Методы обработки нестационарных экспериментальных данных с использованием вейвлет-преобразования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.01, кандидат физико-математических наук Князева, Татьяна Николаевна

• Князева, Татьяна Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Князева, Татьяна Николаевна

Введение

Актуальность работы

Цель работы

Научная новизна

Положения, выносимые на защиту

Содержание работы

Глава 1. Анализ существующих методов очистки сигналов от 17 шума

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Классическая постановка задачи очистки от стационарного 17 шума

1.1.2 Постановка задачи очистки нестационарных 18 экспериментальных данных

1.1.3 Влияние разложения исходного сигнала по базису на 19 постановку задачи очистки от шума

1.2 Критерии выбора подходящей аппроксимации

1.3 Существующие методы очистки сигналов от шума

1.3.1 Введение

1.3.2 Классификация методов очистки сигналов от шума

1.3.3 Параметрические методы оценивания

1.3.4 Не параметрические линейные сглаживающие методы 29 оценивания

1.3.4.1 Ядерные регрессионные методы оценивания

1.3.4.2 Локальные полиномиальные методы оценивания

1.3.4.3 Сглаживание сплайнами

1.3.4.4 Винеровская фильтрация

1.3.4.5 Оценки, использующие ортогональные функции

1.3.4.6 Линейное вейвлет-сглаживание

1.3.5 Недостатки линейных сглаживающих методов оценивания

1.3.6 Непараметрические нелинейные сглаживающие методы 41 оценивания

1.3.6.1 Адаптивные методы оценивания

1.3.6.2 Пороговая вейвлет-обработка 43 1.4 Заключение

Глава 2. Дискретное вейвлет-преобразование и очистка от 45 шума

2.1 Введение

2.2 Преимущества использования вейвлетов

2.3 Классификация вейвлет-преобразований

2.3.1 Дискретное вейвлет-преобразование

2.3.2 Максимально накладывающееся дискретное 51 вейвлет-преобразование

2.3.3 Дискретное вейвлет-пакетное преобразование

2.3.4 Максимально накладывающееся дискретное вейвлет- 54 пакетное преобразование

2.4 Классификация методов пороговой вейвлет-обработки

2.4.1 Виды правил пороговой обработки

2.4.2 Способы пороговой обработки 60 2.4.3. Методы выбора величин порогов

2.4.3.1 Минимаксный порог

2.4.3.2 Универсальный порог

2.4.3.3 Порог, определенный на основе множественной 63 проверки гипотез

2.4.3.4 Порог, определенный на основе перекрестной 65 проверки

2.4.3.5 Порог, основанный на несмещенной оценке риска 67 Стейна

2.4.3.6 Пороговая обработка как рекурсивная задача проверки 68 гипотезы

2.4.3.7 Пороги, определяемые с использованием байесовского 69 подхода

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы обработки нестационарных экспериментальных данных с использованием вейвлет-преобразования»

3.2 Общая схема очистки от шума 78

3.3 Удаление выбросов 79

3.3.1 Анализ существующих методов отбраковки выбросов 79

3.3.2 Метод обнаружения выбросов, основанный на МНДВП 90

3.4 Выделение и удаление осциллирующих и др. составляющих на 103 основе МНДВП

3.4.1 Мультиразрешающий анализ на основе МНДВП 107

3.4.2 Распределение средних энергий по частотным полосам 110

3.5 Заполнение разрывов 112

3.6 Анализ и отбор участков для обработки 117

3.7 Заключение 118 Глава 4. Этапы очистки от шума 119

4.1 Введение 119

4.2 Разведочный анализ данных для адаптивного выбора способов 120 и параметров обработки

4.2.1 Проверка вейвлет-коэффициентов на коррелированность 120

4.2.2 Проверка шума на нестационарность 126

4.2.3 Выбор наилучшего базиса и его параметров для 128 конкретного типа сигналов

4.2.4 Выбор наилучшего метода очистки, анализ результатов 138 обработки на основе диагностики остатков

4.3 Выбор вейвлет-преобразования 138

4.4 Выбор способа пороговой обработки 138

4.5 Выбор правила и порогов для модификации вейвлет- 140 коэффициентов

4.6 Компенсация краевых эффектов 141

4.7 Процедура очистки от шума 151

4.8 Заключение 146 Глава 5. Удаление нестационарного шума из экспериментальных 148 данных

