Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Молчанов, Александр Алексеевич

• Молчанов, Александр Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Молчанов, Александр Алексеевич

Введение

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В НЕСКОЛЬКИХ ОБЛАСТЯХ КОНТАКТА ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА

1.1. Задачи о взаимодействии штампов на грани упругого клина

1.1.1. Асимптотическое решение для случая относительно удаленных как друг от друга, так и от ребра клина штампов

1.1.2. Метод нелинейных граничных интегральных уравнений для случая, когда штампы расположены относительно близко от ребра клина или выходят на ребро

1.2. Задачи о взаимодействии штампов на грани упругого слоя

1.3. Выводы по главе

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ НОВИКОВА, ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПРИГРУЖЕННОЙ ВНЕ ОБЛАСТИ КОНТАКТА

2.1. Задачи Галина для пространственного упругого клина (область контакта известна)

2.1.1. Задача Галина для клина при свободной от напряжений другой грани

2.1.2. Задача Галина для пространственного упругого клина при скользящей заделке

2.2. Задачи Галина для пространственного упругого клина (область контакта известна) при различных условиях на другой грани

2.3. Выводы по главе

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ В КОНТАКТЕ С ЖЕСТКИМ ШТАМПОМ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ РАЗДЕЛА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

3.1. Контактные задачи для полосы при наличии дополнительных линий раздела граничных условий

3.1.1. Нагружение полосы при сложных смешанных условиях на другой ее грани

3.1.2. Задача о штампе на грани полосы при смешанных условиях на другой грани

3.2. Контактные задачи для слоя при наличии дополнительных линий раздела граничных условий

3.2.1. Нагружение слоя при сложных смешанных условиях на другой его грани

3.2.2. Задача о штампе на грани слоя при смешанных условиях на другой грани.

3.3. Контактная задача для трехмерного клина при разделенных по линии граничных условиях на другой грани

3.4. Выводы по главе

ГЛАВА 4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СТЕРЖНЕЙ СЛОЖНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

4.1. Обзор задач о кручении и выбор методов решения соответствующих краевых задач

4.2. Задача Сен-Венана о кручении стержня произвольного одно-связного сечения

4.2.1. Постановка задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения

4.2.2. Устойчивый численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения

4.2.3. Программная реализация численного метода решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения

4.2.4. Численные эксперименты решения задачи о кручении стержня произвольного односвязного сечения

4.3. Задача Сен-Венана о кручении стержня произвольного дву-связного сечения

4.3.1. Постановка задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной двусвязной областью сечения

4.3.2. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стержня методом конформного отображения

4.3.3. Программная реализация численного метода решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного дву-связного сечения

4.3.4. Численные эксперименты решения задачи о кручении стержня произвольного двусвязного сечения

4.4. Экспериментальное исследование стержней на кручение

4.5. Выводы по главе 4 136 Выводы по работе 137 Список литературы 139 Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругости»

Актуальность темы. Диссертация посвящена развитию и разработке методов оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанных на решении краевых задач упругости. Тема актуальна в связи с широким внедрением в машиностроении зубчатых зацеплений Новикова, а также в связи с кручением валов, осей и деталей машин.

До 1990-х годов расчет на контактную прочность зубчатых передач Новикова проводился на основе теории Герца (контактная задача для упругого полупространства). Построение аналитических функций Грина для трехмерного упругого клина позволило уточнить методику расчета зубчатых передач Новикова, учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина). Оценка напряженного состояния зубчатых передач остается актуальной, поскольку возможен контакт сразу по нескольким областям (шероховатая поверхность, передачи с двумя линиями зацепления).

В прикладной механике твердого тела по-прежнему актуальна также оценка с высокой точностью напряженного состояния стержней произвольной формы поперечного сечения при кручении, особенно для неодносвязных областей сечений. Случай многосвязного сечения стержня осложняется тем, что в соответствующей краевой задаче имеются неизвестные заранее параметры, число которых определяется порядком связности области.

