Методы некоммутативной компьютерной алгебры при исследовании некоторых моделей теоретической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Корняк, Владимир Васильевич

• Корняк, Владимир Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Корняк, Владимир Васильевич

Введение

1 Реализация математических объектов: структуры данных и алгоритмы

1.1 Структуры данных и программирование

1.1.1 Связные списки с узлами переменной структуры

1.1.2 Таблицы.

1.1.3 Об организации программ.

1.2 Модули, линейные пространства и алгебры.

1.2.1 Алгебры и супералгебры Ли

1.2.2 Алгебры Грассмана и грассмановы мономы

1.2.3 Пространства и алгебры коцепей.

1.2.4 Векторные поля.

1.2.5 Тензорные суммы и тензорные мономы.

1.3 Кольца и поля скаляров.

1.3.1 Кольцо целых чисел Ж, поле рациональных чисел и его алгебраические расширения.

1.3.2 Конечные поля.

1.3.3 Функции скалярных параметров.

2 Построение конечно представленных алгебр и супералгебр Ли

2.1 Конечно представленные алгебры и супералгебры Ли

2.2 Описание алгоритма.

2.3 Описание программы

2.3.1 Работа с программой.

2.3.2 Пример инициирующего файла.

2.4 Примеры использования программы.

2.4.1 Супералгебра Ли с параметрами.

2.4.2 Бесконечномерная алгебра Ли

2.4.3 Ряды Гильберта для бесконечномерных алгебр

2.4.4 Алгебра инвариантных зарядов в теории Намбу-Гото замкнутых бозонных струн.

2.4.5 Соотношения Серра для простых алгебр Ли

3 Вычисление когомологий алгебр и супералгебр Ли

3.1 Основные определения и свойства когомологий.

3.2 Супералгебры Ли векторных полей

3.3 Алгоритм вычисления когомологий

3.3.1 Описание программы

3.3.2 Пример вывода программы:

Вычисление когомологии Щ($Ье(2)).

3.4 Результаты вычислений.

3.4.1 Алгебры векторных полей со скобкой Пуассона

3.4.2 Алгебры векторных полей с антискобкой.

4 Спектральные асимптотики дифференциальных операторов на искривленных многообразиях

4.1 Операторы на многообразиях и разложение ядра оператора теплопроводности.

4.2 Алгоритм вычисления коэффициентов ДВСГ.

4.3 Реализация алгоритма.

4.4 Новые результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы некоммутативной компьютерной алгебры при исследовании некоторых моделей теоретической физики»

Современные модели теоретической и математической физики требуют развития методов исследования сложных математических объектов, обладающих нетривиальными алгебраическими свойствами, такими как неассоциативность и некоммутативность. В последнее время в рамках компьютерной алгебры выделилось направление ориентированное на разработку методов и алгоритмов работы с такими объектами. Это направление часто называют некоммутативной компьютерной, алгеброй (см., например, [28]).

Пожалуй первой алгоритмической задачей некоммутативной алгебры можно считать проблему тождества слов для конечно представленных групп, сформулированную М. Деном в 1911 г. [72]: найти алгоритм, способный для группы, заданной конечным множеством генераторов и соотношений, определить, является ли данное слово, составленное из генераторов, единицей в группе. Эта задача была мотивирована топологией. В 1952 г. П. С. Новиков доказал, что в общем случае эта проблема неразрешима. Как выяснилось впоследствии, это свойство является типичным для некоммутативных и неассоциативных структур, в частности, проблема тождества слов неразрешима и для конечно представленных алгебр и супералгебр Ли. Таким образом, существует серьёзное препятствие для построения строгих алгоритмов работы с некоммутативными и неассоциативными объектами. Тем не менее, на практике обычно приходится иметь дело с более специализированными объектами для которых подобные проблемы не возникают. В частности, Ден решил проблему тождества слов для фундаментальных (т. е., первых гомотопических) групп ориентируемых поверхностей. Задача Дена является иллюстрацией алгоритмических сложностей, возникающих при изучении даже такой относительно простой некоммутативной структуры, как группа. Задачи современной математики, теоретической и математической физики зачастую требуют чрезвычайно большого объема вычислений с некоммутативными структурами, как правило, обладающими существенно более сложными свойствами. Такими структурами являются, в частности, алгебры и супералгебры Ли, грассмановы алгебры и супермногообразия, многообразия, оснащенные связностями Римана-Картана и калибровочными связностями, структуры некоммутативной геометрии и квантовые группы. Стандартные системы компьютерной алгебры обычно не имеют достаточно развитых средств для работы с подобными структурами. Кроме того, эти системы оказываются недостаточно эффективными для получения действительно новых результатов в актуальных задачах, имеющих в силу своей природы высокую вычислительную сложность. В связи с этим, разработка особых алгоритмических подходов и их эффективная реализация в виде компьютерных программ представляется весьма актуальной.

Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов некоммутативной компьютерной алгебры для решения ряда прикладных задач математики и математической физики. Эти алгоритмы были реализованы в виде компьютерных программ с помощью которых был получен ряд новых результатов.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, пяти приложений и списка литературы, включающего 187 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Корняк, Владимир Васильевич

Основные результаты, выдвигаемые на защиту:

1. Разработаны конструктивные математические методы и основанные на них эффективные алгоритмы для компьютерного анализа некоммутативных и неассоциативных математических объектов, широко используемых в современных моделях теоретической и математической физики:

• конечно представленных алгебр и супералгебр Ли,

• когомологий алгебр и супералгебр Ли,

• векторных и тензорных полей на искривлённых многообразиях.

2. Для вышеперечисленных объектов разработаны структуры данных, наиболее адекватно отражающие их математические свойства. Созданные алгоритмы и структуры реализованы на языке программирования С в виде программ:

• БРЬЯЛ - программа построения полной системы соотношений (базиса Грёбнера) для конечно представленных алгебр и супералгебр Ли над различными полями коэффициентов. Эта программа позволяет, в частности, строить базисные элементы алгебр, таблицу их коммутаторов (структурные константы) и ряды Гильберта.

• ЫеСоНото1оду - программа вычисления когомологий конечномерных и бесконечномерных градуированных алгебр и супералгебр Ли. Алгоритм реализован для тривиальных, присоединенных и коприсоединённых модулей.

• УвССоеЦ - программа, реализующая полностью ковари-антный и универсальный алгоритм вычисления асимптотических спектральных инвариантов (коэффициентов разложения ядра оператора теплопроводности) дифференциальных операторов на искривленных многообразиях с кручением и произвольными калибровочными полями.

3. С помощью трёх перечисленных выше программ решены, соответственно, следующие задачи:

• Вычислены до пятого порядка включительно базисные элементы алгебры наблюдаемых в теории Намбу-Гото замкнутых бозонных струн и построен ряд супералгебр Ли, возникающих при исследовании нётеровых колец, определяемых как факторкольца полиномов от четырех и пяти переменных по квадратичным идеалам.

• Впервые построены высшие когомологии для ряда супералгебр Ли векторных полей со скобкой Пуассона и её нечётного аналога - скобки Бютен (антискобки или нечетной скобки Пуассона). С помощью прямых компьютерных вычислений обнаружено (а затем и доказано), что наличие центра в алгебре или супералгебре Ли, в случае тривиального модуля, позволяет строить новые когомологические классы исходя из известных. В частности, при наличии нечетного центрального элемента, любой когомологический класс порождает бесконечный набор классов, являющихся кратными исходному.

• Впервые вычислены, не известные ранее, коэффициенты разложения для неминимальных операторов, операторов высших порядков и для многообразий с кручением. Среди них наиболее важным для калибровочных моделей теории поля и квантовой гравитации является точное аналитическое выражение коэффициента для неминимального оператора на искривлённых многообразиях.

В заключение я хотел бы выразить свою благодарность В. П. Гердту за постановку ряда задач, вошедших в диссертацию, поддержку моих исследований в области компьютерной алгебры и за многолетнее плодотворное сотрудничество в особенности при получении результатов Главы 2.

Я благодарен также другим своим соавторам: В. П. Гусынину, в сотрудничестве с которым был получен ряд результатов, вошедших в Главу 4, и Н. М. Глазунову и Ф. Г. Карпинскому, совместная работа с которыми связана с результатами Главы 1.

Существенную помощь в работе мне постоянно оказывал О. М. Ху-давердян, за что я ему очень благодарен.

Мне приятно также поблагодарить А. А. Белькова, Ю. А. Блинко-ва, С. И. Виницкого, Е. П. Жидкова,, А. В. Ланёва, Д. А. Лейтеса, И. Нейбюзера, В. Н. Робука, Я.-Э. Руса, В. М. Северьянова, В. А. Уфна-ровского, С. А. Фуллинга, В. И. Фущича и Р. Шимминга за полезные обсуждения, советы, замечания и критику.

Я весьма признателен дирекции ЛВТА (с 2000 г. ЛИТ) в лице Р. Г. Позе и И. В. Пузынина за поддержку моей научной работы в Лаборатории и создание для неё благоприятных условий.

Особую благодарность хочу выразить моей матери Любови Петровне, доброта, любовь и забота которой заложили основы всех моих достижений, включая работу над диссертацией.

Заключение

Целью работы была алгоритмизация и компьютерная реализация методов исследования некоммутативных и неассоциативных математических объектов, возникающих в комбинаторной алгебре, дифференциальной геометрии и при построении современных моделей в теоретической и математической физике. Высокая комбинаторная сложность рассматриваемых задач потребовала развития методов компьютерной алгебры, наиболее приспособленных для этих задач. Компьютерные программы, реализующие разработанные алгоритмы, позволили получить ряд новых результатов в математической физике.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Корняк, Владимир Васильевич, 2001 год

1. А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и ее приложения: в 2-х т. М.: Мир, 1980. - Т.1. - 455 е., Т.2. - 395 с.

2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т.1. М.: Наука, 1973.

