Методы определения динамической жесткости конструкций с резьбовыми соединениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.02, кандидат наук Куц Михаил Сергеевич

• Куц Михаил Сергеевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Куц Михаил Сергеевич

Введение

Глава 1. Анализ проблематики учета характеристик резьбовых соединений при моделировании вибрационного поведения конструкций

1.1 Обоснование необходимости моделирования поведения конструкций

с резьбовыми соединениями

1.1.1 Проблема точности машин

1.1.2 Обзор прецизионных технологических машин

1.1.3 Анализ факторов, влияющих на точность технологических машин

1.1.4 Подходы повышения точности технологических машин

1.2 Существующие подходы к определению динамической жесткости конструкций машин

1.2.1 Структурный подход

1.2.2 Подход на основе метода конечных элементов

1.3 Влияние соединений на динамическую жесткость конструкций

1.3.1 Актуальность проблемы

1.3.2 Классификация соединений машин

1.3.3 Обзор существующих моделей жесткости неподвижных соединений деталей машин и методик расчета

1.3.4 Демпфирование колебаний в соединениях деталей машин

1.4 Выводы и постановка целей и задач исследования

Глава 2. Определение осредненной характеристики деформирования контактного слоя разъемных соединений путем компьютерного моделирования

2.1 Модель взаимодействия профиля контактирующей поверхности

2.1.1 Обоснование выбранной модели шероховатой поверхности

2.1.2 Формирование поверхности с заданными параметрами шероховатости

2.2 Разработка конечно-элементной модели контактного взаимодействия

2.2.1 Описание плоской задачи МКЭ

2.2.2 Обнаружение области контактирования и наложение граничных условий

2.2.3 Обнаружение контактной зоны

2.2.4 Наложение многоточечных связей

2.2.5 Алгоритм определения характеристики деформирования контактного слоя

2.3 Определение характеристики деформирования контактного слоя путем моделирования

2.4 Выводы по главе

Глава 3. Разработка уточненного метода определения динамической жесткости конструкций, учитывающего характеристики контактной зоны резьбовых соединений

3.1 Теоретическое исследование контактных колебаний резьбовых соединений

3.1.1 Постановка задачи. Модель нелинейного упругого контактирования шероховатых поверхностей

3.1.2 Расчет и анализ свободных гармонических колебаний консервативной системы

3.1.3 Анализ диссипативных сил в случае неконсервативной системы

3.2 Разработка динамической модели контактного слоя на основе метода конечных элементов

3.2.1 Вывод зависимостей контактного изопараметрического элемента

3.2.2 Выбор численной процедуры

3.3 Выводы по главе

Глава 4. Экспериментальное исследование динамической жесткости конструкций с резьбовыми соединениями

4.1 Экспериментальное исследование вибраций конструкции с резьбовыми соединениями

4.1.1 Описание экспериментальной установки и методы исследования

4.1.2 Результаты эксперимента и обсуждение

4.2 Исследование влияния усилия затяжки и шероховатости поверхности

на динамическую жесткость резьбовых соединений

4.2.1 Описание экспериментальной установки и методики исследования

4.2.2 Результаты экспериментов

4.3 Исследование контактной жесткости и демпфирования заполненных резьбовых соединений

4.3.1 Описание установки и методов исследования

4.3.2 Результаты эксперимента

4.4 Выводы по главе

Глава 5. Формулировка общего алгоритма моделирования вибрационного поведения конструкций, его верификация и практическое преминение

5.1 Алгоритм моделирования динамики конструкций с резьбовыми соединениями

5.2 Определение распределения давления в контактном слое резьбового соединения

5.2.1 Постановка задачи

5.2.2 Описание метода

5.2.3 Описание численного эксперимента и результаты моделирования

5.2.4 Обсуждение результатов

5.3 Экспериментальное подтверждение практической реализации алгоритма моделирования вибрационного поведения конструкций с резьбовыми соединениями

5.3.1 Описание установки и методов исследования

5.3.2 Результаты эксперимента и проверка сходимости предложенной модели

5.4 Определение силы затяжки болтов из условия равенства запаса по нераскрытию стыка и усталостной прочности

5.4.1 Описание предлагаемого метода

5.4.2 Пример расчета

Общие выводы. Заключение

Список литературы

Приложение А

А.1 Текст программы «ContStiffCalc.py» на языке python для определения

упругой характеристики шероховатого контактного слоя

А.2 Текст программы «ContactOscillations.py» на языке python для расчета

колебаний модельной системы

А.3 Текст программы «ExplnitCalc.py» на языке python для определения распределения давления и контактной жесткости в резьбовом

соединении

А.4 Текст программы «PressureCone.py» на языке python для определения

распределения давления в окрестности одновинтового соединения

Приложение Б

Приложение В

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В современных производствах широко используют технологические многокоординатные машины, позволяющие перемещать инструменты и заготовки в любую точку рабочих зон [1]. В силу обширности рабочих зон, особенностью многокоординатных машин является присутствие в конструкции несущей системы длинномерных элементов, консольно закрепленных при помощи резьбовых соединений. Точность таких машин во многом определяется динамической жесткостью их конструкции, под которой понимается отношение амплитуд внешней переменной нагрузки к амплитуде, вызванным этой нагрузкой, перемещений [2]. По этой причине динамическая жесткость конструкции подлежит обязательной оценке на этапе их проектирования. В данном случае оценка деформирования узлов в целом невозможна без учета специфического характера деформирования в сопряжениях деталей, так как в силу больших линейных размеров узлов относительно незначительные смещения, которыми можно было бы пренебречь при расчете жестких конструкций, могут внести значительный вклад в конечные незапланированные смещения инструмента.

Изучением поведения контактного слоя в сопряжениях деталей подробно занимались как отдельные ученые, такие как Ю. Ито [1, 3], В. Г. Грос [4], М. М. Мат-лин [5, 6, 7], П. М. Огар [8, 9], так и целые научные школы, среди которых МГТУ им. Н. Э. Баумана [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16], ИМАШ РАН [17], БГТУ [18] и ТвГТУ [19, 20, 21, 22, 23, 24], а в частности такие ученые, как Д.Н. Решетов, А. С. Иванов, И.В. Крагельский, Э. В. Рыжов, Н.Б. Демкин и В. В. Измайлов. Однако следует отметить, что исследованиях применялись эмпирические и полуэмпирические подходы, когда характеристика деформирования в зоне контакта определялась некоторой зависимостью, коэффициенты которой назначались по результатам натурных или модельных экспериментов. Недостатком этого подхода является необходимость проведения новых целенаправленных экспериментов в каждом нестандартном случае. В то же время, современное развитие вычислительных методов и компьютерной техники позволяет создать методику определения характеристики

деформирования прямым расчетом, базирующимся только на знании свойств материала и топографии поверхностей сопряженных деталей.

Помимо этого, нельзя считать в полной мере разработанной методику исследования вибрационного поведения, под которым понимается совокупность частот и форм колебаний и амплитуды перемещений конструкции, узлов машин с учетом контактного взаимодействия деталей. Хотя этими вопросами занимались уже названные ученые, а также Ю. П. Заспа [25], Н.В. Перфильева и А.А Максименко [26, 27, 28], К. Коновальски [29], Л. Гауль [30, 31] и другие, однако в их исследованиях не уделялось внимания фактическому нелинейному характеру деформирования контактного слоя, образованного топографически неидеальными поверхностями. Знание фактического вибрационного поведения технологических машин позволит улучшить их эксплуатационные характеристики и избежать отказов оборудования.

В связи с этим актуальной становится разработка методов определения динамической жесткости конструкций, с учетом наличия резьбовых соединений деталей и специфического характера деформирования контактных зон.

Цель работы - совершенствование эксплуатационных характеристик конструкций путем повышения точности определения их динамической жесткости на этапе проектирования учетом специфики деформирования контактного слоя в зоне резьбовых соединений.