С середины 80-х годов ХХ-го столетия решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями становятся в центре внимания многих ученых и специалистов научно-исследовательских организаций и высших учебных заведений. Среди них ведущую роль занимают Институт проблем механики Российской академии наук (Москва), НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Донской государственный технический университет (ДГТУ) и др. Значительный вклад в становление и развитие механики контактного взаимодействия внесли ученые С.М. Айзикович, В.М. Александров, Ю.А. Антипов, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, В.Н. Беркович, Н.М. Бородачев, Ф.М. Бородич, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.А. Галанов, JI.A. Галин, Е.В. Глушков, Р.В. Голь-дштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, A.A. Евтушенко, А.Б. Ефимов, Е.В. Коваленко, A.C. Кравчук, A.B. Манжиров, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, О.В. Онищук, В.В. Панасюк, В.З. Партон, П.И. Перлин, Б.Е. По-бедря, Д.А. Пожарский, Г.Я. Попов, B.C. Проценко, О.Д. Пряхина, Ю.Н. Работ-нов, B.JI. Рвачев, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, В.М. Толкачев, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, И.Я. Штаерман, J.R. Barber, G.M.L. Gladwell, K.L. Johnson, JJ. Kalker, L.M. Keer и др. Исследованию задач кручения посвящены труды Б.Л. Абрамяна, Н.Х. Арутюняна, И.А. Александрова, П.П. Куфарева, Н.И. Мусхелишвили, Ю.А. Устинова, C.Y. Wang, H. Haseg-awa, H. Akiyama, S. Takahashi, A. Morassi и др.

Соответствие научному плану работ и целевым комплексным программам. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 09-01-00004-а «Смешанные задачи для однородных и составных упругих областей с угловыми и коническими точками», а также в соответствии с научным планом работ ДГТУ в рамках научного направления

Исследование краевых задач теории упругости для полосы, слоя, стержней и мембран».

Цель исследования. Получить новые знания о напряженном состоянии в области зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, которые основаны на применении развитых строгих математических методов решения краевых задач упругости.

Идея работы. Моделирование зуба зубчатой передачи Новикова трехмерным упругим клином для учета краевого эффекта вблизи кромки зуба и разработка новых высокоточных методов определения напряженного состояния стержня при кручении.

Методы исследования. Асимптотические методы, метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), метод парных интегральных уравнений (ИУ), метод интегральных преобразований, метод конформных отображений.

Основные научные положения, защищаемые автором:

- асимптотический метод определения напряженного состояния в двух заданных симметричных областях контакта трехмерного упругого клина (модель зуба зацепления Новикова) эффективен вдали от ребра клина (кромки зуба); численный метод ГИУ для определения напряженного состояния в двух неизвестных областях контакта трехмерного упругого клина эффективен вблизи ребра клина;

- на регулярной поверхности зуба, моделируемой слоем конечной толщины, метод ГИУ позволяет определить напряжения в двух неизвестных симметричных областях контакта при учете сил трения;

- развиты методы определения напряженного состояния в области контакта трехмерного упругого клина при действии дополнительной пригрузки вне области контакта (асимптотический метод для заданной области контакта и метод ГИУ для неизвестной области контакта), позволяющие в дальнейшем при помощи метода Андрейкива-Панасюка исследовать контакт по нескольким несимметричным областям произвольной формы;

- развит метод определения напряженного состояния в области контакта для пространственного упругого клина, одна грань которого взаимодействует со штампом, а на другой грани граничные условия разделены по линии параллельной ребру клина (часть грани, примыкающая к ребру, свободна от напряжений, другая часть лежит без трения на недеформируемом основании);

- для регулярной поверхности зуба, моделируемой полосой или слоем, развит метод решения плоской контактной задачи для упругой полосы, в одну грань которой внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется дополнительная линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть свободна от напряжений либо жестко защемлена); для осесимметричного контакта упругого слоя развит метод определения давлений, когда в одну грань слоя внедряется жесткий штамп, а на другой грани имеется круговая линия раздела граничных условий (часть грани подчинена условиям скользящей заделки, а другая часть под областью контакта жестко защемлена либо свободна от напряжений);

- для определения напряженного состояния стрежня при кручении с произвольной односвязной областью сечения разработан устойчивый численный метод, основанный на прямом решении краевой задачи для гармонических функций в неклассической дискретной постановке с процедурой регуляризации. В случае двусвязного поперечного сечения произвольной формы развит метод конформного отображения. Полученные методы позволяют также вычислять крутильную жесткость стержня.