3. Э.Р. Берлекэмп. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971.

4. JI.A. Бокуть, Г.П. Кукин. Алгоритмически неразрешимые проблемы для полугрупп, групп и колец // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 25. М.: ВИНИТИ, 1987. - С. 3-66.

5. Н. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Körpers //Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. - B. 39. - S. 1-50; русский перевод в кн.: Г. Вейль. Избранные труды. - М.: Наука, 1984.

6. И.М. Гельфанд, Д.И. Калинин, Д.Б. Фукс. О когомологиях алгебры Ли Гамильтоновых формальных векторных полей // Функц. анализ и приложения. 1972. Т. 6. - С. 25-29.

7. В.П. Гердт, В.В. Корняк. Программа для построения полной системы соотношений, базисных элементов и таблицы их коммутаторов конечно представленных алгебр и супералгебр Ли // Программирование. 1997. - Т. 3. - С. 58-71.

8. В.П. Гердт, В.Н. Робук, В.М. Северьянов. О построении конечно представленных алгебр Ли // ЖВМ и МФ. 1996. - Т. 36, No 11. - С. 20-34.

9. Н.М. Глазунов, Ф.Г. Карпинский, В.В. Корняк. Решение некоторых задач алгебры, анализа и математической физики с помощью систем аналитических вычислений на ЭВМ // Кибернетика.- 1991. No 2. - С. 23-29.

10. В.П. Гусынин. Асимптотики ядра оператора теплопроводности для неминимальных дифференциальных операторов // Украинский Мат. Журн. 1991. - Т. 43. - С. 1154-1551.

11. В.П. Гусынин, В.В. Корняк. Полное вычисление коэффициента ДеВитта-Сили-Гилки Е4 для неминимального оператора на искривленных многообразиях. Препринт ОИЯИ Р2-97-88, 1997. -22 с.

12. В.П. Гусынин, В.В. Корняк. Коэффициенты ДеВитта-Сили-Гилки для неминимальных операторов в искривленном пространстве // Фундаментальная и прикладная математика. 1999.- Т. 5, No. 3. С. 649-674.

13. В. DeWitt. Dynamical Theory of Groups and Fields. New York: Gordon and Breach, 1965; русский перевод: B.C. ДеВитт. Динамическая теория групп и полей. - М.: Наука, 1987.

14. N. Jacobson. Lie Algebras. New York: Interscience Publ., 1962; русский перевод: H. Джекобсон. Алгебры Ли. - M.: Мир, 1964. Serre

15. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения.

16. Т.1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей.- М.: Эдиториал УРСС, 1998. 336 с. Т.2. Геометрия и топология многообразий.- М.: Эдиториал УРСС, 1998. 280 с.

17. A.A. Кириллов. Метод орбит и конечные группы. М.: МЦН-МО,МК НМУ, 1998. - 52 с.

18. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т.1. Основные алгоритмы. М.: Мир, 1976. - 736 с.

19. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. - 725 с.

20. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т.З. Сортировка и поиск. М.: Мир, 1978. - 846 с.

21. Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии: в 2-х т. М.: Наука, 1981. - Т.1. - 344 е., Т.2. - 416 с.

22. В.В. Корняк. Программа для вычисления когомологий супералгебр Ли векторных полей //Записки научных семинаров ПОМИ. С.-Петербург. 1999. - Т. 258. - С. 148-160.

23. В.В. Корняк. Вычисление когомологий супералгебр Ли: алгоритм и реализация // Программирование. 2001. - Т. 3. - С. 46-50.

24. А. Лезнов, М. Савельев. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1985. - 280 с.

25. Д.А. Лейтес. Супералгебры Ли // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 25. М.: ВИНИТИ, 1984. - С. 3-50.

26. A.A. Михалёв. Лемма о слиянии и проблема равенства для цветных супералгебр Ли // Вест. МГУ, Сер. I. Мат. Мех. 1989. - Т. 5. - С. 88-91.

27. A.A. Михалёв. Техника композиции А.И. Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Грёбнера) // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 18. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. -С. 277-289.

28. A.A. Михалёв. Математическое обоснование алгоритмов комбинаторной теории супералгебр Ли. Дисс. д. ф.-м. н. М. - 1996. -320 с.

29. A.B. Михалёв, Е.В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1989.

30. П.И. Пронин, К.В. Степаньянц. Однопетлевое эффективное действие для произвольной теории // ТМФ. 1996. - Т. 109. - С. 215-231.

31. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.

32. А. Пуанкаре. Избранные труды, Т. 2, Analysis situs, с.457-548. -М.: Наука, 1972.

33. Г.А. Сарданашвили. Современные методы теории поля.

34. Т.1: Геометрия и классические поля. М.: УРСС, 1996. - 224 с. Т.2: Геометрия и классическая механика. - М.: УРСС, 1998. - 168 с.

35. Т.З: Алгебраическая квантовая теория. М.: УРСС, 1999. - 216 с.

36. Т.4: Геометрия и квантовые поля. М.: УРСС, 2000. - 160 с.

