Методы оценки точности показателей чувствительности Соболя на основе метамоделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Панин Иван Игоревич

• Панин Иван Игоревич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Панин Иван Игоревич

Введение

Глава 1. Показатели чувствительности Соболя

1.1. Введение

1.2. Постановка задачи глобального анализа чувствительности и метод

Соболя

1.2.1. ЯГЕ-метод

1.3. Анализ чувствительности на основе метамоделей

1.4. Построение разложения полиномиального хаоса

1.4.1. Модель наблюдений

1.4.2. Построение аппроксимации

Глава 2. Погрешность оценок показателей Соболя

2.1. Основные соотношения

2.2. Метод контроля качества показателей Соболя

2.3. Достижимость полученных границ

2.4. Доказательства

2.4.1. Доказательство Теоремы

2.4.2. Доказательство Следствия

2.4.3. Доказательство Следствия

2.4.4. Доказательство Теоремы

2.4.5. Доказательство Теоремы

Глава 3. Риск оценок показателей Соболя

3.1. Неасимптотические границы риска

3.1.1. Общие результаты

3.1.2. Метод проекций

3.1.3. Метод наименьших квадратов

3.2. Асимптотическое поведение риска

3.2.1. МНК в бесшумном случае

3.2.2. МНК в шумном случае и метод проекций

3.2.3. Показатели Соболя как квадратичные функционалы

3.3. Доказательства

3.3.1. Доказательство Теоремы

3.3.2. Доказательство Следствия

3.3.3. Доказательство Теоремы

3.3.4. Доказательство Теоремы

3.3.5. Доказательство Следствия

Глава 4. План эксперимента для анализа чувствительности

4.1. Асимптотические свойства оценок показателей Соболя

4.2. Метод планирования эксперимента

4.2.1. Предварительные замечания

4.2.2. Алгоритм последовательного планирования

4.3. Доказательства

4.3.1. Доказательство Теоремы

4.3.2. Детали оптимизации в Алгоритме

Глава 5. Численные эксперименты

5.1. Комплекс программ

5.1.1. Структура комплекса

5.1.2. Реализация предложенных алгоритмов

5.2. Погрешность оценок

5.3. Риск оценок

5.4. Метод планирования эксперимента

5.4.1. Тестовые функции

5.4.2. Тестовые конечно-элементные модели

5.4.3. Результаты

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список иллюстраций

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оценки точности показателей чувствительности Соболя на основе метамоделей»

Введение

Актуальность темы исследования. Анализ чувствительности — это важный инструмент исследования вычислительных моделей в инженерии и других областях. Он позволяет выяснить, как различные входные параметры модели влияют на ее выход и оценить такое влияние количественно; в частности, он позволяет разделить входные параметры на важные, относительно важные и незначимые [58].

Анализ чувствительности включает в себя широкий спектр методов, таких как метод Морриса, методы на основе линейной регрессии и дисперсионного анализа и другие (см. обзор Иоосса [30]). Среди всех методов анализа чувствительности мы рассматриваем показатели чувствительности Соболя, которые оценивают, какая доля выходной дисперсии модели объясняется изменчивостью ее различных входных параметров и их групп [60]. Изменчивость входных параметров модели при этом задается с помощью наперед выбранного вероятностного распределения. Преимуществом данного метода является то, что он дает возможность проводить анализ сложных нелинейных и немонотонных моделей, а его результаты легко интерпретируемы (эффективность метода в инженерии показана в работах Судрэ [68]).

Методы оценки показателей Соболя также многообразны и обычно делятся на Монте-Карло и метамодельные подходы. Первые используют анализируемую модель напрямую для численного интегрирования с применением явных формул, таких как приведенные в работах Соболя [59], Оуэна и других. Вопросы точности и сходимости Монте-Карло методов для оценки показателей Соболя хорошо изучены, и можно заключить, что такие методы просты и надежны; однако они требуют большого количества запусков анализируемой модели. Метамодельные подходы, в свою очередь, позволяют сократить необходимое количество запусков модели. Следуя им, исходную вычислительно тяжелую модель заменяют вычислительно легким приближением, называемым метамоделью (или просто аппрок-

симацией), которое строится на основе обучающей выборки и лучше подходит для расчета показателей Соболя. Для этой цели часто используют метамодели на основе разложения полиномиального1 хаоса, поскольку они позволяют получить оценку показателей Соболя в явном виде из коэффициентов разложения [67].

На сегодняшний день вопросы точности и сходимости2 метамодельных оценок показателей Соболя достаточно плохо изучены, а существующие практические способы определения их погрешности не имеют строгого теоретического обоснования. В частности, в случае метамоделей на основе разложения полиномиального хаоса не известны границы риска оценок показателей Соболя, а единственный известный метод [21] определения погрешности показателей, оцененных с помощью таких метамоделей, не обосновывается математически.

Другой круг вопросов при использовании метамодельного подхода связан с выбором плана эксперимента для построения метамодели. В настоящее время в анализе чувствительности на основе метамоделей обычно применяют методы планирования, которые стремятся в некотором смысле "равномерно" заполнить пространство входных параметров, такие как сэмплирование из распределения или на основе латинского гиперкуба, а также квазислучайные последовательности. Однако подобные методы никак не учитывают особенности метамодели и специально не адаптированы для расчета показателей Соболя. Можно было бы ожидать, что теория оптимального планирования эксперимента позволит выбирать подходящие планы для анализа чувствительности [54]. Однако ее классические методы для регрессионных моделей (А-, Д-, /-оптимальные планы и другие) связаны с максимизацией качества самой аппроксимации и напрямую не учитывают точность оценок показателей Соболя на ее основе.

Таким образом, актуальна разработка как теоретических, так и практических методов контроля качества оценок показателей Соболя при метамодельном

1 Основу данной аппроксимации составляют полиномы, ортогональные относительно распределения входных параметров модели. Использование именно полиномов не является принципиальным, вместе с тем они удобны с вычислительной точки зрения и для многих типичных распределений уже построены.

20 ростом размера обучающей выборки, используемой для построения метамодели.

подходе на основе разложения полиномиального хаоса и эффективных методов планирования эксперимента, обеспечивающих высокую точность этих оценок.

Цель данной работы заключается в создании методов контроля качества и планирования эксперимента для оценки показателей чувствительности Соболя с помощью метамоделей на основе разложения полиномиального хаоса. Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи исследования:

1. Исследовать зависимость качества произвольной аппроксимации анализируемой модели и точности оценок показателей Соболя, полученных на основе этой аппроксимации.

2. Разработать алгоритм оценки погрешности показателей Соболя, рассчитанных при помощи метамоделей на основе разложения полиномиального хаоса.

3. Выполнить теоретический анализ точности оценок показателей Соболя, полученных с помощью разложения полиномиального хаоса.