Научная новизна работы:

- получены модели взаимодействия зубьев зубчатых передач Новикова, при использовании фундаментальных решений трехмерных краевых задач для упругого клина, с учетом нескольких областей контакта, моделирующих шероховатости контактирующих поверхностей; это позволяет учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина);

- впервые развит асимптотический метод решения контактной задачи о взаимодействии двух штампов на одной грани упругого пространственного клина; развит метод ГИУ исследования контакта для трехмерного клина (регуляризация ядра ИУ на ребре клина, куда может выйти область контакта);

- впервые учтены силы трения при исследовании контакта в двух областях на регулярной поверхности зуба, моделируемого упругим слоем конечной толщины;

- обобщена трехмерная контактная задача Л.А. Галина для упругого полупространства на случай трехмерного клина об одновременном действии на грани упругого клина штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта;

- впервые развиты методы решения контактных задач для полосы, слоя, пространственного клина при дополнительных линиях раздела граничных условий на другой грани полосы, слоя, клина;

- развит метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольной односвязной области сечения в форме разновидности метода наименьших квадратов на основе аппроксимации регулярных функций многочленами и минимизации квадратичных невязок граничных значений соответствующей краевой задачи Дирихле с применением процедуры регуляризации по Тихонову для устойчивости решения;

- разработан метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня, основанный на предварительном конформном отображении данной области на круговое кольцо и последующем решении редуцированной краевой задачи Дирихле методом тригонометрических рядов. Предложен новый метод вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается математической корректностью постановок решаемых задач, применением строгих математических аналитических и численных методов решения, совпадением результатов при применении для решения одной и той же задачи разных методов, совпадением результатов в частных случаях с результатами других авторов, совпадением результатов с экспериментом.

Научное значение результатов исследований. Развиты численные и аналитические методы решения сложных смешанных (контактных) задач, преимущественно пространственных, теории упругости для полосы, пространственных слоя и клина, которые могут быть использованы при решении других подобных задач математической физики. Полученные результаты для трехмерного клина позволяют контролировать результаты решения аналогичных задач, получаемые методом конечных элементов (МКЭ), точность которого может ухудшаться вблизи угловых точек. Разработанные методы решения задачи Сен-Венана о кручении стержня, внеся незначительные изменения, можно применить также и к решению общих краевых задач Дирихле, Неймана и смешанной краевой задачи для гармонических функций на плоскости.

Практическая ценность работы. Результаты позволяют уточнить методику расчета на прочность зубчатых передач Новикова, получивших широкое распространение в отечественном машиностроении. Разработанные программы для решения задачи о кручении стержней могут быть использованы в инженерной практике при автоматизированном проектировании валов, осей и деталей машин для исследования зависимости крутильной жесткости стержня от геометрических параметров и конфигурации его области сечения.

Реализация работы. Полученные решения новых контактных задач и разработанные методы решения задачи о кручении стержней приняты к внедрению в проектную и конструкторскую документацию ЗАО «Ростовгормаш». Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе кафедрой «Прикладная математика» ДГТУ для обучения студентов специальностей 230104 «Прикладная математика», 151001 «Технология машиностроения» и 110304 «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК».

Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические и численные исследования и основные результаты — автору диссертационной работы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 2009 г.), II международной научно-практической конференции «Современные проблемы гуманитарных и естественных наук» (Москва, 2010 г.), XXIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010 г.), V Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения» (Петрозаводск, 2010 г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011 г., участие поддержано грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 11-01-16081-мобзрос), международной научно-практический конференций «Инновационные технологии в машиностроении и металлургии» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), а также на ежегодных научных конференциях ДГТУ (Ростов-на-Дону, 2010,2011 гг.).

Награды. Соискатель получил стипендии Президента Российской Федерации и Губернатора Ростовской области (2010-2011 уч. г.), стал стипендиатом Программы поддержки технического образования Фонда Alcoa (2010-2011 уч. г.); дипломант конкурса инновационных проектов молодых ученых, аспирантов и студентов, проводимого в рамках I молодежного инновационного конвента Южного федерального округа (Ростов-на-Дону, 2009 г.); дипломант международного конкурса молодых ученых «Современные технологии агропромышленного комплекса», проводимого в рамках 13-й международной агропромышленной выставки «Интерагормаш-2010» (Ростов-на-Дону, 2010 г.).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 14 печ. работах, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, зарегистрированы 2 программы для ЭВМ в Федеральном государственном научном учреждении «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти».