5.1 Введение 148

5.2 Проверка гипотезы о гетероскедастичности шума 148

5.3 Удаление нестационарного шума, дисперсия которого 148 изменяется по кусочно-постоянному закону

5.4 Удаление нестационарного шума, дисперсия которого 156 изменяется по неизвестному гладкому закону

5.4.1 Краткий обзор существующих методов определения закона 156 изменения СКО шума

5.4.2 Алгоритм удаления нестационарного шума, дисперсия 157 которого изменяется по неизвестному гладкому закону

5.5 Заключение 163 Глава 6. Сегментная очистка с фиксированными узлами от шума 164 сигналов с особенностями

6.1. Введение 164

6.2 Классификация сигналов с особенностями 165

6.2.1 Сегментная очистка от шума на основе алгоритма 167 обнаружения изолированных особенностей

6.2.2 Сегментная очистка от шума на основе обнаружения 172 неизолированных особенностей

6.3 Заключение 176 Основные результаты работы 177 Список литературы 180 Публикации по теме диссертации 189 Приложения 190

Введение

Актуальность работы

Повышение качества обработки данных физического эксперимента, состояния объекта исследований или технологического процесса, полученных с помощью приборов, было и остается важнейшей задачей, решаемой разработчиками информационно-измерительных систем. Однако существующие методы обработки базируются в основном на предположении стационарности поступающих в обработку данных. В то же время при работе приборов в критических условиях, например, в промышленности, на подвижных объектах (спутниках) при получении информации по телеметрическим каналам, данные искажены скачками шума, разрывами в полезном сигнале и т.п. Например, дисперсия нестационарного шума может изменяться по кусочно-постоянному закону или по неизвестному закону, описываемому гладкой функцией, что требует создания соответствующих методов адаптивной фильтрации.

Реальные сигналы нередко содержат особенности (резкие изменения, разрывы производной), которые необходимо максимально точно восстановить из зашумленных данных. Чаще всего эти особенности содержат главную информацию о сигнале. Если особенности представляются значительным количеством отсчетов (неизолированные особенности), то при очистке от шума таких сигналов традиционными методами информация о тонких деталях резких изменений сигнала или ее производных теряется. Если особенности представляются малым количеством отсчетов (изолированные особенности), то в результате обработки, в местах особенностей (как и в классическом случае Фурье преобразования, но в меньшей степени) наблюдается эффект Гиббса.

Цель работы

Цель работы заключается в разработке методов и эффективных вычислительных алгоритмов очистки сигналов от шума в сложной помеховой обстановке, то есть содержащих выбросы, осциллирующие составляющие, временные разрывы, нестационарный или коррелированный шум, изолированные и неизолированные особенности.

Методы исследований

Для достиэюения указанной цели были исследованы возможности современной теории вейвлетов, свойства частотно-временной локализации которых, позволяют восстанавливать функции с разрывами в производных и сигналы с особенностями.

В диссертационной работе приводятся методы и алгоритмы обработки и анализа данных построенные на основе методов математической статистки и вейвлет-теории. Предлагаемые алгоритмы были реализованы и протестированы в среде МАТЛАБ.

Научная новизна

Научная новизна состоит в том, что: 1. Предложены методы восстановления полезного сигнала в условиях нестационарного шума и разрывов сигнала, отличительной чертой которых является использование вейвлет-преобразования на всех этапах обработки, что позволяет создавать быстрые вычислительные и эффективные алгоритмы обработки. В частности, разработаны методы удаления нестационарного шума, дисперсия которого изменяется по кусочно-постоянному закону и неизвестному закону, описываемому гладкой функцией. Разработаны методы сегментной очистки сигналов от шума на основе обнаружения изолированных и неизолированных особенностей.

2. Разработаны методы обработки данных перед очисткой сигналов от шума. В частности, метод отбраковки выбросов на основе максимально накладывающегося дискретного вейвлет-преобразования (МНДВП), работающий при наличии осциллирующих составляющих на фоне тренда. Исследован способ выделения и удаления осциллирующих и др. составляющих сигнала с использованием мультиразрешающего анализа на основе МНДВП. Разработан метод адаптивного заполнения разрывов, позволяющий заполнять большие разрывы, чем известные методы, основанные на В-сплайнах и локально-полиномиальной регрессии.