4. Разработать алгоритм построения плана эксперимента, эффективный для оценки показателей Соболя на основе разложения полиномиального хаоса.

5. Реализовать предложенные алгоритмы в виде комплекса программ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Установлено соотношение между ошибкой оценок показателей Соболя и ошибкой аппроксимации, с помощью которой эти оценки были получены. Показано, что соответствующая верхняя граница ошибки оценок показателей Соболя достижима.

2. Для метамоделей, использующих разложение полиномиального хаоса, разработан метод контроля погрешности метамодельных оценок показателей Соболя, основанный на доказанной верхней границе ошибки этих оценок.

3. Доказаны неасимптотические верхние границы риска метамодельных оценок показателей Соболя в условиях случайного плана эксперимента для ап-

проксимации на основе разложения полиномиального хаоса. Для этих границ в случае конкретных семейств многомерных ортогональных полиномов найдены скорости сходимости.

4. Найдено асимптотическое распределение оценок показателей Соболя и разработан метод последовательного планирования эксперимента, позволяющий улучшить среднюю точность этих оценок по сравнению со стандартными методами планирования.

5. С помощью разработанного программного комплекса был решен ряд инженерных задач. В частности, его применение для решения задачи анализа факторов, которые влияют на величину прогиба находящейся под действием внешней нагрузки стержневой конструкции (фермы), позволило на 10% увеличить среднюю точность оценок показателей Соболя по сравнению со стандартными методами.

Научная новизна. В работе впервые ставится и решается вопрос о соотношении между погрешностью оценок показателей Соболя и теоретической ошибкой произвольной аппроксимации, с помощью которой эти оценки были получены; что открывает новые возможности анализа точности метамодельных оценок показателей Соболя на основе произвольных типов аппроксимаций.

Исходя из полученного соотношения между погрешностью показателей и ошибкой аппроксимации, предложен прикладной метод контроля качества оценок показателей Соболя. Это соотношение также впервые позволило оценить верхние границы риска показателей Соболя на основе разложения полиномиального хаоса в условиях случайного плана эксперимента.

Кроме того, в работе предложена идея использовать теорию оптимального планирования эксперимента для регрессионных моделей для более эффективного расчета показателей Соболя. В частности, для случая полиномиального хаоса на основе критерия ^-оптимальности разработан новый метод последовательного

планирования эксперимента, эффективный для оценивания показателей чувствительности. Предложенный подход может быть распространен и на другие критерии оптимальности.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад диссертанта в опубликованные работы.

Работа [50], в которой проведен анализ точности оценок показателей Соболя, предложен метод контроля их качества и получены границы риска для них, выполнена без соавторов.

Подготовка к публикации серии работ [10, 9, 8], посвященных планированию эксперимента для анализа чувствительности, проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. В этой серии работ Е. В. Бур-наевым была предложена общая постановка задачи, общие подходы к ее решению и идеи некоторых экспериментов. Кроме того, совместно с Е. В. Бурнаевым было получено доказательство Теоремы 1 в работе [10]; остальные результаты в этой работе, включая предложенный алгоритм планирования эксперимента, принадлежат лично диссертанту. Программный код конечно-элементных вычислительных моделей для тестирования предложенного в работах [10, 9] метода планирования эксперимента был предоставлен Б. Судрэ. Разработка программного комплекса, реализующего предложенные методы, и все вычислительные эксперименты были выполнены диссертантом.

Общая методика исследования. Для решения поставленных задач в работе используются методы математической статистики, теории вероятностей, теории приближения функций, матричной алгебры и аппарат анализа Фурье.

Теоретическая и практическая значимость. С теоретической точки зрения результаты диссертации дают основу для анализа точности оценок показателей Соболя, полученных на основе различных типов аппроксимаций и с использованием различных планов эксперимента. С практической точки зрения результаты дополняют и улучшают существующие подходы для анализа чувстви-

тельности математических моделей в инженерии и других областях. Публикации повышенного уровня

1. Ivan Panin. «Risk of estimators for Sobol' sensitivity indices based on metamodels». В: Electron. J. Statist. 15.1 (2021), с. 235—281. ISSN: 1935-7524. DOI: 10 .1214/20-EJS1793. URL: https://projecteuclid.org/euclid.ejs/ 1609902190

Публикации стандартного уровня

1. Evgeny Burnaev, Ivan Panin и Bruno Sudret. «Efficient design of experiments for sensitivity analysis based on polynomial chaos expansions». В: Ann. Math. Artif. Intell. 81.1-2 (2017), с. 187—207. ISSN: 1012-2443. DOI: 10.1007/s10472-017-9542-1. URL: https://doi.org/10.1007/s10472-017-9542-1

2. Evgeny Burnaev, Ivan Panin и Bruno Sudret. «Effective Design for Sobol Indices Estimation Based on Polynomial Chaos Expansions». В: Conformal and Probabilistic Prediction with Applications. Под ред. Alexander Gammerman и др. Cham: Springer International Publishing, 2016, с. 165—184. ISBN: 978-3-319-33395-3

3. Evgeny Burnaev и Ivan Panin. «Adaptive Design of Experiments for Sobol Indices Estimation Based on Quadratic Metamodel». В: Statistical Learning and Data Sciences. Под ред. Alexander Gammerman, Vladimir Vovk и Harris Papadopoulos. Cham: Springer International Publishing, 2015, с. 86—95. ISBN: 978-3-319-17091-6

Прочие публикации

1. Иван Панин и Павел Приходько. «Подходы к нахождению дисперсии оценок значимости признаков в задаче глобального анализа чувствительности». В: Сборник трудов конференции "Информационные Технологии и Системы (ИТиС)" (Петрозаводск, Россия). ИППИ РАН. 2012, с. 173—178. ISBN:

978-5-901158-19-7. URL: http : //www . itas2012 . iitp . ru/pdf/1569602539 . pdf

Доклады на конференциях и семинарах

1. 5th International Symposium on Conformal and Probabilistic Prediction with Applications (2016, Мадрид, Испания);

2. 3rd International Symposium on Statistical Learning and Data Sciences (2015, Эгем, Великобритания);

3. 37-ая конференция-школа молодых ученых и специалистов "Информационные технологии и системы" (2013, Калининград, Россия);

4. 55-ая научная конференции МФТИ (2012, Долгопрудный, Россия);

5. 35-ая конференция молодых ученых и специалистов "Информационные технологии и системы" (2012, Петрозаводск, Россия);

6. Семинар по структурному обучению ИППИ РАН (2019, Москва, Россия).

Глава 1

Показатели чувствительности Соболя

В этой главе рассматривается постановка задачи глобального анализа чувствительности, дан пример подобной задачи из инженерии и описан подход к ее решению с использованием показателей чувствительности Соболя. Кроме того, рассмотрен способ расчета показателей Соболя с помощью метамоделей, основанных на разложении полиномиального хаоса.