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем работы составляет 152 страницы машинописного текста, содержит 20 рисунков, 39 таблиц, список литературы из 158 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Молчанов, Александр Алексеевич

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В диссертационной работе решена научно-техническая задача получения новых знаний о напряженном состоянии в области контакта зубчатых передач Новикова и стержней произвольного одно или двусвязного поперечного сечения при кручении при развитии методов решения контактных и краевых задач теории упругости. Зубья передачи Новикова моделируются упругим клином, слоем или полосой. Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволили получить следующие основные научные выводы и практические результаты:

1) разработаны новые модели контактного взаимодействия зубьев зубчатых передач Новикова, основанные на фундаментальных решениях краевых задач теории упругости для трехмерного клина, что позволило учесть краевые эффекты на кромке зуба (ребре клина) с учетом шероховатости контактирующей поверхности (несколько областей контакта); в частности, установлена возможность увеличения максимальных контактных давлений при приближении области контакта к кромке зуба (при постоянной вдавливающей силе);

2) в трехмерной постановке исследован контакт по двум симметричным областям на одной грани зуба (упругого клина). При заданных областях контакта получено регулярное асимптотическое решение для областей, относительно удаленных как друг от друга, так и от кромки зуба. Для случая, когда области контакта расположены относительно близко от кромки зуба (или выходят на кромку; области контакта неизвестны), развит численный метод, основанный на решении нелинейных ГИУ;

3) для ре1улярной поверхности зуба, моделируемой упругим слоем, изучен пространственный контакт в случае двух неизвестных областей контакта при учете сил трения. Метод нелинейных ПТУ позволяет одновременно определить контактные давления и области контакта;

4) для случая действия дополнительной нагрузки на грани зуба (трехмерного упругого клина) вне области контакта развиты методы определения контактных давлений (асимптотический метод для заданной области контакта и метод ГИУ для неизвестной области контакта). Полученные результаты позволяют в дальнейшем исследовать контакт для зуба по нескольким несимметричным областям произвольной формы при помощи метода Андрейкива-Панасюка. Получены обобщения решения контактной задачи JI.A. Галина для упругого полупространства на случай пространственного клина об одновременном действии на грани упругого клина эллиптического в плане штампа и сосредоточенной силы, приложенной вне области контакта. Найденное асимптотическое решение в частном случае (одна грань клина свободна от напряжений, угол клина равен 180°, круговой штамп) совпадает с разложением в ряд точного решения JI.A. Галина, что подтверждает достоверность полученного решения;

5) развиты методы определения контактных давлений на грани упругой полосы, слоя, пространственного клина, моделирующих зуб передачи Новикова, при наличии дополнительных линий раздела граничных условий на другой грани полосы, слоя, клина;

6) разработанный метод устойчивого численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного. сечения обеспечивает достаточно высокую точность вычислений, дает простые аналитические представления для функции кручения и функции, сопряженной к ней, как на границе области, так и внутри нее, позволяет дать оценку предельной погрешности в определении величины геометрической жесткости. Как показывают результаты экспериментов, для большого класса областей сечений высокая точность результатов достигается даже при сравнительно небольших порядках аппроксимацион-ного многочлена;

7) высокая точность результатов, полученных для моделей с известными точными решениями, дает основание считать разработанный метод решения задачи Сен-Венана о кручении полого стрежня надежным. Предложен новый способ вычисления неизвестного параметра краевой задачи. В кольце задача решается методом Фурье, который приводит к формуле с ядровой функцией, представленной в оригинальной форме;

8) разработана программа «Программа численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного односвязного поперечного сечения» и пакет программ «Программы численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного поперечного сечения», реализующие разработанные методы решения задач о кручении стержней.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Молчанов, Александр Алексеевич, 2011 год

1. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями /В.М. Александров, Е.В. Коваленко. М.: Наука, 1986.-336 с.

2. Александров, В.М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел / В.М. Александров, Д.А. Пожарский. -М.: Факториал, 1998.-288 с.

3. Александров, В.М. Трехмерные контактные задачи при учете трения и нелинейной шероховатости /В.М. Александров, Д.А. Пожарский// ПММ. 2004. -Т.68, вып.З.-С.516-527.