37. J.-P. Serre. Lie Algebras and Lie Groups. New York: Benjamin, 1964; русский перевод: Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. -М.: Мир, 1969. - 375 с.

38. В.А. Уфнаровский. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 57. -М.: ВИНИТИ, 1990. С. 5-177.

39. В.Т. Филиппов, n-арные алгебры Ли // Сибирский мат. журн. -1985. Т. 24. - С. 126-140.

40. Д.Б. Фукс. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. - 272 с.

41. А.И. Ширшов. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 1962. - Т. 3. - С. 292-296.

42. P. Amsterdamski, A.L. Berkin, D.J. O'Connor, bg 'Hamidew' coefficient for a scalar field // Class. Quant. Grav. 1989. - V. 6. - P. 1981-1991.

43. M.A. Atiyah, R. Bott, V.K. Patodi. On the Heat Equation and the Index Theorem // Invent. Math. 1973. - V. 19. - P. 279-330.

44. I.G. Avramidi. A covariant technique for the calculation of the one-loop effective action // Nucl. Phys. 1991. - V. B355. - P. 712-154.

45. I.G. Avramidi. Covariant techniques for computation of the heat kernel. // arXiv: hep-th/9704166, 1997.

46. I.G. Avramidi, R. Schimming. A new explicit expressions for the Korteweg-de Vries hierarchy, solv-int/9710009, 1997. P. 1-17.

47. Yu.A. Bahturin, A.A. Mikhalev, V.M. Petrogradsky, M.V. Zaicev. Infinite dimensional Lie superalgebras. Berlin-New York: Walterde Gruyter, 1992.

48. D. Bar-Natan. On the Vassiliev knot invariants // Topology. 1995. - V. 34. - P. 423-472.

49. N.H. Barth, S.M. Christensen. Quantizing fourth order gravity theories: The functional integral // Phys. Rev. D. 1983. - V. 28. -P. 1876-1893.

50. A.O. Barvinsky, G.A. Vilkovisky. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity // Phys. Repts. 1985. - V. 119. - P. 1-74.

51. A.O. Barvinsky, G.A. Vilkovisky. Beyond the Schwinger-DeWitt technique: Converting loops into trees and in-in currents // Nucl. Phys. B. 1987. - V. 282. - P. 163-188.

52. I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky. Gauge Algebra and Quantization // Phys. Lett. 1981. V. 102B. - P. 27-31.

53. T. Becker, V. Weispfenning, H. Kredel. Grobner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra. // Graduate Texts in Mathematics. V. 141. - New York: Springer-Verlag, 1993.

54. M. Belger, R. Schimming, V. Wunsch. A Survey on Huygens' Principle // Journal for Analysis and its Applications. V. 16, No 1. P. 5-32.

55. A.A. Bel'kov, A.V. Lanyov, A. Schaale. Calculation of heat-kernel coefficients and usage of computer algebra // Comput. Phys. Commun. 1996. - V. 95. - P. 123-130.

56. M.P. Berger. Geometry of the spectrum // Proc. Symp. Pure Math.- 1975. V. 27. - P. 129-152.

57. M.P. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet. Le spectre d'une variété rie-mannienne // Lecture Notes in Math. 1971. - V. 194.

58. N.D. Birrell, P.C.W. Davies. Quantum Fields in Curved Space. -Cambridge: Cambridge University Press, 1982.

59. M.J. Booth. HeatK: A Mathematica Program for Computing Heat Kernel Coefficients. // arXiv: hep-th/9803113 v3. P. 1-9.

60. R.E. Borcherds. Generalized Kac-Moody algebras // J. Alg. 1988.- V. 115. P. 501-512.

61. T.P. Branson, P.B. Gilkey, A. Pierzchalski. Heat equation asympto-tics of elliptic differential operators with non-scalar leading symbol // Math. Nachr. 1994. - B. 166. - S. 207-215.

62. L. Brink, M. Henneaux. Principles of String Theory. New York, London: Plenum Press, 1988.

63. L.S. Brown. Stress-Tensor Trace Anomaly in a Gravitational Metric: Scalar Fields //Phys. Rev. 1977. - V.D15. - P.1469-1483.

64. B. Buchberger. Grdbner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory // Recent Trends in Multidimensional System Theory, ed. N.K.Bose, (D.Reidel). 1985. - P. 184-232.

65. C. Buttin. // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B. 1969. - V.269. -A87.

66. E. Cartan. Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion // Comptes Rendus Acad. Sci.- 1922. V.174. - P.593.

67. E. Cartan. Sur les variétés à connection affine et la théory de la relativisteé généralisée I, II. // Ann. Ec. Norm. Sup. 1923. - V.40.p.325; 1924. - V.41. - p.l; - 1925. - V.42. - p.17.

68. V. Chari, A. Pressley. A Guide to Quantum Groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

69. H.T.Cho and R.Kantowski. Gauge independent conformai anomaly for gravitons //Phys. Rev. D. 1995. - V. 52. - P. 4600-4608.