3. Разработан метод компенсации краевых эффектов с помощью экстраполяции по оцененной на границе полиномиальной модели с адаптивно оцениваемой структурой и порядком, который обеспечивает лучшие результаты очистки от шума на границах, по сравнению методами, основанными на симметричном и периодическом продолжении.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные методы могут быть использованы для создания алгоритмов восстановления сигналов с особенностями, содержащих выбросы, нестационарный или коррелированный шум.

Положения, выносимые на защиту

1. Методы обработки нестационарных данных с использованием вейвлет-преобразования. В частности, метод удаления шума, дисперсия которого изменяется по кусочно-постоянному закону или по неизвестному закону, описываемому гладкой функцией, методы сегментной очистки сигналов от шума на основе обнаружения изолированных и неизолированных (с использованием максимальных кривизн) особенностей.

2. Метод отбраковки выбросов на основе МНДВП.

3. Метод адаптивного заполнения разрывов, основанный на полиномиальном прогнозировании.

4. Метод компенсации краевых эффектов с помощью экстраполяции по оцененной на границе полиномиальной модели с адаптивно оцениваемой структурой и порядком.

Апробация полученных результатов. Результаты работы докладывались на семинарах в ИАнП РАН, третьей всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MatLab", Санкт-Петербург, 2007; конференции «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», Санкт-Петербург, 2008; на 10-ой Международной конференции и выставке «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва 2008; XI Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM'2008), Санкт-Петербург, 2008; на международной конференции "Wavelets and Applications", St. Petersburg, 2009; на 11-ой Международной конференции и выставке «Цифровая обработка сигналов и ее применение», Москва, 2009.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ (в том числе 2 работы в рецензируемых журналах), список которых приведен в конце диссертационной работы.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 190 стр. состоит из введения, шести глав, разбитых на параграфы, приложений и списка литературы, содержащего 116 названий.

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы экспериментальной физики», Князева, Татьяна Николаевна

Основные результаты работы

1. На основе исследования различных методов очистки от шума предложена их классификация. Кроме стандартного разделения методов на параметрические и непараметрические, линейные и нелинейные, классификация проводилась по областям, в которых осуществлялась обработка исходного сигнала: временной, частотной и частотно-временной. Предложена классификация вейвлет-методов очистки сигналов от шума, включающая их разделения в зависимости от вида вейвлет-преобразования, способа пороговой обработки, правила модификации вейвлет-коэффициентов и метода вычисления порога.

2. Предложена методика очистки сигналов от шума с использованием вейвлет-преобразования, включающая этапы: обработку данных перед очисткой сигнала от шума, разведочный анализ для адаптивного выбора способа и параметров очистки от шума, компенсацию краевых эффектов, процедуру очистки от шума, анализ и интерпретацию результатов. Отдельно рассмотрен этап разведочного анализа данных, включающий способы проверки шума на коррелированность и нестационарность, выбор вейвлет-преобразования, выбор наилучшего базиса и его параметров, выбор способа пороговой обработки, правил и порогов для модификации вейлет-коэффициентов, выбор числа уровней вейвлет-разложения.

3. Показано, что выбросы в вейвлет-области рассматриваются как особенности сигнала, не подлежащие очистке; обычно ДВП работает с равнодикретными данными, что невозможно в присутствии разрывов во временной оси; мешающие осциллирующие составляющие, особенно высокочастотные могут внести сложности в очистку от шума, вызывая корреляцию вейвлет-коэффициентов на тонких уровнях разложения. В связи с этим, представлены методы обработки и анализа данных, проводимые до непосредственной процедуры очистки от шума: отбраковка выбросов, удаление осциллирующих составляющих, заполнение разрывов. Разработан метод отбраковки выбросов на основе МНДВП, работающий при высоком уровне автокорреляции в данных. Исследован метод выделения и удаления осциллирующих и др. составляющих с использованием мультиразрешающего анализа на основе МНДВП. Разработан метод адаптивного заполнения разрывов, позволяющий заполнять большие разрывы, чем известные методы, основанные на В-сплайнах и локально-полиномиальной регрессии.