1.1. Введение

Распространение вычислительных моделей и рост их сложности приводит к необходимости специальных методов для их анализа. Являясь важным инструментом исследования вычислительных моделей в инженерии и других областях, анализ чувствительности позволяет выяснить, как различные входные параметры модели влияют на ее выход и оценить такое влияние количественно [58]. Он позволяет лучше понять поведение вычислительных моделей и, в частности, позволяет разделить все входные параметры на важные (значимые), относительно важные и неважные (несущественные). Важные параметры, то есть параметры, изменчивость которых значительно влияет на выход модели, могут нуждаться в усиленном контроле со стороны экспериментатора. С другой стороны, поскольку сложные вычислительные модели часто страдают от чрезмерной параметризации, то исключая неважные параметры, можно улучшить качество этих моделей и снизить вычислительные затраты [27].

По своей сути анализ чувствительности имеет дело с изменчивостью отклика модели, вызванной изменчивостью ее входных параметров, значения которых обычно могут быть заданы экспериментатором. Часто выделяют глобальный анализ чувствительности и локальный. Их отличие состоит в том, что в первом случае акцент делается на изменчивости входных параметров модели в некото-

ром диапазоне, а не в узкой окрестности.

Анализ чувствительности включает широкий набор подходов: метод Морриса [17], методы на основе линейной регрессии и дисперсионного анализа и другие (см. обзоры [30, 72]). Среди всех методов анализа чувствительности мы рассматриваем показатели чувствительности Соболя, которые связаны с оценкой доли выходной дисперсии модели, объясняемой изменчивостью ее различных входных параметров и их групп [60]. При этом изменчивость входных параметров модели задается экспериментатором с помощью некоторого выбранного a priori вероятностного распределения с независимыми компонентами. Данный метод позволяет проводить анализ сложных нелинейных и немонотонных моделей, а его результаты легко интерпретируемы и могут быть использованы в математическом моделировании, при решении задач оптимизации и в других областях [58].

Подходы к оценке показателей Соболя обычно делят на Монте-Карло и ме-тамодельные. Первые используют анализируемую модель напрямую для численного интегрирования с применением явных формул, таких как приведенные в работах Соболя1 [59], Тиссо [70], Кучеренко [36], Мышецкой [61], Оуэна [49] и других. Точность и сходимость Монте-Карло методов для оценки показателей Соболя достаточно хорошо изучена [19, 24, 57, 70]. Такие методы относительно просты и надежны, однако они требуют большого количества запусков анализируемой модели для точной оценки показателей Соболя, что делает их использование нецелесообразным для ряда приложений с вычислительно трудными моделями [75].

Метамодельный подход, в свою очередь, позволяет сократить необходимое количество запусков анализируемой модели [30]. Следуя ему, мы заменяем исходную вычислительно тяжелую модель вычислительно легким приближением, называемым метамоделью (суррогатной моделью или просто аппроксимацией), которое лучше подходит для расчета показателей Соболя. Для этой цели обычно используют метамодели на основе разложения полиномиального хаоса [67], гаус-совских процессов [42], локальных полиномов [18] и другие. При этом особенно

хСм. подробнее в Разделе 1.2.1.

часто встречаются метамодели на основе разложения полиномиального хаоса, основу которых составляют полиномы, ортогональные относительно заданного распределения входных параметров анализируемой модели. Такие метамодели особенно удобны тем, что позволяют получить оценку показателей Соболя в явном виде из коэффициентов разложения [67], и именно их мы будем в основном рассматривать.

При использовании метамодельного подхода мы сталкиваемся с вопросом качества полученных результатов: можно ли гарантировать близость истинных показателей Соболя и их оценок, и как измерить эту близость на практике? Хотя метамодельный подход может быть более эффективным, его погрешность и в теоретическом, и в практическом смысле сложнее анализировать по сравнению с Монте-Карло методами. Дело в том, что точность даже самых "простых" статистик (не говоря уже о показателях Соболя), полученных на основе метамоделей, может иметь сложную нелинейную зависимость от структуры метамодели и ее качества.

Вероятно поэтому, существующие практические методы оценки погрешности показателей Соболя в метамодельном подходе не имеют строгого теоретического обоснования, а носят скорее эмпирический характер. Так, в работе Дюбраи [21] для показателей Соболя, рассчитанных на основе разложения полиномиального хаоса, строятся доверительные интервалы с помощью техники бутстрэпа; однако смещение (bias) самой метамодели в расчет не принимается. Отметим, что это единственный известный нам метод оценки погрешности показателей Соболя для данного типа аппроксимации. В другой работе [42] предлагается аппроксимировать исходную модель метамоделью на основе гауссовских процессов и получить вероятностное распределение оценок показателей Соболя путем численного интегрирования реализаций гауссовского процесса; при этом корректность метода не обосновывается математически. Согласно еще одному методу [31], погрешность оцененного показателя Соболя на практике может быть получена как приблизительное решение некоторой задачи многомерной оптимизации, вытекающей из

анализа изменчивости Монте-Карло оценки этого показателя, если в каждой точке для метамодели известны верхние границы ее ошибки2. Некоторое обобщение предыдущего подхода для метамодели на основе гауссовских процессов описано в работе [39].

Теоретические вопросы точности оценок показателей Соболя в метамодель-ном подходе тоже достаточно плохо разработаны. В частности, для таких оценок неизвестны границы риска при оценивании с помощью разложения полиномиального хаоса. Наиболее близкий теоретический результат такого типа получен для оценок показателей Соболя на основе непараметрического оценивания условных моментов с применением ядерной регрессии Надарая-Ватсона [63] либо вейвлет-анализа [12]; эти работы используют связь показателей Соболя и квадратичных функционалов3, установленную Да Вейга [19].

Другой вопрос, возникающий при использовании метамодельного подхода для оценки показателей Соболя, связан с планированием эксперимента. Для построения метамодели нужна обучающая выборка, состоящая из плана эксперимента и откликов вычислительной модели. На сегодняшний день в анализе чувствительности на основе метамоделей обычно применяются методы планирования эксперимента, которые стремятся в некотором смысле "равномерно" заполнить пространство входных параметров. Сюда относится, например, обычное сэмплирование из распределения и сэмплирование на основе латинского гиперкуба [43], а также квазислучайные последовательности [62]. Однако подобные методы планирования никак не учитывают особенности метамодели и специально не адаптированы для расчета показателей Соболя. Отметим, что единственный известный нам адаптивный метод планирования для оценки показателей Соболя связан не с выбором точек плана эксперимента, а с корректировкой его размера на основе построенных для показателей чувствительности доверительных интервалов [21].