Задачи исследования, поставленные и решенные для достижения указанной

цели:

- Анализ проблематики оценки динамической жесткости неподвижных соединений деталей машин и их учета при исследовании вибрационного поведения конструкций;

- Разработка методики определения характеристики деформирования контактного слоя соединений деталей на основе имитационного моделирования;

- Разработка уточненного метода расчета динамической жесткости конструкций, учитывающего характеристики контактной зоны резьбовых соединений, применимого для автоматизированных расчетов;

- Экспериментальное исследование влияния характеристик контактных поверхностей соединения на динамическую жесткость и возможностей улучшения вибрационных свойств;

- Формулировка общего алгоритма практической реализации методики моделирования вибрационного поведения конструкций и его верификация. Научная новизна настоящей работы отражается в следующих ключевых результатах проведенных исследований:

- Разработана оригинальная методика определения жесткости соединений деталей машин, базирующаяся на вероятностном моделировании контактной поверхности по параметрам шероховатости и последующем конечно-элементном расчете;

- Получены новые экспериментальные данные о влиянии усилия затяжки, параметров шероховатости, а также нанесения на контактный слой демпфирующих материалов и клеев на собственные частоты и демпфирование конструкций с резьбовыми соединениями;

- Предложен метод по проведению имитационного моделирования динамических процессов, позволяющий определить динамическую жесткость конструкции, в котором использована разработанная комплексная динамическая модель контактного слоя, учитывающая его нелинейную упругую характеристику и реальное контактное демпфирование;

- Предложен способ определения усилия затяжки винтов динамически нагруженных резьбовых соединений деталей из условия равенства коэффициентов запаса по нераскрытию стыка и усталостной прочности, который учитывает нелинейную жесткость соединения.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и результатов обеспечивается применением современных средств измерений при проведении экспериментальных исследований, использовании апробированных методов математического моделировании и согласованностью результатов проведенных экспериментов и теоретических расчетов.

Практическая значимость работы. Разработанная методика моделирования вибрационного состояния многокоординатных машин, учитывающая реальные нелинейную упругую характеристику контактного слоя и контактное демпфирование, может быть использована на стадии проектирования многокоординатных технологических машин для оценки и повышения их эксплуатационных характеристик. Также разработан комплекс программ, позволяющий производить моделирование согласно предложенному алгоритму.

Реализация результатов работы. Результаты работы использованы в ООО «ФЛАИТТАЙМ-ИНЖИНИРИНГ» для моделирования условий затяжки резьбовых соединений при проектировании новых изделий подверженных вибрационным нагрузкам, а также в учебном процессе в рамках курса «Вибродиагностика механических приводов», читаемого магистрантам МГТУ им. Н. Э. Баумана, что подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы заслушивались и обсуждались: на IV международном симпозиуме «Приводная техника и компоненты машин», Москва, 2018; на XIV международной научно-технической конференции «Динамика технических систем», Ростов-на-Дону, 2018; на VIII международной конференции по операционному модальному анализу «ЮMAC-2019», Копенгаген, Дания 2019; на научных семинарах кафедры «Основы конструирования машин» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2016-2019 годах.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 научных работах, в число которых входят 4 научные статьи из журналов рекомендованных ВАК РФ по специальности 05.02.02, общим объёмом 2,91 п. л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов по работе, списка сокращений, списка литературы из 113 наименований. Работа изложена на 160 листах машинного текста, содержит 79 рисунок и 19 таблиц.

Основные положения, выносимые на защиту: - Новые экспериментальные данные о динамическом поведении сборных резьбовым соединением образцов в зависимости от усилия затяжки, параметров

шероховатости контактирующих поверхностей и демпфирующих покрытий;

- Методика определения характеристики деформирования контактного слоя соединений деталей машин, базирующаяся на вероятностно-детерминированном моделировании контактной поверхности по параметрам шероховатости с использованием мкэ;

- Методика имитационного моделирования вибрационного поведения конструкций, учитывающая реальные характеристику контактного слоя и контактное демпфирование;

- Способ определения усилия затяжки винтов динамически нагруженных резьбовых соединений деталей из условия равенства коэффициентов запаса по нераскрытию стыка и усталостной прочности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы определения динамической жесткости конструкций с резьбовыми соединениями»

Структура работы

Во введении отмечена актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, приведена научная новизна и практическая значимость исследований.

Первая глава посвящена анализу влияния различных факторов и, в частности, соединений на точность многокоординатных технологических машин и существующих методов, позволяющих учесть характеристики соединений при расчете деформаций машины.

Вторая глава посвящена разработке методики определения характеристики деформирования контактного слоя соединений деталей пригодной для проведения автоматизированных расчетов без необходимости проведения натурных экспериментов.

Третья глава посвящена разработке метода расчета динамики сборных узлов с резьбовыми соединениями, обладающими нелинейной характеристикой деформирования контактного слоя.

Четвертая глава посвящена экспериментальным исследованиям влияния параметров соединения на вибрационное состояние алюминиевой балки, закрепленной при помощи резьбового соединения на основании.

В пятой главе произведено обобщение полученных результатов теоретических и экспериментальных исследований. На основе решенных в первой и второй главах задач составлен обобщенный алгоритм моделирования динамики многокоординатных машин и произведена проверка его достоверности.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМАТИКИ УЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК РЕЗЬБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ВИБРАЦИОННОГО ПОВЕДЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ

1.1 Обоснование необходимости моделирования поведения конструкций с

резьбовыми соединениями 1.1.1 Проблема точности машин

Развитие современных машин и промышленного оборудования тесно связано с необходимостью повышения точности технологических машин и станков. Это обусловлено двумя причинами: увеличением требований точности современных изделий и уменьшением их размеров [2, 32]. Для достижения качественно новых научных результатов необходимо иметь высокоточные измерительные приборы. В первую очередь это касается астрономической, оптико-электронной, лазерной и медицинское техники. Примером высокоточных изделий, изготавливаемых методом субтрактивной обработки, могут быть зеркала высокомощных лазеров и прес-сформы для отливок оптических линз. Требования по точности предъявляемые к оптическим линзам, согласно [33, 34], могут достигать 2 мкм (погрешность радиусов кривизны), а параметр шероховатости Rz 0,05 мкм. Для зеркал отклонение от плоскостности, при диаметре 300мм, составляет более 0,25 мкм и шероховатостью Rz порядка 10 нм.

Примером миниатюрных изделий, используемых в техники, являются различного рода датчики типа MEMS. Обычно, они изготавливаются методами фотолитографии, травления и осаждения. Однако данные методы имеют определенные ограничения по обрабатываемым материалам, а также ввиду сложности технологического процесса, применимы только лишь в массовом производстве. Поэтому в последнее время распространение приобрело изготовление микро-электро-механи-ческих изделий при помощи методов субстрактивной обработки, к которым относятся лезвийная обработка (микрофрезерование), а также лазерная обработка. Сравнительная характеристика различных высокоточных изделий приведена в Таблице 1.

Таблица 1.

Номенклатура высокоточных изделий

Наименование

Пресс-формы для литья линз

Габаритные размеры, мм

100-420

Отклонение лин. размеров, мкм

>2

Параметр шероховатости,мкм

Rz0,05-0,125

Пример

Зеркала лазеров

50-300

£70,5-40

Rz0,01-0,1

MEMS

0,5-3,0

При изготовлении таких устройств высокие требования по точности должны выполняться как на этапах изготовления деталей, так и на этапе сборки изделий. Из-за особенностей формы деталей и их сложности изготовление зачастую ведется на многокоординатном автоматизированном оборудовании, для которых расчет точности имеет свои особенности.

В [2, 35]авторы выделяют следующие задачи расчета точности многокоординатных машин:

- определение и назначение требований по точности, исходя из назначения и режима нагружения;

- установление выходной точности машины по известным точностным показателям ее узлов;

- расчет потери точности под влиянием внешних сил (упругих деформаций несущей системы и соединений);

- расчет потери точности машины от обратимых во времени изменений (тепловые деформации);

- расчет потери точности от необратимых изменений в несущей системе (изнашивание, старение, коробление).

1.1.2 Обзор прецизионных технологических машин В узком смысле под технологическими машинами подразумеваются любые машины, предназначенные для изменения формы, размеров, свойств или состояния обрабатываемого предмета или изделия. В более широком смысле, к ним можно отнести машины участвующие в технологическом процессе. Если говорить о прецизионных машинах, то к таким относятся промышленные роботы и манипуляторы, металлорежущие станки и координатно-измерительные машины (КИМ). Примеры таких устройств приведены на Рисунке 1.1.

Многокоординатные технологические машины делятся на три вида в зависимости от кинематической структуры (см. Рисунок 1.2):

- машины последовательной структуры;

- машины параллельной структуры;

- машины последовательно- параллельной структуры.