4. Александров, В.М. Трехмерные контактные задачи для упругого клина с покрытием /В.М. Александров, Д.А. Пожарский// ПММ. 2008. - Т.72, вып.1. - С. 103109.

5. Александров, В.М. Задачи о разрезах в составном упругом клине / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // ПММ. 2009. - Т. 73, вып. 1. - С. 143-149.

6. Александров, В.М. Пространственные контактные задачи с трением для составного упругого клина / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 6.-С. 971-979.

7. Александров, В.М. Пространственная задача о включении в составном упругом клине /В.М. Александров, Д.А. Пожарский// ПММ. 2011. - Т. 75, вып. 5. -С. 845-851.

8. Александров, В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. М.: Машиностроение, 1986. - 176 с.

9. Александров, В.М. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах / В.М. Александров, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь. М.: Наука, 1993. - 224 с.

10. Александров, В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров, М.И. Чебаков. М.: Физматлит, 2004. - 301 с.

11. Александров, В.М. Введение в механику контактных взаимодействий / В.М. Александров, М.И. Чебаков. Ростов н/Д: ЦВВР, 2005. - 108 с.

12. Александров, И.А. Конформные отображения односвязных и многосвязных областей / И.А. Александров. Томск: ТГУ, 1976. - 156 с.

13. Александров, И.А. Кручение упругого стержня с кратно-круговой областью поперечного сечения / И.А. Александров // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2010. - №4(12). - С. 56 - 63.

14. Аргатов, И.И. Взаимодействие между штампами на упругом полупространстве/ И.И. Аргатов // Успехи механики. 2002. Т. 1. - № 4. - С. 8-40.

15. Аргатов, И.И. Асимптотические модели упругого контакта / И.И. Аргатов. СПб.: Наука, 2005. - 448 с.

16. Аргатов, И.И. Асимптотические модели контактного взаимодействия между эллиптическими штампами на квазиклассическом основании / И.И. Аргатов // Прикладная механика. 2006. - Т. 42, № 1. - С. 78-96.

17. Аргатов, И.И. Основы теории упругого дискретного контакта: учеб. пособие / И.И. Аргатов, H.H. Дмитриев. СПб.: Политехника, 2003. - 233 с.

18. Арутюнян, Н.Х. Решение задачи о кручении стержня полигонального поперечного сечения / Н.Х. Арутюнян // ПММ. 1949. - Т. 13, вып. 1.

19. Арутюнян, Н.Х. Кручение упругих тел / Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян. — М.: Физматгиз, 1963. 688 с.

20. Бабешко, В.А. К теории смешанных задач для пространственного упругого клина/В.А. Бабешко, В.Н. Беркович//ПММ.-1972. Т.36, вып.5.-С. 943-947.

21. Беляев, Н.М. Местные напряжения при сжатии упругих тел / Н.М. Беляев // Инженерные сооружения и строительная механика. Л.: Путь, 1924. - С. 27-108.

22. Беркович, В.Н. Метод факторизации матриц в смешанных задачах статики упругого клина / В.Н. Беркович // ПММ. 1976. - Т. 40, вып. 4. - С. 674-681.

23. Беркович, В.Н. К теории смешанных задач динамики клиновидных композитов/В.Н. Беркович// Доклады АН СССР. -1990.-Т. 314.-№. 1.-С. 172-175.

24. Бреббия, К Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

25. Ватулъян, К.А. Решения задач Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией /К.А. Ватульян, Ю.А. Устинов// Владикавк. матем. ж. 2008. - Т.10,вып.4. С. 23-30.

26. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. - 456 с.

27. Галанов, Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта /Б.А. Галанов// ПММ. 1985. - Т. 49., вып. 5. - С. 827-835.

28. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / J1.A. Галин. М.: Наука, 1980. - 304 с.

29. Галин, Л.А. Пространственная контактная задача о движении штампа с трением / Л.А. Галин, И.Г. Горячева // ПММ. 1982. - Т. 46, вып. 6. - С. 1016-1022.

30. Геккелер, И. В. Статика упругого тела /И.В. Геккелер. М.: КомКнига, 2005.-287 с.

31. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

32. Голузин, Г.М. О конформном отображении двусвязных областей, ограниченных прямолинейными и круговыми многоугольниками / Г.М. Голузин // Конформные отобр. односвязных и многосвязных областей. М.-Л., 1937 - С. 90-97.

33. Горячева, И.Г. Плоские и осесимметричные контактные задачи для шероховатых упругих тел / И.Г. Горячева // ПММ. 1979. - Т. 43, вып. 1. - С. 99-105.

34. Горячева, И.Г Механика фрикционного взаимодействия / И.Г. Горячева. -М.: Наука, 2001.-478 с.

35. Горячева, И.Г. Контактные задачи в трибологии / И.Г. Горячева, М.Н. До-бычин. М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.

36. Громадна, Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах / Т. Громадка, Ч. Лей. М.: Мир, 1990. - 303 с.

37. Иванов, Э.Г. Основные задачи теории упругости для составного клина / Э.Г. Иванов // Дисс. . канд. физ.-мат. н. по специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела». Чебоксары, 2009. -189 с.

38. ИКАП И101227153934. Программа численного решения задачи Сен

39. Венана о кручении стержня произвольного односвязного сечения / A.A. Молчанов. -№50201150054; заявл. 27.12.2010; опубл. 12.01.2011.

40. ИКАЛ И101227155000. Программы численного решения задачи Сен-Венана о кручении стержня произвольного двусвязного поперечного сечения / В.В.Соболев, А.А.Молчанов.-№50201150055; заявл. 27.12.2010; опубл. 12.01.2011.

41. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / JI.B. Канторович, В.И. Крылов. M.,JL: Физматгиз, 1962. - 708 с.

42. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений / В. Коппенфельс, Ф. Штальман. М., 1963. - 406 с.

43. Короткий, В.И. Об учете краевых эффектов при расчете передач Новикова на контактную выносливость / В.И. Короткин // Вестник машиностроения. -1997.-№6. -С. 8-11.

44. Короткин, В.И. Зубчатые передачи Новикова. Достижения и развитие / В.И. Короткин, Н.П. Онишков, Ю. Д. Харитонов. -М. .-Машиностроение-1,2007. -384с.

45. Короткин, В.И. Вдавливание штампа в упругий пространственный клин как модель контактного взаимодействия поверхностей зубьев зубчатых передач / В.И. Короткин, Д.А. Пожарский // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996. -№3. - С. 107-113.

46. Короткин, В.И. Зубчатые передачи Новикова / В.И. Короткин, Ю.Д. Харитонов. Ростов н/Д: РГУ, 1991.-208 с.

47. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения /М.Л.Краснов. -М.: Наука, 1975.304 с.

48. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твёрдого тела / С. Крауч, А.Старфилд. М.: Мир, 1987. - 328 с.

49. Куфарев, П.П. К вопросу о кручении и изгибе стержней полигонального сечения / П.П. Куфарев // ПММ. 1937. - Т.1, вып.1. - С. 43-76.

50. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1965. - 716 с.

51. Лебедев, H.H. Парные интегральные уравнения, связанные с преобразованием Конторовича—Лебедева / H.H. Лебедев, И.П. Скальская // ПММ. 1974. - Т. 38, вып. 6.-С. 1090-1097.

52. Лейбензон, JI.C. Курс теории упругости / Л.С. Лейбензон. М.: Гостехзиз-дат, 1947. - 464 с.

53. Лубягин, И.А. Внедрение штампа в форме эллиптического параболоида в упругий пространственный клин / И.А. Лубягин, Д.А. Пожарский, М.И. Чебаков // ПММ. 1992. - Т. 56, вып. 2. - С. 286-295.

54. Медведев, В.И. Метод определения контактных и изгибных напряжений в зубчатых колесах / В.И. Медведев, Г.И.Шевелева // Пробл. машиностроения и надежности машин. 1993. - № 6. - С. 35-40.

55. Михлин, С.Г. Прямые методы в математической физике / С.Г. Михлин. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 428 с.

56. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1970. 512 с.

57. Молотников, В.Я. Курс сопротивления материалов / В .Я. Молотников.— С.-Пб.-М.-Краснодар: Лань, 2006. 384 с.

58. Молчанов A.A. Алгоритм численного определения жёсткости при кручении стержня произвольного сечения и его программная реализация /A.A. Молчанов // Сб. науч. тр. РГАСХМ. Ростов н/Д: РГАСХМ. - 2009. - С. 131-133.