С другой стороны, помочь с выбором подходящих планов для анализа чув-

2См. обсуждение в Разделе 2.1.

3См. Раздел 3.2.3.

ствительности могла бы теория оптимального планирования эксперимента [54]. Однако ее классические методы для регрессионных моделей, такие как А-, Д-, /-оптимальные планы, связаны с максимизацией качества самой аппроксимации и с минимизацией дисперсии оценок коэффициентов регрессионной модели; и напрямую не учитывают точность оценок показателей Соболя на ее основе.

Таким образом, в данной работе мы обращаемся к следующим вопросам, касающимся оценок показателей Соболя на основе разложения полиномиального хаоса:

• Как измерить точность таких оценок на практике?

• Какова теоретическая точность этих оценок?

• Как улучшить эту точность с помощью выбора подходящего плана эксперимента?

1.2. Постановка задачи глобального анализа чувствительности и метод Соболя

Рассмотрим функцию у = / (х), которая соответствует некоторой физической модели. Вектор входных переменных х = (х1,...,хл)т £ X С ^ — это параметры модели (факторы), лежащие в факторном пространстве; а выходная переменная у £ К1 — отклик модели. Эта функция для нас представляет собой "черный ящик", изучать который можно, подавая ему на вход различные наборы параметров и анализируя отклик. При этом предполагается, что расчет отклика модели может занимать продолжительное время.

Неформальная постановка задачи глобального анализа чувствительности заключается в том, чтобы при заданной каким-то образом изменчивости входа модели количественно оценить "значимость" различных входных параметров модели и их групп; и, таким образом, ранжировать их по степени влияния на отклик модели, выделив важные и несущественные параметры. Отметим, что в отличие

от анализа локальной чувствительности, в данной постановке делается акцент на изменчивости входных параметров в широком диапазоне, а не в узкой окрестности, как, например, в случае методов, основанных на частных производных в одной точке пространства параметров [58].

Один из способов формализации понятия "значимости" параметров связан с методом И. М. Соболя [60]. Предположим, что на множестве X задана некоторая известная a priori вероятностная мера которая является произведением мер: /1 — где ^ — вероятностная мера на X С R, а множество X предста-

вимо в виде декартова произведения х ... х Xd. Соответствующее веро-

ятностное распределение описывает неопределенность и/или изменчивость входных параметров, которая моделируется случайным вектором x — (xi,...,Xd)T с независимыми компонентами. Тогда выход модели у — f (x) тоже становится случайной величиной.

Пример 1. Рассмотрим для примера вычислительную модель из работ Судрэ [6] и Ли [40], описывающую прогиб стержневой конструкции (фермы) под действием приложенных к ней сил. Конструкция состоит из 23 стержней, причем все горизонтальные стержни имеют одинаковую площадь поперечного сечения Ai и одинаковый модуль Юнга Ei, а все диагональные — А2 и Е2 соответственно (см. Рис. 1.1).

Pi Рг Рз Р4 Р5 Рб

1 24м 1

Рис. 1.1: Схема стержневой конструкции из [6, 40].

Выход модели — прогиб в середине пролета конструкции У\, который яв-

ляется функцией 10 переменных: нагрузок Р1 - Р6 и параметров материала А1; А'1, Е\, Е2. Необходимо оценить "значимость" этих переменных с точки зрения влияния на прогиб конструкции. Неопределенность входных переменных моделируется 10 независимыми случайными величинами с непрерывными равномерными распределениями:

• Е1} Е2 (Па) - и(1.68 х 1011, 2.52 х 1011);

• А1 (м2) - и(1.6 х 10-3, 2.4 х 10-3);

• А2 (м2) - и(0.8 х 10-3, 1.2 х 10-3);

• Р1 - Ре (Н) - и(3.5 х 104, 6.5 х 104).

Предположим, что функция / лежит в гильбертовом пространстве Ь2(Х, д) вещественнозначных функций4 на X, квадратично-интегрируемых по мере д. Тогда для нее существует следующее единственное разложение Соболя-Хёфдин-га [60, 71]

а

/(х) = /с + ^ + ^ (х^ х3) + ... + fl...d(Xl, ...,хл)

г=1 1<г<о<й (1 1)

= }и(хм)

ис{1,...,а}

с 2^ членами возрастающей размерности, которые удовлетворяют условию

Ш = ¡к(хи)(1цг(хг) = 0 для У е Ы, (1.2)

«/ XX^

где и С {1, 2,...,^} — подмножество индексов входных переменных; хц — вектор с компонентами (хг, % е Ы)Т, а /0 = /с = (х)]. Слагаемые этого разложения ортогональны:

[¡и (хи )/у (ху)] =0, если Ы = V, где Ы, V С {1, 2)...)й})

4Точнее, классов эквивалентности функций, которые совпадают почти всюду на X по мере

откуда можно получить следующее разложение дисперсии отклика модели:

V„[/(x)]— £ V,[fu (xu)]. (1.3)

uc{i,..,d}

В этом выражении VM[fu (xu)] — это вклад слагаемого fu (xu) в дисперсию отклика модели, называемый частичной дисперсией (partial variance).

Предполагая VM[ f] > 0, введем показатель чувствительности Соболя (ПЧ), также известный как индекс Соболя.

Определение 1. Показатель Соболя набора xu, U С {1,...,d} входных переменных функции определяется как

с V[ h (xu)] ( ,

— . (ы)

Отметим, что Su Е [0,1] и Su — 1.

Обозначим Ци = ®teufM, Eu = EMW, Vu = Vm и = {1,... ,d}\U. Тогда для U — {¿} показатель Соболя (1.4) можно представить как

VjE„ Л /(x)b]l , х

S% — ,L V ^ *]J , г —1,...,d, (1.5)

а для U — {ij} как

Vn Ц[ f(x)\xi,xj]!

Sij — J^ -Si-Sj, i,j — 1,...,d, г — j. (1.6)

Определим также величину, которая характеризует "полный" вклад группы переменных в изменчивость модели — полный показатель чувствительности (также известный как показатель полного эффекта и total-индекс).

Определение 2. Полный показатель чувствительности набора xu, U С {1, . . . , d} входных переменных функции определяется как

ти — —-vTn-. (17)

unv=0 J

Отметим, что ТЦ Е [0,1] и T{i..,d} = X^w^w = 1. Формально доопределим S0 = Т0 = 0.

Таким образом, введенные выше показатели чувствительности предлагают один из возможных путей, позволяющих формализовать и решить задачу глобального анализа чувствительности .

1.2.1. SPF-метод

Кратко остановимся на Монте-Карло методах расчета введенных показателей чувствительности [59, 49].