Исторически первыми были машины с последовательной кинематикой. Основным достоинством таких машин является простота управления. В таких машинах привода последовательно соединены с рабочим органом, из-за чего привод, расположенный наиболее удаленно от рабочего органа вынужден перемещать все остальные привода машины. Отсюда и вытекают их основные недостатки: это относительно низкая жесткость, высокая металлоемкость и, как следствие, масса, низкие скорости перемещения, а также высокая энергоемкость.

д) е)

Рисунок 1.1. Примеры многокоординатных технологических машин: а - промышленный портальный манипулятор; б - загрузочное устройство портального типа; в - 5-ти координатный обрабатывающий центр; г - ко-ординатно-измерительная машина; д - платформа Гью-Стюарта; е - 5-ти координатный станок с параллельной кинематикой Exechon

Рабочий орган

а)

б)

в)

Рисунок 1.2. Примеры структурных схем машин с последовательной (а), параллельной (б) и последовательно-параллельной кинематикой (в).

В машинах с параллельной структурой, наоборот, каждый привод подключен к выходному органу, что влечет за собой сложность управления. По этой причине они получили свое развитие лишь в конце 1960-х годов, что связано с широким распространением электронной вычислительной техники. Механизмы с параллельной кинематикой обладают более высокой жесткостью и динамикой, низкой металлоемкостью и массой по сравнению с механизмами последовательной структуры. Из недостатков следует выделить наличие особых зон, в которых происходит потеря жесткости и управляемости.

1.1.3 Анализ факторов, влияющих на точность технологических машин Погрешности, возникаемые в процессе обработки, можно разделить на следующие категории [35, 36]:

1. Связанные с геометрической и кинематической неточностью технологических машин;

2. Связанные с неточностью инструмента;

3. Связанные с режимом работы;

4. Связанные со временем работы и условиями эксплуатации;

5. Связанные с оператором.

Из этих типов погрешностей наиболее сложно прогнозируемыми и устранимыми являются погрешности 3 типа. Причинами возникновения данных погрешностей являются упругие статические деформации, тепловые деформации и колебания несущей системы машины в процессе его работы. Рассмотрим данные причины более подробно.

Влияние упругих деформаций. При анализе точности технологических машин их жесткость следует понимать, как точность под воздействием внешней нагрузки. В качестве внешней нагрузки могут выступать силы резания при обработке, вес переносимого манипулятором груза или инерционные силы. Особенно важна жесткость в металлорежущих станках, где тенденция к повышению производительности приводит к необходимости совмещения предварительных и чистовых операций и высоким рабочим подачам. Сложность учета упругих деформаций состоит в том, что они меняются под влиянием нагрузки и зависят от положения рабочего органа в рабочем поле машины:

Лу = /(£,,/у у, г)

Влияние тепловых деформаций. При работе технологических в результате их нагрева возникают тепловые деформации. Тепловой баланс наступает спустя 34 часа непрерывной работы, что составляет примерно 40-50% рабочего времени за смену. После остановки на 5 часов машина возвращается в свое первоначальное состояние. Поэтому, если машине требуются частые остановки (что обычно связано с переналадкой или сменой инструмента), то в результате уменьшается его точность.

Общем случае, смещение рабочего органа в следствии тепловых деформации зависит от температуры t и его положения в рабочей зоне:

18

Дт = х, у, х)

Влияние вибраций. В основном вибрации оказывают влияние на точность таких технологических машин, как станки и 3Э принтеры. Это обусловлено тем, что в них важна не только точность позиционирования, но и величина отклонения траектории движения от заданной. Наличие вибраций приводит к следующему:

- увеличение волнистости, некруглости и прочих отклонений геометрии изготавливаемых деталей;

- ускорение изнашивания инструмента и узлов оборудования;

- вибрации могут привести к сбоям и изменениям настройки оборудования. Для металлорежущих станков вибрации опасны тем, что в процессе обработки могут возникнуть автоколебания, при которых амплитуды колебаний резко возрастают, что в результате приводит к браку или поломке.

Основными параметрами, характеризующими упругие деформации, тепловые и вибрационные процессы, происходящие в механизмах, являются жесткость, коэффициенты теплопроводности и линейного расширения и демпфирование колебательной системы. Современные методы теории упругости, термодинамики и вычислительные методы позволяют определить тепловое и статодинамическое поведение сплошных твердых тел из материалов с известными характеристиками практически любой геометрии. Однако реальные машины и устройства невозможны без сборочных операций. Таким образом в их конструкции присутствует большое число разного рода соединений [1], поведение которых требует отдельного рассмотрения и не может быть определено в рамках классической теории упругости.

1.1.4 Подходы повышения точности технологических машин Среди направлений повышения точности следует выделить две группы:

- совершенствование конструкции несущей системы машины и технологии ее изготовления;

- совершенствование процесса управления точностью машины методами коррекции.

Совершенствование конструкции является традиционным методом и заключаются обычно либо в разработке принципиально новых машин (на основе новых

технологий и принципов формообразования, а также за счет применения новых механизмов), либо в создании машин новых конструкций (за счет усовершенствования методов расчета и проектирования, использования новых материалов и комплектующих, новых принципов соединения деталей, усовершенствования конструктивной формы деталей). Однако в ряде случаев более простым является повышение точности за счет усовершенствования способа управления, являющимся экономически более целесообразным при серийном производстве машин. В общем случае методы цифровой коррекции сводятся к определению интегральных отклонений взаимного положения исполнительного органа многокоординатной машины с ЧПУ.

Классификация способов повышения точности [2, 35] приведена на Рисунке 1.3. В этой классификации две указанные группы разделены на подгруппы в зависимости от конкретного метода повышения точности. Таким образом, конструкцию и технологию изготовления можно совершенствовать за счет следующих факторов:

- уменьшение первичных отклонений, то есть погрешностей, вызванных перекосами и линейными отклонениями взаимного расположения отдельных узлов технологических машин;

- уменьшение упругих деформаций системы путем увеличения жесткости несущей системы;

- уменьшение упругих деформаций несущей системы уменьшением внешних силовых воздействий;

- увеличение термостабильности и термосимметричности несущей системы машины.

Другим способом улучшения системы управления является использование различных видов коррекций. Всего выделяют три вида коррекции:

- коррекция на основе измеренных данных (обратная связь);

- коррекция на основе заложенной модели процесса;

- коррекция на основе физической компенсации возмущающих воздействий (использование так называемых инвариантных систем управления).

Повышение точности многокоординатных машин с программным управлением

Совершенствование конструкции несущей системы

машины и технологии ее ч изготовления ,

Уменьшение первичных отклонений

Увеличение статической и динамической жесткости

►^Уменьшение "вредных сил^

->^Сил инерции^

Сил трения ^

Сил резания

Совершенствование процесса управления (коррекция)

Системы управления на основе обратной свзяи

Динамическая компенсация возмущающих воздействий

Программная коррекция на основе априорной информации

По результатам проектных расчетов

С По результатам Л калибровки у

Рисунок 1.3. Методы улучшения точности многокоординатных машин

Как можно видеть, в обеих группах можно достичь совершенствования точности за счёт улучшения методов расчёта. Для первой группы предполагается, что создаваемая конструкция несущей системы оптимизирована по определённым параметрам, например, по жёсткости. Применяя в оптимизации более совершенные методы расчёта, можно получить более совершенные несущие системы. Один из способов второй группы предлагает введение коррекции на основе априорной информации о машине, например, о жесткости несущей системы. При введении коррекции точность технологической машины повышается. Поэтому следует рассмотреть, какие методы расчёта машин используются, и как можно их усовершенствовать.

1.2 Существующие подходы к определению динамической жесткости

конструкций машин

Любое устройство в первую очередь представляет собой кинематику, описывающую движения его узлов во время работы. На основе кинематики устройства создаются модели его работы. В общем случае можно выделить следующие уровни моделирования:

1. Модели, учитывающее кинематику

2. Модели, учитывающие нагрузки (в том числе инерционные)

3. Полная динамическая модель, учитывающая жесткость машины

4. «Сверхмодели» - имитационные модели, учитывающие не только статическую, но и динамическую жесткость, т. е. поведение вблизи резонансов, а значит и демпфирование системы

Построение моделей за частую необходимо для систем управления. Построение высокоточных моделей позволяет расшить зоны управляемости устройства. Ниже кратко рассмотрим два основных подхода к моделированию многокоординатных машин: структурный подход и подход, основанный на методе конечных элементов.

