-матриц в межотраслевых моделях описано в работах [Гейл, 1963], [Никайдо, 1972], [Ицкович, 1976]. Исследованиям систем линейных уравнений, связанных с межотраслевой моделью посвящена работа [Сергеева, 2000]. Как видно, основополагающими параметрами статической балансовой модели являются коэффициенты прямых затрат, образующие матрицу А. Построению межотраслевых технологических матриц посвящены работы [Дадаян, 1973], [Воркуев, 1986], [Андрюшкевич, 1992], [Андрюшкевич, Морозова, 1992], [Морозова, 1992], [Краюшкина, Летавина 1997]. Помимо технологической матрицы А для анализа деятельности экономического субъекта используется и матрица полных затрат В-{Е- А)'1, которая при выполнении условия продуктивности матрица А существует и является неотрицательной матрицей. При этом матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица Е -А принадлежит классу М-матриц. Применению матрицы полных затрат В для описания деятельности межотраслевой экономики посвящены работы [Cuello, Mansouri, Hew-ings, 1992], [Sonis, Hewings, 1992], [Sonis, Oosterhaven, Hewings, 1993], [Sonis, Hewings, Lee, 1994]. Эмпирическими исследованиями по методу затраты - выпуск занимались помимо Василия Леонтьева [Leontief, 1953], [Leontief, 1973], [Leontief, 1976], [Leontief, 1977] и учёные других стран. Вопросы межотраслевых связей изучались в Норвегии, Дании, Голландии, Италии, Англии, Японии, Канаде, Австралии и ряде латиноамериканских стран. Так, например, первые таблицы "затраты - выпуск" в Аргентине были составлены в 1946 г. и содержали межотраслевые потоки для 20 отраслей, Бразилии - в 1953 г. и содержали 17 отраслей, Мексике -1950 г. и содержали 32 отрасли. В последнее время расширилась сфера применения статических балансовых моделей, поскольку экономический анализ по методу "затраты - выпуск" может быть осуществлён и применительно к отдельной отрасли или предприятию. В этом случае в качестве структурных звеньев изучаемой системы будут выступать подотрасли, виды производства, стадии передела продукции, подразделения и цеха. В качестве сектора конечного потребления будут фигурировать не только население и непроизводственная сфера, но и все потребители (другие отрасли, предприятия) за пределами данной отрасли или предприятия. При этом наибольшую пользу анализ "затраты - выпуск" приносит в том случае, когда речь идёт о многономенклатурном производстве с существенным внутрипроизводственным оборотом. Применение модели "затраты - выпуск" к описанию деятельности предприятия содержится в работах [Ройтбурд, Штец, 1967], [Розоноэр, 1984], [Казанцев, Летавин, 1995], [Казанцев, Летавин, 1996]. При этом матричная статическая балансовая модель предприятия позволяет достаточно полно отразить внутрипроизводственные связи между цехами предприятия и определить выпуск продукции в натуральных и денежных единицах по всем цехам и предприятию в целом. Кроме того, применение модели "затраты - выпуск" в экономическом анализе даёт возможность изучить влияние на цены производимой продукции, например, сырьевых, топливных и энергетических затрат, издержек на оплату труда, отчислений в общественные фонды, затрат на содержание основных фондов, амортизационных отчислений и т.д. Так же в рамках матричной балансовой модели возможно проанализировать влияние структурных изменений на цены выпускаемой продукции. Ещё одной характеристикой деятельности экономического субъекта, помимо о матриц прямых и полных затрат, является число Фробениуса - Перрона г{А) > 0 для неотрицательной матрицы А. При чём А продуктивная матрица тогда и только тогда, когда г{а)<\ . Это число может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых затрат, а следовательно величина 1 - г{а) характеризует продуктивность этих коэффициентов, т.е. возможности достижения каких - либо других (кроме текущего производственного потребления) целей: чем больше 1 -г(А), тем больше возможности достижения других целей. Таким образом, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше число Фробениуса -Перрона, т.е. ниже уровень продуктивности и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше число Фробениуса - Перрона и выше продуктивность. Методы вычисления этого собственного числа неотрицательной матрицы рассмотрены в работах [Фаддеев, Фаддеева, 1963], [Уилкинсон, 1970], [Фам Ват Ат, 1987], [Альпин, 1994], [Альпин, 1997]. Использованию собственных чисел в модели межотраслевого баланса посвящена статья [Файзуллин, 1998].