70. S.M. Christensen. The Computational Challenge of Heat-Kernel Calculations // Discourses in Mathematics and its Applications. V. 4 / ed. S.A.Fulling. Texas A&M University, College Station, 1995. -P. 47-64.

71. S.M. Christensen, M.J. Duff. New gravitational index theorems and supertheorems // Nucl. Phys. 1979. - V. B154. - P. 301-342.

72. E.B. Davies. Heat Kernel and Spectral Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

73. M. Dehn. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Ann. 1911. - B. 71. - S. 73-77.

74. E. D'Hoker. Invariant actions, cohomology of homogeneous spaces and anomalies // Nucl. Phys. 1998. - V. B451. - P. 725-748.

75. J.S. Dowker. Another Discussion of the Axial Vector Anomaly and the Index Theorem //J. Phys. 1978. - V. All. - P. 347-360;

76. L. Drager. On the Intrinsic Symbol Calculus for Pseudodifferential Operators on Manifolds. Dissertation, 1978.

77. E. Elizalde. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. -Berlin: Springer-Ferlag, 1995.

78. R. Endo. Gauge dependence of the gravitational conformai anomaly for the electromagnetic field // Progr.Theor.Phys. 1984. - V. 71. - P. 1366-1384.

79. D. Epstein, S. Levy. Experimentation and Proof in Mathematics // Notices of the AMS. 1995. - V. 42, No 6. - P. 670-674.

80. B. V. Fedosov. A simple geometrical construction of deformation quantization //J. Diff. Geom. 1994. - V. 40. - P. 213-238.

81. E.S. Fradkin, A. Tseytlin. Renormalizable Asymptotically Free Quantum Theory of Gravity // Nucl. Phys. B. 1982. - V. 201. - P. 469-491.

82. D. Fuchs, D. Leites. Cohomology of Lie Superalgebras // C.r. Acad. Bulg. Sci. 1984. - V. 37, No 12. - P. 1595-1596.

83. S.A. Fulling. Aspects of Quantum Field Theory in Curved SpaceTime. Cambrige: Cambrige University Press, 1991.

84. S.A. Fulling. Kernel asymptotics of exotic second-order operators // Proceedings of Third International Colloquium on Differential Equations / eds. D. Bainov, V. Covachev. VSP Intern. Science Publ., 1993. - P. 63-76.

85. S.A. Fulling ed. Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity. // Discourses in Math, and its Appl. V. 4. Texas A&M Univ., College Station, 1995.

86. S.A. Fulling, R.C. King, B.G. Wybourne, C.J. Cummins. Normal forms for tensor polynomials: 1. The Riemann tensor. // Class. Quant. Grav. 1992. - V. 9. - P. 1151-1197.

87. J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern Computer Algebra. -Cambrige university press, 1999. 754 p.

88. R.W. Gebert. Beyond Affine Kac-Moody Algebras in String Theory // Preprint DESY 94-209, Hamburg. 1994.

89. K.O. Geddes, S.R. Czapor, G. Labahn. Algorithms for Computer Algebra. Boston/Dordrecht/London: Kluwer, 1992. - 586 p.

90. V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov. Involutive Bases of Polynomial Ideals // Preprint-Nr.01 /1996, Naturwissenschaftlich-Theoretisches Zentrum, Universität Leipzig, 1996.

91. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Construction of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Preprint JINR E5-95-353. 1995. -Dubna. - P. 12.

92. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. An Efficient Algorithm for Analysis of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // New Computer Technologies in Control Systems. 1995. - Pereslavl-Zalessky. - p. 22.

93. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Lie Algebras and Superalgebras Defined by a Finite Number of Relations: Computer Analysis // Journ. Nonlinear Math. Phys. 1995. - V. 2. P. 367-373.

94. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Construction of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Proceedings of 5th Rhine Workshop on Computer Algebra. 1-3.04.1996, Saint-Louis, France, eds A. Carriere and L.R. Oudin. P. 18.1-18.11.

95. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Computer Analysis of Finitely Presented Lie Superalgebras // New Computing Techniques in Physics Research IV, eds B. Denby and D.Perret-Gallix. 1996. - Singapore: World Scientific. - P. 289-294.

96. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Construction of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Journal of Symbolic Computation. -1996. V. 21, No 3. - P. 337-349.

97. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. A Program for Constructing the Complete Set of Relations, Basis Elements and their Commutator Table for Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Preprint JINR Ell-96-103. 1996. - Dubna. - P. 26.

98. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. An Implementation in C of an Algorithm for Construction of Finitely Presented Lie Superalgebras // Computer Sci. Journ. of Moldova. 1996. - V. 4, No 3(12). - P. 399-427.

99. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. An algorithm for analysis of the structure of finitely presented Lie algebras // Discrete Math, and Theor. Computer Sci. 1997. - V. 1. - 217-228.

100. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. A program for constructing finitely presented Lie algebras and superalgebras // Nucl. Instr. h Meth. in Phys. Res. A. 1997. - V. 389. - P. 370-373.