Рассмотрим в качестве примера Sobol pick freeze (SPF) метод [24]. Пусть две независимые выборки Т>, V из распределения д состоят из п примеров. Для выбранного Ц Е {{1},..., {d}} определим

Vй = {хЦ = (жЦ,.. .,хЦ )т: жЦ = хг для г Е Ц; жЦ = х'г для гЕ Ы; г = 1,...,d}.

Y =(У1,...,УП)Т = f (V), ¥Ц = (уЦ.,УЦ )Т = f (&),

где х = (х\,..., Xd)T Е V, х' = (х[,..., x'd)T Е V. Тогда SPF-оценка показателя Соболя [24] определяется6 как

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панин Иван Игоревич, 2024 год

Список литературы

[1] Jian An и Art Owen. «Quasi-regression». В: т. 17. 4. Complexity of multivariate problems (Kowloon, 1999). 2001, с. 588—607. DOI: 10.1006/jcom. 2001.0588. URL: https://doi.org/10.1006/jcom.2001.0588.

[2] G. E. B. Archer, A. Saltelli и I. M. Sobol. «Sensitivity measures, ANOVA-like Techniques and the use of bootstrap». В: Journal of Statistical Computation and Simulation 58.2 (1997), с. 99—120. DOI: 10.1080/00949659708811825. URL: https://doi.org/10.1080/00949659708811825.

[3] Benedikt Bauer и др. «Nonparametric estimation of a function from noiseless observations at random points». В: J. Multivariate Anal. 160 (2017), с. 93— 104. ISSN: 0047-259X. DOI: 10 . 1016/j . jmva . 2017 . 05 . 010. URL: https : //doi.org/10.1016/j.jmva.2017.05.010.

[4] P. J. Bickel и Y. Ritov. «Estimating Integrated Squared Density Derivatives: Sharp Best Order of Convergence Estimates». В: Sankhya: The Indian Journal of Statistics, Senes A (1961-2002) 50.3 (1988), с. 381—393. ISSN: 0581572X. URL: http://www.jstor.org/stable/25050710 (дата обр. 25.06.2022).

[5] Lucien Birge и Pascal Massart. «Estimation of Integral Functionals of a Density». В: The Annals of Statistics 23.1 (1995), с. 11—29. DOI: 10 . 1214 / aos / 1176324452. URL: https://doi.org/10.1214/aos/1176324452.

[6] Geraud Blatman и Bruno Sudret. «An adaptive algorithm to build up sparse polynomial chaos expansions for stochastic finite element analysis». В: Probabilistic Engineering Mechanics 25 (апр. 2010), с. 183—197. DOI: 10.1016/ j.probengmech.2009.10.003.

[7] Nikolay Bliznyuk и др. «Bayesian Calibration and Uncertainty Analysis for Computationally Expensive Models Using Optimization and Radial Basis Function Approximation». В: Journal of Computational and Graphical Statistics 17.2 (2008), с. 270—294. DOI: 10. 1198/106186008X320681. eprint: https: //doi.org/10.1198/106186008X320681. URL: https://doi.org/10.1198/ 106186008X320681.

[8] Evgeny Burnaev и Ivan Panin. «Adaptive Design of Experiments for Sobol Indices Estimation Based on Quadratic Metamodel». В: Statistical Learning and Data Sciences. Под ред. Alexander Gammerman, Vladimir Vovk и Harris

Papadopoulos. Cham: Springer International Publishing, 2015, с. 86—95. ISBN: 978-3-319-17091-6.

[9] Evgeny Burnaev, Ivan Panin и Bruno Sudret. «Effective Design for Sobol Indices Estimation Based on Polynomial Chaos Expansions». В: Conformal and Probabilistic Prediction with Applications. Под ред. Alexander Gammerman и др. Cham: Springer International Publishing, 2016, с. 165—184. ISBN: 978-3-319-33395-3.

[10] Evgeny Burnaev, Ivan Panin и Bruno Sudret. «Efficient design of experiments for sensitivity analysis based on polynomial chaos expansions». В: Ann. Math. Artif. Intell. 81.1-2 (2017), с. 187—207. ISSN: 1012-2443. DOI: 10.1007/s10472-017-9542-1. URL: https://doi.org/10.1007/s10472-017-9542-1.

[11] T. Tony Cai и Mark G. Low. «Optimal adaptive estimation of a quadratic functional». В: The Annals of Statistics 34.5 (2006), с. 2298—2325. DOI: 10 . 1214 / 009053606000000849. URL: https : / / doi . org / 10 . 1214 / 009053606000000849.

[12] Gwenaelle Castellan, Anthony Cousien и Viet Chi Tran. «Non-parametric adaptive estimation of order 1 Sobol indices in stochastic models, with an application to Epidemiology». В: Electronic Journal of Statistics 14.1 (2020), с. 50—81. DOI: 10. 1214/19-EJS1627. URL: https://doi.org/10.1214/19-EJS1627.

[13] Kathryn Chaloner и Isabella Verdinelli. «Bayesian Experimental Design: A Review». В: Statistical Science 10.3 (1995), с. 273—304. DOI: 10. 1214/ss/ 1177009939. URL: https://doi.org/10.1214/ss/1177009939.

[14] Abdellah Chkifa и др. «Discrete least squares polynomial approximation with random evaluations—application to parametric and stochastic elliptic PDEs». В: ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 49.3 (2015), с. 815—837. ISSN: 0764-583X. DOI: 10 . 1051/m2an/2014050. URL: https://doi.org/10.1051/m2an/ 2014050.

[15] Albert Cohen, Mark A. Davenport и Dany Leviatan. «On the stability and accuracy of least squares approximations». В: Found. Comput. Math. 13.5 (2013), с. 819—834. ISSN: 1615-3375. DOI: 10 . 1007 / s10208 - 013 - 9142 - 3. URL: https://doi.org/10.1007/s10208-013-9142-3.

[16] R. I. Cukier, H. B. Levine и K. E. Shuler. «Nonlinear sensitivity analysis of multiparameter model systems». В: J. Comput. Phys. 26.1 (1978), с. 1—42. ISSN: 0021-9991. DOI: 10.1016/0021-9991(78)90097-9. URL: https://doi.org/ 10.1016/0021-9991(78)90097-9.

[17] Max D. Morris. «Factorial Sampling Plans for Preliminary Computational Experiments». В: Technometrics 33 (май 1991), с. 161—174. DOI: 10.1080/ 00401706.1991.10484804.

[18] Sebastien Da Veiga, Francois Wahl и Fabrice Gamboa. «Local polynomial estimation for sensitivity analysis on models with correlated inputs». В: Technometrics 51.4 (2009), с. 452—463. ISSN: 0040-1706. DOI: 10. 1198/TECH. 2009.08124. URL: https://doi.org/10.1198/TECH.2009.08124.