1.2.1 Структурный подход

Структурный подход позволяет выяснить влияние отдельных факторов на точность многокоординатной технологической машины, определить отклонение от заданной траектории движения. Подход базируется на анализе полной вариации функции, описывающей траекторию движения машины. Подход позволяет получить выражения, связывающие входные (погрешности положения узлов и элементов машины, вызванные неточностью изготовления или деформациями во время работы) и выходные параметры (функция формообразования).

Для построения функции формообразования используется математический аппарат преобразования координат, оснований на использовании матриц преобразования 4-го порядка. Удобство использования таких матриц заключается в том, что любые преобразования координат осуществляются за одну математическую операцию умножения матриц. Вектора при таком подходи также имеют четвертый

порядок и записываются в так называемых однородных координатах. Всего различают два вида векторов - собственные и несобственные. Первые служат для описания положения какого-либо объекта, например рабочего органа, вторые - дифференциальных величин (скорости или ускорения). Собственный вектор с координатами х, у и 2 записывается как

г = (х,у,г, 1)Т,

несобственный вектор с координатами ах, ау, а2 -

а = (ах, ау, аг, 0) .

Преобразование координат вектора г из системы координат Б; в Б1-1 происходит путем умножения вектора на матрицу преобразования А:

т1-\ = А^-1)дгг

Матрица преобразования имеет структуру

А =

где верхний левый блок О описывает поворот системы координат (СК), а правый верхний блок Н - смещение СК. Любое сложное преобразование можно представить в виде набора последовательных простых преобразований, по типу поворота или линейного перемещения вдоль одной оси [37]. Тогда любая матрица преобразований может быть представлена в виде произведения не более шести матриц, приведенных в Таблице 2. Варианты таких простых преобразований и их интерпретация представлены на Рисунке 1.4.

Применение этого подхода позволяет оценить влияние погрешностей, возни-каемых в узлах многокоординатной машины и их сочленениях, на точность позиционирования рабочего органа машины. В первую очередь это касается геометрических и кинематических погрешностей. Рассмотрим виды погрешностей возникающих в узлах многокоординатных машин. Структурно многокоординатные машины представляют собой совокупность механизмов, осуществляющих управляемое поступательное движение вдоль координатных осей (Рисунок 1.5, а) и управляемое вращательное вокруг координатных осей (Рисунок 1.5, б).

а11 а12 а13 а14

Qзx3 ^3x1 а21 а22 а23 а24

.^1x3 1 а31 а32 а33 а34

0 0 0 1

Рисунок 1.4. Варианты элементарных преобразований координат: а, б, в - линейные перемещения вдоль оси X, Y и Z соответственно; г, д, е - повороты вокруг оси X, Y и Ъ соответственно

Согласно ГОСТ Р ИСО 230-1-2010 [38], геометрическую точность ползуна при прямолинейном движении характеризует шесть отклонений (Рисунок 1.6): три линейных отклонения 6Х(EXZ), 6у(EYZ), 82(EZZ), соответствующие смещениям вдоль координатных осей, и три угловых отклонения ах (EAZ), ау (EBZ), а2 (ECZ), соответствующие поворотам вокруг координатных осей.

Поскольку погрешности, связанные с временем работы машины (износ, выкрашивания, фреттинг и т. п.), в данный момент времени не зависят от внешних сил, то их учет не будет принципиально отличаться от учета геометрических погрешностей. Учет же погрешностей, вызванных режимом работы, происходит путем введения переменных параметров, зависящих от внешних сил, в полученные

матричные уравнения. Для получения этих параметров необходимо иметь адекватные модели узлов и их сочленений.

Таблица 2.

Матрицы преобразований

Перемещение

Линейное

Вращательное

и с о о н ь л е т и с о н т о е и н

е ещ

е м

е р

е

С

X

А1 =

/1 0 0 xN

0 10 0

0 0 10

\0 0 0 1У

А4 =

1 0 0 0

0 cosф —sinф 0

0 sinф cos ф 0

0 0 0 1

Y

А2 =

1000

0 1 0 у 0 0 10

0001

А5 =

/созф 0 —5тф 0х

0 1 0 0

зтф 0 cosф 0

0 0 0 1

2

А3 =

1000 0100

0 0 1 г

0001

А6 =

/^е ^те 0 0х

sin е ^е 00

0 0 10

\ 0 0 0 1.

а) б)

Рисунок 1.5. Конструктивное представление линейной (а) и поворотной (б) осей:

1 - корпус; 2 - суппортная пластина; 3 - двигатель; 4 - линейные профильные направляющие; 5 - каретки; 6 - винт ШВП; 7 - подшипник качения; 8 - муфта; 9 - торцевая пластина; 10 - планшайба; 11 -встраиваемый моментный двигатель

У

а

Евг СЗ

г

х

Рисунок 1.6. Отклонения линейной оси [38].

1.2.2 Подход на основе метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) - численный метод, относящийся к семейству вариационно-разностных методов. МКЭ, который по сути является модифицированным методом Релея-Ритца, позволяет решать задачи механики сплошных сред и некоторых других типов, описываемых дифференциальными уравнениям в частных производных.

Своими корнями МКЭ уходит в 1850-1860 года, когда для нужд строительной механики была разработана теория кручения и изгиба балок, положившая начало науке по расчету конструкций. В течении следующего столетия расчет конструкций сводился к анализу систем, содержащему одномерные элементы. И лишь в 1950 году было получено обобщение для элемента пластины, необходимого для расчета тонкостенных конструкций, используемых в авиастроении. После этого во второй 1950х годах Р. Клаффом, М. Тёрнером и другими [39, 40] были сформулированы основные положения метода и само понятие «конечного элемента».

Математические основы метода были независимо сформулированы в 1909 году В. Ритцем, который разработал метод решения задач механики сплошных сред, основанный на минимизации функционала потенциальной энергии деформаций, аппроксимированного совокупностью известных функций с неизвестными

коэффициентами. В дальнейшем в 1943 году Р. Курант модифицировал его метод, расширив его возможности. Он ввел специальные линейные функции на треугольных областях и применил его для задач кручения. В качестве неизвестных были приняты значения функций в узловых точках областей. Использование линейный функций автоматически выполняло требование по удовлетворению граничных условий задачи, что позволило обойти ограничение метода Ритца. Однако данный метод не получил широкого распространения, поскольку требовал больших вычислительных затрат, что стало возможным лишь с появлением вычислительной техники.

Следующим важным событием было доказательство эквивалентности метода «конечных элементов», сформулированного Р. Клафом, и модифицированного метода В. Ритца в середине 1960х годов. Это позволило обобщить метод конечных элементов на ряд других задач.

Теория и различные техники применения МКЭ подробно изложены в работах [41, 42, 43].

Основные положения метода. Основная идея метода заключается в том, что вместо фактического распределения некоторой непрерывной величины в искомой подобласти ищется ее приближенное значение путем аппроксимации дискретной моделью. При этом область решения задачи, в общем случае сложной геометрии, разбивается на подобласти («конечные элементы») с простой геометрией, в которых функция распределения заранее известна. Приближенное решение для неизвестного параметра и(х) (в задачах механики - это перемещения) выражается как сумма нескольких функций, называемые базисными функциями:

где п - число узлов разбиения, ф ¿(х) - базисные функции, с^ - весовые коэфици-енты, определяемые в результате минимизации ошибки между действительным и аппроксимированным значениями. Иллюстрация метода продемонстрирована на Рисунке 1.7.

(1.1)

Для достижения более высокой точности существуют два пути: увеличение количества разбиваемых областей или использование базисных функций, а значит и самих конечных элементов, более высокого порядка. Примеры различных конечных элементов представлены в Таблице 3.

Внутри /-го элемента, образованного узлами (/) и (/+1), величина и будет распределена согласно линейному закону:

и(х) = С;ф;(х) + С^ф^О) (1.2)

При подстановке граничных условий (значения функции в узловых точках) уравнение (1.2) преобразуется к виду

и(х) = Я1(х)щ + Ы2(х)щ+1, где М1(х),Ы2(х) - функции формы, одинаковые для всех элементов одного типа и зависящие лишь от геометрии элемента, и^и^ - значения функции в узлах. После этого задача об определении распределения величины и внутри области определения сводиться к определению ее значений в узловых точках.