101. V.P. Gerdt, V.V. Kornyak, M. Berth, G. Czichowski. Construction of involutive monomial sets for different involutive divisions // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, 1999. - P. 147-157.

102. P.B. Gilkey. The index theorem and the heat equation. Boston: Publish or Perish Press, 1974.

103. P.B. Gilkey. The spectral geometry of a Riemannian manifold //J. Diff. Geom. 1975. - V.10. - P.601-618.

104. P.B. Gilkey. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem. Math, lectures series 11. Boston, Ma.: Publish or Perish Inc., 1984.

105. P.B. Gilkey. Heat equation asymptotics // Proc. Symp. Pure Math. 1993. - V. 54. - P. 317-326.

106. P.B. Gilkey, T.P. Branson, S.A. Fulling. Heat equation asymptotics of "nonminimal" operators on differential forms //J. Math. Phys. -1991. V. 32. - P. 2089-2091.

107. N.M. Glazunov, V.V. Kornyak, E. Cheremnykh, F. Diaba. Algebra, Interval Analysis and Some Nonlinear Differential Equations // Proc. IMACS 14 World Congress, Atlanta, USA. 1995. - V. 1. -P. 89-92.

108. W.H. Goldthorpe. Spectral Geometry and SO(4) Gravity in a Riemann-Cartan Space-Time // Nucl. Phys. 1980. -V. B170 FS1], - P. 307-328.

109. J. Gomis, J. Paris, S. Samuel. Antibracket, Antifields and Gauge-Thery Quantization // Phys. Rept. 1995. - V. 259. - P. 1-145. // arXiv: hep-th/9412228.

110. P.K.H. Gragert. Lie Algebra Computations // Acta Applicandae Mathematicae. 1989. - V. 16. - P. 231-242.

111. M. Green, J. Schwarz, E. Witten. Superstring Theory, Vols. I, II. -Cambridge University Press, 1987.

112. P. Greiner. An asymptotic expansion for the heat equation // Arch. Rat. Mech. Anal. 1971. - V. 41. - P. 163-218.

113. P. Grozman, D. Leites. Defining relations for classical Lie superal-gebras with Cartan matrix // arXiv: hep-th 9702073.

114. P. Grozman, D. Leites. Mathematica-aided study of Lie algebras and their cohomology. From supergravity to ballbearings and magnetic hydrodynamics // The second International Mathematica symposium / ed. V. Keranen. Rovaniemi, 1997.- P.185-192.

115. C. Gruson. Finitude de l'homologie de certains modules de dimension finie sur une superalgebre de Lie // Ann. Inst. Fourier. 1997. - V. 47, No.2. - P. 531-553.

116. P. Giinther. Huygens' Principle and Hyperbolic Equations. San Diego: Academic Press, 1988.

117. V.M. Guillemin, S.D. Shnider. Some stable results on the cohomology of classical infinite dimensional Lie algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. - 179. - P. 275-280.

118. V.P. Gusynin. New algorithm for computing the coefficients in the heat kernel expansion // Phys. Lett. 1989. - V. B225. - P. 233-239.

119. V.P. Gusynin. Seeley-Gilkey coefficients for the fourth-order operators on a Riemannian manifold // Nucl. Phys. 1990. - V. B333. -P. 296-316.

120. V.P. Gusynin. Heat Kernel Technique for Nonminimal Operators // Discourses in Mathematics and its Applications. V. 4 / ed by S.A.Fulling. Texas A&M University, College Station, 1995. - P. 65-86.

121. V.P. Gusynin, E.V. Gorbar. Local heat kernel asymptotics for nonminimal differential operators // Phys. Lett. 1991. - V. B270. - P. 29-36.

122. V.P. Gusynin, E.V. Gorbar, V.V. Romankov. Heat kernel expansion for nonminimal differential operators and manifolds with torsion // Nucl. Phys. 1991. - V. B362. - P. 449-471.

123. V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Symbolic Computation of the Heat Kernel Expansion on Curved Manifolds // Preprint ITP-93-59E, Bogolyubov Inst, of Theor. Phys. 1993. - Kiev. - P. 8.

124. V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Symbolic Computation of DeWitt-Seeley-Gilkey Coefficients on Curved Manifolds // Journ. Symb. Computation. 1994. - V. 17, No. 3. - P. 283-294.

125. V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Symbolic Computation of the Heat Kernel Expansion on Curved Manifolds // New Computing Techniques in Physics Research III, eds K.-H. Beck and D.Perret-Gallix. -1994. Singapore: World Scientific. - P. 615-621.

126. V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Heat Kernel Coefficient E4 for Nonminimal Operator in Curved Space // Preprint JINR E2-96-448. -1996. Dubna. - P. 9.

127. V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Computation of the DeWitt-Seeley-Gilkey Coefficient E4 for Nonminimal Operator in Curved Space // New Computer Technologies in Control Systems. 1996. - Pereslavl-Zalessky. - p. 26.