4. Предложены методы разведочного анализа данных, позволяющие выбрать наиболее подходящий метод очистки от шума в зависимости от его типа (коррелированный или некоррелированный, стационарный или нестационарный), выбрать тип вейвлет-преобразования, вид базисной функции и ее параметры, способ пороговой обработки, правило и тип порога для модификации вейвлет-коэффициентов.

5. Разработан метод компенсации краевых эффектов с помощью экстраполяции по оцененной на границе полиномиальной модели с адаптивно оцениваемой структурой и порядком, который обеспечивает лучшие результаты очистки от шума на границах, по сравнению со стандартными методами.

6. Показано, что при использовании вейвлетов, пороговое значение в алгоритмах удаления шума формируется на основании оценки среднеквадратического отклонения (СКО), вычисленной по всей выборке, что приводит к заметному снижению качества очистки на участках, где шум значительно отличается по СКО от глобально вычисленного, то есть при наличии нестационарного шума. Разработаны методы удаления нестационарного шума, дисперсия которого изменяется по кусочно-постоянному закону или по неизвестному гладкому закону.

7. Показано, что если особенности сигналов представляются малым числом отсчетов и выявляются на тонких уровнях вейвлет-разложения, то при очистке от шума в окрестности резких изменений в вейвлет-области наблюдаются меньшие по амплитуде осцилляции, которые относятся к особенностям, но при пороговой обработке модифицируются, что является источником колебаний Гиббса. Если особенность представляется большим числом отсчетов, то в вейвлет-области на тонких уровнях соответствующие ей вейвлет-коэффициенты будут на порядок меньше шума, то есть информация о тонких деталях особенности теряется и в результате очистки резкое изменение сглаживается. Разработан метод сегментной очистки от шума на основе обнаружения изолированных особенностей, позволяющий избежать эффекта Гиббса в кусочно-полиномиальных сигналах. Разработан метод сегментной очистки от шума на основе обнаружения неизолированных особенностей, позволяющий восстанавливать скрытые в шуме особенности сигналов.

6.3 Заключение

Рассмотрены виды сигналов с особенностями. Выделены две группы: сигналы, имеющие значимые вейвлет-коэффициенты на каждом масштабе разложения и сигналы, принадлежащие пространству Бесова, но при наложении шума на тонких уровнях не имеющие значительно отличающихся по амплитуде вейвлет-коэффициентов вблизи резких изменений

176 неизолированные особенности). Показано, что если особенность в исходном сигнале представляется большим количеством отсчетов, то в вейвлет-области на тонких уровнях соответствующие ей вейвлет-коэффициенты будут на порядок меньше шума, то есть особенность обнаружить нельзя.

Показано, что при очистке от шума сигналов с изолированными особенностями, в окрестности резких изменений в вейвлет-области наблюдаются меньшие по амплитуде осцилляции, которые относятся к особенности, но при пороговой обработке модифицируются, что является источником колебаний Гиббса.

Предложен сегментный метод очистки от шума кусочно-полиномиальных сигналов, использующий возможности вейвлета Хаара для точного определения местоположения изолированных особенностей и пороговую вейвлет-обработку с использованием вейвлетов, отличных от вейвлета Хаара для аппроксимации гладких участков сигнала. При такой очистке удается избежать эффекта Гиббса и восстановить резкие изменения в сигнале.

Предложен метод восстановления неизолированных особенностей с помощью МНДВП и анализа максимальных кривизн и алгоритм очистки от шума, основанный на сегментной очистке с фиксированными узлами. При такой очистке восстановить резкие изменения в сигнале.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Князева, Татьяна Николаевна, 2010 год

1. Wasserman L. All of nonparametric statistics// Springer. USA, 2006. P.268.

2. Леман Э. Теория точечного оценивания: Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 448 с.

3. Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справ, изд. / С. А. Айвазян, И.С. Енюков, JI. Д. Мешалкин; Под ред. С. А. Айвазяна. — М.: Финансы и статистика, 1985. — 487 с.

4. Айвазян С.А., А4хитарян B.C. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2-е изд., испр. — Т.1: Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 656 с.

5. Куликов Е. И. Прикладной статистический анализ. Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Горячая линия-Телеком, 2008. — 464 с.