Точное решение Рисунок 1.7. Иллюстрация метода для одномерного случая

Значения в узловых точках находятся из решения системы линейных уравнений:

[кт = (1.3)

где {5} = {и0, и2, ... ип}т - вектор узловых значений, = ... -

вектор, содержащий внешние воздействия, приложенные в узлах, а

^00 ^01 ^0п

[Я] = ^10 &11

-кп0 кп1 к п п

- матрица коэффициентов, называемая матрицей жесткости. В матрице жесткости компонента ^¿у - это реакция, возникающая в /-ом направлении при единичном перемещении в у-ом направлении, при условии, что перемещения во всех остальных направлениях равны нулю. Для МКЭ важным допущением является то, что задача является линейной, т. е. работает принцип суперпозиции. В таком случае матрица жесткости может быть легко получена из локальных матриц жесткости элементов, путем суммирования всех компонент локальных матриц жесткости, соответствующих данному перемещению.

Таблица 3.

Некоторые виды конечных элементов

Элементы 1-го порядка Элементы 2-го порядка Элементы 3-го порядка

\ \ \ 1D элементы

А Л А 2D элементы

•■— а 4--- п а

1? 4> 3D элементы

Далее на эту систему накладываются граничные условия. При граничных условиях Неймана (заданы силы) в матрице жесткости не меняется ничего, лишь добавляются компоненты вектора внешних сил. При условиях Дирихле (заданы перемещения) из матриц вычёркиваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения известно. После чего система может быть решена с использованием любого из методов решения СЛАУ.

1.3 Влияние соединений на динамическую жесткость конструкций

1.3.1 Актуальность проблемы

Как было уже сказано, современные методы расчета позволяют определить поведение конструкций практически любой геометрии, в предположении, что они обладают непрерывной сплошной структурой. Однако в реальный машинах присутствует большое количество стыков и соединений. Их наличие определенно следующими причинами:

1. Необходимостью обеспечения движений формообразования, являющихся комбинациями линейных перемещений вдоль координатных осей системы и поворотов вокруг этих осей. Примерами таких соединений являются подшипники шпиндельного узла, передачи винт-гайка или направляющие привода подач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куц Михаил Сергеевич, 2019 год

\X // //

\ с /'

4 \ A

\ \ \ N A dx

y y dx

ч

1

0 1 2 3 4 5

Г

в)

Рисунок 3.5. Временные графики свободных колебаний детали на контактном слое при различных значениях параметра f:a - f = 0.1, x0=0.5; б -f = 1.0, х0=2.0; в - f = 2.5, х0=1.0

Введем так же параметр, характеризующий амплитуду колебаний

а =

Х-тах хт1п

2

Таким образом, характер смещения может быть определен по графику изменения параметра ^р. На Рисунке 3.6 изображены, полученные из численного решения уравнения

Рисунок 3.6. График зависимости параметра всплытия от амплитуды колебаний при различных значениях параметра %

По графикам на Рисунке 3.6 видно, что наиболее симметричные колебания происходят при значении ^ = 0,4, что соответствует по сути слабой затяжке соединения, при которой происходит раскрытие стыка. При дальнейшем увеличении затяжки параметр всплытия ^^ увеличивается.

3.1.3 Анализ диссипативных сил в случае неконсервативной системы

Согласно [85, 86, 87] относительное рассеяние энергии ф может быть посчитано как отношение рассеянной за цикл энергии Ш к максимуму потенциальной энергии Еп (см. Рисунок 3.7):

Ш

Ф = 7г.

Е,

п

Энергия, рассеянная за цикл колебаний, определяется как работа диссипа-

2п ш

тивных сил Рд(х(х)) за период Т = —

ш

= [\(*Ю)

х(т)йт.

(3.10)

Рисунок 3.7. Петля гистерезиса упругодиссипативной системы

Учитывая, указанный ранее, факт, что колебания обладают малой степенью негармоничности, а также вязкий характер сопротивления Р(х), то выражение (3.11) может быть вычислено как:

9 ь

Ш = пх2ы0— 0 т

Максимум потенциальной энергии определяется как

(3.11)

^пХо

f(x)dx

0

(3.12)

Для случая, когда отсутствует раскрытие стыка, т. е. х0 < 1, то подставляя в (3.12) выражение получим

1 (1 + 21 7 Л

Еп = 1 + 1(

Х2 + „ Хг

И

+ 2 (313) С учетом (3.11) и (3.13) получим выражение для коэффициента поглоще-

ния

86

1 + 5 Ь

2+?+Хр?т

Тогда с учетом выражения (1.13) коэффициент вязкого демпфирования может быть вычислен как

ь = (3.14)

пшо(1 + £) '

3.2 Разработка динамической модели контактного слоя на основе метода

конечных элементов 3.2.1 Вывод зависимостей контактного изопараметрического элемента

Контактный элемент предназначен для соединения двух объемных 20-ти узловых элементов. Внешний вид элемента представлен на Рисунке 3.8. Не смотря на то, что контактный элемент состоит из 16-ти узлов, фактической толщины он не имеет и все его механические свойства приводятся к нейтральной центральной поверхности (изображена штрих-пунктирной линии на Рисунке 3.8). И так как деформации и напряжения фактически изменяются лишь вдоль нейтральной поверхности, то для удобства их описания следует перейти к обобщенным нормированным координатам ^ и п (см. Рисунок 3.9), в которых элемент будет представлять из себя прямоугольник с вершинами, в точках (1,1), (1,-1),(-1,-1) и (-1,1).

Перемещения {5} верхней и нижней граней элемента, представляет собой векторное поле, состоящее из трех компонент {и, V, ш}т, действующих вдоль соответствующих координатных {х, у, г}7 соответственно. Распределения перемещений на нижней (верхней) поверхности элемента можно определить по зависимости:

вв(н) = !ВД}в(н), (3.15)

где N1 - функция формы /-го узла, а {5^} - его перемещения. В Таблице 12 записаны функции формы в обобщенных координатах ^ и п, а также их частные производные по обобщенным координатам, для узлов элемента.

Рисунок 3.8. Структура контактного элемента

Л

1,Р

/.X

ип

1

-1 0

-1

к

о

д,и

3>°

Рисунок 3.9. Схема ориентации однородных координат внутри элемента Уравнение (3.15) может быть записано в матричном виде:

5в(н) = Мв(н) • 81(н)>

где = {б;, 8],... бс] - вектор узловых перемещений верхней поверхности элемента, (8}Н = [бт, бп,... бх}Т - вектор узловых перемещений верхней поверхности элемента, а

К(Н) = [М11,М11,...М<1] в которых I - единичная матрица размерности 3 X 3.щ

Аналогичным образом распределены и натуральные координаты по обобщенным:

гв(н) - Мв(н) • гв%),

где г — {х, у, г}7 - радиус вектор, задающий верхнюю и нижнюю поверхности,

гв — (х{, У;, х_у, у/, ... Ус, - вектор узловых координат верхней поверхности элемента и г® — {хт, ут, гт, хп, уп, ...ух,2х}Т - вектор узловых координат нижней поверхности элемента.

Аналогичным образом распределены и натуральные координаты по обобщенным:

гв(н) — Мв(н) • гв6(н),

где г — {х, у, г}7 - радиус вектор, задающий верхнюю и нижнюю поверхности, гв — (х*, У;, ху, уу, ... ус, - вектор узловых координат верхней поверхности элемента и г^ — {хт, ут, гт, хп, уп, .ух,гх}Т - вектор узловых координат нижней поверхности элемента.

В контактном слое возникает градиент перемещений, который может быть разложен согласной линейному закону по толщине контактного слоя. По этой причине вектор деформаций £, в случае контактного элемента, будет состоять из нормальных сближений и касательных смещений {6П, 6Т1,6Т2}т, соотнесенных к толщине контакта. Вектор деформаций может быть представлен следующим образом:

£ —5'в-5'н, (3.16)

где 5'в(н) - вектор перемещений верхней (нижней) поверхности элемента в базисе

{ п, 5 1, 52}т , в котором вектор п - вектор нормали к поверхности, а 5 1 и 52 - ортогональные касательные к поверхности (см. Рисунок 3.10).