[19] Sebastien Da Veiga и Fabrice Gamboa. «Efficient estimation of sensitivity indices». В: J. Nonparametr. Stat. 25.3 (2013), с. 573—595. ISSN: 1048-5252. DOI: 10 . 1080/10485252 . 2013 . 784762. URL: https : //doi . org/10 . 1080/ 10485252.2013.784762.

[20] David L Donoho и Michael Nussbaum. «Minimax quadratic estimation of a quadratic functional». В: Journal of Complexity 6.3 (1990), с. 290—323. ISSN: 0885-064X. DOI: https : / / doi . org / 10 . 1016 / 0885 - 064X(90 ) 90025 -9. URL: https : / / www . sciencedirect . com / science / article / pii / 0885064X90900259.

[21] S. Dubreuil и др. «Construction of bootstrap confidence intervals on sensitivity indices computed by polynomial chaos expansion». В: Reliability Engineering & System Safety 121 (2014), с. 263—275. ISSN: 0951-8320. DOI: https ://doi . org/10.1016/j.ress.2013.09.011. URL: http://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0951832013002688.

[22] Bradley Efron и др. «Least angle regression». В: Ann. Statist. 32.2 (2004). With discussion, and a rejoinder by the authors, с. 407—499. ISSN: 0090-5364. DOI: 10 . 1214/009053604000000067. URL: https : //doi . org/10 . 1214/ 009053604000000067.

[23] Alexander Forrester, Andras Sobester и Andy Keane. Engineering design via surrogate modelling: a practical guide. Wiley, июль 2008. URL: https : / / eprints.soton.ac.uk/64699/.

[24] F. Gamboa h gp. «Statistical inference for Sobol' pick-freeze Monte Carlo method». B: Statistics 50.4 (2016), c. 881—902. ISSN: 0233-1888. DOI: 10.1080/ 02331888.2015.1105803. URL: https://doi.org/10.1080/02331888.2015. 1105803.

[25] Laszlo Gyorfi h gp. A distribution-free theory of nonparametric regression. Springer Series in Statistics. Springer-Verlag, New York, 2002, c. xvi+647. ISBN: 0-387-95441-4. DOI: 10 . 1007/b97848. URL: https : //doi . org/10 . 1007/ b97848.

[26] Joseph L. Hart h Pierre A. Gremaud. «Robustness of the Sobol' indices to marginal distribution uncertainty». B: SIAM/ASA J. Uncertain. Quantif. 7.4 (2019), c. 1224—1244. DOI: 10.1137/18M123387X. URL: https://doi.org/10. 1137/18M123387X.

[27] Trevor Hastie, Robert Tibshirani h Jerome Friedman. The elements of statistical learning. Second. Springer Series in Statistics. Data mining, inference, and prediction. Springer, New York, 2009, c. xxii+745. ISBN: 978-0-387-84857-0. DOI: 10.1007/978-0-387-84858-7. URL: https://doi.org/10.1007/978-0-387-84858-7.

[28] Jianhua Z. Huang. «Projection estimation in multiple regression with application to functional ANOVA models». B: Ann. Statist. 26.1 (1998), c. 242—272. ISSN: 0090-5364. DOI: 10.1214/aos/1030563984. URL: https://doi.org/10.1214/ aos/1030563984.

[29] Li-Shan Huang h Jianqing Fan. «Nonparametric estimation of quadratic regression functionals». B: Bernoulli 5.5 (1999), c. 927—949. DOI: bj / 1171290405. URL: https://doi.org/.

[30] Bertrand Iooss h Paul Lemaitre. «A Review on Global Sensitivity Analysis Methods». B: Operations Research/ Computer Science Interfaces Series 59 (anp. 2014). DOI: 10.1007/978-1-4899-7547-8_5.

[31] Alexandre Janon, Maelle Nodet h Clementine Prieur. «Uncertainties assessment in global sensitivity indices estimation from metamodels». B: Int. J. Uncertain. Quantif. 4.1 (2014), c. 21—36. ISSN: 2152-5080. DOI: 10 . 1615 / Int . J . UncertaintyQuantification . 2012004291. URL: https : / / doi . org / 10 . 1615/Int.J.UncertaintyQuantification.2012004291.

[32] Michael Kohler. «Optimal global rates of convergence for noiseless regression estimation problems with adaptively chosen design». B: J. Multivariate Anal. 132 (2014), c. 197—208. ISSN: 0047-259X. DOI: 10.1016/j.jmva.2014.08.008. URL: https://doi.org/10.1016/j.jmva.2014.08.008.

[33] Michael Kohler h Adam KrzyZak. «Optimal global rates of convergence for interpolation problems with random design». B: Statist. Probab. Lett. 83.8 (2013), c. 1871—1879. ISSN: 0167-7152. DOI: 10 . 1016/j . spl. 2013 . 04 . 018. URL: https://doi.org/10.1016/j.spl.2013.04.018.

[34] Katerina Konakli h Bruno Sudret. «Global sensitivity analysis using low-rank tensor approximations». B: Rel. Eng. & Sys. Safety 156 (2016), c. 64—83. DOI: 10.1016/j.ress.2016.07.012. URL: https://doi.org/10.1016/j.ress. 2016.07.012.

[35] Katerina Konakli h Bruno Sudret. «UNCERTAINTY QUANTIFICATION IN HIGH-DIMENSIONAL SPACES WITH LOW-RANK TENSOR APPROXIMATIONS». B: hhb. 2015, c. 53—64. DOI: 10 . 7712 / 120215 . 4252.507.

[36] Sergei S. Kucherenko h gp. «The identification of model effective dimensions using global sensitivity analysis». B: Rel. Eng. & Sys. Safety 96 (2011), c. 440— 449.

[37] B. Laurent h P. Massart. «Adaptive estimation of a quadratic functional by model selection». B: Ann. Statist. 28.5 (2000), c. 1302—1338. ISSN: 0090-5364. DOI: 10 . 1214/aos/1015957395. URL: https : //doi . org/10 . 1214/aos/ 1015957395.

[38] Beatrice Laurent. «Efficient estimation of integral functionals of a density». B: The Annals of Statistics 24.2 (1996), c. 659—681. DOI: 10. 1214/aos/ 1032894458. URL: https://doi.org/10.1214/aos/1032894458.

[39] Loic Le Gratiet, Claire Cannamela h Bertrand Iooss. «A Bayesian approach for global sensitivity analysis of (multifidelity) computer codes». B: SIAM/ASA J. Uncertain. Quantif. 2.1 (2014), c. 336—363. DOI: 10.1137/130926869. URL: https://doi.org/10.1137/130926869.