6. Ibragimov I.A., Has'minskii R.Z. On the estimation of an infinite-dimensional parameter in Gaussian white noise. Soviet Math. Dokl. 236, 10531055, 1977.

7. Efroimovich S.Y., Pinker M.S. Estimation of square-integrable probability density of a random variable. Problems Inform. Transmission 18, pp. 175-189, 1982.

8. Brown L.D., Low M.G. Asymptotic equivalence of nonparametric regression and white noise. The Annals of Statistic 24, 2384-2398, 1996.

9. Nussbaum M. Asymptotic equivalence of density estimation and Gaussian white noise. The Annals of Statistics 24, 2399-2430, 1996.

10. Johnstone /. Function Estimation in Gaussian Noise: Sequence Models. Unpublished manuscript.

11. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т.1: Пер. с англ. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989.-510 с.

12. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 2005.- 671 с.

13. Candes E.J. Modern statistical estimation via oracle inequalities// Acta Numerica. 2006. V.15. P.257-326.

14. Huber P.J. Robust smoothing. In: Robustness in Statistics, eds. E. Launer and G. Wilkinson. New York: Academic Press, 1979.

15. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия: Пер. с англ. -М.: Мир, 1993.-349 с.

16. Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница". Под редакцией Д.Л. Данилова и А.А. Жиглявского. Санкт-Петербургский университет, 1997.

17. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -3-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

18. Scott D.W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice and Visualization. Wiley. New York, 1992.

19. Silverman B.W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman and Hall. New York, 1986.

20. Wahba G. Spline models for observational data. SIAM. New York, 1990.

21. Beran R. REACT scatterplot smoothers: Superefficiently through basis economy. Journal of the American Statistical Association 95, pp. 155-171, 2000.

22. Efromovich S. Nonparametric Curve Estimation: Methods, Theory and Applications. Springer-Verlag. New York, 1999.

23. Amato U., Vuza D.T. Wavelet approximation of a function from samples affected by noise. Rev. Rounmanie Math. Pure Appl., 42, pp. 481-493, 1997.

24. Antoniadis A. Wavelets in Statistics: A Review// Journal of the Italian Statistical Association. 1997. V.6. P.97-144.

25. Cohen A., D'Ales J.-P. Nonlinear approximation of random functions// SIAM J. Appl. Math. 1997. V57. P.518-540.

26. Devore RA. Nonlinear approximation// Acta Numerica. 1998. V.7. P.51150.

27. Lepski O.V., Mammen E., Spokoiny V.G. Optimal spatial adaptation to inhomogeneous smoothness: An approach based on kernel estimates with variable bandwidth selectors. The Annals of Statistics 25, pp. 929-947, 1997.

28. Muller H.-G., Stadtmuller U. Variable bandwidth kernel estimators of regression curves. The Annals, of Statistics. Volume 15, pp. 182-201, 1987.

29. Fan J., Gilbels I Local Plynomial Modelling and Its Applications. Chapman and Hall. New York, 1996.

30. Loader C. R. Local Regression and Likelihood. Springer-Verlag. New York, 1999.

31. Loader C. R. Bandwidth selection: classical or plug-in? The Annals of Statistics 27, pp. 415-438, 1999.

32. Mammen E., Geer S. Locally adaptive regression splines. The Annals of Statistics 25, pp. 387-413, 1997.

33. Donoho D.D., Johnstone I.M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage//Biometrika. 1994. V.81. P.425-455.

34. Donoho D.L., Johnstone I.M. Ideal denoising in a orthonormal basis chosen from a library of bases. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris A 319, pp. 13171322, 1994.

35. Donoho D.L., Johnstone I.M. Minimax estimation via wavelt shrinkage. Technical report, Stanfird University, 1992.

36. Donoho D.L., Johnstone I.M., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet shrinkage: asymptopia (with discussion)? J. Roy. Statist. Soc., Ser. В 57(2), pp. 301-370, 1995.

37. Meyer Y Wavelets: Algorithms and Applications, SIAM, Philadelphia, 1993.38 .Добеиш К Десять лекций по вейвлетам. Изд. РХД, Москва-Ижевск, 2001.

38. Strang G. Wavelet transforms versus Fourier transforms. Bulletin of the American Mathematical Society 28, p. 288-305, 1993.

39. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 с.

40. Coifman R. R., Donoho D. L. Translation-Invariant De-Noising. In Wavelets and Statistics (Lecture Notes in Statistics, Volume 103), New York: Springer-Verlag, 1995.

41. Percival D., Walden A. Wavelet methods for time series analysis. London: Cambridge University Press, 2000, 594 p.

42. Nason G. P., Silverman B.W. The Stationary Wavelet Transform and Some Statistic Application. In Wavelet and Statistics (Lecture Notes in Statistics, Volume 103), New York: Springer-Verlag, 1995.

43. Bruce A. G., Gao H.-Y. Applied Wavelet Analysis with S-PLUS, New York: Springer, 1996.

44. Bruce A., Gao H-Y. S+Wavelets: an object oriented toolkit for wavelet analysis. Technical Report 38, Statsci Divison, MathSoft, Seattle, 1995.

45. Pesquet J.-C., Krim H, Carfantan H. Time-Invariant Orthonormal Wavelet Representation. IEEE Transactionson Signal Processing, 44, 1964-70, 1996.

46. Bruce A. G., Gao H.-Y. Understanding WaveShrink: Variance and bias estimation. Biometrika 83 (4), pp. 727-746, 1996.

47. Marron J.S., AdakS., Johnstone I.M., Neumann M. H, Patil P. Exact risk analysis of wavelet regression// J. Comput. Graph. Statist. 1998. V.7. P.278-309.

48. Gao H.-Y. Wavelet Shrinkage Denoising Using the Non-Negative Garrote, 1997.

49. Antoniadis A., Fan J. Regularization of wavelets approximations. J. Am. Statist. Ass., 96, 2001.

50. Bruce A.G., Donoho D.L., Gao H.-Y., Martin R. D. Denoising and robust non-linear wavelet analysis. Proceedings of SPIE, the International Society for Optical Engineering, vol. 2242, pp. 325-336, 1994.

51. Jansen M., Malfait M., Bultheel A. Generalized cross-validation for wavelet thresholding. Signal Processing, 56 (1), 1997.

52. Nason, G.P. Wavelet shrinkage using cross-validation. J. R. Statist. Soc. B, 58, pp. 463-479,1996.

53. Weyrich N., Warhola G. Denoising using wavelets and cross-validation. In Singh, S. P. Approximation Theory, wavelets and applications, NATO ASI series C, pp. 523-532, 1995.

54. Donoho D.D., Johnstone I.M. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage// Journal of the American Statistical Association. 1995. V.90. P.1200-1224.

55. Ogden R.T., Parzen E. Change-point approach to data analytic wavelet thresholding. Statist. Comput., 6, pp.- 93-99, 1996.

56. Vidakovic B. Non-linear wavelet shrinkage with Bayes rules and Bayes factors. J. Am. Statist. Ass., 93, pp. 173-179, 1998.

57. Mallat S.G., Hwang W.L. Singularity Detection and Processing with Wavelets. IEEE Trans. On Information Theory 38, 617, 1992.

58. Muller P., Vidakovic B. Bayesian Inference in Wavelet Based Model, Springer Verlag, New York.

59. Clyde M., George E. Flexible Empirical Bayes Estimation for Wavelets// Journal of the Royal Statistical Society. Series В (Statistical Methodology).2000. V. 62, No. 4. P. 681-698.

60. Abramovich F., Besbeas P., Sapatinas T. Empirical Bayes approach to block wavelet function estimation// Computational Statistics and Data Analysis. 2002. V.39. P.435-451.

61. Abramovich F., Sapatinas TSilverman B. Wavelet thresholding via a Bayesian approach. J. R. Statist. Soc. B, 60, pp.- 725-749, 1998.64 .Крянев A.B., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 216 с.

62. Хъюбер Дж. П. Робастность в статистике: Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.-304 с.

63. Bilen С., Huzurbazar S. Wavelet-based detection of outliers in time series. Journal of Computational & Graphical Statistics, 2002.

64. Cox D.D. Asymptotics for M-type smoothing splines. Annals of Sattistics, 11, p. 530-551, 1983.

65. Dasgupta M., Mishra S. Least Absolute Deviation Estimation of Linear Econometric Models: A Literature Review. Social Science Research Newtwork, 2004.