Рассматриваемая выше статическая балансовая модель хотя и даёт возможность на количественном и качественном уровнях оценить межотраслевые взаимодействия, всё - таки характеризуется такими чертами, которые затрудняют её применение в расчётах на перспективный период. Эти трудности связаны с тем, что в качестве экзогенно задаваемых элементов конечного продукта рассматриваются и те из них, объёмы и структура которых самым непосредственным образом зависят от эндогенных переменных модели, т.е. объёмов выпуска продукции. В первую очередь это относится к показателям, характеризующим объём и структуру капитальных вложений. Зависимость капитальных вложений от объёма производства продукции наиболее чётко проявляется при рассмотрении процесса производства в динамике. Таким образом, этой балансовой модели можно придать динамический характер, вводя в неё элементы, увеличивающие доход, альтернативные производственные методы или инвестиции. В динамической модели Леонтьева [Леонтьев, 1990] основным фактором является та часть продукции, которая превращается в капитал или запасы. Но рассмотренная В. В. Леонтьевым динамическая модель "input-output" не является единственно возможной динамической балансовой моделью. Другого типа модели, включающие в себя задачи условной оптимизации, описаны в работах [Черемных, 1971], [Черемных, 1975], [Черемных, 1982], [Черемных, 1986]. В данных работах в основном рассмотрены задачи с линейными функционалами и без ограничений на фазовые координаты. Так же математическим вопросам экономической динамики посвящены монографии [Макаров, Рубинов, 1973], [Моришима, 1972], [Никайдо, 1972] и статьи [Пересада, 1993], [Бойчук, 1998]. В монографиях наибольшее место уделено изучению магистральной теории для динамических балансовых моделей. В статьях рассматриваются динамические балансовые модели в дифференциальной форме. Отметим, что все динамические модели "затраты - выпуск", описываемые в настоящих монографиях и статьях, относятся к межотраслевым моделям, которые всё-таки не являются на данный момент общими, и поэтому в случае их использования для описания деятельности промышленного предприятия не всегда в достаточной мере реально отражают технологическое и экономическое функционирование данного предприятия.

9.

Таким образом, целью данного диссертационного исследования являлось по-гроение статической, а на её основе динамической балансовых моделей, описываю-щх деятельность промышленного предприятия.

Для описания хозяйственной деятельности предприятия была выбрана следующая динамическая балансовая модель х(0 = 4*(0 + ;К0 , t = l,.,T, (3) + + к, + 1)-лг(Г)), i = 0,.,T-l, (4)

2(Т) = 0тх(Т)+гте, (5) х(0) = х° > 0,

В настоящей модели хф- п-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в году уф- «-мерный вектор столбец объёмов товарной продукции, Аг = (аг7(/)) —„ ~ технологическая матрица в отношении производимых продуктов, гф-тп- мерный вектор столбец факторов производства, 0( = производственная матрица переменных затрат факторов производства, 2 = {гчф) -матрица затрат на постоянные факторы производства, е - п- мерный единичный вектор столбец, к( - т - мерный вектор столбец инвестиций, ^ ф) - матрица инвестиций, х°- и-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в базовом периоде. При заданной программе выпуска товарной продукции (у(1),.,у(Т)) балансовые уравнения (3)-(5), в предположении выполнения условия продуктивности матриц А(, позволяют опеделить программу работы предприятия (х(1),.,х(Г)) и объёмы потребления до-эавочных факторов производства (г (0),., г (Г)).

В случае ограничения мощностей предприятия и объёмов факторов 1роизводства данная модель включает в себя класс задач оптимизации управлений выпусков товарной продукции)

Ф(у{\),.у{т))->гтп . ~(6) при ограйичениях на фазовые координаты (векторы валовых выпусков и факторов 1роизводства)

-------------- х{()<х{(), / = 1,.,'/', t = 0,.,T.-------(7)

•Я'М» * = 1,.,7\ (8)

Включение в динамическую балансовую модель задачи оптимального управ-гения позволяет изучить количественные характеристики (объёмы валовых выпусков и товарной продукции) структурных сдвигов, происходящих в 1роизводственной деятельности предприятия под воздействием динамики выпуска гродукции и научно-технического прогресса. В современных развивающихся рыючных отношениях решение подобных динамических балансовых задач оптимального управления становится актуальным и имеет большое практическое зна-' юние развития предприятия.