Нормаль к поверхности может быть получена через векторное произведение ее градиентов в направлении ^ и п:

V

п — ^

где вектор

4 =

гдхл гдх}

дЪ ду > х < ду

дЪ дг дп дг

дх дх

Ж дП

ду ду

дп

дг дг

Ж дП

е1

е

(3.17)

в котором (е1; е2, е3}т - базис пространства Охуг, а 1У1 - длина вектора V. Обозначим координаты вектора V следующим образом

ду дг дг ду 'Щдц-дЪдц дгдх дхдг

= к

дЪ дп дЪ дп

= К-2

дх ду ду дх

дЪдч-~дЪдц = Кз

Тогда длина вектора V и нормаль к поверхности могут быть определены

как

\к1 + К2+К2

и

п =

1

VI

к1 к2 к3

Рисунок 3.10. Поверхность элемента и базис ее касательного полупространства

Таблица 12.

Функции формы и их частные производные

N дЫ 55 дЫ 5Л

1 иКт) = ^(52 + л2 + 5л - 52л - 5л2 -1); 4 5 = 4 С25 + Л 2?п л2) ^¿ГтгО 1 4(2П + ? ? 2?П)

2 л//(п) = \ (52 + л2 - 5л - 52л + 5л2 -1); ЯЫИп, 1 а^П) = 4(2? Л 2?л+Л2) ал = 4С2л ? ?

3 = ^(52 + л2 + 5л + 52л + 5л2 -1); ЯЫк(„, 1 1 ал = 4 С2л + 5 + 52 + 25л)

4 = ^а2 + л2 + 5л + 52л + 5л2 -1); дМиг)Л 1

5 %го=^(1-л- 52 + 52л);

6 + 5-л2 -5л2); 1 „ 2ч э? - 2(1-п)

7 ^)=^(1 + л- 52 - 52л); ал 2 ^

8 ^(х)=^(1-5-л2 + 5л2)- дЫт 1 аг = 2( 1+л) дНг(х) ал =+

В таком случае вектор 51 может быть получен как:

^ =

1 0 0.

хп =

1

т

или, в случае если п коллинеарен е1, то

^ =

0 1 0

хп =

т

0

к3 к2

к3 0

к1

(3.18)

(3.19)

Вектор б2 = п х в1. В случае если б1 определен по (3.18), то

1

^ =

к22 + к2

3

К1К2 К1К3

Если же 51 определен по (3.19), то в этом случае

1

^ =

№

К2К1 ^ К3 + К2 К2К3)

Перевод вектора 5н(в) в новый базис [п,б1,б2}т осуществляется путем дом-ножения на матрицу перехода А:

в'н(в) = А • 5

н(в)>

(3.20)

где матрица перехода А =

гп s

■х

П

У

1х s1z

_б2Х Б2у Б2г.

Щ S1

—

т

С учетом (3.20) и (3.15), зависимость (3.16) примет вид:

£ = 5В - 5'н = А • Ыв • - А • Ын • 5Н = В • 5е

где В - матрица деформаций, определяемая выражением:

В = А• [Ыв, -Ын] = А • Ы,

(3.21)

а 5е = (б£,б7,

т

Вектор напряжении

состоит

из

трех

компонент:

а =

г Р 1

Т51 тз2)

где р - давление в контактном слое, т51 и тз2 - касательные напряжения в контактном слое.

1

Для связи давления и касательных напряжений в контактном слое со смещениями в контактном слое использовались линеаризованные формы зависимостей (1.7) и (1.10):

Бп — к(р Ро ) + Бп0 6Х — ^тТ

- коэффициент касательной и нормальной контактной податли-

где кт — к —

Яа с0

вости при давлении р0, мм/МПа; 8п0 — Яа с0 I— - начальные смещения, мкм; Яа —

Е

Каг+Ка2 2

- средняя арифметическая высота микронеровностей контактирующих по-

верхностей, мм; со - безразмерный параметр, зависящий от высоты волнистости, шага шероховатости и направления следов обработки; Е = 2Е1Е2КЕ1 + Е2) - приведенный модуль упругости контактирующих материалов, МПа. Тогда матрица упругости примет вид

1

В —

- о о

1

010 1

0 01

Согласно методу виртуальных перемещений можно записать работу внешних сосредоточенных сил Р для перемещений й8е:

Ш— (3.22)

Работа внутренних сил, в таком случае, будет равна:

| • ойу — (аье)т (| втъ • вал) й8е

Учитывая, что работа внешних (3.22) и внутренних (3.23) сил равны, получим

(3.23)

где

Ке — I вт в •

А

вал (3.24)

- матрица жесткости элемента.

Вычисление матриц масс и демпфирования

В случае действия переменных во времени сил, то кроме упругих сил при составлении уравнений равновесия также необходимо учитывать силы инерции и диссипативные силы. Данные силы могут быть рассмотрены как часть объемных сил [42, 86, 87, 88].Тогда уравнения равновесия примут вид:

М5 + С5 + К5 = f, (3.25)

где Ми С - глобальные матрицы масс и демпфирования.

При определении матриц масс и демпфирования, считалось что его инерционные и диссипативные характеристики равномерно распределены по верхней и нижней граням. Тогда, учитывая толщину контактного слоя к, кинетическая энергия контактного элемента может быть записана как

Т = аА (3 26)

Принимая во внимание принцип разделения переменных, согласно которому 5*(С,х,у,г) = 8(х,у,г) •№(£), то после некоторых преобразований, применив процедуру численного интегрирования, выражение (3.26) может быть записано в матричной форме:

т = 1у^еТме^е (3.27)

2

где Ме - локальная матрица масс элемента, определяемая выражением (3.28):

Ме = рк I ^ША. (3.28)

А

Локальная матрица демпфирования, согласно [41], определяется по аналогии с матрицей масс:

Се=вк( (3.29)

А

где в - удельная вязкость единицы площади контактной поверхности, определяемая по зависимости (3.14).

3.2.2 Выбор численной процедуры

Зависимость (3.25) является системой дифференциальных уравнений второго порядка. Для решения такой системы могут быть использованы методы прямого интегрирования, основанные на конечно-разностной дискретизации временной области задачи. К таким методам относятся метод центральных разностей, метод Ха-болта, 0-метод Уилсона и метод Ньюмарка [41, 89]. В основе этих методов лежит два принципа:

1. Удовлетворения условий равновесия (3.25) выполняется лишь в дискретных точках временного интервала с шагом Ы (шаг интегрирования), что позволяет в каждый момент времени фактически рассматривать систему (1.3), соответствующую статическому равновесию;

2. Учет диссипативных и сил инерции осуществляется внутри шага по времени.

В общем, алгоритм решения методом прямого интегрирования выглядит следующим образом:

1. Выбор шага интегрирования Ы и расчет постоянных интегрирования;

2. Составление ансамбля и вычисление матриц жесткости К, масс М и демпфирования С;

3. Вычисление вектора эффективных нагрузок ъ+м, учитывающего инерционные и диссипативные силы в момент времени t + Д^

4. Определение перемещений 8г+А1 — К-1г1+А1 в момент времени t + Д^

5. Вычисление векторов скоростей 8{+А1 и ускорений 8{+А1 по соответствующим конечно-разностным формулам.

Решение задачи таким образом требует не менее 2пткБ операций, где п и тк - порядок и ширина полуленты матрицы жесткости К, ^ - количество шагов интегрирования для линейных задач. В случае нелинейности, на каждом шаге добавляется процедура составления матриц М, С и К, что обычно требует 1ц2 операций, где I - количество КЭ в сетке и ц - количество узлов в элементе. Таким образом, использование методов прямого интегрирования не рационально, при

исследовании поведения системы на длительных промежутках времени, поскольку это требует больших вычислительных затрат.