66. Debruyne M., Engelen S., Hubert M., Rousseeuw P.J. Robustness and Outlier Detaction in Chemometrics. Critical Reviews in Analytical Chemistry, Volume 36, pp. 221-242, 2006.

67. Donoho D.L., Yu T.P.-Y. Nonlinear pyramid transforms based on median-interpolation, SIAM J. Math. Anal., Vol. 31, № 5, pp. 1030-1061, 2000.

68. DuMouchel W.H., Brien F.L. Integrating a Robust Option into a Multiple Regression Computing Environment. Computer Science and Statistics: Proceedings of 21st Symposium on the Interface. Alexandria, VA: American Statistical Assosiation, 1989.

69. Fox J. Robust Regression. Appendix to An R and S-PLUS Companion to Applied Regression, 2002.

70. Holland P.W., Welsch R.E. Robust regression using iteratively reweighted least-squares. Communications in Statistics: Theory and Methods, Volume 6, pages 813-827, 1977.

71. Koenker R. Quantile Regression. Cambridge University Press, New York, 2005.

72. Rousseeuw P.J. Tutorial to robust statistics. Journal of Chemometrics, Vol.5, pp. 1-20, 1991.

73. Silverman B.W. Some aspects of the spline smoothing approach to nonparametric regression curve fitting (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 47, p. 1-52, 1985.

74. Street J.O. Carroll, Ruppert. A Note on Computing Robust Regression Estimates via Iteratively Reweighted Least Squares. The A,erican Statistican. Vol. 42, pp. 152-154, 1988.

75. Melnik V., Schmulevich I., Egiazarian K., Astola J. Block-Mdian Pyramidal Transform: Analysis and Denoising Applications, 2001.

76. Brown L.D., Cai T.T., Zhou H.H. Robust nonparametric estimation via wavelet median regression. Ann. Statist, Volume 36, Number 5, pp. 2055-2084, 2008.

77. Rao C. R., Toutenburg H. Linear models: least squares and alternatives. New York: Springer-Verlag, 1999, 426 p.81 .Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 755 с.

78. Jawerth В., Sweldens W. An overview of wavelet based multiresolution analyses// SIAMRev. 1994. V.36. P.377-412.

79. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation, IEEE Trans. On Patt. Anal. And Mach. Intell., 11, 674-693 p.

80. McQuarrie A., Chin-Ling Tsai. Regression and time Series Model Selection. London: World Scientific Publishing, 1998. 455 p.

81. СеберДж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 456 с.

82. Moulin P. Wavelet Thresholding Techniques for Power Spectrum Estimation. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, no. 11, pp. 31263136, 1994.

83. Donoho D.L. De-noising by soft-thresholding, EEE Trans. Inform. Theory, 41, no. 3, pp. 613-627, 1995.

84. Donoho D.L. Unconditional bases are optimal bases for data compression and for statistical estimation, Appl. Comput. Harmon. Anal. 1, no. 1, pp. 100-115, 1993.

85. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1983. 303 с.

86. Johnstone I.M., Silverman B.W. Wavelet threshold estimators for data with correlated noise. Journal of the Royal Statistical Society: Series В (Statistical Methodology), Volume 59, Number 2, pp. 319-351, 1997.

87. Johnstone I.M. Wavelet shrinkage for correlated data and inverse problems: Adaptivity results. Statist. Sinica 9, pp. 51-84, 1999.

88. Villemoes L.F. Reduction of correlated noise using a library of orthonormal bases. Information Theory, IEEE Transactions on, pp. 494-604, 2002.

89. Lei Z., Chang-lin M. Testing heteroscedasticity in nonparametric regression models based on residual analysis. Appl. Math. J. Chinese. Univ. 23(3), pp. 25-272, 2008.94 .Кобзарь. А.И. Прикладная математическая статистика. M.: ФИЗМАТЛИТ, 816 с, 2006.

90. Inclan С., Tiao G. Use of Cumulative Sums of squares for retrospective defection of change of variance// JASA, V.427, pp. 913-935, 1994.

91. Daubechies /. Ortonormal bases of compactly supported wavelets. Commun. On Pure and Appl. Math., 41, pp. 909-996, 1988.