Исходя из методов решения задач оптимального управления, изученных в ра-5отах [Кирин, 1975], [Кирин, Морозкин, 1989], [Кирин, Исраилов, 1990], [Васильев, 1981], [Васильев, 1981], [Демьянов, Рубинов, 1968], [Полак, 1974], в настоящей диссертации построен алгоритм решения задачи (6), (3)-(5) при ограничеи ниях (7), (8). Построенный алгоритм основан декомпозиции как по временному параметру X так и по фазовым переменным с учётом разряжённости матриц А(, О,,

Таким образом, научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- построены статическая и динамическая балансовые модели для описания деятельности промышленного предприятия

- разработан декомпозиционный метод решения задачи оптимизации выпусков товарной продукции (управлений) при ограничениях на производственные мощности и объёмы факторов производства (фазовые координаты)

- построен алгоритм численного решения динамических балансовых задач оптимального управления для определённых целевых функционалов

- доказан критерий продуктивности технологической матрицы специальной структуры

- разработаны методики для анализа хозяйственной деятельности предприятия (методика расчёта цен на производимую продукцию, методика определения изменений цен на производимую продукцию, методика построения "поля влияний", методика построения аддитивного разложения матрицы прямых затрат и мультипликативного разложения матрицы полных затрат)

Полученные результаты могут быть использованы при экономическом анализе деятельности промышленного предприятия с существенным внутрипроизводственным оборотом.

Структурно диссертация состоит из введения, двух глав, в каждой из которых соответственно шесть и пять параграфов, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Банин, Александр Анатольевич

Заключение

Методология статического и динамического балансового моделирования деятельности предприятия позволяет, по словам В.В. Леонтьева, экономистам использовать теоретические и практические знания, которыми обладают инженеры, и в то же время позволяет инженерам разобраться в экономических составляющих деятельности предприятия. Поэтому полученные результаты могут быть использованы для экономического анализа деятельности промышленного предприятия, что в свою очередь может служить для инженеров "руководством к действию" по совершенствованию технологии производства.

Рассмотренная в настоящей работе методология построения статической балансовой модели была использована для описания деятельности подразделений ОАО "Северсталь", участвующих в производстве стали (см. приложение 1). При этом технологическая матрица А, построенная для данной группы подразделений, является продуктивной матрицей. Этот результат является прямым следствием критерия продуктивности матрицы (или критерия принадлежности матрицы Е-А к классу М-матриц), полученного для матриц специальной структуры (гл. 1, теорема 1.1.1 (п. 7)), поскольку основные продукты, которые участвуют только во внутрипроизводственном технологическом потреблении (для них отсутствует товарная продукция), обязательно используются в производстве какой-либо товарной продукции. Этот критерий является основным математическим результатом главы 1. На основе построенной технологической матрицы проведён анализ деятельности подразделений ОАО "Северсталь" в части структуры затрат на производимую продукцию (см. приложение 2). Так же представлены показатели изменений цен на выпускаемую продукцию, которые происходят под влиянием различных факторов производства (см. приложение 2). Кроме того, представленные в настоящей работе методики построения "поля влияний" для технологических коэффициентов, а так же методики аддитивного разложения матрицы прямых затрат и мультипликативных разложений матрицы полных затрат дают возможность на количественном и качественном уровнях изучить взаимодействия между подразделениями предприятия, между стадиями передела продукции.

Основной теоретический результат диссертации состоит в том, что в динамической балансовой модели

Ф(у(1),.^(7'))^тт (1) х(0 = Л*(0+Я0, 1 = 1,.,т, (2) + + к, + / = 0,.,Г-1, (3) г(Т) = Стх(Т) + 2!те, (4) г = 1' = 0(5) лг(/)>0, ¿ = 1г(0>0, Х = 0(6)

ЯО^О, Г = 1.Г, (7) х(0) = *°>0. (8) указан класс задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты, решение которых может быть получено при помощи представленного в настоящей работе алгоритма. Этот алгоритм основан на декомпозиции как по временному параметру, так и по фазовым переменным с учётом разряжённости матриц, характеризующих технологическую деятельность предприятия. Разработанный алгоритм решения задачи оптимального управления (1)-(8), где в (1) целевой функционал т).-.зМ)=±±<у,м)2,

1 ¿=1 носит конструктивный характер, из которого следует численный алгоритм решения задач оптимизации управлений, реализуемых на ЭВМ.