[40] Sang Hoon Lee и Byung Man Kwak. «Response surface augmented moment method for efficient reliability analysis». В: Structural Safety 28.3 (2006), с. 261— 272. ISSN: 0167-4730. DOI: https : //doi . org/10 . 1016/j . strusafe . 2005 . 08 . 003. URL: https : //www . sciencedirect . com/science/article/pii/ S0167473005000421.

[41] Chun-Ching Li и A. Kiureghian. «OPTIMAL DISCRETIZATION OF RANDOM FIELDS». В: Journal of Engineering Mechanics-asce 119 (1993), с. 1136—1154.

[42] Amandine Marrel и др. «Calculations of Sobol' indices for the Gaussian process metamodel». В: Reliability Engineering & System Safety 94 (март 2009), с. 742— 751. DOI: 10.1016/j.ress.2008.07.008.

[43] M. D. McKay, R. J. Beckman и W. J. Conover. «A Comparison of Three Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer Code». В: Technometrics 21.2 (1979), с. 239—245. ISSN: 00401706. URL: http://www.jstor.org/stable/1268522.

[44] Anouar Meynaoui, Amandine Marrel и Beatrice Laurent. New statistical methodology for second level global sensitivity analysis. Preprint available at https://arxiv.org/abs/1902.07030. 2019. arXiv: 1902.07030 [math.ST].

[45] Alan J. Miller и Nam-Ky Nguyen. «Algorithm AS 295: A Fedorov Exchange Algorithm for D-Optimal Design». В: Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics) 43.4 (1994), с. 669—677. ISSN: 00359254, 14679876. URL: http://www.jstor.org/stable/2986264.

[46] Hyejung Moon, Angela M. Dean и Thomas J. Santner. «Two-Stage Sensitivity-Based Group Screening in Computer Experiments». В: Technometrics 54.4 (2012), с. 376—387. DOI: 10 . 1080/00401706 . 2012 . 725994. eprint: https : //doi . org/10 . 1080/00401706 . 2012 . 725994. URL: https : //doi . org/10 . 1080/00401706.2012.725994.

[47] Paul Nevai. «Geza Freud, orthogonal polynomials and Christoffel functions. A case study». В: J. Approx. Theory 48.1 (1986), с. 3—167. ISSN: 0021-9045. DOI: 10.1016/0021-9045(86)90016-X. URL: https ://doi.org/10.1016/0021-9045(86)90016-X.

[48] Gary W. Oehlert. «A note on the delta method». B: Amer. Statist. 46.1 (1992), c. 27—29. ISSN: 0003-1305. DOI: 10.2307/2684406. URL: https://doi.org/ 10.2307/2684406.

[49] Art B. Owen. «Better estimation of small Sobol' sensitivity indices». B: ACM Trans. Model. Comput. Simul. 23.2 (2013), Art. 11, 17. ISSN: 1049-3301. DOI: 10 . 1145/2457459 . 2457460. URL: https : / /doi . org/ 10 . 1145/2457459 . 2457460.

[50] Ivan Panin. «Risk of estimators for Sobol' sensitivity indices based on metamodels». B: Electron. J. Statist. 15.1 (2021), c. 235—281. ISSN: 1935-7524. DOI: 10.1214/20-EJS1793. URL: https://projecteuclid.org/euclid.ejs/ 1609902190.

[51] W. Popinski. «Least-squares trigonometric regression estimation». B: Appl. Math. (Warsaw) 26.2 (1999), c. 121—131. ISSN: 1233-7234. DOI: 10.4064/am-26-2-121-131. URL: https://doi.org/10.4064/am-26-2-121-131.

[52] L. Pronzato. «One-step ahead adaptive D-optimal design on a finite design space is asymptotically optimal». B: Metrika 71 (2010), c. 219—238.

[53] Luc Pronzato. «Sensitivity analysis via Karhunen-Loeve expansion of a random field model: Estimation of Sobol' indices and experimental design». B: Reliability Engineering & System Safety (shb. 2018). DOI: 10.1016/j.ress.2018.01.010.

[54] Luc Pronzato h Andrej Pazman. Design of experiments in nonlinear models. T. 212. Lecture Notes in Statistics. Asymptotic normality, optimality criteria and small-sample properties. Springer, New York, 2013, c. xvi+399. ISBN: 978-1-4614-6362-7; 978-1-4614-6363-4. DOI: 10.1007/978- 1-4614-6363-4. URL: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6363-4.

[55] Ewaryst Rafajlowicz. «Nonparametric-least squares estimation of a regression function». B: Statistics 19.3 (1988), c. 349—358. ISSN: 0233-1888. DOI: 10.1080/ 02331888808802107. URL: https://doi.org/10.1080/02331888808802107.

[56] Olivier Roustant, Fabrice Gamboa h Bertrand Iooss. «Parseval inequalities and lower bounds for variance-based sensitivity indices». B: Electron. J. Stat. 14.1 (2020), c. 386—412. DOI: 10. 1214/19-EJS1673. URL: https://doi.org/10. 1214/19-EJS1673.

[57] Jimenez Rugama, Lluis Antoni и Gilquin Laurent. «Reliable error estimation for Sobol' indices». В: Stat. Comput. 28.4 (2018), с. 725—738. ISSN: 0960-3174. DOI: 10.1007/s11222-017-9759-1. URL: https://doi.org/10.1007/s11222-017-9759-1.

[58] Andrea Saltelli и др. Global sensitivity analysis. The primer. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2008, с. xii+292. ISBN: 978-0-470-05997-5.

[59] I. M. Sobol'. «Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates». В: т. 55. 1-3. The Second IMACS Seminar on Monte Carlo Methods (Varna, 1999). 2001, с. 271—280. DOI: 10. 1016/S0378-4754(00)00270-6. URL: https://doi.org/10.1016/S0378-4754(00)00270-6.

[60] I. M. Sobol'. «Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models». Англ. В: Math. Modeling Comput. Experiment 1.4 (1993), 407—414 (1995). ISSN: 1061-7590.

[61] I. M. Sobol' и E. E. Myshetskaya. «Monte Carlo estimators for small sensitivity indices». В: Monte Carlo Methods Appl. 13.5-6 (2007), с. 455—465. ISSN: 0929-9629. DOI: 10 . 1515/mcma . 2007 . 023. URL: https : / /doi . org/ 10 . 1515/mcma.2007.023.

[62] I.M Sobol'. «On the distribution of points in a cube and the approximate evaluation of integrals». В: USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics 7.4 (1967), с. 86—112. ISSN: 0041-5553. DOI: https : / / doi . org / 10 . 1016 / 0041 - 5553 (67 ) 90144 - 9. URL: https : //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0041555367901449.

[63] Maikol Solis. «Conditional covariance estimation for dimension reduction and sensivity analysis». PhD thesis. Universite de Toulouse, Universite Toulouse IIIPaul Sabatier, 2014.