В таком случае более эффективным является решение, основанное на разложении системы по собственным формам. Основная идея состоит в том, что система (3.25) приводится к более эффективной, путем замены перемещений следующим образом

—

где Р - матрица преобразований, х^) - вектор зависящий от времени. Наиболее часто используемый на практике способ определения матрицы преобразования Р -решение проблемы собственных значений характерной системы

Кф — (2Мф. (3.30)

Система (3.30) имеет п собственных решений (^22,^1),(^2>^2)>— где

( и ф; - частота колебаний и вектор /-ой собственной формы. В таком случае системы (3.25) заменяется на эквивалентную ей систему, вида

х + ФтСФх + П2х — Фтг, (3.31)

где Ф - матрица, составленная из собственных векторов, записанных в виде столбцов; О2 - диагональная матрица собственных частот. Для решения системы (3.31) может быть применен любой из методов прямого интегрирования, упомянутых ранее. Ускорение вычислений осуществляется за счет уменьшения ширины тк полуленты диагональной матрицы коэффициентов (матрица О.2), а также за счет того, что в действительности нет необходимости учета всех собственных форм, а в больше случаев достаточно ограничиться учетом лишь пэ первых форм. Алгоритм решения в таком случае выглядит следующим образом:

1. Приведение системы к линеаризованному виду. Составление ансамбля и вычисление матриц жесткости К, масс М и демпфирования С;

2. Вычисление матрицы Ф собственных векторов и О.2 собственных значений;

3. Выбор шага интегрирования Д1 и расчет постоянных интегрирования;

4. Вычисление вектора эффективных нагрузок ъ+м, учитывающего инерционные и диссипативные силы в момент времени t + Д^

5. Определение обобщенных перемещений хг+А1 = а2-1 Ъ+м в момент времени t + Д^

6. Вычисление перемещений суперпозицией реакций по пэ первых форм

7. Вычисление векторов скоростей 8{+А1 и ускорений 8{+А1 по соответствующим конечно-разностным формулам.

8. Повторение пп. 4-7 для каждого шага интегрирования.

3.3 Выводы по главе

В результате проведения исследований колебаний модельной системы с одной степенью свободы было обнаружено:

- при малых амплитудах колебаний система стремится к линейной;

- степень негармоничности колебаний слабо зависит от усилия затяжки винтов резьбового соединения;

- с ростом амплитуды колебаний наблюдается эффект всплытия, заключающийся в смещении средней точки колебаний от положения статического равновесия при росте амплитуды;

- разработанный контактный конечный элемент позволяет интегрально моделировать поведение контактного слоя резьбовых соединений.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЖЕСТКОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С РЕЗЬБОВЫМИ

СОЕДИНЕНИЯМИ.

Данная глава посвящена экспериментальному исследованию динамики групповых резьбовых соединений. Приведено описание экспериментальной установки и результатов испытаний по исследованию влияния давления на резонансную частоту и контактное конструкционное демпфирование сборных образцов. Также рассмотрен вопрос демпфирования и жесткости резьбовых соединений, заполненных полимерными соединениями.

4.1 Экспериментальное исследование вибраций конструкции с резьбовыми соединениями.

4.1.1 Описание экспериментальной установки и методы исследования

Для подтверждения полученных, в предыдущей главе, выводов о возможности применения линеаризованной модели контактного взаимодействия были проведены исследования динамики сборных образцов в области резонанса. Исследование проводилось при различных усилиях затяжки и конфигурациях контактных поверхностей.

Результаты исследований опубликованы в работе [90]. Исследования проводились на экспериментальной установке, изображенной на Рисунке 4.1, в, которая позволяла оценить резонансные частоты, обусловленные контактным слоем, а также степень нелинейности колебаний детали, соединенной с основанием посредством резьбового соединения. Схема экспериментальной установки изображена на Рисунке 4.1, а. Для определения влияния условий закрепления на резонансные частоты системы был изготовлен образец для испытаний 1, изображенный на Рисунке 4.1, б, состоящий из основания 7, с габаритами 124х80х34 мм, и балки 5 200х40х34 мм из материала Д16Т. Толщины исследуемых образцов выбраны из условия обеспечения равномерного давления в контактном слое учитывая, что давления от затяжки винтов распространяются внутри «конусов давления» [91, 92]. В качестве платиков использовались подкладные пластины 12 толщиной 2 мм

шириной 7 мм, 10 мм и 15 мм. Для определения частоты резонанса образец 1 закреплялся на вибростенде 4, на котором подвергалась вибро-воздействию возбуждающей силой при различных значениях момента затяжки болтов 6; с целью определения возможного гистерезиса на амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) для каждого значения момента затяжки проводилось два измерения: в первом производилось плавное увеличение частоты возбуждения от 600Гц до 1800Гц (данный диапазон выбран из предварительных экспериментов, в которых было определенно приблизительное значение первой резонансной частоты), во втором - плавное уменьшение от 1800Гц до 600Гц. Для монтирования образцов на вибростенде был изготовлена переходная пластина наружным диаметром D=180 мм и толщиной h=45 мм. Габариты переходной пластины были подобраны таким образом, чтобы ее собственные частоты не попадали в исследуемый диапазон частот [93], обусловленных соединением основания 1 и балки 2. На Рисунке 4.2 изображена первая собственная форма основания, соответствующая частоте 6044 Гц.

Контактирующие поверхности исследуемого соединения были обработаны строганием, для получения регулярной шероховатой поверхности без волнистости, либо фрезерованием однозубой фрезой-летучкой, для получения гладкой поверхности (параметр шероховатости Яа=0,1) без волнистости. Шероховатость контактирующих поверхностей исследуемого соединения в процессе эксперимента варьировалась. Контактирующие поверхности остальных соединений были получены либо фрезерованием однозубой фрезой-летучкой, либо тонким точением, таким образом, чтобы показатель шероховатости Ка не превышал 0,2 мкм.

Постоянная амплитуда вибро-воздействия поддерживалась системой управления 2 при помощи акселерометра 10, выполняющего роль датчика обратной связи. Сигнал отклика измерялся при помощи акселерометра 11. Контроль момента затяжки производился при помощи динамометрического ключа со стрелочным индикатором часового типа и ценой деления 0,2 Нм.

Исполнение без платиков 6 5 11

в

Рисунок 4.1. Схема экспериментальной установки (а), чертеж исследуемого образца (б) и фото образца смонтированного на вибростенде (в): 1 - образец для испытаний; 2 - система управления вибро- платформой и сбора данных; 3 - усилитель; 4 - вибро- платформа; 5 - балка; 6 -болты для закрепления балки; 7 - основание; 8 - болты для закрепления основания; 9 - переходная пластина; 10 - датчик обратной связи; 11 - датчик; 12 - подкладные пластины; «aqs» - записываемый сигнал; - сигнал обратной связи.

Тип: Смещение Единица: тт

02.02.2018, 18:57:38

12.93 Макс

I

10.38

7.84

5.29

2.75

0.21 Мин

Рисунок 4.2. Первая собственная форма основания ^ = 6044 Гц)

В процессе проведения измерений было обнаружено, что объект исследования имеет высокую добротность, в результате чего система управления теряет устойчивость в зоне резонанса и амплитуда сигнала возбуждения многократно увеличивается (при прямом проходе) или уменьшается (при обратном проходе). На спектре сигнала отклика данная потеря устойчивости выглядит как резкий «всплеск» (при прямом проходе) или «провал» (при обратном проходе) в зоне пика, что не позволяет судить об амплитуде в резонансе, однако значение частоты резонанса можно определить с погрешностью £ < 1%.

4.1.2 Результаты эксперимента и обсуждение В эксперименте было исследовано влияние сил затяжки на резонансные частоты образца для четырех различных случаев: контактирование происходит по всей поверхности, контактирование происходит по поверхностям опорных плати-ков шириной 7мм, 10мм и 15мм. Полученные АЧХ и ФЧХ для изображены на Рисунках 4.3 и 4.4 соответственно. По полученным данным были определены значения резонансных частот, определенные методом максимального пика, при прямом

и обратном проходах и определена их разница. Значения резонансных частот, их разница и амплитуда в резонансе представлены в Таблице 13. Также по полученным данным были построены графики зависимости частоты резонанса от величины момента затяжки винтов для случаев, когда контакт происходит по всей поверхности, и когда контакт происходит по площади платиков. Полученные зависимости представлены на Рисунке 4.5. отПо данным зависимостям можно судить, что частота резонанса растет с увеличением момента затяжки болтов. При этом резонансная частота в случаях контакта по торцам опорных платиков на ~150Гц ниже, чем в случае контакта по всей поверхности. В данном случае это может быть объяснено тем, что в эксперименте платики моделировались дополнительными пластинами, в результате чего появлялся дополнительный стык, суммарно уменьшающий жесткость всего соединения. Также по графикам на Рисунке 4.5, б видно, что с уменьшением ширины платиков выход на максимальное значение частоты резонанса происходит быстрее, однако само максимальное значение частоты растет с увеличением ширины опорных платиков.