В конце отметим, что в связи с построенным алгоритмом решения динамической балансовой задачи оптимального управления (1)-(8) встают для дальнейшего научного исследования вопросы устойчивости данного алгоритма к различным возмущениям параметров динамической модели, вопросы о взаимосвязи магистральных характеристик динамической модели (1)-(8) с оптимальными траекториями данной модели. Так же для дальнейшего исследования остаётся открытым вопрос о построении декомпозиционного алгоритма решения оптимизационной задачи, которая описывает динамическую балансовую модель вида т /=0 х(т)>Атх{т)+у(т), х(0) = х0, 2(т) = 1теп + 0тх(т) < (г),

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Банин, Александр Анатольевич, 2000 год

1. Андрюшкевич O.A. Структурный анализ французской экономики на основе модели расширенного воспроизводства// Миров, динам.; анал. и моделир./ ЦЕМИ РАН, М.; 1992, с.30 -55.

2. Бойчук JIM. Балансовые динамические модели в экономике: режимы движения и прибыль// Пробл. упр. и информ., №2, 1998, с. 129 134.

3. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

4. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

5. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М,: Наука, 1977.

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 318 с.

7. Воркуев Б.Л. Анализ решений экономико-математических моделей. М.: Изд-во Моск. ун-та,1986.- 140с.

8. Ицкович И.А. Анализ линейных экономико математических моделей. - Новосибирск: Наука, 1976. Анализ линейных экономико - математических моделей.

9. Казанцев A.A., Летавин М.И. Анализ экономической деятельности металлургического предприятия по схеме «затраты выпуск»// Тезисы докл. межд. конф. «Интеграция экон. в систему мирохозяйственных связей». - С.-Пб.: СПбГТУ, 1996.- с. 203 - 205.

10. Казанцев A.A., Летавин М.И. Опыт анализа работы металлургического предприятия на уровне основных производственных подразделений. Препринт №1/95. Череповец: НИЛ ММТ и СЭП, 1995,- 17с.

11. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л., Изд во Ленинградского университета, 1975. - 160 с.

12. Кирин Н.Е., Исраилов И. Оценочные системы в задачах теории управления. Ташкент, 1990. -160 с.

13. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Численные приближения экстремалей управляемых динамических систем: Учебное пособие. Уфа, 1989. 89 с.

14. Краюшкина Г.А., Летавина Н.М. Математические вопросы метода "затраты выпуск" В.В. Леонтьева. Череповец: Издательство НИЛ и СЭП, 1997.

15. Морозова А.Е. Особенности прогнозирования структурных коэффициентов// Миров, динам.; анал. и моделир./ ЦЕМИ РАН, М.; 1992, с.56 61.

16. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

17. Розоноэр Л. И. Экономико математические методы и модели. - М.: МИСИС, 1984,- 118 с.

18. Ройтбурд Л.Н., Штец К.А. Организация и планирование предприятий чёрной металлургии. М.: «Металлургия», 1967. - 513 с.

19. Сергеева Т.С. Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств), связанных с моделью Леонтьева Форда: Автореф. дис. канд. ф.-м. наук. - Ростов-на-Дону, 2000. -21 с.

20. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.

21. Фаддев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — M.-JL: Физматгиз,1963.

22. Файзуллин Р.Т. Обобщённая задача на собственные значения в модели межотраслевого баланса. Мат. структуры и моделирование, № 1, 1998, с. 103 109.

23. Фам Ван Ат. Об одном классе алгоритмов определения наибольшего характеристического числаи соответствующего собственного вектора неразложимой неотрицательной матрицы.// Журналвычислительной математики и мат. физики -1987., т. 27 № 11, с. 1603 - 1613.

24. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.

25. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.- 655с.

26. Черемных Ю.Н. Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных моделей. М.:1. Наука, 1982. 177 с.

27. Черемных Ю.Н. Вопросы качественного исследования решений динамических моделей экономики. М.: Наука, 1971.

28. Черемных Ю.Н. Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики. -М.: Наука, 1975. 183 с.

29. Wen, Zhang Moucheng. Some characterizations of a class of M-matrices. Dogbei shuxue = Northeast Math. J., t.11, №4, 1995, c. 430 436.148

30. Sonis M., Hewings G.J.D. Coefficients Change Input Output Models: Theory and Applications // Economic Systems Research, vol. 4, № 2, 1992.

31. Sonis M., Hewings G.J.D., Lee J. K. Interpreting Spatial Economic Structure and Spatial Multipliers: Three Perspectives // Geographical Analysis, vol. 26, № 2, 1994.