[64] Vladimir Spokoiny и Thorsten Dickhaus. Basics of modern mathematical statistics. Springer Texts in Statistics. Springer, Heidelberg, 2015, с. xviii+296. ISBN: 978-3-642-39908-4; 978-3-642-39909-1. DOI: 10.1007/978-3-642-399091. URL: https://doi.org/10.1007/978-3-642-39909-1.

[65] Charles J. Stone. «Optimal global rates of convergence for nonparametric regression». В: Ann. Statist. 10.4 (1982), с. 1040—1053. ISSN: 0090-5364. URL: http://links.jstor.org/sici?sici = 0090-5364(198212) 10:4%3C1040: 0GR0CF%3E2.0.C0;2-2&origin=MSN.

[66] Bruno Sudret. «Global sensitivity analysis using polynomial chaos expansions». В: Reliability Engineering & System Safety 93.7 (2008). Bayesian Networks in Dependability, с. 964—979. ISSN: 0951-8320. DOI: https://doi.org/10.1016/ j . ress . 2007 . 04 . 002. URL: http : //www . sciencedirect . com/science/ article/pii/S0951832007001329.

[67] Bruno Sudret. «Polynomial chaos expansions and stochastic finite element methods». В: Risk and Reliability in Geotechnical Engineering. Под ред. Jianye Ching Kok-Kwang Phoon. CRC Press, 2015, с. 265—300. URL: https: //hal. archives-ouvertes.fr/hal-01449883.

[68] Bruno Sudret. «Uncertainty propagation and sensitivity analysis in mechanical models - Contributions to structural reliability and stochastic spectral methods». В: (янв. 2007).

[69] Stefano Tarantola, Debora Gatelli и Thierry Mara. «Random balance designs for the estimation of first order global sensitivity indices». В: Reliability Engineering & System Safety 91 (июнь 2006), с. 717—727. DOI: 10.1016/j.ress.2005.06. 003.

[70] J.-Y. Tissot и C. Prieur. «A randomized orthogonal array-based procedure for the estimation of first- and second-order Sobol' indices». В: J. Stat. Comput. Simul. 85.7 (2015), с. 1358—1381. ISSN: 0094-9655. DOI: 10.1080/00949655. 2014.971799. URL: https://doi.org/10.1080/00949655.2014.971799.

[71] A.W. van der Vaart. Asymptotic Statistics. Asymptotic Statistics. Cambridge University Press, 2000. ISBN: 9780521784504. URL: https ://books . google . ru/books?id=UEuQEM5RjWgC.

[72] Pengfei Wei, Lu Zhenzhou и Jingwen Song. «Variable importance analysis: A comprehensive review». В: Reliability Engineering & System Safety 142 (июнь 2015). DOI: 10.1016/j.ress.2015.05.018.

[73] B. L. Welch. «The Generalization of 'Student's' Problem when Several Different Population Variances are Involved». В: Biometrika 34.1/2 (1947), с. 28—35. ISSN: 00063444. URL: http://www.jstor.org/stable/2332510.

[74] B A Worley. «Deterministic uncertainty analysis». В: (дек. 1987). DOI: 10 . 2172/5534706. URL: https://www.osti.gov/biblio/5534706.

[75] Jing Yang. «Convergence and uncertainty analyses in Monte Carlo based sensitivity analysis». В: Environmental Modelling and Software 26 (2011), с. 444—457.

[76] Иван Панин и Павел Приходько. «Подходы к нахождению дисперсии оценок значимости признаков в задаче глобального анализа чувствительности». В: Сборник трудов конференции "Информационные Технологии и Системы (ИТиС)" (Петрозаводск, Россия). ИППИ РАН. 2012, с. 173—178. ISBN: 978-5-901158-19-7. URL: http : //www . itas2012 . iitp . ru/pdf/1569602539 . pdf.

Список иллюстраций

1.1 Схема стержневой конструкции из [6, 40]................ 17

1.2 Квадратичная ошибка SPF-метода при единственном запуске и усредненная................................ 21

2.1 Двумерный пример с функциями (2.13), для которых S1 = cos2 а,

§1 = cos2р, а II/- /||м >||/||м • | sin(a - $)|.............. 37

3.1 Поведение г и п~г для двух типов ПХ при N =15 регрессоров. . . 52

4.1 Последовательное планирование эксперимента для оценки показателей Соболя................................ 74

5.1 Ошибки показателей Соболя / полных показателей и их теоретические границы (2.4, 2.7, 2.8) в зависимости от размера выборки. Число регрессоров фиксировано..................... 84

5.2 g-функция Соболя. Ошибки некоторых показателей Соболя |Su — Su\ и полных показателей \Ти — Ти| и их теоретические и выборочные границы. Истинные значения показателей 51, Т2 и 512 даны на рисунке. Число регрессоров N = 91 фиксировано........... 85

5.3 Функция Ишигами. Ошибки некоторых показателей Соболя \Su — Su \ и полных показателей \Ти—Ти \ и их теоретические и выборочные границы. Истинные значения показателей 51, Т12 и 5123 даны на рисунке. Число регрессоров N = 815 фиксировано.......... 86

5.4 g-функция Соболя. Квадратичный риск оценок показателей Соболя maxw {E(Su — Su)2, E(TU — Ти)2} и компоненты границ (3.10, 3.20) в зависимости от размера выборки для разного числа регрессоров

и уровня шума............................... 88

5.5 Функция Ишигами. Квадратичный риск оценок показателей Соболя maxw {E(Su — Su)2, E(TU — Ти)2} и компоненты границ (3.10, 3.20) в зависимости от размера выборки для разного числа регрессоров

и уровня шума..............................................................89

5.6 Конечно-элементная сетка в задаче диффузии тепла из работы [35]. 99

5.7 Примеры реализаций температурного поля из работы [35]......100

5.8 Показатели Соболя параметров модели фермы............100

103

104

104

105

106

106

107

5.9 Показатели Соболя параметров модели теплопередачи {^Ц3!- . .

5.10 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. g-функция Соболя, d = 3.................................

5.11 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. Функция Иши-гами, d = 3.................................

5.12 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. Функция Environmental, d = 4............................

5.13 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. Функция Borehole, d = 8..............................

5.14 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. Функция WingWeight, d =10............................

5.15 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. Модель фермы, d =10.................................

5.16 Средняя ошибка оценок показателей Соболя и р-значение ¿-критерия Уэлча для разных планов эксперимента. Модель теплопередачи, d = 53..............................

Список таблиц

3.1 Асимптотические верхние границы квадратичного риска оценок показателей Соболя и полных показателей в зависимости от размера выборки п, размерности ё, и гладкости р................ 56

5.1 Параметры экспериментов для функций Раздела 5.4.1........ 97

5.2 Параметры экспериментов для конечно-элементных моделей..... 99