128. V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Heat Kernel Coefficient E4 for Nonminimal Operator in Curved Space // Nuclear Instr. and Methods in Phys. Res. 1997. - V. A389. - P. 365-369.

129. F.W. Hehl, P. von der Heyde, G.D. Kerlick, J.M. Nester. General Relativity with Spin and Torsion: Foundations and Prospects // Rev. Mod. Phys. 1976. - V.48. - p.393.

130. F.W. Hehl. Four Lectures on Poincare Gauge Field Theory // Proceedings of the 6th Course of the School of Cosmology and Gravitation on Spin, Torsion, Rotation and Supergravity /eds. P. Bergman, V. de Sabbata. Plenum, New York, 1980.

131. V.A. Ilyin, A.P. Kryukov. ATENSOR-REDUCE program for tensor simplification // Comput. Phys. Commun. 1996. - V. 96. - P. 3652.

132. E. Jurisich. Generalized Kac-Moody Lie algebras, free Lie algebras and the structure of the Monster Lie algebra //J. Pure Appl. Algebra. 1998. - V. 126, No 1-3. - P. 233-266.

133. M. Kac. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. - V. 73, No. 4, Part II. - P. 1-23.

134. V.G. Kac. Infinite dimensional Lie algebras. Cambridge: Cambridge University Press, third edition, 1990.

135. E. Kamerich. A Guide to Maple. Springer Verlag, 1999, 335 p.

136. O.M. Khudaverdian. Geometry of Superspace with Even and Odd Brackets //J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 1934-1937.

137. O.M. Khudaverdian. Odd Invariant Semidensity and Divergencelike Operators in an Odd Symplectic Superspace // Commun. Math. Phys. 1998. - V. 198. - P. 591-606.

138. O.M. Khudaverdian. A-Operator on Semidensities and Integral Invariants in the Batalin-Vilkovisky Geometry //math.DG/9909117.

139. O.M. Khudaverdian, A.P. Nersesian. On the Geometry of the Batalin-Vilkovisky Formalism // Mod. Phys. Lett. 1993. - V. A8, No.25. - P. 2377-2385.

140. O.M. Khudaverdian, A.P. Nersesian. Batalin-Vilkovisky Formalism and Integration Theory on Manifolds //J- Math. Phys. 1996. - V. 37. - P. 3713-3724.

141. E. Kiritsis. Introduction to Superstring Theory // arXiv: hep-th/9709062.

142. M. Kontsevich. Feynman diagramms and low-dimensional topology // First European Congress of Mathematics 1992, Paris, Volume II, Progress in Mathematics. Birkhauser, 1994. - V. 120. - P. 97-121.

143. M. Kontsevich. Rozansky-Witten invariants via formal geometry // arXiv: dg-ga/9704009.

144. M. Kontsevich. Deformation Quantization of Poisson Manifolds I // arXiv: q-alg/9709040.

145. M. Kontsevich, Yu. Manin. Gromov-Witten classes, quantum coho-mology, and enumerative geometry // arXiv: hep-th/9402147.

146. V.V. Kornyak. A program for computing cohomology of Lie superal-gebras of vector fields // Preprint JINR E5-98-380. 1998. - Dubna. -8 p.

147. V.V. Kornyak. Computation of cohomology of Lie superalgebras of Hamiltonian vector fields // Preprint JINR E5-99-95. 1999. -Dubna. - 11 p.

148. V.V. Kornyak. Cohomology of Lie Superalgebras of Hamiltonian Vector Fields: Computer Analysis // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, 1999. - P. 241-249; arXiv: math.SC/9906046.

149. V.V. Kornyak. Computation of Cohomology of Lie Superalgebras of Vector Fields // International Journal of Modern Physics C. 2000.- V. 11, No. 2. P. 397-414; arXiv: math.SC/0002210.

150. V.V. Kornyak. Heat Invariant for Nonminimal Operator on Manifolds with Torsion // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, 2000. - P. 273-284; arXiv: math.SC/0004085.

151. Le Thang. An invariant of integral homology 3-spheres which is universal for all finite type invariants // arXiv: q-alg/9601002.

152. D. Leites, G. Post. Cohomology to compute //Computers and Mathematics / eds. E. Kaltofen, S.M. Watt NY ea: Springer Verlag, 1989. - P. 73-81.

153. Yu. I. Manin, A. O. Radul. A supersymmetric extension of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy // Commun. Math. Phys. 1985.- V. 98. P. 65-77.

154. M.P. McKean, I.M. Singer. Curvature and eigenvalues of the Laplacian //J. Diff. Geom. 1967. - V. 1. - P. 43-69.

155. M. Mignotte, C. Mignotte. Mathematics for Computer Algebra. -NY ea: Springer Verlag, 1991.

156. M. Mignotte, D. Stefanescu. Polynomials : An Algorithmic Approach (Springer Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science). NY ea: Springer Verlag, 1999. - 320 p.