59. Молчанов, A.A. Взаимодействие штампов на грани упругого клина / A.A. Молчанов, Д.А. Пожарский // ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 4. - С. 681-690.

60. Пожарский, Д.А. Контактные задачи для двухслойного упругого клина / Д.А. Пожарский // Известия АН. Мех. твердого тела. 2009. - № 2. - С. 67-77.

61. Пожарский, Д.А. Накладка на несжимаемом упругом клине /Д.А. Пожарский// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. - № 2. - С. 30-31.

62. Пожарский, Д.А. К расчету напряжений в трехмерном упругом клине / Д.А. Пожарский, H.A. Ларцева // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. -2007.-№2.-С. 31-32.

63. Пожарский, Д.А. Контактные задачи для слоя и клина при дополнительных линиях раздела граничных условий / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Сб. науч. тр. РГАСХМ. Ростов н/Д: РГАСХМ. - 2009. - С. 18-20.

64. Пожарский, Д.А. Асимптотические решения смешанных задач для упругой полосы и клина / Д.А. Пожарский, A.A. Молчанов // Вестник Донского государственного технического университета. 2010. - Т. 10, № 4 (47) - С. 447-454.

65. Привалов, И.И. Граничные свойства аналитических функций / И.И. Привалов. М.-Л., 1950. - 338 с.

66. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3 т. Т.1. / Под общей редакцией И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.

67. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 750 с.

68. Саусвелл, Р.В. Введение в теорию упругости (для инженеров и физиков) / Р.В. Саусвелл. -М.: ИЛ, 1948. 675 с.

69. Сметанин, Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое / Б.И. Сметанин // Инж. журн. Механика твердого тела. 1968. - № 2. - С. 115-122.

70. Сметанин, Б.И. О расклинивании упругого бесконечного клина /Б.И. Сметанин// ПММ.- 1969.- Т. 33, вып.5. С. 935-940.

71. Сметанш, Б.И. Растяжение упругого полупространства с трещиной, расположенной перпендикулярно к его поверхности / Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь // ПММ. 1981. - Т.45, вып.5. - С. 940-943.

72. Соболев, В.В. Устойчивый численный метод решения краевой задачи Дирихле для гармонических функций / В.В. Соболев //Тр. XIX Междунар. науч. конф. «Матем. методы в технике и техн.»,- Воронеж: ВГТА, 2006. Т.1. - С.15-18.

73. Соболев, В.В. Численный метод конформных отображений выпуклых областей с острыми углами /В.В. Соболев//Тр. XIX Междунар. научн. конфер. «Матем. методы в технике и техн.». Воронеж: ВГТА, 2006. - Т.1. - С. 19-21.

74. Соболев, В.В. Алгоритм численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона / В.В. Соболев // Тр. XX Междунар. науч. конф. «Матем. методы в технике и техн.» (Ярославль, 30 мая 1 июня 2007 г.). - Ярославль: ЯГТУ. - 2007. -Т. 1.-С. 208-211.

75. Соболев, В.В. Численный метод устойчивого решения смешанной краевой задачи для гармонических функций в двусвязных областях /В.В. Соболев // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. — 2007. — №1. — С. 15-20.

76. Соболев, В.В. Численное интегрирование / В.В. Соболев, Н.В. Ищенко. -Метод, указ. к лаб. раб. с использованием ЭВМ. Ростов н/Д:РГАСХМ, 1999. 28 с.

77. Соболев, В.В. Программа численного построения конформного отображения внешней области на внешность круга и обратного отображения. / В.В. Соболев, Н.В. Ищенко. — Ростов н/Д: РГАСХМ. Зарегистрир. ГОФАП РФ (ВНТИЦ), №50200000227,2000. 28 с.

78. Соболев, В.В. Численный метод конформного отображения кругового кольца на ограниченную двусвязную область / В.В. Соболев, Н.В. Ищенко // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. — 2001. — №3. — С. 23-26.

79. Соболев, В.В. Численный метод определения жёсткости при кручении стержня произвольного сечения / В.В. Соболев, A.A. Молчанов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. - №1 - С. 34-40.