92. Battle G. A block spin construction of ondelettes. Part I: Lemarier functions. Comm. Math. Phys., pp. 601-615, 1987.

93. Ojanen H. Orthonormal compactly supported wavelets with optimal Sobolev regularity: numerical results. Applied and Computational Harmonic Analysis, Volume 10, Number 1, pp. 93-98, 2001.

94. Monro D.M., Bassil B.E., Dickson G.J. Orthonormal wavelet with balanced uncertainty. IEEE International Conference on Image Processing, Vol. 2, pp. 581-584, 1996.

95. Nason G.P. Choice of wavelet smoothness, primary resolution and threshold in wavelet shrinkage// Statistics and Computing. 2002. V.12. P.219-227.

96. Goel P., Vidakovic B. Wavelet Transformations as Diversity Enhancers. Discussion Paper, 95-04, ISDS, Duke University.

97. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения // М.: Мир. 1983. 574 с.

98. Henry С. Thode Jr. Testing for normality // New York: State University of New York at Stony Brook. 2002, P. 479.

99. Leslie D., Kohn R, Nott D. A general approach to heteroscedastic linear regression. Statistics and Computing, Volume 17, Number 2, pp. 131-146, 2007.

100. Lo W.Y., Selesnick I.W. Wavelet-Domain Soft-Thresholding for Non-Stationary Noise. Image Processing, 2006 IEEE International Conference on Volume, Issue, 8-11 Oct. 2006 Pages: 1441-1444.

101. Sachs R., MacGibbon B. Non-parametric curve estimation by wavelet thresholding with locally stationary errors. Scand. J. Statist., 27, pp. 475-499, 2000.

102. Raw lings J., PantulaS., Dickey D. Applied Regression Analysis. Spinger 1989. 658 p.

103. WO.Fan J., Yao Q. Efficient estimation of conditional variance functions in stochastic regression. Biometrika 85, pp. 645-660,1998.

104. Hall P., Marron J. On variance estimation in nonparametric regression. Biometrika 77, pp.- 415-419, 1990.

105. WA.Antoniadis A., Lavergne C. Variance function estimation in regression wavelet methods. Wavelets and Statistics. Lect. Notes Stat. Springer-Verlag. 103, pp. 31-42, 1995.

106. Cai T, Wang L. Adaptive variance function estimation in heteroscedastic nonparametric regression. Ann. Statist. Volume 36, Number 5, pp. 2025-2054, 2008.11 в.Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975. — 648 с.

107. Публикации по теме диссертации

108. А1. Ореилко Н.И., Князева Т.Н. Адаптивное заполнение разрывов при обработке многомерных телеметрических данных// Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2007. №1. С. 58-64.

109. А2. Орешко Н.И., Князева Т.Н. Очистка от шума траекторных данных при наличии гетероскедастических погрешностей// Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2007. №2. С. 31-40.

110. A3. Орешко Н.И., Князева Т.Н. Вейвлет-технология анализа и очистки от шума сигналов и ее реализация в среде MatLab// Труды третьей всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MatLab". 2007. С. 1450-1459.

111. А4. Князева Т.Н., Орешко Н.И. Вейвлет-анализ и очистка от шума сигналов с использованием технологии взаимодействия MATLAB С MS

112. VISUAL С++// Сборник докладов конференции «Технологии Microsoft в теории и практике программирования». 2008. С. 138-139.

113. А6. Князева Т.Н., Орешко Н.И. Вейвлет-технология очистки от шума сигналов с использованием байесовских методов// Сборник докладов XI Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM'2008), Том 1. 2008. С. 147-151.

114. А7. Орешко Н.И., Князева Т.Н. Вейвлет-технология анализа и очистки от шума сигналов// Научно-технический журнал "Цифровая обработка сигналов". 2008. № 3. С. 21-25 (журнал включен а в список ВАК).

115. А8. Князева Т.Н., Новиков Л.В., Орешко Н.И. Удаление нестационарного шума из экспериментальных данных// Журнал "Научное приборостроение" РАН. 2008. Том 18. № 2. С. 61-65 (журнал включен а в список ВАК).

116. А9. T.N. Knyazeva, N.I. Oreshko. Wavelet Denoising of Experimental Data with Non-stationary Noise// Труды Международной конференции "Wavelets and Applications". 2009. P. 28-30.