2000

в) г)

Рисунок 4.3. АЧХ колебаний образца при различных силах затяжки в случае контакта по всей поверхности (а) и контакта по поверхности опорных пла-

тиков шириной 7мм (б), 10мм (в) и 15мм (г):(—) - прямой проход;

(—) - обратный проход

Рисунок 4.4. ФЧХ колебаний образца при различных силах затяжки в случае контакта по всей поверхности (а) и контакта по поверхности опорных пла-

тиков шириной 7мм (б), 10мм (в) и 15мм (г): (—) - прямой проход; (—) - обратный проход

Таблица 13.

Значения резонансных частот при прямом и обратном проходах

Сила затяжки, Н Резонансная частота, Гц Амплитуда в резонансе, § Разница резонансных частот,%

Прямой проход Обратный проход Прямой проход Обратный проход

1 2 3 4 5 6

Контакт по всей поверхности стыка

1500 998.8 988.0 111.1 140.8 1.09%

1500 996.6 988.0 67.4 72.4 0.87%

3000 1074.5 1074.4 162.6 150.6 0.01%

4500 1124.1 1119.2 170.9 169.8 0.44%

6000 1133.8 1131.3 187.2 184.1 0.22%

6000 1104.9 1100.2 157.6 152.6 0.43%

7500 1143.6 1143.5 192.7 167.8 0.01%

7500 1121.7 1119.2 173.5 178.9 0.22%

9000 1143.6 1143.5 194.0 186.0 0.01%

10500 1158.5 1158.3 231.5 181.5 0.01%

12000 1155.9 1163.4 126.6 184.0 0.64%

13500 1168.4 1165.9 243.7 194.0 0.22%

15000 1171.0 1170.9 258.2 187.3 0.00%

Контакт по пластинам шириной 7мм

1500 916.5 908.5 74.5 59.7 0.87%

3000 1003.0 1000.9 173.9 202.3 0.22%

3000 1005.2 1003.0 201.8 219.8 0.22%

4500 1013.9 1013.8 213.5 192.8 0.01%

4500 1013.9 1013.8 246.0 227.6 0.00%

6000 1029.3 1027.0 295.1 297.9 0.22%

7500 1029.3 1029.2 323.6 257.8 0.01%

9000 1031.5 1029.2 311.5 303.1 0.22%

10500 1031.5 1029.2 361.7 346.0 0.22%

12000 1029.3 1029.2 318.7 319.7 0.01%

Продолжение Таблицы 13

1 2 3 4 5 6

Контакт по пластинам шириной 10мм

1500 904.7 896.9 64.5 62.8 0.86%

3000 967.0 962.8 109.8 156.2 0.44%

4500 996.6 992.3 191.7 232.4 0.43%

6000 1000.9 998.7 207.9 215.0 0.22%

7500 1009.5 1007.3 242.9 262.6 0.22%

9000 1013.9 1013.8 289.3 246.2 0.01%

10500 1018.3 1018.2 319.9 302.1 0.01%

12000 1022.6 1022.6 359.5 316.6 0.01%

13500 1024.8 1024.8 362.3 365.6 0.00%

15000 1024.8 1024.8 361.1 310.9 0.01%

Контакт по пластинам шириной 10мм

1500 887.3 879.7 126.8 70.5 0.87%

3000 948.5 940.3 192.8 198.5 0.87%

4500 985.9 983.8 229.2 170.6 0.22%

4500 996.6 996.5 223.8 219.6 0.01%

6000 1000.9 1001.3 266.6 273.9 0.04%

6000 1003.0 1005.1 257.8 192.6 0.21%

7500 1005.2 1005.7 228.0 234.5 0.05%

9000 1020.5 1020.4 339.9 264.1 0.01%

10500 1022.7 1022.6 375.5 424.5 0.01%

12000 1029.3 1027.0 324.2 274.1 0.22%

13500 1031.5 1029.2 327.3 295.9 0.22%

15000 1031.5 1029.2 353.4 308.6 0.22%

со , кГц р

1,02

0,98

0,94

0,90

а

П I-

_|_I_I_ь

_|_

Т , Н-м

зат

б

Рисунок 4.5. Графики зависимости резонансной частоты от момента затяжки: а -контактная площадка без платиков; б - контакт по поверхностям пла-тиков шириной 7 мм (1), 10 мм (2) и 15 мм (3)

4.2 Исследование влияния усилия затяжки и шероховатости поверхности на динамическую жесткость резьбовых соединений.

4.2.1 Описание экспериментальной установки и методики исследования

Исследование производилось на образце, описанном в разделе 4.1. При испытаниях образец закреплялся на стальной станине при помощи двух прижимов таким образом, что закрепление основания было жестким. Исследования производились методом экспериментального модального анализа сигнала виброускорений затухающих колебаний образца, полученных в результате виброударного тестирования. На Рисунке 4.6 представлен снимок исследуемого образца и измерительной системы. Виброударное воздействие осуществлялось при помощи динамометрического молоточка KISTLER, а фиксация вибросигналов осуществлялось при помощи акселерометров Bruel & Kjœr с последующим преобразованием в АЦП Data Physics Quattro. Записывался сигнал виброускорений, получаемых с акселерометров и сигнал силы, получаемый с молоточка. Для получения АЧХ полученный временной сигнал подвергался быстрому преобразованию Фурье (БПФ). Учет силы удара производился путем деления спектра сигнала с акселерометров на спектр сигнала с молоточка, в результате чего была получена передаточная функция сигнала. Обработка полученных данных производилась в программе ModalView [94, 95], разработанной на кафедре РК5 «Прикладная механика» МГТУ.

В процессе исследования изменялась сила затяжки винтов и шероховатость контактной поверхности основания 7. Обработка поверхности осуществлялась строганием. Исследования производились для поверхностей параметром шероховатости Ra2.2 мкм, Ra42 мкм и Ra10.2 мкм. Измерения шероховатости осуществлялось при помощи профиллографа Time TR220. Профилограммы полученных поверхностей показаны на Рисунке 4.7. Исследованию проводилось для случая контакта как по всей поверхности, так и для случаев контакта по поверхности опорных платиков.

Рисунок 4.6. Изображение исследуемого образца и измерительной системы

0 0,5 1,0 1,5 I, мм "0 0,5 1,0 1,5 I, мм 0 0,5 1,0 1,5 ¿, мм а) б) в)

Рисунок 4.7. Профилограммы контактной поверхности основания при шероховатости Яа2.2 мкм (а), Ка4.2 мкм (б) и ^а10.2 мкм (в)

Для определения демпфирования широко распространенным является метод резонансной кривой (или метод ширины пика) [65, 96], основанный на зависимости ширины резонансного пика спектра вибросигнала вынужденных колебаний от величины демпфирования исследуемой системы - чем выше демпфирование, тем шире пик. Согласно данному методу, коэффициент демпфирования может быть вычислен по формуле:

/2-/1 (4.1 Фор-

мула 4.2)

где /р,ез - резонансная частота свободных колебаний, ^ и f2 - частоты колебаний, при которых амплитуда колебаний равна ^р=з(см. Рисунок 4.8)

ф = 2п-

Л

рез

Рисунок 4.8. Иллюстрация метода резонансной кривой

Однако недостатком данного метода является его невысокая точность. По этой причине в данной работе использовался метод стохастической идентификации подпространств, основанный на использовании инструментов теории управления и теории идентификации. Преимущество этого метода заключается в том, что он работает непосредственно с временным вибросигналом и результат не зависит от возбуждающего воздействия.

Подробно метод изложен в [94, 97, 98], здесь изложим лишь основные положения методы.

Согласно данному методу, колебания системы с М степенями свободы, описываемой системой ДУ 2-го порядка

М№ + Оу(0 + КуЮ = т, (4.3)

где М, Б и К - матрицы масс, демпфирования и жесткости размерности пхп, а f(t) - вектор внешних сил, размерности М, может быть сведена к системе ДУ 1-го

порядка путем замены =