80. Соболев, В.В. Численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня двусвязного сечения методом конформного отображения / В.В. Соболев,

81. A.A. Молчанов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. - №2 (14) - С. 25-37.

82. Соболев, В.В. Комплексный алгоритм численного построения конформного отображения ограниченной жордановой области на круг и обратного отображения /В.В. Соболев, Н.В. Соболева // Науч. тр. РИАТМа, вып. 2. Ростов н/Д: РИАТМ, 1995. С. 21-34.

83. Соболев, В.В. Программа численного построения конформного отображения ограниченной односвязной жордановой области на круг и обратного отображения /В.В. Соболев, Н.В. Соболева. Ростов н/Д, РГАСХМ. Зарегистрир. ГОФАП РФ 27.02.1997, № 50970000006.-20 с.

84. Соболев, В.В. Об одном численном методе построения конформного отображения ограниченной жордановой области на круг и обратного отображения /

85. B.В. Соболев, Н.В. Соболева. Ростов н/Д: РГАСХМ, 1998. Деп. в ВИНИТИ 19.03.98, № 783-В98.-17 с.

86. Соболь, Б.В. Пространственная задача о контакте системы штампов с упругим слоем / Б.В. Соболь, И.М. Пешхоев // Экологический вестник научныхцентров ЧЭС. 2011. № 1. - С. 69-76.

87. Соболь, ИМ. Численные методы Монте-Карло /И.М.Соболь. М., 1973.64 с.

88. Соляник-Красса, К.В. Кручение валов переменного сечения / К.В. Соля-ник-Красса. Л.-М., 1949. - 166 с.

89. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана. М.: Наука, 1979. - 832 с.

90. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1975. - 576 с.

91. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. -М.: Наука, 1979. 288 с.

92. Толстых, А.И. Бессеточный метод на основе радиальных базисных функций / А.И. Толстых, Д.А. Широбоков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -2005. Т. 45, №8. - С. 1498-1505.

93. Устинов, Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров /Ю.А. Устинов// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естествен, науки.-2001. Спец. вып.-С. 146-149.

94. Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. М.,Л: Изд-во АН СССР, 1963.-367 с.

95. Уфлянд, Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики / Я.С. Уфлянд. Л.: Наука, 1977. - 220 с.

96. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. М.: Физматгиз, 1959.-364 с.

97. Филъчаков, П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики / П.Ф. Фильчаков. Киев: Наук, думка, 1970. - 800 с.

98. Чебаков, М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетомтрения в неизвестной области контакта / М. И. Чебаков // Доклады АН. 2002. - Т. 383.-№ 1.с. 67-70.

99. Чебаков, М.И. Трехмерная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта / М. И. Чебаков // Известия АН. Механика твердого тела. 2002. - № 6. - С. 59—68.

100. Шевелева, Г.И. Расчет упругих контактных перемещений на поверхностях деталей ограниченных размеров / Г.И. Шевелева // Машиноведение. 1984. -№4.-С. 92-98.

101. Шевелева, Г.И. Решение контактных задач методом последовательного нагружения при разных условиях равновесия / Г.И. Шевелева // Пробл. машиностроения и надежности машин. 1990. - № 4. - С. 68-74.

102. Alexandrov, V.M. Three-dimensional contact problems / V.M. Alexandrav, D.A. Pozharskii. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001. — 406 p.

103. Argatov, I.I. Electrical contact resistance, thermal contact conductance and elastic incremental stiffness for a cluster of microcontacts: asymptotic modelling Л.1. Argatov //Quarterly Journal of Mech. and Applied Math. 2010. - V.64, No.l. - P. 1-24.

104. Argatov, I.I. Axisymmetric contact problem for a biphasic cartilage layer with allowance for tangential displacements on the contact surface /1.1. Argatov, G.S. Mishuris // European Journal of Mechanics A/Solids. 2010. - V.29. - P.l 051-1064.

105. Bach, M. 3-D Contact problems for elastic wedges with Coulomb friction / M. Bach, D.A. Pozharskii // Math. Methods in the Applied Sciences. 2004. - V.27, No.2. -P.l 93-220.

106. Baniotopoulos, C.C. Contact problems with nonmonotone friction: discretization and numerical realization / C.C. Baniotopoulos, J. Haslinger, Z. Moravkova // Computational Mechanics. 2007. - V. 40. - P. 157-165.