157. A.A. Mikhalev, A.A. Zolotykh. Combinatorial Aspects of Lie Super-algebras. Boca Raton, New York: CRC Press, 1995.

158. J. Milnor. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1964. - V. 51. - p. 542.

159. S. Minakshisundaram, A. Pleijel. Some properties of the eigenvalues of the Laplace operator on Riemannian manifolds // Can. J. Math.- 1949. V. 1. - P. 242-256.

160. C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler. Gravitation. W.H. Freeman and Company, 1973.

161. U. Miiller. Basis Invariants in Non-Abelian Gauge Theories. Preprint DESY-96-154, // arXiv: hep-th/9701124.

162. S. P. Novikov. 1. Classical and Modern Topology. 2. Topological Phenomena in Real World Physics // arXiv: math-ph/0004012. -2000. P.1-20.

163. Yu.N. Obukhov. Spectral Geometry of the Riemann-Cartan SpaceTime // Nucl. Phys. 1983. - V. B212. - P. 237-253.

164. J. Perchik. Cohomology of Hamiltonian and related formal vector fields Lie algebras // Topology. 1976. - V. 15, No 4. - P. 395-404.

165. K. Pohlmeyer. The Nambu-Goto Theory of Closed Bosonic Strings Moving in 1+3-Dimensional Minkowski Space: The Quantum Algebra of Observables // Annalen Phys. 1999. - V. 8. - P. 19-50.

166. I. Polterovich. From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries hierarchy, sov-int/9905001,1999. P. 1-7.

167. J.-F. Pommaret. Partial Differential Equations and Group Theory.- Dordrecht: Kluwer, 1994.

168. G. Post, N. von Hijligenberg. Calculation of Lie algebra cohomology by computer. Memo# 833, Faculty of Appl. Math. Univ. Twente, 1989. - id. ibid. #928, 1991.

169. P.I. Pronin, K.V. Stepanyantz. One loop counterms for theories with arbitrary nonminimal operator in the curved space // Nucl. Phys. -1997. V. 485. - P. 517-544.

170. G.H.M. Roelofs. The LIESUPER Package for REDUCE // Memorandum 943, Univ. of Twente, Netherlands., 1991.

171. G.H.M. Roelofs. Prolongation structures of supersymmetric systems.- Ph.D. Thesis, Univ. of Twente, Enschede, Netherlands, 1993.

172. G.H.M. Roelofs, N.W. Van der Hijligenberg. Prolongation Structures for Supersymmetric Equations //J- Phys. A: Math. Gen. 1990. -V. 23. P.5117.

173. J.-E. Roos. A computer-aided study of the graded Lie algebra of a local commutative noetherian ring //J. Pure Appl. Algebra. 1994.- V. 91. P. 255-315.

174. H.S. Ruse, A.G. Walker, T.J. Willmore. Harmonic Spaces. Roma: Edizioni Cremonese, 1961.

175. T. Sakai. On eigenvalues of Laplacian and curvature of Riemannian manifold // Tohoku Math. J. 1971. - V. 23. - P. 589-603.

176. R. Schimming. Calculation of the Heat Kernel Coefficients // Analysis, Geometry and Groups: A Riemann Legacy Volume / ed. H.M.Srivastava, Th.M.Rassias. Palm Harbor: Hadronic Press, 1993. P. 627.

177. R. Schimming. An explicit expression for the Korteweg-de Vries hierarchy // Acta Appl. Math. 1995. - V. 39. - P. 489-505.

178. R. Schimming, W. Strampp. Differential polynomial expressions related to the KP and KdV hierarchies // Journal of Mathematical Physics. 1999. - V.40. - P. 2429-2444.

179. J.A. Schouten. Uber Differentialkomitanten zweir kontravarianter Gröszen // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. Amsterdam. 1940. - B. 43. - S. 449-452.1. Литература 222

180. D. Schuth. Continuous families of isospectral metrics on simply connected manifolds // Annals of Mathematics. 1999. - V. 149. - P. 287-308. // arXiv: dg-ga/9711010 v 2.

181. R.T. Seeley. Complex powers of an elliptic operator //Singular Integrals (Proc. Symp. Pure Math.), Amer. Math. Soc. Providence, 1967. - V. 10. P. 288-307.

182. R. Solomon. On Finite Simple Groups and Their Classification // Notices of the AMS. 1995. - V. 42, No 2. - P. 231-239.

183. L. Takhtajan. On foundations of the generalized Nambu mechanics // Commun. Math. Phys. 1994. - V. 160. - P. 295-315.

184. A.E.M. van de Ven. Explicit counteraction algorithms in higher dimensions // Nucl. Phys. 1985. - V. B250. - P. 593-617.

185. H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook. Prolongation Structures of Nonlinear Evolution Equations //J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - P. 1-7; - 1976. V. 17. - P. 1293-1297.

186. H. Widom. A complete symbolic calculus for pseudodifferential operators // Bull. Sci. Math. 1980. - V. 104. - P. 19-63.

187. D. Xu. Calculation of the аз coefficient of the scalar field by the point separation method // Phys. Lett. 1985. - V. 110A. - P. 293-294.